27.课件27 数学强化班第十二讲（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 15:42:54

好同学们，那么下面呢？我们看到这个第12讲的第二小节，大家把讲义翻到第49页。我们看到考法二组合数与排列数的方程。我们以前呢，接触过啊，一元二次方程对吧？绝对值方程一元一次方程那么？组合方程和排列式方程是指一个组合数里面，它的下标或者是上标里面含有未知数。我们一般是上标含有未知数，对吧？那么要去求这个未知数的值等于多少？比如说啊。

看到。例啊，181题。啊，这道题目呢？它说方程啊，它的解是多少？那么，这道题目呢？我们可以用验证的方法对吧？有的同学说，老师这样解这个方程，我不知道该怎么如何去求解，那么我们验证一下。这里面呢，

给了一二三四五啊，一二三四五。我们啊，逐一带进去验证对吧？也就是说这个x是等于一二三四五的，是这里面的某一个对吧？那么这个方程呢是？c五x分之一。减去c六x分之一，它是等于十倍的c七x分之七。那么，我们验证一下，当x=1的时候。这个左边。它是要等于。

c五一分之一减去啊c六幺分之一c五一是等于五的五分之一减去c六幺是等于六的，所以六五分之一减六分之一。是等于三十分之一的。对吧，这是这个方程的左边方程的右边呢，是十倍的c7幺分之七，我们计算一下。它c七要是等于七对吧？所以分母是十乘以七分子是七约个分等于十分之一，那么左右两边不相等啊。对吧，左边。它不等于右边。所以推出来这个x=1不是根。对吧，

这个不是方程的解。这是第一步。验证了一个第二步，验证第二个x=2的时候。那么这个左边啊，我们计算一下，它是等于c五二分之一减去c六二分之一。c五二是等于十的对吧？十分之一c六二注意啊c六二是等于六乘以五除以一乘二是等于十五的。对吧，所以呢，这边应该是等于啊，十分之一减去十五分之一，它要等于三十分之二减三啊，三十分之三减三十分之二是等于三十分之一的。

对吧，这左边咱们再来看这个右边。右边呢，是等于十乘以c七二分之七啊，它要等于。十乘以注意啊，这个c七二啊是等于七乘以六比上一乘以二是等于二十一的对吧？十乘以二十一分之七。我们约个分啊啊，约个分，这边是一，这边是三，所以它是等于三十分之一。那么我们发现呢，这个左边它是等于右边的，

对吧？左边等于右边说明什么呢？说明x=2。是这个方程的根也可以说是这个方程的解对吧？那么咱们是不是已经锁定正确答案，应该选择c选项x=2。对吧，是符合要求的。如果我们经过验证x=2，它也不是这个方程的根，那我们就继续往下啊，做第三步啊。把x=3带入进行验证。是吧啊，像这样的题目，

我们带入去验证比直接去解这个方程比正面入手要容易得多。明白吧好，这是第181题，下面我们看到第182题。那么，这一道题目呢？这四个条件充分性判断的题型，首先我们把这个考点给大家做一个复习。啊，考点复习呢，这个有这样的几个要点啊，第一个要点呢是cnm，它是等于cnn-m的，这是组合恒等式。那第二个要点呢是？

若啊cna它是等于cnb的好同学们注意了，我们这个时候可以得出来a是等于b。啊，或者是a+b是等于n的。对吧，如果a=b，那当然左边跟右边是相等，如果a+b=n，实际上就用到了我们上面这个组合横道式就上标之和。对吧，如果上标之和啊，是等于下标的，那么我们就可以得到这两个组合数是相等的，对吧？这是这两种情况，

好下面呢，我们看这个题目本身的解析。首先，我们看到条件一，它说CN 1是等于CN 3的，我们这一看上标是不相等的，对吧？所以我们只能够得出来。啊，我们只能够得出来上标跟两个上标之和是等于下标的，对吧？也就是说n是等于。是的，它是能够推出结论来的。好，

下面呢？我们看到第二步再加二呢是c9n，它要等于c九二n- 3。那么，我们可以得出来注意，有两种可能，第一种情况呢，是n=2 n- 3啊，第二种情况呢是？n+2 n- 3对吧？上标之和是等于九的，这样的话，我们进一步的就可以得出来这个n是。是等于三啊n是等于三或者啊，或者这边呢是3 n=12对吧？

或者是n=4，那么条件一啊不这个条件二它就推出来，有两种情况，所以它推不出结论来，结论中只有一种情况。对吧，所以我们要举反例的话。是不是就是直接取n=3了，对吧？n=3它满足条件二，但是呢，它推不出结论了，所以啊，这个题目条件一是能够推结论条件，二不能够推结论。

那咱们正确答案，选择a选项。好，下面呢？请同学们看到第183题。第183题呢？其实我们也可以把这个结论做一个等价转化，对吧？因为这个结论啊，它说的是。c31。啊c31这边是4 n- 1=c 31 n+7对吧？它等价于注意注意注意，这是我们的结论啊。它等价于。

啊，它等价于上标，对吧？它等价于上标相等。或者是。对吧，或者是。啊，上标之和要等于下标，对吧？好，我们来计算一下，这边4 n- 1=n+8，那么这个n3n要等于二。n加上七对吧？

那么三n要等于八，所以这n要等于三分之八，那由于n是正整数，所以这个n。等于三分之八肯定是要舍掉的，那我们看到后面这个四n减一，加上n加七是等于五n加六，五n加六等于三十一，所以五n等于二十五，所以解得n是要等于五。五的是吧？所以原结论啊。我们可以写到。啊，原结论是等价于n=5的。

对吧，等价于n=5。好，这是我们的第一步。这就是等价结论了。好，我们看到第二步。条件一呢，它说n的平方。减去7n，加上12=0，我们因式分解啊，应该是n这边是一一这边是。呃，三四对吧？

负负好那么交叉相乘再相加是等于负七的啊，负七就是n的一次项的，这个这个方程一元关于n的一元二次方程，它的一次项系数对吧？所以我们分解因式就变成了n- 3乘，以n- 4是等于零的，所以解得这个n是等于三。或者是四的n=3或者是四，那是不肯定推不出结论来。对吧，因为我们的结论，我们的结论等价结论是n=5。好，下面呢，我们再看到第三步。

第三问的第二个条件是n的平方减去十n，加上二十四等于零。对吧，这样的话，我们因式分解这边是一一啊，这个二十四分解成为负四乘以负六交叉相乘。再相加是等于一次项系数负十的，所以我们因式分解之后是n- 4×n- 6=0。解得n=4啊，或者是六对吧？n=4或者是六，那么这个它也推不出结论来。好，这是我们的第三步，题目还没做完，

我们进入第四步，由一和二可得由条件一。和条件二，我们可以得到啊，条件一跟条件二，注意了，这个时候是不是要联合呀？啊，条件一和条件二联合，你看条件一呢，是得出来啊，这这个n是等于三或者四的条件二得出来n=4。或者是六那么你联合起来，既要满足条件一，又要满足条件二，

这个n是不是要等于四啊n=4？那是不是显然也推不出结论了，因为我们的等价结论里面是n=5的？对吧，条件一跟条件二，单独不能推结论联合起来，也不能够推结论，所以这个题目正确答案选择一选项。对吧，正确答案选择e选项，这是第183题。好，下面呢？我们看到第184题。好，

我们看到第184题。呃第184题呢，也是个条件充分性判断的题型。那我们看到这个第一个条件，它说这个CN 4是要等于an 3的。对吧，我们把这个组合含有组合与排列的这个方程。把它用表达式写出来CN 4，它是等于n×n- 1×n- 2。乘以n- 3再除以一乘，以二乘，以三乘，以四。那么这个an 3呢，是等于n×n- 1×n- 2。

那么，由于我们这个题目我们要分析一下，这个下标是要大于等于上标的对不对？所以这个n肯定是要大于等于四。既然你an大于等于四，所以呃，这个左右两边同时除以n对吧？这是可以的。左右两边同时除以n- 1对吧？除以一个不为零的数嘛，对吧？所以同时除以n- 1也可以等号左右两边，同时除以n- 2也可以。这样的话，我们这个方程就变成了什么呢？

就变成了二十四分之n减三是等于一的。所以解的n- 3=24n就等于27对吧？n=27啊，我们的结论是n=3或者是27。它是结论的子集，所以它是能够推出结论来的。他能够推出结论来。好，那么下面呢？我们看到调度条件二。条件二呢，这边呢是a。2 n+1。啊四。它要等于啊，

140×an三。那么，这个我们首先呢，把它写写成它的表达式，应该是啊a2n4加一四对吧？啊，也就从22 n+1啊个数中选出四个来，排成一对有多少呢？不同的排法对吧？所以应该是2 n+1。乘以2n再乘以2 n- 1再乘以2 n- 2。好，要等于140×n再乘以n- 1。再乘以啊，就没再乘以n- 2是不是啊？

an 3有三个数相乘，那么我们啊，约个分大家来看一看啊，首先这个2n。大家注意这个2n，我们把它约掉，这边呢，约掉2n之后是不是还剩下70啊？对不对？还剩下70。好，我们再来这边呢，我再约掉一个两倍的括号n- 1，也就是2 n- 2，这边约掉一个n- 1，

这边再约掉一个二，是不是35啊？对不对？35好，那么下面呢？这样的话，得到一个关于n的方程，这边呢，是剩下的是2 n+1×2 n- 1。是要等于35倍的n- 2对吧？35倍的n- 2左边的是个平方差公式，那平方差公式注意用上来，应该是4n的平方。减去一是等于35 n- 70。好，

我们移项这样的话就可以得到，这边是4n的平方，减去35n。再加上69是等于零的，那么这个时候我们试图啊把它进行。因式分解，因式分解呢？首先注意了这个一次项的系数，这个n前面这个系数是负的，35是个奇数。所以呢，我们这个四分解的时候就不能分解成二×2了，对吧？不能分解成二×2，否则的话，

那么那么我们十字相乘啊，十字分解用十字相乘法分解之后交叉相乘再相加，得到的肯定是个偶数。那不可能是等于负的35的，对吧？所以我们只能分解成为一×4。那么，这个69呢？可以分解成为三×23对吧？我们这样的三×23，因为这个一次项的系数是负的，所以我这边填上负负对吧？负三乘以负二十三两个交叉相乘啊。再相加一乘，以负二十三加上四乘以负三是等于负的二十三加上负的十二是等于负的三十五的对吧？

所以说它分解成功了。怎么应该写成n- 3×4 n- 23是等于零的，所以解得n=3。啊，或者是n等于啊四n等于二十三，也就是n等于四分之二十三，由于n。啊，是正整数对不对？并且是大于等于三的正整数，所以同学们注意了，这个四分之二十三是不是就得舍掉啊？对吧，舍掉，所以呢，

我们实际上最终推出来的是n=3 n=3是我们等价是我们这个结论的子集，对吧？对吧，是结论的一部分，所以他当然就能够推出结论来了，你看条件一能够推结论条件二也能够推结论，所以正确答案选择4d选项。对吧，选择4d选项好，这是咱们第184题。好，我们下面来看到第40啊九页，我们继续往前推进命题角度二乘法原理和加法原理。好，我们看到d。

我们这边呢，系统的归纳梳理了乘法原理和加法原理啊，以及我们排列组合中一些常见的模型，做了归纳整理，大家看到第185题。这个从零一二把它写下来啊，从零一二。三五七十一这七个数字中，每次取出两个相乘对吧？每次取出两个数相乘，这不同的集有。多少个？我们发现了这个零比较特殊。这个零比较特殊，零跟任何数相乘啊，

它的结果都是零对不对？所以我们分两类。我们在计数的时候分两类对吧？第一类。我们分两类啊，第一类是取出。啊，取出来两个数中。它有零。那么，它的层级。对吧，他的成绩啊，只有一种。啊，

他的成绩只有一种情况啊，就是就是零对吧，我们看到第二类。第二类是取出的两个数组中。没有零。那么，成绩有多少种呢？好，大家注意了。没有零的话，就相当于是从一二三五七十一这六个数字中任意的取出两个了，对吧？任意的取出两个，由于任意的取出两个数的乘积，它都是不一样的。

所以有多少种不同的取法，就意味着有多少种不同的乘积情况，对吧？所以乘积有c六二是等于六×5。比上一×2是等于。15种。对吧，有15种不同的。情况成绩是有15种不同的情况，因此啊，我们由加法原理可得。好，咱们又。有加法原理可得一+15是等于。等于16种的对吧？

因此这个题目。正确答案选择b选项。好，下面请同学们看到例186题。那么，这道题目呢？他说，公路AB上各站之间共有90种不同的车票。那么，同学们注意了，任意两站之间啊，都有两种不同的车票往合返，对吧？一去一来，这是两种不同的车票。

那么下面呢？我们看到这个。条件一，他说总共有十个车站，每个车站之间都有往返车票，所以我是不是应该首先是从十个站中任意的选出两个站来看看有多少人不知道选法。然后每一种选法中呢，它都对应的有两种票，所以是不是再乘以二呀，所以这边当然你也可以直接写成a12，这样选出来要排队的，对吧？所以它是等于十×9，是等于90种，对吧？

有90种不同的车票，所以它是条件，一是能够推出结论来的。好，那么下面呢？我们看到。条件二他说AB啊，上面有九这个这个功能AB上有九个车站，每两端之间都有往返车票。所以一样的道理，我从九个车当中任意的选出两个来，看看有多少种不同的选法。另外一方面对吧，同时这个呃，你选就是你选出来了两个车呢。

之后这两个车辆之间，它有往返两种不同的车票，所以是不是还要乘以一个二呀？你也可以直接一步到位，写成a九二，它是等于。九×8是等于72的，对吧？72种不同的车票，它不能够推出结论了。啊，条件一啊，能够推结论条件二不能够推结论，所以这个题目啊，正确答案啊，

应该选择a选项。啊，选择a选项。好，这是第186题。那么下面我们看到第187题。这道题目呢，它说某办公室男职工五个人，女职工啊，有四个人。那要从从中呢抽掉三个人去自愿起他的工作，但至少要有两个是难事。好同学们注意了啊。这个蓝。啊，

总共是有五个人对吧？铝总共是有四个人，现在抽掉三个人，那么至少是要有。啊，至少这个有两个人是男士，好同学们注意了，这实际上是不是有分啊？有分两种情况啊。对吧，第一种情况，第一种情况呢，是男士中恰好抽出两个人来，对吧？这个时候女士还抽一个人合起来，

有三个人。对不对？那么第二种情况呢？是啊，第二种情况呢？是啊，是什么呢？是从男士中直接抽三个人来对吧？女士中就没有了。就语式中抽选零个人就可以了。能明白吧，所以呢，我们分两种情况啊，大家注意啊，我们分两种情况。

好，我们分。分两类。好，第一类。从从男男职工中。选两人。从。从女工职工中。选一人。对吧啊，共有多少种方法呢？应该是c五二×c四幺c五二是等于10c四幺等于四。所以呢，是有这个有40种。

啊。好，它有40种。那么下面我们再看到。第二类。第二类呢，是从。男职工装。直接选三个人。对吧，女职工就不用选了，那么共有多少呢？应该是c五三c五三=c五二是等于十的对吧？有十种方法。那么，

接下来我们是不是应该使用加法原理啊？对吧由？啊由加法原理可得应该是40+10是等于50种的。所以这个题目正确答案选择a选项，像这个第187题186题，包括185题。啊，这几道题目都属于是虽然是我们真题中考的真题原题，但是呢，题目都比较简单，所以通过这几道题目，大家也可以发现。我们真题中在考试试卷中并不是说排列组合的题目啊，都是很难的，其实啊。

有不少是送分题，关键是我们心理上不要害怕它，对吧？脚踏实地的学习就可以了，下面看到第188题。啊，188题翻页了啊，在50页。他说，现有三名男生和两名女生参加面试，则面试的排序方法有24种。好，下面呢？我们看到条件一。条件e呢，

他说第一位面试的是女生，同学们注意了，我们总共是有五个人。对吧，总共有五个人啊，他说第一个是女生。他没有其他的要求了，那么第一个是女生，首先我把第一个先排排队，是不是要从注意了，它总共是。三个男俩女对不对？所以呢，我是我先从两个女生中选出一个女生来，排在第一个位置上。

然后剩下来的四个这个位置，它是没有任何要求的，可以随便排对不对？所以我把剩下的四个人。啊，往这四个空位中排队进去啊，所以是a四四，咱们计算一下，它应该是c2幺是等于2a四四是等于。四×3×2×1啊，咱们计算一下，它是等于48对不对？有48种。那么，我们结论中说的是面试的排序有24种，

所以这边他是推不出结论来的。好，下面我们看到条件二，他说第二位面试的是指定的某位男生。好，这是第二位，它是指定的。所谓指定的，就是说我们总共有三个男生，你不能够随便挑一个男生过来，你已经定好的就是某个男生。所以他就已经是别无选择了，对不对？所以这个指定的男生是只有一种方法，那么这个时候还剩下。

四个四个人啊，四个格子是吧？四个位置往这四把这四个人往这四个位置安排进去排队，所以是要乘以a四四。对吧，应该是等于一×24=24种不同的排列方法诶，说明它能够推出结论来，对不对？条件，一是不能够推结论的条件。二可以推结论。所以这个正确答案是应该选择b选项。你看这都是比较基础的。好，我们下面来看到第189题。

啊，在两队进行的羽毛球对抗赛中，每队派出三男两女共五名运动员进行比赛。如果女子啊，注意这边是三男啊。两铝，然后他说如果铝子。这个比赛呢，安排在第二局和第四局。那我要画这个五个格子出来。好，这边第二个格子啊，第二个格子呢？是啊，他说女子对吧？

第四个格子也是女子，那么第二个格子和第四第四个格子，这两个女性。啊，这位这两位女运动员，她是可以交换位置的，对不对？她可以排队，所以应该是a二二还剩下三个格子，三个男生是不是排队的时候也有个排序啊？进去安排进去的时候有个排序，所以要乘以a三三，所以这个直接就是a二二×a三三，它应该等于二×6是等于12的有12种不同的出场顺顺序。对吧，

这个非常简单。好，下面呢？我们看到第190题。好，我们看到第190题。确定两人从a地出发，经过BC沿逆时针的方向行走一圈，回到a地的方案。那若从a地出发时，每人均可以选择大路和三道经过BC的时候，至多有一个人可以更改道路，这不同的方法有多少种？首先，我们把这个示意图画出来。

好，同学们。这边呢，是在外面这个蓝色的啊。啊，是大到。这外面的是大道。这里面的这个。橙色的。啊，是小道。好几个字母ABC，然后把它标出来。那么，现在是有两个人对吧？

每个人呢都可以走大道或者是三道啊，我们把这个三道呢，就把它叫做小道吧。他说，经过BC的时候，最多有一个人可以更改道路，我们看到制度的问题，可以考虑它的相对立面。对吧，它的对立面就是呃。我两个人都改变道路了。是不是好来，我们一起来研究一下，首先呢，我们是。

啊，分步来去求解。对吧，分布那么第一步。我们从a。到b。有几种不同的方法呢？因为啊，这个第一个人对吧？可以有两种方法走，第二种人也可以有两种方法走，所以二×2=4，是不是就简单的一个乘法原理啊？有四种不同的走法。那么下面我们再看到第二步。

我们从b。我们从b到c。那么，从b到c，它有要求了。他说，经过b点的时候，至多有一个人可以更改道路，我们总共所以注意了，我们总共有四啊，从b到c，我没有任何约束条件，是不是？啊有二×2=4种方法，对吧啊？

第一个人有有两种方法，第二个有两种方法啊，总共有多少种不同的搭配呢？是二×2=4。对吧，二×2=4，但是呢啊，这有一种情况是不符合不符合要求的，什么样的情况是不符合要求呢，就是这两个人同时改变。行走的这个路线了，对吧？第一个人改变行走的路线，对吧？如果他原来是小道的话，

现在是不是只能走大道了？只有一种方法，对吧？第一个人改变。啊，有一种方法，第二任改到也只有一种方法，那么这两个同时改到是不是就一×1啊？所以我们计算出来。从b到c有三种不同的走法。好，下面呢，我们再看到第三步。那么，从c到a。

由于题目要求我们说啊，在b点和c点。至多有一个人可以改到我们也是从它的对对立面的角度来考虑，总共注意了啊，从c到a总共是啊，总共是有四种方法，对不对？对吧呃，这两个人各有两种方法，那么一搭配起来是不是二×2=4的方法？我们现在还扣除那些不符合要求的情况。所谓不符合要求，是指这两个人同时都更改道路，那么第一个人更改道路只有一种方法，第二个人更改道路只有一种方法，

所以两个人同时更改道路是一×1。对吧，所以四减去一乘，一是有三种不同的方法。啊，那么我们这三步对吧？经过这三步之后，我们把这个任务完成了，所以应该是啊，分步是用乘法原理。所以啊，由乘法原理。我们有乘法原理，可得应该是四×3再乘以三四九三十六有36种不同的方法。所以这个题目正确答案选择c选项。

好同学们，第190题是有一定的含金量的，我们下面呢？从几个角度跟大家呢？把这个题目做一个举一反三。首先，我们来看到方向一。我们看怎么去改啊？我们可以从人的角度来说，把走的人变多，对吧？刚才是这有两个人。好来，同学们。原题中的现在是有三个人。

有三个人。啊，从AD。有三个人从a地出发。啊，经过BC。沿历史的方向。好沿历史这个方向走一圈。回到AD。有多少种方法？对吧，那么。那么，我们这个地方呢？注意了啊，

它的要求还有要求的啊，这地方我们呃保持不变的，注意它这个地方是变化了的。是有三个人。是吧，然后这个不变的要求。要求是。经过BC时。经过BC时，至多有一个人可以更改道路。啊，制度有一个可以更改道路。好，这是这个题目，那么这个图形我们把它画出来。

这个是。ABC.这个图还是这个图？但是人数增加了。是吧，至多有一个人可以更改道路。那么这个人呐，他说至多有一个人可以更改道路，同学们注意了，我稍微变化一下啊，我还想改一下。我把它改成至多有两个人更改道路，注意啊。至多有两个人可以更改道路，也就说题目啊。

题目修改的。同学们，题目修改了，有两个位置，一个是。人增多了，对吧？两个人变成三个人了，第二个是啊，限制条件说原来说至多有一个人更改道路，我现在改成了至多有两个人更改道路好，这个问题我们怎么解决？我们也是分三步，我们也是分步来去解题。对吧好，

我们看第一步。我们第一步呢，是从a到b。好，第二步呢是？从b到c。第三步呢，是从。从c回到a好，从a到b没有任何的限制，第一个人有两种方法。对吧，第一个人是有两种方法。好啊，两种方法，

第二个人也有两种方法，第三个人也有两种方法，是不是二×2×2？等于八呀，它有八种不同的方法。对吧，它有八种不同的方法。那么，从b到c的时候，它就有限制了。他说，至多有两个人可以更改道路。对吧，那我从它的对立面角度考虑，它的对立面呢是？

三个人都更改道路了。对吧，三个人都更改道路好，同学们注意了，总共是有八种方法，对吧？从b到c总共有八种方法。啊，跟我们第一步考虑是一样的，对不对？有八种方法，然后呢，再扣除不符合要求的啊，不符合要求的是指是三个人同时更改道路。对吧，

第一个人更改道路啊，有一种方法对吧，总共只有两条路，你改你改道是不是只有另外一种方法了，第二个人更改道路啊，第二个人更改道路也是有方法。只有一种方法，第三个人更改到了，也只有一种方法，所以是八减一乘，一是等于七种不同的方法。好，那么从c到a。从c到a，我们也是从这个整体扣除的这个角度来去求解，

跟我们上面第二个一模一样，对吧？总共有八种方法扣除啊，不符合要求的一种情况啊，剩下七种是符合要求的，那么根据惩罚原理可得。好由乘法，原理可得。啊，共有多少种呢？是不应该是八×7×7？对吧，所以它要等于八×49，49是等于50-1的，所以它应该等于400-8等于。

392有392种不同的方法。好，这是第一种方向，把人变多。那么，第二种方向呢？第二种方式呢？就是把路变多。是吧，我们看方法方向二。我现在的人还是像以前的说两个人，两个人从a。从a地出发。啊，从a地出发，

经过BC。沿历史的方向走一圈。呃，沿历史的方向呢，走一圈回到a地。嗯，有多少种方法？这个要求呢？好注意这个要求呢是。还是原来这个要求。这个路呢？这个图呢？变符。这个图呢？变复杂了。

好，我们把这个图啊。这个图形呢？我们把它。在外面呢，我们还有一圈啊。比如说啊，从a到b还可以这样走一圈，对吧？还可以这样走，还可以这样走。同学们，看到了没有？也就是说从a到b有三种方法，从b到c有着方三种方法，

从c到a也有三种方法。这个路线变多了。对吧，路线变多了。好，那么这个问题咱们怎么做？其实也是分布。对吧，也是分布。注意啊，它的变化是什么？我把它写下来，在这个文字上看不出来它的变化。啊，在于。

图形。图形。啊中图形图形中。有路变多了。对吧，图形中路变多了。好，那么下面呢？我们来看一看这道题啊，我们首先呢是分步，我们也是分三步。第一步是从a到b。第二步呢，是从。b到c。

第三步呢，是从c到a。对吧，好同学们注意了，我们从a到b啊，我们从a到b。啊，每个人有三种方法，你现在有两个人，所以应该是三×3对吧？第一个人有三种方法，第二个人也有三种方法是三×3=9种。对吧，有九种不同的方法。那么第二步呢，

是从b到c。对吧，从b到c我先不做限制条件啊，让这两个人随便走，对吧？第一个人有三种方法。第二个呢？有三种方法对吧？合起来设备九种方法，否则扣除那些不符合要求的。它的要求是至少啊，这个至多有一个人可以更改道路，我就考虑你的对立面，你的对立面是指两个人同时都改道。对吧，

第一个人。改道原来他已经走了一种方法，对吧？你现在改道总共有三种，三种路线，你走了一种路线，我要改道了，是不是还有两种？两种其他的道路可供选择呀，所以第一个人感到有两种方法，第二个人改变道路也是有两种方法，对不对？所以这两个人同时改变道路是二×2。那么，我们计算一下，

九减四啊，九减四是等于五的，它有五种不同的方法。好，那么对于第三步啊，同学们，第三步呢啊，从c到a跟我们的第二步，从b到c是一模一样的。是不是也是三×3-2×2有五种不同的方法？那么，最终根据乘法原理，可得是吧？根据乘法原理，可得我到这边啊？

根据乘法原理，可得是不是应该是？九×5×5啊，对吧？九×25。对吧，九×25我们乘一下25×9。五九四十五二九一十八两百二十五。对吧，所以它是有225种不同的方法。这是方向，这是方向，一和方向，二方向，一呢，

是人变多。对吧，方向一是人变多，方向二呢是路变多。对吧，路变多，注意了，人变多的时候，它有一点，它有一些啊呃，这个要求上实际上有了一些变化，他说至多是有两个人可以更改道路。对吧，路边多的时候，这地方人还是两个人的时候，

它说至多有一个人可以更改道路，能理解不？那么下面我们看到方向三也是最难的，我把人也变多，我也把路也变多了，那这个问题同时都变多，那就复杂了。好，下面我们看到方向上。好，那这个时候就可以变成有三个人。啊，有三个人从a地出发，经过BC。啊，

从a地出发，经过BC。沿历史针方向。啊，先走一圈。回到。AD有多少不同方法？对吧，这边的要求咱们把它写出来。它的要求是什么呢？它的要求是经过BC时。经过BC时。四多。注意啊，是有两人啊，

制度有两人。可以。更改道路。至多有两个人可以更改道路。那么，我们注意了，这个我先写下来啊，它是人。人变多。对吧，人变多，路也变多了。那么下面呢？我们把这个图先给大家画出来。好，

这边呢，我们再在外围再画一个。嗯。好，这YY还。还画一条路线出来。这是。ABC对吧？有三条路线，这是一条，这是两条，这是第三条。对吧，每一个地方都有从a到b有三条路线，从b到c也是三条路线，

从c到a也是三条路线。那么，这个怎么做呢？我们也是分三分三步。我们也是分三步。好，第一步是从a。倒闭第二步。从b到c。第三步。好从c到a。那么，我们从a到b的时候，第一个人啊，有注意了，

第一个人有三种方法，第二个人也有三种方法，因为他是有三个人。对不对啊？第三种啊，第三个人也有三种方法，所以是三×3=27种。对吧，有27种不同的方法。那么，第二步从b到c的时候。我先让你随便走，对吧？随便走是不是应该是三×3×3对吧？那么我在扣除那些不符合要求的情况。

你的要求是什么呢？你的要求是经过b点的时候哎，你至多有两个人可以更改道路。我现在想考虑你的对立面，你的对立面是三个人都更改道路，对吧？第一个人更改道路。啊，总共有三条路可以走，你已经走了一条路，你要更改道路是不是有两条路可以走啊？对吧？二那么第二个人在更改道路对吧？是不是也有两条路可以走？第三个人更改道路也有两条路可以走？

所以是三×3×3-2×2×2，对吧？它应该是等于27-8=19。有19种不同的方法。那么，第三步从那b，从c到a，实际上跟我们上面的第二步是一模一样的，对吧？也是有19种方法。所以由乘法原理可得。啊由乘法，原理可得。啊，共有多少种方法呢？

是不是应该是？啊，共有27×19啊，再乘以19。有这么多种方法啊，这个计算啊，我主要是跟大家示范这种思路，这个计算我就不算了。对吧，这是啊，方向三我们考试呢，大概也就只有这三种方向去挖掘了。对吧，那如果这个学有余力的同学可以啊，可以再进一步的往下深挖，

比如说我把这三个人。啊，对吧？我把这三个人改成n个人。啊，当然考试不可能考那么多了，对吧？不可能考四个的，你看三个人的时候，这数字已经很大了，对不对？考四个人数字更大。如果改成四四n个人，从a地到a地出发啊，经过b地和c地沿地势的方向，

回到a地有多少种不同的方法，那这个题目它的答案就变成了什么呢？注意了，这个地方也要做一些更改。对吧，至多这地方，你如果这地方改成n的话，那这地方就改成n至多有n- 1个人可以更改道路。啊，因为因为它的对立面就是n个人全部都改道路了，对不对？那么这个方法应该是多少呢？首先第一步啊，第一步那从a。啊，

第一步从a到b啊，从a到b应该是什么呢？第一个人啊，第一个人有三种方法对吧？第一个人有三种方法，第二个人也有三种方法，第三个人有三种方法，一直到第n个人有三种方法。那n个人从a到b是不是应该有三的N次方个方法对不对？是不是啊？那么第二步从b到c的时候，从b到c的时候啊，我先让他随便走，让这n个人随便走，他有多少种方法呢？

有三的N次方。对吧，有三的N次方我，然后啊，再扣除那就不符合要求了。不符合要求的是指这n个人全就是就是至多有两个人可以至多有n减，一个人可以更改道德的对立面就不符合要求，它的对立面就是不符合要求的。对吧，它的对立面是这n个人啊，都更改道路了，第一个人更改道路有两种方法，第二个人更改道路也有两种方法，对吧？一直到底n个人更改到了也有两种方法，

所以应该是啊减去。二×2×2有恩格尔相乘，所以是减去二的N次方，对吧？这是从b到c，那么从c到a。从c到a也是三的N次方减去二的N次方，对吧？也就说我把它改成啊，我把这个人进一步的增多变成n个人。然后把这个约束条件啊，把这个约束条件改成啊，至多有n- 1个人可以更改道路，那么最终的结果就是。啊三的N次方乘以三的N次方减二的N次方乘以三的N次方减二的N次方对不对？

有两个三的N次方减二的N次方。啊，这样啊，其实我觉得啊，我们考试过程中跟大家呢，讲到方向一方向二方向三讲的这三个方向已经足够了，后面这个拓展的啊，后面这个一般规律啊，一般规律呢。啊，学有余力的同学啊，可以思考一下啊，记把自己的这个思维进一步的往深处挖掘啊。啊，把命题思路进一步的往深处挖掘，

这样的话，嗯，我们考试的时候，实际上你挖的越深，对吧？你想的越明白，越透彻，考试的时候不管它变什么花样。啊，都逃不出你的法眼。好，这是第啊190题。那么下面呢？我们啊，我们看到第啊，

这个191题。好，我们看到这道题目，它的啊，已知条件，它说湖中有四个岛。他们的位置呢？恰好近似的构成正方形的四个顶点，若要修建三座桥，将这四个小岛呢？把他们连接起来有多少种不同的方案？好，我们。画个示意图。啊，

这个是四个岛对吧？这四个岛的这种结构现在修三座桥。那么，这个题目什么意思呢？要修三座桥，我们可以这样来，那大家看我们可以，这是一座桥，两座桥，三座桥。这是把四座岛把它给连起来了。对吧，我们也可以这样来啊，我们也可以这样修三座桥。那我们这样修三座桥，

是不是也是把这四个岛连起来了？我们也可以这样来，我们这样是不是也是？是由三座桥把四个岛连起来了。对吧，那么我们可以这样来考虑同学们。那这个。我们把这个呃四个导两两相连。它就形成了六条线段。是吧，形形成了六条线段，那么我从这六条线段中任意的选出三条线段，也就是选选出三条线段，作为三条桥。对吧，

三座桥。啊，然后要求这三座三条线段呢，也就这三条桥对吧？三座桥这三条线段。把这四个点。把它连起来。这样的话，是不是就把这个问题解决了？那么如果啊，我们我们我们从六条线段里面任意的选出三条来，我先任意的选，那肯定有些不符合要求的，我再把那些不符合要求的把它扣除。数据得到符合要求了，

这就是我们的思路。好，我把这个。它的这个格局。那么，这个题目的解题依据是首先。啊那。好第一步。我们把。四个岛。看作四个点。这四个点。之间的。连线。看作巧。

那么任意啊。任意两个点。字间。连一条线。共有几条线呢？共有c四二=4×3再除以一乘以二四等于。啊，等于六条对吧？共有六条线。那么我们。啊，这是我们的第一步的分析。第二步啊，因为我们总共要建三条啊，建建这个三座桥，

所以呢，我们是从。六条线中。啊，六条线中任意的取出。任意的取出三条。对吧，那么取出来的这三条线段就当做是三座桥，共有多少种？取法呢，就是c六三=6×5×4比上一×2×3是等于20的。对吧，他有有20种。对吧，有20种取法。

那么我现在同学们注意了，我这是任意取的，我是不是还扣除一些不符合要求的？对吧，好扣除。啊，不符合。啊，要求的。有几条？啊，不符合要求的就是三条线。没有把这四个点全部串起来。对吧，那么现在我们来看一看，

哪些是没有串起来的，比如说我们这样要连三条线。啊，要连三条线，其中没有把这四个点串起来，对吧？那么我们发现呢诶？这是这三条线，连起来是不是有一个孤独的点啊？对吧，这种情况下是啊，这是没有串起来的，也就是说啊，右下角这个点被孤立了。对吧，

我们再看左下角，这个点被孤立的情况。对吧，我们在这是第二种情况，我们看啊，这个左上角这个点被孤立的情况。对吧，这是第三种情况，我们再看右上角这个点被固定的情况，这第四种情况由于有四个顶点，这个正方形有四个顶点。每一个点都有可能被孤立，对不对？所以总公司有四种不同的情况是被孤立的，对吧？

所以呢，总公司有。啊，不符合要求的啊，不符合要求的是有。有四种。有四种因此啊，我们把它一扣除，从20种情况中扣除不符合要求的四种是等于16。对吧，20-4是等于16，那么这个题目。好正确答案选择b选项。正确答案选择b选项。那么，

这道题目呢？我们。把它拓展一下啊。我们拓展一下，比如说有五个点。那比如说我们这边。啊，比如说我们这有五个点。五个点的话，我们现在呢，想连四条线就是建四座桥，要把这五五个。五个点代表了五个导，把它连起来好，我把这个题目。

啊，这个湖中。啊图中。有五个岛。湖中有五个道。他们的位置呢？恰好近似的构成。下好的近义词构成五边形的15个顶点。要修建四座桥。要修建四座桥啊，江浙五个岛。连接起来。好，所以有。多少种？

好，这有多少种不同的方案？变成一道这样的题目，那么我们可以照着葫芦画瓢，对吧？把刚才的。这种思路。把它借鉴过来，像这种思路呢，实际上就是用图形来表示对吧？来表示这些啊，导和桥这有图论的思维。啊，我们数学里面有一个。专门的这种研究叫做图论。

好同学们，我们首先呢？那首先呢？我们这个。你看啊，任意的两个点都之间连一条线。是吧，是不是任意的两个导之间连一条线，两个点之间连一条线啊？这样的话，总共可以连接多条多少条线呢？那我们研究一下，看看。这就比较多了啊。好第一步。

啊将啊，我们这个原理是一样的，把这个导用点来表示这个桥用线段来表示对吧？好从。五个点中。任选。两个点。连成。啊啊，连线任意选两个点，有线段相连有多少条线？有多少条线呢？应该是c五二是等于十。对吧，有十条线。

对吧，可以总共连出十条线来。任意任意两个导之间，任意两个点之间连线啊，我们看看一条。两条。三条，四条。舞跳。六条，七条。八条。九条十条是不是总共有十条线了？对吧，然后。

第二步。我们从。十条线中。任取注意啊，任取四条线。对吧，任取四条线。那么，有多少种取法呢？应该是c14=10×9×8再乘七。比上一×2×3再乘以四。我们约个分。那这边呢？这个呃，二四得八。

约掉了，这边约掉还剩下三，所以呢，计算一下，我们得出来是三+21=210。对吧，有210种取法。但是这210种取法呢？我们是任意的取的，对不对？我们是任意取出四条，那肯定有些是不符合要求的。对吧，有一些是不符合要求的。哪一些是不符合要求的呢？

比如说存在一个固定。对吧，我们来看一看，存在一个估点的，那么我们要扣除注意哦，我们要扣除。啊，不符合。我们扣除不符合要求的有多少种？来研究一下。哪些是不符合要求的？哪些是不符合要求的？那比如说存在啊，以这个我以这个为例，这是个个点。

对吧，这是一个孤点。那么四条线。对吧，都是在。啊靠，左边的这四个点。那么它就那么它就是。啊，它是孤独的点了，比如说啊，这一二三四对吧？对吧，任意的也就是说从这四个点啊，同学们注意啊，

也就是说这四条线呢，它是分布在左啊，分布在。分布在这一个地方，分布在这个区域的四个点中。四条线。对吧，那么我们来看一看。啊，首先啊，大家注意啊。这边扣除不符合要求的啊，首先呢是从。我这边稍微缩小一点啊。好，

同学们。这是第一类不符合要求的。那这是第一类不符合要求的，对吧？就是啊，有一个估点。好，这里面分啊。d呢，是有。有一个固点。孤点就是孤独的点，对吧啊？有一个孤点，我们看有几种情况，

首先从五个点中任意的选出一个点来。啊，作为孤独的点。是吧，从五个点中任意的选出一个点作为过渡的点。啊，那么有c5一种不同的选法。那么，接下来我们四条线段啊，恰好在剩下的四个，其余的四个点中是吧？这四四条线段。啊，这四条线段是不是要分布到这四到这个连接的这四个点中啊？看它有多少种不同的连法。

是不是啊啊？同学们是不是在这四条线当中啊？只能够分布到这个。橙黄色的圈圈的这四个点中。那么怎么这个呃，到底有多少种不同的呃，这么是分布方法呢？怎么做啊？是不是又模仿我们的第一步的方法呢？对吧？好同学们注意了，这个地方我们现在计算一下，总共是有四个点。是吧，这四个我从四个点中任意的选出两个点来c四二对不对有？

是不是总共是有六，总共是有六条线段了，我们再从这六条线段里面任意的取出四条线段来。对吧，首先是啊，首先是这六个啊，这四个点任意的两个点啊，相连那么可以形成六条线的，我再说这六条这六条线呢，就相当于是。啊，我们心中想象的六条桥，我再从这六个桥中选出四个桥出来，对不对？看它有多少种不同的取法，

所以呢，应该是。c5幺注意啊，这边是啊c。六四。是不是啊？从四个中c6是我们刚才这个六是从哪里来的？这六是我们刚才写的，这是不是？啊c12=6，从这六条线段中取出四条来。对吧，这样的话啊，就有这么多多种不同的取法啊，第一类啊，

第一类我们这边计算一下是等于五×c六，二是等于15的五×15=75。对吧，有有有一个古典的是有75种。好，我们再来看一看。呃，如果它有两个估点的话。同学们，它有两个估点。好，这边是第二类了。它有两个估点，那比如说。这两一个连了。

对吧，这占了一座桥了。然后还有三座桥。它就只能够是跟。上面的相连了。是不是啊？跟上面的相连，那上面的相连呢？就只能是这三条相连了啊？明白吗？这是不是建了四座桥？这样也没有串起来。好，我们来写上来。好由。

有两个姑娘的时候。啊，首先我从啊，首先这个啊，第二类中我我得从五个点中选出两个点来，让它作为落单的。啊，对吧？那它作为估点，那就是从五个点中选出两个点来是c五二，那么还剩下来的。啊，而我选出来这两个点啊。选出来的这两个孤点，它中间有一条线连起来了，

对不对？那么剩下来的。就是c五三对吧？从剩下的c五三啊c三三啊，剩下三个点选出来啊，作为另外一个。作为另外一个小团体，对吧？从五个点中选出两个点来，作为一个小团体，他们是啊啊，他们是跟剩下的三个小团体，三个点构成的小团体是。不相连了。对吧，

所以c五二×c三三咱们计算一下啊，应该是等于c五二是等于10c三三=1，所以它是有。十种不同的情况。好这样呢，我们由加法原理可得对吧？由加法原理可得那么不符合要求的情况，是不是应该是75+10=85种？那么我们用啊，我们用总共的210扣除不符合要求的85种，对吧？应该是等于125种。也就是说，有五个导的时候。我们建四座桥，

有100。25种方案。这个举一反三的这个题目呢，比这个第191题呢，要难一些啊，它的情况也要多一些是吧？好，下面请同学们看到第192题。好，我们看到第192题。这一道题目呢啊，它说有两排座位，前排有六个座，后排有七个座。啊若安排两人就座，

规定中间关规定前排中间两个座位不能坐，那么这两个人始终不能啊，还要求不能相引而坐，有多少种不同的做法，这道题目呢？呃，我们前面有一道题啊，给大家呢讲过啊，就是其实跟它是一样的。是吧，大家还有印象吗？我们快速的给大家这个复习一下啊，梳理复习一下。第一派是有六个座。前排有六个座，

并且中间的两个座位呢，是不能坐的。对吧，中间的两个做我不能做，那么这样的话，这是有六个做啊减去。中间的两个不能坐的，是不是有四个座位下，后面的是有七个座位对吧？总共合起来是有。啊，11个座位。所以啊，我们啊，我们是先任意的从啊啊先任意的。

啊，就是从11个座位中任意的选出两个座位。从11个座位中任意的选出两个座位啊，共有多少种方法呢？是c11选二对吧？它是等于。11乘以。十再除以一×2。是等于。啊11乘以啊，注意啊11×10=110对吧？或者说约个分啊，这个是五共有50。15对吧？共有55种。

然后注意了，这只是选座位啊。第一步。是啊，选。选出两个座位。选出两个。两个不相邻的座位。对吧，选出两个不相邻的座位，我刚才呢是任意的选对吧，然后再扣除。相连不符合要求的情况。好在扣除不符合要求的情况，哪些是不符合要求的呢？

啊，相邻的是不符合要求的，这是第一种不相不符合要求，这是第二种不符合要求的，这是第三种不符合要求的。这是第四种啊，这是第五种，这是第六种。这是第七种对吧？这是第八种。好，也就是说不符合要求的情况有。八种对吧？我们都罗列出来了。所以符合要求的情况。

对吧，符合要求的情况是不是应该等于55-8？等于47。对吧，有47种符合要求。那么下面呢？我们看到第二步。把两个人。把两个人。啊，就做。让他们坐到这两个选出的座位中。是不是有个排队的问题啊？AR等于两种，那么由乘以法原理可得。

好由乘以法，原理可得，应该是47乘以，二是等于90。四种对吧？所以这道题目正确答案选择c选项。我们在前面讲解这道题目的时候呢，跟大家呢，做了很多拓展啊，我在这个地方呢，就不再去做拓展了，请同学们呢啊，复习相应的笔记。好同学们，那么下面呢？

我们看到第193题。好这一道题目呢？我们一起来看题目，已知条件。他说，在八名志愿者中。只能做英语翻译的有四个人，只能做法语翻译的有三个人，既能做英语翻译，又能做法语翻译的有一个人。那么，同学们，我们画一个示意图像这种题目啊，实际上是一个，这个叫做啊，

叫做韦恩图的一种模型。对吧，这边呢，我们写上啊，这是英语翻译，对吧，这是法语翻译，那么这中间教教会的地方就是既会英语翻译也会法语翻译。对吧，它是既能做英语翻译，又能做法语翻译的，是有一个人。那么只能做英语翻译呢？是有四个人只能做法语翻译的，是有三个人，

我们发现四+1。再加上三是等于八的，恰好是八个人，那么这八个人是不是就全部分配完毕了，对吧？好，他说要从这八个志愿者中选出三个人来做翻译。确保英语和法语都有翻译的不同的方案，有多少种？那么，同学们注意了，像这种题目，我们啊，分类我们分类计数。对吧，

我们分几类呢？唉，我们一块来看第一类。啊，像这个啊，像这个既会英语又会法语翻译的人呢，我们把它叫做多面手，对吧？就是呃，能够干既能搞英语又能搞法语翻译的好，我们取出的三个人。取出这个三个人中。啊，有多面试？啊，

取数的三个人中有多面手？好，第。好第二类。取出了三个人中。它没有多面手。对吧，我们就分这两类，那么看到第一类取出的三个人中有多面手啊，共有多少种方法呢？我们首先。把这个多面手选出来，它总共只有一个多面手是吧？我选出来c幺幺。然后从剩下的。

啊四+3=7，从剩下的七个人中，我任意的选择两个人出来。连同那个多面锁合起来，是不是有三个人呐？对吧，这样的话，由于我们有多边手来保障，我们选出来的。翻译，英语翻译和法语翻译都有了，对不对？所以呢，它都是符合要求的。c幺幺乘以c七二注意啊，

这个这个七是哪里来的？同学们啊，这个七我解读一下这个七是哪里来的？这个七呢？是三+4=7，明白吧？是三+4=7。c七二。好，我们计算一下c幺幺等于1c七二啊c七二是等于21的六七啊七×6÷1×2=21。所以呢，第一类取出的三个人中有多面数，它是等于20对吧？有21种取法。那么下面呢？

我们看第二类。取出的三个人中没有多面手，对吧？没有多面手，这个时候呢，它又分为。啊，又分为。啊，又分为这样的两类。对吧，又分为两类，第一类是。好，第一类是。

啊俩音。一法对吧？两一一法第二类是。啊，一音两法。所以我们来看到啊，两英一法就是从四个指挥英语翻译的人中选出两个英语翻译，再从。三个指挥法语翻译的人中选出一个来，对吧？所以我们计算一下c四二是等于6c三幺是等于三啊六×3是等于18。对吧，它有18种方法。那么下面呢？第二小类一英两法呢？

应该是啊，从四个指挥英语翻译中选出一个人来，再从剩下的啊，再从这个三个指挥法语翻译的人中选出两个来。说是c幺c4幺乘以c三二，它应该是等于四×3=12种。对吧，是12种好同学们，那么这样的话，我们这个取出对吧？取出三个人中没有多面手，共有几种方法呢？有加法原理是不是应该是18+10？12是等于30种方法的。对吧，

这是它的宏观结构，那我把这一块呢，我把它框起来。同学们，这一块我把它框起来啊，框的这一个呢，我用绿色的笔。对吧，这个框的这一块呢，是是我们的第二类里面啊，求第二类的时候，我们又用到了一个啊，分类技术对吧，用加法原理。所以整体上啊，

整体上有。好由加法。好有加法。啊求加法，原理可得。第一大类是21种方法，第二大类是30种方法，所以合计是51种不同的方法。因此，这道题目正确答案选择e选项。啊，正确答案选择一选项。那么，这一道题目呢？它是可以再进一步的做一些举一反三，

或者说改变题来考我们的。对吧，事实上命题老师呢，特别喜欢做这样的，这种改变好，我们看到举一反三。我们看到它的方向一。方向一。先把示意图画出来。这边呢，是英语翻译的。这个是法语翻译的，我们把这个多面手的地方啊，就是这个这块区域对吧？这是多面手。

啊既会英语翻译，又会法语翻译的，我们把它改成两个人了。对吧，人数增多，然后这边呢，依然是四个和三个。对吧，好那么同学们注意了。好好入图。啊，从中。从中选出三个人。从中选出三个人。啊，

做翻译。从中选出三个人来做翻译。啊，确保。确保英语。和法语。好，他都有人，对吧？好，他都有人翻译的方法。有多少种？就是从中选三个人做翻译，确保英语和法语都有人翻译的有多少种？那这个地方呢？

我们其实啊呃，我们也可以分类对不对？但是分类呢？嗯，同学们注意了。啊，我们如果按照分类技术的方法来去做啊，第一类说取出的三个人中有多面手，但是有几个多面手呢？唉，我这个改编的题目。你看取出的三个人中可以有一个多面手，也可以有两个多面手。这是不是变得更复杂了，对不对？

是不是好，所以我们先看到这个解题啊，方法一还是分类计数啊？啊，这个方法一。我们分类技术。第一类啊，第一类啊叫做第一大类。啊，取出的。啊，选出的。三个人中。他有多面熟。好，

我们再看到第二类。取出这三个人中。它没有多面手。好，他没有多面手，那么同学们取出的三个人中有多面手？那那这边又分为。它又分为两类。对吧，第一类是。取出的多面手势，有一个人对吧？所以是c2幺。对吧，然后再从剩下来的七个人中，

对吧？四+3啊，四+3是等于七的，再从七个人中。任意的选出两个人来。这样的话，这三个人是不是一定能够保证啊？英语和翻译都有人了，对吧？所以这边是二×21。是等于42种的。能理解吧，好第二种情况，第二小种情况是取出的多面手是有两个人，那就是c二二。

对吧，取出的多面首页两个人。那么，还得取出一个人，那只需要从剩下的七个人中任意的取出一个人就行了，对吧？所以四边是一×7。是等于七种的。那这样的话，第一类。对吧，咱们的第一啊，第一类它有多少种不同的结果呢？是不是有加法原理可得42+7？是等于。

49种的。对吧，有49种不同的区法。那么下面呢？我们看到第二类。取出的三个人中啊，他没有多面手。对吧，它没有多面手。啊，没有多面手的话，这地方也是要分类好，同学们，我整体往下挪一下啊。好，

取出来没有多面手。那么，没有多面手，我们又分为。两类对吧？啊，第一类呢是？啊，第一类呢是？啊，一音。量法第二类呢是？啊，量法。译英对吧？

好，我们计算一下译英疗法呢，是从四个啊，是从这个四个字或英语翻译中选出一个来，再乘以。从三个指挥法语翻译的人中选出一个人来。对吧，这边计算一下，就是四乘上是等于12种的。好，下面呢？我们来看两法一音从只会啊诶写错了啊，这地方写错了，应该是两音一法。啊，

这是两英一法啊，从指挥英语翻译的四个人中选出两个人来，再从指挥法语翻译的人中选出一个来，对吧？c四二是等于六的c3幺是等于三的啊三六一十八，所以按照加法原理，可得我们第二类应该是12。啊，加上18=30种。对吧，所以最后这边由。由。啊，加法原理。可得应该是。

49+30等于。70种不同的方法。好同学们，这是方法一。那么下面呢？我们看到方法二。方法二呢，是整体扣除。啊，用整体扣除的方法。啊，怎么去整体扣除呢？同学们，咱们怎么整体扣除呢？我们可以这样来。

我们总共是有啊，注意了，总共是有四+2，加上三是有九人。对吧，我先从九个人中任意的选出三个人来。那么，有一些人有一些情况肯定是不符合要求的，什么叫做不符合要求呢？就是你选出来了三个人。它都只能做英语翻译。或者都只能做法语翻译。是不是啊？所以它有要扣除两类人，两种情况，

第一种情况只会英语翻译选出了三个人，只会英语翻译是c四三。对吧，从四个指挥英语翻译的人中选出三个人来，第二种，第二类情况呢是从啊三个指挥法语翻译的人中选出三个人来。对吧，这都是不符合要求的，咱们计算一下，应该是九×8×7，这边是一×2×3。好c四三是等于不c四三是等于c4幺的，直接是4c三三是等于一，咱们计算一下这边约一下分。啊，

这个跟这个约一下，剩下四这个跟这个约一下，剩下三对吧？剩下三好那么三×4再乘以72×7。是等于84的对吧？再减去五是不是应该等于79啊？你看两种方法。得到的结果都是一样的。好，大家注意了。这个命题方向啊，我们讲到的方法二，那么我们原来的这个例题是不是也能够用方法二来试一试呢？就这道题目啊，这个属于是。

方法一。是吧，那么下面我们来看一看这个。方法二。方法二呢，用整体啊，我们现在回过来用整体扣除法。对吧，我们整体扣除，你看总共呢是有四+1+3是有八人，我现在从。八个对吧？我说从八个人中任意的挑出三个人来。然后再扣除那些不符合要求的情况，什么叫做不符合要求的情况就是选出来的四个人中啊，

选出来的三个人中只能做一种翻译。一种语言的翻译，它又细分为两类，第一类是选出来三个人只会做英语翻译，对吧？所以我从四个只会英语翻译的人中选出三个人来。然后再扣除，只会做法语翻译的，对不对？c三三咱们计算一下c八三是等于八×7×6，这边是除以一×2×3。好c四三是等于c4幺是直接是减去四对吧？c三三呢是减去一，咱们计算一下啊，这边呢？

你看二三得六跟这个六约分约掉对不对？那么七八五十六五十六减去四减一减五等于五十一种。对吧，跟我们刚才方法一做的是结果是一样的，所以数学不管你用哪一种方法啊，做出来的结果。对吧，只要你这个方法和计算过程都是正确的，推理过程都是正确的，那结果必须是必然是一样的。对不对？它是统一的好，这是例题，193啊，给大家提供了两种方法，

然后我们所做的举一反三呢。啊，也提供了两种方法。对吧，那么接下来好大家注意了，接下来我们还可以做方向二的。啊，这个研究。比如说我们现在除了英语，法语，还有中文。好，我把这个。啊，英语这样吧。

因为是外外是外国啊，外语啊，所以我就直接写英语。啊，法语。德语对吧？英语法语德语。那么我们这边呢，既会英语又会法语又会德语的，有一个人啊，这边是两个人，这边是两个人，这边是两个人好，这边是三个人，这边是三个人，

这边是三个人，对吧？我就编了这么一个数据。也就是说，指挥英语翻译的有三个人，指挥英语，法语，德语的分别有三个人，对吧？忌讳就是会其中的两种语言了啊，各各占两个人啊，三种语言都会的，有一个人。好，那么我们这是它的举一反三的方向二。

好如图。啊，如图。从中。同学们注意啊，从中任选。三个人。啊，至少。就是我们这个要求呢，选择这三个人。它的要求是什么呢？要求。三种语言中至少可以翻译两种。对吧，

三种语言中。至少可以翻译两种。对吧，得选法。有多少种？啊，从中任意选出三个人，要求三种语言中至少翻译至少可以翻译两种的选法有多少种？好，这个我们如果你看，至少可以翻译两种，那包括的情况就很多了，如果从正面角度考虑的话，对吧？你可以会英语，

第一种是英语跟法语，恰好只会翻译英语和法语，第二种是恰好只会翻译英语和德语，第三种是恰好只会翻译德语和法语。法语第四种是英语法则都会翻译。啊，都可以翻译。那同学们注意了这个呃情况就比较多了，所以呢，我们打算怎么来呢？我们打算呢，从它的对立面的角度考虑，它的对立面我们看看啊，它说三种语言中至少可以翻译两种。它的对立面。

啊，它的对立面是。对立面是啊。翻译啊，翻译名啊，至少至多可以翻译一种。是不是啊好？三种语言中。字多。可以。翻译一种，由于我们这里面呢，你选的任何一个人，他至少是可以翻译一个人，翻译一种语言的。

对不对？所以呢？它这个这个问题啊，它就等价于在本问题中等价于。啊，也就是说，在本题中，它是等价于。选出来三个人，他们恰好只可以翻译一种。是不是啊啊选出了三个人中？它等价于。选出的三个人。啊，恰好只能翻译。

只能翻译一种语言。对不对？变成这么一个问题。那么下面呢？我们啊，我们首先第一步。是分析。好第二步。我们计算。首先我们看看三+3+3+2+2+2+1，总共啊三三得九二二三得六对吧？然后再加上一总公司有16人。那我呢，是从16个人中，我从16个人中，

我任意的选出三个人来。然后再扣除不符合要求的，也就是它的对立面，它的对立面呢，是等价于选出了三个人都只能翻译一种语言。那么，它又细分成为啊三小种选出的三个人只会翻译，只会英语翻译，所以是不是就c三三了？选出的三个人只能会法语翻译，那也是c三三从三个人中对吧？这三个人中这三个人中这三个人中对吧？选出的三个人中恰好只会法德语翻译。是不是也是c三三？对吧，

这是不符合要求的，那么我们计算一下c6c十六三，它要等于。16×15×14除以啊一×2×3再减去后面的c三三是等于一对吧？是有三个一，所以就减去三了。咱们计算一下，约个分啊，这个跟这边约掉啊，它是八是不是啊？这跟这个约掉啊是五。对不对？所以呢，就变成了五八四十。事实。

啊乘以十四六五六零对吧？所以它是等于五六零减去三等于五百五。57种对吧？有557种不同的选法。那么大家呢，可以把这个方向一和方向二放在一块进行比较，那么方向二我们用方法一去解题对吧它就？会变得异常的复杂，我们用方法二来去解题，它就非常简单，所以说举一反三啊，这道题目的举一反三的方法二。更值得我们去掌握，当然方法一呢啊，你只有把它搞清楚了，

你才知道哦，方法一要考虑的情况太多了。是不是很容易漏？那很容易出问题，那么考试的时候我们优先选择方法二。好，第193题我就给大家讲到这里，下面请同学们看到第100。94题。好，我们看到第194题。三个科室的人。人数分别为六三二，因工作的需要，每晚呢，

需要啊，排三个人值班。啊，每晚需要排三个人值班，在两个月的时间里面，一般来说两个月最长是62天，对吧？七月。是大于。对吧，我们啊，一月是31天，二月呢啊，要分平年和闰年，对吧？

那么这个它的天数啊比较少那么？啊，三月呢，就是大月对吧？那么同学们注意了，一月大二月小三月大四月小五月大六月小七月大八月大。对不对？所以呢，七月。是31天了。那么八月。也是31天。是吧，那那也就是说连续的两个月啊，连续的两个月。

连续的两个月最多。是31+31=62天对吧？连续两个月最多62天，他现在呢？啊，题目中的结论说在两个月中可以使每晚值班人员不完全相同，要不完全相同就得看。啊，选出了三个人。对吧，我从我从这个科室里面选出三个人来。啊，看它有多少种不同的选法。这些不同的选法的总数如果是大于等于62天，大于等于62天，

大于等于62，就表明可以满足。每一天都是不同样的。对吧，如果不同的选法，比如说只有61，只有60，60种选法。那么你就无论如何会重复的。是不是要理解这个题目的意思？好，我们一起来看。条件一。他说值班的人员不能来自于同一个科室啊。好值班的人员不能来自于同一个科室。

那么我们就可以得出来。那它是不是来自于三个科室啊？来自于三个科室那？那这个要要来自于三个科室，要来三个人，那是不是每个科室恰好一个人呐？对不对？所以应该是c6幺。啊乘以c3幺乘以c2幺对吧？三个科室各来一个人，我们计算一下，它是等于六×3×2。是等于36，它是要小于62的。对吧，

小于62，所以它推不出结论了。啊，条件一它是推不出结论来的。好，下面我们看到第二步值班的人员来自于三个不同的。诶，同学们注意了哦，值班的人员不能来自于同一个科室。好，我们把这两个条件呢放在一块啊，进行对比啊。这个第一个条件呢，是值班的人员不能来自于同一科室。第二个条件呢是？

值班的人员来自三个不同科室。好同学们注意了，第二个条件呢，跟第一个条件，我们通过对比发现第二个条件更简单一些，对不对？它是从啊，它是从三个科室。唉，总共有三个科室，对吧？一个科室有六个人，第二个科室有三个人，第三个科室有两个人，那来自于三个不同的科室，

那我就从六个人的科室里面选一个人，再从三个科室里面选选一个人。再从两个人的课程里面选一个人，对吧？一乘起来就可以了，所以就是六×3×2是等于36，36，它肯定是小于62天了嘛。对不对？它也小于你看它要小于62，所以条件二它是推不出结论来的。那么，对于条件一，我们怎么去理解呢？同学们注意了条件一，

他说值班的人员不能来自于同一个科室。我们从它的对立面的角度考虑，注意了啊，六+3+2是等于11的，我先从11个人里面。任意的选出三个人来。对吧，从11个人中任意的选出三个人来，然后再扣除不符合要求的情况，它不符合要求的情况是来自于同一个科室。对吧，从三个人来自于同一个科室，所以扣除第一种情况c六三啊，都来自于六个人的科室，第二种情况都来自于三个人的科室，

对吧？它不可能都来自于两个人的科室。明白吧，所以我们计算一下，这边是11×10再乘以九除以啊，一×2×3。减去六×5×4÷1×2×3再减一，咱们计算一下啊。这边呢，是约一个啊，这个是五约一个，这边是三对吧？那么11×15。它是等于啊幺六五的，然后再减去这边。

啊一约掉减去20再减一，它是等于145再减一，等于一百四十二四。144显然它要大于62，所以这个条件一对吧，它是能够推出结论来的。条件一，可推结论。条件二，不能推结论啊，这个题目正确答案。选择a选项。选择a选项好，这是第194题。那么下面呢？

我们看到第。195题啊，大家看到讲义的第五题。11页。好，我们看到第51页的第195题，那么这道题目呢？它说。已知十件产品啊，产品中呢，有四件是一等品，从中呢任意的取出两件。这至少有一件一等品的概率有多少？那么，这道题目呢？

咱们怎么做？啊，它是首先呢，我们的概率p是要等于m比上n的，对吧？所以我们要搞清楚n啊，这个mn表示什么意思？这个n呢啊，表示从十件产品中任意的取出一件有多少种不同的取法？啊，任意的取出两件有多少种不同的取法，对吧从？实践。产品中。啊，

任意的取出。两件。有多少种不同的取法？从十件产品中任意的取出两件，有多少种不同的取法？好，我们再来研究这个MM表示什么呢？m表示满足特定要求的情况有多少种？对不对？满足特定要求的情况有多少种？什么特点要求呢？就是啊，从。实践产品中。取出。

两件。对吧，至少。有一件。是一等品。啊，看它有多少种不同的取法。对吧，看它有多少种区法。那么，同学们注意了，我们首先来看下面这个n。从实践中任意的取出两件有多少种不同的取法呢？是不是直接是个组合数啊？所以应该是。

c10选二，它要等于十×9÷1×2是等于45的。对吧，有45种不同的取法。那么现在咱们接下来我们要做的工作是什么？我们要做的工作朋友们。好，接下来我们要做的工作是求这个m。好，这个m咱们怎么去求呢？啊，我们可以从它的对立面的角度去考虑了，对吧？你说至少有一件是一等品。那么，

它的对立面。啊，两件。都不是一等品。对吧，两件都不是一等品。那么，我从总共的啊c12对吧？也就说这个是嗯，下面这个这个是m对吧？这个m要等于我从总共的。对吧，从实践产品中任意的举证两两件。对吧，在扣除那些不符合要求的。

不符合要求的就是取出来的都是一等品。对吧，总共有六件是非一等品，我从六件非一等品中任意的取出两件。对吧，咱们计算一下这边呢，刚才计算了c12是等于45的c六二啊c六二五六三十÷2是等于15。是吧，它是等于30的。所以第一步。第一步就是。把mn对吧？这个概率p=m比上n把mn给求出来，那么第二步直接计算带入。化简就可以了，

三十比上四十五分子分母同时除以十五对吧？所以它是等于三分之二的。那么，这个题目正确答案选择b选项。选择b选项好，这是我们的第95题。好，195题。好，下面呢？请大家看到讲义的第51页，我们看到命题角度三捆绑法和插空法。所谓捆绑法呢？是指。我们在解决相邻问题的时候，

对吧？把这些要把这些要求相邻的人，我们想象啊，有一根绳子把它们捆在一起。这样的话，把它作为一个整体，在跟其他的人进行排队，那么。要求相邻的人作为一个整体跟其他排队的过程中，那么他们是不是永远都能保证是相邻的？是不是好那么下面呢？我们来看这个例196这道真题，三个三口之家，实际上是九九九个人，对不对？

一起观看演出，他们购买了同一排的九张连座票，则每一家的人都坐在一起的，不同的做法有多少种？我们首先来看啊，就是假设这地方呢，有有三家人分别是。pp家庭是p1，p2，p3对吧？有qu 1 qu家庭qu 1 qu，qu 2，qu 3。还有r家庭r1r2r3，那么同学们注意了，

我们解题的时候，我们让这个p家庭的三口人把它捆绑在一起。它们内部是可以排序的，是不是应该是a三三呢？它们内部排序a三三是等于三的阶乘对吧？也可以说是等于六。我们这个题目的选项中呢，它三类阶层是没有算出来的，所以呢，我们就直接用三类阶层来表示。那么，我们第二小步把第二个家庭也把它捆绑在一起，它们的内部是可以交换顺序的，可以排序的，所以是a三三也是等于三的阶层。

好第三小步对吧？这是我们的第一小步，这是我们的第二小步，我们的第三小步呢？是把r家庭。把它捆绑在一起，它内部可以排序，所以呢，我们。啊，应该是。也是a三三对吧？应该是等于三的阶乘。好同学们，注意了，

还没做完。我们是不是应该把这啊把这啊把这三个捆绑体对吧，我们把这三个捆绑体。是不是还要排一个序啊？这三个捆绑里还有还有个先后排序的问题啊，所以还有一个a三三。它是等于三的阶层。那么，由乘法原理可得。这四步的过程。相乘。是不是三的阶层乘以三的阶层乘以三的阶层乘以三的阶层以四个三的阶层相乘，所以是三的阶层的四次方？因此，本题正确答案选择d选项。

呃，当然了，我们三的阶乘是等于六的，我可以直接写成六的四次方是吧？六的四次方。对吧，这是这道题目。那么，这道题目呢啊？我想给大家呢？还给大家做一个举一反三。好，我们看这个举一反三的训练。我们说。啊，

甲乙丙丁。物几。根好，这有几个人呢？甲乙丙丁午己庚是不是总共有七个人呐？啊，这七个人。排成一队。那么要求。甲和乙。是相邻的。啊丙和丁。是相邻的。啊，只要。

则有多少种？好，这有多少种不同的排法？是不是有多少种不同的排法？那么，同学们注意了，要求相邻我就先排嘛，对吧？好！那么，同学们注意了第一步。啊甲乙。捆绑在一起。我们把甲和乙捆绑在一起，共有多少种方法呢？

是由a二二对吧？甲乙捆绑在一起。有AR 2。AR 2呢是两种方法。好，我们再看到第二步。你丙丁要求相邻，那我就把丙丁捆绑在一起，对不对啊？甲乙捆绑丙丁捆绑在一起。好，这个丙丁。好丙丁捆绑在一起，它内部也是可以排序的啊，同学们内部可以排序。

好，我们。啊，它又有a二二等于。两种方法。好，接下来大家看啊，看我们上面这个示意图，你看甲和乙作为一个整体捆绑体，丙和丁也作为一个捆绑体。还有剩下来是不是有三个人了？对吧？那么两个捆绑体。啊，以及。

剩下的。以及剩下的三个人。对吧，排队。已经剩下了三个人排队合起来，是不是就相当于是五个人在排队啊？对吧？共有a五五a五五呢？是等于五×4×3×2×1。等于120种。对吧，有120种方法。那么，根据乘法原理，可得那么这三步的结果相乘？

是不是就可以得到最终的结果啊？所以是四×120等于。480种不同的排法。那么，同学们注意了，我们这个举一反三的题目呢？实际上，跟例196啊，这个题目。是如出一辙的。对吧，那么一一百九十六呢？它是三个捆绑体，我们这道题目呢是有两个捆绑体啊，连同三个人的，

它不需要捆绑，对不对？好下面呢呃。我们来看到这个第197题。好，我们看到第197题。三个男生，三个女生一起排队，不同的排法有144种。好，大家注意了啊，这个题目的公共已知条件是。啊，它的公共已知是。三男三女。

它的结论呢是？啊，有144种。有144种不同的方法，对吧？好，我们下面来看到条件一。条件一呢，他说男生不相离。好同学们注意了，这样的话。这个题目看它要求的是不相邻不相邻问题，同学们注意了，我们是先把啊。要我们要我们先把其他的人先排好队，

把这些要求不相邻的人往这个空格里面插进去，就能保证它不相邻了。对吧，你要求男生不像你，我就先不看你男生，把女生先排完，对吧？女生我们把三个女生排完。共有多少种方法呀？啊，先排三个女生对吧？先排三个女生是不是就是a三三了？对不对a三三=3×2×1=6种？好，我把它写一下啊。

我们第一步是。先排。女生第二步是。再排。男生。我们怎么去排男生呢？同学们注意了，这个男生啊，我们这三个女生排完之后连同首尾。形成了一二三四，形成了四个空地。我们只需要从剩下从四个空地里面选出三个空地。把男生插到这三个空里，里面插进去的时候，它是要排队的，

所以c四三×a三三，它是等于。四×3×2对吧？也可以直接写成a四三也行，它是等于24种的。对吧，根据乘法原理可得那么第一步的结果，乘以第二步的结果等于144。对吧，等于144它是可以推出结论来的。他要求男生不像你。是不是啊？它只要求男生不相邻的时候，我们可以推出有144种结果。好，

下面呢？我们再来看。第二步，他要求女生不相邻。注意了，我们看条件一的时候单独看条件一的时候当条件二不存在，对吧？我们单独看条件二的时候也当条件一不存在。好，我们现在呢，先把它要求女生不相离。啊，女生不相恋，我就先把三个男生先排了，对不对？

那么对吗？用蓝色的笔来写啊。我们也是分两步啊，第一步呢是。我们啊，先排三个男生，三个男生排队的时候是可以排序的，对吧？所以三×2×1有六种不同的排法。第二步，这个男生排完之后形成了首尾对吧？连同首尾共形成了四个空格，我再从。这四啊，我再从这四个空格里面选出三个空格，

把女生排进去，对吧？首先是选。选三个位置出来对吧？然后是排这个女生呢，是有先后左右顺序的对不对？所以呢，这边应该是。啊，应该计算一下是24种。所以啊，根据乘法原理，可得这个六×24是等于144种。所以它也能够推出结论来。那么条件一跟条件二都能够推解呢啊，

正确答案啊，就选择4d选项。嗯。

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27.课件27 数学强化班第十二讲 （2）

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