08.强化决胜300题精讲【8】线性代数2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:56:18

好同学们，行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音啊，去画面没问题啊，提供回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天啊，我们就是最后一次这个习题课程，我们把这个剩下的这个线性代数，还有这个最后一章的这个多元函数的微分学，把这两个部分内容我们全部讲完。

那么讲完了之后，我们所有的部分的这个习题部分内容啊，就全部讲结束了啊，当然的话，这个课程呢，不是一个正课内容。你可以选听对吧正课部分内容，你一定要听这个习题课程呢，你可以重点进行去听自己有问题的题，哪些部分东西啊，出现问题你再进行去更改一下就行。好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们先来看看这个线性代数部分呃，还是这样，

我们先来对一下这个。答案呢？呃，这个答疑的问题啊，一会过程当中我们再来说可以吧？我们先把这个习题进行讲完啊，稍等会，我们把这个。答案先进行去对照一下。等我想。好，我们先来看看啊。呃，上次的话，我们刚好是我们先来看看这个线性代数部分啊，

就是从这个题开始的啊，这些题。那第一个题是d。然后是a。然后是c。第四个题是c。啊，第五个题是d。第六个题是。第六个题。啊，第六个题注意啊，这个是ae啊，这个题有点问题，稍微注意一下。

然后第七个题啊，这是d。第八个题是c。第九个题是。d然后第十个题是。b11题。a12题是。c13题是。第14题。是a。15题是c。16题。第17题是c。18题是a，19题是b，

20题是。c然后这个21题。是a22题是。b23题是。一二十四题是。a25题是一。嗯，还有个26。26题是d，27题是a。好了，这些啊，这个题目啊，这个次考试的这个题目啊，不是考试也是你们自己下去做的一个测试啊，

这次的话，这个习题课程呢，这个题目可能稍微的多一点啊。大家做的怎么样？如果你这个做的，你错的这个呃数量呢？应该是在三个以内的同学给我回复个一。啊三到六个同学的话，给我回复二，我们看看这个效果啊。看大家的这个习题的情况。啊，还可以啊，非常好，非常好。

嗯，错太多同学。稍微进行去呃查询一下自己的这个原因是哪些部分的知识点出现了问题，你好好做一下这个相对应的这个调整。好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们来看看这次的习题里面当中啊，你自己出错的题目，你稍微进去去更改一下就行，哪个部分当中出现了问题，你稍微进行调整。我们今天的话是这个。今天是19号，然后到了这个下周，我们就进行了这个冲刺救命班的课程，

然后在这个周啊呃，这个周的话应该是。我们看看这个大纲时间，因为这两天的话，这个大纲还没出来，原本的话以为这个上个周就出来啊，今年的话这个大纲啊，稍微的这个时间拖的稍微的久一点。就看看这个周的大纲，如果这个周的大纲是在周四或者周五出来，然后我们就会在这个呃周末呀，然后进行一次这个高等数学。我们看看吧，要不然把这个高数和现在和概率放在一起，我们做一次通关测试。

能理解吧好，所以说你们稍微的这个等一下，这个原本的话，我们以为是这个上个周就出来呃，去年的时候是16号。今年的话，这个。20来号的话，这个还没出来啊，也没什么消息，所以说你这个等这个大纲出来，大纲出来的话，我会做这个大纲解析呃，解析完了之后啊，我们再做这个测试也行。

然后下周的话，我们将会进行下次的这个课程，就是冲刺救命班的课程，如果你自己哪个部分呢？有薄弱点，你可以进行。呃，所以说我上次过程当中已经讲过这个冲刺救命班的这个讲义，里面有很多部分的内容是我们今年增补的。比如说有这个真题，然后的话有这个。二一年之前的真题，然后这个部分的这个真题的这个筛选，所以同学们注意啊，你如果是全程班同学，

你或者是这个冲刺救命班的同学，你都不需要进行去买真题。你作为三九六同学的话，我们这个数学部分的真题啊，有价值的，你不能说这个之前没有价值，有些题还是挺好的，所以我们做了筛选。筛选出来了，164个题。啊，这么多题。也不少。你100多个呢，你100多个的话，

我们呃基本上进行刷也需要刷个差不多一个多周吧。一个多周的话，然后还有三套真题，然后那个救命班里面当中还有两套模拟卷。所以我们觉得这个题量是够的，对吧？最近一段时间我们是有东西做的好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们先来看看这次的习题课程，因为今天内容比较多一点。好，我们先来看看第一个题。那这个题啊，他考了一个事情，他说这个a和b啊都是一个n阶方针。

对吧，而且是一个非零的方程，你只要见到这个东西，非零你立即可以说明这个质啊，大于等于一这个质啊，大于等于一。然后又说了一个事情，说存在一个非零的n- 1阶次式，这说明什么？那很明显，它有一个n- 1阶次是不为零，那就说明a这个人的质啊，是大于等于n- 1的。啊，这个情况，

然后又见到AB=0，立即想到a的值，然后加上b的值小于等于。那你想一个问题诶，你这两个东西啊，我已经比n- 1大。我比n- 1大，再加上你还比n小，你也忒菜了吧，所以说这个东西啊，肯定小于等于一，你小于等于一，又大于等于一，那说明什么？说明这个b啊就。

就等于一。那这个人等于一的话，我们再来看。诶，他让我去求a吧，对吧？这个人等于一，你这个人等于一的话，马上我们再来看，那不就说明这个a这个人呢？他是小于等于n- 1。大于等于n- 1，你小于等于n- 1，那不就是n- 1嘛，所以这个题的话，

其实两个质啊，都能求出来一个事情是a的值，一个事情b的值，两个东西的质都可以求。好了，这是我们讲的这个第一个问题，过去了可以吗？来继续吧，我们再来看看第二点第二题。那这个题啊呃，其实方向性也比较明显，它给了一个a，然后给了一个b，然后AB=0，然后我们去求t。

t在哪里面呢？t在这个a里面，所以核心重点其实要进行去求a的情况，而这里面当中是定势思维啊。只要见到AB=0，立即想到什么，立即想到a的值，然后加上b的值小于等于这个人的列数，那个人的行数就小于等于三。然后这个部分我们再来看看这个b诶b，这个东西是非邻矩阵，立即可以回答这个人质啊，大于等于一。另你想想，你比一大加起来还比三小，

那这个东西也忒菜了，你肯定怎么办？小于等于二。那小于等于二，你可以做呀，你可以把这个东西进行初等变换，你初等变换小于等于二，已经到这了，那说明不能是三，那这个部分等于零。你或者怎么办？你或者的话，第二件事情行列式等于零也能做。所以两个方向你做这个行列式等于零，你也能求出来，

你或者通过这个初等变换来做，你也能做出来。所以这种题啊，不是说特别难。好了，这是这个问题，过去的可以吗？来再来看第三个题啊，第三个题还是这样，它给的q的情况。然后这里面当中又给了个pp，是一个非零矩阵，那这个人的质啊，大于等于一。然后又告诉两个人，

相乘等于零，立即回答我们在这里面当中就得到p这个人值，加上q的值。小于等于这个人的列数啊，这个人的行数，那就是三。那这个题我们要求谁呢？我们要求的是p，我们要求p啊，我们就要来研究这个q，那研究这个q的话非常好研究。你把这个q啊，我们看值进行初等变换，那这是一二三那最后一行很明显变成零零零。然后这是二，

然后这是四，然后这是t- 1。哎，那这时候我们就可以看了，那分成两种情况，第一种情况，如果这个t不等于零，那你想如果这个t不等于零，那就说明这个q的这个值等于几等于二。那这个质等于二的话，马上就可以说明这个东西小于等于几一，而这个p又大于等于一，立即可以说明这个人的质啊，就等于一。那所以这个人呢？

他就出来，然后我们再来看第二件事情，如果这个t=6，你等于六的话，你发现这个q这个值等于几啊？q值等于一。那q的值等于一的话，你想那这个p这个人加上一小于等于三，他不就小于等于二吗？你小于等于二，又是大于等于一。所以说这个时候马上得到这个人。有几种情况，两种因为你得到这个结果是大于等于一，小于等于二。

那你这个人等于一可以啊，你等于二也行啊，你就说不清楚了，所以说等于六的时候就说不清楚了，而不等于六的时候，它这个东西啊，一定是等于一。答案选c好，这是这个题，所以你发现连续的几个题啊，都考了一个思想，就是两个矩阵相乘等于零，我能得到什么？对吧，我们其实得到两个情况，

一个事情是a的值加上b的值小于等于a的列数b的行数，第二件事情能得到后面这个人的列是。是为as等于零七次方程组的解对吧？这是个常规问题，第三题好，我们继续，我们再看第四个题。那这个题啊，给了一个a，然后给的伴随矩阵的值，我给你讲过好多遍，只要见到这种伴随矩阵的值啊，你可以把它列出来。那a的值有可能是三，有可能是二，

有可能是一，有可能是零，然后这个时候得到伴随矩阵的值，你满我就满，你是二，我是一，你这个东西我是零。那这时候可以反着看你这地方当中告诉我是一你就是二，那所以这个时候a的这个人的智一定是二。那既然这是二，你发现这个人矩阵呢，不适合初等变换，它很明显是行和相等型或者是列和相等型，所以立即可以得到这个人的行列式等于零。那这个行列式的话，

你发现这是ABB，然后这是b，这是AB，然后这是bba，这常考的。都把它加到第一列，都把它加到第一列，都加到第一列，其实就是a+2 b提出去，然后变成幺幺幺。然后这是b，这是a，这是b，然后这是bba，好，

这个情况，那这个时候你看你减去这个第一行，这是零。减去第一行，这是b，然后这是零，然后这是零，然后这是零，然后这是a-b，所以说这个时候就是a+2 b，然后这是a-b^2，你等于零。那就有两种情况，一种情况其实就是a，然后怎么办？

等于负2b，还有一种情况是a等b。但是你要注意一个问题，我行列式等于零，如果你不满质行列式一定等于零，但是行列式等于零，一定不满质呃，一定质是二吗？我肯定不满足，但是我不满足的一定是二吗？有可能是一呀，也有可能是零呐，你能听得懂我的意思吗？所以说这里面当中一件事情，你就要想清楚，

就说你的质是二，你不满你不满的话，你肯定行列式等于零，这没有问题，但是行列式等于零，谁跟你说一定是二，也有可能是一呀。有可能是零呢，你都有可能，所以说你要做检验。而这个题的检验非常简单，就是如果a等b你想如果a=BA=b，那这是一样的，那这个值应该是一。你不可能是二你不对，

你不对，我必然对，为什么这件事情已经发生了，不是你就是我。有两个可疑人，不是这个可疑人，就是那个可疑人，所以说这个题啊，最终的结果就是a等于它，而且这里面当中a1定不能等于b。所以，正确答案选几啊，我们来看看。答案选c对吧？这个题所以说这个题啊，

你想清楚对吧？这个基本问题你其实。也不一定是一。你能想清楚吗？啊，学的时候一定要学细心一点，它也不一定是一，就是你告诉我，如果a=b的时候，它的质是多少？你经过初等变换，这下面肯定没有了，应该叫小于等于一。那y1这个b=0呢，它就是零，

所以说应该叫小于等于一啊，不能说一啊这个题。好了，这是我们讲的这个第四个题，那么接下来继续我们再来看第五个题啊，这个题啊，可能有些同学做的不好。一旦涉及这种概念性的题啊，总有同学的话，可能在这里面当中会翻船啊，出现一些问题，我们来看看这个事情。他说，这个人的智啊是m。很明显，

行满枝。对吧，这个矩阵行满制，如果这个矩阵行满制行无关列满制列无关。行不满志，行相关。列不满志，列相关。能学清楚吗？如果指的是满志，满志通常指的是方阵。那方正的话，行满志也列满志，那就行列都无关你学到今天的话，这件事情应该不难吧，

就是看看满不满志行满了无关。列满了列无关，如果都满了，那都无关，就这么简单。所以我们现在来看这个事情，你看第一个点。那么现在这个人的智啊，那首先你要想清楚，我这个a这个矩阵呢，我是一个m行n列的矩阵。然后你这个人满的字是多少？满的是行的字，但是列的字呢？没有满。

那所以说a这个人。它的列是什么？列是相关的。然后这个a的这个人的行呢？a这个人行，他是无关的。好，这个问题。所以说这里面当中，我们先看第一个事情。因为他说的是这个人的智商。你这是m，我们应该这样说，存在一个m接字词时不为零。所以这种当中应该是存在一个m×m的行列式，

不为零。能理解吧，应该是存在你不能说任意，你任意就不对。如果存在这个m阶子是不为零，那这个行列式不为零，对应的列一定是无关。所以说不能说任意，应该是存在。能理解吧，好了，我们再看任意一个m- 1阶次是不为零，同学们告诉我这句话对不对？不对吧，我原来讲过很多事情，

比如说我原来讲过，我说你这个人是六×6的，假设你的质是几，你质是三。我们说哎，所有的六阶姿势全被零，所有的五阶姿势全被零，所有的四阶姿势全被零。我们说存在一个三阶子式不为零，我们说存在你都不能说三阶子式全部都不为零，说存在也有可能写等于零，也有可能写等于不为零。但是他的子子孙孙呢，说不清楚了，你说这条内容它不对的。

他的儿子，他的后代是说不清楚的。好，我们继续看。然后再来看看d选项d选项非常简单。这件事情我讲过这个事儿。我不知道同学们还记不记得？把这个事情我们稍微再串一下啊。我们讲过这个问题，就说如果你这个p你是m×n的。如果你等于n这个东西叫什么，这个东西叫列满制。对吧，列满制。左乘什么东西呢？

哎，左乘列满值不变值。还记得吗？好，这是第一个事情。因为你左边乘的话，你前面这个人的列数跟后面的行数一样，所以叫左乘列满制不变制。然后再来看第二事情，如果这是m×n，它等于m这个东西叫什么，这叫行满值。还记得吗？然后这个行半制的话，你想你的行，

你必须应该是右臣右臣的话，你这个人的行才会跟前面的列一样。所以说又乘什么东西啊，又乘航慢，值不变值。所以记住左乘列满值不变。值右乘行满值不变值。能想清楚吧，当然如果这个矩阵呢，既列满制又行满制，那就是满制，满制矩阵肯定不变制。能理解吗？好，这是这个问题，

好听明白了给我回复一这个内容你得知道，然后我们再来看看下一个问题，我还讲过这个事。能听懂吧？那如果的话，你发现你看你这是一个m×m，你就等于m，你这叫满质嘛，满质的话，满质肯定是方的。你所以学到今天的话，你肯定能理解满志。你如果不防我们说的是列满制还是行满制，如果你这个人是方的呢，我们说满制满制行列式不为零不就可逆吗？

可逆矩阵不变质啊。好了，这个非常简单，好了，那么接下来我们再来看，还有一个非常经典的一个结论，我们上课串过，你自己要记住。那这里面当中，我们通常说。如果AB=0。而且。a不为零，请告诉我能不能推出b=0。能不能绝对不行？

绝对不能。因为我们原来讲过两个都不为零的矩阵乘出来等于零的情况。这个不行。然后接下来我们再看，如果改一下。我改成a的行列式不为零。行不行呢？哎，可以了。因为如果你这个人的行列式不为零满之。你行列式不为零就可逆，两边左成逆矩阵，哎，这个人就可以了，这是对的。

其实同学们有的时候这个条件不需要这么的苛刻，是太苛刻了。我们只需要怎么办？我们只需要这个情况。我们只需要a这个人怎么了？列满值。哎，列满值。那同学们想想列满值可不可以？他也可以左臣列满制，具有消去律。左臣列满制，具有林荫子律。这就可以了。所以左边乘的列满值具有消去率，

具有零因子率。右边乘的行慢值具有零因子律，具有消去率。那么，接下来我们再反观看看那同学们，想想这是不是一般情况？那这是不是就是特殊情况？你行列式不为零。你就满值，你满值了，你肯定列满值啊，那所以说你上面这种情况其实就是下面这种情况的特殊情况。你能理解我的意思吗？所以想清楚啊，你左边乘的列满值，

你具有消去率和零因子率，右边乘的行满值，具有零因子率和消去率。而且左乘列满制，右乘行满制不变制，能学不要混啊，一点都不混，非非常清楚。好，这个内容，然后接下来我们看你发现这个a。你看一下这个a，你看这个人。这个a这个人的话很明显是什么值？它是行满值。

那么，同学们想，哎，你这半边的航班制，你具不具有林荫紫绿啊？哎，你具有那这个东西就能推出来它。没有任何问题。右边乘的行满制，左边乘的列满制，它都具有这个情况。其实吧，我明确讲一个问题，这个已经比我们三九六同学考的这个题目要难了。你会你肯定水平也更高。

其实已经比我们的考纲要求的过程当中的内容要难了。所以我希望你把这个东西啊，你学好一点。好了，那么接下来我们继续，也就是说你可以把这个本质啊，理解的更清楚一点，我们再来看看你e选项，那所以说这题的正确答案选几选d呗。e是不对的。那e为什么不对呢？他说我可以通过初等行变换把它化成这种情况。真的吗？比如说我举个例子。你发现。

我这个人通过初等行变换。我最后把你画成了一零零。零一零零零一一二三有没有可能？告诉我有没有可能你画的时候你你还记得你的行变换吗？你比如说你解方程组的是行变换先化成。行阶梯。再化成行最简，你这不就是行最简吗？能理解吧，先化成行阶梯。再化成行最简，这不是行阶梯吗？这不是行最简吗？所以我们可能画成这样，但是同学们，

你告诉我它能到这种情况吗？这是单位帧。但这边儿是李梦。这边不是零啊。你还能继续下去吗？不行啊。大家注意，如果你觉得e选项是正确的，太可怕了。简直太可怕了，那不是可怕，那相当的可怕。那就照你这样说，那太牛逼了。比如说我们这来一个非前方程组。

我把a和b放到这儿解方程组都是行变换，那你永远把那个变成单位，这这边是零，那可能吗？那照你这样说，任何一个飞行方程组通过行变换，也就是解方程组的时候都能变成齐的方程，那不是胡扯吗？能理解我的意思吗？你要注意，如果这件事情成立太可怕了。你分解方程组后面是b，你不为零。那你的意思我说通过行变换，这都能变成单位证，

然后这块是你那那我解什么非行方程组啊，我只学七层方程组就行，那太可怕了啊。这不对的。我怎么样才能把这个东西再变成它呢？哎，注意还得进行列变换。把第一列的负一倍。加过去把第二列的。负二倍加过去第三列的负三倍加过去，你才能变成单位帧，这是零。注意还得进行列变换。所以啊，人家书本上是这样写的，

你记住它啊，人家说的是。任何一个矩阵。我都可以通过什么通过初等行变换跑到什么呢？跑到一个单位证。啊，应该是这样，你这个东西，比如说它的质是多少，那我们就写成r×r，然后它的下面是零。然后这块是杯的。能理解吧，所以行变换只能变成这种情况，所以你你就先不要这样，

不用这样学你就知道你行变换的话，你没办法，你这边还还有可能会有人呢，你不能把它变成零。人家书本上写的是一个矩阵。可以通过初等变换，你看他没有说行变换和列变换。它说的是初等变换，然后把它变成了。单位阵，这是质对吧？然后这两边都是零。把这东西叫做规范型。啊，这个东西。

也就说你只经过行变换，你是没办法把这个右半边这个东西变成零的，你只能把下面东西变成零。你想想就是如果这个题你不会做，你就想想我们通常进行的初等行变换，先画行阶梯，下面变成零。对吧，如果质是多少，你下面都是零。然后再把这个阶梯口。对吧，以上的变成零，然后再把阶梯口变成一，就像我们的这个什么，

我们经常讲的行最简嘛。是不是这个情况？所以要学会打。好了，这个题啊，听明白了给我回复一，我相信这个题我应该讲完了啊，不是说特别难好，我们再来看第六个题。第六题啊，他给的这个情况，他说不是啊，这个题可能我们在设置答案的过程当中，我们说不是这个人的极大不关注。那么，

先来看看这里面，那其大无关组就是按百成列呗，然后进行初等行变换呗，能理解吧？然后接下来我们来画一下这个。行阶梯。啊，我们先来看第一个人一二三是不是？一二三不是。你想一二三这个人。这三个人的智是多少？这三个人的知识二。你的知识二我的这个我这个总体的这个知识解三我极大无关组当中有三个线性无关的，你这只有两个线性无关的。也不行。

对吧，你看第一个你不行，然后再看一二四一二四行不行？第一个第二个第四个那肯定行啊，阶梯口嘛。然后再看一三四一三四的话，每一行非零行上取非零元，这肯定是啊。然后再来看看二三四那二三四行不行呢？这就是我们在上课过程当中讲的这个问题，你来看看二三四。这个行列式部分呢，你可以按照三进行去展开，你展开了之后，这个一乘一零×0，

那这个行列式是不为零的。你这个行列式不为零，对应的这三列是线性无关，我只要找三个线性无关就行，我的知识三。我找三个线性无关，你就是三个线性无关，你就能作为极大无关做对着呢，这个人肯定不对，因为他的个数不对，所以这个题是ae啊。行吧，不管啊，我们这个把知识的内容学清楚就行，好第六题。

能学会吧，好继续再看第七题啊，这个题。呃，这个题啊，我看了一下，有同学做的不好，因为这个。这里面当中，有些同学可能把这个这个在那打卡的，我看到好几个同学了，把这个题做错了。我们先来看看这里面当中的第一个题吧。啊，第一个。

他说这个东西是线性相关。他说这个东西是线性，无关。你想想一个事情，如果线性无关你的质等于什么，你的质等于你的个数，这没有问题，说二肯定对。然后再来看看第一个人，如果你线性相关，你这个人的智应该是小于你的个数。对吧，你要想清楚，你看第一个人是贝塔阿尔法一阿尔法二。啊，

就说你要小于三。但小于三，你未必是二，你有可能是一呀，哎，我们再来看。我看到一个事情，你这三个人是线性无关。你这三个人线性无关，我知道局部也线性无关，那不就说明这俩人也是线性无关吗？那这俩人线性无关的话，你发现那这个人的质是几那这个人质是二啊，你线性无关你的质等于个数啊。能理解吗？

好，这个问题，所以现在我们有两种方法进行去判定它。那第一种方法，你可以这样来，你方法一你直接算，你怎么算呢？你发现你这个贝塔这阿尔法一这阿尔法二。你的痣肯定比什么，因为你发现这个是紫块儿，你比这个痣大。而你发现你这个质呢？你这个质又小于三小于三，其实就是小于等于二，你有小于等于二，

你有大于等于二，你肯定是二。如果我教你怎么看呢？你将来可以看快一点，你作为三九的同学，你漂一下就出来了，你怎么看？这三个人的质小于三。这三个人的志最大婶。而你发现这个贝塔和阿尔法二已经能导致这个质等圆儿。你能听懂我的意思吗？就说这两东西已经能达到二你，然后最大是二，那说明就是二，你就这样理解好，

这是第一种方法。还有第二种，你想这两个东西线性无关。加进来这个人线性相关，那加进来这个东西肯定能被我表示切为一样。所以你这个东西你可以被这俩人进行表示。那我在进行初等裂变换的过程当中，我是不是就可以通过这两个东西的倍数，把这个东西给干成零？因为你中间这个人是由我两个人进行表示的，我就把你干掉，那说明你的质就等于这个质，然后下面这个质等于二，那也就是二，那所以这个人就出来了。

第二人没问，第一个人没问题。能想清楚吧，这两个思维方式啊，这两个思路都是可以的。你学清楚它好，我们的关注点其实是三四啊三四这个点，尤其是第四个比较难一点。我们再来看看第三个人。那第三个人怎么去理解呢？你想这三个人是线性无关。这三个人线性相关，我们现在这里面当中的话，只是阿尔法一，阿尔法二，

它们线性相关哎，你局部相关的话，再加入一个人相不相关？好，它还是线性相关。那你还是线性相关，而我这个人这个人这个人是线性无关的，我这仨人线性无关加入一个线性相关，你不就能由我表示切为一吗？你对着呢呀？所以这仨人都对那关键点是看第四个人。对吧，第四个人呢？有的人做的不好。那判断这个人的线性相关性，

你的核心重点不就是要求解这个人的质吗？这个人的质等于多少呢？你其实说不清楚。因为你去做质你阿尔法一能有阿尔法二阿尔法三和贝塔表示。你未必能由阿尔法二，阿尔法三表示啊。你能理解我的意思吗？你再加入一个北大，你能被我表示你未必能有那两个人表示啊，我举个简单例子，大家来看看。那这里面当中说的是什么呢？说的是杯档，你看我把这个杯档我写到这儿，这是阿尔法二，

这是阿尔法三。你们是线性，无关你的质是三。没问题吧，然后再加入一个阿尔法一线性相关。同学们告诉我这个整体的质是多少？还是三大家注意这个质还是三？所以说同学嗯，你看这个同学你问的问题啊，你说明就没有理解人家说的是存在。谁跟你说北大的系数一定等于零？它会存在这种情况。他不是说这个东西你你的意思说就说你能被我表示我的这个系数一定是零吗？它也未必是零呐。不能乱来啊，

好，我们来看看你，请告诉我这个整体的质是多少？整体的知识三。对吧，它整体的这个东西的值一定是三。所以说这里面当中，我们来看看这个问题，对吧？那么，接下来我们来看看这个问题。啊，所以说这个里面当中的这个点呢，你发现你这四个人的这个情况是他。对吧，

你这四个人的这个质的这个情况是他，然后这三个人的这个质已经是咱，你告诉我这个整体的质是多少？对吧，我就很想知道这个整体的值是多少？我等你回答。这个太简单了，对吧？你们你像这个整体是线性相关的，它小于三小于四小于等于三，这三个人已经达到了三，那不就是三吗？能听懂我的意思吗？哎，他就是三，

所以接下来我们来看看一种情况。我给你看看这个一二三的情况，你这说不清楚的，你比如说你看你这是一零零。然后这是呃零一零，然后这是零零一。然后最后一个人的话就是零零一。好了，同学们，你给我看看这个部分，你告诉我这个部分的，他什么情况？你这个部分的知识二你是线性相关。你看，这是第一种情况，

我再来给你来一个。所以这个题比较难啊，这是贝塔阿尔法二阿尔法三，然后这是阿尔法一，那么接下来我们再来继续看。你这是一零零。你然后的话，这是一一零。然后的话，这是。一二一。然后最后一个是多少一一？二那这个时候你再来进行去看看这三个人，你看也满足这个情况，你再看看这个人质。

你看这个人。这个行列式的话，你进行去计算一下。对吧，你可以用呃，或者是把这两个东西都弄成零对吧，这个现在看起来麻烦你把这两个东西都成零。我我说假设我给你举例子呢。那这个时候你看我用这个一进行展开。一进行展开的话，这个部分的行列式是不为零，那这行列式不为零，说明这个部分的知识三。你行列是不为零的，你列是线性无关，

那所以就说不清楚你这三列有可能是线性监管，你这三列有可能是线性无关，所以这里面当中的这个。四选项这个很难。有点难度啊，同学们注意这个题，我是无法进行去判断这三个人的职能。你只能说阿尔法一这个人能被这三个人表示，你可不能说这个阿尔法一能被阿尔法二阿尔法三表示，你如果说阿尔法一能被这俩人表示。可能有些同学给碰对了，你蒙对了，你说的是什么？你说这个人整体的知识二你说线性相关，你蒙的运气太好了。

我稍微改一下，你这有可能跳陷阱了。好了，这是这个题，我比比如说我把这个题改了，我改成什么，我改成阿尔法一阿尔法二阿尔法三，我说这个质等于几等于二？你看你怎么办？我要改成这个人的质等于二，你发现一个事情，你这个就不好说了。所以说这里面当中的这个这个选项还挺难的哦，正确答案选d。能想清楚吧，

好了，这是第七个题。可以了吧，我们继续，我们再来看看第八个题呃，这个题啊，说实话做的不好啊，这个题。其实我在这个出这个题的时候啊呃，稍微的话。这个题目。你来看看，有些人估计做的不是说特别好。那这个人的智等于三是线性无关。对吧，

然后的话，这三个人的话肯定由他表示我立即写成什么，我立即写成矩阵相乘的形式。北大一，北大二，北大三，然后这是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三。然后这是多少零一一？然后这是二一三，然后这是多少一零一？你可以去求一下，最后第三个人的质，你第三个人的质的话，

这个你进行去变换的时候的话，其实你可以把。一一零调上去零二一，然后这是一三一，你把它进行去变换，然后这是一一零。零二一你减去它，你减去它，你减去它，所以说最后这个人的质是几？这人质是二。那同学们想这个人的智齿二。有些东西是这样做的。说因为这个人的智是三。满志，

所以说这个人是可逆。可逆矩阵不变质，说这个人智商，你这个有点问题。注意啊，这一步有点问题，为什么呢？因为你想想，你告诉我。这个人一定是方的吗？它有没有可能是四维向量？它有四行三列，有没有可能它有可能？他有可能是一个什么？他有可能不方。

你要注意，他有可能不方，你不方的话，你怎么能说他可逆呢？你不能说它可逆。所以说你这个地方当中的这个思维方式，你一定要想你，所以说我觉得这个做题啊，有的可能把它做对了。以至于我在这写的时候啊。出这个题的时候，我稍微的话就在这里面呢，我看看大家的这个情况。所以这个东西不是方的。哎，

不是方的，你未必是方的，但同学们不影响我看大家的水平点。为什么不影响？告诉我为什么不影响？为啥不影响？哼。那这题到底选几啊？非常好，佐臣劣满之，不变之，非常好，非常好。你看咱班，我觉得这个呃，

同学们，其实听这个习题课，有时候可能听同学稍微少一点。那我觉得这个水平点还是非常好的，对吧？左臣劣蛮之啊，这个人的劣蛮之。左臣列满之不变，之所以说这个人呢，他肯定是姐，肯定是二。当然的话，你要进行去判断前面的信息相关性呢，完全依赖于后面的行列式，这是没有任何的问题的，

我们这个体系的话，你要搭建起来，你再来看这个题。这个题就是一样的。所以这个人马上就可以看出来，这个贝塔一贝塔二贝塔三，它能由这个东西进行去表出你阿尔法一阿尔法阿尔法三。然后去写，这是幺幺零，然后这是一二三，然后这是多少三二一这个东西。然后这个支持三，你去看看这个人，那这个人的话，你去稍微的话进行去变换一下，

你一减这是零，你减这是一，你减这是负一，然后这是零三一。减去三倍，这是零减去三倍，这是四。那所以说这个人是。满志的。那满之的话，这个人是个方正可逆的，可逆矩阵不变质，你13答案选d。能理解吧好，这是这样的一个问题，

其实像这种题目啊，我们之前就讲过，还有一些比较好的这种手法。就是你可以怎么进行做呢？就是你把这个贝塔一。北大二，北大三，你像这种手法也是非常好的，就是阿尔法一加阿尔法二，然后阿尔法一+2倍的阿尔法，加上三倍的阿尔法三，我给你教过这个事情。然后这是三倍的阿尔法，一+2倍的阿尔法，二加上阿尔法，

三你可以怎么办列变换呢？你列变换了之后的话，这是阿尔法一加阿尔法二，你负一倍加过来，你负一倍加过来，这阿尔法二+3倍的阿尔法三。然后这个人的负三倍减去他的三倍减去第一列的三倍，这人是零减去三倍呢。减去这个人三倍的话，这是负阿尔法二，你减去这个三倍呢？这是阿尔法三。然后接下来你把这个东西给加过来，你加过来这个人就没了，你加过来这是四倍的四不要了，

然后返销一下，把这人不要了。你这个人返销一下，这个人不要了。啊，这个是阿尔法不要了，所以说这个时候你就进行去列变换，那说明这个人是跟这个人是一样，这个人是三，他就是三。初等裂变，环不变质啊，这是一个非常好的方式。所以同学们，你下去要好好想想这个问题，

对吧？这个问题。好了，这是我们讲的这个第一个问题点。人家说的是存在。用定义组。你说的是。阿尔法一。这个有问题吧，你这四个人的话，你说如果什么东西呢？阿尔法一前面系数是零。你的意思说这个前面系数不为零？嗯，本来就刻意不为零的。

这本来就不为零的阿尔法一被这三个人表，你再去捋捋你这个有点钻过去了，我们刚才说的是阿尔法一肯定能被贝塔阿尔法二阿尔法三表示能被那三个人表示。我们说的是未必能被那个阿尔法二，阿尔法二那阿尔法二，阿尔法三那俩人表示。你不要钻进去了，这个两个方向先不一样，我能被那三个人表示，我就能被这俩人表示吗？那未必。除非那个北大的那个系数一定等于零。你万一那个北大的系数不为零，你就不一定能被表示了，那我们刚才这个例子都举出来了，

你可以再想想好，我们再来看看这个第十题。好，再看这个题，这个题不难弄。他说的是你这个向量组能够被这个向量组表示，那这是等于多少？那这个太简单了。那就说你这地方当中有阿尔法一，一直到阿尔法s，你这地方当中有贝塔，一到贝塔t。你这个向量组被这个向量组表示，那说明你这个人能被前面表示我进行列变换。你就没了，

我再进行列变换，你没了列变换，你没了，所以说最后就留下了阿尔法，一到阿尔法s这后面都是零。那说明你的值跟后面值是一样，你跟这个阿尔法的值一样，那就是q啊答案选b。好了，这是第十题。然后再来看看这个第11题，11题也不难。他说这个人的列向量，组线性无关。对吧，

列这个人线性无关它的质啊，就会等于它的列数。列无关等于列数，行无关等于行数，行相关小于行数，列相关小于列数。然后这里面当中又告诉了这个情况，然后让我们去求b的值，那b的值很简单，你看你这是AB的值，你AB的值肯定比b的值小啊。然后你这个人又等于a，因为你俩相等，不是我说的，是他说的那a的值是n。

诶，你比n大，而你这个b这个人呢？b又是一个n阶矩阵n阶矩阵，怎么可能会超过n呢？又小于等n。所以说这个b啊，它一定等于零，那正确答案选a。好了，这是11题，没问题吧？好基本内容好，我们再来看看12题。好，

先看第一条。如果这两个质相等，你就能说等价吗？你不能说。向量组等价应该是你的质等于我的质，然后等于摆到一起的质不对。好，再看第二个人，如果这个等价。而且这两个东西。多线性无关，则这个s=t。那么，首先我们先看，如果第一个人限行无关。

那说明第一个向量组的值等于它的个数s。第二个人线性无关说明向量组的值等于t。然后这两个向量组等价，那向量组等价又可以说明一向量组的值等于二向量组的值等于摆在一起的值，那不就能推出s等t吗？这个没有问题。然后再看，如果你能由我表示。谁的值大呀？你要注意，一能由二表示，那说明二这个人的值大于等于一的值。对吧，二的值大，因为一能由二表示二的值大。

然后的话，这个二这个人呢？他是小于等于几啊？二这个人小于等于t1这个人小于等于s那你s跟t有什么关系啊？你说不清楚啊。我只能说明这两个质的关系，你这个s跟t之间我说不清楚。能理解吧，你能有我表示我牛逼呀，我的智比你的智大。你的值比t小，我的值比s小，那我这两个什么关系啊，我说不清楚。好，

我们再看，如果这个东西由它表示。好，我们再看，如果这个东西由它表示的话，那说明二的值比一的值大。而你发现这个这个人小于等t，现在说s又大于它。那说明马上可以得到耶，这个人的痣是小于s。你的质小于你的个数，一定线性相关，没有任何问题，所以说这题的正确答案只有两个选c。好，

这12题不难哦，好，我们再看下一个题。那么下面这个题啊，我们马上看，他说这两个东西是非亲子节，然后这一点当中这句话非常重要。说这俩东西是这个人的基础解析。那基础解析一处啊，非常关键，第一件事情，这俩东西都是其次的解。对吧，然后第二件事情是这两东西都是线性无关。然后第三件事情其实就是说明它的个数，

其实就是s。那因此这个题的s必须是两个，你观察一下这个abcd，它都是两个。所以没有任何问题，那么它最后的这个通解结构就是k1一个七字节k2一个七字节。因为s是二，然后这两个东西要无关，然后再加上一个非起始键。那么就来看第一个事情是其次解。你最后这个非七次解，你都知道这个a杯大一=BA杯大二=b，你这两个一减是七次解，你这明显不对。你这明显不对，

两个一加才可以。然后这个时候你看你这是其次解其次减其次其次，这没问题，这是其次解，然后这非其次做差是其次解，但是你无法保证这个人线性无关呐。你不对，所以这题的正确答案只能选d能理解吧，好这个方向性把它摆出来对吧，要知道这个题啊，你在考什么？好，13题。再来看14题。那么再来看看这个题目啊，

这个题啊，我觉得出的很有创新性。对吧，这个是我觉得这个。呃，这一套题当中啊，我觉得编的比较好的一个题啊，很有创新性的一个题，他说这些人是线性相关。然后说这个阿尔法一阿尔法二阿尔法三不是它的几大无关组。所以你要好好分析，那么既然这几个人线性相关，那就立即说明阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，

阿尔法四的值。小于等于几呢啊？这个是小于它的个数小于四。然后这三个人呢？不能是吉大五官组。你既然质是小于四，我就把这四个人摆成列，然后进行初等变换。而且要考察到极大无关组的内容，我只能行变化。所以注意啊，只要涉及其他无关组按列排行列换，然后最后把它画成这样。你画成这样子了之后啊，我们稍微进行分析，

其实你到这儿进去去分析还不好分析，因为这里面当中的话，你看你最好，这是零一，这是b负一。然后这是零零，你把这个b- 1调上去。一减AB你这时候分析啊，你会好分析一点。所以现在我目之所及的地方，我要进行讨论，那现在目之所及的地方应该是到这个b- 1。所以我现在来看看。如果这个b怎么办？如果这个b它不等于一。

如果b不等于一，你想想一个事情，你b不等于一的时候，你这个结果就是一零零二。然后这是一，这是零一。然后这是b负一，然后这个部分是零零，你把这个东西啊，因为它不为零，你把它变成一。你把下面这个东西啊，你再把它呃负的多少倍加下来，这能变成零，然后这是a+2。

那这个时候你想它的值有没有可能是小于四呢？也有可能就这个人再等于零。所以同学们想就说，如果你只满足这个情况b不等于1 a=- 2也行，但是这个时候出现问题了。出现什么问题啊？你出现这三个人是不是在阶梯口？你是不是没办法满足这条？你这一二三是不是变成极大无关组了，所以同学们注意这条不对。绝对不行，你这个b绝对不能唯一对吧？不能说不唯一，你这个b啊，你只能唯一。

你唯一的时候，我们再来看，那这时候就是一零零，然后这是二，然后这是零一，那这个b是一，然后这是负一。然后这是零我们调下去，那就是零零一减多少一减a，然后这是a加二。然后最后是零零零。那这个时候我们再来看你，看你继续走，你的质一定是小于四，你小于四，

这个a敢不敢为一啊？你不敢，你a必须不为一。啊，这个是必须唯一，为什么你如果的话，这个情况你看你就这样来了，你这样来也不行，你这个人也在阶梯口，你只能唯一。所以说这个人的话，他必须怎么办？a1定要等于一。你等于一的时候，你这个人就不唯一，

对吧？你是一我这个人是三，我这人就变成他，我这个时候其他无关组是一二四。所以这个题而言a只能为1b，能为一。好，这个题。所以这个题目的这个出题的点呢，它是还需有一点的创新性的，就是你你不光要看别的，你而且还要看看你这里面当中这三个人，绝对不能为其他无关组，你为其他无关组就废了。这两条内容要同时满足。

你光满足这个第一条，你说我们息息相关，那也不行，人家还要满足第二条呢。好，继续再看这个题。好，继续看，那这是一个飞行方程组，然后这是个m×n的矩阵，说这个人有唯一解。那唯一解不就说明a的值就会等于增广矩阵的值，要等于这个人的列数。那这个人没有问题啊。然后说无穷多解，

那就说明你这个人质等于这个人呢，他要小于这个什么小于这个列数。小于这个列数a是小于n。那v1定小于m，这个未必。然后说因为这个人有无穷多解无穷多解的话a的质是小于它的列数。小于列数列相关，那没有任何问题。如果你无解的时候，你无解的时候的话，你这个a的值是不等于大增某的值？对吧，你这个时候你这个a的这个劣势线性无关，你这说不清楚啊。你比如说我们，

我们随便写一个，这个是一零零零一零零零。那么你写成一也行，然后这是一二三。你这个时候你很明显，你发现你看我们这是线性相关，然后这个人也不相等，你未必是线性无关，也可能线性相关一三对大于。答案选c好了15题。我们再来看看这个16题，16题这个题啊，你要进行去分析了。它给的这个系数矩阵的列向量，然后说这两东西都是齐次线性方程组的，

解我们讲过，如果这两东西是齐次性方程组解。你解就是线性关系等于零的系数一倍，它一倍它一倍它一倍它等于。等于零，然后继续一倍的它零倍的它一倍的它零倍它等于零。所以说就得到这个情况，然后现在我们得到一三一定线性相关，这没有问题啊。那这两哦哦，这是线性无关一三一定线性相关的。我这样东西成比例一定先行为，你就无关就不对呀。然后再来看看二四。那二四这个人的话，

你好说吗？那么，现在我们都知道这个这个解的情况，然后你再来看看这个什么？一二三。啊，它一定是线性无关，你这也不对呀，我们这两人线性相关，你一二三的话，这个人也是线性相关呀。能理解吗？你这也不对呀。你所以你这两条的内容的话，它都不对。

对吧，你一和三是线性相关，你再加入一个东西也线性相关。然后我们再来看看这个。二四这个人一定线性无关，然后这个人。就是现在的一个问题，点的话就是你接下来这个问题，你怎么去讨论呢？我好像我也排除不了。你能不能表示的问题，大家一定要听清楚这个事。就是你能不能被表示哎，你还可以继续待。那有的说，

那我把一带去，你看这个d选项，只讨论阿尔法四。你把一代进去的话，这个你就得到了一个什么，你往上一代往上一代的话，只能得到阿尔法二加阿尔法四=0。那说明这两个东西信息相关。你这个线性相关的话，你这个线性无关不对。然后呢？就是关键点就是你这个CD选项，你到底怎么去选呢？你没有质的这个情况的话，你好像你也没办法进行租。

你现在就是这个问题，你到底选c还是选d，所以没有质。你是没办法进行去表示的，我来讲讲这个问题了，就是有些同学说这个方向性得有你，不然的话，你在这胡作。那同学们注意，如果讨论。对吧，你想进行去讨论，你能否由这两个人进行表出？怎么讨论？你就把这人记成a。

其实就是as等于贝塔有没有解，所以同学们，你能不能由我表出的意思就是我的值等不等于把你加起来的值？这种情况我能记进去判断，你到底能不能被我表述你没有智这个题是没法做。所以这个题目它就出现在这个上。那怎么做呢？所以啊，这个题我觉得比较重点的是后半排。啊，前半拍我觉得做的都还挺好。应该这样来，你想这俩人线性无关吧？不成比例一个，其次线性方程组最多有s=n-ra个线性无关的解。

啊，你最多有这么多线性无关的节目。我现在有两个，你这个人应该是大于等于二。那所以你a这个东西啊，应该是小于等于二。a是小于等于二。a是小于等于二，那么接下来我们来看看这个问题。你小于等于二，然后接下来怎么操作呢？那说明这这四个人的智是小于等于二的。然后怎么办？然后怎么处理？你想想这个这个点的话，

怎么做？你小一点儿。就是你这个题难度系数大就大在这儿。他只说了，这是这俩人的姐。他没有说这是基础解析，你基础解析的话，你就等于二了。啊，你怎么操作？刚才的话，很多同学不是做这个，这个题做的应该没问题啊，你后面怎么想的？如果思考的时间太长的话，

这个时间上面的话也不太够啊。怎么做的？也看大家的一些情况。啊，做错没关系，你就后面改过来就行。我看看有没有同学的思维方式往这上面进行转转？怎么处理啊？就这里面当中你，你得到的是。一二三四。你等于零，你就这这里面当中说的是你阿尔法一加阿尔法二加上阿尔法三加阿尔法四=0。你把这条件摆到了一+3=0，那说明二+4也等于零。

好，这个人。一三相关，二四也相关啊，这没问题。那这里面当中，你得到的是一三相关，二四相关，一一二三的话也相关，对吧？你这这没有任何问题。然后我们再看，然后怎么操作？你可以反着来。啊。

你来看看这个c选项。呃，有同学说这个d选项，你可以先看。你琢磨一下这个问题，说d必可由它来表示。你必可用它来表示的意思，就说你二三的这个痣跟二三四的这个痣是一样的。你怎么进行理解？你二三这个人的值。你和二三四这个人治是一样的。你其实你做到这儿的话，你思考不了了，行吧，我们来看看这个题。

那么这个题啊，你得到的关系把它写到这。我们就得到这儿，然后这个里面当中告诉一三=0，然后告诉二四=0，你注意这种题啊，你像下次你碰到这个思考时间太长了也不行。你看这个题，你的核心重点其实就想看看二三四这个值等不等这个值？能听懂吗？我的方向就非常简单，我就想看二三四的志，等不等于这个人？而你发现四这个人，你是不是能被二这个人给干掉？

被二这个人给干掉了之后的话，你发现这个人就变成零诶，你的质等于他的值，所以二三这个人的值。就等于二三四这个认知。那说明这个东西啊。那阿尔法四就能由我表示。因为这是a。a它那说明as等于阿尔法c有解吗？能被表示这没有问题，然后再看前面这个人。你前面这个人的话，你要看的是。二四的值它到底等不等于二四一的值？对吧，

2c一的值，但是你想想一个事情，你这个阿尔法一，你只能跟阿尔法三被干掉。所以这个人的话，你只能通过阿尔法三干掉，你未必能由阿尔法二，阿尔法四表示。那所以你这个人进行去列变换的时候。你这个人未必能干掉。如果你被干掉了，你就说明这个人的志跟阿尔法，阿尔法四志一样，如果你干不掉，你就说明不一样，

所以这件事情。是被逼的啊，这个我爱同学同学啊，非常不错。好了吗？同学们想清楚了吗？我觉得这个题是能提高的。就是有方向的。就以前的话，有同学可能没有做过这种题，你这个方向性不是特别清楚，你要注意一个问题，就说你这个向量能不能用这个向量组表示？你是一个非前方程组的问题。你非前方程组的问题就是系数矩阵的值到底等不等于增广矩阵值，

你能不能由我表示就是我这个人的质到底等不等于把你加进来的质，你要有这个方向。你以后见到这种问题，你就这样想，你没有方向的话，你就有点胡做了，好，我们再来看这个题。行吧，来看看这个。呃，这个题啊，那行吧，我们讲了吧，来看这个人。

马上一看，这是其次解，马上一看，这是其次解，马上一看，这是非其次解，马上一看。其次解的话就是系数。对吧，这个人的线性关系等于零，然后二倍的阿尔法，一加上阿尔法，二加上阿尔法，四=0。然后这是阿尔法一，

加上阿尔法三，加上二倍的阿尔法四，这个线性关系要等于贝塔非以其次解嘛？然后接下来我们看看。北大这个人，他一定有阿尔法一和阿尔法二表示。啊，它一定能有阿尔法二，阿尔法二这个什么阿尔法一和阿尔法二表示这个怎么办呢？你就进行看看这个问题，然后说北大这个人一定有阿尔法，阿尔法三表示北大这个人一定有阿尔法四和阿尔法一表示。对吧，这阿尔法二和阿尔法三三表示，然后是三四表示。

然后这两个人，所以这我觉得这个题是很好选的，你会选谁呀？你做这个题太太简单了。就是你见到这个东西，你先把这关系列出来。你替换谁啊？把谁替换了？这个这是题你式子一列，你就要知道这是其次解线性关系的问题，其次解线性关系的问题非起点线性关系等于的把谁替换了？他说这个三四，你三四的话，你就把这个人替成四呗。那就是阿尔法三，

你这是负的阿尔法四，不是阿尔法四等于贝塔吗？那不选c吗？好了没？你把这一换就出来了，所以我觉得做做这个题不是有难度的。就是你将来碰到这种问题，你先这样分析。你这个人肯定是线性相关，这个人肯定不对。你这能不能由他表示？你实在导不出来了，你就要进行看看二三的值等不等于二三贝塔的值？你既然这个题的话不好看，那就没办法了。

那你就看看他的可能性。好，这个题能理解了吗？我觉得呃，比较重要的功力就是你这个，其次解你代表的什么，你这个非其次解你代表的是什么？把这个线性关系，你得写出你写不出来的话，你这里面当中又出现问题了。好，18题再来看。他说这个人三元非其次，三元是什么意思啊？什么叫三元呢？

三元就是三个未知数。三个未知数就说明a的这个列。列数是三。啊，列数。然后说这是它的三个线性，无关的解。a的，这是一。那同学们告诉我，它顶多有多少个线性无关的解，顶多有s+1就是。n-ra+1。那所以说这个人的话，他就是。

顶多有三个，那这就是三个。对吧，顶多有三个，这三个其实不重要，我们来看看第二事情。那么，其次，这个s等于多少呢？等于n-ra那这是二，你这一看都不对。你这怎么能是通解呢？你基础解析里面当中，你只有两个呀。你基础解析里面只有两个人k，

这应该只有两个k。你说这认识通间，这也不对，你这有一个k。你这是三个人，怎么能作为基础捷径？我这是两个人。那我们只能看后面了。你看后面的话，这人怎么办？那既然是。通解。这不对，这不对。这也不对。

这个。这个题让我想想啊。嗯，这题没有答案呢，不好意思。这应该是敲错了，你把它改一下，把d改成一它一减一它二，把它改一下。把这题改一下。改成一塔一减一塔二。改一下基础解析嘛，你基础解析必须是两个其次解嘛。所以我们来看看这个基础解析。这个基础解析的s是二，

应该有两个其次。两个线性无关的起次。而你这个人是非其次，你肯定不行，一他一减一他二是其次，一他二减一他三是其次。好，这也是可以的，而且这两个线型无关，你可以证明它。能理解吧，好了呃，能理解我的意思啊，给我回番。听明白了，

给我回复18题，把这题改一下。这个题呃，这个题。把d选项改一下。好，我们再来看19题，那19题这个题啊，它说这是它的基础解析。那基础解析的话，不就说明cosine 1=0。可三二=0。可赛三=0基础解析里面当中有三个人，而且一他一可赛一可赛二可赛三是线性无关。说仍然是基础解析的是。

那仍然是基础解析这个题怎么看最简单，你发现你是最好看的看法其实就是裂变欢。裂变换这个方法对于这个题而言，你发现比你继续去求行列式要简单的太多太多了。是吧，你进行列变换，你列变换的话，你发现你把这个给干掉，他没了，你把这个什么？呃，这是。可赛一你加上可赛三，然后这是可赛二，这是可赛一加可赛三。

你又把这个人给干掉，你这个痣不可能是三你不行的。你再来看看第二个人，你第二个人的话进行去变换的时候，你再进行变换了，把这个人干掉，这负号没了，他是三。你这人可以。能听懂吧，然后再来看看这个第三个人，你第三个人的话，这是可赛一，然后可赛一减可赛二。加上科赛三。

然后可再散。然后进行去裂变换，这是可赛伊把第二个人的话，这个人给干掉。然后可赛三把这个人给干掉，然后留下可赛三，然后这个负号不要了，哎，这是可以的。对吧，你最后一个人同理判断好了这个题，我就不讲了，行不行？我方向性是一样的，就是这个题最好的方法，

其实不是说把这东西写成。呃，他再进行去乘上一矩阵进行看行列式，看行列式那个方法都没有，这个初等变换的方法来的简单。你这样看的话，非常非常快。你只要找到三个线性无关的七次解，就能作为我的基础解析。好了呃，可以的话给我回复三。好，掌握清楚给我回复三。好，我们再来看看这个题。

这个题啊，他说你这个人的系数矩阵是a。存在这个人不为零，使得这个人等于零。当然，我可以走两个方向。第一个方向。你看第一个。第一个我可以走质的方向。a的值加上b的值。然后就小于等于三。然后我看一下这个a。a这个人是拉姆达一一拉姆达一。拉姆达方一拉姆达。那这个时候你进行去瞅一下这个问题。

你看一下这个a两行不成比例吧。有没有可能成比例呢？也有可能成比例。对吧，你这个拉姆达等于一的时候就有可能成比例，所以为了研究BB，先研究a。你只能研究a研究a的话，你只能进行去。行列式也行。对吧，你去求一下这个a的行列式，因为这里面当中的这个b啊。它的这个质是大于等于一。你这个质大于等于一，

你就会发现你你看看这个人，你质大于等于一。a的质就小于等于二。所以它的行列式等于零。然后第二人的话，你再看，因为你这个a这个人呢，你a这个人也不为零，你a的值，你也大于等于一。你大于等于一，加上它那b这个人之有小于等于二，你这个行列式也是等于零。大家能理解我的意思吗？你说这个行列式不为零，

那肯定都不对，你这都不对。所以现在我们最重要问题其实就是要求解你这个行列式等于零。对吧，你这个行列式等于零的话，我们直接做吧，做行列式是最简单的。因为这个人变换不好变。那这个行列式的话，你可以这样来，你是拉姆达一，这是拉姆达方。我观察了一下，你看有一个特点啊，什么特点呢？

就是我用第三行减掉这个人的话之后。对应相邻了之后，这两个数是不是成比例？那成比例了之后，我在行一下列一下，我以第三这个人为基准，我再把这个人加过去，这人是不是又出现零？漂亮，只要出现两个零，我就可以进行展开，我展开了之后的话，你发现我用这个展。那对角线兰姆达方，加上兰姆达。

然后再减去拉姆达方，再减一。那所以说这是拉姆达减一。然后这个东西你再来一个兰布达减一。所以说这个时候的兰姆达只有一个结果，那就是一，那就是一，就是一呗。那没有办法，它没有第二个结果，如果有第二个结果，我还得检验。反正这个题你能得到的是a的行列式等于零。你逼得好了，谁懂你？

能琢磨清楚吧，这是一种方式。还有没有方法呢有？第二个方法的话就是你走实验方程组。因为AB=0 b的列都是我方程组的解。而你b是不为零，肯定有一个元素不为零，那你肯定有一列不为零，那就说明as=0有非零解。能理解吧，你有非零解你的系数矩阵的值小于你的列数，你行列式就等于零。能琢磨清楚吗？好了，听明白了给我回复四。

就是你发现来来回回这几个内容，来来回回倒倒过来倒过去倒过来倒过去，对吧？一直的话就在这个问题上转。好了，这是这个点。那么继续吧，我们再来看看这个题。啊，这个这个题目。他说的是未知数。方程。方程的个数其实是a的，这个人的行数。未知数的个数其实是那个人的列数。

然后这是r。然后我们先来看看这个第一个人，如果质等于m。行满值。注意啊，如果一个非行方程组，你记住这个问题。你听好了。这个飞行方程组。一旦行满制了，一定会有解的。为什么？因为你想想你这个痣已经到这儿了。你好，满值。

那就说明你这个a这个人的值，你是等于m。eb这个人智能。这个AB这个人值呢，你也会是m。也就说，一个飞行方程组。只要行满志，他一定怎么办？他一定有解，但是你不用背啊，你理解一下，你就想想你a这个人答到底了。你再走过去，还是打到底？

那说明a的值跟增广智是一样，那肯定有解，这没有任何问题。如果这个质等于n，它一定有解吗？这个未必。你质等于n，你无法保证的一个事情就是你系数矩阵的质，你会等于增广矩阵，比如说我举个例子啊。一零零零一零零零一。好了，我这个人的话，其实就有三列，你质是不等于列数。

但是我后面写了一个一二三四，你发现你这系数矩阵支持它，你增广矩阵支持四，你没有解啊。你m=n就有v解m=n说明方阵方阵就有v解那疯了。你质小于n，它就会有无穷多解吗？那不一定。你小于这个未知数个数，我比如说我举个例子，我们c这个人。比如说一零零零一零零零，你看你这个质就小于列数，但是我这写个一二三呢？你这没有解啊。

有唯一解也不对呀。能听得懂吗？好了，这是这个题，掌握清楚给我回复一，所以你要对这波内容的话，你要非常的灵活啊，那个未知量个数是谁方程个数是谁，你这个质。你怎么进行讨论它的把这个方向性摆清楚？好，再看22题。呃，这个题比较简单，如果有解就是系数矩阵制等于增广矩阵吧。

那所以你这个现在这个系数矩阵的值是二，你增广矩阵是二，你这个人等于零，他是一这题我不讲了，就初等变换的嘛。好，继续这个题不能用行列式。有人说，那行列式不为零，行列式不为零，那是唯一解行列式等于零，有可能无解，也有可能是无穷多解，那能说的清楚啊。说不清楚，

好了，我们再来看看这个题。那这个题说什么呢？他这样说，如果我把这个东西，他说向量组和向量组，你这是a这是b。你不能由后面表示。那说明什么？说明BS=a没有解。你不能由我表示啊，你没有解呗。没有解两个事情。第一个事情，你可以用行列式等于零来做。

第二事情你可以用b的值，然后不等于BA的值来做。都可以，所以你现在进行去，如果进行去变宽，你想想。你走，如果下面这个人他不为零，你的质就会等于他的质不可能，你只能拉横线过去。所以这个a1定会等于四。这个题也可以用行列式等于零来做，行列式等于零的话，它求出的结果是唯一的人。如果是唯一的人，

那就是他，如果是好多个人需要讨论，因为无解，推出等于零=0，可不一定无解呢。所以等于四大家听懂我的意思吗？这个方向性，一个向量组被一个向量组表述的问题是矩阵方程的问题，那也是一个啊，矩阵方程的有没有解的一个问题的讨论。好，再看这个人。他说这三个人是飞行方程组的企业向量。然后b是它，然后a的值是多少？

这个题有意思。这个题也是一道呃，非常非常好的一个题。那你想想一个事，那在这里面当中，我去讨论我的重点讨论谁呢？我怎么样才能求出a呢？根据解。哎，我知道一个事情，一个非线方程组，它最多有s加一个，那就是三减ra加一个解。是最多有的。那么，

其实就是最多有四减ra个解。那我就来看看这个解。你这是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，我看你有几个线性无关，这是一二三零二一零t一。我给你进行变换一零零零二t零一一，然后这个时候我把它进行调一下。一上去2 t- 2倍零，减去二倍，那所以这时候我们讨论第一个事情，如果t怎么办？等于二。t=2的时候，

那说明这三个人的话，他的质等于几？它的质等二那说明我现在这个人我知道有两个线性，无关的解两个线性，无关的解我最多有这么多个线性，无关的解我应该是大于等于二。我大于等于二的话，这个时候我说明a的值是小于等于二。哎，小一点。小于等于二，而这个非行方程组的a是不为零的，那不为零的话，它就是大于等于一，小于等于二。

这说不清啊。对吧，说不清啊，但是如果这个t它不等于二的时候。你不等于二的时候，说明这三个人的智等于几，它等于三，你等于三的话，它最多有四减ra个解。那我就要大于等于三，你现在知道三个线性无关的，我最多是有这么多个，所以ra这个人怎么办？你要小于等于一。一个非其次线性方程组a不可能等于零的。

如果a=0呢，你想想b有就是零，那不可能。所以说这个人呢，他大于等于一，那就是一那，因此的话，这个人只能为一选c。这个题非常巧妙，有一点点意思啊，就是你怎么通过这个你解这个情况怎么就？演化到什么呢？你怎么就演化到这个系数矩阵的这个值呢？你你发现这个有点创新性在这里面。那么这个题有点创新性啊，

可能有些同学在这个这一年过程当中做这种题，没有遇到过这种题。你稍微进行去处理一下。好，这是它，然后再看这个题。那这个人只有林姐，那你其次线性方程组只有林姐系数矩阵的值小于列数或者行列式等于零，俩人都能做。所以这个题我不讲了。可以过去了吧？好，到时候有答案，你直接用一下行列式等于零是最简单的算了，我讲一下吧。

是k，然后一一三。你一减这个题就出来了。减去二倍，这是零减去二倍，一减二k减去二倍，这是负一。所以说这个时候的行列式展开是三倍的一减二k，然后加上k这人等于零解出k就行。好了，这是25题。然后我们再来看看这个26题。那么，这个a给的你m×NB给的你s×MA的质是rb的质是m？对吧，

这个这是rb的，这是MB这个人呢？另外之意则这个齐次元方程组啊，它的基础解析当中有多少个线性无关的人？多少个线性无关呢，你就要先看看这个b×a是个几乘几的矩阵。b是一个s×m。然后这是个m×n。所以说最终就是个s×n，我关注的是这个人。它最终有多少个解呢？就是s-n应该是n-rba个人。而这里面当中的这个BA是多少呢？我们就要看看BA。b×a，

而我们知道这个BB这个人的话，列满制列满制不变制就是a的值等于二。所以说这题是n减二二个正确答案，选几选a，我相信这节课你是有提高的。左乘列满质不变质，右乘行满质不变质，你这个质也要出来。然后我们再来看看27题。啊，再看这个题。那这个题啊，他说设这个。AB为三阶矩阵。然后这个AB这个情况都是它说，

如果存在一个三阶矩阵x。哪个答案呢？这个答案是吗？26题是吧？啊，你得修改一下26题选a啊。这个题吗？主要这个叫我看看，这是个答案。啊25题。嗯，还有这个24题。选c。哎，所以说。

因为这两天的话，我主要在出题啊。我让助教先弄一弄一下这个答案。这答案整理的。好了，这是这个吧？啊BA啊。n好了没有？可以了吧，这一题啊。是n- 2选a。BA的列不是n。那是多少？那那你觉得BA的列是多少？这是s×m，

这是m×n，它的列是多少？它列不就是n吗？你这这个你得看懂，我觉得。没没有没有一点问题啊，这个点。好，我们再来看看这个27题啊，继续再看这个题。好，继续，我们看看这个呃，所以说我下次讲完了，我们把这个这些题啊，

我们给你整理到一个文档里面，然后的话，回头你自己在上面，你自己有问题的题，你可以多看一看。好，我们再来看看27题。那这个题啊，他说AB。然后这是他这是他说明这个东西有几倍。那这东西有解的话，存在这个东西有解，那不就说明a的值？然后等于多少等于AB的值吗？所以说这是a，

这是b。那a这个人是多少？一二负一二一零一一。然后这是四负一三，然后这是2n0m负一，这是p，然后接下来我们进行一个初等变换。一一二四负一三，然后加起来三三六。然后这是n- 1，然后这是三，然后这是零一一m负一撇。把这两个调一下，你调一下的话，之后的话就是一一二三。

四负一三，然后这是零一一m负一，这是p，然后这是零三三。六这是n- 1，这是三。减去这个人。那说明这两个质相等。你质相等的话，你去看看你这两个东西，你减去三倍，这是零。你减去三倍的话，这是六减三m。你减去三倍的话，

这是加三，你加三的话只能加二。你减去三倍的话，这是三p，所以说六减三m等于零。然后这是n+2=0。三减三p等于零，那说明p等于一n等于负二m等于二。所以说这是二负二，这是一二负二，这是一答案选a。好，这是这个题吧，我们就讲到这。呃，

所以说这个呃，这次啊。叫看看对照一下刚才哪些题哪些题的答案呢？你们给我报一下可以吧？这个题。呃，我把这个答案的话，这个页面的话给稍微改一下。一个是。24题选几啊？这题选几啊？还有26题。24是选c。然后这人是选a。还有一个是没有答案的，

那个是哪啊？还有我最后修改了一下，然后的话才得出答案的那个。应该是那个基础解析的那个题。18题是吧？18题是。好了，这么读。可以了吧？行吧。呃，这是我们这次的话，这个部分的内容啊，我们就讲到这儿，所以说这个这些题啊，

你下去好好进行处理一下，我觉得这个。呃，编的过程当中啊，这个题目呃，其实的内容点呢，我觉得还是呃会稍微的会丰富一点啊，因为有些题的话，有些人可能。你之前没有怎么见过，所以做起来的话，这个呃难度系数啊，或者东西而言呢，还是稍微的会有点难度系数啊，当然的话在这个。

方程组的这个解的这个判定啊，还有这个求解啊，还是比较重要呃，稍微等我一下，我把这个拍一下。行吧，我们这是这个板块，你们多元微分学做完了吗？多元微分学。做完了，还是没做完呢？没有做完的话就明天讲啊，做完的话一会儿我们稍微休息会儿，我们再说，因为这个是今天上午才发的。

我看看这个明天晚上啊。嗯，明天晚上哦，这是。要不明天讲吧，可以吧？明天晚上我们再把这个东西讲一下啊，明天晚上你们自己下去把它再做一下呃，今天好好把那个质的部分的东西啊，好好整理整理。啊，我觉得呃质的部分的东西啊，还是比较关键，因为这个有些东西可能你线性代数在这个。这个好像还现在还没有整理出来答案。

啊，然后呃，明天的话，我们就让把这个所有部分的东西啊，我们把这个全部的这个答案系统的正这个整理一下。然后的话，这个整个文档给你们整理过去，因为这个可能这个在这次呃决胜300题当中啊，你们当中可能出现的一些刊物。因为这个全都是今年新编的一些题啊，但里面也没有这个进行去正式的。

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