平面几何-基础自测题-问题求解

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 18:58:27

首先我们来看一下基础题的第一个题目。好，第一个题目主要考点是考察求角度。好，那在考察求角度里面一定要根据它所给的图形，这道题用到的平行直线。求角度。好，这个平行直线。它的相关特征。好，我们来看一下它所给的条件好AB平行CD直线ef分别交abcd于e点和f点。好那么eg平分角bf那是一个角平分线，好角一=72度，问角二到底是多少度？

好，那大家想想，这要是角二，那这个角是不是也是角二？因为这两角是平行直线的内错角，所以这个角。跟这个角是相相等的，都是角二好，那么由于eg又是平行呃平角平分线角平分线，所以这两个角是相等的，所以这两个角都是角二。都角二好，那再根据角一跟这个角呢，是一个同旁内角，同旁内角是互补的，

有时候角一加上两个角二就等于180度。对吧，那么角一又等于72度。啊，通过这个我们就可以求出这个角二它的呃度数啊，角二它的度数我们就可以求解出来好，这道题就选择54度。好，这样答案就选择c选项，答案就求解出来了，所以这道题用到了平行直线的内错角，还有角平行线的。呃，知识还有一个平行直线的同旁内角，把这些角度关系掌握住就可以求解出来，

下面我们来看一下第二题，第二题它主要也是考点就求角度。求角度好，那如所示点a呢？是圆的圆心点a呢？是圆心那AB=BC=CD是吧？就AB的值。等于BC的值啊，等于CD的值好，那在这里面呢，三个长度相等，那它对应的角呢，就是相相等的好吧。所以AB的长度等于BC的长度等于CD的长度在这里面，我们就可以连接一下BC的长长度。

然后再联系一下CD的长度好题目，告诉我AB=BC=CD。好，那么它问角x到底是多少度？所以在这里面大家可以看出来，因为这个圆的半径是相等的是吧？圆的半径是相等的话AB就等于。AD.是吧，这个是半径。是相相等的，又由于AB又等于BC，又等于CD，那么AB又等于一个AD，这样就可以推出这个四边形，

它是一个菱形。啊，是一个菱形，因为四边相等的一个四边形就是菱形。好，那既然是菱形的话，大家可以发现上面这个三角形就是一个等边三角形。等边三角形，它的角度正好就是60度，对吧？所以在这里面等边三角形就可以得到角ABC=60度。角ABC=60度，因为菱形的话，它对角线是有它的角平行线，所以这个这个x就等于60度的一半儿。

所以就等于30度，这样就写好了啊，所以答案就求了30度，这个答案就选择b选项，所以这道题的考点主要考察跟圆里面这些长度相等，它对应的角是一样的。然后就可以求出它是一个菱形，而且还可以看出它是一个比较特殊的菱形，这个角正好是一个等边三角形，然后就可以得到它的特征，而且。菱形，大家注意这个对角线正好是它的角平分线啊，所以说这两个角是相等，这个x跟这个x这两个角度呢是相等的。

好，第三题，这题主要考点是考察折叠，也是求角度问题。直角它这个考察折叠好，那么这个长方形的纸片沿着ef给它折过来以后，若角e FB。啊e FB这个角是65度求角ae第一撇啊，就是ae第一撇。好求这个角度到底是多少度好，那在这里面大家可以发现这个AD跟BC是平行的，对吧？AD平行于BC。好，这时候我们就可以利用平行直线的一些关系来分析好，

如果这个角度是65度，那这个角度肯定也是65度。啊，为什么这角65度呢？好，因为平行直直线。啊，它的内作角是相等的，所以在这里面大家呢，就可以写出它的这个特征啊，内作角它是一样的。好内错角一样的，在这里面我们呢，就可以根据折叠根据折叠的话，就要找到对称。

啊，既然沿着ef来折折叠ef来折叠，就说明左边这个图形和右边这个图形关于ef是对称的。所以这道题它应当对称对称的话，那说明这个角度它也是65度，就是角第一撇ef，它也是65度，那说明这两个角都是65度。都六六十五度那样两个角加在一起就一百三一百三按旁边这个角就可以算出是50度，这个呢，就选择a选项。好吧，所以在这里面，大家首先可以得到这个fed=1个65度，这个是属于一个图呃，

属于一个内错角。属于内内错角，它跟这个65度是内内错角，然后再根据折叠，折叠的话就角第一撇e。f等于角，fec等于六六十五度，这个是一个对称关系折叠里面的对称。然后最后就可以求出它这个角度了，所以这道题主要考的平行直线，还有折叠，折叠话一般要找到对称问题啊，利用对称来分析啊。好，那第四题这个题这个题主要考点是考察啊，

面积值是周长的两倍，求该圆的面积，所以这道题考点主要考察圆它的周长和面积。圆周长和面积好，大家知道圆的面积值是不是等于派r方面积值等于周长两倍，周长是不是等正好等于二派r？啊，周长是二派r，然后周长的两倍，然后这样我们就可以把r给它求解出来，就推出r的值，正好等于四，这个很好，解r值等于四算出来了。它圆的面积s就等于派r方，

就等于个16派，这个答案就选择e选项，答案就求出来了。所以这道题给大家强调的做题的方法和思路，看是否学会了这道题，主要考点就考察根据面积和周长的关系，然后把半径r求出来，半径r求出来以后，那么它的。答案就写出来了，好第五题考点主要考察求阴影面积。好那么阴影面积这类的题型是咱们考试必考的一类题型，所以要掌握不同面积的。形状的特征，然后采用不同的方法求解好，

那这道题大家可以发现它给了一些圆弧，而且这。上下左右，这四个圆弧是对对称的，所以这道题它有个对称关系，对关系只要求出其中一部分，然后再乘一个倍数就可以了。所以在这里面，我们就随便求出其中一部分就行了，所以我们这样一连，然后只要把这一部分给大家求出来就行了是吧？所以说只要把右边这一块求出来，也就是说如果看不清的同学就给大家画出图来。对。就只要求出这边一块儿好，

把这一部分求出来，然后再乘以一个八倍，这样就行了，这个是s阴影面积好吧，所以s阴影。就等于八倍的好，这块阴影面积我们看说阴影面积的话就等于个四分之一圆，因为它整个边长不就为a吗？整个边长为a这一半儿就是二二分之一是吧？所以在这里面，它又是一个四分之一圆，由四分之一圆派乘以r方。九四分之一派r方看这个是不是学会了，所以在这里面它这个圆的半径就是二分之一啊，所以有四分之一派r方就四分之一小于减掉一个什么呢？

减掉一个等腰直角三角形，减掉等腰，这样二分之一底乘以高减掉一个等腰直角三角形。好，那在这里面，我们就可以把它写成就二分之派a方再减掉。再减掉，然后后面后面这个就是a方。后面就是a方好，那这样我们就可以得到化简一下，得到就选择c选项答案就求出来了。好通过这道题，大家注意利用圆弧，一般就采用减法来进行分析啊，圆弧那我们就采用减法啊，

用扇形减掉三角形就可以得到这个圆弧这块面积，圆弧这块面积以后，然后再乘以倍数。就可以得到得到它的答案，看这道题是不是学会了，是不是听懂了？好，下面咱们看第六题，这里主要考点是考察四边形，它的面积而而且我们在前面讲的时候给大家讲了四边形，它往往是分成三角形，所以它与三角形也相关啊，所以四边形三三。三角形，它这个都是密切相关的，

特别四边形也要用到三角形，它的一些面积求解方法。好，然后在四边形abcd中ef分别在BC和CD上啊ef在BC。f在CD上，然后告诉我们df=FC啊df=FC好df=FC，说明这两个边长是相等的，那说明f就是中点。好那么ce=2倍的ebc be=2倍eb，这是二比一二比一，好在这告诉我adf的面积是m啊。adf adf面积这块面积呢是m，然后这个四边形就是a。ecf，这个四边形面积是n，

而且呢，这个n呢是大于m的好吧，就这些整个面积呢，就是n。好，那么在三角形求面积相关的问题的时候，最关键的就是底高的比例，所以底高关关系求面积。啊，提高它的一个比例情况。来求面积啊啊，根据它底高的比例，来求面面积，所以在这在在这里面，大家可以发现，

由于f点是中点，就根据。同底等高可以得到s3角形afc=s三角形adf。啊，就是三角形afc。就三角形afc就等于三角形adf，为什么这两个三角形相等呢？因为这两个三角形它的底。是一样的，因为df=FC这两个三角形共有一个顶点，所以它的高相等那这两个三角形就是面积就相等。所以这个三角形面积是m，这个面积是m，那就可以推出，那么s3角形ACE的面积ACE面是不是就等于n-m啊？

因为。ACE这个三角形面积可以用整个四边形面积n减掉这个三角形m的面积好，那就可以得到n-m好n-m算出来了，然后就可以推出s3角形a be的面积。大家知道x3角形a be这个a be这个面积是不是正好是ACE面积一半儿呀？为什么是它一半儿呢？因为它底是它的一半儿底，它一半儿这两个三角形共有一个顶点a，所以它高相相等。是它面积就是它的底一半。这就等于二分之n减m好，他要求整个四边形啊，求这个四边形a ecf。它的面积到底是多少？所以在这里面我们就可以求出整个四边形，

它的一个面积值好，那么所有的四边形就abcd，它这个四边形面积的值，我们就可以求解出来了啊，所以在这里面。好，我们呢，就可以求出。这个是abcd，它整个四边形的面积好abcd，整个四边形面积就把这四个三角形相加就行了是吧？所以s abcd。它的面积就等于整个四边形面积呃，整个四块儿三角形面积相相加好，四块儿面积相加，

那这个三角形面积是不是m啊？m加上中间这个四边形面积，中间这个四边形面积是不是就是n呀？中间这个四边形面积，它又为n。再加上好下面这个小三角形面积是二分之n减m好，这个大家可以写作就二分之三n，加上一个m。是吧，就二分之三加m，所以这道题正确答案就选择b选项，答案就求解出来了，所以通过这道题，大家要学会的知识点，遇到一个不规则四边形，

大家可以把它分割成三角形来进行求解。那么，在三角形，咱们讲面积最重要的一块儿就是三角形面积的底高比例，利用底高比例来求面积。比如说三角形的等高。等高的这种特征，等高特征，它面积之比等于底之比，看它底之间的一个关系就可以求解出来，求解出每个三角形面积，然后这个整个四边形面积就可以。求解出来。好，下面咱们看一下第七题，

这个题这里主要考点是考察三角形形状的判断，这是一个常规题，三角形形状判断一般呢，它给一个三边满足一个等式，三边满足一个等式。这个写出来了，然后把它化简完，看这个三角形到底是什么样的三角形是吧？所以在这里面考点主要考察三角形。它的一个判断。好ABC是三角形ABC的三条边好，先满足这个等式问三角形形状到底是多少？在这我们看能不能给它变形配方？是吧，然后配方配方完以后我们呢看看呃，

给它进行呃，因式分解啊，所以负c方加上a方加上2 ab- 2 BC。等于零大家发现前两项是不是就可以用平方差公式啊？就负c方加上a方，那可以用平方差公式来来进行写是吧？然后这两个这两个呢，我们呢也可以提一个公因式啊，所以前面用平方差公式，我们就可以写成a-c乘以个a+c。对吧，所以这个a方减c方a方减c方就可以写成a-c×a+c，这样的情况，然后再加上这个是不是可以提出一个2b啊？提出2b就是a-c。

等于零啊，提出一个二倍的b2倍b就可以写成a-c它为零，然后这两个式子是不是就可以又可以提出一个a-c呀？就a-c就a-c，以后就变变成a+c，加2 b=0，由于ABC的三角形三条边，所以说ABC都是正数，对吧？ABC都是正数，说明这个后面这括号肯定是正的。肯定是正的话，那么这两个相乘等于零，只能得到a-c为0a先为零，就推推出a=CA=c就说明这个三角形，

它一定是等腰三角形。啊，它不会是等边的啊，因为b不知道是不是相等啊，确定不了是不是直角的这个？都不行好吧，这个得到是等腰的啊，这个答案选a，所以像这类题它考试呢，顶多就把这表达式换一下啊，所以这类题就是一个比较常规的考法，每年可能有时候会把这个表达式呢。给它换换，换完后让你判断形状，这个表达式不管呃怎么换，

我们都用前面代数里面学到的方法就给它进行变形分解，这样就可以写出它的答案就求出来了。好，接下来咱们再看一下第八题，这个考题好，那第八题这个题目这个题目主要考察就是求这个面积，所以这道题又出现了折叠。啊，折叠问题，所以考点。就考察这个求面积，求面积里面肯定要遇用到一些三角形求面积的知识是吧？然后呢？还要遇到折叠的一些知识啊？所以说在这里面，

大家可以发现边长为二的一个菱形abcd中，这是一个菱菱形。角b=45度，这个角度知道45度ae为BC边上的高。ae为BC边上高好，那么将三角形a be沿着ae呢啊给它进行。折叠后得到三角形AB 1撇e是吧？得到AB 1撇e得到这个情况则AB 1撇e与四边形它重叠的部分面积到底是多少？好，那它AB 1撇e与四边形a ecd重叠，重叠面积是多少呢？我们把它这个用图形给它画出来。好，这是两者重叠的，两者重叠，

大家可以发现，它就是一个不规则的，一个图图形是吧？所以在这里面啊，它又是一个不规则的图形。好不规则图形在这里面，我们呢？如何来求这个不规则图形面积呢？我们可以用整个三角形。啊，整个三角形减掉右边这个小三角形的面积就行了是吧？所以在这里面好要求这个不规则图形的面积的话，我们呢就用。好那么，整个三角形，

整个三角形就是aeb 1撇，把它求解出来就行了是吧？aeb 1撇求解出来好，下面我们把啊，我们看它所给的啊，一些已知条件。因为边长为二菱形，大家知道菱形，它的四个边长是相等的是吧？所以这个边长都为二好，那么说明AB边长为2a边长为二，由于这个角b45度速度说明。这个a be是不是一个等腰直角三角形啊啊？一个等腰直角三角形，这个高就是根号二，

然后be长度也是根号二是吧？就说明ae。等于be就，等于根号二看这个是不是学会了啊？就ae的长度就等于be的长度，它就等于根号二这样就写好了。写好以后咱们再看，如果b折叠过来，那b撇e。那肯定等于根号二，因为折叠它就相当对称呀，是吧？所以b撇e它也是根根号二吧，是不是这样的根号二，然后咱们再看ce的长度是多少，

再看cce的长度。好，那c的长度。是不是等于总长二减去个根号二呀啊，因为ce就BC的总长不就是二吗？be的总长为二，那be的长度就是根号二，所以就可以得到ec的长度好，那ce的长度呢？就是二减根号二这样写好了，好写好之后咱们来看一下这个重叠面积是不是等于这个直角三角形等腰直角三三角形的面积是吧，所以这个重叠面积s又等于。啊，这个三角形aeb 1撇减去三角形cb 1撇f是不是这样的？就这两相减啊，

就可以得到aeb 1撇？好AB撇，大家知道这是一个等腰直角三角形a，因为它这个直角边是根号二，这个b撇e它也是根号二是吧？所以在这里面就等于二分之一根号二乘以根号二。然后减去减去这个小三角形，这些小三角形呢，也可以很容易证，它也是一个等腰直角三三角形，这为什么等腰直角三角形，因为角b1撇跟角b它是一样的呀。是吧，45度对吧？45度，

这样算出来了，算出来，然后这个角d它也是45度啊，对吧？如果角d是45度，那这个这个小小角角c这块小角也是45度，那角b撇45度，这两个角都是。45度都45度的话，那角f这块儿就垂直的是吧？只要直角三角形，那么它的斜边斜边b1撇c。是不是？啊，斜边啊b1撇cb 1撇c呢，

其实就等于ce是吧？就等于ce，所以在这里面好，那这个b1撇c我们就可以写出来。b1撇c是等于多少呢，我们写b1撇c就等于be。b撇e- 1个ce是不是这样的？减一个ce，所以说好在这里，大家知道这个b撇e。是等于多少呢？看一下BB撇e。好，那在这里面就是b1撇e是不是正好等于be啊？是吧？

正好等于be好be长度是不是有根号二呀？啊就根号二，然后呢ce长度等于多少ce长度是不是等于二减根号二呀ce长度？刚才咱们在这算等于。二减根号二，所以减掉二，再加一个根号二，所以就等于二倍根号二减二好，那这个。这个小直角三角形的斜边知道了，就是二倍根号二减二，那么等腰直角三角形，它的面就等于四分之斜边的平方。对吧，四分之斜边的平方，

然后这样就写出来，然后前面这个不就是一吗？这个一然后这个二提出来，然后这个就是四约掉了，约掉就剩一个根号二减一的平方，根号二减一平方就是三减二倍，根号二。二然后这样在这里面就二倍根号二减二，这样就写出来了好吧，所以在这里面这个呢，就选择c选项。答案就求出来了，好看这道题是不是学会了？是不是掌握它的做题方法好？那通过这道题，

大家要掌握的知识点。是什么呢？我们来看看，就是要掌握这些直角三角形，还有等腰直角三角形，它这些特征由于这个折叠折叠话。它又是一个对称关关系，所以要掌握它的做题的方法，要掌握它的对称对称的话，它又是相等的啊，要知道它的这个考试要点。和方法。好，下面我们再看第九题，这个题目好，

这个题目主要考点是考察求长度。考点就求长度啊好，那在三角形ABC中角bac=90度。角bac它是等于九九十度的。然后AC呢，又大于a bac，长大于a bad呢，是高m呢，是BC中点，然后BC=8 dm等于根号三。啊dm等于根号3m呢，是它的中点，然后dm等于根号三求AD的长度到底是多少？这道题呢啊，有两个做法，

第一个做法呢，就是连接一下am。离am，大家知道对直角三角形斜边上的中线，因为这am就代表是中线了，就等于斜边的一半儿。是吧，就等于斜斜边的一半儿啊，所以am长度就等于四，然后dm的长度就等于根号三，那用勾股定理就可以推出AD的长度AD长就等于根号下am的平方。啊，减去一个dm的平方，这样就可以写写出它的这个结果，所以在这里面大家就可以算出等于根号13。

啊，所以就等于16-3就等于根号13，这样就写出来了，看这道题是不是学会了，是不是听懂了啊，所以第一种方法就连接am。am就是斜边上中线，记住在直角三角形里头，斜边上中线就等于斜边的一半儿啊，所以说在这里面先把am求出来。那dm是已知的，然后用勾股定理就把AD求出来就可以了，这是第一个方法，求的答案是选择c的好，那么第二个方法是什么？

另外一个方法，另外一个方法就是用射影定理。顺定理顺定要大，大家知道在直角三角形斜边上高高的平方AD的平方就等于BD乘以个CD。是吧，所以说在这里面相当于BD×CD。好，那么这个BD又等于什么呢？大家可以看BD是不就等于bm- 1个dm是吧？然后CD又等于多少CD又等于CD？就等于cm+1个dm是不是这样的啊，所以BD的长度就可以拿这个bm减掉一个dm。然后CD的长度就可以拿这个cm+1个dm，这样就写出来了，好在这里面我们呢就可以看出它的这个数值关系。

好bm，正好是整个BC的长的一半儿，因为BC不是等于八吗？所以bm就是四减去个根号三这边儿呢，就是四加根号三。对吧，好是因为cm，它也是BC的一半啊，等于四，所以四加根号三好，那在这里面大家知道四减根号三和四加根号三是不是就是一个平方差公式啊？平方公式得到就是13好，得到13以后，那么AD就可以算出是根号13这个答案选c选项，所以这是第二个解法，

就是用摄影定理来进行求解，由在直角三角形出现斜边上高，那么可以想到摄影定理。来分析，所以这两个方法大家看是不是学会了，是不是答案做对了？好，下面咱们看下第十题，这个题目好，这个题它的考点主要考察的知识点是考察利用咱们讲过的比例来求三角形的面积。求面积。啊求面积关系，求面积关系的话，大家呢，就可以用咱们前面讲过的一个燕尾定理来进行分析。

啊燕尾定理好它这个大三角形，被这些线分成了五个三角形啊，五个三角形面积呢，这五块儿分别写出来啊，就40，30，35 sy。求x值到底是多少？求x值好在这里面，大家可以看出就是y。这个三角形比上x+35，是不是就等于40比30啊？是吧，所以咱们讲过的这个燕尾钉就左边这个翅膀面积等于右边这个翅膀面积等于下面这个翅膀面积比上右边这个翅膀面积，不管它这个翅膀分为几层啊？

比如说它这个翅膀分为好几层。比如这是s1s2s3s4s5s6好就有s1比上s 2=s三比上s 4=s五比上s6，如果这段长度是。a这段儿长度是b都等于一个a比b好，把这个呃结论呢，可以记下来好吧，就前面啊，学的忘记的同学，我们看一下啊，就它。这个燕尾定理就是左边翅膀比上右边翅膀等于左边翅膀比上右边翅膀等于尾巴长度比啊，就s1比上s 2=a比BS 3比s4也等于a比BS 5比s6也等于a比b，不管它用。几层翅膀啊，它有几个那么都是这样的一个关系，

看这个是不是学会了好，我就怕有同学听不懂，所以把这个给大家进行强调一下，好这个大家知道，以后我们就可以看出这个题目。这题目就可以写出第一个式子啊，我把这个擦掉，第一个式子呢，就相当于y比上x+35比上等于40比上30。好，这是第一个方程。好好，那第二方呢？咱们再转个个儿好吧，然后再再转过转个个儿就行了，

转个儿是什么？就是这个y这个翅膀比上这个70。对吧啊，这一个翅膀，这个翅膀。啊，这是翅膀，就相当于是y比上70，70就40+30等于个x比上35。是吧，等于x比上35。然后这样就可以推出y=2 x，根据第二个方程可以得到y=2 xy=2 x带到第一个方程里面去，我们就可以算出x值。所以x值呢，

就等于一个啊，70 x=70 y就等于140，我们就推出x=70 y呢，就等于140。看这块儿是不是学学会了啊，看看是不是弄明白了啊，所以这是给大家强调的呃，做题的方法看是不是听懂了，所以这个答案就选择b选项。所以这道题大家记住什么时候用，这个燕尾定理呢？就在这个三角形里面，它被这个线分成了若干块区域。若干部分，然后再求每个三角形，

它面积的时候大家用这个比例关系求解就行了，这是第十题，给大家强调的做题方法，看是否学会了。下面我们再看一下第11题，这个题好，这个题呢，主要考点呢是考察就是分块儿，分块儿要会拼图好吧，所以这道题考点。主要考察分块儿面积方面有点像咱们拼图一样，就拼拼接组合，就p拼图，就看谁跟谁能拼成一个规则图形啊。好，

他说abcd是这个边长为二的正方形，这是边长为二的正方形，以AB为直径的半圆以及以AB为半径的两个四分之一圆，在正方形画出小面积s。s2，s3和s4啊，它让求s4-s一的值到底是多少？好，如果要把s4求出来，s1再求出来。这块可能呢，就比较麻烦，我们根据这个图形，首先看一下对称性，可以发现就是s2应该等于s3是不是这样的一个关系啊，

左边跟右边这两个左右是对称的，所以说这两个应该是相等的。是吧s二就等于s三，然后在这里面大家可以看s二加s四是不是很好求啊？就s二加s四s二加s四这一块面应该怎么求呢？用整个大的四分之一圆。减掉下面一个半圆就行了是吧？用整个大的四分之一圆好就等于四分之一派乘以r方对吧？就是四分之一。派r方。四分之一这个派r方，然后减掉这样一个半圆的面积，半圆面积就等于这个半圆面积，这个半圆的半径就是一是吧，半圆的面积半径，

它就为一好，这样就可以得到s二。加s4，它的数值关关系，这样就可以算出来，就等于二分之派好，这个求解出来，算出来等于二分之派好，然后咱们再看s 1+s三。是不是可很容易算出来，或者s 1+s二这样也行，反正你因为s2和s3相等啊s 1+s 2s一+s二应该怎么算呢？可以用整个正方形的面积减掉一个四。四分之一圆的面积正方形面积是不是就是四啊？正方形面积为四，

减掉一个四分之一圆，四分之一派乘以r方。就等于四减派是吧？所以就减了一个四分之一圆的面积，所以就是s一加s二好通过这两个式子，让这两个式子相减，是不是就可以算出s四减s一啊？所以s4-s一，然后算到算出来算出来，然后就拿。这两个式子相减，我们就可以得到它的答案好吧，所以在这里面大家可以得到就等于二分之三派。然后减四这个答案就选择d选项，看这道题是不是学会了好，

通过这道题大家学会的知识点和方法是什么呢？就是我们在遇到这种分块儿的时候，想到拼图啊。看谁跟谁能拼出一个稍微规则一点儿的图形是吧？这是给大家强调的，比如s2跟s拼s1跟s2拼。然后这两个相减就可以直接写出s4-s一的值，这样答案就写出来了，看这道题是不是学会了，是不是掌握它的方法？好，下面咱们看第12题，这个题目这个题目的考点，主要考察这个面积，还有长度之间的关系是吧？

所以在这里面好，主要考察这个面积。还有这个与这个长度之间的关系，看这个是不是学会了好如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形，中间是一个小正方形啊，这是一个小正方形。然后拼可以拼成一个大的正方形，这大的又是一个正方形，如果大正方形的面积是13小正方形面积为一啊，直角三角形较长的直角边为a。啊，这个直角三角形那么角长的直角边注意直角边这段长度为a。然后这个较短的直角边是b求a的三次方加b三次方值到底是多少？好，

那下面咱们来看一下，根据大正方形的面积和小正方面积，我们来写写好，如果假设这个边长。是c这个边长c那大正方形的面积s大，是不是就等于c方是吧？因为大正方形的面积。就等于边长平方，这个c方在根据勾股定理，是不是又得到a方，加上b方就等于13是吧？这是大正方形的面积好，然后再看小正方形的面积，小正方形面积的话。就是它的边长好，

那这一段儿的边长应该怎么求解呢？我们来看看它这一段儿长度到底怎么样？求求解好这段儿边长，大家可以发现这一小段儿这一小段儿是不是也是b啊？这一小段也是b，这整个长度是不是就为a啊？所以就拿这一段长度就是a-b，能看懂吧？就这段长度就是a-b，因为这段长度是b，整个长度是a，所以小正方形面积就是a减。b的平方，它正好就为一好，那么通过这两个方程很好解啊，

这两个方程大家自己去解解解，一解就把AB的值就可以写出来。好吧AB的值这个写出来好，那这个要解的话，那这个第二个方程可以可以可以给它进行展开嘛，展开完后就变成a方减2 AB，加上b方不就为一吗？啊为一如果这个我就不用再去解了吧，这两个方程相减就可以得到2 AB的值，然后呢，再带到里面再解一下，其实这个就可以口算出来一个三一个二。啊，一个三一个二，所以在这里面这个a就等于3b呢，

就等于二，因为这里面a要大于b啊，要大于b，所以a=3 b又等于二好，这两个方程组至于解解a=3 b=2算出来以后，它让求。求什么求的是a的三次方加b，三次方只就等于三的三次方加二的三次方三的三次方是不是27呀？加二的三次方。就等于八，也就等于35，这个答案就选择。啊，选择这个三的13次方，大家可以算成27，

23次方就得到是八，所以这个答案我们就可以。求求解出来，所以在这里面大家呢，就可以算出它的数值关系好吧，就的三次方加上的四。四四次方啊a的三次方，它这道题最后让我们求的是a的三次方，加上b的四次方。是吧，所以a的三次方加b的四四次方啊，好a的三次方加b的四次方，这个就相当于是16。等于43，所以呢，

就选择BB选项啊，好，这是给大家强调的做题方法，看这个是不是学会了，如果让求a的三次方的话，就35了啊a的三次方加b三次方，那就35。好，这是给大家强调知识点，看这道题学会没有这道题，就把这个正方形它的边长写写出来就可以写面积，然后通过这两个去联合去解解出AB解出AB那这个答案就可以写出来，看这道题是不是弄明白？好，下面咱们看一下第13题，

第13题呢，主要是考察三角形形状的判断，主要根据它边长来判断，这里有考察两圆的外切关系，而且呢，三角形。他的一个判断。对吧，一个外切好，大家知道三角形呃，它的边长，我们求到，因为它是两两外切。对吧好，这是半径为二的，

这半径为四的。好，这就是半径为六六的是吧？好，若以三个圆的圆心，比如这个圆的圆心是a这个圆的圆心b，这个圆圆心c好为顶点的三角形到底什么样的？好，大家知道可以看出AB的长度AB的长度就等于二+4就等于六是吧？然后。AC的长度就等于二+6就等于8 BC的长度就等于四+6就等于十是吧？十好大家可以发现这三边的长正好六八十六八十正好就可以推出是直角三角形这样。答案就选择b这样就求解出来了，所以这是给大家强调的，就是两圆，

如果要是外切啊外切的话，那么它的圆心距就等于它的。半径之和，这样就可以写出来答案，这样就可以求解出来了，看是不是学会了？好，下面咱们看第14题，第四题有同学呃，之所以做不出来的原因呢，就是因为它的啊，这个题没理解清楚好吧，所以这道题呢，就考点就考察求长度。求长度，

求长的话，大家这道题要用到构造直角三角形求长长度啊。好，小明测量一条河的深度，他把一根竹竿插到离呃岸边。一点五米。的水底啊，离岸边远一点五米的一个水底好，下面我给大家画一个图甲，这个是一个。岸边好离岸边呢，有一点五米。好，这个这个长度呢？就是一点五米啊，

这个小明呢？就就站在这是吧？把它插入啊，离岸边一点五米。这个地方说发现这个杆儿高呢，是零点儿五就露出水面儿，是零点儿五米啊，这个长度呢，是一点儿五米。是吧啊，露出零点五米，现在他把杆的顶端啊，这个人把杆的顶端慢慢拉向岸边，这个杆顶和岸边的水面刚好是。是齐的加，

这就是水面。这样这个就是水面是吧？好把这个杆子杆底儿不动啊，底部不动，只拉顶部，所以有同学呢，没有理解啊，这个杆底部不动。啊，底部不动，就像这个杆子这样，底部呢不动，把这个杆子呢，慢慢慢这样拉过来。啊，

就这样拉过来，学会了没有好拉过以后，那正好呢，拉完以后这个杆子跟水面儿正好是齐平的，只要这就是水面儿好吧。跟那个水面刚好是。齐平的好问河水的深度到底是多少？好在这里面大家可以发现，我们已知的一些数据啊，已知数据在这这地方就构成了一个。关键的一个直角三角形，这个红色的这个直角三角形看这个是不是学会了好，那假设河水的深度是h。啊，因为咱也不知道这个河水深度是多少，

河水深度是AH好，那这个边长就是一点儿五那这个杆子的长度是不是h+1+0点儿五啊？所以说在这里面有固定就h+0点儿五。的平方是吧？就是h+0点儿五的这个平平方就是斜边的平方，就等于h平方加上一点儿五的平方。是吧，然后这样就可以把h呢给它解出来答案呢，就可以写出来了，好这个式呢，这个很好解。很很好解，在这里面大家呢，就可以把这个得到它的这个值，然后这个就是h方加上h+1个零点二五。

等于个h方加上一个啊，这个一点儿五一点儿五的平方就是二点二五是吧？这样就可以得到h呢？就等于二这个答案就选择a选项。看这个题是不是学会了好？这个题大家之所以不会做的原因，可能有同学呢，就是题没读懂，题没读懂就导致呢，他这个题呢，就是没有分析出它的含义，然后这个就不太会做。好吧，所以在这里面大家呢，要掌握它的做题的方法和思路啊，

就是它这个杆子本来是竖竖着放竖着放，然后慢慢把它这个拽过来，斜着拽过来。啊，就这样的一个特征就是杆的底部不动啊，只把顶部这样慢慢慢给它倾斜过过来，就把这个杆的顶部慢慢给它拽过来。听到没？照过来以后，然后在杆的顶部正好哎，跟那个水面呢，就齐齐平了，就这样的一个特征，看这个是不是学会了？好，

下面咱们看第15题，这里考点主要考察四边形求面面积。好，还记不记得咱们讲的四边形面积往往离不开三角形，所以在这里面得要掌握三角形的一些知识啊，所以如图所示这个BD。和CF将长方形abcd分成四块三角形，这个def那么它的面积是四。然后cde的面积是六啊，cde面积它正好为六。则四边形a bef的面到底是多少啊？则四边形a bef。啊，所以在这里面a bef是哪个四边形呢？就这个四边形是吧？

a bef好，那要求a bef直接用整个矩形的面积。然后把矩形面积求出来，矩形面积求出来呃，然后一减，或者说拿这个三角形abd的面积减掉这个三角形面积也行是吧，所以三角呃。sab ef就可以用s3角形abd-s三角形edf是吧？是吧，用这样去解也可以啊，所以就拿这个abd的面积啊，用abd。这个三角形的面面积。abd，它的面积减掉啊edf这个三角形的面积就行了，

好，关键是abd这个面积怎么求呢？在这里面大家想想一想啊，我们连接bf连接bf，大家可以发现。这个是不是就是一个梯形？对吧，就是bfdc，这就是一个梯形梯形，还记得咱们讲过梯形的面积的啊，一个公式啊，这个前面考点级别就我们讲了。梯形的话就左右两个面积，是不是相相等的就右边这个面积是六左边面积也是六，而且我们是不是还讲了上下面积相乘等于左右面积相相乘对吧，

所以说。左右面积相乘，是不是等于一个36啊？36上面这个面积是四下面这个面积是不是九啊？就就为九是吧？所以在这里面大家呢，就可以把它给擦掉啊，就可以得到s3角形BEC的面就为九。好BEC的面为九，大家知道bcd的面积是不是就15啊？对吧？bcd的面积就六+9嘛就15。听懂了没有？六六+95好，那这个面积是15，

那这个15是不是占整个矩形面积的一半儿呀？长方形面积一半儿，那说明abd的面积是不是也是15啊？就说明abd的面积是不是也等于15好abd的面积是15的话，那么带到里面去，所以这个四边形面积由15减掉四就得到11，这个答案就选择c选项。看这个题是不是学会了，所以要掌握梯形的底心定理啊，一定要把咱们前面在讲知识点的时候讲过的底心定理，一定要记住这个考试真题里面出现了几次这个底心定理，大家考场呢就不要再推了，因为在推的。这时候这个就比较麻烦，大家呢，

就比较浪费时间。

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