23机械基础08.8第二章平面机构的运动分析（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-5-9 01:14:10

欢迎来到启航考研教育，我是你们的专业课辅导老师，石老师，这节课咱们讲解机械原理的第二章节。就是咱们平面机构的运动分析，注意是平面机构。运动分析。本章节有两个重要内容，一个是顺心法，另一个是矢量方程图解法。这两个重点内容一定要掌握，也就是说机构的运动，我们要为什么要？分析机构的运动啊。分析它的速度，

分析它的加速度，也就说一个机构的好坏，这章节为什么要讲？就是它的好与坏。机构的豪。愈坏往往取决于什么？它的运动性能。比如说一个机构同样同样的机构，你这种设计可能它的速度是五米每秒加速度100米。没有二次方便。那你的加速度太大了，人家其他的那个十你每二次方秒就能达到。诶，力学性能就比较好嘛。咱们都知道加速度，

一旦大了，你的外部受力是不是就大了？所以说我们要对它进行分析。这个机构到底好不好？它的加速度到底是什么样的？它的速度到底是什么样的？我们需要分析一下。还有我们讲顺心法的时候，我们还会讲什么是顺心法？顺心顺心是什么？什么含义？然后矢量方程图解又是什么？咱们要掌握一下这两个基本知识，在讲解之前啊，我们都需要把每一个方法的基本理论都需要讲一下。

还是还有当然。最后，这个了解内容，考研几乎不考。也就是说。矢量方程图解只应用于二级杆儿。这样叫二级机构嘛，不是二级二级机构。二级机构。三级机构一般它就解决不了矢矢量方程图解法，一般三级机构就解决不了。就只解决二级机构。直接就二级结构。非重点内容。按照这一章节，

咱们强调一下每一个章节的重点内容，第一，掌握机构速度顺心的个数。首先你得会求个数，这个机构有多少个顺心，有多少个构件儿是吧？有有多少顺心，你得会算构件儿和顺心的顺心个数之间的关系。第二，就是确定各个速度顺心的位置。是两个直接接触形成运动负的，大家都学过第一章节，咱们都知道什么叫运动负了，对不对？行，

直接接触形成运动负的，它的顺心位置在哪？注意啊，速度顺序。顺行位置在哪？不直接接触的两个杆儿，比如说。一杆儿和三杆儿这两个不直接接触它的顺序在哪儿，怎么找？利用三星定律。也就说接触的你直接可以找，按照理论去找，然后不直接接触的用三星定理，这个一定要掌握住。掌握利用速度，

顺心求解角速度和速度。注意顺心，不能求加速度。顺心法。顺心法只能解决速度和角速度的问题，加速度它解决不了，加速度只能用矢量方程图解法。多边形绘图。呃，所以说本章节也也有理，也是分水岭，也是分水岭就有的，学校只考顺心法。这一部分同学听完了顺心法之后，基本上就可以跳过矢量方程图解的讲解了。

不用听了。然后直接再听一个专题专题训练，专题训练里边儿啊，也有矢量方程图解，把那跳过，只掌握顺心就可以了。像这部分同学，他的考的学校这类的就在这个运动运动解析或者是运动分析这一章节相对来说难度就比较低了。凡是考矢量方程图解的，对于同学们来说，列方程画图作图选比例尺等等的都是难点。相对来说，难度就高一点点，但是跟着老师去学。一定会学会，

尤其是矢量方程图解就什么时候扩大构件儿啊，上哪儿扩呀？是谁和谁扩呀？一定要搞清楚。而且我总结的这个做题步骤啊，非常重要，你一定要仔细的去品味，就是这个。做题步骤给你了。一定要把每个做题步骤是怎么来的？化转化成自己的做题思路，转化成自己的做题思路。才可以，对吧？掌握矢量方程图解。

第五个有无可视加速度的判断。什么时候有可视加速度，什么时候有无可视加速度，也要会判断。待会儿咱们也讲讲，当然啊，这个重点内容啊。按照咱们往常的习惯，就是我在讲完整个章节之后，咱们还会回到这个界面儿上给大家再总体的把知识串一遍。到那时候，希望大家再能够认真的仔细的看看这个分类能不能能不能融会贯通。能不能自己理解？能不能自己做题？接下来咱废话不多，

讲了重难点，当然有了，找顺心对不对？然后顺心法求。速度和角速度。啊，第二个重点就是用矢量方程图解不同构件儿之间的速度加速度。重合点的选取问题主要是。也就是说，咱们通常说的扩大构件儿。什么题用扩大构件儿，什么题不用扩大构件儿，待会儿咱讲的很清楚，希望同学们仔仔细细的，认认真真的听。

好，接下来咱们讲顺心法。速度，顺序。速度顺心法，首先我们要了解一个概念，什么叫做顺心？顺心说的是什么？顺心或者是叫速度顺心。说的是两个相对运动的构件儿。即为刚体，两个刚体。相对速度为零，绝对速度相同的重合点。叫速度顺心点，

也叫顺心点。听明白了没有两个构件儿。相对速度为零，绝对速度相同。比如说这一个构件儿，这个构件儿。在这一点的速度，它俩一样。绝对速度一样，没有相对运动。没有相对运动叫。速度，顺序。重合点速度顺心对吧？叫速度顺心，

两个构件儿的速度顺心，简称顺心。顺心顺心，就是速度顺心，说顺心，就是速度顺心。听懂了没有？加速度顺心搞不了。用速度顺心法的时候啊，就是顺心法的时候啊，当然了，加速度顺心啊，它也有方法去找，但是现在这个阶段咱们解决不了，咱们只解决速度顺心。

速度顺心，再来一遍，速度顺心，什么叫顺心？因为它是咱们后边儿讲这个方法的一个基础，你首先得理解它是什么概念哦，两个构件儿。相对速度为零，绝对速度相同的重合点叫做顺心，而且这两个构件我告诉大家。并不是大家想象的完全谁和谁都不相干，不是这样的，而是研究的是平面儿机构。请问同学再复习一下第一章什么叫做机构？机构最起码你得先提前得是运动链儿吧，

对吧？构件儿构件儿构件儿构件儿有了通过运动负把它连接起来，对吧？这叫然后其中一个当机架，这叫机构啊。对吧，所以说机构比如说构件儿一构件儿三。它俩并不是独立的，完全谁也不和谁搭搭嘎的，这种是吧？谁也谁和谁都都挨不着的，不是这样的，而是通过一系列东西把它串起来的。找顺心的，这是机构，

并不是你想象的这一个这一个它俩。什么都不相关，叫速度顺心找速度顺心不是这样的，咱们是只针对机构。找顺序去。找顺心。就有绝对顺心和相对顺心之分，什么叫绝对顺心和相对顺心？记住这样一句话，凡是两个构件儿顺心，不是两个构件儿从绝对速度相同，相对速度为零的点嘛，对吧？你看注意这句话，绝对速度相同，

相对速度为零的点，对不对？没它俩没有相对运动。这个点叫做顺心吗？那相对顺心是什么呢？相对顺心说的是这两个构件儿啊，都不是静止的都。这两个构件儿都是在动的，这两个构件儿都是运动的。形成的顺心点。叫做相对顺心点。比如构件儿一，构件儿二。构件三，然后基架是构件四，

构件一和构件四形成的，这叫绝对顺心，那构件一和构件二，这构件二也运动，构件一也运动。那我这两个运动。形成的这个顺心点叫相对顺心点，绝对顺心点就是其中有一个构件儿固定不动。其中有一个两个构件儿之一是静止的形成的顺心，叫做绝对顺心，它不动也就说构件儿一和构件儿四形成的这个顺心。叫做绝对顺序。绝对顺序。有的同学说了，哎，

构件儿一和构件儿四，构件儿一和构件儿二，这顺心怎么找啊？接下来是是咱们接下来下一页儿的内容。现在你先知道哦，就是和构件儿，一是运动构件儿，四是静止，那它这个旋转中心就是它的顺心点，对吧？那么，我们就有一道题就出现了。请问一个机构当中有n个构件儿？有多少个绝对顺心？这个题算是一个伏笔题，

待会儿下边儿咱们讲求顺心的个数的时候，还有顺心的位置的时候，咱们再讲这道题。先记住，就绝对顺行的数量怎么去求？好吧，现在咱们不需要掌握那么多后边的知识，咱们现在只掌握什么叫相对顺心，就是两个构件儿形成的顺心点，顺心点。这两个构件都是运动的，叫相对顺序，绝对顺序呢，就是其中有一个构件静止不动。另一个构件和它形成的顺心就叫绝对顺心。

好，咱们来看第二个，第二个考点。就是顺心速度，顺心的确定速度，顺心的确定啊，有两个方面，第一个方面呢就是。数量数量的确定。第二个方面就是位置的确定。一个机构有多少顺心数量，你得确定每个顺心两个构件儿，两个构件儿，每两个构件儿形成一个顺心吗？所有这个机构形成的，

所有的顺心，它的位置在哪？它的数量是多少？这是咱们需要确定的，好了咱们来看一下。这个数量也很好，也很好理解。顺心的定义是什么？两个构件形，两个构，每两个构件形成的顺心点对不对？速度顺心点，或者是叫。每两个构件儿，它的相对速度为零的呃为零，

然后绝对速度相等的重合点，对吧？每两个构件儿形成一个两两组合。是咱们的排列组合吧，对吧？比如说有五个构件儿，每212345每两个构件儿都能够组合一下，对吧？它给它组合组合组合组合。然后在这组合组合组合组对吧一共？发生就是n。乘以n- 1括起来比上二。比如说有三个构件儿，有有有四个构件儿吧？四个构件儿，

它能够形成多少顺心呢？形成4×3，除以二就是总的一共有六个，也就说四个构件儿的顺心，四个构件儿的机构。123机架也算四注意啊，机架也算。为什么要强调计件儿？因为在算自由度计算的时候3 n- 2 pl-ph这个n。含不含基价儿，不含基价儿为什么？如果含上了基价儿这个三乘的就没有意义了，对吧？基价儿自由度为零。你不能乘三。

它是固定不动的。所以说n只是要求的活动固件呃，但是。求顺心的时候就不一样了，顺心基架也算构件儿了，对吧？也算到构件儿里边儿，也算到构件儿里边儿。它本来就是构件，对吧？咱们把它算在里头。好了，由四个咱们接着讲，由四个。一个两个三个由四个构件形成的机构，

一共有多少顺心呢？一共就有六个。4×3=6，那怎么来的呢？1234呃1和4可以组合，对不对？1和2可以组合，然后1和3可以组合，对吧？那是一四，这是四嘛141213可以组合。然后二呢二。2324可以组合对吧？还有一个三四。是吧，

就没了吧来。能组合出这六个来。141213或者是121314，就这样这样可以。对吧，组合一下出来了，就这么来的，就这么来的，很简单吧，个数确定了。好了，位置。位置又分为两种情况儿，顺心的位置啊，怎么确定呢？

分两种情况儿，也就说两个构件儿。它以什么样连接形式不同的，比如说分两分两种情况，一个是直接连接的，它怎么个连接情况？一个是有连接。也就说，形成了运动负，一个是形成了运动负。另一个呢，是不直接接触？不直接接触的有这么两种情况。一个是能形成运动负的，一个是没有形成运动负，

不直接接触的，就刚才咱们举的那个例子。1和3这两个构件儿，这个顺心怎么去找呢？就用三星定理对吧？咱们后边儿会讲三星定理，咱们先把简单的。形成运动负。讲解一下形成运动负的又划分了什么？转动负，移动负，还有纯滚动的，还有既有滚动又有转动的。对吧，既有移动又有转动的。

通过。直接相连接的，比如说像转动负。它的顺心转动数的顺心就是在两个构件儿旋转中心，就是在两个构件儿的旋转中心。p12.记住啊。转动负的两个构件形成的顺心点，就在它们两个转动中心。就在这儿那移动的呢？移动的可以认为是无限大的一个。圆包包纳在里边儿，然后它在里边儿做运动，对吧？那它的顺心点就是无限远了，

无限远。无限元这两种情况。考察的非常多，也是最基本的，你必须得掌握这两考察的。纯滚动考察的。在齿轮那一个。齿轮儿那章节还会考察，为什么齿轮儿可以看作是两个截圆儿在做纯滚动吧？对吧？两个齿轮儿在捏合做做滚动的时候，它是不是相当于是两个结圆儿在做纯滚动啊？它的顺心点p。就在这儿做纯滚动的时候，顺心点就在接触点。

力两个件儿。高负连接一个做纯滚动。它的接触点就是顺心点，一定要记住第二个。就既有滚动，连滚带摩擦。连滚带滑，连滚带滑，那么它的顺心点就不确定了，不确定就是在公法线的某一点，还需要其他条件来确定。注意这两个有区别。移动负在无穷远处，是已知的已知，它是已知的。

是无穷源。注意无穷远，是算已知。这个。在公法线上，并不是无穷远处，它可以可能根据其他条件在公法线的这一边，在公法线的这一边。注意，这不是无穷远，这两个是有区别的。还有需要强调的一点。就是同学们最常问的一个问题。焊接。不做转动。

只做滑动。不做转动它，它不能转，它是焊接在一块儿的。同学就问这个移动它不是平移吗？它到底是纯滚动呢还是滑动？你不是说既滑动又滚动？它才是功法线上的嘛，这种情况也是在功法线上。也是在工法线上。注意，这个既滚动又滑动，它强调的是滑动。这个强调的是滚动。这个强调的是滚动，

这个强调的是滑动，只要它有滑动，它就在功法线上，它俩之间出现了相对滑动，就在功法线。这是注意的，并不会并不一定要出现滚动，但是它俩之间有滑动的，就在这个共发线上。这是需要注意的。考研四大类必须掌握。顺心的位置。两个转动的两个构件儿，在某一点形成转动负，那么这两个构件儿的顺心点就在这个转动负中心。

移动的在无穷远处，而且无穷远算已知，无穷远算已知。纯滚动的。反滚动到这就在接触点。既有滚动又有滑动的，强调的是滑动没有滚动，只有滑动也是在功法线上没有滚动，只有滑动也是在功法线上。某一点并不是无穷远处啊，是某一点是某一点。是某一点，并不是无穷远。具体在哪一点？还需要其他条件来判断，

听懂了吧？呃，根据机构的其他条件肯定能判断出来。好吧，这是直接相连的第二个没有通过运动负相连的构件儿，两构件儿顺心怎么确定？这时候就用到了我们的三星定理，就用三星定理，三星定理注意的一件事情就是。平面机构中。一定是平面儿机构中三个构件儿共用。共有三个顺心，是不是三个构件儿？共有三个顺心啊，一构件儿，

二构件儿，三构件儿，它能形成p12p13p。p23对不对p23？这三个构件儿能形成三个顺心，这三个顺心在一条直线上。同学容易产生误区的是哪哪里？构件一，构件二，构件三，机架算构件四，机架算构件四。有的同学开始说了，这三个顺心点，你看这一个顺心点，

这一个顺心点，这一个顺心点没在。没在一条直线上啊，是吧？我可以任意摆嘛？你忽略了一个是这三个构件形成的顺心是哪三个构件儿是构件儿一构件儿二构件儿三。这三个顺心。这三个形成的顺心，这三个件儿形成的顺心。比如说p1。四你知道是不是p14？p24p34.在不在一条直线上，压根儿它就不是三星定理，三星定理描述的是跟四没关系。

p12p13p23是这三个是这三个构件儿之间说你选定的那三个构件儿。并不是那选定的三个构件儿和第四个构件儿形成的顺心，那不是这样的，是它们三个之间形成的。顺心点，在一条直线上，这是三星定理。这是三星定律。好吧，而且是在一个机构中，而且是在连杆儿机构，或者是在一个机构，什么意思？机构是啥？它必须有运动负把它。

连接起来呀，对吧？运动负把它连接起来。没有运动符连接，那就不叫那就不叫机构了是吧？没问题吧？好，那是这是咱们的三星定理。好，那么讲完了，顺心顺心法，它的个数位置都确定了，那么顺心做题的时候，它的做题步骤是什么样的呢？用顺心法做题的时候。

首先你要干什么去？首先要确定。当然了，这个做题步骤啊，有的习题里边儿没让你画出所有的顺心点来，这一步你就可以省略掉，这是相当于这个做题步骤是一个综合做题步骤。比如说第一个让你写出顺心数量来，或者是没有这一步，没有说明确的说让你写出顺心数量的。但是它有一个什么呢？写出或者是标出画出所有的行程的速度，顺心点。那这时候你也要写上这个，像这个数量，

为啥即使不写也要在草稿纸上写下来为为什么？因为在找所有的顺心点的时候，你容易遗漏，比如说四个，你四个构件儿是不是算出来有六个顺心？你找出来的这所有的顺心，你看看是不是六个，如果不是，证明你少少找了。稍找哪一个，然后你再去补就可以了，对吧？待会我将讲。怎么样去一步一步防止漏掉，把它所有的顺序都找到。

第二个标出，直接标出。直接先标，直接接触的就是形成运动负的两个构件儿，形成运动负的它们的顺心点，因为比较好标嘛。标出来并画出来第二个不直接接触的两构件儿，利用三星定理。确定其实第四步就是为第三步。做理论基础的。一定要注意三星定理的应用，不在于你选哪三个点，不在于你选哪三个点，而是你选的是哪三个构件儿。形成的三个顺心，

比如说有四个构件。一共有四个构件儿1234。对吧，我想求一和。三机构的或者是构两个构件儿的一三构件儿的顺心，也就说p13。p13.怎么去求？怎么去求？1和3就这两个构件儿。三星定理，三星定理，你找的是一构件儿和三构件儿，那么一构件儿和三构件儿肯定要参与到里边儿，对吧？

肯定要参与到三星定理里边儿。那至少那至于选二构件儿还是四构件儿呢？那你要看其他情情况了，你一看一构件儿和三构件儿压根儿什么都不相连，我必须得通过你大脑里得想。这两个组合能用一次三星定理，我能够确定一条直线，对吧？在这条直线上的点满足了第一个三星定理。我还得需要一条直线得交叉嘛，对吧？得交叉出来。才能求出p13来位置来，对吧？所以说这个做题步骤，

希望同学们能掌握一下三星定律，在于找的是三个不同的键儿。三个不同的构件儿，而不是找三个心去，你别方向走反了，那麻烦了。你上来就是就要找哪三个心，应该是在同一条直线上啊，那就那就坏了，你找那三个心找去吧，找不到对吧，是找的三个构件儿。那接下来。咱们来讲一讲。视频这个是这个算是练习题吧，

就视频上独有的。咱们讲义上不再去讲解。尝试当然了，讲讲义上还会有其他的一些习题啊嗯，这里咱们就先练练手。这个视频讲解就相当于是先练练手，第一个怎么去做？就我在讲义上画了大篇幅的。呃，文章去写这个做题过程，那个做题过程的话，尤其是在呃。精讲习题，精讲习题那一部分，我写了大量的过程，

这过程呢，如果你没有看视频，你就得自己一一行一行的去看了。如果你看了这个视频，你可以把那一行文字全部抛掉，其实就是我现在讲课所用到的这个做题方法。首先第一个有几个构件儿，我先数下来，有一个构件儿，两个构件儿，三个构件儿，四个构件儿，对不对？四个构件儿机架也算嘛，是吧？

那一共有几个？一共有六个。一共有六个。六个顺心，六个顺心，怎么排这么排？注意啊。看着吧，这么排的p12p13p14是把所有的顺心点先写下来p。p23p24p三四把所有的顺序点先全部写下来。和一构件儿形成的就在第一行和二构件儿形成的所有的顺序点就在第二行和三构件儿形成的顺序点就在第三行。这么三行写出来干什么呢？为什么要把它写出来呢？六个顺心点，为什么要把它写出来呢？

就是要让你清晰的表达，第一个就是个数，首先你不能少，对吧？每一个你都得标出来，每一个你都要求解。第二个就是要告诉哪些点是已知的，已知的点要画对号。未知的点画一个杠两个，未知点什么都不知道，什么条件都不知道，画两个杠。画两个杠代表着需要两个三星定理，一个直线代表着用一个三星，三星定理就可以了，

两个杠就代表着用两个三星定理才能把它解出来。好，具体怎么操作？咱们开始开始了，咱们不算出来了吗？在它。它没有让你算个数，你在草稿纸上就算出来有六个，然后写下来了好了开始。p12，为什么要画1和2？看是什么既有滚动又有滑动？这不既有滚动又有滑动吗？那么它的。顺心在哪儿？

是不是在这条线上？好了，我知道了，原来p12就在这条线上。但是具体在哪个位置？我是不是还需要一个三星定理，再给它确定出来？两个线一交叉，才能够把具体点求出来，现在只只需要只只知知道了一条线，相当于是知道了一个三星定理，还需要一个三星定理。那么，两个三星定理一交叉，两个三星定理形成两条线一交叉，

是不是才能出来？这是咱们解题的最基本的思想。两个三星定理两条线一交叉，现在相当于是支掉一条线了，我只需要一一个三星定理。所以说我在这里就画了一条杠，只需一个线。再需要一个三星定理，对吧？p13和1和三没有直接相连，也没有其他条件。那你找1和3的顺心的话，你是不是得需要两个两条线啊？也就说两个三弦定理才能把它解出来。对吧，

得知道两个三线定理才能把它解出来。那p14呢p141和基站就在这儿呢，这是已知点是吧？已知点我就画对号儿。已知点画对号。接下来p23。2和3同理。既有滑动。当然了，滚动没有它相对的，只是相对的滚动，你看它转的话是不是相当于是咱们都用反转法都知道反转法对不对？相当于是三也绕着它，既有滑动又有转动。这一条杠，

因为我们知道了一条线。这个顺序点就在这条线上，但具体在哪一个还需要一个三星定理，把它确定。p24呢2和4就在这儿，我们已知对吧？p34呢p34也是已知的，为什么？3和4形成的移动数在无穷远处，注意p34在无穷远无穷远算已知。无穷远，算已知。无穷远，算已知。标呗p14有了。

p24有了。p34是不是有了无穷圆无穷圆，对吧？我们把这些已知点先标出来，然后接下来怎么去求呢？先求单个杠，就你下边标一个杠，只需要一个三星定理的，比较简单的，咱们先解这个。先解决1和2，p12p12，在哪呢？p12.你开始标了，

那么到底是是不这两个用三星定理的话，这两个构件儿必须得画上啊，这两个构件儿必须得有啊。这这两个构件儿1和2必须得参与到里边儿，那下边儿到底是和三组合还是和四组合呢？和三组合不行，为什么因为p12p23p3p？一三，你发现p13本身是未知的，你用一个未知的去求一个未知的。那就麻烦了，那求不出来，你只能用已知的，所以说你只能选四构件儿，你只能选四构件儿，

对不对？也就说p。12p24p一四用这两个确定一下，在一条直线上。你看是不是那就确定一条直线了吧？好p14在哪儿？p24在哪？对吧p14p24连接斜眼儿，刚才咱们说到这儿有一个是吧交叉点嘛？求没求出来，求出来了。对吧，这一个交叉刷交到这儿了，这一点就是p12。没问题吧p12。

来看一下怎么怎么解解出来的？熟悉一下这个过程。先把各个点都写出来，然后。标记是吧？先求一个杠儿的，一个杠儿代表是什么意思？我只知道一条直线，再需要另一条直线就可以了，好了，再求这个p23。p23.二构件儿和三构件儿形成的顺心，这又又来麻烦了，你到底和四。

和一组合还是和四组合？想都不要想和四组合，为什么p13你看一三下角标又有一三了，一三还是不知道还是不行，对不对？你还是可以。要和四组合，那就形成了p呃，我们要求的是二三对不对？现在是二四，它和它组合，它和它组合。24和34。二四在这三四无穷远，我们都知道无穷远可以移动。

我们把它移下来。我们把它移下来。看这个过程。先把这一条线画出来是吧？它有有一条线了吗？先在这儿再把这一条移下来，你发现都是无穷圆吗？你在这儿无穷也行，在上边儿无穷，这就是解题技巧无穷，远可以随意平移。无穷远可以在平面儿上随意平移。记住这个无穷远。可以在平面上上下平移，或者是如果你的轨道形成的是向上无穷，

向下无穷的话。可以水平平移。这是解题的技巧，为什么无穷远？你可以认为它是在这儿，也可以认为它是在这儿是吧？差了这么一点，对无穷远来说，不叫差，不叫事儿。对吧，所以说它能平移就平移到下边儿来。证明p34在这条线上和这条和p24形成这个线是不顺心点，就在这儿呢焦点嘛，这条线和这个线的交点。

是不形上来了p23。p23.p12都求出来就就差谁了，是不p13？p13两个杠需要两个三星定理，两个三星定理怎么找那么不用不用不用纠结了，对不对二四？和二组合和二构件组合成。一个三星定理和四构件组合成一个三星定理。对吧那？要求p13组合的组合的备用的这两个就是利用的那哪两个哪两个点？可以形成一个直线，就是p12。p23.你看我的做题步骤p12p23是吧p14？

p34.也就说，它能够确定一条直线，它能够确定一条直线，这两个直线交点。就是。当然了，写到上边儿，我我再写一遍啊，因为待会儿这儿可能要放一个标，要放一个标，我再写一遍啊一。3和24组合对不对？和2和4组合p12p。二三，

你看p12p23p14。p34.是吧，这两个可以确定一个直线，这两个可以确定一个直线。这两个直线用两次三星定理，把它确定出来，对吧？两个两个横线嘛？那么，我们找p12p23p12在哪儿？p12在这儿？p23在这儿？这是一条直线，对吧？

这是一条直线。p14p34p14在这儿p34无穷，远诶无穷远，是不是还可以平移把它平移下来？哎，焦点可能在这个位置，对吧？这是一个，这是一个。对吧，没问题吧？好，咱们来看一下。连接看。连接这个。

p12p23.把这个平移下来，焦点就是p13。我们就把到此为止，我们就把所有的顺心点都找出来，用这个方法。考研90%的题目。都是四个构件儿。注意考研90%的题目都是四个构件儿。不会出现五个，六个，七个，八个的，那太多考察也没意义，就是四个构件儿，

不用太多罗列。也不会，比如说让你找六个构件。那考察的意义其实就是一个计算量了。一个找图的那个速度的快慢了，找图速度快慢，可以通过四个构件儿就可以考察了，六个构件儿的话，说实话有点儿浪费了六，你想想。六一共有多少个固件儿？是不是一共有多少个顺序？一共有15个顺序，你找可能得花很长时间。是吧，

才能把每一个顺心点都给它一一标出来。这四个构件儿比三个构件儿呢要难一点，比六个构件儿或者是五个构件儿又稍微的。容易了一点，取了这么一个中间值考研，毕竟不能说无限制的加大你的工作量，那样谁在三个小时都做不完，那就考失去了考察的意义了，对吧？它出题的目的就是让一部分人能完成，让另一部分人没复习过的完成不了，就这么个意思。我们再再来几个练习题，比如说这有三个构件儿，一个构件儿，

两个构件儿，三个构件儿，那一共能够形成几个顺序？三个顺序呗。2×3÷2对吧？一共形成三个顺序。形成三个顺序，那就写吧p12p13p23对吧？这第一个题就是这么这么大。好了，这么大之后，你发现p12在哪？p12p13p23先标下来吧，这得画一个杠吧，因为它们两个知道了一条线。

再需要一个三星定理就可以了p13呢p1和3。哎，知道，因为在这儿对吧？它是机架嘛？三是机架。p23呢，也是已知的p23也是已知的。hi，那这个不就简单了吗？你看如果是三个构件儿，那就简单了，相当于是如果让你求p12的顺心的话，你只能用p13和p。二三。

对吧p13和p23。和这个的交点。做出来就是。你看是吧？好，那么咱们来看一下第二个题。第二个题。是什么样的？一代表的是机架，二代表的是凸轮，三。代表的是。咱们的推杆。三代表的是推杆，也就是说我们这道题你看p12。

1和2这机架和凸轮儿之间形成的，我们知道对吧？然后1和3我们也知道无穷远处嘛。机架和导杆是吧？我们也也一致，唯一不知道就是凸轮和推杆。但是我们知道它在这条直线上既有滚动又有滑动。是吧，它是一条杠。那简单了吧，就把它平移下来。焦点焦点处就是咱们的。顺心位置p23的顺心位置来看一下。是吧，焦点处。

就是咱们的顺心位置。好了好，讲完了，上边儿的两个知识点之后，我们终于知道了顺心是什么意思，怎么找顺心？顺心有多少个数？每一个机构当中，我们是不是把它的顺心找到之后，我们才能够利用顺心去解决问题？所以说，接下来第三个知识点。就是机构的速度分析。利用顺心。去解也就说运用顺心去解解题了，

实际应用了前两个知识点，相当于是告诉你了。顺心的这个理论，它到底是什么意思？含义是什么？这个就开始实际应用。那咱看看它是到底是怎么应用的？求解四连杆儿机构当中构件儿二。和构件儿四的传动比。我们要了解一下传动比。有过齿轮儿经验的就是有过齿轮儿或齿轮系，咱们听说过的。传动比，比如说它的齿轮儿是它的齿数是20个齿，这个齿数是40个齿，

那它传动比是不是二？哎12=2，这是一这是二对不对？这个1和2是怎么来？这个I12是怎么来的？就是用欧米伽。用欧米伽。一比上欧米伽二。对不对？就等于一个I12，就等于一个z2比z1。转速的比比较就是传动比。等于齿数的反比对不对？这是咱们在学齿轮系，也就说后边儿章节需要学到的，

提前给大家科普一下。这是理论吧，只要你学过机械，听过机械这门儿课程，你就知道传动比对吧？没问题，如果不知道的话，现在知道了没？传动比就是。两个构件儿的角速度之比，传动比就是角速度之比，问你构件儿二和构件儿四的传动比，就问你矮二四就等于一个欧米伽二比上欧米伽四。就问你欧米伽二就是构建二的。角速度和构件儿四的角速度之比。

是什么样的？那这个怎么去求？这个怎么去求？首先，这是一类题。你如果是第一次。第一次听说这个题没关系，那么你没有思路，那咱们现在就开始讲，首先咱们。咱们要找顺心，咱们先把会的给搞定了，咱先把会的搞定了。构件儿一，构件儿二，

构件儿三，构件儿四，这四个构件儿一共形成六个顺心，对吧？用顺心法。咱们不管它什么别的了，咱们先把顺心找到，先把这六个顺心找到，这是第一步，这个会做吧，没问题吧？好，咱们开始找顺心了啊。萝莉刷就列出这个来列，这个之前我们可以自己先写，

我带着大家先写一遍p12。p23p3p版。p12p13p14p23p24.p34来找吧p121和2转动负，咱们原先学过直接形成运动负的，移动负的，转动负的，还有高负的高负。纯滚动的既有滚动又有模式，滑滑动的对不对？又有滑动的，那么它的顺心在哪儿？是不是咱都学过了？好了，这个是转动的，

我们知道了，就在这儿。p13呢1和3那不知道。画画几条杠，不知道。它没有直接接触。那就画两条杠儿呗，对不对？画两条杠儿什么都不知道，需要两个三星定理，把它确定出来p14呢1和4，在这儿1和4在这儿已知对吧？然后p24呢p23呢？二三在这儿，二三在这儿已知。

p24呢2和4。两个杠儿。既不接触，也不知道一一条线对不对，你之所以说你得需要两个三线定理一交叉。把它交叉出来p。p34呢p34是不是在这儿？把它画对号。一个对号，一个对号，一个对号，一个对号，相当于是就这俩不知道，而且用两个三星定理。咱们先来解p1313，

你有两种选择，二四对吧？没没有选择了你，相当于是你用两个三弦定理你这俩构件儿能。能形成俩三星定理，只能这么去做了，对吧？没有选择了，也就说p。12p二三是吧？这个形成一个直线，咱们找p12p12在这儿呢。p23在这儿对吧？p12p23咱们做一条线。还有呢p14p34p14p34是不是要做一条线？

这两个线的交点是多少p13？没问题吧，二四也是那个简单二四。2和4构件儿放在这儿，和和谁形成一三？p12在哪儿？p12在这儿？p14呢？p14在这儿？这是一条线。然后p23p34这又是一条线。对吧，把这几个几个构件儿都给它找到了。先画出这个。有运动负连接的。

运动顺心，然后再确定p13刚才咱们说再确定p24。p24p13p二四把它确定下来。那么，如何利用顺心去求解欧米伽二？和欧米伽四。接下来就是咱们的重点内容了。欧米伽二和欧米伽四怎么去求？如果这时候就要找顺心点，找顺心点。我想强调的是，在这一点p24这一点。有什么规律，或者是这一点代表的是什么意思？p24这一点代表的是构件儿二和构件儿四。

在这一点相对速度为零。相对速度为零，绝对速度。相同，对吧？相对速度为零，绝对速度相同。在p24这一点。p24，怎么表达这个速度v？p24或者是v24 VP 24吧。等于一个是欧米伽二。欧米伽二。用欧米伽二把它看作一个整体。对吧，

把它看作一个整体构件儿嘛。都学过第一章，认真学的话都知道一个线，其实可能代表的是实际的，是个三角形吧，对吧？可能实际上是个三角形。乘以p。一二至p24的距离吧，乘上这一段距离。没问题吧，它还等于什么？VP 24还等于欧米伽四乘以多少？是不乘以这一段p24p14对吧？那么。

欧米伽二比欧米伽四呢？把欧米伽四挪到这边儿来，欧米伽二比欧米伽四就等于一个p24。p14.比上p12p24。相当于是欧米伽二比欧米伽米伽一。总结一句话，相当于是绝对顺心，两个构件儿的绝对顺心到两个构件儿相对顺心，距离的反比。这个在机器在齿轮儿机构设计第九章，我们还会非常重点的去介绍。就是两个顺心，两个齿轮儿，为什么是截圆儿距离？

为什么是齿数的反比啊？刚才我说为什么是齿数的反比啊？它和p这顺心点有关系。绝对顺心，两个绝对顺心到两个相到相对顺心，距离的反比。两个绝对顺心到相对顺行距离的反比。理没理解。由上面可以得出以下结论，计算规律，两构件儿传动比等于两构件儿的绝对顺心至相对顺心距离的反比。再看一下两构件，绝对顺心到相对顺心距离的反比。如果记不住这个规律，没关系，

你会算你知道这个规律就行，知道什么规律啊知道。顺心点等于。VP 4，VP 2，速在这一点的速度，两个构件儿是相同的。可以列等式，就是用欧米伽二乘上距离多少多少，然后用欧米伽四乘上距离多少，然后你只知道这个公式就可以，剩下的推导你自己推就可以了。如果记不住距离，反比又是绝对顺心，到底是绝对顺心还是相对顺心？

记不住没关系。会记住什么？顺心的定义就是两个构件儿，在这一点相对速度为零，绝对速度为相同的。重合点对吧？绝对速度为零的重合点。接下来这一个。也要记住。角速度的方向。如果相对顺心，在绝对顺心的同一侧。两构件转向相同，什么意思？在这呢。

这两个绝对顺心构件二和构件四形成的绝对顺心在这。对吧，绝对顺行在这儿。那么，它的相对顺心在这两个绝对顺心的一侧，而没有在这两个绝对顺心的中间。那么，构件儿二和构件儿四，它转向就是一样的，我往这儿摆构件儿四，也往这儿摆，我往这儿摆，它也往这儿摆啊。就一样，就一样。

一样好了。那么有一样的就有不一样的呗。像构件儿一和构件儿三。或者是叫构件儿。相对顺心。当然，构件儿一是基架儿，咱不好比较，那就比较构件儿二和构件儿三。相对顺心，位于两个绝对顺心之间，那两个构件儿就相反。就相反。咱们来看一下。构件儿三的绝对顺心在哪儿？

绝对顺心和谁就构件儿三构件儿三的绝对顺心是在。在哪儿呢？是不是和机架形成的顺心就是绝对顺心，也就说让你找绝对顺心的，你就看这个构件儿和机架儿的顺心在哪儿？它就是绝对顺心，对吧？你说在这儿，这个是绝对顺心构件儿二的绝对顺心在哪儿？在这儿构件儿二和构件儿三的相对顺心在哪儿呢？是不是在这儿？这个相对顺心，在构件二和构件三形成的这两个绝对顺心中间，那么构件二和构件三。它的转向就是相反的，

我往这转的时候，我逆时针。我顺时针转的时候，我就逆时针转对吧？没问题吧？好了，有这么一个规律，有这么一个规律。接下来咱们再把前边的那个漏洞补上n。减如果一个机构里边有n个构件。有n个构件。那么，它的顺行个数是多少？n×1个n- 1括起来除以二对不对？那有n个构件儿n个构件儿。

那一共能够形成多少个绝对顺序，就是n- 1个因为一个机构里边儿只有一个机架儿，说把这个机架儿拿出来，把这个机架儿拿出来。剩下的n- 1个。构件儿都和它配对儿，是不是这不就一共有n- 1个绝对顺心吗？顺心的总数。总数是这个。绝对顺心，是这个。是这个数好吧。希望同学们能够理解。咱们把前边儿埋的那个伏笔就是讲相对顺心和绝对顺心的那儿，我问了一下，

绝对如果有n个构件儿。如果有n个构件儿，它有多少个绝对的损心？好吧，希望同学们能够把这个漏洞补上。因为咱当时没有讲绝对垂心，怎么找啊？等等的。讲完了，这是利用现在咱们讲的这个知识点，能不能理解就是用。相对顺用速速度，顺心用速度，顺心法去解什么去去解传动比。解传动比去传动比构件儿二和构件儿四的传动比，

这是一类题型考研的一类题型，记住这类题型。记住这一类题型，传动比就是角速度的比较。好了，还有第二类题。也就是说，用构件儿，刚才你不是说求的是角速度之比吗？利用那个顺心点。那么，利用税心点怎么求？速度和角速度呢？利用顺心点，怎么求速度和角速度呢？

还是那个原理，就是在顺心点，它的相对速度为零，绝对速度，绝对速度相同。也就是说我的。在速度顺心点。在速度这一点，在顺心点的这一点，速度是不是有两个两种表达方式，一个是构件儿，比如说构件儿二和构件儿四，在这一点形成的顺心是我可以通过构件儿二。把这一点的速度表达出来，也可以通过构件四把这一点的速度表达出来，

那么这个就是一个等式关系啊，让你比如说已知构件二，我让你求构件四的，对吧？你在这一点利用相相等。相等是不是我就可以把通过已知去求未知去了，对吧？没问题。这就是它的主导思想，还是利用。顺心点，绝对速度相同，相对速度为零。那么在这一点，它有两个表达式，

一个是构件儿二，比如说咱就以构件儿二和构件儿四两个构件儿，对吧？一个是构件儿二上边儿，它怎么表达出这个速度来？一个是构件儿四上，它怎么表达出这个速度来？利用这个等式去求解去。接下来咱们来看一下这个例二。如图所示，一个机构已知构件一的转动角速度，欧米伽一。绘制机构的所有顺心点。以及。求解vm你看vm啊。

是构件三上的，请问构件三现在怎么做？怎么做运动？是不是上下移动？对不对？上下移动？上下移动也就说平动。这个的含义说明的是什么？只要是我求出构件三上任意一点的速度，那么这个vm就等于那一点的速度，对吧？也就说构件三上任意一点的速度。都是等于vm的，也就说可以，可以说vm就等于任意一点的速度，

它们都是一个整体，它们是做平移运动的。这构件三是平移。平移运动对吧？哎，构件三是平移运动。这个都是一个小问题了，在咱们讲解的时候啊，我给大家介绍一种新的方法。就是叫顺心多边形的时候呃，顺心多边形的方法。呃，先给大家介绍一下这个顺行多边形。就在在我讲解这个是适用于点数比较少的，然后你一眼就能看出来的，

基本上用这种方法。差不多，但是如果点数比较多了，五个点六个点，在咱们课后习题有一个五个点的那个，这种方法就不太适用了，显得比较麻烦。不太好找，我们就引入了，咱们现在比较常用的，也就说现在总结的方法是最常用的一个叫顺心多边形的方法。待会咱将讲一讲这个顺心多边形是怎么把它画出来的好吧？好，咱们回归原先的这个点。找这个顺心点。

首先这个是咱们先不管这个什么欧米伽几啊，欧米伽几啊，咱们先把第一问这个分儿给它拿到好吧，先把这个分儿。拿的。首先，按照咱们原先讲的这种方法的话。是不是我们首先先把你一你一看一结构件，一个构件，两个构件，三个构件，四个构件是不是一共四个构件？它形成多少顺心啊？也就是说3×4÷2一共形成六个顺心，这个公式没？

不用再再多解释了吧，也就说k=1个小括号的n乘上一个n- 1，一对不对，你也可以给他有的课本上写的是这这种方法都都都无所谓，有的有的课本上还n=1个什么k- 1比上一个k是吧，这都一样。就是理论上有多少构件？其实就是那个组合排列组合对吧？能组合出六个顺序点来，首先个数不要搞错了。那有多少个呢？咱们来说先先看一构件和其他构件能形成多少顺心啊？也就是说p12p13p1。一四这是三个对吧？就没了，

然后再p23p24是不是还有一个p34？这种方法给它写完了，对吧？然后。当p12我们知道，如果有一个知道一个顺心的时候，我先讲这种方法啊，先讲我这种方法，如果大家觉得这种方法不太好。咱们再给大家补充，现在市面上最常用的这种叫做顺行多边形的方法，好吧，咱先看这个。p12.是不是直接接触的也说1和2是直接接触的，

咱们找这个顺心点的时候先找已知的，或者是先找直接接触的。是不是这个顺心点分为分为两个，一个是不直接接触的，一个是不直接接触的，对吧？这这个一定要搞清楚，那么先找直接接触的，直接接触的话，这个顺心点。高负。既有滚动又有滑动，它是不是在这个公法线上啊？对不对？在这个公法线上注意在这个公法线上不是无穷远。

它是在公法线上某一点，而另一点需要一个其他的条件来确定，对吧？这是咱们当时讲的吧好。但是它需要它还需要一个条件，我们就画一道杠。然后这个。再再再往下走，或者是咱们就直接看这个，唉，这是首先咱们来看这个吧。先看着能确定的呃，这个图好像画的。咱们还是从一二这开始走吧，因为这个图好像直接上来就p14这个。

跟咱们画的这个不太不太符合。那么1和3你发现一构件一和构件三没有直接相连，没有直接相连的顺心点，怎么去求来着？是不是三星定理？对不对哎？也就是说他也没有任何条件说在这条线上，在哪一条线上是不是他得需要两个三星定理？每一个三星定理是不是确定了一条直线，两条三星定理是不是确定了两条直线？对吧？它需要两个三星定理。然后p14p14在这。对吧，刚才咱们标的这个是已知。

然后接着往下走，这个构件二构件二和构件四相连，也和构件三相连。构件二和构件三相连，你看它又是一个既有转动又有移动的。有的同学开始问了老师，我只看出来这个移动啊，我只看出来，你看它它这两个值。之间只有这个移动啊，没有这种转动啊，或者是你一看这个。或者是我给你焊死了，把这个就是有的题目里啊，我给你焊死了。

假设一焊死了，有的同学开始疑问了，为什么这个件儿明明是这个滚子？它是焊死的，它没有转动，为什么你也说它是转动呢？相对运动对不对？相对运动因为构件二是转动的。对不对？构件二是转动的构件三相对于构件二是不是也有转动啊？又加上一个它们之间的相对移动，又又有一个移动吧，对不对？哎，又有一个移动就既有转动又有移动。

那么它的。这个顺心顺心位置是不是在这一条直线上，也就说它也知道。知道一个条件，只需要再通过其他条件找一个三星定理，给它一相交，是不是给它交出来就可以了？对吧，那么p24呢2和4形成的顺心点，这是已知的。诶，已知的，我们就给它打个对号。你知道我们就给它打个对号。然后p34呢3和4形成的顺心点，

是不是它是移动负啊？移动负形成的顺心点在无穷远处。注意无穷远处。无穷远处的顺心，我们当做是已知无穷远，虽然你确定不出你在纸面上画不出它的位置来，但是我们知道它是无穷远，它是一个。已知的。对吧，这个在咱们上课的时候给大家讲过了，对吧？它是已知的，唉，已知的。

好，那这个。几个我们就给它分析完了，首先先解决的是什么？先解决的是一条杠的这种。因为只有一个三弦定理，就给它搞定了，对不对？我们来看怎么去搞定它？这时候我们就按照标标唉，把这个已知的这个都给它标出来。咱们还是先从这个开始开始讲吧，也就说p12我接下来的时候我们是不是应该找一个三星定理了，看到这个思路啊，就是你以。

已经把现在直接接触的这些条件已经全部用完了。啊，直接接触的这些条件。接触。直接接触的什么有高数啊，有移动数啊，有转动数啊，是不是咱们都都给它找完了，现在是不直接接触的了？说你的思路，现在是不直接接触的了吧？对不对？不直接接触课本上只教给了大家一种方法。什么方法？三星定理对吧？

也就说三个构件在这个里边，一个机构里边，三个构件形成的顺心点在一个在一条直线上，对吧？我们好了。接下来，我们的思路就是不直接接触你，你把直接接触都用完了，条件是不是剩下来只能用三星定理了？对不对？好了，那三星定理的话，如果我想确定1和2之间形成的这个顺心点的话，现在我已知道它已经在这条直线上。那我需要还列一个三线定理，

这是构件一构件二，我是不是还需要找到一个构件啊？来组成三线定理啊？找哪个构件？找哪个构件是找？三还是找四？对吧，是找三还是找四？这个我们就存在疑虑了。是构件，你如果找构件三的话，你看形成p13p23p2。p12p12对吧p12是咱们要求的。你会发现pp 23它它不是已知的，对不对？

p23它不是已知的。所以说。这个哎，我们就不能选构件三是不是选构件四？算构件四。那就是124。构件四选择了构件四。124那么124选择了构件四它组成来的是它能组成几个几个顺序点p1。P2P14p24你看p14和p24。p14和p24是不是都已知的，对吧？也就说它们三个顺心点，在一条直线上。那我们找吧。p14和p24。

p14在哪？p14在这p24呢？在这比如说你在这做一条直线，然后再做它一条直线。发现交到这一点了，是不这一点也是p12的顺心点啊，对吧？也是p12的顺心点。好吧好了okay了。p12的顺序点我们找到了，我们证明了这个已经给它打个对勾，是不是找到了p23呢p23的呢？你找的是二三，是不是四或者是一啊？对不对？

然后你这时候又开始去分析了，哎，你会发现。好像这种写的这种方法，那你你组合，比如说p12p23p23p13对不对？p13还不知道，所以说构件一就不能选了，只能选构件四对不对？也就说这时候组成了选构件四也就说二。234这三个构件的顺心点，是不是在一条直线上也就说不直接接触的三新定理？你找的是三个构件，千万别找顺心去。有的同学说，

哎呀，到底是哪个顺心？是哪个顺心啊？你找的是构件，先把构件给它确定了好吧？那么，这种P2P23比如说p23p24p34p。p34是已知的p24，也是已知的p23，是不是就可以求出来了？那么它就是由p24和p34组成的。组成的点在这条直线上p24在哪？p24在这p34在哪呢？3和4组成的这个无穷远，注意这个知识点就来了。

组成的无穷远的这个时候，它是可以随意平移的，因为它总是无穷远在这个位置上，它也不是穷远，也就说你这么短的一个距离，相对于无穷远来说。可以忽略不计，也就说它可以在这，可以在这，可以在这，所以说我们就把这个线段给它平移下来。平移下来那么，所以说它的交点，这是p23就在这个交点处对吧？p23就在这个交点处。

就是咱们一开始做的，你看。p34在无穷远吧，然后它在这条直线上，然后注意把p24和p14连接起来。组合出来的，这个是p12。然后再把这个直线往下移交的，这一点是不是p23我们就给它求出来了？再往下移，那么p13p13你得用两个三星定理啊，你没跑了，没跑什么叫没跑了，这是一这是三你得用两次三星定理，你剩下的只有2和4，

也就说它和构件二。二组成了一次三星定理和构件。四组成了一次三星定理，那么它组成的三星定理，这个就是p12p23是不是和这个p13p13我就写在这。那么这个组合呢？就是变成p14p34对吧？p14p34.这个是咱们一开始学的时候啊，我之所以教这种方法的话。可能是他从这个从你根本上去解决，也有可能这个方法显得很繁琐，很很难，但是他从根本的去教授了你一种。你从零到有这个是怎么来的？

它每一个构件是什么样的？可以作为基础练习好吧？那么，这个p12咱们再说回来p12刚才咱们求出来了，对不对p12？p23呢2和3在这呢，比如说你把这两条线得连起来哎不不。连多了连连串连在这对不对？我给它拿橡皮擦给它擦一下。连到这。唉，这是p23p12组成的一条线，还有呢p14p34p14也是在这儿。p34p34无穷远，是不是还是把无穷远那个再移到下边来？

刚才咱们。把它移动了，你看着是不把它移动到这里来，然后那一条线再移动到下边来。交的这一个点，你看p13p34它们都交到一个点上去。都交到这一个会心会心位置了p14p13也在这。对吧，然后这是咱们标的那一个点。接下来啊，咱们来介绍一下这个顺心多边形的方法，顺心多边形的方法，针对我上面这个方法的话。就比较简单了。考试的时候大家可以用这种方法，

也是没有问题的好吧。顺心多边形说的是什么意思呢？首先它有几个，首先你要搞搞定了，这个传动路线啊，由构件一到构件二，再到构件三，再到构件四，对不对？让这这还有一个构件四的相连，但是对于咱们考研来说，几个构件就画几边形。几个构件就画几边形，这个就足以了，因为呃，

因为我专门搜过这个论文啊，就是关于这个顺心多边形的。呃，这个画画图的这个技巧的话。我看了，我又研究一下咱们历年的这个考研真题，就是历年的考研真题，就是你有几个构建，你就画几边形就没问题。因为在这个做研究的时候，它肯定要比咱们考研更加难一点，就是你要发论文，发研究的话，它发的一般是什么呢它？它一般还要在这里边，

比如说这是。咱们一般。假设吧，我给你来这么一个说找构件，一构件，二构件，三构件，四。它的顺心点是什么样的诶？你怎么去找？然后。除了考研之后，他这个论文研究的是什么呢？他研究的是这个。他研究这个，

他说。你不是从构件一构件二构件三构件四，它是从构件一构件二构件三到构件三，这这呢，它从构件二后边它分路了，它构件五构件六构件七构件八。从这呢，又分路了，这构件九个构件十十一十二十三。就是你这样，它不是一个构件，一构件，二构件，三构件，四这一条路回来的了，

它是有好多条路回来了，这时候你要你要应该在这儿也要把它。画出来也要分录，但是咱不做研究好吧，那种方法的话，不做研究，咱们现在你就记住大多数情况下，就是有几个。构建你就画几边形，比如说这个构件里边有一个构件，两个构件，三个构件，四个构件，有四个构件。好吧，

有四个构件，那你就画一个四边形。四边形的每个角上。每一个角上代表的是一个构件，也就是说现在用圈来代替构件了。用圈来代替构件了。圈和圈构，件和构件之间形成的这一条杠代表的是什么呢？代表的是它们之间的。顺心位置顺心点，不是顺心位置顺心点，也就说他们之间代替的是p1。一二哎p12。这个代表的呢是p23。这个代表的呢？

是p34这个呢？是p14。中间我们用虚线连起来，这是p13这个再连起来哎，只要是它能够相连的两个点，只要只要是能够相连的，我们就给它连起来。好吧p24，注意你看我画的这个，只要是你这个点往外辐射。你发现没有，连到那个构件，比如说这是一个四边形，还比较好算，那是五边形呢？

诶，这是构件一。构件二，构件三，构件四，构件五，假设有五个构件，你就先从构件一往外辐射，对吧？你就发现这个和构件二又相连了，再和构件三。相连上对不对？再和构件四相连上，再和构件五，也就说它从构件一往外发散，

再从构件二往外发散，和构件一构件五。对不对？构件四构件三再和构件三往外发散构件一构件二构件三构件3和5对不对？再从构件四往外发散，哎，这这就发散完了，所以说它这个两个数字之间的连线代表的是。顺心顺心点，就是构件一和构件三的顺心点，构件二和构件构件一和构件二的顺心点是这样的。好吧，咱们再回到这一道题上边。因为它是四个构件呃，考研大多数题目都是存留在四个。

四个估计。考五个构建的，咱们这次课就是在在课后精讲习题里边也有五个构建的。咱们到那时候再给大家分析，就用这种方法给大家分析，就是我这种方法的话，可能就显得比较。仓促了，或者是呃手手忙脚乱了，就显得是写的就很很很多，也就说你分析的很多。到那时候呢，我先讲一下这个顺心多边形的方法，然后再讲一下我这个方法，为什么我不愿意放弃我这种方法呢？

就是因为。我这种方法呢，就是从根本上你一个一个一个的去找，然后你去思考谁和谁组合形成谁，这个在咱们基础班的时候啊，有利于大家去掌握。掌握这个，他们这个顺心点，到底是怎么找的？三星定理是怎么应用的？然后如果你用熟了，到强化班，你就直接给我上顺心多边形好吧？就不用再去搞这个了，听懂了没有？

好，那咱们废话了这么半天，赶紧赶紧去说给给给大家讲清楚了吧现在？顺心多边形是用圈。是用圈来代替构件了，用圈和圈之间的这个横杠来代替了原先的原先的顺心点了吧他。它和实际的它和实际的这个简图运动简图有什么区别？运动简图原先这个是用横线来代替构件，用圈来代替的是。转动负或者是与是是不是转动负，现在我们变了，用圈来代替构件，用横线来代替来代替，顺心点。好吧，

这个是一定要注意的啊，好了咱们就给它画。画完了之后，另一个最核心的点来了。就是这是构件一构件二构件三构件四，我们找首先先找p12p12，我们还是按照这个p12。你会发现它是在这个公法线上不确定需要一个三星定理，还得需要另一条直线给它相交吧，是不是一次三星定理？因为你这个直。相接触的这个条件是不是用完了？是不是接下来就该用不接触的那个三星定理了？对吧？好了，

那个三星定理是不是你就需要一个？一个三线定理啊，我们就画一条线，一条杠。自己自己标一条杠p23呢p23p2和32和三形成的哎，它一它。它也是一个高负连接，既有转动又有移动，又有转动又有移动，注意啊，纯高负分两种情况，一个是纯转动的时候，它的顺应点就在这个接触点上。对另一种情况的话，是既有转动又移动的时候，

是在这个公法线上某一点上，对不对？好了，他也不知道他。它也需要一个三星定理，对不对？它还需要另一条直线来相交。那p34呢3和4，3和4在无穷远处，这个是已知的，已知的干什么？已知的就在这个已知的上边打一个对号。然后p14呢？一四也是已知的。我们就给它标上p14，

这是p34。也给它打个对号。也给它打个对号。还有呢，这两个虚中间这两个虚线连接的呢。虚线连接的一般。p24.我给它连着p24，是不是也是已知的p24？是吧p24也是已知的好了，那p24也是已知的p34p13呢p13发现1和3，是不直接相连的也没有，也没有什么三星定理，也也没有某一条直线已知的一条直线，那么它需要两次三星定理给它交出来，

对不对？咱前边。讲基础知识的时候，讲那个三星定理的时候，是不是他得需要两个？两次三星定理，两条直线才能交出一个点来，对不对？所以说咱们就要画两个杠，需要两次三星定理，咱们就画两个杠。接下来重点就来了，你标完了这些之后，你就会发现标一个杠儿的，我们首先来解决标一个杠儿的，

就是用一次三弦定理就能给它解决的，然后再解决标两个杠儿的。这是由简单先到难，不能先上来去搞这个两个杠的啊，因为你搞不出来。好吧，搞不出来，所以说好。咱们来看。先搞定这一个个p12，怎么去确定？照三角形。诶，找三角形啊，什么叫找三角形啊，

也就是说你要找，比如说你要求这条边。你要找到和这条边相连的三角形。而且这两这个找的这个三角形呢，另两条边是已知的，另两条边是已知的是什么？我比如说我找的是这个三角形。比如说找的是这个三角形。哎，比如说我找的是这个三角形。那么，这个三角形的这两条边。是不是已知的对不对？是不是已知的？那么，

已知是什么意思？就这个p14和p24，它这个点是已知的，所以说我就用p。p14和p24来确定我这一条边的位置，那我就知道了，我在图中要去找p14和。和p24组成的那条直线就可以了p14在这呢。p24在这呢，让它俩组成的这条直线和我原先的这条直线一相交，我们就交出来p12的。位置来p12就求出来了。这个我们就给它画个对号，对吧？求出来就给它画画个对号，

接下来再看这个。同理p23p23也得找三角形吧，你看如果刚才咱们求p12的时候找的是这个三角形。是不解不出来p13。没法去求。是不是就刚才我跟你说这个求p1呃，就是刚才咱们这个一二的时候求构件，一求p12的时候它是不是有两种选择，一种是选择构件三？组成三星定理，一个是选择构件四组成三星定理，咱们最终选择的是和构件四组成的三星定理，因为和构件三的话，它其中有了一个p13，咱们不知道。

这个就是我刚才分析的这个过程，其实转化到这个多边形里边就是这个三角形定理啊，你看。我们只找这个，它是p14p24，是不是我们找的是构件四的对吧？这个三角形，因为这个三角形的两条边是已知的，求这个未知的边。如果用这个两个边的话，就是用这个构件三的话，你看p13。是不是未知的p23也是未知的，对吧？两个未知肯定解不出来这个这个未知的哎，

所以说这就是找。三角形并且。两边。并且三角形的两个边是已知的。是已知的。才能够求出另一条边类。这种方法的话，它相当于是把原先你的这个原先我不知道该选哪一个构件儿了，对不对？我我在这抽出我不知道该选哪个构件儿了，不知道该怎么做了。然后这时候人家直接画一个三角形，让你指导着你去，你就做，你就选这个就可以了，

你就选构件四，因为你构件四这两就知道了哎，所以说他把这个。非常复杂的，这个非常复杂的。给它简化了。哎，给它起简单化了。这就是我们解题的时候。更加更加注重的了，对吧？更加注重的好。那好了。那这个三角形我我们就确定了，那p24咱咱们有始有终，

咱们再把p23p23再确定下来p23找三角形找哪个三角形？你看是不是找这个三角形？找这个p24和p34这两条边的给他确定下，确定下来，那么你找去吧p23p。p24和p3p34p24在哪呢？p24在这呢？p34呢？无穷远无穷远，我们就要往下画。对吧，交的这一点是不是p24交的和哪交的？这个是不是和刚才你自己确定的这一点？对吧p二次。p23p13呢p13怎么确定？

p13，因为它要画两个杠，画两个杠的意思就是我要找两个，两个三角形，并且这两个三角形的两个边儿都是已知的。那你只能找这个三角形，是不是可以这个三角形？刚才咱们都求出来了吧？你看这两个不知道的是我们求出来了，你才能够求这两个边的呢，对不对？哎，找这边一个三角形，找这边一个三角形。给他缴出来，

也就是说找p14p34p。p212和p23。是不是这这两两组合吧，也就说p14和p34p14在这儿p3434无穷远，是不是直接画一条线经过这一点就可以了？对吧，这是第一个，第二个p12p23。p12p23在哪呢？p12。p23.p23在这呢，是不是做一条线给它连接过来？是不我们就把p13确定下来了，这就是。

多边形方法。第一次给大家介绍的时候啊，可能介绍的有点有点仔细，有点多，下面再应用的时候我直接就描述就可以了。好吧，它这个原理就是这么个原理。这是咱们的第一个题。诶，第一个题我记得是不是还有一个什么呀？求解vm的速度。求解vm的速度vm的速度是不是我就找到一个？构件三因为现在咱们的已知条件只是。欧米伽一吧，对不对？

现在我们手里边握着的只是欧欧米伽一，不要放，我们就根据这个已知条件现在。知道欧米伽条，欧米伽一的话，我是不是可以找到p13的顺心顺心位置啊？因为顺心点的含义不就是在这一点的相对速度为零，绝对速度相同吗？绝对速度相同了。是不是我们找到了这个p13，我求得了这个p13的这个速度，这一点的速度是不是我让v？v3 vm就等于个VP 13就完事了，对不对？是不是那好了？

那那求求解它吧。vmvm=1个。等于一个VP 13是不是先给它确定下来？那VP 13怎么去确定啊？刚才咱们确定一下这个一三的位置在哪儿呢？p13的位置。呃p13的位置在这儿。p3的位置在这呢，经过圆心了，经过圆心，你欧米伽乘以一个。欧米伽1×1个过圆心的这么一个点的话pv这个这个这个。相当于是乘上它的半径吧，也就说从p。一四。

到p13的距离就这个，这个距离就为什么要乘这个，也就说从你旋转中心到你的，比如说他这个p13现在没在这，假设p13在这呢？是我要乘上用这个欧米伽乘上这个旋转中心到这的半径，是不我就能够求出它的速度来了，对不对？是不是求出它的速度来？但是现在这个p一三个它，它和这个旋转中心啊重合了。那是不是这这就证明了欧米伽一乘上一个p14p13是不是得零啊？也就说vm=0。vm=0.vm得0 vm得零。

有的同学说vm不可能得零，为什么得零呢？为什么？为为什么它这个这个这个它不是这样上下运动的呢吗？这个机构为什么就就就最后就得零了呢？是不是当它因为正是因为上下这样的运动才导致的是你往上走？到达最高点还没有下落的上去，还没有下来的那一那那一刻或者是从下边到上去的那一刻就是转化的这一个。恰好到达到了它极限点的位置啊，对吧？要么是最低点，要么是最高点，你这个的话是不是这这它是不是vm得零啊？好，接下来咱们再来看一道新的一道题，

就这个视频上独有的这个一个一个题就相当于是这个一个小练习嘛。其实它和上边这道题啊，几乎差不多，相当于是你就在这个现场上给我练习，不用不用再去什么地方了，你就按一个暂停。先先这样，你按一个暂停停止住，你先看一下这个思路怎么去搞，搞完了之后你再看我讲的这个过程。是不是和你原先想的那一个一样，或者是哪些不不太一样的地方，你你你改正一下，或者是我这边，你觉得说我这个讲的。

不咋地，是不是？然后你再提出意见来，然后我再改正好吧？首先咱们来看这个构件，一构件，二构件，三四个构件。首先，咱们不先讲我这种方法，咱们刚才讲的那种比较好用的，这种方法顺心多边形的方法上来就用来。构件一，构件二，构件三，

构件四，对不对？构件41234我说过，在咱们考研里边，你不要去管那个什么分支的那些那那那些东西就是给几个构件，你就列几。五边形就可以了，是不是给四个构件就是四边形给五个构件就是五边形给六个构件就是六边形对不对？当然了，很少极少有考到六边形的这一个，当然也有，就是极少，因为一般都是考察到五个就已经算是很多了。基本上都是四个，它只只要考察，

你说哎，你这个题确实掌握了，只这个呃不直接接触的三星定理，你也会了。然后这个直接接触的像转动数啊，移动数啊，这些还有这个平面高数啊，这些你都能找到了，它其实就是在这四个构件里边就已经能够完全考察大家了。专业课这门这这这门课程，它并不是说要非得钻死死的那个东西，然后给你难的，大家都做不出来了。那几乎几乎他在出这个专业课的时候啊，他也考虑到大家一年都没有学习了，

对不对？临时复习的，你要出太难的话。我原先跟那个呃，当然不是不是机械专业课的这个出题老师啊，我是那个和原先是电气那一块的那个那个老师，他说出的题，我说你这个出题是怎么出啊？他说这个题目啊，他出来从这题库里拿出来之后，他审一遍，他说要把一些难的题踢出出去，然后换成一些简单的，大家能理解的。大家老师们都能理解，

同学们不能呃，一年多都没有复习了，对不对？还有英语数学，然后来来这个卡着大家呢，是不是专业课就不不再卡着大家了，几乎跟白给分一样就。敞开大门就说，你赶紧来吧，电气学院欢迎你，对不对？是不是他其实是想这个意思？不会出特别难的题，但是啊，不包含极少数学校，

比如说像985清华北大这些报的，可能人家就要选选厉害中的厉害，对不对？牛人当中的牛人。那个可能是出的越难越好，越越厉害越好，但是对于90%的学校都是专业课，都不会特别。特别难为大家好吧。好，那接下来咱们来看呃，废话少说1234是不是四个构件，然后再一连虚线，这一连虚线，然后我们来看p12确没确定p12还是原先那个？

那个那个东西是不是它是一个高尔夫连接我们画一个叉，然后p23p23依然还是一个高尔夫连接高尔夫连接，这是一个p23对不对p23给它？画一条杠，然后再看这个p3p34呢p34无穷圆是不是这个是已知的？画一个对号p34，这写上p34p13呢p13呃pp 14p14，我们知道p1。一四是不是这要画一个对号，然后p24那p24我们也已已知啊p24对不对p24是不是就是上边那一道题和这一道题连已知条件几乎都没有发生变化？对不对？只不过是你看把这个转动数往这移一移，然后再把这个再把这个圈儿换成了焊接上，对不对？给它焊接上。

再把这个画的大一点，对不对？其实就是一模一样的习题，只不过是转化了一下它的形式而已，对吧？所以说好了，这个p13的话又是两个需要两个三弦定理，对不对？它又不直接接。接触又没有什么相关的条件，所以说它是两个好了两个那你你你来看一下吧p13p。p先先先用哪个先解决p12吧，对不对？p12怎么解决？用这个三角形已知的这个对不对？

p14p24是不是已知了？p14p24已知了p14在哪儿？在这儿p14p24在哪儿？p24在这儿对不对？然后连接它。有同学说你这才一条直线啊，对不对？别忘了这儿还有一条直线呢，对不对？交于这一点对吧？交的这一点。是不给它交出来了p14p241连线。然后咱先把这个是不是你看这两个一交点，我给你我给你删了这个？把这个是吧，

给它交出来了吧，这一个这一个好了，给它给它画出来之后，然后咱来看这个。p24那这个解决了，然后再解决p24是不是咱刚才讲的先解决一条斜杠的，这个就一次三星定理就能给它搞定的，这个先解决这个。p23呢p23它的p23它的这个这个。在这呢，这有一个斜线，对不对？p23和用用哪个三角形用这个三角形行不行？不行对吧，因为p13不知道那你只能用这个三角形。

对吧p23。p呃不对p24p34p24p34是在哪呢p24？p24在这呢p34呢p34无穷远那你是？是不是交一个这个把这个p无穷远的这个给它画下来，看它挪下来哎，交到这一点是不是？是不是p23就给它确定下来了？p231确定下来p13呢？p13p13是需要两次三星定理啊，是不是这一个三角形和这个三角形两次就给它搞定了，对不对？那么p14p34p14p34是不是你要在这儿把这个线再给它继续拿下来啊？对不对p34p34是无穷远。p14组成的下边这条直线，然后这个p12和p1p23呢p1212在哪儿呢？

一二在这儿呢？p23呢，在这呢。一连接交的这个点是不是这个p13？是不是给它解决出来了？是不是利用多边形给它解决出来了好了？利用多边形给它解决出来了，咱们这种方法啊呃，给大家再讲解一讲解一下是不是啊？那么。有的同学可能。不太愿意听这种方法，因为你你找三角形找惯了，我就找三角形一下，就找找找齐了，

其实它相当于是给你过滤了一一个什么东西啊。就是你自己选择的这个，比如说你找这个P2P12，咱们咱们就不直接全讲了呃，咱们就找一个他这个。多边形和咱们这个省省地方省在哪里了？就是为什么这个多边形？大家用的比较多，而且也比较比较好用，它它省在什么地方了，就省在了这个p12。然后。找三星定理的，这个他省在这个时间上来，是不是你直接找三角形就可以了？

是不是找个三角形一确定？它避免了这个什么呢？一二你找三找四，到底是找三啊还是找四啊？这个三角形里边一目了然就告诉你了，这个是p14找你。12p二四这个三角形，你就找这个三角形就对了，三角形知道这两个边求着第三个边没问题，对不对？他就直接告诉你，你就选构件四就可以了，你看p14p24是不是你选择构件四的结果才是这样的p12p14对不对？哎，所以说好了，

他就帮助你们，你就自己不用再去思考选哪个构件去了，对吧？但是这个原理你一定要知道啊，就是三心定理，它的核心是找。三个构件。三个构建并不是找其他的这个什么顺心点啊，等等的好吧，这是咱们这道题。你比如说，首先先看传递路径啊，这些是不是采用的顺行多边形的方法啊？对不对？然后传递路径，

其实这个传递路径啊，压根就不用看。因为考研的时候你就给你几个机构，你就画几边形。像那种外外延伸的那种多边形的那种，找顺心点的话，考研不考。好吧，考研不考？所以说不用看传递路径。看传递路径的话，反而让你头疼，为什么呢？1234老师，不对呀124。

是不是把自己搞蒙了，你到这四后边再连567怎么弄？不搞那个不考你就试。是几边形画几个对不对？没问题吧？好，你就给它搞定了。我们就不再多说话了，这个基本上就给它确定下来。

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23机械基础08.8第二章平面机构的运动分析（1）

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