09.题型微分方程求解

罗泽兵 · 发表于 2024-4-4 09:16:03

那么下面呢，就是微分方程，这部分常考题型与典型的例题。维护方程呢，我们在前面也给大家归纳过，就是它的题考来考去就是三类题。一类呢，就是比较直接的题方程，求解。那么，另外一类呢？就是微分方程的综合题。还有一类就是微分方程的应用题。那下面呢，我们通过一个例子给大家总结一下，

每一类里边常见的题型，常用的一些方法。好，首先我们来看第一类问题，方程求解，比如说这样的题目。二零一四年，数学一的考题，它说微分方程它。满足这个初始条件的特点。那当然，先求通解，最后定任意常数，但是如何求通解啊？那你得判别类型选择方法。

首先，这是个一阶方程，它是什么类型呢？啊，这个时候大家注意，你看这个ln x减lny，那我可以把它写成ln的y分之x。然后呢？这个x这个y如果两边同除以个x呢？这能写成x分之y？所以这样一看，它应该是个什么方程啊？其次方程。实际上呢，我们把它改写一下，

你看。这个呢，我们把它改写的时候把这一项移到右端。那这不是就成了lny减ln x就是ln x分之y？然后两边同除以个x那大家看这个右端是不是就是写成了x分之y的函数？这就是标准的七次方程。其次，方程如何求解呢？就是令x分之y等于u把它化成线性。所以我们在这呢，就令x分之y等于u。然后呢？把它带到这个时候就把它带到这个，这个变量代法带进去整理。当然，

这个有个整理过程，因为实际上呢，这个变量代法一定的话，那实际上那我们知道这个y就等于谁啊？x的u。那你这个y1撇，它应该等于谁就等于u+x的u1撇。然后呢，就等于右端，右端是谁？右端就是ul引的u。然后呢？把这个式子呢？重新一整理，最后就会得到u1撇等于它。

实际上，大家看这就是个变量，可分离，因为u1撇就是du dx。所以我们把u×lnu- 1除过去，把这个dx搬过来，那就是把变量分离开。这个时候左边呢，只有u右边只有x。然后就两边七分。那这个呢？两倍积分的时候，大家看这个udu可以凑谁？底的l引u那这一步也可以凑底的l引u怎么样减一？那这样的话，

左边一积分，那就是ln绝对值lnu- 1。右边呢，本来应该是ln x绝对值加c，但是为什么这不加绝对值呢？因为这个题目里边已经出现ln x。既然你出现ln x那x，必须怎么样大于零，所以这个地方呢，就是从题目可以看出x是大于零。这个时候就不用加绝对值。然后呢，再把它改写，我们就可以得到lnu- 1=cx。那所以就是ln x分之y减一就等于c乘上x。

注意，这是通解。然后完了以后，大家利用这个条件就是y1=1立方。y1=1立方，把x=1代进去，那这个地方呢？是lne立方。所以说log一立方就三三减一，左边就是二，右边呢就是c，那这样可以定出c等于二。然后呢，我们就得到ln的x分之y减一等于二x。那这样的话，

我们就可以把y用x表示出来，最后就得到y=x乘上e的2 x+1。这个特点就找到了。所以这种求特解的问题啊，第一步就是求通解，第二步定常数，但是求通解主要还是判别类型，选择方法。所以那个类型一定要非常熟悉。我们书上在讲的时候都给的是标准型。但是呢，考卷里边一般都不会给你出标准性，所以你要能够拿到以后要能认出。它到底是可分离变量还是其次还是线性啊？这个类型一定要非常熟悉，

当然要做变形。好，这是我们看的例16。下面呢，我们再来看二零一二年数学二的一道考题，它说唯物方程这个满足这个条件的解是什么？那当然，首先是求通解，而要求通解呢，判别类型，选择方法。注意这儿呢，写的是微分形式。那我们判别类型的时候，一般得写成导数的形式。

那这呢，如果把dx除过来，那这就写成dy dx。但什么类型呢？那这个时候你要写成dy dx，你要看类型，要盯住谁呀？就要盯住y。丁中y这有底y dx，这还有y平方，这还有y什么类型啊？什么类型都不是。那怎么办呢？这个时候我们常用的一个思想就是xy对调。那换句话说，

那我就把dy除下来，那这儿呢？就写成dx dy。这个时候注意看类型，一定是盯住现在未知函数是x，一定是盯住未知函数的导数和未知函数。那么大家看，如果这样改写的话，这个未知函数x就出现在两个地方，一个是这儿，一个是这儿，都是一次的。实际上，我们立马就可以看出它应该是个线性方程。那在这呢，

我们一步一步来啊，就是把dy除下来，这实际上就是y dx底的y。然后呢，再加一个x等于谁等于3y方？那这个呢？你看这是x这是dx dy，所以是线性，但是要求解得画成标准形式把。把外除过来。那这样子，我们就得到dx底的y，然后再加上y分之x等于谁？当你塞外。这就是标准型，

然后呢，再通解公式x就等于e的负p。安装的p是谁y分之一？然后呢？里边呢？这是q我们q是3y这是e的p dy。p是谁y分之一底的y，然后再对y积分，再加上常数c。那实际上呢，这个时候大家看y分之一积分lny负的，那就lny分之一e的lny分之一，所以。前面应该是y分之一。然后里边呢，

大家注意y分之一积分是l引ye的l引y。那就十万跟这一乘是3y平方。3y平方一积分是谁啊？就是y立方，然后再加上谁啊常数c。好，那完了以后当然这通解已经找出来了，它是找特解，大家看x=1的时候y=1。x=1，y=1，那这个c质量等于谁啊零？c=0，那这呢就变成x等于谁啊？x应该等于y的平方。

但是注意人家让你找的特解，是要把y用x表示出来，那当然有同学说哎，这个y就等于谁啊y不是就等于正负的根号。x那这个时候呢，到底是正的还是负的呢？根据这个条件。那显然，质量是正的，所以我们这个时候得到要找的特解就是y等于根号x。好，这个问题就解决了，那么这个呢，实际上最后就是。把y看作位置函数，

哪个类型都不是，那注意这个地方做了个xy对调，就是把dy除下来。把它看x是未知函数y是自变量，那这个时候呢，它就是一个什么就是一个线性方程。那么，对这个线性方程呢？我们就带通解公式。那这个题除过这样做，还有什么方法呢？既然写的微分的形式，它会不会是全微分方程呢？注意这个dx前面是不是全微分，主要看dx前面系数对谁对y，

这是一。和dy前面系数对x求。诶，这一个kx求也是一呀，所以它是全微分。全微分方程，那如何求解呢？那我们说可以偏积分，也可以凑微分，也可以现积分，当然凑微分，如果好用。那这个地方凑为分还是比较方便。但是凑为分的时候要注意啊，怎么凑呢？

你看这个y dx。这个不好凑进去。那这呢，把它先放在这y dx。但是后面这个呢，大家注意这一项。啊，你这个负3 ydy这个好凑，但是前面还有一个xd y这一项单独也不好凑。那我把这个单独不好凑的，就是这个x，然后dy。把这个呢放到前面，它们放在一起。那么后面呢？

你不是就剩下一个减3y方dy？就是这实际上是个分组的思想。你看这一分组以后就好凑了，为什么好凑？那大家注意，这是y dx+xd y。这不就是乘积的微分吗？所以这就是底的xy。然后后面这个呢3y方dy。那就是底的y的立方。所以呢，就这个凑为分的时候，有一个重要的一个基本思想，那就是什么叫做分组？凑为分啊。

就是分组凑为分，你看我们这儿呢，分了一下组，这两个放在一，这俩单独都不好凑，但这俩放在一起就好凑。而这一项呢，人家单独就好凑，就是把那些单独好凑的先凑完。不单独不好凑的，最后剩的那个放在一起，所以这个思想叫分组凑为分。既然能写成这个形式和差的微分，又等于微分的和差，所以就可以凑成底的xy减。

y的立方。那大家注意，你不是这个等于零吗？那就这个等于零，你的微分等于零，那你自己就等于常数，所以立马就得到x×y减。y立方等于常数。这样就把痛觉找到了，你看这个比刚才这个要来的更快。然后完了以后呢，定常数那这个时候x=1 y=1这个c就等于零，那么照样可以得到xy=y立方。然后呢，就可以得到x=y平方跟这一样，

最后就可以找出来。当然就这个题本身而言，显然这个方法来的更快，所以这个要注意了，就一个方程，它有时候可能同时属于好几个类型。那这个时候就有一个选择，哪个类型做起来方便就用哪个，你看这个按照全为分利用凑为分的方法。比你把它改写成线性方程，再带通解公式来的方便，所以我们的方法一定是灵活使用。题目才能做的简单。好，这是我们要看的这个例子。

那下面呢，我们再来看，比如说像这样的问题。这是二零一七年数学一的一道选择题回归方程，这个的通解为，首先是判别类型。这是二阶线性常系数其次。那求解呢？我们说首先是写特征方程，找特征根。它只要一找到统计，就可以写出来。那它的特征方程呢？是二方加上二二，然后再加上三=0。

它的特征根呢？二一二带公式，那应该是二分之负b。负二加减根号底下b方。b方是四减四AC，那就是减十二。那这样的话，我们立马可以得到，这应该是负一，然后加减这段话是八。那这样的话，那这个地方呢？应该是二倍的根号二啊，正负二根号2I。然后再根二一消，

那这就是根号的这个2I。好了，这是一对共额复根，那么这样的话，通解就应该写成y=e阿尔法x。那就是e负x。里边呢，就c1 cos贝塔x注意我们这的阿尔法是负一。我们贝塔是谁根号二那所以呢c1 cosine塔x就是根号2x。啊根号2x。然后呢，再加上c2s in beta xs in根号2x。所以对这种线性长系数齐次方程。那主要呢是写特征方程，找特征根，

然后利用特征根这个就把解就可以写出来。好，这是我们要看的这个例子。下面呢，我们再来看二零一七年数学二的考题。它说微分方程它。的特解可设为就是这是个非起始方程，这个特解应该设为哪一个？我们知道设特件的时候，主要是根据废弃的象来看。那这个分析项怎么来设它的特解呢？大家注意这个地方呢，它实际上是有两两项相加，它实际上是两种类型，一个呢就是e2x。

这就属于谁呀？指数乘多项式，只不过前面是个一罢了。那么另外一个呢？就是e2x乘上cos 2x。这个属于我们另外一个类型，就是指数乘多项式，再乘三角。所以你得分别是。好在就是我们废弃的方程，关于这个废弃对象，这个解具有叠加性。那么大家看你这有e2x，我这就应该有e2x。然后你这是一那我这个地方就应该是a。

那要不要乘xk次方？对于它来讲，就是拉姆达等于二，关键要看这个二是不是特征方程的根。那这个特征方程是谁？二平方减四二。然后加上八=0。那这个特征根呢？就是二一二等于谁？那应该等于二分之负b。负b就是四加减根号底下b方。那这个时候呢b方四四这个地方就是16。然后减去这个b方减4 AC。那么4 AC呢？这是减32。

那这样的话，这个后面这个地方呢？出来应该是四倍的I。那这样的话，这个出来等于谁就是二加减谁2I？在这呢，就是阿尔法是等于二，贝塔也等于二。哎，那注意看这个的时候，这个拉姆达等于二是不是特征啊？不是特征根，所以对应它只有这一项。然后完了以后该它那么大家注意这呢，就是属于指数乘三角乘多项式。

那你这有e2x，我们这也应该有e2x。这里虽然这没有出现s in。但是我们原来这个基本原则是什么？就是我们那个sine和cosine前面多项式次数应该是一样的，应该取cosine和sine当中次数高的一个。那你这人家是一，所以我们这个地方呢，应该就是b，因为这已经有a了。d乘上cosine的2x再加c乘上谁sine 2x？然后呢？这个前面要不要乘xk次方是要看谁啊？阿尔法加I贝塔。是特征方是不是特征方程根？

你注意我们现在呢，阿尔法等于二，贝塔等于二，那阿尔法加I贝塔就是二+2I。大家注意这个呢，是个单根啊，那所以这个前面就得乘以个谁啊，乘以个x。这就是这个非其次项对应对应的特点，应该设成它，而非其次方程的解关于非其次项具有叠加性。所以这个非切似方程的待定特点就应该是它两个相加。那么这样的话，我们一对照一看就是它是对的，其他都不对。

那像这种问题，主要是考什么？就是如何正确的设出这个非齐次方程的待定特点。啊，这个知识点一定要清楚。好，这是我们要看的例19。下面呢，我们再来看二零一五年数学二跟数学三的考题，它说y=yx。是这个微元方程的解。并且呢，在零点取得极值三则，这个解是谁？首先我们来找它的通解，

然后再看满足这个条件的解是什么？那注意怎么找通解判别类型，选择方法，这什么类型，这一看就是二阶线性长系数，其次。所以求解的话。首先，写特征方程。二平方加上二减去二，然后等于零。那这个时候呢，大家看后面这个地方呢，可以写成二乘负一，所以那这就是二。

二减去一乘上二加上二。大家看负一×2，那就是负二那二+-1刚好是一，所以就得到这个等于零。那么，两个特征根呢？一个r1=1，另外一个呢？就是r2应该等于负二。两个不等的实根，所以通解就是c乘上e。r1x那就是EX，再加上c2，这是c1，这是c2×e二二x。

负2x。然后这通用界就知道了，那注意它说在这零点取得极值三。那所以首先得到零点的值是三。大家注意，光这一个条件定不出两个任意常数极值，它是可导函数啊，因为它满足这个方程，所以它是可导函数。可导函数在这一点又取得极值，那我们知道这一点的一阶导数一定等于谁零？这两个条件就可以把c1c2定出来。那好，首先我们得利用第一个条件y0=3，你这把x=0代进去，

那就变成了c1加上谁？c2这个应该等于三。然后y1撇零=0。这个呢，求导数还是它，你把零一代，这就是c1。这个呢，求导数带零，这个地方会出现负二的c2，但是这个是等于零。那我们解这个方程组。这个时候我们就可以求出这个地方的c1和c2。那么大家看，一是把21减。

那这个时候我们就得到三倍的c2，就等于谁三，所以立马就得到这个c2是。是等于谁一的？既然c2=1，那c1就等于谁？c1就等于二。那这样子，这个解就找到了y=2倍的EX，然后再加上e的负二。x所以这个题啊，那就是实际上是找特解，但是它给条件的时候给的比较隐蔽。只是说这一点取得极值，三大家注意这个里边还有两个信息，

一个呢，就这点函数值是三。另外，你又是可导函数，这点要取得极值，这点导数必须等于谁呀零？这两个条件才能定出，这个通节里边两个任意常数c1c2。好，这是我们要看的例20。那么下面呢？我们再来看这个例21，这是二零一五年数学一的考题，它说y。等于二分之一一二x加x减三分之一x是二阶常系数。

非其次，这个方程的一个特解。则。ABC等于什么？大家注意这个呢，它是微分方程求解的反问题，过去是给了方程求解。现在实际上就是知道这个方程的一个解求方程啊，所以我们把它叫做微分方程，求解的反问题。那当然，有同学一想说诶。那我把这个解带进去，定a定b定c可以不可以可以，但是工作量比较大。

还有没有其他的方法呢？注意，这是二阶线性长系数，关键是这次。诶，长系数。大家知道这个你要求这个微分方程。实际上，关键还是求谁呀？它的七次方程的特征方程。因为你知道特征方程，那这个时候微分方程就能知道，但是要知道特征方程。必须知道谁呀？必须知道两个特征根。

所以但是怎么知道特征根呢？如果能知道其次的两个线性无关的特级，我特征根可能就找到了。所以这就是我们解题的一个思路。那么，大家注意这个呢？是非其次的一个特点。那废弃的特点，它实际上就应该是废弃子的通解里边把常数定出来。那废弃子通解应该等于谁？我们知道应该是c1y 1+c 2y二。其中y1y2是其次两个线性无关的解，那这个其次两个线性无关解的线性组合，这应该是其次通解。然后再加一个谁非其次的特点。

那这应该是非起始的通解，但是这是一个特解，这个特解应该是通解当中定出了任意常数。实际上，大家看我们这个y呢，正好也就是三项。你看哪三项呢？二分之一e的二x。然后呢，再加上谁x EX？然后再减去谁三分之一EX。现在的问题的核心是什么？就是。这有三项。那么这三项呢？

我们从中关键是要找其次的两个线性无关的特点。就是其中有两个是其次的特点，有一个是非其次特点，但是你怎么知道这三项哪两个是其次的特点，而哪一个是非其次特点呢？好，那我们这样看你看。首先我们来看一下这个第一项。这是一个二分之一二x。它会不会是非其次的减？我们说不可能。那有同学说为什么不可能，因为你把这个e2x带到左边以后。左边是关于YY 1撇y两撇的线性组合，最后你把这个代进去，

左边整理出来肯定是一个a乘上e的是2x。那么，大家注意这个右端呢？是个c×EX这两个不可能横向的。那所以呢，我们就得到这个e2x，不可能是非其次的解。它不可能是非其次的解它，一定是其次的解。好，我们就得到其次的一个解y1等于谁呀e2x？再找废弃自己呃，再找弃自己，那么现在大家看这一项。这个x×EX。

它会不会也是其次的一个解啊？我们说不可能。因为这个要是起始解的话。这个这个一。那不但应该特征根，而且应该是至少是二重根原因，什么因为这乘x啊？那你想如果它要是其次的解一不但是根至少是二重根，那不可能啊，因为这是其次解二已经是一个根了。那它才是个二次方程，一不可能是纯根，所以。这个就不可能再再是其次的解。那它不可能再是其次的解，

那它只能是非其次的解。好，那这个时候从而这个只能是其次解，因为我们这地方是两个其次的解一个非其次解。这样子，我们就找到了七次方程的两个线性无关的解，从而。就能找到其次的方程，对应的特征，方程的特征根，从而就能找到微分方程。好，下面来，我们把它表达出来，看由这个是它的一个特解，

我们最后可以得到谁呀？就这个y1等于一二x和y2=1x是其次两个线性无关的解。既然它两个是其次，两个线性无关的解，那我就找到其次的两个特征根。一个呢，就是二一个是一。既然两个特征根，一个是二，一个是一，那特征方程就是二二减一乘上二二减二等于零。那知道这个特征方程。那我就能知道齐次方程啊。所以现在就把谁定出来a和b就定出来。那这样子，

我们马上知道a应该等于负3 b=2，那差一个谁差一个c？那么差一个c呢？我现在AB知道了，那这样子左边就知道了，关键是右端不知道那这个c怎么定？它是个非起始方程带非起始方程解进去啊，但有同学说这是非起始方程解，你把它带进去。这个可以，但是不方便，谁方便这个也是废弃的简这个简单呀，所以把它带进去。把这个往里边一带。这个时候立马就可以把c定出来。

那这样的话，我们一看谁对的a是对的。所以这个呢，是个线性常系数，这个废弃的方程知道解找方程。大家注意，对于这个地方，常系数知道解找方程那个基本思路是什么？那就是先找齐次方程的两个解，就通过这种解找齐次方程，两个解为什么要找齐次方程解啊？找到七次方程，两个线性无关的解，我就能找到两个特征根。从而就能写出特征方程。

既然知道特征方程，其次方程就知道了。啊，对这种长系数利用这样一个对应关系，往往比较方便。那如果你要把这个东西带进去做可以，但是这个工作量就比较大。这就是线性常系数，知道解找方程一个核心思想。就是先从解找其次的两个线性无关解，主要是能够找到其次对应特征方程的两个特征根。他才能知道。就能知道特征方程，能知道特征方程，就能知道其次微分方程。

好，这是我们要看的例21。那下面呢，我们再看例22是这个问题，它是这是二零零九年的。一道考题啊，二零零九年的一道考题是这道考题，它说。如果二阶常系数线性七次方程。它的通解是它。则这个非齐次方程。满足这个条件的特点是什么？那我们知道你要找非奇次方程特解，我只要找非奇次方程通解定常数就行了，如何求非奇次的通解呢？

那应该等于其次通解加非其次的一个特解。分析的特性怎么求？应该是待定系数法，但在设这个特解的时候，它会牵扯到。七次方程的特征根。那为此呢，我们就得把其次方程AB得定出来。那么，大家看，对于这个七次方程，知道它通解是它怎么来得这个方程呢？实际上，大家看，既然它的通解是它，

我们就知道它有一个特征根是谁一。并且是谁二重的？因为你看这是EX乘上c 1+c 2x哦，这就知道。二=1是它的一个二重的特征根。那么知道这个以后我们就知道它的特征方程是谁呀？那就是二。二减一的平方等于零，因为二等于一是它的二重特征根，所以特征方程就二减一方。等于零那这样的话，我们就得到特征方程是它。知道特征方程，就能知道微分方程，所以AB就知道了。

那么AB知道以后非七则方程也就知道了。现在我要找这个非其次一个特点。那就待定系数法，你这是一个多项x可以看作e0x乘上一个x。那这样的话，我们这地方设的时候就应该设成谁啊e0x乘上一个，你这是个具体的依次。我这应该乘以个一般的一次。这个edx就不用写了，然后完了以后还要看要不要乘xk次方？那要看你那么大，是特征方程的几重根。对于我们这的话，拿不拿等于谁零大家看零不是特征根，所以前面不用乘x。

然后呢？把这个呢带到上面这个里边去。这个带到上边也简单，因为这是个一次式，你带二阶肯定等于零，实际上只有这个，那就是负2y一撇y1撇就是a呀。然后再加上谁加上ax+b。这个应该等于谁呀？就应该等于右端的x。立马就知道a=1，然后a=1 b马上就得到二，所以这个非棋子特解就找到了。然后这样子的话，我们就能写出非其次的通解。

然后完了以后呢，人家是要找非其所满足这个初始条件的特点，所以我们再利用y0=2y1撇零=0。再来定c1c2。那就是把。这两个分别代进去，我们会得到关于c1c2的一个简单的方程组。最后解出c1c2。那这样子，带到上面的通节里边去，我们这个时候想要的这个特解就找到了。大家注意，这是二零零九年数学一的一道考题，但是这一道考题大家看它把你。二阶线性常系数，

其次非其次，求解和的方法和原理。是不是都考到了，所以对于这个高阶线性方程来说的话，就是这个线性长系数，其次非其次。始终是考察的重点，所以这个呢，求解的方法不但要知道，而且要非常熟练。好，这就我们看的例22作为刚才我们前面举的例子啊，实际上基本上都是微分方程，求解就比较直接的题目。当然，

里边也牵扯到一些求解的反问题。那下面呢，我们再来看，像这个二零一三年数一数二的考题。它说y1等于它。y2等于它，y3等于它是什么？某二阶常系数非齐次方程的三个解。则该方程的通解。知道非其次，线性常系，数非其次，方程三个特解，找非其次通解。但是我们知道，

非其次通解应该等于其次通解加非其次特解。诶，我现在呢，知道废气是三个解，怎么能找到其次两个现象无关的解呢？我们在前面讲解的结构的时候，有个基本理论就是非其次，两个解的差。一定是谁啊？其次的一个解。哎，那这个时候呢，大家注意，你看这个y1和y2，它的后面这一项都是x×e2x。

这不是x×2x吗？诶，所以大家看那我这地方用y1嗯，你看y1-1个谁y3？大家看就得到谁e的3x。然后呢？这就应该是其次的一个解。然后呢？我用y2再减去谁y3？你看y2-y三就得到一个ex。这个呢，也是其次的一个解。那我找到其次两个解，但是线性无关呀，那是不是线性无关，

只要两个一比大家看一三x比1x显然不含等于常数。所以它俩是无关的。好了，我找到了，其次两个线性无关的解，那这个时候非其次通解就等于谁？就等于其次，两个线性无关的特解的线性组合。再加非其次的一个特点。分析的我知道三个特性，写一个简单的，那这就是减x1的谁呀2x？好了，这个问题就解决了。那当然，

也有同学可能有问题，他说老师啊，你这个地方。好了y1-y三得到了其次的一个解。然后呢？用y2又去减这个地方的y3，得到这个EX这两个当然是其次的解这个比较简单。哎，你是y1-y三，那我我不想用y1-y三，我用y2-y一行不行？诶y2-y一。你看这个减这个，这一减的话，它等于谁？

它等于EX减去谁呀？e的sin EX。注意这个y2-y一，这个也是其次的解啊，这个行不行呢？我们说这个也可以，那你这样的话，那就是说你这个是其次的一个解这个呢，是其次一个解这俩实际上也是无关的。那么，这样的话，你也可以写出相应的通解，就是y=c一。e的谁3x，然后再加上c2，

然后e的x-e的3x。因为这两个都是其次的解，并且这两个是无关的。那然后再加上非起这一个解负的x一二x行不行？可以呀，没有问题。只不过就你这个形式复杂一点啊，所以大家注意啊。就是你知道非其子这个三个特解，你要找这个其次两个线性无关的解。那这个呢，它不是唯一的啊，我们刚才都是y1和y2都减y3。那你也可以是y一减y三y二减y一这个也行啊，就只要找到两个线性无关的解就可以。

但这个两个现象无关解这个解这个呢，类似于代数里边的基础解析。它是不唯一的啊，只要找到一组就可以。好，关于方程求解，我们就看这些例子，应该说反映了常见的题型，常用的方法。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册