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01.知识弧长的线积分(第一类线积分)

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发表于 2024-4-4 09:49:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
下面呢,我们来看曲线积分。那首先我们来看基本内容曲线积分有两种,第一种就是对弧长的曲线积分,也叫做第一类线积分。那在这呢,我们先来看平面的。平面。一型线积分或者对弧长的线积分是指的一个二元函数,沿着一个平面曲线段的积分。啊,就是这个fx y是定义在平面曲线段l上的一个二元函数。那么这个怎么定义的呢?它就是把这个曲线段任意划分成n个小段。在第二个小段上。

取一个点,比如说这是第二个小段,在这取一个点,用这一点的函数值乘上第二个小弧段的长度。所以这个德尔塔xi是表示第二个小弧段的长度。也就是说,我们把这个小弧段分成n段以后。每一个小段上取一点,算出这点函数值,乘上这个小弧段的长度。每一段上都做出这个函数值和小弧段长度,乘积求和取极限。如果这个极限存在,我们把这个极限就定义为对弧长的线集分,这是定义。

那再下来呢?就是性质。那大家注意,你看沿着l从a到b和沿着l从b到a。这时候,曲线的方向改换一下。七分之不变,因为我们这是函数值乘弧长。弧长跟你曲线方向没关系。这就是第一类现阶分和第二类现阶分的本质的区别。那么下面呢,就是它的计算如何计算这样的运行线阶分呢?那第一个就叫直接法,就是把它化为定积分。如何化为定积分呢?

那根据你这个平面曲线的方程来确定。第一种,如果你这个平面曲线是用参数方程给出的。那如何计算它呢?既然你是沿这个曲线做这个动点,就取在曲线上,所以xy就用曲线方程代进去。这个ds是谁呀?就是我们在一元定积分里边学的互为分。当曲线用参数方程表示的时候,弧余分等于谁根号x1变平方加y1平方dt。然后这边就化成关于t的一个基本。那t的上下限呢?阿尔法到贝塔就是一定是从小到谁到大,那因为我们这个des代表弧长。

这个从小到大才保证弧长是正的。这就是如果曲线用直接做标方程,那我们就是把它化为这样一个定积分,就是xyz,包括ds代进去化为t的定积分,然后计算。如果曲线用直角坐标方程给出呢?那实际上这个就相当于谁啊x=xy等于谁yx。把x看作参数用上面这个式子,立马就得到谁。这呢y要用yx代进去,那这个x对x求导数是一,这就是根号一+y一撇平方dx。然后实际上也就是把这的外用曲线方程带进去,后面这个ds呢,

当曲线用直接用方程给出ds就等于根号。一+y一撇平方dx。最后,从最小的xa到最大的xb。这是平面曲线,用直角坐标方程给出。那当然,平面曲线也可以用极坐标把它给出,如果用rho=rhoc它给出,那我们知道这个时候x等于谁?就等于rho cos西塔。y就等于谁rho sin西塔。当曲线用极坐标方程给出的时候,弧余分表达式,我们在一元定积分里面讲过入方加入一撇方DC它。

最后呢,theta从小到大。所以你看,不管你平面曲线,用直角坐标参数方程极坐标,我们都可以把它化为定积分来计算。这就是计算平面异形线性分一个基本的方法化为定积分直接算,所以我们叫直接法。而这段话还有什么办法呢?奇偶性。由于这个平面曲线,它是平面曲线,所以这个奇偶性呢,跟我们二重积分完全对应。那大家看它说,

如果这个基本曲线关于y轴对称。啊,那就是关于y轴是左右对称,这是x轴,这是y轴,假如说你这个曲线。是这个曲线段,它关于y轴是左右对称。那这个时候跟我们二重积分完全对应,那就要求函数关于谁有奇偶性啊,关于x。如果你是x的偶函数,那就等于一半上的2倍,这个一半怎么表示啊?我们在c1的下角加一个x大于等于零。

x大于等于零,大家知道就表示y轴右侧这一半上基本的2倍。如果你关于x是奇函数,那这个积分就等于零,所以这个跟二重积分那个地方完全对应,就曲线关于y轴左右对称。要求函数关于x有奇偶性。如果曲线关于这个x轴上下对称。那这个时候要求函数就要关于谁啊?关于y有奇偶性,你看这就是y的偶函数当一半上的2倍。这一半呢,就指的上面这一半,那这就写成cy大于等于零。如果它关于y是奇函数,

那这个积分就等于零,所以这个奇偶性啊,跟我们二重积分完全对应。还有什么?还有就跟二重积分完全对应的,如果你这个积分曲线。关于y=x对称。那这个时候呢,跟二重积分对应的一个结论也有啊,就是如果你的积分曲线是关于这个y等x,这条直线是对称的。那这个时候把这个被积函数里边的x跟y质量变量做一个互换。那这个值不变。这就是利用对称性。特别的,

如果你这个倍的函数仅仅是个一元函数,那xy 1互换,这就变成谁啊fy?这就是我们计算平面一型线积分常用的三种方法,第一种方法直接法就是化为定积分算,第二奇偶性,第三。变量的对称性。那注意我们这个地方还有一类就是空间的异形线积分,那这个时候方法就相对比较少了,一般呢就得写出这个空间曲线的参数方程。然后把它带进去。就是这的xyz就用曲线方程代进去,因为你是沿着这个曲线做dx呢。对于空间曲线,

它的弧微分呢?跟平面的弧微分就多了一项,这就是x1撇平方加y1撇平方加z1撇平方。然后呢,最后参数t的范围从小到大。所以对空间移行线积分一般就是写出参数方程代进去化为定积分。这就是曲线积分里边第一类叫做对弧长的线积分,或者叫d型线积分。


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