23.冲刺满分强化篇·题型40-42精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:18:11

行，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个后面部分内容，刚才不知道为什么给弹出去了啊，好了，我们继续吧，我们来看看这个二幺六这个题。你看这个题啊，跟我们刚才那个题啊，其实非常类似。你看这里面当中的第一件事情，你可以把这个东西啊写成两个矩阵相乘的形式，没有问题，你也可以通过这个初等变换的路线，你进行把关系写出来。

也没有问题，两件事情是一样的，那这个题的最重要的问题就是你把这个q啊和p之间的关系啊，把它写出来。那写出来之后啊，然后怎么办呢？我们就把这东西啊给塞进去，那这个题不是让我们继续去求什么呢？q的转置aq吗？好，我们把它塞进去，那塞进去的话，两人相乘的这个转值，其实就是把这东西怎么办？唉，

调换了之后再转。然后这是a这是p那这个部分是一二一一这个人。然后这个部分是有的，那这个部分是多少呢？是一一二。所以现在我们就可以做了，那这个人的转置呢？你转置的话得ij变成ji，然后这个人，然后这是一一二。然后这是多少一二一一这个？然后接下来看这个人，这是什么臣呢？组成行变换行是什么行？是旧金。

第二行乘上一倍。加到第一行啊，第二行乘上一倍，加到第一行那一倍，加上去的话就是一一零。好了，我们再看这个，这这是什么？又称列变换。所以说现在而言的话是又乘列变换列就就远第二列乘上一倍，第二列乘上一倍，再加到第几第一列啊，再乘上一倍，加到第一列。那所以说这是幺幺零一被加过去的话，

这是二一被加过去是一，这是零，然后这是多少零零二？那所以说这个结果就是二幺零幺幺零。二幺零幺幺零零零二选a。好了，这是这个点啊，所以说你下去，你把这个题啊，你好好做一下。呃，不是说特别难呐，像这种问题点呢，你就是最重要问题就是找这两个关系把关系，找到题目就出来了。

好了，这是这个板块内容吧，我们就讲到这。你要注意到了这个今年的考研呢，初等变换一定是个重点。绝对的重点，那所以像二二年的话，出了两个题，所以可想而知这个部分的重要度还是挺高的。好了，我们继续，我们再来看看下一个问题啊。啊，叫做矩阵的值。那这个内容是我们整个线性代数当中的心脏部分的内容。

核心啊，它是线性代数当中的心脏矩阵的值，那原来在这个基础班的时候给你讲这个事，我就讲过这个问题。那为什么要用质这个东西来表示呢？为啥叫翅啊？呃，我一直给你们讲一句话，对吧？这个中文之华美啊。这个秩秩就是秩序。对吧，就是秩序。什么秩序呢？就是它是在初等变换过程当中维持的一个秩序。

就是你经过了一个初等变换，你这个矩阵经过初等变换，跑到你经过初等变换，跑到你经过初等变换，跑到你哎。他们这个东西的秩序是不变的，秩是不变的，好了，这是这个问题，我们就说到这。那么，接下来我们来看看这个矩阵的值，你要好好理解啊，这绝对是重点。那很有可能性，

我们今年在考研过程当中考这种概念性的题，那也是有可能性的。我们在这里面当中出了一个题，然后下面给了几个选项，说下列当中正确的是，那么接下来我们先看第一个事情。k接此时。你要想讲矩阵的质啊，什么叫矩阵的质呢？你就离不开一个概念，叫k阶次式。那什么叫k阶次式呢？其实就是在这个矩阵里面当中啊，去挑选的行列式。呃，

我比如说举个简单例子，这是一二，这是三一零，然后这是零零一二一，然后这是零零零。零啊，这是。二吧一零零零。呃，好了，这是这个人，这是几乘几啊？我们做多写几个嘛，一二三。对吧，

这是零。好了，这是零零零。我们来看看这个矩阵。那首先第一件事情，你要注意这个k阶此时。那子儿子行列式，比如说举个例子，二阶子式，那二阶子式的话，就是在这里面当中啊。取两行。取两爹。两行两列当中的话，你发现交叉口有四个数，

把这四个数放在这。这四个数位置不变，好了，这个行列式就叫做一个二阶子式。能理解吧诶，这是个二阶子式，那这个二阶子式等于多少呢？这个二阶子式等于五，所以它是个非零的。对于子时这个东西啊，我非常在乎的一个点就是你到底为不为零，你是个为零的子时还是不为零的子时，这是我最关心的。对吧，你到底为不为零？

这是我比较关心的事情，你至于说多少，其实我没有那么的关心，我比较关心的是你到底是零还是不为零？如果你不为零，就叫非零子式，你如果为零，就叫为零子式，能想清楚吧？好了，那么接下来我们就来看看这个问题了。那当然，这个矩阵你告诉我个事，顶多能取几节子时。对吧，

你顶多能在这个矩阵里面当中去取几乘几的行列式，这是最大的。就在这个矩阵里面取行列式嘛，你最多是几啊？最大取五×5的行列式。好注意，就说在这个矩阵里面，我最多能取五×5的行列式，我最小能取一×1的行列式。啊，这是这样的一个问题，那么所以说接下来我们就来看看什么东西叫矩阵的智能，我原来在基础班的时候讲这个问题啊，我给你讲的比较多了。你像这个点。

你对于这个矩阵的而言。这个矩阵是一个五×6的行列式。你既然是个五×6的行列式，那么最大的这个子式是什么？你最大的子式是五阶子式。你发现你只要取5000次时，必须要取五行。对吧，必须取五行，你取五行随便取五列，你最后一行全为零，你发现五阶次是哪？是全为零的。啊，全部都是零，

然后接下来我们再来看看四阶姿势。哎，四节。那么，四阶姿势的话，我们继续看，那就要取四行，你只要取四行，一定会触及到下面这两行。对吧，你就算三上面三行全取了，你无论怎么样你都得在最后两行当中取一行。你最后两行随便取一行的话，你发现有一行全为零，那这个子式也全为零。

你注意什么叫此式，就是在这里面当中取得四×4的行列式。然后接下来我们到了这个三节。那三阶姿势，你看有五阶这个姿势啊？全都是零。四节知识啊，全部是零，结果到了这一代的时候，你就会发现我们来看看三节。三阶的话，你发现比如说我们就取这三行。如果你取这三列呢诶，它也是零。对吧，

也是零这个三阶子式也为零，但是同学们来看看一个事情。诶，我知道这是一个行阶梯矩阵，我们是个强化班的同学啊。不用卖关子了，我知道这是个行阶梯矩阵。阶梯口处肯定不规定。而当我进行去取这三个位置处的时候。你看这三这个三行这三列一一二的时候。那阶梯口的下面都是零。阶梯口的上面呢？不知道，反正这个行列式不为零。诶，

也就说你发现从三阶这个部分当中啊，它就有一个事情，它叫做什么？它叫做存在。一个波为零。哦，有一个人不为零牛逼了。如果有一个人不为零，那你告诉我这个不为零的。是不是在这个矩阵里面取得最大的不为零呢？是不是最大的？你告诉我还能比它更大吗？你再大是四×4，你全为零，你再大五×5全为零，

你是不是最大的？是最大的，我就把这个人的接触叫做质，所以什么意思呢？你看矩阵的质就是这样定义的。叫做最高阶非邻子式。你这是最大的不为零的行列式，你的阶数就叫值，所以说我们就说这个矩阵的知识节。矩阵的值是三。所以说这里面当中就提出了一个事情，什么叫做最高阶非零资质？没有比他再大的，不为你的了。你绝对不可能说比我再大的不为零啊没有。

没有说比我再大不为零，你要想清楚这个事情，你再大全部都是零，所以如果谈到不为零，我是最大的。所以那么今天而言的话，我可以给一个矩阵的值更通俗的一个理解，不就是这样吗？就是在这个矩阵当中去取一个不为零的行列式，而这个不为零的行列式最大的时候是多少阶？这就是多少？最大的不为零的行列式的接触。再大一点都会是零，而我这个东西不为零，我就是最大的。

好了，想清楚吗？所以说这个区证的质的这个定义啊，他这样说的。比如说你的这个至色儿。他怎么说？它叫做r+1阶姿势。当然，包括了r+2阶r+3阶对吧？因为r+1阶都全为零了r+2 r+3也是一样超过我。这些姿势啊。全部为零。然后同学们注意，是所有r解吗？不是的。

你看刚才你能说所有的三阶子式都不为零吗？不是的吧，你刚才不就取了一个三阶子式等于零的吗？你这说不好，所以注意叫做存在一个r阶字式。不为零对吧？我这届肯定有一个人不为零，但是你不能说全部都不为零。能想清楚吧，你不能说全部都不为零。要注意啊，只要有一个，所以它这个东西的定义就说哎r+1阶子时啊，全部为零，当然存在的话。

因为有的时候的话，他就没有比我更高级的姿势了。能理解吧，两句话。就说r+1阶姿势不全为零，我这节存在一个不为零，所以我就是最高阶的非零姿势。最大的不为零的行列式，它的基数。好了，这是这个问题，那么接下来我们再来谈一个事情诶，我们来看看他的后代呢？来换个颜色。看向他的二阶姿势呢。

一阶姿势呢？你这个痣不是三了吗？来看看他的后代，那后代什么情况？哎，大家注意就说不清楚了。说不清，你看它这里面当中有没有二阶子是不为零的，你看。这个二阶子是有不为零的。你看这个二阶子是也有为零的。一阶此时一阶行列，是有不为零的。一阶行列，是有等于零的。

这就说不清楚了，谁知道后面会怎么样呢？不知道对吧？不知道，所以说你会发现一个事从这一集啊，哎，你发现家族之光至于后面的这个情况呢，那说不清楚。不好说，能想清楚吗？就是这个意思。就说比我大的嗯，你这人全都是零哎，我是这个家族当中啊，你发现子子这个什么一代又一代当中最牛逼的一个人。

我是最大的那个不为零的，当然后代当中也有可能有一些不为零的，也有可能等于零的，那说不清楚。能想清楚吗？哎，我们来看看同学们到底理解了还是没有理解，看看这个题。来看这个题。两二零二零年呢呃，我们的考研真题第29题，这个考研真题。那么，接下来我给你。30秒的时间，

你去看看这个题。你看这个题选几这题啊，有点逻辑感呢，你不要读不懂话，你读不懂话，那我没办法，你这中文的。你还考逻辑呢？你但是你不要用不用不需要用你逻辑的那个东西就读它就行了，别想太多。选几啊？可以啊，还不错。它的这个质是多少？他说这个人的质啊是r。

至上啊，他说没有等于零的r- 1介词是。那二减一减我说不清楚啊，它有可能等于零，有可能不为零啊，你这说不清楚。你至少有一个不为零的阿基兹，是这句话说的没毛病。对吧，肯定有一个r介词是不为零。有不等于零的二阶子式。所有r+1介词是全为零，那这句话说的很好。我们再来看c选项有等于零的r阶次式，那说不清楚。

我们说我们的质，比如说等于三，我肯定有个三皆，此时不为零，你不能说有个三皆，此时等于零，那说不清楚。你比如说举个例子。一二一。零一二。你看这个人。这个人智齿二吧。这是二的话，你去看看有没有二阶子是为零的？你看这个不为零，

你看这个不为零，第一个和第三个不为零。你这说不清楚，不一定有啊，我有可能就没有。我重点看的是有没有不为零的，我管你有没有等于零的，那等于零，我哪控制的好啊？对吧，就说我这一代当中啊，出现了一个牛逼的呃，比我高的比我高的都是零，我这一级出现了一个不为零，那也有可能我这一级全部都是不为零的，

那也有可能。这代太牛了，也有可能对吧？那这一代当中有牛的，有不牛的，也有可能性，那下面的情况我说不清楚。好，再看最后一个，所有的r阶子是不不等于零，那不不对，也有可能等于零。好了，这是这个问题。所以像这个题啊，

完全就考了一个事情啊，就考了一个概念性的题，你理解了吗？你不光要理解，你要理解的非常的通透，对吧？你要通透炸了。就是这个东西要理解的，非常非常通透。每一个点了解的非常的清楚。这才是我们的目标。好了，这是这个题吧，我们就讲到这二零二零年这道考题。好了，

那么这个点呢，我们就讲到这，然后接下来我们再来看看一个定势思维。那同学们想想。如果在一个考题当中，他是这个情况。对吧诶，你发现如果一个矩阵全部为零呢？那有没有不为零的姿势啊？没有，所以说人家这个东西有一个规定，你规定了一个什么东西呢？你如果这个矩阵等于零。对吧，我们做了一个规定。

有个什么规定呢？就说你如果这个矩阵呢？你等于零，你是个零矩阵，你的质就是零。啊，你就质就是零。好了，这是这样的一个问题，能想清楚吗？那么接下来我们再来看几个问题，我们上面我们稍微梳理一下。那比如说这里面当中，我们来再来出一个例题。比如说一个题啊。

你这个a。这个质小于n，你什么意思啊？嗯，什么意思？我去认小院，我治小院。质小于n就说这个矩阵里面当中取得最大的不为零的行列式，它的接触是小于n的，那所以说你发现。所有的什么东西呢？n阶姿势。全被零对吧？这是这个情况，然后接下来我们再来看一个事情，

你注意了。如果这个矩阵当中。比如说举个例子，我们能取出一个一×1的行列式，不为零。啊，注意啊，一×1的行列式不为零。诶，我如果在这里面当中取这个一×1的行列式，不为零。你告诉我他的痣是什么情况？它的质可能会小于一吗？不会的，如果你质小于一的话，

你所有的一阶子式都应该等于零。你最大的不为零的行列式的阶数要小于一，那一阶的话子时都会等于零，所以说我这个时候就说明这个质啊。大于等于一。能想清楚吗？那如果这是一个矩阵。我在这个矩阵里面当中抽了一个二×2的行列式，不为零的。好了，这个人就说什么意思啊，就说二阶子式的当当中就出现了一个不为零的。那你能说说一个什么事情，你能说这个痣是小院吗？不可能。

智不可能小于二，有可能的话，那个智就在二那一节，它也有可能是什么是家族之光的子子孙孙，也有可能。所以这个质啊，应该是大于等于二理解清楚了，它不会小于二，如果你小于二的话，所有的二阶子式都会等于零，不会小于二的。你这样想的话就非常清楚。能理解吧。好，所以说你看你强化班要理解的非常通透啊，

然后再看如果这东西是三×3的不为零的。你三×3的不为零，你想想一个事情。你的智慧小于三吗？你不会的，你要是只小于三。最大的不为零的行列式的接数应该是小于三的。啊，你看看这个里面当中有个三阶词时，所以说我就立即可以推出来了，至大于等于三。所以这是我们在将来过程当中啊，用的非常多的，我只要在这个矩阵里面当中取了一个一×1的行列式，不为零，

我就大于等于一。我取了一个二×2的，不为零，我就大于等于二三×3的，不为零，大于等于三。那所以说这里面当中养成了一些定式思维啊。那你想一个矩阵不为零，矩阵当中肯定有一个数不为零，那个数的一×1的行列式就不为零。有个一×1的行列式，不为零至大于等于一。如果这个区针。它的两行不成比例，比如说这一行。

还有谁呢？还有这一行。假设这两行不成比例，那既然不成比例，这里面当中一定会有个二×2的行列式，不为零，有个二×2的行列式，不为零，它就大于等于二。但是我有一个问题啊，那如果是量量不成比例呢？如果是三行不成比例呢，那就说不清楚了，比如说我们来看一一二一。零一三四。

然后这个数是一二五五，你看这个。那这个时候你看你这两个东西不成比例，你这两个东西不成比例，你第一行和第三行不成比例。你不成比例的话，但是我们可以进行一个初等变换，一一二一零一三四，然后最后是零零零。但是你发现它的质是等于几等于二啊？所以你要注意，如果三行不成比例，你就说不清楚了，你不能说三行不成比例，量量不成比例，

你说大于等于三，那就不对了。你看我三行不成比，但是我只等于二啊。我给你教一下这种例子，我是怎么出的？你知道我刚才怎么出例子的吗？这种例子非常简单，你要一定要会举那做高手对吧？你都知道。呃，比如说这是行阶梯矩阵，那行阶梯矩阵的话，你发现比如说这是一。那行，

阶梯矩阵的话，这个人质刚好是二，你把上面两行加起来，上面两行加起来，加起来一般的话都不会成比例的。能理解吧，这行是无效好吗？好了，定式思维。所以说像这个问题点呢，你一定要把它想清楚。对吧，矩阵不为零，大于等于一。两行不成比例大于等于二。

那三毫不成比例，那说不清楚了。好，这是这样的一个问题，点注意这个定时思维能力，然后再来看看求解矩阵质的方法。对求解矩阵制的方法，那么首先我们看看第一种方法叫做初等变换不变值。那这里面当中既可以行变换。也可以列表。就说啊，你去求质的时候，你既可以是行变换。你也可以是列变换。对吧，

你就说你想清楚它行变换不会变质列变换也不会变质，你初等行变换不变质，你初等列变换也不变质，你反正只要你是初等变换都不变质。能想清楚不？只不过一般情况下，行列都行，只不过我们一般的做题方法是。通过行变换。把这个矩阵化成什么？化成一个行阶梯矩阵。好行阶t矩阵的非零行是多少行？它质是多少？这是我们的一般方法。就说你行变换也不变质，

列变换也不变质，只不过我们一般使用的什么，我们一般使用行变换。对吧，我一般只使用行变换这件事情，你要想清楚。好琢磨清楚了吧，一定要听清楚这个问题啊，你把它想清楚。行变换可以列变换也可以，只不过我们一般用行变换。划成行阶梯，非零行是多少行？这就是多少？好，

这是一种方法。那当然，也有一些的话，这个裂变化的题啊。比如说我们看。呃，这里面当中我写一个人。阿尔法一。加阿尔法。f2。然后这是阿尔法二，加上阿尔法三，我问一个事情，这个人跟一二三的痣一样不一样。一样不一样的，

为什么你看这是一二二阿尔法二，加上阿尔法三？然后我给它进行一个列变换。把这个人的负一倍加过去，那就留下了个阿尔法一。这个人负一被加过去，留下了个阿尔法二。然后这是阿尔法三。所以说你发现我进行一个列变换，就跑到你我初等变换不变质，我可以列变换。然后接下来我再来问你一个问题，我看你水平怎么样？a和b的增广矩阵。跟b和a的增广矩阵，

这两个质一样不一样。一样还是不一样？就这两个人的曾广珍和这两个人曾曾广贞，他的质疑一样不一样。一样还是不一样？你想啊，你想清楚比什么都对你要。一样不一样哎，完全一样。为什么呢？因为这个事情非常的简单。你看你假设这是a的，这几点？然后的话，接下来你看你假设这是这个人的这几点？

前面是a，你后面是b，然后接下来你就给它进行一个什么变换列变换呗。你把这一列跟这一列交换，这一列跟这一列交换，这一列跟这一列交换，然后交换了之后的话，这个黄色把它跑到前面去。然后把这个什么把这个紫色部分的话，你发现跑到后面去。哎，这不就可以了吗？一样的，这两个质是一样的，初等变换不变质行变换不变质列变换也不变质。

只要你走的初等变宽，一定会不变质，所以你即使求解判断一个可逆性的核心方法是行列式。求解式的方法有初等变换的方法，通过行变换把它化成行阶梯，这种方法那还有一种方法呢，就是用行列式这种方法。行列式那行列式这里面当中你就注意，如果这个区针。满值行列式，不为零，我就说明这个矩阵呢，它是满值。能理解吧，如果这个行列式怎么了？

等于零。那说明最高阶的非零子式啊，不是这个n那这个质啊，你肯定会小于欧万制行列式等于。这就是满质和不满质的问题，如果这个矩阵满质行列式不为零，这个矩阵不满质行列式等于零。满志，我们一般说满志啊，我们指的是方针。听得懂吗？满知。我们通常说的是方针。为什么？因为你这个矩阵只有是方的。

比如说我们说是四×4。我说满志。我一满。你这个满的话，你发现你满的又是行也是列啊。那说明这个质又等于行数，也等于列数。但是同学们注意，一旦是一个什么？三×4。或者是这种四×3制的东西就不能说满制了。你比如说他这个人的智等于三。你只能说行满值。对吧，因为你这个质等于行数，

这叫行满质。比如说这个人的志等于三哎，这人叫列满志。所以同学们注意啊。我们说满之，我们指的是方阵一满满的话，它这个制又等于行，数又等于列数。如果的话，你发现我们将来说行卖值诶质等于行数。列嘛，是偶质等于列数有可能行列不一样。所以这些这样的一个学习方法，它会帮着你下节课的学习，比如说我们经常说一个矩阵的质啊，

等于列数列无关。小于列数列相关，那么接下去改，如果列满值。对吧，列满值线性无关列无关列不满值列线性相关行满值行无关列不满行不满值行相关。你从过去绕不清楚，你绕不清楚，你就等一等。你绕不清楚，你就等一等。就在这儿呢，你往后面翻一下，都在这儿。所以说这个这个问题啊，

我们下节课过程当中，我还会再给你串一串啊。这其实是个非常简单内容。你注意，你得自驱一点啊，这个应该基础班就能达到的能力。你这个东西没有串清楚，你这个基础班这个问题点是不是给忘了？141。都有的。所以将来过程当中，我们谈这个满制啊，我说满制，我说的是方的，我满的是行的制，

也满的是列的制，因为行列式一样。要不然我就说的是行满制还是列满制，你要想清楚好了，这个问题我也可以通过行列式的方式啊，我们来处理。所以注意求质两种方法，要不走行列式的路线，要不走初等变换的路线，那么所以说接下来我们来继续，我们来看看。下一个问题点，这里面当中我找了几个题，但是这几个题啊，说实话非常非常的菜啊。

我们来看看二零一六年我们在二零一六年考过的这道题。那这道题有如此的简单，你看它有多么的简单？那这个题啊，他给了一个事情，给了一个a矩阵，他说这个人的质是二，让我们去说t是多少，那这个题你怎么做都行，你可不可以进行去变换呢？哎幺幺幺减去二倍，减去二倍t- 2。然后这个时候的话，你发现是t- 3，然后减去这个什么三倍，

这是一，然后这个人减去三倍呢，减去三倍，这人是二。好了，这是这个问题，所以说接下来的话就变成了幺幺幺零幺二零零多少t- 2。那这个质是二，所以说你会发现啊，质是二，那这个人只能是几只能是二。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。我再强调一遍，

你这不不能这样啊，你别别别这样，别这样。你这这有问题。你会吃大亏的。你还记得我们刚才说两两不成比例，这也能等于二你运气太好了。其实说实话，你这运气太好了，你把它做对了，你你是今天碰对了。你这这这有稍微有点，你注意严格一点哦，你刚才不是讲了吗？你量量不成比例，

最后这也能等于二。你你别这样对吧，那运气有点好啊。你别哪天吃亏了，你还是做严谨一点啊。好了，这是这个那刚不是讲了吗？两两都不成比例，你最后这不也等于二吗？好了，这是这个问题。而且啊，有可能我有多个解的时候，你怎么办？你说你检验一下啊，

行行行，我觉得大家的话，这个。有可能是能力变强了。反而这个做题能力变差了。你就碰到这个题，你在考试当中，比如说质等于二，你就说行列式等于零。你也把它做完了，你说这个行变换了之后，直接把它出来也出来了，而且做这个题也不需要花上20秒30秒时间。偏偏在那里面当中，想这想那，

想这想那，把自己整的整的非常的痛苦。那按理说的话，这种方法也非常快啊，也没见得你那个东西比这个做题方法快多少？啊，好了，那么接下来我们再来看看二零一九年这个题。再来看看这个题。这当年的过程当中啊，又考了个题，说这个质啊，等于三让我去求这个k。那这个题的话是四行五列，你就不能进行求行列式了？

那所以说这里面当中怎么办？我就进行变换。那变换了之后啊，你就把这个什么一零一一五你放上去。然后接下来我们再把这个什么二三五五四啊，然后放在这，然后这是二二三一四。然后这是一一二，然后这是k3啊，这以前的考题啊，非常的幸福啊。减去二倍零，减去二倍三，减去二倍三。然后减去2v，

然后这是负六。然后减去二倍零，减去二倍啊，这是一减去二倍，这是负一减去二倍，这是负六。然后再看减去上面，这是零减去上面，这是一。然后再减去上面，这是k- 1。然后再减去上面，这是负二。好，以前的考题。

所以说这个时候的话，你看你这一行的话，又可以把它变换，你又把它变成了一一多少一负二。然后接下来再减去多少减去二倍零。减去二倍负一，你减去二倍呢，这是负三。你减去二倍呢，然后这是负二。然后再减去上面，这是零减去上面，这是零减去上面呢，这是k- 2。然后这是零。

好，就做成这样。那做成这样了，之后的话，你进行去画一下呗，你画行列析题知识三只能过去，它就等于零只能等于二。所以像这个题啊，这种题目的难度系数基本上是没有的。初等变换的能力是我们最基础的能力。就说我们学，我就觉得这个基础班呢，你可以是基础班很多说那老师我把基础班都听完了，但是很多东西我还是没有形成体系。我好多问题，

我还是不会做，但是我们谈点基本的。行列式总会算吧？一个矩阵之间的加减数，乘乘法总会做吧，求解一个逆矩阵没有问题吧，初等变换总没没有问题吧，如果这些东西都有问题，跟没有学有什么区别呢？那就等价于没有学。所以我我才开始给你讲这个事情，我可以容忍说你别的知识的话，东西给忘了，没有关系，我们再减一减，

但是你要知道一个问题就说。你这个最基础的，这个运算能力。你也不会的，那这种事情呢？这个问题点就非常大了。这个问题点非常大的，跟没有学是一样的。啊，绝对跟跟没有学是一样，因为你这个初等变换你都不会变，你画一个行阶梯都不会的，那我们上了那么长时间的基础班，等价于无用功嘛。当然，

你可以把它再减一减，时间还来得及。好了，这是这个问题吧，我们接下来我们再来看一个题，我们再来看看这个题。好好看这个这个题不就我上节课讲的一个事情吗？就是有一年数学三同学的考研真题，对吧？放在这呃，刚才这个题也可以这样做，你里面当中挑一个四阶行列式不为啊，这个什么等于零也是可以的，这个行列式等于零也能做。可以啊，

没有问题，质等于三嘛，你这个行列式等于零也是可以。那么这个题啊。你发现它对角线及其这个以上的话，应该有三条。等你做到这个三次方的时候。平方少一条，三次方少两条，少两条就跑到第一条对角线，这是一。好了，没做成这样，一旦做成这样了之后啊，这个质是减质是一选b啊。

好了，这是二幺七这个题过去了，可以吗？哎，我们就讲到这，然后接下来我们再来看看这个题。好，这个题呃，这个题啊，做的好的同学非常迅速，做的不好的同学看半天。你看第一行。第一行可以把a1抽出来b1B2B3到BN。把AB 2抽出来诶，你这个第一行把a1抽出来，

这是b1b2一直到BN。然后第二行把a2抽出来，然后最后一行把an抽出来。你发现没？这东西不就是两个人相乘吗？哦，这个东西不就是一个阿尔法，这个什么向量再乘上这个人吗？而且这个阿尔法I不为零，同学们告诉我，如果这两个向量都不为零，这是质为几的矩阵啊？这是质为一的矩阵吧？正确答案选几啊？选b啊？

就第一行可以把a1抽出来，第二行把a2抽出来，第一次最后一行把这个ban抽出来，我讲过这个事情吗？当两个东西都不为零的时候，这就是质为一的矩阵。只要有一个人等于零，就是质为零的矩阵，能学清楚吗？好了，这是这个问题点，你要学会它。好，我们再来看看二幺九这个题。你看这个水平点要慢慢提升上来好，

再看这个。那这个人呢？他说。质等于几要去讨论的问题。要讨论这个问题啊，你发现你这里面当中你求知。诶，我求职有两个方法，一个事情是初等变换。一个事情是行列式，我先讲一下这个事情。如果这里面当中好变换，就是多少倍多少倍好变换，我就变换。大家注意一个问题。

你听清楚。就说我们在做这种题的时候啊，有变换和行列式行列式的做题比变换优越的点在何处？我就想问这个点。啊，你给我想清楚这个问题。就说我们行列式这个东西。比变换优越的点在何处？啊，你能告诉我这件事情吗？对非常好，有展开定理。这个行列是比较优越的点。所以说对这个题啊，我可以上下行列式。

因为这个行列式的话，你看就好办了。我一旦在这里面当中啊呃，把一个人削成零了之后，我们就可以斩了。对吧你你把把两个小乘零加下来，你这2k再减去二，然后这是多少3 k- 3？然后这是多少你k这负二，然后这是三诶。这一行的话，这个。你也可以再进行处理一下，那你再再减去多少呢？你再减去这个k杯。

零你再减去k倍，那就是加上2k你再减去k倍，三倍的k方。啊，也是可以的。所以说这个时候的话，你发现你当然的话，这两个对称的话，你可以再消一下，你可以怎么办？你把那个什么把那个k- 2提出去也行。啊，都行，都怎么做都行好了，那这个时候的话就变成多少就变成了二倍的k- 1。

我再乘上三倍的多少一减k方？然后再减去多少？然后这东西就变成加上那加上一个多少呢三倍的k- 1，然后再提出一个二倍的多少k- 1。好，这个东西啊，就变成这样，那变成这样了，之后的话，你发现我可以提出一下这六倍的多少？k- 1，然后这是多少k- 1 k+1，然后这是负的，然后再加上六倍的多少？k- 1的这个人的平方。

那所以说这里面当中把这个六倍的k- 1的这个平方提出来之后啊。然后其实就变成了前面这是一，然后再减去这个人，那减去这个人的话是多少是负k？诶，是的吧，这是一。嗯。k- 1^2。让我看看啊，这是六倍的。六倍的这个k- 1。k- 1 k+1。然后这是。六倍的k- 1的方，

然后把这个提出来，哎，没问题吧这是？k的这个人那所以说最后的话，这个结果是多少？这个怎么是？这负的k+1，这两个一加。怎么没有法呢？你叫我看看，我们按照这个原因乘是二倍的k- 1。然后是三倍的一减k方。然后的话再减去就变成加上加上是三倍的k- 1。然后再加上二倍的。啊，

这是减去。减去这边。那所以说这个人把这个提出来，提出来之后的话就是多少是？负k，然后的话再怎么办？减二。好了，这是这个结果啊，因为我刚才这块忘了变号了，对吧？理论上这个东西提一个负号应该是二减二k啊。这个人所以接下来我们就来看看这个事情，对吧？你就做成这样，

当然对于这个题而言，其实有些同学比较聪明一点。就是你在做的过程当中，你可以看选项，我就别管那么多了，我就直接把这个一带进去，我直接把这个负二带进去，那就非常简单了。能想清楚吧好，这是这个问题，所以说接下来我们来看看。如果说什么呢诶，你发现当这个k不等于一。且这个k不等于负二的时候。你肯定是满值，

你等于几啊三你这条不对，你缺这个事情，你不等于一，也有可能是负二。然后接下来我们就来看看这个一和负二，然后接下来我们再看当这个k=1的时候。等于一的时候的话，你发现这个人是一负二三。负一二负三，然后这是一负二三好了，这个成比例，那这每一行成比例的话，它的质是一。就是k=1的时候，这是一答案结束了。

能理解吧，然后再把负二代进去，你去看看这个值啊，所以这个题嗯，最简单的方式啊，就是看选项。就盯着这个选项，你把一带进去。把一带去。把负二减去，然后一看出来。反正你要记住一个事情，求质就是两条路线，我要不是初等变换，我要不就行列式等，

我要不走抽初等变换的路线，我要不走行列式路线。好了，这个问题啊，掌握清楚给我回复一啊，不难啊，难度倒不大，就是如果硬着做的话，你发现我们就得慢慢求好律师。你如果稍微巧妙一点的话，这个东西一下出来啊，这是这个题二幺九。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个问题点好，

这是我们讲的这个二幺九这个题，所以就是求解矩阵的质啊，是怎么进行求解的？那么，接下来我们再来看看质的公式的问题。啊，我们来讲讲这个人。质的公式。那质的公式啊呃，是我们在考研当中啊，一大非常非常重点的内容。你必须要把这个东西啊，熟记于心，我们在考试当中经常会用这些内容。那么，

首先我们先来看看第一个点。是这个人，你如果是一个m×n的矩阵。你这个值啊，就是这个矩阵当中最大的不为零的行列式的接数，你不会超过m的。你也不会超过n的。能理解吗？你既不会超过m，也不会超过m。好了，这是第一个人。然后再看第二事情转置变质吗？不变。然后再乘上一个非零数变质吗？

不变，所以说这些东西啊，都是不变质的，当然这个数啊，你得不为零。好了，我们再来看第三个人。那第三个东西啊，就是一些不等重点的不等式。那么，首先我们先看第一个事儿。你看这是a。这叫什么镇呢？啊，这叫什么证呃，

你注意啊，我们讲义上写啊，这是写书，为了让大家来看的，因为看起来比较这个。美观一点，但是你一定要注意，我上课就给你讲过，你看它比行小也比列小。比行小也比列小。就是，所以说比它最小值都要小，你不要进行去背这个最小值要小，你就知道比行小也比列小就行。我要用行，

我就用行，我要用列，我就用列，能想清楚吧？好，这是这个问题。那这个东西叫什么？这个东西叫分块矩阵。一个分块矩阵，它的值比第一个子块大，也比第二个子块大。注意啊，矩阵的值比每一个子块的值都要大。好，这是这个问题，

第四个点，然后就是a+b的值。你加减都一样，那这个东西怎么办？它就要小于等于a的值，然后再加上b的值。你减也是一样，你减这个东西的话a-b这个人。它不就小于等于多少a的值，你把这个负b看成这个上面的b小于等于多少负b负b的值不就是它吗？你加减都一样好了，这是这个问题，分块矩阵那分块矩阵的值比每一个子块都要大两个相加或者相减的值。小于单独的相加或者单独的相减好了，这是我们讲的这个第四条内容，

再来看第五条。那第五条有一个非常重点内容，所谓怎么了？越沉越小你越沉。你越小，你a×b比你原始的这个东西啊，都要小，这叫越乘越小。还记得吗？好，这是这样的一个问题点，然后接下来我们再来看看下一条内容，就说如果这个a×b=0。a假设是m×n的。b是一个n×p的。

哎两矩阵相乘等于零。两矩阵相乘等于零，立即想到两人相加的质小于a的这个人的列数b的行数。这个n是AB交叉的部分，小于a的列b的行，小于a的列数b的行数。好了，这是这个问题，你一定要把它记清楚，小于a的列数b的行数。然后接下来我们就继续，我们再来看。那见到AB=0，除了想到这个a的质加b的质小于a的列数b的行数之外，而且还能想到b的列。

均为as=0^2程组的解，还记得吗？b的列都是这个as=0^2程组的，解你的每一列都是我的，解好了，这是这个问题，然后接下来我们再看第七条。呃，我多讲一点点可不可以？多讲一点点。啊，多讲一点点。其实这个质的公式啊。有一个更牛的公式。但是那个公式啊，

我们只不过在考研过程当中，我们不怎么去学。有个这样的公式。叫做AB这个人的值。啊，这个人，然后是什么呢？a的值。加b的值。再减去n。你这个东西啊，比他要大。呃，这个东西啊，才是原始公式。

原始公式长这样。你要注意这个问题AB的值啊，你比如说a的值加b的值。这个应该大，但是你再减个n这个n是a的列数b的行数。a的列数b的行数。诶，它反而大那，所以说你看当这个AB=0的时候。它的质就是零，那质是零的话a的质加b的质，它不就会小于等于n吗？所以说这个东西只是我们上面讲的这个东西的一个特例。啊，一个特例。

能想清楚吧，好他的一个特例知道。你最好知道你其实我们已经讲的很深了。对吧，比我们这个三九六考的这个东西要难了。我希望大家的话，一点点东西把它学好。好了，这是这个问题，然后接下来我们再来看看下一个问题点，第七个人。叫做可逆矩阵不变值。如果这个p矩阵是可逆的。可逆矩阵相当于若干个初等矩阵，又称呢列变换。

所成呢，行变换它是不变质的。所以可逆矩阵是不变值右乘，相当于进行了若干次列变换左乘，相当于进行了若干次行变换。反正是初等变换，都不会变质的。能想清楚吗？好，我拓展一点可以吗？拓展一点点。那在这里面当中，我们来看看第八条。拓展一下可以吗？我讲一点点会有一个比这个还强的。

你想如果这个矩阵是可逆的。如果这个矩阵可逆，应该是满制吧？既会满行的字，也会满列的字。你既会满行的，也会满列的，因为你是个方阵呐，你行和列都是一样。那么，接下来我们来看看。说如果这个p啊。你看，这是m×n的。它就不是个方针。

你不是一个方阵的话。它就不可能说满支应该是满的，行的字还是列的字？那在这种当中啊，它是劣质。如果列满值。请注意了。所成列满，值不变值。如果这个人是什么智呢？如果这个人是行满值。它的值等于行数，那又乘行满值不变值。啊左乘列满制不变，值右乘行满制不变值呃，

这个点呢？我给你教怎么记啊？这非常简单。你看你这是个a8。你如果是左臣的话。你听好了。如果是佐成的话。你告诉我一个事情，前面这个东西的什么跟我相等啊？前面的什么？前面的列。你的裂。你的列数跟我相等。所以说同学们注意，如果这个前面这个东西。

它是个m×n的。它是列满制，列满制进行组成的时候不会变质。那如果接下来我们再来看，这是个a。你又沉。又乘的话，这个矩阵的什么东西跟我相等啊？行行跟我相当，所以说右乘的时候我就要看行，如果你是右边是行满值，我不变值。啊，能理解吗？你需要证明吗？

你想不想挣呢？你想震我也可以给你震一下。好了，这是这个问题，可以吧？你想震吗？呃，震一下吧，震一下吧。呃，非常简单，非常简单，非常简单。来吧，同学们，

我们来看看这个人。你不就要证明这个质等于它吗？我问一个事情，我们质的公式当中的大部分的公式都是。等式还是不等式啊？在我们的制作公式里面，其实大部分都是估等式。那么所以说一般情况下，证明等式都得加一下。所以说第一个人你先看这两个关系，这两个关系是越乘越小。没问题，然后第二事情再来走，刚才知道俩人相乘的值会这个什么大于等于。第一个人的值。

加第二人的值。减去交叉的这个数。而你发现现在这个p呢？p就等于这个交叉这个数。这就没了，所以说rapp a这个点大于等于ra。你又比他小，你又比他大，你不得跟他相等吗？这这名非常简单。你加一下就行了，你先用一下，越沉越小。你这两个关系不就有了吗？你让他再用一下，

两个一加就出来，这个证明没有难度啊。所以记住左乘列满值不变。值右乘行满值不变值。左乘列满制不变，值右乘行满制不变，值左边乘的这个东西，你要列跟我相等，你右边乘这个东西，你行跟我相等。左乘列满制不变制，右乘行满制不变制。好了没？好了，这是这个点啊，

能学会吧？呃，这个东西啊。以防万一啊，已经讲的超过了，我们在考纲当中的要求了。啊，这个基本上这个第八个点呢啊，能达到这个水平的，其实你基本上而言万无一失了，没有任何问题了。好了，再来看看这个第九个点。再补一个。a×a转。

等于a转成a。等于a的值这个东西啊，我们放到这个，我们线性代数的最后一次课程，我会讲我会讲方程组的同解的问题。对吧，就是讲这个拟乘2 s=0的切线方程组跟这个as=0^2程组通解，那后面我们再讲好，这是第九个对于新鲜东西啊。再来看第十个，那第十个人呢？他就这样，就是伴随矩阵的值。伴随矩阵，就是你满我则满，

你是n- 1，我是一，你小于n- 1。我是零好了，这是伴随。所以像这个十个公式啊，你务必要把它记到脑子里面，当然其实还有两个分块阵，那分块矩阵这个东西啊，你稍微知道就行，你看。你这个主对角线的分块针，它这个值啊，就等于a的值，加上b的值，

那么其实负对角线也是这样。只要你是个对角分块帧，它都会等于a的值，加上b的值。能理解吧哎，后面有吗？没有了。然后接下来还有一个事情，如果是上三角这个人呢？那上三角这个东西啊，它是会大于等于a的值，加上这个c的值的。好了，像这些公式啊，你把它记清楚，

你只要是一个什么对角的。啊，你认这个是主对焦的。负的。对吧，你都会等于对角线的话，这个质的加和。如果是上三角和下三角呢，你要多来一块，你就会变大。好了，像这个问题啊，把它想清楚。好了没啊？这个几个点呢？

你把它给我想清楚。行吧，这个赤的公式啊，没有什么商量的，你必须要记。啊，你一定要记住这里面当中啊，那每个点你自己都得好好做一做这个质的公式啊，其实非常重要，我们这些年当中啊，其实考它都没有考到这个难度系数。反而在这个质的这个公式的应用的角度上考的，不是说特别的多好，我们再来看看二二零这个题，这个题非常的重要。

非常非常重要。那么，首先我们先来看看第一个点。你发现。如果这是a是多少呢？你a这个东西是三×3的。那所以说它的值有可能是三二一零。那现在伴随这个人呢，就是你满我满，你是二，我是一商，后是十零。那现在你是一我不就是减我不就是二吗？所以这里面当中啊，你就知道了a的知识二。

那求知的话，你可以进行去把这个a进行初等变换。你也可以用行列式，你告诉我这个题用行列式还是用变换呢？那当然有行列式啊，因为你发现行和相等性嘛。所以行列式就会等于零。那这个行列式的话，你发现你会做吗？你把这人给我加过来，你把这人给我加过来，你加过来之后的话，这个数就是a+2 b给我提出去。提出去就是幺幺幺，然后这是bab BB a。

好这个人，然后减去上面是零减去上面是零，然后这是a-b减去上面是零减去上面是0 b-a，这非常简单啊。所以说这是a+2 ba-b^2。现在而言，你等于零有两种情况，那则。a=b或者是a=- 2b。我问一个事情。你质等于二，你行列式等于零。你行列式等于零，你值一定等于二吗？那不一定。

我这也有可能等于一我等于一的时候也等于零啊，所以简验。那么，如果这个a和b相等的时候呢？你相等的时候的话，你发现这全部都是a。你全部都是a的话，这不行。对吧，你这个人不行，那说明a-b不是这种可能性，但是这件事情确实发生了，他肯定有可能性不是你，那就是我。能想清楚吗？

你这件事情发生了，你肯定有结果的。那你这个结果不对，你这两个人是可疑的吗？你不对，肯定就是我了，所以a不等于BA+2 b=0。选c好了，这是我们讲的这个二二零这个题不难吧？来继续啊，再来看这个题。好看，这个题怎么做？那这个题的话，它给了一个什么事情呢？

它给了这个人，你看这是阿尔法一。阿尔法二，阿尔法三。阿尔法五减阿尔法四。诶，那这个时候的阿尔法四它也出来了，阿尔法一阿尔法二阿尔法三那阿尔法四等于多少呢？阿尔法四等于这是二倍的它。阿尔法三。那这个时候我可以给它进行一个列变换呐。你列变换的话，你看你这个二倍的这个人过去，他就没了。然后这个一倍的它过去，

它就没了，所以说这个时候我经过一个裂变换，它不就跑到了什么东西啊，跑到这个人。通过裂变换变不变质不变质，你是四那你也是四啊，答案选一。因为初等变换，它不变质。诶初等行变换不变质，初等列变换呢，它也不会变质的。好，我们再来看看这个人。看一下这个题。

那这个题啊，告诉我们一件事，这两个东西怎么了？线性相关。哎，同学们。线性相关什么意思？线性相关是不是说明这两个东西成比例啊？你说明这俩成比例呗。两人人息相关，不就成比例吗？哎，我问你个事情。这个成呃，虽然这个题不影响你也能做到对我问一个事情，

你这个k能不能为零呢？我看你水平怎么样？想清楚再说话，能不能为零啊？你线性相关不就成比例吗？你这个k能不能为零呢？啊，能不能？可以为零啊，可以因为假设你这个阿尔法不为零。你就算为邻，你一沉北大不就是邻吗？一个零向量跟任何一个向量都是线性相关的，你还记得吗？一个向量组当中只要有零向量都会线性相关吗？

是可以的。啊，是可以的。所以接下来我们来看看这个AA阵，就是阿尔法，阿尔法转值，然后这是k阿尔法，乘上k阿尔法的转值。然后这是阿尔法，阿尔法转值，然后这是k阿尔法。k倍的它转职等于k倍的它转职，把那个k除去就是这个人。然后这个人呢，就是一+k^2阿尔法，

乘上阿尔法转值。那所以说这里面当中a这个人呢，他就等于多少一+k^2。然后是阿尔法，阿尔法转值乘一个系数不变，值好了这个人。那一旦做成这样的之后啊，这个结果怎么算？你告诉我件事，这个是个什么情况？那肯定不选这个人，肯定不选这个人。对吧，那剩下这个情况你选几呀？你选a还是选d还是选c呀？

你看看你严不严谨啊？他说啊，这不是质唯一的矩阵。你注意。你知道这个人是为零的向量吗？还是不为零呢？你不知道，所以这个东西啊，是小于等于一。如果这个阿尔法等于零，那这个人呢？他是等于零。如果这个阿尔法不为零，它是个质为一的矩阵。所以说这个题啊，

正确答案选d啊，一定要学好一点。只有这个东西不为零啊。它才是质为一，如果真等于零呢？是质为零的矩阵。把它想清楚。好，我们再来看看最后一个题。看一下这个人，那这个题怎么办呢？你看这里面当中告诉了一个事情是a方，你可以移过去减a=0。诶，那a方减a不就是a倍的a- 1吗？

俩人相乘等于零。两个人相乘等于零的话，你会发现个事。两个人相乘等于零，我立即就可以说明你的智。加上我的汁。然后小于等于什么小于等于。对吧，你这个人小于等于。诶，你现在小于等于n的话。你这个人出不来呀。然后怎么办？我再换一下。那还有没有大于的？

我刚刚讲了我们质的公式，大部分都是不等式。你要想证明等号，你再去想想你这两个东西一加。你是大于等于谁啊？好，你先等会再想技巧和方法，你先把直接方法学会。大人都是这样。诶，我们知道一个事情ra+rb不就大于等于ra+b吗？牙医家。俩加是2 e-a啊，不知道诶，我刚才还知道我也大于等于减。

那减也行，那你这样一减就太完美了，不是e吗？你的质加你的质大于多少呢？大于等于你俩一减不是e嘛e是满质的呀？你又大于n，又小于n，它不就是n吗？答案选d。你看这个方向，其实不出来了。所以两边一加就行了。对吧，一家单位举证是满值的嘛，因为单位举证的行列式不为零，

肯定满值嘛。所以一下出来了，完全使用质的公式，你看第一个人考的什么，第一个人考的是AB=0。然后则a的值加b的值小于等于n。第二人考的什么a加减b的值小于等于a的值加b的值。啊，就考虑这个事情，所以你想清楚。然后接下来我们看看这是第一种方法。刚才有个同学已经在这个评论区当中回复了，那这个题也有更好的方法。你抽象型可以举例子。一方了之后，

还等于它你取什么你就取单位帧呗。你单位正的平方刚好是它呀，那所以说在这里面当中，你看这是a你再加上多少a- 1？那所以说就是e的值，你再加上多少零矩阵的值，那不就是e的值吗？e的值就是n呐。你说这题正确答案选几选d啊？所以说这个方向性啊，马上出来了，你也可以通过这个举例子的方式啊，你把它处理掉。这也是一个非常好的方法。能学会吗？

好下去过程当中啊，好好想想这个事情，你琢磨一下你这一例子，一举抽象性的东西可以化成具体化，然后来处理。好呃，这是我们讲的这个这个问题点。好了吗？同学们，那么再来看看最后一个考点内容。矩阵的等价。那么，首先我们先来看看第一件事情。矩阵等价，我们先来想想这个人的定义。

你还记得什么叫矩阵的等价吗？它这样说，如果这个矩阵呢a。经过初等变换。到b则什么呢？则这两个矩阵等价。好了，这就是它的定义。所以说它的定义啊，定义起来非常的简单，你就是什么情况呢？我这个人通过一个什么通过一个初等变换跑到你。我经过一个初等变换，跑到你，我就说这两个矩阵呢，

它是等价的。等我，我经过初等变换，跑到你两矩阵就等价。那么所以说这里面当中，我们来看看这个问题。诶，那这个人的判定方法怎么进行判定呢？好，我们来看看冲要条件。你怎么去判定这个事情呢？你经过初等变换，跑的我。那这里面当中，我可以这样来啊。

你看你这个a和b等价。你可以经过若干次行变换。对吧，比如说你若干次行变换，就相当于组成若干个初等矩阵，组成了一个可逆矩阵。列变换又称上一个可逆矩阵。那所以说就是一个存在一个什么？可逆针。你存在可逆阵谁呢？存在可逆矩阵p和q。然后这里面当中使得什么情况？如果你能使得p的这个东西，它等于b。哎，

我使得这个东西产地，我就说他俩等价。因为左边的可逆矩阵若干次行变换，右边的可逆矩阵若干次列变换。那就可以了，当然同学们，它不是首选，最重要的问题是什么？你a经过这个东西的变换，你肯定是质向的。但是一定要注意，你变换着变换着你的行数和列数，不会发生改变的。你就举个简单例子，一零零零。

和什么东西呢？和一零零它俩就不会等价。你不能说我变换了之后行变少了，不会的诶，你要注意切同形。同行志向的。所以同行这个东西其实非常好看，你眼睛一瞅都知道通不通行，所以判断等下的核心标准是志向等。矩阵等价就我通过初等变换跑到你我们俩等价，我们的核心重点是质相等。志向党是它的重点，来看几个题吧。把这题看完，我们就可以下课了。

那首先第一件事情，我们来看看第一个问题点。呃，这里面当中啊，有一条性质。有一个重点的特性，我先把这个性质先讲了。这个性质讲完了之后啊，我们再来看啊。好任意一个可逆矩阵。均可以经过若干次的。初等行变换。到单位矩阵。能理解吗？就说一个可逆矩阵，

你可以经过若干次的行变换到达单位帧。你不用列变换，我只经过行变换。可不可以啊？当然可以。因为你想想一个事情。如果你可逆，肯定满吃。你这个矩阵。我先可以通过什么东西呢？我先可以通过高斯消元法。把你这个东西画成一个上三角矩阵。好把这些位置都变成零。然后接下来我再通过这三个位置处的书。我再通过行变换。

我就把你怎么办？我把你反削成零。好常规操作。然后接下来我们再来看看一个事情，你再经过行变换，你就把它变成了幺幺幺了。所以任何一个可逆矩阵。只经过若干次的初等什么？初等行变换到达单位证，没有任何问题，我只经过行变换，我不需要列变换。我不用，我只用航北环。我只要行变换你这个可逆矩阵，

我就能把你变成单位阵。好，那么另外一件事情。任意初等矩阵也可以经过若干次初等的裂变化。到达单位矩阵一样的啊，比如说我只用行变换。或者我只进行列变换，我都可以。你这样的一个可只有你是一个，可你这个这个怎么配色那么的丑呢？等等，我想变成黑色了。把这个变成绿的好。好了，这是这个列变换。

你注意一下，我只经过行变换，我只经过列变换，你都会报跑到单位这。你要想清楚啊，就说我不经过什么东西呢，我只经过行变换。我只经过裂变环，我都可以把你变成单倍正。这是我的一个特性。能想清楚吧，哎，我只经过行变换，我只经过列变换，我都可以把你变成一个单位阵。

把这个方向你要想清楚。然后接下来我们来看看这个题吧啊，这个题。说两人等下。俩人等价了之后的话，我们就说明同行质相等呗，已经同行质相等，那质相等你大于零，我就大于零嘛。你比如说举个例子，你是一二零零。你质等于二。你是负一。二零零你的痣也是二。你看我俩同行质相等，

我等价，但是你的行列式大于零，我行列式小于零，你这胡胡说八道呢？那只能说什么同行志向等。同行志向等你行列式不为零。那说明什么情况？那说明a是满值。那说明b这个人呢？也得满值，那满值的话，行列式不为零肯定对。如果这个行列式不为零，一定会存在什么？那如果你这个行列式不为零。

你a就是满支。那b也满值，那b满值的话b1定是可逆。那可逆矩阵一定会经过一个初等行变换到单位阵，一定可以组存在一个可逆矩阵。你左乘到单位整没有任何问题吧？你行变换就相当于左成若干个初等矩阵。若干个初等矩阵的乘积，不就可逆矩阵相当于所乘的可逆矩阵跑到单位乘。没任何问题。然后再来看。如果a和e等角。那a和e等价的话，就是a的质就会等于e的值。等于n因为a和b等价，

那b的质也是n那满质的话，行列式不为零，肯定可逆。然后再看存在可逆矩阵，使得这个人成立，那当然对呀，你a和b等价行变换列变换，跑到跑到它，所以正确答案选几啊？选a哟好了，这个问题啊，把它想清楚。经过一次行变换，组成一个初等阵若干次行变换，组成若干个初等阵若干个初等矩阵的乘积，

就是可逆矩阵。把这个事想清楚就行好了，那么今天啊，我们刚好会把这个已经把这个第二章啊全部讲完了。这是我们线性代数。的第三次课程呢，我们把前两章所有部分的内容全部讲完了，所以希望同学们下去啊，你还是要好好进行去，把该进行复盘的内容，你好好复盘一下。那么，同学们要注意了，下章非常的关键。那么，

下章部分的内容难度系数比较高啊，难度系数比较高，档次感也比较高。所以说这里面当中，我提前先讲一下，你下节课过程当中，你一定要进行去做好相对应预习的这个问题。稍等一会，我马上说一下。那么下节课你必须要进行，就重点预习的这个几个点。第一个事情。啊，第一个事儿。嗯，

你不是不是说白天状态好，你只要那天的话，你需这个复复盘到位了。预习到位了，上课听得好嗯，无论是哪个时间点，你的状态都很好。那么，我是观察出来这个规律了。比如说那天咦，一听上午的时候，我听得非常棒。我上午听的非常棒，你就会你就会错误的感觉说啊，我白天状态非常好。

然后你要是那天下午听得非常好哎，预习到位了，上课的内容我都听懂了，我觉得我复习的非常棒，你就会觉得哎，下午的过程当中，你觉得你状态很好。你要是那天晚上的过程当中，你消化很好，你就会觉得晚上当中你的状态很好，都会这样。好，那么接下来我们来看看这个下一个问题，你下去啊，把有些点的话你好好进行看看，

第一个问题。那就是我们的呃。其次，线性方程组。这样吧，我下节课会讲两块重点的问题，你重点看看。一个事情是线性相关性。它的内容点比较多。第二，事情是向量组。的极大无关组。一致。这这个问题。然后是其次线性方程组。

那么，在这里面当中几个事情呢？一个事情是解的判定。对吧，你其次线性方程组你的解，你会无解吗？不会的，我要不只有零解，要不有非零解。记得判定如何求解。对吧，我们讲过的赋值法，你还记得吗？第三个事情知道什么叫做基础解析吗？其次，

线性方程组的基础解析指的是什么？那这个内容非常的关键。所以这是我们在下节课过程当中，我们会重点讲的。所以注意了。我们的线性代数。的重点的这个问题啊，你要把它把握清楚。你要忘完了，你好好复盘，明天呢，我们还是不上，我在中间给你空了一节。你要注意啊，这两节课尤其是到了下节课，

下节课会比较难。所以说这个线性代数啊，还有两次多课，我们就上完了。两次多。所以你会发现这个这个板块的问题啊，非常非常重要，明天呢，我建议同学们嗯。我问一个事情。每次留的这个时间，你有有复盘有预期吗？你还是那一天的话，没有事情的话，你就你就等于说数学的话，

那一天过程当中啥都不看了。有有预期吗？有运气吧。这这一一定要做预习啊。不预习你就疯了，对吧？下节课有难度。这是要注意的，下节课有难度，把它预习好，没有几次了。然后这个线性代数还有两次洛克就结束了。对于我们的概率统计，我们基本上是三到四次课程，我们就结束了，

所以说大家注意啊，内容点不是说特别多了。再坚持最后一点，你就把大纲要求的所有考点，所有题型，所有的东西都学完了，那接下来就是复盘了。接下来就是复习了，有人说啊，老师，我现在做题慢，你缺一次复盘。你说老师这里面当中，我还有好多题的话，你发现我不太会做，

你缺一次复盘，他说老师有些东西我给忘完了，你缺一次复盘。接下来过程当中，留上20多天的时间，你把它复盘到位，你再看看，等你回头你再看的时候，你发现方向性就非常简单了。能听懂吧？好了，这事情呃，注意一个点。以后课程呢，多注意一下课表。

APP的课表好吧。呃，多注意一下那个APP里面的课表。这个时间啊。好不好？同学们行吧，那么今天部分内容我们就说到这，然后那个线性代数的800题的筛选，我下节课会给你们筛选一下。下节课下节课提示我一下好不好？下节课提示我一下啊。行吧，我去倒笔记吧，你们去整理吧啊，你们去整理，

然后这两天的话，有些同学觉得说。这个任务点有点多啊，有点多，你可以到了这个。后面再补作业也行，然后的话这个嗯，叫我看看今天今天是26周六。呃，周六我周一上传吧，可以吧啊？周六周一再上传，然后的话，这两天的话，你就好好进行复盘就行了。

可以吗啊，你就好好复盘就行了。然后周一的话呃，我把这个因为我现在在抢抢一个部分的话，那个稿子的那个时间，因为还还比较关键的一个时间。因为他每次那个那稿子他排完了之后的话，有些排版老是那格式的问题，我看起来我有点相当的难受。稍微有一点。有有时候让让他们，有时候让助教去叫的话，有时候叫的。有些点的话，我觉得我还是很难受。

所以有的时候的话，这个。切，有有稍微的话不那么？你说强迫症就这样啊。好，那么今天课程呢？我们就讲到这，自己下去好好处理吧呃，今天晚上呢？晚上可以啊，今天晚上可以开一个自习室啊。可以吧啊，今天。好了，

那么今天课程呢？我们就讲到这吧，所以下去好好处理，我去给你导笔记吧，把这个笔记导完，你去下载一下，然后的话，晚上好好整理一下。好不好？然后没有几次了，好稳稳当当，把下面部分内容把它学清楚好，那么今天课程我们就讲到这吧。那明天没有课程哦，注意明天没有课程，

然后我们下节课，然后剩下的部分的内容，我们后天过程来讲，注意明天的预习任务。如果你其次线性方程组预习好了，你去把非其次线性方程组，你再看看好同学们好，那么今天课程我们就讲到这好，下节课见吧。你们怎么老造谣人家失恋了呢？你这。好，我们下节课再见吧，好，下节课见。

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