05.冲刺满分10套卷精讲4

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:17:15

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且后面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。呃，那么今天啊，我们就继续精讲一下这个，今天上午啊模考的这套套卷呃，原本是这个上周六的考试。但这个上周六不是跟这个呃政治的，可能开班课程呢冲突了，

然后我们就把这个时间呢稍微做了一点调整，但是一点都不影响我们今天的话已经磨到这个第四套卷子。那么后面还有四套卷子，那四套卷子的话，基本上到了这个11月份的，这个应该12月份初，我们就基本上所有的这个板块内容就磨完了。但是我想说的一个问题啊，就是那天晚上专门跟同学们开了一次班会啊，去聊了一下这个问题，说了什么事情呢？就是这个考试啊，那倒是次要的，有些同学太关注于这个考试了，做了多少套卷子，

做了多少套题？啊，这个事情啊，是次要的，你要注意这个模考。这个考试这个部分，它只是前奏，它真正的是后面的部分当中的这个总结，总结这个部分呢，可能会显得更重要一点。你比如说这个今天考完，有些同学可能啊，这个超时了，或者是有些部分呢呃，错的比较多，

一定要做好这个相对的分析。把这个每一个板块的分析啊，一定要做到位，还是那个问题，你比如说在这里面当中，我错了八个题。对吧，比如说错了八个题，或者有些同学可能超时了，这两类问题啊，是一类问题。如果你在这个题当中做错了，你就每个题你进行分析一下。比如说这个题啊，这个题啊是一个小知识点出错了，

我就把这个小知识点呢，稍微总结一下，如果看到这个题，你发现哦，原来是个题型就不会。我就把这个题型的方法你复习一下，然后再找上几个题啊，做一定刻意练习，一定要注意这个问题。然后的话，比如说我们再看这个题啊，这个题啊，压根原来就没有学好，那更要好好复习了，所以通过这个模考查漏补缺，

找到自己的问题。那另外一个方面，有些同学可能在这个做题的时候的话，这个超时啊，时间用的太长了，而有些同学做了这个一个小时50分钟，你才把这个卷子做完。那这样的话，你整套试卷肯定是做不完的。所以说这里面这个超时这个问题啊，一定要进行分析，因为你刚考完。对吧，你十点班？这十点钟就考完了，

你十点半就改完了。你十点钟考完了之后的话，你就稍微的改一下半个小时。你改完了之后，你自己去想想诶，我这套卷子我花的时间太长了，太长的话你肯定是有部分的题啊。浪费的时间，要不然是有些题太不够熟练，浪费了大量的时间，要不然是什么呢？要不然可能是在部分题当中啊。啊，你就在那磨磨磨了很多时间，所以导致了最后的这个时间不够，

你这都要进行去分析的，好了，这个事儿我们就说到这儿。所以说这个问题啊，我们上次那个呃班会啊，说的比较清楚，说的也比较多，希望大家一定要把它做起来。不要是这个考完了之后考的不好啊，找别人进行去共情啊，然后进行去沮丧啊，然后怀疑自己啊就。焦虑啊，这都没有任何的作用，所以大家注意最重要的作用是什么呢？

磨完了之后啊，一定要冷静的分析，你看你们当中是哪些点出现了问题？也是部分的题，浪费了大量的时间，没有控制好，比如做了一个题了五六分钟，七八分钟都没做出来。那这个题啊，你下次过程当中是不是要跳一下？回过头来再看。好了，这个点我们就讲到这。那么今天啊，我们要进行去讲的这个卷子啊，

是这个第四套卷子呃，今天呢，应该不会拖堂啊。呃，今天强度非常大，上午的话，我是从这个九点上到这个12点啊，今天上午有一个这个数一数二数三同学的这个真题。然后下午是我们的一会4点10分，那还有一节课，然后晚上是这个七点钟到八点钟，晚上这个九点钟到这个十点钟，还有一节课。所以这个今天的强度非常大呃，基本上我们把这套卷子认认真真的分析一下。

呃，这套卷子啊，我觉得比这个第三套卷子啊，难度系数要低的很多，对吧？基本上都是常规问题，但是有些同学可能做的还是不好。就是这里面当中做的不好的，这个主要原因呢，我觉得有两个问题，一个问题就是常规题型呢，不是特别熟练。就常规的题型。就是最常规的这些题型，你见到这个部分的题，

你没有什么啊，比如说这个题，你快速不能反应，或者有些同学根本就没有感觉。你这些点呢，你得好好进行培养，对吧？这是这个第一个事情，然后第二个事情呢，你要注重这个时间的把控。对吧，这个题目难度系数不是特别大了，你就要在这个里面当中，既要保证效率，也要保证这个做题的这个啊，

也就是说保证这个正确率，而且还要保证这个速度。也就是要注意这个做题的这个效率，所以做好这些事情吧，我觉得还是要做好这个查漏补缺，这才是最重要的，不要每次过程当中特别关注这个成绩。你要注意自己错了几个，把每个点呢，一定要改正过来，好了，不多说了，我们还是通过这个讲卷子的过程当中啊，慢慢来看。好了，

我们先来看看这里面当中的第一个题。呃，这个题啊，就是个大骗子题，但是有些同学仍然被这个题目给骗住了。你发现当s趋向零的时候，这是几啊？这不就是e吗？所以说这个部分既是非零又是因子乘除法中的非零项就是非零因子啊，你就把它抛出去了，然后是一+e的s再乘上这个3 es的平方。然后上面这个部分的话是根号下一，加上x方再来减一。好了，那么接下来我们继续来定型，

当s趋向零的时候，这是一这是零那里面是一零零分之一是无穷大。一的无穷大未定式，直接做一的无穷大未定式，不要在这里面当中，到了今天呢，有些同学还在那凑重要极限。你这就说明的话，基本的方法都没入门啊，这个你的提高空间还是很大的啊。好了，我们来做答案就等于e的这个极限符号照抄，然后是这个头顶部分照写。你再来进行减个一减个一的话，这个结果就是这个部分。

那所以说这个题目的话，结果就变成了e的，这是limits趋向零，然后下面这个部分等价无穷，二分之x次方。上面这个部分是es，然后这个部分是s方。所以说这个结果这两部分就没了，对吧？这两个东西约掉了，然后e的零是一，所以说这个结果是一再乘上e的平方，因此等于e的三次方。这个结果正确，答案选几啊啊，

正确答案选b可能有些同学把这个题做错了，就会选择a了。对吧，选的a好了，这是我们讲的这个第一个题来再来看看第二题吧。第二题啊，老朋友了。那这个题当中，他给了一个什么，他说这个函数满足这个极限。那首先这个极限可以稍微的进行化简一下，当s趋向于一的时候，录一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数减一。

好了，所以说把这个极限呢化简成这样。那么，首先我们看看这个一二三四当中哪个最容易选呢？那当然是第二个。为什么呢？比值极限存在分母极限是零，所以说分子的极限呢也一定是零。那这个分子的极限是零，那你就可以把它选了。然后有些同学就说那这个一就对了。啊一位比对那你想想什么时候这个对呢，只有当x趋向这个部分。极限等于函数值的时候。你才能继续去推出这个部分，

结果是零。但是这里面当中啊，有一个问题。就是我这个题目当中有说这个函数是连续的吗？没有说连续啊，我什么都没有说啊，未必是连续的，所以说你从这一步当中能够推过这这一步吗？推不了的。你无法说这个极限等函数值，也就说极限是零函数值，未必是零，所以说这里面当中的第一条就不对。你看，这是第一条。

那因此我们再来看。那如果说一处的导函数呢？一处的导函数应该是x趋向于fx进行去减去个f1比上x- 1。你如果说这个结果等于一啊，它应该说的是什么？应该说的是这个fx比上s- 1=1。哎，你这个部分能推过去吗？也不行，为什么因为这个题当中f1未必是零啊？一定是零吗？未必是零呢？你这俩人也未必相等，所以这个题目当中没有告诉了连续。如果告诉这个函数连续一是对的，

三也是对的，但是现在啊，这不行。然后再来看看第四个，第四个对不对？第四个就离谱了。第四个的话，很明显在这一块当中，它干嘛呢？它使用了洛必达法则，你下面极限是零，上面极限是零，没问题。然后他在这块当中啊，使用了洛必达法则，

他说等于一大家注意，这是离谱的。为什么呢？洛必达法则有三个要求，第一个要求是零比零，第二个要求是去心领域当中得可导。你连续都不知道，还可导呢，所以说他根本不知道这个函数的可导性，所以这个题的正确答案选几啊选b。好，这个题呃，这个题啊，我原来在那个强化的过程当中啊，给你们看过这个题。

因为当时我在上课的时候讲过这个题，我就给你标注了一些模拟题，我说我在这个暑期过程当中啊，写这个题目的时候啊。有一些比较这个仿这个真题出的一些题，你稍微注意一下好第二题。这个题很简单哦，你学到今天的话，不要在这个，还有在这件事情上出问题哦。每一个点一定要扣准了，它没有说这个连续连续的时候极限才会等于函数值。好了，我们再来看看第三题，第三题啊，

骗子题。但这个题看起来很有意思。但这个题不难哦，那么首先我们看看第一个。你发现见到幂值函数，立即幂值转换，所以说这个结果就变成了这个部分。你来减一个一。好，做成这样了之后，然后怎么办呢？你发现我可以把它带进去，带进去了之后的话，这是x三次方。然后这个部分是ln x平方，

你再来怎么办？你减个一。那来告诉我一件事儿，这个极限是不是零呢？就是s趋向零正的时候。这个部分极限是不是零这做了很多了啊？你趋向零正的时候，当s趋向零的时候，你可以把这个二抛出去。然后这个部分是零，你经典的部分嘛，当s趋向零正的时候，我就写一个啊，然后这是二倍的s方x倍的lns。这个极限是零吧？

或者说我们只要是大于零的次方数，它都是零的，都不用去写，就是is倍的lone SP次方q次方只要大于零，那这个结果都是零。一定要会做，这是个基本问题，那这个结果是零，那我就可以等价了，等价无穷小于这个部分。是吧，它是等价成真，然后我们再来看第二个，然后这是gs倍的ln多少fs，你再来减个一。

你减个一了之后的话，它是多少？它是s方倍的ln x三次方减个一。然后这个结果呢？那这个板块是不是零呢？那这个板块也是零，它这个结果的话就是limits趋向零帧，然后是三倍的s方倍的lns。这个结果也是零啊，所以说这个结果它是零一亿的框减一，立即等价无穷，小于括号。好，这个结果做成这样了，那做成这样了之后，

然后看看第一个是x方的什么无穷小，那我怎么办？我首先看第一个部分，第一个部分的话，看它是什么无穷小，就把这个什么把这个e的fs倍的lings跟。跟这个s方作比，那作比求极限的话，你发现上面这个部分等价无穷小，是三次方倍的lns方。要比上这个平方，然后就可以约掉一个，约掉了之后的话就变成了x倍的ln x方，那这个结果是几啊是零啊？你可以把这个二写前去，

对吧？是零是零，它就是它的高级无穷小，然后再来看第二个当s趋向于零正的时候。好，继续那这个时候的话是e的gs贝塔ln多少呢？fs啊减个一。减个一比上这个平方，所以说这个结果的话就变成了I趋向零帧，上面等价无穷平方倍的罗元三次方除以平方。那所以说这个结果的话就变成了当x趋向零正除一下ln三次方，那ln 0是什么无穷大？那既然是无穷大，上面是下面的低阶无穷小，那所以说这个是高阶无穷小，

这个是低阶无穷小，答案选b啊。好了，这是第三个，可能很多同学看了这个答案选项bbb你管这个东西干嘛？你就做你的就行了啊。你不要在那猜答案好了，我们再来看看第四题。那第四题啊，这个题非常简单，那就求导呗，那么所以说这个y对s求导，那就是啊，先对中间变量求导。负的sine的负的根号s。

然后中间变量再求导e的负的根号s，然后中间变量再求导，然后是二倍的根号s分之负一。好，这个结果，然后你把这个什么你把这个一自己带进去。一旦这个结果还是b是吧？好了，不讲了，这个题。这个题你自己算就行了，它不难，然后再来看看第五题。来再看这个题。一个函数由方程确定，

隐函数那隐函数的话，而且考二级导数一元，引函数二级导数，那就导导带带带。然后求呗，那先进行求的话，两边同时求，然后等于e的YY再导一时。然后再导一下，那这个求导的话是2y的导导，前导是e的y中间变量，再求导后面不导，然后再加上前面不导，后面再来导，那这是二式。

所以这个结果两个都求出来了，然后接下来我们再来带当什么呢？当这个x=0的时候。带到这里面零的时候的话，就是负y+1。等于e的y。那这个y等几啊？一定要做题啊，做题不是着急，做题是果断。所以有些同学感觉说这个做题速度是因为自己写字慢。或者是觉得什么呢？这个我做题过程当中，这个在这块儿啊，没有没有非常着急的去做，

不是这样。一定要稳一点啊，那做题的话，有些部分非常熟练，你就要果断就行，然后这个y是几呢y是零？然后再来看当x=0，然后这个y=0的时候继续带。带到这里面当中的话就是负的y1撇等于y1撇，所以说这个y1撇这个结果又是零，然后接下来继续把这三个东西都带。然后这是y等于零，然后这个y撇也等于零，往上带一代的话，这个结果的话就是二减去y撇撇。

y撇撇，这是零，然后这是y撇撇，所以说这个二阶导数啊，在零处就等于一啊，正确答案选择几选a。好了，这是第五题，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题。嗯，我不解释这种问题了。嗯，不要在这上面当中啊嗯，再胡思乱想了，

你都到了这个阶段了，你这种题已经是做了N多道了。我觉得就不用继续去想别的了，如果下次见到这种题，你就这样干掉他了。好了，不多说了，这种题啊，这一年的过程当中已经做烂了的问题。好了，不讲了，来再来看看第六题。啊，第六题那这个题啊，它重点说了一个事儿。

那前面当中啊，它当然告诉我们这个函数在这个点处是连续的。对吧，连续的，然后又告诉了这个函数，然后在这个点处是连续，那你见到连续想什么，连续就是极限，等于函数值。那极限等于函数值的话，我们就求它的极限那求一下呗，那其实就是limits趋向零，然后求解这个极限。那就是limits趋向零，那求这个极限的话，

刚好是多少使e的s绝对值减去一，然后这个部分是3e方。然后这个结果是g sln多少一+I次方。那求解这个部分，然后你看诶，这个部分不就等价无穷小方，这个部分等价无穷小方，所以说这两个东西就约掉了呀。约掉了之后的话，上面部分还留下多少呢？还留下了一个gs，然后下面部分呢？当x趋向零的时候，这个部分趋向0e的框减一立即等价无效框。所以这个题啊，

就做成这样了。可以吧哎，立即出来了，然后这个结果要等于这个点处的函数值，那是几啊是一。好了，这是我们讲的第一个，然后让我们去求解这个函数值，那函数值的话，马上看那分母极限是零。则这个分子的极限一定是零。而又因为gs是连续极限等于函数值，所以说这里面当中g0这个结果它一定是零。然后这里面你要分析的。因为有绝对值，

我就要分，我就要分的话，其实就是要分成I趋向零帧零帧的话，这是gs比s。那这个时候的话，当x趋向零正的时候，马上就来看看，这是gs你零处是零的话，我就减个g0。比上它，那这是什么？这是零处的诱导数，诱导数等于几呢？等于一。然后再来看看第二个，

这是lay mates趋向多少零负零负的话，这个部分的话绝对值等于相反数。那相反数的话，这是limits趋向多少零负零负的话，因为积零是零，我随便在这块当中啊，减了个零。啊，减一个零减一个零的话，这还是负s，这是等于多少负的这个零处导数，它等于一。所以说这里面当中马上出来零处的左导数，它就等于负一。好，

这个结果那既然等于负一的话，你很明显它在这个点处导数就不存在。所以说这个题的正确结果选几啊零，但是不存在。但是这个这个题啊，你也可以举例子，我只要能举出一个在零处连续的例子就行，而且作弊结果是一。你就在这里面当中啊，直接进行去取gs等于绝对值也行。你只要取了绝对值，它满足了连续的条件，而且这两个东西作比的结果也是一，而且你发现这个部分呢，它在临处的导函数。

是不存在的，而且它在零处的结果等于零，这不对这不对这不对这不对，只有你对。好了，这是我们讲的第六题对吧？抽象函数极限，你可以在这里面当中举特例来做啊，这个非常轻松的一个事情。好，这是我们讲的第六题，过去了可以吗？来再来看第七题。跟我眼睛丑吗？这个题目。

这是一个增量。然后一个函数谁出增量s出增量？然后这里面当中是s函数乘上它，加上高级无穷小，这已经讲了很多遍了，对吧？我们在这个尤其是21季里面，我专门给你标注出来这个。s处增量一眼抽出s导函数。所以在这里面马上就抽出来它的导函数就等于五次方e=3次方。然后让我们去求解这个。f1-f零那f1-f零的话，你可以把这个原函数找到，那我们就对它进行去做这个不定积分。那这个不定积分非常简单，

你可以把这个五次方写成三次方。然后再怎么办？然后把这个平方凑到后面去，凑到后面去的话，前面来个三分之一，把这个积分给积出来。这个积分很简单嘛，然后再把e的东西凑到后面去，分步积分法。原来我还给你教过一个更快速的方法，你怎么做？你可以把这个积出来，然后把一带进去，把零带进去，后面两个c都约掉了嘛。

你可以更快的，你这个结果不就是fs在零和一处的值吗？那所以说你这个部分它谁的积分呢？它是导函数的积分呢？这不就是定积分吗？所以说这是零到一，这是五次方一的三次方ds。对吧，这个结果，然后这是零到一这三次方e的三次方ds三次方三分之一，然后这一块当中你就可以换个圆。零三次方等于t这三分之一零是零，一是一，这是t倍的一的tdt。好，

这个结果，然后接下来你就可以把它怎么办？把这个部分凑到后面去，分步积分法一下就出来了。t倍的e的t零和一带去三分之一调换了之后，积分是一的t零和一。好，这结果。呃，自己算啊，最后的这个结果我们就不讲了，两个方式对吧？首先第一件事情你最好一眼瞅过去，把这个瞅出来。啊，

这已经不是什么新鲜的题了，已经做了很多遍了，所以这套卷子啊，重点打的还是常规题型。好了，这个点讲到这来继续吧，看第八题。但是我发现这种第八题啊。还是做的不好，就这个方程根的这个问题，我们已经做了差不多十几道了。20几刀了。对吧，20几道那么像这种问题的话，你一定不要在这墨迹，

有些同学可能说我方程跟做的慢。嗯，拿到这种问题，人家已经把导数算完了，你还在那分析。啊然，然后人家都已经把这个东西操作完了，你还在那分析，所以接下来我们来看看这个题。研究方程根，那最重要问题就是研究这个函数与x轴的交点。三倍的I四次方减去四倍的I三次方减去6s方，加上12 s- 20。那首先我们看这个部分的定义域是r，它的做题操作是什么？

先看定义域，然后求导找注点和不可导点。然后进行划分区间段判断出来，单调区间再看端点就行，这非常简单。来求导这12倍的三次方，12倍的平方，12倍的s+12。所以说这个结果等于12倍的。三次方减去平方减去x加个一。我有没有教过你这种东西，因式分解怎么做试根法吧？眼睛一瞅一处，肯定是零一处，既然是零，

所以说这里面当中，你像这里面当中的x- 1肯定是个整体。那么，这一块当中就可以把平方提出去s- 1。是不是做成这样的一个结果，然后把这个s- 1提出去，平方减一就是减一，然后才是s+1？所以这个结果就做成这样。对吧，这是这样的一个问题来进行去找注点，注点是等于零，没有不可导点，那就是一还有这个负一。那么，

现在看当s的话，这是负无穷到负一，然后这是负一负一到一一一到正无穷。然后这部分是歪倒，这是歪。你首先看看这个部分是平方哎。所以说在这个负一之前呢？啊，你想想这个部分永远是真的。永远是正的的话，也就说这个部分不会影响正负性，真正影响正负性的是这个。那只会在什么在负一之前负一之前，因为你是往上跑嘛。往上跑，

在负一之前是负的，后面都是正的，对吧？这是减，这是增，这是增。所以不用进行去管这个，这个不是啊。对吧，这不是个极值，我们要算这块，因此这个函数的大致图像它就出来了。来进行走向，这是个y这是零，然后这是s这是负一。

那么，首先我们看看在负一处登记呢？你看这个函数，这个函数在负一处等于。三七。一一减十二。然后减去它别管了，反正小于零。是吧，小于零。你别管它是多少，然后接下来我们再看看这个正负无穷呢。你再看看这个函数，在正负无穷处等于多少？那正无穷的话，

你发现正无穷最大的话还是得看它正无穷，正无穷，负无穷，负无穷。那这块永远都是正无穷，因为求极限，最大的是它嘛。他引头跑。那所以这个结果就出来了，因此的话，你就往这儿，这是负的，然后再增上去。好，这个结果可以的吧？

老师说那在零处等于12，你别管我啊，老师说老师你应该这样画。啊，你别管，反正这里面当中啊，有两个焦点就行，正确答案选几选c啊？好了，这是我们讲的第八题，然后接下来继续，我们再来看看下面一个题第九题。好，再看这个题。那这个题啊，

它考什么呢？考了一个n项和是几千。如果遇到n项合适极限，我们讲了很多遍，先想定积分定义，对吧？这道题啊，你做错了得反省。这是我们在强化的过程当中啊，讲的一些基本题。那首先想这个定积分定义。先想定积分定义的话，只是n趋向无穷，大第一步一和和的话，这个结果就是n加上k分之一。

然后是二的多少n分之k，然后k从几呢k从一加到n。好了，这个结果那么在这里面，我们马上第二步，我们再来提出一个多少提出一个n分之一。提出去了之后的话，这个结果变成多少？这个结果就变成了一加上。然后这是一加上nk分之一二得多少n分之k？但是你想想一个问题，大家琢磨一下。你这样一看的话，你看前面的三剑客有极限，有n分之一有求和，

但是这个后面这个部分是不是n分之k的函数？是不是啊？不是的，所以说这个定积分定义啊，它就失效了。但是为什么不能成为定积分定义呢？其实大家想想应该都怪这一项。是不是啊？都怪他，都是因为你，如果没有你，我照样是一个n分之k的函数，我就是个定积分题。所以怎么办呢？我们讲了很多遍n项和是第几？

先先想定积分第一。想到定积分定义，定积分定义，能做就做，如果做不了，转战加币准则，这是我们在这种类型问题当中最特殊的一种题。定积分定义用不了加b准则呢，哎，你发现把它一放就放成了定积分定义，所以我怎么办？我就把这个部分呢进行放缩。所以我把这个板块的东西啊，它叫做UN。那这时候的UN呢，

我们就可以放把这块东西都不要了。都不要了，下面就变小了，结果就变大了，所以说这是二的n分之一，二的n分之二，然后一直加到多少？二的n分之n。好，这个结果那所以说这个部分的话就是n分之一，然后k从一到n，然后这是二的n分之k。那你告诉我这个极限，这个有极，如果对它求个极限吗？

求个极限，后面是不是n分之k的函数？是的，那就是零到一二的sds这个结果。但是我们都知道加倍准则，你光放大不行。你放大未必是存在的，你还得缩小。所以加比准则不是说放大极限存在它就是它，你要放大的极限和缩小的极限要刚刚好啊，这是它的一个操作。所以现在我们还要进行缩小。那怎么缩小呢？你下面变大不就行，都把它变成一。

都变成一了，之后的话，这是n分之二，然后一直加到二的n分之n。好，这个结果，所以说这是n加一分之一，这是k从一到n，然后是二的n分之k。那怎么办呢？你可以在这补一个n分之一啊，你在这来一个n大家告诉我这个部分的极限是几啊是一吧？这个部分的极限是几？就是上面的定积分吧，所以说这个部分的定呃，

这个极限呢，其实就是这个定积分。出来了，所以你会发现这个放大和缩小的这个极限，结果它是一样的，因此原式这个极限它就出来了。它就等于零到一二的sds，那这个积分结果的话就是ln二分之一二的s0和一单取。所以说这是ln二，那这个结果是多少？那这是二二的零是几一？所以等于ln二分之一。好，这是这个题呃，这个题啊，

你要反应的慢，我觉得是这种题型呢，可能不是说特别熟啊。你要是如果这种题型的话，非常熟练，你做这个点呢，其实非常非常的简单。好了，这是我们讲的这个第九题。我觉得定级分丁一样，不在话下，无论他怎么出。这都不复杂。啊，再复杂也会。

就无所谓，反正的话就是左端点，右端点，中点。或者是这个加v准则加上的话，这个定积分低，或者他考零到一零到2a到b，无论怎么去考，你都应该是能拿下来的。所以这个定期分定义的考点部分内容是非常非常简单，一定注意啊，你可以好好总结总结啊这种题。然后接下来我们再来看看第十题。你要知道这种这种题啊，一般难不住大部分同学，

我们学一年了。你说如果你学一年这种题还在错。这这这就有点问题了，对吧？你一遍两遍三遍，你学个十遍啊，还是有问题。好了，我们继续，我们再来看看下一个题。那这个题目它考了一个这样。他在这块稿给了一个你的不定积分。就等于e的x方加上c。给了这个部分，给了这个部分之后，

然后让我们去计算这个定积分，那首先第一件事情是不是要把这个函数求出来？把这个函数。这个函数怎么去求呢？我们都知道这三个位置是有关系的。你想fs这个部分对s这个部分进行去积分，它的结果是这个。那所以fs这个它就等于多少？它就等于e的s方这个部分对s进行求导。那求导完了之后，这个结果是多少？那刚好是e的x方中间变量再求导。然后接下来我们去计算一下这个定积分，这个定积分大家会发现，如果直接算不好算。

对吧，你可以怎么办呢？你可以在这里面当中稍微的换个圆零二s=t，你先换一下。一换的话，这是零是零，然后一的话就变成二，然后这个s就变成了二分之t，这是f撇tds等于二分之一倍的dt。所以说这个结果等于四分之一零到二积分与变量字母的选取无关，再换成x。好，做成这样，那做成这样了之后，我们就继续，

你再看那，然后的话不要进行算啊，你把这个部分。后到后面去老朋友了吧，然后就是两项相乘的分布积分法，再减去两项调换位置fs在ds。零和二好了，这是这个部分啊，这个非常的基础，然后接下来把它带进去。这第一个部分。第一个部分的话，这个结果是二s倍的e的x次方零和一减去四分之一，那这个部分它的不定积分是谁啊？它的积分结果就是e的x方把这个零和二带进去，

一算是不出来了。我不算了啊，你自己算好这个结果啊，这是二。好了，这是我们讲的这个题啊，所以说都是一些比较基础的一些题，不是说特别难来，我们继续吧，我们再来看看后面的题。我们再来看看这里面当中的第11题。啊，这个题。呃，其实这个题出的还是很温柔。

它是一对一对的做。对吧，这两一段你去坐下，这两一段你去坐下。那么，首先我们先来看看这个第一个部分。那很明显，这是积分线相同啊。被积分函数不同啊。积分线相同，被积分函数不同，你只需要去比较这俩。你只需要去比较这辆。而我们在这个题当中，你只需要比较从二分之一到一的时候，

它们的大小。就二分之一到一这个题不能错，你错了，有点不好意思啊。那么，这个题首先我们看看前面。l和s。ln这个部分跟s呢，它是它大。而且你还记得这个图吧。这个图你应该是记得的。然后这是x。这条线对吧？这是xy=s。然后这是e的s- 1。

然后这是ln 1+s。它们的焦点呢？焦点就在这儿。好了，是这样的一个函数对吧？它们刚好关于s对称，那在一到二的这个范围内呢？那很明显是s比这个大，而且是大于零。那既然是大于零，那就是这个部分除以s，那肯定是小于s除以它呀。因为x除以你就大于一，你这个人是小于一，我比你大嘛。

那所以这两个谁大呀？那很明显这是I3，这个部分是小于I4的。那I3小于I4的话，我们就把这个大的这个排除。对吧，大的排除大的排除。所以这个正确答案就在a和d当中选。a和d当中选的话，我们再来看看这个下面。你再看这俩。这俩的话，这个图形呢？也非常简单，我可以大致的给你看一下。

你可以稍不的进行去呃，注意一下这个在。可能讲泰勒公式的时候啊，讲这个部分讲的比较多一点，但是我们三九六同学要求这个泰勒公式啊，要求的不是说特别高。那么，首先我们先看第一个问题。你都知道。在零到二分之派的时候。零到二分之派。那么，在零到二分之派的时候，这个tan的图像是这样。然后这个x这个图像呢？

x这个图像是这样。然后s in这个图像是这样。那这是他们三个人大小tangent x，然后这个s in。你要注意，其实还有一条线。你想想s in是不是有一个反函数曲线？sine有一个反函数曲线，就是arcsine。所以arcsine应该是在这个x这条线的上面。是不是啊？然后t an ENT还有一条反函数曲线，那就是arctan ENT阿rct an ENT应该在这条x线的下面。这个很好理解，所以你不用继续去刻意的背你脑子多转一转，

你一转这个东西就出来了。所以现在我们就要看看一个问题。你注意，你想想。那这一块当中，这个s in关键是阿克塞因，如果是阿克塞因，它这个成立的范围不是二分之派了，那这个板块啊，你就要缩短一下。你就只能跑到一，因为阿克塞因的定义域是负一到一嘛。是吧，负一到一，所以现在我们怎么办？

我关键点一个问题就是你这个arcs in是在这个下面还是在这个上面呢？这是我们很纠结的问题。你要听清楚哦，那么现在的话，这个tangent题的话，在这一块肯定是四分之派嘛。现在有一个问题就是。那么，这个tangent。啊，这是tangent 1啊，tangent 1不是四分之派哦。它的四分之派是一。啊，不是不是这这这不是四分之派吗？

好了。现在关注点的一个问题就是在它的上面还是下面，反正我这是摊正题。阿尔克塔尼在上面还是下面？你可以这样思考啊，当然的话，这个拓展一下，当然我们其实也讲了，我们从零基础度讲这个，它的公式是。x怎么办？加上个三分之一s三次方移植到后面去。是不是那还有一个阿克，这个什么阿克塞因是多少？阿克塞因是x加上六分之s三次方一直加不去。

那在他的什么，你看你就比他加的少啊。所以在你的下面。这是arcs in。啊，在它的下面。那么所以说我把这个部分对称下来。对称下来，这条线就在这个这条线的下面。不用惊讶，这是个非常基础的内容，这是arctangent。好了，所以说这个结果它就是这样的一个问题。可以了吧，

也就是所以说这个这在数一数二数三里面当中啊，可能太勒公式一记的话，理解的非常的简单。因为我们不会在这一块当中啊，是重点应用，所以我们就知道这个图像就行了，理解就行了，可以了吧？稍微的转一转，那你想想，你看这是x减六分之一，这是x减三分之一，你减三分之一，减的更多，你就在下面。

反正它们都是互为反函数的，都互为反函数的，就关于这条对称。好了，这是这个结果，不用继续去看差多少。啊，那种东西啊，脑子转一转就出来了，所以非常非常的基础。好了，那么接下来我们来看看这个下一个问题。那下一个问题的话，你就想想我要进行去比较的是什么？我要比较这个二分之一到一的时候。

然后在这一块当中啊，这个阿克塞因跟这个塞因之间的一个啊，跟这个s之间的关系，那你告诉我是s大还是阿克塞因大？x是在这儿吧，你三音在下面，你其实就在上面，所以它的这条线呢，在上面其实你根本不需要知道我们下面那一堆曲线。你就是只需要知道这个反函数，因为我们脑子转的出来的是三。我们知道是s in，所以说这个阿克塞因呢？你就翻上去就行了，所以对于这个题而言呢，

就算你不知道刚才那波内容你没有做出来。这也不太行。我们知道这个呀，所以说它的结果就是阿克塞因。你是一定比这个s大大于零的，你既然大于零的话，你看这个arcsine，你比上s，你肯定比一大呀。你s比上阿克塞，因你肯定比一小。所以我比你大，因此这里面当中的I1是大于这什么l的。那I1大于I2的话，正确答案选几选d？

好了，这是这个题目吧，我们就讲到这儿多总结啊，把这里面当中的该练的东西啊，把它练到位好再来看12题。那这个题啊，考了一个对称区间。那么，在对称区间下的这个定积分呢？那么，首先想什么？首先，想奇偶性。那奇偶性的话，这是负一到一，

你可以把is进去去乘上这个部分。减去x方，然后这是根号下二倍的x绝对值，减去这个平方好，这个结果ds。你怎么做呢？塞一个负s进去。塞一个负s进去，它不动，多一个负号，所以说第一项它就是个奇函数。第二项它不动，它就是个偶函数，偶函数的话就是二倍二倍的零到一零到一的话，这是二倍的绝对值。

大家告诉我，现在s是位于零到一的范围内，绝对值肯定是等于本身的，所以说这是2 s-s^2 ds。所以这个结果就做成这样，你怎么处理啊？几何意义做完？对吧，一定注意啊，这是加号。然后这个部分呢，它是用几何意义来做，然后另成y另成y了之后的话，其实就是x方加上y方等于2x。x方加上y方等于2s，

它就是个偏心圆。s方加上y方等于2s。所以说这是y就等于根号下二x减去x方，这是二那因此零到一的积分其实就是四分之一圆的面积。那所以说它就等于四分之一派一的平方，等于二分之派。好，这个结果出来了吧？12题。呃，我们继续，我们再来看看第13题。13题这个题啊，求了一个什么，求了一个弧长，

那弧长这个问题就非常简单，你看范围给了你，你直接套公式就行了。所以我们来做这个弧长，这个结果就等于多少零到六分之派，然后是根号下一，加上这个y对s求导的这个平方ds。那所以说就直接套公式呗，零到六分之派。根号下一加上它对s进行求导的话，就是cosines分之中间变量，再求导是负三。没问题吧，跟得上啊。然后这个结果的话就变成了零到六分之派，

你看这个根号下根号下的话，这是coss方，然后这个三方加上cos方。嗯，三方加上cos方，这个是一。那所以说这个结果是零到六分之派，零到六分之派，这是正的，就是cos分之一ds，这是谁呀？这不就是second题吗？那这个second的积分结果是多少？是ln seconds加上这个tangents，然后把零和六分之派带去。

那这个结果做成这样，然后再看。如果是零，这是0 cos 0是一，那整体是1 ln 1是零，不算了，我们就只用带这个。六分之派cosine，六分之派。这个结果那这个结果是多少呢？我们都知道一二三三二一对吧？那这个结果的话，刚好是二分之根号三。对吧，这是二分之根号三。

那二分之根号三一翻的话，这是根号三分之二。然后把这个带进去。这个代进去的话就是三分之根号三。是吧，你把这个东西你算。啊，一算就行了。嗯，感觉什么呀？一二三三二一是吧好。好了，这是这个结果吧，我们就算算到这，然后你把它稍微的整理一下就行。

然后看看这个题，最后的话要整理成什么样子？没必要啊。我我讲一个问题，这个已经不是一两次了，很多还在那画三角形，你还画三角形，你做题肯定慢。一定会慢啊。好了，这是这个结果，然后接下来把它整理一下，这l多少这三分之二倍的根号三，然后再加上三分之根号三。所以说等于罗音多少呢？

这是三分之三倍的根号三。好了，这是这个结果，等于ln多少根号三等于二分之一倍的ln三。好了，这是这个结果吧，我们就讲到这。嗯哎。来，你看看通过分。好了没？这是一吧？你动一下手啊，对吧？你这这这怎么办？

那你这题你会发现你出现的问题老是这种呃，小学算术上的问题。你说这怎怎么办？你说你微积分别的东西学的再好，你老是这些点呢，你出现问题。你就你就会发现，每次做你都会出错问题的啊。好了，这个点呢，就讲到这。行吧，那么这个点我们就讲到这，然后我们再来看看这个第14。啊，

这个题那这个题啊啊，其实就考了一个非常基础的。想了一个非常基础的问题。那么，在这块当中啊，给了一个什么，给了一个这样的一个分段函数。然后让我们去求解这个变性函数呃，曾经有些同学觉得说什么问题呢说嗯，你如果在这个点处是跳跃间断点。原函数不是不存在吗？不是不存在吗？不是这样子的。这是一个变现函数，它应该跟定积分的性质是一样的。

你这是要注意，那么接下来看看变现函数的特性。变线函数的性质还记得吗？如果里面是连续的，外面在这个点处肯定是可导的。里面在这个点处是第一类间断点，外面在这个点处是连续的左导数等于里面左极限，右导数等于里面的右极限。所以我现在只需要研究什么，我只需要研究里面这个。里面这个在一处。里面这个在一处理，你发现你左边的极限是什么？左边极限是一，右边极限是二，

所以你是个跳跃间断点。啊，跳跃那你想你里面在这个点处是跳跃间断点，外面在这个点处是什么点？那y位在这个点处啊，它一定是个连续点。啊，一定是个连续点，那一定是个连续点，而且外面在这个点出的什么诱导数等于右极限，右极限是二。左导数等于左极限，它就是一。有些同学可能做的会更快一点。是吧，

你做的更快。嗯，我再强调一下。有些同学的方向性呢，你思考的有点发散的过于的厉害了。你如果这个部分的知识点。它不是有些东西可能是这样，比如做一些题啊，你就包括这个模拟卷。有的人是蒙出来的。蒙出完了之后都蒙出来，你在听的时候吧，你要进行去把这个部分的内容得改正过来啊，蒙对了，你还那么开心，

有啥开心的？这没什么开心的。你要是觉得那个东西对你就爽，那你就每次改70不就行了。每次都改70。那这也不是你最后的成绩啊。而且另外一件事，你上课的时候，如果你的方法论不是特别好，你方法的东西不是特别好，你要学啊。好了，这个问题就讲到这。所以说它是什么？它是不可导的。

好，这个问题，那这个知识点我们是在这个强化班的呃，强化班的课程当中肯定是讲了。然后这个基础班的基础班没有说，然后冲刺班的我们也说了好了，这个点呢，这个题目如果有问题自己去补。你可以补一下冲刺班的第一次课程。对吧，可以补一下冲刺班的第一次课程好了，那么这个点我们就讲到这，然后接下来我们再来看看下一个问题。然后还要继续去讨论这个二重。那二处什么问题呢？

二处的话，它的一个左极限，左极限是二，然后这个右极限呢也是二。所以它在这个点处是什么？它在这个点处是连续的，如果这个部分在二处是连续，你在二处呢？你在二处一定是可导的。所以说这个结果马上出来了，因此它在一处是不可导的。然后在二处是什么可导的？所以说这个题啊。正确答案选，几啊选c？

好，这个题其实非常的基础，你反映出考点呢，你肯定做的非常的快，如果这个考点反应的非常慢，你做半天的话，你可能在这里面当中墨迹了半天。把这个fs求出来，然后再来做，速度极慢，我在这一块当中啊，我还给你写的慢，你要正常做，我几十秒钟就出来了。因为我是在给你讲课，

你要真的让我看的话，我眼睛瞪一瞪就出来了，你左右不相等，你左右呃，这个什么相等？马上这个晚会内容，它就结束了。好了，其实我觉得大部分同学应该都是具有这个能力的。我相信很多同学都有这个能力，好了，我们再看e选项e选项零处。邻处说不清楚，邻处只有这半边的极限，那没有那半边说不清楚，

所以说这个邻呐不好说。好了，这个结果我们就讲到这。可以了吧，这是我们讲的这个第14题，然后再来看看这里面当中的第15题。继续吧，再看这个题。它说，这个曲线与x轴所对称。那这个曲线我们来瞅一下。你看一下这个曲线，这是y这是零这是x。这个曲线我也不知道长什么样子。反正它在零处是零。

对吧，它在零处是零。然后另外一件事情，我知道它大于零，好了，这些问题足矣。如果你把大量的时间在纠结于这个图上，那这个题就废完了。你别管，反正这个图像是大于零零处是零，所以说这个部分的旋转体体积等于多少，它就等于零到正无穷。派倍的这个函数的平方。然后这是ds。对吧，

绕着s轴转，所以说这是零到正无穷派出去s四次方e的负2s比s。然后有些同学可能做这个题啊，做的速度过于的慢。这个题你要在这积分呢，你肯定是算了半天了。这个题如果没有用伽马函数的推论，那这个题你将会做非常非常久，你要连续着分步积分法四次。我早都考完了，你一个题我做了五六道题了啊，你这速度就慢很多了。所以这块当中啊，你可以换一下，换成t，

然后这是派零是零正无穷正无穷，然后这个部分呢？是四四次方的话是十六，然后是t的四次方e的负t，然后这个ds呢？等于二分之一dt。所以说这个结果等于32分之派零到正无穷t的四次方e的负tdt。那这个结果等于几啊？这个结果马上就出来了，这个部分是四，所以说这个结果等于四的阶乘。好，这个部分因此的话，这是32分之派呃，四×3×2结束了。

呃，好，这是这个题吧，不用继续去纠，特别纠结一些，这个图就大致的进行看看诶，这个图。我们都知道它是大于零，他没有卖过这个s轴，然后这个操作就出来了。好，这个题这题不不狠啊，这题非常的温柔。这题极其的问着我。好了，

这是这个点，我们讲接下来我们再来看看第16题。16题啊，应该是这套卷子里面当中呃，非常好的一道题。我们来看看这个题目。那这个题目它为什么是个s函数呢？我先讲讲这个题啊，有些同学在这个题当中浪费的时间特别的多。时间做的特别的久。我觉得这个题的话就是一。你在这个题目当中的知识点把握住二你不要算的时间算的太太久了，你算的太麻烦了。然后接下来我们来看看这个题。你能看出来这是s函数吗？

我们讲过对t进行定积分，结果就没有t留下了这个x，所以说这个式子肯定是s函数。想得清楚吗？我再说一遍，你对t进行积分，结果就没有t，因为是t的定积分没有t。然后这个s是个常数，留下了s当然是s函数，所以接下来我们就把这里面当做这个部分东西，你就可以打开了。这是阿尔法s。一打开的话，这个结果的话就是负派到派，

你看里面部分啊，算的写慢一点t方减去二倍的t。science.再乘上s，加上个s方sint方dt。好了，这是这个结果，那么所以说你发现我们就可以算出来了，不要计算啊，千万不要动笔。这个点把它做一下，然后的话，这是负派到派2t倍的s in tdt。这个定积分，然后s是个系数，

然后再加上负派到派，然后这是sint方，这个部分是系数。然后这是x方。所以你会发现。那这个部分呢？它是个系数。对吧啊，其实我们可以这样看。你发现这是自变量。这是自变量。那前面的定积分是个什么？定积分是个数？能想清楚吧。你就会发现它其实就是个数，

然后这是个数，然后这是个数。就这样的一个定级，这样的一个函数，结果。就是这样的问题。所以说就是第一个呢，它是个数，这是个数，这是个数。然后现在我们要干嘛呢？我们要求解这个函数的极值，你要注意求一个函数的极值，别墨迹。如果这个题你能看出来，

这个点跟附近的大小关系，那定义法就结束了，你看不出来呀？那看不出来怎么办呢？那么，只能求导找注点和不可导点。对吧，找到驻点和不可导点。找到这个触点和不可导点了之后，然后再来判断这个正负心。或者求二级导都是可以的，所以接下来怎么办？我就直接来。直接进行去求像，直接对s求导，

这没了，然后这个部分留下了负二倍的。负派导派t倍的s in tdt，然后再加上这个部分是二倍的负派导派，然后是sint的平方dt。这里面当中有唯一的什么这个结果呃，这是x。等于零那所以这里面当中就有唯一的注点，我们来看看这个唯一的注点等于多少，唯一的注点移过去二就约掉了。负派到派t倍的s in tdt，然后这是负派到派sint方，然后dt。好，这个结果可以了吧？

就写成这样。写成这样了之后，然后接下来我们再看偶函数二倍的零到派sint方dt。然后接下来看看，上面也是个偶函数二倍的零到派t倍的s in tdt。然后这两个二约掉了，然后接下来我们继续看，你再看下面呢，点火吧，点火公是一家人二倍的零到二分之派，点火二一二分之派。那这个零到派你看经典的函数又来了，它抛出去二分之派。对吧，抛出去二分之派。

抛出去二分之派，然后是零到派的话，这个部分的积分，那这个结果是二这题不烦躁。好了，这个结果马上出来，这个部分约掉，这个部分约掉，所以等于二。那因此，在这个题目当中啊，它的唯一的注点应该是二。唯一的注点是二啊，没有机制也有可能性，这只是注点，

所以现在待选的答案呢，应该是cde。然后接下来再瞅一下，注意不要算啊。如果接下来你再进行，求个导。不要算啊，千万不要算，你再求个导的话，前面没了，留下了这个部分。你告诉我只是二倍的负派到派sint的平方dt，这什么零这是正的吧？这是正的，它肯定是什么零大于零。

想的清楚吧，大于零一阶导数等于零二阶导数大于零极小值选c。好了，这个题有些同学可能在这块当中啊，浪费了大量的时间。一定要想清楚这个题不难啊，这不是特别难。好自己下去好好看看里面当中的一些非常具有技巧性的这个计算呢，都放到这个题目当中了。所以下去好好想想。能琢磨清楚吧，把这个题好好看看啊，这是一道非常经典的题。呃定积分求出来就稍不得麻烦，你可以求你可以求没有关系的。

你要是实在是你不想这样做，你就求出来，你求出来也行，其实我觉得没有必要求，该求的求，不求的就不用求。你可以算啊，只要你能把这题做对就行。好了，这是我们讲的第16题，来继续吧，再来看第17题。好，再看这个题。呃，

这个题就比较容易了，这个题让我们去求这个偏导数，你就直接用一下偏导数定义零零处。limits趋向零，然后这是fs 0。减去一个f零零比上s，然后这是y的偏导数。那么，接下来继续这是limit y趋向零。然后这是f0y，再减去个多少f零零比上y- 0？那么现在我们就把它进行去带上去。好，这是s。f零零是零啊。

你把这个y=0代进去。y=0代进去，这个结果的话就是有一个x方。根号s绝对值。然后这是sin x方。好，这个结果那么所以说s in方就立即等价无穷，小于方跟那个约掉了。约掉了之后就留下了这个结果。大家告诉我，这个结果是多少？我们可以看街。这是大概二分之一解吧，因为是二分之一次方，这个部分是一次方，

所以说这个结果是无穷大。好了，这是第一个，然后接下来我们再看这个y趋向零，这是y你要把这个x=0带去。如果x一旦等于零，那这个整体就等于零，所以这就是零减零，上面就是零，下面趋向零，那这是零。那s不存在y=0答案选b。好了，这是第17题。我们再来看看第18题。

好，继续走。那这个题目当中啊，它的重点就是你要计算两个偏导数，计算s偏导数，计算y的偏导数，你把这两个偏导数算一下就行。pns这个结果，那这个前面就没了，后面就是先对中间变量进行求导。然后中间变量对s就是coss。然后接下来我们再对y进行求偏导y求偏导的话，这是cosine y，然后是先对中间变量进行求导。然后中间变量对y求导的话就是负的cosy，

所以说这块就是个减掉。好了，这是这个结果。把这个算完了之后啊呃，你要进行去乘上谁呢？它应该是这样的一个结果。就是你这个部分，如果能乘上一个second x。你这个部分如果能乘上个second y。second x second y，那这个时候上下一加。一加就没了，所以说应该是second x偏z偏s。加上second y偏z偏y。啊，

这个结果那这个结果的话，两个部分一加就没了，一加的话，前面就是一，所以本题就结束。好了，这个题啊，非常非常容易的题，这个题在考试当中没有任何难度啊。所以说seconds乘偏s second y乘偏y答案选几选d啊？这个题啊，不是一个二元隐函数。用公式法肯定有问题。好了，继续，

我们再来看下一个问题，再来看第19题。然后接下来我们再看看这个题目，那这个题啊，是一个二元隐函数，一个函数由一个三元方程确定，二元隐函数。你看做到今天。就是核心题型还是非常固定的，你不要是这种题型的话，上次把它改正过来，下次还是错，上次改，下次改过来的下，下次还是错。

理论当中的题型非常的混乱，你自己冷静的梳理一次。都比你在这里面啊，这个召召集集做卷子，我觉得要来的强啊。好来看这个题，那怎么办？用公式法。那就是fxyz那其实就是e的2 yz+s+y^2加上z。减去四分之七。那么所以说我们来进行去算一下这个偏z偏s，它是等于负的。对吧，负的前面有个负号，然后是对s偏对s偏这没了没了没了一对z偏e的2 yz，

这是2y。然后对z进行偏，那后面有个一。然后再来是偏z偏y，这个部分是负的，然后是1e的2 yz，然后这是2y加个一。然后再对y撇是1e到2 yz，然后这是2z对y撇，这是2y。然后接下来你怎么办？你就算当这里面当中的s是二分之一y是二分之一的时候，你算一下。这是e的。那这个部分是z。

然后再加上个z。那这个部分是四分之一，这四分之啊，你这个平方项这是四分之一，那四分之一。然后再加上四分之二四分之三四分之三四分之四，这是1z是几z是零？所以现在而言，把这个什么把这个。is等于几呢？sy都等于二分之一z是零代进去，然后接下来把这个部分sy都等于二分之一。z=0代去一代就出来了好，我不带了。呃，

这是第19题啊，自己算。这可以的吧啊，代值没有问题，如果这个题。如果代职有问题啊，你要找你初中的表弟帮着你进行去解决这个问题啊。好了，这19题，然后再来看看20题。呃，这个题啊。有些东西做的很快啊，有的在这个题当中啊，做的不是特别好。

那么，这个题目当中只告诉了什么？x偏导数和y的偏导数都等于零，这叫二元函数的什么？二元函数的科导。二元函数的可导，你告诉我，你能推出来连续或者这个极限是存在的吗？能不能大家注意，你是不能继续去推这个连续的？你绝对不行，所以说这个题目当中我绝对推不出来这个函数连续，我绝对推不出来这个极限存在。你可以看一下我们那个呃，在那个解析当中啊，

给了个例子，那个例子的话是我们基础班讲的一个例子。就是这个xy比上一个x方，加上y方这个。对吧，这是sy不同时为零。就这个例子。这是sy同时为零这个例子。能想清楚不好，这个不对。然后接下来我们再看可导能推出可为吗？可导也推不了，可为那既然推不了，可为这个选项太简单了。两个偏导数都是零，

能推出权威分，这个结果是零吗？不行的。现在啊，有些同学就纠结了。那这个题的答案到底是选b还是选e呢？我们来看看这个事。你想想x偏导数等于零。它其实就是说的是x趋向s0。fx y0。减去一个fx 0y0比上s-s零=0。那你想想一个问题，你琢磨一下。分母的极限是零。分子的极限是不是一定是零？

我就可以立即推出来。分子的极限是零。我就立即推出来分子的极限是零。那分子的极限是零，你想想后面部分是不是一个数啊？它是一个数。我减去一个数等于零，我的极限不就等于这个数吗？你发现。他的底薪。这是个一元函数。因为y是y0嘛，一元函数的极限等于一元函数函数值，那当然是连续啊，后面是同理。

b是对的。好了，这是这个问题，当然我们也可以这样思考。你想想x偏导数是什么意思？x偏导数。x偏导数的意思就是。这个一元函数。在x=s零处可到。一元函数在这个点处可导，一元函数当然在这个点处连续啊。因为是一元函数。所以说这个题当中b选项必选无疑。无论你是通过这个式子的推导，还是通过理论的思考啊，

这个题目啊，它都是对的。想得清楚吧。它在这个点处连续想清楚e就不对了。然后接下来我们再来看看下面一题21题。好，再看这个题。呃，这个题啊，我觉得算倒没有问题，有些人就是算的时间太长了。这题我来给你讲讲。我们来做一下。无条件吧，你先继续算一下s偏导数。

那前倒后不倒。前倒后不倒。然后再加上前面不倒。后面来导，那后面来导的话就是负2x。然后这是e的负的x方减y方。一个事情xy是具有对称性的。xy是具有对称性的。就这个题，你没算好，你这个基础运算非常不达标啊。你做稳定稳一点，慢慢算。好了，所以说这个结果。

你发现这个题。呃，也不是说这个。全部把这个就是有一年的话，这个二二年出了一个题，出了题当中呢，有一部。就是他做题当中的一步。一步我觉得这个题很好啊。我把它改了改，当然它那个题是不对称的，我把它改了改。改了改了之后的话就变成了一个对称的，你现在算的话就非常的简单了。来看呃，

所以说这个题目你应该把它变成这样。你注意，你就把它写成了一减去二倍的x方，减去二xy。一亿的负的x方减去y方。好，这个结果。然后接下来我们再来算一下y的偏导数，其实你都不用算的。因为y的偏导数呢，你看这是负的y方，你加上x+y。你再乘上一个负2 ye的负的，I次方减去y方。所以这个结果它等于一减去，

这是二倍的xy- 2倍的y方e的负x方减去y方。然后接下来好了，好好听课啊。对吧，不要再说了。你算了多少分钟？你得提高对吧啊？来继续我们看这个。然后接下来让它等于零，你想想它等于零。实际上，只需要这两个部分等于零，对不对？不要硬酸，直接往里面待。

直接往里面进行去带的话，你就会发现二分之一一减去，这是四分之一乘上它四分之一乘上它就是零。二分之一没问题。那负二分之一呢，就是一还是减还是减，所以说这个点和这个点都是注点，没有问题。不要进行去求啊，你要去检验。所以那两个部分呢，就那两个点都能满足这个等于零。好了，这是这个，然后接下来是这个题目当中比较经典的步骤，

好好听，有些东西做的非常的慢。你看那么前面进行求导的话就是多少？负4s减去个2y前倒后不倒。然后接下来我们再来看。那在这里面当中，前倒后不倒，前面不倒，后面来倒。一亿的负x方减去y方，再乘上负2x。然后再来看xy你听好了，然后再对y对y的话，前面是负2x。for s，

然后这个部分是e的负的x方y方其实啊，我要是你。我要是你，我后面都不算了。都不用算了。因为你想想一个问题。你一会儿把那个点带进去。你那个点是不是一定会满足这一项等于零啊？你代进去的话，你一定会满足这一项等于零。你说就不用算了。然后接下来我们再来看看YY撇撇你前导的话，对y的话就是负2y。然后再减这个什么负2x，再减去4y，

然后e的负的x方减y方我都不算了，我算它干嘛？因为你想想一个事情，一会儿带进去，这一项是零啊，你算它干嘛？所以你要做的时候你要有技巧性。谁跟你这样讲的选择题肯定有机之人。你怎么能这样做题呢？对吧？我们三九六的同学都我们做了这么久的题，题目多么的阴险，你还不知道吗？好了，其实啊，

后面这个板块是不用算的。啊，后面板块不用算。所以现在我们就进行去算s二分之一y的二分之一，所以这个题我觉得就讲究什么讲究这个灵活度。该算算。不该算就不要算。对吧，该算算，不该算的不要算，所以这个部分因为你这个注点一定会满足这两个式子等于零。那你去后面这个部分就不要算了呀。所以接下来我们往前带。那a这个人呢？那这个部分的话，

刚好是负一。然后这个部分是多少？这是负二，所以等于负三倍的e的负的多少是四分之一四分之一负的二分之一。然后b这个结果呢？b这个结果是负二倍的e的负二分之一。是吧呃，这是负一倍的。啊负一倍的，然后这个c这个呢c跟它是一样，如果你发现了对称性，对称性就是一样。所以这个结果b方减AC这个。一倍的减去九倍的肯定是小于零，而且a小于零，

这是极大值。那因此这个第一个它，它就是取极大值，你说极小值就不对了，你不取也不对了，我就不做了。我只用做一个。这个题的灵活性，然后。有些人都做到这了，然后选答案还选错了。你把二分之一带进去，二分之一带进去的话，这是一，然后这是四分之一，

四分之一，这是负二分之一答案选a。不要做两个，你做一个就行了。好了，想清楚吧。不要做两个。这个题啊，多算一算。尤其是在这个做题当中的这个技巧性，你把它把握住。因为你的注点就会同时满足这两个东西的目的。同时，满足这两个部分东西等于零。那所以在计算的过程当中，

这个部分就不要了。好了，继续吧。我发现因为很多同学的。就是你问的这个问题啊。我不理解一个事啊。你是觉得这个方法不好吗？还是怎么了？还是不想算。不想算的话，这个数学是没法考的。啊，你要是不想酸。稍微算两下，你就算不动了，

那真考不高。那那真考不高。这个题还不如去年的运算量呢。那真考不高。你想是不是？你都考了这么考了这么久了。稍微算两下，你就算不动了，稍微做两下，你就不想做了。那就没有办法了啊。你下去好好反思一下这个问题。你要喜欢算。你一定要喜欢算。那么，

接下来我们就继续吧，我们来看看这个22题。来继续再看这个题。呃，这个题啊，倒比较简单。就这个题的话，你看考的是。第一行的第一个。第一行的第二个。第一行的第三个。第一行的第四个没有，最后你补零。那所以说这是二倍的第一行，第一个第一行，

第二个第一行的第三个，第一行的第四个。你再加上个零倍的第一行，第五个不就行。那所以说这个结果马上这把这个部分呢，我们就做完了。你看这个行列式，我们就只需要把这个第一行当中啊，改成它的系数，改成它的系数。那这是二。三负一零，这个结果。好这个那么，所以说就做成这样，

那这是一个什么行列式呢？你稍微观察一下，有这条线。有这条线，还有这条线。这是个什么？这是个爪形好男士。去掉一条腿就行了。那去掉一条腿的话，不要去掉这条，你去上面那条。然后怎么办？把这个用这个进行攻击，这个加上去。加上去了之后，

然后这个部分就变成了零。加上去之后，这块变成了六。然后再看用这个。负三倍加上去，这块就变成零，然后负三倍加上去，这块就变成了负三。然后直接加上去，这块就变成了零直接加上去，这就变成了负一。所以现在这个结果，它就变成了一个什么，它就变成了一个下三角。好了，

这条线就没了，你下三角那下三角的话，这个结果一乘是多少？这个结果一乘呢？它刚好是负一。啊，所以说答案就出来了，答案选e啊。好了，这个题呃，非常基础的爪形行列式。抓新行列式好了，这是我们讲的这个22题。再来看看下一个题，23题。

再看这个题，那这个题求这个行列式啊，你得稍微进行去。你发现看这两个东西。不一样，而且你不能说它等于这个行列式，加上这个行列式，这是大积。那绝对不行，但是我们知道见到伴随可以转呐。你见到伴随的话a×a的伴随等于a的行列式乘上e啊。那所以我们看看这个a的这个部分。你算一下这个a的行列式。那a的行列式的话，我们就可以按照这个三二一来减去，

上面是零负一减去，上面是四。然后减去上面，这是零减去上面，这是零减去上面，这是二，所以等于负六。那说明a可逆那可逆的话，这个a的伴随的话就等于多少a的行列式乘上a逆就等于负六倍的a逆。啊负六倍，那负六倍的a逆的话，我们就可以做了。所以说这是二倍的这个，然后这一减的话是负六倍的a1。所以它就等于多少等于负四倍的ae。

一个系数出去变成了它的N次方，变成三次方，然后这个结果就等于a逆的行列式。因此的话，这是等于多少负的64=a的行列式分之一，行列式等于多少呢？这是？a的行列式是负六，然后负的六十四，因此等于三分之三十二啊，这个结果正确答案选几啊选b啊？好了，这是我们讲的这个33题啊。这个不难啊，这个题很简单，

很简单题这种题啊，考试当中啊，绝对的简单题。把它拿下来。好了，再来看看第24题。再看这个题目，那这个题目我们就需要进行去整一下了。它告诉我们一个事儿，告诉了一个这个值这个值可以提出来，把a提出来就是e+b。它的质等于二。那么，在这一块当中，我们稍微的进去去看看一+b。

不要硬算了。k在哪？k在a所以我要得到a的结论，我就要看这个。看这个的话，你发现这个b等于多少？第一行第第一列二。三四六九十二零零零。这是个个为一的矩阵，然后我们再看看这个加个一。加个一的话，对角线加那是三十一三四六十二零零。不要硬算了，你告诉我这个行列式是多少？你就在这一块当中用它展，

然后这是30，这18不要算出来啊，你就知道诶，行列式不为零。行列式不为零，那也就说什么呢？说明这个质是三。这个字是三。那a可不可逆啊？如果a可逆的话。你想，如果a可尼。那我这个痣应该也是三呢。但是你这个质变成二，立即就可以说明a不可以。

啊，绝对不可逆，那不可逆的话，行列式就等于零。那所以说这个结果的话就是二三四六k二，然后这是四六三=0。那然后接下来我们就继续去解一下这个。操作下来，那么在这块当中，你就用二三四减去三倍，减去三倍，减去九减去三倍的话，这是负十。然后减去二倍零，减去二倍，

然后这是零减去二倍，这是负。所以说这个结果就等于负十倍的k- 9，它等于0k就等于九，所以说这个结果正确答案选c。好了，这是我们讲的24题。然后再来看看第25题。看一下这个题。来看看这个题目。那这个题的话，你发现它说a是一个非邻居帧。两个相乘等于零。然后这个b是这个结果，然后测什么？

呃，这个题最好做的方法呢？最好做的方法就是你把它带进去。你就带进去看就行了。然后接下来我们就来看看。啊，走一下这个。啊，都一样，你走哪条线都行，你是可逆，你叛他也行，一样的嘛。然后这是一个三阶阵非零。那见到两个相乘等于零像什么？

就这个题当中，只要见到两个矩阵相乘等于零，立即想到你的质，加上我的质小于等于什么小于等于三。这是这个题当中比较重要的。我想进行去求a，我就要进行看b。这题最好的方式的话，就是你立即把它带进去，把负一带进去。负一带进去了之后的话，这个b是多少？b是一负一一，然后这是负二，这是二，

这是负二，然后这是负一，这是一。然后这是负一。所以你发现这两行成比例吧。对吧，你这两行乘上二负二倍负二倍负二倍，然后这个直接加下来。所以这个时候b的质是几b的质是一。b的质是一，你看这是第一种情况。b的质是1 a+rb。小于等于三说明ra就小于等于二。而你在这块当中一看，它是个非顶针。

非零矩阵的话，只有大于等于一。那所以说这块当中a的这个质啊，有可能是一有可能是二。那所以说这个结果它就不对，它不对，它不对。好了，这是第一个，然后再看第二个，如果a=2的时候。你把这个带进去，那这个b是多少？那这个b的话，它就是一负一一。

然后这是四，然后这是负一，然后这是四，这是二负二，然后这是二。那么，接下来进行去变换一下一负一一减去二倍，减去二倍，这是零减去四倍，这是零减去四倍，这是零减去四倍的话，这是。呃，减去四倍的话就变成三三就变成了一，所以说这个质等于几啊质等于二。

那质等于二这个题就好办了。因为我们知道a的质加上b的质小于等于三，你是二，你是二的话，这个a这是小于等于三。然后你是二的话，我就小于等于一。我又非零，我又大于等于一，所以说这块当中，我立即推出来，它就等于一。所以这个a的这个值啊，只能是一也不对。所以答案选几啊选d。

可以了吧呃，这里面当中我说一嘴啊，有一个那个。前天的话，那个编辑编辑说了一下这个。因为我们后天继续去测这个第五套卷子。看到这个第五套吗？第五套卷子这一块当中啊，漏了一个。这块你加一下。然后这个a芯是不为零的。答案的解析写的是没有问题的。因为答案解析当中啊，写了一个不为零。对吧，

这块少敲了一个a心不为零。应该是第85页。最上面85页，最上面。有个a星不为零。你可以看一下那个27题那个答案。27题答案的话，我写了一下，叫又它不为零。啊又他不为零，我说那个那个条件他给敲少了。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个下一个26题。再看这个题，

那这个题啊。呃，不休息了，可以吗？我直接讲完吧，因为我一会儿4点10分还有一节课，我休息了，我害怕一会儿这个后面还有一节课题。来看一下。那他说这个a的质啊，是n- 3。然后这三个是它的三个线性无关的解向量。则可以作为基础解析的是。那么，首先我们先看看。

基础解析。首先，第一件事基础解析里面的向量个数等于n-ra。它就等于三。好，这个所以我们基础解析里面当中一定有什么？基础解析里面。基础解析中。还有几个呢？三个。三个什么三个线性无关的。七次解啊。有三个线性无关的，这个七次节。而你都知道，

这三个人都是其次的解你俩相加是不还是其次解你俩都是其次解？这个没有问题吧？因为你都知道阿尔法是七次解。a大是其次集。k1阿尔法后面是零。k2倍大，后面也是零。所以都是其次解，所以你想想我们看啊，也就说诶，这是三个，这是三个，这是三个，这是三个。只是三个个数都满足。

这都是七次解七次解七次解都是三个都是七次解，那重点判断的是什么？重点的判断的就是这个了，你们是不是线性无关呢？那是不是线性无关的话，你看看a选项？已经知道这些人限行无关，看这个限行无关，我们上课讲过，对吧？用眼神先瞪一下。那这时阿尔法一减，阿尔法二，阿尔法二减去，阿尔法三，

你先用岩筹法呀。对吧，颜筹法我直接来看。你这个部分和这个部分和这个部分，你如果中间直接配加号，是不是就等于零？那直接就是零。那存在三个不为零呃，这个什么这个不全为零的数等于零，那当然线性相关。然后再看第二个。这两个东西一加和第三个。哎，你这两东西一加。和第三个刚好一减不就是零吗？

所以这也不对。然后再来看看这个。c这个人。c这个部分的话，这是一个。三个，这是两个哎，那你这个部分这个部分这个部分这三个一加它不是也是零吗？因为这阿尔法一和阿尔法一约掉，然后这是二被约掉，然后这个是约掉，所以还是零啊。所以它也不行。那么再来看看这个d这个。那d这个的话，

就是你是正的，我是负的，那我减一下。我减下来之后，我再加一下它不还是零吗？所以它也不行。所以存在不全为零的数，让它等于零，这是常规问题啊，我们先用严惩法做。啊严处罚，然后再来看看最后一个。那最后一个部分的话，你得进行去判断，它就没办法，

不是线性相关判线性无关判线性无关的话，也可以这样办。二倍的阿尔法，二二倍的阿尔法二+3倍的阿尔法三。然后这是三倍的阿尔法三，加上阿尔法一。那这个结果的话，就可以直接做它就等于多少它就等于一二三。然后再进行成像一二零零二三，然后这是一零三。你直接算最后的行列式就行。对吧，直接算后面行列式。然后这个行列式是一二零。零二三一零三，

然后算一下的话，这是一零一减去二倍，减去二倍，减去二倍。然后这是零三，这不为零的。那这个部分不为零，你就想想那既然这个不为零，那这个矩阵就可逆。啊可尼。你琢磨一下。这三个人是线性无关的。它的质就会等于它的个数。你是可逆，你的质也会等于三。

你的质等于你的个数，你不就是线性无关吗？好了，这是这个问题，你就立即可以得到，你是线性无关。所以判断它的线性相关性就是重点，看看它的制备。当然还可以，怎么办？你还可以进行去走变换的路线。阿尔法一减去二倍的阿尔法二二倍的阿尔法二加上三倍的阿尔法三。三倍的阿尔法三减上阿尔法一。你还可以走裂变换呢。把这个第一列。

它的负一倍加过来。那负一倍加过来的话就是多少？那就是负的阿尔法一。加上三倍的阿尔法三。三倍的阿尔法三加上阿尔法一。然后把这一列再加过来，加过来之后的话，这就没了这九倍九倍，乘上九分之一变成它。然后这是负三倍加过来，它没了，然后这个负一倍加过来，它没了。变成它，然后这个负一不要了。

那所以说我们前面这个值它就会等于一二三的值，你可以调一下，不会变的。等于三你的质等于你的个数，你当然是线性无关好，这个e选项这个题啊，已经做烂了的题啊，不是说特别难。好了，这个题就讲到这可以跟上吗？下去好好看看26题。再来看看27题，上课要有针对性的听啊。我们都是呃冲刺阶段的同学了，你一定是提前考了，

考了自己提前改了，改了之后啊，上课有痛点的进行听。不要漫无目的的听啊。好了，那么接下来继续，我们再来看这个。那这个通解是它。那么，这是它的通信？则方程组当中满足x1=2，且s二三=s四的解是什么？大家告诉我，这个通解是什么呀？是不s1s2s3s。

你把它加一下。你加下来之后的话是多少呢？是k1+4倍的k2+1。二倍的k1-k二。然后再加上零，然后这是多少呢？是负k2-1，然后是负二倍的k1-k二+1。好，这个结果这是它所有的解。但所有解里面当中，我们要进行去约束一下，要约束什么呢？你要约束这个x 1=x二。如果要要求s1=s二就是k1+4倍的k2，

加上个一就等于二倍的k1-k二。如果你要要求x3=x四的话，你就得要求负k2-1=2倍的k1-k二，加上个一。你得有这两个要求，这两个要求呢，我们就能把这个部分稍微的整理一下。一整理的话，你就来看看第一个移过去就是k1-5倍的k2=1，然后这个移过去移过去就是二倍的k1。然后嗯。这二倍的k1这就没了，所以它等于负二，因此这个k1就等于负一。k2就等于几呢？

k2就等于。把这个东西你这是负一移过来，这是五分之二。解对了吗？就看看啊。这两个东西约掉。是吧，这是负一。哪个是负k1啊？叫我看看啊，这两东西相加等于二倍的它。然后是负的它等哦，这是负号嗨，这是负号。然后这个负号的话，

你你看这两个东西约掉，然后把它移过去，那这是二所以说它等于一。啊，等于一它等于一的话，这就是零。这是我所有的解。你要想s 1=s二，要想s 3=s四，你必须要满足这个，所以说最后把它带进去。你k2是等于0k一是一，那这是二。然后这是二。k2是零，

这是负一。然后的话，这k2是零，然后这是负一，就这个结果。所以，正确答案选几选d。好，这个题呃，这是我们讲的27题，然后接下来我们再来看看第28题。好，再来做这个题非常简单。方程组有唯一解。方程组有唯一解。

第一个充要条件就是增广制等于系数矩阵的值等于列数。第二，事情的话就是行列式不为零，大家注意，这都是充要条件，无需进行检验的。那对于这个题而言，直接行列式不为零，那就结束了，不用继续墨迹，对吧？直接来行列式幺二幺。二三a加二一a负二，这个结果。那所以说就是一二一减去二倍，

减去二倍，减去二倍，减去一倍，减去一倍，减去一倍。所以说这个结果就等于几就等于三，是a方减去2a这个结果，所以等于负的a方减2 a- 3。那这里面当中是负的一三得三减去三，然后是加上个一，它不为零，所以既不为多少。既不为三，也不为多少。既不为三。

也不为负一。好了，这是这个吧，你看又来了。你看这种情况就消灭不掉了，对吧？不成比例，这就等于三呢。我真是发现我讲一年这种情况就消灭不掉啊。来我们看看。一二一零一二一三三，你看这个。来，你瞅一下。不成比例吧，

不成比例吧，不成比例吧，你算一下这行列式等于零。就是我，我真是发现了，一年都消消灭不掉，每一次课程都有。啊，不成比例啊。不成比例啊，第一个第三个不成比例啊，行列式等于零啊，你算一下啊。好了，这是这个吧，

我们就说到这28题。然后再来看29题，29题应该是这次啊，估计丢分率最高的一次，对吧？丢分率，那这个题目的话呃，很多同学估计没有读懂这个问题。这题是个什么题？你来看看吧。他说有一个箱子。里面总共有十个球。好有十个球，有三个白球，有七个红球。

先从中。把一个球给取出去。取出一个球，然后在剩下球当中任意取两个球，发现均为红球。则先取出的球是白球，大家来品一下这两个。在余下球当中发现是红球。已经出现了。先取出的是白球。你琢磨下。谁先发声。啊不不是说这个题目的条件。哪个顺序好求？知道黄求绿还是知道绿求黄好求。

哪个是先，哪个是后？知道黄去求绿好求吧。所以这是先。这时候。那也就说我在这个题当中啊，他什么情况呢？就说也就说这个先取出的是白球。啊，我这抛出一个白球，那现在里面当中就有七个红，两个白，那这个时候摸两个球非常简单。这个是简单的。但是你这个顺序反了，

你现在是什么呢？我已经知道红球，然后问先取出的是白球。所以在这一块当中啊，你注意我把这个什么把这个叫b事件，这个叫a事件。那你想我在这一块当中取出一个球，有几种情况我就打，假设是白球，有可能是白。也有可能是飞白。有可能是白，也有可能是不白。所以现在我们求的是在b发生的条件下，拟发生的概率贝叶斯公式本来就是天然的条件概率。

所以它其实是b的概率分之AB的概率。但上面这个部分。上面这个部分只有调整顺序了之后才好求，应该调整什么在a发生的条件下？a发生的条件下b发生的概率，这是好求的。所以说这种情况它好算。好了，我们现在看看上面，如果已经知道摸出去是红球呃，摸出去是白球，你告诉我这块摸出去白球的概率是多少？十分之三。然后已经知道摸出去是白球，摸出去是白球的话就是两白七红。

再摸到红球的概率是多少？摸到红球，然后摸两个红球啊。余下当中摸两个球，就是九个里面摸两个球，全是红球，是七个里面取两个。好了，这能看懂吧？就是。我首先摸出去是白球的概率十分之三。然后现在在这个球里面当中摸两次，摸两次当中啊，都是红球，概率就是这个啊，

这个很好算。然后现在我们要进行去看pv。那PB的意思就是摸两个球都是红球。你这个部分的话，你得用全概率啊。全概率怎么算？摸出去是白球，在白球的条件下，你摸出来是这个。摸出去的不是白球，在摸出去不是白球的情况下，你是这个。所以说现在的话，这个概率其实就是十分之三乘上九个里面取两个，七个里面取两个，

这是十分之三。九个里面取两个，七个里面取两个好看这个。如果第一次去取，不是白球不就是红球吗？那红球的概率不就是十分之七吗？那其实就是三白六红。你要在这九个里面。取两个球。而且都是红球的话，就是六个里面取两个球一算就行。好了，我说清楚了吧，这个题的分析。就这个题的分析啊呃，

是比较关键的就是你一定要理解这个题考的什么，这个题考了贝叶斯公式。那分母当中就是个全概率，摸出去是红，在摸出去是红的条件下，它摸出去不是红，在摸出去不是红的条件下，它的概率。好了，这个题啊，我就不算了，你自己去算吧。好了，再来看看第30题。这个题啊，

好像做的也不是特别好。我发现有些人特别离谱。他这样做。他说。他说老师为什么不能是这样？啊，为什么不能是这样？是前面这个条件和后面一起加和的概率，你别太离谱。你离谱过分了啊。好了，这个我就不说了啊，你有点忒离谱了，要注意这里面当中优先级最高的是谁呀？优先级最高的是这个杠。

注意一下这个事啊，所以我们求一下这概率，这概率是多少呢？是a+b的概率分之。然后这个跟它相交，这是谁立即把它写成AB 8，你发生的条件我不发生。然后再跟a并b相交。然后接下来下面仍然是a+b。再看上面，上面当中就可以用分配律。AB拔再来a ab拔再来一次a，其实就是AB拔。然后再来看AB拔，再来b。

那么，像这个问题啊b拔在跟b相交，那这是空集。空集跟它相交，还是一个空集？空集跟别人相并呢？空集跟别人相并，那肯定是别人因为空集更小嘛。然后这是a+b。所以说这是a的概率，减b的概率，那就是a的概率，a-b的概率a的概率减去AB。然后这个部分就是a的概率，加上b的概率，

然后再加上AB的概率。好本题结束。那么，现在a的概率是零点五。然后这个题当中啊，不知道AB。不知道AB可以求啊，你看这个。这块这块就是a的概率分之AB的概率。等于零点四。那所以说这个部分当中的话，这个AB。就等于这两个相乘零点四乘上零点五=0点二。好了，这是这个结果，

因此啊，我们就来看减去多少呢？哪一个哦？这减了，然后再减去多少呢？减去零点二，然后a的概率是零点五。be的概率是零点六，然后再减去零点二问题结束。所以说这个题的操作，它不是特别难，就是你运算就行了啊，遇到什么你遇到这个条件概率你就用就行了。然后在这个上面把它进行整理一下就行。好了，

这是这个问题吧，我们就讲到这。来，继续。然后再来看31题秒了吧。啊，这个题可以秒的。然后一看x服从参数为十的指数分布。指数分布的无机异性，那首先看这p。p这个部分是x在大于五的条件下，五是没有用的，你把这个十写成五+5。也就是你曾经走过的五的这段距离是没有用的，所以说它只有小于五，

这段是有用的。然后再看第二个。第二个的话，其实就是你x走过的失误，这段距离这是没有用的，那就是把它写成失误，加五真正有效的是五。s小于五。然后再来看看第三个，你s是大于多少25？曾经走过25这段距离啊，它是没有用的。25这段距离是没有用的，所以说你就把它写成25，加上多少加上十，

所以说这块当中啊，它是x小于十这概率。那么，现在我们一看，那这个结果首先p1跟p2相等。p1跟p2相等。把这些排除。那么现在你最重要问题就是这个。而我们都知道。你看你小于这是零。概率密度函数的有效区域是大于零。小于五的概率是这块的几分。小于十的概率是这块的积分，那还没使十要更大呀。p3大于p 2=p。

所以答案选一。好了，这是这个题，我知道有些人选a了。啊题都不读，反正的话一看无机异性相等，你别有时候做做做失误了啊这个题。然后再来看看第32题，这个题。好，继续那这个题啊，你继续看。他说这个部分的概率密度函数是它。然后这个a是一个常数，怎么怎么样？

然后让我们进行去计算一下这个部分的概率。那这个概率怎么办？那这个概率你首先看看啊。它这里面当中c是要求一下的吧？啊c肯定是要求一下的。把c求一下。把c求一下的话。其实这个题最简单的方法就是。呃，你可以把a取个0c取个一看成一个特殊情况。是吧，你看成一个特殊情况，你看看能不能出来？就是它这个概率密度函数a=0的时候c=1的时候，它肯定是一个概率密度函数啊。

然后你通过这个情况去求一下，然后你看一下答案当中有没有成立的？然后像我们这个题的话，你就可以首先用一下归一心。你稳稳当当做就这样，你用一下归一性，那归一性的话，其实就是从a到正无穷。然后c倍的拉姆达e的负拉姆达s，然后这是多少ds？那接下来我们就来进行去求解一下。我那叫举例子嘛，你不懂这个方式吗？这选择题啊。啊，

这选择题。好了，那然后这个结果它就等于一。那所以说你就可以把这个算一下。这个算一下了之后，它其实就可以放到后面去了。你放到后面去的话，这个结果是多少？你把这个c倍的，这是a到正无穷e的负拉姆达SD拉姆达s。然后这个结果它就等于多少呢？它就等于。c倍的。啊，移过去了，

然后是c倍的e的负拉姆达s负的把a和正无穷带进去。然后这个负c，你这个带进去零，然后这是e的负的拉姆达a。这个结果等于一。好了，这个结果就做成这样，那做成这样了之后的话，我们来看看呃，这里面当中一算呢，你算出这个结果c是多少？c这个结果很明显是等于e的负的拉姆达a。好了，这个样子，那因此的话，

这个部分呢？它可以是啊，可以不是这个指数分布。所以这个结果的话就等于e的负的拉姆达a。然后是拉姆达。e的负的拉姆达x。然后这是s大于a，这是s小于等于a，这是零。好了，这是这个结果。嗯哦，求c是吧？c的话。沉过去啊，

这是它。好了，这是这个部分。然后接下来我们继续去计算这个概率。那所以说所求这个部分概率啊，它就是从这个a- 1。然后从这个a- 1切到这个部分。那a- 1的话。这个题目。那a- 1就可以直接算了。对吧，你就从这个a- 1吸到这个a+1。那么，在这块当中就是a- 1到a+1，然后对这个概率密度函数的积分。

那就积呗，所以说这是a- 1 a+1。这个题目当中，这个a这个部分。对吧，这个部分，然后它是小于其实这个题最简的话还是用这个指数分布来做就行了。然后。哪块儿我没有写啊？哪错了呀？我还没有写呢。不是你在，你在说啥呀？啊，我这块写的是概率密度函数积分嘛？

我还没有开始写呢。我还没有开始算呢，你在你在干啥呢啊？这不就是a- 1到a+1对这个概率密度函数积分吗？唉，好了，那么接下来我们就继续，我们还没开始写这，这有啥问题啊？我连这个东西都看不出来吗？你别着急啊，你别别急来，那么接下来继续我们再看。那所以说我们就要从负一开始记。然后这个a。

然后我们说这里面当中的话，它什么情况呢？那在这一块当中的话，这是a。那a的话，我们要从这个a- 1，这个部分积到a+1。那其实你从这块进行对概率密度函数区分这块是零吗？这块是对它几？所以说这个结果的话，它就等于e的。这是写成拉姆达e的负的拉姆达，然后的话，这写成多少写成这个x-a倍的ds。好了，

这是这个结果，想清楚吧，哎，这个部分呢，就算成这样了。然后接下来我们就继续，你看这个x-a，我可以做一个换元令x-a=t。对吧，或者是拉姆达贝塔都行。啊，这是拉姆达贝的。就直接把x-a=t，所以说这个结果它就变成多少，然后这个x等于它的时候，

这是负a。然后这个部分是一那，所以说这是拉姆达倍的e的负t，然后ds是多少ds是dt啊？这是第那么道题。那所以说这个结果。哦，这是这是a是吗？这个a1减的话，这块是零。啊零到一这个部分。那所以说这个结果你把它一算就行s-a啊，这个部分等于t那这块是零，然后这块是一零到一兰美背的。所以说这个结果的话等于负的一的负的拉姆达t把零和一带去负的一的负拉姆达减去一。

好了，这个结果正确答案选一过去了，可以吧？来继续吧。再来看看这里面当中的第33题。那这个题啊，首先我们看看这里面当中好了，好好听课的。然后接下来我们再来看看这个33题，然后这里面当中给了一个联合分布率。联合分布率当中啊，你眼睛瞅一下a加b，加上c肯定等于二分之一。然后这一块当中给了一个条件概率。那这个第一个条件概率等于多少呢？

这个条件概率它就等于x=0，然后分之多少呢？x=0，y=1。那么，现在我们算一下x=0的话，刚好是a+b，然后这时x=0 y=1的话，这是b。好，这个结果等于二分之一好再来看第二个，第二个的话其实就是y等于零。然后这块就是x=1 y=0这个部分。然后y=0这个部分的概率的话，就是a+c，

然后这块是x=1 y=0是这个部分。它就等于几三分之一。所以现在我们就可以计算一下，你看第一个式子，第一个式子的话就是2 b=a+b，所以说推出了a=b。第二式子呢？3 c=a+c立即推出了a=2 c。那所以这块当中啊，我们都换成CA就等于2c，这也是2c，然后这个部分呢，它是c。这是啊，这个是二分之一，

那所以说这个结果马上推出了，这个c等于多少c等于十分之一？c既然等于十分之一，那这个题就出来了，你是十分之一，我就把这个十分之一一减。那a加a加b啊，它就等于多少十分之五十分之四啊十分之四，那这个结果就是五分之二。所以答案选几啊选c。好了，这个题可以了吧？啊，这个题不难。然后接下来我们继续，

我们再来看看这个下一个题。34题。好，再看下面这个题。呃，下面这个题啊，你可以猜你都知道。这一看。从零小于零，这就是个指数分布，那这个指数分布的话很明显，这个a就等于几a就等于一。指数分布。所以我们现在要进行去求解什么？你要继续去求解一的负到2s，

这个人的期望。那么，其实就是负无穷到正无穷，大改小。再乘上概率密度函数的积分。那所以真正的有效段是零到正无穷e的负2s，然后这是1e的负s。ds，那所以说这个结果它就是零到正无穷e的负3 sds。好，这个结果那这个结果的话，你补一个多少呢？就是负三分之一e的负三s把零和正无穷带进去。然后是负的三分之一，那e的负无穷是零e的零是一，

它的结果是三分之一，好选d啊，这题比较简单。然后接下来我们再来看看最后一个题。啊，这个题。呃，因为这个题出的这个时间比较早啊，应该是编写这个题的时候，应该是在暑假。暑假写过这个题，所以你可能在那个内部卷里面当中也见过这个题。然后接下来我们来看看吧，这个题啊，其实不是特别难。

这题就是个骗子题。给了一个分布函数，有些同学就求导了。你这个分布函数每一段都是常数，所以说这个x是个离散性随机变量。离散性随机变量，然后它的分段点负一零一处取概率。啊，分段点处取概率。那所以我们先来看看，负一处负一处值就等于负一处值，减去左极限。所以说就等于四分之一。然后再看零处零处值减去左极限零点五二分之一，所以说最后这个结果是四分之一。

那因此让我们去求解这个方差，你求这个方差的话，你先继续去求这个期望。啊，这是函数，它的起望你先算。那这个第一个部分呢？你带进去，你带进去的话，刚好是负二分之一乘以四分之一，第二个是零。然后这是二分之一乘上四分之一，所以这个结果是零。然后再来算一下平方的气泡。平方的气泡，

那第一个代进去负二分之一平方是四分之一乘上概率。零还是零？这四分之一乘上这个概率，所以说这个结果就等于八分之一。那因此这个方差就等于多少？方差就等于平方的期望，减去期望的平方八分之一。好了，这题啊，正确答案就出来了，选d啊。好了，这是这个题，离散性随机变量的分布函数，每一段都是常数。

分布函数的图像是台阶状。这个做法非常简单，分段点处取概率，每个点处值呢，等于该点之间去走极限。好了，这套卷子我们就讲到这。呃，刚刚好这个时间啊，卡的刚刚好，所以你们下去把这个题目好好进行处理一下吧。这套卷子不是说特别难。总的来说的话，这个题目。可能很多同学有丢分点的话。

可能基本上都丢在哪儿呢？有的是丢14题的话，不应该啊，你可能把那个知识点给忘了，可能有些同学的话丢在这个16题。对吧，就16题。21题。16题和21题。别的都没有了。所以这套卷子的话，应该是这几套卷子当中相对比较简单的一套啊，总的来说的话，运算量都还好。对吧，

都在可控范围内，所以你自己下去把这个相关性的知识啊，有些能做的非常慢。我觉得关键点一个问题就是你可能对考点太不熟悉了。你就想想我们刚才讲这个题目啊，你得想半天才能想到那个考点。而且是我在上课的过程当中。呃，在上课的时候啊，给你进行去说，我提示这个问题，你还有半天都没有想到，那就更麻烦了。所以我觉得应该是以小见大，你出错的题，

你反应慢的点，你都要做加强。你上课的时候一定要做好标注啊。比如说这个板块的这个知识点。他会怎么样？就是这个板块的知识点，它在这个部分的东西是什么？一定要把这个知识点一定要想清楚。速度一定要快。好了，这是这个点吧，我们就讲到这。上限大于下限。不可能啊，不可能。

14题14题。哦，那是个瑕疵分子。他那个应该是个发散的，你不用管那个题，那个题那个题我上课说了一下那个事啊，那个题你只要会拆分就行。那个题会拆分就行啊。那个题的话，我已经跟那个呃出版社的话，他们说了，他们就只有。呃，几个题呢？就一个题的话是那个可能你得把上下限稍微的改一下，

那是个狭积分，还有一个题的话是那个。不是有一个切点，不在那个上面嘛，还有一个的话是那个敲少了，就是我跟你说的下套卷子呃，少敲了一个那个a的伴随。a的伴随等于零，你们稍微注意一下就行了，别的话基本问题不大。好了，那么这个题目啊，我们就讲到这，自己下去好好看看吧。不要乱千万思维方式，

不要乱有些同学可能上课啊，你有些题能做出来，但是你发现那个操作性方法呀。嗯，一一有点麻烦，二的话，有些同学可能做一些题的话，你得绕绕绕半天。我觉得这块都不是说特别熟悉，你下次再好好看看好了吧，我们不讲了，然后的话，一会我4点10分，我还有一节课啊，我们今天就讲到这。

自己下去把这个相关性问题好好处理处理吧。然后下次考试啊，我们是考这个第五套卷子，所以无论是简单和难啊，你如果做得好，我觉得就继续再接再厉啊。如果你考的不好，你一定要进行去找到问题，好好查漏补缺好了，那么今天呢，我们这套卷子就讲到这好吧，好，下期再见。

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