高数基础08

罗泽兵 · 发表于 2024-4-3 06:39:58

各位同学大家好，今天是我们的第八次课，那么今天呢？要开始讲第三章。在第二章里边，我们学了导数和微分的概念，我们也算了很多导数和微分，那自然又问。导数到底有什么用？那我们这一章呢，主要内容就是微分中值定理及其导数的应用。就是用导数来研究函数。那大家想你要用导数来研究函数，首当其冲的一个问题是谁？你得把它两个联系起来。

谁能够把导数和函数联系起来？我们这一部分要把讲的微分终值定理。它的伟大意义就是给我们建立导数和函数的关系。然后这个关系建立起来以后，然后为我们用导数研究函数就奠定了一个理论基础。然后我们借助于这样一个理论基础，对函数的一系列形态，比如说单调性，比如说凹凸性，极值凹向拐点等等。做进一步的研究，所以我们整个这一章内容啊，两大部分。第一个部分就是建立导数函，函数联系的一系列的微分终值定理。

第二部分就是用导数来研究函数，叫导数的应用。围绕这一章，我们这个地方题目主要应该是这样几类问题，一类就是求极限。那么，另外一类呢？就函数的极值，最值曲线的凹向拐点。还有一个就是渐近线，在我们大学呢，渐近线考的不多，但是考研卷子很喜欢考渐近线。第四就是方程的根，第五不等式的证明，

第六微分终止定理的证明题。注意这个地方呢，前面这些题应该还是基本题，这个呢应该是难题，应该是难点，作为我们基础班，我们只是难点这地方一些基本的东西，做一些铺垫。那这些东西应该主要还是强化班来突破，所以我们基础班的话，重点还是前面这些问题。这就是这一章的主要内容和常考的题型，大家先有个宏观的了解。下面呢，我们就来看具体内容。

那这个具体内容里边第一部分微分终止定理，我们说它的伟大意义就是建立函数和导数的联系。首先，一个基本结论叫飞马引力。非网引理是这样讲的，如果这个函数在这点可导，这是一个条件。那么另外呢，在这一点又取得极值。那么，这点导数一定等于零。这个从几何上看很明显啊，大家看这个函数在这一点可导。在这点又取得几值，比如说取得几大值，

那么这个可导，它就有切线，这点就是几何上看。一定就是水平的切线，那水平的切线就是这点导数等于零。如果这一点可导，又取得极小值，那这一点导数也一定等于零嗯，所以这个可导函数如果这一点注意是两个要求，一个是要。可导一个是取得极值。那这两个加起来就推出这点导数，一定等于谁啊？等于零。那这个地方特别要强调。

第一个条件不能去掉啊，就是取得极值点导数是不是一定等于零，当然不能，但比如说x绝对值。它在零点前的基值，它在零点导数等于零吗？它就没有，所以这个飞马引里。它实际上是可导函数取得极值的一个必要条件。有了这个飞马，赢了以后，我们立马就得到谁啊？得到一个叫罗尔定律。那罗尔定律呢？是这样子，

它是三个条件，他说f在B区连续开区可导。两个端点值相等。中间呢，至少有一点导数等于零。这个罗尔定律呢，三个条件，实际上这个结论从几何上看的话，应该是很明显的一个结论。为什么呢？大家看你看它在这个AB区间上。B区间是连取的，开区间是可导，另外呢，两点的函数值是相等的。

啊，这两点值相等。那那大家注意你这个y=fx是一条连续曲线。那么这个呢？要么？那就是一种极端状态，那就是一条水平线，每一点导数都等于零，要么你不管这点往上走还是往下走，你都得回到这来。你比如说你往上走，那你这个地方最后得回到这地方来。那么，大家看这样的话，你中间就会出现这种极大或者极小，

那就会导致中间一定也有导数等于零。的点，所以呢，这个有了飞马引理以后，摩尔定理的证明也就变得简单了。实际上，这个证明的时候就分两种，那么一种呢？这个因为它在这个绝缘上连续。一定有最大值和最小值。那么一种情况呢，就是最大值跟最小值相等。那就恒等于常数，那这个时候呢，它的在这个区间每一点导数都等于零。

那么，还有一种情况呢？那就这两个不相等，就是小m不等于大m。大家注意两个端点是一样的。这两个又不相等的话，那它的最大值或者最小值至少有一个在内部渠道。内部渠道那那点一定是极值，那点导数不是就等于零了。所以有了菲马定理，罗尔定理证明就是分这两种情况，很快可以证啊。这就是罗尔定理以及罗尔定理的几何意义。但是对罗尔定理来讲。这个条件就是两断点值相等，

这个条件是一个比较特殊的要求。但是大家看，如果把这个条件拿掉。这个阶段当然不一定对了，你看如果把这个条件拿掉，这是a，这是b。那好了，没有两端点值相等，能不能得到至少一点导数等于零？那当然不一定，那我f可以是这个呀。没有一点导数等于零。当然，这是个极端状态，

但这个时候呢，我们可注意罗尔定律，也可以从另外一个角度看。他说有一点导数等于零，实际上也可以说有一点上切线。平行于连接这个曲线两端点的这个线。哎，那这个结论对这个对不对呢？那当然对这个特殊的直线肯定对，但是呢，这个时候对一般的呢？这样的曲线。是不是也有一点上切线跟这个连接两端点的弦平行呢？实际上大家看从几何上看的话，还是明显的。

就是罗尔定律把这两个条件去掉，得不到这个结论，但是我可以得到至少有一点的切线和连接。这个曲线两端点的弦是平行的。事实上，这就是我们大家学过的叫拉格朗日中止定理。所以拉格朗日定律是罗尔定律一个推广说f在这个区间上连续开区可导两断点值相等的条件去掉了。那这个时候得不到，至少有点导数等于零，但是可以得到至少有一个点可c，使得fb-f÷b-a=f一撇可c。那这个拉格朗日定理，这个从几何上看，实际上也非常明显啊，这样就是我们刚才画的那个图，

你看现在。在这呢，这是a这是b。没有那个fa=FB这个条件了，那这个时候呢，那我们来看这，比如说这是我们fx。然后呢？你看连接两端的这个弦。它的斜率是不就这个？然后呢？他告诉我们中间至少有一点导数，等于它实际上几何上，就是看至少有那么一点那一点的切线。是和这个弦怎么样？

平行的。所以这个拉格朗日定理呢，从几何上看非常明显嗯。这就是拉格朗日定理，那么拉格朗日定理和罗尔定理什么关系呢？罗尔定理就是人家的特例，因为在这儿，你看如果。fa要等于FB的话。那这不就f1撇等于零了，所以有了拉格朗日定律，你罗尔定律就是人家的特例。那反过来，拉格朗日定理就是洛尔定理的推广。呃，

在这个基础上，我们进一步再看，那你注意这刚才呢？这个曲线是用y=fx给出来。那这个时候呢，这个曲线上至少有一点的切线。和连接这个两段的弦是平行的，这就是拉格朗日定理的几何意义。那么在这呢，大家看如果这个曲线啊啊，就是我们现在这个曲线，假如说是用参数方程给出的。啊，就是这个地方呢，这个曲线是用参数方程给出的。

那这个参数方程，比如说是这个y=ft。而x呢，等于大f的t。是个参数方程给的。假如说这个端点对应的参数t等于谁啊？等于a。这个端点对应的参数t是等于谁呀？等于b。那么这个时候呢，大家看这个弦的斜率。那这个弦的斜率就这点y坐标减这点y坐标除以这点x坐标减这点x坐标，那实际上就是谁啊？那就是这条y坐标，那不就是fb-fa？

那它这一点的x坐标就是谁呀？就是大FB那这个点的x坐标就大f的a，所以这个就大比上大FB。解带回。这就是这条曲线的斜率。那么说，至少有一点切线跟它平行，那就是说至少有那么一个参数在这一点呢？这个切线的斜率跟它相等。但是注意，现在是用参数方程给出的。那那点的切线的斜率是谁啊？参数方程求导那点的导数就等于谁f1撇t除以大f1撇t。但这个参数如果记做可c的话，这不就是f1撇可c除以谁呀？

大f1撇可c，这就是这个曲线在这一点的切线的斜率。那几何上这两个不是相等吗？实际上，这就是我们要讲的柯西定理，所以从几何上看，柯西定理也是很明显的一个结论。所以你看我们最后就有了这样的结论。小f跟大f在B区连续开区，可导大f导数不等于零，因为大f在下面。所以最后呢，就有这样的结论，小FB减小fa除，以大FB大减大fa就等于大f1撇c。

除以小于负一撇开c，这不就是柯西定理吗？好，这三大中止定理罗尔拉格朗日科西都有了，但是我们在这总结一下啊。就是这个定理的伟大意义，我们不但要知道定理的条件结论，而且还要知道知道它的数学意义。或者叫数学本质，我们才能知道拿到什么样的问题，用这个定理，它能帮我们解决什么问题？注意这几大定理呢，他们的伟大意义就是数学意义都在那里。都在给我们建立了谁呀？

函数值和导数值的联系。大家看拉格朗日定理左边函数值，右边导数值，柯西定理左边函数值，右边导数值，罗尔定理有的同学说没有出现函数值啊。那你这个f1撇可c等于零零，是不是就等于fb-fa？这就是三大宗旨定理的意义，界定了两者之间联系我们，用导数研究函数奠定了基础。所以我们什么是这样的问题，应该想到这样中止定理呢。无非就是。如果给你的条件是导数研究是函数，

谁能联系它两个微分中立的？或者倒过来给你条件是函数，让你证明是导数，那谁能联系它了呀？微分终止定理。这就是三大终止定律的意义。那么第二呢？它们之间的关系啊，实际上我们刚才在这已经说了一下啊，就是罗尔定理。拉格朗日定理还有谁？柯西定理。然后呢，从这儿到这儿。实际上都是推广啊，

就从前面往后面也是推广拉格朗日定律，一推广就是谁柯西定律。但是倒过来呢，实际上都是特例。啊，这都是特例。你看柯西定理里边，如果你取这个f就等于谁x的话。大家看这个克西定理是不是变成拉格朗日定理了？如果在拉格朗日定律里边附加一个条件，附加一个谁FB=fa的话。那不就是罗尔定理，所以柯西定理这一般。那有的同学说老师科学定理最一般，那我就掌握好科学定理，

你罗尔定律，拉格朗日定律能证，我科学定理都能这样。理论上当然没有问题，你俩都是它的特例。但是有一个方便不方便。所以在这个地方啊，实际上。我们用的更多的是谁啊？拉格纳尔定理和罗尔定理。科学定理，虽然这一般，但是它呢，用起来有时候不太方便。那么，

另外还要注意，虽然你拉格朗日定理和科学定理都是罗尔定理推广，但是注意拉格朗日定理。科维奇定理证明。都是用谁证出来，都是用罗尔定律证出来。你想连你两个定理都是用我罗尔定理证出来的，还有你俩能证出题，我们证不出来肯定行。所以这又体现了罗尔定理的重要性，实际上我们在微分终止定理很多正命题。都是利用罗尔定理构造辅助函数来证明拉格朗日定理和柯西定理都是这样证出来的。所以从这个意义上讲，罗尔定理也非常重要。这就是三大中值定理意义和三大中值定理的关系，

以及它们的地位。但是呢，这三个中值定理它都给我们联系的是一函数值和一阶导数。但是有些问题我们需要用高阶来研究函数，那谁能够建立高阶导数和函数的关系呢？那就是我们的泰勒公式。泰勒公式有两个，一个呢，就叫皮亚洛余项的泰勒公式，那注意fx在x0这一点是n阶可导。则f就等于它加上一个余项。那第二个呢叫啊，如果x0=0特别的零点，它的公式叫麦克劳里公式。那么另外一个呢？

就是叫拉格朗日语下的泰勒公式f，在包含x0这个区间上n+1阶可导。那么，对于这个区间，任一个x都有下面这个式子成立。两个泰勒公式。大家注意等本质是什么？它们有什么不同啊？有什么相同，那什么时候用怎么用？这个是对我们同学来讲是个关键。所以我们在这呢，给大家梳理一下，大家看这个泰勒公式的，然后共同点。

啊，我们看它的共同点。那么，共同点是什么？第一条。实际上，大家注意这个泰勒公式，有的同学看起来觉得很复杂，但是你可注意这个前面是谁啊？这是一个n次多项式。啊，这是个多项式。那它把一个f写成一个多项式，加上一个余项余项，或者就是用多项式代替它的是误差。

这个呢？也是这两个多项式是一样的，只不过是余项的形式不一样。所以这个泰勒公式的伟大意义就是用多项式来逼近一般函数。啊，所以就是多项式。毕竟那为什么要用多项式来逼近呢？大家注意多项式函数。做我们微积分的三塔运算，求极限，求导数，求积分。越做越简单，你看导数越求越简单，积分越求越简单，

但是其他函数可不一定，所以为什么人都想是来逼近函数？就是因为多项函数作我们微积分的求极限，求导数，求积分方便，这就是泰勒公式的伟大。e啊。那这个这是有关这个共同点，就是用多项式，毕竟f就是用一般函数来，毕竟。我们这样一个呃，就用这个多项式，这个简单函数来递进，一般函数这就是泰勒公式的伟大意义。

也是它的共同点。那这个呢？我们再注意一下不同点啊，不同点这个跟我们使用它有关系，不同点有两个一个呢。就是条件。不同为什么不同？你看这个只要求x0这一点n皆可导。这个呢，是包含x0的，这个区间上有n+1节课导，所以条件不同。第二个呢，就是余项。不同啊，

余项是不同的。那你注意这个PL余项的PL余项的泰勒公式，它的余项是什么？就是这个余项，实际上是用多项式代替，它是误差，它只告诉这个误差在x趋向x0的时候是比x-x 0N次方的高阶的无穷小。实际上，这能保证在x零点附近，这个是比较小。而这个拉格朗日余向呢的泰勒公式啊。它给出了这个余项的具体表达式。然后呢？注意这个呢？在f满足一定条件下，

它在这样一个区间上n取消无穷的时候，它也是会趋向零的。所以呢，就是说它呢，只能保证余项在内的棱径很小，但是这个呢，可以保证在一个区间上。所以从这个意义上，我们通俗的把这个皮亚洛余项的泰勒公式，我们正通常叫做局部。泰勒公式，也就是说它在这点邻近。来用这个多项式代替它，它误差比较小，所以是个局部的。

那么，拉格朗日运算的态度公式呢？在一定条件下，它可以保证在一个大的范围内误差比较小，所以把它叫整体。那么这个时候呢，这个也反映了两个泰勒公式，在用的时候它的不一样的地方。那他们都是给我们哦，这个抱歉，这还有一点要强调一下它呢，第二点它都是给我们建立函数值和谁呀？高阶导数的关系。你看它都出现n阶导数。所以泰勒公式呢？

第二个伟大意义就是把函数跟高阶导数联系起来了。好，那这呢？局部态的公式和整体态的公式，用的时候有什么区别？其实它也建立了函数和高阶导数关系。那么这个时候呢，如果要用高阶导数研究函数的局部性态，就用局部态的公式研究整体性态，就用整体态的公式。那么大家肯定要问了，说老师什么是局部形态啊？啊，比如说极限。一个函数在一点的极限，

是不是只跟这一点临近有关系，所以它是个局部形态，所以你看我们要用泰勒工程研究极限的时候，都是用PL一下。还有一个什么跟它一字之差极值。也是个局部形态，所以这个皮亚洛余项的泰勒公式叫局部泰勒公式，主要来研究函数局部形态。而拉格朗日语下的态勒公式，它叫整体态勒公式，它往往用来研究函数的整体形态。什么是整体形态呢？比如说跟极值一致之差，最值。但是注意，

我们研究最值往往都是研究一个区间上。这当然是个整体形态，它不是一个局部形态。还有谁呢？我们经常会称不等式。但是注意正不等式，没有人让你证这点零域，它都是证一个区间。所以它也是整体形态。所以这个余项不同，在使用的时候也不同啊，简单讲局部探讨公式，主要用高阶导数研究局部形态，整体探讨公式，主要用高阶导数研究整体形态。

这就是什么时候，第一，我们总结一下什么时候想到它的动式。那就是你的题目里边条件或者结论当中出现n阶导数，一般都是要用它的公式。用哪一个呢？那就看你研究局部形态还是整体形态，哪一点上用呢？那这个也有原则，有同学说那就在端点上用，这个不是一般原则。实际上呢，什么原则就是提供这一点的函数值导数值。信息多啊，就哪一点告诉你的函数值导数值的信息多就在哪一点上用。

所以，关于泰勒公式的使用，三点非常重要。什么时候想到它的公式，只要你的题目的条件或者结论当中出现n阶导数，一般应该想到它。第二，用哪一个？那就看你研究局部形态还是研究整体形态？第三点哪一点上用？那就是哪一点提供的信息多就在哪一点用。这就是两大泰勒公式，他们的一些本质就共同点是什么？不同点是什么？在使用的时候。

它有什么原则？好，那三个中值定理加两个泰勒公式，他们都是为我们建立函数和导数之间关系。为我们后面用导数研究函数奠定了一个理论基础。那么，有了这个理论基础以后。我们就以导数为工具，就会研究函数，但是在这呢，有几个基本态的公式要熟悉。一个呢，就是e一个是sine，一个是cosine，一个是ln，

一个是一一+x阿尔法次方。我们在解决问题的时候，像这几个泰勒公式是常用的。好，下面呢，我们就看导数应用，就是借助于前面三大终止定理和两个太洛公式界定的关系，借助于导数对函数。做进一步的研究。那研究第一个问题是什么问题呢？就是函数的单调性。当然，单调性我们有定义，我们过去用谁来判定单调性定义来判定，它只能判定一些比较简单的函数。

复杂的函数，它是判定不了。更有效的方法是什么呢？那就是如果在这个B区间上是连区开区，只要可到那么这个时候我们立马有节能。在这个开区间上，倒数大于零，函数就在这个B区间上代到增。然后再给开区间上导数小于零，还是单调减简单讲导数大于零，还是代调增导数小于零代调减？那这样子判定单调性的问题，就归结为导数为正还是为负的问题，给我们判定单调性带来了方便。这是第一个问题，

单调性可以用异界导数正负来判定。第二呢，就是函数的极值。首先是极值的定义。如果存在一个德尔塔，使得这一点的一个x0的德尔塔零域内临近点都大于等于这一点。那么就称，这类取得极小值。如果在这点一个曲线领域里边临近点都小于等于你这点，这就是其大值，这是定义。那么下面呢？给这个函数如何找极值点呢？我们刚才是不是讲了一个叫飞马引力？如果这个函数可导，

这点又取得极值，这点导数一定等于谁啊零？实际上呢，它就是函数取得极值的必要条件，那就是说你这一点只要可导，你这一点又取得极值。那就立马就推出谁啊？这点导数等于零，那就说可导函数，你在这点要取得极值，这点导数必须等于零，那就说可导函数极值，只可能在导数等于零的点上去导。所以我们就数学上给这种点给它一个名称叫什么叫注点。那这个时候呢，

就有个问题产生了啊，那我们把导数等于零的点，我们就叫做注点。那这个时候呢，自然要问注点跟起止点。什么关系呀？啊，注点跟极值点什么关系？那好，我们来看极值点是不一定是注点呢？啊，我们说不一定因为。它这个附加的条件可导又取得极值，这点导数等于零，所以它是可导函数取得极值的必要条件。

所以极值点未必是驻点。比如说我们谁呀x的绝对值。你看它在零点取的极值，但是它在零点就没导数，那就谈不上它是注点呀。那注点是不是一定是极值点？注点就是导数等于零的点，导数等于零点是不是一定是极值点也不一定？那比如说x立方。实际上，我们知道这个x立方呢？这个立方抛物线，它的图形是这样子。你看它在零点导数等于零，但是零点有极值吗？

没有。所以注意对函数不附加条件极值点跟注点之间没有关系。什么时候有关系，就是加一个条件fx，如果可导。那就有关系了，对可导函数来讲，极值点一定是谁注点，但是注点仍然不一定是谁。极值点那就是个例子啊，所以大家注意。这是可导函数取得极值的必要条件，就对一个可导函数。极值点这个能在注点上，所以要找可导函数极值，

我只需要找注点。但是大家注意，对我们平时来讲，我们拿到的函数并不一定都是可导函数。那所以这个地方呢？我们在哪里找它的极值点呢？就是对一般函数可能的极值点。会动是在哪里取到？我们说有便得持有两种点。如果你在内点可导，那么内点导数一定怎么样等于零？嗯，所以要找可能的极值点，那就一个是导数等于零的点。还有一个就是谁呀，

这一点导数不存在的点。啊，因为导数不存在的点也可能取得极值，比如说x的绝对值。所以对一般函数找极值，就只要找这两种点注点和导数不同的点，它可能也只可能在这两个点上去调。渠道所以这个条件就是使得我们找极值范围缩小了，对于可导函数，我只需要看重点。对于还有不可导的点，那只有要看注点和导数，不存在这点，所以这个必要条件的意义就在于把找极值范围缩小了。但是呢，

这种导数等于零或者导数不存在，这点未必都取得极值啊，那到底有没有取得极值呢？就需要做进一步的判断。靠，谁这个时候就要靠充分条件？我们讲过两条，一条呢，就是第一充分条件。在这一点，一个曲线领域可导。这一点呢，导数等于零。或者这一点呢，导数不存在，

但是函数在这点是连续的，所以第二种情况肯定是假定这一点这个呢。到时候如果不存在，因为也可能取得极值啊。那所以先看第一种啊，这点导数等于零零，近点导数也存在，那这个时候看。左侧导数大于等于零，那右侧导数小于等于零，这点就极大值，实际上大家知道这很容易看左侧导数大于等于零函数的单调增。这边叫单调减，那当然是极大。如果左侧是小导数，

小于等于零，那左侧就单调减右侧导数大于零，单调增这点就极小值。那么这两种呢，可以总结为导数，在这一点两侧变号由正变负，那函数就越增便解极大。导数由复变。正函数有减变增，那就极小。那如果在这一点两侧导数不变号呢？那你想这点不变号，两侧都大于零，或者两侧都小于零，那这点零就就单调啊，

那肯定没有极值。所以这个第一成分条件，它主要是借助于导数是否变号来判定这点是否有机质。但是注意，它可以判定。注点处。它也可以判定那个导数不存在点。如果这一点导数不存在的话。那这个时候就把这点导数等于零，这个条件改成小f，在这个怎么样？连续这个条件是要要的。那么这个时候下面节能照样对，所以这个第一充分条件它可以判定。那两种可能取得极值的点，

它都可以做判定，一个是判定注点，一个是判定导数不等于零的点。那导数不存在这点。但是它也有它的一些缺陷，缺陷是什么？有时候这段两侧一节导数正负判定起来不是很方便。所以人们对这个问题做了进一步的研究，就得到了第二充分条件。它是说如果这一点的一阶等于零，而二阶不等于零，这一点就又极值极大还是极小？二阶小于零。这就是极大值二阶大于零，这就是极小值。

这个呢节呢，如果跟我们后面关于凹向的那个节能对照一下，就看起来非常清楚了，我们知道在一个区间上二阶导数小于零的话。那这个曲线是凸的。凸是不是跟极大就对起来了？在一个区间上，二阶导数大于零，曲线就是凹的凹，是不是跟极小就对应起来了？这就是第二重分条件，它只要看。这一点的一阶等于零二阶，导数不等于零，它就能做判定，

那它有它的方便之处，但是注意它对函数要求提高了。你看，不但要求这点，有一阶还要有二阶。那你想对那种那点上一阶导数都不存在的点，你根本就无能为力，你说对不对啊？所以二与二的优势。就是函数性质比较好，二阶导数存在的时候，那二可能比较方便。但是呢，如果那点意见都没有，你就用不了，

所以一呢，虽然使用并不是很方便，但是人家两种可能取得知识点，人家都可以用。但二呢，你虽然方便，那你这个地方适用的范围就小了啊，当然我们拿到题目就看，根据题目题目的条件用谁方便？就用谁？这就是极值的第二重合条件。拿到一个函数求极值，那我们现在是不是就两步第一步求出可能取得极值的点？那就是注点和导数不存在的点。第二步，

用谁用这个充分条件？两个充分条件做进一步的判定，那点有没有极值？如果有，是极大还是极小？机制就解决了。下面呢，我们再看一个相关的问题。就是函数的最大最小值。那这儿呢，是两类问题，一类问题就是求一个连续函数在有限地区间上的最大最小值。但我们知道，连续函数在这个区间上最大最小值一定是存在的。那它是存在的，

那这个时候大家注意它的最大最小值怎么找呢啊？对一个连续函数来讲。那它的最大最小值也可能在内部渠道，也可能在断点渠道。但是你想它最大值或者最小值的内部渠道。那一定是极大值或者极小值。但是最大值最小值也可能在端点取到，但是注意端点这个。能不能叫做极值？不能啊，极值是零域。那这只是个半领域，所以端点只可能取到最值，但是端点不可能取到极值。诶，

那你的最值，要么在内部，要么在端点，但是要在内部起到。那你最大值一定是极大值，最小值一定是极小值。但你也可能在断点，所以你我只要把谁内部可能取得极值点。都找来，然后再把两个端点也找来，那你最大最小值是不是一定在这个范围之内？所以我们第一步求这个内部所有可能取得极值点，那就两重点，一个是注点，一个就是不可导点。

那你如果最值在内部渠道，一定在这个范围之内，但是最值也可能在断点，所以我们把内部可能取得极值点上。这n个点上函数值，这两个端点值值拿来，我说你最大最小值一定在这个范围之内。然后呢，做一个比较最大，最小值就找到了，这就是找求一个连续函数在有限并区间上最大最小值的一般方法。三步第一步，求内部可能取得极值点两种点第二步，把内部可能取得极值点跟两个端点做比较来求出端点的值。第三步，

做一个比较最大，最小值到达，这是理论问题。第二类问题，那就是应用题。但是在这呢，注意我们把这个结论呢，再给做一个推广，就是有时候比较是不大方便的。能不能跟断点不比较呢？就有一种情况，不需要比较，如果这个连续函数在这个区间内部。只有唯一的极值点。那注意是唯一啊，

你这是a这是b这个结论经常会用，并且呢，假如说在这个唯一极值点，这点要取得是极大。那立马就推它是谁啊？就是最大。如果你唯一极限取的是极小，那它就是最小这个时候不用跟断点比较，注意是在区间上唯一。一个极值点，如果是极大，它就是最大，为什么呢？实际上，大家看这个学数学一定是要学懂，

不能完全是靠背，懂了你就永远就记住了，理解了就永远记住了。为什么唯一的一个极点，极大就是最大呢？反正。如果他不是最大，那有人还要比他大。但是这个时候你可注意矛盾就出来了，你看这是吉他它已经下来，它是个连续函数，它要到这儿去，它是不是从这要这样拐上去？但是你看从这儿再往上一拐，这地方是不是又出现极值点，

跟唯一就矛盾了？这就是为什么有这个结论。那这个阶段呢，我们理解了，以后永远就记住了这个对于唯一极值点，那我们这个时候呢，如果极大就最大，如果极小，它就。最小不用跟专家作比较。好，这是理论问题，再下来就是应用问题最大最小值。但最大最小值的又有问题，第一步，

你得建立目标函数，什么叫建立目标函数，把它让你求求要求它最大或者最小的这个量。用x一个函数表示出来，这叫做建立目标函数。一旦这个目标函数建立好以后，就变成求这个函数的最大最小值，就可以按照上面的三步曲来做啊。所以这个地方呢，就是第一步建立目标函数，第二步按照我们前面的三步曲求最大最小。所以这个最大最小值最值问题就这样两类问题。好，下面我们再来看。曲线的凹凸性啊，

首先是关于定义啊，你看凹的是这样定义的。啊，就是如果在这样一个区间上给任意的x1x2有这个不等式成立，我们就称曲线是o的。那我们知道凹的曲线呢，它在几何上就是这样一个曲线。那这个时候大家看这个定义几何，意义非常明显啊，你看这是x轴。然后呢？这假如说是x1这个呢？假如说是x2。诶，那大家看这是谁二分之fx一加fx二哦，

这是fx一。那这个地方呢？这应该是fx 2。这两个相加与平均，大家知道实际上是谁，实际上是这个中这个中点应该是二分之x一加x二。那么，大家看这两点之一，平均是不是这个地方中位线实际上就是这条弦上这点到y坐标？那这是谁？这不就是中点上曲线上的y坐标。那大家看连接这两点弦的中点的y坐标，是不是始终是大于曲线上这个y坐标，所以这个定义的几何意义非常明显？这是凹。

凸呢，正好就反过来了，这就是凹凸的定义。但是大家看你给了一个曲线，要用这个定这个几何定义的几何意义非常明显，但是要用这个定义来判断。一个曲线的凹凸，那显然是很困难的。即使比较简单的曲线，所以人们就对这个问题做进一步的研究得到了判定。凹凸的非常简单的方法。如果在这个区间上，二阶导数大于零。曲线就是o的。如果在这个区间二阶导数小于零，

曲线就是凸的。所以凹凸型可以用二阶导数的正负来判定。然后单调性是用一阶导数的正负来判定，所以一阶导数正负反应函数的增减性。二阶导数的正负反应曲线的凹凸性。然后呢，再引入一个概念拐点的概念，什么叫做拐点？就是曲线上凹向发生变化的点。比如说这个曲线，经过这一点，你看从凸变成凹，所以我们把这个点叫拐点。但是这个时候注意啊，如果这个对应的是x0的话。

能不能说x=x零是拐点？那就是经典的错误，标准的零分。你可以说x=x零是极值点，但是不能说x=x零是拐点，因为极值点是x轴上的点。y电是曲线上电。曲线的点就等于用两种表来表示，所以是x0 fx 0。这才是曲线上的点，所以你在试卷上不能写x=x等于水关点，那立马负一就上去了。所以这个概念一定要非常清楚。好拐点定义有了。那如何来找拐点呢？

大家注意这个地方呢，跟我们极值那个地方有完全对应的结论。那对应结论是什么啊？我们说只要把极值的必要条件和两个充分条件导数通通抬高一截。你看极值的必要条件是一阶等于零。拐点的必要条件呢？二阶等于零。极值的第一充分条件，那就这点一阶等于两侧一阶变号拐点的第一充分条件，那就这点二阶等于零两侧二阶变号。两侧二阶变化，两侧凹陷发生变化，那就是拐点。极值的第二重两点是这点二阶等于零。而这个这个一阶等于零二阶不等于零是一阶等于零二阶不等于零，

那拐点都要充分条件呢。就这点，二阶等于零，而三阶不等于零。所以这个地方你只要知道这个对应关系拐点的一个必要，两个充分就有了，就是把极值的一个必要，两个充分导数通通抬高一些。就是观点的一个必要两个处分。那么你要让我求拐点二阶可导函数，拐点只能在二阶导数等于零的点上，所以求导找二阶等于零的点。然后完了以后呢，二阶等于零点，是不是一定是拐点不一定，

那再用充分条件做判定。好，这就是关于凹向和拐点。再下来呢，就曲线的渐近线啊，那么曲线渐近线呢，我们往往就是有三种。那么一种呢，就是水平。水平渐近线有没有用，谁来看就是看x趋向无穷，它会不会趋向谁啊？有限制。啊，如果这个x趋向无穷的时候，

这个fx呢？趋向一个常数。a那这个y=a就是它的水平渐近线。那注意，如果这个是趋向无穷，这是两侧同时考虑，那这个是负无穷，这是正无穷。那这个时候一条曲线最多可以几条水平渐近线？这都可以有两条，那就是趋向负无穷和趋向正无穷，它的极限都存在，但是不相等，比如说我们谁呀fx等于？arctan tx.

它就有两条水平渐近线x趋向负无穷负二分之派趋向正无穷正二分之派，所以一条曲线水平渐近线最多两条。这就是水平渐近线，有没有如果有怎么求？就是看x趋向无穷的时候极限。第二种渐近线呢，就是垂直渐近线。那么，垂直渐近线怎么看？实际上就是要看这个，如果x趋向x0f趋向无穷。这个时候x=x零。就是它的一条垂直渐近线，它是有限点，上极限是无穷。

水平渐近线是无穷原点的极限，是有限制，刚好倒过来。好，这是关于垂直渐近线。那么下面呢？我们再来看谁啊？斜接点线。斜渐近线比较麻烦，要看两个极限啊，一个呢就是x对象无穷f比x极限要等于a。同时，还要f-ax。这个极限等于b，如果这两个极限都存在。

那这个曲线就有斜渐近线y=ax+b。那这个时候呢，大家注意。斜渐近线，一个曲线最多可以有多少条？也是两条，那就是如果x趋向正负无穷的时候。这个AB都存在，但是它两个不完全相同，那就导致两边分别有不同的细节进行。啊，那么另外呢？还要注意这个斜渐近线和水平渐近线都是看无穷远处。所以有同学就说那你如果有斜接近线，你就不会有水平接近线，

有水平接近线也不会有斜接线。那这个说法对吗？我们说不对。为什么？因为人家可以是这样子啊，你比如说它在这一侧可以是水平。但是在这一侧可以有斜渐近线，所以你不能说人家有水平，没有斜有斜，没有水平。这个说法就说的不准确。那这个应该怎么说？在正无穷或者负无穷这一侧，比如说正无穷这一侧，你有斜减减弦，

那肯定没有水平。你有水平渐近线，肯定没有斜，所以应该说在正无穷和负无穷这一侧。有水平渐近线，没有斜有斜渐近线，没有水平渐近线。这就是三种渐近线。如何判定有没有？如果有的话，怎么求都是用极限来判定，用极限来求。好，这是关于这地方的渐近线。再下呢，

就是函数作图。函数作图实际上是这个内容的一个综合的应用。那也就是说，那我们在这个地方呢？第一步定义域奇偶性，然后再就是单调区间，然后极值。然后就是凹向拐点。然后再确定渐近线，这些东西都有了，以后我们这个图就可以画的相对准确一点。这个呢，在我们过去卷子还专门考过，但是现在多少年都不考这种题，但是这个作为一个基本要求。

我们应该会回去以后，哪怕是我们大学书上的题做两道。再下来一个就谁啊，就是我们数一数二要求的数三，不要求叫曲线的弧微分。与曲率。那这个曲率是用来描述这个曲线的弯曲程度，就是一个曲线在一点的弯曲程度，用谁来描述？用曲率。那在这呢，就是作为我们考数一数二同学，你注意考取率，只要考到这个知识点。这个节能肯定是会用到。

所以就是曲线用直角坐标方程表示的时候，这个曲域的计算公式要知道。另外一个呢，就曲率，圆曲率，半径啊。曲率半径和曲率的关系，倒数关系应该知道。这就是微分中止定理及其应用这个地方的基本内容。那如果简单回过来看一下，实际上是谁？首先是三大中值定理加两个泰勒公式。是它的理论基础，他们把函数跟导数联系起来了。然后呢？

完了以后就借助这个桥梁用导数对函数的性态做一一研究。我们这首先研究极值，再研究最值，再研究曲线的凹向拐点，包括渐近线。包括曲线的曲率。这就是这部分内容，那么另外呢，这个地方注意。这个数学三在这还有一个特殊要求，就是导数在经济学当中的应用。那大家注意这个考数三的同学，这个过去在我们数三卷里边，这个经济数学内容考大题。嗯，

现在呢？实际上在我们这地方呢，考的就是小题了啊，一到五分的题。所以这个权重就大大降低了。那下面呢，我们也把这个基本内容给大家梳理一下，那第一就是经济学当中常见的函数。第一，就叫需求函数。这个x就是需求量p是价格，就是需求量作为价格的函数，这个叫需求函数。那么，如果它有反函数的话，

这个反函数就价格是需求量的函数，这个我们把它叫价格函数。第二，叫供给函数。x是供给量，这个p是谁啊？价格就是供给量和价格之间这个函数。叫做供给函数。第三，叫成本函数。那这个呢？呃x是生产量c是成本，所以成本是这个生产量的。一个函数啊，那成本实际上分两个部分。

一个部分呢，叫不变成本c1，一个是可变成本。那么另外呢，还有一个概念叫平均成本啊，那平均成本就等于谁？就等于成本，然后除以谁啊生产量这个就应该叫平均成本。第四个呢，就叫做收益函数。那么，所谓收益叫做通俗的就是毛收入，那就是用价格乘上谁销售量。讲的通俗点，这就是毛收入。

还有一个呢，叫利润函数。当然，这个利润函数呢，就是净收入，那就是收益，毛收入减去谁啊成本？这就叫利润。这就是我们经济学当中常用的五个函数。再下来呢，就是叫边际或者边际分析。实际上讲的通俗点边际就是什么？就是变化率，也就是我们微积分里边的导数。那么在这呢，

假设y=fx可导。这个时候称它的导函数f1撇，就是编辑函数。称这一点的导数为f，在这一点处的边际值讲的通俗，一点边际就是变化率。就是我们数列里边的导数。那么，把它再具体化边际成本，边际成本就是成本。对。谁啊？这个销售量的这个变化率或者生产量的变化率。所以你看边际成本。那就是谁成本？

对这个产量。它的变化率。还有一个呢，那就是边际收益。那就是收益对生产量的变化率。还有就是边际利润，那就是利润。对销售量的变化率。所以这个边际都是指的这个量对生产量或者销售量的变化率。那这是一个变化率，但是大家注意，有时候你这个变化率反映的这个情况，那不是那么很准确。比如说你这个变化率都是零点零一，但是呢，

跟你这个总体的量的大小就是这个有关系。如果你总体量只有100，总体量另外呢？总体量是一亿，同样变化率是零点零一，那这个呢？对这个自变量有一个变化的时候，这个引起的函数的变改变量，那这个是完全不同的。所以我们在这又引入一个谁啊？相对变化率，那实际上就是经济学里面的弹性。或者弹性分析。所以这个弹性实际上是个那这个边际是个变化率，弹性是个相对的变化率。

有点类似于我们那个误差里边的绝对误差和相对误差有点类似。你看y=fx可导。那么这个时候呢，你看它呢，是f1撇，这是变化率，除以y×x。把这个定义为谁呀？边际。那这是一个一般的定义。在我们经济学里边，常用的有两个，一个是需求的价格弹性。那需求的价格弹性，按照这个阶段的话，

那就是需求函数。对p求导除以需求函数，再乘上这个地方的价格。但是在这儿注意。它这个需求函数需求量phi是价格p的函数，那么。价格升高需求量往往是减小的。所以这个泛一撇p是小于零的。所以这样的话，那这个需求对价格弹性，它应该是个负数。但是注意，我们卷子里边有时候给的是正数。所以那就是公式就不是这个了。如果需求对价格弹性是负数，

那就这个公式，如果是正数呢？那就前面要加符号，所以到底用上面还是下面，你就看题目里边。这个需求对价格弹性，它给你的是正的还是负的？你得决定用上面还是下面？这是需求对价格的弹性。还有一个呢，就是供给对价格的弹性一样的。那就等于谁供给函数对价格的导数，除以这个供给函数再乘以。这个价格大家要注意，这个供给函数的导数，

这个应该是大于零。那就是价格升高以后，那么当然供给量肯定是要增加，希望收益更多呀，所以这个是大于零的。那所以弹性，我们在经济学里边，主要是这两个。那注意这个。弹性。都是他们对价格的这样一个相对变化率，而边际都是谈他们对销售量。或者生产量的变化率，这个地方不要搞错。所以你看经济学的内容，

简单总结一下的话，五个函数，三个边际，两个弹性。考来考去就是考这些。在这呢，我们也看见例子啊，比如说。二零一四年。这个我们数学三的一道考题是考的某商品的需求函数是它，这就是需求是这个价格的函数。则该商品的边际收益。那就是边际收益是指的收益对谁啊？这个生产量的变化率。所以你必须要把这个地方的收益要用，

谁表示出来要用退伍表示出来？那在这呢，我们知道收益等于什么收益就等于价格，然后乘上谁啊？乘上这个地方的这个需求量或者销售量。那这样的话，我们又知道这个就得你看我们要求这个边际是要对q求导。所以这样的话，把p是不是要用q表示出来？那我从这个地方来就可以把p用q表示出来，这样子就把这个地方的收益。就用这个需求量表示出来，边际就是收益，对这个q的导数。所以我们拿来以后呢，

就这个r=q求导。那么这样子我们就得到这个地方的收益，边际收益。但是当年考卷考这个题有很多同学就做错了，犯了一种经典的错误。那它呢？怎么做的？它在这样呢？以后收益写出来以后，它就把这个q用这个代进去。最后就成了价格的函数，然后两边对p求导，那所以在考卷上改卷子时候。那很多同学就什么哦，这个最后写的是他的结果啊，

那这就是经典的错误。所以这个地方一定要注意啊，我们谈bag的时候都是谈对这个q销售量。或者是生产量变化率不是看对价格。那个弹性的时候，我们谈的是对价格的相对变化率，这样的话不要搞混。好，这是第一个例子。下面呢，我们再来看二零一七年。这个数学三的考题，他说生产某产品的平均成本。是它其中这个产量是q则边际成本。边际成本，

那就是成本，对这个生产量的导数。所以我先得写出成本。那么大家知道知道平均成本怎么求求成本呢？大家知道平均成本不是就是成本除以谁啊？除以这个地方的生产量，那生产量我们用的是q。那所以这个成本等于谁成本就等于平均成本乘上生产量啊，所以首先把成本表示出来。它就等于平均成本乘上生产量。然后呢？这个往里边一带就是它边际成本就是成本，对生产量的导数啊。所以这个时候就把它拿来对q1求导。这分就拿到了。

大家看这题就考的很基本啊，就是基本概念，基本方法会分数就能拿到。然后呢？我们再来看。比如说二零零九年。我们卷子的一道考题，他说某产品的需求函数。啊，需求函数那是它其中p是其中其对应价格p的弹性。是零点二。则当则当，需求量为一万件的时候价格。增加一元。会使产品的收益增加多少元？

哦，那这个时候呢，先一步一步来啊，就是实际上呢，实际上就是问的是谁啊，问的这个你看。价格增加一元产品的收益，实际上是收益对价格的变化率。那么在这呢，我们先注意这个地方，看它告诉我们说需求对价格的弹性是零点二。那我们先来写谁啊？需求对价格的弹性。但是注意，我们用弹性公式的时候，

需求对价格的弹性，那公式有一个正负号。如果这个地方告诉我们是正的，用功是要加谁啊？加符号。所以首先这个得写对啊，就需求对价格的弹性是零点二。那这个弹性公式就是需求量对价格的导数。除以价格哎，除以需求量乘以价格，但是前面要加符号。当年有很多同学就少了这个符号，这就错了。然后完了以后呢，他问的是什么，

人家问的是这个，当这个需求量是一万的时候，价格增加一元。收益增加多少？那这个时候呢，我们来看一下收益等于谁？收益就等于需求量乘上这个价格。那实际上这个地方呢，问的就是这个收益对价格的一个变化率。所以我们把这个拿来以后啊，我们把它可以求导，但是我们也可以求微分啊，就是dr。就等于谁？就等于这按照乘积的微分？

就等于pdq+q dp？然后呢，把这个条件要用进去。所以我们在这呢，整个式子提一个dp。t一个底p以后，大家注意这个。就是这个东西要加个负号，所以就等于q乘上一减epsilon p，然后dp。当然，你这个收益对价格的变化率把pdp除过来，不是就这个变化率吗？那么现在呢？他问你什么说当这个q=10000，

就这个等于一万的时候价格增加一元。那就是说价格有增量一的时候。收益又增量多少？所以我们写这个式子也可以这样来理解。那么，这样子的话，我们就把这个q用谁啊？一万代进去。底p不是就是一吗？这就算出来相应的收益的增加多少元？所以这样子呢，这个把具体值往里边一带，我们就得到dr就等于谁这个8000。这就说明，当需求量是一万件的时候。

这个时候价格每增加一元。这个时候呢，收益会增加8000元。那这个问题就解决了，但是当年呢，这个地方填的比较多的，很多同学填的是12000那。那就是经典错误，为什么会填这个12000呢？就是这儿缺了负号。所以这个这个地方呢啊，这个需求的价格弹性，那公式用的时候一定要注意，叫它大于零，前面要加括号，

它如果小于零。这个公式前面不用加负二，这点要特别特别注意。好，下面呢？我们再来看。比如说想见到问题嗯，他说假设某商品的收益函数为。这个2p。然后呢，收益的弹性为一+p的立方。其中p为价格。然后呢r1=1要求RP。那我们说你看某商品的收益函数是它。要求收益函数，

但是它核心的条件是谁？收益对价格的弹性是它。所以关键是要写出这个。那我们知道收益对价格的弹性，就等于谁收益对价格的导数。乘上价格，除以收益，这就是收益。对价格的弹性，它等于谁一+p的立方。这个时候不是问RP吗？那这是一个什么？这就是微分方程啊。那我们解这个微分方程，把r解出来就行了。

但是我们要解这个方程，我们得判断什么类型，按什么方法解？这个一看就是变量可分离，你说对不对呀？你把底p可以搬过来，把这个p也可以除过来。那这样子变量就分离开了啊，你看把r都留在左边，把p和dp都搬到右边。你看这变量就分离开了。边上分离开以后，两边一起分。最后就可以把二用p表示出来。然后完了以后注意，

这不是还有一个r1=1吗？所以这呢，把p=1代进去，它要等于一。p=1代进，去等于一根据这个呢，我们就可以把常数c给它定出来。那么，常数c定出来以后，那这个常数往里边一带，那这个时候。这个RP也就是收益函数就求出来了。你看我们这个地方看的这些题目都是过去，我们数学三考过的一些题目。但是呢，

你看这呢，要求非常具体，都是考一些基本概念和最基本的方法。所以对我们数学三的同学来讲，经济数学的内容主要就是五+3再加二。五个经济数学的函数，三个边际，两个弹性。那这就是考试的基本要求。好，那今天这个基本内容我们就讲到这个地方。同学们，再见！

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