22.【加餐】冲刺串讲21-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:10:05

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测试声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。呃，上午的过程当中，我们刚好讲完了这个二零二一年的这个真题套圈，然后这个今天下午我们来把这个。呃，其实就是上次过程当中还剩下的一点东西啊，

把它讲完，然后这个今天当中啊，有几个事情呢，一个事情就是我们线性代数的后半程。里面当中啊，有一个线性表出，还有这个向量组的表出，向量组的等价，还有这里面当中的方程组的和同解的问题啊，同解和公共解问题。把这几个知识点讲完，我们线性代数啊，就全部结束了，应该是全方位无死角的结束了，所有的东西我们都讲完了。

然后这些东西讲完了之后，然后高等数学当中啊，还剩下一个经济学应用，还有中值定理当中啊，需要注意的几个点，我们把它给点拨一下。然后到了这个概率论呢呃，当中还有几个问题，一个事情呢，就是这个。就是这个最大值和最小值分布的问题，对吧？最大值分布和最小值分布问题，还有这里面当中，比如说我们讲的这个。

这个一为随机变量连续性的问题，它的函数分布好了，那么接下来我们就正式开始吧。好吧，同学们呃，这个今天啊东西不是说特别多，那马上要讲的这个部分东西稍微的会难一点点。啊，稍微会难一些，把这些东西讲完了之后，然后接下来我们就转啊转，战到下面一个版块内容。好了，那么接下来我们就继续吧。啊，

刚去理了个发啊。理完发刚回来，然后我们是第一节课，然后这个下午我们上完了之后，后面还有一个数一数二数三同学的真题课程。晚上还有一节课程啊。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个问题。呃，在这个上次过程啊，我们其实比较难的，应该是这个版本矩阵方程啊，稍微再串一下，那这个矩阵方程的话，

第一个事情。矩阵方程解的判定，还有矩阵方程的求解性问题啊，这都是重点，那矩阵方程怎么解呢？他这样做。就说我给了一个矩阵方程，我把这个s啊，我们写开把这个b啊，我们把它写开，写开了之后你发现看我先进行去解这个s1。那s1是谁呢？s1就是as=b一的解，我把这个解解出来，解出个s1解出来s1了之后的话，

我把它填到这儿。然后接下来我们再进行去求什么，求解这个as=b二啊，解这个人解这个人之后我们解出s二把这东西啊，放到这儿，这就是s。好了，这个问题点呢，我们就讲到这，所以你要发现这个事情，这个矩阵方程呢，是如何进行去求解的啊，这都非常关键。好了，那么接下来我们就继续，

我们再来看看这个下一个问题啊，继续还有这个解的判定，那这个解的判定呢？有两个事情。一个事情是用质，一个事情用行列式用系数矩阵的值和AB摆到一起的大增广矩阵进行比。如果不相等，没有解，如果这东西相等，然后这个列数啊，等于n对吧？这个质等于这个列数。那你会发现是唯一解，如果小于呢？无穷多解也可以用行列式，

如果系数矩阵是方阵，可以取行列式。行列式不为零，为一解。行列式这个东西怎么办？等于零是无解或者无穷多解。所以这个解的判定呢呃，反而更重要一点，因为我们其实这个三九六的题啊，你发现这是两分。的一道选择题，所以没办法进行去出这个非常繁杂的这样的一个矩阵方程的计算，所以说大部分考题啊都落脚点在这儿。哎，这是你要注意的。

好了，那么接下来我们就继续吧，我们来开始看一下这个今天部分内容，那么今天的话，第一个重点就是线性表述。啊，这个知识点呢？高频重点。非常喜欢考。线性表出那线性表出有两个问题，一个线性表出是一个向量被一个向量组表出的问题。啊，什么意思呢？就说我这一个人。然后来跟这个向量组之间的个关系。

对吧，跟这个人的关系。一个人跟一个组的关系，那还有一个人呢，就是一个向量组跟一个向量组的关系，就是你发现看你这个向量组。然后怎么办呢？跟这个向量组之间的关系。啊，这两件事情就是一个人跟一个向导组，一个向导组跟一个向导组啊，两个问题。那么，首先我们先来看看第一个事情吧，一个向量被一个向量组标出的问题。

那这件事情我们稍微进行去理解一下啊，一个向量被一个向量组表出。那么，其实有些同学估计的话，这个我们之前都串过一遍，我们先来看看吧。你发现在这里面当中啊，给了一个飞行方程组。对吧，给的这个人假设你发现这个a呀是阿尔法一阿尔法二阿尔法三。可以吧，好这个人。你看这个a的，这个人的列向量组a的列就是阿尔法一，阿尔法二，

阿尔法三。好，这个问题那么接下来我们来看看这个方程组的解假设，你会发现我这个方程组啊，你听好了。假设这个方程组有一个解是x1x2x3。那这个时候我们就乘开，乘开了之后的话，是不是就是x1倍的阿尔法1x二倍的阿尔法二？l3倍的阿尔法三等于贝塔。是不是这个事情？那你想如果你的解是多少呢？你解释一二三的话就是一倍的，它二倍的，它三倍的它。

等于贝塔是不是这个问题，如果你的解是四五六的话，你发现这四倍的它五倍的它。六倍的它等于它。如果这个东西没有解呢？没有解就说明这个东西是没办法被写出来的。就没有办法被表示。能想清楚吗？所以这件事情我们就理解了。你这个方程组有解。如果这个方程组有解，不就是尾缀这个向量能够被a的这个列向量组线性表出吗？是不是这个问题？你看看这个事情就说什么问题呢？哎，

我们这个人如果有解。就说明这个贝塔能够被这个a的列向量组线性表除，而且你会发现这个解是什么呢？解就是被表示的系数。第一个对应，第一个，第二个对应，第二个，第三个对应，第三个能想清楚吧啊，这个问题你看刚才的第一组。如果这个解是一二三系数就是一二三，如果这个解是四五六系数就是四五六。能学清楚吗？好了，

这里面当中啊，我们就得到第一个问题，如果这个矩阵方程怎么办？有解。就说明这个贝塔能够被a的列向量，组线性表除。你要注意啊，这是矩阵方程的当中比较关键的一个问题，如果这个矩阵方程有解，就说明尾缀这个斜量。注意尾缀这个向量能够被这个列向量组线性表除。而且这个解就是被表出的系数。所以你看我们就得到这个问题，贝塔能否被这个a的列向量组线性表出啊，而且这个解就是表达的系数。

好了，听明白了给我回复一，这个非常重要。这件事情其实是一个基础，你只有把这个东西学会了一会儿，下一个部分才会下一个部分才会下下一个部分才会。你说这是一系列的这个问题点。好了没？如果非其次线性方程组有解尾缀，这个向量能够被系数矩阵的列向量组线性表出。而且它的解就是它的系数，我举个例子，比如说你发现这个a呀，假设是这个人。写不写哎？

假设是这个人，如果这个姐是谁呢？这个姐是一二三啊s1s2s3。那这个时候，北大被表示的系数是多少？就是这个人，所以说这个时候北大就被表示成多少？北大就等于。x1倍的你x2倍的你x3倍的你。是不是这个情况你就写出来了？所以这个方程组只要有解，就说明这个贝塔能够被这个列向量组线性表除，而且这个表出的这个系数就是什么？就是这个解好这个问题，那比如说举个例子，

如果我这个解是三四五呢？你看，这是唯一解。如果是唯一解，那被表示的这个系数不就是唯一的吗？那就是三倍的他，四倍的他，五倍的他，等于这个人。那如果这个东西是无穷多解呢？比如说你看我解这个方程组解出了一个基础解析，那无穷多解，那这个结果就变成了。3 k+1，4 k+1，

5 k+1。然后这个系数就是多少呢？系数就是这个人，你发现3k加一四k加一五k+1等于这个人。能想清楚吗？所以将来我们就明白了哦，如果这个矩阵方程，那这个非其次线性方程组有解。如果你有解，那就说明这个人能够被这个人进行线性表除啊，他的列线性表除。如果这是唯一解唯一的表除，如果是无穷多解无穷多表除，如果说没有解就不能被表除。能想清楚吧，

好了，这几个点呢，你必须把它琢磨清楚。其实这件事情立即就打通了哦，我明白了。方程组有解就说明尾缀的向量能够被这个系数矩阵的列向量组线性标出。是吧，不就是一个向量被一个向量所表出吗？但是你发现有的时候我们考题的时候喜欢怎么考，我们喜欢这样考，我喜欢反着出。如果这里面当中出什么东西呢？说你能否由这个向量组线性表出这什么问题啊？你怎么处理啊？你能不能被这个列向量组线性表除，

我就把这个列向量组啊，形成矩阵。那不就是研究这个方程组有没有解吗？是不是这个问题？如果你有解，你就能被这个列向量组就是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三线性标注。如果你没有解，就说明这个东西啊，不能被表出。能学会吗？好，这个问题啊，非常的关键啊。

那也就说一个向量能不能被一个列向量组线性表出的问题，其实就是一个矩阵方程的问题。就转换成了这个矩阵方程，有没有解那么同学们告诉我，我们来写理论了。如果你能被我表叔，就是我这个人的阵是系数矩阵的值到底等不等于谁呢？到底等不等于把这个加进来？如果这东西不能加啊，这个不相等，那就是不能被表除。所以说这个人呢，不可表述。好，这个问题，

然后第二件事情，如果这个系数矩阵的值。等于这个增广矩阵的值。而且你发现等于前面的列数能不能表出，表出且为一。而且为一。然后第三个事情我们再来看，如果这个系数矩阵的值等于这个增广矩阵的值。而且小于这个列数，那这个列数是几啊？这是三啊？那这个时候你发现可以被表出。且怎么办？且不为一，或者且且无穷。

好了，这个问题我们就想清楚了，所以你将来见到，如果一个向量，能不能被这个向量组表出的问题，其实就是矩阵方程的啊，这个是就是非行方程组的问题。就是非线性方程组的问题。那么，既然是飞行方程组的问题，就是研究系数矩阵的知识跟增广矩阵知识之间的一个关系问题，能想清楚吧？好了，听明白的给我回复一。把这个琢磨清楚，

那么接下来我们来看看这个题啊，这个题很有意思。这个题还会再考。啊，就这个题还会再出的。那么，首先我们先来看看这里面当中走第一条路线。他说什么？他说这三个人是线性，无关。你们是线性相关。也说一二三线性无关，一二四线性相关。那么，同学们都知道。

如果你们这三个人现行相关。那我加入一个人限不限行相关？是不是也相关局部相关则整体一定相关？你们是线性相关，而我们是线性无关。来吧，我们线性无关，加入一个人线性相关加入的这个人一定能被我表示且唯一。所以说这题的正确答案选几啊，就选d。好了，这是这个问题，能想清楚吗？好，这第一条路线，

你就这样进行研究就行了，你操作一下就出来了。那么，这里面当中当然还可以走第二条路线，你看看方法二。那么也就说，因为你们是线性无关。我们的的等于多少等于个数？研究线性相关性嘛，不就是研究这个系数矩阵的质和增广矩阵质之间的一个关系嘛好，我们是三。那同学们告诉我，因为你们是线性相关。你的痣怎么办？你加入一个人也是线性相关，

你的质要小于个数。对吧，你的痣小于四，但是同学们告诉我，它最小是多少？拟线性相关加入一个也相关的。如果相关的话，至小于个数最小是几？你想我们这一块已经能让它是三了。你最小，小不过三。对吧，你最小都小不过三，你一定是大于等于三的。这是能想清楚吧，

因为你的痣大于这个局部的痣嘛。那你小于四，这个东西不就是小于等于三吗？所以说最终而言的话，这个阿尔法一阿尔法二阿尔法三它的值。它等于阿尔法一。阿尔法二。阿尔法三的值同学们告诉我，那这个东西谁是系数矩阵呢？那这时候我们一看，哎，你不是系数矩阵吗？那你是系数矩阵，那这个东西就是增广针。那系数矩阵的值等于增广矩阵值，

那就说明as等于阿尔法四有解，有解的话你就能被我线性表出。是不是这个问题，所以正确答案选几选d啊？所以将来我们见到一个向量被一个向量组表出的问题，一定可以把它的质的关系写出来。然后通过质的这个方式啊，进行去研究也都是可以的。好了，听明白了给我回复一吧。你看不就是这样吗？你的质等于你加进来一个人质，那就系数矩阵的质等于增广矩阵的质啊。好了，这是幺四七这个题，

那么接下来我们再看看幺四八这个题好跟着我写啊。那么，这个前面当中啊给的三个向量说这个向量不能被它表示来告诉我第一句话得到什么，第一句话得到。系数矩阵的值。不会等于增广矩阵的值。没问题吧，它不相等。如果相等的话，这个飞行方程组就有解了，你就能被我表出了不相等，然后这个东西能由它表出说明系数矩阵的值。然后怎么办？等于这个什么等于这个增广矩阵的值。好，

这个问题那所以说这里面当中这两件事情能得到吗？你通过这句话先转一下方程组，立即写出这句话。能写出来吗？你必须要会写啊，你这一下就转出来了，你是个冲刺班同学。可以吗？好了，那么接下来我们来看看这个问题，大家想。我问一个问题。你做不相等，简单还是做相等简单呀？当然是在这里面当中做相当简单。

因为相等的话，你发现这两东西相等我们先租。做出满足相等的，然后再进行去看看这个东西，满足它不相等的。所以现在我们就要进行去研究，什么研究这个问题？你研究阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三和贝塔二。但是一会儿还要研究这个背带衣，你就把这个背带衣也放到这儿。想清楚了吧？好，这个问题。

那么所以说这个时候我们就把这个写了幺二幺。二三a，然后这是多少1 a+2，然后这是多少？这是负二一负一，这是a。然后这个时候诶，把这个写后面去，把这个是一三四一负1a。我们先重点研究前面三个吧。反正质嘛，求质就一起来变。然后接下来这是一二一一一减去二倍，减去二倍，减去二倍，

减去二倍，减去二倍。减去一倍a- 2。减去一倍负三。一倍3 a- 1。好了，这个东西就做成这样了，那做成这样了之后，我们再来变换一下。你看第一个一零零，然后这是二负一。把a- 2倍加下来。那这个人是零，然后这是一，然后这是a，

把这个a减一二倍。把a- 2倍加起来。那所以说就是a- 2 a- 3那一三得三，那所以说这个部分的话就是多少呢？这个部分是a- 3。a+1。好，这个问题，然后接下来我们就继续，我们再看这个第四呃，第四点幺幺把这东西写下去的话就是a+1。然后这是一，这是负三，然后这是负3a，加上六。

然后再加上a- 1，所以说这是负2a怎么办？加上五。负2 a+5。好，这个结果。那么，现在我们要进行去瞅一下，你现在怎么办呢？你要让这个系数矩阵的值。对吧诶，这是系数矩阵的值，你要等于这个增光矩阵。那么我们就要来看看第一种情况。你告诉我这条线敢不敢下来？

不敢，如果下来了之后的话，系数矩阵的值。这个值它确实能等于这个值没问题。但是你发现。我不看这一点了。那这个时候的a的值也会等于a贝塔一的值。你想是不是？如果这条线下来了。a的质是三。a和贝塔二的知识三。a和b大一的质都是三，那这些人都会是相等的，所以他不能下去。不能下去的话，

这条线只能横过来。横过来横过来，而且你发现我要让a的值等于a和贝塔二的值，那说明这条线依然横过来。那就说明什么，说明这个a呀，只能等于负一。只能等于负一，那么接下来我们来检验一下，等于负一的时候，等于负一的时候，你发现这个人的痣是二，这个痣是二。然后不看这一点了，那这个部分下去，

它等于三。哎，刚刚好，所以综合而言a就是等于负一。好了没？同学们听明白了，给我回复一，这个很简单哦。会分析了吗？就是目之所及的地方，要讨论你，这是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三。你不能下来的，

你下来这三个人都会相等的。你只能横过来。啊，然后再去检验检验这个人。好了，这是我们讲的幺四八这个题，你别说这个题啊。这个题现在考给我们行不行？也是可以的。这个题也可以考给我们现在。你就考考，我们现在考一道什么题，你就考一道选择题怎么了？这个题非常好，这个题啊，

标成重点题。啊，下去看看。好了，这是我们讲的这个第一个问题。非行方程组，我再来强调一遍，那么同学们告诉我，如果见到一个非行似线性方程组。你会想到什么？别人只看到一个方程组，而你看到的是这个人能不能由这个人的列向量组？线性表出，而且它表出的系数就是谁呢？表出的系数就是这个解。

能想清楚吧，表出的系数就是这个解。好了，这是我们讲的这个第一个事情，非计算方程组。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看第二个点，一个向量组被一个向量组线性表出的问题。那这个问题啊，可能会稍微的难一点。啊，如果我们再考研考，更多的是理论上的分析，求解的部分呢，

可能会少一点，就跟去年的考题一样。那去年考题当然没有考到这儿啊，去年考题考了一个矩阵方程，然后接下来我们来瞅几个问题，你看什么是矩阵方程？我们来分析一下矩阵方程。要解矩阵方程，第一步先把这个x写开，对吧？写开把这个b也写开。那这个时候你会发现，你看这就是矩阵方程，而我们都知道矩阵方程其实是两个飞行方程组，一个飞行方程组的话是as跟be。

一个方程组是as跟b2。是吧，两个飞行方程组，我们先看第一个飞行方程组。你想想，如果这个方程组有解。你听好了，如果这个方程组有解，它的解在哪儿？它的解在这儿。如果这个方程组有解，是不是就说明b1这个人能够被a的列向量组线性表出啊？而且它它的解就是表示的系数。然后我们再来看第二个人，如果第二人解呢，

第二节在哪？第二节在这。如果这个人有解，就说明as跟b2有解，那是不是说明b2能够被a的列项的组线性表出，而且解释它的系数啊？能理解吧，所以我终于明白了。如果。这个人有解，那就说明这俩人都有解。这俩人都有解，第一个人有解，说明你能被列项当做线性标注，第二个有解，

说明第二个人能被线性标注。能想清楚吗？那不就说明这个b1b2都能被这个人线性表出吗？能琢磨清楚吗？所以说这件事情我们来稍微进行去分析一下，你这个点呢，立即通透了。你这是一个ax=b。我们先来进行去研究，第一个阶段。我们来看看。如果这个x有解。x有解就说明这每一列都有解。那肯定的吧，如果第一列有解，

就说明这个第一列能够被a的列项的总线性标出。第二个有解说明，这个第二列能被它先行表除，第三个有解说明，第三列能够被它先行表除。如果第四列有解说明第四个人能被他先行描述。而你发现这个人有解呢，那就说明这些人都能被我线性表出。是不是这个问题？好了，这是这个第一个点，能想清楚吗？好了，所以说这里面当中我们就稍微总结一下，你看如果是一个非其次线性方程组。

有解就说明你能被我线性表出。如果这是个矩阵方程呢？矩阵方程里面当中有好多列。对吧，这每一列都能被我的列项呢，做线性标注。能想清楚吗？好，这就是这个问题。好了，听明白的给我回复一。矩阵方程表示了b的列向量组能够被a的列向量组线性标出。啊b的列向量组都能被a的。列项的组线性标出。能想清楚吗？

好，这是这个问题。那而且我们来再来看看这个问题，你想清楚啊，那么这是as=b。然后这是这个s。解矩阵方程就是看多个。如果第一个有解是一二三。那说明北大一能够被这个人的列向量，组线性表除，说明北大一能被表示成一倍的阿尔法，一二倍的阿尔法，二三倍的阿尔法三。是不是如果这一列的解释四五六说明贝塔二能被它表出，贝塔二被表出的系数是多少四倍的，

它加上五倍的，它加上。加上六倍的它。如果北大三能被表出，那这是一二一，那就是北大三，这个人等于一倍的他二倍的他一倍的他。能想清楚吗？其实你就会发现，也就说什么意思呢？我这一列有解，这就是这个人被我表出，而且他是系数。这个人有解，就说明这个人能被表述切实系数，

这个人有解，就说明你能被表述切实系数。是不是这样的一个问题啊？你把这几个点呢梳理清楚，而我们都知道矩阵方程，如果有解释，这三个人同时有或者同时没有。不一定说同时没有一个没有就叫没有啊，不能叫同时没有同时有或者就叫没有。好了，这件事情听明白的给我回复一。能想清楚吧，所以你要知道它对应的列，其实就是它的系数。那这个时候你看，

如果这个矩阵方程，我们第一项做法的话，是把它拆开。那拆开了之后，假设你看你这个s解出来是s1s2s1啊，这个什么s1s二一？s一二s2。没有这一点。不行，我有点难受，稍等一下会有个声音。嗯。好了，这个。那么，

接下来我们就继续，我们再来看，所以你看这是个矩阵方程，比如说我们这个矩阵方程第一件事情，我会把这个b和这个s拆开。啊，拆开那你想比如说我进去去解啊，解出来结果是这个。你告诉我个事情，同学们。这个解是什么东西啊？来回答我。是谁被表出的系数啊？这是谁？这个东西是被是b1这个人被表示的系数是s1阿尔法一。

s二一f2。然后你看看这个解释什么呢？这个解释be 2这个人被表示的系数是se 2阿尔法一。s二二阿尔法。那再比如说举个例子，我们解释了解释这个人，那这个人是谁呢？你这个人的话，其实就是b1被表示的系数。四倍阿尔法一五倍阿尔法二，这个人就是谁呢？这个人其实就是负三倍的阿尔法一减去四倍的阿尔法二。能想清楚吧，好了，这是这个问题，

所以你发现对应的列。第一列对第一列，第二列对第二列，有三列，三列对三列，有四列，四列对四列，就是多个飞行方程组。所以将来我们就知道，如果这个矩阵方程有解，那就是b的列向量组都能够由a的列向量组先行表出。听得懂吗？一个非行成方程组就是尾缀，这个向量能够被列向量组先行标出，如果是矩阵方程的话，

就是尾缀的所有的列都能被那个列向量组。线性表述，那这不就是一个向量组被一个向量组表述的问题吗？只要见到一个向量组，被一个向量组表述的问题就是矩阵方程的问题，转成矩阵方程进行研究。所以同学们，你想想。我们在这里面当中学了，其实就是两个问题。对吧，两个点一个点是一个向量被一个向量组表出的问题。然后还有一个东西是什么呢？是一个向量组被一个向量组表出的问题，你喜欢研究这两个问题吗？

我不喜欢。我会把这个问题转成非其次线性方程组研究，我会把这个东西啊转成矩阵方程，然后来进行研究。好了没有？所以你看第一个人转成非极次线性方程组，第二人转成了矩阵方程，两个东西啊，我们来进行研究。好了，这是我们讲的这样的一个基本问题。过去了，可以吗？好了，这个东西啊，

你自己去串一下。哎，把这个问题好了，同学们那么接下来我们来看看一个知识点啊，你想想一个问题，那么在这里面当中，我们来看看这个内容。如果见到AB，你会怎么想？你看我可以这样办呢？我把AB。g做成c。那你告诉我a×BB存不存在？b肯定存在b都不存在a乘谁呀？肯定存在那你存在是不是说明as=c有解啊？

是吧，如果你这个东西有解，说明什么？有解就说明c的零。可由什么东西呢？由a的列。线性标注。那其实就是AB的列。你要注意，也就说我见到AB想什么AB的列，能由前面这个人的列线性标出。然后第二件事情我再给你一个转职，我转过去了之后就变成了这个人。那这个时候不就说明b的转置x等于这个人有解吗？因为a是存在的，

马上写c的转置的列。可由什么东西啊b的转置的列线性标出？啊，你发现转置的列不就是行吗？所以说这个人的行能有b的行线性标注。所以我们就得到两个事情，你见到AB这个人的列啊，能由前面这个人的列线性标出。这个人的行啊，能由后面这个人的行线性标出。能学会吗？所以你要想清楚，见到AB这个人的列是由前面的列线性标出，你见到这个人呢？你要知道他的行是由后面这个人的行向量做。

进行标注，把这个问题点呢，一定要琢磨清楚。好了，这是我们讲的这样的一个问题，跟得上吗？那么，接下来我来问你一个问题，我看你水平怎么样？a然后来了个AB。它的质等不等于a的值拓展的话？这有点难了。相不相等？相等还是不相等？相不相等很简单。

这个人的列。能由前面这个人的列线性表图。对吧，你的列是由我们前面的列线性表述的，我就可以攻击你，我给这个人什么，我给这个a。AB这个人走什么变换？走列变换。那做列变换的话，你发现我就可以用我的列攻击掉你的列。最后而言的话，这人就没了。那所以说它的值就等于a0的值零又不占值，就是等于a的值。

所以说像这个问题点呢，你就会把它想清楚。对吧AB的列能由前面这个人的列向量走线性标出。那所以说你的每一列都是由我来表示，我进行一个列变换，我不就能把你给干掉吗？对吧，我进行裂变化，就把你干掉。那么，接下来我们再来看。继续走这个题比较难。然后接下来我们再看一个问题，如果这是a。跟这个人相不相同？

相等还是不相等？相等的，那为什么呢？因为你发现。BA的行。行能由上面的行线性标出。我就给你这个人做行变换。我多少倍多少倍下来，你没了多少倍多少倍下来，你没了多少倍多少倍下来，你没了，所以说最后你就没了。那这个时候其实你会发现初等行变换不变值，你下面是零，它占有质的部分是a这个人。

所以说a的值等于aba的值。行吧，那么这个点呢，我们就简单讲到这能学清楚吗？好下去啊，好好想想这个问题，就是你见到AB，你会想到什么？AB的列能用前面的列表出AB的行，能用后面的行表出那这个东西啊，能考的几率不是说特别大呃，一般都不会考到这个难度系数。所以说你的重点是这个考点二之前的这个板块内容。然后接下来我们再来看看下一个问题，但是这个知识点呢，

我觉得是今年考研当中啊，会是一个重点啊。我们来看看向量组的等价。向量组等价。那么，首先我们先来看第一个问题，什么东西叫向量组等价呢？向量组等价跟矩阵等价不一样。矩阵等价。矩阵等价说，我通过初等变换跑到你我们两个矩阵等价。它的充要条件是同形质相等。但是什么叫向量组等价呢？他定义这样说的。如果这两个向量组等价。

它的定义说，这两个向量组可以互相表示。互相表示。我想问一个事情。那向量组等价要求这两个里面当中的向量个数一样吗？你看看这个问题。要不要求就说两个向量组是等价的，我要不要求这两个向量组？它里面的向量个数是一样的。要不要求不要求我跟你说一个非常简单的任何一个向量组都会跟它的极大无关组等价。比如说你看我写一个向量组，一一二二。三三，你告诉我跟这个向导组。等不等强？

当然等强。因为你发现你看你这个向量能被我表示吧，你这个向量能被我表示吧，你这个向量能被我表示吧，而你这个人呢？你这个一一这个人不就是一倍的一一。加上零倍的二二，加上零倍的三三，你也能被我表示啊，你这两个东西啊，可以互相表示吧。你能被我表示，我能被你表示可以互相表示，所以说这两个向导组是等价的。但是从矩阵的理论上，

它就不成立了，矩阵等价必须要求同形，这是它们的区别定义就不一样。所以你要区分开矩阵的等价和向量组等价，矩阵等价要求同行向量组等价，不需要要求每一个向量组当中的向量个数是一样。不要求那么接下来我们来看看向量组等价，我能推出什么？假设这里面当中给了一个一向量组。然后给了一个二向量组。这两个向量组有没有可能等价？有可能因为这地方当中，我并不要要求这个东西的个数一样啊。来那么接下来我们来看看向量组等价的定义是什么？定义这样说的，

就说一这个向量组可以由二这个向量组表出。而且二这个向量组也可以由一这个向量组表出。我问一个事情，请告诉我一能由二表出。如果把这个人记作成矩阵a。把这个人记作成矩阵b，你告诉我是哪个矩阵方程有解啊？谁有解这块不难呢？我们把它串清楚就简单了。谁有解你学到最后的话，抓重点就行。谁有解是as=b还是BS=a？对，非常好，是BS=a。

哎BS=a呀，它是有解的。因为BS=a。这个有解就说明尾缀这个人的列向量组能由b这个人的列向量组先行表出。然后再来看二可以由一表示，那是不是as=b这个人有解啊？那再告诉我，第一个人有解它的充要条件是什么？第一个人有解的话就是系数矩阵的这个b。等于BA的值。没问题吧，系数矩阵的值等于增广矩阵的值，第二个人优解呢，系数矩阵的值等于增广矩阵的值。然后同学们告诉我个事情，

你发现这里面当中的这俩人。质相不相等啊？我讲过。abba g相不相等列变换嘛？把这个a调到后面去b调到前面去相等的吧。所以这里面当中啊，我们就得到了一个非常重要的条件，就是a的值等于b的值等于AB的值。这其实就是它的充要条件。而且我们在所有的充要条件当中，最重要的就是谁呢？你学会这个人就行。你只要掌握住这个东西就行，就说两个向量组是等价的。我将来怎么进去去判断两个向量组等价呢？

就是你的质等于我的质等于我们一起的质。这叫三质相等。这跟我们矩阵的等价一样，不一样不一样。矩阵的等价式同形形状一样质相等。而向量组等价的充要条件是什么呢？向量组等价的充要条件是你的质等于我的值等于我们。一期的值。这其实就是我们向量组等价的这样的一个情况，能说个清楚吗？就是如果这里面当中我给的这两个向量组是等价的。我这两个向量组等价，我怎么进行去看看它的充要条件呢？就是你这个向量组的值等于我这个向量组的值等于我们这两个向量组一起的值。好了，

学会了给我回复一。这其实就是我们经常讲的著名的三质向导啊，我们把这个问题点呢，你琢磨清楚。那就是你的值等于我的值等于我们一起的值。但是我有个问题啊。这个向量组。有没有可能是列向量组？有没有可能是行向量组？有没有可能？它是不是既有可能是列向量组，也有可能是行向量组。你想想是不是？是不是？那当然呢。

它有可能是列强那种。有可能是航向的组。我来问一个事情。比如说我举个例子啊。第一个向量组是一二一。一。一二三。我跟另外一个向量组是一三四。一五六。这两个向量组，它的要求就是。拟的质。等于我的值。等于我们一起同学们告诉我这个一起怎么一起啊？是变长了，

还是变高了？怎么一起就是关键点一个问题，这个一起怎么一起呀？这个一起是怎么一起？这个仪器肯定是变长了呀。那么我这第一个人，第二个人，第三个人，第四个人，因为它变长了呀。所以说其实就是a，这是b的话，延长了横向的。好，这个问题，

然后我们再来看，如果这是一二一这个项呢？一一一这个向量。一零一这个向量。这是个行向量组，然后它跟多少零一零这个向量组？零零一这个向量组。同学们告诉我。比如这四把。那这时候这两个向量组，它是怎么？你这个人是这样子，我这个人是这样子，我们一起是不是变高了？你一定要想清楚这个问题啊，

这是不一样的列向量组和行向量组，它们不一样的变高了啊。这你这是它。所以说就说，如果你的质等于我的质等于我们一起，关键是怎么一起，那我们来研究两个问题。如果是这种情况呢？a的值等于b的值等于AB一起的值。a的质等于b的质等于一起的质。同学们告诉我，这种一起是怎么一起啊？它是横向变长，是行是列还是行啊？是列对吧？

是列还是行啊？那肯定是矩阵的值等于列向量组的值。矩阵的值等于列向量组的值等于它们一起的值，是这样来的。那同学们告诉我，这是什么向量组等价？什么向量组，列向量组等价，你能听得懂吗？好了，听明白了，给我回分儿。那么这个东西很明显，说的就是裂项能做。你的志等于我的志，

等于我们拓宽的志。对吧，这是力。那么然后我们再来看看第二个问题，如果你的痣等于我的痣这样摆呢？第一个矩阵的值等于行向量组的值，第二个矩阵的值等于行向量组的值。那么，它们摆一起，这是a，这是b，是怎么摆的？这样摆的。是什么向量阻等价？对，

是行向量阻等价。所以将来你要会反着写，如果这俩人行相当做等价呢，就你的值等于我的值等于落起来的值。如果这列项的组怎么加呢？就是你的质等于我的质拓宽起来的质。好了，学会了给我回复一。这其实就是行列向量组等价的充要条件啊，这是一个非常高手的一个水平的。对吧，非常非常关键的一个问题，能听得懂吗？把它想清楚，一定要想清楚。

好了，这是我们向量组等价的一个问题，那么接下来我们来看看下一个点，我们来讲讲方程组的统解。呃方程组同解啊，稍微的会难一点点。啊，这个东西啊，有一丢丢难。有一点难。那么，首先我们先来看看第一个事情，方程组统解。那么，在这里面当中啊，

我们先来讲讲这个事。你告诉我个事情，比如说这里面当中给的这样的一个方程组。又给了一个方程组。大家回答我。这两个方程组同解。两个方程组同解，你觉得是什么相等啊？同解我们都知道，解方程组肯定是通过初等行变换。你解这个方程组肯定是通过初等行变换。什么一样，不不不。你光说质疑啊，没有打到痛点好不？

也不是系数一样。不不是不是不是不不不是不是不是这这打不到痛点什么痒？行最简矩，阵一样吗？行最谁能进行去解出这个人的解啊，是行最简矩阵解出来的，你比如说举个例子，这是一一零。零零一零零零。一一零零零一，你告诉我个事情，这两个方程组的解一样不一样。一样的呀。你是靠这个部分解出这个人，你是靠这个部分解出是一样的呀，

叫做行最简矩阵的有效部分一样。是不是同解？当然是通勤啊。不是行最简矩阵一样，是行最简矩阵的有效部分一样，你看这个人是三行，这个人是两行，没有关系。第四行都行。我管你呢，这无所谓的。对吧，你真正有效的是靠那个人解出来的。虽是行罪险的有效部分一样。是不这两个部分是一样？

哎，那同学们想想一个事情。a跟b怎么摆？它跟这个东西行变换也是这样。我把这样摆，你告诉个事情，我经过行变换，是不是还是它？你告诉我是还是不是？你这不是一一零吗？零零一吗？我再通过这个人干掉他，通过这个人干掉他，所以说这个东西是不是还是这个人呐？啊，

同学们，是不是这样摆？哎，你发现竖着摆还是这样。那其实我就得到了一个事情，得到什么情况哦a的值就会等于b的值。就会等于a ab一起的质啊。原来如此。那同学们告诉我，得到这个信息点就说明什么东西。说明两个系数矩阵的什么向量组等价。行向量，做等价。非常完美。所以这样一个操作，

我们其实就把方程组的同解掌握清楚了。所以接下来我们就来正式来看看方程组的通解问题。那首先第一个事情，什么东西叫方程组的同解呢？统解是这样。你的解释这么大。我的解也得是这么大。因为我们两个的解是一模一样的。你任何一个姐都是我的姐。我的任何的一个解都是你的解，所以说它的第一个判定方法就是你的解都是我的解，我的解都是你的解，你不要小看这个东西啊。这是一个判断方法。你的姐都是我的姐，

我的姐都是你的姐。好，这第一个问题。第二事情，他们的什么一样？什么东西呀？行最简矩阵的有效部分一样。你还记得吗？这是这个事情，那么所以说最后我们得到了一个什么东西啊，是它的行向量组等价。因为刚才我们已经得到了a的值，等于b的值。等于AB落起来的值。这也算一个充要条件，

所以它的行向量组是等价的。把它想清楚，所以将来我们去判断这个方程组同解，你可以用这个方法。啊，非常好用。你就进行去判断你的痣等于我的痣等于竖着摆起来的痣。那就可以了。所以接下来我们来看看这个问题。好，那么接下来我们来看看例一。请告诉我，你看我是怎么写的？这是个其次线性方程组，是不是写完了？

是不是写完了？然后我在前面乘个转值。好这个样子，那么在这里面当中，我们写了一个这个人，你看我的前面来个转职，你告诉我这俩人同不同级啊？啊，通不通气？那么其实我们呃有点偷偷取巧的意意思。有点偷仙取巧的味道。首先我们来看看，那就看看你的痣。等不等于我的值啊？等于我的值。

等不等于我们落起来的值啊？等不等于我刚才讲过这个公式吧？我们讲了一个a的值。等于a ab的值。等于什么东西呢？aba的值你还记得吗？我讲过这个制度公式吧，刚才我让你证明的，因为这个人的行能由后面这个人的行标出。我可以通过行变换干掉你吗？好，这个问题。所以说这三个人就相等。你的质等于我的质，等于我们一起摆的质，

行向量就等就等价。是不是就出来了？所以说这个方程组是同解的。其实吧，有点偷偷取巧，但没关系，我们是个冲刺班同学，我们把这个知识点学会了呀。其实你要明白。这个东西是怎么出来的？这个质相等的公式是由它们统写推出来的。你还没有证明出同写呢，你就先用了一下它们两个相等。这其实就走了一个。套娃的感觉。

你要知道。这两个质相等的结果就是他们同解推出来的。然而是因为你的知识体系，你就在前面学了这个公式，但还没有证明。然后现在要进行去证明统解的时候，你先把它用了。你能理解吗？它是这样的一个意思，但没有关系，没有关系，一我们考研都是选择题。二我们在考研当中，这个公式可以直接使用。没有任何问题，

如果他在考研考说这两个人同不同解呢？哎，你就知道它俩是同解的，那就可以了。然后再来看看第二个。你看我怎么写的？如果是a转置这个人。是不是把它写出来了，然后是a转置这个人写完了之后，我在前面乘个a。这俩也是同写的。你可以去蒸。转置的置就等于a的置，a的置等于a×a转的置等于竖着摆。你这个人，

你看你这个人的行，能用后面的行表出，所以我行变换的时候把你干掉。所以这两个东西啊，都是同解的。把它想清楚，把它记住。你要会会做就行了。好了，听明白了给我回复一吧。掌握清楚给我回复一。所以将来就知道方程组同解的充要条件是行向量组等价。方程组同解的充要条件是行向量组等价。稍微有点难的啊，其实你发现呃，

基本上很难考到这个难度系数啊。但是你要会。然后接下来我们再来看看第二事情，那如果是个非七次线性方程组通解呢？啊，你想想一个事情，你解第一个非计算方程组。是不是通过这个人行变换的？你解第二个非线性方程组是不这个人进行一行变换呐？那我们行变换的结果，比如说都是一一零一二。然后这是零零一它。那比如说这个人是一一零一零零一二零零零，你告诉我个事情，这俩人同不同解？

同解啊，因为你发现一个事，你是这样的一个增广真，我是这样增广真，我们增广真都一样，解出来特解和最后的结果都一样。那然后你把这个a阿尔法和b贝塔摆到一起，你继续去行变换，是不是还是这个人呢？那所以说这里面当中，我们先来看看第一个事情，你的解都是我的解，我的解都是你的解，还有什么情况呢？说明这两个东西的行最简的有效部分一样吧。

那然后第三个事情就是a阿尔法的值跟b贝塔这个增广矩阵的值相同，然后把增广矩阵落起来的值是不一样。这三至相等，你告诉我是这两个矩阵的什么东西啊？是这两个矩阵的行向量做等价吧，是增广矩阵的行向量做等价，不是系数矩阵。能学会吗？其实你发现转来转去就这个内容，即使。方程组统解的充要条件是行向量组等价。方程组同解的充要条件是行向量组等价。那么，它的充要条件还有行最简的有效部分相同。所以将来的时候你就比别的同学牛逼，

他看到说这两个东西同解说质相等不？你说的是什么质？痣不光相等，白起来的痣也相等，这是充要条件。而你只能推出质相等，质相等可推不回去，还缺一个人呢。它是三个人的指向灯。所以当然统解了之后a质和b的质相等，除了a和b的质相等，a和b竖着摆起来的质啊也相等，你这也提供了一个方法呀。好了，这是我们讲的这样的一个同解问题，

那么接下来我们再来看看下一个问题，公共解。我们只用掌握住这一种方法就可以了。什么叫公共节能？你看你这是它的井。你这是它的解。你要求解的是不是这个部分？你要求解的是这个x既能满足于它。这个x啊，也能满足于它。那么，这两者之间呢？是且的关系就是这样的一个问题。那我问一个事情，如果他们有公共解a的解，

一定都是b的解吗？一定吗？不一定a的解，有可能在这儿。它不一定是b的解，b的解也未必都是a的解不一定。那是同结。这是公共节。所以什么是公共解呢？就是这个x既满足了。对吧，我要找一个x。这个s既满足了as=0，也满足了BS=0。所以说其实就是把两个方程组怎么办？

联立起来最终而言，得到的系数矩阵其实就是这样。你解出来的这个解就是我们的公共解。好，就这个问题。啊，所以说非常简单。就是这个x啊，既要满足第一个人，也要满足第二个人，就是把这个约束条件加多了。啊，然后去解一起来的这个解。好了，这件事情我们就讲到这听明白了吗？

好了，掌握清楚给我回复一吧。听明白了，给我回复一啊，这是公共节。公共界就是既要满足于你，也要满足于我。两个东西啊，公共相交的这个部分公共节。好了，这是这个问题吧？来道题你上午的那道题不是题吗？上午刚考完的，这个二一年的考研真题，你就可以去把那个题啊，

你再看看。上午那个题不就来个题，上午刚算的，你忘了吗？这个。你别忘那么快啊，你忘那么快啊，没人能救得了你，对吧啊？你看这个啊，上午这个题你就可以去把这个题啊，你再做一下。这俩人有非邻的公共节。就说明这个方程组一起来的，这个人有非零解。

好，这个题还挺容易的，一个题对吧？你把这个东西啊，你做清楚就行好了，这是这个问题点吧，我们就讲到这。跟得上吗？你下去好好把它做一下。啊，这个问题那行吧，我们稍微休息会儿，然后这个后面部分当中还有一个知识点。再来一个知识点呢，我们这个部分问题啊，

我们就讲完了，我们一会来看看向量组的值和极大无关组。好了，这是这个问题吧？呃，向量组的值和极大无关组，我们一会把这个知识点讲一下，把这个知识点讲一下。讲完了我们线性代数就结束。可以了吗？同学们好，我们稍微休息会吧，一会我们继续，我们一会来重点来看看这个问题。好，

稍后休息会儿，一会儿继续。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册