10.冲刺串讲10-1

罗泽兵 · 发表于 6 天前

好同学们，行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测点声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请用回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的冲刺救命班的课程，那么还是第一个阶段的课程冲刺大串讲，那么在上次过程当中，我们的核心重点应该有以下几个事情。一个事情是不定积分的，这个定义还有它的性质，

然后第二件事情就是不定积分的计算，那么在这里面当中啊，我让大家下去把这个不定积分的计算题提前先做一下。有没有做呀？这些题完成了吗？呃，这几个题啊，不是说特别的难哦，你下去一定要把它进行去做一下，然后包括我们在那个呃800题当中啊，然后的话那些题你自己把它分配一下。你分配个好几天，每天过程当中啊，保持一下这个做不定积分的这个手感，当然其实我们在考研的时候啊，

它更加重点的应该是在定积分。而不是在这个不定积分。那当然，不定积分是个基础啊，你只有算好了，不定积分，你的定积分呢，你才能算的更好一点好了，那么接下来我们就正式开始吧，一会儿过程当中我们再来讲。这是上次过程当中的第一个问题，然后第二件事情就是定积分，那定积分涉及的这个定义对吧？什么叫定积分？定积分代表了曲边梯形的。

绝对面积不是面积上方的积分，是面积下方的积分呢？是面积的相反数。所以说学到今天啊，你不要这个呃，心里还是老是感觉说这个定积分就是面积这个不对定积分是什么定积分是绝对面积？所以我们这里面你一定要进行去看看这个问题呃，那这里面我都多提一下，那么后续过程当中我们可能就会做这两件事情。求面积那比如说求面积往往做几何体啊，我们是不是要画草图啊？你就画一个草图就行，但是对于有些同学而言，做一个题啊，他就希望把这个人的详细图形画出来。

你有些题你就画不出来，你所以说在这里面当中，我们只需要画草图就行，那我想问你个事儿。如果让你比如说这个题啊，它给了一个y=fs。我让你进去去求a到b这个部分所围成的这个面积，大家想想你最关注什么呀？你关注什么东西？其实你需要把这个人的详细图形画出来吗？不需要的，我只在乎一个事情，你一直都是正的吗？还是一直都是负的呀。还是有正的，

也有负的呀，这三种情况是不一样的。你如果这个东西永远是正的，那我画你干嘛呀？我直接从a到b的积分就是面积，你直接写公式了。如果它是负的，那a到b的积分，然后再加上相反数。那如果这个东西跨过s轴，这是最恶心的，那这个时候你必须要找到焦点，你找到焦点这个部分的积分式面积。这个部分积分的相反数是面积，你能理解我的意思吗？

所以说这个时候啊，才是我们最终关心的一件事情。所以因此有些题目有人说啊，老师，我不会画这个图，没有关系，你只在乎这个事情，你求面积不就是在乎我在上方，我在下方，我还是会跨过s轴。这三件事情就行，能理解吧，好掌握清楚给我回复一啊。问题点不大吧。好了，

这是上次过程当中讲的第一个问题，定积分的定义，然后又讲了性质，那么在性质当中啊，第一件事情定积分是个数。对吧，定积分是个数，你要把它掌握清楚，然后第二件事情定积分呢呃，不光是一个数，我有我还拓展了一个那个极限呢，如果存在它也是个数。对吧，你也可以把它设出来，两边同取极限，

就跟我们积分一样，你可以把这个什么你把这东西给积出来，然后两边怎么办？把这个设成数，两边同取积分。那这是我们在上次过程当中讲的一个重点内容，那么接下来我们再来看看下一个问题，那定积分性质当中还有一个东西比较重要。就是定积分的比较，那这个内容啊，一般会出一个啊，一道题也就是两分。把这个学会啊，怒拿两分。所以接下来我们来看看这个定积分的比较，

那定积分比较它往往会出现以下两种情况。那第一种情况叫什么呢？注意就是积分线。啊，积分线相同，但是它的被积分函数不同的这种题型。就是我会遇到这种两个定期分享进行去比较。结果发现，这两个定积分的积分线是一样，但是这两个东西的什么被积分函数不一样，这常考的我们基本上就考这种。所以说遇到什么呢？你比如说你看这两个东西啊，它的积分线是一样，然后这个人呢，

也是a到b的这个积分，你看积分线一样。但是这两人呢，被积分函数不一样，所以像这两种定积分进行去比较，你怎么去比呢？那这个东西的考点是什么？很简单，方法论其实就是比较定理。啊，这是提醒一。所以这种情况我们使用到的就是使用比较定理，然后来出题，所以这是第一种情况。啊，

第一种问题比较定理，那比较定理的内容是什么呢？比较定理啊，它内容是这样说，谁的内核大谁就大。啊，其实说的就是这样一件事情，那么它的理论角度上就说如果呀，我在一个区间上，我在这个区间上。fs这个人小于等于gs这个人。那这个时候两边同取正的积分线，切记啊，两边同取正的积分线和为正的积分线。其实就是这个上限要比这个下限大。

两边同取正的积分线，我就比你大。但是如果这个积分线呢？它是下限大，上限小呢？这不行。因为你比如说我两边加零到一的这个积分线行不行？可以两边加一到零呢？不行，因为一到零的话，你要调换上下限，要加符号，两边约一个符号不等式方向，是不是要改变呐？那肯定不行。

所以说它的理论是什么？就说如果我比你大，两边同取相同的积分线，我比你大，这个积分线呢，必须是个正的积分线。那所以那将来我们想进行去比较，这两个定积分，你只需要比较什么？你是不是只需要比较谁的倍积分函数大呀，所以这里面当中啊，你做题的方向非常简单，你做题的方向。就是只需要进行去比较。比较什么呢？

当这个x啊，在AB的开区间内不用比较B区间。为什么同学们告诉我B区间开区间一样不一样？你比较这个定积分。其实就是比较这个绝对面积。有没有a这个点？有没有b这个点？有没有a这个点就是有没有这条线？有没有b这个点就是有没有这条线？这两条线会对这个面积造成影响吗？不会的。那所以说同学们一定注意，只需要比较开区间内谁的大小呢？这个ifs与gs大小。这俩人所以说既然进去去比啊，

我们有可能在这里面当中啊，就会涉及到什么，我们涉及到这里面当中的基本不等式的问题。啊，常见的不等式，所以接下来我们来看看，把这个内容我们稍微复习一下，里面当中一定会涉及啊，跟哪个东西喜欢考呢？好，我们在这里面当中一个必备基础。一个基础其实就是重要的不等式。好，我们把这些重要不等式啊，我们通通的来进行去回顾复习一下。

好，这个人那么首先我们先来看看，这里面都要记啊，一定要把它记住。有的时候我们考题啊，你就记住这个不等式，你就会做这个题，那么接下来我们先来看看这里面当中的第一个人。第一个那第一个其实就是es这个人减一大于等于s。好，这个人大家一定要听清楚，有的说那老师我用泰勒公式记，不要这样来，用图像记，用图像记是最重要的。

因为这里面当中啊，我们会设计图像，那is大于等于多少ln 1+s？你看这个人往年考过都考过这个问题，那么所以说这里面我们来看看这个事，你看怎么进行去记呢？你就画图，那这里面当中的这是so y的笛卡尔坐标系。然后这里面当中有一条线，这是es- 1这条线。这是es，然后把它往下平移一个单位，其实就是es- 1。好了，这是es- 1这条线。

然后接下来我们再来看第二件事情，你过这个点做切线。你过这个点做切线，刚好是x。你可以算一下es- 1，在这个点处的切线方程，它其实就是y=s。然后再来看下面这个人，那下面这个人的话是l 1+s。就这个人，这是l 1+s。好了，这三个人之间的关系啊，非常明确了，而且他们只有在这个点处。

它们是相等的，别处啊，都不会相等，所以这里面你要记住，只有什么当且仅当。s=0的时候等号成立。好这个人，所以说考研的时候啊，非常喜欢考这个人。那怎么去出题呢？我原来记得强化的时候，我讲过有些东西可能没有听强化，那也没有关系了，那么在这里面当中我们来看看考法。你先看看第一个考法。

啊，考法一。那么这里面我就可以喜欢把这两个东西啊放到一起去考。哎，就这俩人。然后这是y这是零，然后这是s。那然后怎么去出题呢？你可以这样来，比如说我出大于零。你出大于零的话，这就是x。然后的话，你这一块的话就是e的s- 1。然后这是多少？

这是l 1+s，有些东西都掌握住套路。然后这个时候你会发现我取一个点。比如我取一这个点。取一这个点了之后，你发现这还有两条线呢。对吧，然后这是不还有条线？能理解吗？然后这些线之间的关系就知道了，所以我们来看当什么情况，当这个x大于零。小一的时候。来先看第一条线，第一条线一的时候，

这个高度是一减一，这是一，所以斜率是多少？一减一乘x。对吧，这是直线方程，然后大于多少es- 1大于谁s大于谁ln 1+s。然后再大于谁，你再看第二条线，这是录音二录音二÷1，这就是录音二录音二×x。好，这个情况，然后这个时候呢，你看怎么去除？

我可以这样，我把这个东西啊，两边同时除以ses- 1÷s。然后大于一，然后大于多少ln 1+s比上s，然后大于ln 2。然后这个时候出题的时候就出来了，你比如说我取两边同时取多少零到一的这个定积分，那就是这个定积分。然后比一这个人大，然后比零到一x分之ln多少一加s这个人大，然后这个人呢比ln二大。然后这个零到一积分呢，一减一。所以说最后而言，

我们就出成这样了，你比如说我们今年考题，它可以出什么呢？它可以随便考。比如出一个什么出一个这个人。出一个这个人和诺伊尔。那么，除这三个人可以。说比较一下这三个人的关系，你或者怎么办呢？你出这个人，你出这个人对吧？你再出个一啊一的话就不好了。所以在这里面当中，随便的挑你随便挑三个，

我们就出出题了。所以注意这种考法，这种考法非常重要。能学会吗？好了，注意啊es- 1这个人呢？是比他大的。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这儿啊，要跟上这个思路点啊，它是怎么出题？好，第一波出来了吧？来我们继续，

我们再来看看下一个事情。那这里面当中还有啊。第三个人，那其实就是当x这个人大于零，小于二分之派的时候。那这个时候一定会有这个t ants大于s，大于这个s in很喜欢考这个人。啊，这个人也非常喜欢出题，那这个人的图像是什么情况？我们来看看这个人。它的大致的样子是这样。这是y，然后这是零，然后这是x。

但是他们的图像是零到二分之派。是这条线，然后这个点下来，这刚好是二分之派这个点。然后之后你发现这块中间有一个x这条线，然后下面有一个s in这条线。这是tangent。所以说就有这三个人的关系，但是注意啊。如果再往下走，再往过走的话，这个tangent是不是在下面呢？那就不行了。所以一定是这样的一幅图。啊，

这三个人的关系，其实接下来我们再来看看第四个人。你其实只要s大于零，你这个x你都会比这个s in大。为什么你想想你看你这块比它大，你s是这样，3e是这样，我永远都会比你大好了，这个图形你要把它记住。好了，如果掌握清楚这个人，我们再来看题。coding 2啊，还会继续出。那么这里面我们再来看一个题。

那比如说我们这里面，我们就出一个什么呢？那首先第一件事儿，我们可以出x和这个s in。那x和s in的话，这是x。然后s in的话就出到多少，你就刚好出到二分之派。那这个时候这是s，然后这是sins。那这个时候你看你把这个点和这个点，你就可以连起来了。对吧，你就可以连起这个线，所以说它们的关系是x这个人大于s in这个人，

然后大于多少？这个高度是一啊。一的话就是派分之2s。当然，这是零到二分之派上零到二分之派上，我可以进行去取定积分呐，你这个定积分你就大于多少？我们可以先把这个s除过去，两边同时除以s了之后的话，这是s大于派分之二，然后是小于。然后这个时候的话是是零到二分之派sins比上s定积分大于多少呢？这个积分是一。然后这任积分呢？是二分之派。

所以你可以出什么题呢？你可以出这个人跟一之间的大小比较关系。是不可以出题啊。完全没问题，然后再来看看下面的事情，你比如说你想进行出什么呢？你想进行就出这个tangent。那tan这个人，你发现是这样，然后这是x这个人，你再出哪个点呢？你贪这些二分之派是没有意义的，你觉得在这种当中，如果出出哪个点比较好？是不出四分之派比较好？

所以然后的话，这个人他就得到这个样子。那如果是四分之派的时候，那其实就是tangent。那上面这条线。tan 4分之派，这是一。所以说其实就是派分之4x大于这个tangent，大于这个x。所以说这是派分之四，然后比这个tangent t÷s大于一。那这个时候你看你取零到四分之派的这样的一个定积分，这个定积分的话，它就比一的这个定积分大四分之派，然后。

然后这是一你看我就可以出什么，我就可以出这个人跟一之间的大小关系，那其实你发现这三个人的关系就明确了。那很明显是你比一大乙比他大，所以这三个人关系啊，就非常非常明确。跟得上我的意思吗？好，这是这个问题啊，很喜欢这样出。啊，稍等一下好了，这是这个问题，能跟上吧啊，这是考点二。

嗯，我把它关了一下，不然的话老是蹦一会儿，你一会儿又有声音啊。好了，这是我们讲的这个第二个点，那么这里面还有一个东西，我们继续看。再来看第五点。那第五个点呢？你要稍微小心，那其实就是涉及谁呢？这样的一个不等式。当x大于零的时候。有一个什么呢？

有一个ln一加s分之一，你困了？你怎么能困呢？对吧？两点了。一点钟休休息到现在可以了呀啊。好了，我们来看看这个人啊。那继续，我们再看这个人。那这个东西是l一加s分之一。那这里小于多少呢？你小于s分之一，你大于多少？一加s分之一。

好，这个不等式的证明呢？怎么证的呢？这东西的证明其实就是把它写成s分之ln一加s拉格朗日证出来的，这个东西记住，但这个人呢，没有下一个人考的多。然后再来看第六条，我只需要怎么办？把这个x分之一换成x。把I四分之一换成s。把x分之一换成x了之后，是这个人。上下同乘，其实就是多少一加s分之s，

请注意这一半儿非常的重要。你想想这一里面当中，其实就为我们提供了一个思路，当I是什么零大于零的时候？提供了一个什么思路呢？l 1+s可以放小呃，这个可以放大l 1+s也可以缩小。注意下lin 1+s也是可以进行缩小的。这其实就是我们想考察的这个问题。所以说这个里面当中啊，你进行出题的时候，你就稍微小心了，对吧？他怎么会出怎么去出这个问题？他是可以怎么办？

这个人是这个情况，你比如说我这里面当中出一个题。例一，然后让我们进行去比较什么呢？比较这个。嗯，零到一一+coss。分之ln，一+sds。这个人呢？和零到一，然后这是二倍的一+cos x，然后这是x。ds的关系。你看这个题呃，

这个题啊，是数一数二数三同学二零二二年的一道考研真题，那这个题我没能做。如果让我们进去去比较这俩人，你怎么去比呀？你看这样一出就非常好了。你怎么比呢？那么，首先我们先来看看这两人。来吧，同学们，这俩人的什么相等？积分线相同吧。积分线相同，被积分函数不同，

只需要比较比较，只需要利用比较定理比较这个什么？开区间内。俩倍积分函数大小。那这两个被积分函数怎么比呢？你发现都是一+cos。都是一+cos的话，其实你发现你应该把这两个东西是不是写成一样？你写成一样了，之后的话，这是ln一加s，然后把这个人写成二分之s。你是不是比较这俩人呢？所以比较这俩人的重点，是不是就比较这两个人呢？

对吧，我们就要比较这两人。所以像这个问题，我们肯定啊，不不不。不是也可以。这个一减long，这个人就喜欢跟s嘛，你所以这写成二分之s。好，所以说我们的重点其实就只需要比较这个lo one加s和二分之一s啊，在零到一范围大小。你怎么比啊？一画图你好像也不好画。你怎么比啊？

我们先看第一种方法。你跟s之间的比较很好比。那么，现在比较不等式不等式可以怎么做？不等式的话，你可以另一个函数。你把这个l 1+s这个人。和二分之一s啊进行做个差。你做个叉了之后的话，你进行求导。你一求导的话，这是一加s分之一，减去二分之一。那么，请同学们告诉我。

啊，注意不对啊不对。x比它大。二分之一s可未必比它大。不不不，也是。泰勒，你是怎么能扩散到这儿？你不要胡做呀啊。都到今天了。别发散哦，你千万别发散。这咋什么方法都来了啊？好了，所以说我们来看看。

而且一个点比他大，你也不能证明所有人比他大呀。好了，回来回来回来啊，你是觉得这一步非常麻烦吗？还是怎么了？你这一步也得想得到啊。好了，我们继续啊。那么在这里面，你不就是想比较这两人大小关系吗？你就做个差，然后研究一下这个函数就行。所以说这个时候我们来看看这个问题。哎，

那这个时候你想想，你x不就是大于零小于一吗？你s大于零，小于一，我再说一遍，一个点比它大，未必全部比它大。那嫌麻烦，那完了，那这没法做了，是没法考了，对吧？稍微算一下啊，这题不会是我们考的，稍微来一下，

这不可能是我们出的，你这初中生都会做的问题啊。别乱来哦。好了，我们继续吧。所以说这个时候你发现不就研究这两个大小关系吗？零到一的范围内。零到一的范围内，你想你这个人比几小，你这个人比二小比二小，其实这个人比二分之一大。比二分之一大，那这个时候你发现它什么零大于零？大于零的话，你发现这个函数肯定是单调递增吧？

那这个时候你去找上一级为零的点零处，刚好等于零吧，同学们想零处刚好是零。你又增上去，这个函数什么零这个函数不就大于零吗？所以说这个函数大于0l一+s这个人。是不是就大于二分之x啊？是不是零到一注意啊？不是说所有情况都相等都大，于是零到一的范围内比它大。这时候是不是出来了？所以说这个时候你看马上就出来，这人更大。好了，这是第一种方法，

这个方法必须要会用。就是使用不等式，你想想我的目标是什么？我的目标就是比较这两人大小，我的目标就是比较这两大小，那我就做个差进行去判断这个函数的大小关系呗。这是一个普通操作，那还有没有方法？我们再来看第二步。当s的如果大于零小于一的时候。对吧，零到一。零到一这个范围内的区间呢，你想想我们刚才说了你l 1+s这个人。你比s小，

你比s小，你未必比二分之s小，所以这个人东西做不出来。但是我可以试一下，我刚才说只要大于零，还有另外一半呢，你也可以放成这样。那这时候我们再看。你这个部分是小于几啊？你这个部分是小于二。你小于二的话，你发现把它放大。结果不就一下子就变小了吗？是不是你把这个人变大成一？你下面变大了，

结果变变变小了，所以说这个人呢，一下就出来了，你这个人是比二分之s啊要大的。所以如果考到这种题啊，它就会稍微的灵活一点点。就是你里面当中，你一定要注意，你就要进去去试。一定要灵活，所以这件事情马上出来了，那既然你比他大零到一罗音多少呢？一+s比上一+cos这个人的定几分？它就比什么零到一，然后这是二倍的一+coss，

然后这是sds要大。好这个题啊，把它想清楚，就是我们刚才讲的这几个问题，当然是主心问题。那如果今年考研的时候，他没有考到这些问题呢？你也得会做。他如果没有考到这些不等式，你也会进行处理啊。就是第一种方法是通法，我的目标是什么？我目标就是比较这两个大小。比较这两个大小，那就可以处理了呀。

好了，这个问题啊，我们就讲到这儿，这是第一问。第一个题。所以说常用的会使用到这些不等式。因为我们很喜欢跟这个人挂钩框。好了，继续吧，我们来看看下面几个题。先看80题，这个题。嗯，不带这样的啊，那不是刚讲的吗？

我又不是昨天讲的。我又不是前天讲的，我是刚讲的，你这你才给我几秒钟啊，你上课好好听课对吧啊？这刚讲的这个不等式。好了，我们继续吧，我们再来看看这个下面题80题。来，继续吧，80题。你看这个题怎么做？那这个题啊，他给了一个情况，

他说积分线是什么哎，这种题比较简单。你看这三个人积分线是相同的。积分线相同，被积分函数不同，考比较定理。那考比较定理，我就只需要比较这三个被积分函数大小，就你的大小和你的大小。和你的大小。哎，这三个大小，这三个人在哪个范围大小呢？这三个人在x大于零小于一的范围内大小。但是我们又知道，

阿格t an ENT这个人呢？是单调递增的，所以说我只需要比较你。你你的大小就这种题考的比较简单。那么，其实可以出的稍微的恶心一点，比如说把这个人改成arc quartet t，或者是cosin arc quartet t，就是单调递减的了。cos在零到一就单调递减了，那这时候还使了一个幺蛾子，如果你更小，其实最后结果更大。这是要小心的，所以现在我们怎么办？

比较这三个人大小，这三个人简单呀。你来看看这个人，这是y这是零，然后这是s那这是一那你想这是s这条线。然后这是s方这条线，然后这是根号s这条线。所以这个时候我们马上知道根号s这个人呢，是比s大，比平方大。那这个情况的话，阿克tangent这个人呢？就比阿克tangent这个人呢？就比阿克tangent这个人呢？所以说最后结果马上出来了，

因此应该是j这个人比这个I这个人大，比这个k这个人大。好了，这是这个结果吧，所以就是ji k答案选几啊选d。好了，这是我们讲的80题。那么，接下来继续吧，我们再来看看下这个题，那这个题就比较简单了。你看这个题，其实就是我们刚才讲的这种出题风格。那这种出题怎么去处理的呢？它就是这样的一个方向，

我就只需要比较零到四分派这三个人大小那，所以说就是s大于零。你小于四分之派，然后这个人大小。那这个范围内怎么去比呢？你看比的时候我们都知道你这个摊正题，你肯定是比s大。对吧，tangent比s大，而且的话，这个人是大于零。那这个时候的话，就马上得到我比上你，总比你比上我大呀。是吧，

你比上我肯定比一大，我比上你肯定比一小。然后这个时候你要注意这个积分是什么呢？这积分是I1，这积分是I2，但是你要想清楚。这个积分不是一我从零到四分之派的积分，这个人是四分之派。所以说你只能得到这个情况。你只能得到IE这个人比四分之派大，四分之派比他大，你只能得到这个情况。所以我们在能不能达到这个情况，就是你今年在考试当中，你做题你就一定要想清楚这个点。

好，这个问题。那这就不行呐。那你做不了。那这个时候只能得到IE比它大。那这怎么办？那所以现在而言，我们就需要进行去比较。那你得进行去改。你想想一个问题，我现在知道的是I1这个人比I2大。如果在考场当中，你想不到画图呢？你怎么办呢？想不到画图，

你要想清楚，你发现你这个人是。你这个人是零到四分之派。然后这是tangent这个人。什么时候才是这个一呢？这个人刚好等于一。对吧，这个人等于一。这个人等一的话，你想进行去比的话，你可以这样。我觉得上下同时沉上摊着你恶心，那我就跟IE比吧，我先试一下，看看能不能出来？

你就把下面这个人写成一样，然后上面写成派分之4 xd x。能想清楚吧，就是你把一给我写成这样。然后接下来你要跟IE比IE就是零到四分之派x分之t an sds。你是不是想比较这俩人，那同学们告诉我比较这俩人是不是只需要比较这个人和这个人呢？你可以用什么？你可以用第一个方法，你方法一。那方法一怎么办呢？你就把这个函数定出来。你另成立一个tangents，减去派分之4s。你行不行？

你就把这个人写成这样，你写成这样了，之后的话，你然后进行去求个导，你一求导的话，这是second。的这个人的平方。然后这个部分呢，是减去派分之四。没问题吧，然后这个部分呢？是cosines平方分之一减去派分之四。那这个正负性的话，你发现这个东西的正负性出来了没有出来，因为你要知道你这个cos这个人是单调递减的。

对吧，你单调递减，你在四分之派处呢？你其实cos这个人是大于四分之派。对吧，你大于这个人，你这个正负性有没有出来呀？你先看这个人。就核心重点的话，就是我们要知道这俩人大小。你这个正负性到底有没有出来？你其实坐到这儿的时候，你把这个人我们如果看那个图像的话，你都知道他那个线肯定在上面。对吧，

你肯定在上面，然后这个人正负性出来的嘛。你测算一下。你发现这个人，他是比什么比四分之派是二分之根号二大。然后这个人是比这个什么呢？比这个。呃，二分之一大这个人的话就比二小。所以说这个结果是什么？比二小。比二小的话，而这个人呢？这个人不如二吧？所以说这个部分的话，

它就小于多少呢？小于。嗯，让我们看看啊。你这样看吧。它比几呢？四分之派的时候，我们这样写吧，你写一下coss的平方，它是大于多少？大于二分之一小于一的。然后这是cosines平方分之一的话，它其实是多少大于几呢？呃，这个分之一的话，

其实就是。它就大于一。对吧，然后的话，这个它翻翻一下嘛，你翻一下的话，你其实是这条线，你现在是二分之一到几二分之一到一。那所以说它是到从多少从这个一到一到几一到二？一到二的话。一到二，一到二，这个范围内的话。一它是一到二，然后这个。

这个人也是超过一。这个不好比那不好比的话，我们换一下，那还有什么方法呢？如果这东西不好看的话，你可以这样，那你就可以画个图。那我们刚才我们知道这个tan这个人图像的话，它是这样，你注意时间的问题啊，如果这样耗的话，时间早都没了。不要耗那么这个人，反正是四分之派。四分之派的话，

这条线刚好就是派分之四。所以它就出来了。所以说这个时候啊，你进行去比较的时候，这个方向它也能出来。对吧，你就进行去比的时候，那很明显是派分之四，这个人是比上面这个人大，那说明一这个人更大一点。能学会吗？好了，这是这个方向，所以我们在做这个题的时候，你要小心啊，

首先是你比他大。那tan正体除x。那肯定是大于一，你这个人是小于一，所以我肯定比你大。那么但是我们这是四分之派，不是一啊一是谁呢？一是零到四分之派，派分之四的积分。我要进行比较，我可以保证一个人是一样的，然后进行去比较，另外一个人这人也出来了。好了么，同学们？

哎，这个点呢，我们就讲到这儿，你自己下去好好想想，你这种类型问题是怎么处理的？好了，这是我们讲的这个81题啊，所以这个这种题啊，我们是基本上是每年都会出。你从这个二一年到这个二二年到这个二三年，所以最后而言是谁最大呀？是一大于多少I，一大于I2。选几选b好了，这个人。

所以像这种题，你也得有这个。有这种思路。你像二一年。考的这道这道就太简单了。啊，所以说这这个题就直接秒了。你看这是二一年考的题。这完全就符合我们出题的这个方向啊，你自己要盯住这个很喜欢考这个。然后接下来我们就继续，我们再看那然后二二年这个我们看看二三年的。所以这个这个基本上是每年来一道。啊，也也非常喜欢出这个定积分比较，

你看这个题。好，我们看看这个人。你想比较这个人。那么比较这个人怎么比呢？你看。你先比较这俩人吧，因为这俩人好比它这两个东西的分子是一样的。你分子是一样，我们只需要比较什么，我只需要比较零到一的范围内。这题直接可以秒了零到一的范围内x是更大的。那s更大的话，你发现你这个人就小。对吧，

你更大，你就小，你j这个人是小于k。好了，这是这个人，但是你发现你这俩人没法比呀。你这不知道怎么操作。那这不人知道怎么操作，你看它的上面都是s in。我可以这样写，我把这个人写成，我把上面也写成三音。我上下同时乘个sine，我把cosine写下去，那sine除上cosine，

这不是tangent题吗？能理解吧，我把这个写到后面去。你这个人就写成这样。你写成这样了之后，我们又知道你在零到一的范围内谁大呢？你这个tan整体是大于s的，你更大，你更小。所以说这个时候我们就知道了。三也是一样。然后你这个摊正体更大，你就更小。那所以我们这个人。他这个I啊，

就比这个人还小。因此这个人是k ji选几啊选a。你能理解我的意思吗？就是这个出题啊，他到底是怎么进行去出这个类型问题，他怎么出的？他出这个点就喜欢这样来。那么，用到我们这个不等式，用到我们不等式当中的那个割线？用到我们这个什么进行去比较的这个问题，如果实在看不出来，你可以做差进行去利用函数不等式来处理。你这种题一定要会做，这个非常非常容易。

有人可能做的花的时间太多，你像有些题啊，你做起来的话，这个速度还是挺快的。好了，这个题啊，我们就讲到这，我们再来看看下一个问题，82题。那82题这个题啊，你来看。这个人还是什么积分线相同？对吧，积分线相同。积分线相同，

被积分函数不同，那考什么呢？考比较定理。我们就可以进行去考，比较定义。考比较定理啊，你就只需要比较这三个被积分函数。在负二分之派到二分之派内大小。但是这三个人直接进行去比好比吗？不太好比我们在考研的时候啊，有两种比法，一种是直接比我直接就能看出来你大小。还有一种是间接比找一个中间人，一个人等于中间人，一个人大于中间人，

一个人小于中间人。这种比其实这个题除了这种啊，这个思维方式之外，你发现还有一个标志就是它具备对称区间呐。它是对称区间。那既然这个东西是个对称区间，我可以想到什么？我是不是可以想到奇偶性啊？所以首先第一件事儿，我们看看能不能用奇偶性进去去化简一下，你负二分之派到二分之派。你看到下面有一+s^2。我上面这个人呢，我也有一+x次方。不就是再加上一个2s吗？

然后怎么判断奇偶性，我再强调一遍，判断奇偶性作为一个大学生，你就记住我扔一个负s进去。扔一个负s进去，这块儿不动。这一块也不动，这个多一个符号，所以说这个时候我就知道了，你发现你这是负二分之派到二分之派，这是一。这是不动的，这个整体多了一个符号，所以说后面这个东西就是个什么函数，这是个奇函数。

那既然是个奇函数呢？那奇函数就等于零啊，那所以这个人呢？我就不算了，是负二分之派到二分之派对一的积分。好，这个情况。然后再来看看n这个人，那n这个人是负二分之派到二分之派，然后这是一+s比上es好了，同学们靠什么？这不就是考了刚才那个重点不等式吗？当is怎么办？这个人他有个著名的不等式，是1 s- 1，

这个人大于等于s。也就是es这个人大于等于一+s。而这个人你要想清楚。它只有在哪个点处等号成立啊？只有在零处等号成立。那也就说我下面这个人大部分的情况都比你大。只有一个点处是相等的。所以说这个人呢，你要当做成小于一来看。你听得懂我的意思吗？你注意一下，我问一个点会影响吗？你看刚才有个同学说带一个点进去看看，一个点不影响。你像在零处，

这个人就等于一。零处这个人是等于一，那我俩相等了，你怎么判断呢？所以一定注意啊，比较的是这个负二分之派到二分之派的，这个绝对面积。一个点对应的，一个线不会影响面积的。所以一定要想清楚，你不要说啊，我带个点进去看看你这是胡做题呢，你有可能做一些题，你碰对了。好了，

这是这个问题，然后再来看看最后一个人，你其实就是这个k你k这个人是负二分之派到二分之派。然后这是多少一+cosines再开方ds那这个什么情况？你很明显这个人根号这个人是大于零的。那这人大于一。因为我只用看负二分之派到二分之派的开区间嘛，你开区间这个人是大于零，那这人大于一，那所以这这个人呢？这人等于一。你只看三个被积分函数大小，那所以说k的被积分函数大大于m大于n，谁的内核大是？谁就大，

所以是k mn答案选几啊选c。好了，82题这个题啊，我们就讲到这跟得上吗？哎，所以说下去啊，把这个相对应的点呢，你好好处理处理。跟得上吗？好了，这是我们讲的这个82题啊，定积分比较，我们就说到这。所以下去还是想呃，相对的。

把一些问题好好处理，处理这个东西每年一到。你学到这儿。两分就到手了。啊，这个比较起来其实就是比较两个人打小关系不难的。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个问题，我们把上节课的一些不定积分的这个计算呢，我们跟同学们进行去讲讲。啊，前面当中还有几个题没有说，我们先来看这两个题吧。先看这里面当中一七年的考题。

那这个题考了一个事情。你发现这是一+es。而我们都知道es这个人的积分，其实就是es凑微分的过程，是积分过程。因此啊，我们就在这里面当中，把这个es这个东西怎么办？你凑到后面去补一个一。好，这个结果那这是幂函数幂函数的话就是头顶加一，然后这是一+1s的a+1次方。加上c好了，这个人出来了吧？不难哦，

不定积分要加c，但是我们选择题都还好。好了，我们再来看看二零一八年的考题，你看这个题。那这个题啊，它是长这样子。啊，这有一个arctangent题。一+s^2分之一的凑分刚好是arctan。所以我们根据一个列项。你其实都知道s一加s分之一。那这个东西你可以眼睛瞅一下。啊，有同学说这个讨论。

你想讨论的话也行吧。说这个a怎么办？a这个。不等于负一的时候是这样。然后第二种情况，如果a=- 1的时候。等于负一的时候的话，这个人是ln多少一+es，再加上c。好了，这个问题吧，我们就说到这啊，其实。对我们现在的考研呢嗯。这是因为原来是解答题。

原来二一年之前呢，我们三九六的这个卷子啊，是有解答题的。你现在全部都是选择题。全部都是选择题呢，你其实你在做的时候，你看看那个答案呐，它也能提示你。好了，我们继续吧，我们再来看你，学会就行，好再看这个题。那这个题啊，你发现它是长这样。

长这个样子了，之后的话，我们继续看。你像这个样子，你可以直接定你的眼睛，一漂就出来了，就是s分之一减去s加一分之一。或者有些人做的慢一点，你就在上面加个s除下去啊，就是这这是非常容易，你加个s减个s。你这一除你这一除，所以就是这个样子啊，这个非常简单啊。那么所以说照理的话，

我们其实就可以把这个列开了。裂开了之后的话，其实就是这是arctangent x。你再乘上多少s方分之一，比上多少啊？这个是减去一+s^2分之一。那这个时候我们就可以做了呀，你看这个人这是arc tangents比上平方ds。然后再减去，这是arctangent ts比上一+s^2分之1 ds。原来我们讲过这个问题。就是arctangent这个人。跟一个不同类型的函数相碰。那肯定考分部积分法，而且一定是把别人凑到后面去。

所以第一个人考的什么呢？他又考了这个人。就是x方分之一的凑分。是负的s分之一。能想清楚吧，就说你这个平方分之一的抽分呢是负的它分之一。嗯，这个题没做出来啊，你得好好自取一点了，你这个积分能力是不是稍微的没有打好这个基础啊？这是基础积分呐。好了，所以说我们这个人的话就往后面凑，这是arctangent题，然后一凑的话，

这是s分之一，这是负的。那这个部分就简单了。一+s^2分之一的积分刚好是阿克塔整体。所以说这个时候第一个人呢，我们就可以分步计分法了。这是负的s分之arctangent x，然后再加上。s分之一跑前。arctan的跑后跑后就求导，所以说就变成了s 1+s^2分之1 ds。然后这个人积分呢，是二分之一arctangent x的平方，你加上c，你积完了再加吧。

所以就得到这个情况，得到这个情况关注点的话，是中间这个分怎么做呢？你看这个分怎么处理啊？列项设成ABC太麻烦。这个题的话，你发现非常简洁的，你看这是一你盯着这个分母走，加个s方减个s方。然后这个人呢，把他往下一除。往下一除的话，这个第一个人这是s分之一。然后这是一+s^2分之s，然后这是ds。

那这个时候的话，这是二分之一arctangent x方。那所以说这个结果它就等于负的s分之arc tangents，你再看这个积分，这是lns绝对值。你再看这个人呢？把这个s往后面一凑是二分之一s，方补一个一ln一加s方能否跟上同学们？好了，都能听明白的给我回复一啊，基本问题。那这种点啊，你得自己去练。就是这种不定积分的运算能力啊，这算最基础的内容，

如果到了这个今天呃，你去听这个冲刺救命班，我相信你是把这个基础的。一些内容肯定是突破过去的，你一个普通的积分，你要是敢算，而且另外一件事情大家注意。尊重以每一个题的事实的情况。他该是什么样子？他就是什么样子？它出了多大运算量，那你就做多大运算量。你就包括到了这个今年的考研。如果一道题他出了一个大运算量题，难道你不做了吗？

你要吐槽他，那都没有用，所以大家注意啊，要喜欢算，你要敢去算。你只要按照自己的这样的一个完完整整的思路做下去就行。好，这个题啊，我们就讲到这再来看看二零一九年这个题，你看这个题怎么做？那么这个题啊，眼睛撇不下。你发现都是幂函数。对吧，全都是幂函数。

你这个人是幂函数。然后上面这个人呢？你把它写成is方，加上2s，加上一幂函数。所以说这个人就除下去。那这是二分之三次方。然后这个东西是二倍的根号s，然后是这个人。那么，继续我们再来看第一个人。幂函数。升一下。翻译一下。然后这个人二分之一二分之一身以下。

翻译一下。这个简单补一个二补个二二倍根号s分之一的积分，二倍的根号s加上c。好了，这个题比较简单。那所以纯是幂函数积分，你就把它打开往下除每一个幂函数都会做。不难吧，好了，这个题啊，我们就讲到这，你像这种不定积分的纯运算能力，是你要非常非常喜欢的。没有任何商量余地，你必须要喜欢做。

好了，这个问题啊，我们就讲到这儿，而且另外一件事情你注意哦。这个点呢，就是这种计算能力。你要喜欢去算。你要多算一算。这种点我是帮不了你的。你看我算的多好，那都是我算的。这跟你算的是没什么关系的，你所以下去啊，把那我们上节课给的那些题啊，把它进去去算一算。

每天算五个，每天算五个，要这个非常熟练，当然的话，这个事情的前提啊，第一个事情。积分表是不是非常熟练？然后第二事情常见的凑分，是不是要灰？是不是你积分表肯定要背过？你这个积分说这个人的积分是谁？那个人积分是谁？你都背不过那拉倒。然后第二个事情，你常见的凑分这个人的积分是谁？

凑出来是多少？你得知道。然后另外一件事儿，那其实就是比如说第二类换元法，什么时候什么换？还有这个分布积分法怎么去做？你这都都得会，就是方法，你得掌握清楚。然后再来练习。好了，这是我们讲的这个人，然后前面是不是还有一道题？叫我们看看啊，前面还有一个这个题。

来再来看下面还有一道。是这个题吗？没问题吧？好，我们先来看看这个人。眼睛丑瞎，符合函数，符合函数，把这里面当中作为整体代换，就能求出原来函数，做一个整体代换。那这个时候的is其实就是es。那所以说这个ft这个人。它其实就变成了多少？它就变成了e的t，

然后这是ln 1+e的t。然后再来函数的结果与次变量字母的选取没有关系，写成esl多少一+es。好，这个结果那么写成这样了之后，然后接下来我们去看这个积分，那这个积分是多少？是es，然后这是ln多少一+es ds？你看这个人。那么做成这样了之后，你接下来怎么处理啊？你怎么做上下同乘上es嘛？你可以做。但是能不能更直接一点？

我们其实讲了。对数函数跟别的类型函数相碰，往往分步积分都是把别人凑到后面去。所以说这个l 1+es之外的这个人，其实就是e的负s，你要把这人凑到后面去。你真正凑到后面去，你就直接先在后面补一个负号。补一个符号，前面就有一个符号。然后这个时候它是不是可以凑到后面去了？你一凑值是多少一的负s？然后接下来我们就可以分步计分法了，负的两项相乘，这一项是e的s，

然后是这个人。然后减去变成加上两项调换位置一亿的负s跑的钱。然后是这个人，你这个人求导是多少？你这个人跑后求导他求导是一+es。分之1s。然后这个东西啊ds。所以说这个结果马上就写成了es分之ln多少一加es，然后再加上一加es分之一ds。一旦做到这儿，这是不是个经典的分呢？这个分非常经典。那这个分的话，你发现我可以怎么办？上下同乘es，

上下同除es。那或者这里面当中还能怎么办？那其实就是加个es，你减个es，这个非常基础的内容吧。哎，这是我们原来讲过的分啊，经典分。那经典的分的话，你在上面，你可以加一个什么，你加个yes。你减个es。然后这个时候你就。可以把它放下去了，

是一减去多少？一加es分之es，然后这个人的积分。好写成这样。不记得了，赶紧记。我再强调一遍，这个。这个可能忘忘的东西太多了，对吧？你说多吧。我们其实东西你说多也多，你说不多也不多，你高等数学就这四章。那我们还少了一个常微分方程，

少了中值定理的证明大题。少了这个什么，这个二重积分无穷级数，这个还有这个向量代数空间解析几何三重曲线曲面积分那种。你少的多的多了。那所以大家注意这些非常简单的东西，你得记住住啊。你不然的话，以后你这个分你都记不出来，你说怎么办？好了，我们继续，我们再看。那所以说这个结果的话就是负的，然后这是es。

这是lone多少e+es，然后这个时候积分是多少？你继续走。那这个时候你看你这个人是x。然后这个人呢，把es凑到后面去es补个，一是l多少一+es+c。能学会吧好，这是这个问题。是t=1的x。好，这边所以下去啊，把这个类型问题好好想想这个事儿。可以了吗？好了，

这个点呢，我们就说到这，所以你把这个东西的操作，你先想清楚，比如说那我把这个人换成l。你应该是换成lount，一会儿你还还还得把它再换回来，你都是可以的。好了，这个题啊，我们就讲到这儿，你见到这个复合函数去求出，原来函数这是个非常显然的现象。你很容易就把这个东西啊，处理清楚了。

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