13.11.7斯托克斯公式

罗泽兵 · 发表于 2024-4-3 05:54:08

各位同学大家好，下面我们来学习第11章第七节。stokes公式。那斯托茨公式呢？它实际上是建立一个封闭曲，线上的线积分。和张在它上面一个面积分之间的关系。在这呢，假设有光滑的曲面sigma。它的边界呢？是伽马。那这个伽马是分段光滑的曲线sigma的侧与伽马的正向符合右手法则。PK 2在包含sigma的区域内，要有连续一键偏导，则有下面的结论。

好注意，你看这个sigma。是一个曲面啊，这是一个曲面。然后这个伽马呢？伽马就是这个曲面sigma的这个边界曲线啊，下面边界曲线。那这个时候注意，我们这边是二形线，这边是二形面，它牵扯到曲线的方向，它牵扯到曲面的方向。那注意这个地方是右手法则，也就是说你看假如说伽马的方向是这样一个方向。那就是用四指指向这个边界曲线的方向，

然后拇指所指的方向就是曲面的法线方向。啊，这就是说这个边界曲线的这个方向和曲面的法线方向符合右手法则。那这个时候呢，注意就是这块曲面的边界曲线。像这样一个空间二型线积分。就等于这个曲面sigma上一个二型面积分。那注意这个dy dz前面的系数，这里有同学说这公式太难记，实际上也有规律哈。你看这样记，这是dy dz，所以你看这就是对y求偏导，减去对z求偏导。这是dz dx，

所以这就是对z的偏导，减去对x偏导，这是dx dy，所以这就是对x偏导，减去对y的偏导。诶，那这是dy dz，这是对x求偏导减去对z求偏导，那谁对y求谁对z求啊？那你注意这个一定是你看这是对z，这是对外，所以对外求偏导这个就是dz前面的系数。对外球变大。而对z求偏导的，那就是dy前面的系数。

一样的道理，这这是zx所以对z求偏导应该是谁dx前面的系数？而对x求偏导应该是dz前面系数，这也是一样的规律，这是对x对y那谁对x啊，就是dy前面的系数。谁对y？那就是dx前面的系数。如果觉得这个还不好记，也可以写成这样一个行列式的形式。就是dy dz dz dx dx dy。撇撇x撇撇y撇撇z，这是pq 2。然后注意把这个行列式按照第一行展开。出来就上面结果。

当然，这个跟它相乘就意味着q对x求偏导，这个呢，对y相乘，它跟y相，它跟p相乘。就是p对y求片段。当然，还有一种形式，那就是。因为我们知道dy dz就等于cos阿尔法乘ds。这个dz dx呢，就等于cos塞贝塔dsd xd y，就等于cos塞伽马ds，所以也可以写成这个形式。

比较常用的是一个是这个形式，一个是这个形式。那注意这个呢，是直接把它写成二形面积的，这个呢，是写成一形面积的。这个很好记，你看cos阿尔法cos贝塔cos阿玛撇撇x撇撇y撇撇z撇。qr.嗯。记这个，你到时候用的时候，你还得把它展开，还得写成上面这个式子，所以记这个记这个怎么记？

我们刚才说了规律。好，这就是这个叫stokes公式。stools公式呢？它是建立一个封闭曲线以及张在它上面这个曲面的这个面积分之间的关系。给我们计算空间现积分提供了一个新的思路。那下面呢，我们来看一个例子。比如说我们教材上这道题。利用s公式计算这样一个空间线积分。那这个伽马是谁呢？伽马是这个平面x+y+z被三个纵平面所截三角形整个边界。方向如图所示。那就说这个伽马呢，就是这样一个三角形的，

这样一个平面，它的边界曲线。方向呢，是这样一个方向。那要计算这个线积分，那我们就要用s tos公式，就是把它要转化为面积分。那转化为哪个面上的面积分呢？那我们说这个面呢？只要以这个曲线为边界。或者说是张在这个上一个曲面，那我们就选谁呀？这个平面呀，平面方程是谁？就是x+y+z=1。

大家注意，就是说这个面呢，你可以选这个平面，也可以选以这个。三角形的边界为边界的任何一个曲面，这个答案都是一样的。那我们在这儿呢，就直接选这个平面。那这样子的话，利用所次公式注意，我们把它改写就记三角形区域。这个就记这个三角形，这个面为sigma，根据右手法则，我们应该去哪一侧？

应该取上侧。好，那这样的话。我们利用刚才这个行列式，这个形式。那注意这个p就是zqx这这个r呢，就是y。然后把这个行列式按照第一行展开。那这个时候注意它乘上谁？这两个相乘减，这两个相乘。质量相乘，那这个y对y求偏导是一减去这个z对x求偏导，那实际上就是一。所以你看这地方就是一乘上dy dz。

然后呢，再来看它乘谁，它乘这两个相乘那是零。减去谁呀？这两个相乘，那应该是负一，但是这又一个负号，所以就是dz dx。再下来呢，就是它乘上它的代数余子式。那么这时候呢，就偏偏x这是一减去偏偏z偏y0。那所以这就是dx dy。那这样子就把就把这个边界曲线上的线积分画成这个三角形，这样一个面上的面积分沿射层做。

这个面积方如何算呢？如果一项一项算就有点麻烦。那么这儿呢？根据对称性，你注意，这是x+y+z这系数都是一，所以这三项是一样的。三项一样的，我们算谁呢？我们就算它，所以它就等于三倍的，这个时候三倍的。这一项。那么，这一项在算的时候，

我们就直接算啊，把它直接化成xy的乘积分。那这个基本域是谁？基本域就是它在xy面上的投影区域，那这个投影区域就是下面这样一个三角形区域。这就已经化成这个上的二重积分。然后这倍积函数是一这个二重积分等于谁就等于这个三角形的面积。那么，这个三角形呢？那这条边是x加y等于一，所以两个直角边都是一那二分之一底乘高，所以这个三角形的面积是二分之一。那最后就是二分之三。这是用s公式，是用这样一个行列式的形式。

实际上，大家注意也可以不去背这个行列式的形式，直接写这个二型面积分。它的形式。那么这个写的时候啊，你先把这个架构写好，就这个地方呢，应该是dy dz。然后呢？再加上谁再加上这儿是dz dx。然后再加谁再加这儿的就是dx dy。啊，不用写这个行列式。注意，这是底y底z，

一定是对外的偏导减，对z的偏导，那谁对外求呢？那就是dz前面系数。dz前面系数对外求就是一减去对z求偏导，谁对z dy前面系数？而dy前面系数对z求偏导，那就是零。再选第一项。这一项呢，应该是对z的偏导减去对x偏导，谁对z求偏导？dx前面是对z求偏导一减去对x求偏导谁对x求偏导dz前面系数。这个对x求变导就是零啊。然后这是dx dy，

所以这就是对x偏导减去对y的偏导，谁对x求dy前面系数对x，这就是一。然后呢，再减去对y谁对y，那就是dx前面系数，这是零。那么，大家注意，这样的话，得到这个式子跟这个式子一模一样。所以呢，我们还是希望大家记住这个节呢，那就不用写行列式再去展开展开，有时候还会算错。

所以按照这个思路，很容易记那么得到这个式子，后面计算是一样的。当然这个地方呢，也可以用成谁呀，化成一型面积分的那个形式，也就是说我们可以把它化成一个面积分。然后呢？注意这儿呢是ds。那这儿呢，是撇撇x这儿是撇撇y这儿是撇撇z。那底下呢pqr那就是z。然后xy。上面呢，是cos阿尔法cos贝塔cos干嘛？

那这个是谁？这就是这个面的法现象了的方向余弦。大家注意这个平面，它的法线向量是谁？法线向量呢？这个就是三个系数，那就是一一一。方向余弦实际上就是把它单位化。那就是这个。那所以这个出来是谁？那就是既然是单位化，那就是给每一个坐标，除以这个向量的模。那大家看这个模应该是根号三，所以呢，

这个方向余弦就是根号三分之一，根号三分之一。根号，三分之一。哦，所以呢？这个地方呢？就是大家都是根号三分之一。根号，三分之一。好，然后呢？把这个行列式给它展开。展开的时候，按照第一行展开，

你看大家都有一个根号，三分之一把这个呢，就放到外面来。然后这儿呢是sigma里边呢，剩下谁？然后这个ds写到这个地方，大家注意。按照第一行第一列，这按照第一行展开。那它乘上谁？就这两个相乘减去这两相乘，所以说大家看这应该是一个一。然后呢？这个乘上谁？这个乘上它两个相乘，

减去它俩相乘加符号。这两个相乘是零，这两个相乘是这个一减负一就等于加上谁？正一，然后还有一个呢，就是它乘上谁，它乘上这个，它跟x相乘正一。它跟减去它跟z相乘那，所以这又加一个谁一？那么，这样的话，大家看里边是三，所以这个常数就怎么样，就把它提出来。

三跟这个一消，那就是根号三。然后后面就剩下一个谁剩下一个sigma ds。啊，就得到这个。那我得到这个以后，这是一个异形面积分，那异形面积分怎么算呢？那这个可以这样算，你看这写成根号三。然后关键是把这个ds。dx呢，应该等于根号底下一+zx^2。大家看，从这个地方可以看出z对x求偏导等于谁负一，

所以这个地方应该是负一平方。z对y的偏导数也是负一负一平方，然后这儿就变成DC了嘛。然后完了以后这个区域是谁？那就是这个曲面在xy面上投影区，也就是这个地方d的谁啊？x的y。然后完了以后呢，这里边又是个根号三，所以跟前面根号三一乘就三，再乘上谁啊？这个三角形的面积。这个三角形是个直角三角形，两个边都是一，所以面积就是二分之一。

那这样的话，可以得到二分之三。所以就是这个s tos公式呢，有三种形式，你看这是第一种形式，这是第二种形式，我们直接写。这个呢，是第三种形式都可以用，但是呢，实际上用起来比较方便的，应该是这个和这个。所以我们一般比较多的书上是写这两个。好，这是我们要看的第一个例子。

下面呢，我们再看一个。他说要计算这个现期分，这个c是谁啊？c是x平方加y方等于一。x-y+z=2。那注意，这实际上是一个什么？这实际上是一个x平方加y平方加zx方加y方等于一。它是一个谁啊？是一个圆柱面啊，这是个圆柱面中心轴是谁啊z轴？然后这样一个圆桌面跟谁跟？这个平面在这一交。那么，

这样的话就交出来一条空间的曲线。好，那我们在这画一下，假如说交出来呢，是这样一条曲线啊，就是一个平面和这个中面一交交出来这个曲线。然后他得告诉你这个曲线的方向，他说从z轴正向往z轴负向看，从上往下看。是顺时针方向。这个方向，所以这应该是这个方向。顺时针方向要计算这个空间封闭曲，线上的线积分。那么这儿呢，

都有一些什么方法呢啊？一个基本方法就是我们没有s公式的时候。那我们就得写对于空间曲线，这个线积分我们就得写它的参数方程，然后代进去化为定积分。如何写这种空间曲线的参数方程呢？一个基本思想就是先写投影。因为投影是平面曲线。那么好写，再往哪投影呢？往哪投影简单就往哪投影。但是注意这个，如果往下投，是不是就应该是个单位圆？所以先写它在xy面上这个投影曲线单位圆的参数方程。

因为大家知道这个单位圆的参数方程就是x=cos西塔y=s in西塔。那大家说这咋办呢？带到这个世界。z不是就等于谁啊？二减x再减y。这样把z也用西塔表示出来，所以写空间曲线参数方程的一般思想。先写投影曲线，这样就把三个变量当中，两个变量用参数表达出来。然后再利用后面这个式子，把第三个变量z也用西塔表示出来。好，那再要做呢，就把它带进去。

啊，把这xyz包括dx dy dz里边都用这个参数式代进去。那这样一代进去就把它化成关于theta的积分。那theta是从哪到哪呢诶？这个有同学说零二派。那你注意，我们说这个零二派你就错了。那到底是零二派还是二派到零，大家注意，这是顺时针啊，是这样转。如果是零二派，应该是逆时针是零二派，顺时针就应该是二派到零啊，这个切记要注意。

然后呢，后面再用算，实际上就比较简单，大家注意sin theta。零二派一个周期积分等于零，这是个基本性能。cos塞西塔呢？零二派积分也等于零。然后cosine 2尔西塔。因为这个原函数出来，这个地方刚好有个二倍cosine 2西塔原函数sine 2西塔sine 2西塔大于零大于派都等于零。实际上，最后只剩下这是个负一。负一跟前面负号一乘是一，一是二派到零。

二派到零的积分等于零二派积分的加负号，所以答案就是谁啊，就负二派。这就是写参数方程，直接算。然后我们再看那这是个空间封闭曲线，能不能用s tos公式呢？我们说可以用。但是呢，所有的公式是要把这个线积分化成一个面积分，那个面呢？只要张在它上面，或者以它为边界，哪个都行。那我们选谁啊？

我们就选你这个不是就是跟平面交出来的吗？所以我们选那个面的时候就选谁。就选择包含在这个柱面内部的那块平面。上的面那这个时候呢，法线就这个面的方向是什么？又是法则？大家注意，它是顺时针，你看四指指向。法这个曲线的方向，拇指指的这个法线就是下侧，所以就是应该把它画成这个面，应该是在下侧。好了，所以在这儿呢，

我们看。根据SOS公式，我们把它化成这个曲面上的这个面积分，这个曲面就是包含在柱面的内部的那块平面法线方向，根据右手法则是朝下。然后这个式子怎么来的？就是按照我们刚才那个直接写这dy dz，所以第一项就是对外求偏导，第二项对z求偏导。谁对外求偏导，那就是dz前面系数对外求偏导。这就出来，谁负一？减去对z求谁？对z求dy前面系数对z。

这个对对求是负一减负一就等于加正一。然后呢？这是dz dx，所以这一项是谁？这一项就是对z求偏头，谁对z dx前面系数对z，那就是正一。然后呢，再减去对x谁对x啊，那就是dz前面其实对x这是一，然后一一减。然后dx dy。呃，第一项是对x求偏导，谁对x啊底y前面系数对x那是一，

然后减去对y谁对y dx前面系数对y。这个对换是负一减负一就等于加正一。大家看这个等于零，这个也等于零，最后只剩下谁呀？后面这一项二。那在这个面上做积分，我们就直接把它化为二重。但是注意，这个化为二重是化，在它在下面那个投影域上的二重。注意这个里边这块面投影到下面以后，这个区域是谁呀？那我们想大家很清楚，就是这样一个单位圆。

但是注意，那这是把面积分化乘积分，前面还有个正负号的选取。对于dx dy的这种项，那就是上侧为正，下侧为负，我们正好是下侧。所以这是负的，二是因为这一+1。这样就化成这个单位圆上一个二重积分。把这个二拿走，那前面是负二，后面一积分就是这个单位圆的面积，单位圆的面积是派。那所以这个时候照样得到谁负二派？

所以这个解法一呢，就是写参数方程，直接算解法二，就是用斯托斯公式把它转化为面积分。然后来计算这个空间封闭曲，线上的线积分。有关这个s公式以及它的应用，我们主要内容就这些在这呢，我们给大家归纳总结一下。那这个斯托斯公式呢？它是建立这个空间的一条封闭曲线l上的线积分。和张在它上面一个曲面上的面积分之间的关系。大家注意对这个曲面的要求是什么？就是这个曲面只要以这个曲线l为边界。哪个面都行方向呢？

它们必须符合谁啊？右手法则。如果这个曲线的方向是这个方向，按照右手法则，那这个曲面的法线方向应该是朝上。如果这个曲线的方向换过来，那这又是法则，那应该是下策。这样子，它可以把一个封闭曲线上的线积分转化为张在它上面，这个曲面上这个面积分。这就是斯托斯公式。那这个s中式呢？常用的有两种形式，注意这个是化成谁啊？

一形面积分。这个是化成二型面积分，怎么记这个公式？我们刚才多次讲了，所以希望大家按照规律来记住这个结论。当然，这个地方也有个选择，我到底是把它化成一型面积分，还是化成二型面积分呢？一般说来。当这个sigma是谁平面？比较多的就用谁这个。为什么呢？因为它要是平面的话。这个cos阿尔法cos贝塔cos阿尔法是一个谁常数？

一般说来这个旁边。当这个sigma是曲面的时候，一般是用下面这个结论，这就是选上面还是选选项里面这个一个一般的原则？那么另外呢，注意就是关于场论这些内容，你看在统计书上是打星号的，但是作为我们数学一大纲是要求的。就是关于三个度，所以我们在这儿给大家总结一下。讨论当中，三个度梯度我们在前面讲到了啊，那就说f是这个在x0y0这一点有连续一些偏导数的一个二元函数。那这个时候呢？以这两个偏导数为分量的这样一个向量，

我们把它定义为梯度。梯度是个向量，这个向量所指的方向。就是这点方向，导数最大的方向，而这个梯度向量的模就是方向，导数的最大值。那么另外一个呢？就是散度啊，这个我们书上有，但是呢，书上是打星号，但是考研大纲是要求的。但这个要求也比较低啊，所以我们在没有在这个正文里边讲，

我们在这个这个总结的时候讲。就是说散度是一个谁是一个数量，注意给了一个向量场如何算一点的散度呢？那这个呢，就表示这个向量产生一点的散度，这是一个数，它等于谁就等于这个pqr。分别对x，对y，对z三个偏导数相加。所以在这儿呢，就是在我们考卷里边经常考散读就出填空题，给你一个香辣肠，让你算个散读，你就记住这个公式。

算三这三个分别对xyz求偏导加起来。还有一个。就是悬度。注意弦度，它是一个向量，是用这个记号来记啊，那么这个怎么算呢？这个这样记也比较好记啊，一个三阶行列式。第一行是ijk，这是撇撇x撇撇y撇撇zpqr，所以这个。散度是个数量，而弦度是个谁向量？那在这儿呢，

就是作为一个基本要求，就记住散度的公式。会算一个向量场的散度，就算这三个偏导数相加。记住弦度的计算公式会算一个向量上在一点的弦度，大家看这个弦度公式实际上这个里边就是我们那个s tos公式里边那个行列式。而这个地方，这三项相加是不是就是高斯公式那个三重积分里边那个表达式？所以这个散度你看在我们书上讲的时候是不是在高斯公式里头讲的而悬度呢？是不是在s tos公式那个地方讲的，因为在我们书上这两个都是打星号，不作为基本要求，但是考研大纲要求。所以我们在总结这个地方，给大家做一个总结。

顺便把我们前面也讲过的。梯度放在一起，这样的话，关于这个长里边常用的就三个度，就是梯度。散度，玄度。这就是我们这一节的基本内容。那下面呢，我们来看一下作业，248页。第二大题的第一，第三小题还有第三大题的第一小题。好同学们，今天我们这个内容就讲到这个地方，

再见。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册