第一章-综合提高题-问题求解（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:29:06

接下来我们看一下这个题。ab sy是十以内啊，包括十是吧，它也包括十无重复的正整数啊，既然是正整数的话，那相当于是就取一二三。四五六到十啊，这是正整数好，那么它要求这个分式最大到底是多少？这道题呢？就为什么大家做这道题感觉比较难知道吧？一个是求最值。大家最害怕，求最最值了是吧？那求最值像有的题，

它有章法有题，没有章法像对于一个分数。好，我们就说最最大，因为最大的反面就最最小。啊，最大最大化，你可以让这个分母。变小这个分数它会大。啊大大大，咱们先说这正分数好吧，先说正分数啊，不考虑负的好不好，先说正分数啊。啊正分数好，

那对于正分数那最大就分母一定要小小一点是吧？或者说让分子。要变大一点。但往往这两者是矛盾的。往往这两就鱼和熊掌不可能兼得，就像不可能呃呃，两个便宜都被你占了是吧啊，你这个分母又变小分子又变大，那不可能你这两个优点都都占了。是吧，所以在这里面不鱼和熊掌不可兼得，既然当出现矛盾的时候，我们要抓主要矛盾，抓主要矛矛盾，知道吧，

有时候就相当于有时候我们抓重点一样是吧，就当就像你复习时间比较紧的时候要抓重点。那抓主要矛盾，抓主要矛盾，谁是主要矛盾呢？分母是主要矛盾，因为分母对于一个分数而言。他更加敏感一点。好，如果有同学觉得比较抽象的话，我们可以给大家举个事例，什么事例呢？比如说啊，那么一个分数。m分之n，

那这个改变量，它只有k这个改变量，就比如我只有这一点儿东西，这两人只能给其中一个人这个k的改变量，要么让分母减小k。要么让分子变大k是吧？要么让分母减小k，要么让。分子呢，增大k。是吧呃，增大k，然后这时候。这样的情况也就说这个k的改改变量，要么放在分母，

要么放在分子，一般来说优先放在分母好吧，唉，优先放在分母，因为分母对整个分数来说的话更加明显，我给你举个数，比如说。七分之十二，现在我只有一这个改变量，只有一这个改变量，要么就放在分母上，让分母减去一。好，要么呢，就让分子给它加上一。

分子加上一，所以在这里我们可以看这个算的，就是二给算这二这二这个七分之十三不到二对吧？不到二，所以大家可以发现这个是不是变化更显著一点？是吧呃，变量的更多一点。这个懂了没有？所以在这里面，但是大家还要注意的是啊，那么这个东西不是绝对的啊，不是绝对的真理并不是绝对的都让放在。分分母上好吧，指多数情况啊就多数。优先。

分母啊，因为分母对一个分数变化影响更加明显一点，所以有同学听完课啊，听完课他按照这个结论又找了一个。反面的例子，反面例子什么意思？就反而后面放在分子上，对分数影响大。影响大，他又找了一个反面例子，我刚才讲了，就是相当于是多数情况，它不是绝对的知道吧啊，不是绝对的，比如说我给你举一个反面例子，

反面例子，比如说举一个七分之三吧。九个七分之三七分之三，然后这时候还让分母变化一减少一。对吧，这个得到六分之三就等于二分之一了，然后这时候呢，我让分子变化一就三加一。就得到是七分之四，所以在这里面大家可以发现。这个七分之四比二分之一呢，反而大了是吧？你看这时候这个分子增加，然后对这个分数影响呢，是比较大，

那为什么会产生这种反常的现象呢？我给你举个例子就。就是因为是因为大家可以发现这是一个真分数，因为分子比分母小，叫真分数，上面是假分数，分子比分母大是假分数。那对真分数而言，大家可以看到，对真分数而言，这个分子它是比较小，是一个短板。就像咱们脱贫一样，咱们优先帮助贫困的，或者说就像大家学习成绩一样啊，

优先突破短板。啊，优先通过咱们看这个三这个分子比较小，所以说在这里面，你把这个同样一点儿点儿好好东西给这个短板，那么这个。效果更明显，知道吧？效果是更明显的，这个懂了没有？所以说你看这个，我们把这个这个一这个放在分母上，放在分母上，那这个优势就不那么明显了。好吧，

所以上面看这是一个假分数，那么假分数的话，在这里面大家可以看到我们把这一放在分母上，它这个是比较明明显的。是吧，所以在这里面大家呢，就掌握个经验，就看谁是短板好吧，所以多数优先分母，你看谁是短板，我们优优先去考虑那个啊呃，考虑那个，所以大家呢，不要呃，绝对的把解析的那句话。

呃，给大家进行死记硬背啊，也不要呃，注意也不要呃，把它当做一个。所有适用的一个真理是吧？然后它针对于啊，这样啊，一个特定的情况下，然后呢，可以用好吧，所以在这里面给大家写上就分母。对分数。就影响更大。啊，

分母对分数呢，影响更大，有点像咱们考研录取一样，比如说大家，比如说这个分子和分母都在增加是吧？分子和分母都在增加，比如说。这个学校它都在扩扩招它招生的名额在增多，但是呢，报考人数呢，增加的更多一点是吧，增加更多点，所以这个录录取率就更低了。是吧，竞争更激烈。

好，这个懂了没有对吧？咱们先接下来来做这个题，原来你知道了来做这个题这句话我们优先啊，要最大化优先让分母最小。是吧，优先上分母最小，所以在这里面优先上分母最小按xy，因为它是无重复的嘛，无重复只能取一+2。是吧，不能重复的，那就xy只能取一和二，这个分母是最小的，然后再让分子最大，

其次再考虑分分子好吧，其次再考虑分子分子的话，那么让最大就a要取，最大b要取最最小嘛。啊，这个就得到是三分之七三，三分之七可以写成二又三分之一，知道吧啊，注意这个，这是一个带分数，知道吧，几又几分之一，相当于是加号啊。也叫加号，比如说二又三分之一，

它表的含义是二加三分之一，知道吧？这个加号可以省略，可以省略注意这个二又三分之一。不要把它看成二乘以三分之一啊，这不是乘号啊，这不是乘号好吧，这是加二又带分数几又几分之几，相当于它加上这个分数啊。所以这个答案应该选三分之七啊，这个答案应该选择四四d选项，看这个懂了没有，所以有同学呢呃，选了其他答案，选其他答案，

你知道选选在哪吗？它先让分子。取最大了，它是这样做的，它先让分子分子最大，分子最大a最大取10b取一，这时候分子最大是九，然后再看分母分母，因为这个一已经用过了，已经用过了，分母只能用二跟三了。等于二跟三，它这个只能写成五，这个只能写成五分之九，是不是咱们做题同学有同学一开始选了这个一又五分之四啊，

一又五分之四就有干扰项？知道吧，就干扰项大家呢，这一块儿呢，就容易出错，所以大家在做这道题的时候，要知道它的内容啊，这一块儿它就。写错了，好这里呢，应该选择4d选项啊啊，不知道各位同学听懂没有，听懂的话，我把这里改改，改成求它的最小值，

各位同学看会不会分析？求a-b÷s+y最小值。求它。最小值。好最小值很多同学还在那思考，其实最小值其实有个脑筋急转弯儿，可能大家都想不到啊。啊，大家可以按暂停键，你可以思考一会儿，思考完再对答案，你绝对想不到。好正确，答案是什么？是负的三分之七或者说负的啊二又三分之一就是d选项加一个负号就行了。

付好就行唉，那你做的绝对不是这个答案，为什么有同学还在想那个正的是吧，还还想正的，因为它的最小值，它又没说这个分数一定是正分数，所以说所以说对于分数要最小化，你要可以考虑负的嘛。可以考虑负的是不是啊？所以在这里面，所以大家负三分之一，那有同学说老师负三分之一怎么来呢？负三分之七的话是这样的x和y还是取一和二那a我取一？必取十。是吧，

然后这样就a选a取三。然后必须十是吧？然后这个是不是就得就变成负的三分之七了，你看是不是这样的负的二又三分之一是吧？是这样的情况，当然如果这样问，如果如果在这个正分数里面正分数里面要找最小好吧？假如我在正式分数里面找对了，就是你们写的啊，如果正分分数中，然后要找这个a-b÷x-y最小。啊，如果要找它最小啊，如果在正分数里面要取它最小的话，那这时候就是你们写那答案了，

知道吧？你让分母先最大，分母最大化就是一个取11个取九。啊，分母呢是最大的是吧？优先考虑分母嘛，优先考虑分母分母一个十一个九，这个分母是最大的，然后分子上最小，分子上最小的话就一个取二一个取一是吧，就得到十九分之一。啊，如果在正分数里面啊，要找它最小就十九分之一，如果要可以考虑负的话，

就写负的三分之七，看各位同学听懂没有，如果老师改的这个，你刚才按暂停键的时候做对了，那说明。这块儿就真正掌握了，看是否听懂了这样一个考题和方法，大家呢，要把这样题好好思考和整理一下。好，我们来看一下。遇到这样的题目，大家可以用特值去验证。还可以用咱们比例定理来去证证明和推导啊，所以这道题我们来看一下它的考试要点和方法。

啊，这样的比例表达式，大家呢，就可以看它跟分式的等式是类似的，所以我们可以。取特值验证选项。啊，也可以用啊，比例定理去进行推导。好，如果取特值的话，大家可以取啊，二分之一等于个四分之二。好，你可以取a=1 b=2 c=2 d=4，

然后带到里面去。那根号下a方加b方比上c方加d方就等于根号下。一方加二方，比上一个二方加上。四方。好在这里面大家可以看出它的表达式关系啊，然后这样就可以带到里面去进行求解和思考。好，这个分母分母，大家可以看出，可以提出一个二的平方，跟上面就可以约掉，所以算完就等于二分之一。所以上下大家化简一下就可以得到二分之一好二分之一，大家呢就可以看一下好a选项，

这个不不行。不满足b选项。c方比d方这个也是不满足的。好c选项a+b。比上c+d。好，那这个是可以的，然后d选项b方比d方啊b的平方比上d的平方。啊，这个也是不满足的。好e选项c÷a。啊CC是等于二的。c是v2。然后a是唯一的。啊，

这个也是不满足的好，所以在这里面啊，就是c选项就可以了。但是大家取特值有一个弊端，有时候会出现就是特值法排除的不那么彻底。比如说有时候取完特值，还剩下两个选项都满足，或者说。三选都满足，这样大家还要再次取特值进行分析排除啊，所以这是取特值。啊，有时候运气比较好，就特指就可以把选项全排除掉，有时候呢，

那么特指呢，需要得要取两次或者三次，这样才能够找到最后的正确答案。好，那下面我们再来看，如果用比例定理来，怎么推导好用比例定理的话，大家首先要看出出现a方加b方c方加d方。好a方加b方c方加d方可以先把这个式两边平方啊，这个式两边平方得到a方。比上b方等于c方，比上d方好，两边都可以平方好，两个平方以后大家可以交换比例，两个内项。

交换比例内项，所以就可以得到a方比上c方等于个b方比上d方。啊，交换比例内项交换完后，然后用咱们和比定理分子相加，比上分母相加。啊分子相相加，比上分母相加。好，这是利用等比定理。好，那么写到这以后，大家再开根号。因为题目说了abcd都是正数，所以开根号直接就。

把平方开掉。好，就等于a比上c或等于b比上d。好，这是题干推导完以后得到表达式，但是大家发现你选项里面你找不到a比c，或者说b比d。是吧，你找不到，所以说没有这个没有直接这个答案，但是我们再用一次。再用一次啊，这个比例定理啊，和等比定理等比定理，把它合在一起，

合在一起，把分子相加，分母相加，跟原来比值是一样的。把它分子相加，分母相加好，这样也能找到c选项。好，这第二个方法，这方法二。刚才咱们讲的是方法一，这是方法二，那方法三的话，实在想不到这个比例定理的话，还可以用这个k的数。

数值法啊，就列。b分之a等于c分之，d分之c等于k啊，我们讲了比例里面也可以采用设k的方法来做。啊，设它等于k好，设它等于k以后我们呢就可以。得到这个a=bk。c=dk。好，得到以后我们就可以看出根号下。a方加b方除以c方加d方好，那在这里面好，我们就可以写出它的结果。

把它表示就可以写写出来，好，这样就可以等于一个根号下a呢，就等于bk就是b方k方。加上b方，这是d方k方加上d方。好那么分子，大家可以提出个公因式b方分母就可以提出个d方上下就可以把。提拔以后，剩下的k方加一，剩下约掉约掉，就剩下一个b方和d方了。由于b和d都是正数，所以它就等于b比d。好，

这样就写好了。好PPT，但是这个呃选项里面还是没有啊，还找不到答案，找不到答案，这时候呢，你再看。c选项c选项就是a+b除，以个c+d。就等于好那么。a呢，是等于bk+b除以个c呢，是dk再加上d好上下再提出一个。表达式呃分子可以提出一个b分母，提出个d，

剩下的就是k+1上下约掉就得到b比d好，大家可以看这两个都是b比d。啊，这两个都是比例，这两个是相等的，这两个是相等的啊，所以说就可以得到是c选项好，那这道题给大家讲了三个方法，我们概括一下，大家学习完以后的收获。遇到符号啊，自己呃不会算的时候可以取特值，这是第一个方法，第二个方法，大家可以用和比定理。

和交换比的内项来进行分析，第三个方法，大家呢，可以呃采用设k的方法来进行求解，看是不是？学会了，是不是听懂了？好，这是第一个题，掌握的做题方法思路。好，那么就考察质数的一些概念，而且大家让大家掌握列举法考出现质数的时候。往往只是要列举法作为质数。还有一个列举法。

好一个两位的质数啊，只能找两位数，一位数就不考虑了，将它十位和个位。十位和个位对调后，仍是一个还是一个两位数的质数啊？不能说这个对调完后变成一位了啊。啊，两位数的质数好，那对照完它还是两位数质数，这样把它称为无暇质数，对吧？自己换完后。还是直属啊，这就天真无暇。

好，只有50以内的，所有的无瑕次数就是50以内的。无价之主和到底是多少啊？五五十以内的。好，那在这里面，我们看两个数字，我们前面讲过结论大于二的质数必然为奇数。对吧，大于二的质数必然为为奇数，也就说除了二以外，它质数都是奇数。好，那在这里面这个两位这质数，

它个位肯定要是。奇数另外十位也得是奇数，为什么十位是奇数呢？因为它兑换完以后，它还是质数。对啊，完后就是十位变成个位。那么它个位还要是奇数，所以说十位它也是奇数，否则的话兑换完以后它不可能还是质数啊。所以说它的个位跟十位都都是奇数，都是基数，那我们就可以列列看11。13。好，

那么15肯定就不太行是吧？17。好，19注意19兑换完后是九九十一啊，19兑换完后是91。然后这个91的话，在这里面大家注意啊，那么它可以分成。七跟13啊，所以这个数是是合数啊，所以它是不行了啊。就不行，明白吧，好那么这个。十位为一的就写完了，

然后十位为三的就31，33不行，35不行就37。好，39也不行。好，然后在十位。为五的设为为五的，那这就超过了50是吧？超过了50，所以在这里面我们就可以列举一下，列举一下就是。11，13，十，

17，31，37，总共呢，就这五个数，五个数，那么求它的和啊，求它的和就是11。加13+17，加上31+37，就等于109。啊，这样就写好了，看这个是不是学会了啊？答案是不是学会了好这道题，

大家掌握支出特征，略且又快。好吧，记住，除了二以外基础，它都是基数啊，所以从这个基数来入手分析啊，就比较简单。好，那么有同学做这道题的时候，他把这个37给它排除了，他没有选，我问他为什么，他说37交换完后不变成73吗？73不就是超过了五五十了吗？

就不是50以内，所以在这里面呢，又理解错了，就原来本身这个数是50以内，交换完以后它就是。可以超过50了啊，交换完以后它可以超过50，就原来这些数都是50以内的啊，交换完以后它超不超过50，这个不要求，不要理解错了啊。否则到时候答案又掉到陷阱里面去了啊。好第也是考察质数，而且考察等边三角形的面积。好，

那这道题大家也要采用质数，也要采用列举法。啊立与法，咱们就从小到大看一下谁满足这个要求就行了啊，好比如说a等于二三五七。是吧，大家可以看二。不太行是吧？二是不太行的。好二。然后三啊，看行不行三？啊a为三。好a3的时候，大家看这个三它的质数好，

三是质数，所以在这里面它就是满足的。它是满足，所以a+20，23，还有a+40，43，这个都是满足了，满足了后面就就不用。再列了啊，后面就不用再管它了，好，所以这个a就为三。好a9为三的话，那它面积我们就可以写成s，

就等于大家知道三角形面积就等于四的根号三倍的边长平方，这等边三角形的面积公式。就等于四分之九倍的根号三好，这是选择e选项答案就求解出来了。好，大家记住，等边三角形的面积公式啊，不要写错了。好，这道题大家错的比较多啊，或者说有同学不会做，大家一定要首先要把这个根号啊，给它学会转化，因为这个a直接用根号带到里面去，这个次方运算。

不好分析，这是一个点，另外大家可以发现这个次方都比较高啊，次方都比较高，所以在这里面大家呢，要稍微化简一下，一个是对于这个根号化简，另外一个就把这个表达式也可以先化简一下。换上下能约的就约，对吧？然后约，然后约完以后我们再来看一下它的这个取值关系。所以说大家呢，先把上下看能能简化就简化，简化完以后呢，

我们再去化简。好，那么这个这个a等于二分之根号五减一，如果要能够想到。a+1等于个二分之根号五+1这道题的考点我写一下。考点根号还有一个分式化简。好，如果要想到a加一等于二分之根号五减一，再加一就等于二分之根号五加一，这样就简单了。这样大家可以用平方差公公式啊，那这个正好就一就可以得到a乘以a加一。它正好就为一是吧，根号五+1正好就是平方差公式啊，写出它的平方差公式，

这样就写好了。好，那有同学说老师，我想不到这个式子是吧？想不到乘以二分之根号五+1，这个也没关系，想不到那怎么办？因为后面咱们做的还有一个题啊。啊，想不到或者看不出乘多少，那你可以把分母的二给它乘过来啊，所以另外一个就变二a等于根号五减一就可以推出。2 a+1就等于根号五，然后两边平方就2 a+1^2，它要。

等于五是吧？2 a+1^2就为五，这样也可以把这个根号呢？给它去掉根号去掉，然后这个呢啊变形左边变成4a方加4a。然后把这个五给它移过来。啊，或者说不不不移过来也行，这个一移过去就得得到四，然后也能得到a方加a为一啊这。也就说这两个得到的结果，它是一样的，如果想不到的话，就用第二个方法啊，第二个方法更具备通用性。

听到没？根据第一个方法，它就属于有点儿巧合，或者说有点儿啊要求啊，所以说在这里面第二个方法，大家要把这个分母乘过来右边。只保留根号，右边只保留根号，这样两边平方平方完以后就可以得到它的这个取值。就可以把根号去掉，去掉就得到a方加一=1好，那只要在这个式子里面出现a方加一的，那么都变成一。或者说变成或者出现a×a+1的都变成一也行，好吧，

所以原式就等于。好分子分子a的五次方加a的四次方，我们就可以写成a的三次方。里面就剩的是a方加a是吧？看是不是这样的a的三次方正好就是。a方加a方加a，它不就为一嘛？a方加a就为一了是吧？然后这块儿就为一减去a的三次方。减去一个，然后这个a方减a可以把它看成一个a方，加一把它括起来。然后分母分母a的三次方减AA的三次方减a，大家可以提提出a提出a以后里面是不是是不是就a- 1啊啊a方减1a方减一，大家可以发呃给它。

变形a+1×a- 1用平方差公式啊。就我再说一下，分母分母就可以提出一个a就a，以后就剩的是a方减1a方减一就可以写成a+1×a- 1好坐这大家就可以看出来。好，这个a×a+1，它就是一，然后a方加一，它为1a方加一，它也为一，这样话。就可以化简了，接着我们就可以写。写，然后前面。

啊，前面这是就剩一个a的三次方，后面减去一个二倍的a的三次方减二倍的a三次方的话就变成一个负的a的三次方。对吧，负责a三方好，然后这个这个a方加一，它就是一个一减一个一加一二减一加二就相当加上一。是吧，加上一好那分母这个a×a+1就是个一分母，就剩一个a- 1了。啊，分母就剩下a- 1好这个上面啊，这个a的三次方负的a三次方加一，你可以提一个负号。提一个负号以后，

上面上面就变成a三次方减a三次方减，可以用立方公式a- 1。乘以个a方加a再加一。然后除以个a- 1是吧？这样的，然后剩下它就可以把这个a- 1呢，再给它约掉啊a- 1就给它约掉。好a减，再给它约掉就得到负的a方加一+1负的a方加一+1的时候，这里面a方加一它又是一。对吧，所以在这里面，大家再把这个a方加a再带到里面来，再带到里面来，好带到里面来，

我们呢，就可以写出它的取值答案，就等于负二。好这个呢，就选择a选项答案就求解好好吧，这是给大家强调做题方法和思路，看是不是明白了啊，就等于负二就写好了。好，这给大家讲的。它的化简化简关键点要把这个根号儿给大家去掉去掉，然后呢，对于后面作为一个整体，把这个作为整体等于一来去化，这样更简单一些，

看是不是听懂了？好，下面咱们在这道题主要考察不定方程，这就是一个不定方程，它的一个讨论。而且在这里面还遇到了质数啊，和一些要求考察了质数，它说ABC都是质数，而且c是一位数。所以质数，而且呢，要考虑到不定方程。好，那我们来看一下，既然ABC都质数由于c是一位质数c是一位质数c，

只能取二三五七。是吧，二二二三五七。好，这个要求a+b+c的和到底有几种情况？好，那我们来看一下这个题目，这个题目的话啊。53因为我们讲了不定方的，要结合基础性53，它肯定是一个基数。奇数好，如果两个数相加为奇数，那么肯定是一奇又。所以就分情况讨论。

啊啊，如果前面是奇数c是偶数，或者前面是偶数c是奇数是吧？所以在这里面我们就来讨论啊。首先我们来看一下，如果a×b为奇数。为基数时c就等于2c，必然为偶数了c为2c为二，那就推出了a×b就等于53-2就等于51。好，那么51它可以分成三乘以十十七。对吧，所以a和b一个就是三一个就是17好，这就写好了。好，

另外我们看a×b要为偶数时。a×b要为偶偶数时。a×b要为偶数的时候。好，那在这里面大家呢？就是可以看出a和b里面肯定要有一个为偶数，又是质数，又是偶数的话，只能是二。那我就不妨列a为二，因为a为2b为二，那在这里面啊，都是差不多的好吧，所以a要为二。不妨假设a为二，

那b为二，这样也行啊。b为二，这样也行啊。a为二，就可以得到二倍的b，加上c就等于五五十三。啊，等于五五十三好，那么CC的话，因为二倍的b肯定是偶数啊那c。c就不能再为偶数了c只能为奇数啊c为奇数的话，我们看取c要为三的时候看行不行c为三的时候？b又等于25。好，

这个肯定不行，因为25它是合数啊，好CV 5的时候。好CV 5的时候，这个得到b呢，就是二二十四是吧？b呢就24带到里面去，这个也不行，24它也是合合数。好，那c要是七的时候。啊c要七的时候，那么b就等于23。好，这种情况是满满足的是吧？

这种情况是满足的好，这样就可以把两种情况合在一起啊，好，第一种情况得到答案是什么呢？第一种情况得到答案。就是a呃c=2 a和b，一个是三，一个是17啊，这三个数就求出来了。好，这时候a+b+c的值就a+b+c就一个是三，一个是17，一个是二。啊，就可以得到。

22好，那么第二个就是就是a=2 a=2 c为7b为23，这时候a+b+c。就是二加二三，再加七。好，这样就可以写出等于32。你看，所以它有两种取值情况啊，答案就写出来，有两种取值情况，这个答案就选择b选项，看这个是不是学会了？所以这道题考察质量比较高，考察不定方程的讨论，

那这几年考试也都在用不定方程啊，不定方程知识，大家要会分析，要会讨论好吧，掌握它的方法啊。好，这里我们来看一下，主要考察这个分解有四个小朋友，四人年龄逐个相差一岁，四人年龄成绩是360。问，私人现在年龄之和到底是多多少？好，那么就把360分解，所以考点主要考察啊，

这个分解约束。分解约束好那360，我们可以分成啊，要分成四个数，而且四个数依次要相差一。啊一四要相差一好，那在这360大家可以发现这可以分成二×5。那这就是二二×5就是十，先把末位的零分完，分完就剩36了，36就四乘以九三三十六是吧？四×9。啊，就36。好分完后，

当然现在分的约束呢，都把它分成质数了，听懂没？都把分成质数，接下来我们把它合成四个数。合成四个数，合成四个数的话，那四个数的它的这个年龄要依次相差一岁啊，依次相相差一岁，相差一岁，大家可以发现。那么我们弄一个三弄一个四。弄一个五，弄一个六。这样就行了是吧？

所以说在这里面就是三四五六，你看三四五六那么它四个人年龄是不是依次相？相差一岁呢，就三四五六，你看是不是学会了？三四五六。啊，这样就写好了。看是不是听懂了。好，那三四五六这些啊，那年龄和就可以写三+4+5，加上六就等于18啊，这样。就求解出来了，

这个答案选择e选项，看是不是明白了，所以这道题大家可以先把这个约束分成质数啊，这都分为质数。作为质数以后，我们再搭配搭配成四个，四个正好相差一就行了。好，那么比我们来看一下，是接着上一个题来的啊，上一个题比较简单，是360分解，那这道题也分分带有相同的。正方形拼成一个长方形，有多少种拼法？

大家知道这个长方形不就是长乘以宽吗？这是m块儿，这是n块儿是吧？瞧这个边是m块儿，这个边是n块儿，有时候m×n应该等于210。是不是这样呢？所以大家分解。好，那么我们来看210有多少种分法啊？210我们也先把它分成这个质数好吧，分成质数就等于二三五七是吧？所以先把它分成质数，分成质数之后，这样就好搭配好，

那这道题如果要不知道公式法的话，我们就可以列举好吧啊。列举列举的话，比如说m和n就一×210是吧？这是一种情况。然后二×105是吧？三乘以个。其实。五乘以个42，七乘以四三十是吧？好知道这个怎么列的吧？啊，那么呃，取一个二取一个三取一个五取一个七就一个边是二三五七好，那接下来就一个边是二。

七×3。九六另外一个边就是五×7，一个边是二×5，另外一个边是三乘乘以七。好一个边呢，是二×7，另外一个边就三。乘以五啊三。乘以五好，这样写好了，注意在这里，大家不要去交换啊，比如说啊，一个边是三×5，另外一边是二×7，

这两个句型其实是一样的，明白吧？就一个竖过来放，一个是横过来放，听到没有？就一个竖过来放啊，一个是横过来放，这样放。听到没有？所以说这两个句型它是一样的，这样就不用再再写了，看这个是不是学会了？好，那这个这样就列出来，我们就可以发现就是八个是吧？

就是八个。这样就写好了。好吧，所以就mn它不能够交涉，因为m×nn×m这两个矩形，它是一样的，明白吧？所以说在这里面，大家不要再交换顺序了啊，竖放横放啊，都是一样的好，这是给大家强调的，通过这个列举，我们可以发现什么道理呢？可以发现一个什么公式呢？

看第一个数，假如是m啊MM，第一个数是一，这个一怎么来来的呢？一就是二三五七，这四个约数。一个都不选，就是c四零大家学过组合数的同学就知道好四个二三五七，一个约数都不选c4。四零啊，就二三五七，我一个都不要嘛CC四零好，这个二三五七我只选一个。二三五七只选一个，只只选一个作为m，

所以在这里面就二三五七四个，你挑一个，我们讲了四个，选一个就写c4e。是吧，这样写好了，然后加上。加上这个m，剩下的数就是n啊，所以这道题我们就从m的选法听到没，只要把m选完了。剩下的啊，都是n来进行包圆儿好吧，所以m它可以从二三五七里面挑两个啊。m它可以从二三五七挑两个就c四二，

这样也行好吧，所以c四零正好就是1c四一是四。然后c四二是6c四二六，这里面大家一定要除以二，因为c四二它的六的话，因为它六它包含了三×5啊啊，三×7啊，它正好重复了，所以这地方一定要除以二。这样除以二，所以就加上三，就等于一个。八好吧，等于个八这样就写好了好，这是给大家强调做题的方法，

或者说c四零+c四一+c四二，你全把它列完，正好重复了除以二这样也行。啊，如果这个知道了，我们就可以写就c四零+c四一+c四二。加c四三，加c四四。正好它又重复了啊，这怎么重复呢？大家可以看c四零就相当于m取1n取210c四四c四四代表什么意思呢？代表m二三五七都要m二三五七都要代表是。m是210n就取一了，你看这两个是不是重复了同样c四一跟c四三里面也重复的c四二，它也重复的，

所以说都给它除以二。这样也行，大家知道我们所有的组合数加在一起就是二的四四次方啊，这个等于八也行，我们有个公式啊，就CN 0+CN一。加c二一加到CN。就等于二的N次方啊，它有这样一个公式是吧？就CN 0+CN一一加到CN=2的N次方，所以这有个公式。好，那在这里面大家呢，也可以记住这个公式。啊，

记住这个公式二的N次方，然后除以二也等于八好吧，好给大家进行概括这道题，这道题就是有点也有一定的难度，如果不太会的话，按照最基本的方法就来进行列举，列举的话，怎么列举先看m呢二三五七？一个都都不选m二三五七四个挑一个啊二三五七四个挑两个四个挑两个的时候注意不要挑重复了，这样就写出它的。情况数用列举法，第二方法可以用组合来选啊，选组合来选的话，有同学除不好，我们就给他总结一个公式啊，

所以我们由一般。啊方法，然后给大家推广成一个公式公式，要知道为什么要除以二÷2就代表重复了啊好，这是给大家强调看是不是弄明白了？好，下面咱们看也是考察这个数的分解和讨论。数的分解约束，还有这个不定方程，它的讨讨论AB到正能量问a的最小值到底是多少？好，首先这道题要把600分分，所以这几个题都考察分解啊，就刚才从这14题开始，这几个题都在考察分分解，

大家会分啊。好，六百六百大家在分数都要把它分成质数啊，这几个题都在分成质数，不管问什么分成质数，这样就好，求解，省的容易错啊。这600大家可以分成二乘以。二再呃，这个就是这个乘以二再乘以二是吧好？然后这样，这个因为600大家可以写成六×100。对吧啊，六×100，

然后六里面有个二，所以有三个二啊，三个二，然后有一个三有两个五。是吧，然后乘以a就等于b的四次方。好，这样就写好了。好600好600，我们就可以写出它的这个分解的情况，所以大家想想要求a要最小a最小的话就b就相当于最小。b最小，大家注意，这是b的四方b4方，你怎么理解b4方就是相当于。

四个b相乘，四个b相乘就说明左边每一个出现的质数必须要出现四个。四个四个的，这样才才行，大家想想为什么要出现四个，因为你不出现四个的话，它没法开四次根号啊，所以说必须要四个四个。好，那么缺少的就由a来填补，所以a来进行补。进行填补就行了，不够就a来补，比如说这有三个二，这三个二，

那么要达到四个二的话，那么还缺少一个啊，还缺少一个，所以说a要给它最少要给它。补补一个二，这是三三的话，它还去掉三个三啊，去掉三个三，去掉三个三，然后给它补三三个三。好，那么这还有两个五两个五还缺少两个五对吧啊？还缺少两个五好缺少两个五给它补两个五。这样就可以了，再给它添上两个五。

然后这样就会写出它的这个数值关系，看看是不是学会了？好，那么就得到幺三五零答案就写，求求解出来幺三五零。好，如果有同学不明白不明白，你现在写一下b，你看发现b正好是整数啊b，大家知道怎么写吧，每个同学思考一下b应该等于多少呀？b等于等等于多少想象一下b正好是啊，这时候你看如果a这个写好以后啊a写好以后等号左边变成什么等号左边正好是四个二。二四个三四个五是吧？等于b的四方两边开四根号，

就相当于把四方都给它去掉。两边开四根儿，相当于把四方都给它去掉去掉，这样我们就可以把b给大家写出来b的值，正好等于二×3。乘以五是吧？所以这样就等于30，这样就写好了，大家可以思考一下，如果这个二三五要不是四次方，比如说要是五次方要六次方。这个两边开四根号b就不是整数了，它又是一个无理数，明白吧，这样就不符合题意，

所以在这里面大家要看等号两边，它要凑成整数，比如说左边。和右边的次方啊，要能够对对应上。对应上啊，所以这样开四根根号儿，这是给大家强调的做题的方法，这样就看用a来进行补啊a进行填填补。啊a看a进行填多多少啊？就可以把它填成四次方好，这是给大家强调的做题方法啊，600如果换成三百六百或者换成其他数，它也会填补，也会分析啊。

要掌握这样的方法。

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