14.冲刺串讲14-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:06:17

那我们就准备开始今天的课程了，首先我先测点声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的冲刺救命班的课程，那么上次过程当中我们已经讲完了这个连续可导可维的判定。包括这里面当中的偏导数计算，那这两个核心问题，那么今天啊，我们就会把这个高等数学做最后的结束，那么这个问题讲完了之后啊，我们从这个周六开始。

我们就开始进入到这个概率论。所以说按照这个课表的这个时间呢，我大致的说一下呃，我们的这个考试的这个时间。那么也就是这个周的周末是这次考试。对吧，这是周日。然后的话，下一次的话是10月2号。10月2号的话，就是下周四。好，这是周四。所以说我们这个时间的安排啊，应该是周六啊，

然后的话这个呃，周六周一周三。我们的概率论呢，我们就基本上结束，所以说我们这样的一个时间的话就是排到这个。五号的这个样子，这是二一年的卷子，比较简单，我们从这一次部分当中啊，我们都可以进行去集中的模考了。能理解吧哎，所以说我们这个呃冲刺救命班的这个第一个阶段的课程呢，不是说特别多了高等数学结束啊。那后面的东西啊，就不是特别多，

因为这个高数的东西还是量非常大，哎，东西考的呃板块的东西也比较多，题型也比较多，包括知识点也比较多。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个今天部分内容，那么在这个今天部分问题当中啊呃，首先在正式上课之前，我们先来看几个题。那么，首先我们先来看看这里面当中啊，第一个题。好，

我们来瞅一下这个题目。那这个题啊，他给了一个事情，他说连续函数这个人。满足了这个极限等于零。然后这里面当中让我们去看什么东西啊，让我们去看看这个啊，其实就让我们看看这个全微分等于多少，那这个全微分等于多少，其实重点而言，我们就要干嘛呢？两个事情那么核心，重点就是求s偏导数和这个y的偏导数。能理解吧嗯，怎么了？

哦，好好听课对吧？好了，那么接下来我们继续，我们再来看，那你的核心重点不就是求两个人吗？一个事情的话，其实就是x偏导数在这个零一处。一个事情其实就是y的偏导数，在这个零一处。那么，接下来我们来操作一下。哎，你通过这个东西怎么去求这个偏导数这个题里面当中啊？有比较直接的一个方式啊，

比较直接的方式是什么呢？就是你发现你这是x- 0^2，你这是y- 0^2，你开方的结果等于零，那这个东西我一立即会想到什么？我就会想到这个做差式的定义啊。所以这个时候我怎么办？我就往这个做差式定义上进行凑，因为你发现如果是做差式定义。他这个人上面其实就有这两个偏导数，而且他的这个下面刚好其实就是is- 0^2。然后这是y- 1^2。那上面这个东西缺的是什么呢？其实是f sy然后再减去多少f零一这个人。然后再减去多少再减去s这个偏导数，

然后乘上s- 0，加上这个y的这个偏导数，再乘上多少y- 1？然后这个结果它等于零。所以我就把这个题你怎么办呢？往这上面进行凑。你只要能把这个东西往上面凑，凑成这个样子，那这题也出来了。所以我们现在看看怎么进行凑呢？那么现在对比一下。这一项是我要求的，这一项是我要求的。所以说这个后面这个东西很好写，那关注点f零一是多少f零一我们可以看看人家这里面当中告诉是什么函数？

连续的函数，连续函数分母的极限是零，所以说我就立即可以得到什么，我就可以得到分子的极限也是零。所以也就说这是f sy，然后减去2s，加上y- 2这个人的极限，结果是零，那你再来看看。那这个连续连续极限等于函数值啊，然后这个部分是零，这个部分是一，也就是加上个一减二等于零。所以说这个结果等于几啊，就等于一。

好了，这是第一个人，那这个时候我就知道了哦，原来这个结果等于几啊，这个结果就等于一对吧，把它填进去。我替换一下，哎，这个空啊，填的是一。如果填的是一的话，你其实发现后面的东西还剩下一个减s+2再减一。是不是就差这个东西了？那差这个东西把这个负号提出去，负号提出去其实就是2s，

然后是减y加个一。那所以这个部分怎么去填呢？你这个板块就非常简单，你看这是多少倍的s啊？那刚好是两倍的这个s。然后这是多少倍的y呢？你刚好是负一倍的y对吧？这个东西这是负一倍的y啊，一填就行了。所以最后而言，这个s偏导数等于几啊，等于二这等于负一，因此就是二倍的ds-dy，那正确答案选几啊？啊选a。

能看清楚吧啊，就这种题怎么做，所以我一眼瞅过去，你发现这个东西啊，其实就是一个做差式的定义。对吧，你要想清楚好了，这是第一种方法。那这个题还有没有方法呢？你要注意，作为我们三九六同学。如果你在考研当中这种问题啊。你实在不会坐牢。我们其实都有一个方法。你可以怎么办呢？

你在这啊举例子，我们等会再说。那你想想我的核心重点不就是求解is这个人的偏导数吗？还有这里面当中的y这个人的偏导数吗？是不是这个事情你要求解这个东西的话，你发现这个部分不就是s趋向零，然后这是f多少呢？fx 0减去多少呢啊？这是fs 1，然后再减去零一。比上多少s- 0。然后这个部分的东西呢，其实就是y趋向几呢y趋向一，然后把这个x统一都代成几代成零。然后这是y，

然后再减去多少？这是y1。然后比上y- 1。那所以说这个时候我们来看看我的核心重点，其实就是求解这两个极限，但这个极限当中啊，有好多量不知道。一个事情是这个fs 1不知道，一个事情是f0y不知道，那我可以怎么办呢？你不就是想求解这个趋向下的这个函数吗？你怎么做？我可以这样做，我来把这个人呢给解出来。利用关系定理把它解出来。

那我们都知道，如果这个极限等于零。对吧，如果这个极限等于零，那么这个时候当x趋向零，然后这个y趋向一。就是这两个东西趋向零一的时候。我就可以把它解出来，你怎么解呢？其实就是fx y减去个2x，加上y- 2。比上个多少呢？根号下这个部分。那你琢磨下，你发现你的极限结果是零，

在这个趋向下，我就会等于零，再加上这个趋向下的无穷小。你还记得吗？这个东西叫关系定理，我的极限等于一，我在这个趋向下，我就会等于一，再加上个无穷小量。能听懂吗？这个方法是万能方法。就是凡是做到这种极限的，这种抽象性的题啊，你都可以把这个东西给解出来反解。能听懂吧，

你在这个趋向下，你的极限是零，我在这个趋向下，我就会等于零，再加上一个无穷小量。这个趋向下的无穷小，那所以说这个时候我怎么办呢？我就把这个东西啊。你给乘过去零还是零无穷小，再乘上无穷小，那这个时候其实就是比你更高阶的无穷小。好了，这个人呢？做成这样。没问题吧，

然后这个时候你就会发现这是f sy，然后就等于2s减去个y加上个二，然后这个时候再加上一个高阶无穷小。好了，这个结果就写成这样。可以了吗？那么现在我们最重要问题啊，要进行求几个人呢？一个事情是求这个人，还有一个零一零一怎么求呢？因为连续啊，连续的时候你就会发现我们这个f零一就等于多少？等于这个极限。这个人的极限其实就等于这个函数值你求向零的话，这是零，

然后求极限，这是一+2后面的极限是零，所以这个结果是一。然后这个时候我们想求一下这个趋向下的话，这个x一把y带1y带一，其实就是2s，再加上个一。然后再怎么办？你加上这个，你看这个没了，然后加上绝对值的高阶无穷小，大家都知道绝对值是什么，绝对值是正负一个高阶无穷小里面正负是不要了的。跟得上吗？然后这是0y0y的话，

把这个人去向零这是y+2，然后再加上y- 1的绝对值，其实就是y- 1的高阶无穷小。这个会做吧，所以现在我们怎么办？我们就把这个人带进去，当s趋向零的时候，你发现这是2 s+1，再加上高阶无穷小。减去一比上这个人，那这两个东西就约掉了，我加我的高阶无穷小，就是前面等价无穷小于2s一比的话，这个结果是二。然后这个部分的话，

我们再来看看y趋向于。那趋向一的话，这是y- 1f0，这个人其实y+2，再加上y- 1的高阶无穷小，你再减去个一，你减去个一的话，这个部分其实就是加一。你最后一除这个结果就是负一能跟上吗？这是负的y- 1，你加上高级无穷小，所以说最后而言等价的这个部分呢，其实就是前面。你要注意这个方法是一个万能方法。哎，

这个方法。就是你发现我们做的这种极限，如果你实在不会做了，就是我们在今年的考研的过程当中，你实在不会处理了，你就怎么办呢？这个极限等于多少？我在这个趋向下，我就会等于这个人，再加上无穷小量，我就能把它反解出来了。繁解出来之后，你需要什么东西，我们就用什么东西。这个东西啊，

反解对吧？可以反解定理，如果极限等于这个数，我在这个趋向下，我就等于这个数，加上无穷小量。把这个方法一定要会了。能听懂吗？好了，第一种操作性方法，你肯定会因为这个题太特殊。那么，第二种方法也得会，第二种方法是万能方法。那么，

如果说这个题你怎么做的更快呢？当然这个题啊，我们来看看第三个事情。但是你要注意技巧性的方法，一定要保证这个基础方法掌握清楚了之后再去学这个技巧性，那这个题还有没有方法呢？那当然有啊，你这不是个选择题吗？那选择题的话，你进行取取出一个什么东西呢？连续且符合这个极限的例子不就行了？你不是减个2s吗？我们前面是2s，你加一个这个嘛，你不就减一个这个人，

然后减一个这个人就是加上你不能就举这个例子不就行。你举这个例子了之后的话，你看这个人这个人没了，这也没了满足啊，等于零，所以说这个时候我们来看看s偏导数，这个人等于几啊等于二。y的这个偏导数等于几啊，等于一啊，等于负一。我举了一个例子了之后，你发现它是一个二，一个负一，你看你说的不对吧，你说的不对吧，

你说的不对吧，你说的不对吧，正确答案选a。跟得上我的意思吗？你这样做可能会更快，当然同学们一定要听清楚这种技巧性啊，我们在复习的过程当中，当然得会。但是直接性的方法，你更要会你像我们刚才这个问题啊的处理，每一个细节都要把它搞定，能听懂吧？我的极限等于这个数。然后在这个趋向下，我就会等于这个数加上一个什么，

加上一个无穷小量。能学会吗？什么这我都讲了这么久了，你不用觉得的话特别的惊讶，对吧？这三个方法都得会。第一个方法帮助我们进行去复习了错差式定义的，可微信的判定性的方法，然后第二种方法其实就是什么？反解的方式，你得会第三个事情，你像这种举例子啊，你也得会处理好了，这个事情我们就讲到这，那么接下来我们再来看一个题来。

来看一下这个题目。好，我们来瞅一下这个题。你看这个题怎么做啊？这个题啊，在我们去年二零二三年的考研真题当中啊，已经有所体现了。他告诉这个什么呢？他说这个人具有二阶连续的偏导数。然后说f1=2x偏导数y的偏导数都是零，给了一个这个人。这种题叫什么题呢？你就会发现，你看你这外面有一个f你里面也有个f。但是你外面的f求导跟里面这个f求导一样不一样。

它不一样。外面的f求导跟里面的f求导是不一样的，因为外面这个f求导是x+y。fx y这个人的缩写，但是里面这个人求导，其实是这个人缩写。所以说这个时候你就会发现这两个人是不一样的，这种情况出现了什么问题啊，出现了相同的对应法则，但是中间变量不一样的，这种套娃的形式。所以接下来我把这种问题啊，我们重点来讲讲，其实不是说特别难。这种套娃形式的复合函数如何破题呢？

首先第一件事情，你必须要在这里面当中掌握住这个人的细节。这个细节非常重要。因为你琢磨一个事情，你看看。比如说我们来看。都有一个f的对应法则，但是这个东西是x+yx^2 y，然后这是x方加上y方x四次方y的六次方。同学们告诉我。这两个东西什么是一样的呀？你就出现套娃肯定会出现这种情况。都是f，但是这个人的里面当中的中间变量和这个人的中间变量不一样，同学们告诉我。

如果这个东西想进行去交流，怎么去交流啊？你怎么交流？你想想一个问题，我上面这个人对x进行求导，你对x求导是对第一个中间变量求导，这是一对第二中间变量求导，这是2 xy。这是对第一个中间变量求导2s，这是对第二中间变量求导四倍的s三次方y的六次方。同学们，想想一个事情。这两个人之间想进行去交流，什么东西是我可以进行去交流的，这样的一个。

渠道啊，什么情况哎，非常简单，中间变量。中间变量就是你发现我对这一坨求导的时候，跟对这一坨求导的时候是一样的。只不过是中间变量再对次变量求导不一样，你能听得懂吗？所以他们之间想继续去交流，必须怎么办？都换到什么？换到中间变量。啊，就是这有个a个国家b个国家。然后怎么办？

中间想进行去交流，你得进行怎么办？进行去兑换啊，对吧？都换成同样同样的一个，比如说货币了，你才直接呢可以进行去交流。所以我们在这里面一定注意我们怎么办呢？必须要把它进行去换到中间变量。所以题目当中，如果告诉什么，如果题目当中你不要固执己见啊，我说的这个问题有些人都没有尽心去操心。操作的非常清楚，换成uv就行，

你知道我在干嘛吗？如果不理解你就好好听啊。然后这里面大家听好了，就是我们都可以通过中间变量去交流，所以说题目当中如果告诉你一个条件信息。你都需要把这个条件信息啊，换成中间变量的信息，这个事情非常的关键。你想破好这种题，就掌握住这两个信息点，无论你出什么题，我都能把你干掉。啊，这个非常简单，好，

我们来看看。怎么进行转呢？我们这里面当中有一个事情。如果给的是最简的二元函数样子。你听清楚吗？你看这是个最简的二元函数，那最简的二元函数，请大家告诉我，我对x进行去偏导数。跟对第一个中间变量偏导一样表。一样表当然一样，因为它的自变量其实就是第一个中间变量，第二个自变量就是第二个中间变量。这个时候是一样的。只有你是最简的f sy的样子的时候才是一样。

这是要注意的，然后这是fy撇sy，然后跟f2撇sy一样不一样。一样的，一定注意，当它写成最简的二元函数的样子，那x1撇跟一一撇y1撇跟二一撇，它是一样的。能想清楚吧，那所以说这个时候你就会发现它对s1撇的话，这个一一跟f1撇，这个一一它是一样。然后这里面当中的y1撇的话，这个是二二跟什么东西呢？跟这个二一撇，

这个二二它是一样。能想清楚吗？好这个问题啊，必须要把握住。就是如果这个东西写成最简二元函数的样子，你对s1撇跟一撇y撇跟二撇一样，这个能听得懂吗？你想想，如果我在这里面当中，这是xy这是x+y，你对x偏导数跟第一个中间变量就不一样了。好了，这是这个问题，你要想清楚这个知识点，把它给我记死。

一定要记住，所以接下来我们来看看这种套娃性的题怎么做呢？你就记住一个事情，只要你不缩写。只要你敢算这个东西都不是问题。你就不缩写，为什么呢？因为我们的中间变量不一样，你缩写了之后其实是不一样的，但缩写完了之后你看起来是一样。所以怎么办？你就不缩写，只要你不缩写，你敢算，这都不是问题，

我们来试一个。好，我们先来看看第一个问题来解。你看这个题f1是一，然后这是fx 1撇fy 1撇，我知道有些同学可能会固执己见。说老师无所谓啊。我外面这个人用e撇里面这个东西用x1撇不就行了，你不要这样，你都给我换到中间变量，你做起题来会非常非常的方便。所以我怎么办呢？你告诉我这是个fx y，如果是fx y的话x1撇儿跟一撇儿一样不一样。一样不一样的是0 fy 1撇。

然后跟二一撇，这个一一一样不一样是一样的。好，你先把这个东西给我换过来，那换过来之后啊，我们就可以做了，你发现这个东西是不是套娃形式，你怎么做不缩写？那就是f先对第一个中间变量求导，这是x+y这是xy。然后中间变量再求导是几中间变量再求导是一。然后再加上第二个中间变量，第二个中间变量是多少呢？第二个中间变量还这个求导的话，中间变量还是它不要缩写。

不要缩写就行，然后这个东西对s求导是多少？这个人对s求导其实就是f1撇儿xy。跟得上吗？好了，这个问题那么接下来我们继续算算多少呢？把这个一一带进去。一一带进去了之后，你看看第一个情况。这个一+1是二。f1是多少？f1也是二，所以说这个结果就是这样，然后这是二一撇的话，这个是多少二二？

然后这个部分是f1撇。一那所以说这个结果就可以写了，因为你这个结果是零呐，所以说这个题的正确答案其实就是f1撇。二二能会做吧？好，这个题啊，答案就是这个答案。所以说最后答案我们是选择题，答案写成什么你就选什么就行，会做了吗？就非常简单，因为我们两个东西都是f。我们只要都把它画到中间变量，我们就可以做交流了。

所以把题目条件信息啊，你先化成中间变量，然后求导的时候不缩写，你这种题就能做的非常好。哎，不是说特别难。好，我们再来看一个吧。多练几个。来再来看看一个题。比如说我们来看看这个题。呃，这个题等会吧。我们再来看看这个。我忘了是哪次考试啊，

是上次考试还是上上次考试？有一个这个套娃型的题啊，上次考试。来，我们再来看看这个题。把这个题啊，我们再来梳理一下，你再听一下啊。那么，首先我们先来看看这个题目条件信息，它告诉什么？它告诉了这个函数。对吧，这个函数这个函数在一二处的全微分。一二处的全微分，

那这个东西呢？这个东西其实就是x偏导数在一二处的值。而我喜欢把这个东西啊，换成中间变量y的偏导数，在什么在一二处的值等于四，所以我们都统一把它换成中间变量。因为是fx y的样子的话，这两东西相等它等于负二，因为是fx y的样子的话，这两东西相等，那这个东西是一二，然后等于几啊等于四。能听得懂吗？好了，这个题目啊，

其实就是比我们多了这一项。然后接下来让我们去求解这个gs的导函数，那你就求呗，你求的话，你看这套娃形式先对什么，我先对第一个中间变量求导。请注意，我不要缩写。好，中间变量求导是一，然后再加上对第二个中间变量求导。不要缩写。哎，然后是这个中间变量再求导。这个中间变量怎么求呢？

这个人其实又有两个中间变量又是f1撇，这是x2s。然后这个中间变量求导是一，然后是2a撇的话，这是s这是2s中间变量求导，这是二。能听得懂吗？可以了吗？好了，都能看明白，给我回复一就是你先对这个中间变量求导，你不要缩写。然后中间贝纳再求，然后先对中间贝纳求，中间贝纳再求你不要缩写，

然后这个时候我们其实就可以把什么？它让我们把一带去。那一代进去的话，首先第一个部分的话，其实这是一。然后这个f一二等于几呢？这个f一二的话等于二。然后这是二一撇儿，然后这个东西是一二。那么然后这个结果的话，我们就继续，我们再看这是f1撇，这是一二，然后再加上f2撇的话，这是一二。

然后再乘上二。那现在这个f1撇等于几呢？等于负2f二撇等于几呢？等于四，然后这个东西是负二，然后这东西是四。四这个东西再乘上二，你自己算。能听懂吗？就是很简单。两个事情都通过中间变量做交流题目条件的信息，转到中间变量。第二件事情我们怎么办呢？如果进去去求的时候不要缩写就行。好做吧好，

这个18题我相信应该没有问题啊。然后接下来我们再来拓展一下。我们再来看看这个题。你今天晚上一定要把这种题给我会了。好，我们再看来解。那这个题当中又告诉我这个函数在一处可为。然后的话，这个f1=1。你看是不是最简的二元函数样子？既然是最简的二元函数样子，它对x1撇儿一一跟第一个中间变量一一一样不一样，一样一定要给我转到中间变量。然后对y进去去求偏导数的这个一一跟多少呢f2撇一一一样不一样一样就等于三。跟得上吗？

然后接下来让我们去求解什么，它这里面当中给的这个fi，然后让我们去求解的，你要注意。是这个人的三次方的导函数，你怎么做？这怎么办呢？比刚才那个题啊，稍微的恶心一点点。我这个东西要进去去求三次方的导函数。怎么处理呢？三次方。怎么办？非常简单。先对中间变量嘛，

那其实就是先对中间变量求导，这是二次方。然后这个中间变量再求导，就是这个人求导，那这人求导的话，又可以开始了。f对第一个中间变量求导，这是xfxx。然后这个中间变量求导是几求导是一，然后再加上对第二个中间变量求导。哎，这个人求导，然后是中间变量求导，就是这个人求导。那这个人求导的话，

继续f1撇xx中间变量求导是一对第二个中间变量求导，这个中间变量求导又是一。你看这个结果。能学会吗？你看这个人就出来了，就是你看，反正对这个中间变量求导，中间变量再求导。对于这个中间变量，求导不要缩写中间变量，再求导就行。你就这个问题，你现在知道我为什么都让你进去，就划到中间边上了吧？能理解了吗？

做一个题不理解两个题不理解，你现在终于知道我们为什么要继续去换到中间变量吧？他们可以做交流。我也知道这个里面这个东西啊，你可以不写一撇二撇，你可以写s1撇y1撇，你就会混了。都统一的化成中间微量，这是最简单的方式。这种题你再做错的话，有点不好意思，然后接下来我们看把它带进去。把这个s=1带去一带去了之后，我们来看看这个问题。你其实现在我们要算的话，

这个phi 1 phi 1的话，其实是f1f一一的话，又是1f一的话，又是一。那所以说这是三倍的，这个一的平方好，我们继续，然后这是f1撇，这是1f一的话，这是一。然后这是二撇，这是1f一的话，这是1f一撇的话，这是一，然后这是f2撇的话，

这是一。好，这个结果，然后接下来我们把它算进去，你看这个第一个人，那这个人是几呢f1撇的话，这是二。然后这个二撇的话，这是三，然后这是二，然后这是三，自己算了。好了没哎，这是这个问题，所以你要注意都换到中间变量，

方便我们的计算就是两个事情转这个什么转到中间变量的这个条件。然后在做的时候不缩写，那就非常好了。能学会吗？好，再来一个吧，把那个去年的那个真题啊，我们再来看看。好，我们再来看呃，一定要非常准，对吧啊？这种题啊，你一定要做好。没有那么难啊。

好，那么接下来我们再来看看这个题。嗯，来看看这个题目。啊18题。那你看看这个题目，它还是个套娃的题。那么，首先的话，你要会做这个转换，你看这个题，他就很聪明，对吧？它说的是fuv。你对u求导，

你对u求导的话，其实就是对第一个中间变量求导，然后这个一零=2。有没有问题？然后这个部分的话是对v求导，就是对第二个中间变量求导，也可以是这个函数的自变量求导，其实就是f2撇儿一零=3。是吧，还是先做自变量的切换。你把这个uv可以写成sy嘛，你对s偏最简二元函数样式对s偏不就是对第一个中间变量吗？好了，这一步听明白了，给我回复一。

你必须要会做啊，你先转把这个中间变量都转过来之后啊，然后我们就可以求导了。那这个部分的话，就是y对s求导，我们先看第一个部分。先对第一个中间变量求导，不要缩写那f的话，这是s in，然后这是cos。然后这个部分是c。那然后这个中间变量再求导，你看是这个人在求导，再乘上这个中间变量求导，那就是f对第一个中间变量求导，

这是sin cos。s in求导是cos，然后是第二个中间变量求导，这是s in，这是cos cos求导的话，这是负s in。好，这是这个人。第一项是不是出来了？好这个人，然后继续我们再加上对第二个中间变量求导，那这个部分不要缩写，不要缩写，虽然长一点，但是耐心一点就出来了。

cos塞求导呢，是这个负三。能学会吗？好了，那么接下来我们就可以带值了，然后我们要带多少呢？我们要带二分之派，所以y对x求导在x=2分之派处的，这个结果呢？我们来往里面塞一塞的话，这是f1撇。你来看看这个人，那这个是一这是0f一零就是一，所以说第一个是1 cos 2分之派，这是零。

然后继续看里面cosine 2分之派是零不写了。然后再看这个人f2撇，然后s in 2分之派，这是一这是零，然后再乘上这个是负一。这个结果，然后再来看看第二个呢，这是2a撇那2a撇的话，这还是一零，然后的话，这是三一二分之派的话，这是负一。好，这个结果把它带进去。一代的话，

这是。负的这个三。然后再乘上六，这是负六。然后再减去个三，所以说这个结果等于负九。所以，正确答案选几啊选a哦。会做了吗？你看这种题。所以就是两个事情，一个事情就是切换。把它给我切过去，另外事情就不要缩写。你其实你发现刚才我们讲的这个东西的方法也叫什么东西啊？

不缩写是不是好代入？哎，我真不要这样学习，你这样学习我都拦不住了，对吧？你看刚才这个方法，我们就叫什么刚才这个方法，其实就叫刻意练习法。你方法学会了。然后之后你不要缩写就行了。我讲了半天，都是为了重点突出，不要缩写。就是不要缩写啊，这个什么只要你不缩写，

你就能做的非常好，然后到了最后说，哎呀，是不是缩写了之后好带入？你要是缩写了之后，一会你哪知道这个f1撇和这个f1撇，那讲了半天，我在干嘛呢？我是在玩耍吗？还是怎么了？那连着怼了好多题都是这样做，最后上考场我不我就不这样，我就做题，那我拿你没办法啊。别这样来啊。

好了，这是这个题目啊，我们就讲到这，你自己可以试一下，对吧？你不用光靠演技进行瞅。所以像这种题，今年如果再考，一定要把它拿下来。啊，这种题一定要拿下来，因为它的难度系数不是说特别大，就是第一件事情转到中间变量。第二件事情不要缩写。对吧，

因为这个东西的难一点的东西就是两个f1撇，我不知道谁是谁嘛。好，这个题目我们就说到这可以了吗？能通关过去哦，好了，那么接下来我们再来看看下一个问题，二元隐函数的偏导数计算。好，我们再来看看这个下一个问题，那首先这个类型问题啊，这是每年必会出一道题的，这都不用去想啊，这是必考题。二元隐函数的偏导数寄存。

这个问题比较简单。那首先我们先来看看什么叫二元一函数，你要会辨认。你要辨认出来，它是二元一函数。那这里面什么叫二元一函数呢？它这样说。三个人的方程。然后这里面当中一个人作为了因变量，两个人都作为自变量。它就是一个二元函数，也就说一个三元方程，确定了一个二元函数。三个人的方程，一个人作为了因变量，

剩下两个作为自变量没有关系，它其实就是一个二元函数。能听懂吧，由方程确定，所以说它的标志是什么？它的标志是方程。能想清楚吗？它的标志啊是方程三个人的方程确定的二元函数就是二元隐函数。但这里面当中啊，你要稍微小心了。你比如说这个题。好，这个题啊，你假设。你跟我瞅一下。

好，先不看这个。他说这个人呢，是由这个方程机器确定。然后且说y=yx有什么东西呢？有x方加上y方加上2 xy=0确定。你告诉我是个起源函数。一元还是二元？几元函数。基元啊，注意是一元函数。因为你要想清楚，原本的话，这个z可以到xy。xy如果没有关系，

是个二元函数。但是这个y跟s之间还有关系啊，它是个一元函数。所以说这个时候你在做问题的时候，你要想清楚，这里面当中的y中是有x的。能想清楚吧，好一定要跟上啊，这个非常好理解。你从z到sy sy没有关系，它是一个二元函数，你z到sy，然后这个y还能到s，那就是个二呃一元函数了。好像这个问题。

那么所以说二元隐函数的偏导数计算往往是怎么处理的呢？我们有两大方法。第一个方法叫什么？第一个方法就是求偏导法。就是方程两边同时对x求导。方程两边同时对y求导，但是你要注意，这个时候z中是有xy的。那也就说你对x求的时候y当然是看成常数，但是z中是有xy的。能理解吧，但是这个方法没有公式法强，我们考研大部分情况喜欢考一级，所以我们往往在这里面当中啊，喜欢用公式法。

那公式法怎么做呢？它会分成两步。第一步，然后进行去怎么办？找三元函数。哎，找三元函数。找三元函数就是方程的，一边是零。然后另外一边其实就是三元函数，就是fxyz这个三元函数。然后接下来我们再来看看第二步。我们继续去求偏导，那这个时候的偏z偏s这个结果等于多少等于负的？然后是这个三元函数对s比上三元函数对z。

这样做有个好处啊，就是你如果这个时候再对s求导的时候y是个常数z中就没有s了z也是个常数。听得懂我的意思吗？它也是个常数，所以这个时候你进行求导的时候会非常的方便。然后再来看偏z偏y，那就是负的这个三元函数对y比上这个三元函数对z。能想清楚吧，哎，这里面当中啊，有个同学说的很好。啊，说的很好，就是。注意啊。

负号的问题。能听懂吧，符号。小心点啊，这个富豪你做了这么多的三九六的题，你去看看那个选择题哪个选项？只要你比如说这个题，正确答案是二。错里面答案，选项当中肯定有负二。正确答案是负三，那这里面当中的答案当中肯定是有三。那所以一定要小心一个事情，这个东西啊，不要把这个负号丢了，

你一丢这个题就做错了。所以我们考纲要求的这些考点务必要非常的熟练。好了，这是这个事儿，不要丢了啊，千万不要丢了这个负号，这前面是有个负号的。跟得上吗？好了，我问一个事情。比如说这个算出来最后的结果是x分之z。我比如说。请问同学们，这个人再进行去求导的时候。再对x求导的时候，

这个z是看成常数还是z中有xy啊？你告诉个事情，如果求出这个结果了之后，我们再继续去求导这个z是个常数还是有xy啊？对US y。你要想清楚。是我们用公式法的时候，把z看成了常数，但它可不是真正的常数。要想清楚啊。一定要注意这个问题，你就看看你学透了没？你用公式法，只不过是这个套公式的时候，套这个公式的时候对s求导，

把yz看成了常数。但它可不是真正的常熟。好注意这个问题，把它想清楚呃，其实你核心重点掌握住这个事儿就行了。那么一般情况下，我们会怎么进行去区分这两种方法呢？区分这两种方法非常简单，一般是这样。如果考研只考一阶偏导数。你只考一阶偏导书，我肯定用公式法。如果这个题当中考了二阶偏导数，不会出三阶偏导数。顶多出到二阶偏导数，

如果考了二阶偏导数，我们就是两边同时求导，不要用公式法。因为公式法这个人求出来之后再求导，非常的恶心。能想清楚吧，好了，听明白了给我回复一。就是如果这个人只求一节，你就用公式法就行。如果这个人怎么办呢？哎，求到二阶，我们在这里面当中啊，方程两边同时求导，

这个很简单。好了，那么接下来我们来看两个题吧啊，这个公式法速度会非常快啊，来看看这个题目来解。你操作一下吧，他说这个二元函数由这个方程确定，那二元一函数第一步先来进行去设三元函数。三元函数其实就是一边摆几啊，一边摆零，一边摆三元函数，所以说这个时候的偏z偏s就等于几。就等于负的三元函数对s3元函数对z好，这个结果。那然后进行求呗，

你对z求的话，这是一减去sy，你对s求的话是一啊，对s求的话，这是yz。啊，这个非常快啊。然后这个部分是偏z偏y，然后用这个三元函数对y比上三元函数对z，然后这是一减sy。你对y求呢，这是一，然后再减去多少x1？出来了吧，所以你看这个偏导数啊，

这个很容易做啊好，这是第一个问题，那么接下来我们再来看看这个幺零五这个题。又是给了一个一个方程，确定那个二元隐函数，让我去求编导数。那求几阶啊？一阶那你就用公式法，公式法的话，其实就是只是arctangent x+y，再加上z。一边摆成零，一边摆三元函数，然后让我们去求解这个偏z偏s的时候，其实等于负的三元函数对s比上三元函数等于z。

跟得上吗？然后这个部分对s求导就是一+x+y+z这个人的平方。然后分之一中间变量再求导，那是一对s求的话，这是yz对z求的话就是一+x+y+z这个人的平方。中间变量求导是一减sy。好了没？能理清楚啊啊，这个比较简单，就是三元函数的时候对这个人求啊，剩下两个东西就看成常数。然后再来看看这个偏z偏y。能跟得上吗？好能跟上的话给我回复一啊。这个比较容易，

你这个做错了，你无论出多难的题啊，你这种题一般都不会特别难。然后对这个z进行求导的话，你就把这个东西抄一下x+y，加上z这个人平方，你减去xy。好，我们再来看对y求对y求的话就是这个人对y 1+x+y+z这个人的平方y再求导是一。你再减去多少xz？好，这是这个题，不用整理哦。因为你做了这么多年呃，这个做了这么多的题啊，

其实你都知道我们现在的考研非常喜欢考这个偏导数啊，在一个点处的值。你在一个点处的值啊，你就把它带进去就行。对吧，你就把它带进去。好了，这是这个题目，我们再做一个吧。行不行？好再来一个。呃，我们来做一下这个题啊。呃，这个题啊，

你看一下，这是一五年的考研真题。是这个数一一五年的真题啊。最近两三年的这个，我们的三九六的真题啊，你去看看老头子非常难，就把这个题直接给抄过去了。好，我们先看这个题。一个二元函数由方程确定，二元隐函数。对吧，二元隐函数，二元隐函数，让我们去求解什么？

对考给我们只能是两分考给他们的话，还值四分啊，题目的难度系数是一模一样的。那么求解一下吧，让我们去求解这个一阶偏导数，一阶偏导数啊，你就在这里面当中用一下公式法。先进行找三元函数，那这是e的z+xyz+x+cos在减二。好了，然后接下来我们再来看偏z偏s。好，稍等一下啊。这个已经。可以了吧？

好，这个人那这个时候把这个东西啊，你先设出来，你设出来之后的话，我们直接写了负的。然后对于这个什么对s求偏导yz，加上个一减去个三。然后对z求导的话是e的z，再加上xy。然后之后的话是偏z偏y，这个人是负的e的z，再加上xy。然后再对y偏，那其实就是xz。好，

这个情况把它算完了吧？你算完了之后啊，你可以不用整理。然后怎么办呢？你就在这里面当中，你要代值当这个x=0。y=1的时候，你还是求出z。你往这里面当中一代的话，这是e的z。然后这是。零+1=2，这是一，所以说这个z是零。那既然这个部分是零的话，

我们往里面带。一的零是一的话，这是零，然后这个部分的话是零，然后这是一减零，所以说这个结果是负一。那么，接下来我们再来看看下面一个人是负的，然后这是e的零的话，这是一然后这个部分是零，然后这个s这个东西一代的话，这个结果是多少是零？所以说这个东西啊，是负的理赔好了，这个题啊，

我们就讲到这儿。我知道有些同学又是来了，你们就记死，就这两个事情，如果求二阶偏导数，你就在这里面当中给我用什么用，这个两边同时求偏导法。如果这个题当中怎么办？如果这个题的话，让我们去求的是这个一阶偏导数，你就公式法就行了，你不用在这里面当中整什么一阶？呃，这个权微分的形式不变性，两边同时进行去求全微分的这个方法，

不需要这两个方法吃透了考研这个题啊，就没有任何问题了。能想清楚吧。你发现。我发现历史总是惊人的相似啊。我怎么感觉？强化班的时候也有个同学问这个问题呢。能不能先败后穷？要错错入魔了，这是一个二元隐函数。我好像我记得这个强化班的时候就有同学问这个。啊，那么像这个题啊，你发现对s求的时候，另外两个东西都已经是常数了，

这多好求啊。直接把它导出来，然后往里面带就行了。跟得上吗？好了，这是这个问题。那么，接下来我们就继续，我们再来看。哎呀，其实非常好学习，有些同学。不太会学习啊，你就记住这是个二元隐函数，你知道怎么做，

你考场当中见到这个问题，立即把它干掉了就行了。很快，这个题目就出来了，你再来看看这个题。来再来一道吧。他说的一个事情，他说这个二元函数由这样的一个方程进行确定，然后让我们去求这些人，那么这个东西求的是什么？求的都是一阶偏导数。那二元隐函数求一阶偏导数。我们怎么办？我们先找三元函数吧，这其实就是那三元函数。

能理解吧，你这个三元函数其实就是这个人。但是你要注意。我们这个题当中已经用f了，你一般设函数的时候你没有f用f，你有了f，你换一个呗。那么，这其实就是我们的三元函数。是吧，你稍微的换一个，其实你发现都不需要了，你折腾那么久干嘛？我们都做了好几道题了，直接刚。

你就记住这个人对s偏导数就等于负的。这就是那个函数，那个函数对s的话是多少？先对第一个中间变量求导y是常数s方分之负一。然后再加上对第二个中间变量求导z是个常数x方分之负一。然后比上zz第一个人没有，只对第二个进行中间变量求导，这是s分之一。然后我们再来看看这个偏z偏y。负的，然后对z的话，其实就是这个。然后再对y呢，就是f对第一个中间变量求到s分之一，所以说这个东西一整啊是f二一撇分之f一撇。

能学会吗？非常简单。你别管这个题，它给的一个是显示方程还是个引式方程，你做题的套路变不变都不变，只要求一阶。方程的一边是零，那这半边就是我要求导的三元函数。我就要对这个人进行求，然后接下来把它稍微的整理一下，上下同时进行去乘上s负负得正。x分之y一撇负负得正x分之z二撇。然后这个时候怎么办呢？你发现我们就来处理了。那上面这个式子要进行去乘上谁呀？

这个式子要乘上x，所以是y倍的f1撇儿z倍的f2撇儿。这个式子要乘上什么乘上y再减去y倍的f1撇，这两东西约掉，最后的结果是z答案选b啊。你看这个方法，所以说这个操作性的方法非常的简单，隐函数的题啊，一定要在考场当中稍微的控制一下。我就基本上一到两分钟内肯定是能做完的，只不过有些同学做不完你的主要原因呢，可能是你的方法用的不好。你方法用的不好，你有可能在这里面当中啊，你就做的非常的慢。

你要是像这种题方程两边同时求导，你肯定做的慢呐，因为你没有掌握住正确的一个思路。好了，像这种题啊，我们就讲到这。你想不想看一个二级的？啊，看不看？这个二阶的话。嗯，看一道吧啊。然后这个数一数二数三也是经过了好多年的话，才把这个。这个题目啊，

才考到了这样的一个。考到了这样的一个情况来，我们来看看这个题。来看一下二阶吧。因为我们做到太多的这个一级了。然后这个二阶啊，我们很少做，那么接下来我们来看看这个题。那这个题说一个二元函数，由这样的一个方程确定，然后我们去求二阶偏导数。那你想想一个二元函数，由方程确定那二元一函数。这个时候就不要用公式法了，因为公式法算出来是一坨，

你再求导非常麻烦，我们怎么办第一步？先对这个方程两边同时对s求导。z中是有se的。zz对s1撇，然后再加上前导后不导。前不倒，后来倒。然后这个部分对s求导，这是一二十。然后接下来怎么办？方程两边再继续求导，你发现跟那个一元隐函数的操作性方法非常像来再来求。前导先对中间变量求导，中间变量再导，

前导后不导，然后再加上前面不导，后面来导，两阶偏导数。你再加上这个z对s偏导前导后不导，然后再加上前面不导，后面来导是这个结果。然后二求导是零三十。是不是这个情况，你看做成这样了，你做成这样了之后倒倒倒呆呆呆，然后第一件事情当x=1，我给你写仔细一点啊，你下去自己看看。这时候要带到一式当中，

一式当中的话，其实就是e的z，然后加上z，然后这个部分的话，它等于一严抽法吧，超越方程。z根号等于零。那这个时候继续再把s=1 y=1 z等于几啊z=0，然后带入到谁呢？带到这里面。那这个时候你发现e的零的话，这是z对s1撇e的z的话，这是零，然后这是z对s1撇，它等于二。

所以说这个时候z对s1撇这个东西啊，等于一。然后紧接着我们就继续，我们再看。好，继续冲，然后第三个事情其实就是把x等于减1 y=1 z=0。然后是z对s1撇等于几啊等于一，然后把这东西往这带。我还给你写了，其实你做的要比这个快得多，你这些过程都不用写，你知道往哪带就行，我是为了让你看呢。然后这个人是一的零是一，

这个是一一的零是一，这是z对s的撇撇要求的，然后这两个东西又是一。然后这个东西又是一，然后这个s也是一，所以说这个部分的话是z对s撇撇等于零，所以说这个撇撇这个结果它在一。一处这个结果就等于负的二分之三。好，这个题听明白了吗？跟一元的那个东西像不像？太像了，一元隐函数不就是这样吗？导导导带带带导导导带带带。你也是往下倒倒对吧？

连续倒两下，你再倒两下，一模一样的。其实都不是像简直这个东西是一模一样，但是你记住，如果这个东西求的是一阶公式法才是最快的。如果这东西求的是高阶，你就在这里面当中扎扎实实的用什么，你就用这个两边同时求偏导的方法就行。会了没？好了，这13题啊，我们就讲到这儿。过去了，可以吗？

这这个很简单啊。那么，接下来我们再来看看下一个问题，我们来再讲一个点隐函数存在性定理。啊，这个内容。隐函数存在新定义。这个点的话，我们也从来没有考过。而且这个点。你像那个数一数二数三同学的新大纲，二一年才写入新大纲。虽然是这个时候写入新大纲，但是以前也考过。那像这个问题啊，

考的非常的简单，考的是什么呢？这种类型问题的方向是什么？只要你能把握住。到底。到底在干什么就行？好了，这是这个。这句话写的有点。啊，口语化了行吧，就放在这。就说你只要知道把握住。改成知道。你只要知道这种类型问题到底在干什么？

就是隐函数存在性定理是比我们刚才那个知识点要简单的。简单的多。比刚才的东西要简单。就是，但是很多同学他不知道一个事，这个东西到底在干什么，所以接下来我们来看看这个问题啊，这样。我在这里面当中啊，带着同学们稍微的话继续去梳理一下这个部分内容，你听一下。什么叫隐函数啊，同学们。我们先来看看第一个事情，什么叫隐函数呢？

那隐函数的话，其实就是由方程。对吧，我们这块有个方程。然后等于零的这个方程。好注意这个方程。然后他问这个方程。是什么东西呢？能否。然后进行去确定。确定一个什么呢？确定一个z的这个函数吗？大家告诉我是这样的个问题吗？他就问你这个方程呐，你到底能不能把这个函数确定？

是这样的一个事情吗？不是的。你想如果是这样的话，那这个东西就不用继续去看这个定理了。因为你琢磨清楚一个事儿。你这个方程如果把z作为因变量，不就是z的函数吗？x作为因变量s的函数。然后的话，这个y作为因变量y的函数。那你这样的话，我就能确定三个函数。不是的，一定不是。不是说问这个东西能不能确定一个函数，

而是人家问的是什么呢？能否确定那个什么这个函数？叫做什么而且有用，哈哈，这个比较通俗的话，而且有用。你不要跟我说，你能确定一个函数，这个函数没什么用。没有用，没有用。对吧，你没有用怎么行呢？得有用什么叫有用啊？啊，

啥叫有用呢？其实非常简单，就是可导。就是你能否确定一个函数，而且这个函数啊可导。能想清楚吧。就是你确定的这个函数必须导函数是存在的。而且可导，所以他问的就是这个问题，你这个方程呢？能否确定一个函数，而且这个函数可导。是这样的一个问题，确定一个什么确定一个可导的函数。所以这才是它的方向，

同理而言的话，你发现你下面一个事情，它能不能确定一个什么x这个函数？而且跟这个可导，所以我们现在把这个第一个问题啊，我们先来看看。啊，我们就来进行去看这个点。好，先看第一条。你这个函数能够确定这个人，而且可导。那同学们想想我怎么样？能确定这个函数，它就可导。

我们来看看这个问题。其实你很容易看，如果它可导，它的导函数等于多少？它的导函数就等于负的f对s比上f对z。偏z偏y这个人，他就会等于负的f对y这个人比上f对z。就是这样情况，你确定的这样的导函数就是这样。那什么时候这个导函数才是存在啊，那非常容易，你只要能保证这个东西的分母不为零就行。好这个人，所以说这个方程能够确定这样的一个函数，你只需要保证一个事情，

保证这个三元函数对z的这个偏导数啊。不为零，那么这里面当中我们同理一下。我们看看那如果是确定一个x的函数。那或者而言的话，我们这里面当中，如果是确定一个y的函数呢？好，我们来看看这个人。那如果是确定这两个函数，你同理可推，你就只需要保证什么，就只需要保证这个东西啊，不为零就行。所以如果是确定s这个人的函数，

你就只需要保证这个三元函数对s的偏导数不为零。然后确定这个人呢，你只需要抱着对这个y的偏导数不为零。是不是这个事情，所以说同学们，你想想这种题目是考的更难了，还是更简单了呀？更难了，还是更简单了？明显是更简单了，简单多了。比刚才这些题啊，简单多了。因为你只需要进行去检验这个东西为不为零呢？你想不想看一刀？

我们在这个。考研整个考研史里面只有一道题。啊，只有一道题。给你们看看吧啊，这个题。考研史当中啊，只有这一道。你把这个题看看。来看看这个题目。好，这个人那这块儿给了一个三元方程。啊，非常仁慈的点，其实非常在这儿，

就是根据隐函数存在定义。对吧，根据隐函数存在定理，他说能不能确定一个函数吗？不是的，他说能不能确定一个？具有连续偏导数的函数。有些东西就不理解了，说老师你说的不对呀。你刚才过程当中不是说具有偏导数的函数，偏导数存在就行了呀，不需要连续啊。其实非常容易。因为你想想。这是不是一个具体的方程？

一个具体的方程进行求导，肯定是个具体的函数。具体的函数进行分母不为零就有意义。一个初等函数有意义，它本来就连续。能理解吗？是可导必连续，别胡来哦哎呀，你这这这差的多。可倒闭连续时。一阶导数存在fx连续，这是一元函数。而且。在多元函数当中，可导也未必连续啊。

别胡来哦。你这一个方向是如果在一元函数当中。一元函数当中，我可导对吧？是我连续如果一阶导数存在是fs连续，不是它连续。你怎么又混了呢？哎呀，这我有点儿担心了，这都讲了多少遍了，别乱来啊，别乱来。一阶导数存在是fs连续，这是一元况，况且二元函数可导也未必能推连续啊。

别乱来噢，别乱来。我再强调一遍。这是一个什么？这是一个具体的函数。那就是个初等函数，有定义必连续。能想清楚吗？初等函数的一个特性。就是你在这个点处有定义，你肯定会连续。所以只要保证这个偏导数，它是有定义的，它本来就连续。嗯。

这这有一些同学，你的处理性方法呀，哎呀，这个。这个这个这还是还是够费劲儿啊，你求极限这个东西也不好求极限啊。这个东西要一眼瞅过去，不要在那墨迹，也不要在那看半天，你晃过神来之后，我都做了四五个题了，你怎么跟他比呀？这个东西不是说我们不应该想太多，是因为你在这里面当中的这个基本知识还是要打扎实，我再说最后一遍。

我再说最后一遍。如果这个人。它确定这个z的这个函数。pn zpns这个东西会等于负的fs撇比上fz 1撇。然后这个东西就求出来一个式子。如果它的分母不为零，偏导数肯定是存在的。另外一件事情，这是一个实打实具体的函数吧。有定义，本来就连续初等函数而言，它有定义，本来就连续。我讲清楚了吗？所以说对于这个题目而言。

他说，能不能具有一个连续的，偏导数的函数，其实就是想说能不能确定这个函数，而且可导。其实如果考试当中真考了这个事，你就别在那墨迹了。他都说的这么的清楚了。都说的这么清楚了，你就判断一下就行了呗。来第一步怎么办？先进行去构建一下三元函数。然后是这个方程的，一边摆成几。一边摆成零。

一边摆成它。然后你对x进行去求偏导y，然后再加上z倍的e的xz。然后再对y求偏导，这是x再减去y分之z。然后再对z进行求变导，这是负的lny，加上x倍的e的IC。是不是这个问题，那我只需要判断一下，在这个点处为不为零就行，来把这个什么东西呢零一一带进去。零一一带进去的话，这是一。然后的话，

这个部分呢，它也是一那这个部分是二，所以说这个东西不为零。然后接下来我们就继续，我们再来看。然后再对y进行求偏导y求偏导的话，这是负一不为零。然后再对z进行求ln 1=0，这个部分是零，那你告诉我x的函数能不能确定呢？能确定，因为这个人的分母不为零，有定义初等函数，而且连续偏导数既存在。又连续。

那这个y的这个人的函数能不能确定呢？也是能确定，因为它的分母不为零。那既然它的分母不为零，偏导数是存在的，而且对于这个是一个初等函数。如果这个东西有定义，必然连续，然后再来看z的函数能确定是不一定能确定还是一定不啊？一定不因为这个人的分母为零为零，他就不行了，所以这个人不行，正确答案选几啊选d。跟得上吗？其实这种考点非常的简单诶，

结果你看了这个题了之后，你理解了吗？看了这个题的，你理解了吧？你分母不为零。对吧，这个东西的分母它不为零。如果它的分母不为零，这个偏导数不就存在吗？而且它是个初等函数，有定义不就连续吗？所以说就是连续偏导数的隐函数，我讲清楚了吗？你其实想想这种题难，还是刚才的题难？

哪个题难？其实你发现是刚才的题难。因为这种题其实考的就是送分。它的重点只是一个事情，就是你去评判一下你的分母到底为不为零？你刚才还要算你这个东西只用进去去看看它为不为零啊，这个事儿就行。好了，没那么在这里面，我们多讲一嘴吧，我我实在是担心的话，它出。他出的出的简单了，对吧？出的简单了，

有些同学不是说不会，而是这个东西的这个知识点没有复习到。我们把这个一元引函数的东西啊，我们再来跟同学们进行去讲讲。呃，那一元隐函数存在定理呢？那么你要考的话，肯定考二元，但是如果是一元呢？它考的比较简单的时候，我们怎么办？所以我们现在看，如果是一元隐函数，其实就是两个人的方程，然后确定一个y跟s之间的函数。

一样的。一模一样的。所以我们在这里面当中，我们来看看这个事情。对吧，如果考的是一元隐函数，存在性定理呢？我这里面我多讲一嘴哦。其实一元隐含说也有公式法。但是你尽量不要学。你不用管。我给你讲讲一下这个公式法。你看这个y对x求导，它的公式其实就是一边摆零一边摆二元函数。这个二元函数对y比上这个二元函数对x。

诶，这个是二元函数对s比上这个二元函数对y。好同学们，你想想。跟我们原来讲那个东西像不像？你想想像还是不像？啊，这东西像不像？所以说市面当中啊，有些的话去讲一元隐函数也用公式法。我说两点。我说两点为什么不要学？我说一下。第一件事情。不利于体系的建立。

你想想一元隐函数在什么时候学的？一元隐函数在第二章学的。而你发现一个事情，这个偏导数是在什么时候学的？偏导数是在高等数学的下册学的。你想是不是？你在学这个一元隐函数的时候，你会求偏导数吗？大部分同学不会。所以说你发现这样它不利于这个体系的构建，而且。有没有观察出来，从去年的考研真题的特点就会发现。什么特点呢？一元引函数而言，

基本上现在都考几阶偏导啊？几阶导数了？你做了这么多题了啊，你从去年的真题你已经发现，你看看一元隐函数而言，现在基本上都考几阶偏导数啊，几阶导数不是偏导数。你看一下这个人。比如说我们看去年的题。考几级是不是都是开始进行去考二级的？你还是得继续去两边同时求，所以这个东西的求导方法不用去学，我只教一个事情。就是你要能确定这个函数可导，你就得保证什么东西啊，

保证这个二元函数对y的偏导数不为零。记住就行。会了没？如果考一元隐函数存在定理，那肯定没有二元隐函数存在定理难呐。那翻译它就考的是简单的，怎么办呢？我们就有点担心了。万一考这个简单的难的都会了，结果你发现这个简单的不会做了，那我多崩溃呀。能想清楚吧，你只要能保证这个东西的二元引这个什么二元函数对y的偏导数不为零就行。一样的啊，一模一样。

好了没好这个点呢，我们就讲到这。那么，接下来我们再来看看这个下一个问题。啊，还有一个东西是方程组形式的隐函数求导问题。那这个知识点呢？我们也来给你讲讲方程组的形式。那这个方程组的形式啊，它通常是这样。这件事情我强化班是讲过这个事啊啊，这种问题不是说特别难。那么，接下来我们再来看看，我们先看第一种。

如果这里面当中考察这个方程组的形式。好，我们先来看看这个方程组的形式。那么，第一个部分呢？假设他考了一个这样。里面当中有哪些东西呢？比如说有x有y。有t。啊，这个人它等于零。然后第二个人呢，也是有x有y有t，然后等于零。我问一个事情。

这个东西是一个，这是个几元方程啊，几个人的方程？几个人的三个人的方程，三个人的方程，其实你会这种就行了，一会第二种的话就有点呃，基本上我们考就很难考到这个事情了。是不三个人的房产？所以说大家想想一个事情，我们就来看看。你来给我瞅一下这个事情。那这是三个人的方程，你品啊？三个人方程。

如果这三个人的方程。我上下能不能把t给约掉？能不能我上下把t约掉？是不是就会得到了一个y跟x之间的一个方程？是不是能确定一个y跟x之间的函数关系？这个你赞同吗？约掉了之后，这个方程里面当中不就都只有只有sy吗？只有sy的话，你发现。不就是y跟s的函数吗？你说老师那万一约不掉呢，你要注意，这是抽象的问题，无论怎么样，

这两个东西可以抵消一个。然后我们再来看，如果这里面当中怎么办？我把y进行去约掉呢？把y约掉了之后，它是不是得到了一个x和t的方程？也就这个方程里面当中，只有s和t。只有s和t，如果把x作为自变量。那是不是能确定一个t的函数？听得懂吗？他说老师那为什么都要用x呢？那我也可以是什么把t作为自变量，我再约掉sy跟t啊，

注意看题。你要进去去看题。就是你要看看这个题目到底在考什么？我想问你个事情，大家琢磨一下。大家告诉我，如果这个题让我们去求。你告诉我个事情，它会求什么东西啊？比如说我求y对s求导是用d还是用偏呢？用d还是用偏？刚才讲过，能确定一个y跟x的一元函数，那肯定是用d喽。对吧？

I是用d，不是用偏。所以我们现在最重要问题，我们要看看这个东西等于多少？所以你要想清楚，这个东西确定了。一个什么？y跟x的函数，还有t跟x的函数。你就要看题。如果这个题选s作为自变量，我们就选s作为自变量，如果他选的是t作为自变量，我们就怎么办呢？选t作为自变量，

就是上下同时约掉yx是t的函数，上下同时约掉sy是t的函数，听得懂吧？你要看题题怎么问他怎么来？好了，那么接下来我们看看这个第一个问题怎么去处理？好操作一下第一个题。怎么做呢？这个之间的关系梳理清楚了吗？好，这个东西能确定个这样的函数。然后t是s函数。我我真是崩溃了，对吧？那说明你就你就你就根本没有听懂啊，

那我这讲了半天你也不知道我在干嘛？就是你发现上面有t，下面有t。你把第一个人的t解出来，你带到第二个方程当中。我说个最简单的，比如说这是is+y=t。这是s+y^2等于t方，你把这个人给我带下来不就行了。啊，带下来之后的话不就是is+y的这个平方吗？你把它当成常数干嘛？你一旦这样想，你胡思乱想的时候，你其实你发现你就没有章法了。

你这别别乱想啊，好听明白了吗？好听明白了给我回复一。听明白了，给我回复一。就算解不出来，你也要认为这个东西能解出来，能带到里面。听得懂吧，写不出来，你要认为写得出来。怎么去求这个人？非常简单，来第一个式子方程两边，同时对sf对第一个中间变量求导是一。

f对第二个中间变量。第二个中间变量的这个y。y中是有s啊，所以y对s求导。第三个中间变量求导，然后t中也有s啊t对s求导，这是零。然后这个二是再对s，然后是七对第一个中间变量求导是一。七，对第二个中间变量求导的话，其实是y对s。然后是基对第三个中间变量求导，然后是多少是t对s求导这个结果？能学会吗？

好了，这是这样的一个问题，你看立即就做出来了。我就把这个东西写出来了。会了没？好了，把这个东西写出来之后，我们来看看。你要怎么办呢？你要把这个dy比ds你要算出来，那就是你把这个人给解出来，带到下面。但这样做，速度非会非常慢。速度非常慢，

我给你教一个快的，大家想想你这是f2撇，你这是f三一撇吧，然后你把那个前面的东西移过去，就是负的它。然后这是g二一撇吧，然后这是g三一撇吧，你把这个东西移过去是负的g1撇吧，好，大家告诉我。你这个部分的话，是不是dy bds？你这是不是dy bds？你这是不是dt bds？你这是不是dt bds？

能想清楚吗？好了，那么这个时候你告诉个事。如果你把这个dy比ds看作成x1，这个看作成x2，那是不是就是？a一一x1，a一二x 2=b一，a二一x1，a二二x2是不是等于b2？是不是这个情况？那同学们告诉我，这是不是个线性方程组？你线性方程组你给我解x1怎么解？我可以根据克拉莫法则。

克拉茂法则非常快，就是系数矩阵的行列式。系数矩阵的行列式，然后要求第一个把最后这个东西就替换一下，本题结束了，直接算行列式结束。能听懂吧，这个速度会非常的快。所以你根据克拉默法则，这个事情你很快这个东西啊，你就把它想清楚了，所以像这种方程组形式的这个求解这个速度是最快的。跟上了吗？听明白我的意思吗？好了，

那么接下来我们来看看这个人。那所以说这里面当中的这个dy比上ds，你就给我算来系数矩阵f2撇g2撇f三一撇g三一撇。好这个人，然后这个时候的话，你算这个人是负的f他负的基他，然后是f三一撇g三一撇。然后你去算这个结果的话，不就是主对角线。然后是f二一撇儿g三一撇儿减去g2撇儿，这是f三一撇儿，那么上面这个东西的话，其实负的f1撇儿g三一撇儿加上一个g1撇儿f三一撇儿。问题结束好了，这是这个问题。

所以像这个问题点呢，你把它梳理清楚就行哦，我觉得这个方程组的形式啊，你掌握住这个人就行了，偏导数那个东西啊，你就不需要了。好了，像这个点会做了吗？你可以随便的出题，你想怎么出就怎么出，你出两个方程组，然后进行去处理就行了。好了没？不要背啊，不要背。

哎呀，一通百通，你看这些东西都是你学过的东西。不要背。不要背什么公式，这东西你稍微转一转，这个东西就出来了。好了没啊？这个很简单，很说老师，我不会克拉莫法则，你不会克拉莫法则，你的线性代数是怎么学的？你线性代数不就是在解方程组吗？好了，

我们来试一下。呃，再来写一个吧，我随便写可以吧？你想怎么写？s方。加上歪方。加上t方等于六。好不好？然后是是sy。加上xt。嗯，3s吧。加上4y。加上6 t=0。

可以吗？行吧，我们稍微休息会吧，一会我们继续。不难哦，其实你发现这难度系数不大，最重要的问题就是你知道它确定的这个函数，确定的这个函数就行。就是你知道这个事儿就行，你截个图吧，你下课做一下，这这我随便出的做不出来呀，这个啊。哪个想不出，想不到啊？

你掌握住这个方程组的形式，下次就这样解不就行了吗？我不知道你是怎么去学习的。有些同学说，哎呀，我一下掌握住了这个方法，下次做我可以精益求精，太棒了。有人说，哇，这个东西怎么有人能想得到？哎呀，我怎么那么的难受？你发现看这其实就是学习方法的这样的一个问题。你只要能保证下次能想到不就行了，

那你在这干嘛呢？你这不在复习吗？一定要积极一点，对吧？好了，这个题啊，让我们去求解什么呢？让我们去求解这个dy比上ds。好把这东西算一下。很简单，很简单，最重要的问题就是。关系是非常重要的。把这个关系梳理清楚是最重要的。就是关系要梳理清楚。

我觉得后半程的计算其实都很简单了。你最重要的问题，你咋知道是这个情况，这个有点难。好了，截个图吧，截完图给我回复一下课休息过程当中啊，你把它做一下，我觉得一两分钟内肯定是能结束的。改一下吧，13啊。嗯，这13。好，这样吧。

改成了这样。一块做一下。好不好啊？改成这样，你下课的时候把它做一下。有这样的话，一会儿我还可以再稍微的出一下，它就是一个很好的题了。好，截个图，行的话给我回复一。啊，我们休息会儿，然后你课间休息过程当中，你把这个题做一下。

一定要积极一点，这个题其实没有讲什么。比较难的东西是前面分析的那一波。你怎么知道y是s的函数？你怎么知道t是s函数？你一定要先分析一下啊，你不要就直接刚了。分析才是最重要的，后面的计算其实都没有那么难。分析是最重要，其实这句话你要知道，能分析出来这个这个题就结束了。而不是后面这些运算，这运算都还好办。好了，

我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续这我们强化不是也讲过这种题吗？啊，梳理一下好，我们休息会一会，我们继续。

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