高数基础04

罗泽兵 · 发表于 2024-4-3 06:20:09

各位同学大家好，今天是我们高数基础班的第四次课。我们今天讲的内容是在我们讲义的25页到33页。那么，其中主要的内容是求极限常用的方法，里边的洛贝塔法则求极限。泰勒公式求极限加b原理求极限，还有单调有界准则求极限，还有一个就是定积分的定义。求极限，首先我们来看求极限比较常用的第四个方法叫做利用诺贝塔法则。求极限，那么诺贝尔法则呢？条件是什么？第一个那就是f和g。

都趋向零或者都趋向于无穷。那也就是说，第一个条件告诉我们，洛必达法则能够直接用的，实际上是两种类型，那么一个呢，就是零比零。一个是谁啊？无穷比无穷。这是第一个条件所要求的。那第二个条件呢，是要求f和g在x0的某去心零与可导，并且分母导数不等于零。各位，这个为什么有这个要求呢？

因为诺贝塔法则是由柯西中止定理证出来的。而柯西定理，它对fg有这样一个基本要求。那么另外一个呢？还有第三个要求，那就是用了洛贝塔法则以后右端这个极限要存在。或者等于无穷。那么这个时候呢，这个就有下面这个式子。关于这个条件，这个地方要特别注意，就是我们在用诺贝塔法则的时候，我们往往就把这个等号先写上了，但实际上呢，这个等号成立不成立。

只有用完以后才能验明这个条件。所以这个洛贝塔法则是从右端的存在推左端存在，并且等于右端。那或者是右端如果趋向无穷，那左边等于右边，左边就取向无穷，注意是从右端的存在。推左端存在，而不是说左端存在，右端就一定存在。所以这个地方特别要注意。那我们说诺贝尔法则能够直接用的就两种零比零，无穷比无穷，但是它能够解决的问题。不止这两种，

那么大学学过它可以解决七种不定式。哪七种不等式呢？那这个时候就是零比零无穷比无穷，我们知道这两个呢，是可以直接用的。那么，后面五种如何用呢？实际上，一个核心思想就是把后面五种化成前两种。如何画呢？那我们在讲义上给了大家这样一个解题思路的，一个这样一个图啊，大家看。实际上，这个意思就是说零比零和无穷比无穷，

这是可以直接用。而零乘无穷大呢，我们可以把零搬下来，或者无穷搬下来，化成无穷比无穷或者零比零。而对这种无穷减无穷的一种常见的形式，比如说分式的差，我们可以通过通分把它化成零比零或者无穷比无穷。然后后面这样三种如何处理呢？大家注意要出现后面这三种极限。因为这个地方的零一不是真正的零，也不是真正的一是极限等于一，极限等于零。所以要出现后面这三种极限，求极限的函数一定是谁啊？

一定是这种幂值函数。而这个时候呢，如何把它化成给它一个箭头，对到零乘无穷大，如何把这三个化成这个零乘无穷大呢？实际上就是该写e，你看这个写成e的gx谁呀？ln的x。那么这个时候呢，求这个极限的核心就是算这两个相乘的极限。这个时候大家注意，实际上呢，这两个相乘的极限一定是一个零乘无穷大。比如说第一个，那么这个时候呢，

它这个g是趋向于无穷的。f曲线一那引一是谁啊零？那你比如说第二个，那这个时候f是去向无穷。那么f趋向无穷l引的无穷，后面就是无穷，而前面的g是曲线谁零的，所以仍然是个零乘无穷大。而这个呢，零的零次方。那么，大家注意，这个时候g是趋向零的。len里边去向零那这个时候len 0是谁啊？无穷。

所以呢，你看对于后面这样三种类型，我们都可以通过改写成e的形式，把它化成零乘无穷大。而零乘无穷大，又可以化成零比零或者无穷比无穷。这就是洛贝塔法则在使用的时候，前两种直接用，后五种就是把它想办法化成前两种，再用洛贝塔法则。这就是诺贝尔法则以及诺贝尔法则所适用的类型，以及在解决这七种类型的时候，一个一般的思路是什么？好，下面呢？

我们具体来看这个诺贝塔法则的使用。比如说我们拿到这个以后x趋向一，那这个时候呢？ln里边是趋向一，所以上面是趋向零。那么下面呢，也趋向零零比零。那么，这样一个零比零呢？你看其他的方法还不是很好用，所以我们在这呢，就用诺贝塔。洛贝塔法则用于此，上面求导cosine分之这个负的sin ex- 1，也就是负的tan x- 1。

那么，下面求导呢？负二分之派cos，二分之派x。然后下来呢，还是零比零。那这个时候呢，如果再直接用上面这个求导就有点啰嗦，那么在这儿注意x趋向一的时候x- 1是趋向零。所以tan x- 1就等价于x- 1。用一个等价代换，然后呢，再对这个用一次洛贝塔。那就比较简单，上面求导就是一下面求导负二分之派s in 2分之派x。

x趋向一那么s in 2分之派是一那么最后呢？就可以得到答案负的派方分之四。四，这是一个零比零，这个地方连续使用两次洛贝塔法则，但是中间结合了一个等价代换的化简。使得这个方法用的比较简单，所以呢，就是对一个极限问题，我们在做的时候，实际上就是方法要灵活选取。这样子呢，我们题目才可能做得简单。好，这是一个零比零。

那么下面呢？我们再来看，这是一个去考题，求这个极限判别类型，选择方法，大家看x趋向一。前面这个是趋向零，后面呢是趋向于无穷。那么，零乘无穷大我们一般的思路就是搬下来一个化成零比零或者无穷比无穷。掰谁呢？那么大家看你如果把一减x平方扳下来，那分母就是一减x方分之一。这个可以，但是呢，

这个诺贝塔用起来就比较啰嗦。如果把tan体搬下去，tan分之一也比较罗嗦，或者你把它写成tan。分之一写成什么？括tan这个也能用，比那个简单一点，但是也不是最好的办法。那怎么做比较方便呢？所以这个时候注意就是说我们讲的那个直接搬下那个化成零比零或者无穷比无穷，那是个一般思路。但是具体问题要做具体分析。那实际上呢，大家看对于这个题目来讲，那我们这样改写一下，

你看立马就变简单。这个原式原式就等于谁呀？原式就可以把它写成这个，原来前面这个地方有一个谁呀？它这有一个一减x平方。那么，这个原式就等于谁？就等于x趋向于一的时候。那大家知道这个一减x平方，它可以写成一加x乘上谁呀？一减x。然后呢？后面这个tan 2分之派x。我们可以把它写成sine的二分之派x。除以谁啊？

cosine的二分之派的x。那为什么要这样写呢啊？这个时候大家注意看。这个它是整个式子的一个因子。它的极限等于非零常数二，这就可以先算，这叫做极限等于非零常数的这个因子。极限就可以先求出来。然后大家再注意x曲线一的时候，这个地方是s in 2分之派。s in 2分之派极限也是等于非零常数一，这个也可以先算呀。那么大家看，如果把这两个极限等于非零常数，这个因子的极限先算出来的话，

那这极限就变成谁呀二？二倍的x趋向于一的时候，那么上面呢？就剩了一个一减x。底下呢，就剩了一个cosine的二分之派的x。这个就化成了一个谁零比零。但是对于这样一个零比零，你看我们再用洛贝塔是不是就非常简单？它比我们一开始整体把这个掰下来，或者整体把这个掰下来都来的简单。所以呢，就是任何一个方法在使用的时候都是灵活使用，你才能做的简单，所以这个就是二倍的。

然后x趋向于一的时候。那洛贝塔法则是应用上面呢，就负一下面呢，应该是负的二分。之派，然后sine的二分之派的x。x趋向1s in 2分之派是一，然后负号一消，那这样子立马就可以得到这个答案。就是谁呀？派分之四。所以呢，对于这样一个零乘无穷大，你看我们在做的时候就不是按照常规的啊，就硬把它搬下来一个，

然后去落北大。可以做，但是你要看怎么做会更简单？所以你看这个地方呢，关键就是把它这样改写，以后把极限等于非零常数因子极限先算出来。给我们就带来了方便。好，这是我们要看的例31。那么下面呢？我们再来看，比如说像这样的题目。拿到以后，首先判别类型，选择方法，

这什么类型呢？x趋向无穷，那这个底数是无穷。肩膀呢零，所以这是个无穷大的零次方。无穷大的零次方，我们刚才说一般方法就是谁呀，改写成e化成零乘无穷大。所以你看我们把它改写成e以后，实际上我们现在呢，主要是算这个指数的极限。而这个指数呢x趋向无穷的时候，上面无穷，下面无穷，它实际上已经化成一个无穷比无穷。

那么，对于这个无穷比无穷，我们就可以用诺贝塔。这个时候呢，它求导数是一。那么，它求导数呢？就等于根号一+x^2分之一，这个不用仔细算了啊，因为我们过去的积分公式里边是不是有这样一个结论？就是根号的一+x平方，这个等于谁等于ln的x加？根号一，加x平方加c就是我们过去这个积分的基本公式，里边就有这样的基本公式。

既然是这样子，那这个求导就等于根号一+1次方分之一，这个不用再算了。然后x趋向无穷，上面是零，下面是一，所以这个极限就应该等于零。那这个极限等于零，那原式极限就等于谁啊？它就等于e的零次方e的零次方就是一。所以对于这样的无穷大的零次方，我们在处理时候就首先把它改写成e的形式。最后呢，它就化成了一个无穷比无穷，然后再用洛贝塔。

好，下面呢？我们再来看。比如说这样的问题fx是二阶可导。然后呢f0=0f1撇零=1f的两撇零=2要求这个极限。那注意这个呢，跟前面不一样的，就是这个地方出现了一个一般函数f。前面都是具体函数求极限。那我们拿到以后，首先也是判别类型，选择方法什么类型呢？这一看它就是一个零比零。那么零比零呢，我们就想到了谁呀？

诺贝塔法则啊。那所以呢诶，那我们能不能这样做，你看零比零用一次洛比塔2x上面是f1撇，然后再减一。然后再往下做呢，你看下面趋向零，上面呢也趋向零，因为二阶可导，一阶导函数连续f1撇x极限就是f1撇零。还是先零比零啊？那还是零比零，我再用一次洛贝塔，那下面就是二，上面是f两撇。

那不是f两撇的零=2吗？那所以这个极限就等于二分之f两撇零，然后呢？就等于一。做完了，是不是应该这样做呢？那我们说这就是经典的错误。当然不能说是标准的零分，但是得的分数几乎已经趋向零了，它这个答案还是对的。所以这个地方就要特别注意，这就是我们很多同学在求这种抽象函数极限的时候容易犯的一种错误。那我们现在看一下啊，哪里错了？从后面看。

这个等号肯定是对的，因为二分之二等于一，但这个不会给分。但注意这个地方，这个等号，那你想这个两撇极限量等于两撇零。那这个地方需要什么条件？啊，当然这个地方我们知道，就需要f两撇怎么样x它要连续？一个函数在这点连续，那它这点极限就等于这点的值。但是大家注意，人家只告诉说二阶可导，二阶可导能推二阶导函数连续吗？

我们说不能。因为可导b连续二阶可导，只能推一阶导函数，连续推不出来二阶导数连续。所以这一步就错了。那有同学说，为什么二阶可导就推不出二阶导函数？连续关于这个问题，我们放在后面导数那地方，我们专门会举例子。啊好，然后呢？看这个等号。这个等号的话，你要用洛贝塔法则，

洛贝塔法则是要右端这个极限怎么样？要存在。啊哈，就是右端这个极限二阶导函数极限要存在。但是二阶可导，能不能保证这个二阶导函数极限存在呢？我们说也不能。所以这个等号也就错了。那为什么二阶导数存在不能保证二阶导函数极限存在？关于这些这两个问题，我们都会在讲导数那地方专门会举例子再讲。这个问题先留下，如果你这地方不清楚的话，这个问题先留下。然后呢？

再这样再来看这个等号。那么这个等号呢？你用了诺贝塔法则，这个等号对不对？那只有右端这个极限存在，或者等于无穷。但是因为你等不下去了，所以这个右端这个极限到底是存在不存在还是不是等于无穷，根本就不知道。所以这个等号理由也没有。那你现在看一下，一共写了四个等号，这个等号对，但是这个不会给分，这两个等号错了，

这个等号没有理由。那这个几乎就不应该给分，给分也是象征性的给分。所以这就是经典的错误。那么大家肯定要问了，说老师那这个题正确的做法是什么啊？那么在这大家注意。正确的做法，第一次落笔它法则可以用。然后呢？到这儿来以后虽然是零比零就不好用洛贝塔了，因为你用了洛贝塔的时候，那这个极限存在不存在，你不能保证。所以你这就不能用了，

那不能用，还有什么办法呢？实际上大家看你把这个二提出来以后。这个一就是f1撇零。那么，这样的话，你看它可以写成谁二分之一的f一撇x减f一撇零除以x。大家注意这个东西，那不是就是这零点二阶导数的定义吗？那人家告诉你这个等于二，所以根据定义，我们就知道这个应该等于二分之f两撇零。那么，那f两撇零=2，所以这个就等于一。

那么所以呢，在这个地方，大家注意，对于这个题目呢，这个地方只能用一次洛贝塔，不能用第二次，因为你用了以后，洛贝塔要求这个极限存在。二阶可导，不能保证二阶导函数有极限，所以第二步这个地方要用导数的定义。就一次落背它，然后一次导数的这个定义。那这才是正确的做法。所以在这呢，

也顺便给大家归纳总结一下，就是对这种抽象函数求极限，我们在使用洛贝塔法则的时候。一个基本的原则啊，那么如果题目告诉我们是二阶可导，你用洛贝塔法则最多只能用到出现几阶导数啊？一阶倒数。而不能用到出现二阶导数。但是这个时候仍然是不定式，我们怎么办？这个时候要用导数的定义。那么一般的，如果题目告诉你fx是n阶可导。啊，题目告诉你n节课到你记住使用诺贝尔法则的时候，

最多只能用到我们说是最多。只能用到多少阶？只能用到f的n- 1，出现n- 1阶导数。而不能出现n阶导数，因为n阶可导不能保证n阶导函数极限存在。那么，如果题目告诉你f是由n接连续。n阶连续导数。那就是说n阶导函数是连续的，这个条件比它强了，那么这个时候最多可以用到出现谁啊？n阶导数。你看我们这个题目呢，就是二阶可导，

所以你就记住这种呢，在使用诺贝尔法则，最多就只能用到出现极阶导数啊。一阶导数。到这儿呢，以后仍然是零比零，那就不能再用诺贝特法则了，那不能再用诺贝特法则，那往往怎么做呢？一般都是倒数的定义。所以通过这个题目呢，我们就应该一点点要掌握这个抽象函数求极限，在使用诺贝塔法则的时候。到底能够用到出现多少阶导数的这个原则问题，就要注意了。

当然，这个地方遗留了两个问题，这两个问题我们在后面会专门举例子来讲。这是这个题的解法一。那么这个题呢？还有没有别的解法呢啊？那么大家注意。这是一个零比零的极限。那么，这个零比零极限，你看这个地方呢？它提供了函零点函数值零点一阶导数值零点二阶导数值。那么这个时候呢，我们可以考虑用谁啊泰勒公式？那么，

用泰勒公式求极限，极限是个局部性态，所以泰勒公式往往是用局部泰勒公式。那么这儿呢，是提供了零点的函数值，各阶导数值，所以我们就写出f在零点的。带有PL余项的二阶泰勒公式。然后呢，把这些条件带进去，那你看f就等于x+x平方再加小x方。然后呢，把这的f用这个小f的泰勒公式代进去。那就得到这个式子，小ox方除x方极限等于零，

那最后就得到这个极限等于一。这就是这个题目的第二种解法，就利用泰勒公式。好，那么有关求极限常用的第四个方法，诺贝塔法则，我们就看到这个地方。那么下面呢？我们再来看就第五个方法叫做利用泰勒公式求极限。那极限是个局部性态，所以它用泰勒公式的时候，往往是用这一点的谁啊？局部泰勒公式也就是皮亚洛余项的泰勒公式。这就是x0这一点的，这个PL余下的它的公式。

但是我们用的比较比较多的呢，是零点的泰勒公式。所以这个地方比较常用的一个就是e一个就是谁啊，一个是sine一个呢是cosine。一个是ln，还有一个呢是一+x的阿尔法次方。但是也有同学在很多书上看，那泰勒公式可不止写这五个，他经常会写八个。那它它还会写谁呀？还会写这个tan的公式就是tan的tan的公式，那么还会写谁呀？还会写啊？阿克tant tan公式还会写阿克塞因tan公式。但是大家注意吴老师的书上可没写这三个啊，

那有同学说万一考场上我要用到这几个泰勒公式咋办呢？那大家注意啊，你看数学的公式已经够多的了。如果在每一个地方都给你加几个泰勒公式，加几个公式，那这该记的就更多了，最后就会导致。由于太多该记的没记住，不该记的更没记得住。所以呢，就是数学的公式啊，这个即使记也要找规律。那为什么不写这个t an ENT的公式？我说，虽然我不写你照样你要用，

你会写为什么？因为我们知道谁啊，我们知道tan x-x等价于谁啊？三分之x立方，我们前面讲过这个结论，我说你知道这个结论，那它进来它的公式，你就不用背了。但是你得知道怎么去写。基本原理是谁啊？基本原理是这个就是我们在大学学过阿尔法，如果等价于贝塔，那么就可以推出谁啊？阿尔法就等于贝塔再加小欧贝塔。诶，

你看从等价代换写这个式子，那就是等价改等号又再加高阶。那所以呢，你看我由这个式子，我立马就可以知道tan的tan的公式怎么写，那就是等价改等号。右端加高阶。本来是小o三分之x立方，那小o三分之x立方也就是小o立方，我说tan的tan的公式写好了。为什么你只要x移过去，那么这样子tan就等于谁x加上谁啊？三分之一x。x立方再加谁？小x的立方。

这就是为什么不让你去背t anent tan的公式，因为我们知道tan减x等于三分之x立方利用这个思想等价改等号右导加高阶这个tan公式，立马就可以写出来。那么同样的道理arctangent阿阿克塞因的泰勒公式都可以根据这个思想写出来。所以就不用去背了，当然这个地方你要知道这个。就是这个arctan-x这个等价于什么，我们知道这个等价于负的谁？三分之x立方，那么这个呢？减去x这个等价于谁？六分之x立方，这都是我们前面讲过的结论。那么你知道这几个结论，那这个阿rct an阿尔塞因泰勒公式就按照这个思路，

你可以写出来。所以我们数学复习的时候。是要通过一个点带动一大片，而不是说啊，等价代换我背一个，然后泰勒公式又背一个。那这样子就该背的东西就太多了。好，这就是一些常用的泰勒公式。那么下面呢？我们看一些例子啊，比如说像这个。那要求这样的极限判别类型，选择方法，那注意这个呢，

是一个什么类型啊？这一看就是个零比零。那么零比零呢？我们常用的哪些方法？三大方法，洛贝塔等价代换泰勒洛贝塔要用。大家看，如果要一味的用诺贝塔，你看这下面四方，这还是很繁琐的。等价代换呢，那也有同学说给分子上减个一加个一，最后你发现它不法符合那个减法用。等价代换的条件，那还有什么呢？

泰勒。因为这个地方呢，你看这x四次方已经是多项式，我要用泰勒就把这两个都写成多项式的形式。由于cos和e那这个泰勒公式我们都比较熟悉，所以就用泰勒公式。那么这个时候呢，就有一个问题，我的cos和e我写到几次项呢？注意，这是个商的形式，那么它的原则是什么？就是如果出现这种f÷g。那么，这个写泰勒的原则是什么？

就是上下怎么样同幂啊？同幂。诶，你注意这个下面是谁啊？下面是四次的，这个下面的这个次数是知道的，那么所以我立马就知道。这个分子上这两项都写到几次项就够了，都写到四次项就够了。所以呢，这个时候呢，那我们就把cosine用泰勒公式写写到四次项。然后e呢，也要用泰勒公式写，写到40项，

注意这个EX，它的展开式是一+x。加二截成分之x平方再往后写，但是注意我们现在上面是负二分之x平方。那就是把这的x要用负二分之x平方代进去。所以它就看第一项是一第二项，这个一代进去，这是负二分之x平方，再下面一项是二阶乘分之负二分之x平方的平方。大家注意，这已经是四次项了。所以就写到这就够了，这就是小ox的平方。然后呢？就把它带进去。

那么，代进去的话，大家看这个时候一整理的话，这个的常数项二次项跟这个的常数项二次项，这俩是不是就减没了？它的最低次项就是四次项。那么这样的话，我们立马就可以知道这个极限就是负十二分之一。那么在这呢？我们就结合这个题目来给大家总结一下，就是我们在写泰勒公式的时候，到底写到几次项碰到商的形式？那么这个时候就是上下同密。那我们现在呢？知道form是四次，

那我们就上面呢？应该写到四次。但是大家注意这个题呢，如果下面呢，给你写个阿尔法次方，他不知道下面是四次，那我上面写的是我写到几次项呢？那这个呢，就是对这种就是对这种f-g。两个做差啊，我不因为现在不知道下面我要写这个，我写到几次项。这个原则是什么？写到某一个同次幂。它们同次幂系数相减，

不为零。实际上，也就是找它两个相减的谁啊？最低次项。然后这是第一次项。那你比如说好，你看如果我这个呢，在写的时候，那我这如果写第一项，这也写第一项。你看这俩一减就等于零了。如果写二次项，你看它的二次项跟它二次项两个一减一是零了。但是呢，如果我写到四次项。

这个时候你就发现它两个四次项相减的系数不为零。那这也就找到它们差的最低次项是四次项。那这就是做差的时候，然后到底写了几次项，这个原则就清楚了。差是这样的，和也是这样子，就写到某一次幂，那么它两个相差或者相像做差或者做和。那个同次幂的系数，这个合起来不为零啊，也就是找到这个差的最低次幂就够了。因为这些后面的已经不影响机械结构。这就是我们在使用泰勒公式的时候。到底写到几次项，

对商有原则，对于这种差或者和也有基本原则。好，那么对于这个题呢，传统的做法都是用泰勒一般说都是用泰勒，那么是不是这种题只有泰勒比较简单呢？啊，我们不认为是这样子啊，那怎么做还可以做的也非常简单，我们说零比零，我们第一步。可以用一次诺贝塔。但是过去我们为什么不用诺贝塔呢？因为过去想的是第一次诺贝塔，第二次诺贝塔，

这得落多少次？那就是一种固定的模式，当然你这个题呢，你第一次落背它，它并不麻烦，但是再要落背它，这就有点啰嗦了。那怎么办呢？注意这个时候思想是这样来的，因为你看这有个立方。这个解sine。诶，那大家想，如果这个地方加一个x，后面减一个x。

这个时候为什么这样想？因为x减sine等价于六分之x立方呀，这不就能做出来吗？所以我们第一步是用洛贝塔，我们第二步呢，就不是洛贝塔，我们看到这个以后，我们就给上面加一个x- 1。一个x，然后我把这写成减第二项，把这个x提出来。那么，这样的话，大家注意啊，你看上面呢，

我可以看作它与它的差。那这个是在减法里边用等价代换，那这个时候是先换后页，你看先换它等价于谁？它等价于六分之x立方。那注意这个呢，应该等价于谁呀？应该是一减，这应该有个负号，但是这有一个负号。所以它等价于二分之x平方，但是前面一个x它等价于二分之x立方。这个六分之一立方跟二分之一立方不等价，所以符合减法化的条件。然后完了以后呢，

六分之一减去二分之一，因为二分之一就是六分之三，那就是负。负的六分之二，负的六分之二，也就是负的三分之一，负三分之一，乘四分之一，不是就是负十二分之一吗？所以你看这个呢，也比较简单，就第一步，洛贝塔那么第二步呢，是用的谁加项减项等价代换。就洛贝塔跟等价代换两个结合起来，

照样做的很简单而解法，一是纯粹用泰勒。所以你看我们在前面特别强调就零比零核心的方法，就三个就是泰勒诺贝塔等价代换。好，这是我们要看的第34。那么下面呢？我们再来看35啊，它说这个极限等于二则a等于什么b等于什么？这是知道极限确定参数。那么，一个一般的思想仍然是求这个极限。这极限怎么求呢？这一看就是零比零。那么零比零，

你这个用诺贝塔能不能做？能做，但是有点啰嗦，因为这个ln一求导数是一加x分之一。所以我们注意到，这是多项式，这是多项式，就它不是多项式。那我们就想到了谁泰勒。把这个log 1+x用泰勒切开，写到几次项上下同比的原则，底下是二次，我只要把它写到二次。这就是传统的解法，我把这个ln 1+x用泰勒公式写开，

写到二次项，因为下面是二次。然后这个时候呢，把上面同次幂整理到一起，你看一次项。二次项。那么，大家注意，这个极限可要等于二。那你想下面是二次的这个极限要等于二一次项的系数，必须等于谁零，如果一次项系数不等于零，那极限肯定是无穷。而这个时候呢，二次项的系数就是负二分之一b，

这个二次项的系数必须等于二。那所以我们就根据一次项的系数等于零，我们就得到a=1。而根据这个二次项的系数，负二分之一加b等于二就得到b等于负的二分之五。那么这样子，我们就知道a是正确的。这是解法一啊，那就是在这个地方呢，直接求这个极限定参数怎么求的呢？就是把ln 1+x用泰勒公式写开。嗯，那么下面呢？我们来看这地方呢？还有没有别的方法？

就是刚才这个方法是定参数AB，实际上是同时把这两个。定出来了，那我们说这个地方呢，还有一种思想，你两个参数，我们可以各个击破一个一个来定。怎么一个一个来定呢啊？这个时候我们来看。这个极限等于二。如果我给你这个式子，乘以一个x呢，你把它原来极限等于二，我乘以一个趋向零的这个x这个极限就应该等于谁零？这个呢，

大家都很容易理解，但是要有这个思想，但是注意这个一×x以后，这个极限就变成谁啊，下面就变成x了。所以我们就由原始极限等于二，我就知道这个极限等于零。那有同学说，为什么想到它呢？我说你想到这个a就定出来了，为什么因为这两个一比就是a这两个一比这个除以x极限是零？那么，这样的话就是ln一加x比上x这个极限是一呀一减a，是不是就等于零啊？啊哈，

你看ln 1+x比x是1 ax减就是负ax比x，这个极限是a。那不是就得到一减a等于零吗？那么e-a=0，我是立马就把a定出来了。这就叫各个击破，那有同学说你a定出来，你b咋定呢？那么a定出来以后b怎么定？大家看我现在已经知道a是等于一了b等于什么？实际上呢，我从右端这个地方你看。那这个时候bx方除x方就是b，它前面有个负号，那么a现在等于一那么？

那我就得到x趋向零的时候，这个减b=2。但这个极限好求啊，因为分子等价于负二分之一x平方。所以我是不就可以得到负二分之一减b等于谁等于二？那这个b就等于负二分之一减二，这样子是不是就立马就可以把b就定出来了？这呢，就叫做各个击破那么一呢，是用t的公式，这是常规方法，两个同时定。这个是各个击破，你看这个也非常简洁，运算量非常小，

但是要有这个想法。那就是说在这个地方乘一个x，为什么小到乘x呢？因为一×x下面是一次方，我就把a定出来。一旦a定出来以后，那这个极限可以拆成两个式子。然后呢b就立马可以定出来。好，这是解法二。还有什么方法？因为你这是选择题。那我也可以用谁呀？也可以用代入的思想。你注意你的a呢，

就两个值看，一个是一，一个是谁零啊？你就两个值，那我把你带进去，比如说这个时候呢，我把你a=0带进去。对了就对，那不对的话，那只能等于一。大家想a=0代进去这个式子成立吗？我说肯定不成立，因为a=0代进去这一项没了，那第二项极限是负b。但是ln 1+x比平方可是无穷啊。

那所以立马就知道这个a=0，肯定是错的，不满足原来上面这个式子。既然a=0错了，它依旧两个值，我立马就知道a等于谁呀。a就应该等于一。那么a=1以后。这个时候呢，你看a=1，那这个时候我们就知道有两个错了，看到没有？那这个就错了a=0错了，这个也错了a现在等于1b现在有几个值啊有？两个值一个呢，

是负二分之五一个呢，是谁呀？一个是负二。那实际上呢？这个时候呢，我们来看一下啊。我们立马可以知道b=- 2是错的，为什么b=- 2是错的？大家看，因为这个时候呢，你看你这个b如果等于负二的话。那这个地方第二项的极限就是二二=2。p=- 2的话，那这个负bx方除了这个就是二，但是前面还有一个极限x趋向零的时候。

这是x方分之ln的一+x-x。加上这个也等于它，但是呢，要这个式子除成立，除非它比上平方的极限等于零。但是我们知道这个极限是不等于零，那么所以我们就知道这个就错了。那这个又错了，你看三个都错了，那是不只能是这个对？这就是代入法，所以呢，对这种呢，出现这种参数题目，它出成选择题的时候。

也可以用这种代入的思想来处理。所以注意我们这地方用了三种思想，第一个呢，就是求极限定参数，就是两个参数同时定。啊，同时d。这个呢，就是各个击破嗯，那这个呢，就是一个一个来啊，就一个一个来各个击破。啊，那实际上呢？它有第三种方法就是也可以把它一个一个代入用代入的方法，

然后再看。正确的是谁？好，这是我们要看的35。那么下面呢？我们再来看36。这个呢，也是代表一种题型，你看它说这个极限等于零，则这个极限就已知一个极限，求另外一个极限。哎，那当然是首先要看这两个，这个已知极限和要求极限之间什么关系？那大家看你看，

这是xf这是立方，这是f这是x平方。这是s in 6x。这是立方，这是六+x。诶，有同学一想，老师简单呀s in 6x不是等价于6x吗？哦，那这样子就比较简单了，你看你不是告诉零等于这个那s in 6x不是就等价于6x吗？那么这样子上下消一个x不是正好是你要求的极限吗？那这这个就做出来，这个就等于零啊，那所以呢就选a。

是不是这样子啊？那我们说这就叫经典的错误，标准的零分就是这个得的得的分数。和这个题目的答案一模一样，标准零分，你看出题人也够狠的，他第一个选项就给你出的是这个。他知道你容易犯这种错误，你看他第一个选项就给你出的这个。为什么错了呢？注意你这个地方呢，你在用等价代换，你是在什么里边用啊？是在加法里边用。大家注意加减法用是有条件的，

乘除法是无条件的，用加法用的条件是两个加项之比，极限不等于负一。但是你怎么能知道这两个值比例一些不等于负一呢？判断不了。所以这一步就错了。那还有什么办法可以用呢？但是这个时候呢。注意s in等价于6x等价代换在加减法里边是有条件的，它这个s in 6x能不能写成6x加什么呢？我们是不是就想到了泰勒？我可以用泰勒来改写它。泰勒公式什么时候可以都可以用，因为它是等量代换。写到几次项，

下面三次上下同密，我写到三次项，这就有了解法一。所以你看解法一呢，就是把这地方s in 6x用泰勒公式写开。写到三四项，为什么有这个想法？因为这样子，这也可以出现6x。那么，6x跟后面放在一起的话，就会出现我们要求的极限。但这个时候注意小o立方，除立方极限等于零这个地方呢x立方除立方。上面有个六的三次方。

那么，其中一个六跟下面消掉，还剩下一个六，那就是36，那最后就得到它减36=0。那我们就立马知道要求这个极限应该是谁36。啊，这个题目就做完了，所以这个时候呢，就是用的是谁，主要用的是一个泰勒啊。用泰勒公式把s in 6x写开，最后就可以得到要求的极限是36。还有什么办法呢？啊，

这还有一个思想也是常用的，就是知道这个极限要求这个极限。那我们想那要把要求的极限，是不是要跟已知极限联系起来？但是要联系起来呢，我们刚才说这要是个6x，那不是直接就联系起来，但是又不能用等价代换。那怎么办呢？加上。减项是不常用的，那我可以给分子上加一个6 x- 1个6x讲的通俗一点就凑这个极限。在已知极限里面凑这个形式。那么，所以就有了减法二，

你看我们给这个分子上减一个6 x+1个6x。怎么会想到这个呢？因为这儿呢，你看除立方就出现了我们要的极限。这就是一种常用的思想，就是讲到通俗点，在已知极限里边凑我们要求的这个极限。然后呢？这个时候前面这个极限，这是一个已知函数极限，我们可以用谁啊？等价代换。因为s in的六x减六x等价于负六分之一，六x的立方。那么这样的话，

我们就可以得到前面极限负36。负36，加上这个等于零，那后面这极限只能等于谁36？这也是在做这个已知一个极限，求另外一个极限的时候，一种常用的思想就是在已知极限当中。凑要求的这个极限，我们怎么凑？根据这个题目，我们给它减一个6 x+1个6x。那么这种题呢？还有没有别的方法呢？注意这个我们讲义上面有写，我们在这也讲一下，

还有一种思想就已知这个极限等于它，我要求这个极限。有没有其他的一般思想有啊？那是什么？那就是我们前面讲的极限和无穷小的关系。那就是fx以a为极限充要条件是谁f？就能写成极限值，加一个谁呀？无穷小。诶，你不是告诉我这个极限等于零吗？那么有这个条件，我们立马就可以知道s in 6 x+xfx。除以谁呀？x立方就等于零，

加上一个谁阿尔法。其中，这个阿尔法是趋向于零的。那有同学说知道这个有什么用呢，大家看这个过程，我们不在这写了，你不是想求这个极限吗？求这个极限不不好求的原因是f不知道，那我问你，你通过这个式子是不是就可以把f？用已知的形式表示出来。你把x立方乘过来，把s in 6x减过来，这样就得到了f表达式。得到f表达式，

把f表达式带到这，直接算这个极限就可以了呀。这实际上也是个一般思想，所以就知道一个极限算另外一个极限，那么这个时候呢，也可以用这样一个思想来利用这个已知极限。因为有了这个式子，就可以把f用其他的已知形式表示出来，代进去做。好，这个具体过程我不在这看了。还有什么方法呢？注意，这是选择题。那么许我们前面呢？

这三种方法实际上都是直接法。那么，选择题还有一个常用方法叫排除法。那如何用呢？那这个时候注意为什么想到排除法，因为它里边有一个一般函数。就是这个f。那这个时候呢，我们怎么用排除法？那就具体函数法就选一个符合题目条件的，具体函数f。那就选一个f，使得这个极限等于零。那有同学说这个f选谁我看不出来呀。实际上，

这个想通了，这就很简单。那f选谁呢？那你可以这样想。如果它的分子就直接等于零。那你注意，你分母趋向的分子就是真正的零极限，当然是零啊。所以就是间接的方法去写，那我就这样来写哦，那我就是sine 6 x+x。fx=0这样选出的f当然符合题目条件，那我从这地方我是不是就立马就知道这个fx？就等于谁，那就等于负的x分之s in的六x。

好，然后呢？我就把这个f带到这算这个极限。那么算出来以后呢？最后就是36那么这样子，我就知道这几个都错了，我的一个例子不能肯定一点呢。但是我就可以知道这些都错了啊。那所以。那像这个题目呢，也可以用排除法。好，这是我们要看的例36。那么下面呢？我们再来看求极限比较常用的第六个方法就是加b原理求极限。

啊，在这呢，我们通过个例子啊，这是过去的一道考题，当然这样呢，是一个n项和。那我们前面也讲了，能不能这样做，你看这个极限零这个零这个也是零啊，所以这个极限等于零。我们前面讲过，这就是标准的零分，经典错误，为什么和的极限不能一项一项去算啊？因为这个地方是n项。

这个n呢，是趋向于正无穷。啊和的极限等于极限和它必须是有现象，这个呢，应该是无穷多小，你就不能一项一项去算？那怎么算呢？那最常用的就是加b。嘉宾呢，就是这样做啊，就是他不能整体不好，整体算的原因是你这个分母不一样，你要通分合，那就很麻烦。所以我们这地方通过加b，

主要是把分母换的怎么样？换的一样，也就是说。这个时候我要做这个极限啊解。那我们如果要缩小，那么这个时候就把所有的分母换成最大的分母。那么大家看这个最大的分母是谁呀？是n方加n再加n，所有分母都换成大。分母一样就变成分子相加呀。那这个分子相减一加二，一直加到n它等于谁二分之n乘n加一？如果要把它放大，所有的分母都应该换成最小的分母，而最小的分母是谁呀？

就是n方加n。再加一分母一样，分子相加，那最后就是二分之n乘谁呀n加一？然后呢，这分子分母都是n的多项式极限等一些主要关注分子分母的最高次。这个最高次是n平方，这也是n平方那，所以极限就等于平方项的系数二分之一。同理，这边的极限也是二分之一。那么，这样子根据加宾原理就可以知道这个极限等于二分之一。好，这是非常典型的加宾原理的题目，

这个里边在放缩的时候用的这个思想。也是我们在用加密原理的时候，最常用的思想就所有分母都换成最大的或者所有的分母都换成谁呀？最小的好，下面呢，我们再来看。例38要求这个极限。那么，大家注意，这个里边是无穷。肩膀呢？是个n分之一次方，实际上应该是个无穷大的零次方。怎么求这个极限呢？大家看这个里边一可以看作一的N次方二的N次方三的N次方。

那这个时候注意老大起决定性作用，三是老大。这个老大的作用主要体现在什么地方呢？所以我们这地方呢，就有了解法一。大家看那我们把这个三的N次方给它提出来啊，哈哈，那就是。这个时候呢，我们就得到n取向于无穷，这是三这开n方这里边。就变成谁？这就是三分之一的n方，然后再加上谁三分之二的n方。然后里边就变成谁呀加一。

但是这呢，你注意这个n趋向无穷，这两个都趋。下谁零。所以我们原来讲过这个极限，你看我们是不是讲过n取向无穷xn次方？这个极限等于什么？只要x的绝对值小于一，它都等于零。我们现在x一个三分之一，一个三分之二绝对值当然小于一啊。那么，如果这个x绝对值要大于一，它就是无穷。如果x要等于一，

它就是一。如果x=- 1，它就不存在。所以把这个老大一提以后，这两个底数绝对值都比一小，所以这两个曲线呢，里边曲线一。那这就变成一的零次方，那就是一，所以这个就等于三。这个就是把老大提出来，这个可以得到这个机械等于三。那实际上呢，还可以用什么方法呢啊？大家看也可以用这样的方法解法二。

啊，就是根号那这地方呢？是一+2n方。再加3n方。然后呢？我们把它放大，怎么放大？然后这个呢？里边呢？三个底数不一样，都换成老大。都换成三的N次方。那么这儿呢，就放大了，就是三倍的三的N次方。

诶，那有同学说缩小都换成小的，那这个时候呢？换成谁换成每个都换成一，那这不就是3 kn次方吗？诶，那一个是把它都换成最大三倍的，最大一个都换成最小。但这个时候呢，注意看这个，我们是不是讲过a kn方？这个极限是一。所以三开n方极限是一，那这个呢？开n方就是三，

所以这边呢是三。但这边呢，极限是谁呀？极限是一呀。那你注意这个加宾原理要做出结果，要两边极限存在，明天要相等，现在两边不一样，你就没有结果。所以呢，就这个地方就要注意了，那就这个地方呢看。怎么能够放缩以后两边极限一样？那所以在这就要注意了啊，你看这是一种常规思想，

就把里边都换成最大都换成最小。但是呢，有时候也要灵活处理啊，你看这个题都犯最大错和最小，你就做不出来。那怎么做呢？你注意你右端放大以后，你先看右端极限是三。所以你想你缩小的时候，当然希望这边极限也是三。诶，那大家想想，我要缩小它，我希望左边极限是三。那么大家想。

如果没有前面两项，只有它。不是出来就是三吗？哎，所以呢，你看我有了这个目标，我冲着这个目标缩小，那这个地方我缩小的时候。诶，我就前两项都不要了。只留谁呀？三的N次方。但是为什么胆子这么大？因为我已经这边是三了，我已经看出这个极限也是三呀。

所以在用加b原理的时候，注意放大或者缩小以后，一边的极限，知道以后再缩小或者放大，另外一边的时候。是不是要想想你的目标？想想你这个目标三以后你缩小的时候，你是不是也应该留这个三的N次方，而这两项都不要了？你的结果不是就有了吗？啊，所以这种思想一点一点也要建立起来。好，那么这样的话，实际上也就是说1n方加2n方加3n方kn方这三个不同的正数的N次方的和kn方。

最后极限就等于底数当中最大的一个。那这个时候我们来看。诶，这是a1的n方。a2的n方am的n方m个正数N次方和kn方。那我们猜想这个极限应该是谁？就应该是这m个AI当中怎么样大的一个，如果把这个大的一个记作a的话。我们猜一下，应该是这个结果。但是如何说明这个结果呢？那我们在这个地方呢，好给它一个。证明那刚才呢？我们用了两种方法，

一个是提底数最大的那个，还有一个呢是用加b。但这个呢，你注意啊，我们说这个猜想是它，我们是不是也可以提这个底数最大的那个？但这个地方呢，就有一个问题，什么问题呀？它这个地方只是说AI都大于零，没有说底数一定不相等。那这就会出现什么问题啊？那这个底数最大的这个项，它可能只出现一次，它也可能出现两次，

也可能出现三次。所以这个你要往出提，这个你这个地方就得分很多情况来讨论。那这个就不大方便。所以我们就想用第二个方法加b原理。那么，用加v原理的时候，大家注意，你看这是根号，然后这是a1n方。加a2n方一直加加到谁呀？加到am的n方。这个时候注意，我把你每一项你不管，你这个最大项出现多少次，

我把你每一项都换成底数最大的。这个底数的N次方。肯定是放大了，你一共有多少项？你一共是有m项？然后呢？缩小。时候就要注意了，因为这个地方大家注意，你看m kn方m是个定值，这个极限是一。那么所以呢，右端的极限就是a。我当然缩小的时候，我要注意，

我希望我左边极限也是a。那怎么缩小呢？那你每一项都是正的，我说你其他项都不要了，只留一个谁啊？底数最大的那一项，这不就缩小了？但是为什么胆子这么大？可以，其他都不要，因为这边极限这样做也是a这边是a这边也是a那加在中间不是就是a吗？所以我们就知道m个正数的N次方的和kn方极限就等于底数当中最大的一个。那么，有了这个一般结呢？那你像刚才这个题就不用那样做，

直接写结果呀n取消无穷开n方。你这是一+2n方，再加3n方，这不就是三个正数的N次方的和kn方极限等于谁底数当中最大的一个？三所以这就是一个一般结论，证明了这个结论以后就可以直接用。好在这呢，我们再看一个。这是二零零八年数学四的考题，有同学说哪有数学四啊，现在不是就是一二三吗？但是大家注意，考研最早的时候几个卷子啊？五个卷子。一二三四五那后来呢？

因为你想要五个卷子，每套卷子要出每一个卷子，每一种卷子要出两套题。所谓命题的人，得出十套卷子，这工作量还是蛮大的。所以后来呢，他们就捡到四个卷子。出了几年，觉得四个卷子八套，四种卷子八套题，这个也工作量挺大，所以。这个零九年要把三跟四合到一起，所以现在就一共只有三个卷子，

这就是数学四。也是考经济管理类，最后一次考，他出了这个题，他说a大于零，小于b则这个极限等于什么？那么，拿到这个题以后怎么做呢？大家注意，这个地方是n分之一次方。诶n分之一次方就是谁呀？就是kn方呀？那么所以呢，这个题就可以写成谁n取消无穷，那这地方是kn方。

然后里边呢，你看a的负N次方。那实际上是a的负一次方的N次方，那实际上也就是a分之一的N次方。然后呢？这个b的负N次方，那就是b的负一次方的N次方，那实际上也就是b分之一的N次方。那你现在看。这是不是就是两个正数的N次方的和kn方根据我们刚才的结论，就等于这两个底数当中大的一个？但你注意。由这个地方，我们立马就知道a分之一和b分之一这两个正数底数大的是谁呀a分之一。所以做完了。

大家注意，你看这题，你要知道我们刚才那个结论，又看出这个题属于我们刚才这个类型。上了考场这题就是秒杀的题目，简单题。反之，你如果不知道我们刚才那个结论，又看不出这个东西，那这题上了考场对我们同学还是难题。所以就是我们刚才总结呢，那个负这个根式里边是m个正数的N次方的和。然后再开N次方这种极限，咱们考卷里边多次出现。好，

下面呢，再看一个。这个也是在很多考研硕士上都有这样一道题目。它说nn趋向于无穷，然后是一加xn次方，再加二分之x平方N次方。开发。当然，这个题现在在有很多书上也是这样做的，它用我们前面那个往出题的思想。所以你看它就分要分很多区间，然后往出提，要么提xn次方，要么提二分之x平方的N次方。但是那样做就很麻烦。

有没有简单方法呢？那你拿到这一题以后，大家看一就是一的N次方诶，这xn次方这二分之x平方的N次方。那么这个呢？这不就是三个正数的N次方的和kn方取极限吗？啊，那看出这样一点的话，利用我们刚才的结论。那我们立马就可以知道这个原式极限，它应该等于谁，就等于这三个当中大的一个。一个底数是一，一个底数是x，一个底数是二分之x平方。

只不过过去的题目，这三个数是定值，我们现在是个变的。但是在这个范围之内变，那我们在这个范围之内，这三个到底谁大谁小呢？怎么办？这个简单的方法显然是几何的方法。那我们来看这个x是大于零，这是x，这是y。那好啦，第一个是一，我们就画一条y=1，这是y=1这条线，

然后呢？第二是谁y=x？这儿是y等于x再画一条线y等于二分之x平方，我想这个大家都会画。y等于二分之x平方就是这样一个抛物线。为什么要画它？那你不是要看同一个x这三个谁大？那实际上几何上我们就知道。这个时候那就是同一个x这三条线，谁在上面谁就大。那么大家看，这是一。那么，在这一段的时候，谁大一就大呀？

所以在这个零一这个区间上一大那，所以你这个地方就可以写结果啦，你看这个x是大。大于零，小于等于一。在这一段上，谁打一打？然后完了以后呢，从这又得分，这是谁跟谁的交点它俩的交点。那么它俩交点这个消去x，这应该是二那么所以呢，你看在x要大于一小于等于二。这段上谁在上面x在上面？那么，

一旦。x要大于二，那谁在上面二分之x平方在上面做完了。大家首先看第一步就是用了我们已有结论，那么第二步呢？这个在找这个谁大谁小的时候注意。几何的方法是不是更直观，更简单？那你想这样做这个题就非常简单。好，我们把这个题再延伸一下。大家注意，如果这个题这不是一，这是二，你会不会做？

哎，有同学说二我会做呀，我把二提出来，这就变一了。但是二一题，你这个地方怎么写成谁的N次方呢？这后面又不好办了。那这题怎么做呢？实际上，想通了就很简单。我说你把二怎么写？二是不就等于一+1？诶，那这样的话就是一的N次方再来一的N次方再加xn次方再加二分之x平方N次方。这无非就是四个正数的N次方的和开n方去极限，

极限应该等于这四个底数当中大的一个。但这俩是一样的，所以这个底数大的，这四个当中大的也就等于这三个当中大的，所以答案照样是它。哦，那你这样一想啊，你这换成二答案是它，那我说你把那一换成100答案也是它原因是谁？100就可以写成100个一相加，你说对不对呢？啊，这就是一种延伸。好，这是关于加b原理，

求极限。那么下面呢？我们再来看叫做利用单调，有借准则，求极限。那这个呢，比较典型的问题就是这种，就是说x1是大于零的。xn加一等于二分之xn加xn分之一，要求这个极限。那么，这种呢？在做的时候往往是两步。第一步，先要证明存在。

第二步，等式两边取极限。而证明这个极限存在呢，往往是用谁啊？单调有界准则。当然，对于这个题目来讲，你看我们看x1是大于零。那我们带到这儿以后就知道x2应该大于零。所以可以知道所有的xn都是大于零的。那么知道xn大于零，我要用单调有界准则证明这个极限存在，有同学说我到底是正单调增还是正单调减？啊，证明上游借还是下游借？

大家注意这个地方呢，有一些规律，平时就要总结啊。那么注意，如果你因为你不管证这个单调增单调减还是证上一阶下一阶，实际上都是在证不等式。那这个地方呢？有一个不等式是常用的。什么是长与短？就是我们初等数学有个2 AB不超过谁呀？a方加上谁呀？b平方。啊，这个不等式常用的，有这个思想和没有这个思想就完全不一样，

那么这个时候大家就要注意，如果你这个式子里边出现两个正数的乘积。或者出现两个正数的和的时候，就可以借助于用这个不等式。那么大家注意，你看我已经知道这个xn是大于零。那么，这样的话，这一项是正的，这一项也是正的，这就出现两个正数的和。两个正数的和是不是可以考虑用这个不等式呀？这就是这个题的一个关键步骤。那么实际上呢？大家看。

我这两个正数的和我是不是可以写成根号xn的平方加根号xn分之一的平方，这就是a方加b方。那我们知道它大于等于谁呀？二倍的AB。但是呢，这个时候一乘这就是一那么这样子，我们就得到xn+1大于等于一。那有同学说你才挣了个下游界，这不是已经有下游界，你正在干啥？但是实际上大家注意，这个东西是这个题的一个关键，下游界不用你证，但是呢，你要证单调性。

那这个就是关键，为什么你现在看我们用正正单调性最常用的有两种方法？一个呢，就是后项减前项，一个是后项比前项。那么在这呢，我们来看，如果用后项减前项，那就是给这个式子两边大家都减一个xn。都减一个xn，以后因为这个地方二分之xn减一个xn，这是不是负二分之xn？然后呢，这个时候把右端一整理。那么，

正是由于有这个条件。那我们是不就知道这个一减xn这个平方就小于等于零？那好了，后项减前项小于等于零，我就知道它单调减，所以你看这个条件在证明单调减的时候就起着一个关键性的作用。还有没有别的方法呢？也可以用后项比前项就这个式子两边呢，同除以个谁呀xn？那么，这样的话就得到二分之一加xn平方分之一，再用这个条件，那我们就知道这个分母是大于等于一。form大于等于一，那form变小值就变大。

这样就得到后项比前项小于等于一注意，这两个都可以说明这个数列是单调减。但是在用这两种方法双面单调减的时候，核心都是用到了这个，要没有这一条，你是证不出来的。所以这个题目整个呢，这个过程当中这一步是关键，而这一步的核心就是用了这样一个基本。不等式。那么这样呢，我就证明它单调减下有界这个极限就存在。所以这种递推关系定义的极限，在第一步的时候。那实际上就是在正谁啊正极限存在。

用的是谁？往往就是单调又借准则。那么，证明极限存在以后，求极限怎么求呢？这个时候就是开始第二步了okay，另这个极限等于a。然后正因为这个极限是存在的，我等式两边可以怎么样可以取极限？那么，取极限以后注意。这个呢，是单调减。那你取极限，这个a就不能等于零，

等于零，你就不能这样写，但怎么知道它不会等于零呢？因为它是下有界。因为它都大于等于一极限，不可能是零，所以这个才在分母上可以取。然后完了以后呢，这个时候把这个式子一改写两边同乘二，那我们实际上你看这个式子呢，如果两边同乘二，那我们可以得到谁？二a就等于谁a加a分之一。那么这样子，我们是不是就可以得到a方等于一那a呢？

就等于正负一。但是极限要存在是唯一的，那这个极限能是负一吗？不可能因为它每一项都是大于零。极限就不可能是负一，既然不可能是负一，那就只能是谁啊正一。所以这种递推关系定义的数列极限，在求的时候啊，两步第一步就是正存在。第二步，求极限。显然，第二步简单，第一步复杂。

那第一步呢，证存在是要用单调有借准则证，那不管证单调还是证有借都是证不等式。所以首先要有这个思想，就是初等数学的2 AB不超过a方加b方，所以出现两个正数的乘积或者两个正数和的时候。立马联想到这个不等式，因为这个题目的关键，实际上就这一步。也有同学说老师人家没有让你正常，让你求极限啊。所以有同学说老师那我就上了考场，我就这样做，我不去这样存在，我就从这开始直接写零极限等于a等式两边取极限。

我也求出了a=1呀。但是注意，如果这个题是十分的话，你没有第一步，只有第二步最多得几分啊两分。那为什么不能这样子呢？你不是就是让我求极限，我就等式两边求极限呀。但是你可注意啊，因为等式两边你要取极限，仍然保持是这个等式。前提是谁啊？前提是极限要存在。如果你不能保证极限存在，就算你算了这个等式，

你也不一定能算出正确的答案。在这我们举一个反例。比如说。x1就等于1 xn+1。就等于一减xn。好了，那我说这个有同学说哎，老师啊，我也就两边假设这个极限等于a等式，两边取极限。那不是，就是a等于一减a二a等于一，我不是立马就得到a等于谁啊？二分之一。你看这个呢，

还算出来只有一个结果，还没有说你这一方两个结果，你还要判断一下。但是a等于二分之一是这个数列的极限吗？啊，我们说根本不是，你看一下这个数列啊x1=1。那我问你x二等于谁x二是不是就是把xn用一代进去一减一是谁零？那x3呢？就是把这儿呢，用零代进去，那就是一。啊，再一代是零，再一代是一哦，

原来。这个定义的数列就是谁啊？就是这个数列就是一零一零一零，大家想一零一零这个数列。有极限吗？没有极限。那为什么你会算出一个二分之一呢？那就是因为它没有极限，你取了等式以后，这个就不一定成立，所以你算出就算你算出一个结果，这个结果也不是它的极限。这就是为什么这种题必须要有第一步，因为只有极限存在等式，两边取极限才能保证是等式。

如果你都不能断定极限存在，就算你算个结果，你都不能断定它是这个题的答案呀，所以这种题啊。就算人家只是让你求极限，这个第一步是少不了的。如果这种题不需要第一步的话，那这种题在考研卷子就见不到了，对中学生那都是简单题。所以这种题呢，就是个第一步是少不了的。这就是用单调，有借种则求极限，非常典型的类型，也是常用的一些基本方法。

好，这是我们要看的这个例42啊，也就是我们要复习的第七种方法单调，有接准则求极限。但是注意这种题，一旦在卷子里边考，一般都是难题，在我们这个地方呢，只是介绍了这种题的一些基本方法。当然，要真正突破它，我们在强化阶段会再专门做提升。好，那么下面呢？我们再来看方法八叫做利用定积分的定义。

就极限。好，那我们来看一个例子，比如说像这样的问题n取小于无穷，求这样一个极限。那有同学说老师诶，这不是n项和的极限，当然不能一项一项去算，因为这不是有限项和。这是n项是无穷多项和，所以我们就想哎，我们前面有加b呀，那为什么不用加b来做呢？好，那我们来试一下。

如果用加b做，那这个要缩小我们最常用的方法是谁啊？那就把所有分母都换成最大的分母。最大的分母是谁？最大的分母就是n+n。那好了，分母一样就变成分子相加n个一相加，这就是n。然后要放大，那就把分母换成最小的分母。最小的分母是谁呀？是n+1。那好啦，这个时候呢，上面就是n个一相加，

这就是n。那这个时候可注意这个极限等于谁一这个极限等于谁二分之一？啊，那你可以注意加宾原理，要出结果是要两端有极限变成两端极限相等。这个时候才有结果，现在是两端，虽然都有极限，但是两端的极限不相等。那有结果吗？没有结果，那有同学说这个极限应该在二分之一和一之间没错，但是是谁呢？那就不行。那你这个现在就得不出来。

呃，那你看，同样是n向和的极限，你看这个呢？你用这个加b原理，这样一加降不出来。事实上呢，大家注意，如果我们告诉大家这个结果。你就知道这个极限，你要用加b原理做就很难的题目，因为这个题的答案是烙印二。你想想你要用一个加b原理做出这个ln 2出来，加出这个ln 2出来。这个可想而知，

这个题目的难度也能做一会，我们可以讲一下。但是现在我们就要分析这有没有简单的方法呢？那我们说n项和的极限，除了加b也可以用谁啊？定积分的定义。但是为什么想到定积分定义呢？因为我们定积分也是个合适的极限啊。反过来我们就想那你这个和是极限，能不能化成一个定积分呢？如果能，我们这就把你算出来了。那问题就来了，我拿到这个和是极限，我怎么能够看出？

它是哪个定积分啊？哈哈，它等于哪个函数在哪个区间上定积分？这就是问题的关键。就是我这个贝塔函数，我怎么看出来我这个区间我怎么看出来？在这呢，我们做一个一般的分析。那还得从哪里分析去？从定积分的定义分析去。那我们知道a到bfx这个积分。我们当时是怎么定义是用一个合适的极限来定义？那怎么用合适极限来定义呢？它是这样子啊，你看它这是a这是b，

然后当时定义的时候就是把这个区间呢任意划分成n个子区间。然后呢，在dk个值区间上任意取一点。那么这个点呢，我们把它记作可CK。那就是算出这一点的函数值。然后再乘上谁dk跟子区间的长度，德尔塔xk。每个子区间上取点函数值，乘上子区间长度，然后把每个子区间做这个乘积呢加起来。最后呢，再取一个谁呀？极限。那么，

这个拿姆达表示n个子区间长度最大值。如果对区间的任意的分法。和这个子区间可视开的任意的取法，这个和是都趋向同一个常数。我们就称这个函数在这些定义方是存在的，并把这个极限值定义为。这个函数在这个区间上的电解分的值。那么，大家注意，这个地方得有两个任意性，就是区间是任意划分cos塞，开始任意选取。但是倒过来，我们用这个来算这个合适的极限的时候。那么在这呢，

我们往往这个积分是存在的。那么另外一个呢？大家要注意，就是我们这地方呢，给大家的这种n向和的极限。那么，大家注意前后项有规律。为什么你看这是n+1，这就是n+2，下面就是n+3，后面就是n+n，有没有给你那个n项和的极限前后项都没有规律？没有，既然这么很有规律，所以大家想它这个区间在分的时候啊。

往往就不可能是任意一分点呢，也不可能任意去，如果区间任意一分点也任意去，那写出来合适，有这么好的规律吗？往往是没有的。所以呢，它往往是有规律的分，有规律的取。那么有规律的分，一般是怎么分呢啊？那一般是谁呀？n等分。诶，大家可注意啊AB区间n等分对我们有什么帮助？

大家想n等分以后，每个子区间。长度都应该是n分之b减a。诶，这就是问题的关键。哎，既然是n分之b减a，那么我们为什么拿到一个合适极限不大容易看出它是哪一个函数在哪个曲线上积分呢？就是因为这个跟n有关系，后面也跟n有关系。它把这两个啊给你搅在一起了。我们不大容易看出f，也不大容易看出区间。但是现在呢，你可注意，

既然是等分，那后面是n分之b减a，但是求和是对k求啊。那我就可以把谁呀？我是不是就可以把后面这个n分之一提出来？那么，这个一提出来以后呢？那如果是等分的话，这就变成n取小无穷，为什么要提它？因为这一提走以后啊。这就是f可CK。然后k呢，从一到n。那有同学说后面还剩个b-a。

但是这也是个常数啊。那就是说里边呢，实际上主要就剩下倍积函数在n个点上，函数值的和。我从这要看出f是谁，是不是变得容易了？所以这一步就很关键。那么，提这个n分之一，然后再看被这函数积分区间。这就是一个一般思想。所以我们拿到这种n项和的极限，我们要用这个定积分的定义来做的话。那么，首先就是往外提一个谁呀？

n分之一。为什么要提它？因为提完以后往往就是倍增函数在n个点上，函数值的和我要看出f是谁。区间是谁就变得容易了。那么，大家看tn分之一以后，这个分母上就相当于tn走了，这就变成一加n分之一，一加n分之二，一加n分之n，我就要从这看被积函数是谁呀？那大家看被机函数是谁？它不是倍积函数在n个点上函数值的，和大家看这n项结构一样，

就哪里变这儿变。n分之一n分之二n分之n。诶，那被这函数是谁？哪里变哪里？是不是记做变量？那么所以我说你从这可以看出被接函数就是一加x分之一，那就是哪里变哪里计作变量。然后有同学说区间是谁，区间不是就是这个x变化的范围吗？那你注意n分之一n分之二n分之nn分之n就是一。那有同学说n分之一也不是零啊n分之一，虽然不是零，但是你注意它实际上是把零一n等分以后。每个子区间的长度是不是都是n分之一？

那么，这样的话n分之一事实实际上是谁？第一个子区间的右端点，所以它在每个子区间上取的时候都取的是谁呀？右端点的函数值。那么，这样的话，这个零一区间n等分以后，第一个子区间右端点就是n分之一，所以就知道它是一加x在零一区间上等于几分。那么，这个积分就好算了，因为原函数是ln 1+x把零一代ln 2。所以我们回过来总结一下，大家看通过这个分析，

我们就知道，如果要用一个定积分的定义求极限。首先第一步非常关键。那就是往出提一个n分之一。那么，这个一提问题立马就变简单了，所以我们把这个呢n分之一就叫做可爱因子。你看他可爱不可爱，就是你看你把一个合适的极限要转化为一个定积分，你要从这看出它的被积函数是谁，基本区间是谁？从这就很难看得出来。但是呢，我提一个n分之一以后。那么这个时候呢，

被积函数积分区间立马就看出来，这就是它的可爱之处。所以我们简单总结一下，就是用定积分的定义求这种n项和的极限的时候。它的一个一般也是非常有效的一个方法，就是往出先提一个可爱因子n分之一。因为这个一提走以后，剩下的就是被积函数在n个点上，函数值的和。这个时候我要看出函数是谁，区间是谁，就变成一件比较容易的事情。这就是用定积分定义求n项和的极限，它的一个一般方法。那么这个地方呢？

又有新问题产生了，哎n项和的极限，现在有两种方法，一种就是加b。一种就是定积分的定义，那我拿到一个题目，我到底是用加b呢？还是用定积分的定义呢？当然，我们通常情况下先用加b式。行，那就做出来不行。再考虑定积分的定义。但是自然要想那有没有办法，我一眼就能看出这个到底是适合加b还是适合用对应什么定义？

不去试了，直接用。关于这个问题，我们在强化班会给大家做进一步的归纳总结。那么，关于这个题呢？还有另外一个问题，你看。我们刚才一开始的时候。我们用这个加b做没做出来，这边一这边二分之一，最后用定积分定义，因为这个答案是login二。你想这个要用加b做出来一个乘以二，我们刚才说难度是很大的。

但是也能做。啊，所以我们在这也看一下，如果要用加b原理做的话，这个login 2怎么加出来？这就是难度很大的题目了。但是实际上呢，我们学过的知识也能做啊，我们来看一下啊看。那么大家看。就是我们刚才不是要算这个极限吗？你看n趋向于无穷。然后呢？这是谁n加一分之一？加上谁n加二分之一，

然后再加？一直加到谁二n分之一。如何用加密原理做这样一个题目呢？那注意这个地方首先要联想到我们一个基本不等式，这个我们在大学证明过啊。就是这个ln一加x，它是小于x，而大于谁呀？一加x分之x。这儿呢x大于零。大学书上，你回去看有证明，就是在这个地方呢，对l引用一下拉格朗日定理，可以证明这个不等式。

那么有了这个不等式以后呢？大家注意，那它怎么跟这个呢联系起来呢？你现在看一下ln的谁呀？一加上n分之一。你看就小于n分之一，大于谁呀？大于一加n分之一，上面是n分之一。但是这个等于是分子分母同乘n。这是不就是n加一分之一？大家看啊，这个跟这样，我们题目就联系起来了。诶，

但是这个时候注意ln。这个一加n分之一，实际上一加n分之一就是n分之n加一，那实际上也就是lnn加一减去谁？l引的n。这个呢？不是就是小于n分之一，而大于谁呀？n加一分之一。那再往下呢，要出现它。那我把这n换成n+1，那这就是谁呀？ln的n+2。然后减ln的谁n+1。

然后这就小于谁呀？n加一分之一，而大于谁？n加二分之一。看这一下就出来了。呃，一般的我们在这写写到哪里写到这个地方是l引的n+n就是2n。减去ln的谁呀？这就是2 n- 1。那么这个呢？应该小于谁就是二n减一分之一，那这地方呢？应该大于谁啊？大于二n分之一。那么，

这样子的话，我们就写出了n个式子。写出n个式子，以后这个时候注意左边加左边，右边加右边。那么这样的话，我们这边呢？是不是就可以得到一个谁就可以左边就是谁n加一分之一加上？n加二分之一一直加，加到谁加到二n分之一？小于谁？中间加的时候，大家注意，你看这两项消掉了，这两项消掉这一消，

最后剩下谁这个？那么剩下就是ln的2 n-ln的n。然后这实际上就是ln二，那应该小于谁小于右端的n分之一加上谁？n加一分之一，一直加加到谁加到二n减一分之一？那有同学说老师啊，这个没做出来呀，我说做出来了，你看现在你可以写这个式子了，就是n加一分之一。加上谁加上n加二分之一，一直加加到谁二n分之一？根据这个。它这个不是有ln 2吧，

它肯定不超过ln 2。哎，那有同学说那那老师他大于谁了，再根据这个式子。根据这个式子呢，它大于谁？它大于看，它应该大于login 2。诶，那这个地方呢？你看这儿呢？人家有这个加n分之一，但是它是要从这儿开始。那我把这个可以移过去减一个谁n分之一？但是有同学说你这还缺一项缺一项，

我两边都加一个这个项。那么都给它加一个这个东西，就加一个谁二n分之一，我是不是就可以得到它应该大于ln二？减一个n分之一，再加一个二分之一。那这个时候这边是ln 2这边呢，因为这两项极限都是零那，所以它呢极限就应该是ln 2。所以呢，就这个极限呢，要用加b原理做也能做得出来，但是这个呢，难度就比较大了。但是这个极限呢，

要用定积分定义做，那它就是简单题，但是要用加密原理做就是难题。所以呢，关于这种n项和的极限，我们现在就是关于n项和。现在有常用的是两种方法，一种呢，就是加b。那么另外一种呢，就是定期分。定义那么目前呢？我们先学会首先拿到，以后我们先用加b式。啊，

如果加b能做出来，那我们就答案就有了，如果加b做不出来，我们就考虑定积分的定义。而定义成分的定义呢？关键是确定被积函数积分区间怎么确定？那这个时候先提可爱因子二分之一。然后呢，再来分析倍积函数是谁，积分区间是谁，问题就得到解决。那么，至于说进一步再归纳，我怎么一眼能看出它到底适合加b还是适合这样的一分定义？这个不要着急。

这个我们在强化班就是大家基础班，有了一些基本的方法，以后再来总结进一步的方法。那么这样子，以后我们拿到题目可能就一眼能看出这个适合加b，我就直接用加b适合定积分定义，直接用定积分定义。好有关求极限常用的方法，我们给大家做了系统的归纳总结，应该说。常用的是八种方法。而这八种方法里边，大家注意，前五种方法主要是用在函数的极限。而我们后后面讲的三种方法，

就这方法可以归纳为五+3。而后面这三种方法，更多的是用在数列的极限，你看我们后面五种三种方法，我们讲的是哪三种方法？那么一个呢，就是加b原理。啊，一个呢，就是单调有机准则，一个就是定积分的定义，你看我们后面讲的三种方法是不是就加b单调有机准则定积分定义？后者三种方法更多的是用在谁啊？数列的极限，而前面这五种方法更多的用在是谁啊？

函数的极限。所以我们在这呢，就把我们考研卷子里面常求极限常用的八种方法，以及每种方法。相关的一些基本结论给大家做一个梳理。那这就是这个关于求极限，这个内容就今天内容就这么多。好，同学们。再见。

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