01.通法总结01函数、极限、连续

罗泽兵 · 发表于 2024-4-3 06:06:07

好，各位同学晚上好，我们准备开始上课啊呃，咱们今天的话呢，是关于整个咱们基础阶段啊，前面已经学习了一些内容啊，尤其是第一章啊，函数极限连续。这样的一些题型考点，那么咱们这些这个学习包的对应的课程，还有这个习题啊，大家应该多少已经做了一部分了？当然，也有些同学的话呢，可能这个课程还有这个习题啊，

也没有完全学完，那我们安排这样一次，这个通发总结课呢，就是针对咱们前面。所学的这个学习包里面的一些课程，还有一些这个对应的练习啊，那么给大家做一个总结，那么这个第一章总共常考的题型有有哪些做题的思路和方法是什么？当我们学完了这些视频课程以后，后面做后面巩固练习的时候，如果有些题目你再做起来的话，感觉啊，这个听课好像能听懂了，但是做题不太会做的话。那么，

主要的可能就在于这个题型和方法的总结上啊，还可能不是很熟悉，所以呢，我们给大家做一个这个题型总结课程啊。那咱们这节课的话呢，大家只需要听，然后准备一个草稿纸，然后呢写一写算算啊，因为一会儿的话呢，可能会举一些这个例子啊，这些题目咱们一起来写一写算一算。那课后之后上完课会把咱们这节课的总结的笔记啊，会发到咱们这个直播课的下方啊，会有一个那个叫。笔记小结，

到时候大家只需要把这个咱们讲的这些内容下载之后呢，可以一个是放在电子版里面，大家自己去复习，再一个呢，是你要想喜欢纸质版的话。可以打印一下，咱们这个是个总结课啊，没有专门针对的这个讲义啊，主要是把前面呃，咱们整个所学的第一章的所有的题型和方法。做一个梳理啊，尤其是这个做题方法，那么我们把这个通法总结之后，希望大家在后面在复习的时候啊，一定是要按照给你总结的这个通法去做题就行了。

你只要把这个通法练好了啊，实际上不仅是基础，咱们课程学完以后做基础题啊，那么将来强化阶段做题依然还是相同的。这个思路和方法啊，所以就我们重点呢，就在于这个思路和方法的总结上，好吧，大家的话呢，准备好一个草稿纸啊，因为后面的话可能会中间举点这个例题，方便大家去理解。这个做题思路是什么？然后咱们一起来写写算算就好了，好吧好了，

那我们把咱们前面所学的这个第一章应该理论上是学了一杠一和一杠六啊，到一杠六。这样的六个学习包了，但实际上的话呢，当然也有些同学可能没学完，那没关系，我们一样课程是可以听的，反正你学完的话呢，就当一个复习和总结。那没有完全学完的，那就先当一个预习，后面呢，接着往后学，因为咱们很多同学是陆陆续续报名，也有些同学可能是刚报名的，

还没来得及学太多内容。好吧。那我们就开始咱们今天把这个第一章的内容的总结一下啊，然后大家当然在最后咱们总结完第一章的题型和方法，以后会留点时间呢给大家做答疑。呃，如果说前面你在学习过程中遇到的哪些知识点或者是哪些题目，你自己不是很熟悉的啊，自己还是搞不定的，有困惑的。那么，在课堂前面总结，如果说没有解决掉的，那么咱们最后给大家留点时间啊，然后咱们再进行提问好吗？

提问的话呢，可以采取两种方式啊，一个呢，是在咱们讨论区里面直接提问。另外，第二种如果说你有一些题目，具体的题目想问，然后在讨论区里面不方便啊，发图片也可以在咱们那个。咱们的那个微信群里面啊，到时候我们开始答疑的时候，到时候你再发在群里面也可以，然后再或者是在微信群里面找到我的微信，然后私聊我也都是可以的，好吧，

一会的话呢我们。啊，先把总结呃，总结这个第一章的内容，总结完咱们再说，最后留点时间给大家做答疑啊，答疑当然不仅仅是这个题目方面，也可以是知识点方面，也可以是学习方法方面啊，所以一会儿的话，大家有不懂的都可以随时问。好吧，咱们先把整个第一章一杠一到一杠六，主要涉及到的所有内容就是函数极限连续这样的大的模块上几个常考题型，咱们梳理一下。

其实一个学习包，那基本上就是一个梯形啊，是一个大的梯形，那么呃，除了这个函数啊，大家的话呢，自己去总结一下就行了，这个没什么特别大的难点，因为考试的话呢，很少单独在函数这个地方考题。剩下的极限和连续我们挨个的来总结一下啊，如果说主要重点考察极限和连续的话，那么咱们整个第一章一共有六个常考题型。咱们一个一个来说好吧，复习一下它的基本知识，

然后重点是解题思路和方法啊，首先第一个的话呢，咱们最常考呃，不是最常考就是按顺序来说。第一个啊，常考题型第一章的啊，那就是极限的概念与性质。极限的这个概念啊，与性质这个笔记的话呢，大家可以不用抄啊，一会的话呢，会发给大家，所以到时候呢，你用电子版也行，打印也行，

都方便啊，都可以下载啊。那么你就跟着我来总结这个题型，思路和方法呢，跟着这个思路去回忆一下前面所学的啊，因为你抄的话呢，可能就一直停留在写上。啊，咱们后面会还有很多东西要写，你可能就来不及去去理解啊，就直接看就行了，然后一会举例具体例子的时候你再。进行动笔写写算算啊，然后回头再去整理这个笔记好吧，那么第一个呢就是极限的概念，

然后呢与性质。这个咱们在学极限概念的时候，应该有不少同学对于课程里面所讲到的那个数学语言，那个epsilon data语言。那个理解的不是很好啊，对于咱们现在第一遍这个基础阶段的学习，那么这个概念和性质这块的要求呢就是。不要求大家掌握那个艾普腾德特语言，实际上那个在考题里面将来考的比较少，即便是考到了，我们也有是一些简单的方法去解决它。那么，解决极限的概念与性质呢？我们只要掌握极限与无穷小的关系就行了啊，他的做题的这个通法。

所有的概念题就是，尤其是选择题了，主要考选择题为主，那么它的做题的通法叫极限与无穷小的关系。那么我说这个极限与无穷小的关系，你能知道是什么吗？你可以现在就想一想啊，对吧？琢磨琢磨这个极限与。无穷小到底是什么关系？啊，极限与无穷小的关系是啥？那么，从数学这个记号上来写极限的话呢？就是当x无限接近一个点或者是无穷大，

我们就先说这个点啊。趋向无穷大的话呢，是一个道理，那么这个小fx它如果说无限接近同一个常数a。那么，这就叫极限存在，当我们看到这种极限的概念题目的时候啊，那下面不管他说什么，当x呃这个无限接近x0时，什么存在f大于零？什么小fx-a什么绝对值小于epsilon啊？还是什么小于二二什么f两倍的epsilon？这些都不用管，这些具体的一些说法，我们重点来把它理解一下。

这个极限，它既然等于a，这就说明它的一个充要条件，那就是当x无限接近x0时。那么，这个小fx它应该和a是不是几乎是相等的？既然所有的函数无限接近a，那就应该和a无限几乎相等，但又不能完全画等号。你完全画等号呃，这就他俩没有差距了，其实是有可能有一点误差，那么这个误差呢，应该是非常非常小的。啊，

是微乎其微的，几乎可以忽略不计的，应该绝对值是趋于零的啊，绝对值趋于零的意思就是基本上就是微乎其微了，对吧？那么这种量。给它称之为叫无穷小量，所以fx呢，我们可以写成a，加上一个阿尔法，这个阿尔法呢，代表是无穷小。当我们看到极限的概念，这种已知条件的时候，你立马把它想成这个极限无穷小的关系，

从而我们就可以得到了小fx的这样的一个。叫近似表达式。这个近似表达式是非常已经是比较准确的一个近似表达式了。对吧，相对比较准确的一个近似表达式，那么这个近似表达式呢，就能说明这个小fx在x0附近的一些函数的。这个它的一些函数值的一个情况，下一步的结合这个函数值的一些这个关系可以让你去判断。那么呃，这个小fx在该点是不是什么极值啊？是不是其他的一些函数单调性，还有一些其他的结论，那这地方呢？就涉及到了这个极限啊，

与这个无穷小的关系，当我们知道这个表达式了。那我们就可以知道这个函数在这个点的附近的一个函数性态了，就可以去研究这些点的附近的一些结论。比如这章举一个例子，大家可以理解一下啊，比如咱们考过这样一些题目，那只不过考的时候呢，是数列的题目，我们把它改成函数的题目。考察就是极限与无穷小的关系啊，真题里面就会涉及到，比如这个地方呢，我们说当这个x比如接近x0时。这个小fx就等于一吧好吧，

如果说已知这个小fx极限值等于一。已知这个小fx极限值等于一，然后让你判断下列说法，哪些是这个正确的，或者哪些是错误的啊？已知这个极限等于一，那么则。这个下列。说法。然后呢，正确的是。好，首先这个a选项。啊，那比如说他既然告诉你当x无限接近x0时的极限等于一，

他说这个小fx 0。他呢？是可能。啊，为一。啊，这是a选项。然后b选项啊，下列说法不正确的是啊，这个地方我我选正确的话呢，可能选项就多了啊，应该是不正确的。下列说法不正确的是。第一个小fx 0这个函数值可能为一啊，第二个小fx 0它的函数值可能。

为负一。然后这个c选项就是当x无限接近x0时。那么，这个小fx可能比二分之一小。然后d是当x。无限接近x0时。这个小fx可能比二分之一大啊，不是可能是大于二分之一。好，那么这道题呢？考察的就是一个极限与无穷小呃，这个极限的概念题，那大家可以看一下这道题目，它应该是选哪一个？下列说法不正确的是哪一个？

好，那这道题的话呢啊，大家应该是其他同学也可以思考一下啊，那这道题的话呢，应该还是不算很难啊，毕竟基础阶段没有给大家写太复杂的概念题啊。从这个极限的理解上来说，既然它无限接近一，那这道题的话呢，选c啊就秒了对。那为什么是秒了他了呢啊？其实原因很简单，首先第一，你告诉我们这个极限当x趋向x0时。它呢，

等于一极限等于一的话呢，就说明当x无限接近x0时，这个小fx。它应该和一是无限接近。那么，和一无限接近，最多只差一个无穷小量，那无穷小量的意思呢？就是接近零零的量，你既然接近零的量，那么c和d。这两个呢，就是和二分之一比大小，对吧？它到底是大于二分之一啊，

还是小于二分之一啊？那显然一目了然呢。对吧，你既然和一无限接近，那么它显然就得大于二分之一，因为二分之一和一差了零点五。那实际上呢，这个fx和e呢，不会差那么大，它只差一个趋向于零的量，所以这里选c。选c那么a和b，那它为什么也对呢？对吧？下列不正确的是c啊c不对，

那么这个。d是对的，那么a和b的原因是什么呢？原因就是第二。就是这个极限呢，它只是说当x趋向于x0，那么x趋向x0这个极限，它是与。x=x零与这个小fx 0啊，它是没有关系的。对吧，因为极限值呢，是指的x0去心领域内，然后呢，周围的啊，

那么周围的函数是否趋向于？啊，同一个数，那么与中间这个点没有关系，对吧？它是这样趋近于什么？趋近于什么？那中间这个点呢？我们是完全可以随便定义的。你定义在上面啊，定义在下面啊，定义在哪里？定义在这里啊，定义在它的这个极限的趋势上。啊，

都可以，它是与该点的函数值没有关系，除非有其他条件告诉你什么连续啊啊。什么可导呀啊，这样的一些条件能够判断它连续，那么它是呃是可以确定它的值，就只能是一的。所以它负一也是完全可以，对吧？负一实际上对应了咱们后面的间断点，里面类型里面的什么间断点？是不是应该就是个可去间断点，对吧？好，那么这个是？

极限与无穷小的关系啊，那么考察极限的概念，你就想极限无穷小的关系，这就很好理解，那么还有一个。还有一个它是这样子，一道题目啊。那这个当然是个数列了，我们写数列应该也是同样的理解好吧，比如这道题，它说。已知当n趋向无穷大时an。啊，这个fx x0是不是可以任何数可以可以是任何数啊？所以这个可能为一可能为负一也可能没有定义啊，

都可以对吧？小fx 0也可能。无定义也可能。啊，是为任意。啊，固定的数对吧？任意常数。固定的数就是常数，对吧？这都可以啊，因为它是与这个函数值没有关系啊，所以这个理解极限的时候一定指的是这个。函数值附近的点的函数的啊，这个形态啊。

然后还有一个呢，比如是数列极限，也是一个道理，那么如果说告诉我们an啊，极限等于a，然后这个a呢，假设是不等于零的。好，那么则。当这个n呢，充分大。充分大时呢，指的就是。趋向于无穷，大时那下列说法哪个是正确的啊？

那么这个a这里面呢？其实有一个和这个地方是重复的选项。就是说这个a呢？啊，也不重，不完全重复啊，还是有点区别的。呃，这个a选项假设这样说吧，当n充分大时，它说一定有an，它呢是大于a。减去n分之一。这个b的话呢，它说一定有an小于a，

加上n分之一。然后这个c说的是an的绝对值。和二分之a的绝对值比大小，这个有一二稍微有点重复啊，咱们改一个符号吧。这是一个大于好像也是。没太大区别，对吧？an的绝对值，他说小于二分之a的绝对值。好，那么这个题也是考察极限的概念啊，这种题目当然也接近一点性质，那这道题目应该选哪一个？已知n趋向无穷，

大时an=a啊，然后呢？极限值是a，然后等于零。当n充分大时，那么这道题应该选哪一个？啊，这道题这样写的话呢，其实是比较简单的，如果说我们把这个abcd呢写成一二三四。问你，他正确的个数有几个？这样的话，这个题目难度就有点大了是吧？如果写成一二三四问你正确有几个好，

那么实际上当然还是一个啊。那这道题显然大家已经跟着选的同学已经少了原因的话呢，就是可能有同学不确定选什么啊，那当然这道题最后答案的话呢，确实是c啊是c。啊，从这种单选题的角度上来说，还是简单了啊，毕竟看上去这个c好像更靠谱，对吧啊？为什么更靠谱呢？跟上面的原理是一样的。那么看到这种题呢，大家就考虑极限有穷小的关系呃，因为c和d涉及到了绝对值，

那我们这样想。因为当n趋向无穷大时an的极限是a，那你说我是不是得考虑一下n趋向无穷大时an的绝对值是什么？一个数列，它是趋向于a的，那你说它的绝对值趋向于谁啊？无限接近谁？它的绝对值是不是应该得无限接近a的绝对值吧？毫无疑问吧，对吧？因为你的数列都加了绝对值了，那你最后的趋势肯定要。趋向于这个绝对值，这算一个小结论。好当我们看到这个以后，

那就立马写成极限与无穷小的关系。那么，所以n趋向无穷大时，那么这个an的绝对值是不是应该和a的绝对值无限接近？最多只差一个无穷小量啊，几乎不差对吧啊，差了一个区域零的量啊，好那么这个和a的绝对值比大小。那显然，这地方是不是跟上面一样有点重复是大，于是大于这个呃一半的啊，所以这道题选c肯定没问题。那关键是这个a和b为什么不对？那肯定有同学觉得a和b好像是对的，所以如果说我写成一二三四让你选个数的话，

可能就会出现选三个正确的。对不对啊？那a和b为什么不对呢？感觉好像挺对的呀，你既然an和a无限接近，它不就应该比a- 1个数大吗？那不就应该比a加上一个n分之一小吗？好像感觉挺对的呀，对吧？那这个错错在哪里啊？这是这道题的一个难点啊。好，那么这道题的话呢？我们要想研究AB。那么，

其实就只需要研究这个极限，那还是极限与无穷小的关系，就是当n趋向无穷大时。这个an的极限等于a，那根介于AB，这个形式呢，我们立马写成当n全无穷大时。那么，这个an它是不是应该和a无限接近？最多只差一个无穷小量，我们用阿尔法来表示。那你能说明它一定大于a减去n分之一吗？你想一想，这个阿尔法是一个无穷小量，那至于这个无穷小量是什么？

你知道吗？只是告诉我们这个极限是a，它与a差一个怎样的无穷小量？你是不是不知道啊？对不对？那它是不是差的无穷小量一定比这个负的n分之一大呢？那是不是一定比a加上n分之一小也就是无穷小量是不是一定比n分之一小呢？所以这样的话呢a和b大家能不能举个反例呢？来想一想这个a我们举个反例，只要满足这个极限，但不满足a选项。那么，这个an等于什么？想一个反例。那么你这个a是加上一个无穷小量，

这个无穷小量，我取一个什么样子的就不会比这个大呢？对吧，你想一个。啊，讲一个是不是这个无穷小量，它不一定非得是负的n分之一是吧？不一定非得比负的n分之一大，我只要啊，有同学想到的很好。就是你比一个比它啊，比它小的找一个无穷小量，比这个啊负的n分之一要小的就行了，因为你负的n分之一本来也就是个。是一个变化的量，

对吧？它不是一个固定的数，它是一个固定的数，那么他其实是对的。那么有同学已经想到了一个很好的，就是你不要你这个地方，你不是减n分之一吗？你减n分之一，我这地方减n分之二，我减的比你多一点，我还我就不会比你小了嘛。是吧，所以这地方呢，举一个反例啊。举一个反例，

那就是这个an呢？等于a减去n分之二，我多减一点，我减两倍，那么这样的话呢？它是不是满足已知的这个极限？然后那这时候a选项是不是显然就不对了？那么这个显然大于a减去n分之一。这个说法是不成立的呀。所以那什么叫极限无穷小的关系啊，就是an只是告诉你a无限接近与a无限接近，但它到底是差的怎样的无穷小，不知道那不知道我就可以随便的。取一个不符合题意的。好，

那么这个d选项啊，这个b选项。是不是同样的道理？这个an我举一个什么？我举一个不会让他小于它的。我举一个加一个呃，不不让他满足小于啊，让他大于的那举哪一个？是不是完全对称就行了？这个a我加上n分之二呗。都不用搞复杂了，那它一定是n分之二吗？不是啊，还有很多个选法，那么只要取个n分之二的话，

你说它小于。这个a加上n分之一这件事情，它是不是不可能成立啊？对吧？这个就不成立。所以呢啊，那么这个a和b显然不对，那这个a和b怎么改一下它就对了？啊，趋近于的时候有没有limit有什么区别啊？没有什么区别是两种写法，它是充要条件啊，所以这个地方呢，就前面这个解法啊。极限无穷小的关系，

它是做题通法，这是一个充要条件，你写limit和不写limit一样，那么你写limit的话呢？它是一种啊，数学写法。比较这个简洁的一种写法，你不写limit的话呢，必须得有这个趋势，如果说没有这个趋势，这个等式不成立。啊，这个等式没有无穷小，这个这个叫法了，你得无穷小呢，

得是在一个极限状态下，一个趋近过程中得到一个趋向零的量叫无穷小量。所以这个写写成这个在这个极限状态下啊，这个趋势状态下，小fx写成它就不用写那个极限号了。啊，加上无穷小量，这其实就代表极限了，因为这是无限接近零的量，对吧啊，所以这是极限无穷小的关系，你带着极限号的话呢，不太方便分析。这个选fx，它的一个结论那么去掉极限号的话呢，

比较方方便分析，但是你后面得加个无穷小量，它就代表了极限，对吧？好，那么这个反例大家应该能看懂吧？这个反例的话呢，就说明了啊，这个无穷小量，它并不确定，根据已知条件并不确定，无穷小量是什么？但是啊，一定趋于零啊，虽然说不确定是什么，

但一定。趋于零啊。它一定是趋于零。叫无穷小量，不确定具体表达式。但是呢，一定趋于零。这就是极限这个所差的这个无穷小啊，不确定。具体。表达式。然后呢，但一定是趋于零的，那如果说这个a和b我们怎么改一下它就对了呢？啊，

那就是你把n分之一改成随便的一个正数，它都是对的。改成随便一个正数。比如这个a选项。如果说我们把它改成说这个an要大于a- 10的负100。而万次方。啊，比如这样，那这个数就是很小了。对吧，很小很小的一个数，那么说a1定an 1定比a减去这个数大对还是不对？那么这个数呢？这个就是对的。啊，

为什么？因为这个an=a加上阿尔法，阿尔法是无限接近零的量。啊，无限接近零的量，那么它是不是一定能比一个负数要大呢？这个数不管有绝对值有多小，但是它是个负数，你是一个负数，这是一个无限接近零的量，那么显然应该会比这个负数要。要大能理解吧啊，那这个b选项如果说给它改一下，就是你只要随便给它写一个具体的数。啊，

它呢，就一定小于这个a，加上随便一个很小很小的数，比如十的负100万次方。啊，那么这样的话呢？呃，这个an啊，它一定是等于a+1个阿尔法阿尔法的趋于零的量，那么一个趋于零的量比一定比一个正数要小。对吧，好那么两个都变成等号不也行吗？啊，变成等号。你说的也有道理啊，

连它等号也行，举反例是不是你直接把an等于它，它就不相等了啊，也有道理可以。啊返利，因为它是不唯一的，有同学想到了一个很好的很简单的返利，直接把它写成等号就错了，对吧？满足题意不满足结论啊，挺好。这也是一个很好的思路啊。好，那这个具体的这个改法啊，那么这个这种数我们将来在数学语言上，

数学语言上是不是经常把它称之为叫epsilon？任取一个f总大于零，那么an 1定比a-f总大一定比上比这个a+f总小数学语言是不是这么写的？对吧，好那么这个阿尔法可以为负数吗？可以是绝对值趋于零的量就叫无穷小量啊。是阿尔法的绝对值趋于零啊，那么所以这个阿尔法可正可负。比如像这个x趋向零时。如果说阿尔法等于负x方，你说它趋不趋于零啊？是不是也趋于零啊啊？那么这个也是无穷小。所以是可正可负的，是绝对值趋于零的量叫无穷小量啊，

那么所以可正可负，但是即便是它可以是个负数。但它无限接近零，这个不够接近零。它这个固定的数对吧？它这个固定的数虽然说有个符号，但那么阿尔法一定还能保证比它大，因为它可以。啊，非常非常接近零对不对？它可以是这个an=a减去，比如更小的这个数，它肯定是个变化的啊，它不是个固定的数，它是个变量。

它是无限接近零的量，显然是可以保证比这个要大的好，当然这一个呢，就已经比较数学化了呃，实际上咱们考题呢，都很少考到。啊，这么数学化的一些东西，只要通俗的理解为极限与无穷小的关系，那么这个跟极限概念相关的题目都是可以解决的。好，这是第一个啊，关于极限的概念，然后性质下面，第二是性质。

这是概念题啊，然后性质题，我先把这个地方写个一啊。然后第二是它的一些性质那么极限的，这些性质的话呢，其实都是按照刚才那个极限与无穷小的关系去理解，就会变得非常的简单，比书上的那个证明要简单的多。那么，极限的性质，首先第一个叫唯一性。这个唯一性应该没什么可说的啊，应该是所有的。这个fx它都趋向于同一个数a，那么才叫极限存在，

那如果说有的趋向于a，有的趋向于b那。那么，这种就叫极限不存在对吧？那么，极限不存在的例子，我们来举一下。有几种极限不存在呢？这个第一种。这个极限不存在。极限不存在的例子，第一种就是呃，它趋向有的趋向于这个一个数，有的趋向另外一个数啊，缺陷两个不同的数。

那么就是小fx，比如写成一个分段函数，一个是x+1 x大于等于零，一个是x- 1啊x小于等于零。小于零好，那么这时候当x趋向零时，这个小fx它的极限就不存在。那么，这个不存在的原因很简单，就是它的右边是缺项一的，左边是缺项一负一的，那么这个整体。它不具有唯一性。那不具有唯一性极限，就不存在对不对啊？

这个函数的图像应该也比较简单啊，图像是这样子的，然后。这样子的啊，这是空心儿，应该是。空心的呃大于等于一，这个等号我放在这了，那这个地方是实心的。这样是空心儿。好，那么这样的话呢？它两边的趋势不一样啊，左边趋向于它，右边趋向于它，

整体极限不存在，但是单侧极限是存在的。对吧，单侧趋向于同一个数。然后第二种。第二种的话呢，就是像。delete函数大家应该了解过了吧？吉利克雷函数的话呢，是指的这个dx啊，它是等于当x为有理数的时候取一。当x为无理数的时候啊，有理数的补集就叫无理数，这个呢是有理数。上面这个东西叫有理数啊。

那下面这个呢，就代表无理数。它的补集实数里面，除了有理数就是无理数，它取零。那么这时候我们构造一个小fx，给它写成x倍的dx。x倍的dx的话呢，就相当于是x，然后呢零。然后这个x属于有理数的时候。那么，这个x属于无理数的时候啊，那就是零。这个是无理数。

好像这种小fx当x除了趋近于零以外的，其他任何数，比如随便取项一吧。那么，这个小fx这种极限，它就是不存在。极限不存在。对吧，为什么极限不存在，因为它的函数图像在一的附近，这是一。呃，先画出这个有理数吧，有理数的函数图像应该是这样子的，它的虚线有理数，

两个有理数之间有无理数有无穷多的无理数？而任意两个无理数之间呢？有无穷多个有理数？所以有理数和无理数呢？是无限穿插的。好，这是有理数的图像，然后无理数的图像，那就应该是这样子的，对吧？都是零啊，无理数对应的函数值都是零，穿插在有理数之间。那么，在一的附近，

沿着有理数趋近的时候，它呢？这地方是趋向一的。而沿着无理数趋近的时候，那么经常是趋向零的，像这种极限，它显然是不一的。对吧，所以这样的话呢啊，它是穿插着啊，这个极限不为一穿插着极限不为一，那最后极限也叫不存在。这是第二种。当然，同样道理，

上面这个迪利克雷函数当x趋向零的时候，它任意点，它都是极限不存在的。那么，但即便是趋向于零啊，趋向零的时候，它规定成这个有理数啊，这个是不存在有理数，是一无理数是零，对吧？所以这样的话呢？在这个点的附近，它呢，极限不存在。这是第二种，

不存在第三种极限，不存在呢，就是趋向于无穷大啊，比如像fx等于x分之一。当x趋向零时，这个小fx它的等于无穷大那无穷大，也叫不存在。只要只有它是一个确定的数，才叫极限存在啊，任何不是等于数的啊，都不叫极限存在。那就叫极限，不存在无穷大也是特殊的不存在。它是一个特殊的，还是多少有点规律的？

这个不存在啊，特殊。不存在。好，这是极限的唯一性啊，然后第二极限的这个局部。导号型。那么，局部饱和性指的就是首先局部，你要知道就是指的这个该点的附近当x圈上x0时，或者是圈无穷大时。啊，一个小范围内，然后保号的话呢，就是符号相同，

那么咱们结论的话呢，是两条，第一就是当x趋向x0时趋向无穷，大时是同理的啊。那么，当x趋向x0时，小fx极限值假设等于a是大于零的。那么则我们立马就可以得到这个函数，就一定在这个点的附近大于零，这就叫饱和型，那为什么呀？为什么就是看到这种极限的概念啊，定义那么我们下面就立马写成极限与无穷小的关系。因为这个。当x趋向x0时，

这个小fx应该与a无限接近。啊，最多只差一个无穷小连。那既然是这样的话，那例根据咱们前面所做的那两个例题，那你这样是不是一定可以比较出二分之a和fx之间的大小关系？对吧，因为a是个正数二分之a也是一个正数，但是是它的一半，那么这个地方是不是一定是个大于号？那么，它是一个大于号，那么二分之一大于零，所以就可以得到了小fx大于零啊，这就是利用极限无穷小的关系去理解。

这个饱和性，这地方能明白吧？从这个图形上来看啊，那么这个函数假设在这个x0的附近。趋向于一个正数，这地方是a。那么，只要我们取的范围足够小，那么这一小段图像一定是正的，大于零的啊，在x轴上方的。你取的这个领域大了就不行了，大了它有可能就跑到下面去了，但是我们总存在一些小的领域，满足这个范围。

这是极限的，这个饱和性应该能不明能明白，那这地方能不能大于三分之一呢？可以这个问题就问的很好，就说明你在思考。而不是简单的，就是纯粹的接受，对吧啊？书上怎么说我就怎么写，那你在思考那这个写三分之一行不行？当然可以。对吧，它一定比三分之一也要大，那我能不能大于其他的大于k倍的a，只要这个k属于零到一就行了。

对不对啊？都可以啊，任意只要不超过一的，你零点九九a行不行可以？啊，零点九九九你只要有限个九都行啊是吧？所以这就是你在思考，那就清楚了，那既然与a无限接近。我肯定比一个啊，这个比a小的数要大，毕竟这个阿尔法是几乎可以忽略不计的，那么小fx几乎和a完全相等的。啊，甚至我拿h替代它都不会发生太多的错误的，

这就叫极限嘛，对吧？无限接近的啊好，然后前面还有同学说了一句话，我来看一下他说什么其实。说这个某一函数在定义域内啊的一个点处单调，这个函数的极限不存在这句话对吗？什么这个在某一个定域内处于单调啊，则这个极限不存在这个单调和极限有关系吗？啊，好像没关系对吧？那不管单调不单调啊，还是正当不正当，它只要最终的趋势趋向于同一个数，这就叫极限存在。

所以呃，跟单调性没关系啊，只是看他的这个趋势，问问题是什么，你单调函数极限可以存在。也可以不存在啊，为什么单调可以不存在，因为它可以你像这个。这就是一个单调函数单调增对吧？单调增它也可以不连续啊啊，所以跟单调性没关系，它也可以震荡震荡，也可以存在怎么震荡呢？它只要振幅越来越小。它震荡，

它就存在。比如x乘上sin EX分之一。这个函数它就是一个这个零的附近振幅很小啊，其他地方振幅越来越大的啊，振幅比较大的，这样一个函数震荡函数。这个正量函数在零点，是不是极限存在呀？这是一个无穷小乘有界函数啊，极限存在。对吧好。那单调有界的话呢，那是单极限存在准则了啊，单调有界极限必然存在，但是极限存在呢，

它不一定是单调的啊。所以跟单调性的关系呢呃，不是一个必然的啊，咱们现在从概念上来说呢，大家重点去思考的就是我跟你说的这个通法是最有用的，将来你做题的话呢，会用的上。那其他的话呢，你就可以，你有有问题倒是可以问啊，但是一般可能没有什么太大用啊。好，然后同样道理小于零，也是同样道理那么小fx，如果说等于a小于零，

那么我怎么知道？啊，它的这个函数就一定小于零了呢，怎么去理解呀？那就是你立马写成极限无穷小的关系，这就是它的通法啊。当x趋向x零时，那你说这个小fx是不是应该与a无限接近呢？然后呢？这时候我跟二分之一比，那为什么一定是二分之一三分之一行不行可以？那为什么还是二分之一？它好看啊，没有别的啊，就是好看一点，

那么这时候它俩之间是什么关系？上面这个地方啊，它一定是个大于号，那下面这个地方呢？因为这时候它是一个负数了，举个例子啊，假设a等于负一，那么这个呢就是负的二分之一，那你说它俩之间是什么关系？对吧啊，负一和负的二分之一绝对值小的负数反而大，对吧，所以这时候它应该是一个。小于号了啊，小于号的话呢，

而这个a呢，小于零二分之一呢，小于零这样你就不证明了，这个小fx比。比邻角嘛好，那么从几何图形上来看呢？它呢？就一定是。这个函数图像啊，一定有一段在一个轴下方啊，因为这个曲线的话呢，随便画啊，我就画成这样子吧。好，这样的话，

这个地方啊x0当x无限接近这个x0时，它的函数值呢？接近这个位置，这个位置是这个a它是个负数。那么，我们只要取很小的一小段范围，就取这一段图像，不要取太远了，那么这段图像一定是小于零的。你取远了就不行了，取远了它有可能大于零，所以这个东西呢，叫局部只是这个点的附近很小的范围内大了都不确定。啊，好，

那这就是局部保号型，根据极限与无穷小的关系，就这样一句话就很容易理解。这个饱和性吗？然后这个有界性也是一样的。只要是概念和性质，都按照一个方法，局部的话呢，是领域内吗？对啊，是小领域内，而且还是局部是x曲线x0时。是x属于这个x0的去心领域，而且这个半径。要足够小。

半径足够小，不要太大了，大的领域都不能保证，因为极限呢，是指的这个点的附近啊，附近的函数的结论。啊，它的极限值是多少？就是这个附近的函数趋向于谁？那既然是附近，所以它不能太远，好吧，那就是x属于x0的某个区心领域。不包含中间那个点，中间那个点不一定是大于零的还是小于零的，

对吧？极限值大于零，函数值可以是负数。咱们前面举的第一道题目就给大家写了那个例子了，对吧？可以取负一啊，与函数值无关，所以要去心领域内。然后局部有界性。那有界是指的，它是有上界有下界啊，整体就叫有界。那么，只要极限存在，它就一定是局部有界的啊，

那么为什么叫局部有界呢啊？你想。当x趋向x0时，小fx的极限值只要存在，那我们下面是不是立马写当啊？则或者则则也行，等价也行，它是个充要条件。那么，则当x趋向x0时，那你说这个小fx这个函数值是不是应该与a无限接近？最多差一个无穷小量。啊，还是这样一句话啊，这就是通用的写法，

那写成它之后我怎么确定它有界呢？我怎么能确定这个函数是有上界的？有上界的意思，是不是就应该不超过一个数？有下界的意思，是不是就不小于一个数？那你说这时候的这个小fx。会超过a+1吗？会超过a+1吗？啊，为什么一定要加一呢？我加100行不行？可以啊啊，加零点一行不行？可以啊。

啊，都行，那我这为什么一定要加一呢？好看呀，是不是就随便加了一个正数啊？所以那小fx是不是一定不会超过a+1嘛？对吧，那它是不是一定也不会小于a- 1啊，这就咱们前面那几个例题里面第二个例题里面涉及到的AB那个选项。你写n分之一，这个不确定对吧？n分之一，它是个变的，但是我们随便写一个正数，它就是固定的。

那固定的那么这时候fx 1定可以保证啊，比这个a+1个固定的正数要小，因为它呢是。是a加上阿尔法，阿尔法趋零啊，阿尔法趋零，阿尔法一定比这个一小对吧啊，然后呢，阿尔法一定也比负一大。那这样的话呢，你说这个是不是就是它的下界？这个是不是就是它的上界？注意这个上界下界啊，不是确定的界限。不是精确的界限，

是只要这个函数假设小fx它能小于一，它就一定可以小于二，也可以小于100，这些都叫上界。上界不是精确的界限啊，只是他保证函数不超过就可以了。好，那么所以这样的话呢？这个小fx它不就有界了吗？对吧？所以小fx 1定是有界，这个有界的话一定是在这个小范围内领域内。叫局部。是有界的。对吧啊，

那这个无穷小量是不是小于任何数啊？无穷小量的绝对值比任意数都小。啊，它的绝对值比任意数都小那。比任意正数都小，因为它的绝对值是趋于零的啊，所以这个呃趋向于零的话呢，那么这块呢，我们就可以标注一下。它是无穷小量，可正可负啊，然后同时啊，阿尔法的绝对值，或者只不用加绝对值也行啊。阿尔法肯定还是加绝对值好一点，

阿尔法的绝对值比任意。这个给定的固定的。正数。都小比任意给定的正数都小，咱们习惯上用数学语言用x来表示。那个任意的正数，所以这个阿尔法的绝对值比任意正数都小，那如果说阿尔法是一个。负的无穷小量，那肯定比任意正数都小。那阿尔法是一个正的无穷小量，它也比任意正数都要小。这就是对于概念的理解，这一块啊，概念和性质那么写了这么一大篇啊，

实际上大家只需要一句话掌握了，你就能可以把这些都捋顺了。就是这个，就是这个通法。只要能把这个地方捋清楚了啊，极限与无穷小的关系，这里那么其他的呃，所有的关于极限的概念性质题你都套这样一个解法啊，就会变得越理解越熟练啊。啊越理解越清楚啊好吧，这是关于极限的概念与性质，然后我们把这个饱和性这一块呢，再举个例子，那么这个题型就差不多了。啊，

然后举个例子。举个例子的话，比如是当x趋向零时说这个小fx，比如什么呢？减x除以。嗯x的。除以x的三次方吧。这个极限值假设等于负一啊啊，如果说是它。然后且小fx连续。这个小f。小fx连续啊连续的概念，大家应该已经学过了，对吧？连续的函数的话呢？

极限值一定等于函数值啊。且满足。这个极限啊。那么则这个小fx在零点处是不是极值？大家可以判断了。且。满足这个极限。那么则。想fx在这个地方是不是取极值？啊。则这个a。小fx。在x=0处。取极大值。然后b。

小fx。在x=0处。取极小值。这个c。下fx。在x=0处。不取极值。然后这个d。这个小fx。在x=0处。是否。为极值。无法确定。啊，无法确定是否为极值。

好，那么这道题看看选什么？一定要用我给你梳理的这个题型，思路和方法去分析啊，可能会变得更简单。一个是通法，一个是结论啊，无穷小的关系啊。x三次方x三次方分母是三次方啊。分母是三次方。考虑一下这个啊。这个题的话呢，可以用两个方法来做，应该我看一下是不是啊？啊，

这个两个方法好像还不是一个方法啊。用一个方法，这道题感觉就难度一下就上来了，对吧？好像不是特别好写吧？咱们平时做的可能分母就是个平方。嗯，好，有同学已经做出来了啊，选c是吧？那其他同学呢？啊，就第一题简单对吧？第二题就人数就少了一些回答的啊，那第三题的话，

这道题人数更少了。好，这种题目呢？大家不用考虑那么复杂啊，也不用觉得哎呀，这种题好难呀，这个上来就概念题对吧？既然学了，我跟你说了这个通法，这种题目呢，你就按通法来做就行了。只要告诉我们一个极限，那么我们立马把它写成极限与无穷小的关系啊，因为当x趋向零的时候。小fx-x÷x三次方等于负一，

那么所以当x无限趋向于零时在零的附近。那么，这个小fx-x÷x三次方就一定和负一几乎划等号，最多差一个无穷小量。然后这样的话呢，这个也就是从而就可以解出这个小fx。在x圈上零时的这个小fx给它解出来，你好去判断它的函数值和这个极限值分别是什么啊？g这个小fx等于什么呢？把分母乘过去对吧？分母乘过去把x挪过去，小fx是不是就等于x？减去x三次方，加上x的三次方，再乘上一个接近零的量，

那么这一项那是不是就更小了？然后这些所有的线都比x要小，所以这个地方最后重点就看x就行了。那为什么看x的三次方，为什么不看了？因为在x无限接近零的时候，比如像零点一。零点一和零点一的三次方，这两个是谁大谁小？啊，一个无限接近零的量，那么是不是应该幂次越高就越小，绝对值越小啊？说的是绝对值，是不是绝对值越小？

所以这样的话呢，这个是不是应该是零点一的三次方是要比零点一要小的啊，所以其实最主要的呢，我们是要看它。那么当然，大家也应该学了高阶无穷小的。高阶无穷，小的那么那个结论那么三次方一定比一次方要高阶吧？越高阶是不是越可以忽略那么这些所有项它都是可以忽略的啊，都是可以忽略的。那么当然，我们也可以只先忽略它。啊，那么再保留这个也行，都可以。

好，那么得到这个小f的表达式之后，那下面所以小f0的函数值是不是就应该等于它的极限值啊？因为是连续的。因为小fx是连续的。那么，所以函数值等于极限值等于当x趋向零时，这个x-x三次方，加上x三次方乘以阿尔法。那么呃，这是零，这是零，这是零，无穷小量还是零啊？全都是零，

全都是零，当然这个就是零了。对吧，所以函数值是零，函数值是零，而在这个。x大于零的时候是什么样子？小于零的时候是什么样子？我们就来看这个函数的这个表达式，当x属于零的右侧的。一个小范围零的右侧的这个小范围呢，我们用零到德尔塔来表示这个德尔塔的话呢，是足够小的啊。不要取太大的这个半径，对吧？

要足够小。当x属于零到德尔塔的时候，你说这个小fx它是大于零还是小于零？大家想一想。当x无限接近零的时候，这个和这个谁大谁小啊，绝对值啊。当x无限接近零的时候，是不是x大啊？三次方要小，因为密次越高越小，能理解吧？所以x-x三次方呢，一定是大于零的，而这个呢，

更小了，微乎其微，因为这个地方呢，是趋于零的，所以这样的话呢，这个fx它就一定。大于零来看一下这个地方，大家能不能理解啊？这个地方我把这函数先抄一遍啊fx=x-x三次方。加上x三次方乘以阿尔法，它一定大于零，能不能理解来看看，能理解打个一我看看确认一下，看有多少同学在仔细听。啊，

别听着，听着后面就不听了啊，后面还有很重要的一个题型的啊。这个的话呢，主要的原因就是一定要理解这个啊，小接近零的数或者小于一的数，它的幂次越高越小。能理解是不是啊？因为x比三次方啊，要这个更大啊，所以正数那么一减的话，它应该是大于零的。很好，能理解就太好了，那么当x属于零的左侧的时候。

就是零的附近啊，这个负德尔塔。负德尔塔到零的时候，这个德尔塔当然还是足够小的，那么这个fx它表达式不就是x-x三次方，加上x三次方乘以阿尔法吗？那么，这个是小于零的吧？然后这个呢？这个减去三次方啊，这个三次方是一个什么是个大于零的吗啊，因为这个是个小于零的，前面还有个负号，是不是就大于零的？那这个地方也小于零，

然后这个就不用管，忽略好那么那两个都是小于零，那最后。一减那你说它是一个什么样的结果，这个地方是忽略啊，不用管。那这个结果是大于零还是小于零啊？啊，举个例子，比如是负的零点一。和负的零点一的三次方。对吧，负的零点一减去。这个负的零点一的三次方就举这样一个例子，那它是大于零还是小于零啊？

它是不是应该等于负的零点一减去就变成了加上零点零零一？那显然这个呢，是v相对前面来说太小了，对吧？密次越高，绝对值越小，密次越高，绝对值越小，那么这个负数绝对值大。负数的绝对值呢，你说它是不是应该是小于零啊？那么这个地方也是一个道理啊，因为x无限接近零，虽然说这两个都是负数。但是这个三次方的绝对值小，

那么所以你减去一个小的绝对值的，那么最后还是前面这个起主要作用。它还是个小于零的啊好，所以这样的话呢呃，左边小于零，右边大于零，那你说它是不是就是？这个他就是一个什么？那就是不是极值点啊，因为有的有的大于零，有边有些小于零啊，不是极值点，所以小fx。在x=0处，它呢就不取这个极值。

啊，不许机制好那么这样的话呢，这道题应该选c啊，这就是关于极限的这个性质，当然这道题其实可以简写一些，只不过大家呢，得更熟练以后。更容易去简写，简写的话是这样，就是这个地方，我们下一步可以把它写成x+ox。那当然，大家只要学过了极限无穷呃，学到了这个高阶无穷小就可以写成这样子的。什么叫ox呀？

因为这些项都是比x高阶的。你看一下是不是都比x高阶啊？比x高阶的意思就是除以x极限都是零。啊，这个地方除以x极限是零，这地方除以x极限是零，所以它们都是比x高阶的，那都是比x高阶，当我写成这样的话，往下分析会变得更简单。啊，因为下面这个极限呃，其实这个小fx就可以用x来替代了，对吧啊？那么这个小f0啊，

他呢？就应该等于是当x趋向零时。这个呃x+ox好这样。它是零对吧？然后呃，下面这个表达式你也可以不用写它了，不用写这么麻烦了，我们把它写成ox。你就不用管这一项了，这一项是ox，它是个高级无穷小，不用管它，不用管它，我只要看它就行了啊，它是大于零的，

那么这整体就是大于零的。然后同样道理啊，这些呢，都不用管，就是ox那么左那个x这地方小于零的，那么这整体就是小于零的。对吧，无穷小量看低阶，对低阶是大头，高阶呢是小头，忽略不计，你当你写成这个样子的话，会变得更简单。那这样你学的更综合一些了啊，只不过有些有些同学可能这一块并不是理解特别好，

所以我们还没有把它完全化解。那这道题更嗯，作为小小题的话，更简单的方法是什么呢？再简单一点就特例法。再简单一点就是特例啊。这个特例法。特例法是什么呢？把这个极限号直接去掉，我直接让它这个函数满足这个关系，我直接取fx=x-x三次方。直接取这个。取这个的话呢，然后求导看导数，导数是在这个点处零点附近小于零是吧？

要看这个。这些的话呢，都属于特例法啊，求导呀，洛必达法则呀啊，这些的话呢，都是特例法啊呃，显然这个。不服，那不是很严谨啊，在大题里面呢，是不好用的，小题的话呢，可以用，没问题，

选择题没问题，但是解答题啊，不行啊。然后在学习知识的时候，那种洛必达呀，然后那个特例呀，这些都不好啊，在初学的时候不建议大家用这些不严谨的方法。那等到强化阶段，大家再去学习这些特例法会比较好啊好吧嗯。好呃，感觉硫的x立方是因为等于负一那无所谓，没关系啊呃，这个题呢其实。不留x三次方一样啊，

为什么？因为这个比值极限是负一吧，那我能不能推出这个结论？一定可以推出当x趋向零时写fx-x÷x我再除x平方。等于负一可以写成这样吧？对吧，写成这样的话呢，那么分母趋于零，你说分子趋于几？分母趋于零，分子趋于几。啊分子是不是一定也趋于零吧？分母趋于零，分子一定趋于零，分子趋于零，

那不就说明这个x趋向零时？小fx-x÷x=0，所以x趋向零时，小fx-x是不等于ox呀。因为它比x更极限为零，不就高阶吗？对吧？高阶的话，那么这样的话呢？所以小fx不就等于x+ox吗？所以你肯定是可以写成这个样子的啊，因为极限与首先这一步极限与无穷小的关系没错。其次，高级无穷，小的概念没错，

没错就可以，那就肯定是对的啊，所以你就写成x+ox就可以了，这都是通法。啊，基本思路其实好吧，好这道题的话呢，还是有多个角度的是吧？行了呃，这是关于这个极限的概念与性质啊，就这样一些题目啊，概念性的题目思路好难，不知道往哪走，那你看这道题有那么难吗？只要看到这个极限，

就把它写成这个啊，极限无穷小的关系，当你写出来这个，那么往下思路和方向就会比较清楚。你写出这个来，我就可以求出fx来了，我只要这个求出fx来了，那我是不是就可以研究fx的函数值状态了？啊，那么这里面当然你换点这个地方也行，不换点这个地方也行，那函数值就是极限值，应该是连续的，对吧？然后这个。

那零点的左侧右侧分别是多少？你不就研究这个函数就行了，这个就是极值，对吧？研究极值就研究左右两侧和该点的函数值吗？啊，所以这个思路和方向呢，就会变得很顺，这个就是通转一看到极限就立马写出极限与无穷小的关系，其他的都可以先不暂时不想。那通过极限无穷小的关系，就可以进一步的解出所有的概念题和性质题啊，这是一个通法好，这是第一个题型，因为这块内容比较难度偏大一点，

所以我们给大家说的详细一点啊。呃，然后。呃，还有同学说这个小fx函数求出来之后直接求导，是不是也行呢？只能小题大题不行，为什么？因为这个是否可导？啊，这个是否可导你不知道？对吧，这个无穷小量可导吗？无穷小量一定就是可导的函数啊，那不知道啊，

题目有没有告诉我们小f可导呢？没有说呀，小f只是说连续了。所以你在求导之前有没有考虑过它是否可导啊？如果说不可导，那你就不能求导。那小题行不行？小题可以小题我就把它当成可导的对吧？明白了吗？啊，不是要看导数判断极值吗？这个是按定义啊，这个概念题是按定义啊，然后只有什么具体的函数求极值的时候。要用导数啊，

具体的函数求极值可以用导数，但是这种概念题啊，要用定义导数的定义，就看周围的点是否比该点都大或者都小。啊，现在的话呢，显然有的大，有的小，就不是极值。好吧，行了，这样的话呢，是第一个题型啊，我们重点梳理到这后面的几个题型的话呢，都是计算了啊，

那就简单多了。啊，一会咱们再接着往下梳理，中间的话呢，咱们稍微休息五分钟，给大家缓一缓，然后咱们再接着往下讲好吧？啊，那么后面的这个题型呢？呃，就是什么极限的计算，然后还有这个无穷小，这都是计算。然后还有什么间断点，这些都比较简单啊。

好，那时间上的话呢，现在是八点零一，马上零二，咱们休息五分钟啊，那就是零七，咱们再再继续往下好吧？好来，前面有什么问题，到时候我可以给大家解答一下啊，没问题的同学中间稍微休息一会儿啊，然后后面内容可能会更容易，因为后面是计算。前面的话呢，是概念啊，

可能稍微难一点。然后假如x的平方的话，里边是直接小于零嘛？里边是直接小于零吗？啊，假如是x平方的话，哪个地方在哪个哦？这个地方是吧？这个地方这个地方的话呢？如果说是x平方的话啊？啊，那么这个直接小于零可以用饱和性对吧啊？假如这个下面是x平方，整体小于零，整体小于零，

分母大于零，分子小于零。分子小于零，但是呢，你还是解不出来，你会发现对吧？分子小于零，只能说明fx小于x，小于x是大于零还是小于零啊？不知道对吧，用饱和性还是判断不了。对吧，好像判断不了。还是用这个？用这个极限与无穷小的关系，

这是个通法啊，不管他是x平方还是什么啊？这个都可以。上一题能不能直接分左右极限，然后一个大于零，一个小于零，上一题是吧？上一题上一题是指的这个吗？哪个是上一题呀？没有写题号，看来有点说不清楚了是吧？就刚才这个是吧？刚才这个啊。刚才这个的话呢，能不能直接分左右极限，

然后一个大于零，一个小于零他的？呃，左右极限的话呢，它的右极限是好区分的，右极限可以啊，右极限的话呢，它是等于负一。右极限等于负一呢，分母小于零分子就得大于零分子大于零，所以fx的话呢，它就得大于x。大于x的话呢？呃x大于零嗯，可以。

你这个左右极限，这个思路也是很好的，然后这个x属于零到正无零到德尔塔的时候啊。然后呢？这个。这个x属于负德尔塔，到零的时候啊，那么左极限，然后左极限的话呢，它是负一那么这一小块呢，它就是负一。啊，那这小块是负一分母，这就小于零对吧？这一块小于零小于零的话，

分母小于零。分母小于零分子就得大于零。分子就得大于零啊，这个地方写反了，这地方应该是我看一下刚才想说的什么来着x属于零到这个德尔塔的时候，整体小于零小于零分母。大于零分母，大于零分子，要小于零啊分子，小于零小于零的话呢，这个地方不行。啊，你这个分子小于零。这个x是个大于零的数嗯，不行啊，

你看刚才有同学说的是这个左右极限，我把它捋一下，当x趋向零的左侧的时候右侧吧先看。右侧这个小fx-x÷x三次方等于负一小于零，对吧？等于负一小于零的话呢？那么这个小fx-x÷x三次方小于零。那么，这一块是个大于零的，因为是趋向于零，正对吧？然后它大于零，那么上面的话就得小于零。相不小于零，可以得到写fx小于x，

你小于x。那你不能确定他的大于零，小于零啊。对吧，它小于x到底是大于零还是小于零不知道。不知道，所以这个方法还是判定不了饱和性，这道题就不好判断啊，那这道题还是用极限与无穷小的关系。啊，那就是通法。啊，有同学说感觉数学学好难，课程一听啊，听了一次又一次了，

还是不会啊，这个不会一定要弄清楚是什么不会啊。啊，对于基础比较一般的情况下呢，那个概念和性质大家一开始不要作为重点啊，概概念和性质，现在我给大家总结了一下，如果说你适当能把总结的部分听懂。就很好了，然后呢？那个视频里面的东西呢？如果说听不懂就可以直接跳过啊呃，你概念和性质不懂。啊，什么饱和性啊，

有界性，这些不懂，不影响你后面求极限，对吧？而饱和性，这些东西在平时考题里面是非常少的。考的频率是非常少的啊，这个真题里面考试频率大概会到三到四年五年，这样考一次，那频率不高。然后而计算是年年都考的必考题，所以呢，我们第一个基础阶段要重点解决的就是后面要给大家总结的。这个极限的计算，这种题型啊，

就是你先把搞把计算极限的计算搞定了啊，概念和性质不懂没关系的啊，学习不是说从一开始第一节课必须得听懂。后面第二节课才能学，不是这样子啊，那第一节课听不懂没关系，因为它是概念和性质，后面后面的是容易听懂的。啊，计算只要能学懂咱们整个第一章，就算过关了啊啊，一定要有个循序渐进的过程好吧？嗯，然后呢？这个还有这个题，

求导以后x趋于零左右，可不可以这样算不能求导啊？理论上这道题呢，是不能求导的。因为小fx没有告诉你可导，当然如果说你把它作为特例啊，我把它洛必达啊，怎样去判断导数，那这个也是一种方法，小题可以，大题不行啊。然后这个在学习包的题目里面讲了很好啊，就是做题的话是不是啊好？然后呢？这个题求导以后x趋向零，

你刚才好像已经问过一遍了是吧？啊，求导求导，以后x趋于零左右。左右可不可以这样算啊，然后判断机制不是很好，这种做题思路呢，都不规范啊，尤其是咱们有一年真题啊，考虑到大题。这道大题的话呢，就是告诉你这样一个极限，然后往下让你去判断一些这个函数的一些这个极值，问题是道解答题。那个解答题如果说你洛必达的话，

那十分一分都不给你了啊，除非你把函数值算出来给你一分。就比如这道题的f0，算出来给你一分，如果说你求导就不给分了，原因是他没有告诉你可导啊，所以刚开始初学的时候我们要严谨，否则的话你以后一开始都不那么严谨。啊，到了一些该严谨的地方，你又想不到对吧？所以基础阶段的话呢，不用太多的特例法啊，然后呢，这种呃，

这种这种不严谨的做法啊，我们还是用严谨的做法好一点啊。好，这题的话呢，只要求导就不行，对理论上这道题解答题求导就是错的，不给分啊，因为他没有告诉你可导啊。好，然后n趋向无穷时xn次幂啊，在x大一的时候随着。趋向无穷啊，是否包含a小于负一包含啊x的绝对值的N次方n趋向无穷大时？这个等于无穷x绝对值是大于1x绝对值大于一包含x大于一或者x小于负一。啊，

这些都是包含的啊，好吧。不是零分，但趋于零分呃。嗯，说的很好啊，是这样子。反正我们要严谨一点，你要不然的话，你后面的学习啊，你会发现这个知识点就非常的杂，非常的乱，没有一个统一的一个思路。那但凡看到极限的概念与性质的题目，你就想到优先考虑极限与无穷小的关系。

写出来fx等于这个极限，然后呢，加上阿尔法往下再分析都是非常标准的思路啊，这样的话，你做这种类型的题做起来就。统一了啊，就不至于说我，只不过不会写啊，不会算的，我给你方法了，你就按这个方法做啊，就肯定是统一的啊。好吧，这个an加阿尔法是不是等于an加上n分之一？它怎么可能会等于呢？

对吧啊，这个an只是告诉你n圈无穷大时an=a，这咱们没法确定，这个an=a加上。n分之一，这个没法确定，它不一定是n分之一，它可以是n分之二，可以是二分之一，可以是n方分之一，所以呃，你得不到任何的。这个精确的，具体的这个无穷小量是什么啊？阿尔法就是个无穷小量，

但具体表达式是啥不知道，对吧？好，所以这个limit为什么可以写a没有写limit要写无穷项，这个limit可以写a没有limit要写无穷小。因为呃，这个limit当x圈x0时，小fx=a它的意思呢？就是x圈x0时，小fx去a的。数学写法。这俩是等价的吧啊，上面是下面的数学写法，下面是上面的通俗理解对吧？好，

然后。呃，这个fx趋向于a，是不是可以写fx-a趋向于零？那么任何趋于零的量是不是叫无穷小量？所以它是一个无穷小量。等于无穷小它，等于无穷小所以fx，等于a加上阿尔法，这是严格的，又把它推导了一遍，为什么可以写成这样？好吧，能看懂吗？啊fx趋向于a fx，

减a趋向于零，只要趋向于零的都叫无穷小量，那么它等于无穷小，所以fx等于这个a加。这个阿尔法啊。好，行了，那时间到了，我们接着来看后面的第二个重要的题型啊。都已经过了啊，这个时间过得总是很快啊。好，那么来看第二个重要的题型啊，第二个呢叫无穷小的比较。这个无穷小的比较的话呢，

咱们呢考题这就比较相对比较单一了，那无非就是给你一些无穷小问，你它的阶是什么样子的啊？从低阶到高阶排序，然后啊，阿尔法是贝塔的高阶啊，什么这个阿尔法是呃，又是伽马的什么同阶？啊，又是等价，那么所有的无穷小比较的问题，无非就是接的确定问题，只要确定无穷小的接就行了。那么，确定无穷小阶的它的这个通法，

那就是定义啊，那就是当x，比如趋向零时是考的最多。那么，一个无穷小量除上x的k次方，如果说比值的极限等于一个非零常数。那么这时候呢，则我们就称阿尔法为x趋向于零时的。k阶无穷小。k阶无穷角。那么，常见的一些结论。就是等价无穷小啊，那你得记得这个一阶无穷小。有哪些？

在x趋向零时啊，前提条件都是趋向零。咱们常见的就是趋于零，不趋于零的话，当然也可以是无穷小，但是考试呢，用不到啊。那么，一阶无穷小，你自己可以想一想都有哪些了？埃克全二零式。它的一阶无穷小。常见的那是不是有什么啊？这个sin EX等价于x吧。然后tan x等价于x吧，

然后这个二克sin EX。增加x吧，然后arctangent x增加x对吧？还有哪些这个e的x- 1？等价于x。还有这个对数ln 1+x增加x，还有什么好像等价x的，好像就是它了。但是它不等价于x，但是也是一阶的，还有像a的x- 1是xl na。对吧，然后还有什么n次根号下一加x减一等价于n分之一x，还有什么一加x的阿尔法次方减一。等价于阿尔法x。

那么这些呢，都是一些一阶无穷小的结论，它们除以x都是非零常数，对吧？sin x比x是1 tan x比x1。啊，那么所有这些项比x都是非零常数，说明它们都是一阶无穷小。然后常见的二阶无穷小，你想想一阶无穷小还有没有大家可以补充一下啊，看看能不能想到。还有没有常见的？其实还有一个常见的也可以再补充一下，但是确实这个常见也没有那么常见。啊，

再补充一个。了解吧，就是这个。这个ln x加上根号下一+x^2。这个见过吗？这个ln x加上根号下一+x^2也等价于x。不常见是吧啊，了解啊好吧。那么，常见的二阶无穷小都有哪些？二阶无穷小，最简单最常见的就是一减cosine x。这个是多少？你自己在草稿纸上或者脑海里要要想一下，写一写啊，

脑海里就想一下，然后草稿纸上写一下都行，那么这个是二分之一，对吧？二分之一很好，那么是正的二分之一还是负的二分之一？那我怎么去看？那就看这个cos啊，它是比一小的。正弦，余弦都比一小，所以余弦比一小一减，余弦肯定大于零，那就是二分之一啊啊扣三小一很好啊。那么还有一个一减cos x的k次方等价于什么？

那如果说把这个cosine x给它来个k次方，这个呢是二分之kx的平方，这个呢，大家可以记一下。可能有些同学是不知道啊，二分之k知道那是那就更好了。好，然后这个还有一个比较常见的二阶。比如，像x-ln一+x。这个呢？是正的还是负的？二次方啊平方正的还是负的？x-len一+x是正的还是负的？正的对吧？

正的是二分之一x的平方，那为什么是正的呢？因为它有常见的不等式，常见不等式是。什么什么那个ln 1+x。它是小于x，大于x，比上一+x吧，这个吴老师应该是给大家讲过的。然后啊，这个e的x大于等于一+x，这都是常见不等式，对吧？这个地方也可以加个等号，使得x=0时成立。

呃，然后还有不等式的话呢，就是sin x小于x小于tan x这个x呢，要属于零到二分之派，这都是常见的不等式。啊，只要记住了这种常见不等式，那立马这个就好，确定它到底是正的还是负的了好。那么还有一个呢，就不那么常用了，就是e的x-1-x。啊，那么这个呢？也是二分之一x方，

但是呢，不常用啊嗯，你可以了解对吧？这个了解。好，那么这是二阶无穷小。然后三阶无穷小常用的。三阶无穷小。三角无穷小的话呢，咱们主要记两个，一个是这个x-sin x，它呢是多少？一个是x-tan x。这个是多少？接着点啊。

这两个记住了，立马就可以得剩下的那两个。剩下那俩不用专门记啊，记住前面的就可以得到后面的了，这个减去arctangent。每次用到后面的时候，这个反三角函数的都要想一想，三角函数的从而得到反三角函数的，我们就现场去推一下，是最好用的。因为这样的话呢，最容易记住它的符号x减去s in是不是应该是六分之一x三次方？而x-tan的呢？这个是什么？还有点击tangent是什么？

它是一个等于是等于是等于是负的。三分之一x三塔。给个负的啊，不是正的。那原因的话呢，就是x比tan的小啊。xx比它应该小当x趋向零正的时候。那么，它减它得大于零。大于零的话呢，那么这个地方呃，这个小于零给小于零小于零的话呢，那么这个地方这是大于零的，所以前面得有个符号。啊，

你就记得x比tan x小，所以减应该得有个负的啊，在零到二分之派上是吧？趋向零正的时候。好，前面这两个只要记住那后面这两个只要变一个符号就行了啊，那么我要用到它的时候，我我也会先想一下这个。先想前面x减s in啊，是正的六分之一。x减去这个arcs in呢，那就是负的。负的六分之一x三次方。啊，我要用到这个的时候，

我就会想这个啊，那么x-tan的啊x比tan的小x比tan的小，所以是负的。负的三分之一，那后面那就是正的三分之一三次方。差一个符号就行了啊，所以用到这个反三角函数的这个三角无穷小的时候啊，你就想一下三这个三角函数的啊，三角无穷小。好，那么这是关于无穷小比较里面比较常见的一些结论。好，那下面举个例子，大家也稍微。练习一下。

比如它一般来说呢，就是让你从低阶到高阶排序，或者是排序的题应该太简单了吧我们。来一个稍微变形一点的考法的题目，比如就是。应该也也都差不多。比如说这个阿尔法啊，等于这个x倍的ln 1加。x的a次方。它说这个它呢是。比x平方。高阶的。无穷小。然后贝塔是等于。等于什么呢？

再来一个。想想啊，这样的话呢，它是。然后是一个。一减去根号下cos x。它呢，是比。x的a次方。高尔基的无穷小。或者不要xa次方了。来一个根号x。算了，还是x一次方。高阶的无穷小。

那么则这个a的范围。应该属于什么？算一算吧，也不难，对吧？a的范围。应该为。就类似于这种。无穷小比较的比j的题目能用结论的直接用结论啊，不能用结论的再用其他的方法。应该还是比较简单的是吧，其实就是把阿尔法和贝塔的阶给它确定一下就行了啊，这个阿尔法。这个应该得是在x趋向零时少了个条件。少了个条件啊。

在x趋向于零时。最开始的基本条件不要漏了。那么，当x趋向于零时。那么，这个阿尔法呢？显然，等价于x倍的这个ln那么还是可以等价出来的。啊xa次方。那么，它呢？就应该是x的这个。x的这个a+1次方。他说它要比平方高，它比平方高的话呢？

比x平方高，那么所以a+1呢？它一定要大于二。a+1大于二的话呢，所以这个a呢，它就应该得大于一。那么这个贝塔。贝塔是等价于多少？这个一减根号怎么办？一减根号就是一减cos二分之一。一减cos二分之一的话呢，就是利用这个二分之二分之一二分之二分之一呢，那就四分之一四分之一x的。平方好，他说呢，

是x阿尔法的高级无穷小，那么所以这个平方一定大于哦，不是阿尔法的a啊xa次方的。应大于a，所以把它综合起来啊，那么这个综上这个a呢，它就一定是。冲上啊。综上，这个a呢，就一定大于一小于二，所以这个范围的话呢，就填一到二就行了，比较简单的题对吧？好基础阶段先不搞太复杂的题目了啊。

行了，这是关于第二个题型啊，无穷小比较，那么在解题的时候呢，重主要考虑的是结论，结论如果说解决不了的，有些比较复杂的综合题，你可能得需要用到。洛必达呀，什么泰勒呀，这些都可能用得到，那么这时候呢，你就先写成这种极限的形式，方便用洛必达，方便用泰勒啊，

但是那是复杂题。简单题的话，一般用结论就够了啊，这是第二个无穷小比较的这种题目。然后第三个也是最重要的一个啊，那就是函数求极限。那么，函数求极限。咱们现在应该是不是所有的这个计算题应该解起来差不多了吧？还是说有同学说我对函数求极限，还是不熟悉啊，还是不熟悉有没有？那么，这个函数求极限呢？它的解题步骤，

所有的极限题从现在开始养成一个好的习惯就是第一步，一定要先。把x。看看它趋于什么？代入极限。然后呢，进行分析。分析什么呢？分析它哪些地方可以化解啊？或者是先分析这个极限属于什么样的类型？然后怎么去化解？这这个分析这个步骤不要省简单题，有同学说我根本不需要分析，拿过来我就知道怎么做啊，那是简单题，

基础题是这样。但是到了后面啊，综合题的时候，那你不分析的话，很容易出现一些小错误。就是如果说你不能保证极限的计算，100%做对的话，那么这个分析肯定是占了其中一个原因，就是没有想好就乱做了，有些地方不能等价替换的，等价替换了。有些地方不能计算呢，计算出来了，有些地方不该化简的化简了，这就是你这个分析呢，

首先你不知道怎么去。这个去计算啊，要先把这个怎么去分析，怎么去化解那么分析完了之后想好了，第二步一定要先化解。再计算不要拿回来，就洛贝达拿回来，就泰勒那这个是不好的，能简化一些运算，我们还是要简化计算，因为计算量复杂了，大了就容易算错。那么，这个化简咱们常用的化简方法有哪些？这个就挨个的来给大家梳理一下。

首先第一个。啊，比较常用的化解方法，首先你代入分析的时候，你可以先看看它是不是有些非零因子？比较常用的第一个就叫计算。非零。因子什么叫非零因子非零，大家应该是知道的，极限不为零就叫非零。什么叫因子？因子一定是乘除法。仅限于乘除法，不包括加减，不包括复合函数内参，

不包括幂指函数。仅限乘除法啊，比如举个例子。那么，当x趋向零的时候，这个x-sin EX，然后乘上cosine x除。除以x的三次方。这个极限算一算。草稿纸上直接口嗯，它其实都可能不需要草稿纸口算就行了是吧？这个怎么算？这个答案是多少？草稿纸啊，也可以写一写啊，

如果说口算不了的啊，好像基本上都是口算是吧，那这个答案是不是应该是六分之一啊？怎么做呀？那就是当x趋向零时代入分析这一块趋于零啊，这一块趋于零，然后这一块是多少？cosine 0是一，cosine 0是一，那么这个cosine x它是不是这个乘法？相对于整个极限符号而言，只要是乘法，那我就可以给它算出来，那么前面那一项呢，又可以等价替换啊，

是六分之一x的三次方。然后呢，乘以这个一，然后呢，除以x的三次方，所以这样的话呢，它就等于六分之一。没问题啊，然后第二。然后第二啊，第二就是当x趋向零的时候，如果说是x-sin x。cosine x÷x三次方呢？这个题目我能不能这样做？当x趋向零的时候，

分母是零，这是零，这是零，cosine 0是一，我写成x。减去sin EX乘以一，然后除以x三次方等于当x圈上零时，这地方是六分之一x三次方除以x三次方诶还是六分之一？可以吗啊，这个地方可以吗？这就是大家最容易出错的地方，对吧？那这地方能不能算呢？不可以啊，打个叉啊，

不可以原因的话呢，就是它不是因子。这个cosine x它不是因子，所以你在计算某一个极限的时候一定要考虑它是不是乘除法？而且要相对于整个极限符号而言的乘除法。虽然说这个地方是个乘法，但你前面有个减号啊，有个减号，这地方就不是乘除法。所以它不是整体的因子，对很好，那么就不能算出来啊，这个简单题可能一下就注意了，但是稍微复杂一点的题目，有时候就忘了。

那么不是这个呃因子的，有时候也是啊，乱算啊，这个可不能随便算出来，一会我们再举个例子啊，就知道了。好，那么这道题正确的做法是什么呢？正确的做法啊，我们可以呃，有多个方法啊，这道题往下有很多个方法呃，我们可以分子分母同乘二。利用倍角啊，三角函数的倍角关系，

倍角函这个倍角关系啊，倍角公式那么分子分母通乘二，那就是2x减去两倍的两倍的是不是就变成了s in 2x？除以2x的三次方。这样的话呢，把2x看成整体，它是不是就可以等价替换了？等价于当x趋向零时。它应该是六分之一二x的三次方，对吧？咱们前面的所有的等价无穷，小里面的x都可以换成任意的一个趋于零的方块，但是不能等于零啊。叫趋于零就行了，然后二的三次方这样写，

应该能看明白吧，这个应该不太难理解，对吧？当然这道题还有很多其他的方法啊，我们先不管。先写这个方法，其他方法呃什么洛必达呀，泰勒呀啊，这个拆分极限存在的项啊，其实都可以做啊。我们先用咱们前面刚已经学过了的，等价无穷小好，那么这样的话呢，这个是六分之八三分之四三分之四，再除以二，

那是不是就应该是？三分之二有同学已经把它算出来了啊，很好，那所以正确答案是三分之二，你如果说把不该算的算出来了。那最后这个答案，他就可能错了。也有可能巧了对了，也有可能不巧就错了，那么所以这种不是整体的因子就不能算啊。好，然后第三第三的话呢，比如像中药极限里面，咱们会涉及到e的无穷大。那么，

这个一的无穷大，比如是一我写一个什么呢？写一个cosine x加上。加上想想啊，还不行？嗯。写一个写一个啥呢？好比如是x，加上cosine x。不对，这个e的x+cosine x- 1。好比如这样，然后是x分之一次方吧，也不用搞太复杂了，就这个吧。

好，那么这道题目啊，这道题目能不能这样做？当选项零的时候噢，代入分析这个地方e的零次方。是一对吧一，然后这个地方cosine x，它也是个一啊，这两个一的话呢，能不能算出来一个？一算出来一个好像就变得简单了一些，对吧？这块我们好像也这个大家可能也不太容易犯这个错误是吧？诶，那道题应该是什么样的来说是容易犯错了，

我想想啊。它是应该是一个什么情况容易犯错来着？那这样吧，这样改成减啊，把它减去cosine x，然后呢？再加以。好像也不对。哎，那道题是什么样的？大家容易算错，我想不起来了哦，我再稍微想一下啊，如果不行的话，咱们就算这道题了。

呃，想一下啊，那个题它是怎么着就容易算错了呢是？1 cosine x。这样啊。这样这个。x就x+cosine x。x+cosine x就这样啊x次方。或者是或者是稍微综合一点的题目，或者综合一点啊。就是什么呢？这个地方是x平方。x平方加上cosine x的x平方分之一啊，这样的话呢，当然难度也不大。

这个题目这个题目的话呢，就有一个做法。他是这样做的，有同学说当一个圈上零的时候，这是0 cosine 0是一哎，那我把这个一给它算出来。那么，它不就是x的平方？它呢加一，然后呢x的平方分之一，你看重要极限。等于一那么这个呢？也是一个典型的错误了吧？就是你这个它是不是因子呢？它不是因子，

它是加减法，而且它是幂指函数，那么它是不能够算出来的。所以不要说嗯，极限不为零的，你随便就给它算了，这个算出来也不对，因为它不是一个因子，只有因子才能算。好，那这道题正确的做法应该是什么？是不是就三步曲对吧？它就等于当x趋向零的时候是不是应该首先一加上？这个x平方加上cosine x，让它减一+1-1，

然后呢？x的平方分米。然后再往下呢，就是直接把它写成e的，这两项相乘吧，大家是这么学的吧，那么就是当x趋向零的时候啊，大家当然咱们吴老师给大家讲的时候是先算这个a。a等于它俩相乘的极限再写成e的a次方，这样写的话呢，容易很就很容易把这个a丢掉了啊，大家的话，我建议你把它这个方法稍微改良一下。不要写成先求a再写e的a次方直接写e的a次方。啊，

直接写e的意思吧，要不然的话，你很容易忘掉那个e啊，写完a就把答案填上去了，那容易错，我们要写成e的。然后这两项相乘。对吧，所以改良一下啊，因为你容易错的地方呢，就要避免它这个呢，就是那个方框方框呢，趋于零。然后这地方就那个三角三角区无穷，对吧？

所以直接等于e的，它俩相乘x的平方分之。这个是x平方，加上cosine x- 1。对吧，然后再求这个极限啊，那它就可以拆开了，拆成当x趋向零时x平方，除以x平方。加上当缺项零时cosine x- 1÷x平方好，那这两个极限呢？都很好算。第一个的话呢，就是一第二个的话，应该是加上当x趋向零时。

负的二分之一x平方，除以x平方，对吧？这两个极限都存在，可以给它拆开啊。然后等于它啊，等于e的那么一减二分之一等于e的二分之一。所以这个才是正确的答案。而等于e呢，就是个错误的答案。也就是不能随便算其中一部分，所以怎样才能算非零因子呀？所以怎样才能算非零因子？这个相对于整个极限符号，它是一个乘法。

你把其他的看成整体，它是个乘除法才叫因子。只有乘除法是因子啊，所以这地方只有减乘除法。啊，这就是大家容易犯错的地方，第一种化简方法计算非零因子的时候，仅限乘乘除法，而且是相对于整个极限。相对于整体啊，相对于整体是乘除法，能明能明白吗？相对整体是乘除法，你这条是乘除法吗？不是不是就不要用。

就不要算它啊，不能算出来。然后像这个第二个，这地方是乘除法是乘除法，但是相对于整个极限是乘除法吗？相对于整体是不是不是不是就不能算？只要不是乘除法的都不能算啊，这都是一些经典的错误。好，这就叫计算，非零因子非常重要的一个化解方法，但一定是乘除法才可以进乘除法。啊，好吧。行了，

这是呃，这个。第一个啊。然后呢？这个啊？还有这个等价等价的话呢，不要着急啊，然后我们接着往下来说，有些是可以等价的，有些是不可以等价的，这是第一个方法。然后第二个化简方法啊，第一先看能不能计算非零因子，然后第二的话呢，可能就是等价替换，

还有一个呢，就是拆分。啊，拆分极限存在的项。这个拆分呢，也容易出错啊，拆分极限。存在。的项好了，那么这个拆分它的条件是存在项存在，那就是存在。啊，能算出来数来啊，它是一个数。只要是个数，

那就是存在。零也是存在啊，无穷大不是存在那个非零的数，也是存在项项的话呢，是加减法。这个地方仅限于加减法。那乘除法怎么办？乘除法你按上面的这个方法，这是乘除法，乘除法极限不为零就可以算出来。加减法极限存在，不管是不是零都可以给它拆开，叫拆分极限存在的项。那我怎么知道这个极限存在啊？那咱们常见的都是无穷小的比较，

对吧？那么只要分子是分母的高阶或。这个同阶无穷，小那极限就一定存在啊。分子。这个分子。是这个分母的。高阶。这样的话是不极限就是零。或同阶。同阶是不是就非零无穷小？那么这时候呢？极限。是不是就一定存在呀？那么d阶是不是就一定不存在呀？

低阶是无穷大是吧？低阶则。不存在。所以我们就要判断一下它分子分母这无穷小的阶那无穷小的阶怎么判断呢？那就是前面这个。常见的等价无穷小啊，这些皆你要知道，那不知道不熟悉就把这块你自己整理一遍，等笔记上传之后呢，你可以自己啊截图整理也行，打印整理也可以是吧？然后呢？如果说复杂的呢？复杂的话，我们用同法来判定它的积好，

那么。如果说确实是低阶，怎么办呢啊？如果说确实是低阶，你肯定不能拆分，但是我们还有一个方法叫升阶。升阶呢，就是叫减等价无穷小升阶减等价无穷小。可以给它升级啊，如果说升的足够高，它就可以拆分，如果说升的不够高，就拆不开。减等价无穷小。升级什么叫减等价无穷小升阶呢？

比如这个sin x，它是一个一阶的。对吧，3x等价于x啊，在x趋向零时。这个sin EX是等价于x。那么sin x-x。它是不是就等价？于是三阶无穷小了吧。对不对啊？像这个ln 1+x是一减无穷小，然后ln 1+x-x。它是不是就是一个二阶无穷小？它就升阶了，对不对啊？

然后其他的也都是同理啊，那我就不用专门去写了，反正是减等价无限小升阶，其原理还是泰勒啊。原理。是泰勒，但是呢，它比泰勒呢，有时候会更好用一些。因为泰勒比较适合这种简单函数的泰勒展开。如果说函数啊，比较复杂，是一些复合函数是一些这种带平方的幂次很高的。这种你泰勒展开的话呢，它就其他量比较大啊，

尤其是复合函数什么ln 1+sin x啊，这种泰勒展开虽然说也能展。啊，但是他可能还是比较麻烦，那么呃，我们用这种升阶拆分的方法会使得这个泰勒写起来比较繁琐的，也会变得更容易一些。比如这地方举个例子啊。举个例子，换个什么颜色呢？换个黑色吧。让孩子用这个蓝色吧。都是例子哈。比如举个例子，比如就像刚才那个极限当x趋向零时，

这个x-sin EX cos in EX除。除以x的三次方。那么，这个极限你就不能这么做，说当x趋向零时啊x÷x三次方减去当x趋向零时。这个sin EX cos in EX÷x三次方。然后再往下，但是自然肯定都是错的，当x圈上零时x平方分之一减去当x圈上零时。是x呃，这个x平方分也是一怎么得到的sin EX比x是1 cosine x是一对吧？那么，这样的话，一减等于零啊，这就是错的。

这个错误的原因就是你拆分的极限不存在。拆分的极限不存在，上面是下面的第一节。对吧，这个是不存在啊。你不存在的话，不能拆这个呢，也不存在不能拆啊，那么我只有至少有一个存在啊，只要有一个存在就能拆，剩下的存在不存在，慢慢算啊。考试的题目都存在啊，但是不存在也成立。那么，

这道题要想拆怎么办啊？假设我们要想拆，那就是当x趋向零的时候，那我们就需要给它减。等价无穷小生机。减等价无穷小升阶，你说跟x等价的是哪一个？跟x等价的很多，但是跟这道题有关的是不应该是sin x。能理解吧啊，它是sin x吧，所以我们减一个sin x，那你说这是不是一个三阶？这是一个三阶，那上下同阶极限存在，

可不可以拆开可以，然后再加上当x趋向零的时候，你再加一个sin x？加一个3x，再减后面再减后面是不是可以提供因子？提出来，你看立马是看到这个答案了吧？是不是两项都是可以进行等价替换的，所以前面这一项等价替换？是六分之一x三次方除以x三次方，然后加上后面这一项sin EX等价于x一减cosine等价于二分之x平方。除以x三次方，那么前面这项六分之一，后面这项二分之一加起来三分之二。好，

这叫拆分极限存在的性，那么你减等价无穷小升阶，你先升阶以后那么能拆了，那就好拆，你就再给它拆开。啊，升阶之后再拆不升阶不要拆，因为不升阶的话，它的是低阶，低阶极限不存在，不存在那就不能拆。所以这些所有的拆分怎么想到的呢啊？原理通法就是减等价无穷小升阶，每道题都不一样。换一道题，

你可能减了UI又是另外一个这个呃，这个解法啊减法啊减什么那就具体问题具体分析。比如我们再来一道题目，当x趋向零的时候。这个x-ln一+tan x。或者上一个是吧？然后这个比上x的平方。这个极限怎么算？这就涉及到了刚才有同学问到的这个浪尾s in这个s in能不能等价替换啊？那这道题如果说等价替换的话，把它等价替换，答案是恰好对了。只是恰好对了啊，但是不代表说它是正确的啊，那么我们一会再说它等价，

它是有问题的啊。那现在咱们先不说，等价问题先说拆分问题，这个要想拆怎么拆呢？这个当然，做题方法也有很多啊，这个是不是也是一样呢？是不是加减sin x？那你现在是不是应该在草稿纸上赶紧写对吧？好当x趋向零的时候，那我们是不是把x-sin x升阶是三阶了？三阶比x平方高阶高阶极限存在呀？对吧，那是零，然后再加上当x趋向零的时候，

这个sin x再减去这个log。ln 1+sin EX，然后呢？除以x的平方，那么前面这个呢？就是零了啊，当然我们也可以把这个写出来。练习一下，等价无穷小，后面这个sin x是不是看这个整体啊？看这个方框，它是不是这个方框减去ln一加方框是不是等价于二分之一方框的平方啊？这个方框趋于零的话就行。好，所以这样的话呢，

它就是二分之一sin EX的平方，除以x平方好，那么前面是零，后面是不是二分之一重要极限？重要极限sin x比x是一，那就是二分之一啊，等于二分之一。好，那这道题那如果说我这样做不行吗啊？当x趋向零的时候，这个x-ln一+x÷x平方。哎，你看这个不也是一样的吗？对吧？等于当x趋向零时二分之一x平方，

除以x的平方。当然也是二分之一啊。等于二分之一好，那么这个答案是对的是吧？答案是对的，但是这一步的过程。是有待说明的，如果说是解答题，你需要证明。啊，这个它们俩是等价的分子是等价的。解答题的话呢，是需证明。解答题是需要证明的啊，答案是对的，

然后这个等价是需要证明的，怎么证明呢？就是它俩比值的极限里是一。我要能算出它俩比值极限是一，我早就不这么做了，这道题搞那么复杂，是不是好？那我换一道题，你会发现它可能就不行了。那这才说明你必须得证明，因为不是所有题都成立，比如这道题呢，我们给它改成当x趋向零的时候，这个x的平方。减去ln 1+sin EX的平方，

除以x的四次方。如果说这道题你还是按照上面的做法，那就是当x趋向零的时候。当x趋向零的时候，然后这个x平方减去这个ln 1+3x等价啊平方，然后呢除以。x四次方哎，这不就是算出来了吗？当x趋向零的时候，二分之一x平方的平方。四次方除以x次方等于二分之一好，那么这个就错了。啊，这就错了，那上面对下面错，

显然这个地方是有问题的，所以符合函数的内层，不要等价。符合函数。的这个内层。啊，不要等价。不是说不能，是有些能有些不能啊，不要等价，你有些能有些不能，你就不要用，那我们有别的办法，所以这道题应该怎么做会更稳妥一些？这道题应该怎么做？

啊，有同学已经开始正确的在计算它了，对吧？算出答案来了，六分之五。这道题怎么做？想一想怎么做好一点。那这道题我们可不可以怎么办？还是拆分极限存在的项，或者是泰勒公式把这个泰勒展开啊，那我们如果是用拆分那。那就是x平方减去sin x的平方减s in方，这就是一个四阶。那我怎么知道它四阶，你口算一下平方差平方差的话呢？

下一步啊，平方差是不是就是x-s in？然后后面这个地方是不是x+s in前面是不是三阶，后面是不是一阶？这样的话，乘起来不就是四阶吗？所以极限存在，然后再加上当x趋向零的时候，这个sin x平方减去ln 1加。sin x的平方，然后除以这个x的四次方，后面是不是应该也是四阶当选项零时s in方派的整体？它是二分之一sin x平方的平方，四次方除以x四次方。好，

那么这一部分算出来是二分之一啊，上面这一行是二分之一，但是这一部分它不是零啊，对吧？这一部分的极限啊，需要往下再等价替换。等于当x趋向零时x减去sin x呢？是六分之x三次方，然后乘上后面后面这个的话呢，它是二x。那么，加减法使用等价替换是要有条件的，有时候对，有时候不对。为了避免这个问题，

这个等价替换呢？一会我会给大家强调一下。这个等价替换呀，你不要写x写x+ox啊，那么这个等价替换我看看要不要顺便先强调一下啊？加减法不要用等价替换。这个是第二拆分极限存在项，第三就是等价替换。下一个就想说这个等价替换啊。等价替换。注意用于乘除法。这个等价替换呢，用于乘除法什么样的用于乘除法什么样的用于加减法呢？呃，如果说阿尔法等价于贝塔啊，

这种直接替换的只用于乘除法。不要用于加减法啊。那么，加减法满足一定的条件也能用，但是呢，你容易错，那你就不要用了。用于这个乘除法，我用红色的。强调一下。阿尔法等价于贝塔。用于乘除法。不要用于加减法啊。那么，我们要想用于加减法怎么用呢？

这样写你这个阿尔法，既然等价于贝塔，它是不是应该等于贝塔加o贝塔？对吧，阿尔法等价于贝塔，这就说明阿尔法和贝塔几乎差不多啊，只差一个比贝塔高阶的无穷小量。好，那么这个用于加减法。这个用于加减法，实际上这就是泰勒啊，本质上是泰勒啊，当然也是局限于这个等价无穷小的充要条件。等价无效的一个充要条件，对吧？

这是它的充要条件啊，它俩是等价的上下。充要条件上面用于乘除法，下面用于加减法，这样的话呢，保证你永远不会出错啊，就不会出现哎，有时候对了，有时候错了的问题了。好吧，所以加减法你就带上ox，保证你肯定不错，然后呢，除以x的四次方。除以x四次方好，

然后呢，再加后面这个当然就是直接二分之一了，那么前面这一项它就是当x趋向零的时候。啊，如果说把x三次方先给它约掉的话，后面有个二还剩下三分之一，然后呢x加上ox啊除以x。啊，然后呢？加上二分之一这样的话呢，它就等于是三分之一，加上二分之一等于六分之五。这个才是对的答案，而上面这个二分之一显然是错的。所以这个加减法不要等价替换加减法，

如果说等价你带上这个余项就会发现。这个就就会不会出现错误，比如这个地方。这个地方的话呢，你不要写成这个样子啊，不要写x方，我们这样写当x圈向零时。x平方减去len你不加减法，这个s in你想用吗？你不是等价于x方吗？好，那么你把它写成一+x平方。加上ox方，这个是用于加减法的，然后呢？

除以这个x的这个四次方，这个往下你会发现。它就没法做了，原因就是这个ox方你消不掉啊，这个ox方你除以x次方，你后面会出现这样一项，这个往下算不了了。算不了了，就说明你这个ox方还得需要继续展开，说明你等价乘x方是有问题的，如果说你不带这个ox方呢？你发现不了错误。你带上yx方呢，你会发现它就这个这个往下就不好算了。那么，

这个带上ox方往下怎么算呢？可以这样算啊，你这地方不是x方加ox方吗？那我这个地方如果说也是x方加ox方是不是可以等价替换了？所以我们把它写成x方，加上ox方减去ln 1+x^2，加上ox方。好，然后除以x次方，然后你这个地方多加一项，是不是应该再减去一项减去一项x的四次方分之ox方？前面这项可以算前面这项的话呢，是当x趋向零时二分之一x平方，加上ox平方。的平方对吧，

然后除以x的方，但是后面这项你算不了。这个ox方你消不掉，因为ox方你不知道比四次方高是低还是同阶，而前面能算出来。前面这个平方，你一打开都是这个，就是二分之一，关键后面这项算不出来。这样的话就能提就能让你发现这个加减等价的问题，就说这个等价就不行，如果说你不带上ox方，你可能就稀里糊涂算了个答案。你也不知道它对还是不对。啊，

明白了吗？所以这个加减等价啊，不要直接等加减等价，用这个这样的话呢，保证这个余项是帮助你检查你的等价式。对还是不对的，如果说你的等价是对的，那么这个余项是不影响计算的，比如像这个地方，它不影响这个计算是高阶。高阶的话呢，直接去掉就行了，对吧？然后这个像这个地方就不行，这个上面ox方并不能保证是x四次方的。

这个高阶，所以你算不了。所以这一项的话呢，是减去当x趋向零时ox平方，除以x次方这个算不出来啊。算不出来。所以有问题好吧，这就是加减使用等价的时候注意。要带上那个余项。能理解吗？能记住吗？啊，你要记住这个，你就不会出现这种等价出现错误的时候。包括刚才有同学说这个lnsinex，

这个sin EX能不能等价？那你就把这个lnsinex啊。这个lnsinx把它写成这个ln把它等价成这个啊，这个ln ln什么呢？其实应该是等于就行。这个ln x+ox，你要能写成这个往下能算出来，那就没错，就可以等价，如果说你写成这样往下算不了了，这个高级无穷，小去不掉了。啊，那么它就不能等价，它得分情况，

有时候能有时候不能。好吧，那原则就是你带上这个加减法，用这个带o的啊，这个乘除法用波浪线这个行吗？能记住吗？这是等价替换啊。好，正好上面这道题也就体现了这个等价替换的一些问题啊。那是不是多展开一些就行了？可以多展开肯定不错啊，但是呢，展开多了，你不是浪费吗？是吧？

所以我们现在要求啊，主打的就是一个精简是吧啊精简，然后呢，刚好够用就行啊，所以。呃，我们这边考虑怎么样才能保证展开的话，刚好合适啊。那x方减去3x方，为什么不能等价？你等价成什么？你想等价成什么？你想等价成x-xx^2减x方吗？如果说你想等价成x方减x方肯定就不行，那不就是零了吗？

对不对啊？等价完等于零的都是有问题的。啊，所以加减法不要等价。如果说是x方减去sin x方，要想等价怎么等价？减去3x方，要想等价，你要x方减去这个地方，要写x方加ox方，这样是可以的。将是可以减完之后就剩下ox方了。那有人说不是应该是负的吗？负的挣的无所谓，反正是高阶无穷小，

它是个记号啊，好，你写成这个啊，这样的话呢才可以。那如果说你下面假设这地方比x方啊，假设比x方，那么这道题就没问题，假设比x方这地方比x方。假设bx方这个极限就是零没错啊，这就说明你这个加减在这种情况下可以等价。对吧，可以等价好x方减去3x方就等于。这个什么问题呢？那我把它写在这吧，它挺好的一道题目。

就是你什么时候等价，什么时候不能等价，你要按我这跟你说的这个原则，就不会出现任何的歧义和错误啊，比如。这个。比如，就拿同学问的这个问题，当x趋向零时x方减去sin x方。然后除以我就出x方啊，或者出x三次方不行啊，出x方得。x方，然后呢？它呢？

就等于当x趋向零时x平方减去这个sin x，我想等价3x方行不行？这个地方实际上可以，但是呢，你得带上这个，你带上它能算出来就没问题啊，它就等于当x趋向零的时候。什么是x平方？x平方减掉了剩下ox的平方不用带负号啊，因为高阶无穷，小正的负的都是高阶。好比它一个平方等于零好，那么这个对的。然后也就是说这个等价是可以的啊sin x方等价成x方是没问题的，但是如果说x趋向零时。

x平方减去sin x的平方，除以x的四次方好，那么这个它就不能等价了。它呢，是等于当x项零时，如果说是x平方，你还想等价你带上ox方就能检查出它的。错误来，如果说不带的话，你答案是零对吧？你如果说不带，就是答案是零，但是带上就能看出错误来。因为是ox平方，除以x次方，

这个算不了。对吧，算不了，说明这个你等价就不行。你把sin EX方等价上x方就是错的，答案是零就是错的，而正确的做法是不是应该得继续？再泰勒展开或者是按照前面的方法。啊，给它平方差啊。能明白吗？这个什么时候可以等价，什么时候不能等价，就你只要带上加减法，带上余项立马就知道它能不能等价。

啊，带上余项能算出来的就是能增加的，那你也不需要增加，你就带着余项写就行了啊，然后。带上这个余项，你算不了的，就是不能等价的啊，这是最简单的判断，它能不能等价的一个通法啊？好吧，比其他的这个条件呢更简洁一些，反正你就带上余项加乘除法，用波浪线的这种直接替换加减法的，一定要带余项这样。

这样的话呢，保证就不会出现任何错误啊。好，这是这个。呃，这个等价啊，那为什么这个算不了，因为比x平方高的是多少？比x平方高的有没有可能是x的四次方？有没有可能是2x四次方？有没有可能是x三次方？有没有可能是x五次方？你说能不能算？是不是算不了？啊，

算不了对不对？好，那如果说是x平方减sin x平方可不可以等价呢？可以啊，那个等价是整体等价是方块减去s in方块。啊，等价于六分之一方块的三次方那个没问题啊，好行了，这是关于第三等价替换啊，化简方法。那注意的细节就是这里好吧，然后第四。第四的话呢，还有一些比较常用的，像提供因子。

题。公因子啊。提供因子什么时候比较常用呢？比如像这个e的方块，减e的三角。e的方块减e的三角有两个方法，一个是拉斯定理，一个呢是咱们提供因子提e的三角出来。e的三角提出来之后就是e的方块减三角，然后呢，再减一这样的话呢，就可以等价替换了，前面这项叫非零因子。它的极限一定不是零啊，非零因子。

因为这个方块只要三角不趋于负无穷，它就不是零，它应该不会趋于负无穷啊，它叫非零因子。给它计算出来，它就e的三角后面的话呢，等价替换啊方块减三角，这样的话呢，就能够把它化简了。那么，另外一个方法呢？就是拉斯定理啊，拉斯定理的话呢，大家可以自己先选学，因为很多同学可能还没有学过拉斯定理啊。

所以这个地方呢，就先不管啊，这个拉式定理拉式定理就是拉格朗日中的定理啊。拉格。朗日。充值。定理在解答题里面用提供因子书写起来会更简洁，小题里面。可以使用拉氏定理啊。这是提供因子的第一种，还有一些的话呢，就是像有明明有公因子的啊，就可以给它提出来。当x圈无穷大时，比如是x平方ln一加x分之一减x。

像这个极限，这个极限的话呢，它就可以提供因子啊，那么我们可以提一个无穷呃，提一个这个平方出来。当x全无穷大时，提一个平方出来，提完之后呢？剩下的这个就是ln一加x分之一，减x分之一，对吧？那么这个是不是就可以利用log 1加方块？方块是不是趋于零啊？x分之一就是方块啊，它呢，

可以等价替换，所以它就等于当x全无穷大时。开的平方乘上。那么，ln ln一加方块儿，减方块儿等价于负的二分之一方块儿的平方。在方块趋于零时。对不对啊？所以这样的话呢，就是负的二分之一啊x的平方分之一。所以这样的话呢，这个答案就是负的二分之一，这就是提供因子。常用的就是本身明显有公因子的，给它提出来，

然后像e的方块减e的三角的啊，可以给它提公因子。还有一个提供因子的，就是抓大头。当x趋向无穷大时x三次方加x÷2x的三次方减x。好，那么这个呢？我们是可以抓大头的，那么当x圈无穷大时，把大头提出来，剩下一+x平方分之一。除以下面把大头提出来一减二x平方分之一，然后提完之后，这叫提供因子，对吧？

提完之后呢，这个区域一这个区域一叫计算非零因子。计算非零因子之后就变成了x三次方除以二x三次方，这个结果呢？等于二分之一，那么从这一步直接跳步的。得到下一步，就叫抓大头。那么，所以抓大图的本质？抓大头的本质是提供因子加。提供因子让它将计算非零因子跳步得到的。计算非零因子。啊，提供因子加计算分离因子，

那么这时候。他呢，就是得到了抓大头啊，什么时候可以抓，就是当你提出来之后，剩下的是非零因子的就可以抓。那么第二题是不是也可以倒代换？可以啊，倒代换的话呢，就是接着往下来说了，一共有七个换解方法，我们把它捋完它。那么，第五个的话呢？就是呃幂指函数值的话。

幂指函数。按照这个指数化。那么，幂指函数指数化呢？它是指的像这种ax的bx次方。所谓的指数化，那就是给它先取对数，再去指数lna的x的b的x次方取个对数。然后再取个指数，那么它呢就可以写成e的这个b的xl na的x啊，这叫指数化。那么，这个指数化的话呢？可以算是。呃，

这个求极限里面像一的无穷大无穷大的零次方零的零次方的它的通法。那一的无穷大还可以使用三步曲，那么后面的两个呢？就没法三使用三步曲了啊，我们这地方就直接使用指数化。比如举个例子啊。比如，当x趋向零时，这个一+x的。一+x的x的平方分米除以e的x分米。大家来算一下这个极限等于多少？当x趋向零时啊e的x分之一，然后上面的话是一加x的x平方分之一。这个答案是多少？这个答案的话呢，

就有一个。比较常见的做法了，那就是一加x，我看到一加x的x分之一了是吧？一加x的x分之一。完了之后呢，我们再x分之一，这不就重量极限吗？对吧？然后e的x分之一，它是不是就可以写成？这个当x趋向零时e的x分之一，除以e的x分之一。这个不就是一吗？对吧，

好，那么这就是一个经典的错误。那为什么这个这个重要极限不能算呀？好，那这个重要极限我算出来了，哪里出问题了呢？啊，因为这一块的极限，它不存在这块极限的话呢，到底是无穷大还是零这个都有可能啊，这个极限不存在。这个极限不存在的话呢，那么这一块的极限就不能单独算。因为分母极限不存在，你不能把分母算出来，

如果说这道题假设换一个。换成当x趋向零时，一+x趋向于零负的时候吧，或者零正或零正吧，零正零负都行。比如是这个样子。然后除以e的x次方。那你说我能不能把它写成这个e的x分之一，除以e的x？我这样写能不能行？或者这个e的x啊，先写上也行啊。这样写的话呢，最后分母是一分子是无穷大，这样写行不行？

这两个就是分母有区别啊，这个分母有区别，那么这个上面这个。这个其实可以把它算出来了，是一了。上面这种情况能不能这么写啊？啊，这个是允许这么写的。啊，这个是允许这么写的，允许这么写这个答案的话呢，是正确的。答案是正确，原因是什么？那为什么上面这个可以单独把这一块算出来呢？

为什么我可以单独把它算出来啊？原因的话，那就是这个分母极限存在分子的极限存在。分子不能不是分子极限存在，是分子的极限可以单独算。啊，他可以单独算的话，那我们这个地方就可以把它计算出来，不过。不过好像也不是很科学，这个说的好像也不对呃，这个地方还是不能算，还是不能算？原因的话呢，它是个个幂指函数啊，

这块是虽然说能单独算这个分子了，能单独算分子了，但是这一块还是不能算。不能算的原因是什么呢？这个地方我还是要把它纠正一下吧啊，不要把自己带到坑里面去了，咱们注意幂指函数的运算法则啊。注意，这个幂子函数的运算法则。幂的函数的运算法则怎么算呢？是如果说这种情况下才能算啊？如果说若当x不管趋向于什么的时候ax极限存在，当x不管趋向什么的时候。这个bx的。这个极限存在。

然后且这个AB不全为零。这样的话呢，才可以则。当x趋向于x0时ax的bx方等于a的b次方。这样话呢，也就是这种情况才可以单独算。除了这种情况，都不能单独算像刚才举这个e的x这个分母，把它换成碳分子这一块，也不能单独算。因为这一块把它改成e的x的话。它是一它是一的话呢，这个极限这个极限我能不能先把它算出来再算它呢？不行。呃，

虽然说答案不错啊，但是呢，它不符合原理啊，虽然说答案是对的啊，但是不符合原理原因的话呢，是它两块都得存在。才能算而这一块，显然它不存在它的零分之一是无穷大，对吧？这一块存在，但这一块不存在。所以这时候他就不能够把下面这块算出来，如果说这块能那么这个问题就来了。那么，如果说这块能为什么不把这块算出来？

把这个一算出来，把这个地方算出来。它不就是这个呃无穷一的任把一先算出来，一的x平方分之一再计算，就是一再求极限，是不是就一了？那给你把这地方算出来，答案是不是就不一样了？如果说这个地方能算，那这地方就能算啊，对吧？因为它的形式不就一样的吗？对吧，所以这个答案的话呢呃，这个问题呢，

就是不能算啊，什么时候才能单独算呢，就是这两项极限都得存在。才可以啊，好，所以这样的话呢，计算是有问题的啊，那么这个地方计算有问题，往下应该怎么做呢？那就是指数化当x趋向零的时候，上面是e的x平方分之1 ln 1+x。然后呢，除以e的x分之一值式化。幂指函数指数化是它的通法啊，除以一的x分之一。

好了，那么指数化之后，你看能不能这么做？那么，指数化之后诶，这个地方有log n 1+x。len 1+x的话呢，那就是可以等价替换。然后除以e的x分之一。这怎么又回来了？所以这个复合函数内层能不能等价替换呢？对吧，这个指数函数的内层能不能等价替换呢？不能啊，有些时候可以，

有些时候不可以，那就不要给它等价替换，前面已经讲过了，氟含酸内层不能乱等价替换。看了没有？那这一条不是个乘法吗？但是你这个极限号不在这儿啊。你这个极限号，如果说能写到这儿，那么它就可以等价替换，现在你写不到那儿去，因为分母不能单独算这个分子，这个地方可以单独算。好，那么这一块嗯，

但不能单独算啊，分子这块不能单独算，如果说能单独算，那你就可以根据复合函数极限把极限拿到内层。它就可以等价了，现在你拿不到内层去，所以也不能等价。那所以这地方往下应该正确怎么做呢啊？正确的话就是指数函数相除就是指数相减。是x平方分之1 ln 1+x-x。减去的话呢，再根据复合函数极限运算法则，把极限号拿到内层去，然后可以先求内层极限，再求整体极限，

那就是x的平方分之。ln 1+x-x好，然后这样这样话呢，这个内层这一块啊，它是单独算极限，单独算极限。它是乘除法，上面是等价替换，所以这个答案等于e的负的二分之一啊，这个才是对的。好，所以这道题呢，是一个非常经典的题目，然后有两个容易出现错的地方，第一，

重要极限不能用，第二，内层等价不能用。啊，然后呢？这个正确做法啊，密产出指数化。好，这是第五个，然后第六个。然后第六个的话呢，那么就是这个叫什么来着？我看看还差一个啊，差一个啊根式有理化啊。根式有理化。

那么，什么叫根式有理化？看见根号，我们可以考虑根式有理，化根式有理化它的原理呢，是用平方差这个a-b，我们乘上一个a+b。它呢，就等于a方减b方。那么，遇到这种根号啊，就可以有理化，当然a-b，如果说我三次方三次根号，要不要有理化呢？

三次根号一般不需要有理化，如果说确实想有理化的话也可以，那就利用立方差。这个等于a的三次方减b的三次方，当然同样也有立方和。a加b啊，如果说a和b里面有三次根号，那么我们也可以写成a的平方减AB，让它加b方。然后等于这个是a的，这个三次方加b的三次方，当然主要用的是第一个，那就是二次根号。当我们遇到这种根号减根号。或者是根号减括号，

这种情况下我们就可以把它们有理化啊，根号减根号，那就是根号减根号。乘上根号加根号，除以根号加根号，上面的话呢？平方差下面的话是非零因子。啊，上面这个地方叫。平方差。这地方是平呃上面。平方差啊。有理化。去根号啊。有理化就是去根号，

它分母的话是非零因子。可以把它计算出来。啊，它的极限一定加法不为零啊，那么它的这个非零算出来那么根号减括号是同理的。根号减括号，那你就是你就分母乘分子分子分母同乘根号减这个加个括号就行了。根号减括号乘以根号加括号啊，然后除以根号加括号。就可以起到化解作用啊，比如举个例子啊。比如，当x趋向零的时候。根号下一加上，比如sin x。

然后减去。一加两倍的sin x啊。两倍的sin x。然后减去一减x。我看看对不对啊？一，加。嗯，这个一呢嗯，就一+x是二倍的sin x。减去。嗯，可以是可以。但是不是很好。想一想啊。

x减去它是。支撑出来一个平方。那么。怎么能改一下呢？这样子一加上根号下一+ln一+x。减一减x。除以两倍的。x平方。啊，比如这样一道题来算吧。两倍的ln1+x-1-x。求这个极限。看看怎么做啊？当x趋向零时。根号下一加两倍的啊ln1+x-1-x。

那么，当x趋向零时分，母趋于零分子是根号下，这个根号下一。然后呢，减去后面。好，那么这道题刚讲完，这个根式有理化呢？当然这道题用根式有理化是最简单的，你用别的什么洛必达呀，泰勒呀。都可以做，但是它就比较复杂。然后这个地方能不能等价替换，

还要注意这个地方能不能等价替换呢？这个地方不能等价替换啊，等价替换还是一个经典的错误，比如当x趋向零时。啊，那么等价替换啊，二分之一乘上两倍的ln一加x，让它减x除以。x平方啊，然后呢？等于当x圈上零时，那么ln x减x负的二分之一x平方除以x平方等于负的二分之一。好，那么这个就是一个经典的错误。不能等价替换啊。

这个不能等价替换，那下面应该正确的做法怎么做啊？正确做法就是根式有理化。上面是根号下呃，这个根号下一加上两倍的ln 1+x。两倍的ln 1+x。然后呢，减去你把这个负号提出来。你把它呢，再给它乘上根号下一加两倍的，这个ln 1+x。加上一+x。然后分母呢，再除上根号下一加两倍的len 1+x，再加一+x。

好，然后它呢就等于当x趋向零时分母，你看这一项整体是不是非零？因为根号趋于一，根号趋于一。后面那个后面那个括号这个加上一+x还是趋于一？这样的话呢，整体分母是不是趋于二叫计算非零因子？而分子平方差，平方差的话，是不是前面根号的平方减去括号的平方？根号的平方是等于一加两倍的，这个ln 1+x减去括号的平方是不是可以平方完全平方式？打开这样的话呢，这个一和一减掉，

那就是两倍的ln 1+x- 2 x-x平方。对吧，好这样的话呢，它就等于二分之一给它提出来当x圈二零的时候，前面这一项。或者我们不用提出来了，前面这一项。哎，等一下，我怎么少了个？好少了个x方啊，少了个x方，我说怎么最后答案就是零了，你分母是x平方乘上它啊。所以这个分母的话应该是2x。

然后呢log 1+x- 2x，就这样啊。少了个二x方，把二分之一提出来。提出来之后也可以这样吧，不用提了，直接拆分当x趋向零时，它是ln 1+x。减x÷x平方。然后后面这一项直接拆开吧，不就减二分之一了吗？对吧啊。减二分之一，所以它呢，就等于当x圈二零时，

上面是负的二分之一x平方，除以x平方减二分之一。它是等于负的二分之一减二分之一等于负一。你们这个负二的话呢，肯定是分母没有除二。对吧，你关于分子有理化了，那你分母你分子分母得同乘啊。分子分母同乘这个根号对吧？分子分母，同乘同乘，根号分母。要把那个二非零因子计算出来啊。分子有理化。有理化完了之后拆分极限存在的项对吧，

然后也就算出来了。所以这道题是不是就变成了，如果说按照咱们基本的解题方法啊，七个化简方法来做，是不是就变得非常简单了，而如果说你乱做，对吧？拿过来就等价啊，也不知道能不能等价，反正我就等价了。怎么着那怎么着就错呗，对吧好，所以就是按照规则去做啊。好，这个这个题为啥不能等价分子两项相除？

好像不是一。怎么不是一啊啊，他俩比值的极限不是一吗？相除不是一，但是比值的极限是一。比值的极限是一啊，因为前面等价于x。这个不就等价于x吗？它等价x它也等价x两个比值极限是一，最终等价是一啊，也不行。所以你看你有些规则，你用的不是很好，不是很好，怎么办？

不要用。啊，不要用那么加减法，不要等价替换你，除非带上高阶无穷小，带上余项，否则就不要用，要不然的话就白前面我就白讲了。那之所以讲就是肯定你们这样容易出现问题，而且这还只是一些简单的题，复杂的题目，有时候你出现问题了，你都发现不了。那我给你讲的这个就是为了避免你出现问题好吧啊，不是说你学的越多，

你当将来考的分数越高，而是你学的要要通透。他才能得到更高的分数。啊，而不是说杂七杂八什么都学这方法，我也要学那方法，我也要学你掌握不了的，我就不学，我就不会出错。啊，不出错也是一种优秀的品质，对吧？会的就是会，不会的就是不会啊，这个数学学数学就一定要做到这个程度。

你做完题目一定要知道你做的就是对的啊，你不要乱也也不要做完之后，我也不知道对不对啊，反正对完答案我才知道对不对，那你这个数学就没学好。啊，不会就不会，会就是会会的，都是对啊，不会的就是不对啊，这样才可以啊，好吧好，那么然后最后一项啊，最后一个。最后一个的话叫倒代换啊，

也叫变量替换。变量替换啊。变量替换的话呢，这个主要用于是倒代换。倒代化呢，主要就是。这个当x比如趋向无穷大时。有时候它不好算，对吧？当x趋向无穷大时，如果说不好算，我们就令t等于x分之一，它呢？就趋于零。这样的话就好算了，

就像刚才前面那个题目，有的学的话呢，看起来就不太容易，一下子能够看出来。这个提供因子好看不出来，提供因子没关系。好，大家换就行了。我们令t呢等于x分之一啊，那么这样的话呢t不就趋于零了吗？t趋于零这样不就t方分之一ln一加t减t？好再往下通分一步，那就说你这样就慢了，慢了也比做错或者不会做要强，然后你算熟练了，

它也不慢。啊，对吧？所以这个问题呢？要辩证的去看，不是一个绝对的慢了的问题，你快了不会慢的方法就是你最快的方法。你觉得呢？是不是好像这有点哲学的味道？啊，那么这个一定还是要会的啊，当地区域零的时候这样就很简单了，不会出现错误了，对吧？不就是负的二分之一。

然后x这个t的平方嘛，对吧？负的二分之一t的平方，除以t的平方等于负的二分之一，这就倒代换。还有的话呢，就是其他的只要不趋于零的啊，这个x趋向于x0好，那么我们这个地方我们就另。这个x-x零=t它趋于零，这样的话呢，只要趋于零就方便了，比如。比如这个。当x趋向于派时。

当x趋向于派时，这个sin x比上。变成谁呀？我看一下啊。sin x趋向于派时。sin x.呃，这个x-x减派等于tx等于派加tx等于派加t的话呢？是负的sint。除以三×t的话呢，那个地方就x减派吧啊，简单一点。好，那么这个极限怎么做呢？你当然可以落笔答案啊，

但是呢，我们先不用落笔答案啊，主要就是练习这个变量替换，因为更复杂的题目里面可能落笔答案不了。啊，它只是其中一小步呃，或者是其中某一小项，你可能落笔大不了。那么，洛必达不了啊，这个他他就应该这样做。做变量替换啊。现在不能直接等价替换啊sin x不能等价乘x啊，这道题当然也是一个典型的错误，那就是。

当x趋向于派时，它是3x等价成x，它是x减派，它的分母是零，分子是派等于无穷大啊。啊，这就错了，对吧？好，那么这道题正确的做法呢？那就是它不能等价，不能等价，我们把x减派给它看成t。这时候呢，这个t趋于零。

好，那么x的话，那就是派加t。然后呢，除以下面就是t上面的话呢，根据诱导公式s in派加t应该等于负的sint 3角函数的诱导公式。然后呢，除以t好这个就可以等价替换了。啊，它就可以等价替换了，那么当然也不用等价了，结果等于负一。负一啊。这样的话就变简单了，起码对吧？

或者我再写一步这个等价吧，这个题出的太简单了，我估计大家肯定不想这么做。你肯定是想洛必达，我应该出一个让你洛必达落不了，你就得这样做，不是说落不了就落起来，麻烦的题。只不过因为马上也快，时间比较长了啊，不想出那么复杂的题了，就出一个简单的题，说下思路就行了，好吧？那么咱们这个化解啊，

一共就这七种常用的化解方法。七种常用的化简方法，你只要把它搞透了，所有的极限计算你都不会出错，而且都会几乎跟标准答案一样的方法就把它做出来了。基本上按照我给你总结的这个顺序去做啊，这是回头看一下，再总结一下这个笔记发给你们之后，你们再从头到尾再研究研究啊。然后第二是化简，然后第三是计算。当你把能化简的全部化简完了，最后再去计算。之后再计算，那么这个计算就两个方法第一。

洛必达第二泰勒公式。那这个地方你就需要把常见的泰勒公式全部总结一下，常见的泰勒公式，这里面有九个。啊，第一个。sin x.sin x的话呢，我们只需要展开到三阶就行了啊，咱们只先研究三阶。那么告诫的话呢，当然也可以。你也可以研究一下sin EX第一个，然后sin EX完了之后cosine x第二个。然后第三个是tangent x，

这个呢，只需要到三阶啊，这个三阶的话呢，就是x加上三分之一x三次方，其他的话呢，就不写了啊。然后这些呢，你可以多写几个，多写几项看一看，因为有时候会用到后面更高阶。然后是arcs in。它能展开到三阶啊，这个呢是x应该是什么s in的话应该是减对吧？sins in展开的时候是x减六分之一，那这个地方就是加。

六分之x三次方，你看我记的时候呢，都是先考虑一下三角函数，那你也这么去去记，你不要直接死记硬背，那么死记硬背不更好吗？他费脑子对吧，又不想死记硬背啊，用的又不那么多，我们现推就行了，那么t an ENT我记住了arctan ENT不就解吗？这样的话呢，他就不费脑子了，对吧？他就更好记，

然后第六个是指数函数，它的材料展开自己去写。第七个是对数函数开了展开，自己去解去写，第八个是等比数列的啊一减x。还有这个一+x的，它俩展开，然后第九个是一+x的阿尔法次方。它俩展开这个，它俩展开的话呢，是一加阿尔法x+2的阶乘分之阿尔法乘上阿尔法减一。x的平方+3的阶乘分之阿尔法乘上阿尔法减一。乘上这个。这地方是阿尔法减一乘上阿尔法减2x的三次方，然后加ox三次方，

后面就不写了。好，这样一共是九个，需要你们记的，剩下那几个自己补充一下，我把笔记给你补充全，你自己想一想，看看怎么去记？这个泰勒公式当然是有规律的啊。我一说规律，我就想把它写出来了，这个正弦的规律是啥呢？正弦的规律是只有它的奇函数。那奇函数的话呢？那等号后面就只有奇数次幂，

只有一次幂。三次幂，五次幂。七次幂，然后依次类推。啊，到这个x的2n。减一次幂吧。奇数次幂啊，然后呢？只有奇数次幂分母带阶乘正负相间，第一个是正，后面是负。然后呢，是分母带阶乘三的阶乘分之一，

然后呢，加上一正一负啊五的阶乘分之一，减去七的阶乘分之一。然后正负相间加一直加加加到这个是负一的啊，这个多少次方看一下。是N次方还是n- 1次方？负一的N次方还是n- 1次方呢？是2 n- 1的阶乘分之一，那你看看第一项当n取一的时候是正的还是负的？当n取一的时候是正的，当n取一的时候正的，那么这个地方它就不能是N次方，那应该就是n- 1次方。对吧，正负相间，

分母带阶乘啊，只有奇数次幂，这地方是一个奇函数，所以奇函数只有奇数次，幂正负相间，分母带阶乘你这样反复记几遍，它就能写出来了。对吧，那么余弦的话呢？同样道理，这地方是偶函数cos x，是一个偶函数，偶函数只有偶数次幂。那就是零次幂，然后呢？

平方四次方六次方一直到2N次方，然后一直往后加。那么就是分母带阶乘啊，正负相间分母带阶乘那么一正一负分母带阶乘二的阶乘还是二？加上四的阶乘分之一，减去六的阶乘分之一，然后一直加，然后呢？加上这是负一的，你看是多少次方2n的阶乘分之一呢？第一项是n=0的时候对吧？n=0的时候，那这地方应该是N次方，那干脆我们统一吧，那上面这个地方写成。

负一的N次方，然后是2 n+1，2 n+1就是n=0对吧？然后阶乘分之x的2 n+1，这样的话就都统一都是负一的N次方。所以这样的话呢，这个正弦余弦不就能记错了，记住了吗？对吧？正弦只有奇数次幂啊，分母带阶乘正负相间。余弦的话呢，只有偶数次幂分母再结成正负相间。那么，带阶乘的还有哪一个？

还有指数，指数是非奇非偶非奇非偶的话呢？它是奇数幂偶数幂都得有，所以是连续幂次。一然后呢？加x+2的阶层分之1x平方，加上三的阶层分之1x的三次方一直往后加。加到n的阶乘分之1 xn次方移动后，加它是个连续幂次分母带阶乘啊，没有正负相间啊，全都是加号。找规律对吧？它是分母带阶乘连续幂次啊，然后全是相加。然后带阶层的就这三个，

然后剩下不带阶层了，这个ln不带阶层啊，它不带阶层，非即非偶非。非奇非偶连续幂次就是x的奇偶幂都有，那就是x要正负相间分母不带阶乘那么一正。一负，然后呢？一正。然后呢，一负分母不带阶乘啊？然后呢，一直往后加，加到负一的n减一次方n分之一xn次方一直往后加，那么对数函数是飞机飞舞的啊，

这两个都是飞机飞舞对吧？所以他就是。这个非奇非偶都是连续幂次，然后有个带有个带阶层的，有个不带阶层的，不带阶层的原因呢，是被约分约掉了。然后带阶层的那个原因呢？是约分没约掉啊，因为它这个通项不是阶乘分之小f0的n阶导吗？对吧，那么指数函数求导永远都是e的零呃，求导在零点处的导数都是一，所以分母没有约掉啊，阶层都带着，

而对数函数求导的时候。它是零阶呃f0的n阶导，它会带阶乘和分母约掉了一些，那就不带阶乘了。然后这个一减x呢，是等比数列一加x加x方加x三次方加x四次方，它这个等比数列对吧？然后呢，一直往后加啊，加到xn次方，而这个一+x呢，就相相当于把上面的x换成负x。那就是一正一负了，一减x加x方减x三次，方加x四次方对吧？

然后一正后加，然后是负一的N次方xn次方。一到后加，一到后加就行了，正好那九个也就记完了啊，看看你们稍稍微整理整理，看看能不能把它记住。最后一个这个g的话呢，你就现场推导一下就行了，因为这个小fx=1+x的阿尔法次方。所以你求它的导数啊，非常简单，阿尔法拿下来幂次减一。然后二阶导。二阶导是阿尔法乘上阿尔法减一拿下来一+x的阿尔法减二，

那么你看小f0不就一吗？小f0的一阶导不就等于阿尔法吗？小f0的二阶导不就是阿尔法乘上阿尔法减一吗？然后带到这个阶层上面去不就完了吗？三阶导不就再来一次阿尔法减二四阶导再来一个阿尔法减三吗？是不是你只要会推导这个记这个，最后一个也很好记吧？好，这就是泰勒公式啊，你要研究而不是死记硬背啊，所以找找规律背一背，这个最后记一下啊。好，这样话呢，就是关于最重要的一个题型，

函数求极限啊，讲的内容有点多了一点，有点超时了啊，对吧？呃，那倒也没关系，反正大家能学懂就行了，还其实还差一个。啊，到代换那里没有写错吗？我看看啊，到代换里面哪有写错了吗？我们来看看啊，倒代换有写错吗？它来换这地方t等于x分之一x等于t分之一t方分之一减t哪里错了？

没有错，哪句话写错了吗？这个这个地方x分之一等于t啊x等于t分之一对吧？那不就是t方分之一嘛？t方分之一减去。这个x啊，这个地方是t分之一啊，写错了，确实写错了，这地方这个减t分之一。啊，减t分之一，然后通分之后是减t，你这个眼睛还是比较尖的啊，挺好啊，

有时候笔误了是吧？好，应该不代表实际水平。好，行了，这是咱们这个第三个啊，这个题型。那么。好，再往下的话呢，还有一些题型呢，还剩下第四个啊，第四个应该就是间断点，我们来说一下吧，好吧啊？

我们再说一个第四个啊，再稍微拖堂一点啊，内容多一点。第四个，这个间断点稍微一总结就完了，它应该比较容易啊，连续性与间断点。连续性与间断点。与间断点啊，这样的话呢，咱们这个课程就稍微比较完整一点啊。连连续性与间断点，首先第一个连续连续的话呢，只需要用定义就行了。那就是当x趋向x0时，

小fx极限值等于函数值，这就叫连续。没有什么其他的方法，这就叫通法，对吧？然后第二这个间断间断，当然也是定义。那么，间断点的话呢？那就是你来判断一下当x趋向x0时的极限值能不能求出来？如果说能够求出来等于a，但是呢，不等于函数值这种给它称之为叫可学性的点。然后如果说当x圈x0时，这个小fx极限值不存在啊，

它得分左右。整体求求不出来的时候分左右。左极限等于a。当x趋向x0时，右极限等于b那么，且a呢？不等于b。啊，那么则这种是不是又给它称之为叫跳跃间断点？那所以我们什么时候分左右，什么时候不分左右呢？那就是我们先考虑整体求。整体能求整体求整体，不能再分左右。那就叫该分左右的时候分，

那什么叫该分就是你整体分整体求求不了就得分呗啊，整体求不了就得分啊，整体能求就不用分。啊，整体能求我们只要求出来所有极限，自然是相等的，对吧？然后第三个呢，就是当x趋向x0的左侧。等于无穷大，或者是当x趋向于x0的右侧，它是无穷大。那是无穷大时，那么这时候就给它称之为叫无穷。见到你，

然后第四。第四的话呢，就是震荡的啊，震荡这个地方就举例子了。就是比如当x趋向零时。sin x分之一。那么，这个结果就是一个正当的，它有有界正当，还有一种是无界正当，是x分之一乘上sin x分之一。啊，这个呢，是一个有界。真的，

它是不超过正负一的啊，正负一之间来回正。有界诊断，然后这个呢？是无界诊断。怎么个无界震荡法呀？它是从负无穷到正无穷来回震。对吧，这个函数呢？图像是画不出来，是在电脑屏幕里面是显示不出来的，它是有电脑屏幕永远是有限的。但是它的函数值啊，图像上下是上天入地的，对吧？

所以它是个无限无界震荡。但是它不是无穷大啊，无界震荡，但不等于无穷大无界和无穷大是有区别的，无穷大是指的所有的函数值都趋向无穷大。才叫无穷大，它有些不全无穷大，它有些趋向于零，对吧？比如x分之一取k派的时候k圈无穷大时。它是零，它是从负无穷。它是从这个负无穷到零到正无穷啊，来回震荡的。x分之一，

sin x分之一啊。啊，它不是趋向于无穷大啊，叫无界。好，那么这个呢？就是连续性与间断点，那么连续性与间断点的题目呢？无非还是求极限，所以又回到了前面的第三个题型。好，除了这四个题型的话呢，还有两个题型在咱们第一个基础阶段的话呢，不要求大家重点去掌握。呃，

还有一个是。数列求极限。数列求极限，对于咱们所有同学了解选学，有时间就学，没有时间就不学啊。好吧，这个或者有能力就学，没有这个基础的话啊，那就不学，所以这地方了解不做总结啊，咱们基础阶段不要求强化阶段的话呢，会给大家系统的去总结的部分。再一个是在强化阶段之前，咱们a班的话呢，

会有一个过渡的阶段，有一个啊这个。零九到一四年，真题的题型通法，那时候呢，会把这个数列极限给大家稍微讲解一下，这个高目标的同学也选学吗？也是啊，就是你现在有能力就学，没有能力啊。就是你目标再高，你现在也不需要学它，还是那句话，就是不是说你学的多，就你学的就好。

是你得学的会，你才能学的好，那么东西多了，你可能学不会，学不熟练，那就不如不学。先把它一放，这是个证明题，偏难先一放，可能会使你的复习节奏会更顺畅，学的更有效果，这个分数拿的更稳。啊，你把更多的时间放在前面，更重要的好学的知识点上才是最佳的，

咱们这个数列极限啊，在强化阶段之前咱们。咱们到时候有那个四月份到六月份的时候可以去研究，然后再者强化阶段，我们也会带大家去去总结。所以像这种偏证明的建议，大家选学好吧，你不要贪多，不要求全啊，能把概念性质在这一遍学了一下就已经算很好了。最底线要求就是你只要要能把计算搞定就行，只要把计算搞定基础，就算过关的概念性质不懂，问题都不大。因为概念和性质你不懂，

对极限，比如像极限的计算，这一块儿应该没什么影响，你极限计算就是那些什么极限化简的一些。方法而跟极限的概念和性质没什么关联性，对吧？所以很多概念和性质呢？就大概了解即可啊，这是最基本的要求。你肯定理解的越好越好啊，那数列极限呢，偏证明偏证明大家就了解啊，那么还有第六个。第六个叫渐近线啊。这个经济线的话呢，

大家还没有学到，在学习包里面呢，是在这个第二章啊，依元函数微分学是第二章还是第三章，我看一下，应该是第三章第三章。在第三章是三杠几呢？等大家学到了，我们再给大家去总结这部分啊，是三杠三啊，应该是三杠三。等学到了再说，现在还没有学啊，等后面再给大家去总结。总共第一章就六个常考题型啊，

第一个极限的概率性质，第二个无穷小的比较，第三个函数求极限，第四个。是间断点呃，这个连续性与间断点第五个缩略求极限，第六个间接线还没有学啊，间接线是重点。然后这个呢是了解啊，这个了解是指的是基础阶段了解。基础阶段好吧。嗯，咱们如果说有时间就学它，没有时间呢，你就先不管，

先把其他的先学懂了再说。啊，其他没有学懂之前数列极限，先不看其他都学懂了，没有新的东西要学了，闲着也是闲着，你就学一下数列求极限。好吧，咱们a班的同学跟s班的同学的学习路径是不一样的，但是最终我按咱们a班同学按给大家规划好的这个路径去学。肯定效果是最好的啊，你不要求全求全的话，最后效果可能很差，原因是你当学的内容越来越多的时候，杂七杂八什么东西都有的时候。

那就开始遗忘了，这个地方也记不住，那个地方也记不住，这个地方又跟那个地方又混了，那你记得越杂越学的越乱，那效果越差。那如果说我与其那样，不如第一次。我就只管一件事儿，就是函数求极限，随便给我个函数，我极限我都能算出来，那么第一章你就非常的扎实。第二章同样道理，我们只管函数，

求导数，只要各种各样的导数，只要能计算出来，那么关于导数的定义啊，关于微分。啊，关于这个什么高阶导数这些呢？都不重要啊，咱们后面呃强化阶段以及强化阶段之前，等后面下一次复习的时候。再把这些比较偏的比较难的啊，这种知识点再给它补起来就可以了，对先把这个。呃基础先夯实了，再把剩余的内容查缺补漏，

一定是一遍一遍一遍的学习，咱们寒假还有很好的复习时间，对吧？所以现在不要。这个求全啊，你愿意舍弃一部分知识点，先不学的可能学的会更好啊，可能学的会更好，而不是说学全了，学全了不一定好。因为大家得有一个循序渐进的过程啊，你要消化不了，那么不如不学啊，一定要做这样一个思想，这样的话呢，

数学会学的基础非常扎实啊。好吧，行了，那我们今天的这节这个课程就这么多，一会儿的话呢，会把笔记上传到咱们的那个。课表下方啊，或者是我看一下咱们班主任能不能发到咱们的这个班群里面都可以，反正大家到时候可以下载啊，下载之后呢，按照这个笔记呢，稍微整理一下。自己把它变成自己的这个笔记，在咱们这一课给大家强调的很多规则里面，你一定要记得去用。

你不要说我讲完了之后，你后面还是按照自己的逻辑来，那么你这个做题肯定就不如按照我跟你说的逻辑去做会更好。啊，好吧，不要反复的去，这个叫什么啊？这试错当然也是有一个必要的啊，但是不要啊，这个反复的去试错啊，有那么一两次的试错也是可以的，但是尽量的就是减少试错成本啊，好吧？节省时间啊。好，

那我们今天内容就讲这么多吧，行吧，希望咱们这节课的这个梳理能够把前面的第一章的大家所学的这些内容。稍微做一个规范化啊啊，行吧啊，内容比较长原因的话呢，其实也是想讲的东西太多，毕竟你们是学了那么长时间的东西，咱们一节课讲完。还是有点压力的，对吧？那如果说想卡的时间讲呢，那我就少讲点，少讲点，但你们又不懂啊，

所以我还是想讲多一点啊。啊，我们不需要卡时间啊，好吧行吧，那我们今天内容就先到这啊，大家的话呢，这个假期啊，做好复习好吧，嗯，接着你们还得继续努力啊。那我们就休息了好，那我们今天内容今天讲到这，大家继续加油好吧，咱们下一次课啊，一元函数无分学，

咱们再见啊。啊，好好努力啊，好有什么不懂的，随时在班群里面进行提问啊，好吧，行了啊，那我们这节课呢，就先到这啊。好，大家加油啊。

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