23机械基础21.18第四章机构的效率和自锁（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-5-9 01:17:10

好，欢迎来到启航考研教育，我是你们的专业课辅导老师，石老师接着咱们还是接着讲解第四。张杰的。机构的效率和自数。机构的效率和自数其实在这一章节啊，主要比较明确，就两个事干，两个事，一个是。机械的效率，另一个是呢，是机械的自锁，一个是效率，

一个是自锁，当然了，在这个效率里边儿。考研啊，又把它分为两个类型，第一个呢就是机构的效率，这个是重点。另一个呢，是机组的这样一个效率，或者是叫串联机构，并联机构，混联机构的它们的效率就是。呃，给举个简单的例子，比如说从电机出来，

然后连连接传送带传送带的效率是多少，然后传送带后边有个减速机。减减减速器，减速器的效率是多少？等等的减速器后边儿又加了一个等等的，其他的传送带效率是多少？问最后的那个效率。和你电机输出的那个那功率和最后的那个效率，然后那这最最后的那个功率，然后比较一下，然后求出它的。整个的效率来，比如说我这个电机一开始是。十瓦输进去，当然最后输出来是三瓦对不对？

然后用三瓦比上十瓦30%，这机组的效率。这是机组的这个效率，当然了，这种效率的话，小儿科对不对？这个在考研过程当中并不是主流。主流的话还更加倾向于。机构的效率对其进行受力分析，这个是咱们的一个主流。有这个例分析。然后再根据三力会交定理，然后建立这样一个力的多边力的三角形三角形，然后求出这个输输出力和是这个叫驱动力和阻力。阻力之间的这样一个关系等式，

把它建立起来，然后从中求得机械效率。这个是咱们考研的一个小主流。呃，自锁就自锁它，它就一个考点，就是机机构的自锁，当然这个自锁的话。这个字锁的话，它有三种方法去判断这个字锁对吧？这个我希望就是听一听就是你，比如说。你对其中的这三种方法都比较熟悉了，都比较熟悉了，你任意挑一种就可以好吧，

没必要把这三种都掌握住。我这里边咱们强调的一个概念是什么呢？咱们基础班。记住吧，一定要把这个方法给给大家讲全，就是你可以在复习过程当中任意挑选一个。那你挑选一个去复习。也方便大家就是针对不同的学生，可能有自己不同的判断的方法，或者是判断的一个依据，但是大概就是这三种方法。好吧，接下来就是咱们本章的一个重点内容，第一个就是掌握机构效率的基本概念以及计算。这就是这个重点机构的效率，

第二个就是自锁及其求解。当然了，你说机组要不要掌握啊？机组其实不用掌握，就你就会嘛，对不对？就就是用每一个组的那个效率乘起来。是吧，然后一求解当然了，你这个机组的它那个效率的时候就有串联并联这个和咱们那个你一看不用我讲，其其实一看就差不多，但是它后边还会讲一讲什么？就跟那个电阻电流一样，对不对？串联的并联的是不是跟那一样嗯？

然后掌握机构当中的效率计算技巧以及具备具不具不这个机构具不具备自锁能力，这个都是需要咱们这一章节重点掌握的。好吧，首先。咱们废话少说来看。第二个就是考点内容的精讲，第一个叫机械的效率。首先，第一个考点叫机构的效率。在这个效率计算过程当中啊，需要同学们注意的是什么啊？在这个考试的时候，就是你要和高中的那个效率计算要区分开。咱们现在学机械原理的效率计算和你高中的那个效率计算截然不同。高中的效率计算注重功。

注重功。它讲究的是什么呢？就比如说你的输入功，输入是五焦耳。然后输出是三焦耳，那么它的这个机械的效率是多少呢？是不是3÷5，也就是用输出的功比上输入的功。对吧，这叫机械的效率哎，就得60%吧假设。我们就得到了这个机械的效率。这是咱们高中里边所要强调的。这也是咱们这个开篇介绍的一种方法，由由咱们熟悉的知识再讲到咱们不熟悉的东西上边啊。

好吧，这是咱们注意啊，这是工，然后咱们机械原理里边儿强调。强调的是什么？是例或例句。注意把这个黄字给我读一遍。在值得注意的是，在考研效率计算的过程当中，效率计算是理想。驱动力比上实际驱动力。是力或者是力矩，或者是比理想驱动力矩，比上实际驱动力矩来，通过它们的比值来计算效率的。

注意啊，现在你应付的是考研。用这种方法例或者是例句。用功的话，这个应用在什么场合啊？就是比如说用功或功率的话，应用在机组上边儿。就是机组效率上边。怎么去应用啊？比如说他告诉你传统传统机构这个减速器，它的这个功率是这个这个输出的，这个功率可能可能是多少多少，然后输入的功率是多少多少？问你这个它的效率是多少？然后还有用在串联，

比如说一机构，然后二机构分别告诉你一机构的它的这个呃效呃的的，当然这是效率了。这这这机组的效率还还还不是这个对吧？那那咱就不举那个例子了，机组的效率是一它1×1它二它不会告诉你那个。好吧，这那那那咱就不举那个例子了，咱们就再回到这个最传统的这个考研的这个上面来。考研你就记住，它是力相关的，注意这个力相关的，这叫理想驱动力。和实际驱动力，这个是有什么区别吗？

就是他用那个和你那个输出功比输入功有有有区别，当然有区别来看下边这个图。呵呵呵。也说什么叫做理想驱动力和实际驱动力。就比如说，当我这个机构啊，没有摩擦的时候，就不受到摩擦力。我只要需需要假设输入四牛，就能够使这个机器哎运转起来。让它快速的，非常好的运转的，妥妥的，对不对？没问题了，

四牛只需要。但是啊，现在啊，这个东西啊，有摩擦。有摩擦就只能是五牛，我才能够。给它推动起来多了一牛多的，这一牛干什么去了？是不是克服摩擦力去了？那么，它的效率怎么去计算呢？就用。理想的理想状态下，不考虑摩擦的时候四牛。

然后比上这个实际的实际，我用了五牛，这个就得它的效率了嗯。这个是用力看到没有？理想驱动力和实际驱动力。和输出的力有有没有关系？咱们机械原理里边。求效率的时候和。输出的那些力力矩没有任何关系好吧，没有任何关系，只是驱动力之间的关系。为什么刚才我讲到了？我给大家提个醒，减速器减速器的作用是干什么去？减速器的两个作用，

第一个降低速减速器嘛，减速器嘛，把速度降下来了，第二个把什么升上去了。把力和扭矩升上去了吧，对不对？是不是把扭矩升上去了？你如果是用理想，用输出的，假设你这通过这个减速器把速度降下，把扭矩升上去了，本来你这个小电机啊，输出出来的这个。电机只只有017牛米。这么大的力矩，

结果经过减速，汽车一简化呢。一输出17牛米。你能用输出的扭矩。比上输入的扭矩吗？不可以用17比上017，那么它的效率。超过了100%不可能对不对唉，所以说就是因为有力矩的放大的，这样的设备，所以说就导致了我们不能用。输出的比上输入的。而效率计算那么这个就清楚了，是用理想的驱动力比上实际的驱动力。这都是。

血的教训。在讲课的时候。好多同学就背一半。背一半什么呢？理想的比实际的，这是第一个这个这这么背法，第二个就是用。输出比上输入。输出比输入。就是它的效率也不被后边儿是输出的功比上输入的功是输出的功率比上输出的功率对不对？你得把它搞全了，但是到了力这一块只能是驱动力，就是理想的驱动力比上实际的驱动力。好吧，实际的驱动力都是驱动力。

这个一定一定要搞清楚，这个就是这个知识点在咱们后边讲解大题的时候多次应用，而且要离不开它。所以说这是在讲这个基础知识点的时候，给同学们打了一个基础，一定一定把它掌握住。掌握不住。非常困难。而且是难的，不是一点半点。好吧，再强调一下。考研效率计算听没听懂了是理想的力，比上实际的力，理想的力矩，

比上实际的。例句对不对？是什么例句啊？少了两个字驱动。和阻力矩和和阻力矩有没有关系？我阻阻碍它多少多少？我阻碍是一一千牛一万牛是几十万牛。没关系，和和那个那一端的那个阻碍的那个东西没有关系，都是驱动的。好吧，这是咱们。讲的这个效率计算也说给大家讲清楚了，就是咱们机械机械原理这门课程和高中物理，它的效率计算是有区别的，

我们是注重力。从力的角度去算效率，而高中是从功的角度去算效率。好吧，比如说给你来个题。想必这个题考试的时候。80%不会。一做就错。比如说南京的南京理工大学的。一个斜形块儿往往上走，你看这是。这不，这个斜面儿可不是个平面儿啊，这是一个槽面儿，请问立马就要给我想到f=1个ffv就等于一个FC。

sit立马就要给我想到这个公式。必须得想到。想不到不行。也就是说。本来呀，如果是个斜面儿的话，把它把它倒成这种平面儿，就是等效为平面儿的话。它的摩擦力是什么呢？等效摩擦力嘛？对吧，现在现在是个槽面儿。如果是个平面儿的话，你的摩擦摩擦系数应该是这么大，先把它先把这个槽面儿给它等效成平面儿。

先把这个槽面儿给它等效成平面儿是吧？平面儿上放一个滑块儿，这个机构咱们解过，现在是现在这个这个面儿，它不平，它是个槽面儿，那槽面儿我们只。就得算等效系数去，对吧？把它等效果等效到平面上。有没有好了fv就等于一个f比上s in西塔？开始算。开始算效率去了。上升时下降时。效率是这么大，

然后自锁条件，那怎么去解呢？怎么去解呢？刚才咱们说了效率计算，你看都是力力之间的，你看都是力嘛。肯定是驱动力和驱动力之间的事。对吧，理想驱动力和实际驱动力那首先第一步还是判断谁是驱动力。第一步，要判断谁是驱动力，谁是阻力矩。就像这个。哎，第一步呢？

当量摩擦系统算到这儿，第二个就是谁是驱动力，谁是阻力，一定要判断清楚。也就说上升的时候，你看这个滑块儿，上升的时候上升这个速度是不是朝上的？谁是驱动力？也就是谁和它夹角是锐角是不是这个p？就是驱动力。这q就是阻力矩啊。没问题吧，上升的时候啊，这是上升的时候好了，上升的时候。

p是驱动力。我要找到驱动力和阻力矩之间的关系，我用我用阻力，我用这个阻力矩表示这个驱动力的时候，为什么为什么一定要用？驱要用阻力去表示这个表示这个理想的这个驱动力啊。因为你理想你，你想想f比如说用这个p0这个理想的比上p是吧这是？这是效率吧，那你光摆摆这俩式子，这不行啊，那怎么样是理想驱动力啊，是不是它要有个表达式？它有一个含有f的表达式，只有含有这个f的表达式了。

我们才能够。我们才能够不是让phi=0的时候，它是理想的，让phi不等于零的时候。它就是不理想，对吧？这时候才能够具体的去表达出这个理想和不理想的区别。就是咱们这个后边儿就是理想，你看p等于这个一定要把这公式写出来。你才有了这个理想驱动力，比上实际驱动力是不是用p0比上p？你看是吧？当phi。当量摩擦角等于零的时候，是不是它就是理想驱动力？

它不等于零的时候，它就实际驱动力。所以说第二步。第一步。找谁是驱动力？谁是阻力矩第二步？第二步，找驱动力。和阻力。或者叫阻力矩之间的。函数关系。这个函数关系。一定是包含phi的函数关系好吧，第一步大家记一下啊，第一步。

确认。谁是驱动力。谁是阻力矩，对吧？这是第一步，大家写下来第二步。要找到驱动力。和阻力矩。关于。phi的函数关系。对吧，函数关系。第三步。代入公式，代入哪个公式？

第三步就是代理想驱动力比实际驱动力一定是驱动力驱动力。驱动力和其他的没有关系好吧。咱们就开始分析一下第一步，先确定谁是驱动力向上升的时候，咱们先分析上升阶段，上升的时候。p是驱动力q是阻力。对吧p是驱动力q是阻力。它是驱动力。驱动力和阻力之间的关系，咱们知道那个斜面上。上节课受力分析的时候分没分析斜面，如果受到一个f力。和向下的一个重力q还有没有印象？如果没印象的话，

再回去复习一下。那个公式是吧？再复一下公式，比如说f。和q之间有一个tan。阿尔法加phi v的一个表达式。反位的表达式怎么来的？怎么来的呢？还记不记得这里总反力的方向是f假设这个是构件二，这个是构件一是吧构件二给构件一的力，这个角度是不是phi？然后这个角度，这个角度是不是阿尔法？这个phi这个phi的话是现在它是微型面儿了，它是微面儿了，

它不是平面儿了，对不对？平面儿的话，它是phi。现在v型面儿的话，是不是它就是赛v了？赛v了为什么是赛v？因为v型面儿它。不摩擦系数不再是这种常见的摩擦系数，也就说你现在给的这个摩擦系数是不是材料本身的摩擦系数？材料本身的摩擦系数是这么大，现在你说材料做成这种微型的了，我怎么把它等效成平面的？等效成平面的摩擦系数就有了一个f=fv。就等于一个f比上cin。

sit对不对？这是当量摩擦摩擦系数，然后由当量摩擦系数怎么求当量摩擦角？咱们记不记得有空是arctan t？当量摩擦。系数等于个摩擦角啊，对吧？哎，找到了这样一个关系关系式啊，对吧？就有了这个关系式当量摩擦。系数求出来，当量摩擦角立马就有了。当量摩擦角有了当量摩擦系数，你看这就是phi v了，

那么你再一连这个是不是就是阿尔法加phi v？是吧，阿尔法加塞维。因为这个力是水平的，所以说它就是水平的，对不对？tan tan的值也就说f比上q。比上这q就等于一个tan这个东西对吧？所以说等于。我们就把。这个力p=1个q×1个tan。阿尔法加phi v求出来了，对不对？这个p就这么大。实际的p就是这么大，

实际的。那理想的p是什么样的呢？理想的p，理想的p就是理想是什么状态？理想就是摩擦。没有摩擦，没有摩擦的话，摩擦角儿是不是就得零了？是吧，没有摩擦嘛，摩擦角就得零了，就得这个公式了。得这个公式，你带入去去求解，对吧？

把这个数一求出来，和这个数一比较。再乘以一个100%。就得一个这个公式，对吧？这是什么阶段？这是上升。上升阶段。接下来求下降阶段。下降阶段。下降阶段，我们只需要把f。phi v转化成负的phi v就可以了，因为你你反向是不是这个摩擦角就肯定是反向的了？是吧，

原先。原先你看这个。原先如果你向上的话。呃，这个原先如果这个是斜面儿，你向上的话，这是个垂直的，对吧？你朝这的这是一个f。现在如果你往下滑的话，是不是它立马就成了往这偏了一个phi了，对吧？这还是那个阿尔法，这还是那个阿尔法，阿尔法是不是就成了？

不仅不是加废了，而是而是减废了，对不对？阿尔法减废了，这是阿尔法。原先这个是加fi，现在。是不是就成减f了？所以说它就变成负的phi了，也就说把公式里边儿的。把公式里边。把公式里边儿的份换成负份。就可以了，对吧？比如说这个公式。

没有变p=1个q乘上一个tan的阿尔法减phi v。对吧，有这个公式吧，因为刚才咱们说了，你看是不是阿尔法减减？减phi了对吧？阿尔法减phi了就有了一个这公式。有了一个这个公式，还没算完呢，还没算完呢。下降的时候。请问下降的时候谁是驱动力q就变成驱动力了？p就变成阻力矩了。ku就变成驱动力了p就变成阻力矩了。有什么影响？

那你的公式就应该写上是不是驱动力和阻力这之间的包关于？还有f的一个函数关系式啊，那谁是驱动力q就变成驱动力了。对吧，这是理想，这这是驱动力吧，这是实际驱动力吧，那理想驱动力呢，理想驱动力是不是就变成这个了，这是理想。这是理想驱动力，这是实际驱动力，你看。那么，效率怎么计算？

效率怎么计算？效率是理想驱动力比上实际驱动力是驱动力。所以说就有了p比上一个tant阿尔法减去一个phi v，这是实际驱动力对不对？理想驱动力呢？就是p比上一个tant。阿尔法。这个一化简是不是就等于tan阿尔法减去一个phi v比上一个？tan阿尔法。对吧，上升和下降的效率。有没有感觉了？怎么算的？要把谁搞清？谁是驱动力。

理没理解，这里是最容易错的，有的同学懵了，上升下降，为啥上升的时候？为啥上升的时候求出来的是这个东西，下降的时候反倒是把它颠倒过来，把它颠倒过来，而且它还变成负号了。有的同学不理解这个意思，就是其实它的重点不在这儿，而是你能有没有把驱动力搞清楚，谁是驱动力？听懂了没有？谁是驱动力？

搞了半天。给大家五分钟的思考时间。是驱动力比驱动力。再强调一遍，这个做题的思路。首先，第一个第一个难点在哪儿？就是你要懂得把微槽面儿。换成平面。它的当量摩擦系数怎么算的？这是第一个难点。是吧，这是第一个知识点，第二个知识点。你要找到谁是驱动力，

谁是阻力矩p等于？q，乘上一个20。阿尔法加phi，这是一个考察点，就这个公式，你必须得会推推导出来，这是上升时，这是上升时候的。下降时候的驱动力。q=1个p比上一个tan。阿尔法减去一个赛位，这是负的。减去一个phi v。这是下降。

这是两大考点，第三个就是考察公式了，是谁比谁。嗯，是驱动力比驱动力和输出毛线关系，没有跟它没有任何关系，为什么和它没有关系？就是因为力和力之间，你只能是驱，只能是驱动，也就说只能是输入和输出，不能比。输出有可能它中间通过减速减速啊，或者力的放大呀等等的，这些是不是你不能那么去搞，

可能你输入的只有五牛输出的可能只有80牛呢？对吧，这不是选电机的时候经常经常干的事儿吗？扭矩。扭矩一线电机017牛米。结果，经过一放大，变成170牛米了。经过减速，减速比一放大，对吧？转速下来了，转扭矩上去了，所以说你不能用输出的扭矩比。比上实际的输入的扭矩。

你这样一比那么效率，那么上千了嘛，对不对？对吧，所以说不能这么比例和例句之间只能是输入和输入。只能是实际的。只能是理想的输入，比上实际的输入，或者是叫理想的驱动力，比上实际的驱动力。问题不大了吧？没问题了吧？哎。给大家几秒钟的时间思考。思考完成之后。

字锁字锁。讲完了自锁条件，咱们再回来去详细讲解，先留一个小小尾巴。留个尾。待会儿讲完了，摩擦呃，不是讲完了自锁咱们再回来讲这个题。好吧，通过刚才的那个分析，一定一定要总结自己的做题步骤，第一个。干什么去？谁是驱动力？谁是阻力？

一定一定搞清楚，不搞清楚一做就错，效率计算就是驱动力之间的比值和。效和输出没有任何关系。不要不要搞输出的那些东西，或者是不要搞阻力矩的那些东西。不要给我谈那些东西，我只看驱动力是谁？驱动力是谁？驱动怎么怎么判断？就是你看这个整个机构，它往哪运动？或是题目里边告诉你了，驱动力是谁？对吧，

第二步就是找到驱动力和阻力计之间的关系式是关于。摩擦角儿的函数。为什么一定要找到关于摩擦角的函数呢？因为只有找到关于摩擦角的你，才能够表示出谁是理想，谁是实际理想的时候，就是phi=0的时候。实际的。不是呃，理想的是phi=0，实际的就是它不等于零的时候就这个公式，对吧？你才能够区分出谁是理想，谁是实际。第三步，

带公式。公式一定是再强调一下，一定是理想驱动力比上实际驱动力。只要你听了这一节课，你再回去去看。那些效率计算就太简单了，对不对？太简单了，好下面咱们来看一道习题。就如图所示。设p为主动力。一定要区分谁是主动力，谁是阻力，谁是。主动谁是阻力，

一定要区分为什么一它是怎么算的嘞？一它是用理想的驱动力和比上实际的驱动力。和这个工作阻力的大小没有关系，和它没有关系，你就会发现，当然咱给你看出最后这个结果来。这个结果你看。它和你这个q有没有关系？和你这q有没有关系？q没有关系，对不对？和q没有关系好吧？和q没有关系。那好了。那这个题怎么来看？

它是驱动力，它是阻力，我们的思路是什么来着？做题的思路就是要找谁？是谁是驱动力？谁是谁？是这个阻力，然后找到核心，关键点是找到。p和q之间的关系。也说这个关系我们通过什么去找注意啊，现在这个机构有好多同学。对这个机构有误区。对这个机会有误区。就是你一定这个机构是按平衡状态去分析的。

平衡状态去分析。好吧，就是各个各个关系，它恰好达到平衡了，我们先理性，我我我们先这个呃，从这个感性上去。观察一下。就这个p和q之间，它肯定要存在某种关系，为什么呢？就比如说我这边这个是假设是一万牛。假设是十万牛。二不行100万牛。非常大，

一个零这边一扭。这边一扭。这边一压是不这个滑块往这一走，这个三嘣飞出去了，是不弹出去了？弹射是不是弹出去了就没有达到平衡状态哦？也就是说这个q不能太小，就是如果你这边太大的话，这个q不能太小。对不对？因为它俩要处在一个平衡的状态，就是这个p和q之间。是不是肯定要存在某种关系啊？就存在某种关系。对吧，

肯定存在某种关系，要不然你要不存在某种关系的话，刚才我说了，就是你这随随便取他取他的，他取他的。那我这个取这个无限大，这个取无限小，那那肯定弹射起步了，这个对不对？这q就一下弹射起步了飞了，这肯定不行，所以说它们之间肯定大小，不是随便取的，它们之间要。存在某种平衡关系，

这个平衡关系怎么去找？就是我一直在强调的，就是力的多，边形的公共边来解决来解决。什么意思？就是你要建立p，你要找p和q之间的关系的时候，是不是要找等式？要找等式关系。就是说白了，你现在这个一处在平衡状态，这个滑块儿一处在平衡状态，它受到几个力，是不是三个力二？这给一的力，

然后墙面给它的力，还有一个p是不它受到了三个力？假设受到了三个力。那么，这三个力是不是维持了一种平衡状态，使这个一达到了某种平衡状态，对不对？哎，咱们现在做。算效率计算的时候都是都是要达到一种某种平衡状态，对不对？要么匀速下降，要么匀速上升，要么静止不动，对不对？

这个是牛牛顿第一定律吧，第二个。这个是不是它也受到了一个一个力啊？它也受到了一个三，它也受到了三个力，一个是四。给二的力，还有一给二的力，注意。这假设是r。这个一给二给一的力，二给一的力朝哪的？是不是要判断运动趋势，运动趋势是不是你要判断一下这个？p是主动力还是q是主动力啊？

是不是p是主动力这个滑块有往下运动的趋势吧？有往下运动趋趋势的话，那么它受的摩擦力就是斜向上的。而且支持力是朝这的，对不对哎？所以说它就给它一个斜向上的这么一个力，对吧？也就说r2给一的力。核心点下面来了啊。二给一的力。和一给二的力是不是大小相等方向相反啊哎？那我们就在这个三角形的基础上。在画。另一个叫做r。一给二的力叫一给二的力，

是不是大小相等方向相反啊？对不对诶？利用这个公共边儿，这叫公共三角形的公共边儿。这公共边儿就出来了啊，待会儿咱们是不是你这个二是不是也受到三个力啊？对不对？我们再把那三个力假设求出来之后。假设求出来之后。是这个样子的。假设这是比如说42的力，假设是这个样子的。r4给二的力假设是这个样子的，咱们先说思路啊，你只要把思路搞通了。

你再去做这个p和q之间的关系，解答的时候就方便很多了，就方便很多了。好吧。接下来再来看啊。呃，公共边的这个知知识点，你一定要记住，就是利用你给我的力相同，我给你的力相同，其实咱们是你给我的力相同，我给你的力相同，还有你给他的力相同，他给他的就是二给三的力相同。这个我我们的目的是要干什么去？

不要忘了这个目的，就是第一问的这个目的，我们的目标是大目标，始终不要变，我要找p和q之间的关系。对不对？但是这个p和qp和q又没有直接相接触，只能通过哎，这种等式它和它相等，它和它相等。是不是建立这种等量关系之后，我们就建立建立起联系来了，对不对？唉，比如说这是q吧？

假设这是另一个受力。假设二给三的受力和三三给二的受力，是不是又一个等式？你看假设这是r2给三的力。和r3给二的力是不是它们又是一个作用力和反作用力啊？最终我们这是假设这是q竖直向下的，这个是p竖直向下的。p竖直向下的。我们的思路是什么呀？我们的思路。我们要现在要找到这个p和q之间的关系。现在有这么多公共边相等。哎，是不是我用p？表达出这个r。

二一嘞二给一的力。是吧，这时候用到正弦定理了吧？正弦定理就是p比上它对应的这个角度的正弦值等于这条边比上这个角度的正弦值，只要是我把这俩角度求出来。是不是就搞定了？对不对哎？我就用让这个用p来表示r21是不是那么r21的这个大小里边是不是就包包含了这个p？是不包含了这个p大小对不对哎？那么r1r它俩大小相等方向相反，是不是我就可以把这个表达式也能够通过用p来表达呀？对不对？用p来表达那么同理，这个q呢？你看这个q。

这个q我知道这个角度的话。知道如果知道知道这个角度，也知道这个角度的话，是不是这个边儿r32比上这个这个角度的正切值，然后再比上用用这个这个用这个q比上正切值，是不是我就用？可以用r找到r3给二的力和q之间的关系了。对不对？也就说这个表达式里边带q。它带了一个q。它就可以带q了，对不对？它里边就包含q了，那这个里边包含了p。这个包含了q。

然后再用正弦定理这个角度正它比上的正切值等于谁，等于这个角度。等等于这个r12比上正切值是吧？这个包含了p，这个包含了q，是不是我们就找到了？p和q。之间的关系式。听懂了没有？p和q之间的关系式。总体思路是怎么找的？通过利用的是。你们这三个构件儿相连处作用力和反作用力大小相等方向相反，这不是牛顿第三定律吗？对不对？

作用力和反作用力大小相等方向相反嘛。利用的它，你看p在这儿，我利用我我首先先建立，首先先建立一。这个受力，它受到三个力，它达到平衡状态了，那么这三个力肯定是能够形成一个封闭的三角形受力。能听懂这个意思吗？就是一形成一个三角力的三角封闭三角形对不对？它达到平衡了吗？那么，是不是你达到这个平衡了，我就可以找到p和r2给一的力？

之间的关系啊，利用正弦定理三角形的正弦定理。不明白的，自己上网搜对吧？当然这个我给你说一下也行，就是p比上它对应的这个角度的正弦值，这假设是一，这是二。它有一个什么关系呢？比上西塔一就等于一个r2给一的力，比上s in西塔二，它有这个等式就是三角形啊，有有有这样一个性质。你是不是就找到了r21和p之间的关系，你看是不是这一步一步的就往上倒就往上倒，

我们就找到了q。q和p之间的关系了，对吧？我们主要利用的就是公公共边公共边的话，其实说白了就是牛顿第三定律，牛三定律。牛牛。牛三定律对吧？唉，牛三定律。公共编的意思就是牛三定律作用力和反作用力大相等来建立p和q之间的关系。为什么我们这么热衷于去找这个p和q之间的关系啊？回过来反问一下自己。就是我们在前边讲了这么多的。这个p和q。

我再强调一下，就为什么我们一定要找到这个p和q？原因在这，为什么我们这么迫切的想找到，其实就是就是说白了，为什么这么迫切的想找到驱动力和？阻力之间的关系。为什么迫切的找这个东西啊？因为如果你不找的话，假设你不找，你就用p0比p。就得效率了。p0是什么呀？p0是什么？然后p是什么？

是不是你没法往下弄了，所以说我们急需要找到理想驱动力，到底是个什么玩意儿？然后这个实际驱动力又是一个什么玩意儿，是不是我得需要把这个？f考虑进去，这个f是什么？就是考虑摩擦的时候，它形成的这个摩擦角啊，你只有考虑摩擦的时候才能形成这个摩擦角吧，如果没有摩擦的话，是不是这这就是一个？水平的一个力了，对不对？哎，

所以说你得把这个赛引进进来啊，对吧？也就是说我急需要找到。我急需要找到一个。f函数。我急需找到一个包含f的函数来表达这个。理想驱动力数学上。高等数学，现在你考研，你别告告诉我不不学数学啊。肯定学数学就是你学机械原理的。咱们大专业，只要你学机械原理的，肯定考数学，对不对？

不考数学那几科压根跟机械原理也无缘了，对不对？这个符号是不是很很确定啊？那这这个符号是不是很熟悉？这时候包含了一个f的函数。只有包含了这个fin，我们才能够。区别出谁是理想驱动力，谁是实际驱动力，为什么我让这个f=0的时候，它是不是就是理想的驱动力？让phi不等于零的时候，就等于它实际的值的时候，是不是就得实际驱动力，这时候我们就不再适用死板的p0是什么呀？

p是什么？是不是我们就用个具象化的东西给它表达出来了，这也就是为什么我们找p和q之间的并不是。说p和q之间有莫大的关系，而是要找到p等于个。这个f函数你看是不是这个函数里边？这个函数表达这这叫函数表达式，是不是这个函数表达式里边儿是不包含了这个f？对。是不是我们就要找这个东西？其实。找p和q之间的关系啊，只是为了方便同学们理解。只是方便同学们理解它的本质。它的本质其实我就是要找。

p和phi的一个函数表达式。听懂了没有？呃，怎么给你解释呢？同学们呃，可以说这是我们的目的，就是p。找到。我们这是我们的目的。我们要实现这一个目的，就是我们要找到phi和p之间的这样一个函数的一个表达式，这是一个目的。我们要实现这个目的，用什么方法呢？就是要找用p直接找p和q之间的表达式这种方法。

用这个方法来实现你的目的。好吧，听懂了没有？就是你我我现在给你泛泛的一讲说这个这这这我我们其实实际理论计算这个理想驱动力，比方实际驱动力，你就找到这个和这个f值相关的这个，但是具体怎么操作呢？怎么去做呢？对不对？我们考研要落在纸面上，要去写的写什么呢？这就是方法。怎么样找到它们之间的这个fi的函数关系啊？对不对？当然这个fi它不是一个它不不像那个真正的那个数学一样，

它它是一个变量啊等等的，对不对？它不是变量，它是一个具具体的数，对不对？当然，你也可以认为它是变量什么理想的时候，它得零是不是不理想的时候，它得x它的它得什么是吧？对吧，所以说这是一种方法。这个叫p和q，你具体去操作的时候，你找不到p和p之间的关系，直接找不到，

你就找p和q。它们俩之间有什么关系，对不对？找着找着找着找找出来哎，它里边就自然而然的包含了phi了。好吧，这是一种方法，理解了这个方法。听懂了没有？理解这个方法啊，一定要把这个方法给我记死了。听到了吧p找p和q只是表象。小学生才才抓着p和q不放，对不对？其实人家找的是p和f对不对？

原来这是一种。找p和q只是一种来。找这个本质的一个一种方法，对不对诶？所以说咱们就通过了。这种三角形的方式。哎，列三角形的方式列平衡式，找公共边的方式。去得到这个p和。f和q之间的关系对不对？好吧，一定要有透过本。透过表象看本质的这样一个。习惯当然了，

你看不出来，我告诉你，你就可以看出来好吧。接下来的难点又来了，老师受力分析不会受。透力分析不会。什么不会？就这个角度，到底怎么来的呀？搞不定了。来那咱们就分析。一个一个的分析，就这个角度，刚才我说了啊，这三个哎，

那那那删除了是吧？只需要找到这个角度，这个角度，这个角度，这个角度，还有这个角度，这个角度找这几个角度就可以了，对不对？他就能够找到用它来表达这个pq，其实咱们的方法也是这样的，用p你看表达出来一个这个，然后这个也表达出，反正就是一步一步嵌套，就是那种。然后你用这个r23表达出一个q来，

这个包含了哦，当然这个写反了，你得用这个r21里边包含这个p。往中间一凑，对不对？它就是那种方法。接下来咱们来找一下这个。力怎么分析来？首先咱们画到这吧。首先，这个p竖直向下的这个没问题，对不对？然后这个角度，你看它向下运动是不是受到一个向上的摩擦力和向这的支持力，它形成一个这样的一个斜向上的一个力。

向上的力。斜向上的这个力斜多少呢？和这个水平夹角是不是你得需要减去这样一个90度减f呀？对吧？这个简单。这个是90度减phi这个键的。减费这个简单，关键是这个角度，这个角度太可怕了。这个角度不好分析啊，因为它分析的是谁呢？它分析的是这个受力和这个受力之间的夹角。你注意。注意啊，就是凡是不会的同学注意了。

同学该醒醒啦。不会的，同学该醒醒了啊，就是凡是遇到这样的受力分析的时候，凡是遇到这个这个受力和这个受力压根儿，这有好多角度又和这个角度。怎么办？你找画不要找，不要直接找这两个东西，一定要画竖线。或者是横线。找这个力和竖线或者是横线的夹角是多少，然后找这个角度和。竖线和横线的就是沿着这个角度画一条竖线，画一条横线。

当然了，你这你熟悉了之后啊，就不是说横线和竖线都是要画的，要根据题意，你像这个咱只需要画竖线就可以了，因为这个竖线是这个是北它这个角度是。这贝塔咱们就可以解出另一个角度来，它和这个水平的这个夹角是多少，咱们就可以给它搞定，对不对？一定要注意啊，再强调一下同学。不会受力分析的，一定要在这个力这画竖线。不要直接去找这个力和这个力，

或者是这其他的这个力，比如说下边更难分析的这个力和这个力，这两个之间的夹角，不要直接找这个。要找它的竖线，要和竖线要画竖线。竖线的夹角是多少？听懂了没有？要懂得分解，听懂了没有？同学。强调一下绘画横线竖线，这里边我给你分析分析俩吧，就是把这两个难的分析完了，然后这个小三角形你自己分析。

听懂了没有好吧呃。来咱们来看啊。这是。这个这个这个呃，在在哪呢？咱们到哪了？这个角度是阿尔法。也就说你画一个竖线，你直接找这个力和这俩力之间的夹角，不好找的话，你找这个力和。竖直方向，也就是说和竖直，你看这个p正好是竖直，我找这个力夹角是不是好找啊？

找这个力的夹角是不是好找？是吧，它只要是凡是这种不横平竖直的这两个力之间，你也不不要去搞，你就要找这单独的一个力和竖直方向夹角和水平方向夹角，然后你通过这样。这样去找到一个关系好吧，你给它画一条竖线，我先找p和它之间的关系。你受到的是一个向下的斜向斜向下的这样一个运动，那么它它是它的这个摩擦力的话，我我把这一块给擦掉。让大家看的仔细一点。这个力是不是它受到一个斜向上的一个力向着？是不是朝这个方向上的？

对不对？唉，也就说我们要画一条垂线，你看又要画一条垂线在这儿。然后这个力的方向是朝这的。这是那个力的方向，对吧？这个角度请问是多少角度？是不是阿尔法？对吧，这个角度是阿尔法。那么这个角度呢？这个角度。比如说你做的这一条垂线。是不这个角度是90度？

对吧，这个角度是不是f？也就说这个角度的话是90度减阿尔法减f。没问题吧？90度减阿尔法减分。好了，这个角度分析出来了。90度减阿尔法减phi。90度减阿尔法减phi。没毛病吧，没问题了好。然后再用180度。减去这两个和再减去这两个角，减去一个90度。这个减f的话就是变成加f了，

对不对？然后再减去一个90度。加阿尔法加phi了。这个180度就消没了一个呃阿尔法，这不就是阿尔法，这加f+f也就说阿尔法加阿尔法。对不对？有没有这个角度出来了？也就说它没有直接求这个角度。同学，为什么要求这个角度去？不是说它它有多么多么多么好，而是你在画竖线，画横线去分解，就是也画斜面的垂线，

通过这样这样的一种方法。去被迫的把它求出来，你看。是不是好吧，这是p恰好竖直，如果p不竖直是斜的，一个斜列的角度。那么你就这个角度的话，你再根据条件是不是先求它了？那那那就不一定了，对不对？你可以先画竖线，等等的再分分其他的你，你得看哪个好求？好吧，

反正宗旨就是要在这个东东西上画水平线画竖线，然后还当然了，刚才忘讲了，还要画一个斜面的垂线。反正就把这个角度嗯，给它分解开。不要直接找到两个未知的角度好吧好，这是第一个，咱们就解决了啊，第一个三角形就解决了，好接下来搞第二个。这个比较难了啊，这个这个二。我想分分析完了三就比较简单了，来搞二。

搞二。搞二的话上来，你看这三个力。你看这是这什么玩意儿，对不对？我我我坐在这，我他妈都想放弃了，对不对？这这啥玩意儿，一个一个水平的都没有，一个横平竖直都没有，都是有角度的。那这咋整啊？那你没有办法，还得要画竖线，

水平线等等的这个角度，咱们去判断啊，对不对？好了，咱们假设先从这个力出发，这个一给二的这个力出发诶。一给二的诶。一给二的利出发，对不对？咱们就从这往这分析呗，一给二的利，一给二的利和。这个四这个力，这个夹角怎么来的？分析一下。

刚才说了。做竖直线的话。做竖线的话，就做一条竖线的话。刚才刚才咱们在这画的做的那条竖线和那个角度夹的是多少来90度减阿尔法减phi？减减减费对不对？刚才这是咱刚才做的吧？也就说这个力以竖直方向的夹角是90度减阿尔法减phi。对吧，也说这个力。于是就就就这个例。这个角度和这个角度是一样的，这是一条竖线，这是一条竖线，就这俩角度是一样的，

现在这个角度是多少？你看它这个，这是这个四给二的力吧，这是r4给二的力吧，是朝这个方向是不是以phi啊？也就说，在刚才的这个90度减阿尔法减phi的基础上，再减一个phi。再减一个费就有了90度。90度减阿尔法。对吧，是减阿尔法吧诶，把它改过来啊，减阿尔法减法。好吧，

有可能现场错了，你以以咱们的发那本书，那本书上我记得改过来了，这个这个图好像没改。没关系，咱们就现场分析嘛90度减阿尔法。减二分。对吧，因为你这个和这个数值方向上的这个力。对不对诶，夹角。好了，分析完这一个。再分析这个，这个受力和水平方向的夹角啊，

不是和竖直方向的夹角，是不是这个力？和竖直方向上的夹角，这是咱们算出这个力和竖直方向的夹角来，也也知道这个这个角度是phi对不对，再加上这个phi不就行了吗？是不是你看现在咱们总体的方法是干什么去？都是把这样一个复杂的力给它做一条竖线，做一条竖线给它分解去了，对不对？给它分解出来了。好，那就出来搞。把把把这个放大一点啊，放大一呃，

放在在在这一些。做一条竖线。这是垂线。我们把这个。把这个力啊，给它延伸过来，看到没有？把这个力。给它延伸到这边来，这是那个力的方向是吧？把这个力的方向给它延伸过来没没问题吧？好，没问题。这个是个90度，看着啊，

这个是个90度。没问题吧，这是个90度。也就说现在我要求的是什么？这个力和水平发生这个夹角是多大？你自你现在能能能不能自己搞出来了，这个角度是多少？是不是贝塔？也就说是90度减贝塔。这样呢，这个角度呢？这角度垂直和这个角度是不是夹角是phi啊？是不是加phi？是不是加费唉？这就和数值方向，

这个和数值方向就等于90度减贝塔加赛。对吧诶，咱这个图上怎么它是加倍的？这这这不对啊，你你按咱们那本书上，咱们我我记得咱们那本书上已经改过来了，就这是减倍的。好吧，好减贝塔加加加f吧吧。加加了一个phi那么这这这还有一个phi呢，对不对？这还有个phi再加一个phi是不是这这不就90度减贝塔加2 phi了吗？对不对？搞定了。哎，

总算把这个角度给它分析出来。反正就是所有的问题都是给它画竖线，让它和竖直方向去，剩下的这个三构件咱就比较简单了，因为竖直这这个我就不再带着大家去分析了。好吧，不带大家去分析了。哎呀，整了半天，终于把它搞定了。把它搞定了之后，这几个角度给它求出来了吧？对吧？这几个角度给它求出来了。几个角度给它求出来了之后。

去搞去呗。每一个等式就是每一个三角形代表的是什么呀？矢量和为零。矢量当然，这是矢量啊，得加上你，你自己得加上这个矢量符号啊。每一个三角形都是矢量和为零。矢量和为零。表达出p。是多少嘞？当然这个r215我觉得你可以这么去表达。就是r21=1个p乘上cos in phi比上一个s in阿尔法加阿尔法。这是r21那r1和r这个一二和r12。和r12是相等的，

也就说这里边你再给它带进来，再给它带过来。它们相等，是不是它就包含了p了？对不对？它就包含了p了？然后这个二三呢？这个二三是不是又包含了q对不对？把它往里一带。这时候就找到了p和q之间的关系式了。对不对？就有了这个关系式。听懂了没有？好了，找到p和q之间的关系了。

找到p和q之间的关系不容易啊，然后算效率。正形成的效率。又难题又来了，正形成谁是驱动力，谁是阻力，正形成p是驱动力。q是阻力。好了，我们就用。表表达式这个用q这是实际的驱动力，就用q比上一个tan阿尔法，加上阿尔法比上一个tan阿尔法。陪它减去一个2 phi，这个是。

实际的驱动力，然后理想驱动力是什么呢？理想驱动力是呃，我在这写写两遍吧，咱们都写两。q，理想驱动力是不是fed 0 tan阿尔法比上一个tan beta对不对fed 0嘛？再比上一个理，这是理想驱动力吧，实际驱动力再比上一个tan。阿尔法加阿尔法比上一个tan贝塔减阿尔法，对吧？然后QQ消掉，是不是和驱动力和阻力之间没没关系，它就和贝塔有关系，

然后你再一化简对吧，就得出来这个玩意儿吧。这是正行程。还有。反形成。反形成负形成注意啊，反形成有两个点，第一个。反形成谁是驱动力。反向成谁是驱动力？是不q是驱动力？对吧，反向成q是它又变成驱动力了，我们的我们的公式是什么？是理想驱动力比上实际驱动力。

也就是说，你反形成的话，一定是q0比q，不再是p。不再是p0比p了，这是第一个点。需要注意的。这个有好多有好多老师讲课老师啊，都都都不太理解，还有好多参考书都写错了。好多参考书上是什么呢？直接把phi变成负phi就完了。直接直接让这个公式直接把赛变成负分，这不对的啊，这个是不对的，

听到了没有不对。不仅要把fi变成负fi，还要把这个驱动力，理想驱动力和实际驱动力要要分开，谁是理想，谁是谁，是不是谁是驱动力。反形成的和正形成的，它的驱动力是不一样的好吧，第二个就是把赛变成负赛，为什么？为什么同学学了这么久？本来你这个fi朝这一边的。结果往上走了，是不是fi就要变到这边来了？

说原先加赛的这个这这这个这原先减赛的这个就要变成加赛了，对不对？所以说把这个负分变成负，也就是说把它把把这个负变成负号，对不对诶？给它一一颠倒，就求出来了。听懂了没有两步？两步第一步。驱动力换了第二步。把5变成负5，好吧，这是这一道题。希望同学们能够好好掌握。

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23机械基础21.18第四章机构的效率和自锁（1）

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