03.冲刺满分10套卷精讲3-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:16:43

那我们继续吧，好，我们再来看看这个第20题呃，这个题啊，我们稍微快速一点可以吧啊，因为这种题做的太多了。那首先第一件事检验这个人的连续性，连续性干嘛呢？叫求极限对吧？求这个人的极限。等不等于下面这个函数值那么，所以在这里面当中，我们就求一下它的极限可以吗？啊，我就直接来了。

你求谁极限呢？你求f sy的极限就是求这个极限。可以吗？求这个极限，求这个极限sy趋向零的时候，这个部分是零，立即等价无穷，小于这个sy。啊，等价无穷这个。那么所以说把这个东西乘开，那么其实就x方乘yx×y^2比上这个，那么接下来我们来讲讲这个极限。那这个极限其实我们做的也很多，你想想它这个部分不就是x趋向零，

然后y趋向零，大家琢磨一下。这是个x方。你看你把y写到这儿，这是x方加上y方分之x方，然后这是x，然后又是x方加上y方分之y方。大家告诉我，这是经典的有界变量吧？对吧，这是经典的有界变量，你稍微听一点，你都知道这有界吧，无穷小成，有界无穷小无穷，

小成有界无穷小。所以说这个极限结果是几是零。而你会发现，它在这个点处的函数值就是几x方加y方等于零，不就是xy都是零吗？而它在这个点处的函数值啊。它就是零，所以说它就是连续的。好，第一个它是对的。那第二件事情我们再来看看这个xy的这个偏导数，那偏导数怎么办？偏导数得用定义吧，所以在这里面我们写出这个偏导数定义。来吧，

直接来看偏导数定义。那么，其实就是y=0 fs-fs零呃fs-f零比上s- 0。那么现在想想这个部分已经是零。然后你要把y=0带到哪，你要把这个位置的y带成零。y代成零的话，大家想想你这个部分已经是零了。你这个部分是零，它就是零啊，所以说这个结果就是解那就是零啊。你把y带成零不就是零吗？所以这个部分就是零。那上面就是零下面趋向零，结果不就是零吗？

然后再看下面那f零零就是零。你要把s=0带进去，s=0，你看你s带成零了之后的话，这块是零。所以说上面这个部分呢，它就是零。那上面就是零下面趋向零，那这个极限结果肯定是零。好了，这块内容不难吧啊，做了很多了啊，所以说这个部分呢，它不对。那第三个事情还要进行干嘛检验这个人的可为性？

只有可微的时候，全微分才会等于x偏导数d sy的偏导数dy。所以我们要怎么办？我们要写出这个错差式定义。这没什么好打点的，那做了好多遍了，然后接下来我们就继续，我们再看第一步写出这个做差式定义。fx y减去f零零减去s偏导数再乘上sy的偏导数乘y比上这个根号。这个结果那么现在这个偏导数是零，这个偏导数是零，这个人是零。那么所以说这个f sy这个结果是什么呀？再看这个部分。嗯，

你这个。是不是忘完了，要不然就没有没有听过啊，你自己再看看，我原来跟你讲过二重极限没有接的感觉，没有接的感觉。我讲了N多遍没有戒的感觉。二重极限是没有阶的，我上课还讲过上面是五阶，下面是二阶，最后还是不存在呢？知识点一个一个的从脑子里面一个一个的蹦出去了，最后什么东西都留不下了啊，好了，然后接下来我们看看这个部分。

啊，就这个部分。对吧，这个部分，然后带进去，带进去了之后就是这个部分，你再除以它这个部分带进去了之后就是这个部分。好，可以吧，然后接下来把它除下去。除下去之后，那这个人就可以等价无穷小S呗。来，我们来看看。那么，

下面这个人是几节啊？下面这个人是个三节，这也是个三节，所以说是个同比次方数。同比次方数肯定怎么办？不存在为什么你可以进行去取y=ks。你取y=ks的时候，你上面这个有个k，下面有个k，它跟k有关，那肯定不存在，你不存在不为零，那肯定不可为呀。不是说不存在不可为，是你不为零而不可为，

你不可为就不对答案，选几选c哦？这套卷子这个判了还是没判呢？有没有判呢？判了吧，这套卷子应该判了啊，上套卷子不是吃亏了吗？上套卷子没有判出错了，应该要判的啊。你不要在那凭着感觉来好，我们再来看21题。那这个题啊，那首先我们看无条件机制，你先看这个点附近，这不好看，

所以定义法不好来。所以我们就来求一下这个s偏导数，那前导二倍的e的2s，然后后面不导。然后再加上前面这个人不倒，然后在后面来倒，那后面来倒是几啊是一。然后再来看看这个y的偏导数，那前导那前导这个前面的话，这个就没用，那就是1e到2s直接后面来导，那就多少？2 y+2。好，这个结果那么现在上面这个部分呢，

你最好把它进行整理一下，一整理的话就是2s加。加上2y方，加上4 y+1，你让它等于零。好，我们需要进行去解嘛，不需要我们只需要检验。而且你检验的这个部分应该是让这个人等于零和这个人等于零。你检验一下吧，你把二分之一。还有这个什么负一代进去，是不是注点呢？当然是注点，你带一下吧，

它就是注点，那就是注点的话，接下来我们就要来看你，还要进行求二阶。那二阶偏导说我就不求了，我问一个事情啊。你做题的时候要会做。你看你把这个东西代进去等于零。所以说在这个点处，这个式子本来就等于零吧。这个点处这个式子是不是等于零，所以现在我们要进行求x两阶xy的混合，你自己去求啊。大家想想你求的时候来往第一个人里面呆。往第一个代的话，

你看这一项是不是就等于零？为什么呢？因为我们这是重点，它就本来就满足这个式子，所以前倒后不倒的这一项，它肯定是零，你只有往第二项带。所以它就等于二一。然后再来看看这个带的第二个人当中，你求b你求b的话，这个部分是多少？这部分负一，所以它是零。然后c是多少呢？c又是2e，

所以说b方减AC它是小于零，而a又大于零，它是个什么值？极小值，而且你还要把这个极小值带进去，你看看到底是多少？带进去，你带进去了之后啊，你看是是选b还是选d？好，这个题我们不讲了，可以吗？啊，自己去做，你想清楚怎么做就行。

来继续吧，我们再来看。你在说什么呀？这居然是无条件机制。你看这个附近不好看呐，关键。你看这个附近这个怎么看呢？不是说行不行？不是说每一个题的话，它定义法都能判，你如果能看出来它的附近，那就看出来了，你看不出来的话，你问怎么看？那还是看不出来，

那看不出来说我怎么办？那看不出来呗。如果这个题你看不出来，这个是无条件禁止，那更有问题啊。来，我们再来看看22题。继续那这个题考了什么？他说所有代数余子式的加和这我上课讲过的问题。对吧，所有的第一行，第一个第一行，第二个一是是第一行，第五个。然后是第二行第一个，

第二行第二个一直是第二行，第五个是第三行第一个。第三行第二个，然后加到第三行第五个，这上课讲过的啊，然后最后加第五行第一个。第五行第二格，然后一直加第五行第五个。好把这些人加起来。那我现在来看看下一个问题，你再来看。那第一个部分，你算这个就非常简单了，这是这一行代数余子式的线性和这一行代数余子式线性和就把这一行全部换成它的系数一。两行成比例等于零。

然后你算这个的时候，这是第三行代数，余子式线性和你就把第三行全部换成一。然后这两行成比例又等于零，所以下面都是零。好，这个很简单，所以我们只用算第一个，第一个的话就把第一行全部换成一。全部换成一，所以我们的核心重点只需要算这个部分，那么接下来我们就把这个行列式来计算一下。就来算一下这个行列式。那这个行列式的话，我们用这个什么第一行小？

你消掉的话，你怎么去消呢？你减去上面的2倍呗。是吧，你减去上面二倍，减去上面二倍，减去上面二倍，然后减去一倍，减去这个把这个部分消一下。我们大致的看看行不行？我不写了，因为的话这个有点浪费时间了。可以吗？没有问题啊，把某一列的话，

你消成零，然后就可以进行展开了，是常规操作嘛？所以现在我们来看，我们就按照第一行为基准。第一，行为基准，然后把这个诶，这个行为是。粘过来可以的吧啊。然后接下来我们来计算一下这个行列式。这个行列式的话，你发现都是一减去一倍，减去一倍，减去一倍，

然后这条线都是一剩下的都是零。所以说这个结果就变成了这个样子，变成这样了之后怎么办？你再来看我们这个时候就可以按照。嗯，按照这个最后这一列进行展开，对吧？你按照这个展开，按照这个进行，展开了之后的话，其实就是这个。代数，余子式。那这是第一行的第五个，按照最后一列展开，

就一再乘上代数余子式，所以这个结果出来了。好，这个题啊，我们就说到这。行吧，听明白了给我回复一吧，你知道怎么操作就行。啊，这是一把这个一干掉，留下这条斜线，然后再来展开。好，这是讲的这个题，这个题很很常规很常规了。

对吧，这是我们强化了，冲刺了，我们都讲过这个题，所以这种题已经做烂了。然后继续我们再来看看这个第23题。来再看这个题目。那么这个题啊，它当中让我们去求什么，让我们去求解这个逆矩阵，那这个逆矩阵呢？这个逆矩阵的话，它就可以这样有一个伴随，可以结合一个a。那伴随结合一个a那留下一个行列式，

那这还有一个a，然后这是个逆矩阵。那么现在我们就要算这个行列式，那这个行列式怎么算a的行列式？a的行列式，这是不是拉普拉斯行列式啊？拉普拉斯行列式的话，就是上面的行列式，你上面行列式的话就是二二减三的话，这是负一，然后下面的行列式是二，这是负二。那所以说这个结果的话就变成多少？你如果对自己特别狠，你把伴随求出来，

平方求出来，然后再算逆，这就不用考了啊，你这题还不如不做，直接放弃啊。好了，这个结果做成这样，那因此的话，这里面是负二分之一再乘上a它的逆矩阵。能想清楚吗？好，再看把这个负二除去。你要求这个逆矩阵，你就要变一下，就变成负二倍的a的逆矩阵。

好想得清楚吧啊，就这个部分，所以说就得到了这个逆矩阵，你翻一下嘛，然后得到它，那么现在我们要干嘛呢？我们要去求a的逆矩阵。那a的逆矩阵的话，怎么去求呢？我们再来看看a呃，我把这个擦掉吧，要这个答案选项放的是干嘛有点？占地方行列式。那么，现在我们干嘛呢？

我们要去求a的逆矩阵。a的逆矩阵。它把上面这个矩阵叫做b。这个叫c那么这个时候它其实就是BC啊，分块对角阵的逆矩阵就是你的矩阵，逆矩阵再乘上我的。好，我们再来看看b的逆置几阶啊？二阶特别简单，用行列式，所以它的行列式，然后再是伴随。行列式是几行列式是负一，然后伴随是多少主进行调换位置，负对角线加负号，

非常好哦，这基本问题。所以负一负二三一，这特别快，所以这个结果的话就是负一三一负二，然后这是零零零。零零零这个结果。然后再来看看c这个逆矩阵，它就等于c的行列式分之c的这个伴随。这个部分，然后行列式刚好是二，然后这伴随呢主对角线调换位置，然后副对角加符号都不用调了，那么这个人就是二，这是四，

然后这是零点。好，这个结果，然后最后再在前面乘一个负二就行了，对吧？它的结果是负二倍的它。我不算了，行不行？好了，听明白了给我回复一吧，就讲到这，这是讲到23题，然后再来看看第24题。再看这个题。那么，

求解极大无关组。求解其大无关组的话，我们来看看怎么去处理呢？求解吉大部关组第一步要把这些人按照列。形成矩阵。然后再进行行出等变换。啊按列形成矩阵，再进行行处等变换。所以这个事情是非常非常容易的，那么接下来我们就把它按照拎。按照列来排，然后进行行处等变换。然后进行行初等变换了之后，我们就来进行去画出这个行阶梯。这次考我们在这块考的这个部分，

大家可以看看。我们原来讲过。找这个极大无关组。最初级的同学的水平。初级同学的水平都知道是阶梯口就可以做，其他无关组，而且你发现这个制式三呢制式三如果是四个人的肯定都不对呗。那极大无关组当中，只有三个人。初级水平什么对找切题口找切题口的话，这是第一列，第二列，第四列，这是初级同学。然后我们再来看看中级同学呢。

那我们都知道质等于三极大无关组当中有三个人，那只要找到三个线性无关的就行，那我们说每一行非零行上取非零元。第一行当中可以取这个，第二行可以取这个，第三行可以取这个，所以说非零行上取非零元。那是一二四一三四，是不是都行？一二四一三四都行，五不行，因为这块是零好了，这是中级同学水平。然后我们再来看最高级同学的水平是怎么做？高级同学是这样做的，

你想我们知道这个人的智是等于三。所以，它的极大无关组当中。极大无关组中。中有三个线性无关的向量。线性无关的向量。那这个极大无关组当中有三个线性无关的向量，我们都知道找一个三阶行列式不为零，对应列就线性无关。所以现在它这个答案里面当中有一二三一二三这个行列式是等于零，那不行。我们来看二三四二三四，我们取这个行列式。就取这个行列式。那这个行列式的话，

我们就可以按照负二进行展开零减三，反正它不为零，这个行列式不为零。对应的这三列是不是就线性无关？而我极大无关组当中，只要三个向量，这三个线性无关，不就可以作为极大无关组吗？所以我会选二三四。所以选d啊，这都是上课讲过的问题。初级水平呢啊，只知道阶梯口中级水平呢，比阶梯口的同学的水平要高一点，哎，

我知道我在什么每一个非零行上取非零元。那再顶级的水平呢，你就知道我的质是三，我只要找到三个线性无关的就行了。好了，这个问题我们就过去了，24题。然后再来看看25题。那么他说这两个东西是其次线性方程组的解。那你是其次线性方程组的解，那我就知道你满足其次线性方程，对吧？其次线性微分方程。所以就是阿尔法一，阿尔法二，

阿尔法三，阿尔法四，然后你乘上一一一就会等于零。然后继续这是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，阿尔法四，我们再乘上多少，再乘上一零一零这块等于零。所以现在我们就来看那这个部分的话，就是一二三四相加等于零。然后这块是一再加上三，它等于零。那么，现在我们来看看这个结果。

好来操作一下。那么现在这个里面当中啊，它说一和三一定是线性无关，那胡扯它一定是线性相关。二和四一定线性无关，那也不好说呀。然后说这个四一定由二三表示。对吧，四一定会有二三表示，然后一一定会有二四表示，然后三一定会有二三表示。大家想清楚一个问题啊。你注意这个式子。你看到这个诗词。这个呃，

这个式子里面当中啊，你把这个一和三你带进去，一和三带进去了之后我就会得到什么？我就会得到二+4也会等于零，所以说这块是无关的。没问题吧哎，它是无关的。它是无关，我们现在都说一能被二四。那你剃一个吧。对吧，你可以替一个。你替一个，你会替谁呢？你比如说我们这一块，

当这前面两个就排除了嘛？啊，这相关啊相关对吧？我我说口误了是吧啊？这两个东西都是线性相关不对。那么，接下来我们就继续，我们再看，然后你可以替一个你，比如说一能被二四。一能被二四的话，如果我把这个三进行去替了之后，我把三替了之后，我好像得不到二四和一之间的一个关系啊。得不到，

所以这个这个很麻烦，然后看四能不能被二三表示呢？四倍二三表示的话，如果我把这个。对吧，我得到这个结果，那四这个部分不就等于负的阿尔法二吗？然后再加上零倍的阿尔法三不就行了，哎，这个可以，然后说三能被二次表示那三根。一和三在一个式子里面。呃一应该是能被三带三这个部分的东西表示，二这个部分应该是被四这个部分表示。四这个部分应该被二部分表示，

所以这个题直接答案选d。想得清楚吧，因为你看一的这个式子里面当中是永远都不会有二和四，所以这个c选项不好说。然后这个三这个式子里面当中也没有二和四，所以一这个选项也不好说，你能唯一进行去选择的应该就是d选项。好，这是25题。可以了吗？我们就讲到这来，我们继续，我们再来看看下一个题啊，下面这个题啊，非常有意思。

那么他说了一个事情，他说。abcd啊，互不相等。互不相等的话，我就直接来看这个部分行列式。你就直接看这个部分行列式是eaa方ebb方ecc方，这不是个范德蒙吗？范德蒙的话就是b-a。c-ac-b，那这个部分两两不相等，这个就不为零了。那大家告诉我，你发现这是一个最大的不为零的行列式吧？最大的不为零的行列式的阶数就是这个矩阵的值，

所以说它的值只能等于几啊，只能等于三。这就是最大的不为定好的，是质等于三。那质等于三，我们现在来看看第一个事。第一个事情的话就是你的质是三。三但是你的列数是几？你的列数是四，所以小于列数，这个应该有非零解。然后再来看第二个转置一下呢，转置之后的这个列数是多少？转置过来了之后，这个部分的列数应该就是转置的置，

就会等于a的值。然后你转过来了之后的话就有三列，它就等于这个三。所以说这个只有有什么只有零解，它又不对，而我们都知道这个a的转置。乘以a的值，就会等于a的值，它等于三，然后我们再来看看a的转置。乘以AA的转置是多少？是四×3。然后这是多少三×4，所以说最后的结果是四×4。因此，

它应该是小于这个列数是四，要跟列数比，所以它有非零解。然后再看a×a转，它也等于a的值，它等于三。然后现在的话，我们就来看看a选AA转a是多少三×4，这是四×3。所以最后的结果是三×3，它应该跟它的列数三进行比，只有零界。那么，这个部分没有无解，不可能。

其次，线性方程组一定有解答案。选c这个题很有意思，一看就是我们三九六同学的味道。你看难也不难，对吧？难也不难。就是我们在这个操作的时候，一定想清楚它到底在干嘛？我的终点点就是求解这个值，然后跟这个列数进行比啊。好了，这是26题，能理解吧，也没有特别难啊，

对吧？很有巧度的这种题。那么，接下来我们继续，我们再来看看27题。这个题再看这个题。那这个题他说这个方程组有解。所以在这里面，他只是玩了一个骗子，你要把这个部分求出来。它尾缀这个向量是多少？而k被它那2 k+1，然后这是k+3，然后是3k减去个一，你写成这样。

那么，写成这样的话，这个非其次线性方程组啊，它这个尾缀这个部分就是它。那么他说有解我就怎么办？我就要把a和这个部分摆在一起，想得清楚吧，就把a和这个尾缀摆在一起进行去变换。所以现在我们这个部分呢，我就不变了，把这个a和这个尾缀部分摆在一起。摆在一起，先把这两个部分变成零，然后得到这个部分，再把这个部分变成零啊，

再把这个部分变成零，得到这个部分。他说，我们之间是什么有解的，有解系数矩阵的质是二增广矩阵的质也类是二，所以这块等于零。因此这个k啊，它只能为负二，所以答案选几选d听懂意思了吗？好了，下去把这个方向想清楚，这个题不难，不是普普通通的常规题，只不过怎么呢，稍微绕一下绕一下，

有些同学就窘然不同了。就绕那么一下，就说这个尾缀怎么尾缀这个东西啊？要稍微的变一下啊。这题不难呢。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看28题啊，这个题。这个没有绕啊，这都没有绕，这跟绕不绕没关系，你自己想清楚这个问题到底在干嘛？来看28题。他说一这个方程组的解均为二的解。

什么叫做一的解都是二的解呢？一的解都是二的解的意思就是你把你所有的解解出来，得满足我这个方程。而这个方程组的解是能解出来的呀，我们先来看看第一个。这个方程组的解，那就是一二一二三一。那么现在我们就怎么办？这跟联立不一样。联立不对。联历是公共节。那就是胡做，那做错了，那叫运气好，那不叫水平点高。

那胡作。你的姐都是他的姐。它的解如果也能是你的解，这叫同解。联立那叫公共节，你这这这运气太好了，然后这是一二一。然后再看减去二倍，减去二倍的话，这是负一减去二倍，负一二倍，加上去是零。二倍加上去是负一，所以就变成了这个部分。现在我们来看看。

那所以说这个部分的所有的解呢，它所有的解应该是k倍的来赋值负一。负一的话，这个前面就是一。负一的话，这是负一。那么，这个题为什么这样考呢？考这个点呢。一个比较好的一个事情，就是我们已经好长时间没有解方程组了，你没发现吗？但是解方程组是我们在考研当中的必备的能力，我们已经很长时间没有解方程组了。我们更多的考研这个试卷当中啊，

它都是判定这个方程组，你没发现吗？好长时间没有解了，你自己琢磨琢磨。我们基本上都是判定求一个质就行了，你解方程组已经好久没有解了。所以这个解方程组的这个能力啊，你也得注意。然后他说我的所有的解都是你的解，那我就可以把这个带进去。因此这个题啊，我觉得出题的点呢？一个方面的话，就是解方程组，另外一方面的话，

这句话到底什么意思？难也不难。所以现在你这个部分的解是多少呢？它这个解。它的x1是kx，二是负kx 3，这个结果也是k。好了，你的所有的姐都是我的姐。带上去，带上去了之后我们来诶，这非其次是吧？拉倒哦，是非起词来曾广振。增广镇的话就是一二一零。

二三一负一那拉倒，这这做做半天的没啥做的，对吧？一零。减去二倍。负一负一，这是负一。二倍加上去变成零。二倍加上去变成负一二倍，加上去变成负二，然后这块变成一一一。那么，接下来我们继续来操作。那么，接下来我们就来继续去求解这个部分啊。

来解一下这个部分。解下这个部分的话，我们来看看。首先这个s啊，是一个基础解析，里面只有一个向量，你给这个负你负一，你负一的话，这是一，这是负一。还有一个特点。特写的话，给它负多少？给它负零。那负零的话，

这块就不看了，一倍的它等于负二一倍，它等于一，所以这个结果做成这样。那么做成这个样子之后，它就是多少？它是k- 2，这是负k+1，然后这是k。哎，做成这样，做成这个样子之后，把这个东西就可以带上去了。那带上去了之后就是a倍的多少k- 2？然后再加上b倍的一减k，

然后再加上二倍的k，这个结果它等于二。那么，现在我们来可以把这个东东西啊，稍微整理一下。这一项的话，它永远都是零，无论k是多少，它都得是零，你就可以把k的这个系数整理一下，它是a。再加上个多少呃a，再减去个b。加上个二，然后常数项是多少？

是b- 2 a=2。这项永远都成立，你说无论k等于多少k，无论怎么变换，它都成立，无论怎么变化，都都得成立，你一直在变换，你必须要让这个系数等于零。这个系数等于零，它就等于二。所以这里面当中的第一个事儿，它就是零，然后b- 2a，它是二一解就出来了。

所以答案选几啊，这个题很好。很有意思。没有这样出过。我们考题里面当中都没有这种题。所以这个题他在操作的时候什么意思？什么叫你的解都是他的解啊，注意这个这个很有可能会出啊，好注意一下。不要再说落下了，我刚才是没说话吗？还是怎么了？刚才那句话又过滤过去了。落起来肯定不行，落起来叫公共节。

无法保证你的解都是他的解行向量组等价也不行。那是同解的问题，同解是你的解都是我的解，我的解还得都是你的解呢。好了，自己下去好好看看啊。然后接下来我们继续，我们再来看看第29题。来最后七个题。那么，首先我们先看第一个题。啊，第一个。他说，一枚均匀的硬币值三次，

第一次正面朝上。然后是正面朝上最多出现一次来，我们来去求这个。这条件概率吧，条件概率就是PB分之pab。好，我们先看第一个。PB怎么算？最多出现一次。要不然，正面出现一次。要不然出现零四。直了三次，这个东西叫什么？直落三次，

每次相互独立二项分布吧。所以就是。啊，值了三次三次，里面取一次，每次成功的概率是他一。失败的概率是它而。三次里面取零次成功概率是二分之一，零次方失败概率二分之一，三次方。一算出来了。然后再来看看pab。那pab是什么呢？那就说正面最多出现一次，而第一次就是正面，

正面朝上，那告诉我它是什么？那第一次肯定是正面。最多一次，那说明后面的话只能是什么？只能是反面，那就是正反反这个顺序已经规定了。对吧，第一次正面二分之一独立的，第二次反面，第三次反面就是这个结果。所以把这两个东西一除，它就出来了，这题不讲了，可以吗？

来继续再来看下面一个题。好再操作这个题。那这个题啊，完全就是套公式了，套这个概率公式。那这个概率公式的话，我们来算一下这概率。它就等于p什么a+1个b拔。然后上面是b进行去交交这个什么a+b把。哎，这个结果，然后接下来我们来计算一下。这个用一下乘法公式呃呃，这个加法公式a的概率b拔的概率，然后再减去AB拔的概率。

然后上面呢，上面部分的话就是AB。再加上b和b把。大家告诉我b和b拔相交是空气吧？空集跟任何进行去并，它都是这个什么？它跟任何人进行并都是pab，所以说最后的话就是PA。然后这是PB吧，再减去pab吧。好了，这个结果就算成这样，算成这样的话，我们要算PA bab吧，那pab怎么算呢？

你算一下这个，它告诉了AB吧，就是a-b就是a的概率减去AB的概率。然后这个AB拔，这是零点五a的概率是零点七，那这一块就是零点二，所以说这个上面这个部分呢，它就是多少？这是零点二a这个部分的概率是零点七，然后b拔的概率是多少？是零点六。然后这个AB拔的概率多少？零点五一算就出来了。好，这是我们讲的这个30题啊，

这个题也不难，可以了吗？来继续，我们再来看看下一个题。这个题啊，就是仿制这个去年的考研真题在出的，那这个分布函数在二分之三出的值。它就等于这个小于等于二分之三的概率。小于等于二分之三的概率啊，我们继续去求概率密度函数。不是锁极限。这是想差了，不不不，是不是不是？呃，

你可以这样呃，小于等于该点值小于该点走线可以可以可以，你说转到这儿是吧？但这是概率密度函数，你算吧。那算的话，我们就来操作。那这个是零到一，然后是一到二零到一，那就是零到一的时候对s级。然后是一到二分之三的时候，对于二减x极。其他是对顶级是不是就出来了？好，这个题我不算了，

你自己算一下这两个积分都非常非常的简单。好，31题。然后再来看看32题概率还好吧。来这仨三个不同的正态分布进行去比较，三个不同的正态分布比较一定要化成同一个。2 x- 1比上，它服从n零一。然后接下来的话就是y+1。比上sigma服从n零一这同一个分布，然后这是z- 2比上sigma服从n零一。好，这个结果那么现在这个部分我们就可以做了，第一个概率是多少？第一个概率的话就是x怎么办？

你要减去个一比上sigma，那就小于等于负的多少？sigma分之二。然后接下来我们就继续再来看第二个。第二是什么呢？是y进行加上个一比上sigma要大于等于多少sigma分之二，然后再来看第三个。第三个的话就是z减去二比上sigma，然后小于等于多少负的sigma分之二？然后现在告诉我你n零一，你n零一，你n零一，那你们三个人的这个概率密度函数是不是一样的？所以说接下来我们就来看。所以说这三个人的概率密度函数啊，

它是一样的。那概率密度函数的曲线都是n零一的概率密度函数曲线，那么现在我们看它小于负的sigma分之二。第一个部分就是这个部分的概率，第二个部分是大于sigma分之二就是这个部分的概率，第三个部分也是这样。因此，这三个它就是相等的关系啊。所以答案选，几选a？好，这是32题，我们再来看33题。好继续，那么告诉了s1的分布率s2分布率，

然后又告诉我这是几个人的事情，俩人的事情。两个人的事情找联合一个人的事情看边缘。那所以说这是负一零一，然后这是负一零一，然后把表盘画下，这是四分之一。二分之一四分之一四分之一二分之一四分之一。那么他说，两人相乘，两人相乘的话，我们看看有哪些位置。俩相乘的话，这个位置，这个位置，

这个位置。相乘这个位置，而这些位置的概率已经是一，那说明剩下的位置的概率，它必然都是零。那都是零的话，横向一加四分之一。横向一加四分之一，横向一加四分之一，竖向加是零，竖向加四分之一，竖向加四分之一。那么，现在说x1要比s2小。x1要比s2小的话，

你看这是负一负一比零小。负一比一小。零比一小。没了哎，这个后面就没了，所以说最后的答案是几选c。好了，这是33题，我们再来看34题。这个那这个题呢？他告诉两个人相互独立，那相互独立。乘积的期望就等于期望的沉积。所以我们就来进行去计算第一个人的期望。那第一个期望的话就是负无穷到正无穷，

用x乘上x这个部分的概率密度函数的积分。所以其实就是如果是从零到一用x乘上x的几分，然后是一到二用x乘上二减x的几分。这个部分第一个我不算了，第一个自己算，然后再来看第二个，第二个是负无穷到正无穷。用你的自变量再乘以你的概率密度函数的积分。好，所以说它的有效段只有五到正无穷，因此用y，然后再乘上e的负y。然后再加上五这个积分。呃，这个题要做的巧妙一点，

有同学可能把这个题做的非常的复杂了。他把这个五次方啊抛出去了，你可以啊，你可以是ye的ye的五次方抛出去，然后分布积分法是可以的。也能出来分布及分法，没有任何问题，能不能做的更快一点呢？你看这是五到正无穷，然后这是y1的负的多少y- 5？dy哎，我眼神稍微瞅一下，这是y- 5，你这是五，所以我就在这块儿，

我换一个圆，我另什么令y- 5=t。我一换的话，这就是从零到正无穷，然后y是五+te的负tdt，所以说这时候就是零到正无穷。五倍的e的负tdt，然后再加上零到正无穷t倍的e的负tdt，这什么？这伽马函数推论吧，好五出去。那这是t的零次方t的零次方就是零的阶乘。然后这是一次方，其实就是一的阶乘那五的零的阶乘的话，这是一呀，

加上一，所以这个求出来等于六。可以了吧，所以这个题你把这个一算，这个一算一乘就行了，自己算哦，我这个第一个就不算了。好了，这是我们讲的34题，再来看最后一个题，35题。来看这个题。他说一个袋子当中啊，装了五个白球，两个黑球。

五个白球，两个黑球，从中每次取一个球。取到黑球就放回。啊，取到黑球就放回。呃，就放回去，然后取到白球就停止。就是第一次摸到白球就停止。那大家想想。我们就来算一下。假设d case。摸到白球。d case摸到白球，

请告诉我摸到白球的概率是多少？这个k是从几开始啊？是dk是摸到白球那告诉我，所以这个k是多少呢？好了，现在不要再说是不是二项分布你先听啊？不要为啥人家就是几何分布，你问为什么是二项分布？最少从几开始对，最少是一二三，有可能一直都摸不到。这没问题吧，来告诉我这个分布怎么写？假设d case摸到。摸到白球。

而且大家想想，每次独不独立啊？啊，每次独不独立？独立还是不独立？那说明前面都是摸到黑球嘛。你前面都摸到黑球都放回去了，每次都是一样的，对吧？你前面都是黑球放回去了，放回去了。你想第一次摸，摸到前面肯定是摸到黑球啊，前面是k- 1次黑球。k- 1次黑球。

那第一次摸到黑球放回去了，第二次摸到黑球放回去了，那说明每次摸到的黑球一样不一样。一样的呀，每次都是多少？每次都是七分之二。什么是七分之二的k减一次方？是吧kk- 1次方，这保证了前面都是摸到了黑球，最后一次摸到什么球？最后一次，一定要摸到白球，这是七分之五。然后这就是k从一二三一直下去。好了，

这个结果。很多人说那只有前面吧，没有最后那不对。你要保证什么呢？保证前面是。好好听课，对吧？一会儿前面都是什么呢？都是黑熊。然后最后一个部分是白球。啊，最后一个是白球。那最后一个是白球，你必须要保证是白球，白球你一定要产伤，

不然的话无法保证。大家想想，这就是什么呀？这不就是我们上课经常讲的，你看s=k。然后是一减p的k减一次方，最后是kk从一二三。所以说这个x是服从什么？服从几何？分布参数是多少？七分之五。服从参数为七分之五的几何分布，那它的方差是多少？学生都不记得了。都不说别的。

有同学这个说为什么为什么你写出分布率什么都看出来了？你把分布率写出来之后，不就看出来了另外一件事情，要想硬算。这个题啊，如果没有看出来是几何分布，你是做不出来的。因为这是一个无穷级数的题。要注意哦。就这个题，你就算把分布率写出来了，你没有看出来是几何分布？没有看出来是几何分布，那同学们告诉我这个题也是做不了的，你都想到几何分布，

忘了怎么去求方差公式法求方差。是一个公式，好家伙，那看来这次考试非常的有意义啊。是吧，相当有意义。好，这个所以不是说让你去，怎么求你如果进行去把这个分布率写出来，你没有看出来是几何分布，你不会做的，这不在我们三个九六的考纲范围内。你做不了，但是这个题在我们的考纲范围内，它没有超纲啊。

要是应着算的话，就无穷级数了，那等于多少期望是p分之一方差是p方分之一减p。那所以说其实就是七分之五的平方，然后分之七分之四一算出来。p方分之一减p。它不是二项分布。不是，你以为你写出来，你再来看是不是二项分布，它不是二项分布。好了，这个题啊。你看这个点。多一点点他就超纲了。

对吧，多一点点就超纲了。扣不住这个题，肯定做错。这就是这个题目的特色。所以你看这个35题啊，是一个很好的一个题啊。你再多一点，它就变成了无穷级数，这不是我们考纲范围内的题。所以在出题的时候啊，我们肯定是得控制一下啊，一减七分之二。好了，这个题啊，

自己下去好好看看吧嗯，把这个题目自己。去做一做这个第三套卷子，质量还是可以的，你下去把自己出错的问题啊，好好进行改一改吧，好了我们就不说了啊，一会儿我七点钟还有一节课。所以你们自己下去把这个相关性问题啊，好好处理处理啊。呃，这是今天的问题，把这个错的题啊，一定要好好改过来，然后有可能不是一个题的问题，

有可能是一堆知识点的问题，你就得把这一堆知识点呢，你再得系统的复习一下。所以不要每天的话，这个状态也很重要，但是每天说啊，该怎么办怎么办怎么办，复习去啊，出错了。你能把这个知识点捡回来，那就太棒了。你至少比这个你上了考场，你看不出来是几何分布，那要强太多了呀，你上了考场最后一套卷子，

人家是个几何分布？你没有看出来是几何文部，那不就崩溃了吗？至少我们现在还能看出来是几何分布。虽然从这个什么这个上午的时候没看到，你现在不是看到了吗？最后一场考试，你把它做出来就行。好，那么今天题目我们就讲到这第三套卷子。那么下次我们就是第四套啊，我们就完成了一半了，所以这个时间呢？还还算还挺快的，我们应该是在12月初吧，

我们就能把这八套卷子全部讲完了。啊八套卷子，所以原来的话，很多人催你也不用进行催啊。你看到了这个阶段，你进行做刚刚好。因为你把很多同学的话，把这个强化，又复习了一遍，然后把这个呃冲刺班的讲义复习了一遍，把很多东西复习了一遍，你现在再去做。你感觉是刚刚好啊。呃，当然的话，

你大脑当中不能空空如也，什么东西都没有的话，你再进行去做这个题，你确实啊呃，有点难受。这套卷子讲完了之后，我们还有四个小时的点睛课程。那四个小时的点睛课程，其实就是两节课，一节课的话，我会给你去串这个高等数学，那还有一节课，我们会串这个线性代数和概率论啊，这个部分内容。那么串完了，

但是你不要把所有的希望都放在串讲。串讲是你很多东西啊，哎，学的还可以，我帮着你再串一遍，让这个知识更稳固一点，然后在串讲的时候有个别的知识点，忘了你还能减一减。有同学说串讲。你要是数学四个小时，所有的问题你都能把它呃学完的话，那那这太夸张啊。好了呃，这个磨完了之后还有这个。还有我们最后的话，

那个四个小时，然后的话，这个今年的话，所有的这个数学课程呢，基本上就全部结束了。然后剩下最最后一次是我们在你考前那天晚上有一个半个小时的考前叮嘱的课程。就给你们讲讲，然后第二天的话，这个考试一些注意事项，那么剩下的我们就可以上考场了，所以我觉得这个今年呢？这个呃，该做的东西啊，你应该做的还是挺稳固的，最重要的问题的话就是你消化的问题了。

你做的东西已经很多了，你最后的话，脑子里面啥东西都留不住，那可没有办法，得多复习多复盘啊。好好复盘好了，那么今天课程呢？我们就讲到这下去，把这个相关的问题啊，好好处理处理好吧，同学们好，下次课程见吧。

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