06.冲刺满分10套卷精讲5

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:17:28

同学们，行！那么接下来我们就准备开始今天的课程了。首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么今天啊，我们就继续精讲一下这个，今天上午啊模考的这个第五套卷子呃，这个卷子量不是特别大了，对吧？后面只有三套卷子了。

然后这三套卷子啊，我们应该是在这个12月份呃，差不多应该是第一个周这个左右啊，我们就能完成这十套卷。呃，我看看这个时间的安排吧，因为这个时间呢，还有20来天时间啊，平铺三套卷子呃，最后一周你肯定是留下留着时间进行去复盘。然后的话差不多还有这个呃十天的，这个十来天的这个时间，然后是这个三套卷子啊，我觉得量不是特别大。就是，

所以说最重要的问题就是不是我们把所有的时间呢都放到这个模考上了，那么除了这个模考的时间之外啊。啊模考是一方面。那另外一方面呢？你要进行去复盘呢？对吧，复盘呢，一定很重要。不要把所有的时间呢，天天的话，我们进去去磨啊，天天磨，然后的话，这个所有的事情呢，没有复盘，

这不行。所以一定注意这个最后一段时间了呃，最后一段时间比较关键的一个问题啊，我觉得就三个事情，一个事情呢，当然是模考。那还有一个事情呢，其实就是复盘。然后第三个事情呢，那就是记忆公式。这三个方面呢，一定要都做好。对吧，你把这个方面。做的不好。

然后再抹做的不好，你再抹你这样效果也不是特别好，所以我上次就跟你讲过，如果这个模拟卷呢，做完了之后一定要通过这个模拟卷对你自己的这个问题啊。然后做好一定的反馈，对吧？出现的这个问题，你要及时的进行去复盘，然后这个公式啊，你是这个。嗯，每天都要看对吧？每天都要进行去复习，如果你每个板块的东西都会做，

然后做套卷做不出来，我觉得还是不够熟。啊，不是特别熟练，所以接下来我们就来正式开始吧，我们来开始看一下这个第五套卷子啊。这个第五套卷子。嗯，我说几个问题啊，一会我们再聊聊，因为我觉得这个最后一段时间的这个复习的状态，还有这个复习的策略。都会非常重要。有些同学走了好多弯路了，到了现在啊，

上次开了一次班会了之后，仍然是很多同学仍然在走这个弯路。你这样就没有调整过来呀。你比如说举个简单例子，这有同学知道旋转体体积，还有这个面积，你就知道你自己是一个问题。你还不重点的进行去刻意的练习啊，我要是你，我早都在这个知识点上，没有问题了，那不就是考了？两个破公式嘛，如果考的是这个y形的一个情况，不就是四个公式吗？

来来回回套着四个公式。那还没有进行去考这个任意轴呢，任意轴就是个微元法，我就一天学一个公式，两天学两个。然后五天就能把这所有的问题学完都结束了，你天天在这里面当中啊，他好难那个好难那都没有任何的提高。你都知道自己哪个板块有问题，你还不尽心去改，你天天在这样，我这块有问题，那块有问题，你得尽心去改呀。好了，

那么接下来我来说一下这套卷子啊。呃，这个第五套卷子啊。相对而言，比第四套卷子难度系数要大。这个难度系数其实针对是在有限的时间内进行去完成。我们放到80分钟到，这个90分钟的这个时间内，这个时间内进去就完成了难度系数有点大。所以说里面当中有几个问题呢，这套卷子里面你可能会碰到几个比较新颖的题目啊，创新性还是挺高的一些题目。尤其是这一次的线性代数计算量也挺大的，那么概率论啊，里面当中有几个题计算量也挺大。

但是这个时间内啊，进行做完压力确实大，但是如果单独的进去就抽出某个题啊，你可能觉得不难。但是如果综合下来，题目难度系数还算挺大，因为你要在规定的时间内完成这些题目，然后另外一个方面的话，就是难易的交叉的问题，我之前讲过好多遍。就是你在做题的过程当中，如果部分的题你浪费了大量的时间，请你稍微的进去去跳一下，然后再回过头来再来进行看这个题。你不要在那个题当中太轴对吧？

浪费了好多好多时间，然后最后时间就来不及了。所以这个第五套卷子啊，相对这个呃，第四套卷子还有这个第一套卷子难度系数要大。考了好多次了，我们现在考的这个次数可不少了，你看这是五次。然后内部卷四次。然后再加上二一年卷子，二二年卷子，二三年卷子，这是三次。总共考了12次试了啊，这个量啊已经比去年我们去年就开了一个冲刺救命班的课程。

那这个冲刺救命班的课程呢？最后我们也就呃磨了这个三套两套真题，然后磨了三次考试，总共加起来其实就只有这个五次考试。那么，今年我们这个量是变大了很多。而且我们从课程的角度上也跟同学们讲了好多好多问题，那么现在最重要问题就是最后一个阶段的一个复习方法。我再稍微进行讲讲。对吧，有些同学可能呃今天听课啊，重点想听这些错误的题目，稍微等会儿，我把这个事情我得多唠唠。这不是一件小事。

你再走一次弯路啊，你就来不及了，我再说一遍。比如说今天模考完。模考完。呃，如果你今天有模考，你就做模考。你要注意，每天当天的这个时间呢，有模考的时候你就进行去完成模考，如果没有模考的时间。请你进行去复盘。有些同学就没有什么事做，对吧？

你要进行去复盘。这就是我们要做的事情。而且现在的复盘呢，跟我们以前的话，这个基础阶段还有这个强化阶段的复盘不一样。你要注意你的复盘，你要有优先级的。你的优先级是你的什么？是你的痛点。这是优先级，还有什么东西呢？你经常容易出错误的问题，这些错误的点要有优先级的。你不要又是从这个极限开始，怎么怎么样极限复习的贼好，

你后面痛该痛的东西还是痛，你不要再逃避了，马上要考试了。很多这个什么你比如刚才一个同学说旋转体体积。男你应该加个双引号。它真不难。它真一点都不难，你还在说这个东西难呐，有点不好意思了，对吧？你今年做这个题，有些同学都能做到三四十道，这种题四五十道，这种题你到了这个今天你还是不会做，你一遍两遍调整下来。

你早都没有问题了，那说明这个学习方法已经出现了大量的问题，还有这20来天时间，你再走一次弯路考研了。现在在考试之前呢，我们还能调整过来。你再不调整，马上就要考试了。所以有的这个这个学习的这个问题啊，这个很大，你得把它进行去，尽量的进行去调整过来，你要找到自己的痛点。把这个错误的点，你这个部分才是优先级。

我举个简单例子。呃，不要再从这个极限开始了，有些同学。极值的问题，最值的问题，凹凸性问题，旋转体体积问题，这些板块的东西啊。旋转体体积难是因为初中数学没学好，你在那扯啥呢？对吧？你现在这个问题又开始开始找理由了，对吧？我前两天发现一些同学。

啊，这个同学的话怪说什么啊？我我笨对吧？我这个数学没有天赋，都开始这样了。我都不说别的。呃，这两天你看到那个早晨那个早安博呃，前天还是昨天是全国大学生数学竞赛？全国大学生数学竞赛，然后的话，这个公布这个成绩的时间。公布这个成绩的时间，你去看看好几个同学，但这两天我没有发这个，

其实公布的这个有来报喜的同学很多，包括的话，我们上课的时候有好多同学。拿全国一等奖的，拿全国二等奖的，有专升本上来的。有二本学校的一些同学对吧？拿到这个全国一等奖二等奖，那这就是一次证明，这跟这些东西有什么关系啊？跟你高中的这些数学有什么关系啊，到了最后啥问题都找理由，你再找理由要考研了，有些东西真的是让人感觉到非常的着急啊。所以希望大家把这个相对的东西啊，

能做到位啊。所以说一定注意这个问题，把该做的东西啊，要做到位。对吧，你不要在这一块当中，还找理由，再找理由去考研了。所以一定注意。就是你在这块当中，你先找痛点。对吧，你先找痛点，你自己哪块痛你比如说我旋转体体积不好，你要每天复习。

每天都要复习，像这种题，每天都要做，先把这个知识点的东西。啊，知识点的东西，先把它复习，复习完了之后，然后你这块痛是吧？找上个十个题。接下来的十天，每天做一道。请注意一遍，不够，然后第二个十天做两轮。

我说清楚吗？这个方法非常的好，有些同学实践起来提高度非常的大，其实我们这个部分考的这个题难度系数真不是特别大。你稍微的花信心去努力一点，你早都把这个东西处理清楚了，我再说遍一遍，不够你再做两遍。我为什么让你做两遍，很多人说那我第一遍做的做完了，这个题有些题目我都做过了，我还要做两遍吗？你还在这说这种话。再说这种话，你想想一个事，

如果你在今天的模考的时候，你把我们基础阶段强化阶段，我所有讲的题你都会的，你看看你能不能考到？顶多错一两个。顶多错一两个。每天的话，过程当中考完了都有很多同学来跟我进行去。有啊，从这个。班上有几个同学嗯，有有这个什么这个每次经常的话给我汇报的，有的话这个隔两次汇报的。啊，这很多经常的话都有同学来跟我进行汇报成绩，

只不过呃，最后一个阶段了嘛，对吧？你复习的好，我们就再接再厉，你复习的不好，你更要自驱啊。所以希望大家把这个相对应的问题做到位，你就进行去找上个十个题做两轮。那关键点一个问题，有的同学说这个题，这次错下次错下，下次还错，同一个题还是错，你这样复习肯定不行。

所以注意有模考的模考，没有模考的时间进行复盘。那么后面还有三次模考了，我后面可能把这三次啊，时间再呃再进行去分开一点，我们可以差不多是。三到四天摸一次。这样的话，可能稍微的话，这个节奏更慢一点，还有三次了，你珍惜这三次啊，当然有些同学可能还会做一些别的模拟卷了，你也可以。对吧，

所以说希望大家注意，有模考的就模考，没有模考的不是说没有事情做了，你复盘呐。所以捡着痛点要多复盘，然后捡着易错的东西要经常复习，你听进去我刚才说的你，比如说你的痛点是旋转体体积。极值最值凹凸性拐点和渐近线曲率对吧？还有一些同学的话是方程根的问题，有些同学是连续可导可微的问题。有些同学是多元函数极值的问题，有些同学是线性相关性的问题，有些同学是这个期望方差协方差相关系数的问题，这些东西找。

对吧，每一个板块找上几个题，然后做两轮。所以一定注意这个问题啊，把这个该做的东西啊做到位。数学啊，其实你走到现在的话，很多板块的内容，你该做到位的东西，如果你及时的调整，早都把这些漏洞全补完了。你还在等一次考试，等两次考试，等再等要考试了啊，别再等了啊，

然后接下来我再说一下这个模考。我上次就讲过。如果是错的题。对吧，比如说我们从这个卷子，比如说我错了八个题，我上次就讲过第一个题，第二题，第三题，第四题，第五题，第六题，第七题，第八题好了错了八个题。那错了，

这八个题你要干什么事情呢？你每个题要分析啊，比如说这个题哦，小知识点。小知识点，那我就把这个小知识点给整理出来，整理到自己的笔记本上。如果这个题就是这个题型，不会就是我刚刚说了，比如说旋转体体积不会，那这是大问题啊。大问题得找到强化讲义，找到这个真这个什么，我们的冲刺班讲义或者基础讲义，先把这块知识点再复习一遍。

你看看自己能不能独立自主的把这个东西给讲出来？费曼学习法呀。对吧，你看看能不能讲出来？你给自己就像我上课讲这个给你进行讲旋转t tg一样，你能不能给自己讲出来？你讲出来之后。这就算会了，那会了之后，然后再找上四五个题进行刻意练习，你看看。不要谈新题，没有什么新题。啊，天天都是新题，

你发现内核都一样。你说明那个东西就没有学通，我记得这个今天下午我在讲这个。呃，讲这个数一数二数三同学的这个冲刺课的时候，我下午就讲过这个问题，对吧？你发现一个事，很多人这个说这个新题的问题，当然我们这个难度系数的题可能不是特别的大。对吧，不会考的这么大的难度系数，所以有些的话，这个部分的内容。也不会说考的这个什么，

你像中值定理的这么的难的东西，所以一定想清楚我们的核心重点。就是把我们的这些考点部分的东西你做到位，他怎么变都是一样，怎么变都是一样。有的见了一些没有见过的题啊，就不想做了，其实你分析分析内核都是一样，你去看看那些学习好的。数学题是做不完的。做不完的，你再怎么做，你还有更好的题，你再怎么做，还有更新的题，

你再怎么做，还能改变的题，你做不完的。所以你要把你自己的这个东西搭建起来，如果这个知识点。出错了对吧？小知识就整理出来，大的问题，你得把那块知识点复习到位，然后再找几个题刻意的练习。每一个板块都这样做，另外一个事情，如果超时了。超时了，你要分析你要刚进行去考完，

你要进行想。对吧，刚考完，刚考完的话，你就要继续去想诶，我刚才在哪些部分的题目当中浪费了大量的时间？对吧，我在哪个板块浪费了大量的时间，是不是这个部分我特别的不熟悉啊？好了，不熟悉的这个部分。浪费的时间也需要进行刻意练习。如果是什么呢？哎，这个题目这个题目很难，

然后在考试策略上浪费了大量的时间，下次要注意。你做一个题，比如说四五分钟都没做完，那赶紧跳过去。等回过头来再来看。好了，我们就不说了，你现在这个阶段呢，每个同学。这个问题点都不一样。所以该做的问题，我说了好多次了。你没有课的时间就复盘。有课的有这个模考的时间就进行去模考，

模考完了之后要好好进行总结。啊，所以说希望同学们好好进行去啊，把该做的东西啊，做到位来继续吧。好，那么接下来我们来看看这个第五套卷子。啊，讲了这个模拟卷，今年讲了很多了。那么，这些东西你要是从。第一次你就开始这样做，你找到没有任何的问题了。还有20天时间，

还来得及。到十天的时候。有的时候就会很紧张了。还有20多天的时间。还有可以花费两个周的，这个时间你还可以再走一次。你要是还有十天的时间，还有一个周的时间，那就不太好办了。所以希望大家好好进行做啊，来那么接下来继续我们来看看这套卷子。那这套卷子啊，它说呃，第一个题啊。他说这个函数是一个可导的奇函数。

对吧，这是可导奇函数。然后这个f撇零是一，然后让我们求这个极限。那拿到极限怎么办？你先定型啊。那我们来定一下。一定的话，这是一的零是一，然后这个部分是零，然后这是无穷大，所以说这是一的无穷大，不一定是。如果到了这个今天做一的无穷大未定式，还在凑重要极限，

这种题肯定废了啊，你做的太墨迹，答案就等于多少一亿的这个极限符号照抄。然后这个头顶部分照写就是x方这个分之一照写，然后再来抵减1x方，再怎么加上一个？零到多少呢？x然后这是ftd t，你再来减几减一好这个结果，然后接下来我们继续。那这个极限怎么做？你稍微的进去去瞅一瞅。你把这个部分你望过来一下，你看这个部分。那这个部分看得非常清楚。

你这是二阶，你这是二阶，那所以说这个极限就是存在的呀，那存在的话，我们就可以把它拆出去，那拆出去了之后的话就是x方。e的s方减一，然后再加上limits趋向零，然后这是s方零到s。fttt.是不是这个结果，然后接下来的话，这个极限就变成了一，然后再加上那这极限怎么做？你下面是零，

上面是零，那你就落必达。一落的话，当s趋向零的时候是多少？这是2s，这是fs。那怎么做呢？其实有些同学在这个题目当中又一次洛必达，其实是有问题的。呃，是有问题的，因为只知道可导，只能知道fs连续，不知道导函数连续，但是其实你这样做你也做对了啊。

这是运气好。然后因为它是个奇函数。奇函数f0是零。所以说这块当中啊，你只能进行去凑导数定义，一加上二分之一，然后这是limits趋向零。这是fs减去个f零，比上这个s减零，所以说这个结果等于一加上二分之一，这是f撇零。那这个结果出来了，你看这是二分之一，那f撇零是几那是一，所以等于e的二分之三次方。

好了，这是这个题。那这个结果的话就出来正确答案选几啊选c。好，这个问题。呃，这是我们讲的这个第一件事。我再说一遍，不要在同一个问题上。这就是不长记性了。你同一个问题上。你说你出错一次吧，那按理说第二次就不能再错了，你一个问题上出错十次，你说你这咋行啊？

你要会学习啊，你不然的话，那样你怎么学都不太好了。好了，这是一种当然的话，这个题的话是抽象函数，你还可以怎么办？你可以取特例啊。你可以举一个在零处的导函数是一。然后是奇函数的特例啊。那你可以取多少？你告诉我可以取几，你就可以取x。s就是个奇函数，然后它在零处的导函数就是一样，

举的越简单越好，那这个题目其实就变成了。x趋向零，然后这是e的x方，你就直接把它积出来了。那这是t那就二分之一多少x方就这个结果平方分之一，那所以说这个结果就变成多少一的无穷大，当然等于e的这个极限符号找超。头顶倒斜底减一，你减个一，然后这是二分之x次方，那这个时候你看哎，这个结果它是一。然后再看诶，这个结果它是二分之一，

所以说这个结果等于几，这个结果就等于二分之三。好，这个答案，所以你看我举了个例子，它等于一的二分之三。那所以说他肯定的话。a就不对e就不对b就不对d就不对，那只能答案选几啊，你只能选c。好了，这是这个问题，那举例子能排除排除了四个，那最后一个肯定是对的啊，这个策略性问题。

那么，接下来继续我们再来看这个题。那这个题跟它是一个同阶无穷小，两个东西是同阶无穷小，那我可以把这个人的等价找到当x趋向零的时候。一的I三次方减去一的三的三次方。这个题有些同学呃，这个题做的不好，做的不好的点在何处呢？立方差公式给忘了。你看看啊，两个做差怎么办？拉也行，提后面也行，你就提出来嘛啊。

提出后者一提啊呃，我们就不用装对吧？这也不是装，我们就提后者就行啊。所以说这是x三次方减去3x三次方减个一。然后接下来我们就继续看。你发现这个前面这个部分。e的零是几啊？e的零是1e的零是一非零因子可以淡化。然后再看这个部分是0e的框减一等价无穷小框，所以说是三次方再减去这个三次方。那然后这个部分怎么做呢？那立方差公式啊，立方差公式的话就是a-b。然后这就是a方，

然后再加上一个AB。然后再加加上一个多少，再来加上一个b方。好，这个结果那么所以说这个问题啊，就做成这样了。对吧，你使用一下立方差公式。使用一下立方差公式了之后，我们就继续看。那接下来怎么办？你就坐到这了。可以了吗？好了，不说太多的事了。

那这一块当中啊，你就可以怎么办？你就可以使用六分之一x三次方就可以等价了。那关注点是后面。后面这个部分怎么办？河曲d阶。大家想想，这是个体积啊。这是个几节？你回答我，这是个二节二节二节这块知识点，复习的太差了啊。那所以说你这块当中的话，你就要想清楚。你这三个人都是二阶，

三个人都是二阶，是同阶吧？我原来讲没讲过这个问题，如果它等价到最简的形式。等价的最简形式不能相消，是不是可以直接等价？我有没有想过这个问题？你看这个结果，所以说这个板块的内容就变成多少，那就是三那就二分之一s几次方。五次方那所以说这个题的正确答案选几啊，应该选b。你看这个题，如果是同阶无穷小相加。等价到最简形式不能相消的时候，

立即可以等价。你看这块知识点呢？我发现这种题，你要放到强化做你。咔咔的秒了，对吧？啊，秒过来秒过去都能秒了。做到这个今天呢，这问题点又变大了。好了，再来看第三个题。有没有同学上来的话，连着三个题都没做出来呀？这问题就就麻烦了，

但是还来得及好好改正。来再来看第三个点。那这个题的话说，这两个部分都不存在。然后题目当中说是家。是减那这个东西的关系是什么呢？我们其实要判断两个相加，两个相减的关系，但是知道的是xn。而这个题目的话就很容易了。你SN的话，这个部分你就不就等于这两个东西怎么办？你看你这两个东西加一下。你加一下了之后的话，就是这两个部分。

你两个e相。两个一加的话就变成了。再来乘个二分之一。那是吧，就是这两个人之间的关系啊。然后再来看，那如果是这个yn呢？那就是两个相减呗，那SN+yn。然后再减去个sn-y。那这两个东西相减，然后再乘上二分之一。那我明白了。也就说这个题目当中告诉什么？那这个结果是不存在的。

这个结果是不存在的。也就说这个题目当中告诉什么，它就告诉了SN+yn。这个部分怎么办？加减上xn-yn。这个结果是不存在的。能想清楚啊，这个结果是不存在的，那就可以做了，我们都知道存在加减存在是存在存在加减，不存在是不存在不存在加减，不存在是未知。那你想想，我们先看第一个。如果告诉我们他这个人存在。

那这个部分呢？一定是不存在。因为存在加减，存在是存在只能加减，不存在才能是不存在，它一定不存在，所以如果你不存在它。它一定不存在。这没问题啊。然后接下我们看，如果你存在，它一定存在，那不一定，如果你存在。那这个部分一定是不存在呃，

这不对，这不对。好了，我们再看d。诶哦，你是不存在，我看错了。啊，它说的是不存在，不好意思。它不存在。那不存在的话哦，它说不存在。如果你存在另外一个丁不存在啊，他说的是不存在，

那如果你不存在呢，那这个呢，一定是存在。对吧，一定是存在，不一定。不存在加减，存在是不存在。不存在加减，不存在也能不存在。所以就说不清楚了，这不对。不存在加减，存在是不存在，不存在加减，

不存在也是不存在。好了，这是这个问题。然后再来看看这里面当中的d和e。那d和e当中，我们就继续看娱乐自己复盘哦。这是基础班的内容。啊，这块内容好了，我们继续，我们再来看看d选项。那两个相加当中，只要有一个是存在。你想，比如说我们如果是你是存在。

你就不能存在，因为存在加减，存在是存在，你必然不存在。所以两个当中，只要有一个是存在，另外一个一定不存在答案选d。过去了吧，所以说像这个问题啊，把它想清楚。好了，这是我们讲的这个问题。分析清楚吧啊，这个题不难啊。其实最干呃，

这个最重要的是第一步。对吧，最重要的是第一步。就是你发现如果这个题告诉他是不存在。不存在加减，存在是不存在，不存在加减，不存在也能不存在，也可以是不存在，所以说这个部分呢，你就说不清楚了。啊，这就说不清楚了，所以a选项不对。但是如果有一个人是存在的。

存在加减，存在是存在不可能，只能是不存在。所以说这个题啊啊，答案就选择几选d。那比较关键的是d选呃，这个第一步就是你要注意这个题到底在研究什么，研究的是加和减之间的关系。好，再来看看第四个题。看看这个题，这个题啊，有点骗人。呃，看起来这个题不难，

但是有点大骗子。有些同学可能这样做。说我以前也做过这个题啊，那么求导呗。那求导就是先对这个中间变量求导。对吧，然后这个中间变量再求导，这是f撇fs，然后中间变量再求导。可不可以呢？可以。这样做是可以的。一层一层的剥。但是这样做的话，你还得继续去求，

你得去求什么呢？可以这样做，就是你得进行求这个导函数。你而且还得继续去求ffs。你还是得求这两个。你想是不是？我还得进去求导函数。你而且还得进去求这个复合函数。反正能做啊，也不影响你就慢慢做就行了。那你就把这个复合函数求出来呗。那这块f那ffs是什么呢？就用fx。这个部分去替代这里面的s。你替代了之后的话，

其实就是s比上根号下一+x^2，然后这是根号下。一+x^2比上一+x^2。是不这个结果，所以说这个部分呢？它就做出多少呢？那就做成了这个是x，然后这个乘下去就是一加上。二倍的x方。好了，这是这个问题。最后一个是零是吧？好了，我们继续看吧。所以说这个结果就做成好好听吧，

听思路听思路，把思路点听清楚啊。好了，那么接下来我们就做到这。对吧，那么这个结果就把它写到这。啊，写到这了之后的话，你如果看到这个部分是零的话。如果你看的是零，那你就直接算了啊，但是你还得先算一下啊，结果发现是零，那这个题有点有点巧合了，对吧？

那行吧，你把这个什么把这个零一带进去是零那这个那这样做就比较简单，那这样做比较简单。好了，我们看看吧，这个题那就把它算一算的话，只是g撇零。然后这是多少呢？这是f1撇结果的话，你发现这是f0那f0是零的话，那就是零。然后的话f0是零，那f0是零，那这又是零，那最后一个部分呢？

又是一个f撇零，那这样做可以？那这样的话就比较简单。就是如果这个题啊，它这块不是零的话。比如我们稍微改一下，我让你去求一处呢。啊，这个题出的比较简单了。如果这个题我出成一处呢？你就要这样，你就要继续去求下这个f1，你还要继续去求下ff 1，对吧？你就要继续去租。

但是其实这个题也不用啊，你可以把这个f1求出来。对吧，把f1求出来f1求出来之后看一处等于多少再来进行求f，这样做可以哦。好，没有问题。啊，第一种方法，那这样就仅限于去处理了，然后把这个导函数算出来。导函数算出来就直接带了。其实这个题我想说一个什么问题呢，你看这个题它是有规律的。就这个题的话，

你这是fs。如果你在弦套以下这块是不是变成了二？如果你再继续去闲套一下呢？你再先套一下。它这个部分呢，其实就变成了根号下一+3倍s访问。就这个问题。所以说这个结果它就是这样。你想得清楚啊，它这个具有这样的一个特点，所以这样你这个函数是能够具体化的。就这两个部分的方法都是可以的，然后这个题的话，你就进行去算这个f撇s就行，你这个就算这个gs就行，

你把这个f撇s算一下。你一算的话，就是你下面部分的平方是一+x^2，上面求导乘下面，然后再减去下面求导乘上面。你下面求导的话是二倍的根号，下一+s^2，然后分之2s。然后把这个零呢一带就行了好，这是这个题，然后下面这个题呢，你就再进行求一下就行，那这个题的话，你就直接进行求这个基导。然后下面部分平方是一+3倍s方。

然后上面进行求导。上面进行求导，乘下面根号下一+3倍x方，然后再减去下面求导那下下面进行求导时二倍的根号下一+3倍x方。分之6s再乘上上面。好了，这是这个结果，你把这个一做，把这个零一带就行了。啊，这两种方法都行行吧，你自己下去试一试吧。这个题你要琢磨一下，这样的一个关系就行。好这题啊，

听明白的给我回复一。不是难题，符合函数求导嘛，这肯定是拿下来的。来再来看看这个下面一个题，第五题。再出这个题。那这个题啊，考了一个事情，考了什么呢？考了这个函数，在这个零处是可导的。啊，就考了分段函数，在分段点处是可导的。

那可导的话，这个题目当中有两个参数，这已经做烂的题，第一个先干嘛？你先用一下这个函数怎么了？在这个点处是连续的。先用下连续。用一下连续了之后，你就来看看。那这个左极限是多少？左极限把零带进去，那其实就是一。对吧，这是零，这是一，

这是一，然后的话，它的右极限是多少？那这是零，这是零，那这块是b？那该点值也是它那b就出来了，那b出来的话，你赶紧把这个量排除。好，这个结果，然后再看左右导数存在，且相等啊。你先看看这个u导数。然后再来看这个左导数。

我们先来看看这个诱导数。右的右导数多少呢？x方加上ax+b，该点处的函数值也是b比上x- 0，然后再来看看这个。啊，左边左边的话是es，然后再乘上sins，加上coss。你再减去这个b。哦，这个排除不了排除这个。那么，在这块当中啊，你就看BB这个结果是一啊，

所以我们再减去一比上s- 0。所以你看看这个上面这个极限，上面这个极限的话，两个机器去一约一约的话，就是x+a，它就等于a。好，这个部分，然后接下来我们就继续，我们再看下面这个。那这个极限怎么做呢？你是a就说明他也是a，我们就算一下这个极限，那这极限怎么办？你来观察一下，

你看这个部分。当s趋向零的时候，这时一一减一是零。你如果实在看不出来的话，你就落个必答。啊，就不用等了。啊，不用在这墨迹，然后的话就是前导。后面这样不等。然后再加上什么，再加上前面不导，后面来导cosine减去这个sine。好，

这个结果，然后接下来你看当s趋向零的时候，那这是一。当然需要零的时候，这是一那这也是一，所以说这个结果是几啊，这个结果是二。那所以说这个a等几啊，那a就等于二。好，这个题呃，当然你可以用导数极限定理啊，其实你还是要进行求导，其实速度这方面是差不多的啊，这个影响不大。

如果在考试当中啊，你用的不好，你就用稳一点。稳准狠的做就行，你先用一下连续，然后再用一下导数定义就行啊，考的不难的。一个是a12，然后b11选c。好了，这是我们讲的第五题，那么再来看看这里面当中的第六题，第六题应该是非常容易的一个题了。那你先看他说这个函数是一个可导的偶函数，给了这个极限，

同学们告诉我这是几处的增量。几处增量，因为你发现这个函数是可导的。那说明在一处的导数是存在的。那一处的导数是存在的，那这个太容易了。我们原来讲过，包括21季里面当中，我们是专门写过的。我把这个知识点呢，再跟同学们稍微的进行去唠一下。好，我们再来看看。你就可以直接用这个结论，对吧？

把这个结论呢？用出来就行。你看这里面。我们都知道，如果是双动点动点动点双动点是无法推出可导的。但是如果是可导的，这个双动点可以用结论。那上面做差里面做差刚好是a-b，在这补一个a-b这块有个a-b就是a-b的导函数。所以说这个用这个结论呢，非常快，已经知道可导了，我们来走这个上面进行做差，里面做差是几啊，里面做差是三补一个三，

这是三。所以说是三倍的，一处的导数，它等于六，因此啊，一处的导数，它就等于二。这要会做。那么，只能得到一处导数，但是我们要进行去求什么？求负一处的法线斜率。负一处法线斜率等于负的f撇，负一分之一。那再来看你这个是偶函数啊。

偶函数说明导函数是什么？导函数是奇函数。导函数是奇函数，导函数在负一处时等于负的f撇一。那所以说这个结果是等于负二。那这个等于负二的话，这个结果就是等于二分之一啊。所以，正确答案选几选d，有些同学可能选到c了。啊，你把这个注意一下，你做题稍微小心一点，你看这套卷子啊。也没有想象那么的难，

但是前几个题啊，可能对很多同学这里面当中啊，有坑啊，你稍微的避免一下。好了，我们继续，我们再来看。第七个题切线方程。那考这个切线方程呢？你先看看这个点在不在线上？这是零，这是负一，这是一，在这个线上。所以说这块的切线方程就是y=- 1，

然后再加上零处的导函数，然后是x- 0。那这个题很简单了。那么现在我们就要进行求导隐函数求导呗，那就是前导是一对吧，然后再来进行导的话是它，然后这个部分导的话是二倍的。它然后中间变量再求导呢，是2s它求导那是二二倍的y，再加上2s不导它来导，然后这个结果等于零。那然后接下来把这个什么呢？把这个x=0 y=- 1啊代入进去。带进去了之后的话，你看这是一+y撇。

加上y撇的话，这是零，然后再减去个几减去个二，那这个结果等于零，所以说这个y撇等于几啊y撇等于一。那这个点处的导函数等于一导函数等于一啊，这是y=- 1那，然后再加上多少加上s，所以s- 1。选b呃，这个题啊，没有心机啊。毫无心机，这应该是卷子当中啊，顶简单的题了。

这种题错了，你肯定被拉分了。所以要坐稳一点。把常规题型呢，把它拿下来，好我们再来看看第八题。那第八题啊，我相信我们班同学应该非常的熟悉了。你看这是a处置。这是b处值。然后呢？这是二分之a加b处置。然后是它的一个积分，这题考什么考了阿达玛不等式。那阿达玛不等式，

我们对谁用呢？那其实我们就要另一个函数令这个fs等于多少等于s倍的ln。那么然后我们进行去研究的是a点和b点。那a点和b点的话都是大于零，我们只要研究这个大于零部分。那接下来我们进行求导，你先求一阶导。那一阶导的话就是前导后不导前不导，后来导那这是一，然后再进行求两阶导，那这是s分之一，它大于零。那这个部分是凹的，有些同学可能阿达玛不等式就记住了，有些同学没有记住，

你可以稍微的进去就画条线，你大致的看看。你随便画，比如说。是这样好，然后我们随便的选一个点。这是a点，然后随便选一个点，然后这是b点。那这个时候连接起来。好，我们先看看最大的梯形，那最大的梯形就是上底fa+FB。对吧，乘以高，

除以二。好，这个部分，然后它大于谁呢？大于这个曲边梯形，曲边梯形是a到b的定积分。然后再大于谁，再大于下面还有一个小梯形，小梯形就是过这个点做切线。那过这个点做切线的话，它刚好其实就是中点处置。啊，终点图纸。那这个终点处的函数值就等于上底加下底。除以二那所以上底加下底，

除以二其实就是f二分之a加b，你再乘上高b减a。好了，这个结果就写成这样，那所以我们就可以得到了，你得到这个结果，你可以把这个b-a除过去，那我们就可以写了。那这个部分是多少？是a倍的lna？然后再加上b倍的lnb。我再除一个二，我就大于多少b减a分之一，然后是a到bx倍的ln sds。然后再大于多少，

再大于这是。s倍的把它带进去，二分之a加b，然后是ln二分之a加b。那这个结果就做成这样了，那所以说这个题就变得非常非常的简单了，我觉得这种题啊，都不用多想啊，直接是可以秒的题。那现在呢？你看那这个部分比什么东西呢？比这个。这个部分大诶，它是对的a是对的，然后c就是不对的，

你相等也不对。然后再来看看这个跟定积分，那这个二分之a加b它应该是什么？它是小于这个定积分。然后是这个二分之这个a+b，它应该是什么？它应该是大，你这个也不对，你选a，所以这个题啊，比较容易的一个题啊。那可能没有见过你，就会觉得这个题比较难了。如果你见过这个阿达玛不等式啊，已经考过好几次了。

好了，我们就讲到这。那这是我们讲的第八题。不要骗自己哦。你这个阶段呢，你不要骗子，有的蒙对的，你蒙对了，就要当做成不对的，然后来办。有的同学因为我们题全是选择题。有的一些题做对了。然后其其中当中啊有三四个题是靠运气的。然后考完了之后的话，贼开心，

那有什么好开心的，你复习的过程当中，你错了就错了啊。不用骗自己，你把这个点没有想到，你就要继续去下一次，想到好了，我们继续，我们再来看第九题。好，再来出这个题。那这个题啊，又考了方程根，那方程根的问题都不用去想，赶紧先设函数，

把这个函数先设出来，那其实就是I三次方。加上a倍的s方加上BS+c。好，这个结果那然后的话，这个部分的s是属于r的，那赶紧进行求导呗，看单调性一求是多少？是4 as加上多少？这个部分。它是要进行求导，是三倍的x方，加上多少2 ax+b？啊求导，导完了之后，

我们想看看这个东西的注点，但是这是一个一元二次函数啊，一元二次函数，我就赶紧进去去看看德尔塔到底有没有注点？那求呗，四倍的a方减去12倍的这个b。然后把这个四提出来之后的话a方减去3b哎，这个东西小于零哦，没有交点。没有焦点，这个东西就很简单了。你想想开口是什么？开口是炒伤，然后没有焦点。开口朝上没有焦点，

那就说明什么？说明这个东西永远都大于零。f导函数永远大于零，你永远大于零，就说明fs永远单调递增。那你既然这块你永远单调递增，你有几个焦点啊？要不然就没有，要不然只有一个，所以说这块当中这些问题赶紧排除。你不能说选a或者选b，所以接下来不一定啊。不一定是一个，应该是至多有一个，那所以接下来我们还要进行求极限，

那请告诉我当s趋向正无穷的时候，极限是多少？你正无穷的极限，你肯定是进行去重点看这个呀。当s趋向正无穷的时候，正无穷，然后接下来再来看当s趋向负无穷。那负无穷的极限是负无穷啊。那明白了，你正无穷是正无穷，负无穷负无穷，上去那就是一个所以正确答案，选几选b啊？好，这种题千万不能再错了啊，

这种题比较简单，第九题再来看看下面一个题，第十题。这个题啊，是我在暑期过程当中啊，讲的一个题。我们说啊，这个后面我们可以在按照这个东西的思维方式啊，再出一个题，你看就出的这个。那这个题说你是它的原函数，赶紧写你的导函数等于它。想清楚了，你在考试当中啊，不要犹豫，

你先写，有些同学喜欢分析。人家都做了，后面了，你就分析人家又做了，后面了，你还在分析，你见到什么进行去写什么，然后在做的过程当中慢慢进行调整。然后接下看。你要知道这个东西是对应法则吧。这个东西是对应法则，我们就可以往里面带了，你要的是2 t-a。你要的是2 t-a，

你可以怎么办？你可以换个圆。对吧，你可以把2 t+a进行，换个圆。这是一种方法，你想换的就换，你不想换的就直接来，所以有些同学可能走这条路线，说这块当中啊。是a到x。然后这是f多少？这是2 t+a，然后dt那可能在这里面当中换个圆，这很好啊，

对吧？你换成多少呢？你换成u。你换成优了之后，你看t。t的时候这是a那这a的话，这就是3a，然后这是2 s+a，然后这是多少？这是fu。你要注意这个dt呢，你dt这个结果等于二分之一。du好这个结果，所以就做成这样，那你的原函数是谁？

你的原函数是fs。你就把什么你就把三a二x加a带进去，所以说这个结果就是二分之一倍的大f。2 s+a，然后再减去f3a。啊，这个结果好了，这是这个对吧？你这样做可以，你不换也行啊。这无所谓的，你换不换都可以，你比如说有些人说那老师我不想换，那不想换也一样，你都能做的对，

那在这块当中的话，这是a到s。然后这是f多少2 t+a，然后dt。你就把这个x用什么呢？把这个s用2 t+a表示那x用2 t+a代这个什么替换替换了之后的话，这还不是2 t+a吗？这是d题，那我们都知道f框得对框进行积分呐，你这是f框。你是不是要d框，你就要补上二t加一那这块来个二分之一，所以说这个积分结果就是二分之一倍的。二t加上a，然后把a和s带进去，

所以说这个结果是二分之一，这是f几呢？f二s加a，然后再减去f三a。啊，这个结果，所以这个操作性难度不大。对吧，方向性把握清楚就行。好了，这是我们讲的第十题啊，不妙啊，普普通通掀不起内心一丝波澜。能想清楚吧。好，

这个题再来看第11题。那11题这个题啊，那就非常容易了。你想想这题考什么？那积分线相同，被积分函数不同。那不就是想考这两个被积分函数大小吗？而这两个被积分函数的话，分母一样，只需要比较分子大小。所以现在我们的核心重点就是来进行去比较零到一的时候，这两个分子大小。那这辆分子大小是什么呢？我们来大致看看。然后这是y这是零这是x。

你发现这是一个x这条线。然后这条线是l音。一，加s。这是s这条线，然后紧接着这条线是谁呀？这条线是es- 1这条线。好了，这个情况那么现在我们来看看，这是一。那很明显的话，能看到这个es- 1，它是大于多少ln 1+s？那我比你大，我除一个s肯定也比你大，

所以说这个I是比j大的。但很尴尬，这个里面当中还有个意见一。e- 1，e- 1怎么办呢？没有关系，你把这个连起来。你看这条线，这条线是什么？这条线就是一减一乘s。是不是这条线现在我们不要除一个s嘛，你就除过去，那你除个s你就大于多少一加上这个东西除s。这就小于多少一减一。那你积个分呢，

你积个分是一减一，你积个分呢，这是I你积个分呢，这是j所以说这个题的结果是多少？一减一大于I，大于d答案选一。可以了吧，第11题。不要再出错了啊，这种题目。好了，我们继续，我们再来看看第12题。12题这个题这个题啊，有同学做的不好啊，

这个题。就这个题，你想你想想。嗯。出题的点呢？怎么知道es减它的？你怎么不知道的？你去问问班上哪个同学不知道啊？你把我问问蒙了，对吧？我也不知道怎么去回答你。怎么去想到你可以问问班上同学，你看看有哪个同学他啊，想不到。你看看哪个同学想不到。

好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。然后再来看看这个第12题。12题这个题啊呃，其实考的不难。你发现你把下面这个部分。你换一下。你一换这个什么，你整理一下，就是一减去x减一的平方。然后这个题目当中啊，每一个部分都有多少呢？每一个部分都有s- 1。都有一减s。

那都是一减ss减一的方跟一减s方没有什么区别，你就把它写成这样。那这个时候我们就做一个一减s等于t的换元。一个换元，这题就结束了，然后这是多少？那在这一块当中，这是一那就是零，这是二分之一。那接下来我们就继续再来看，那这是t，然后这是多少？这是阿克塞因t，这是根号下多少？一减t的平方，

那然后这块呢ds就等于负的dt。好，这个结果可以了吧？诶，被一减一减去，这是负二分之一。那所以说这个结果的话，你发现负号用来变换上下限。那因此的话就变成了负的二分之一到零。啊，写成这个结果。那这样一步啊，这个题基本上就结束了，没有什么难度了，你看怎么做呢？

你这块当中是一个二次方。你可以把这个t先凑到后面去。把这个t先凑到后面去的话，你就会发现往后面一凑，这是d多少二分之一t方，你在这配个二。是吧，这是arcs in，然后这个t。那这个部分的话，变成它，然后怎么办？然后怎么处理？你再把这个部分往后面一塞就行了。你在这一块当中，

你再配一个，这是一减。这来一个负红。所以说这个结果做成这样，然后就可以把这个根号配到后面去了，负二分之一到零，这是阿克塞因t。然后d多少呢？d根号下一减t方。然后接下来你就可以分步计分法。当这个题还有别的方法。你可以在第一步当中直接令t=sin sinu，也是可以你再换个圆也行啊，这个结果。然后接下来分布积分都可以啊，

因为这个积分方法实在是太多了，我们不在这纠结了。你可以那样做，这是无所谓的，然后把负二分之一到零代进去，然后接下来再加上一个二分之一。负二分之一到零，然后把这个部分呢放前这个求导，这个结果就是它。好了，这个结果。你像这种不定积分的。没有丝毫难度系数，而且这个题是我们曾经百题代刷里面当中的原题啊。你可以去看看，

一模一样。然后接下来我们看看第一个把零带进去是零把一带进去呢啊，负二分之一那负二分之一带进去的话，这是s in多少等于负二分之一？那这是负的六分之派。然后这个结果呢，是一减去四分之一，二分之根三。然后这个后面这个结果其实就等于二分之一，然后上面减下面就这个结果。那么所以说这个答案呢？它就立即出来了，它就等于负的，然后这个约这是十二分之根三派，然后再加上四分之一。

啊，这个结构好了，这是这个题吧，我们就讲到这儿，你自己下去算了啊。负的12分之根三派，然后再加上诶，这几分之一。啊，这块没有二分之一是吧？这哪来的二分之一？这没有二分之一，这是二分之一。好了，这是这个结果吧，

你下去好好看看。没问题吧，中间没问题。好了，这是我们讲的这个信息点。就这一部分二分之一，所以是二分之一减去这个。前面能看懂吧呃，稍微的进行跳了一步，你首先原来的负号用来变换了上下限，你把这个凑到后面去了之后，在这添了一个符号，前面还有一个符号。啊，多跳了一步，

这种不是特别难的啊，然后我们就讲到这儿，然后我们再来看看第13题啊，跟上基础运算。你像这种不定积分算的慢的，你把这个相关性的问题，你得再练一练好了，我们继续，我们再来看看第13题。那这个题啊，很明显考了周期性。你一看这个三和cos的周期就跟派有关，然后零到这个部分，那肯定是一个周期性的问题，然后首先第一个事，

你可以先进去去化简一下，这是二零二四。那这个一减cos二s呢？一减cos二s，你可以把这个写成多少？写成一减二倍的s in方，所以这个结果就等于两倍的sin x方，然后ds。那接下来就把这个根号二提出去，零到二零二四，那这个结果的话是s in多少sins？ds，那你想想这个板块的周期是多少？它的最小正周期是派那最小正周期是派的话，你就会发现。

那这是多少个周期呢？那这刚好是二零二四个周期，然后是一个周期，它的积分好，这个结果做成这样。那么所以说这个结果就做成这样。那么然后我们接下来继续看你发现三音这个部分。三在灵道派的时候是真的。零到派的时候是正的，那这个绝对值就不要了呀，而且我们讲过这办公面积是一这是一那这块就是二，所以。所以说是根号二倍的二零二四，然后乘上几乘上二，所以等于四零四八倍的根号二。

好了，这个结果我们就出来了，不用积啊，直接看面积就行。好了，我们继续，我们再来看看这个。14这个题。那这个题啊呃，难度系数也不大，关注点的一个问题啊，就是考了一点点细节问题，不要在这出错了。我们首先看那这个题啊，是一个n项和式极限n项和式极限先向定积分低第一步。

先写求和，那就可和呗，那就是ln多少一加上n分之k。那n分之k的话，这是一二到二n，那很明显这个k是从一，然后到二n来看看三剑客，一剑客，两剑客。三剑客，然后后面是谁呢？后面是一个n分之k的函数，很明显是定几分之一，但是你要注意，这块是二n，

我们上课讲了好多遍了。如果这是2n，这个结果是零到二，然后是ln 1，加上sds忘了你去复习啊。你复习强化或者是继续去复习这个冲刺，上面都有，然后接下来积这个分，那这个分怎么做？直接分布及分法不好。直接分布积分法也能做，如果你是个高手，轻轻的在这补个一。在这补个一了之后的话，只是ln 1+s乘上个s+1把零和二代去，

然后接下来这是零到二。这是x+1，这是一个求导分之一，你看刚好变成一，那么所以说把二带去是ln 3是三倍的，零带去没了。然后再减去几减去二。所以说这个结果是三倍的，ln3-2选a。好，这个题14题。那么再来看看这里面当中的15题，告诉我这个题考了什么题型呢？你看这个题。什么题型？

被积分函数为什么？我再说一遍，这个题呀，你有别的任何想法，我都不建议。我都不建议。不要这样。我不知道这个很多同学你是怎么想的？这才是正统的方向。不是说我不希望的话，你有方法一方法二方法三。一些好的方向的方法，一方法，二方法，三当然很好。

但是你像这种题。练了一年了。练了一年的话，你发现基础班强化班做题，每次都是这样练我，我在做最后一道题的时候，我不我就不干。那真的是没有任何的啊，这这这没有办法了，来再来看下一个问题。那这题考了什么叫被积分函数为变现函数的定积分计算？那我的方法是什么分布积分法？因为我们没有二次积分的次序调换，所以我们只能用分布积分法。那分步积分法，

大家想想。我一会要让这个部分，它是个变现函数，我要让这个部分跑到后面去。跑到后面去就求导，先把这个s凑到后面去，二分之一零到1 fs ds方，我跟你讲，你今年考研，如果考这种题，你没做出来。真跟你没完啊。太太不好意思了，一个题连着进行出错啊，这个问题点就非常麻烦了，

好了，我们接下看来两项相乘。然后再接下来两项调换位置，平方跑前，然后这个部分跑后。然后这个部分跑后，我们再来看你，发现这里面当中的f1是谁上下限相等，刚好是零。那所以说这个前面的第一项就没了。第一项就是零，然后这是二分之一，这是零到一。那这个部分是s方d它d，它就是求导，

你看这个变现函数求导就谁求导呢？你求导来走。上限移进去。上限移进去，上限球，这是ds。好了，这个结果就做成这样，那然后的话，这是负二分之一零到一平方约掉sin x方那2s继续凑到后面去变成平方。所以这个s in积分的话是二分之一coss方负负得正啊零和一，那这个结果二分之一倍的cos解cos一。cosine 0是一。好，这个问题，

所以正确答案就等于二分之一倍的cos一减一答案选几啊选一？有没有同学选a的呀？有没有这个题？我我说一个问题啊。没有说我，我在经常讲这个问题。你从大部分的同学的角度上而言。这个题啊，没有多少运算量。你不要骗自己。你先不要骗自己，这题没有多少运算量。而且这块计算是非常非常简，这没有多少运算量。你让咱们班同学去讲。

好了，这个问题啊，我们就讲到这啊。那么再来看看第16题。你别再骗自己，你再骗自己要要考研了哦，对吧？好了，我们继续，我们再来看第16题。那这个题啊，让我们去求解这个围城的这个面积。那这个面积的话，你看第一个部分。第一个部分，

它是个圆。这个圆心在哪呢？这个部分的面积就是圆心，在这个。零一处。半径为一的这个圆。好，这块是个圆。你想清楚，这是y，然后这是零，这是x。这是一，这是二。然后这个圆的话，

我们接下来再来瞅它要跟谁呢？它要跟这个y等于二分之x方所围成的这个部分。那二分之x方，你要想清楚。当你y=2的时候。你s刚好是二，所以说它刚好经过二二点。它也经过负二二这个点。所以说它画出来这个条抛物线的话，应该是这样。这至少抛物线，然后他们之间的交线是在这。好，这个问题那所以说就是这条线，这条线还有这个部分，

那么在这块当中啊，我们一看。他们围城的这个区域在哪？他们区域在这。还有区域在这这题没有读懂的同学找一个你初中的表弟，让他给你读。这是初中可以做的题。只不过初中不会算这个抛物线的面积，就这一点。除了这个抛物线的面积之外，小学的时候这个题也能做啊，这个题目。所以接下来我们来看看你要求解这个面积。这个面积怎么做呢？我们来继续看。

所以SD这个部分。它就等于两倍的。两倍的什么东西呢？两倍的这一半的面积，那这一半的面积等于多少呢？我们来看就等于正方形。正方形其实就是二×2。再减去这一半的圆。这一半的原是二分之一派一的平方，然后再减去这个部分，那这个部分是多少？是零到二？二分之一s方对s的积分好这个题啊，结束了。好了，

这是这个问题吧？16题。这个题啊。非常的简单，没有多少难度系数，稍微的冷静一下，你这种题做不出来的话，你得好好进行去思考一下了。这问题点很麻烦的啊。好了，这个题我们就讲到这来，继续吧，我们再来看第17题。这还要连立秋秋天。好，

我不说了，我不说这个问题了。这个画图啊。行，下一个题，我们再来看这个题。那这个题啊，它说这个d。是由这个三还有这个部分围成的平面的有界区。然后这个d啊，绕着这个x轴旋转，一周的旋转梯体积是多少？那么，接下来我们来看看这个部分。来操作一下，

那这是y，然后这是零，然后这是x。那首先你要注意。你看这个部分图形。这个部分的图形是什么呢？它s in 2分之派s。你其实当你x选一的时候，它就刚好是一。所以说这个图形的话，你先找到特殊点一的时候刚好是一。然后的话，他还要下去怎么样？那么，这是三。

然后这个是呃，只看大于零，然后这个三次方呢，它刚好经过乙它这这上去，那你们之间所围成的这个部分呢，肯定是只有这块区域。好这一块那这一块部分呢？说什么呢？说这个地区绕着这个x轴旋转一周的这个体积是多少？我再强调一遍，这块没有难度。嗯，我相信大部分同学，你要是一直跟着这个课程走的同学，我觉得这块没有任何的问题。

不要再找别人共情了，这都没有任何的用。这算考研当中的简单题，有问题下去好好补啊。然后接下来我们看看这个旋转体体积有套公式呗，那这个v就等于多少，你先看上面这条红色啊，这条线。换另外一个颜色，这条线这条线就是派零到一，然后是这条线的平方，这是三。然后这是二分之派x这个部分的平方ds。然后再减去下面这条线，就这条线。

那这条线是多少呢？是派零到一，然后是这条线的平方是四，这是三次方，三次方平方是六次方。ds好了，这个结果就做成这样。那么做成这样了之后，我们看看这个部分。这个部分你要巧着做，不要硬着做。你如果稍微的进行去把这个部分换个圆，就令二分之派s=t你换下来之后的话，这是派。零的数是零，

一的数是二分之派，然后这个部分就是sint的平方就可以点火了。然后这个s是等于多少s等于派分之二倍的这个dt？然后减去派，这是七分之一，那所以说是等于二倍的零到二分之派，然后是sint的平方dt就可以进行去点火公式了。那因此一点的话，只是二一二分之派，再减去七分之派，所以这个结果啊，就等于二分之派减去七分之派。等于十四分之几啊？十四分之五派。啊，

这个题答案选b。好了，这个题不要硬着算，硬着算，当然可以进行去降密，降密也可以做，但有点慢啊。好了，这是我们讲的这个第17题，来再来看第18题。瞅一下这个，所以这套卷子啊呃，特点的话，应该是前几个题啊，可能把很多同学稍微的会困难一点点。

后面的题都很简单。然后你看这个偏导数。尤其是s=1。那s=1很恶心的是这个部分，我们就先带后求了。就把这个什么把这个s=1，你要注意对y的偏导数，把s=1带进去。带进去了之后的话就是ln，然后这是一那就是二+y。所以说这个部分z这个部分一减y，你让它对y进行求导，你求导的话就是y加二分之一。你把这个根二带进去，所以说这个结果就等于根二加二分之一，

所以正确答案选几个。有人说，老师，这个题没有答案，没有答案呢，你得稍微进行去整理一下，一整理的话给它上下，同时乘上二减这个部分。那就变成你的平方，减你的平方是二，所以说这个减一减去二分之一比它。所以这个结果正确答案的话，应该是一减去二分之塔正确答案选c。好，这个问题18题。

可以了吧，来继续，我们再来看看第19题。再看下面这个题。那这个题啊，没有什么难度啊，就是硬着算。你就直接把它往里面算就行了。我发现很多东西，你们是不是？就这个同学，你最近是不是复习特别的着急呀？就是你让别人都能看得出来，你不冷静哦。学了一年了，

这个。先代后求先代后求，好做就好做嘛，不好做你就用定义呗。你再不好做，你就直接算呗。这是一年了，最后你问出来这个问题，不是说我不回答你。你问出了这个问题，你这嗯，实在没法回答，你把这个相对应的点一定要做冷静一点好了，我们看这个题。那这个题啊，

你看这个偏偏s你偏s的话，这个题你就直接算就行了，那我们看偏z偏s。那这块东西的话就变成了二倍的根号。然后这是sy。那么加上的话，这是f多少呢？y比s分之一。那这个做完了之后，然后我们再对什么再对s那再对s的话就是y。然后这是先对中间变量进行求导，中间变量再对x的话，这是yx方分之负一。好，这个结果，

然后再来看看是偏z偏y。那接下来我们就看是二倍的根号下xy，加上f1撇y BS。好，这个结果，然后再对于这个y进行求导，那这是s然后是f一撇y比s，然后的话，这个对y求导，那就是s分之一。那做成这样了之后呃，这个题啊。我没有别的说的这种题，连基础班的基础运算量都没达到啊，这个题你不要在那骗自己了。

这个问题点呢，不是特别难，然后接下来你看这个部分，你再乘上xz，你这个部分呢，你再乘上yz。所以接下来我们来看看这个结果，那这个结果就等于两倍的根号下，然后这是sy+f一撇y BS。你先看看上面这个部分。那上面这个部分的话，刚好是z倍的啊，就是xyz。然后接下来我们继续剪。你减了之后的话，

你发现这个一约一约的话就是多少呢？那这个部分留一个，然后这是yz这是f1撇y撇s，你再看下面，下面又是一个xyz。然后再加上一个多少加上一个x分之yzf一撇y BS好了，这个东西啊，就约掉了。那约掉了之后啊，你就继续看，约掉了之后上面是xyz那xyz的话z刚好是这个部分。所以说我们来看看这个部分。那这是两倍的这个z吧？那这就是z样。因为根号这个部分就是z，

然后上面部分呢是二倍的syz，所以一除啊，这就是sy好这个结果，我们就讲到这，这是sy答案选b。好了，继续，我们再来看看这个第20题这个题。你再出这个题目。那这个题啊。一个函数由方程确定，那二元一函数，那二元一函数的话，首先我们进行去找三元函数syz。那这个结果的话，

就是f多少呢？y分之一减去s分之一，你加上个s分之一，你减去z分之一，直接用公式法吧，所以说这是偏z偏s这个部分等于负的。不要忘了，然后再对z进行先对s吧，就是f一撇y分之一减s分之一，然后这个部分呢？你对s的话x方分之负一负，负得正只有一个平方分之一，然后的话，这是x方分之一负的，那所以说这块配个减号。

那么下面的话，这个部分对z求导z求导就是z方分之一。负负得正了。然后这是偏z偏y。负的，然后这是z方分之一，然后这个部分对y求导的话，就是先对这个中间变量进行求导。中间变量再求导是y方分之负一，那没了。然后这个结果它乘以个x方，这个结果它乘以个y方，然后上下部分怎么办？上下部分一加我们来看看这个结果。那么所以说这个结果的话，

下面是这个。那你乘一个这个部分和这个部分就约掉了，那上面部分刚好留下多少？刚好留下负一，所以说这个结果就等于z方。好，这个答案，所以正确答案选几选d？好了，这是20题，你其实你发现中间这几道题就从那个第几个题呢？第五个题啊，第六个题从那个题开始啊，中间都没有什么难度。这几个高等数学的题啊，

非常的简单。然后我们再来看看这个第21题啊，这个题。这个题啊，这次做对了吧？啊，这次啊。你再做错了，你就不好意思了。上一次啊，上一次我们把这个题你第一次碰到，你没有什么感觉，你做错了就算了。你这一次的话，你不应该有问题了。

你看这个上面这个部分很明显要凑两个偏导数定义。那么看这个吧。那这个部分稍微瞅一下。哎，你这很明显是可微的定义啊。那可微的定义，我们就把这个分子进行去写一下x趋向于y趋向于。那上面这个部分的话是fx y。减去f1。你再减去。减去一个多少呢x要减一。那减去一个，这里面当中还有一个负2x减，加上3y减去个一。你要把它写成多少倍的x- 1？

还有多少被导y- 1的情况？你把这个部分写成这样。你写成这样了，之后的话，它其实就是负二倍的s- 1，你看看刚刚好，然后是三倍的y- 1。你瞅一下那这个部分的话，刚好是二，这是检查诶，刚刚好，那就不管了。你放心吧，题肯定都是刚刚好。不刚刚好，

它都不是一个体。所以说这是y- 1的这个平方，它等于零，因此啊，这是谁s偏导数？这是谁y的偏导数？所以说我们就得到s偏导数一处，它就等于负二，然后这个y的偏导数一处，它就等于几等于三。好，这是这个，然后接下来我们就继续再来看。你要求解的这个部分。你就可以凑一个什么，

你凑一个偏导数的定义。来看这个部分，那这个部分怎么去凑呢？你要保证一个部分是一样的呀。你t趋向零。那你首先第一个事你看。这是一+t，这是一。那你就减去一个多少，你保证后面是一样，这是一一。然后再减去f多少呢？一一减二t，你要加一个，你加一个再减一个。

就这个部分，然后比上一个t比上一个t了之后这个部分呢，你就可以写成两个部分了。你看这是一+t，然后是一减去个一比上t。然后再看这个部分。然后这个x部分是一样的。然后y是一减二t。然后再减去个一。那你要比上多少？你现在比上t啊，你应该比多少？你发现这个后面这个部分是x一样。一+-2t，我应该除以个负2t啊，

那你就变成了一个加二。所以说这个部分的定义就出来了。好，先看第一个。第一个是谁呢？第一个是x一样。s一样，然后y的导函数。那是多少几处的倒数？你发现先把y=1带进去。y=1代取。一+t-f一比上t，那很明显是一处的导函数，一处的x偏导数。好，

这个结果，然后再来看第二个。第二个部分，第二个部分很明显是x一样。那x一样的话，就是把x先代进去。然后是一+1个，再减去f1，那就是对谁呢？在一处的导函数y的偏导数。那所以说s偏导数等于几啊s偏导数等于负二，然后这是二×3，这是等于四。好，这个结果我们就出来了。

呃，这个题可以有些同学可能举例子。你怎么办呢？你就取这个。你举什么呢？你就举这个fx y最简单的那x偏导数2 x+3 y。你就举这个例子，直接往里面塞一塞就出来了。你可以举这个例子。抽象函数嘛，你举例子一下就出来。好，这个题啊，我们就讲到这。可以了吧呃，

所以说这次的高等数学的题。中间部分呢？是非常简单。啊，很简单的题，可能在这块儿。有的做的不好的话，可能是第一个题。第二题，第三题。可能就这三个题，第六题啊呃，是可能稍微的进行注意一下，别的题目都还好。这次的高等数学的题啊，

说实话不难啊，中间部分的东西啊，稳稳当当的来啊。行吧，这是这个前面的高等数学，我们稍微休息会儿，一会儿我们再来看看这个线性代数的题。好，稍微休息会吧，一会继续啊。

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