02.强化决胜300题精讲【2】

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:54:01

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音而去，画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。呃，原本是昨天呢，晚上我们想讲这个呃，决战300题的第二次的这个作业题的呃，但是昨天晚上的话，那个因为呃，前面有一节数一数二数三同学的课程。

然后下课了之后啊，基本上都九点四十多了，然后这两节课的话，因为中间还有点PPT，这个部分内容，所以我们就留到了这个今天课程，我们再来讲。啊，这个其实刚才那边课程的话也是刚才才下课好了，那么接下来我们就继续吧，我们来呃看一下这个下面部分内容啊。来，继续吧。我们来看看这个第二次作业，那么这个第二次作业啊呃，

今天晚上的题啊，可能会稍微的会多一点点啊，你下去把这个部分错的题啊，好好进行整理一下。那么，第二次作业里面当中啊，可能呃比较多的一些是概念性的问题，对吧？概念题比较多一点，所以说一定是把上课部分的东西。对吧，把上课的内容消化到位了，然后再进行去处理好了，那么接下来我们来看看这个第17题啊。呃，

第17题啊，这里面当中他说了一个事情，他说这个人是比这个人高阶的无穷小，其实这件事情啊，在我们往年的考研真题当中啊，也涉及过这种事情。那么，如果这个人是比他高级的无穷小，那我就可以立即推出什么，那就可以说这个人比上这个人的极限，结果呢？那就是零。对吧，它就是零那这个极限是零呢，然后接下来我们求这个极限，

那这个下面这人呢，立即等价无穷x方没有问题。然后接下来我们就来看看接下来怎么做。那么，接下来的这个处理性的方法还比较多一点，你可以怎么办呢？因为这个是个零比零型的未定式，你可以使用洛必达法则的方式来做。那么其实啊，这种题目叫做已知极限，求解其中的待定参数的题，第一件事情先看看这个人是不是未定式。如果这个人就是未定式，按未定式做，如果他不是未定式，

他一定是未定式，你发现下面极限是零。你上面也是零，那本来就是未定式，那所以说这里面当中我们可以使用第一种方法，你就使用洛必达法则的方式来做那么一落的话，你发现下面求导就是2s。然后上面求导呢，那这个部分是一加s分之一，然后再减去多少二ax？啊，然后这个部分呢？再减b。好，这个部分那么这个东西不会存在震荡的情况的话，

它也是零，然后接下来我们再看你发现下面是零对吧，然后上面这个部分呢是一减b那所以说这个人也是零，因此啊b就是一。你看也挺简单的，然后接下来又是一个零比零型未定式，我们继续再落下，你落完了之后的话，这个部分就是二，然后上面是负的一，加上x的平方分之一，再减去2a。那这个人也是零，那这个是零的话，我们再来看看这个极限结果呢，

这是二，然后前面这个极限是负一，你再减去二a，那这个人是零，因此a这个人呢，就等于负的二分之一。好这个题啊，难度系数不大，正确答案选a我觉得这个题每个同学都应该会啊，基础题那么这中当中啊，除了这个题当中这个方法之外，还有。还有没有别的方法呢？哎，当然是有，

还有个更快的方法。你想想一个事情，你这是ln 1+s，然后这是一个二阶诶，那这个二阶比上这个二阶是不是就可以拆出去了？嗯，所以在这里面当中啊，我们就立即可以处理，当s趋向零的时候，这是ln多少一+s啊，减去个BS比上这个平方。然后这个部分呢，就是个a对吧？这个极限是a，你拆出去等于零，

那这个极限等于零的话，你发现这个极限不就等于a吗？那既然两者作比是一个常数。两者作比是个常数，说明是同阶的，下面是二阶，上面肯定是二阶，那上面是二阶的话，我一猜的话，你发现这ln 1+s只有减去s这个东西才是二阶啊。而且等价无穷，小于这个人，所以立即可以说明b就是一，然后这个a是多少负二分之一？是不是也出来了？

哎，这个方法也比较快一点，所以我觉得这作为我们三九六同学，你掌握住这两种方法，基本上差不多了。对吧，肯定是比泰勒公式啊，要更快一点，我一直给你讲，对于我们的方法对等价无穷小替换。四则运算法则阶的问题，还有这个洛必达法则都应该是在这个泰勒公式之前的啊，基本问题。好，我们再来看18题。

那么这个题啊，它还是这种情况。那么，首先给了前面这个极限，让我们去求后面这个极限。那后面这个极限的话，我们先看看前面这个人。前面这个人首先第一个事情考了这样的内容，趋向0a的x- 1等价无穷s倍的lna。那所以说把下面这个人就可以等价，等价无穷，小S倍的ln 2。然后你可以看比值极限存在下面的极限，结果是零上面的极限肯定是零。你上面这个人的极限是零录音，

一个极限，结果是零里面肯定是一你里面是一的话，你发现那这个部分肯定是零。能听懂吧，所以一加框立即等价无穷小于框这个部分内容，所以对于这个题而言呢，我立即等价一下。那等价成这样子的话，你发现你稍微把这个tangent下方tangent在等价立即整理，对吧？整理出来这个人。所以说把这个ln 2这个东西啊，你可以怎么办？乘过去这个极限出来。那这个极限出来的话，

你发现你看这二阶比二阶，然后这个极限是存在的，所以啊，我们就把它拆开，那拆开了之后第一个极限和第二极限都出来。这个题很简单，正确答案选几啊选d。好了，这是我们讲的18题，那么接下来我们再来看看第19题。那么，19题这个题啊，它说如果这个极限结果等于一，则这个c等于多少？那还是一个已知极限，

求解其中待定参数的题吧。已知极限，求解其中待定参数的题，你看你可以把这两个东西写成作弊的情况。那作比的情况，你看上面这个人当s趋向零的时候，这个上下限相等，那上面就是零。比值极限存在上面的极限是零，结果不为零，下面的极限一定是零，那你来看看这个事，那么下面这个人是多少呢？下面这人是e的s，减去多少BS+a，

然后这根极限等于零，你其实在这里面当中，我们做题按照我们的操作性思路做。可能会更快一点，你发现这个题就是已知极限，求解其中待定参数的题，我们先定型，我一定的话，你发现。上面的极限是零。我一定的话，你发现这是一减去零加上a，然后的话，这个情况它下面这个结果一定是零a一定等于负一。是不是这个情况？

如果这个a=- 1的话，零比零型未定式，我就可以使用一下洛必达法则，因为变现函数嘛。变线函数这个人求导非常简单，变上线移上线，下面求导一下就行。那这个时候我们再来看你趋向零的时候，这个极限呢，是根号c非零因子是不是可以淡化，然后上面是不是可以等价无穷小S啊？所以这个东西啊，立即整成这样了，然后继续看，又是一个已知极限，

求解其中待定参数的题，已知极限，求解其中待定参数题先定型。你上面是零，你下面一定的话，这是一减b，一减b就是零，所以b是一那b是一的话，你发现下面等价无穷s，这就没了。所以说根号c分之一这个人是一，所以c等于几啊？c等于一正确答案选b。能跟得上吗？好了，

这几个题啊，我觉得都不是说特别难的啊，19题再来看20题。哦，稍等一下。这个我怎么没有？好了，那么接下来我们来看看这个题。那么，对于这个题而言呢？首先，第一个事情你发现你看肯定是先把它打开，先看看那这个题的考点还是什么？叫做已知极限，求解其中待定参数的题。

已知极限，求解其中待定参数的题啊，你可以先定下型，你定一下零分之，它是无穷大无穷大，然后一定的话，你发现一个事情，这是a。对吧，这是a所以说这个时候你发现这个人的极限，结果就是存在的。那存在的话，我们就可以把它拆出去，所以这个人呢，立即把它拆出去，

拆成这个样子。然后前面的是无穷大减，无穷大未定式啊，你可以把它整理到一起，然后这个极限是a，你把它抛出去，那抛出去之后啊，这个题就出来了。那就说明limits趋向零，然后这是b减coss比上平方，这个结果是多少一减a？好，继续看，那这题又是什么？已知极限，

求解其中待定参数的题，好先定型，一定的话，下面是零，一定的话，上面是b- 1。如果不是未定式，一定是未定式，所以说b是几b是一，如果这个b是一的话，这是一一减cosines等价无穷二分之x方，所以一减a这个零等于二分之一。a等于多少二分之一，所以说这个题就出来了a是二分之一b是一正确答案选a啊。好了，

这是我们讲的这个第20题，来继续吧，我们再来看看下面一个题。呃，这个题啊，我觉得如果现在做难度系数不大了，你可以今天讲完了之后啊，你再进行去回看一下我们原来这个呃，强化的话，这个强化篇。就是我们讲义冲刺满分强化篇的这本书籍当中啊，我们讲的这种题型你就会做的非常快。那么，首先我们先看第一件事情，你发现看这是s趋向什么无穷？

负无穷当x趋向于负无穷的时候，你发现不好做，容易出错，所以立即使用什么负带换。这是个基本点，赶紧进行附带换一附带换t就趋向正无穷，然后这个部分呢at方加上BT+1，然后再减去3t。那这个时候我们来看看这个事，你告诉我这个a能不能抽出来？那么，这件事情我们讲了好多遍了。先看看前面这个人，你再来盯着后面这个人，后面这个人是3t趋向无穷大。

然后前面这个人呢，你注意是以3t趋向无穷大，那么前面这个人呢，前面这个人老大是他。所以说这个人前面的话，这个人是根号a倍的t。这是无穷大。我们说过了，前面这个根号a不可能比三大，也不可能比三小。如果你比三大了，我们这个前面这个人就会更大，他就会往无穷大跑，如果这个人比他小。你就比下面后面这个人小的多，

那这人就会趋向富穷，所以说这两个人的量级地位等同。因此啊，这个人肯定等于3a，一定会等于九，那既然等于九啊，这个东西就排除了。哎，所以说我觉得这个第一个点，你看我们选项设置啊，也基本上九会比较多一点。然后接下来我们再来看你，既然这个东西是九，我们就可以把它整理成这样，然后这个东西就是无穷大减无穷大未定式。

当然可以在这里面当中啊，什么提毛法了，当然这里面最快的话，当然是游离化，游离化一下来之后，你注意啊，不能抓大头啊。无穷大减无穷大，不能抓，但是游离化了之后的话，你看就变成什么算这个题啊，我们来写一下。那这个时候这个题目就变成了limit t，趋向于正无穷，然后这是根号下多少9t方加上一个多少BT，

再加上一。减去三题，请注意啊，这一步可不能抓到头，那不能抓到头，我可以怎么办？根式我可以想到有理化，我有理化一下的话，之后这个人就变成了。9t方再怎么办？加上BT+1，然后再加上3t，然后上面这人就变成你的平方，减你的平方就是BT+1。这个时候就变成了无穷大比无穷大，

那既然是无穷大比无穷大，这个人是不是就可以抓了？我们一抓，你看上面这人抓上BT。然后这个人抓呢根号九t方，然后这是三t，所以说这个结果是六分之b，这个人他等于多少二分之一？所以说这个人呢，就出来了，跟得上吧，所以b等于多少b=3啊，正确答案选几？诶，这个选项是不是设置了两个呀？

啊，这俩一样的。稍微把它调一下，因为这个习题集啊，这个部分呃可能。因为这个是我们内部内部的东西，然后的话，可能这个教的话呃里面当中可能会有点刊物回头啊，我们会有一个系统的刊物，你及时进行下载就行啊，这个人。所以这个题啊呃，是a选项c也行啊，都对。好了，

这是这个事情吧，我们就说到这啊。可以了吗？哎，基本点21题，反正这里面当中啊，每个题我们都会讲的啊。好了，这是21题，那么接下来我们继续，我们再来看看下面一个题22题，所以刚才那个题啊，其实你发现呃题锚法呀。其实题猫法没有这个游离化快，原本是无穷大减无穷大，

它不能怎么办？他不能进行去抓大头，但是你游历化之后的这个东西啊，他马上就可以抓大头了。好，我们再来看22题，那22题这个题啊，完全就考了性质对吧？就是这种情况。如果这里面当中它是这种结构fs加减上gs。对吧，这种情况那么像这种问题啊，它是个什么？如果第一个极限存在，第二个极限存在，

存在加减，存在存在。存在加减不存在不存在，然后第三个事情是不存在加减不存在是未知。啊，未知，然后第三个事情是存在乘存在是存在存在乘以不存在这东西啊，是不存在。然后最后一个事情啊，这个是不存在成不存在啊，存在成不存在是未知，然后最后一个事情不存在成不存在也是未知。所以说这里面当中啊，你发现就是考的这个内容，你掌握清楚这个内容用起来就非常简单，

好，我们先来看看第一个人。他说，两人相加存在则都存在吗？那不一定，你存在加存在可以存在，不存在加不存在是不是也能存在？所以它不对。然后再看第二个人，两人相乘存在，你都知道存在乘存在存在存在乘不存在。未知有可能存在，不存在成不存在，也有可能存在，这就有点荒谬了，

对吧？不知道什么情况都不知道。能理解吧好，这是这个事，然后再来看看第三个人，第三个人就比较简单了。两人相加式存在。而且这个人存在。如果这个东西不存在。存在乘以加上不存在，那这个东西呢？是未知呃呃，是不存在你存在加不存在，是不存在。你说只有什么情况呢？

你发现这个问题啊，你看存在加存在，当然存在，但是存在加不存在是不存在不可能。它只有这一种情况好了，这个问题啊，我们就想清楚了，正确答案选几啊选c。你再来看d选项d选项说什么呢？说两人相乘时存在这人存在。对吧，两人相乘，存在这人存在。存在乘存在可以存在，存在乘不存在是未知，

也能存在，所以说说不清楚。再来看最后一个人，说两人相乘，存在这个人是不存在。我们都知道，不存在乘以存在是未知，可以不存在乘不存在是未知也有可能性，所以这个人不对。好了，这个题啊，其实我觉得比我简单。对吧，我不知道你们做了多久，对吧，

这个题完全就考了这个知识点。就是用这个知识点用就行了，就是存在乘以存在，你可以存在存在乘不存在。未知也有可能存在。对吧，这个问题点非常的简单啊，好了，这是22题，所以对于我们班同学，我觉得处理这种题啊，不难来再来看23题。这题秒了吗？这全部上课打的痛点了。那么，

首先我们先来看看这个函数极限的定义。函数极限的定义的第一句话，它说的是无论你有多么的小。对吧，无论你有多么的小，其实原本他说的是无论你有多么的小，我和你之间的距离比他还小。这是最后一句话吧。这是第一句话吧。这句话想说的是些什么？就说明fs的极限是a。那这个时候你想这个部分想说的是，无论你有多么的小。其实啊，虽然说大于零，

但是很大的部分其实用不到，所以基本上零到一这个部分我已经能保证它非常的小。所以这是可以的a是对的。然后接下来如果是零到二呢，这个人也行。对吧，零到二这个人也可以。零到二的话，这个部分最后的话居然是小于二倍，伊布斯龙没有关系，二倍的伊布斯龙不是小于三倍，伊布斯龙吗？那这个时候三倍的伊布斯龙不就属于零到几呢？零到六嘛？那所以说b选项这个定义就可以这样说，

对于任意的伊布斯龙一撇儿。属于零到六，然后中间怎么样？最后是fs和a之间的距离啊，比这个什么一布斯龙一撇还小。是不刚刚好啊，没有任何问题可以的，然后接下来我们再来看看c选项c选项这个东西说的是小于等。小于等的话，这个部分的话，你可以怎么办？你这个部分的话也可以小于多少二倍的一个数？其实上面这个东西都不用。你上面这东西的话，直接可以说什么？

你直接可以说明二倍的伊普西龙不就说明属于零到四吗？你把二倍的epsilon记成epsilon，一撇就行了。没问题吧？哎，这是可以的，所以后面是二倍的e布斯龙也对你小于等呀，你小于等的话不就小于一二倍的伊布斯龙吗？就变成刚才这个人了。也是对的。然后我们再来看看d选项，如果小于等于二倍的一不足呢，你就小于三倍的一不足，那这时候三倍的一不足就属于多少零到六？对吧，

这个时候就变成了d选项了。无论你有多么的小，我和他之间距离比你还小，这是对的，这不对，为什么这件事情无没法保证它是非常小？所以我觉得这个题啊。一定是听正课。啊，你要听正课，你要这个题，你做的不是特别好，你肯定是上课的内容就没有消化。你就得自驱了，我觉得通过这个题可以完全的反映。

要是这个题你没有速战速决，把它选出来，你很明显上课的内容你没有消化到位。肯定是没有消化到位，你这下去得好好自学了，因为你这个复习是相当的有问题的啊，好了，这个事儿我们就讲到这儿，答案选一。那么，接下来我们再来看看24题。对吧，再来看下面这个题，那24题这个题啊，它考了一个事情，

考了一什么保护性的内容啊，那么这里面当中我们稍微进行去说一下这个保护性的这个部分知识点。保护心里面当中啊，它里面当中第一件事是这样说的。脱帽饱和性。就说如果这个极限是大于零。我就说什么呢，我就说在x趋向过程当中就是这个人的去心领域内。对吧，去心领域内。然后这人就大于零。没问题吧，如果你小于零，然后这个人就小于零，如果你大于a，

你这个人就大于a，如果你小于a，你这人就小于a。然后这个人怎么办？大于这个人极限呢？那这人的话就大于它。如果小于这个人极限呢，我这个人怎么了？我就小于它。没问题吧，所以说这个时候你发现一个事儿啊，这里面当中在脱帽保护性当中没有等号。对吧，没有等号，因此脱帽的时候它是什么情况？

保正保负不保零。所以这里面当中的第一件事情，我们很快就学，你看第一个事儿，你的极限能带等号吗？等号就说不清楚了。然后第二事情小于等于零呢，没有等号，说不清楚的。然后接下来我们再来看看这个脱模饱和型，我们再看d选项d选项的话，你看这个极限大于零，我只能说明什么？说明在这个林的去心邻域内。对吧，

在你家嘛，在去心领域内fs比上这个s in它是大于零的。对吧，然后接下来再看这个部分，这半边的话s in是大于零知彼大于零，下面大于零，上面肯定大于零。然后这半边的话，这个s in这个部分呢，是小于零之比大于零的话，那这个人也得小于零。所以说一定注意，它不是说去心领域当中一定大于零，它应该是在左半边是小于零，右半边是大于零。

这题做不好，你上课的内容肯定还是没有整理好。我觉得通过刚才那个题和这两个题啊，就这个题和刚才那个题非常能反映很多同学的上课的听课的效果。我觉得如果这两个题做的不是说特别好，你肯定是上课的东西啊，消化的非常的差。你肯定是没有怎么好好整理，你下去的时候你得好好继续把这个内容好好再看一看。因为这两个点是不是上课讲的原模原样内容，然后接下来我们再来看看家贸保护性。加冒饱和性这个东西啊，它是这样说。哎，加帽子。

他说如果。在x趋向下。如果这个趋向下，它都一直都大于零。而且这个极限是什么？而且这个极限是存在的。那么这个时候啊，你发现比如说它等于a，那这个时候立即可以推出a是什么零大于等于零？别管你这个部分是大于还是大于等，最终都是有等于号，所以这个时候我们再来看看这个DC选项这个人。如果它一直都是小于等于零，而且这个极限是存在这个极限，是不是小于等于零没问题，

如果一直都是小于零，而且这个极限存在这个极限应该是小于等于零。这个不对答案，选几啊选c。跟得上吧，很简单，我觉得如果你学的差不多，这个题一分钟内应该能搞搞定吧？一分钟内绝对能搞定啊，这时我们讲到24题来，再来看25题这个题啊，有些同学做做的不好。然后去那个说这个答案呃，给敲错了，这答案没有问题啊，

这个题选几啊？这题选d啊。首先第一句话，它的极限等于一。极限跟诶。这个是。呃，不好意思啊，这里面当中有几个问题，你稍微改一下。改成f0啊。改成f0，把它改一下。好了，把这个东西啊改成零啊。

呃一的话，那更不知道了。一更不知道了。所以说对你的选择答案呐，没有什么关系。听懂我的意思吗？啊，那么这个极限结果等于一。我觉得对于这个题没有什么影响，你就算写f1也没关系。啊，那么这个题的话，你发现就说你这个极限，结果等于一。我就写f1怎么了？

f1也没关系啊。你只能看出零零零处，你都看不出来，一更看不出来啊。所以接下来我们来看看这个事，你发现这个极限结果等于一。极限对于该点处的函数值有关系吗？没有多少关系。所以你发现这个点处的有没有可能是存在的有可能？呃，这个题。嗯，选不正确的，哎呀，这个题。

我下去把它把它好好调一下啊，这个回头你看一下那个刊物选不正确的。选不正确好了，这个题啊，选不正确的。你等我一下。不然我有点难受。好了，这是f0这个人。啊f0。这个。啊，下列不正确的是。好，我们来看看这个题吧啊。

好，我们来看看这个题目。第一点，那么这个题啊，它是这样情况，就说你这个极限，结果是一。它跟该点处的函数值有没有关系啊？其实你发现没有多少关系，所以说这个点处有可能不存在，也有可能是唯一，有可能是不唯一。这都有可能性，然后接下来我们再来看看下面一个事情，对吧？

再来看第二个点，那么这个人可能在这个点的去薪领域内没有定义吗？注意下这个事情啊，它在这个点处去心领域内有没有可能没有定义啊，这不可能，因为如果这个极限是存在。这个人必须在这个去薪领域当中。零的这个去心领域当中处处有零。必须处处有定义，你就说错了。然后我们再来看看e选项。那这个极限是什么？这个极限是大于零，所以说在去心领域当中一定是大于零，它不可能小于零，

那说的对着呢，答案选几啊选d？好了，这是25题，跟得上吧？好注意下这个问题来，那么接下来我们再来看看26题。好，继续看26那26题，这个题啊，还是我们上课讲的。这个东西能不能作为我们的这个极限的定义呢？它是可以的。因为你发现看第一句话，这件事情保证了，

无论它有多么的小。然后如果是大于等于啊，你就可以写成大于二倍的一本思路。大于二倍的伊布斯龙，那这个时候的话，二倍的伊布斯龙不就属于多少？属于零到二吗？所以他就写对于任意的2倍的伊布斯龙，属于零到二。然后把这个东西可以记成一不送一撇，然后最后一件事情马上出来。哎呀，这个这次的话，这个里面当中怎么啊？收敛啊收敛收敛。

然后最后一个事情的话是SN和a之间的这个距离啊，它是怎么？哦，这个题啊。等我一下啊。没有问题哦，这题没有问题啊，来看屏幕。这题没有问题啊，没有问题，这个题的题干呢，你要注意出题的点呢呃，打的点呢是相反的方向。你发现一个事儿，这个题说的是存在一个正数。

然后这个东西怎么办？是大于等于它。能听懂我的意思吗？所以说这条内容它是对的。那么，所以我们接下来我们来看看这个人，你怎么说呢？这个定义它应该是什么条件？这是逆否命题吧？那这个逆否命题的话，前面说的是什么存在？然后后面这个东西呢，是大于等那么这个题啊，稍微等会吧，我们一会我一会再来讲这个题，

因为这里面当中啊，这个点呢。呃，我一会儿去审一下这个题吧啊。等一会儿吧，等一会儿啊。我们先来看看27题，你再看看那个题，那么再来看看27题，稍微等会我们再来说一下这个题。27题这个题啊，我们继续看，他说如果这个子序列。对吧，这两个东西都收敛，

那这个人也收敛吗？这个东西不一定。因为我们都知道一件事，你发现你必须得保证这个n趋向无穷，大的时候你a2n这个人。和limit n趋向无穷大这个a2 n+1这个人，他两个极限都是存在，而且熟练。能听懂吧诶，是存在都收敛，所以说这个东西啊，你没有保证这两个东西是相等的，它就不对。其实这个题当中啊，比较难的点是谁呢？

比较难的点是这个b选项。诶b，选项有点难说，两个人相乘等于零。至少有一个是无穷小量，有的人说，哎，那当然是啊，至少有一个人是无穷小量。这里面当中啊，我们一会再讲b，你先看c，如果你看不出来b，你赶紧看下面一个。c这个人说两人相乘等于零，

则至少有个无穷小，那就胡扯了。比如说这个人的话，你比如说极限是一，这个极限是一，你这个极限是二，你这个极限是二。那这种情况下，两个人相减都会是零。你如果极限是一，你就不是无穷小量，所以说这个人呢，说的不对c选项说的有点离谱了。我们再来看d选项。d选项应该是这样的一个问题，

说如果这个n趋向无穷，大an的这个人极限结果是a。对吧，我立即可以推出什么推出n趋向无穷大这个绝对值的极限，结果是a的绝对值。对吧，这个没问题，但是注意，反之能成立吗？反之不一定成立，只有什么时候成立呢？只有这个人等于零的时候成立。所以说a趋向无穷大的时候an这极限是零，我立即可以推出什么，我推出这个绝对值的极限是零的绝对值，

这种情况他可以回推。所以这种情况反之啊，这句话说的错了。然后再来看看e选项e选项说的很好。e选项就打了一个点，打了一个什么点呢？就是我们上课重点讲的。如果数列的极限是存在的，数列不是正无穷方向，有界数列就是有界的，所以说如果这个人收敛呢，你发现。n趋向无穷大的时候an的极限，如果是a，那这个时候的话，

马上就可以推出什么推出这个绝对值的极限，结果是a的绝对值。这个没问题吧？那所以说如果你的这个极限存在我的极限一定存在，如果数列的极限存在，那这个人呢？一定是什么？有解的，这没问题吧？所以说正确答案选几选一。这个题的难度系数比较大的，应该是b选项b选项估计很多同学看了那个答案了之后啊，你都知道这个题怎么回事了？那么，这里面当中啊，

他说。两个数列当中，至少有一个是无穷小你，比如说我们看。因为数列嘛，你可以分奇偶。如果这个n为什么东西呢？n为偶数的时候。n为奇数的时候你来看，如果这个n为偶数的时候，这是一这是零行不行？然后这个BN我给你怎么办呢？你是零的时候我配一。如果你这个人，为什么你为一的时候我配零，

大家想想这俩人相乘是不是永远都等于零？对吧，你的偶数的情况的话，你是零我的偶数是一，你奇数是一，我是零，我们俩相乘永远等于零。我们两个相乘永远等于零，那这人的极限结果就是零。这件事情没有任何问题，对吧？绝对是可以的，但是你发现一个事，这个人的极限存在吗？以偶数趋向无穷，

大的极限是零。以奇数趋向无穷，大的极限是一。俩人极限都存在，但不相等。这个人肯定不存在，那这个人呢？也是不存在的，所以说这个b呀，它不对。所以这个题的难点在b选项。诶b选项稍微的难一些哦，你要稍微注意去。好了，这是我们讲的这个27题，

看到了吗？来继续，我们再来看28题。28题，这个题啊，也是我们上课重点讲的一个问题，其实就考了一个加逼准则的问题。那么这个题啊，他说第一件事你被夹住了。然后它告诉我们一个东西叫做两边什么东西呢，做差的极限是零。我们其实都知道一件事，如果你这个人的话，先被夹住。然后你告诉的是什么呢？

你告诉的是两边极限存在，且相等。诶，那这个时候怎么了？那这个时候的话，加b准则是成立的。对吧，加b准则是成立的。所以说你这个人的话，你发现一个事儿。啊，你好好听啊。那么，在这里面当中，我们来看看这个事情。

所以说这个里面当中啊，你发现zn和这个yn这个人。两边极限存在，且相等的时候。我们这个时候啊，你会发现一个事立即可以推出中间极限存在。这是没有问题的，但是有一个问题点是在何处呢？就说你这两个东西啊。道理等价吗？其实不等价，因为这里面当中存在的一个拆开的问题。你只有这两个极限都存在的时候，我们才能拆开。对吧，

这是不等价的，因此接下来我们来看看这个点呢，我们怎么去处理呢？我们来操作一下这个人。那么，第一件事情的话，你发现我可以举个例子。对吧，只有这两个极限都存在的时候，它们才能拆开诶，这是可以的，那么接下来我们举个例子，比如说啊，你看。如果这是n。

它是不是小于等于n加这个人？n减这个人。两边做差的这个极限，结果是n分之二就是零。但是你发现中间的极限却不存在。你再比如说这是n分之一，你小于n分之一再怎么办？你加上一个n方分之一，你大于等于n分之一，你再减去n方分之一。那这个时候你看两边做个差了之后是n方分之二，极限是零，但是中间的极限是什么是存在的？所以说这个时候啊，这个yn这个人的极限呢，

是无法判定的，对吧？不一定存存在，所以这个题啊呃e选项没有出好。只要你在这个做的过程当中啊，你把这个内容点复习到位就行啊，这个题啊，你说d吧，你说e其实也行。下次的话，我让这个呃，让这个助教把这个再审一下。这个因为的话，这个上次发过去了之后，其实原本想审一下的啊，

结果的话就提前先发过去了啊。好了，这个事情呃，这个选项你就不看了。好了，这是我们讲的这个28题，能听懂吧？哎，你能学会这个知识点就行了，来那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个题。那么下面这个题啊呃，我觉得操作性思路倒不是说特别难。你看第一个点，这是一个n项和是极限嘛？

n项和那么一个n项和是极限，你发现第一个点，我们先想定积分定义，这里面当中稍微的包装了一下。包装了什么呢？就这个人。当n趋向无穷大的时候，里面这个部分是趋向零的。三硬框立即等价无穷，小框你就把这人等价一下，这就是一个简单的一个骗子。所以如果说这个题稍微的难的点呢，其实就是没有什么难的点，那么然后的话，你发现你看你把派提出去。

然后这是n趋向无穷大，然后n分之一有了，然后这个k从一到n有了，然后这个部分呢？是s in多少呢？你发现这是派倍的n分之k，然后cosine多少派倍的n分之k？是不n分之k的函数啊，所以这个时候的话，马上就可以写，那这人就可以写成零到一二，加上多少s in派s？cosine多少派sds，其实这个人呢，你都不用进行去换元啊，

直接写就行，把这个东西啊凑到后面去。把这东西凑到后面去了之后的话，只是二加上多少s in派斯，然后分之1d多少呢d，这个是s in派斯。是不是这个人呐？你就直接积积分的结果就是l多少二+s in多少派s，然后把这个零和一带去。带进去就行，然后这个人呢？一带就出来了。好了，这是我们讲的这个29题哎，大家一定注意，

我觉得这个方向性必须要非常准，你见到这种n项合适机型，其实这种题。很适合考给我们。你看这个今天的话，过程当中，我们从这个第一个题到这儿啊，中间可能有有点儿这个呃，里面当中答案的这种设置的问题，你先不用管这个事儿。基本上都是扣着我们上课内容在走的。完全抠着上课内容在走，就说我们上课的过程当中讲了些什么内容，我们基本上这个作业当中一定就会有什么点。你看刚才第一个点已知极限，

求解其中的待定参数，对吧？看到这个东西啊，你先想它是不是未定式，如果是未未定式，按未定式做，如果不是未定式，它一定是未定式。考了好多，比如说那种根号型的那种问题，对吧？上课过程当中怎么进行去严惩？那么还有这个极限定义的问题。还有这个保护性的问题，还有我们刚才讲的这个数列极限的，

这个定义的问题，包括到了这个，你看我们那节课学定积分定义就是n项和式极限。我们先想定积分定义，如果定积分定义能做就做，如果定积分定义做不了，立即转战加倍准则，我们在这里面当中也有这种考题。来我们再看第二个人。那么这个人呢？还是n项和问题，那么见到n项和是问题，先想什么？先想定积分低，那这是n分之一。

然后这个部分呢，求和你要注意第一个人。第一个人的话，你看这个人其实怎么写呢？你这是根号下多少呢？这个人是n分之多少呢？n分之n。你听懂我的意思吗？这个最后这个e其实就是n分之n。然后其实这些项就能保证它是个n项和了。所以说这个题就是个大骗子，你看第一个部分的n分之一怎么先把它给我拆出去？听懂啊，不要写成n分之零，所以第一件事情呢，

你就把这个n分之一写出去。然后接下来我们再来看后面这个部分呢，这是n分之一写成求和形式n从一到这个什么k从一到n。e的根号下n分之k就是个骗子。骗了一下，但是有些同学估计被骗住了，这伤口有这种问题啊。你后面已经是n项了，然后这个部分呢？你看极限是零加减法当中，见到存在就可以拆开把它拆出去。然后你看一剑客，两剑客，三剑客都有了，然后这个最后呢是n分之k的函数。

那么所以说这个结果就是零到一一的根号下多少，这个xds你想想这个题又打了，我们上课哪个点呢？我记得上课过程当中，我们讲过一个，我们说可以在后面补一个l 1+n分针，或者在前面补一个l1加。n分之零，你还记得那个题吗？你看是不是上课有模型题啊？那所以一定注意，如果这个作业做不好，你肯定就反映出来一个事情，你上课那个内容你没有消化到位。对吧，

一模一样的点啊，好了，这是这个事情，然后接下来怎么办？积这个分。这个分呢，是不能直接记的。对吧，记不了的，我们怎么办呢？我们在这种当中做个换元法令根号s，等t换元角换线，零是零，一是一一的t。然后这个时候x就等于多少等于t的平方，

然后这个时候的话，这个部分呢，其实就是2t在了dt。是不这个事，然后接下来我们就不讲了诶，这是分步积分法的问题了。这个很简单。好了，这是这个点吧？30题来继续啊，我们再看31题，那这个题又打了什么点呢？你发现看这是一个n项积问题。对吧，这些东西的话，

你发现诶，它们是相乘积的问题。相乘积的问题的话，那么这里面那我们怎么办呢？我们可以通过取对数的方式，但是你可以先不要着急进行取对数。这个东西用需要表格法啊。你不害怕学东西学到走火入魔吗？真的是什么东西都都往上来啊？原来我基础班我还讲过那个事情，你说那个方法除了装逼一点，还有什么什么样的好处呢？好了，那么接下来我们来看看这个下面一个问题，第一件事情，

你把这个东西啊，你先放进去。诶，放进去，你放进去，其实就是多少呢？你放进去，其实就是n的N次方，你n的N次方的话，你看这是n+1。n+2，然后在这里面当中的话，只是n+n。然后这里面当中啊，你发现你就可以把它补到这。

对吧，把它补到这儿。补到这儿了之后的话，这个人呢？其实就变成了这种问题了。立即就变成我们非常喜欢的n项积问题了，一加n分之一，一加n分之二。然后咔咔咔一加n分之n没问题吧？那这时候我们可以进行取对数来走e的，这个是limit n趋向无穷大，这是个对数吧？取这个人的对数。那这个对数的话，是这个整体的n分之一次方n分之一是不是抛出去了，

然后ln里面ln里面的话，这个人其实就变成了加和n分之一？然后这是ln多少一加n分之二，然后咔咔咔一是加到多少ln一加上n分之n。好，这是这个人，所以说在这种当中啊，你发现这有什么区别，没有什么区别啊？你提出去，你或者在这里面当中放进去，这两个东西方向是一样的，然后我们再来看那这个人的话，其实你发现这里面当中就可以写成求和了。n分之一，

然后这里面当中从k从一到nln多少一加n分之k？所以说这里面当中啊，就是这样的一个定积分零到1 ln 1+sds。然后这个定积分怎么算？定积分在后面补个一再分布积分法吧。能理解吧好，这是这个事情，所以说你会发现一个事儿，你在后面过程当中啊，你发现哎，后面的补一个一就出来了。好了，这是这个事情吧，我们就讲到这。可以吧，

补一个一。如果这个分呢，你也算的慢，那说明上课部分的内容没消化好。你看这又是上课的痛点。对吧，第一个点，所以说这个内容啊，其实就跟我们上课讲的东西是完全协调的。对吧，你看看这个事情，你要是这个分不会积啊诶，这就不好办了。可以过去了吧？好听明白的给我回复一啊。

呃，基本点，然后再来看看这个题。那么这个题啊，我们继续看。首先，遇到什么情况呢？你发现这是个n项和式极限，那n项和式极限呢？这是limit n趋向无穷大。n项和然后这里面当中第一件事情，我们先把它写成求和形式。然后这是n加上多少k分之一，然后这是二的多少n分之k？然后这里面当中k从几呢一到n，

大家想想现在而言，后面这个东西啊，我们提一个n分之一出去，它也不是一个定积分定义，这上课讲过吧。但是你发现一个事儿，你看你提一下，你把这个n分之一提出去，这人变成一，这是nk。它不是定积分定义。但是同学们想想一个事儿，他后面已经写成这个样子，他很明显很想考定积分题，都怪谁呀？

其实你发现都怪这个人。都因为你。诶，都怪它，那么在这里面当中，我们就把你放缩一下，这东西就可以考定积分定义了。所以我把这个东西啊叫做成UN。是吧，就放错这个位置，那放错这个位置可以怎么办？把它不要了，不要的话，下面就变什么变小了，然后结果变大了。

n分之一一直加到二的多少n分之n，那这时候就是n分之一k从几一到n，然后这是二的n分之k次方。是不这个事，然后再来看看，把这个东西怎么变小呢？变小的话，你发现我只要把下面变大一点，你注意放缩位置啊，放缩位置在这儿。把它变大，怎么样才能变大？只有把它写成n+1才可以，然后这个时候它就怎么缩小了？然后这个时候的话，

它就是n加一分之一，然后的话就是k从一到n二的n分之k次方。但是你这个部分需要个n分之一，你在这来个。你看看这个人的极限，这人的极限，如果求个极限，三剑客都有了，二的sds。如果接下来进行求这个极限，求这个极限的话，你就发现这个极限是几？这个极限是一，这个极限是一的话，其实核心重点就是这个极限。

所以这个极限是多少？那就是二的x前面有个ln二分之一把零和一带去。所以说这个时候我们来看看这个事，结果就是ln二分之一，然后这是二的一次方二的零次方是一一减就行，所以正确答案选几啊选c啊？好了，这是这个题，能听懂吗？哎，基本问题32题。可以的话给我回复一。啊，掌握清楚给我回复一。好，

32题这个题。可以了吧？哎，这个不是说特别难。然后接下来我们再来看看33题啊，继续看。那这个题啊，还是一个n项和问题n项和问题啊，我们先想定积分定义，那么先想定积分定义的话，如果这是k从一到n。然后这是n加上根号k分之一。那这个时候你继续去提出一个n。如果你提一个n了之后的话，你把这个人提出去，

这人是一，然后进去了之后就是n方分之塔。电影气氛定义是不是失效了？定积分定义失效，我们转加倍准则，那这后面也没有那个样子，对吧？也没有说我非常想用定积分定义的样子。转加倍准则，那我们来看上面，如果一加就是n。对吧，上面一加就是n，然后的话，你发现下面这东西也是n，

那我们就放缩，我就放缩这个位置。好，这是UN，所以这里面当中的UN这个人呢，你把他通通变成多少通通变成n+1。通通变成n+1了之后的话，这个人是变什么了？变小了，下面变小了，结果变大了。对吧，你下面变小了，结果变大了，所以说这个结果就变成了n+1分针。

然后这个东西我们再缩小，把下面变大一点，那就是n加根号n，然后这都是一相加。那这个时候你要注意，这个时候就是n加根号n分之n。那这个时候它的极限是几一？它的极限是几一一加中间极限是一？好，这是33题，没问题吧？好，这个不难哦。来继续，我们再来看34题，

这个题。那么这个题啊，我们继续看。其实啊，如果你水平点稍微进去去瞅一下。你发现啊，你分子一加。一加的话，其实一+2一直加到n。然后这人其实等于二分之n乘n加一。且等于二分之n方，再加上二分之n。如果你稍微一瞅的话，你发现上面如果加是二阶，你下面这人是二阶，

你可以想到这个加倍准则。这个没有关系，所以说这个问题点呢，你怎么转都行。你可以先进行看定期分析，定期分析你做不了，你抓加倍准则也行，或者你瞅一下你像刚才那个题也是你上面，如果一加是n阶，你下面是n阶，对吧？对吧，我们可以想这些假币。所以这里面当中把这人叫做多少UN那UN这个人的话，我们就可以怎么办？

我们放松把下面通通变什么？都把它变成一下面变什么，下面变大，下面变大了，结果就变小，然后这是一+2，一直加到n。那然后这个部分的话，其实就是n方加上n啊，加上一那最后的这个结果就是二分之一n方，再加上二分之n。那这个极限结果呢？二分之一。如果这个UN的话，你发现我把它怎么放大放大，

下面就变小一点，写成n分之一，然后一加二，一直加到n。那这个结果呢？其实就是n方，再加上n分之一，然后这是多少二分之n方，再加上二分之n。抓个大头二分之一，那左右一加二分之一。好了，这是34题啊，其实你发现刚才考的这波内容有n项和的问题，有n项积的问题，

那么n项和的问题啊，你可以先想定几分之一。定期分定义，能做你就做定期分定义，做不了加倍准则，还有一种是加倍准则和定期分定义双重作用结果的题。好了，这是我们讲的这个题，来再来看35题，这题可以秒吧，考了一个什么东西啊，考了这样的一个经验结论。MA xa的b的c的。那么这个东西等于多少呢？就等于三者之间的max ABC，

但是前提得保证这三个人都得怎么办？都得大理。只有都大于零的时候才能这么办，所以说这个时候啊，是一的n2的n3的n，那这个东西啊，考了这个max就是解五答案选d。好了，这是35题，来再来看36题，那这个题啊，也是很啊，很简单的一个问题，那么这个东西它开这个N次方。开了个n次，

方有好多项相加，那这件事情我们上课讲过吧？如果开N次方，下面有很多相加，你可以这样摆，把每个人都怎么办？都变大，把每个人都变大的话，你发现每个人都画都怎么办？小一。那这个东西就是多少？就是n。把每个人都变变大，那就是n，然后留下一个最大一个最大就是一。

所以说这个时候你进去去开个N次方的，之后的话，这是一然后给n开N次方的话，这个极限也是一，这是一一加中间极限是一。选c吧。是吧，开个N次方，下面有好多项相加，就是每个人变大，留下一个最大好36题啊，这个题也可以秒了。再来看这个题。这题啊，可能很多同学没有做好。

我说一下这个事。他说什么东西呢？他说这个函数在零处连续的什么？充要条件。充要条件一定要保证左极限，右极限都得等于函数值。左右极限都得等于函数值，比如说我以这个东西为例，你稍微进行看看。你发现没？当x如果是趋向于零负，你这个负x趋向多少？你负s这个东西只能趋向零帧。你趋向零正，其实同学们这个东西其实代表的是fs这个整体的什么极限？

是它的右极限，不是它的左极限。听得懂我的意思吗？就说你s趋向零负负s，只能趋向零正。你趋向零正，你只能代表右极限，而后面也是右极限，你两个右极限等于函数值，这算什么？是左右极限存在，都等于函数值。这是要注意的，然后再来看看b选项b选项的话，这是趋向零负。

趋向零负的话，这个平方是正的。正等所以说这个人代表右极限，你看这个人也是右极限，这个人也不行。那么，接下来我们再看c选项。c选项的话，这个sins in这个人的话你都知道是可正可负的。对吧，你这个人是从这个半边趋向零，我就在这趋向零，所以这个部分呢是零负。然后第二件事情一减cos一，永远比cos大，

这个人是零正。所以这个人可以左右极限，都等于函数值，他可以。然后接下来我们再看下面这个人。呃，其实啊，大家想啊。我给你看一个更简单的。其实你在这里面当中看的这个，后面这个几个选项，有些东西觉得很恶心。你要注意啊，在趋向零的时候，这个人其实跟x差不多。

这个人其实跟二分之一x方差不多，在趋向零的时候。所以说这个人其实就是左极限，这人其实是右极限。哎，这个人可以。能听懂吧，其实在趋向零的时候，这个人跟x差不多。因为你们基本上是等价的差不多，那这个人是零负，那这人是零负，那这人呢？等价的是负x。他跟这个人差不多，

跟这个人差不多的话，其实这个是林真。诶，这是这是零负。呃，这是零帧零帧的话，配个负号，这也是负。负负对吧啊，前面是正去向正，然后这是正。你想趋向零阵，配个负号负，所以这两个都是负它也不行。然后注意啊，

不是说等价，我没有说等价，我说的是这个东西什么情况，它的正负性是差不多的。他们是非常接近的正负性，是差不多的。能了解我的意思吗？没有等价，我们是看看这个人的正负心。诶，这个是差不多的，然后再看e选项，你看这个东西，它是正的。然后这个人其实跟s差不多，

这个人也是正的。两人争都不行，所以这题的正确答案选几选c呃，这个题还是很新颖的一个题啊。我相对我们三九六同学这个题呃是比较新颖的。因为在这个考题方向当中，还没有这样出过题呢。所以这个东西的连续啊，应该是左极限，右极限都会等于函数值好37，再看38。38题这个题啊，它说这个函数在这个点连续。那这个函数在这个点连续不就是趋向于一处的这个极限？不就等于一处的函数值吗？

趋向于一处的极限，其实就是对上面这东西求极限函数值是二，所以就得到这个人好。同学们告诉我这是什么题？已知极限，求解其中待定参数的题。已知极限，求解其中待定参数的题，我们先来看你，发现下面是零先定行吗？上面是一+a+b，所以说这人也是零。那既然是零比零型未定式，我可以落下，我一落一落的话，

这是四倍的x三次方加上a，所以这是四+a=2。因此a就等于负2b是等于多少？那两个一加的是负一，那这人等于负三。所以说一个是负二，一个是负三。这个答案是不是有问题啊？哎，你做清楚就行了，一个是负二，一个是负三。然后的话，一会儿这个下课我会把这个所有的这个刊物啊，给大家进行。

一起去刊物过去。嗯。叫我看看这一落是四倍x三次方加上它。这是负二。两个加是负一哦，对这个是一。a+b=- 1，a+b=- 1。移过去是一啊。好了，这是这个题，那这个题没关系。好了，那么这个点吧，我们就讲到这来继续吧，

我们再来看看下面的题。啊没没事，我们把它讲完吧。来继续，我们再来看39题。脑子已经，但是还行，来继续吧，我们再看这个题。那么这个题啊呃，注意一下它这个题应该是选的是可续间断点啊，注意一下这个题啊，这个题选的是b啊，可续间断点。那么，

接下来我们来看看这个人吧，他让我们去研究这个函数，在这个零处研究这个函数，在零处啊，其实就是求零处的这个极限嘛。求零处的这个极限的话，当s趋向零的时候，你发现这是s分之fs这个人。是吧，这是这个人，然后接下来我们求这个人，他只告诉这个函数在这点可导。这个函数在这点可导，只能推出这个函数，在这点连续。

抽象函数对吧？你不能进行洛必达了。那不能洛必达，我们只能凑定e呗，那fs-f零比上s- 0，那是不是f撇零啊？f撇零这个东西是不为零的。你这个极限不为零，而你在这个点处的函数值是等于零。所以它就不会等于这个点处的函数值。极限式存在不等于函数值可去间断点。诶，这是个可去间断点好39题，再来看这个题。那么，

对于这个题啊，我们去求解第二类间断点，第一步先找它的无定义点，那无定义点先通通找到。然后接下来我们来看看第一件事，我们先看趋向零吧。趋向零的话，你发现上面这人可以写成xx- 1，然后这是绝对值x方减一。那么这个时候你想想。这个部分都是非零因子吧。上面出去一个负一，下面出去一个负一，非零因子，所以说这个人呢，

其实核心重点在做这个极限。那这个极限的话，你都知道，那这个人就要分趋向零正，还有这里面当中是趋向零负零正的时候是s比s，这是一。零负的时候是负x，这是负一。对吧，这是个跳跃间断点。属于第一类间断点，它就不算。那么再来看看第二事情limits趋向于。趋向于一的话，这是s倍的s- 1，

这是s绝对值，然后这是s- 1，这是s+1，那么接下来我们来看看这个人。你注意这两个东西是不是可以约掉了？趋向于一，又不为一。不唯一就约掉了，不唯一约掉了之后的话，你发现下面是几下面是二，上面是一存在，但没有函数值，这是一个可去间断点。它也不算，然后接下来我们再来看看第三个事情趋向减负一。

趋向于负一的话，只是s倍的s- 1。这是绝对值，然后这是减一，这是s+1。你把这两个东西约掉了。因为是在负一的附近嘛，然后下面是零，上面不为零，这是无穷大第二类间断点选b。其实第一项的话，你先把这个e排除，因为只有三个无顶点e不对。好了，那么接下来我们再来看看41题可以了吧？

再看这个题，那这个题啊，先找无定义点，可能有些同学找的呃，无定义点找少了。这个一处肯定是无定义的。这个没有问题。但是关键点还有个人就是这个部分。我们上课讲了好多了，录音里面部分是大于零的。你绝对不能等于零，你现在是大于等于零，不能为零啊，那所以说我们先来看看第一件事情，我们先来看看零处的极限。

零处极限的话，这个部分就是个非零因子。是非零因子吧，那非零因子可以抛出去，然后就变成了s in，再乘上这个人的极限来吧，同学们秒了他极限等于几啊？讲了无数多遍了，这是凌晨无穷大的未定式下放洛必达，但是这里面当中我们总共见过好多次。is乘上lns绝对值的极限一定是零，那么在这种当中，就算我给这个s打上p次方。lns绝对值啊，这个部分打上q次方，

它也照样是零。啊，这个极限是零是零极限存在，但没有函数值，这是个可去间断点，他算。然后还有一个人的话，就是我们limits要趋向解，趋向一，趋向一的话，你看这个人。这是is- 1。然后的话，这是s in 1。你三一一的话，

是非零因子可以抛出去撸一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数减一。我们接下来有一个问题点，你要琢磨一个事情。x趋向于一。是在一的负心。一的附近肯定比零大得多。比零大的多的话，这个部分它肯定是什么x肯定是正的。s是正的的话，其实就是个lns。撸一个函数趋向于一，立即等价无穷。这个函数减一。

所以说这里面当中啊，我们就需要分了。是不是这个事情你就需要分，你分的话，这是limits需上课，有没有讲过这种题？想过这种题啊，有些同学脑子里面一点印象都没有，你这可不行哦。然后这时is怎么办？减去一。然后这个是比一大，这是一正比一大的话，这是s- 1，这是s in 1。

然后接下来的话，你发现这是三一，这是limit x向多少一负一负的话，这是s减一，那这是一减s。比它小，那是负的三一两边不相等吧，这是个跳跃间断点，算不算第一类间断点算啊选b？哎呃，选c。第一类间断点。两人都是。那么这个题啊，其实你肯定不会选什么，

肯定不会选第一。地役绝对不对。好，这是41题，再来看下面这个题。这个题啊，我觉得大家应该是能做的很好。我们来看看这个题吧。那这个题是什么情况？就是一个用极限包装的函数的题吧。那这是n趋向无穷大，然后这个部分呢？它是x平方的N次方，我们再加个一。然后这个部分呢，

抛一个s出去是平方的N次方再减b啊，这题一定能做的非常好，这上课讲过原模原样的题。你怎么办呢？你发现我只需要知道这个人何去何从的问题吧。它不就是一个等比数列何去何从的问题吗？根据几来分。等比数列何去何从的问题。根据公比来分，这个公比的绝对值如果大于一。大于一的时候，这个人的N次方趋向于无穷大。如果你这个人趋向无穷大，那这时候就可以抓大头了。你一抓这个人没了他等于x。

然后第二件事情当s这个人的平方绝对值小于一的时候，你这个人的N次方呢，它是趋向于零的。你趋向零的话，这两个部分是零。就是趋向零，你s是个常数，这是零，所以说这个函数就等于多少负一，然后第三件事情，如果这个人是等于一。等于一的时候的话，你要注意下面就是等于一。就是实实在在的一实实在在的一的N次方呢，它就是一。

那就是一的话，我们来看看这个函数，这函数等于多少？那下面就是几下面就是二上面是多少x- 1？那所以说这里面当中只有俩人。一个是一，一个是负一，因为平方等于一嘛，要么是一，要么是负一，这是零，然后这是负一。所以接下来我们就可以画一下这个函数的图像。好，这是负一，

然后这是一我们先来看看第一段。它说s方大于一，其实就是s方大于一，其实s绝对值大于一。那说明两边部分是x。然后接下来如果这个人绝对值小于一呢，其实就平方小于大于负一小于一，它是负一啊，是这个人。然后它在负一处就等于负一，它在一处是等于零，这两点不要，所以我们可以很明显看出来。负一处是连续，点一处是一个第一类间断点，

连续点第一类间断点选a啊。好了，这是这个题吧？那么刚才那个还有一个题啊，明天上午不是有节课吗？呃，那个题啊，我下去把它呃佐证一下，因为的话那个里面当中那个东西啊，我把它佐证一下，因为原本呃想出的那个题的点呢，因为我把那个那是一道往年的考研真题，我明天上午一开始上课，我讲一下那个题。可以吧，

我们开始上课讲那个题。行，那么今天课程呢？我们就讲到这呃，自己下去啊，把这个问题点好好处理处理吧。我觉得这个你作业啊，你看看呃，做了两次之后啊，你其实都会发现。其实我们这个作业最重要问题啊，其实就是为了这个冲刺满分强化编这边讲义啊，进行服务的。所以两个部分呢，结合度是很高的，

一定把上课的东西消化到位了，然后再进行做题。所以我觉得这个第一个点呢，先把讲义上的东西啊，你自己独立自主的把它做一下啊，然后再进行处理。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这。行，我们再把那个呃上课的讲义啊，我们再发发一个部分吧，我们现在去看吧。行吧，我现在去发，

然后把那个讲义部分再发。呃，我们这个最近还有几次课程呢？最近几次还有几次课程呢？在八月四五号之前，五号之前有几次课程呢？还有三四次是吧？行，那么我看一下情况，我把这个东西呃给你们发一些啊。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，自己下去好好进行去处理一下好吧，好，

那么今天课程呢？我们就讲到这儿好，明天见吧。

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