线代基础02 行列的计算与代数余子式

罗泽兵 · 发表于 2024-4-3 06:59:47

好，各位同学晚上好，我们准备开始上课啊，咱们这节课的话呢，接着来看一下关于线性代数的第一章行列式的这个内容。咱们上节课的话呢，重点讲了关于行列式的定义和行列式的性质啊，做一个简单的复习，那关于行列式的定义的话呢，是一个很重要的考题啊，一般来说呢，就是以咱们那个。考行列式啊，这个其中啊，这个多项式的系数啊，

为一个比较经典的考法，那么呃，行列式的定义的考题的这个做题的基本步骤啊，就是三步。那就行，列式定义本身啊，就是第一步取数相乘，一定要根据题目的要求呃，找到它所需要的那些取法啊，看看都是哪些取法？取值相乘要求来自不同行不同列啊，就这只有一个要求，其他的话呢，就是看题目的啊，这个需要啊，

第二的话呢，就是一定要记得。取数相乘之后，前面还有一个符号啊，要确定符号符号的话呢，就是我们可以把这些数啊，把这些数按行排好之后，看列它所对应的逆序数。或者是把列排好了啊，看行，或者是如果说你都没有排好的话呢，就是行和列的逆序数都要看啊，加起来就可以了，但是呢，我们习惯上肯定是。

要排好行开列啊，或者排好列开行那第三步的话，就是把这所有的项啊全部加起来啊，最后呢，就得到了这个行列式啊。这是关于行列式的定义。然后在行列式的定义呃里边，需要大家记住这个三角形行列式啊，这个三角形行列式呢呃，都是这个主对角线上的三角形行列式。啊，不管上三角，下三角还是对角，那最后呢？等于对角线元素的乘积，

然后负对角线上的三角形行列式，那最后的这个结果呢？前面要乘上。负一的二分之n乘n减一啊，这个数对吧呃，然后这个再乘上啊元素相乘对吧，这是很重要的结论啊。然后再往下呢，是行列式的性质，行列式的性质的话呢，主要就是三条。第一个的话呢，就是交换啊，比较重要的呃，交换行列式的两行是要变号的啊，

这个行列式的结果是变成原来的相反数。然后呃，还有一个叫逐行交换，逐行逐列交换呢，它是有规律的交换，其实就相当于如果说我们把这个比如这一列啊，最后这一列要想换到第一列上去。跟前面的每一列啊，都交换啊，就像那个插队插队啊，你跟前面的打个招呼对吧啊，我到你前面去，你们俩换一换啊，这样一个一个的打招呼啊，这样的话呢，

你就跑到最前面去了。这样的话呢，你需要换多少次啊？一定注意你前面有多少呃，有多少力，那你就得需要换多少次，这个叫逐列交换啊，这个要注意一下。然后第二个呢，就是被乘啊，被乘就相当于把这一行或者是某一列啊，它的元素全部乘以k倍。那这样的话呢，整个行列式就会变成原来的k倍啊，原因的话就是你在取数相乘的时候总会取到这一行里面的某一个数。

那么，这样的话呢，都会有这个每一种取法，里面都会变成k倍这个行列式的话，就变成k倍了，相当于把这个k可以贴到外面来啊，是原来行列式的。k位啊，那如果说我们把所有的元素都给它乘以k，再求行列式，那么这样的话呢，你就每一行。都可以提个k出来啊，行，提完了列就没有了，

那就列就不能提了，那么或者是每一列提一个k出来，那就没有行了，对吧？然后还有一个拆分的了解一下嗯，咱们在考研范围内呢，行列式的拆分呃，用的并不多，实际上在如果说我们专门去研究啊，仅仅研究行列式计算，不是为了考试啊。其实，行列式的计算有很多种方法，其中拆分就是一种很有呃，这个很常用的一种方法啊，

就是也不说叫很常用，就是很有用啊，只能叫很有用，但咱们考研范围内并不常用。啊，咱们还是基本方法，就是刚才说的啊，什么交换啊，倍乘还有一个呢，是后面这个叫倍加。啊，考研范围内呢是这三个啊，那么这个贝加的话呢，其实拿它呢就可以去化简行列式，我们可以把呃任何一个数字型的行列式。

通过这个倍加，主要是倍加啊，这个倍乘和交换呢，也可以结合一下，可以把它化成一个三角形行列式。画上三角，下三角都可以画，我们要想画上三角，那就得把下面这些给它消掉啊，消的时候我只要自上而下啊。然后啊，拿第一行的这个数，不管这个数是多少，只要不是零，我就可以把下面的这些数乘以项数往下加，

都可以化成零。对吧，然后呢，你再拿第二行这个位置上的数啊呃，只要它不是零就可以乘以任何乘以相应的数往下加，把下面这些数都给它化成零，以此类推，这些都化成零。至上而下画三角形行列式，那如果说我呃要画下三角形行列式怎么画？画下三角形行列式的话呢，那就是把这些都得画成，那这时候呢，我们可以通过裂变自左而右啊，有规律的循环。

拿这个数只要不为零啊，这个第一列乘以相应的数往右这个第二列第三列第四列上加你总可以把右边的都给它画成零。然后再拿这个数啊，我把右边的画成零拿这个数，把右边的画成零，这样的话呢，它就可以画成下三角啊，上三角下三角都可以画啊。好，当然也可以啊，拿下面的数自下而上啊，拿下面这个数乘以项数，把这些数化成零对吧？那我拿这个啊，把上面化成零，

拿这个把上面化成零。也可以啊，都行好那么这个呢，至少就是通过行列式的性质，可以把这个一般的数字性行列式给它换成三角形行列式啊，这是最基本的关于行列式的性质的一个应用啊。好，那么上节课重点的话呢，我们就讲了这些啊，特殊的行列式呢，有一个叫行和相等列和相等，这个行和相等加列列和相等加行，这种行列式在考试真题里面。是比较常见的啊，它可以不单独考一道题，

但在计算过程中还是非常常见的啊，要知道这种行和相等加列列和相等加行，知道计算方法。我们现场去算就行了啊，好，然后转型行列式了解啊，那么咱们这节课呢，接着往后来看啊。下面看一下这个例八啊，我们可以利用行列式的性质啊，把这个例八呢做一个简单的说明啊，这是也是最终啊，那也是需要大家记住结论的啊，它属于分块行列式。首先在这里面呢，

有几个概念啊，首先第一呢，就是先看这个大的行列式，这个大的行列式呢，它是有很多的元素，很多的数，对吧？这个地方有很多的数。然后这一大片呢？是零一大片是零的话呢？我们可以呃，这这片是可以不写的，也可以用一个小o啊，这个o来表示。呃，

那就是零，然后呃，这一堆数啊，形成一个啊，几行几列啊，然后这个地方几行对吧几列，然后呢，这个地方几列？这样的话呢，行列行列摆成的这些数，我们给它单独摘出来啊，形成一个表，那么这个呢，给它称之为是一个叫矩阵啊。啊矩阵的一个概念，

对吧？这个呢？也先初步了解一下这个矩阵，咱们后面的第二章就要开始研究这个矩阵，从历史的发展上来看，就是这个线性代数的历史发展上来看。呃，其实这个实际上先出现的概念呢，就是行列式啊，其次的话呢，慢慢的才衍生出来了这个矩阵。但是从数学的逻辑上来讲，你这个行列式本身就是作用在矩阵上的一种算法啊，所以从数学逻辑上应该先有矩阵。后有算法，

后有行列式啊，但是从历史的发展上来看，是先有行列式，后有矩阵，所以咱们的课程呢？这个讲义呢？还有咱们大学教材呢？都是先有行列式，后有矩阵。那么，这个地方先了解一下这个矩阵，矩阵它是一张数表，它是个表格行列式呢？它是一个数啊，最后算出是一个结果，

它俩是有区别的啊。那么，把这一小块儿啊，看成一个整体，我们给它记作一个数表a，就叫矩阵a啊，用大写字母AB啊，这a来表示ABC来表示啊。那么，由于这一块的话呢，它是行数列数相同啊，是m行m列，我们把这样的给它称之为叫方阵。对吧，方形的啊，

正方形的叫方阵，然后呃，然后这个b这个地方这一大片数据这一大片数据的话呢，它是n行n列，单独给它摘出来啊，那么集成一个。小的这个呃小矩阵块啊，这个用大写字母b来表示，那么它也是个方阵，然后这个c的话呢，它是哎n行呃，这个m行n列啊。m行n列，所以它是最后是mn啊，那么这个呢？

不是方的啊，是长方形的对吧？所以叫矩形的叫矩阵啊。好那么呃，这样的话呢，一个大的一个行列式，这这些数表我们可以给它划分一下啊，把这个零给它隔开。当我把这个零给它隔开之后啊，左上角它恰好是个方的，右下角恰好也是个方的啊，这个。这左下这个呢，就无所谓了，我们先不管它，

这样的话呢，我们把这个大的啊，这样一个行列式给它写成一个叫分块行列式啊，给它分成四块，对吧？叫分块儿行列式，那么对应的后面的这个矩阵的概念里面呢？这就叫分块儿矩阵啊，也可以叫分块儿矩阵对应的行列式，对吧？啊，就叫分块儿行列式给它分成了四块儿，能看懂这意思吧？好分成了四块儿以后，那么这个行列式最后它的结论呢？

是等于左上角的行列式。乘上右下角的行列式啊，那么这个结果的话呢，那我们可以从这个行列式的性质上啊来给它简单的说明一下。呃，但是大家在理解这个结论的时候啊，不能把它理解成说哎，这个二阶矩阵它好像有一个这个二阶行列式有有好像有这样一个结论说abcd。那么，这个行列式的话呢？应该等于是ad-bc啊，对吧？主对角线减去负对角线哎，那这个是不是也是主对角线减负对角线呢？啊，

那这俩的行列式的乘积减去这两个行列式的乘积，这样理解对不对？那这样看上去好像哎啊a×b就是a行列式乘b的行列式啊，这是零零×c就没了啊，看上去好像是对的啊，但实际上这种说法是错误的啊。啊呃，首先呢，这个嗯零或者这个c它并不一定是方阵呀，对吧？它不一定是方阵，那么它就不一定是那不是方阵，没法取好理式。所以首先它不存在行列式，那么即便是这个零和c，

它是方阵啊，但是那这个原理也不是说啊，拿主对角线减副对角线注意。这个分块矩阵的行列式，它不能像数的那个行列式啊，那那种完全一模一样，但是你倒是可以按这个形式上来理解啊，记这个结论，但不能把它当成本质上的东西，那是错误的说法啊。那它到底是怎么得到的a的行列式等于b的行列？乘上b的行列式呢啊，那我们可以这样去想啊，利用前面所学的知识来解决这个问题，对吧？

那么，这个地方有了一大片零了，如果说我能把这一块儿画成零，把这一块儿给它画成零，这样的话呢，这个右上角是不是全是零？它是不是就是一个下三角形行列式啊？那么下三角形行列式是不是应该等于对角线元素的乘积好？那么我们再来看和这两个行列式相乘有什么关系不就行了吗？那么我们画的时候呢，可以考虑啊呃，只要这个元素不为零。那我就可以拿第一列乘以相应的数往右面加对吧，那么总可以把这个地方画成零，然后其他的这些数呢，

都是跟着要变的啊，不一定是原来的数了，对吧？然后呢，乘以箱数往后加啊，这些都可以化成零，那万一第一个数它是零呢，对吧？那是零，它就没有办法往后化了，那没关系啊。我们可以交换呀，对吧？换个位置啊，这两列交换一下，

或者是我们把这个第二列啊，假设第一列是个零啊，第二列是个一。我除了交换，还可以把第二列我加到第一列上去，第二列加到第一列，第一列的话，这地方就是一了，只要来只要是一了就可以画后面的数了，当然不是一也无所谓，理论上都可以换。反正呢，就是我们通过初等列变换，一定可以把后面这些数是不全部合成零。这样的话呢，

这个位置上的数变了啊，变了之后呢，没关系，反正只要不是零我就可以把这些画成零，然后以此类推这个数呢，也不再是原来的数了。啊，然后下面这些数呢，都跟着都变了，都不一定是原来的数了啊。好，但是咱们这些所有的这个变换前面这些所有的变换，你说它会影响后面这个b这段儿这块儿数据的。这个大小吗？大家可以想一想，

或者看一看是吧，很明显啊，很明显你前面这几列不管怎么换，是不是不影响后面？好了，那么所以这样的话呢？呃，前面的这个呃，这一块的裂变啊，不管怎么变，它都不影响后面而且。这一堆数据啊a的这堆数据的变换是不是也不影响c啊？对吧？它它上下没有换啊，它俩不会混合到一起，

因为咱们只进行裂变就够了。直行裂变的话a化简了AC化简了c是不是好了？好，那这样的话呢？同理，我们可以化简这儿。发现这儿的话呢，只要这个地方它不为零啊，那我就可以把后面这些地方通过裂变，对吧？乘以箱数往后面加你就可以把后面化成零。然后以此类推啊，以此类推，这样的话呢，把这些全部画成零，

这些就跟着变啊，那这些的话呢，就可能就不再是原来的数了啊，无所谓。那么，这一块儿的呃裂变，你也不影响前面，不影响a，也不影响c是吧？所以它们都是各自的这个小的模块上啊，它进行化简，它进行化简，它进行变化。对吧，好这样的话呢，

我们画完之后啊，得到的呃，这么一个三，这就是一个三角形行列式了，这些全是零对吧？这个三角形行列式大的行列式的行列式的值是不是应该等于这个对角线元素相乘啊？对吧，所有对角线元素相乘，那么其中前半段a的这些元素的相乘。是不是就是a的行列式，因为a这个地方也是个三角形行列式，对吧？然后这个b这个地方是不是也是一个三角形列式？所以b的这一段是不是应该它们相乘的时候也是b的行列式，从而就可以得到这个大的行列式，

是不是就应该等于这两个？小的啊，分块行列式的乘积对吧，从而就可以啊，证明这个结论，那么这个结论的话呢，后面我们可以给它称之为叫拉普拉斯定理啊，当然这个只是拉普拉斯定理的，或者叫拉普拉斯展开式的。它的一个特殊形式啊，不是一个呃，仅仅是这一个形式，它还有别的，一会儿可以给大家介绍一下，当然咱们考研不要求大家掌握啊，

这个拉普拉斯，但是要掌握分块行列式。就是这种特殊的，这个分块行列式的话呢，它必须得有一个零，这是最关键的啊啊，这一块必须有零，你看这一块如果说它不是零的话。那它本身如果不是零，那我要想把这块儿换成三角形行列式能换，但是这个结论就不好说是什么了，为什么因为你得拿这个a去消这一块儿？你拿a消它的时候，这个b你看是不是就会受前面这个c的影响啊？你得把前面的列加过来呀，

对吧？这样的话呢，这个就不再是b了。啊，不再是b了呢，这个就不知道这个结果是什么了，所以咱们这个结论呢，一定注意是必须得有一块零。啊，没有零是不行的啊，那没有零的话呢，我们呃得给它，如果说呃别的地方有零可以给它通过呃，咱们行列式的性质把零呢都给它聚到一起去。啊，

给它聚到一起去，后面有练习题，咱们可以一会儿看一看好，所以一定要注意这地方有个零啊。行了呃，那么这样的话，有了这个结论之后，那么其他的结论就很好理解了呃，咱们这个第一行这个结论。啊呃，这是零在右上角那么零，如果说在左下角，那不就同理吗？那我就把这个画成一个上三角形行列式。对不对？

所以应该等于这两个相乘，然后如果是对角对角，那就更好了啊，那就你画上三角，下下三角都可以，等于这两个相乘。对吧，好这样的话呢，所以我们就可以呃计算这种分块行列式，比如像下面例九这个例九里面的第一题，那就是这个分块行列式一个非常呃直接的题目。都不需要任何化简，拿过来就可以把它化成啊，给它把零隔开。把零隔开之后，

左上角的话呢，是一个方的，右下角的话呢，也是个方的，对吧？所以那么这个行列式呢，立马就可以等于左上角的是一。二三四这个行列式乘上右下角的，比如是一一一负一对吧？好，那么这个口算一下，这个答案是不是就出来了？前面的话呢，是主对角线减去负对角线啊，等于是负二。

然后呢？乘以后面是主对角线负一啊，负对角线一啊，还是负二啊，乘以负二乘以负二等于四啊就可以了，好大家已经口算出来了。所以这种特殊的行列式呢，其实是很好算的，对吧？它有一个这样的一个结论，这叫分块行列式。那当然，它还有这种形式啊，你看这种形式，如果说把零给它隔开啊，

这个零给它隔开的话呢，它是零在左上角。啊，然后这两个呢？在呃，这个负对角线上了，对吧？所以呢，就像什么呢？就咱们第二行这个结论。啊，第二行这个都是负对角线，负对角线，负对角线好，那么如果说是这个负对角线，

哎，我刚才看到这儿啊，这个地方应该是个零，大家把讲义上。呃，把它改一下啊，因为这个地方跟前面重复了啊，因为这个是一个对角行列式啊，应该是零。好，然后。我这个地方用红色的标注一下吧，回头可以把它更正一下。啊，这地方应该是个零啊好，

然后那就像这个啊，就像这个这个的话呢，那我怎么去计算它呢？啊，那像像算算它的话呢，其实到这儿就有一个很重要的数学学习的一个这个思维啊，就是要这个划归这个地方必须两个零吗？啊，想一想，这个地方必须两个零吗？这个有没有说必须两个零啊？咱们在证明的时候，你想怎么想呢？是不是只要这个地方有一大片零就行了？那至于这条有几个零是不是无所谓，

咱们的要求是什么呢？只要给它把零隔开，把零隔开之后你能隔出来啊，左上角是方的，右下角是方的。就可以了，对吧？那至于这个地方有几个零是不是无所谓的啊？而且这个地方是不是方的？那么是不是也无所谓的？啊，因为只要是这片是零，只要这边是方的，我就可以把它的右上角画成零啊啊，这个是方的就可以把它的右上角画成零，

只要能把右上角画成零，这一大片全是零。对吧，所以这个地方呢啊，不一定是方的啊。它不一定是方的，而实际上咱们这个地方它也不是方的啊，它不一定啊为。方正啊，方正就是行数列是相同的啊啊，不一定好。反正只要能够给他这样，这个隔开啊就行了。我还是把它画在这。给它这样隔开啊。

好呃，然后那咱们这个地方的话，考虑这样一个思想，就是叫数学思想叫化归把一些新的问题，看看能不能化成之前已经解决了的问题。包括咱们将来做练习也是一样，那么课上讲了很多例题，那肯定要留一些练习，那这个练习的话呢，肯定是一些新问题，这个新问题呢，那你要把它想办法，怎么能对应到？咱们课上所学的那些方法里面去那些例题上面去啊，这就叫划归那么呃，

上面这种主对角线呢，我们解决了，下面我们解决这种负对角线的话，你想我们可以怎么考虑？我们是不是可以考虑把这个负对角线的给它变成主对角线呢？对吧？因为行列式它不是可以交换吗？对吧，我们可以交换一下，把它换成主对角线了，你把它换成主对角线不就解决了吗？对吧，把这个负对角线要换成主对角线呢啊，有两种方法。啊，

像咱们这个具体的题目啊，它呢比较简单，只要把这两行啊，这两列我们交换一下。然后呢？这两列交换一下。如果说给它交换一下的话呢，它就变成了一三，这个五七二四六八，然后这个。咱们一三交换的对吧？那么就是零零一一，然后呢？零零一负一是不是就可以好这样的话呢？是不是就是一个组对角线上的分块儿了？

直接就可以得到上面的，你交换的时候呢，要交换一次，乘个负一交换一次，乘个负一，现在交换两次，那就乘两个负一，那就不用乘了。好，那这是具体题目啊，它是可以直接交换，这样兑换，那如果说啊，像咱们上面这个。它不一定说呃，

这个呃行数和列数这个这个行数啊，这个的行数列数和这个的行数列数，它不一定一样。啊，它一个是m行m列的，一个是n行n列的，那不能完全兑换了啊，那怎么办？对吧，咱们这个a是一个m行m列的，然后这个b是一个n行n列的，你如果是直接对话的话呢？m和n不应相等。好，那不一定相等，

我们就采取另外一个方法，就前面咱们刚复习到的啊，就是叫逐行逐列交换，我们把a的这个第一列。把a的第一列。跟前面b的每一列都给它交换一次，对吧？每一列交换一次的话呢？呃，这样的话呢？这一列就可以跑到。前面去这样的话呢，一共交换几次？这样一共交换几次，这一列跑到最前面去的话，

它需要交换几次啊？是不是前面有几列，它就需要交换几次，是不是就像那个啊？这个呃插队似的，对吧啊？前面有n列。啊b，有n列那就交换n次好，那么就是负一的N次方，那现在这个a的这个第二列。那我a的第二列，这时候这个紫色已经没了，对吧？第一列已经没了啊，

那么第二列再跟b的每一列再交换。交换完了之后，跑到这个位置上去，那需要交换几次？是不是还得需要再交换n次啊？那所以如果说我们把这个它的所有的列。啊，都给它交换到前面来。那你说总共交换了多少次？总共加上多少次？是不是这个地方逐行逐列，逐列交换的时候，总共是交换？啊，是不是m个n次？

对吧？m个n次的话呢？就是m×nm×n的话，所以我们就可以把它化成这个，从这个交换m个n次之后。就变成了负一的m乘以次方，然后呢是a0，然后呢cb是不是就画成这样了？就化成了上面啊，这个第一种主对角线上的这种形式。啊，这就叫化归化成想办法通过你所学的啊，这些知识啊呃，方法化成咱们已经解决了的问题啊。好，

那么这样的话呢，那不就是等于上面这个结论了？负一的m×N次方，然后是a的行列式b的行列式，所以会在计算这种负对角线上的这种啊，分块行列式的话。那我们只需要用这个结论就行了，负一的m乘以次方，那就像这个的话呢，我就不要换了，对吧？不需要换了。直接等于负一的，这地方是几行几列啊？两行两列这个呢？

两行两列好，那就是二×2。对吧，那如果说其中有一个是三行三列的，那就是二×3啊，那就看几行几列啊，好它是个方的，那么是二阶的，这是个二阶的二×2好，然后呢，再乘上。这个一二三四再乘上这个一一一负一就可以了，那么这个结果的话呢？就是当然还是四。对吧，

这是分块行列式啊。那那这个分块行列式的话呢，它就是利用行列式的性质，然后呃推导出来的，这样的一系列结论，那么在考试里边还是很重要的。一个结论啊。然后再往下的话，我们看看还有这个呃，关于分块行列式的一些考题啊，像这个呢，就是咱们考试的真题了。考试的真题啊。好了，那么这道题大家可以想一想，

你们可以做一下啊，给大家两分钟的时间啊，看看能不能自己算出这个答案来？看是多少？算一下啊，给大家两分钟的时间啊，然后算完之后的话呢，可以打个一啊，你不用打那个打结论了，打答案的话呢，方便打你就打，不方便打就无所谓啊。现在十九点二十七，二十五啊，它咱们二十七。

做一下我看看啊。想一想啊，其实主要这个嗯，是这个思路啊，看看怎么利用刚刚才所学的这样一个结论。然后去做啊。做一下等待下的啊，等待加一下。好，已经有同学做完了啊，其他同学的话呢，看一下有没有不一样的或者怎样啊？啊，两个三几个同学三个啊，其他同学也都呃，

可以方便打字的都打一下啊，咱们可以课堂上互动一下，有不懂的问题啊，当然也可以随时提问啊。再给你们差不多几十秒钟的时间，马上就到27了，咱们就开始讲啊。好了啊，那么大家也做个差不多了啊嗯，这个题目的话呢，一看呢，这个零啊，它还是蛮有规律的。是吧，你看这两个这这两个零和这两个零的位置是差不多的，

那这两个零呢，我是可以给它放在一起去的，那么这个零和这个零的位置也是差不多的。那么我们也是可以把它放在一起去的，对吧？所以这个题呢，就可以考虑啊，通过这个交换，先把这些零给它划到一起去。那当然，这道题呢，比较有一个经典的错误啊，那么也可以说一下，就是有同学呢，是直接就给它分块儿了。

对吧，分完了之后呢？他说这是a啊，这是b，这是c，这是d。直接等于AD的行列式减去BC的行列式。如果是这样写的话呢，那这个答案就是错的。这道题是一个选择题，其中错误选项里面肯定就有它啊，那么这个就是你看a啊，那么就是a方对吧，然后d呢就是d方。然后b呢，

就是这个负b的平方c的话，是负c的平方，那就是c方d方。啊，那这个就是错的啊，这是一个经典错误啊，那么不存在这种算法那么正确做法的话呢，一定是咱们所学的这个分块行列式，它一定要有一个零。啊把零要画到一起去，那么把零画到一起去的话，首先我们可以先考虑这两个零给它画到一起去是吧？那就是把这个。第一行不动啊a零零b，然后把第二行和第四行交换一下啊，

那么这就是c零零d，你看这个零就跑到一起去了。对吧啊，一大片零了，然后呢，这个第三行不动是0 CD 0，然后第四行就变成了第二行0a。必定这样的话呢，交换一次，不要忘了什么，不要忘了前面要有一个负号。啊，然后呃，那我们可以嗯，再交换一次啊，

把这个跟这个再交换一下，这个零的话呢，又跑到一起去了。啊，对吧？所以列可以再交换一次，再交换一次，那就是负一的平方了啊，交换两次，那就是AC。零零然后呢BD零零然后是零零db然后是零零。CA，对吧？好，那这样的话呢，

就可以化成一个分块行列式，是一个对角的，那更简单，对吧？啊，那么它呢？就应该等于是左上角是ad-bc，右下角是ad-bc平方。啊，就可以了，那么这个的话呢，才是对的啊。好，那么这个其实就考察这个分块行列式，对吧？

也很明显这个零是有规律的，可以给它归到一起去啊，只要有一片零，其实只要有这么一片零就够了，剩下这个不是零，其实也无所谓。啊，不是零的话呢，我只要把这块儿零给它挪到右上角或者是呃，这个左下角或者是其他的这个负的角线位置都可以。啊，只要有一片零就可以了，对吧？这个零也不一定是方的啊啊，只要只只要你给把零隔出来以后剩下的左上角右下角啊是方的啊。

啊，或者负点线是方的就可以了，然后这个第四题大家也可以思考一下啊，这道题其实还是有很有难度的是吧？这道题算是一道呃，在基础阶段来说，应该算是一个拔高的题目了是吧？这个综合的嗯，不太好想的一道题。当然，这道题的计算方法是有很多个的啊。嗯，我们先说一下这个分块行列式的方法啊，那么现在的话呢？嗯，

这道题目它是没有零的是吧？啊，没有零那我们观察一下这个行列式，它有什么特点？它的特点的话呢，是对角线上啊，是一到n。然后对角线的这一侧全是负二，这一侧的话呢，全是二对吧？全是负二和二。啊，那么呃，那我们可理论上的方法，首先第一个可以画三角形行列式，

如果说比如我拿第一行。乘以相应数往下加啊，把这些呢全化成零，然后再把这一行乘以相应数往下加啊，把下面化成零。对吧，你这么一点一点画啊，这是理论上的一个方法也可以啊，咱们先不说这个方法并不好算啊，然后。呃，我们不拿第一行，现在我们不拿第一行，拿第一行画的话，其实啊，

你把这个地方你看乘以负二加上来，这地方是零。乘以负二，接下来这道题是几了？乘以负二加下来，是不是应该得往下加四啊？加四的话就是六+4的话就是二+4的话呢？全是二。对吧，你再乘以负二加下来，这地方是零下面得加四，这是六啊加四七对吧？加四后面全是二。这个好像也不是很简单啊，这是六啊，

这些全是六啊，这些全是六啊，然后这些全是六对角线上的话就是六七八这个地方得加四是吧？你看这样画完之后呢，还得再拿这个再往下画啊，所以拿第一行往下画的时候呢，它也并不是很简单，得慢慢画啊，一点一点的画。那如果说我拿第二行画。为什么拿第二行呢？因为第二行这地方是两个二。这两个二那你说下面这些全是二吧，对吧？那全是二的话，

如果说我们直接把第二行乘以负一往下加的话，那你这个是不是一大片零啊？对不对？一大片零的话，我们说是不是可以把这个零就给它隔开了啊？隔开之后左上角是不是就是方的右下角是不是方的这样的话呢？是不是可以利用分块行列式？来算，所以拿第二行啊，咱们乘以啊，这个负一往下加，然后往下加往下加。啊，都给它乘以负一往下加，那么加完之后来看一下是多少呢？

那么，第一行是不动的啊，一负二，然后呢？负二后面是负二负二，那第二行也不动是二二负二。负二是负二，全是负二对吧？然后现在拿第二行乘以负一加到第三行是不是零零？乘以负一加下来是五啊，然后后面这些啊，乘以负一往下加是负二消负二呀，对吧？是不是也消成了零了？就是零，

然后这应该全是零了。是不是这样想一想啊，这些五后面这些全部画成零了吧，然后呢，乘以负一加到第三行，那就应该是零。零然后因因为这个嗯，这个地方如果说我们再多写一个数的话，这地方应该是个二。对吧，然后这个地方是一个四，然后这个负二，然后这样子多写一点好找规律，那么你乘以这个负一往下加的时候。这个地方是不是应该得乘以负一往下加？

是不是加了个二下来？这地方是不是这个四？所以这个地方应该得这个四？啊，也就是这边全都是二+2这边的话呢，全都是负二+2右上角找找规律，看看是不是这样子啊？所以这地方就会变成四啊，本来是个二。变成四，然后这个四+2呢？是不是就变成了六？啊，然后这些全部变成了零。对吧，

乘以负一往下加，然后呢，以此类推啊，加到这个倒数第二列啊，第二列的话，这地方就是零零。这个二是不是应该乘以负一往下加的时候是不是加二那就是四，然后一直到对角线这个位置要加二是不是就是n+1？然后这个加个二是不是就是零对吧啊？中间这些过程啊？好，然后最后一列的话呢，最后一行的话呢，就是零零，这就是四啊，

这些全是四啊，全是四，全是四啊。然后。这个地方也是四，然后这个位置呢，就是n- 2。所以把这个第二行乘以负一往下加，最后的话呢，就加成这个样子了，看看是不是？当然，这种这种n阶行列式啊，大家在画的时候，如果说一开始啊，

找不到规律啊，有点乱，对吧？因为省略号太多了。那么，在呃，这个平时刚开始练习的时候应该怎么办呢？你先不要写n阶，你自己写一个五阶。啊，你先写一个五阶，以五五阶为例，你看看五阶画出来是什么形状？是什么什么规律？你这个n阶一下就能找到规律了。

写个五阶或者四阶也行，四阶的话可能规律小一点，对于这这道题来说，你五阶就很容易找到它的规律好吧，所以解决n阶问题啊，它的n阶问题，它一般问题啊。一般问题不好弄，你解决特殊问题，给大家举个例子，包括将来咱们考试的时候真正到了考场上，那么有些啊，这个题目啊，这个。呃，

不好算的，一般情况不好算的，就举特例，像去年的考题有几道难题，那几道难题其实都是可以举特例，直接就可以得到的。对吧好。这是这个呃，咱们这道题的话呢，从上面往下啊，乘以第二行乘以项数往下加啊，好那么画出来是这个形状，大家看看有什么问题没有？啊，能不能想到了？

啊，画完之后的话呢，它是呃，可以给它把零全部给它隔开的。对吧，这样隔开啊，怎么知道第四列哪有第四列呀？就是这一列是吧啊，这一列的话呢，需要找规律啊。呃，你要知道这个省略号什么意思？啊，要知道这个省略号什么意思，这样吧，

我先写一个五阶出来，咱们大家看一下吧，好吧，看来还是需要先写个五阶的，比如它是。呃，这个行列式的意思呢，就是对角线上能看得出来，对角线上是一到n嘛，所以对角线是一。二啊，三四五这样的话呢，没问题吧？写个五阶的啊。啊，

然后呢？这个对角线的左下方是什么？右上方是什么？找它的规律啊，这个省略号省略的肯定是有规律的。那么，右上方是不是全都是负二？这是负二负二负二负二，然后这地方是负二对吧？全是负二，这是负二。啊，然后这地方是负二。这样能理解吧。然后这个左下角全是二啊，

那么这地方全是二全是二。然后全是二。然后全是二。好了，然后你拿这个五阶的去画，然后再把它自己推广到这个n阶的就可以了。你再画是不是就很清楚了，你看把它乘以负一往下加啊，你乘以负一往下加零。零乘以负一往下加五乘以负一往下加零零对吧？然后再把上面还是一样乘以负一往下加？零零乘以负一往下加，加二四乘以负一往下，加六乘以负一往下，加零对吧？

然后再乘以负一往下，加就是零。零乘以负一往下加四乘以负一往下加四乘以负二往下加七。看明白了吧，也就是说对角线上会变成五六七到n+2，然后呢，对角线右边呢，因为都是负二消负二全消掉了。然后这个地方呢，是二消二全消掉了，只有这个位置是二+2全个四，所以这回就是。左左边这个n解的就这样。明白了吧啊，所以当n阶不明白的，

所有的n阶不明白的时候都可以先写个五阶的啊，非常有代表性啊，把五阶搞清楚了n阶的就明白了，就不用看那个省略号了是吧？好，那这样的话呢，它就是一个分块行列式，那么这个分块行列式是不是应该等于左上角乘以右下角了是吧？它就应该等于左上角，那就是一负二二二这个行列式就很好算，然后右下角这个行列式是不是也很好算呀？右下角这个行列式，它是一个什么？恰好是一个三角形行列式啊，它是五六到n+2。

然后呢？这个下面全是四。啊，全是四。啊，然后右上角全是零。那么，所以这个结果应该就等于啊，前面的话是二减去负四等于六。六乘以。乘以五×6×7乘乘到n+2。把这个数给它化简一下。可以怎么化简一下呢啊？这个像连着乘是不是叫阶乘啊？阶乘如果说再乘个四乘个三乘个二乘个一。

那这就是阶乘，所以是n+2的阶乘，但是呢啊，它多了个四吧，因为这个地方六可以写成三×2×1，对吧？六可以写成三×2×1，多了个四，所以再给它除以个四。当然不化简啊，写这个行不行？填空题当然可以啊，但是呢，最好化简一下啊，然后选择题如果当然也不太可能考选择题啊。

呃，一般就是要考就是填空题，那么最好化解这个。看明白了吗？啊，先写五阶啊，五阶弄明白了再写n阶啊，就懂了，那么当然这个呢，可能一下子不太好想到啊呃，这个题就是了解。啊，那么你需要学的是前面的方法啊，就是当出现一些零啊，能够分片的时候，

那么把零隔开隔开之后，如果说左上角右下角。啊，它是方的啊，那么这时候就可以使用分块行列式啊，那么这个题呢，恰好从第二行观察的时候会发现啊，右下角全是二啊，这个左下角这个地方全是二消掉啊，就可以实现。当然，这道题还有别的方法啊，画三角形行列式直接画或者其他的思路呃，包括比如把这一行，这不就是。

都是可以提个二出去，提二出去全是一放到第一行，然后呢，拿它去消其他的行啊，其实也可以啊。然后还包括一些呃课外的一些方法，咱咱们后面有时间再了解性的学习啊，不作为呃，这个考研必须的学习，那考研必须要求的就是。咱们这个分块行列式好了，这是关于行列式的性质进一步的拓展呢，需要大家掌握的结论啊，这个呢，在咱们的第一章的最后也有个梳理啊，

关于这个。行列式，它的所有的结论好，然后下面的话，我们接着来看一下这个行列式的展开。那么，这个行列式除了用行列式的性质画三角形行列式以外啊，那么或者是那些特殊的行列式有结论以外，那么一般的行列式我们还可以通过展开。那么，这个行列式的展开是怎么展开的啊？把这个过程呢？给大家稍微的捋一下啊，知道它的来龙去脉，再去理解那个结论就更简单了。

首先我们先看几个例子啊呃，像第一个。这个行列式啊，长成这种形状的，它的形状的特点是什么？第一行只有第一个数啊，不为零，其他的话呢，全为零。那你说这个行列式可不可以考虑按照分块行列式来，我们给它分一下？对吧，你这样分一下的话，把零隔开左上角是不是方的啊？只有一行一列也是方的右下角是不是也是方的？

是不是n- 1行n- 1列那么这样的话呢？就给它分开了，分开之后它是不是应该就等于左上角的行列式？那么，这一个数的行列式注意啊，一个数的行列式就等于这个数。那么像呃负一如果说是绝对值。假设这个记号呢，叫绝对值那么负一的绝对值，那当然啊，这个当然就是一对吧，但是如果说这个竖线。它是行列式。啊，那么这个结果还是等于负一。

一定注意这个竖线，它指的什么意思啊？但考试的时候啊，题目里面不会出现啊，一个数的行列式或者绝对值。啊，那么肯定是你自己算出来的时候，你自己算出来，你就知道它是行列式还是绝对值啊？好，那么所以这个a一一它的行列式就是a1，然后再乘上右下角，那么右下角这个行列式我们给它称之为叫余子式。我们可以把它理给它理解成是划掉a一一所在的行和列啊，划掉它所在行列余下的。

一个子式啊，那么划掉a1，剩下的我们叫m1，那这样的话呢，就乘上m1这地方就有了一个新的概念。叫余子式的概念。啊余子式这个m一一它呢，就等于划掉这个a一一剩下的。这一块儿剩下的话呢？那当然，这个地方就是a二二到a2n。一直到an 2到ann。你这个行列式好，这是第一个，当然这个行列式怎么算？

咱们一会再说啊呃，现在至少我们可以计算这种行列式了，通过分化行列式的结论。那下面这种呢，第二种是不是就更一般化一点，它是行列式的某一行啊，某一行有一个数不为零。其他的话呢，这个省略号啊是零啊，全是零的意思。好某一行有一个不为零的其他权为零，那么这种的话呢？你怎么去算？那还是这个化归的思想啊，那么这种啊，

上面会了，那这种是不是可以化成上面？怎么画呢啊？那是不是就是把这个数把这个不为零的数挪到这个位置上去，挪到左上角？把零挪到这儿，是不是就第一种啊那种形式了？结论不就知道了吗？那么这个挪就是交换这个交换，咱们看下面具体的题目看一下例十。然后呢，把历史这个具体题目搞清楚了，再看这个抽象的问题，像这个你看这个地方就有一个不为零的，对吧？

然后我们想把这个九给它搞到这个位置啊，左上角，然后零给它弄到这儿，那么显然第一种方法啊。这个方法一，那就是进行兑换。直接兑换两次就可以实现啊，你看咱们这个原式。那就应该等于先把一三行进行兑换交换，对吧？一三行直接交换，那就变成了。这个负的。零零零九。然后是五六七八，

然后是一二三四，然后是abcd。对吧，其实我也是随便写的行列式啊，然后再把这哎，其实到这也可以了啊，到这的话呢，它就是一个负对角的这种情况。那负对角的话呢，还得考虑它的阶数，对吧？负一的m×n是不是都不太好？那么干脆呢？再交换一次，然后把这两列。

再交换一次是吧？把它两列再交换一次，那就交换了两次，那就是负二的平方，然后呢？是九八四d。然后第二列呢是零六二b，然后是零七三c，然后是零五一a。是不是画这样子的？那这时候它是不是就可以看成一个这种分块的行列式？就是咱们的第一小括号一那种例题了。那么，这个结果是不是就是等于负一的平方，那就是一，

然后左上角是九乘上是不是划掉九所在的行和列剩下的？划掉它所在行列，剩下的就是六七五二三一，然后呢？是BC a。剩下问题就再算这个行列式就可以了，当然这道题呢，我们并不需要把这个行列式继续算下去了啊，那么。我们来看一下另外一种方法啊，这个方法二。方法二的话呢，是叫逐行逐列交换。逐行或者是列。然后呢？

交换。用这种方法好，那么这时候这个原式，那就应该等于我们把这个第三行跟前面的第二行交换一下。他俩换一个，然后呢？换到这位之后再和第一行交换，这样的行就得交换了两次。对吧，然后交换的这个是零零零九，然后逐行交换的好处是前面的这个一二三四五六七八。这两行呢，相对位置是不是就没有发生变化，而如果说我直接兑换的话，你看你兑换完了之后五六七八跑前面去了，

一二三四跑下面去了。跑后面去了啊，所以这个逐行交换逐列交换呢，它是有规律的啊，然后后面这个。是abcd。然后呢，我们再把这一列往前跟前面的每一列都交换一下。那就是得需要交换三次了吧？那就是负一的二+3了，然后这样的话呢？是九四八d。然后你因为是逐列交换的，相当于把前面的三列往后平移。那就是零一五a。

啊，横着写吧，横着写，有规律零，然后一二三，然后五六七，然后是ABC。对吧，好了，这样的话呢，算出来那就是负一的五次方，那就是负的啊，先写一个五次方吧。或者是写一个先写个二+3，保留着我们找规律啊。

然后那么这个乘以九乘上划掉九所在行列，剩下的啊就是右下角啊，右下角其实就划掉九。所在行列，剩下的那就是一二三，然后呢是五一二三五六七，然后是ABC。好，那么这两种方法啊，都能其实接着往下算，但是第二种方法它就比较有规律啊。其实第二种方法，我们根本不需要中间的过程，我可以直接一步就可以得到这儿，怎么实现呢啊？

那我就看这儿啊。那这个九那么就在这儿，对吧？九就在这里面，然后呢？乘上负一的二+3。那么，二加三是什么呢？它是第三行第四列，第三行往上需要交换三减一次。然后第四列需要往前交换四减一次，所以这样的话呢，其实我是可以直接把它写成是九。乘上负一的啊，三减一是行交换，

然后呢？加上四减一啊是列交换。对吧，然后交换完之后，然后后面这个一二三五六七ABC怎么来的呢？是不是滑料酒所在的行和列？剩下的你看剩下的是不就是一二三五六七ABC？而这个呢，你这个兑换呢，它就没有规律啊，换完之后你也不知道换到哪里去了，它是六七五什么二三一，然后BC。所以那我们就采取下面的这种方法，下面这种逐行逐列的交换的这种方法之后，

其实中间过程是可以隐去了啊，就不要了。那么我们直接就可以写出这个结果。啊，直接用这个啊余子式这样的话呢，就可以得到，这是一二三，然后五六七。然后呢？是ABC，这个就是在推导这个代数余子式啊，有同学已经预习了，当然知道那是代数余子式，现在就是在推导这个，因为同学可能没有学啊。

没有预习好，这样的话呢呃，我们下一面只要想办法解决这个问题就行了，这样把一个四阶行列式就可以。啊，把四阶行列式啊化成了一个三阶行列式，那你想如果说我三阶行列式还可以继续往下再画的话，是不是就是二阶行列式？那么，这就是降阶啊，画到二阶行列式，这个行列式不就能算出来了吗？对吧？那我再往下怎么画呢啊？如果说接着往下画，

我只要拿这个一。啊，把这两个二和三给它消掉，那么又出现两个零出现两个零之后，我们再来一次，那不就可以了吗？对吧？对吧，所以它可以啊，迭代下去的啊，好那么回到咱们这个一般问题上。那么，这个一般问题，这个第二种这个行列式是咱们将来计算行列式最主要的啊一种形式，那么这个行列式的话呢？

显然，我们可以根据刚才这个规律啊。那么我们直接拿这个aij对吧？因为这一行只有它不为零，然后呢，再乘以这个负一的。啊负一的什么呢？它行得往上换的话，逐行交换是不是需要换a- 1次？啊，那么这时候呢？他跑到这个位置上去了。然后呢，再把它换到左上这个左边左上角，那么还得再列变换，

是不是接减一次？好交换这么多次之后，那就一定啊，剩下的右下角一定是滑到它所在行和列剩下的。对吧，划掉它所得和和列，剩下的这个我们给它称之为叫余子式mij，就这个概念。啊，余子式就是划掉一个元素啊，这个角标的话呢，就是你划到哪一行哪一列划掉这个元素，剩下的元素重新组成一个啊d阶的行列式。n- 1阶行列式叫女子式。那么，

我们把这个地方。这个的话呢，还可以继续把它写成叫负一的，你看a- 1接减一是不是就是a？加接减二那么减不减二影不影响这个呃指数的奇偶性啊？是不是不影响这个减二我就不要了？啊，因为减的是偶数，你奇数减偶数还是奇数偶数减偶数还是偶数，所以你减不减偶数不影响奇偶性，那既然这样的话，我是不是不用那个减二了？就出现了负一的I+jij是什么呢？是它的角标角标的行标和列标，然后呢，

再乘上这个mij。那既然呃，这个一般的这种行列式的话呢，它每一次都要算这个，我们把它呢再记作一个新的记号叫aij。那么，这个aij就叫代数余子式。代数啊，叫余子式。啊代数余子式呢，就是有正有负这个aij它呢，是等于负一的I+j。的mij而mij就是叫余子式，那么这个叫代数余子式，所以那这样的话呢，

这个又可以把它进一步的写成。拿这个元素，我只要乘上它的代数与指示就行了，当然你这样写呢，只是为了啊，这个结论简洁，但实际上你算的时候还得这么算呃，还得这个先算，还得这么算啊。还得先算这个角标，负一的角标相加，然后呢，再算余子式啊，然后这个呢，只是一个写起来简单。

好，那所以这种行列式就可以解决了啊，那么当这种行列式解决的时候，那么更一般的行列式第三个。那我们就可以想办法解决了。那么，更一般的行列式呢？那就是它不见得某一行里面只有一个不为零，其他全为零，那么我们当然可以通过行列式的性质。啊，比如我们拿这个数乘以相应的数往下加啊，把下面全部化成零好，这时候就只剩一个了。但是当然，

咱们刚才说的是行的性质，现在按列来说呢，同样道理也成立啊，行列都成立，那么当然我也可以，我也拿这个数啊，这个数比如它是个一。它很好画，把这个地方画成零，把这些画成零，把这些画成零，都画成零，那这样的话呢，就回到了上面那个括号二那直接给它啊，展开就行了，

给它画成这个元素。乘到它的代数余子式就行了。那么，从理论上来讲呢啊，我们除了这种化以外，还有一种就是拆分，我们是可以按这一行啊，把这个元素都给它加零，然后呢，其他的零+0加。这样的话呢，加号左边写一个加号，右边写一个以此类推的去拆，我们是不是可以拆成这样n个行列式相加，这n个行列式每一个行列式是不是都属于第二种？

咱们那个括号二那个行列式中的其中一个，那么这样的话呢？这个行列式的结果，那第一个行列式是不是就是拿？这个小写的AI 1是它的元素，然后呢？乘上啊这个负一的角边相加，再乘上它的余子式。也就叫代数余子式。然后第二个这个行列式是不是就应该是AI 2乘上这个AI 2？对吧，大写的代数余子式啊，然后一直加一直加到这个ain这个元素。乘上它的代数，余子式这样的话呢，

就说明这个一般的行列式，我就可以直接写成下面这个了。这个呢，就是行列式的展开定理啊，按行或列展开，它为什么可以展开啊？就是这么一个推导过程。这样话呢，就方便大家理解这个结论，当然这个仅仅仅是个结论啊，实际上我们在计算的时候，我们从来不这么算啊，那不这么算啊，为什么？因为你这么算的话，

其实并不是特别简单原因呢。话呢是你n阶行列式不好算，你这个地方需要算什么？你是不是需要算n个n- 1减？是不是也不方便呀啊？那么什么时候方便呢？啊，什么时候才能方便呢？就是最好这些系数啊，零越多越好。是不是就这某一行里面那个零越多越好，最好是什么？最好是n- 1个零，只有一个不为零，是不是就回到了？

个括号二，所以我们实际上算的时候呢，其实就是按括号二来算是最主要的啊，一种算法啊，那么我们怎么能画成这样子呢？利用行列式的性质。就逮住某一行或者某一列，只要哪一行某一或者哪一列好画画零它本身零就多，然后呢，再顺便再画一画就画成其他全是零了，那么这时候。我们就可以按这一行或者这一列啊，给它展开啊，然后呢画呃降阶之后，它的阶数变成n- 1阶了，

然后接着往下再画就可以了。比如像这个行列式。这个行列式当然计算方法很多方法一的话呢，我们拿第一行乘以相似数往下加对吧？乘以相似数往下加换成往下加换成三角形行列式。咱们前面已经算过啊，这个题目的这种方法了，对吧？好，那除了这个方法以外，我还可以选择，就是刚才说的化成这个括号二用展开的方法，降阶的方法。好，那么我们画哪里呢？

这个每个同学都不一样啊，那这个我们就随便画，显然一般来说呢，就是紧着零多的地方画。对吧，现在零这个地方已经有零了，那干脆的话就画这个吧。画这个列对吧？按列行画也行，按列画也行，行列式的性质行列全是通的啊，这么横的话也可以啊，对吧？这个地方有个零了，我留这个一。

或者留这个一都行，随便你啊，那我们按哪个按这个吧，对吧啊，随随便选一个好按这个的话，也就是拿这个一把下面这俩全消掉。啊，所以这样的话呢，这个就不一定非得画这儿了啊，画三角形行列式的话呢，一定要有顺序啊，这个降阶的方法就嗯，随便啊，你看哪个地方方便？就换哪个地方？

我们把这个第一行啊，第二行也不用动，一一零负五啊，把这张话筒里，那就是乘以负一加下来。乘以负一加下来，也全都是负一往下加，那就是负二二零，然后呢？二然后这个地方是直接加。全部加一，全部加一的话呢？三负三零，全部加一负二。好了，

这样话呢，它就出现了啊，这样一列。只有一个元素不为零，其他元素全为零，那我们就按这一列展开，那这一列的话呢，它就应该等于。这个一，然后乘上不要忘了这个啊，负一的角标相加，因为是代数余子式啊，负一的角标相加啊I+j就这个元素的位置。那么，这个位置的话呢？

是第一行第三列。好，然后呢？再乘上划掉它所的恒合力就是呃，剩下的叫余子式叫一一。然后呢？负五然后是负二二二，然后是三负三。这个三负三负二这样的话呢，一个四阶行列式就化成了一个三阶行列式，而这个三阶行列式的话呢，还同样道理，还可以往下，包括这个地方还可以提供因子。想提提个二出去也行啊，

不提的话呢也没关系啊，那当然提的话，计算量肯定会更小一点。啊，那我们提或不提都可以啊，那我们就干脆不提吧，直接呃画零吧，画零的话呢，我就想拿这个一，比如把下面。给它化成这个零对吧？那么前面这个是一×1就没有了啊，所以接着往下的话是一一。让它负五，我们乘以二加到第二行，

乘以二加到第二行就是零×2加过来，四×2的话呢是二五一十啊负十，那就是负八。然后乘以负三加到第三行就是零乘以负三加过来的是负六乘以负三的话呢，是三五十五十五减二十三啊，这个数有点大，这样算。啊，倒没关系，我们可以把这地方提供因子啊，好，然后先先先降阶啊，先降阶它就是一啊一呢，乘以负一的角平相加。那么，

当出现在对角线上的元素的时候，可以不用写那个角平相加负一的角平相加。因为你写的话呢，它也一定是个一，因为是对角线上的元素航标列标啊，是一样的，那这个地方是一+1也好，二+2也好，三+3也好。它全是偶数对吧？所以对角线上的可以不用写啊呃，原因它是正的，那么其他地方呢都得口算一下。然后啊，划掉它所得的毫克力，

剩下的剩下是四负八啊负63。好，那如果说你直接主对角线减负，对角线呢数有点大，有点大的话呢，不妨呢，我们提一个这地方明显有个四倍可以提出来。那么，这样的话呢？它就是四倍的，那就是一负二负63，这个计算是不是就小多了？那就是拿四乘上左对角线13负，对角线12，13减十二一，

所以这个结果等于四。那么这个呢？就属于啊降阶的一种方法，其实就是利用的行列式的按行不列展开，但是呢，一定要先化简再展开。能看明白吗？当然，那这个化简的方法可不唯一，每个同学化简的角度可能都有自己的选择啊，所以计算过程不重要，考试的时候只要最后答案啊，这种行列式的计算问题。好，这就是关于行列式的这个展开的啊，

一个基本的应用，那这样的话呢，也就是说所有的。这个数字型行列式，我们就有了有了一个这种计算行列式的一个通法。啊，它的通用方法，它通法是什么？就是我们尽量的画零对吧？画完零之后。展开展开完了之后再画零再看再展开，所以它的通法就叫。边化零啊，不是都化零叫边化零，然后呢是边展开，

只要是竖直型的啊。我们理论上都可以这么做。啊，当然那些有规律的，我们按规律去做，没有规律的，我们就边画零边展开就行了。好这个呢，比直接换三角形行列式啊，可能会更方便一点，至少行列式你写的越来越少啊，这个数字阶数越来越小。那些n阶行列式，那可能需要找规律的呃，那些画三角形行列式依然有用啊。

好，这是这个第一个，然后第二个，这是一个很重要的行列式，这是考试真题，填空题，直接考原题的这种。啊，直接考行列式的计算啊，我记得上节课有同学还问到行列式会不会考这个直接计算它会考，但是呢，它不会考这种啊，直接算，但是它会考这种。稍微变形一点的，

那么这个呢？叫模型行列式，什么叫模型行列式呢？你看啊，把所有的非零的数，我们用线连起来。他会像一个字啊，就是那个么么哒的么啊，这个把对角线，它有时候负对角线，有时候是主对角线啊。然后平行于对角线。还有一行或者一列啊，比如这个地方呢，它是一个列。

那么你看这个字是不是就有点像一个？这样一个模。对吧，它是个反模啊，不管是正模还是反模，还是把这个模旋转一下啊，转个角度，那么这种都叫模型行列式。啊，那这个模型行列式是考试重点，直接考题目，直接考填空题五分啊，这个也就是你学会了就是五分，它可以换很多数字啊去考察你。那无非就是算的结果不一样，

那算法是一样的啊，那么这个木星行列式呢，它有一个通法。啊，所有的模型行列式，也就是说我们不管里面的这个元素是什么，只要把线连一连啊，像一个摸这个字或者是反摸这个字。它就有一个通法，所有的通法，那就是所有的行列式的模型，行列式的通法就是按摸这个字，你看这个字横在哪里？你像这个摸这个摸的话呢的横是不在这儿？虽然说这是一列啊，

但是呢，它是这个字的横那个位置好，那么我们把这个横啊。按它这个展开就行了。那你看这个呢，它并不符合咱们前面的那种啊，一般的行列式的展开原则，一般行列式展开原则是零越多越好，对不对？啊，你比如这个第一行，你看只有两个不为零的，我如果说再画一下啊，当然我不要拿后面画，前面拿，

前面画，后面把它画成零再展开不好吗？可以。那是另外一种方法啊，那么咱们这个地方按这一列展开，虽然说它数很多，但是它的规律是非常明显的，是可以口算的这些答案。好，那我们展开看一下，我直接写在了咱们的讲义上，这样的话呢，方便呃，看直接展展开之后的结果啊，这咱们就课堂不用太现写了。

但是我们可以分析一下啊，展开的话呢，应该是拿这个负一。负一，然后乘上负一的角平行加它是第一行第四列对吧？再乘上划掉它所在行和列剩下的那剩下是这个。看一下是不是啊？零一负一看一眼对吧？确认一下好行了，试探好了，然后同样道理，然后这个b1。b1乘上负一的第二行第四列啊，然后呢，再划掉b1所得的行和列，

剩下的。那是这个行列式，然后以此类推啊，这个B2B3那么这样的话呢，我们得到了四个行列式。那但是剩下的这些余子式模型，行列式的余子式是非常有特点的。它呢，是一个什么行列式，看一下。你没有发现它是一个三角形行列式，你看对吧？只不过这个题呢，是个负对角线，那我还可以给你出主对角线的，

咱们后面还有一道主对角线的题啊。这个呢，是一个负对角线，负对角线其实难度更大一点，不要忘了负对角线的行列式怎么算啊？还记得吗？想一想，然后你看到这边的时候，哎，它跑变成了下三角形的负对角线啊，那这是个下三角形。有些是上三角形，有些是下三角形，而对角线上的元素是怎么变的呢？你看这边的话呢，

是三个负一。啊，然后下一行啊，下一行下一个行列式，它就变成了多了一个一少了一个负一是吧，它是非常有规律的，然后再往下的话呢，又多了个一。又少个负一，然后再往下的话呢，又多了个一，又少了个负一啊，所以这个规律性非常明显，同时行列式都是可以口算的。那我们来算一算吧啊，

这个口算看能不能实现那么算这个行列式的时候，不要忘了这种负对角线上这种行列式。它应该是负一的二分之三乘二次方，它的ABC吧。那么，二×3次方是不是负的？也就是负的ABC。负的对角线元素相乘，这个对角线相乘是负一乘以负号是一啊，然后这个呢？负一的五次方负一再乘负一呢一，所以第一个数就是一对吧，然后第二个数啊，这列上两个负一一个一乘起来是一，但是要乘个负号。

所以是负的负的，然后这个地方呢是正的啊，所以这样的话呢是减去b1-b一，然后下面这个地方呢啊是负一。再再乘个负的，那么就是正的，对吧？正的前面这个呢是负的，所以是减去b2，后面肯定是减去减去b3，它的规律是一样的。这样就可以把它直接计算出来了。啊，那么这就是模型行列式啊，按摩这个横啊，

给它展开。啊，就可以了，对吧？好，那个原式第一行是两个零也能直接余子式吗？余子式无所谓啊，余子式是划掉一个元素啊，余下的不管这个。呃，元素的旁边是什么？呃，余子式就是这个意思，你比如这个三它的余子式，什么叫它的余子式呢？

它的余子式就是划掉它所在的行和列剩下的。他不管旁边是什么，直接划就行了，划掉这个元素所在的行和列，剩下的跟零没关系好吧？啊，就是划掉这个元素所在行列，剩下的是有旁边是零，当然嗯，他就是该是零就是零，不是零就不是零。啊，这叫余子式，然后余子式，然后再乘上负一的，

它是第几行第几列啊？第三行第二列这样一乘叫代数余子式。叫a三二能明白了吧啊，所以余子式这个概念呢，就是余下的啊子式啊。对旁边是零它好算啊，不是零的话呢，这个你得你除了这一项以外，还有旁边其他项都得要展开的嘛，对吧？旁边零多了话，你是不是展开的项就少了，因为你要拿这个元素乘上代数余子式的，如果说这些项全是零。呃，

这就不用算了，是不是这个意思啊？好，所以这个模型行列式呢？就按这个摸的这个字，这个横去展开就好了。然后当然这道题的话呢，还有另外一个方法。啊，方法二方法二的话呢，这个呢，算是一个稍微技巧性的方法，每道题目都不一样啊，每个模型行列式，它的计算方法也不一样。

稍微偏技巧一点。那就是呃，我们来观察一下这个行列式呃，你看是不是这一块是个一？对吧，全是一，而且如果说把这一块能够画成零的话，它是不是这个三角形行列式，所以只要把这三个一想办法给它消掉啊，其他地方最好不要。不要出现那个呃非零的数对吧啊，只要把这两个化成零，其他的地方无所谓啊。那怎么画呢？那很明显，

我把这个负一加上去啊，从下面最后一行开始。负一加上去，这地方不就是零了吗啊，然后这个地方呢，就加了一个b3啊，然后再把这时候这一行。再往上加，再往上加的话，这个地方就变成零了，那么这地方就变成了加上b 2+b三，然后再拿这一行再往上加。啊，就是从下往上逐行往上加，这样的话就变成了加b 1+b二+b三好，

这时候就等于对角线。啊，这种负对角线上的三角形行列式，等于是负一的二分之四乘三，然后对角线元素相乘。对吧，负一的二分之四乘三，这是正的对角线元素，相乘这个数乘上这三个负一是不是就是这个负的？啊，所以这样的话呢，也可以得到答案，那这样的话呢，看上去唉，好像这样更快呀，

对吧？但是呢，这个方法是针对这道题啊。但有些题目呢，它并不是很好用，也不是很好算，那么呃，按摩的横展开，这是个通法。就是你想都不影响，直接拿过来算就行了，肯定也很好算，然后如果说你想稍微观察一下，找找它的规律啊，那么像这种方法，

我们逐行往上加也可以得到。下面这个第三题的话呢，同样还是个模型行列式啊，这个呢，咱们留点时间，大家你不要看后面的解析啊，咱们书上有解析。是为了咱们待会讲的时候方便就不用再去抄那么多的数了，大家自己想一想，自己算一算好吧啊，咱们中间呢，正好休息会儿，把这个呢嗯，练习一下，这就是咱们考试的。

呃，就就类似于考试真题的填空题啊，这个你会做的话呢，就是五分好，现在时间的话呢，是8点10分。咱们八点十五十六十七十，你还得再做思考一下，给大家多留点时间啊，顺便休息会儿。那就失败。咱们来接着对一下后面的呃，这个答案和后面内容啊。好，你们思考一下自己动手做一下这道题啊。

好。有同学提到一个问题，说上道题的方法一，怎么可以连加了？什么叫可以连加了呢？什么叫可以连加了？就是为什么这么多项加在一起是吗？就这一项加这一项加这一项加这一项，是这意思吗？什么叫连加？那为什么可以加到一起啊？那就是前面的这个展开定理，看这咱们又不是一二三给它推导下来的，那像这种啊，它是任意这一行是任意数啊，

不一定是零啊，对吧？不一定是零的话，是可以拆分成n个，这种只有一个不为零，其他全为零的项，这种行列式，而每一个行列式呢，都等于。这个数乘上它的代数余子式对吧？然后等于这个数乘上它的代数余子式最后一个行列式等于这个数乘上代数余子式，你本来就可以拆分成n项加起来。所以展开的时候呢，按行破列展开，它是n项相加的啊，

所以是n个n- 1阶的行列式相加，咱们说这种方法呢，只是个定理。但是呢，算的时候它并不一定好算是吧啊，只有那些特殊的啊，像咱们下面这个模型行列式啊，它呢是直接展开方便。那么不是这种特殊行列式的，我们需要先画零再展开会比较方便，不是说必须画零。是为了计算方便，所以最好先画零，你不画零也可以，对吧？

直接拿负一乘上它的。代数余子式，然后b1它的代数余子式，然后b2乘上它的代数余子式b3乘它的代数余子式加起来。对吧啊，能明白吗？看上面的有个推导的过程啊，是吧？这个就是这个小括号三啊，前面那个例题。看明白了吗？它是可以拆分成n个行列式的啊，每个行列式呢，等于它的原数乘上代数余子式，所以最后加起来啊。

明白了吗？还没有明白吗？没有反应了。好了啊，时间到了，那我们再来看一道题目，再来理解一下啊，看一下这个第三题好吧？第三题，大家已经自己思考过了吗啊。那么，这个行列式的话呢？它就是一个典型的这个模型行列式，对吧？你看我们把它的所有的非零的数啊，

拿线连一连先连对角线啊，不管是主对角线还是负对角线。把对角线连一下，平行于对角线有一条，然后呢？行或列上啊有一条。这样的话，你看它是不是应该也是一个摸啊？它是这个正常的摸转了一下。那么，这个模型行列式这个呢？如果说我们拿拉姆达去消这个负一，其实也可以，但是也得讨论。因为讨论这个拉姆达等于零不等于零，

那么拉姆达不等于零呢，你还可以把它乘上拉姆达分之一往上加，但是它也带分数对吧，所以呢，我们可以啊。呃，就不考虑这个具体问题，具体分析的方法，我们还是利用这个通法来直接去求解，那么通法就是按照摸这个字，这个横。直接给它展开就行了啊，都不用你去思考啊，展开怎么展开呢啊？那就是拿a1。

乘上划掉它所的恒河列对吧a1当然负一的角边相加呢？也可以写一下，因为它是个主对角，线上的元素你不写倒也没关系啊。然后呃划掉它所在的行和列，剩下的剩下的那就是一个。这个上三角形。行列式对吧？然后这个加上啊，就是因为你是按这一列展开的，所以要把这里面的每一个数乘上它的代数，余子式加起来啊。然后第二个元素是a2啊，乘上滑掉它所的行列。这是直接展，

没有化简啊，因为它不好画，它是抽象的一些字母对吧？好，那么乘上负一的角平分加是负一的二+1是负一的三次方，其实它就是一正一负的啊。这个是正，那这就是负啊，然后下一个是正，再下一个就是负，对吧，然后划掉它所在行列，那第一行呢？是负一零零零那第二行就变成了原来的这个行列式里面第三行是吧？那就是零拉姆达负一零，

然后零零这个这样的话呢，你看它对角线上是不是？少了一个拉姆达，多了一个负一啊，所以它是有点这个这么个规律，还是个三角形行列式？然后a3。划掉它所到黄河里剩下的啊，那就是负一又多了个负一，然后这样的话呢，它还是一个三角形。行列式对吧，然后再往下a4。划掉它所的黄合力，剩下的。

划到它所在行列，我看一下啊，这个a3的呃余子式第二行第一列为什么不是拉姆达？第二行的。第二行第一列这个。我看一下啊，看一下它是不是排的不对，我们来看一下a3啊a3的话。划掉这个元素所在的行和列，那第一行的话应该是负一零零，第二行是诶，应该是兰布达啊，这个说的很好。这地方应该是兰布达这个排版问题，这个地方是错误的，

是兰布达负一零零。对吧，它是拉姆达负一零零。看一下啊，是的啊，没错啊，这个咱们这个同学看的很仔细啊，这地方写的是个零，它实际上应该是兰布达啊，因为是这个数对吧？兰布达负一零零，然后是零零，拉姆达负一，然后呢零零零，拉姆达啊好。

然后这是a3这个啊，确实需要注意，那么这时候呢，你看你会发现它现在就不是一个三角形行列式了。啊，它正好不是个三角形行列式了，那怎么办？也就是说，模型行列式其实并不是完全按我们想的说，它都是三角形行列式，但是呢。这个是一个可以分块儿的。对吧，它可以给它分块啊，分块之后呢，

你看它是不是还是一个三角形法律是？只不过是一个下三角，一个上三角，那么这时候呢，它还是对角线元素相乘。那这就是为什么写这道题目啊，这道题的目的就是告诉你这个模型行列式，它不管是几阶，你最后按那个横。展开的时候都是拿这个元素乘上负一的角边相加，乘上你找对角线元素的规律就行了。它的对角线的元素啊呃，像这种有规律的数啊，它都是少一个多一个少一个多一个，那么这个地方是四个栏目的。

这地方是三个拉姆达，一个负一，那么这个地方是两个拉姆达，两个负一，那么这个地方是一个拉姆达，三个负一。而到了后面，这个地方已经就画成了下三角了。啊，这是个下三角，下三角还是对角线元素相乘，对吧？然后到了a5划掉它所在行列，剩下的那还是下三角对角线呢？就全都负一了。

所以像这种的话呢，它即便是考n阶行列式，都很容易找规律啊，即便是这道题，其实原题是完全可以把它写成一个n阶的行列式的，你自己想一想。啊n阶行列式a1到an，如果说是这样的话，这个行列式的结果是多少？那不要直接写n阶，你就自己写个。啊，四阶五阶，然后呢？以此类推到n阶就可以了啊，

因为呃写直接写n阶，它的规律不是很好，不是很好看，因为它有是这个。呃，省略号啊，不是很清楚。啊，但是咱们这样去看五阶，你看它就是a1是拉姆达四次方，然后a2呢是拉姆达三次方，它多了一个负一，但多一个负一没关系啊，前面这个角标还多个负一呢。是不是相当于这两个负一抵消了，

然后后面又多了个负一，那么这个地方它这个角标它会还会再变一次符号呢是吧？就全抵消了啊，所以最后这个结果规律就是a一四次方a二三次方a3平方a4一次方加a5。啊，就这么个结果。好，这是这个模型行列式啊，看懂了吧？好，然后还有第四个呢，这个呢是叫缩形行列式。叫缩形。这个缩怎么写来着？啊，

这样写缩形行列式。也叫三对角线啊，行列式，这都是一些特殊的。行列式啊，那么所谓的叫缩形呢？大家可能不太理解啊，是你们应该没有见过的啊，这个呢，它的名字的起源是这样。你把这三条线连上啊，对吧？然后这边也连上这个呢，像纺织用的那个梭子一样，纺织这个已经早晚早就已经过时了，

对吧？也没有见过啊。所以叫缩形行列式，也叫三对角线，对吧？平行于这个三条线，但这种缩形行列式的话呢？咱们到这个强化阶段。会给大家讲一些稍微呃更复杂的缩性行列式，它的一些计算方法像什么递推法啊，递推法，然后。呃，咱们这个地方呢，是具体问题具体分析，

它就是一个四阶行列式，那四阶行列式的话呢，像这种零比较多的，你看这地方零都比较多了。我实际上是可以考虑展开的，因为它呢，化简不太方便了，因为这地方有abcd啊，有字母啊，不好画不好画，那么我们就直接展开利用展开定理啊。啊，直接预算就行了。那么，比如我就选按第一行展开，

或者是按最后一行展开，或者按第一列展开。豁达最后一列展开，对吧？那么，这个缩形行列式。呃。看一下啊，这个缩形行列式。那我们就先展开吧，展开的话呢，直接按第一行展开好吧，第一行展开呢，就是拿a啊，乘上这个负一的角平相加是第一行第一列。

然后呢，再乘上划掉它所在的方力，剩下的剩下的话呢是b一零啊，负1c一，然后呢零。负1d。对吧，然后呢再呃，其实你熟练了以后啊，你这个不写下一个直接写减就行了啊，因为第一个是正下一个肯定是负。啊，它是负一的一+2是吧？刚开始学的话，我们还是先写上，

以后熟练了直接口算这个位置就行了，是负一的一第一行第二列，然后再划掉这个一。坐在了哈克利。它是剩下是负一零零，然后是1c负一零一d。对吧，好了，然后这两个行列式呢，分别再算前面，这是a倍的a倍的，然后这个行列式怎么算呢？因为它是有字母，不好画啊，如果说是常数的话呢，

就给它画零展开。那不好画的话，就直接展开就行了，我们还在按它的第一行展开，那就是b，然后乘上负一的一+1以后熟练了，这个就不写了啊。你口算一下一定啊，但是不是说不写不是说呃，这个不用写是因为它是一啊，那么滑料它所在行列，剩下的再讲解，那就c1。负1d。对吧，

然后呢？后面这一项是一。乘上负一的啊，这个一+2再划掉它所在行列，剩下的是负一一，然后呢0d。好，这是前面的一项。然后后面这一项的话呢，这俩一乘是负的，那就减去减去唉，这个地方是不是按这一列展开就很方便？那就是负一，然后负一的话呢，还要再乘上负一的角边形加是一+1啊，

习惯了就嗯，熟练了就不用写了。划掉它所的毫克力，剩下的是c1负1d。对吧，好了一个一点一点的算啊，这样的话呢，就是a倍的。呃，那么就是b乘上，这是什么CD CD+1啊？是CD+1，然后呢？加上后面这项是这是负的，这个呢？

是负的d那就是加d。然后后面这项的话呢，就是负一这是正的，这是负的，那是正的，正的这个加上加上CD。加一啊，又来个CD+1好，那么稍微合并一下，因为它都有CD+1呢，那我们把它乘开。就是AB乘上CD+1，然后提出来CD+1 CD+1，然后还剩下一个AD，也就只能写成这样了。

对吧，因为它是有字母的，所以也就写到这啊。好了，这个呢，就是呃，直接展开啊，直接展开，当然这个呃，这种缩形行列式。如果说这个地方不是abcd啊，假设它是一个具体的。我们呃，我想。好，

那即便是这样，即便是这个abcd啊，如果它具体的话，当然它可能会更有规律一些。这个题呢，还有一个方法二。大家呢，也可以了解一下。这是方法，一是直接展开啊。那么，方法二，方法二可能比较巧妙一点。就是这种梭形行列式，尤其是四阶的这种。

或者是五节其实也行啊，尤其是四节，你看这一大片。是不是有一个不是零，其他全是零，如果说能把这一块儿把地方给它弄成零。那么，它就可以分块了。对不对啊？那当然，那这一块是零，我能不能这样分这样分不行，它不是方的，这地方不是方的，对吧？

所以我们必须得把分完之后的是方的，那么这一块给它弄成零。大家有什么方法可以把这个地方弄成零呢？如果说我们利用啊，这个行列式的这个呃第五条性质倍加，那么你会发现啊，怎么都不太行？啊，我们如果说把这儿直接加下来，直接加下来，这地方就变成零了，但是呢，这地方就变成a了。啊，那这个就不好是吧？

然后裂变呢啊，你把这一列加过来，这地方变成零唉，这个地方就变成d了。是不是不太行对吧？所以这个呢？不太好想啊，又发现怎么消消零都不好消，是这个确实不好消，所以呢，这个呢，稍微偏技巧性一点。啊，属于啊，一些技巧类的方法，

对吧？他们学习的话呢，优先是先把基本方法弄好啊，技巧性的方法，有时候他可能很快。很巧妙啊，很有成就感，但是呢，未必好用啊，因为换道题呢，你可能就不好用了，上面这个这个方法呢，就是通管。想都不用想展就行了，对吧？

也不管它有什么规律啊，运算对吧？那么这道题的方法，这道题应该怎么做呢啊？他画这个零啊，他确实不好画。但是如果说不好画，我们可以拆分。其实，拆分行列式是一个很重要的啊，不是很重要的，很常用的啊，理论上很常用的，但咱们考研不常用的。一个方法，

考研不不怎么用拆分那么，但是我们可以把这地方给它拆，把这个负一给它拆掉。那也就是这一行，我们都给它写成啊，这个是。写成什么呢？只有这一个数是加零，其他呢？我们都拿零加啊零+0加。这样话呢？好，或者这样子猜，就是把这一个数给它写成零+-1就行了啊，零+-1。

啊零+-1啊，把它写成零+-1，其他的啊就是加号左边拆一个加号，右边拆一个啊。来，我们拆出来看看是什么？第一行是不是就是a一零零对吧？那第二行的话呢？是负1b。我看我的讲义吧，那算了，直接还是看这负1b一零是吧？一零然后呢？我拆一个零零，我把那负一给它拿掉啊。

其他的话呢，先给它抄下来。是c1。然后呢，是零零负1d。好，这样的话呢，我们就可以利用分款行列式了啊，加上这个行列式的拆分是什么？只有一行元素不一样，对吧？其他元素它必须得一样。你才能给它再加回去，还记得吗？其他元素都必须得一样啊，

这一行元素呢，直接加起来，那差于谁呢？差这地方是一个负一，其他就加零就行了。我拆成这样的两个行列式啊，这个位置。啊，这个位置其他都不都一嗯，这两这行不一样啊，行加一起其他行都一样加起来。这样的话呢，它就可以给它分开了。对吧，然后分开之后。

那么这个。这个行列式，它就应该等于左上角啊，这个行列式是a1负1b，然后乘上右下角是c1。负1d啊好，那再加上后面这个行列式怎么做？后面这个行列式的话。其实也可以分块，也可以展开啊，直接按这一行展开。其实就能算出来了，后面这一行要想分块儿的话，我们如果说把这两个交换一下，你看这地方有个零，

这地方有个零啊。把零给它凑到一起去啊，是不是也可以啊？不太好想是吧啊，但是呢，大家可以见一见啊，如果说啊，展开是一种方法，然后如果说我们把这个分块儿给它进行到底的话。那么就把这个二三行再给它交换一下。负一呃，这是零负一零零把零凑到一起去啊，然后呢是负1b一零，然后呢零零负1d。能看懂吗？

啊，当然这个方法这个交换倒是不是很必要啊，展开也可以。好了，那这样的话呢，前面就是AB+1乘上CD+1。然后减去后面，那就是a一零负一，然后乘上一零负1d。好，那这样的话呢，前面就是AB+1乘上CD+1，然后这个呢是负a这个呢是d。所以就是加上AD。看懂了吗？

那这个呢，是完全利用分块行列式啊来做啊，当然这个方法了解即可，前面这个方法一呢是必须要会的，是基本计算啊。好嗯。然后呢？这个要是负一那里变成零+-1那个一呢里变成一+0啊，这个变成加法展开啊，展开的话呢，并不需要把数给它拆成两项。啊，咱们把数拆成两项呢，肯定是为了这个拆分啊，肯定是为了拆分，

那么你要展开的话是什么意思？我看看。把负一那里变成零加负一一那里变成一+0，那这个地方变成一+0吧。呃，是什么意思呢？就是这个位置其实是可以展开的啊。对吧，这个其实除了。这种方法以外，另外一个方法就是直接拿负一乘上负一角，变相加划掉它所在行和列，剩下的也很好算啊，展开就行。但是拆分的话呢呃，

我们是把这一个数写成零+-1啊，其他的话呢，其实都是加零+0啊。都给它加零，都给它加零加号的加号，左边拆一个加号，右边拆一个。对吧，拆成两个行列式啊，每个行列式的话呢，都很好算啊。好行了，这是关于咱们这个行列式的展开啊，它的展开定理。当然，

这个行列式的展开的话呢呃，这这个定理啊，我们再看一眼啊，咱们后面的话呢，会用到就是它展开的时候是随便选一行。啊，理论上随便选一行，随便选一列都可以，那么一定要拿它的原数乘上它的代数余子式啊，原数乘上对应的代数余子式。然后一直全部加起来。那么，对于这个代数余子式，这个概念在考试的时候呢？是一个专门考题的啊，

可能考一道填空题的。那么，对于单数余子式，我们专门再研究一下单数余子式是从余子式mij啊，然后把它呢乘上。负一的角边相加得到的对吧？所以负一的这个是。负一的I+j次方，这是这个aij啊，等于它。那么，比如我们按照这个第I行，第I行给他展开。展开的话就是拿这个元素乘上它的代数余子式啊，小写的是原数，

大写的是代数，余子式啊，然后全部加起来。那么在这里面，我们要问呃研究一个问题，就是这个aij。这个代数余子式与它对应的那个位置上这个元素，它的大小有没有关系？啊，随便选一个，比如这个AI 2。是它的代数余子式。和它的大小有没有关系？有没有关系？这个数啊，

我们怎么去求它的代数？余子式是不是要划掉它所在的行和列剩下的？你把它划掉了，是不是就没有关系了？你不仅跟这一个数没关系，跟这一行的数都没关系啊，因为你这一行的数都是要划掉的，不管是哪个元素的代数，余子式都要划掉的。对吧，所以与它的大小呢是没有关系的，没有关系的意思，就是说这个大小不管怎么变啊，它这个地方原本可能是个一，你现在给它改成三改成五。

这个行列式的这个位置上的代数余子式都不会变，当然那我这个位置上的数啊，代数余子式变了吗？那那就可能就变了。应该它就有关系了，对吧？所以就是说这个位置上的啊，或者说这一行的这个代数余子式呢，与这个元素没有关系，那与什么有关呢？是与这个aij。它的位置有关，仅与位置有关，对吧？与它的大小没有关系好了，

那也就是我们这个数是可以随便选的。如果说我们把这个数啊，给它随便改成k1，那就下面这个啊，改成k1。然后同样这个数我也可以随便换啊，换成k2k1k2都可以任意取的啊，取一些这个常数就行了。这样给它换成kn。那么，把这些数换完之后，那你说这些代数余子式会变吗？不会变对吧？因为你任何一个代数余子式，只要是第I行的都要划掉这一行，

对吧？划掉这一行，所以都要划掉这个k到kn的。所以当我们换成这个k1到k1的时候啊，那当然这个数就变成k1了呗，因为AI 1=k一是吧？AI 2=k二是不是啊？ain=kn啊？好，那么对应的只只是前面这个原数是要跟的啊？啊，这个这个位置上的数对应的对吧啊？这样是对应的啊？k1和k1对应啊k2和k2对应啊，这个kn和kn对应它们是数是对应的，

但是这个。是不变的。这个跟上面的这个按钮，我把它擦掉了，就不要它了，那么这个啊，跟下面的。啊，上下这个代数余子式是不变的。对吧，什么不变呢？就是aij啊aij是不变的。对不对？所以呢，下面这个式子也是成立的，

其实下面这个式子当然我们也可以按照啊，行列式的展开来理解。这个行列式这一行的元素换成了k1到kn，那当然我们按这一行展开的话，就是拿k1乘上划掉它所在的合合力。剩下的再乘上负一的角平相加，就是代数余子式，然后再加上k2乘上它的代数余子式，加上kn乘上它的代数余子式，所以这个等式成立。那么，既然这个等式成立，那么下面我问你这个a一一啊，不是a一一这个AI 1。加上AI 2。

看能不能把它写在下面。啊，写在下面，咱能写开了话，那么所以这个a一一+n又写a1了AI 1。di行a1也可以啊，加上AI 2一直加加到这个ain，你说这个应该等于什么？对吧，把它往从右往左看，你是k1倍的AI 1+k二倍的AI 2+kn倍的ain等于这个行列式。对不对？那现在我是直接写一倍的。这个AI 1+AI二+ain。那这个应该等于什么呢？

是不是应该等于这个di行全是一它的元素是要对应的是吧？元素要对应前面的系数吧？就是这个啊，这个k要对应这个系数。好，你的系数是k1到kn，那你就这个地方呃，就是k1到kn，那如果说现在全是一啊，全是一的话呢，就是这是一这是一。这是一其他行不变啊，我就不写了，其他行不变。啊，

那么所以这样的话呢，我们就得到了一个方法，就是求某一行的代数余子式之和。它的一个方法。那如果说这个地方让你求a一一，加上a一二呢？这个应该又等于什么？如果说啊，你求两个不求全部的了。只求a一一+a一二。那是不是？应该注意它的位置，这是a一一a一二是不是第一行？第一行只求前两个怎么办？这就前两个成本。

想一想，看看有没有不懂的同学啊，不懂没不明白的同学可以提问啊。就说一下你的问题。那是不是应该第一行的第一个位置上就是一啊，因为它的系数是一对吧？第二个位置是不是应该也是一，因为这个地方是一，其他都没有，没有不就应该是零吗？对吧，然后其他位置上的数抄下来就行了，其他数不要动啊。是不这个道理。啊，

这样的话呢，就求各种各样的某一行，或者是某一列，它的代数余子式之和的话啊，那就就把代数余子式前面的系数给它。给它对应到相应的位置上就可以了，对吧？就是这个k1到kn到底是什么？你看它是哪个？这个后面a的这个角标是什么这个位置？啊，这里呃，找到相应的位置啊I1就是第I行第一列I2 di行第二列in dni行dn列。啊，前面的系数对应起来。

好，那这样的话，那我们就可以得到这样一个计算行列式代数余子式之和的一个方法，这就是咱们考试填空题啊，这是二一年也是刚考过的。一道五分的填空题。那么，比如像这道题目的第一问，就可以直接考真题了啊，虽然说跟真题的这个数值不一样哈，但是方法是一模一样的。那么，这道题第一问，让你求这个a一一。加上a一二，

加上a一三，加上a一四。那么这个应该等于什么呢？这个是不是就是第一行的代数余子式之和？那就把这个行列式的第一行。都给它换成一对吧？我换个颜色写。第一行。全部换成一。那么，其他的元素抄下来是一一零负。啊负一三一三二负四负一。负三好来这个地方，能看懂的同学打个一我来看看啊，有没有不明白的，

因为每次讲到这儿，这个地方是一个最难的点，整个行列式里面那初学的时候，基础阶段的一个最难点。啊，看有没有不明白，不明白打二啊，然后咱们再解释一下，再琢磨琢磨。啊，不明白打二来不明白的同学可以说一下呃，我看看能不能说一下啊，这样吧。啊，不明白没关系啊，

我们再来说一下，因为每次到这都是难点啊，来咱们就看这个行列式。这个行列式，如果说我让你按第一行展开，这个展开定理明白了吗？打二的同学啊，展开定理首先得先懂啊。就是这样一个随便的一个行列式啊，我们随便拿某一行啊，比如我们拿第一行吧，重新写一个啊，如果说这个行列式按第一行展开。是不是应该是叫a一一？乘上大写意义。

加上a一二乘上大写a一二，一直加加到这个a1n乘上大写a1n。好了，这几个打二的同学来，这个式子能不能看懂？能看懂打个三我看一下。看不懂，打个四对吧？刚才打二的同学就行啊，其他同学不用管。打二这几个同学，这个能看懂，打三但看不懂，打四这就是按这一行展开的意思，好能看懂啊，

好了，只要这个能看懂，展开定理能懂。那么这个就好说来，那么再回过来，我们来看这个行列式啊，这个行列式你不要管前面啊，咱们先不道德理解咱们政治理解。这个行列式按第一行展开。按第一行展开，是不是应该是一？乘上dee。加上第二个一乘上a一二。再加上第三个一乘上a一三，再加上第四个一乘上a一四，

这个能看懂吧？这个行列式。能看懂吧？好了，那你看这个不就是a一一你的一×1×1×1乘不就相当不用不用乘嘛，对吧？这样的话呢，不就是a一一a一二a一三a一四加起来。所以我要想求a一一到a一四的和我，只要前面乘一就行了，对吧？那那乘一就是这个元素就是一就行了，其实就相当于按第一行展开。这样能看懂了吧？啊，

所以二而下面这个元素是怎么回事呢？下面的元素是必须跟这些元素一样，为什么？因为在原来的这个行列式里面，这个三的代数余子式先看余子式。三的余子式和你说这个新的行列式里面的一的余子式，你说一样不一样。相同不相同，你看一下。是不是相同的，因为我们下面这三行是抄下来的。是不是第一行换成一了，其他行没动，所以啊，这个三它对应的那个代数余子式是一一。

对吧，或者我们写m一一。这个m一一和这个m一一你说一样不一样。啊，一样的m一一样那a1就一样，同样道理负五的代数余子式是一样的，其他都一样是吧？好，所以你看啊，这个新的行列式。和原来的行列式，它们的代数第一行的代数余子式是相同的，对吧？第一行的代数余子式相同。所以那么新的行列式啊，

我展开得到的行列式代数余子式之和和原来行列式的代数余子式和是一样的。这样能看懂了吧？啊，那剩下的问题就是那我要不要说按第一行展开算呀？我千万不要按第一行展开算，你按第一行展开算，那不跟原来按第一行呃，直接算这个代数余子式一样的吗？对吧，那我应该怎么算呢？这个新的行列式啊，这个新的行列式我们就叫边化零。然后呢，就边展开。对吧，

因为它没有规律啊，就边画零边展开画，更多的零出来，它给它展开这个答案，口算一下是不是等于四啊？啊，能不能口算出来？稍微用心一点的，我觉得都能口算出来。怎么口算出来的啊？估计有同学这慌了啊，看不出来啊，这么大的行列式，怎么能口算呢？啊，

为什么能口算？因为前面已经算过了，对吧？在这儿呢。这啊，第11的第一题。啊，前面算过了啊。啊，所以所谓的口算啊，其实是这个。是记住答案了啊。实际上不能口算啊，这个必须得慢慢算啊，换一道题目就得慢慢算啊，

重新算啊，没有口算这一说啊。开玩笑的，口算，然后当然这个地方大家要注意啊。那这地方要注意啊，这个这个行列式跟这个行列式，这两个行列式还相等吗？就是原来的行列式和这个新的行列式还相等吗？它是不是就不相等了，对吧啊？因为你把数改了，你把数改了都不相等。那不相等，那你你怎么能随便改呢？

你要注意这道题有没有问行列式呢？对吧？他有没有问这个行列式d等于多少呢？没有啊。我们算的是这个行列式的对应的代数，余子式之和啊，并不关心原来行列式的大小。所以这道题你不用管啊，这个我换个数跟原来不相等了，这个想法是没有必要的是吧，因为我们不求行列式，只是求那个行列式的代数余子式，而代数余子式是要划掉这些数的。对吧，三负五二一是要划掉的，

跟它们没关系。懂了吧好，所以这样的话呢，这个呢就是五分啊，考试的刚考过的，咱们近四年的真题里面。啊新大纲里面考到的啊，那么咱们当然考试那道题啊，考的更有意思啊，等大家将来做真题就知道了啊，那道题目他给我们的这个d呢，他说d。是等于这一一零零一二四三一负一一一呃五二一三嘛，我随便写的啊。那问你这个行列式的，

它的那道题呢？就是填空题是a一一+a一二等于什么？你说这个等于什么？这是咱们二一年的真题啊，这个我只是说比的真题的形式写的，但数字不一定一样啊。留把这个真题留给你们，将来做练习啊，看看能不能到时候还能想到啊？有没有发现这个命题老师考的还挺有意思啊？哈，对吧？这个其实啊，他他很他故意来了一个灯下黑，因为咱们平时学的时候呢。

是要把这个元素你要换的，你要换成它前面的系数，那变成老师说你总是记得换啊是吧？你不是要换吗？我给你写好了，我就写了个一一零，你本来就应该把第一行换成一一零零，然后一下子有同学就慌了。对吧，这是不是一样啊？对呀，那就一样，你是不是就慌了呀？哎，不对呀，

我们平时都是要换的呀，这道题怎么不换呀？不会有坑吧？然后就开始想啊，瞎想乱想，然后呢？就就错了啊，就做不出来了啊，这个时间就过去了，这说明你没懂是吧，光记得换了它，实际上换呗，换完一样一样一样呗。那故意的啊，这是命题老师故意整你们是吧？

最后答案当然不能填d啊，是要把答案算出来的，算这行列式就好了。至于行列式是多少，我随便写的，到时候大家再自己来算啊。好，所以命题的时候可以稍微灵活一点，但是呢，你要理解本质了，它这个这种灵活度的小把戏对吧？呃，都是纸老虎啊。好，然后当然还有另外一种考法，

比如考这个。余子式之和。那如果说考余子式之和的话，怎么办呢？我们会的是代数余子式呀，我们并不会余子式呀。怎么办来着？划归啊，这节课充分体现了咱们数学学习的一个思想啊，就是划归啊，归类一定要学习，就是一定要归类八数。很多的题目要归类成一类问题啊，那么这个我们只要把它化成代数余子式不就行了，对吧？

那么，根据这个余子式和代数，余子式之间的关系。这个负一的角标相加啊，乘上余子式是代数余子式。那么，所以我们等号两边再给它乘以负一的角平相加。那么左边的话呢？这个地方就变成平方了，平方就没有了，对吧？那右边的话是不是就是负一的角b相加啊？让它暗一点。所以它呢，就可以转化成是负一的，

一+1次方。那么，把它口算出来是负一的平方，那就是a1。只要确定了第一个，那后面的就是一正一负一正一负啊，减去a二一，加上a三一要看清楚角标。啊，看清楚角标它是什么，这时候它还是行吗？这个减去这个a四一。它现在就不是行了是吧？所以咱们这个m一一。这个m或者我直接写啊，

对就写它嘛m一一+m二一+m三一+m四一。啊，它呢，就应该等于。a一一减去a二一加上a三一减去a四一，那这时候它是不是应该是列？它是不是第几列呀？第一列。那么，这时候是第一列，第一列元素是一负一，一负一，其他的元素要要给它原封不动的抄下来。那就是。负五啊，

看一下讲义里面的就不用来回划了，那就是负五一，然后呢三？负四，然后是二零一负一，然后是一。负五。三负三。就把原来的啊，剩下的二三四列抄下来。好，然后然后再往下啊，还是叫边化零。让它边展开啊。这个边画零边展开这道题等于多少啊？

电话里面打开能口算吗？不能口算啊，这道题的话呢，等于零啊，等于零，当然为什么等于零，因为提前算好了啊，为什么这么快是吧，因为提前。预习过了，你们预习了吗？没预习的话呢，课下把它算一遍啊呃，不要觉得把答案告诉你了，你就记下来啊，

一定要自己算一算好吧，看看这个结果为什么是零好吧，那该是零就是零，不是零就不是零。啊，它具体问题具体分析。好，那么这是？这个代数与指示啊，这种考法。那么然后咱们前面呢，还有一个推论。啊，还有个小结论。那么，

这个小结论的话呢？是这样啊，看他这么说的，说行列式的某一行的元素，然后呢，与另外一行的对应的代数，余子式的乘积。最后的答案就是零，那为什么是这样子呢？你看这个这个啊。它是这个。好，我看有同学说一复一复一按行写是不是也行不行啊？这个按行写是错的啊。如果说把它写成是一负一一负一，

然后其他行跳下来是错的，为什么？啊，咱们说这个代数余子式与什么有关？它是与位置有关的啊，与位置。有关因为你要划掉这个元素所在行列，剩下的与位置有关，与这个角标有关，你要看这个角标，这是一这是二一，所以是第二行第一列要写在第二行第一列的位置。看到了吗啊，所以必须要分行还是列不能写行，写行就是标就就精简错误了，

标准零分了是吧？与位置有关啊，只能是力，不能是行，好吧，然后回过来上面这个推论。这个推论的话呢，我们要求比如这个。这个的话要看角标啊，它呢应该等于。等于什么呢？它是di行的原数DJ行的代数余子式对吧？怎么看是j行呢？j1j2到jn这不就j行吗？所以那么这个行列式呃，

这个代数余子式之和应该等于什么？假设这个地方是DJ行，这个地方是di行，那么是不是应该把DJ行的元素啊？把DJ行的元素。换成AI 1。然后呢AI 2一直到这个ain呢？是不这样的。切换到ain，把DJ行的元素换成它，而这个行列式本身di行。不应该也是这个元素吗？所以这会出现什么？是不是就出现了两行元素相同吧？啊di行和DJ行的元素就相同了，

两行元素相同，这个行列式啊，不就直接等于零了吗？所以这样的话呢，这个某一行的元素和另外一行的代数余子式，如果说乘错行了。啊，这就是一个我们通俗的啊，咱们学生的说法叫乘错行了，对吧？不是专门的数学语言啊。乘错行了对吧？什么叫乘错行了这啊？第I行的元素乘到了另外一行的代数余子式上去了。但凡是乘错行的。

它都是这个等于零的，当然下面这个呢，那就是列。啊乘错力，这是第一列啊，这是第I列，第I列，第I列。然后呢d接列d接列那么d接列和di列的元素呢？就会相同。对吧，这样的话呢，一求结果也是零。好，那这是I和j不相等的时候，

如果说I和j相等呢？相等就没乘错啊，相等就没乘错，对吧？相等没乘错，你说是什么这个答案？如果说a=j的话，结果是什么？对吧，这个j呢？就是a这个j呢？就是a这个j就是a。那是什么？是不是应该就是行列式啊？不就应该等于这个a的行列式吗？

等于行列式d啊，用d来表示也可以用a的行列式来表示也可以啊a呢，是代表那个。数表就代表那个矩阵啊，当然矩阵的话是下节课要说的内容。对吧，那为啥aj还能相同啊？你看还是没明白啊，还是没有学懂是吧，因为我们要求的是。这一行的是第j行的代数，余子式代数，余子式。你要求地接行的代数余子式之和，是不是应该把地接行换成我们把它换个颜色吧？

你得换成这个前面的系数啊。换成这个AI 1啊啊AI 2啊，对吧？这个不是AI 2吗？这是AI嘛？你要换成它前面的系数嘛，跟下面那个下面这个这个题是一样的。只不过我们下面这个题呢，是全部换成了一啊，这个地方呢，是换成了这个，相当于是那个k1k2 kn。啊，就相当于这是k1k2的平。k1取AI 1k2取AI 2 kn取ain，

这样能懂吗？啊，它是要把di行换掉的啊DJ行换掉的啊DJ行，原来的要拿掉不要了，要换掉。换掉之后呢，和这个表达式相等，对吧？这样的话呢，它是两行元素相同，换完之后恰好两行元素相同。如果说不换的话，那当然是不相同的，那为什么要换？因为你要求的代数余子式之和啊，

用到的公式呢，就是前面这个。回头再把这个按第n行展开一下，看看。好吧。好，这是这个推论啊，了解一下就行了，那个不重要啊。然后最后一个了解性的呃，这个知识点叫范德蒙行列式，这个不是考试的重点，因为它没什么可考的点啊，最多就是比着葫芦画瓢，考一个差不多的行列式。

那么这个我们也不给大家做这个推导啊，和这个证明了，证明的话，通过数学归纳法就很容易去证明它，你可以先证明一个这个三月三阶的啊，然后呢，以此类推啊，假设k阶成立则k减呃k+1阶也成立。所以维纳法则n阶也成立，不需要去证明啊，因为考试不考这个证明那么泛那么行列式的话呢，它是这种形式啊。呃，第一行全是一，第二行的话呢是x1到xn就是一堆数。

第三行呢，是第二行的平方，第四行呢，是三次方，一直到最后一行呢，是n- 1次方，也就是说，只要我们第二行元素确定了。其他行元素就全确定了。第一行可以看成零次方，这个看成一次方，二次方，三次方，一直到n- 1次方。它的幂是零次幂，

任何数的零次幂都是一对吧啊，所以我们可以看到这个形状啊，那么这种特殊的这个行列式给它称之为叫范德姆行列式。啊，那么这个泛动波行列式的结果呢？比较复杂。这个汉德姆好力士呢？它的结果是等于。拿第二行这个关键元素，关键行拿最后面的数减去前面的每一个数。那就是拿xn-x一。乘上xn-x二一直乘乘到xn-xn- 1，就把xn前面的数全部减一遍。这还没完啊，还得拿倒数第二个数xn- 1把，

它前面的数全部减一遍，跟大小没关，只跟位置有关。把它前面的数减一遍，减x1。减x2一直xn-1-xn-2啊，以此类推拿倒数第二个数第三个数啊，一直往前减。最后一直减到拿x2-x一好，那么这个呢？就是范德蒙行列式的结果。很复杂，很复杂的话呢，把它写成这种连乘符号啊，它的很多项相乘嘛，

这个很多项呢，都有规律的。它都是x一个角标减去x另外一个角标对吧？所以我就拿xj-xi这两个角标不一样。对不对？这两个角标有什么关系呢？这两个角标是不是这个j前面这个数一定要比后面那个数要大？是不是所以j呢？要大于a，然后呢？这个前面这个数最大取几呢啊？最大是小于等于n的，对吧？它nn- 1。啊，

最少也要取到二，然后呢？这个后面这个数呢啊，是大于等于一的，所以就是一小于等于ii和j呢I要小于j，然后呢j呢？最大可以取n。把这样的所有的项给它乘到一起，这个连乘符号代表的就是后面这个意思。啊，当然，这个连乘符号呢？大家要稍微啊理解理解啊，课下再琢磨琢磨这个呃怎么写的后面这个？啊，

当然，我们在写的时候啊，就是如果说直接给你这个记号，我怎么能写成后面这个形式呢？那我们就啊给它取这个j不是小于等于a吗？j小于等于n，我们先让j先等于n。啊j=n的时候啊，也就是j=n时，它是连乘是I大于等于一小于n。是吧，然后这个xn-n呢？减去xi。这还没完呀，还要再乘上j不是还可以小于n吗？

那就是取n- 1那取n- 1时，那就是I大于等于一小于n- 1。然后拿n-1-xi，然后要把这些项乘起来，以此类推到j最小取到二啊，因为它不会取到一的，取到一呢就不会比i小了。啊，那就不会比i大了啊，然后呢？这个呢？就是i就大于等于一小于二那x2-xi。但是这时候只剩下x1了h1了，只能取一对吧，所以这样的话呢，

就所有项乘起来啊，就是这个意思。好吧，这个连乘符号的意思啊好。啊，当然，咱们具体的数值的数值型的话呢，倒不需要关心这个记号，因为你要把答案算出来，像下面这个例13啊，这个咱们在另外还得再强调一下。这个泛能不能行列式啊？它不一定按行啊，只按行写，它还可以按列写。

按列写不就转置一下吗？这个转置行列式大小是不是不变呀？啊，所以范德蒙行列式，它既可以按行写，也可以按列写，按列写的话呢，就是第一列全是一。第二列是关键的列，第三列是前面的平方，后面是三次方，四次方，五次方啊，什么时候考虑范怎么行列式呢？就是当出现啊。

啊，连续的幂次的时候，你看这不就是连续的幂次吗？只不过你看这个是第一行，全是一第二行，如果说把它看成一般数的话。第三行是上面的平方吗？好像不是对吧，这零次方一次方这个就不是二次方了，所以按行看不对，按列看好像是对的。按列看的话呢，这是一次方二次方三次方四次方嘛，这不就连续幂次吗？对吧？

那么但是呢？但是它也不叫范德蒙行列式。因为它没有一。少了个一。少个一怎么办呢？那这个地方就有两个方法啊，方法一又能学一个行列式的计算方法了解就行了，但是用的不多啊，用的多的都已经给大家举了很多例子了。那么用的少的简单提一下，就叫加编法。什么叫加编法呢？因为这个它缺了个这个一对吧？缺了个一一一，其他的。

啊，现在我再抄一遍吧，它是一二三四一的平方，二的平方，三的平方，四的平方。然后一二的三次，方三的三次，方四的三次方，然后一二的四次，方三的四次方。这个知道吗好？我们给它加个一加个一的话呢，这就是范德姆行列式的形式了，但是这就不叫行列式了啊，

光加一个列不行。还得再加一个行啊，那么再加一行，这一行加什么呢？这一行是固定的，这一行只能加一零零零。那么，加这样一个紫色的这个边。加了这个一行一列之后，它依然还是行列式，这个行列式和原来的行列式是相等的，为什么？我多加了这么多数，多加了一行一列，为什么和原来相等？

大家先思考一下这个问题。它为什么相等啊？这个边为什么是可以白加的，对吧？原因是什么原因？是不是可以按第一行展开啊？因为你这个地方加的是一零零零啊。对吧，画零展开对画零展开，它已经画好了，对吧，加好了边了，按第一行一展开，是不是就是一乘上划掉它所在行列？也就说这个地方你不管加什么？

它都是要划掉的。对吧，对一×a一一很好啊，它是不是就是要划掉的？要划掉的是不是就是原来的啊？划掉剩下的是不是就原来的？所以这个就叫加宾法。加边之后，跟原来的行列式相等，也就是意味着这一块元素。根据你的需要，可以随便加。这一块儿是不能动的啊，必须得是一零零零，当然了，

那我也有可能是这个数字的是一零零零。啊，是固定的，然后这一行是随便加的，有需要的情况下你都可以加，那么我们什么时候加呢？就是如果说下面。这些行的元素啊，都比较有规律啊，跟某些元素呢都有关系啊，比如这个地方是什么x1？加ax 2到xn，这是x1x 2+a啊，然后呢？到xn。

然后呢x1到xn+a，你看这些元素呢，都跟谁有关呢？都跟x1到xn有关。对吧，那都跟那有关，我如果说前面第一行有x1x2到xn的话，我乘以负一往下加，是不是就把下面的所有数全消掉了？就只剩下a了。是不是所以就是什么时候加边呢？当我需要啊，有这么一行啊，就特别方便化简，后面的时候我就可以考虑加边。

啊，那当然，加的时候这地方也跟着变的，对吧？你乘以负一往下加，这就全变成负一了，全变负一之后呢？这个就变成爪形了，或者其他的具体问题解决分析。啊，当然，咱们考研的话呢，用的并不多啊，所以这个不做专门的练习，了解一下这个加宾法就可以了啊。

用的不多啊，但是一个比较有意思的方法，但是它不是特别的呃，好用啊，就是它必须得你加上之后有规律。啊，加完之后没规律给自己找麻烦，对吧？你还得再展开展开又回去了啊，所以了解就行了。而我们这个呢，直接加完之后，实际上还是蛮有规律的，它是不是可以看成直接看成发动摩擦力是？啊，

我们可以直接看这方那么好列式，原因就是那么这一列元素的第一列是零次幂。第二列一次幂，第三列平方二次幂，三次幂，四次幂，它不就是连续幂次吗？对吧，它就是标准的啊，范德摩行列式转置之后的也叫范德摩行列式啊，只是列的形式，所以呢，这个行列式呢，就是拿。最后面的数最下面的数，

把前面的数全部减一遍就可以了，还有四减零。四减一，四减二，四减三，然后呢？再拿三减零，三减一，三减二。然后二减零，这都是乘乘起来啊，然后一行写不开了，换一行，然后呢二减一。然后再乘上一减零。

好把这个数算一算，这个数算出来应该是288。啊，这个计算当然你可以这样去算就行了。好吧，那么这是一个方法，当然这道题呢？还有一个方法二啊，除了加宾。啊，方法一就是为了学习一个加编法嗯，除了这个加编呢，还刚才我看有同学提到了提供因子啊，是很好的思路。我们把第一行提个一出来，

第二行提个二出来，第三行提个三，第四行提个四，你这样的话呢，这行提完之后不全是一了吗？对吧，这一列就全是一了，对吧，所以第一行提个一，那么这个原式，那就应该等于是呃，提出四的阶乘。然后剩下的。啊，这个剩下的就是一一一，

然后呢？是一二三四。一二的平方，三的平方，四的平方啊，一二的三次方，三的三次方，四的三次方。啊，这样的话呢，他就是一个放大波行列式。这个呢，就是它的第二列元素。对吧，好这样的话呢啊，

而且是连续幂次啊，不缺幂次了，这样直接等于四的阶乘乘以。那四减一，四减二，四减三，然后呢？再乘上这个三减一，三减二。再乘上二减一。好，这样乘完之后肯定跟上面答案一样，288实际上这一串儿呢，就是这里。然后四个阶层呢，

就是这里，所以答案是一样的，对吧？好这个呢，就是去凑范德蒙行列式，什么时候考虑范德蒙行列式，那就是它得有连续命次。啊，连续的幂次的时候才考虑，没有连续的幂次的，那就不用考虑了，这就是常规的，咱们考泛模行列式考的比较少啊，就是不常见，可能没准学的学生你都忘了啊，

忘了就忘了啊，以后再复习。啊，然后我们需要重点复习的是学习的是前面内容，所以我们把咱们整个第一章呃，基础阶段需要大家掌握的内容做一个。题型通法的总结啊，那么咱们主要要求大家掌握的，你只要学完整个，咱们这两节课之后，后面要做练习了，慢慢的去练练什么，第一个叫普通的。这种数字型行列式计算，什么叫普通呢？

普通就是没有规律啊，这是一般的没有规律的，没有规律的，那么咱们现在学到的一个方法。就是他的通法啊，就所有的没有规律的啊。就叫边化零边展开，边化零边展开，知道什么意思吧？就是把某一行或者把某一列的元素尽可能多的化成零来。啊，画出零来，剩下一个不为零的展开，展开之后降阶，降阶之后再画零，

再展开，再画零，再展开就行了，这是一个通法啊，没有规律的。那么，除了这个以外的话呢，还有一个就是分块矩阵的行列式。啊，分块矩阵行列式也叫直接分块行列式就行了，分块行列式啊，是不是有这个a0，然后什么这个CD这个？对吧a0 cb啊，它呢是等于a的行列式，

乘上b的行列式，然后这个负对角线上的呢？这个a诶，应该是0a，然后是b。c那么这个行列式呢啊，你不要忘了是什么得得这样写啊，0a它是m阶的。啊m行m列，然后这个b呢是n行n列c对吧？好，那么它呢是等于负一的。这个m×n，然后a的行列式乘上b的行列式。好，

然后第三的话，这是我们后面章节要讲到的，就是跟行列式有关的，其实后面的内容会呃，很多地方都要用到行列式，但是咱们基础阶段呢，现在先。呃，不管后面的内容，等以后呢，你回头复习的时候就可以看一看什么叫特征值啊，这个是很重要的考试真题也是。呃，重点考察的，然后决定了质方程组执行了后面的学。

然后第二个呢，就是特殊的行列式，咱们这节课学呃，这节课加上上节课两节课所学的所有的特殊行列式有哪些，咱们上节课学到的一个很重要的行列式叫行和相等加列列和相等加行。这个在真题里面比较常见，哪怕单独考察或者是在具体的行列式计算过程中，它都可能出现这种行列式有规律，它才常考啊，那种没有规律的。就是完全就是考你的这个嗯，计算的嗯，这个考的少啊，那但也会考对吧，就像代数余子之和，

你最后肯定要算好，这是啊，你跟他拼了就行了，对吧，那个没有任何技巧。这种有规律的，你不按规律去算呃，那么可能算的就慢啊，你按规律去算啊，按这个结论去算，那么就好，就算的就快啊，行和相等价力列和相等价合。啊，转型行列式的话呢，

是用中间的转销旁边的转化成三角形行列式了解即可，然后呢，模型行列式是重点是可以直接考填空题五分的。啊，那么那个通法呢？就是按横直接展开，那么其他的方法呢？就是呃，具体的题目具体分析，还有一些技巧性的解法。但是不那么重要啊，优先先把通法掌握了，其实就可以做真题了啊，然后剩下的问题就是熟练就行了，然后慢慢的等你学的越来越熟练了，

你再学技巧性的东西，技巧性的东西一定要在建立在。你真的懂了一些基本知识，以后啊，不要一上来就是觉得哎，这个东西快，那个东西好，我就先学那个，其实未必啊，动快的好的，它通用啊，不通用的话，其实作用就不大了。啊，再换道题又得你重新再去想新的方法，

你又不会了是吧？然后这个缩形行列式的话呢？了解啊，展开的话呢，是可以得到地球关系的，这个地球关系的话呢，咱们。强化阶段嗯，再去讲解嗯，因为他考的少了，以前是考大题的，现在的话呢，不可能考大题了，因为大题只有一道题，以前是两道题啊，

其中一道题是可以考行列式的。大题的啊，现在的话呢，就不考了。所以我们到强化阶段的话呢，了解一下这个啊，展开的地理关系的加编法的话呢，了解啊，没有画重点符号的就是了解就可以了。然后第三的话呢，代数余子式之和呢，是考试真题啊，这是新大纲之后呢，已经也考过了啊，它完全可以重新继续再接着考。

那么，我们只需要用系数啊，换成对应的啊，这个行和力替换一下就好了，一定是推因替换的行和力。然后呢？还有一个是伴随矩阵啊，伴随矩阵的话呢，咱们下节课呃，应该可能会讲到这部分啊啊，这个下节课再说啊，因为跟代数与指示有关。然后范德姆行列式的话呢，存了解啊，凑范德姆行列式啊，

然后求解就可以了。那么，对于咱们考试来说，需要大家掌握的行列式的内容就这些啊，你看看现在画了五角星的这些东西还有哪些不熟练的？啊，那么呃，你自己呢？就在呃，一个是先把咱们的例题要先复习一遍啊，讲义笔记都要复习一遍，从头到尾自己把题目呢全部要写一遍。然后剩下的就是再把咱们的对应的练习啊，回到上线之后呃，这节课讲完之后题目就会稍微多一点了，

上节课的题目其实并不多，对吧，毕竟只讲了概念和性质啊。就可以适当的练一练了啊，然后这个泛那么好呢，是一般都要加边嘛，这个你看这个就没有学懂啊，没有听明白什么时候加边呢，就是他缺那个边我才加。那泛同胞行列式，如果说不缺边，比如啊，比如这样一道题目。比如什么呢？a abc。

a呃ABC。然后呢？这个a方b方c方唉，你看这不就有连续幂次了是吧？就可以考虑换等冒号行列式了吧？然后下面是b+c，然后呢a+CA+b，那么这个行列式？怎么算来？你们思考一下对吧？剩下的时间就是我们啊，复习复习，然后啊，一会儿的话呢，我们再补充一个大家了解性的知识点，

叫拉普拉斯展开定理。啊拉布拉斯展开定理考研并不要求，但是呢，因为难免你在别的地方做练习的时候啊，可能会啊，看到其他同学提到是吧？啊，人家都学了啊，我们没学，那这个是不是呃不全呀啊？其实是没有必要学的，但是为了满足你们的好奇心呢，我们还是稍微讲一讲，拓展一下。但是也许可能学完就就忘了，

忘了就忘了啊，稍微了解一下。这个怎么做啊？这个是不是要我们怎么看出来的？算农行率是呢啊，因为哦，这个地方有个连续幂次是吧？但是呢，缺什么呢？缺一。缺一怎么办呢？唉，我把这行加下来。对吧，第一行加到第三行，

你看它正好是一样的，对吧？一样的都一样，提供因子a+b+c提出来。填完之后呢，第三行是一一一，第一行ABC，第二行a方b方c方。然后呢，再给它画成标准形式，然后再解啊，一定要先画成标准形式，那需要把第三行跟前面逐行交换两次。对吧，负一的平方a+b+c，

然后呢，就是一一一ABC，然后呢a方。b方c方特别就促出发动某行列式的形式，所以这样的话呢，就可以计算出来了，那么这个答案就应该等于是a+b+c。啊，写在这还不行，写不开是吧？它它这个结果比较复杂啊，它是c-b。c-a啊，然后呢？b-a明白了吧，

他不是说啊，那我们讲的例题是加边那，然后我就加边，那你这是没学到本质啊。放那么好电视的本质是什么？就要你只要凑出形式来，你别管加编还是什么，其他的方法我只要能凑出来就行了，这是你要学的点，想办法去凑。是吧啊，那那个模型行列式怎么办？那我只要看出来它是模型行列式啊化，或者有些题目呢，是可以把它转化成模型行列式啊，

一化解就变成模型行列式了。好，那我就按模型行列式的。展开方法去做对吧？那如果说一看唉，它是行和相等，那好行和相等，或者列和相等，我就按行和相等列和相等的方法去做。就它属于哪一种，你要哪一种啊，而不是仅仅局限于这一道题，咱们讲过的每一道题的具体方法，也许它可能在别的题目里面并不是这么做。但是你要看这它属于哪种考点，

哪种类型，那么这地方给大家总结的这种方法一定要看懂啊，这个总结是很重要的啊，实际上你们以后做题呢，这个总结这一块就是你们的指导方法。所有的新题都要想到，想把它想到咱们这个总结的方法里面，看看它属于哪一种？啊，剩下的就是按照这种去求解。好，然后最后一点点的时间，我们补充一下这个拉普拉斯啊。啊，这个拉普拉斯展开定理。

好吧，了解一下啊，纯了解拉普拉斯展开。定理这个呢，是了解属于课外的知识啊，考研呢，并不要求。当然，你如果说会了的话呢呃，可以。稍微啊，对吧？能做个别的题目啊，快一点，所谓拉布拉斯展开定理呢，

就是咱们前面学的是按某一行某一列的，展开是按一行一列。那其实我们还可以按两行两列，三行三列啊，就是可以同时按多行多列展开。那么在这里面呢，用到了几个概念，首先第一啊就是。它的一个子呃，这个行列式里面的一个子，这个子式啊，唉，怎么都没了？好，这个行列式中的一个子式啊，

这个子式我们记做sk吧？就这个k阶子式。啊，这个sk啊对。那么k阶子式啊sk它的意思呢？就是指的啊，这个行列式中。啊，你随便。取几行啊，随便取几列，它不一定挨着啊，这样的话呢，它是不是这些位置上？啊，

就有一些树。那么，这些数形成一个新的行列式，就叫啊k阶子式啊。那么，这样的话呢？你比如二阶子式，那就有很多个了，对吧？你随便取两行，随便取两列啊，那么就叫k阶。子式那叫我们给它记住sk啊。然后第二。就是这个子式的余子式。

余子式啊，这个余子式，比如我们记住MK。mk，什么意思呢？就是划掉这些元素，剩下的就是余下的呗。剩下的重新再写一个行列式。啊，好，那么这个就是子式和余子式。然后第三。叫代数。余子式。这种k行k列的代数余子式是什么呢？

就是负一的，你这个子是所有的航标之和啊。航标。因为比如这个地方，这第一行，这第三行，那就一+3啊，把这个行标之和。负一的航标之和啊，因为我们举个例子，你可能更容易理解航标。之和，然后再加上这个列标之和，你肯定是取的某一行，某些行，

某些列嘛，对吧？行标之和加上列标之和。啊，比如这是假设一三啊，这地方假设是二五啊啊，第二列第五列那就是一加三二。二+5好吧。所有的行所有列，如果说是三行三列呢？假设这个地方再来一行，再来一列，这地方是个二，这地方是个二三四好，那么这就是负一的航标之和一+2+3。

列标之和二+3+4啊具具体问题具体分析好吧。啊。诶，我应该都插错了一条线。啊好。行了啊，那么负一的行标之和列标之和再乘上那个余子式。那么，这样的话呢？从而可以得到它的这个行列式。咱们这个行列式d啊，这个d等于它这个行列式d等于什么呢啊？那就是元素所有的余子式。乘上代数余子式啊，全部相加啊，

这个sigma是sk啊，你这某一行，你这这是某一行的代数余子式呃，这个某一行的余子式乘上它的代数余子式。某些行也不能叫某一行啊。这个是sk，是指示乘上它的代数余子式，这个呢，给它记做AK。好吧，这样的话呢，方便写AK，然后呢，乘上这个AK。就是按。

某行。某些行啊。或者是某些力啊。我们举个例子来说一下。那么全部加和就行了。那么，比如，比如写一个。四阶的就是。四节里面其中。比较简单的一个例子啊，这个a零零b。c零零d。然后呢，是0 AB零零CD 0，

这就前面那道题目吧。对吧，好那么这道题目，当然我们是可以给它先换成咱们这种啊，分块行列式的形式，那么那个是特殊的拉普拉斯。展开定理，那么我们也可以啊，不用换，直接展怎么直接展呢？就是我们随便取啊，两行两这个它的所有的代数余子式或者是。呃，三行都行，那当然，

这个因为行数本本来就有限，你取三行的意义就不大了，取三行跟取一行没有区别，对吧？然后我们就取两行。我们就随便取啊，比如二三行。我们把二三行里面的所有的啊，这个列啊，二三行里面所有的列好，那么二三行的。这个第一列和第二列啊，一二列是0a0c对吧好？这是去年前两列。然后呢，

乘上它的代数，余子式负一的，它是第几行第几列呢？行角所有的行标，所有的行标是二+3，第二行第三列呃，第二行第三行。再加上所有的列角标是第一列，第二列，然后再乘上划掉它所在行列，剩下的啊，剩下的剩下谁呀0b？0d能看出来吧。好，这样的话呢，

其实这个是不用算的啊，因为是有两个零这个行列式等于零了零乘最高速度是零，实际上是不用算的。然后呢？那么一三啊，那么再加上这个是呃第二二三行行不动啊？选定行不动之后，列是所有的列啊，都要把它这个指示都得啊组合一遍，那就是第一列第三列啊，那就是零零。然后呢？是BD。然后再乘上它是负一的行标呢，还是二+3列标呢？

是一+3，然后再乘上划掉它所在行列，剩下的啊。它就是0b，然后呢0d。这样当然，这个也不需要算，因为是零，然后同理这个也不需要算，因为你第一个第一列选的这个数呢，就已经是零了，对吧？只不过呢，我们先把它写下来啊，这些都是零。

啊，加上它是不用算的，所以最后你会发现呢，它需要算的呢，只有一个。啊，就很快就把它算出来了，它是负一的第二行第三列，加上第一行呃，那不对，第二行第三行。然后呢，第一列第四列行标之和列标之和再乘上滑掉它所在行列，剩下的这时候剩下的正好是谁呀？啊，

剩下就就是全是零了，对吧？那更不需要算。好，这是呃按一第一列取对应的所有的列啊都要算，然后再按第二列取。第二列是AC，是不是那么二三二三的话是a cbd？乘上负一的第二行，第三行，再加上它是第二列，第三列，它再乘上划掉它所在行列，剩下的是AB。CD啊，

然后呢？再加再加的话呢是二四列。这是AC，然后是零零对吧？其实这个也就不需要算了吧，因为它也是零了前面。然后呢？是第二列，第四列乘上划掉它所在行列，剩下的那就是a0，那么c0。然后再接着往后挪啊，那就三四。第三列，第四列，

第三列是BD，第四列零零乘上负一的二+3。乘上三+4第三列标之和对吧，然后乘上括号，它所行列，剩下的a0。c0好。对应CD好，这样的话呢，就把这一行我们随便取了两行啊，然后呢，所有的对应的啊。这个这一行两行里面的所有的余子式，所有的子式啊，两行里面的所有子式就是所有的列随便组合，

从第一列开始，一二一三一四二三。三二四三四那我们全部组合起来，那显然呢，就是四列里面要去两列c四二，一共有六列对吧？一二三四五六。所以有六个组合好，这样的话呢，是写在这c四二，那么把这样话的所有项加起来，跟原来的行列式一定是相等的。那么呃，他呢？这个显然是什么时候好用啊啊？

对于咱们这个题目很明显，当我选这两行的时候。只能取二三列。这个子式不为零，其他的子式全为零，能看出来吧？只有二三列，不为零，其他的你比如什么一二一三一四啊，然后呢二四三四？只要有一和四的啊，全都是行列式为零，所以只有这一项，这个不为零。好，

只有这个不为零，所以它就直接按这个地方展开，加乘上负一的航标之和加列标之和，再乘上余下的，这就是答案。直接就能等于啊，前面是abcad-bc，后面也是ad-bc，然后负一的偶数幂平方。啊，然后其他全是零啊，所以这样的话呢，就可以直接得到答案，看懂了吧？了解即可啊，

就是你听过了啊，没听懂关系都不大啊，因为考试用不到啊呃，只是这道题呢可以用。那我如果说这个方法确实还是不是特别懂，不懂就不懂，然后呢，你就只需要按照给它换成那个零给它归堆儿啊，换成那个三。那个分块行列式的形式就可以了，能明白吧？这块内容不作为一个必须要学的，只不过呢，别人提到了你，你有点印象啊，

然后呢呃，不会就不会考试用不到的啊。好属于呃课外内容叫拉普拉斯展开呃，只不过前面我写的这个地方，大家是我是通俗的写法啊，没有按它标准的那个写法。呃，我不妨在笔记里面给大家写成标准的写法啊，因为这个sigma加和都没有写，从哪加到哪，对吧？那是怎么加呢？一定注意是随便取定行以后。对应的这一行里面的所有的啊，行里面的所有的子式。

乘代数余子式啊，你如果说我取一二行，那就把一二行里面的所有的余子式。乘以代数余子式，如果说取一三行，一四行都可以啊。只不过呢，这个他取的时候呢，就比较复杂。按行和按某些行，我就列就不写了，其实一般都是按行啊。好，这个有没有听懂的？希望你们有听懂的，

听不懂也没关系啊。它比较复杂一点，就是按两行两列展开，三行三列展开啊，好吧，了解即可。行了，这样的话呢，咱们这个行列式的重要内容的话呢，就前面这些啊，一会就忘了，忘了就忘了，没关系啊，考试不考啊，只不过就是你们在讨论的时候，

也许可能会有同学提到。到时候啊，不用管就行了好吧嗯，好行了，那咱们这一个内容就这么多了啊好吧呃，剩下的时间呢，大家就可以自己把首先把例题。要从头到尾算一遍，然后啊，再把这个课后练习，等上线之后明天呢再做一做好吧，然后手边的话，如果说有一些行列式的相关的。这个题题目的话，当然也可以做一做啊，

不过行列式的题啊，肯定少啊，为什么因为咱们历年真题单独考察的题目？都比较少，都是和后面的结合，也就是后面我们在学习的时候还是不断的算行列式，也就是行列式，你后面要不断的去练习的啊，其他的题目还要算行列式。啊，求什么逆矩阵可逆？是否不可逆的啊？我们都要算好律师啊，先学会方法啊，把例题弄懂题少，

但是把方法先弄懂，然后呢，再练熟练度，慢慢的去。做呃，到后面学到后面内容的时候再立啊好吧，行了，那咱们这节课内容就讲这么多了好吧，剩下时间大家自己去。去消化消化啊，理解理解好吧，那我们今天内容就这么多啊，然后前面还有个同学一个问题，把这个问题回答一下就结束了啊。啊例13为什么用加编法啊？

回过来看一下。这个历史上为什么用加编法呢？因为它可以加编，因为它缺了个一对吧？缺了个一的话呢，然后这个地方呢，哎，我给它补上一零零是固定的啊，这样的话呢，他恰好是一个范德姆好律师，他缺第一行缺第一列的时候就可以加边。对吧，缺第一行也行，缺第一列也行，可以给它加，

所以可以用加边法，对吧啊，那它恰好能用就能用呗，那那换一道题啊。啊，它有些还不能用了，比如换一什么呢？比如这个地方是一二三啊，不是这地方是一一。一一好就假设就是这个。假设就这个就这个的话，这个行列式它就不能加边了，它缺的是什么？它缺的是这个。中间的啊，

他缺的这时候是。这个。这时候他缺的是中间的这个一。二三四要加的话，得加在这儿加在这儿的话呢，但是你这个边啊，一零零零这样加是不行的。对吧呃，你得加这个零一零零零一零零的话就不对了，对吧？所以这个呢，就不能只加了啊，那就别的方法了啊。啊，当然比复比较复杂了啊，

然后没有二的一次方什么叫没有二的一次方呢？你看这地方全是一对吧？这个不就是二的一次方吗？零的一次方啊，一的一次方啊，零的一次方一的一次方二的一次方三的一次方啊，然后后面这个的话呢？这不就是它全部是平方零的，平方一的，平方二的，平方三的，平方四的，平方零的，三次方一的，三次方，

对吧？零的四次方一的，四次方。这不正好吗？对吧？全都是这一列的，后面的连续名词对吧？是零次幂，一次幂，二次幂，三次幂，四次幂。它的密次。看明白了吗？嗯，

好了，看懂了就行了，行了，那我们今天内容就这么多，以前面的讲解为主啊，后面的内容都是了解性的啊，拓展性的。呃，这个不作为重点啊，了解一下就可以了啊，不会做没关系啊，然后复习的话呢，这个题型通法的内容还是要多琢磨琢磨，看看这几个字啊，这几行字都在说什么？

都是很重要的好吧。行，那我们今天内容就先到这了，好吧，时间也挺长了，超了半小时了啊，内容稍微说的详细了一点啊。好，今天内容就先到这啊呃，下节课内容大家尽量预习一下啊，下节课可能会稍微呃，慢慢的开始难度上来一点了，因为涉及到矩阵这个概念了啊，矩阵的结论呢会比较多。不过下节课还好啊，

下节课不算特别复杂，再下节课第四节课就真正的就难起来了啊，当然也不至于很难，但是至少先打个预防针，你们先。预习预习好吧嗯，好了，那我们这一课内容就先到这。

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