26.冲刺满分强化篇·（线代）题型41—42精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:19:34

同学们，行！那么接下来我们就准备开始今天的课程了。首先我们先测试声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么今天啊，我们应该是我们线性代数强化班的最后一次课程，那么最后一点呢呃，里面当中有几个知识点，你必须要了解清楚。但是今天部分的东西啊，

难度系数其实挺高的，但是在我们三九六的考研过程当中啊，要求不是说特别的高，所以我觉得这个今天呢，你应该学起来，不是说特别的累。对吧，把这个基本点基本的部分内容你掌握清楚就行，但是注意我们在昨天的课程呢，那可是太重要了。那么，在昨天过程当中，我们重点讲了两个问题，一个事情是其次线性方程组，一个事情是非行方程组。

那么，核心重点对于齐次性方程组而言，重点学了这以下五个知识点。而对于非其次问题啊，核心重点讲了以下四个内容，那么接下来我们把这个内容稍微的去串一下，因为这个板块内容必出题。你要注意啊，这块内容可是必考的考点。对吧，我们在今年的考研过程当中一定会出题的内容，那么首先这里面当中啊，我们先来看看第一个事情，其次线性方程组。那对于其次性方程组啊，

首先第一个事情解的判定，那你想想一个事一个，其次线性方程组会出现没有解的情况吗？那绝对不可能，它绝对是有解的，所以这里面当中的判定性问题啊，一个事情是只有零解，那还有一个事情啊，叫做有非零解。呃，这里面当中啊，我讲了一下这个事情，你发现比如说只有零解。这个什么意思啊？它的意思就说你这个解里面当中的每个人都是零，

这才叫零解，你听得懂我的意思吗？啊，这叫林杰。你比方说这里面当中x1=0，它叫零解，这不叫零解，它说的零解是这个向量为零，是每一个自这个什么自变量都要等于零。你要理解清楚啊，玲姐的意思就说的是每个人都等于零，你只要有一个人不为零，这就叫非零解。对吧，这个是基本问题，

那么首先我们先来看看这个判定，那判定呢两个事情，一个事情啊，我们可以走质的路线。那怎么进行去判断呢？你就看看系数矩阵是否列满质系数矩阵的质等于列数，只有零解系数矩阵质小于列数，那这个东西呢？有非零解。然后用行列式也行，但是行列式啊，你必须要保证这个东西是个方针，你方阵才能用，如果这东西是个方针。那行列式等于零有非零解行列式，

这个东西不为零，那这个东西肯定是满值列也满值，那这个东西呢？只有零解。所以注意一个事情，有两条问题，一个事情用质，一个事情用行列式，而且这些东西啊，都是充要条件。能理解吧，好第一个问题，然后第二个事情怎么求解呢？那这是个基本功啊，比如说我给你一个数值性的方程组，

我让你进行去解出它的基础解析，你怎么做？那在这里面当中，我就把这个系数矩阵呢拿出来，然后进行去初等变换。然后把这东西啊化成行阶梯，你再化成行最简，然后进行赋值法，这是个基础内容吧，如果这个部分呢，你掌握的不是特别好，你去看看基础班。然后再来看看第三个事情基础解析，那绝对的黄金重点内容啊，就在这啊，

基础解析。那什么是基础解析呢？用这些东西可以表示我所有的解它，其实是我们所有解的一个极大无关组。那满足三个事情，第一事情你这些人呢，必须都是我的姐，然后第二事情你的个数s1定要满足n-ra。然后第三个事情，你必须要怎么办？你必须要线性无关。对吧，这三条内容你必须都要满足，你得把这些东西啊，你通通而言，

满足了你才是我的一个基础解析。等你把这个基础解析，比如说可赛一可赛二，然后到可赛s找到了之后，那这个东西的通解是多少？那就k1可赛一。k2多少克塞尔，然后一直加加到ks克塞s？好了，这个东西啊，就是一个通解，然后接下来我们再来看看抽象型，那抽象型怎么做？抽象型的核心重点问题啊，就是来找基础解析，

那找基础解析首先第一件事情，我们干嘛呢？我们先求质。求出质就知道了s我就知道哎，我要找几个找几个线性无关的解。找几个线性无关的解，那这个人呢？就能作为基础解析，所以说这个板块内容非常的关键好，我们再来看看最后一条内容。一个其次线性方程组最多有多少个线性无关的解啊，最多有s个。好了，这是我们七次性方程组，这是一定会出题的，

100%会出题的，一定会出，如果不出啊，就说明出题人呐，你这个出题就有问题，你绝对会在这里面当中啊，出题的。好了，这是第一个点，没有问题了吧？好，这些东西都能掌握清楚的同学，请给我回复个一，我看同学们的消化情况。好了，

你这些东西啊，你都能掌握清楚。啊，都在脑子里面啊，请给我回复个一。啊，非常好，非常好，可以可以可以啊。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看考点二对于飞行方程组，那对于飞行方程组啊，它的核心重点是这样。as=b。

啊as=b那么这个东西的解啊，它要判定它有几种解的情况呢，它有三种。它有可能没有解，有可能只有一个解，它有可能有无穷多解，对吧？有这三种问题，那么首先我们第一件事情，我们用质进行判断。如果这个人的增广矩阵的值跟系数矩阵值不相等，那这个东西肯定没有解，如果相等了之后再看看这个a的列数。如果等于这个列数呢？它是什么情况？

它是唯一解小于列数呢？无穷多解，当然这里面当中也可以用行列式。行列式这个东西啊，你必须保证是方针，如果不为零，立即说什么说明这个东西是唯一解。好了，这个点走的是克拉莫法则，那对于克拉莫法则而言，你们当中的每一个自变量怎么去求解的？你必须要会。然后第二件事情，如果这个行列式等于零。它这个东西啊，

应该推出的是无解或者是什么无穷多解。这才是一个充油条件。所以说你的充要条件是无解或者无穷多解，因此像这个问题啊，它有的时候就要检验了，你比如说有无解？无解，肯定推出了行列式等于零，但是用行列式等于零，不一定是无解，也有可能是无穷多解，充要条件不用进行检验。如果这个东西啊，仅仅是一个充分条件或者必要条件，你这个东西单箭头成立，

你这个东西啊，你要进行检验。能理解吧，你要清楚啊，什么时候需要检验，你什么时候不需要检验？也就说你这个题是无解我行列式肯定等于零，现在你用了行列式等于零，但是你行列式等于零解出来所有人难道都是无解吗？也有可能是无穷多解啊。你才需要检验，所以前面的东西啊，都不需要检验。那同学们想，如果我这个题是唯一解，

我用了行列式不为零，我解出来一二三三个数，需要检验吗？需不需要你想清楚，需要检验吗？哎，这个东西不需要，为什么？因为这个东西是个充要条件。我行列式等于零的人全部都是唯一解，没有任何问题，好了，这个点你得想清楚，然后再来看看第二事情解方程组。解方程组就需要把这个增光矩阵呢拿出来，

然后进行行变换，画出行阶梯，再画到行最前。然后接下来我们再用赋值法找到这个基础解析，再找到一个特点，那就可以了，好了，这是这个问题，然后是抽象性。那它的通解长什么样子啊？它的通解是k1 cosine 1一直加到ks cosines，你注意这些东西都是其次通解。然后在后面再加上一个非奇思特点。那所以说对他而言，他的做题的第一步干嘛？

你还是先进行求知，求出质就知道s，然后接下来我两件事情。第一件事情，我先继续去找，其次呢？找s个线性无关的，谁的解其次解？好，这是第一个事情，然后再怎么办？你再要进行去找一个。你再找一个谁的解，再找一个非奇次的解好就出来了。叫奇通加上菲奇特，

所以像抽象性的问题啊，你不用去想，你第一步肯定要进行去求什么，你求值你求出值了之后就知道s我就知道有多少个，其次解。我再找一个非起始点，我往这里面当中一填，它就出来了。啊，非常简单啊，好了，这个问题，然后再看最后一条，一个非全方程组最多有多少个线性无关的解啊？你注意了，

线性无关的，最多有多少个？告诉我多少x+1个。哎，这个人。所以它最多有s+1个，应该是n-ra+1。好了，这里面当中啊，我们再强调一个事情，你注意一个问题，你可能有的时候你见到一些题当中啊，写了我觉得大家应该这个理解，上面问题应该不大。好了，

我们先来看看第一个事情。你在讨论的过程当中，你不是就要进行去讨论系数矩阵的质跟增广矩阵质之间的关系吗？对吧，就这个关系，我问一个事情。这个增广矩阵的值是不永远会比这个系数矩阵的值要大呀。对不对？永远要比它大。为什么你是我的子辈啊？你不会说这个东西会超过他的，绝对不会。你要不然跟我相等了，你要不然就跟我不相等，所以说这里面当中两个事情，

如果你这个增广，你跟我相等了。这是有解的情况。那如果这个人的话，你怎么办呢？你跟我不相等。你不相等，就是无解的情况。大家注意，如果这东西不相等。请注意了，如果这东西的不相等，其实就是大于。你听懂我的意思吗？你要不然相等了，

你要不然不相等，你不相等就是大于不会小于的，那这里面当中到底大多少呢？我给你讲讲这个事情。你稍微好好听一下。你看，假设这是一个系数矩阵。好告诉我，现在系数矩阵的质等于几啊？现在系数矩阵的质啊，它等于三。那等于三的话，你发现一个事情，你现在要跟这个东西不相等。好，

你这个人等于三。的你比如说这是一一一零零零。好了，这个人，然后你的下面的话都是减，都是零零零，你下面都是减零零零。好同学们，你告诉一件事情，这条线不能横过来吧？你横过来的话，就跟它相等了。但是现在这两个东西不相等，那你告诉我这个箭头得怎么办？他得下来。

对吧，你这个东西不可能下两格。你比如说这是一，你这是二，你肯定能通过这个一干掉这个人，所以同学们注意他只能下一格，有同学理解不了。你想想，如果这是一，这是二，你用这个一可以干掉二，你这个东西是无效的。所以它一定会大于一，因此如果不相等，那这个增光阵就会等于系数矩阵制加上一。

你听懂我的意思吗？就这个情况。是你要理解清楚，你要不然就相等了，你要不然就不相等，如果这东西不相等，我肯定是大于我大于多少呢，我刚好大一。我只能大一大一个人。好，这个点呢，我们就讲到这，所以说你要注意这个页面呢，一定会出题的，必出题哦。

有些年份当中啊，出一道，有些年份当中出两道，有些年份当中出三道，哎，你发现这两个部分知识点呢，是非常关键的。你下去一定要把它拿下来，难度系数不大，就在这个页面上，你学了多少内容呢？就在这。呃，当然的话，这个今天课程的结束啊，

我也会跟同学们进行去梳理一下，我们整个这个线性代数当中啊，所有部分的这个部分内容。啊，所以说呃，一会过程当中，我再带着你进行梳理一下，对吧？我们的核心重点考的这几章，你像行列式。你像矩阵，你还有这里面当中的向量，还有这个方程组每一个部分的内容啊，它的这样的一个操作性，档次感在哪？

对吧，哪些点部分的东西啊？是一定会出题的，我们重点点一下。所以说如果到了后期的复习啊，一定是这样对吧？当然有些同学可能这个。我觉得我们班同学大部分同学都还不错，非常好，我觉得今年的话，我们班同学一定能出非常非常多的高分的，所以好好加油啊。呃，所以说这里面当中我来说一下这个事情，就是如果你当然的话，

有些人水平点比较高，你当然的话，保证这个东西得面面俱到。但是如果有些同学在这个复习过程当中，你想进行时间不太够，当然我觉得你一直跟着课程同学问题点应该不大。如果说实话，时间不是特别够啊，你要抓重点，哪些东西是重点会出题的，对吧？哪些部分？呃，这个内容啊，一会儿我给你导到这个呃，

会给你导到这个APP里面，你自己去下载一下。可以吧，内容点有多少呢？其实就这个部分内容啊。至于这个颜色吧，到时候再说吧啊，我给你多导几个颜色，你自己去挑一下就行好了，那么接下来我们继续，我们来看看这个今天的重点内容。那么今天呢？我们首先第一个问题，向量的线性表出这个内容啊，依然是重点。

好注意啊，这个内容重点内容。哎，这是考研重点，那么首先这里面当中，我们先来看看第一个问题啊，先看第一个点。向量的线性表述。那么，其实在昨天过程当中，我们讲课的时候稍微给同学们梳理了。一个其自线性方程组。表达的是系数矩阵的列向量线性相关还是线性无关？它的解就是它的系数。然后接下来我们来看看一个向量被一个向量组表出的问题呢，

其实是一个非行方程组的问题。那这里面当中，我们来看看这个事情。那么，首先这里面当中啊，给了你一个飞行方程组。给了这样的一个非其次线性方程组。那这个飞行方程组啊，我可以怎么办呢？我可以把这个东西啊写成矩阵的形式，这昨天过程当中讲过，你听一下就行好，我来把它写成矩阵形式。这个人那写成矩阵形式了之后啊，然后接下来我怎么办呢？

我这样办。矩阵形式的好处其实非常的明显，就是这是系数矩阵。这是我所有的未知数。这是最后的尾缀的这个香料。如果这里面当中，我把这个系数矩阵的第一列叫阿尔法一，第二列叫阿尔法二，第三列叫阿尔法三，第四列叫阿尔法四。最后的尾缀叫悲大。那这个时候你发现它两者一沉呐，你最后就沉出了一个什么情况，你就沉出了这个情况。你看x1这个人乘阿尔法1x二这个人乘阿尔法2x三这个人乘阿尔法3x四这个人乘阿尔法四，

然后这个结果等于贝塔。诶，这个东西是什么意思啊？这个东西不就是北大这个人能不能被这个人的列向量组线性表出吗？是不是这个问题，这件事情体现的就是北大这个向量能不能被这个系数矩阵的列向量组线性表除？而且表达的这个系数啊，其实就是这个东西的解。第一个解就是第一个系数，第二解就是第二系数，第三个解，第三个系数，第四个解，第四个系数，能理解我的意思吗？

所以你要了解清楚一个非浅方程组其实表达的是什么？表达的是尾缀这个向量。能不能被系数矩阵的列项量，组线性表除？就是这样的一个问题，所以将来我们看到什么，等我们看到这个飞行方程组的时候。你要站立到很高的位置，别人只能看到一个飞行方程组，而你看到什么？你看到是这个人。能不能被这个人的劣线性表除？而表达的系数是什么？表达的系数就在这里面。啊，

就在这里面。所以你要想清楚这个问题，对吧？比如说我，我举个例子，你假设这个a是多少呢？你这个a是阿尔法一阿尔法二阿尔法三阿尔法四。我说这个方程组有一个解你，假设这里面当中我有个解是多少，我有个解是一二一三。诶，同学们，想你这个人有解，你说明这个贝塔能被这个人的列向量组线性表出吧，表达的系数就是这根解，

那就是一倍的阿尔法一。二倍的阿尔法，二一倍的阿尔法三。三倍的阿尔法四等于贝塔。能学清楚吗？啊，就这样的一个问题，所以你把这个事情梳理清楚啊，就非常简单了。你见到一个非全方程组，你能理解的出来是北大这个人能被这个人的列向量组线性表出。表达的这个系数就是在这个解里面。那我知道这个解我不就知道这个人能被他表出吗？表达的系数就是解好了这个内容非常关键啊，我们考研中的重点。

所以接下来我们来看看这个下面一个问题来操作一下。好，我们来看看这个题。那这个点呢，你发现一个事情，他说。这个东西的解。其实就是这个贝塔被这个人的列向量，组线性表述的系数。诶，这个点的话，我们昨天过程当中做过重点总结。所以接下来的话，你发现你就能想清楚这个事情了。你想什么问题呢？

比如说我们如果说这个a，你假设这个a是阿尔法一阿尔法二阿尔法三了不起了三个人。那如果这个人的话，你发现我ax=a大。我这个人有什么姐，我有唯一姐。哎，同学们，你告诉我件事情说明什么？说明这个贝塔可以由什么东西呢？可以由这个人的列向量组阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三。线性表出吧。由它线性表出，

而且这种情况的表达是什么唯一的？能理解吗？如果这个人的话，你就发现我说什么呢？我说这个东西有无穷多解？那有无穷多解，不就说明你这个人可以由这个人的列向量组线性表出。而且这个时候的话，你发现线性表出表出的结果呢，不为一。有无穷多个？对吧，如果这东西有无穷多足，那就说明这个东西它不唯一。然后最后一件事情，

如果这个飞行方程组，它怎么办？它无解，那这个东西不就说明什么？说明这个贝塔。可以由这个人表出吗？当然不行，所以说这个东西啊，你就写不可由阿尔法一阿尔法二阿尔法三，然后怎么办？线性表述。能想清楚吧。好，这就是这个问题，但是同学们想想。

我们考研喜欢这样正方向考吗？他不喜欢。考研喜欢考的是什么？考研喜欢考的是反方向考，就这样考。我题目当中说了一个事情，我说你这个人呐，不能由这个向量组啊，这个什么可以由这个向量组表出，且为一。那我就知道了，我就把这个东西啊摆成矩阵，说明这个as等于贝塔由唯一解。那你想想你喜欢做线性表出的题，还是喜欢做方程组的题啊？

我当然喜欢方程组啊，方程组我们刚才在上课之前给你捋的那个东西，你就那点东西，你要不然判定你要不然求解你方程组多简单。所以那将来过程当中，我们就遇到这个点。所以一定要听清楚，其实我们在最后一章。其实就学了三个问题的关系，一会我们再梳理，如果将来我们见到。注意定式思维一个向量。被一个向量组标出的问题。表出那这种问题啊，其实就是一个非其次线性方程组的问题。

对吧，这个东西的方法就是转化为。非其次线性方程组的问题。啊，方程组问题，你看这个点。所以我们在考纲过程当中，我们只要见到什么这个东西啊，应该是个定式思维。你只要见到一个香料。被一个向量组表出，你请注意，这里面当中凸显出来的是一个向量。对吧，被一个向量组表出的问题。

那一个向量跟一个向量组之间的关系，那么像这个问题啊，我就转成了非前方程组的问题，那么其实线性相关性也能转成齐向方程组，但是我们没没必要。因为线性相关性，我的破题手段，我就是干嘛，我就是用智或者用力，我们的考研就是用智。线性相关质小于个数，线性无关质等于个数，这两天有没有晚上天天去想啊？线性相关质等小于个数，线性无关这个质等于个数。

如果这个矩阵列满值列无关列不满值列相关行满值行无关行不满值行小，就是这几个东西，你来来回回转一转就行了。这非常简单，就三个问题呗，一个是线性相关性，一个是性线性表除一下出来了。能听懂吧？好了，这个点。所以现在我们来看看这个事情，如果有一个向量。他讨论这个点说北大这个人。可否有。然后由这个向量组。

表出的问题。那么，同学们告诉我，这个东西怎么转呢？哎，这个转换非常的简单，就把这个向量组按照列形成矩阵。按照列形成矩阵，那么其实就转成了一个非其次线性方程组的问题。对吧，就是你有解没有解的问题。能想清楚吗？就是这个东西啊，你到底有没有解？你有解这个悲大，

就能由这个人的列项那组线性表出。如果这东西没有解它，就不能被它表出，如果是唯一解唯一的表出，而且。而且你发现这个解是多少表达的系数就是多少？比如说你的解是一二三，那说明北大就等于一倍，阿尔法一二倍，阿尔法二三倍，阿尔法三能想清楚吗？所以一个线性关系啊，它等于零是线性，相关性等于北大是线性表除好了这个问题啊，把它想清楚。

能说吗？清楚吧。把这个人按列形成矩阵，转成方程组，方程组哎，你发现玩它就行了。所以这个事情一旦转到方程组，你就做一个字，你玩它就行了。对吧，有没有解啊？我用质我用行列式求解它，那也很简单，解出来是多少？那表达的系数就是多少？

所以这三个事情，你把它转通了之后啊，问题点就非常的简单了。能学会吧，好了，这是这个点啊。那么，接下来我们来看看一个题吧，比如说我们来看看这个题。好来看这个题。那这个题啊，他给了一个事情，他说这个向量能由向量组线性表出。同学们告诉我，如果这个东西能由它线性表出一个向量跟一个向量组之间的关系，

把这个人按列。形成矩阵。能听懂吧，按列形成矩阵，然后就说明什么，就说明这个as=a大这个人呢，他是有解的。对吧，你这个人是有解的。你看这个事情。所以我这样一转呢，就非常简单了，有解那这个方程组有解的话，你可以把它摆出来，那摆出来的话，

这个是a和这个贝塔。有解没有解，那这个题可以怎么办？这是一负三，然后这是二，然后这是二，这是负一，这是一是1k五，这题怎么做？那是不是用痣啊？对吧，用质或者用行列式，但是你发现这个系数矩阵，它不是方的。所以说对系数矩阵用行列式，

这是个bug。所以这里面当中，我们先来看看吧，其实这个题也能用行列式，你只要稍微转一下，那系数矩阵的值，它会等于增广矩阵的值。对吧，这两个东西啊，它一定会相等的。那么，现在我们进行去用一下质，那用一下质的话，你发现一个事，我们就来给它变换一下幺二幺三倍加下来。

然后这东西三倍加下来，这是五三倍加下来的话，这是多少k+3，然后这是减二倍减二倍负三。减二倍多少？那这是五减去二，然后这是三。能理解吧，其实你发现一个事，如果这个题用行列式啊，它就出来了，这就是行列式的优越性。你如果做的这个初等变换呢，你还得再变换，但是如果是行列式啊，

这个题直接展了。这就是它的优越性。那么，接下来我们怎么办呢？我们进行调一下，然后这是一二一，然后把这个什么把这个调上去，然后同时乘上个多少乘上个三分之一。然后这是零五，这是多少k加三五倍加下来，这是零，然后五倍加下来，这是k+8。那现在系数矩阵的知识解是二，那增光矩阵知识解是二，

那所以说这个结果等于几等于负八。选b好了，这是这个题，那当然，这个题你能不能再换一种方法呢？我们再来看诶，你发现个事情，你系数矩阵的值等于增广矩阵。而这个增广矩阵里面当中，只有一个参数k。如果能用行列式，那当然非常简单，那同学们想想你这个系数矩阵是什么呀？你这个系数矩阵，你想想一个问题。

啊，这个人。系数矩阵的话，它顶多它不会超关，所以说这个东西啊，它是小于等于二，当然小于三了。所以这个增广矩阵的行列式是等于零的，你看增广矩阵可以用，所以说这个时候我就给增广矩阵呢，用一下行列式。幺二幺，然后负三负1k二一五这个人你就坐到这儿，然后直接用行列式的展开，你发现。

15然后再加上三倍的多少k+3，然后这人等于几等于零，然后k立即出来了，等于负八。这样做是不是简单？所以行列式有行列式的好处。对吧，行列式有的时候做题有它的bug，那所以你一定要灵活的进行选用，那什么时候其实我们有的时候不太喜欢用这个行列式呢，其实就是上节课需要检验的时候。如果需要检验呢？行列式是会稍微的麻烦一点。但是如果不检验的时候，行列式确实非常简单，

好了，这是二三九这个题。能理解吧，好，我们再看看下一个题，再看这个题。好，继续做。他说，这个向量组。然后说北大可以由他表出，且唯一。哎，一个向量跟一个向量组的关系，那赶紧怎么办？

你被我表除，我就记记什么呢？记这个a为阿尔法一。阿尔法二阿尔法三把这个记下来，然后这个东西就说明什么，说明这个东西有什么解唯一解。那这个唯一解的话，我们来做一下，它让我们去干嘛呢？让我们去求解这个a那第一件事情的话，你发现你可以把这个a写出来。这是十。然后接下来的话，这是负二，这是一五。

然后接下来这是负一，这是一四，然后这是1 BC，同学们告诉我你会选什么方法呀？我知道有两条路线，一条是增广的质等于系数矩阵的值，然后怎么办等于三，这是一个充要条件。那还有一个充要条件呢，唯一解的话系数矩阵的行列式直接不为零。那这个题的话，你发现我直接上行列式不就行了吗？那这也是充要条件变换，反而非常的麻烦，所以你会发现这个题啊，

其实只跟这个行列式有关。所以像这个b呀，这个东西都是障眼法。哎，这都是骗子。所以现在我们进行求这个行列式，那怎么去求解呢？我们知道，只要这里面当中画出两个零，我们就可以做了。那我选一下吧，我到底选哪个人呢？我把这个第三的话，这个是按照这个东西进行做。可以吧，

按照这个第三列。第三列加下来的话，这是零加下来，这是负一，然后加下来，这是a+2。然后四倍加下来是零二四得八。然后这个东西是负三，然后这个三倍加下来，这个四倍加下来是十+4a。好，这个结果，所以像这个四倍加下来，刚好做成这样，我就可以按照这个东西进行展，

那就是负的。那然后这条线那这条线是负3a，然后再减去六，然后再加上个十+4a，然后这个东西啊，它不为零。那不为零的话，你稍微进行去整理一下，这是负的。然后这是a- 4，然后这东西不为零，那a就不等于四啊，这个是。a+4 a就不等于负四，所以这题正确答案选几啊选a。

所以像这个题啊，你发现你往方程组上一转，然后这题就出来了，所以难度系数不是说特别大啊，基本问题。好了，这是二四零这种题啊，这种题我们非常喜欢考高频，重点一个向量跟一个向量组的关系，那这个人怎么办？我们就转方程组。好了，像这个问题，你自己下去做吧，你这个削哪一行都很简单，

这种事情你就不要再说哪个简单了。解这种破行列式，你爱咋解咋解，你想怎么解怎么解，你解出花儿都行啊，这是这个题二四零。然后接下来我们再来看看几个吧。这里面当中啊，我多找了几个题，我们来多来练练啊。好，我们再来看看这个题。一三年的考研真题。他说的一个事情。他说如果这个t啊，

它为和值的时候，这个人是线性相关。并且，在线性相关的时候，将其中一个向量用什么东西呢？用其余向量线性表出。其实这个题的话，它就是这个意思，你线性相关的时候，你找到极大无关组，然后把它进行去表述，所以这个题啊，当年的过程当中出题出的不好。你说东西说不清楚，反正我们接下来我们来做做吧，

你按照我的思维方式来进行处理一下就行好了，第一件事情我见到线性相关，我立即反映什么？我立即反应质，它怎么办？小于个数。而且这个东西是个方阵不满值行列式会等比。所以说这里面当中，你无论选哪个方法都行，这是t二一，然后这是2t零，然后这是多少一负一一？你会选什么？你选这个质也行，你选这个行列式也行，

那这个题很明显，行列式更简单啊，因为这个行列式我只需要再消一个零就行了。所以说我用这个人减个一，我这个变成三，这是零，这是零，这是t，这是二，这一这是负一，这是一。然后接下来我们就可以按照这个东西进行展开。那展开了之后就变成这个人，那就是t方减t，然后再减去六=0，

所以说这个时候啊，马上出来。t等于几啊，二三得六对吧？你这个是t- 3，然后这是多少t+2=0，要不然等于几三，要不然等于几？就这两个事情，那所以说等于这个时候他们是线性什么关线性相关？那所以说接下来我们来看当线性相关的时候，请你求出它的几大无关组，并把剩下这个人呢用它来表示。好了，我们先来看看第一个事情，

当t=3的时候。当t=3的时候，把这东西操作一下。三二一二三零一负一一好这人，然后接下来我们怎么办？你要注意一个事情。把其余人用它来表出，其实是一个非前方针所的问题。所以说这个人的话，按照列只能行变换，绝对不能列变换。而且求极大无关组也不能列变换，那所以说这里面当中注意啊，按照列排只能行变换，所以先把一零一调上去。

二三负一三二一摆下来。然后进行变幻想一零一减去二倍，减去二倍，减去二倍是负三，减去三倍，然后这是它减去三倍。呃，这是负一。对吧，你减去这个是三倍，这是零，然后这是二减去三倍，这是负二，然后这东西变成多少一负一？那么，

现在而言的话，我们来看看这个问题。右上。哪个右上角？好了，这是这个问题，那么所以说接下来我们来看看这个点。你发现我们就来进行解诶，这个人的极大无关组是谁呀？很明显，我选一下极大无关组。那么，其他无关组的话。这是它。2t零一负一一，

然后怎么办呢？这个人减去他。减去它。右上角哪个右上角？减去它。好了，这个人，所以接下来我们来看看这个事情，你发现这个人的极大无关组是谁啊？极大无关组是阿尔法一和阿尔法二。对吧，极大不关注。这里面当中，我来跟同学们讲一个点。对吧，

你稍微等一会，我马上把这个问题啊，跟同学们进行去重点讲讲这个事情。那这里面当中。这没有问题啊，那别别别胡来啊。好了，这是这个点，那么接下来我来讲一个点，你们稍微的进行去听一下，然后接下来我们再来进行处理。没有问题。我做了个裂变换吗？我是把这一列，我用这个一干掉了，

这个一吗？这个人是不动的啊。好了，那么接下来我们继续，我们来看一个点啊，这里面当中啊，有一条重点定理。啊，重要定义。就是什么事情呢？就说如果我们是阿尔法一阿尔法二一直到阿尔法n。我们是线性什么管呢？我们是线性无管。对吧，然后这里面当中再加入一个。

阿尔法一，阿尔法二，一直到阿尔法n这个特别重要，贝塔然后变成了相关。就说我们现在是线性无关，然后加入一个人是线性相关，那则加入的这个人呢？一定能被我表示。切为一。它这个东西必可有什么东西啊？必可由阿尔法一，阿尔法二一直到阿尔法n。线性表出。切为一。好，

这种碟子。那这种定理啊，其实是非常重要的啊，这个内容是一个非常非常重要的一个定理啊，我把它敲出来。所以将来的过程当中，我们一定要知道，然后稍微的等会一会，我们把这个问题啊，一连串的给你串出来了，你将来的话，就算你能背过这个过程，你都能处处理问题。好了，注意，

这是一个重要定理。这个内容。就说如果我们之间呢，你发现我们现在是线性什么观，我们线性无关。这么加入一个人呢？之后呢？你变成什么呢？我们却变成线性相管，那加入这个人呢？一定能被我表示且唯一。你绝对的，你绝对能被我表示切为一。那么，像这个问题点，

我们往往怎么进行证明呢？啊，其实证明方法也非常的简单，我们来证一下可以吧？来证明一下。怎么证呢？你想证明这个东西能由这个人线性表出，且为一，你不就是想证明？一个向量跟一个向量组的关系是个分析方程组问题吧，那这阿尔法一阿尔法二移，直到阿尔法n你不就是想证明。这个东西有什么解，唯一解吗？是吧，

你不想证明这个东西有唯一解吗？你想证明这个东西有唯一解系数矩阵的制不就等于增广矩阵制吗？而且它要等于它的列数。所以现在而言的话，我们来看看这个a的值，那a的值是等于多少a的值就等于这个向量组的值。线性无关等于个数是n。然后再来看增光矩阵的值。那增光取真的痣不就是这个人，然后再来个贝塔吗？而这些人的话，他是线性相关，那线性相关怎么办？他小于他的个数是n+1。小于个数是n+1，

小于个数是n+1的话，你发现小于n+1不就是小于等于n吗？你n+1下，一个就是n呐，所以说这个时候就出来了。那现在也就说我增广矩阵，这个人呢？我是小于等于。而你都知道，增广矩阵肯定是比系数矩阵要大，这个非常简单啊，因为你现在系数矩阵已经是n了。你绝对小不到n，你最小都是n。然后这个人呢，

等于n因此我就得到了一个事情增广矩阵的值等于系数矩阵的值。它都会等圆，那这是什么解唯一解？好v1解。能理解吗？那所以说它能由我表出且唯一啊，你把这个定理能记住就行啊，证明呢，这个思维方式你得会。你其实这个东西证明肯定不会考，但是我们要理解这种东西到底是怎么进行处理问题的？你想想我们是线性无关。加入一个人变成线性相关，加入这个人肯定能被我表示且唯一，那接下来我们就要想一个事情。

比如说这个阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，阿尔法四。好了，这四个人那这四个人的话，你发现我假设我的极大无关组是他。好注意，这是极大无关组。我的极大无关组是他那同学们告诉我，极大无关组肯定是线性无关的。那如果我们再来看看这个人呢？你看我们是线性无关的。而其他无关组肯定能表示他你既然能被我表示，我们肯定是线性相关的。

如果线性无关，他肯定不能被我表示线性相关才可以，他们一定线性相关诶，我们是线性无关。加一个你变成线性相关，你一定能被我表示切为一吧。所以我们就得到了一个非常重要的一个知识点。如果这个向量组的极大无关组表示别人这个人一定能被我唯一的表示。能听懂吧，一定能被我唯一的表示。那唯一的表示，同学们想想那说明ax等于阿尔法四一定用什么解唯一解？你把这里记成a。能想清楚吗？唯一解那这个唯一的这个解其实就是表达了技术。

而我在上节课过程当中，我又讲过，如果是唯一解。你想想。唯一解。比如说我这个人。对吧，这四个人，然后这是一一一啊，这个四个人啊。好，这四个人的话，你发现都把它变成零，我只要把这人变成单位证，单位证的时候，

这是四五六，这个人是不是就是他的姐啊？这个人就是他的姐，不就是表达系数吗？所以说像做这种题就非常的简单。我怎么办呢？我找到极大无关组，我把极大无关组的位置变成单位帧。对吧，都变成这种行最简的形式，必须是一零零零一零零零一变成单位证，这个位置就是解。那这个位置是解，那不就是它被表达的系数吗？但第一个解是四四倍的，

它第二解是五五倍的，它第三个解六六倍的，它。能学会吗？这就是他的操作性的方法。所以我们在做题的过程当中，就这样处理。能学会吗？好基本问题哦。掌握清楚给我回复一吧，这就是个套路，你把这个套路给捋清楚啊，你下去再进行处理，这种问题非常简单，我再来给你看一个。

吉大无关组应该是上上节课。好，我们来看看这个题。比如说这里面当中这个二二七这个题。你看到这个题了吧？把二二七那个题你翻到那块。那么，接下来我们怎么办呢？我们把这几个人呢？呃，是这样，我们先找七大部关组。所以这个时候就能体现出来，吉大无关组找阶梯口处的好处。阶梯口就是有这么大好处。

所以现在而言，我怎么办呢？我把这个人呢画成行阶梯。画成横阶梯了之后，同学们告诉我，我选的是一二。四所以我选的是极大无关阻为多少，极大无关阻为。阿尔法一，阿尔法二，阿尔法四。能理解吧，我选这个人，我选这个人的话，现在还剩下一个问题，

你现在还剩下了一个阿尔法三。阿尔法五。你要把这个阿尔法三倍表出。阿尔法三倍表出，你要把一二四这几列按照常理而言应该是这样，这是一二，然后这是四。把这个东西作为系数矩阵吧。这是系数矩阵，然后把这个东西作为尾锥，按照常理，是不是应该是这样？按照常理的话，你发现你前面这个部分是系数矩阵。然后这是尾椎，

你要进行求唯一解，但是这个时候就能发挥出矩阵的魅力，你矩阵什么魅力呢？虽然它在这儿。但是如果你解这个方程组的时候，你要知道它在后面。就行了，这就是矩阵的魅力，所以我们现在做题怎么办？我们继续，我们要把这个东西啊变成行最简。来，我们继续一定要把这个东西再往下再走一步，变成行最简。那行，

最简的话，你发现这个最后一行它都是零，然后这是零零零，这是一负二。然后把这个东西上去减去二倍，减去二倍的话，这人是几，这是负二。好了，然后这是零二，然后这是零二，这是负二，这是一。然后这是一零。但是现在而言的话，

你发现离这个行最紧，还剩下最后一步了。那最后一步的话，你把这个人呢？负一一，然后这是负一，然后再加上去，这变成零加上去，然后这人变成几变成一。然后这人再来一个负号，再来一个负号变成它。好了，同学们，你告诉我件事情。请问这个位置？

这个位置。这个位置有没有变成单位帧呢？当然，又变成单位阵，这是阿尔法一。阿尔法二。阿尔法四。变成单位帧，变成单位帧的话，你发现这个人其实就是阿尔法三倍表示系数，那阿尔法三这个人肯定是零倍的，阿尔法一。负一倍的阿尔法，二零倍的阿尔法四。能理解吧，

第一行的第三个这是一吗？哦，这是一是吧？好这个人，所以说这个时候就变成他。然后接下来你再来看看你这个人。这个人就是什么阿尔法五倍表示系数一倍的阿尔法，一一倍的阿尔法二减去二倍的阿尔法四。所以像这样的一个问题点呢，你就把它想清楚了。没问题吧？这个是上去变成几？变成这个一。然后这个上去变成。啊，

后面没问题了吧啊。所以说你想清楚就行，我把它变成行最简，我只要能把它变成行最简，变成行最简了之后。只要你把阶梯口处变成行最简的形式，那这个时候其实你发现这个人被表出的情况其实就是这个位置的数。这就是这个魅力啊。方程组的魅力。我们都知道，唯一解就是这样，只要你把前面变成单位帧，你后面是多少就是解释多少，而我们又知道解释多少，不就说明是什么情况，

不就说明这个。这个表达系数是多少吗？所以这一波内容，一串问题点一点都不大，你所以将来再做这种题啊，不可能丢分啊，你绝对不可能丢分。好了，这个问题能学会吗？所以现在我们再回到这个点上。好继续，那么同学们告诉我这三个人的极大无关组选的是谁啊？你选的极大无关组选的是e2。那你告诉我，第三个人被表达的系数是多少？

把它变成行最减的这个人，那说明阿尔法三这个人就等于多少就是一倍的，阿尔法一减去阿尔法二。能理解吧，就是这样的一个问题，你把这个前面这个东西当做成系数矩阵，第三个人被我表出其实是非起始线方程组的尾锥。你解的这个结果不就是它吗？一被它等于一被它等于负一啊，这个非常简单啊，然后接下来我们再来看第二件事情。当这个t等于多少负二的时候，你将来一定要会这个非常的简单啊，然后再来看看这个负二。你再把这三个人继续触动病患。

好，我们继续。那这个东西是负二，然后这东西负二，你把这个什么一零一调上去，然后二负二负一。负二二一，然后减去二倍零。减去这个人的2倍，这是负三。二倍加下来，这是零。二倍加下来，这是三。所以说这个结果这两人变成零，

然后这是二三。好，这个人变成了他。变成了它了之后，我们来画一下横阶梯，你选的极大无关组是多少？极大无关处。你选的谁呀？你选的阿尔法一和阿尔法二。然后要把这个东西变成单位帧，这是一，然后这就是二分之三。变成单位正的之后，这个人就是被表达的系数，那阿尔法三这个人就是多少一倍的塔，

加上二分之三倍的塔。那为什么是这样呢？其实就是一个非前方程组的问题，能串到这儿，其实基本上就可以了。所以以前做这种题啊，你就算背你也都能背过。你不要进行求解，极大无关组吗？按列摆行变换。划成行阶梯，阶梯口其他无关组别人被我表示呢，把它划到行最简，你数是多少？你就是被我表示的系数是多少？

就这么简单，所以像这种问题啊，你不管怎么出，你一定能拿下来好了，这个题过去了可以吗？注意啊，这种点还是挺重要的，你得把它学会啊，来继续我们再看这个题。二零年二零年这个题啊，我们继续来看。他给了这几个人。他说，这有五个向量。然后背大衣不能由他表示。

配大二能用它表示，同学们告诉我一个向量跟一个方，这个什么向量组的关系就是非行方程组的问题。把这个人按列形成矩阵。那说明什么？说明as等于贝塔一无解。as等于贝塔二有解。好这个人，然后接下来我们就得到了，那就说明你a的值，你不会等于a和b大一的值。但是你这个a的值，你却会等于多少呢？你却会等于a和贝塔二的值。好像这个问题。

所以像这个点呢，我们就可以做了，那你告诉我件事情，你喜欢做相等的还是喜欢做不相等的呀？那当然是相等的简单啊，所以说在这里当中，我就把这个a和北大二摆在前，北大一摆在后。你看a和a背大一，你就看a和a背大一，你看a和a背大二，你就看AA背大二好了，这个问题。所以说现在而言，我们就可以做，

这是一二一，这是二三a，这是1 a+2，这是负二。然后最后是一三四，然后这是一负1a好这个人，然后接下来我们就来进行去初等行变换。化成行解题幺幺幺减去二倍，减去二倍负一，减去这个二倍呢？那这是a减去二倍呢？这是一减去二倍呢？负三。减去一倍，减去一倍。

a- 1，减去这个一倍，那这是负三，减去这个一倍啊，一倍一减的话，这是三，减去一倍。a- 1。那然后接下来我们就可以继续做。再往下走，那其实就是一二一一一，然后这是零零把这个东西怎么办？第二行的第二个。啊，第二行的第二个。

哦，这是a- 2是吧啊？哎呀，最近这个老是抄错数对吧啊，抱歉啊，这个。那么，这个人的话，你发现减去这个人。那然后接下来我们看看把这个什么东西呢？把这个操作一下。把这人多少呢？a- 2倍加下来。对吧，你来一个a- 2被加下来。

你加下来之后的话，你发现这个人是零。然后这是多少？只是a倍的a- 2再减3a方减2 a- 3。所以说这里面当中啊，这个东西就是a- 3，然后就是a+1。那然后这个人呢？你继续往下看呃a- 2倍的话，再加下来，那就是a+1。然后这个人呢？这是负3a，然后再加上多少加上六，再加上a- 1。

所以说就是负2a，然后再加上几你再加上五。对吧，你这个人是负3a，然后再加上六，你再加下来，你加下来的话，这是a- 1负2 a+5。好，这个人那么接下来我们就来看看了。现在这个人呢，你就得往下走。往下走，往下走。那说什么呢？

说这个a和这个什么a和贝塔二要相等。你相等的话，你当然可以怎么办？你比如说你下来的这这也叫相等。但是同学们注意，你这不能下来，你下来了之后的话，你看你这个相等，你这个也得相等。对吧，你这个相等这个人也得相等，所以这个人就不行了。你现在的话，你看a和这个a背大一，它也相等，

所以说这个人呢，他绝对不能这样，因此他只能横着相等。横着相等的话，就说明你这个人得等于零，你这个人得等于零。现在的话，这个a的质是二，你这个a和贝塔二，你就不能看这个人了。你必须不能相等，你不能相等，只能相连。所以说这里面当中啊，我们就出来了，

就a等于多少？负三负一，且等于多少负一？所以说a等于多少负一？然后且这个a不等于多少？不等于二分之五。所以综合而言的话，这个结果马上出来，那也就说说明这个a就等于负一。能理解吧，哎，注意一下等于三不行。等于三的话，你发现你三的话，这个人等于零。

但是这个东西不行，所以你必须得保证这两个东西同时为零。而且还得保证这个东西不为零。同时为零的话a只能为负一。为负1a不等于它，那就是负一。能学会吗？好了，这是这个点，你看这个题还出的还挺好。你别看的话，这是我们三九六同学以前的考题，你要抓住这个问题的方向，他到底在说什么？你看懂题材很重要。

就是你一定要想清楚，就说这个题，它到底在说什么？只要是一个向量和一个向量组的关系，我就转成非行方程组的问题。来研究就行，好这个点。你不要空有一身的这个计算能力，但是在这里面当中啊，你分析不来这个核心内容，这还不行。好了，这个方向把它摆清楚。这是这个题，那么接下来我们再来看看下一个题。

你再来看看这个题。你看这个题怎么做？他说，设这个向量组线性相关。然后这个东西线性无关则什么，这个题非常的简单。考了好多次。对吧，考了好多次，你看这有同学说不用不等于你不要钻进去了。你不等于人家题目，让你不等于你说不等于干嘛呢？我知道a等于负一的时候肯定就不等于二分之五。但是你在做题的时候，你得把它写出来呀。

那人家提都让你这么干，你不这么干啊？好了，那么接下来我们看看一八年这个考题来操作一下。那这个题怎么做呢？它非常简单。你发现这是第一个，第二个，第三个，它们是线性相关。诶，那你这个人加一个人，你还不是想管吗？哦，加进来相关。

那加减的相关的话，然后又告诉一二四是什么？一二四是线性无关。一二次线性无关，那这个人肯定能被我表示切为一选c，非常简单。我们是线性什么关相关呃无关，然后加进来一个线性相关，你加起来一定能被我表示切为一。那同学们告诉我，这四个人的质等于多少？两个方向。那求解这四个人的质的话，你看第一件事。那是一二四，

它的质是三。然后是什么呢？一二三四它这个质呢？它线性相关肯定是小于四，就是小于等于三。而你这个东西又大于等于多少一二四，然后这人是三那，所以说它就是三。所以像这个问题就是诶，我这个东西不满值，我肯定是小于等于三。而我最小的我其中三个人已经到三了，我四个人肯定是要不比三大，要不跟三相等，我最少是三，

然后最大是三一百就行。你或者怎么看呢？你可以这样看。你这是一二三四，然后其中的这个阿尔法三是不是能被我三个人表除？你被我表出，然后我进行去列变换列变换列变换列变换，这人就干掉了，所以留下了一个一二多少四，然后这是零。漂亮，能想清楚吗？所以你按照这种方向去走也行，就是我通过这个裂变换，你是能被我表示我我咔的一下把你干掉。

你是没有用的，所以还是有三个人，这三个人的智是几是三？好了，像这个方向性一定要会，我们是线性无关加进来一个线性相关加进来这个人呢，一定能被我表示且唯一。好了，这个方向把它想清楚。行吧，那么这个点呢，我们就学到这。然后接下来我们就来看看我们这个其实倒数第二个题型。那这个题型呢？其实在去年的考研真题当中已经有所显现了。

啊，其实已经有所显现了。然后你进行去判断一下这个矩阵方程，你不能说这个东西不重要，它还是会考的。所以接下来我们来看看矩阵方程的问题。对于我们三九六同学，我们不用继续去研究什么三阶了。四届了，我们只用研究好二届就行。研究好这个理论。如果出到三阶，它也就是个理论问题，所以理论可以推广，但是计算基本上就是个二阶的问题。

能想清楚吧。哎，就是一个矩阵方程。什么是矩阵方程呢？它就这样的一个问题。你这里面当中给了一个系数矩阵。你又给了一个尾椎。让我进去去求解这个人。啊，就是你这前面。给了一个系数矩阵。然后给了一个尾椎，让我去求解这个矩阵。这就是矩阵方程的问题。所以将来我们要理解什么叫矩阵方程呢？

就是这个点。我知道这个a矩阵，我知道这个b矩阵诶，你这个s矩阵怎么求呢？就是这样的一个问题。这叫矩阵方程。有人说，老师那太简单了。那我把a逆过去不就行了吗？你不说ax=b吗？那x不就等于a逆b吗？你想的太简单了。所以呀，你这个完全就没有切进去。你想想，

如果这个人可逆，你当然可以逆过去。但是万一它不可逆怎么办呢？万一他连可逆性的一个基本原则都满足不了，就是方针的问题都满足不了，怎么办？你就做不了了。所以注意，我们其实喜欢考的是什么？喜欢考的是不可逆的情况。能琢磨清楚吗？那么，像这个问题怎么去求解呢？我来把这个事情我来给你讲讲。你其实可以这样，

你不是要求解这个人吗？把这个尾缀这个人给我写成背大一背大二。能理解吧，把尾缀这个人给我拆了。拆成杯大一杯大二。然后这个时候你要求解的这个未知数矩阵呢，它不叫未知数向量，它叫未知数矩阵。你求解这个的呢，你也把它给我拆了。你放心吧，你这个人有几列，你这个人就有几列，你看这个人拆成x1和x2相乘。那这时候怎么办呢？

你就可以这样办，我根据我们的矩阵乘法，你这个人乘进去，你这人乘进去。然后这个结果就是杯大一杯大二没问题吧？那这个时候矩阵相等的话，就是对应相等哦ax 1等于杯大一。ax 2等于多少？贝塔二漂亮，我原来如此啊，原来这个x1是谁呢？x1不就是ax等于贝塔一的解吗？是不是啊？然后原来如此，这个s2是谁x2不就是ax等于贝塔二的解吗？

非常简单啊啊，这个内容很好学。它不就是这样的一个问题吗？我理解了。我将来我们解这个矩阵方程怎么去做呢？你就这样做。你这不是个矩阵方程的问题吗？对吧，这是个矩阵方程。那矩阵方程你要进行去解，这个s1对吧？我们现在而言，把这个系数矩阵你放到这。好，这是个系数矩阵。

那这个系数矩阵怎么去解呢？你就这样解，你去解一下ax等于。北大一这个方程组。这个人的姐给我填到这。然后接下来再跟我进行解这个人解一下谁ax等于贝塔二，把这个方程组的解给我填到这儿。跑出来。能学会吧，就是这样的一个问题，把这个as背大一，就是你第一个人和这个第一列的解。你填在这个第一列，你a和这个最后这这个列的解你填在第二列，它其实就是个拼装的问题。

对吧，其实就是个拼凑的问题，你想清楚这个点它就行了，你看我们理解一个二阶就行，其实你要摆成三阶就变麻烦了。其实也没有理论上不麻烦，就是做题变麻烦了，就是这样的个事，就是拼接的问题，能想清楚吧？就是个组合，所以像这个类型问题的这个求解方法，刚才过程当中，我们已经梳理了，那么接下来我再跟同学们再梳理一遍。

你好好听了。那么，首先第一件事情你不知道解这个方程组吗？我把这个系数矩阵叫做什么呢？换一个颜色叫做a矩阵。那a取正的话，你发现把这个b取正的第一列叫做贝塔一。然后接下来我要干嘛呢？我要干这样一件事情。我干这样一件事。叫我想想啊，用个什么颜色？用个绿色绿色用过了。啊，黑色的好，

那么这俩人。我解一下方程组，我解一个谁呢？我解一个。ax等于贝大一这个方程组。解下这个方程组了之后。把这个人的解填到这儿。能学会吗？好了，这是这个事情，然后接下来我再进行去解a和谁呢？a和这个人。它的一个方程组，我解谁呢？我解ax等于贝塔二。

我把这个解扔到这来。所以我们就是在进行写两个飞行方程组。写出这两个飞行方程组，那就可以了。你其实就是拼装嘛。然后这两个飞行方程组啊，它又具有一个相同性的特点。什么特点呢？你想想。ax等于贝塔一这个方程组和ax等于贝塔二这个方程组，大家琢磨一下。你这个方程组。和这个方程组什么一样。它其次部分一样，所以它们两个人的其次通解一样，

所以说这个东西啊，就是它的一个通解。这叫奇通。然后再加上什么你再加上菲奇特。你加上你的非其次特解就是你的通解，加上你的非其次特解就是你的通解。能琢磨清楚吗？就是这样的个问题。所以你下去过程当中一定要好好想想这个事，你把这个点呢，你把它想清楚。呃，比如说举个例子吧，我们来看一个题，我们出个简单的。

我们不会考那么难。你要是进去就出一个什么，你要出一个三阶的问题，那三阶的问题的话，在我们三九六的同学当中啊，他其实基本不会考这个点。你要是如果是一个三阶的问题的话，这个运算量就变大了。你就会非常大。好像这种。你像一个三级的问题啊，在数一数二数三当中啊，它基本上而言就是你像这种还要分析的问题，那考的稍微的会比较难了啊。那么，

首先我们先来看看吧，来我们来做会做我们这个点就行了。基本上，从求解的角度上，理论的高度上，任何解都要会。求解的角度上，你会个二阶就行。比如说这里面当中我们积。这个a矩阵。是一。二然后这是。这是二四。然后b去整。是一个多少呢？

是一个四六。然后这是82。我们去求什么？求ax=b。好知道解这个矩阵方程，其实就在求求x。那这个s是谁呢？你这个s的话非常简单，你就要把这个b啊，你写成两列。这第一列的话是四八，你把这个方程组解一下，你填到这一点，把这个解一下。你填到这一点。

你就解两个飞行方程组呗。对吧，解两个你解第一个方程组的话，你就要把a和这个人摆一起初等变换。你写这个人的话，你当然啦，你就可以你你可以这样做。对吧，这一二二四这是四八，你也把它解完了，因为我们这种考的简单简单的话，你发现速战速决一二二四，你把62摆在一起。你解下这个方程组，再解这个方程组可以。

但其实如果你作为一个高手而言的话，你就摆到一起。对吧，你全摆在一起a，这是贝塔一，这是贝塔二。那全摆在一起的话，这就是一二二四，然后这是四八六十二。然后接下来我们来看看这个人，你走那这时候的话就是一二四六零零零。好了，注意，这是分界线。那这个人的话，

他的质是多少呢？那很明显质是一我问你个事情，你看你先解as等于杯大一的时候有什么解啊？系数矩阵值等于增广矩阵的值等于它的什么？小于它的列数无穷多解。那所以说我们先来看看这个，其次通解。啊齐通那齐通部分的话，给它赋值就行，来可塞。启通给它负几呀？你负一，然后这里就是负二。然后再来进行去解一下ax=a大一的特点。解这个人特解那这人特解是谁呢？

你这人特解的话，你就要给它赋零了。负零是一倍的，它等于四，那就是四。然后我们再进行去解as等于贝塔二的特点。好注意系数矩阵是它尾缀，是它那所以说现在给它负负零，它是减六。那所以这个时候我们就知道第一个方程组的解是k1倍的可塞，加上可塞一型。第二个方程组的解的话是k2倍的可塞，你加上可塞二就。能理解吧，那么接下来我们把它连一下，

那k被它就是负2 k+4。k+0对吧？这个人k1，然后这人呢？k2那k2是负k2+6。然后这是k2。好了，能学会吧。因此，我们知道这个x这个人呐。它的第一列是第一个解，第二列是第二个解，你把它写一下是负二倍的k1+4k1。负二倍的k2+6，然后这是k2。

这个人，然后在后面写k1k2为任意常数。学到这就可以了啊，这作为我们三九六同学啊，你的考研点完全的可以了。你会继续去解这个人。对吧，你就会解，你就知道第一个人和第一列的方程组的解填到他的第一列。第一列和第二个人的方程组的解填到第二列就是这样的一个问题，好，这叫矩阵方程的求解性问题。听明白了，给我回复一。能想清楚吧。

好了，这是这个问题，你一定要琢磨清楚。这个点就是零。把这个方向一定要摆清楚。你所以说像三阶的问题啊，你就不用管对吧？三阶的话，你得会理论，但是这个基本问题的求解你得会。那么所以说接下来我们来看看矩阵方程解的判定。那这个企业的判定呢？那么首先我们来看看。你去争房产。矩阵方程的话，

我来问一个事情，你比如说你像刚才的话，这个。这是x。你假设这是beta 1，beta 2。这个x有解。是不是得保证x1和x2都有解啊？我就问你个事情，你有解，但是你没有解这个人叫有解吗？我这个矩阵的话，你发现我有两列，你一列有一列没有，你这叫有还是没有啊？

你这就叫没用。这就叫没有解，你能听懂吗？所以这里面当中一定注意。第一个有解呢，第一个有解是a的值等于a杯大一的值。第二，有解是a的值。等于多少呢？等于a杯大二的值。那两个都有解呢，两个都有解的话，就说明这两个东西都要同时成立。你这a背大1a背大二，那不就是a。

和a背大一，背大二吗？这不就币吗？所以我们就用之。第一件事情。矩阵方程。如果有解的话，就是系数矩阵值等于大增广。能听懂吧，如果不相等无解。哎，其实你发现这跟非其次，献血方程组一样不一样。非极次线性方程组不就是最特殊的矩阵方程吗？这个矩阵能不能只有一列？

能不能能啊？我这个矩阵如果只有一列，它不就变成非行方程组了吗？所以非其次线性方程组是最特殊的矩阵方程。因此，他们的理论高度肯定是一样的。然后第二件事情，如果系数取正的值。等于大增广矩阵的值。如果相等了，那就说明怎么了？说明这个人是有解的。那有解的话，我们再来看，如果你发现你看，

然后我们再看AA，如果等于它的列数。等于它的列数。你等于它的列数，那说明你这个人有无穷多解，你等于它的呃唯一解，你有唯一解，那俩人都是唯一，是不是唯一解？所以我们再来看这个a是一个m×n的，如果你等于它的列数，你每一个人都是唯一解，那不就是唯一解吗？如果这个a这个人，他等于这个大增广矩阵的值，

如果他小于这个列数呢？那小于列数，你是无穷，你是无穷，那我俩人都是无穷多解，那不就是无穷多解吗？能琢磨清楚吗？他说那老师一个人是无穷多解一个人是什么呃，一个人是唯一解，怎么不可能？因为你发现你只要a是等于列数。那么你也是等于列数那两个都是v1。所以它是同步的。不要乱想。你看这个理论的高度，

跟我们昨天讲的非基层方程组一样，不一样，一模一样。哎，简直就是一模一样，然后第二个事情你再来看行列式。如果这个行列式的话，你发现它不为零。不为0 as等于杯大，一为一解as杯大，二为一解那都是唯一解那你这个矩阵方程不就是唯一解吗？是吧，当然前提这个东西得是方针。那再来，如果这个a的话，

等于零那as被大1 as被大二无解或者无穷多解。那无解或者无穷多解我还不是无解或者什么东西啊，无穷多解嘛。无穷多见。一样不一样。理论高度是一样的。所以经过了三波内容的学习。一层一层的转换。首先是齐次性方程组，它是非性方程组的一个基础。先求其次，再求特解，就是非其次，然后多个非其次进行去拼接，然后就变成了矩阵方程。

然后这个判断方法，他们都是用质来判断，都是用行列式来判断，所以你会发现像我们在这块学习的这三波问题啊。它的方向性是一样的。你看这几个人。好，这几个人一个事情是七层方程组，一个事情是非层方程组，一个事情是矩阵方程。你发现他如果进行去求解的时候，有判定用之用，行的是求解赋值法。如果是非其次呢？求解用判定用质用含的是求解赋值法。

如果是这个矩阵方程呢？有判定用之用上的是求解，就是这个结构哎，你发现这三波问题是不是一样的？你能理解我的意思吗？就是你的脑子里面当中必须要有这样的一个完整的框架。这个框架必须要具有的。你去过了吧？你分析这问题。你其次问题，你矩阵方程问题，你这三波内容的话，你看你判定都是用智用行列式，用智用行列式，你求解方法一样。

好了，学会了给我回复一。我们稍微休息会儿吧，可以吗？好，我们稍微休息会儿，然后在课间休息过程当中啊，你去坐下去年的这个考研真题啊。好了，那么接下来你课间休息过程当中做下这个题啊，做下这个题。所以说这个理论的高度啊，你就把它想清楚，你就记住方程组的问题，要不是判定问题，

要不是求解问题。判定求解，判定求解哎，这个事情非常的关键。好了吧，你们把这个题做一下吧。截个图吧。好，截完图给我回复一呃，然后我给你放到那个白板上也行啊，稍这个放到白板上，稍等一下。好去做吧啊，稍等一下，我马上给你放过去。

好课间休息会吧。

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