02.冲刺串讲2-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:58:09

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，提供回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的冲刺救命班的这个第二次课程，那还是我们的第一个阶段考点串讲的大课堂，那么像这个版块的内容，我们上次过程当中其实讲的第一个问题。对吧，重点其实讲了三个考点，第一个考点我们讲了一些重要函数，

尤其是变上线函数，那么这个变上线函数我们的核心重点讲了几个事情呢？如果被积分函数连续，那这个变上限函数啊，其实就是这个被积分函数的一个原函数，那如果这个东西改变它的下角标。就是改变他的下限，那这个人的原函数就会发生改变，那在所有的原函数当中，有一个原函数是最重要的，那就是从零开始。那从零开始的这个d啊，我们把它称之为叫牛逼吧，那这个性质啊，有什么内容呢？

叫做里面是鸡，外面是藕，里面是藕，外面是鸡，如果里面当中是周期函数。一个周期内的积分为零，它仍然是周期函数好了，这是一个重点内容，然后又讲了一个变上线函数的连续性和可导性的问题。尤其而言，我们上次过程当中啊，讲的这样的一个重点的一个经验性结论，我们稍微回顾复习一下，把这个内容。我们来看看这个知识点，

那么讲了这样的一个问题，就说对于这样的一个变上限函数而言，如果里面这个函数在这个点处是连续的。那外面这个人呢？一定是在这个点处是可导的，而且它的导函数啊，就等于这个点处的函数值，如果里面这个人，他在这个点处是第一类间断点。外面这个人呢？他在这个点处是连续点，而且他外面这个人在这个点处的左导数等于里面在这个点处的左极间。外面在这个点处的右导数等于里面在这个点处的右极限，那像这种题啊，尤其而言的话，

我们像这个考点内容。还有我们上面这个考点内容那么像，这两个考点内容，我们在这些年的考研真题当中，尤其是我们二零二一年改革之后啊。是没有怎么出过题的。所以大家稍微的要小心一点，如果这块的出题啊，我相信你可以速速的把这个题啊给解决掉，尤其而言的话，我们考察的是下面这个问题。如果考察下面这个问题啊，如果你按照直接性的方法进行做，那就速度太慢了，我们这里面当中掌握去了清楚了，

这个技巧性方法你解决起来就非常的简单。好了，这是这个知识点，然后紧接着我们又讲了一个内容，其实就叫分段函数的复合函数的求解，那比如说今年过程当中，我可以出一个这样的题啊。你来看看，比如说这里面当中，我给你一个什么，我给你一个分段函数。然后这里面当中，我再给你个分段函数。对吧，给的这个情况，

然后这个时候我让你进去去求出的这个函数，我干嘛呢？你求出的这个函数仍然是一个分段函数。当然有可能不是分段函数，但是一般情况下都是分段函数，那在这里面当中我可以考察这个分段函数的不定积分呢。考察这个分段函数的定积分呢？考察这个分段函数的导数计算呢？对吧，这都是考点，所以我们今年呢那个模拟卷里面当中，我编了一道题，对吧，如果得到了一个分段函数。那我可以考察分段点外的导函数，

分段点上的导函数，你看这个考点，它就基本上非常的完整了。好了，这个点呢，我们就讲到这可以了吧？所以说这是我们在上次过程当中啊，讲的两个核心考点，然后第三个事情啊，我们又讲了一个东西，叫做无穷小量的比阶性问题。你像这个内容，我们在今年的考点过程当中一定会出题的，尤其而言呢，像这个版块内容出的不是说特别难。

那第一个事情，我们可以通过什么呢？我可以通过把这两个无穷小量怎么放在同一个极限下做比？然后进行定解，如果这个结果是零，上面是下面的高阶无穷小，如果这个结果是无穷大，上面是下面的低阶无穷小。如果这个结果是一上下是等价无穷小，如果这个东西是不为零的数上下是同阶无穷小，对吧？你可以按照这种方式啊。然后进行来处理好了，这是第一种情况，然后接下来我们还有第二种方法。

你其实第一种方法用的不是说特别多。如果这里面当中出现的是两个人。两个人如果是两个人的话，我按照这种方法来做，没有任何问题，但是你发现如果这里面当中出现多个人。对吧，我不是两个人，我是三个人，我是四个人，我是五个人，那这时候怎么办？那这时候我们通常用的是第二种方法。那么，这里面当中用到的理论是，

如果这个趋向下，那这个函数等价无穷，小于这个人的k次方，我们就说什么，我就说这个函数是这个x的。k接无穷小能理解吧，所以说这里面当中你要注意一个问题，找等价无穷小是我们考研必出点的内容。一定会出题，所以到了这个今年呢，他肯定会出一道或者是两道，一道题是无穷小量的问题。一道题的话是求极限问题，里面当中都有可能会涉及等价无穷小的代换一个事情是等价无穷小的代换内容。一个事情是等价无穷，

小的替换原则，这个东西必须会，所以说像这个部分的考点就是两到四分。怒拿四分对吧？学了这么多内容，怒拿四分，但是我觉得非常值，所以上次过程当中我们总结呢，八个等价无穷公式。后面的六个等价无穷小公式，又考了两个常见的一个函数，趋向于1l，这个函数立即等价无穷小，这个函数减一。对吧，

像这些内容，你得装到脑子里面。你最近有没有开始背啊？啊，可能的话，这个国庆节。其实作为考研呢，非常害怕这种放假，对吧？一放假有些同学可能这个稍微玩上好多天玩脱了，对吧？你才开始建立的这个计划，然后一下就打乱了。哎，每天上午的过程当中，

一定该记的东西啊，你必须要记住，尤其是这些。你该记住的，这个等价无穷小公式啊，一定要把它记住那八个。六个，后面是两个。像这种常见的等价无穷小替换公式，必须要装到脑子里面，而且你记住了这个东西，你也会用它。那你用这个东西啊，你就是等价无效替换原则，我们上次过程当中啊，

总结已经非常多了，好了，这个点呢，我们就讲到这，不多说了。那么，接下来我们就正式开始吧，我们来看看下一个重点问题。那么，如果我们这里面当中碰到了这种题，怎么办呢？你再来看看冲刺11题这个题，那这个题啊，如果你只听了基础班的这种题，你得重点听，

如果你听了强化班呢，这个部分内容其实就叫复习了。好了，我们先来看看这个内容，那它说趋向零正，你趋向零正的话，你发现上下线都是零，那是零。上下限相等是零，上下限相等是零，所以说这里面当中给的三个无穷小。那给的三个无穷小说什么排在后面，这个人是前面的一个人的高级无穷小。对吧哎，是它的高阶无穷小，

所以说这个题的考点内容是什么？其实就是无穷小量的比值。那么，这里面当中出现三个人，你当然可以按照这种方法呀，你第一种方法，第一种方法就是定义法。对吧，定义法把这两个无穷小放在同一个极限下作比求极限。你求极限了之后，然后进行确定它的解，但是你想想这类目当中有多个人，如果按照这种方法，其实就非常的麻烦。对吧，

稍微的有点麻烦，所以我们通常而言不喜欢这种方法。那同学们思考一下，如果一个考研当中给你了一个变现函数，你最喜欢干嘛？你要注意，如果考研过程当中考变现函数，变现函数的所有考题都是以求导为核心的。对吧，我见到变线函数，我立即喜欢想求导，所以说这里面当中我们接下来会介绍一种方法，叫做导数定切法。那这个导数定解法的内容是什么呢？它这样说。

他说，如果设这里面当中说，在这样的一个趋向下啊，或者是在x趋向零的条件下。然后这个部分的极限，结果它是零。那为什么要说这样的一个事情呢？说这个人的极限结果是零，就想说这个人呢，在这个趋向下是无穷小量。没有问题吧，它是一个无穷小量，所以说这里面当中，我们先来看第一条，他这样说，

如果这个人的导函数。它等价无穷，小于a倍的sk次方。你看这个人。如果他等价无穷小这个人，那这个时候你发现我这个人等价多少呢？哎，他等价的这个东西啊，刚好是这个人积个分。一积分是k加一分之ax的k加一次方。你看这个人，所以这个方法是非常好的。但是这里面当中有一个细节问题。你比如说举个例子，当x趋向零的时候，

这个s in等价无穷s没有问题，但是你发现这个人一求导呢？cosine cosine是无穷小吗？它不是无穷小吗？极限结果是零，它才是这个趋向下的无穷小，它都不是无穷小了，你怎么去找等价呀？你就找不了了。如果这个东西找不了怎么办？哎，我发现它是不是趋向于一啊一的积分刚好就是它呀。所以说这里面当中，我们再来看第二点，如果说什么呢？

如果这个人的导函数不再是无穷小，他趋向了一个数。那这个时候我们就可以立即说明，那这人等价多少就等价无穷，小于这个数的积分as。你看这个方法其实非常棒。而这个方法基本上是为谁量身打造的呢？基本上是变现函数。为什么变线函数就非常喜欢求导？如果将来我碰到一个题，他非常喜欢求导，我就用这个方法。所以它简直就是为变现函数量身打造的方法。如果将来我们见到变线函数。如何进行确定这个变现函数的接呢？

我们就用这种方法。对吧，先把它导向找到它等价，然后把这东西给激回去，那就可以了，所以如果遇到变线函数。然后进行去确定接，我们就用这种方法好了，我们来看看这个题。先来看看这个冲刺11题，这个题你看这个题怎么做？来我们写一下。首先第一个点。如果这个变现函数啊，你想求导它必须是个标准型，

你看这个被积分函数没有s没有s没有s都是标准型，你像这种题非常的简单。好，我们来试一下，然后看看第一个人，第一个人求导呢，一求导其实是coss方。你看这个人。那么，同学们告诉我，这个人等价多少？等价多少？这个人呢？这是个几阶无穷小。请注意啊，

这个东西不是无穷球。不要等价了，因为这里面当中cosine 0是一，它不再是无穷小，所以说这个时候这个阿尔法就等价一的积分是x。要注意，它不是二阶无穷小cosine- 1才是一个二阶无穷小，不要胡来哦！好了，这个人。然后再来看看第二事情，北大那北大这个人求导的话就是上限移进去上限再求导。好了，这个人那这个人等于多少呢？那这个人的话，

其实这个里面可以开方好，我们先等价吧，那这个tangent框就立即等价无穷小于框。好这个人，然后说x趋向零正x是大于零。那既然x大于零的话，这个开方理论上是绝对值，绝对值就等于本身二倍的x方。所以说这个时候我们就出来了，那北大这个人等价多少呢？三分之二倍的I三次方，你看这人出来了，第一个人的接数是一，第二人接数是三。然后我们再来看看第三个人，

第三个人其实是伽马的导函数，那伽马导函数的话就是s in，然后上限移进去就是根号s的三次方。然后上限这个人求导呢，就是二倍的根号s分之一，好继续做。那这个部分它是不是趋向零呐？所以说这个时候s in框立即等价无穷，小于框好了，这个题就做成这样。然后这个时候约掉一个，所以就得到了二分之一x，那这个人既然做成这样了，之后那伽马这个人就等价多少？四分之一I次方，

所以这个人是几级啊？这个人呢？是二级。那这三个人的这个接触都确定出来了，我们选下答案，他说后面这个人是前面的高姐，那就是从低到高呗。那从低到高的话，其实就是从阿尔法，然后再到伽马，然后再到贝塔，哎，所以说这个题啊，正确答案选b。好了，

这是一种非常好的方式。所以像这个方法比这个第一种方法，那要快得多得多。你如果使用这个定义法，那速度太慢了，我们在这里面当中，我们就利用什么，我们就利用导数定阶法。哎，这是比较快的。好了，这个人但是这个方法虽然很好啊，其实已经非常好了。你能学会这个方法，在考研当中没有任何的问题了，

你就这样做就行，但是对于这种题而言呢，我们还有一个更快的方法。也就说这里面当中，我们会总结一个非常重要的一个经验，那么接下来我们来看看这里面当中啊，还有一个非常非常好的经验。其实我们刚才这个方法，你注意一下。啊，是非常棒的，你如果看到市面当中啊有还讲了一些方法，说什么里面等价多少，然后上面等价多少那种方法，你就不用看。

你折腾那么多，还不如倒一下。要不然这里面当中我们来看看一个非常重要的一个经验，那这个经验呢？我们在考试的时候经常会使用到。什么样的一个经验呢？是这样的内容，他说如果这两个东西啊，在这个什么等于零的某领域内连续好了，这个点我们不看了。我们重点看后面这句话什么意思呢？说如果在趋向零的时候，你这个人和这个人。你分别是什么呢？是m阶无穷小和n阶无穷小什么意思呢？

就说你这个部分是m阶无穷小。你这个部分呢，是n减无穷小。啊，就这样一个情况，就是我这个东西是从零开始的，一个变上限函数变上限，这个人呢上？上限这个东西是一个n阶无穷小。等价无穷，小S的N次方这个部分。然后这个部分呢，它是一个m阶的无穷小像，这样的一个变上限函数，那这个变上限函数是x的什么无穷小呢？

哎，就是上面是n，里面是mn倍的m+1减无穷小量。你像这个内容啊，其实如果是曾经你复习这个数一数二数三的同学，我想这个点呢，哎，是经常会讲的。啊，这个内容难度系数一点都不大n倍的m+1减无穷小量。所以这个经验怎么进行去证明呢？证明方法非常简单。这个人证明方法就是你给这个人倒下，对吧？倒下了之后你去找到他的接触，

然后再把他怎么办？积个分就是这个人，所以这个证明呢，我们就不讲了，如果这里面当中你按照这样的一个经验性结论，你再做这个题啊，它就非常简单了。好了，那么接下来我们来看看这个题来操作一下。但这个题啊，它应用的条件。必须要抠得非常死。就是下面是零，然后这两个部分的东西啊，它必须是一个无穷小量。

那么，接下来我们先看第一个人，那第一个人你告诉我这个部分是几阶无穷小一阶，然后你来告诉我这个人是几阶无穷小？它不是无穷小。因为cosine 0是一，它不是无穷小，它不是无穷小，这个东西就是个临界无穷小。所以说这个阿尔法这个人呢，你看这个人，他就是n倍的m+1解无穷小，这就是一。然后我们再来看第二个人，你这个人是几节二节，

然后这个人等价的是根号，所以说这个人就是二分之一节。因此，这个北大是多少呢？北大这个人就是二倍的阿尔法加一，这个人是三姐，然后再看这个人。那这个是几节呢？二分之一节，这是几节呢？三节，所以说这个伽马这个人呢？马上出来，他就是n倍的m加一减无穷小呢。所以这是二，

因此这个人呢？他的最低阶是谁啊？最低的是阿尔法，然后到伽马，然后到北大本题结束答案选b。好了，这是方法三。所以这个方法你相对而言呢，你会更快一点，你做题的这个操作性比刚才那两个题啊，你还要更强一点。对吧，我们刚才讲的一种方法，我们说我们可以用定义法，我相信很多同学复习这个基础班呢，

你都是利用定义法来做的。但是那个速度太慢了。水平点一点都不强。如果你学到第二种导数，定阶法已经非常棒了。但是这里面当中，如果你能按照这种大招型方法进行做呢，这个题呢，水平点就会更快了。好了，这个问题啊，我们就讲到这。呵呵。哦，都做出来了，

不会选答案呐。这是语文问题，这是跟数学没有任何关系，什么叫做后面是前面的高阶啊？是从低到高，还是从高到低啊？你又不是个古人。我们现在写字都是从这个方向写吧，你要是古人的话，你还这样写。你别乱来哦，对吧啊，这个点。好，我们继续，

所以说对于这个题而言呢，方法二和方法三都得会好，我们再来看看下面一个题啊，冲刺12题这个题。你再看这个题。那这个题啊，我们按照刚才的方法，你会做的非常快。那这个时候的话，首先你看你这个人是一姐，你这个人等价无穷，小于这个什么平方，所以说这个东西是个二姐。那所以说是n倍的m+1，所以这个人是个三姐。

来我们继续，我们再看这个人，你这个人是个一阶，你看这个人等下呢？你这个人等价的话，他立即会等价无穷小于t的三次方开方，那这是t的二分之三次方。所以说它是二分之三解n倍的m，再加上一所以说这个东西啊，是二分之五解。那这个时候这个题选最高节，你肯定不选这个人呐。因为三阶已经比你高，你肯定不选，然后我们再来看看这个人，

你上面这人是几阶等价无穷x，你这个人等价无穷t方。所以这是一阶，这是二阶，所以这个人是三阶，而我们考研是单选题，单选题的话，这两个人都是三阶，那肯定也不选了。所以这俩人呢，都不学。你要选a了，你证明三阶是最高阶，你c也是对的，你要选c了，

那a也是对的，所以说这两个东西啊，都不选。那么再来看看这个d选项，要不这样吧，你先看e选项，因为我觉得d选项稍微的恶心，你再看这个人，那这个人是几届呢？一届。这个人等价多少？不要说不会了，这件事情我们在上次过程当中啊，我们是重点考察了这个问题的。就是这个函数。

这是ln多少x加上个根号，下一+x^2这个函数第一个事情，它是个奇函数。第一个人，然后第二个事情，它的导函数等于多少呢？它的导函数等于根号下一+x^2。然后第三个事情其实就是s趋向零的时候，它是个无穷小。你怎么证明呢？你就把这个人倒下，倒出了这个人。你在趋向零的时候，这个人趋向几啊？你这个人趋向一，

你既然趋向一的话，你发现我这个人就等价多少一的积分不就是x吗？导数定解法也出来了。所以说这个人是个几节呢？一节所以是一乘上一+1，它是几节是二节，你更不选了。所以说这个题正确答案选几啊选d啊好了，这个人那么接下来我们再来看看这个人把d选项也看看吧。你这个人很简单，你这个人是个二姐。然后这个人呢？你这个部分的东西，它其实是sint的，多少次方sint的这个人的二分之三次方。

如果这个人等价的话，等价的是t的二分之三次方。对吧，我说如果等价。我没有等价，我说如果等价，如果等价的话，就等价无穷，这个人所以说这个题当中啊，它只是上限是二，然后这是二分之三，你加上个一，所以这个人呢是？是一个武器。能理解吧，

哎，这个东西是个五阶，它当然是一个什么最高阶，所以说像这个题的操作性方法，那这个方法肯定是最好的。你利用导数定解法已经非常好，但是能不能更好呢？哎，我们在这里面当中还可以使用什么？我还可以使用这种方法。就是这种经验性的，这种方法来操作清楚。那么这个点呢，我们就讲到这。可以了吧好，

这是这个题，那么接下来我们再来看看这个13题这个题。那这个题就非常好做了。来看一下这个题吧。那么他说这个fs啊，是这两个东西相乘。首先，让我们进行去判断它的奇偶性。判断奇偶性，我觉得这里面当中的这个第一个人呐，他非常好判，你看这个人。那这个人的话，他其实就是个gs，再减去个g负s。

是不是啊？如果一个gs和一个g负s两个相加，是偶函数相减，就是个奇函数。所以说这个人他一定是个奇函数。而第二人也是奇函数，你回答我俩人都是奇函数相乘，什么函数偶函数，所以说这个奇函数它不对。那么，接下来我们要找等价，那找等价的话，后面这个人等价无穷小于x，没有问题，关键是前面这个人。

你前面这个人怎么办呢？你看这个部分两翼做差的题，还记得吗？我们在考研当中考过这种重点的两翼，做差题的模型。量一座茶。如果在这里面当中，你说加个一呃，减一个再减一个，我觉得这是个第一手。水平点没有建立起来，如果像两翼做差，你可以提出后者你或者使用拉格朗日，所以作为我们三九六同学就不要装逼，对吧？

我就觉得你就稳稳当当的提出后者就行。能理解吗？我们就提出后者，所以说这个时候把这东西一提一提就变成了e到2s再减一。好这个人，然后接下来我们来看看这里面当中的第一个人，你看第一个部分。那这个人的极限是几啊？这个人的极限是一。所以说你告诉我个事，这个人的名字叫什么？他是一个非零项吧，而且又是乘除法是非零因子。非磷因子可以淡化。然后这个时候你继续，

这是不是零嘛？一亿的框减一立即等价无效，它所以说这个时候明白了哦，你这个人等价无效2s。你等价无穷，小于2s。你等价无穷s。所以说这个人等价无穷小多少二倍的x方，所以比它高解吗？不是跟它是什么解？跟它是同解无穷小。所以这个第一节也不对，正确答案选d。好了，这是这个题，

难度系数也不是说特别大，你看这种题啊，我们也能做的非常的游刃有余。啊，基本上问题就是等价无穷，小公式的一个使用，或者叫等价无穷小，它的一个找取的问题。好了，这个题啊，我们就讲到这，所以说作为无穷小比阶的问题啊，这个第一个点你还是要把它拿下来好了，我们再来看看这个冲刺14题这个题。继续吧，

再看这个题。哦，这个有答案哦。因为我这个让他们整理，然后今天的话可以给你们传一个部分，我一会让那个助教让他们进行去，把那个前面部分稍微整理一下。啊，整理完了之后的话，我们先传一个部分。我看看时间吧。如果有时间的话，我把这100多个题啊，我也给你们讲一讲啊，我看看时间吧。

然后的话先给你们传一下答案，像这种习题课跟我们那个强化的时候，习题课是一样，习题课部分呢？你就重点听自己不会的就行了，你不需要每个题都要听，所以只不过是我需要每个题都讲，但是你不需要每个题都听。你就听自己有问题的题就行，你比如说这个题，你不会你就听那个题，那个题你不会，你就听那个题，你也未必说你一定要来听那个直播，那都无所谓，

那是辅助性课程。好了，我们继续吧，我们再来看14题。那这个题啊呃，我觉得还是比较经典啊，像这种题那这种题作为我们三九六同学，我觉得还是非常喜欢考的。为什么难也不难，像这种题啊，就是一个大骗子。你想是不是？绝对的骗子题。就这种题就话就是看起来花里胡哨。其实你发现这个东西的内核是非常非常弱的。

那么，接下来我们来看看这个题。你像一般不会做的同学，首先第一个问题啊，你把这个人等嫁了，这不好看。等下的不好看。对吧，等价的不好看。但是有些同学说我把这个东西太乐展开，太奢侈，一看功底都不太好。像这个题怎么做呢？你眼神漂。调一调这个东西就出来了，

我们说过了无穷，小张要有阶的感觉，你眼神瞅他一眼，你就知道他活在哪个阶级。你看这个人，我眼睛一瞅，我就知道你活在一界。然后一瞅我就知道你活在二姐。而根据我们的第一节吸收，我们就知道这个人等价无穷。tangents。你看吧，你这个高阶其实是没有用的，我记得原来我们在这个呃基础班的时候，我就讲过这个题。

我把这东西称之为什么呢？这后面跟了一个废物。就这个，这是一个一节，后面跟的二节，其实这个二节就是一个废物啊，其实你发现它是。增加这个东西的花里胡哨的感觉，但是这个题啊，没有增加丝毫的难度系数，你也可以在这里面当中继续增加。你再增加一个e倍的ln 1+I三次方。你看这个人这个东西的后面是不是还是个废物？对吧，那这个东西的后面还是一个废物。

你像这个东西，后面就没有了呀，这这有啥用，这二阶这这这有什么用，你一阶的后面跟着这些东西啊，你说实话没有什么用。你这有啥用，你再跟你再来个f，然后什么e的x四次方减一，这有啥用啊？所以像这种题，它无形而言的话，就是增加了这个题的长相，看起来复杂，说实话，

这个后面这些东西啊，都是来骗你的。好了，这是这个人能理解吧，那么接下来我们再来看看这个人继续。哎a方加上c方不为零。证明者a和c都不为零，不要以你的那种小心思进去去想这种问题，你所想的那出题人都能想得到。你就不要在那胡思乱想了，你就扎扎实实做题就行了。想的把自己辛苦的，对吧啊？好了，我们继续吧，

我们再来看看这个下面一个问题，你看这个c选项，我不知道同学们能看出来吗？其实应该能看出来，对吧？你这个东西我们算慢慢想想吧，你这个东西啊，其实是ln多少呢？是一加上多少负2x？当s趋向零的时候，这个部分呢？它就趋向于零。那所以说录音一加框，立即等价无效框，所以说这个人是个一姐。

然后再看后面这个人是一减去e的负x方，所以你提出一个负号就是e的负x方再减一。其实你都不需要写啊，然后这个人的话，你看当x趋向零的话，这个部分就趋向零。因此，这个部分就可以等价了，那e的框减一立即等价无穷框，那这是x方。所以说这个人呢，他是个二姐，你看一阶后面跟个二阶啊，这个二阶又没有什么用，所以它的核心重点的话，

其实就是这个ln1-2s。这个东西其实就等价as等价无穷负2 CS，因此上面是a，下面是负2c，这个结果等于2a就等于负4c。正确答案选几选d？好了，这个题啊，难度系数不是说特别大，但是这种题你要会做，有没有一点我们三九六同学的考题的感觉？他很有。就是长相花里胡哨，其实它的内核非常简单，就看这个同学掌握知识的水平到底怎么样。

我不需要大量的这个进行去运算，很有我们的考题的这种风格，你要注意一下这种题对吧？看起来。哎，怎么这个题的话看起来很那么复杂，但是其实你发现它的内核是比较简单的，好了，这个点。那么这个问题啊，我们就讲到这儿，所以我们讲了完了这个第二个考点内容叫做无穷小量的笔记，像这个考点呢，它是一定会出题的。你不用去想，

你无论到了哪年，哪怕我们到了二零二六年的话进行考研，它还是会出题的，所以作为这个考点内容，它是必出题的考点。然后继续我们再来看看下一个问题，也一定会出题，那就是我们的函数极限的计算性问题。那么，对于函数极限计算问题啊，大家注意，那么像这个问题，有的时候它可以怎么考呢？它可以这种考。就是第一种考法就是我给你敲出来。

好，我们继续。那么像这里面当中啊。15。选项好，我们等会再说吧。你发现这种考法，他可以这种考，他直接去考七种未定式。极限计算。对吧，这个问题。所以说，七种未定式的极限计算，它可以直接出。

这是第一种考法。我就直接出一个七种未定式的极限计算题。我就出一个这个。所以这种题啊，可以出一道。那有的时候我们还可以在这个除此之外，我们还可以继续除。那么，到了我们后面的学习，比如说还有这种已知极限，求其中待定参数。哎，它也会出。然后接下来我们继续，我们再看它，

除此之外还可以第三种考法考什么东西呢？它考连续。和间断点的求解。那这个内容它也是出的函数极限计算问题啊。然后紧接着我们再到后面，比如说考点四导数定义，我们就不说了，导数定义里面当中本来就是极限计算问题。然后到后面我们还有一个叫做我们的渐近线的求解。好，这个。那么，像渐近线的求解，你今年稍微注意一下你像这个问题，我们最近些年都没怎么出过这种题，

也在我们的考纲范围内。所以像这种考点的部分内容，它都是涉及函数极限计算，你说如果直接出的这种七种未定式的极限计算，它算一道题，有的时候这一块还会出一道题，有的这一块还会出。所以像这个问题的点呢，把它想清楚啊，所以这个板块是一个大件内容。一般会出到两到三道题，要小心一点啊，函数极限计算问题，包括那个导数定义，它也属于函数极限计算问题。

那么，接下来我们把这个东西的思路，我们稍微顺一下。我们学了一年了。那对于函数极限计算问题，通常而言，我们都是怎么做的？我们是有思路的，那么通常第一件事情，我们会定型。对吧，拿到一个函数极限计算问题，我的第一件事情我一定会定型。我先确定一下，你是一个什么型的未定式机械？

对吧，你到底是哪一种？然后接下来我们再来进行去确定方法。但是在确定方法之前呢，有的时候不要这个碰到一个题啊啊，就一直的话，用这个方法进行刚。就像原来大学过程当中一样，大学的时候我们怎么办？大学过程当中喜欢洛必达呀。那间歇时间的对应。但是到了这里面当中，使劲的读，真的合适吗？所以有些题啊，

你化简完了之后啊，它会变得很简单。所以我们通常的操作是先定型后定法，定法之前先化简。而在我们学习了这么多年的这个真题啊，包括数一数二数三这么多年的考研真题，像这个化简的这个操作性的方法，往往会有哪些种情况呢？我们总结了一下。其实你发现核心重点就是以下四种情况，常见的化简性的方法，大家听一下啊。把这个内容好好跟着我们进行去复习一下。那么，首先第一件事其实就叫非磷因子的蛋黄。

对吧，非磷因子的淡化。只有非零因子才可以先算，那什么叫非零因子呢？务必保证两个事情，一个事情是乘除法。另外一个事情叫非零向。乘除法中的非零项，才叫非零因子。只有非零因子才可以先算好了，这是第一件事情。我看到这里面当中有非零因子，我先把它算一算。好了，第二件事情，

如果加减法当中见到存在项，我就把它拆出去，这一条内容有些同学如果一直没有跟着我们复习的同学，他可能觉得新鲜。因为他心心中的一直的理论是什么？不是都存在才能拆吗？其实这个理论呢，是非常科学的，一会我们再来解释。加减法当中，你只要是存在的，我就把你抛出去，只要是存在的，我就把你抛出去，所以注意，

只要见到这个存在，我们就把它拆开。第二条内容非常关键。然后这个东西的遇到根式想游离化，遇到幂值函数，想幂值转换化何为幂值函数呢？就u的唯一。你就立即变成e的v倍的lu nu。好了，这个情况，那这个操作其实就叫密制转换。所以常见的这个极限的化简方法，我们叫先定型，定型完了之后看看有没有能化解的。有没有非定因子啊？

有没有加减法中的存在项啊？有没有根式可以有理化呀？有没有幂值函数可以幂值转换化呀？有没有这些东西有我们先把它操作？然后确定完了这些东西了之后，我们再进行确定方法，那么像我们在这里面当中学习这个函数极限计算呢？常见的方法有哪些呢？我们梳理一下。这是常见的方法。那么，常见的方法有等价无穷小的带宽。有洛必达法则，有四则运算，有导数定义。

其实，作为我们的这个首要选的方法，有等价无穷大带宽。如果这东西做不了，哎，我们还可以洛必达法则，有可能还会四则运算法则，有可能在这里面当中还能导出定义。但是注意啊，泰勒公式你不要，如果你练得非常熟，我们不限制大家。波伐学到今天呐，有些东西对泰勒公式就非常的熟练，没有问题，

如果你的泰勒公式非常的熟练。没有关系，对吧？如果你有些同学因为我们三九六同学的考勤嘛，因为还有些同学的话，一直而言，按照这个数学三同学的复习。他的公式用的非常好，如果你用的好，你就去想。好，这个人如果这个东西啊，你半天的话用不出来，用的不是说特别好，你就按照这个后面这个部分内容，

你先选。实在不行呢，你还有一个这个什么它的公式可以进行选。然后最后一个事情，还有拉格朗日中值定理。那拉格朗日中值定理通常应用什么呢啊？叫做相同的对应法则，两函数做差问题。fb-fa，它就等于多少f可塞乘以b-a，然后这个可塞叫什么可塞叫介于。b与a之间。好，这个东西那么像这个内容，你万不得已，

你可以不用想这个人。因为作为我们三九六同学考的这些极限题啊，都不会说特别特别的难。如果在这种当中确实碰到什么东西呢？相同对应法则两函数做差问题，你可以去想。没有任何问题，你可以想这个东西。如果这里面当中你实在是怎么办？你实在是觉得。哎，这个别的方法如果用不了呢，你可以去想。如果别的方法能想的话，你就直接把它做了。

好了，那么接下来我们通过这个事情，我们来看一道题吧呃，找一道题，我们来看看。啊，我们来看一道这个800题当中的一道题啊。嗯，这里面当中我们有选那个题吗？好，我再来找一下。稍等一下。找一个题，我们来看看。这还找不到，

稍等，我想我必须把这个题找到。啊，我们来看看。可能这里面当中啊呃，有些部分的话没有选这个题啊，因为是一道九几年的考题。稍等一下，我们来看看啊。好，这道题我们来把这道题啊，我们来做一下。你看这个题。来操作一下嘛。这个题目那这个题目啊，

有些同学的这个水平点非常好。他能看得非常的准。就是他眼睛一瞅，发现。如果这个人你看x是趋向无穷大的。对吧，你s趋向无穷大，他就盯住了这个人，你可以盯一下。年s趋向无穷大。如果这个东西能等价，你看这个部分是零零+1是1l一是零。所以说如果能等价就等价无穷，小于这个人。如果再等价的话，

就等价无穷小，这个人就说这个东西，如果能等价，它等价无穷小是x分之三。而前面刚好有个x这俩东西一乘就是几俩人一乘就是三。所以说这个时候就刚刚好。没有任何问题，然后后面这个东西啊，如果能等价等价这个人如果再能等价等价这个人，梁一臣是一哎，所以说这里面当中我就做了个预判。我做了个什么预判呢？我的预判就是你这两个东西相乘的极限是存在的。所以说这个时候我们就把这东西给拆开。能理解吧x乘上s in，

然后这是ln，然后这是一加上x分之三，你再减去多少，你再减去x趋向无穷大。然后是s再乘上s in ln多少一加上s分之一。没问题吧？那这个时候我们继续来看你，再看这个人，这是limits趋向无穷大。那这个时候你继续来抽，你现在这两个人之间是什么法？这两个东西之间是乘法。那乘法这个部分能不能等价呢？它就可以了。那这时候的话，

我们就立即把它等价无穷小于这个人。然后这个后面这个人呢，我就把它立即等价无穷，小于这个人ln多少一加I四分之一。所以说这个时候既然是乘法，我们就可以等价，等价无穷到多少呢？x分之三，然后这个东西呢？当x趋向无穷大的话，这是x分之一。所以说这个结果就是三减一，这个结果是二出来了。这就是有些同学可能看得非常的准。你能看得非常的清楚，

这个东西一下就出来了，哎，那有些同学说老师，我如果看不出来怎么办？我觉得还有方法。我们再来看看第二种。你看这个题，这个题是不是两个相同对应法则函数做差的问题？是不是你琢磨下，你看都是s in l ning都是s in l ning？相同的对应法则函数做差问题。都是相同对应法则函数做差，你可以怎么办呢？那这里面当中，我是不是可以拉一下？

对吧，我就取的这个函数是多少呢？我取这个函数值是s in，然后这是ln这是一加上多少哎，这是x。你选这个b是多少呢？你选这个b是s分之三，你选这个a是s分之一。对吧，我选这样的一个东西，那选完这个东西了之后，我们就可以怎么办？我们就可以给它拉下来。拉下来之后，我们来看看这是s。

那这是f什么呢？这是FB，然后这是什么fa fb-fa等于多少呢？等于f撇儿三。那这个东西要求导，那这个东西求导是多少cosine？一+x那就是可塞。然后中间变量再求导。那就是一加上这个人分之一。可再分之一。能理解吧，那cosine这个人，然后这个人求导就是一加上它分之一。好了，这样一求的话就求出这个人，

然后再来b减a那b减a是多少呢？是x分之二。所以说这个题的话就得到两倍的s趋向无穷大，然后这是cos多少一+cos塞，然后这是一加上克塞分之一。然后这个可赛介于什么呢？这个可赛啊，它是介于这个b和a之间啊，这个人和这个人之间。那这个人和这个人之间，你想当x趋向无穷大，这是零当x趋向无穷大，这是趋向零，那这个东西就趋向零。那趋向零的话，

你看这个部分就趋向多少趋向一，然后趋向零的话，这是ln 1是零，那这个cosine 0是多少cosine 0是一？所以说最后而言的话，这个极限结果就是多少就是二。你看这个题。所以你选这个方法也非常的好。那就是我们看看我们这种不同题目的，这样的一个选择性问题了。好，这个题啊，我们就讲到这就是如果在这种当中，你能迅速看出来这个人哎，那这人我们就把它拆开了，

然后等价。如果这东西你半天看不出来，我发现有相同的对应法则函数做差也可以处理。但是，注意作为三九六同学，有的时候啊，像这种特别偏的这种知识点呢，你要慢一点想。对吧，应该叫晚一点，想你先想的是大概率事件的问题。就是我们通常而言，做题的方式等价无穷，小洛必达法则四组运算，这三板斧足以处理我们三九六同学的。

基本上我们在考研当中涉及的这些题。如果这东西还不好处理，哎，我可以想泰勒公式，我还可以想拉格朗日中值定理，能理解我的意思吗？你要注意我们的考情，有的时候就害怕你在这个事情当中，你实在是想多了啊，好了，这个问题啊，我们就讲到这。那么，接下来我们来看看考研中的黄金重点内容就在这。那我们的考研啊，

它的黄金重点那当然是七种微定式的极限处理呀。那基本上而言，都考这个东西，所以一定会出题。那么，在七种未定式的极限处理当中，那么首先我们先看第一种，那其实就是零比零型的未定式。好，这种那同学们想想，如果在未定式当中碰到的零比零的这个零是什么意思啊？林是从小到大学的那个林吗？不是的，这个零指的它的极限是零。极限结果指令。

所以说它的这个东西指的是无穷小量。那因此，如果你见到无穷小，你首先的话，你会想到什么？你会想到等价无穷小代换呢？对吧，等价无穷小，那等价无穷小代换之外，你发现零比零我是不是还可以使用洛必达法则？我当然还可以使用四则运算法则。然后最后你再进去去想泰勒公式就行。好了，这个零比零。然后我们再来看第二种，

那就是无穷大比无穷大。哎，无穷比无穷新。如果这个人非常大，那这个人也非常大，俩人都非常大，这里面当中会牵扯一个知识点，比如说我们的抓大头的内容。对吧，有抓大头，我们可以这样做，如果遇到无穷比无穷有远远大的关系，你当然可以抓。好了，这是这个问题，

那么这个时候我们除此之外还有什么呢？我们继续看，你还可以洛必达。对吧，这个人那么在这里面当中，除此之外呢，你还可以上下同除。上下同处于最大项，其实啊，我们已经很少用这个方法了。基本上抓大头或者洛必达法则都可以处理。那么，既然的话，里面当中会牵扯抓大头的问题，就会涉及远远大的关系。

那这里面当中，我稍微的说一下，你把它思考一下。就是如果x是趋向于正无穷的时候。你发现这个指数函数会远远的大于这个幂函数会远远的大于这个对数函数，对吧？你这个人要无穷大，你a得大于一阿尔法得大于零。这是经常用的。指数函数远远大于幂函数，远远大于对数函数，这是经常会使用到的一个问题。当趋向于无穷大的时候，那高次幂比低次幂远远大同一种次方幂不会产生远远大关系。好，

这条内容你得想清楚。然后再来看第三种，如果遇到零乘无穷，大型未定式呢，我们怎么做？我们可以这样做，你把这个零除下去。零除下去，那除下去就是零分之一，你就转成这个。如果你把这个无穷大除下去，就变成零比零。所以对于这种问题啊，你把它除下去就变成了无穷比无穷或者零比零。好了，

这种问题，然后再来看看第四个点。那第四个点呢，其实就是无穷大减，无穷大型，未定式，哎，这个很喜欢考无穷减无穷，如果是无穷大减无穷，大型未定式。首先第一件事，我会想到通分。如果通不了怎么办？我会想到倒带宽。除了此之外的话，

我还可以怎么办？我还可以提出最大项。提出最大项。那提出最大项的方法，那这个方法叫提锚法。可以把这里面当中最大的卯给提出来。对吧，提毛法还有这个人就是最大项给我提出来。好，这个方式，然后再来看看这个第五种，那还有什么一的无穷大，不用去想，这绝对是今年的黄金重点之所在。啊，

这个人如果作为我们三九六同学的出题啊，那这个人呢？那肯定是重点中的重点。不要说到了现在啊，一到无穷大还要进行去凑重要极限，特别的low。不要凑出等量极限，那么像这个问题的话，怎么去做呢？你看在极限当中u的v它是一的无穷大微粒时。那我们都知道我们会进行去幂值转换吧，一亿到v倍的low应用。这也不像冲刺班的同学。那么，这样的话，

水平点也不够高。然后说做一一个人的极限，只需要做头顶上的极限，做到这儿这种水平点也不够高啊。然后再来看你这个部分是不是趋向于一？录音一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数减一吧，所以说这是u- 1，你的水平点应该是一步做到最后。你要是还在那里面当中进行去墨迹，你这个一年的复习啊，你其实就没有达标答案，等于多少e的这个极限符号照抄头顶照写。d- 1好这个人。

一的无穷大。所以说这里面当中做题啊，就一步到位啊，一的无穷大，然后再看第六种无穷大的零。还有什么零的菱形被定式，它怎么做？那么，像这种问题的话，它的操作性方法。它的内容其实就是limit，这个是u的v，然后这是无穷大的零或者零的零，你就幂值转换e的多少，然后这个极限。

违背的诺因有。好注意这个东西啊，没办法写成d- 1。因为刚才的话，这个优势趋向于一，所以说罗印函数趋向于一，立即等价无穷，这个函数减一。但是这个部分的话，它的底是趋向无穷大或者零，你才不能把这个东西进行等价这个东西啊，只能做成这样。好了，这是七种不一定式的极限的处理性的方法，那除此之外呢，

我们多啰嗦一嘴，这就是一个做题的经验了。大家想想你在做你这一年的学习的极限当中，你特别喜欢这个limit，下面你是做什么样的趋向的极限呀？你喜欢什么？我们是不是喜欢趋向零的极限？我们是不是喜欢趋向于无穷大的极限啊？我们都喜欢这种趋向的极限。但是如果有一个题当中，它说是趋向一，不用去想，如果趋向一，赶紧令is- 1，等于t把这个人换成t趋向零。

所以你要注意这个事。不要在那里面当中，还是按照这个趋向仪来做，你做的速度就非常的慢了。如果你这个东西看的不是去向零，你赶紧把它换下一转就出来了。好了，这个操作性方式啊，我们就讲到这，那么接下来我们来看一些题吧，先来看看第15题，这个题来看看这个题。那这个题啊，很明显考了一个问题，考了这样的一个内容。

经典的两翼做差问题。如果这里面当中出现200000000做差，你怎么办？你说拉格朗日提出后者，我们就提出后者就行。对吧，把这个后面这个东西啊，你提出来。提出来就是二减去二倍的cos。提出来之后啊，然后再来看那这个部分的内容就变成多少呢？那这个头顶做长。那头顶做差的话，就是I次方减去二，然后加上二倍的这个cos，

再减去一比上四次方。好做成这个人，然后接下来我们就继续来抽诶，你来看看这个部分。那库森林是一样。那二减二是零一的零是一，所以说这个部分的内容是一个什么？这个部分内容是一个非零因子。然后再来看当s趋向的话，这个什么哎，趋向的话，这个零的时候，这个部分是不是零？所以第一个人非磷因子可以淡化。然后这个无穷小可以等价x方减去二+2倍的cos比上四次方。

好写成这样。那写成这样了，之后的话，这个题不就变成了零比零型背顶式吗？你怎么做？比如说老师，我在这里面当中，我使用泰勒展开奢侈。你看如此好求导，哪有这个洛必达法则好做？所以说这里面当中，我一步洛必达就行了四倍s三次方，然后这是2 s- 2倍的这个三。那所以说这个部分的话就变成了x趋向零，然后这是二倍的x三次方x减去这个s in立即等价无穷六分之x三次方移下去。

十二分之一，所以本题就结束了，这个题没有答案是吧？好注意哦，改一下吧。把这个人改成十二分之一啊，选一。好，这个题。所以像这种题目啊，你在做的时候，你稍微的要注意这个点啊，不要这个这个问题的话，在这一步还太多展开，因为太麻烦了。

好，这个题答案选一改一下。好了，我们再来看看这个下一个题，16题继续来做。好，再来看。那拿到这个极限呢，眼睛一瞅都发现。这个极限里面当中有标志幂值函数，你会怎么想？如果这里面当中我碰到幂值函数，都不用去想，我立即会幂值转换没问题吧？来走e的头顶loring什么？

loring这个词。三分之二加cos减去个一。那一幂值转换诶，你发现了这里面当中是一什么减一，你会怎么办？我赶紧看看这个部分是不是趋向一点？那你就要看呐，当s趋向零，这是零。cosine 0是一，那这是三三÷3是一，ln 1是零。所以说这个头顶这个部分，它就是趋向于零的呀。那趋向零的话，

这个部分立即就可以哎，等价了。好，所以说这个东西就可以处理，那因此这个人呢？马上来做。当x趋向零的话，这是三次方，然后是x倍的，这是ln 3+2倍的cos约掉一个变成平方。好，这个人好继续看。你一发现下面是无穷小。我就知道这个lin肯定是无穷小，你还记得吗？

如果这个l。它是一个无穷小。你就非常想看这里面当中是不是趋向于一吧，它肯定的。你去做一下吧，当x趋向零的话，这是三比三，那这个人不就是一吗？螺纹异函数趋向一，立即等价无穷，这个函数减一。那这个人就可以处理了。那因此这个人我们就可以继续写，那这是limit x趋向零，然后这是平方，

然后这是三分之二加cos。我们再来减一。那减一了之后的话，这个结果就变成了s趋向零，然后三倍的s方，然后这是二+cosine。你再减去个三，那其实就是cosines- 1。负的二分之x方，因此是负六分之一，那因此这个题啊，正确答案选几啊选a啊？好，这里。所以说这个题啊呃，

难度系数也不是说特别大。你看他的操作性形式。它形式的这个点就这样，就是每一步的做题啊，它都有超强的这种定时思维能力，它都蕴含在我们这一年的这个学习方法当中。好了，这个内容我们就讲到这16题。不难哦，来再来看看第17题继续来。好，再看这个题。那这个题啊呃，比较重要。对吧，

像这种题的话，我们经常在考研当中啊，肯定喜欢考来先来看吧，拿到极限先定型。注意定型的时候。我来讲讲这个事。你比如说你想定这个部分的型，你其实就是只想看看这个部分的极限是多少，能理解吗？就是你在定这个部分的时候，你其实你只想看这个部分的极限是多少？这个部分极限是多少？这是一。能理解吧。是你只做这个人极限，

因为我想进去去看看你往哪跑嘛，其实我知道诶，你往一跑。然后这个头顶呢？那这是一的零是一一减一是零零分之一是无穷大，所以说这个极限呢是一的无穷大倍力是。那既然这个极限是e的无穷大，不一定式怎么做来？赶紧写圆是等于e的极限符号照抄。头顶部分照写，不要墨迹哦，这个人，然后这个东西啊d减一赶紧来s分之ln一加s。再来建议好了，这个东西啊，

马上做成这样，一旦做成这样了之后，这个题就结束了。然后这题就变成了s趋向零，然后这是x倍的ex- 1，然后这是ln 1+s再减x。你看这个人那做成这样了之后，你继续看这个人不就等价无穷负的二分之x次方吗？然后这个人不就等价无穷x方吗？所以说这个结果立即等于e的负二分之一次方。所以这个题就结束了，正确答案选几啊选a哟。那考了这样的一个内容，就是我们的六个等价无穷小公式是吧？is趋向0 is-ln一+s。

离集等价无穷，二分之x次方啊，这个值。跟得上吧，17题。来继续吧，我们再来看看下一个题，18题。看一下这个题，18题。那这个题啊呃，不是说特别难，为什么呢？为什么一眼看过去说这个题的难度系数，不是说特别大呢？

因为眼睛瞅过去，你就知道这个变现函数是个标准型。里面没有自变量。所以见到这种题，你就非常开心了，就直接刚它就行来做吧，拿到极限先定型，当x趋向零，这是零。然后这个时候上下线相等s趋向零，这是零上下线相等，这是零。那既然是零比零型未定式，而且见到变线函数，我们都知道见到变线函数喜欢想求导。

你看这是个变线函数零到ST倍的ln 1，加上t倍的这个sint，然后dt。然后下面这里呢，等价无穷二分之一，它的平方，那就是四次方。因为你见到变线函数，你想求导。见到变现函数想求导，而且这里面当中变现函数想求导在做极限的时候呢，那肯定是洛必达呀。都不用去想。所以说这里面当中，我们就给它落下零比零落下。

遗落的话，当s趋向零的话，这是多少四倍的？那其实是二倍的s三次方。然后上面这个人呢，你就直接来x倍的ln 1，加上x倍的这个三。然后继续看。当x趋向零的时候，那这个部分是二倍的x三次方，这是x。当s趋向零，那这个部分不也是趋向零吗？所以录音一加框，立即等价无效框，

继续等价三次方，所以说这个结果就是个二分之一。答案选d。不是说特别难吧，好基本问题点。你像这几个题啊，我们在我们处理的问题当中，它不是说考的非常非常恶心。其实我们在考研的时候，有的时候会出现一些难题，那些难题啊，通常会出现在定积分。或者而言，会出现在什么通常会出现在一元函数的这个微分学的后半板块，比如说那个凹凸性定义，

每年是不会考。对吧，凹凸性定义你，所以你做了好多题的时候你就知道了凹凸性那块，他很喜欢考那个定义，包括我们里面当中方程根的问题。或者是这个极值的问题，这是每年过程当中可能会出的比较难的点，但极限题啊，一般都还好好继续吧。再看下一个题目。19题好，这个题目。那这个题啊，我们继续看。

拿到极限先定性。你选DIN DIN的时候，你就单独求这个人极限。那上面是无穷大呀，要注意要做极限的时候，你要看看这个帽子对吧？人家这个人是趋向无穷大，不是趋向零哦。所以说这是无穷比无穷的时候，你上面抓一下平方，你下面这块抓x抓s，这是平方比平方，这是一。一的无穷大吗？所以做这个题啊呃，

还有一些很多方法，比如说把上面这个s平方写成s×s，把它分开。没有必要像这种题就直接刚啊，如果你碰到这种题，你就直接刚他就行，一两分钟内肯定能处理。来原式等于e的这个极限符号，照抄头顶部分照写，然后再来d- 1。那这个底这个部分的话是x方。然后这s-as+a，我们来乘一下，那就是x方b是正的a是负的这个x-ab。好这个人，

然后这个东西一做的话就变成了limits趋向无穷大，然后继续做那这个东西减一。其实其实就是这个x方，这是b-a倍的x-ab，是不是上面减下面？你上面减下面的话，其实就是a-b倍的s+AB。然后再给它乘个s的话，这是平方，这是x。好，做成这样。那做成这样了之后，帽子在这儿，这是无穷大比无穷大，

不一定是抓它抓它，两个东西一比。所以说等于e的b-a是不是出来了？完全使用了抓大头的这个力，所以这个题啊，正确答案选几啊选c。好，这个题不是说特别难。你看还是极限题好做。我学来学去还是极限题好做，但是注意啊，不要学飘了第一章嘛，我们稍微的稳重一点。我一直跟你讲，我们作为三九六同学，

我们考这个经济学，我们不能说这个部分，我们要求一个还不错的一个成绩，我们要求的是一个高分的成绩。所以说这个数学你要求的严格一点，第一章的时候稍微的稳稳当一点，对吧啊？好，我们继续，我们再来看看下一个问题。那么再来看看这个下面这个第20题这个题。来看这个题吧。那这个题啊，我就不费这个里面当中啊，多啰嗦了，

那么这个题我们速战速决啊。那么今天的时候我们就给同学们教一下这种问题，将来就怎么去想就行了，我们不去教那种，哎呀，如果你这样做，你看有问题那样做，有问题我们今天的话就直接来。你看有些同学的水平点就非常好。因为像这里面当中s是趋向负穷。然后有这种根号x方的体是非常恶心的。因为你要知道一个事儿。就这个人啊，这个人你这个人进行去开方不是s是s绝对值。只有s大于等于零的时候，

才是ss小于零的时候是负s。因此，如果遇到这种问题，什么根号x方这种题，如果遇到一个负数，这是非常恶心的。所以像遇到这种题，我们怎么办呢？我们来看看这个题。无论你是用别的方法怎么样，你的第一步永远而言的话都是干嘛把这个东西做个附带换？如果没有这个思想，我建议同学们培养这个思想，就今年看到这种题i is趋向负穷，你还想骗我？

来你骗不了我，立即令s=-t。能理解吧，这样一步操作，就把这里面当中的最大的坑给填没了。你注意这个时候就没有坑了。就是如果你将来碰到a这x趋向负无穷，怎么样哎？赶紧给我变成正无穷。这个时候他就没有坑了。来操作吧，那这个时候它就变成了t趋向于正无穷。然后这个时候你把后面这个东西写前面去吧，然后这是t方，然后是加上t，

然后再加上一。然后再减去t这结束了。好，就做成这样。你看这样的话，我们就好做了呀。然后一看这个部分是无穷大，这个部分是无穷大无穷，大减无穷，大未定式，你怎么做？你不要这样做，有些同学这样处理的。当t趋向正无穷。如果这东西去向正无穷了之后，

然后怎么办呢？他说这个前面这东西一抓是根号t方，后面一抓是t，然后这人等于零。你注意，你这就胡做题了。哎，纯属胡来了。你这样做肯定是做错了呀。所以说最后答案会选择c，不要乱来。因为这个题是无穷大减，无穷大不一定是。一般不会用抓大头的。所以你这里面当中抓大头的，

你肯定做错了呀，抓大头应用于无穷大比无穷大。所以说对于这个题而言，我们有多种方法。那么，第一种方法你来看。无穷大减，无穷大能，通分就通分，通不了分倒带宽，所以说这个题可以倒带宽。对吧，你可以倒带宽，也可以提毛发，但是其实这两种方法对于这个题而言都不是最好的。

最好的方法是什么？最好的方法当然是油里花。那把这个t写成根号t方，所以说这个东西啊，你可以有理化。好，这个人变成家庭。然后这个时候就变成了上面这人平方是这个人，你再减去这个人平方，这人就没了。好了，这个时候它就变成了无穷大比无穷大。如果变成了无穷大比无穷大未定式呢，那这个东西我们就可以抓了。你看这个人可以抓t，

这个人可以抓抓根号t方，你这个时候抓t，因为t是大于零，你随便开。所以说这个结果是二分之一。你看这样做是非常棒的。注意游离化之后不是非零因子，你有点错位了。那个非零因子是趋向零的时候，是非零因子。你这个题是无穷大的题，大家一定要分析好，我们在极限问题当中，核心重点就两种，要不是无穷大问题，

要不是无穷小问题，你可不要把两种问题的话给混淆了。它不一样的。所以说这个题啊，我们碰到这个人，他不是一个非零因子，那这个东西得抓到头好，这是一种方法。那还有没有方法呢？当然也有。那对于这个题，无穷大减，无穷大，你也可以进行去提毛法。你把这里面当中最大的卯提出来。

你看这个人。我没有干嘛呀，这不是有理化吗？你上下同时乘上一个这个人加他吗？那不就变成了它的平方，减它的平方了吗？不是说这个部分上去了。是这个人的平方减这个人平方吗？这不是个初中内容吗？没有干嘛，有理化嘛？好了，我们继续，我们再来看你还可以怎么做？你还可以，

这里面当中提出这个最大项。把这个t方提出来。把这个t方提出来t是大于零的，你就直接开。你要注意，如果这个东西是趋向于负无穷，你开出来应该是负x。所以很多这种类型问题的话，它的出现，它就是这样。你注意这个问题啊，就说如果你没有把这个题换成正无穷，你肯定会容易出错。非常容易出错。所以这个人因为现在是正无穷，

你就直接把他提出来。你提出来之后的话，这个部分是多少？是一加上t分之一，加上t方分之一，你减去一个t。好了，一旦做成这样了之后，这是t趋向正无穷。然后把这个t写出去。这个t写出去了之后，然后再看那这个人其实就变成多少呢？变成了一加上t分之一。加上t方分之一，它的二分之一次方减一。

然后你继续看，当这个t趋向正无穷的时候，这个部分是不趋向零。那趋向零的话，这个人就可以等价，所以t趋向正无穷，然后这个部分呢，等价无穷，阿尔法这个框。t分之一加上t方分之一，所以说这是二分之一limit是什么t趋向正无穷，然后这是一。然后加上t分之一，那这里是零呐，所以是二分之一。

两种操作性思路其实都非常可以。尤其而言的话，其实有理化会更快，所以遇到根式想有理化这个操作，你把它练透。对吧，你切到这个根号，你想有理化。它比这个思路其实快，对吧？你可以把这个最大项提出来，叫做提毛法，把最大项提出来之后，一加框的阿尔法次方减一。等价无穷，

阿尔法狂也是可以的。当然，对于这个题啊，你也可以怎么办？你也可以倒带换倒带换来做操作也是可以的，好了，我们就讲到这。能学会吧。行吧，那么这个题啊，我们就说到这。行，稍微休息会儿吧啊，休息会儿，一会儿我们再继续，

所以这个题的正确答案应该选几啊选d啊？好，这个题行吧，稍微休息会儿，一会儿我们再继续啊，一会儿过程当中我们再来讲一个问题，叫做左右开弓法。求极限问题。好，稍微休息会，一会继续。

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02.冲刺串讲2-1

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