23机械基础09.9第二章平面机构的运动分析（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-5-9 01:14:24

好，接下来咱们来看22矢量方程图解。矢量方程图解法。将矢量方程图解法。首先，我们要了解什么是矢量方程图解。就是利用理论力学的合成运动。俗称基点法。列出矢量方程。然后通过矢量方程做图解法，注意矢量方程强调的是图解，它并不是精确计算，而是图解，虽说有方程。两个字，

但它也是图解。那怎么样？通过方程去图解呢？咱们先举一个简单的例子。从同一构件入手。什么叫基点法？也就是说，如果我知道。物体a的速度。假设可能这个有点难了，咱们就从高中开始讲解。假设这是一个列车吧。列车上站着一个人。列车以五米每秒。前进人呢？

相对于车。相对于车啊，不是不是相对于地面以。三米每秒。前行那么。人相对于地面儿。是怎么运动的？运动速度是多少？是不是就用车的速度v车加上一个人相对于车的速度？就等于一个5+3对不对等于八这是。咱们高中学过的对吧？高中学过的。速度都是在同一个方向的。那么现在咱们到了大学之后，学的就是加入矢量，

矢量的概念就是有方向了。有方向了。而且方向可以不再是同一。不再是同一方向或者是反向，而且成一定角度的方向是吧？b相对于a你看。b点相对于a点的速度只能是垂直于BA吧。只能是垂直于这一条线吧。b相对于a点的速度，它只能绕圈儿，你不能这样运动，这样一运动，这个键儿不就裂开了吗？所以说b相对于a的速度。这无论这么这么动怎么动，

它只能是转动，相对于转动对吧？只能是垂直的，要么朝这儿，要么朝下，反正是垂直的。那么，这两个假设它是朝上的，把这两个速度加起来，就是真正的b点的速度，也就说用已知a点的速度，我如何求b点的速度啊就是。用a点的速度加上b点相对于a点的速度，我们就得到了。b点真正的速度。

矢量方程，矢量相加。学高中物理的时候矢量相加。是不是首尾相接，矢量相加？就是首尾相接？矢量相加，是不是就是首尾相接？那么，现在问题又来了，我们矢量是解决了，但是你这个速度大小，比如说v=5米每。每秒。你怎么画出来呢？

速度怎么画呢？这时候又提出来一个比例尺的概念。就是用长度代大小，用长度代代替速度的大小。我用长度，比如说我在纸面上画五毫米。或者是50毫米。代替五米每秒。那它的比例尺是什么含义呢？就是比如说是50毫米。带五米每秒。我在纸面上画五厘米，相当于是在标注尺上画五厘米，对不对？代表的是五五米每秒，

那么它的比例尺是是什么样子的？就是01米。每秒每毫米也就说我在图纸上每画一毫米就代表01米。是吧，画50毫米就代表。五米每秒那好了，有了大小那方向朝哪儿呢？方向就按照实际的这个方向去判断，对吧？方向大小，而是这时候就是不是把它画出来了，把它画出来了，那矢量方程这边咱们再写，这是大小，还有方向。

都给它确定了对不对？垂直谁谁谁这样的方程对不对？就可以罗列。矢量方程图解了。好了，这是基点法，而且它的应用对象矢量方程应用对象是什么呢？是二级机构。二级机构。三级机构解不了，三级机构一般直接用矢量方程图解的话解不出来。它必须配合顺心法呀等等的其他方法。才能解出来，所以说接下来我们所求解的所有的都是二级机构。二级机构也就是说做杆组拆分的时候，

拆出来都是二级杆儿，整个机构拆出来都是二级杆儿。2g杆儿还知道什么是2g杆儿吧？你一个我一个，大家共同来一个，对吧？可以把转动负换成移动负自己再去搞。是吧，有很多变形。那咱们讲解这个画图。矢量方程这个基点法是不是咱们现在已经理解了，关键现在刚才比例尺咱也说了怎么画，现在咱们再再说一下。画的时候一些名词。从哪画一些注意事项？

首先第一个就是极点。什么叫极点？给你一个方程，八叉叉叉，你列出来了，比如说像v。b=1个va+1个vba对吧？vba。b相当于a嘛。然后大小方向都都确定了。那你拿着这个方程，你是不是开始画图了？你拿着笔在图纸上落下来的第一个点，这个p点。就叫极点。

这个极点有什么作用呢？比如说我，我先画AA的速度。从p点比如说朝某个方向画了一个是吧，这一点代表的是小a。小a这就代表的是这个长度，就代表的是va。va你的起点。是p下笔的时候呢，找找笔底是吧？你自己找。而这位置是你自己找，但是它代表的含义是什么呢？在p点这这点含义代表的是两个代表的绝对顺序。代表的绝对顺序。

这一点你也可以认为它速度为零的点。p点或者是有的课本儿上写派啊，有的课本儿上写派也行，就是速度为零的点。绝对速度为零啊，相对速度不不算。绝对速度为零的点就在这一点，它是零的起点，它是起点往外画怎么画的？往外画怎么去画？看着吧，你现在是不是可以把方程列出来了？刚才咱们讲这个基点法是吧？方程列出来了。然后方向大小，

咱们待会再再去再去讲怎么怎么判断。怎么判断咱们待会儿讲一个例子，怎么去判断？现在你知道哦，我就知道我开始画的时候这么画，然后它的方向我可以判断。哎，可能是朝这个方向的。对吧，我就再画这个距离是不代表的是v。AB.相对于a的速度，这是b点，这是b点，对吧？

话说这两个都知道了。那么，我连接的PB。代表的是什么呢？PB就代表VB的速度。是吧VB的速度，你看这是不是一个矢量的最最简单的一个表达呀？这一块儿这个边儿加这个边儿等于这条边儿，这是矢量啊，这矢量你看首尾。最终就就这个这个起点到这个尾对不对？到这个头或者是指过去嘛，对吧？这就是VB的速度。我就这么个原理。

VB的速度。而且在绘制的速度多边形中，凡是从p点相连的，都代表着机构的绝对速度。你看是vbva就是字母下边字母是一个的，它就相当于是机架的，是绝对速度对不对？从p点出发的。都是绝对速度。而且。而且从p点指向该点，例如VB就是由p指向b。向这边儿指向，不是反过来指，不是反过来，

不是b指向p，而是从p指向b，因为你从p点出发，从零开始增加的嘛。这一段长度。才代表的是。b点的速度，比如说这点是b点的速度，这点代表的是a点的速度。是吧，就这么画出来了，就这么画出来了。在绘制多边形加速度，多边形中，当然了，

这是加速度和速度是一样的，只不过是把字母你看。我们在标字母的时候，还有什么？就是p这是一个字母。当我画出va的速度来，这是不是大写的a？我就用小写的a来代替这一点，这个长度代表的是va的速度。是吧，我再用小的小b。代表的是b点的，在这点速度b点在这点速度。是这个是这个。b点的速度是这个，

而最容易错的，最容易错的就是相对速度。相对速度，相对速度是指向速度下角标的反相反与与速度下角标相反。比如说矢量AB。代表的是VB相对于。VB相对于a的，而不是a相对于b的。什么意思？矢量AB矢量AB相对于是b点相对于a点的速度。而不是a点，相对于b点的速度。如果不理解的话，没关系，就是哎呀，

到底是相对于b还是相对于a的，你就知道前边儿这个加号儿。前边儿是它加上它，它加上它，那么就是用用你这个的尾巴。这个的尾巴顶住这个头往前画呀，对不对？就用这个尾巴顶住这个头往前画，对不对？箭头肯定是不是指向不是指向这边的吧，而是指向向上的吧，对吧？你只要把箭头画对了。就没问题了。你别画成这个。

一，加。好家伙，俩箭头对顶了，那这不行，这不这不这不对的。有的同学说这俩箭头这么这这不对，顶了吗？你看这俩箭头，这可不是，这是这相当于是它俩一样，它它俩当然得重合了，这两个箭头。对吧，指向同一个点，

我是我单独说的，不能重合，是专门有加号的，矢量相加的。你看这是尾巴是专门儿的，矢量相加的，你看就像这个专门儿的矢量相加的，就这是一个。从开始到箭头儿，这儿从箭头儿这儿往上走，不能从箭头儿这儿。跳开这么画，那就不是加了，只要有加号的，你必须得从这个做起点往上画。

明不明白哎？这是咱们画这个的。技巧，而且用小写字母。表示。个点。速度用小写字母表示各点速度。用小写字母加撇。小写字母加上一个撇儿。比如说像a撇儿这个在画的时候，代表的是加速度，代表的是加速度，现在咱还不先讲加速度。咱先讲速度。所以说加速度和速度啊，

其实就多了一个撇儿。它的方方向判断啊，等等都是一样的。根据机构去判断。唯一的难理解的就是相对。相对相对的速度，相对速度与什么同名啊或者相反啊，实在记不住，就用刚才老师那种方法，前面有加号的，你就用首尾相近，其他的都不是。第二个就是比例尺。我们在做图的时候，是不是把p？

确定出来了p就这么大。p在哪儿就是在哪儿画你的起笔起笔点在哪儿就是在p这一点p具体在哪儿就是在纸面儿上就在答题试卷儿的时候，比如说这是一个答题纸。具体在哪儿是由你自己确定的，但是p这一点的意义就是你一确定这一着笔一画，一向外画。p站点代表的是绝对速度为零的点，它就是为零归零。好了方向，待会儿咱们列矢量方程的时候，我教给你怎么判断，你假设现在你知道方向了。关键是现在我们解决你画多长。这个是非常关键的，你如果比例尺定的。

很大的话。如果比例尺画定的很小的话，很大的话，有可能。比如说用01米。刚才咱们举的吧，就是画500毫米。50厘米才代表了五米每秒，这个显然这个比例不太不太划算，对不对？比例尺太太小了001。每每秒，每毫米。是吧，一毫米才代表001米每秒。

这么点儿速度。那你画出来的这个这这就很大了，一下就超过超过你的答题纸了，是不是如果你选太大的图？五毫米代表50米每秒，那你这个就太大了，十米每秒每秒。每毫米一毫米代表十米每秒，那你这画出来就特别抽搐，一有的同学你看比例尺选的不对，画出来那个图就在那儿。曲里拐弯儿的夸，全都画乱了，画这么一点儿，你说阅卷儿老师谁看这个？

一看这个不对，好像如果画的实在不清晰，乱乱七八糟，对吧？就直接错了。所以说一定要把它把握住。刚才我说的这些都是速度比例尺，比例尺还分呢，分三类，一个是速度比例尺，一个是加速度比例尺，还有一个是长度比例尺。长度比例尺是怎么用啊？就比如说它给你一个机构。它这个机构的比例尺啊。

长度比例尺，假设已知缪l什么意思？也就是说，现在你看到的这个机构并不是实际上它的长度。而是要乘上一个缪l，比如说你在图上一量它是十毫米。比如说它或者是100毫米。100毫米嘛，一量100毫米哎，发现一量100毫米是不是它的实际呢？不是你还要乘上长度比例尺，这个长度比例尺解决的就是。画图机构。机构和实际长度的问题。它影响什么？

比如说v=1个欧米伽1×1个l，这个l是多长啊？是不是实际的长度？你还要乘以一个缪l比例尺。对吧，就是你实际量的杆儿长，不是你量出来的杆儿长，而是要乘上一个比例尺，这是长度。速度比例尺呢？就刚才我说的五米每秒，你怎么样画在图上啊？怎么样？画在图上。就是画50毫米呀，

画五五百毫米呀，还是画五毫米呀，这个由你自己决定。根据图纸的大小确定。它呢，速度比例尺就是相当于是把速度变成长度。表达到纸面儿上，把速度变成长度。表达到纸面儿上，加速度和速度是同理的，就是把加速度。把加速度。表达的用长度表达到纸面上，你看都是毫米。把加速度用毫米。

表达到纸面儿上，这就是比例尺的作用，尤其是有很多同学初学的时候，压根儿不了解什么叫长度比例尺。为啥有长度比例？长度比例尺是啥呀？也就是说给你一个机构，你看到的不是你真实的机构的大小。因为由于纸面的大小，它要进行缩放，对不对？这是这是很很正常的吧，所以说哎，就有了这个长度比例尺的概念。接下来我们来做一个重点题，

就是用。在这在这章节啊，用矢量方程图解有两个知识点，一个是同一构件儿，就我给你举例子的那一个。同一构件上，两个不同点。它的速度怎么去求解？用基点法很简单，第二个比较难的就是重合点，不同构件儿。不同构件儿重合点的位置怎么去求？我如何通过构件儿一上边儿某一点求重合点，或者是求。同一构件重合点不同构件重合点的速度到底怎么去求？

是吧，无论是扩大构件儿啊，还是说本身构件儿上自己拥有的重合点。那你怎么去记？接下来咱们先讲一个最简单的入门儿的，先讲一个入门儿的，就是同一构同一构件儿不同点的求解方式，是不是这个用基点法，咱们很很容易入门儿啊？对吧，咱们先讲一个入门儿的。比如说这个题，比如说这个题。求同一构件注意啊。矢量我再强调一下矢量方程图解。

矢量方程图解。有两个有两种做题方。有两种考法，一个是同一构件。不同点就比如说像构件二知道b让你求c。怎么去求？这是一种考法。第二个考法就是不同构建。重合点。当然了，后边儿咱会会讲，这是两两大类，你思想里边儿先有这么一个储备，咱们先讲第一个同一构件儿的好。同一构件儿怎么去求？

也就是说这个机构。我已知了b点。解决这一类题怎么去解？怎么去解列矢量方程或者是列等等的，其他的不管干什么？你不管干什么去？你记住一个宗旨。就是一定要通过。通过已知。求未知。无论它让你求哪一点的速度，什么转速啊，什么等等的。你都是通过已知点出发。理没理解，

也就是说让你无论求哪一个点，你都是要研究已知点在哪。已知点在哪？才能够做出图来，凡是。通过已知点求未知点在矢量方程图解，在这个方程里边儿，它的体现是什么呢？就是右边儿方程右边的。第一列永远是两个对号方向和大小是已知的。听懂了没有？用矢量方程图解法求解，一定要是通过已知，也就说你必须一个物体a。b两个点，

如果你要想求b点是速度是多大，必须a点是不是你用a点，也就说这个牵连点。牵连点这个速度点是不是必须得是已知的，你不已知那求不出来？对吧，你必须得通过已知去求未知，这个思想是贯穿了咱整个矢量方程图解的最最根本的一个思想，就是通过已知去求未知。好了，我们知道的，已知点有哪些个VB已知，还有哪个已知va已知？还有VC已知v VC布置。va已知有的同学说va是多少va，

不就是得零吗？有的同学说，哎，这没必要，我告诉你，有的时候。速度为零，它也是一个已知条件，也要用到，也要列出方程参与运算的。所以说这个已知点机架上的已知已知点一定要也要写出来。比如说a点。比如说这个A类。好，现在我们知道两个点a点，

现在我们用不到，我们现在用b点，用b点求c点。怎么去求？列矢量方程。列矢量方程首先先列出来一个这个。对吧，我们先列出来一个这公式，哎，这个问号没去没关系啊。你们就当这个问号先没有是吧？先列出来一个这个方程，也就说VC的速度。等于一个VB+1个VC，相对于b的，

你看c相对于b的。别别写错啊，别写成v。BC那那笑话了错了是吧？c相对于b的，谁相对于谁的，你先说你嘴里边儿说的是谁，谁相对于谁的，谁就在前边儿，对吧？c相对于b的那c就在前面cab。加起来好了，列出这个方程来之后干什么去呢？第二步写大小和方向。判断大小和方向去。

这是第二步了啊，看着首先我们先看出这是一个当然了，同一构件儿。不同点的求解，待会儿我讲完不同构件儿重合点的时候，我将讲就是你在考研的时候。如何一眼就看出这个考的是同一构件儿，不同点，还是说这个是考的是不同构件儿重合点，你一眼就能看出来。现在咱们咱咱们还没讲后边儿那些内容呢，咱们再。先单独的说，你就认为啊，我已经知道了，

这就是考察了同一构件不同点。那你就列了这个方程，求它的大小和方向。怎么怎么办？现在看大小。VB的大小。是不是已知的VB大小？那到底多大呀？就是这么长。就这么长VB就是黄线那么长，也就是说它告诉了你，已知你就不用吝啬了，就这么大。它告诉你了，已知就是这么大，

就这么大小。方向和大小都是已知的，对吧？就这个黄线，这个大小方向，不用再求什么欧米伽1×1个l。AB对吧？理论上是这么这么乘吧，现在不用那一步了，人家直接告诉你了。那直接告诉你了VB就这么长，你就用拿过去挪过去用就行了。好了，大小方向有了对吧？你直接挪过来p点，

假设在这你就开始标哎。给它画过来啊，给它平移过来哎p点是不是不是b点到这了好了是不？这是已知。通过已知求未知。这个是未知的，但是未知也不是完全未知方向，最起码它一致，也就说VC的方向肯定要平行于。这个这个机架也就说平行于xx这两个小红线虚的，对吧？平行于xx这是方形。还有这个。VC BC相对于b我说过c相对于b只能做旋转运动，也就说只能垂直于。

BC这个杆儿只能垂直于BC这个杆儿。它俩只能垂直。不能做其他的运动，为什么如一旦做了其他运动，比如说？在沿着BC这个这杆儿上有分量c，相当于是往这儿运动，那坏了，那你这b和c。有这样的运动，是不是就被拉伸了？所以说c点只能相对于b点做旋转，也就说凡是相对运动。基本上都是旋转是吧？反正相对运动就是基本上都是旋转，

就是同一构件儿的啊，同一构件儿的同一构件儿上，我注意啊。我说的这个相对速度都是旋转的话，是同一构件上。同一构件儿上。这两个点，这是一个刚体上的，对吧？a点b点相对a点只能转，不能来回移动，一移动啪。碎了对吧？它们两个之间如果有相对速度的话，是不是这个件儿就中间断开了，

对吧？没问题吧？好，所以说。只能是垂直于BC。那就可以画图了。一个矢量方程里边儿有两个，基本上就可以解决了，哎，有的同学可能第一次学。学这种方法的话，呃，觉得有点儿困难，觉得有点儿不太理解为啥一个方程有两个未知数，我都可以解呢？

其实这不是一个方程。它几个方程，它俩方程为啥一个大小的方程？一个是方向的方程，也就说矢量方程。解了，相当于是一气儿列出两个方程，一个是大小。占一个方程，一个是方向，占一个方程对吧？两个方程，两个未知数就能解决了，对吧？没问题。

好了，咱们开始画了啊。即使这个位置，但是位置你也你也应该知道它的求解公式是什么？欧米伽二乘以个lcb对吧？你心里要有数，就是用欧米伽二构件的转动。再乘上一个。cb的这个长度是不是就相当于是？c点呢，绕着b点的转的大小啊，对吧？就是相对速度，但这个现在欧米伽二是未知的，所以说咱们求不出来。

咱们开始画，开始画。把这个挪过来没问题吧？PB就这大小，然后方向。接下来这两个是怎么画出来的呢？这两个请问。也就是说，你又要判断一个。c点为什么它不是垂直的吗？不垂直于这这个点吗？不垂直于这注意啊，是垂直于这一条线，是垂直于BC，并不是垂直于这一条线啊。

并不是垂直于这条线。是垂直于这条线，垂直于这条线好平移。平移到哪里去啊？就这个加v cb。这个v cb相当于是在b点的这儿，这个尖儿上，刚才我说了，是不是在这个尖儿上画？对不对？因为你是矢量相加，就得首尾相接嘛，这儿前边儿有加号儿，对吧？你就得在这个尖儿上画。

朝哪画。你看如果你往这儿，你看VB的速度是不是朝下的？那欧米伽二是不是就有一个逆时针转动的趋势啊？那么c点相对于b点速度是不是向上的？是不是你可以判断出它的方向来，所以说它是不是在上边也就说垂直把它移过来？它是在上边儿。对吧，它是在上边。但是大小我们不知道，我们只知道一个方向大小，咱们还不知道。好了，再判断第二个方向。

对吧，画一条水平线就交出来了c点。就交出来了c点。还有同学不太理解的在哪呢？为什么c点在p出发？而你画的这个是在这儿出发。到底什么时候在这儿出发，什么时候在这儿出发，你看一下，凡是求的绝对速度。下边字母就一个的c和b，这是不是绝对速度？求绝对速度的就从p出发。凡是求相对速度，

这种画这种相对速度的。是吧，就是就得从某一点出发，不是从p点出发了，具体从哪一点你看它加的是谁？是VB加上它，那你就从b开始画。听懂了没有，你看。一定我建议你在这里啊，摁一下暂停。建议你在这里摁一下，暂停就你自己手动去画一下，你才能够真正感觉感觉到，比如说像。

什么都没有的时候。像什么都没有的时候。你自己去画，先画这个，接下来你将进进行的第二个困惑就是加这个v bc到底是在这儿画一个垂线啊，还是在这儿画一个垂线？是不是一定要在这儿画一个它的垂线，对吧？90度90度的垂线。在上边儿还是在下边儿？你一看，判断趋势是不是在上边儿？好了，你画一条曲线，但大小不知道大小，

你还确定不了，对吧？最起码我知道你别犯技术性错误，你别在这儿p点这儿做一个垂线是吧？是吧，还有很多同学是不是要这这么去搞了瞎画对不对？一定要在这儿，为什么要在这儿？因为它是积压。它俩加起来矢量加。含义，矢量相加的含义。你在旁边记上矢量相加的含义，就是首尾相接矢量。相加的含义。

就是手。为相接。就是首尾相接连在一块儿，对吧？所以说就有了。咱们的首尾首尾相接。诶，所以说你看就有了这两个相加。得这一个对吧？这两个相加得这一个啊，这两个相加得这一个。没问题吧？没问题吧？哎，就这么求出来了。

这就是整个的矢量方程图解的。过程看了第一步，你怎么定的？咱们再看一下你怎么定的这个p这个p是你自己随便定的，在在图纸上根据你画图的时候p点选在哪儿无所谓，但是p点。一旦定下来，就代表了速度为零，速度为零，用小写字母p代表这个大小。这个是告诉你了。说这么大，你不用再取比例尺了。这个题的考察的一个技巧就是你不用再取比例尺了，人家就这么大，

你给你画好了，你不用再取速度比例尺等等的，而且你速度大小你也不知道。所以说没问题。呃，咱们强调反复，它强调了这么多次。希望同学们能够理解。好了，象征性的，我这这里写这个缪v。就是想让大家不要忘了乘那个比例尺，其实这个比例尺。不成，成不成都是一，

反正你是平移过来的，这么大。乘以这个比例尺，万一有的同学脑袋一发热，哎，你平移我就不平移，我就按二倍去画。那你这个就得乘以个二倍，那不是这这个你就得。这你就得。它的实际的大小，比如说我是原先这么大，我就非得画那么长，非得画那么长，带原先那么长的。

带这么短的，那你就得除以二对不对？除以二。你测量出来的实际长度，除以二才是你原先的速度大小，当然尽量别那么画，就是人家画多大你就画多大。尽量的不要乘这个比例尺了，对吧？你不不要再再这个。既是乘，也是乘，一好吧，直接量出来测量一下这个是多长，然后速度是多少？

呃，在解的时候，尤其是像这种没有参数的，这个一定要乘上，即使它是一你默认的也要乘上，因为。为什么？如果你直接这么写。这这这就错了。一个是长度，这个是长度嘛？这个是速度单位都不一样，所以说这个比例尺还是要乘的。是吧，比例尺还是要乘的。

VC的速度。把它乘出来。就解完了对吧？再接下来我们还要解欧米伽二。我们一个二怎么去求啊？现在我知道了，相对速度的大小。相对速度的大小，相对速度的大小，我们已经知道了，就用欧米伽二乘上lcb。我直接用它除以lcb。是不是就得欧米伽二了？是不是就得欧米伽二了？好整个过程。

它还让你求什么？它让你求vd的速度。求vd的速度。我们同理，如果用前面的方法。不同构件儿。同一构件儿不同点，我还可以通过VB把d点求出来，是不是也可以没问题，但那样做就复杂了？课本儿里提供了一种方法，叫做速度影像法。什么叫速度影像法？就是理论上求vd点vd点的速度，我可以是不是用这个公式？

现在地点大小方向都都不知道剪不出来，还得再列一个，就是相当于是列两个。矢量方程图解。你看这个。它的方向和大小是不是都不知道？它的方向朝哪大小都不知道，两个问号一旦。一旦出现两个问号。当然了，这边儿你可以解了，就是咱们如果不做第一问的话，第二。这个是不是也是位置你没法解？但现在咱们把第一问做出来了，

哎，这这个是已知的好了，那就剩剩下两个未知的，两个未知，那就能可以解了，可以通过它去求求解出来。也可以通过它求解出来。对吧，也可以通过它求解出来。最终，这两个化简出来发现是一个。这样经过前人的总结，或者是数学的推导，发现这两个三角形打剖面线的，这两个三角形。

是相似三角形。是相似三角形。那么就有了咱们的速度，影像法说的是什么意思呢？只要一个构件儿上注意速度，影像法说的是。同一构件儿，同一构件儿上速度v知道了两个点的速度方向，第三个点。不用求了，也就说同一构件上。同一个构件儿上。已知两个点的速度。第三个点的速度。不用求了，

直接用做个相似三角形，比如说。我再让你求。f点的速度，你就连接。bfc做一个三角形对吧？bfc同理在这边儿这个小b。小c，然后再连接一个f哎，关键。有同学细心的同学就发现了，哎，这个f到底选择这边儿做一个相似三角形，还是选择这边儿做一个相似三角形呢？是吧，

有两边儿嘛，那为了解决这个问题，又想到了。假设这一点还是f。相似三角形字母顺序要一致，什么叫字母顺序要一致？比如说b。CF它是一个怎么转的？它是逆时针转的，你看先数b点再说c点再说f点说它是一个逆时针的过程。转过来的那么由。速度影像也是逆时针转bcf。f必须在这边也是逆时针转。字母的顺序都是一样的，这叫速度影像法。

通过。在这边f在这边，我再做相似三角形和这个相似。就解出了f点的速度，不用再去列矢量方程，图图解去，不用不用再列矢量方程了，对吧？直接在图上做相似三角形，直接图解就完事了，这叫速度影像。速度影像法。有两个注意点。第一个就是字母顺序。下角标的顺序方向一定要一致，

不一致就错，刚才我说的什么叫做速度方向一致，什么叫做字母下角标一致就是bcf。你数的这个顺序是逆时针，那么这边也是bcf。如果有的同学不走寻常路，我就愿意先数。bfc你看bfc这不顺时针了吗？那么你下边那一个bff是在这边再数c，它是顺时针还是在这边是顺时针？当然是在这边是顺时针对吧？它也是顺时针。第一个注意点就是顺序要一致，第二个。一定是同一构件儿啊，

你别给我应用到两个构件儿，上边儿用速度影像去是同一构件儿，知道两个速度。同一构件儿AB。然后去求c点。别是什么呢？这儿焊接上。这里是一点dab。CD啊，这是f嘛，这是e嘛abcde。e这儿有一点。知道了a点的速，知道了b点的速度吧VB的速度，知道VC的速度。

我可不可以用VB VC这三个组成三角形呢？不可以，不是同一构件。这个是构建一，这是构建二，这是构建三，所以说你只能是用vbva，然后给它做三角形，所以说只能是同一构件儿的。可以应用速度影像法。同一构件应用速度影像。接下来。咱们讲完了同一构件儿。同一构件儿的速度怎么求？咱们再求一下加速度。

加速度怎么去求？这个已知，这个就有了，已知长度比例尺，注意这个叫缪l，这个叫什么，这叫长度比例尺，也就是说现在你看到的。这个机构它不是你眼中的这么大小。这个长度lab实际长度是什么呢？乘以一个LA缪l。乘以个lab是这么长，不是你实际看到的。好吧，已知VB VC欧米伽二。

a点的呃，这个b点的加速度让你求c点的加速度，还有让你求r这个rf 2是什么角儿加速度？谁的角加速度二构件二的角加速度，现在角速度知道了构件二的角加速度得多少？这个是个呃，同学们很难区分的，一个一个点。就是有的同学说，哎呀，我的我的试卷太模糊了，有的我我可能看成这个a2。为什么不是构件二的加速度呢？请问构件二做什么运动？构件二在平面上既做旋转运动，

又做平移运动，对不对？它是一个复合运动。它是一个复合运动，那每一个点，每一个点。它的加速度都不一样，所以说你不能用一个点去代表整个构件儿二的加速度。所以说这只能去求它的角加速度，你不是旋转吗？反正旋转加速度你肯定。肯定是一样的，对吧？这个构件肯定是一样的，所以说只能是让你去求。

构建二的角加速度并不是构建二的加速度，这个一定要理解，就这个阿尔法并不是a。c的加速度哎，你看c是平移，它就可以求加速度了，对吧？每个点。它是平移的，每个点上的加速度都是一样的，所以说它就可以整体的去求加速度。还有d点的加速度a dad，这一点的加速度。为什么这又可以求加速度了呢？因为它是某一个确定的点，

就是构件二上某一个确定的点。我是可以求加速度的，任何一个确定的点都是求可以求加速度，但是不同点加速度是不一样的，所以说就不能用a2。来代代替了。就是你可以用AD是吧？这一点加速度可以求出来AB加速度也可以求出来AC加速度也没问题，对不对？都可以求出来，但是。就是唯独就不能求整体，整体没法求，对不对？各点的加速度都不一样，

好，咱们解释一通。接下来开始做了。怎么做？还是用基点基点法，也就是说AC的。AC的加速度。等于什么？等于AB的加速度，加上AC相对于b的加速度，对吧？理论上是这个公式吧？c点的速度c点的加速度等于b点的加速度，加上c相对于b的，咱们都知道c相对于b只能做旋转运动。

那么，做旋转运动的话，它只能分解出两个。两个加速度的方向来一个是沿着。沿着BC呃，一个是沿着BC，一个是垂直于BC，一个是垂直于BC盖儿，一个是沿着BC盖儿，这两个方向的加速度对吧？统一的把它。化简出来，化简出来没问题吧是吧？因为是c点，相对于b点做旋转运动嘛，

这个旋转运动是一个加速的。如果只如果c点相对于b点做匀速的转动。那么就没有切向加速度了，就没有切向加速度的事儿了，只有法向加速度，对吧？只有法向加速度。okay了，理解了这一点之后。我们就开始求解吧。实际上就是由它而来的，只不过是把这一个我怕同学们看不明白，就是c相对于b的加速度是什么呀？就是相当于是把它拆分出来。一个拆分出一个盐。

BC杆儿的一个是垂直于BC杆儿的两个加速度方向。对吧，列出来了好了，为什么要把它拆开呢？因为如果你是直接这么写的话。嗯，直接这么写。它的大小方向都是未知的。你想想这就有俩问号了，你再求c点c点又有一个问号是吧？方向虽然咱们是已知的。你这三个问号没法解啊。三个问号没法解，就要把它拆开，拆成这两个。

拆成这两个。那就有法儿解了，因为它法向的加速度，咱们会求欧米伽二的平方l。是吧BC。这是法向的加速。它的大小和方向都是一致的，现在就成了它问号，而且这个切向它的方向是垂直于BC的，咱们是已知的，对吧？这个肯定是已哎，这肯定是已知的，对吧？俩问号方程右边的第一列必须得是已知的，

你必须得通过已知去求未知，对吧？也就是说。这道题我们必须得是通过已知去求未知，现在已知点就是VB这些已知这些东西是已知。这个是已知的是吧？通过已知去求位置。开始解呗。截出来好了。你一看。发现。是不是我说的这俩对号一致就把？这是va就把这个原封不动的移过去就行。法向加速度，有的同学说，

哎呀，法向加速度我都忘了，现在我告诉你了，你就应该记住了，而且专业课很。很古怪，它不像什么数学啊，英语啊，它告诉你这一个点，可能你还得复习其他的七八个知识点来攻这一个知识点。咱们专业课没有那种没有那种规律。就它考察，我告诉你，它明年还这么考。不变，

所以说你只记住这个公式就可以了。而且是由c指向b。看着它的方向是由c指向b的，对吧？方向是由c指向b的。大小就是这么大小。大小就是这个大小。切向的加速度呃，切向加速度，咱不知道。但是咱知道它的方向是垂直于BC，垂直于BC是吧？这个方向也也已知，就是滑块儿的方向水平，沿水平方向对吧？

没问题吧？哎，这个是没问题的。你接下来干什么了？把矢量方程列完了。能不能解？这个矢量方程能不能解俩问号？可不可以解？可以解啊，就开始画图呗，首先画图从哪开始入手？现在你可以方程列完了，接下来你就开始画图了，首先第一步起笔点。p撇儿是不是画下来了？

接下来就该问自己了吧？画多长啊？这道题比较特殊，不让你不让，不用你求画多长了，直接把它拿过来哎，平移一下把它。放到这儿，是不就是我们的？我们的VB了，或者是你如果这个看的比较复杂的话，咱们现在就开始解一下好吧，咱们开始画一下啊。好p，撇儿。

画下来。这是什么？这叫b撇是吧？这叫b撇。哎，这叫b屏。这个画完了，接下来画这个。看着吧，前边儿加。代表的加我刚才说什么意思嘞？加就得从这儿开始出发了吧？就得从这儿开始出发吧？就从这儿开始出发吧，不是从这儿开始出发吧，

没问题吧？而且你在写的时候也要有技巧，就是尽量把已知的往前写，你不要写前面写一加加一个未知的好吧？好吧，你不要加一个未知，一加未知你大小方向，那那就没法搞了嘛，对不对？你就没法往下继续画了吧，对吧？所以说技巧就是先把已知的。先写已知的。先画已知的。听没听懂就是为什么不把切向加速度放前边儿，

把把反向加速度放后边儿不好呢？因为你下一步就开始画的时候，你发现你切如果加切向加速度。大小不知道，你只知道方向耶，画了一个是比较麻烦，当然了，你最后也是可以搞搞出来的，但那比较麻烦。你就画这个好了，咱们开始画。由这点指向。指向这一点好了，是不是指向这一点的是吧？由c指向b的由c指向b的大小是这么大？

哎，关键是这个大小怎么确定啊？同学。这个告诉你了，这么长。那关键这个欧米伽二是是怎么确定啊？这就很困难了，如果一旦确定的短了。就变成这么窄了，确定长了？那变这么长，又又不太对了。这可怎么办？这可怎么办？也就是说，

我们要求了。叫加速度比例尺。加速度比例尺。什么意思？就是你一开始画这么长。这是你自己定的，对吧？画这么长。那么接下来它表示多长呢？它表示多大呢？你就可以开始除了就用。密ua就等于用个AB。比上一个。p撇儿b撇儿，对不对？

加速度。再用这一个密ua。乘以一个加速的比例式，或者是叫叫p。呃，随便取一个p撇儿n撇儿吧，对吧？一般垂直一般垂直都是用n嘛，一般垂直都是用nn撇儿吧。等于什么？等于欧米伽二。平方lbc。哇，这个看似没有参数容易了，其实难的要死，

为什么因为？欧米伽二乘上lbc，它到底它到底是个多大的一个值啊？是不是你还要返回？上一个。上边咱求的这个数值。是吧，欧米伽二乘上。欧米伽二在这呢，欧米伽二和v cb是什么关系？然后你一级一级的去导。一级一级的去等。是把它最终解出来，发现哇，这个看似简单了，

其实更难了，对不对？我们一个。2 lbc.但是现在这个题人家告诉你了，这已知你就画就完了，你说这个已知是多大？神仙之道，对吧？只能靠运气了，神仙制的在呃，你放心，在考试的时候绝对不会出现这样的题，就是在考试的时候它一定会。准确的给你，

比如说十转十弧度。每秒等等的，其它的它一定会给你这具体的数值，不会说像咱们这个解题，咱们现在解题主要是让你看思路。看思路好吧。来咱们看一下。就刚才咱们咱们说到哪儿了，从p撇儿开始往下画，对不对画到？这是b撇是吧？这个画完了对吧？你就假假设你就假装自己已经知道了。这个mua乘上一个l。p哦，

刚才写错了，是b。是bnb撇儿n撇儿是吧？b撇儿n撇儿才是这个。对吧，它是相对的嘛b撇儿n撇儿。就等于一个欧米伽2l方。BC是吧，就假设你自己已经知道了好了垂直。就假设在在这点吧，一般垂直的话，用n来表示n撇儿。画到这就结束了，对不对？再往下画的话。

这个就是未知的了，好了，开始画垂直。n就到这了，就是这么大就假设你就已知了，然后。再画一个垂线，你看再画一个垂线。是吧，它的大小不知道，但是我知道它的方向。那我就可以画出它的方向来。对吧，是这个样子的。okay了。

这边儿所有的东西都画完了，那开始画这边儿。这边是个什么呢？就一个平行于xx。水平的。这个焦点你看是不是？没问题吧，画出来了。这个交点是是谁啊？交点交出来的，是不是c点？交出来是c点对吧？这个点是n撇n撇。就有了交出来的，这个是c点，

你看从这儿上边儿来过来上来对吧？就是现在黄色表示的。这个箭头。是不是刚才咱们画的从这儿下来上去，在这儿做一条垂线，再做一条平行线，是不是交于c撇儿点，对吧c撇儿？好了，没问题了，那接下来d点把c点求出来了。d点可不可以求？用加速度影像法加速度影像法和速度影像法一模一样，没问题，同样有两个注意注意点，

一个是必须得用同一构件儿，第二个就是。干什么顺顺心？不是那个呃，下角标顺顺。这个顺序得是一样的吧，比如说bcd，它是逆时针，这边儿也一定是bcd bcd逆时针。对吧，一定要这么去画。这么去画。好画完了。都没问题了。画完了，

没问题了，之后我们发现一个问题。就是切向加速度，或者是不是叫角儿加速度？角加速度和谁有关？角加速度和切向加速度有关系？就这个切向加速度除以。l.BC就等于。角加速度，有的同学说这个公式我不知道，现在我告诉你了。角加速度公式就是用切向加速度比上。lbc.比上这个旋转中心。

现在你知道了吧，在下边儿这个题的时候，以后再遇到角加速度的求解的时候就这么去求去。再问你求角加速度的时候，你一定要明白它的含义是让你去求切向加速度的。再一个含义就是，他要把原先的a。cb要拆分开，拆分成这两个。这就是做题思路，等你做熟了，对吧？等你做熟了好了，那在图里边儿，在图里边儿就是你画的这个图里边儿哪一个表示的是a？

cb哪一个表示的是a cb？请问同学哪一个表示的是a cb？加速度。c相对于b的。切向不是a不是加速度a cb啊，加速度是切向加速度a cb。a cb的一个分支。七切向加速度。哪一个有同学说诶，是不是这个？这是不是总体的c相对于b的加速度？那么单独的上边儿有个小切向的加小。切向的这一个标呢？就是这个。就这个n撇儿c撇儿。

你看a cb。等于一个a cbn。加上一个a cb切。acbn+acb 7就是用。法向加。切向是不最后等于。这一个法向加切向，最后等于这一个。是吧，没问题吧？没问题好了，搞定了。原来就是用这一段儿距离，用这一段儿距离c撇儿n撇儿乘上一个缪a，一定要把这个强加速度。

就一定要把这个比例尺乘乘好等于。多少多少，然后再除以。相应的，这个值相应的l。BC是吧？用n撇儿c撇儿长度乘上一个缪a，对吧？这求出来切换加速度的大小了，比上一个缪l乘上一个BC。就等于一个角加速度是吧？角加速度。好了，我们把加速度这一章节给它搞得差不多了，给它搞得差不多了。

希望同学们能够。理解一下。这是同一构件儿。这是加速度，刚才咱们讲了加速度，速度，影像法，还有加速度，影像法其实是一样的21个是同一构件儿。另一个就是。顺序三，角形顺序必须得一致，字母顺序必须得一致。

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23机械基础09.9第二章平面机构的运动分析（2）

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