23.冲刺满分强化篇·题型40-42精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:15:15

我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了啊。哦，稍等一下。好，那么接下来我们就继续开始我们这个三九六的这个线性代数的强化班部分课程呃，上次过程当中啊，我们刚好讲了几个呃，很多同学觉得是一个新鲜的一点东西啊，就是我们在这里面当中讲了一个n私密的问题。

对吧，包括的话，前面讲了一些抽象型行列式的计算型问题，所以希望同学们下去啊，把这个相对应的点呢，好好进行处理一下。那么，在这个线性代数的前面，部分的内容啊，我简单提示几个事情，你下去过程当中啊，你要把它做好，对吧？首先第一个事情，你像解行列式的。

的这个性质，你得把它记清楚，对吧？第二，事情是行列式的展开定理。的展开定理，你必须要掌握清楚啊，这是第二个事情，然后第三个事情就是矩阵的运算。那这里面当中的东西啊，比较多一点，你比如说加法运算，乘法运算，速乘运算相等，还有转置，

还有这个伴随，还有这个n次幂等等一系列问题。那这里面当中的东西啊，会比较多一点，尤其这里面当中几个东西比较重要的一个事情是n次幂的问题，只有方阵才能进行取n次幂。那这里面当中还有一个事情，就是我们的转制的问题，伴随的问题，伴随矩阵呢，每年过程当中是必考内容，你要注意啊，伴随矩阵非常关键。然后在上次过程当中啊，我们其实讲的这个矩阵n次幂的这样的一个计算性问题，

你下去过程当中啊，你把它好好进行处理一下。那么，这节课我们就继续开始，我们再来看看下一个问题，还是跟矩阵的运算相关联的一个问题，我们来看看题型33逆矩阵的求解问题啊，这个人。呃，尤其到了这个最最后了，希望同学们注意这个状态，还是要稍微的稳定一点，对吧？你要稍微的平稳一点，一定要把这个最后一点东西啊，

稳稳当当的把它给迈过去。好了，我们再来看看下一个问题，矩阵的逆矩阵的求解。呃，这个问题啊，其实我们在这个。下午刚醒，这睡的有点久了啊。好了，那么接下来我们来看看下一个问题，矩阵的逆矩阵的求解问题，那对于逆矩阵呢？那首先我们先来看看第一个问题，那逆矩阵呢？

它的定义？怎么说的？那逆矩阵首先第一件事儿，如果我要进行求解逆矩阵，那这个东西啊，它必须是一个方阵。哎，它必须是方阵，那只有你是一个方阵，你才能进行求逆矩阵，如果你这个东西不是方阵，你绝对不能求逆矩阵。呃，这是要非常注意的，只有方阵才能取逆矩阵。

好，这是第一个事情，我们先来看看第一个点逆矩阵可逆性的一个判定问题。对吧，你到底可不可逆啊？那在这种当中，我们来看看怎么进行判定呢？那这个判定呢啊，第一选择其实就是行列式。我上来就来看看行列式，如果这个行列式不为零，我就说什么，我就说这个矩阵呢，它是可逆的。如果这个行列式怎么了？

它等于零，我们在这种当中啊，我们就可以说这个矩阵呢，不可逆。所以这里面当中判断这个矩阵可逆的第一选择就是行列式。如果这个行列式不为零，那这个矩阵呢？它就可逆，如果这个行列式等于零，那这个矩阵呢？就不可逆。所以你要注意啊，对于这个行列式是判断这个可逆性的第一选择啊，这是非常关键的，那么将来我们会有很多这个选择性问题，

你比如这里面当中，我们可以。转到这个质的问题啊。转到这个线性相关性的问题啊，转到这个方程组的问题啊，但是你要注意行列式永远是第一选择，比如说一个矩阵让我去判断可不可逆我先进行去看看好。行列式违不规定。能理解吧，行列式为不为零，跟矩阵为不为零，这不一样好，这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来我们就来看看逆矩阵的求解性问题。那么，

在逆矩阵的求解当中啊，我们大体上把它分为以下几个内容。如果进行去详细一点，那就是抽象性矩阵，求逆矩阵，还有数值性矩阵，求逆矩阵。那如果是抽象型的，你前提得保证一个事情，你这个东西啊，你必须是个方阵。对吧，你是个方针。也就说这个a为什么东西呢？a为一个n阶方阵。

这是前提条件。如果这个方阵呐，我这个a乘了一个人诶，它等于一。我就说什么，我就说这个东西啊，互为逆矩阵，哎，它是可逆的，它的逆矩阵呢，就等于这个人。如果这个东西是它的逆矩阵，两者之间就可以交换。能理解吧，就说我去判断这个矩阵呢，

你怎么进行求解呢？你可以试看我这个人乘上多少等于一。我要乘上一个人，等于一我两者之间就互为逆矩阵，那这就是我的逆矩阵。那既然这是我的逆矩阵，两者之间就可以交换呐。你一交换的话，这个人就变成了这个人，再乘上a。也等于。对吧，逆矩阵跟这个矩阵呢，两者之间是可以交换的，好了，

这是抽象性，那如果这个矩阵是一个数值性矩阵呢？那往往采用以下三种方法，当然最后一种是非常特殊的，那最后一种的话，它必须是一个分块对角阵。好，这种情况，那这个人的逆矩阵呢？它就等于a的逆，然后这是b的逆好这个情况。然后接下来我们再来看，如果这个东西是负对角线的呢？那负对角线的话，这个人的逆矩阵呢？

他就等于调换了之后。然后再来进行逆矩阵。对吧，你先调过去，然后再来逆矩阵好，这是这样的一个问题点，然后接下来我们再来看看剩下的问题，那这里面当中有公式法，有行变换法。那公式法那往往会适用于小于等于三阶，那这个人等于a的行列式分之a的伴随，这必须要会啊。然后行变换法呢，就是把a和这个e放到一起进行初等行变换，然后第一个位置变成单位整。

第二个位置就变成了逆矩阵好了，这是这个问题，能想清楚吧啊，就说你这个东西往往会适用于什么？小于等于三节，那这个东西呢？往往适用于大于等于三节等于三节呢？具体题具体看，如果里面当中啊零多一多，那肯定这里面当中选初等变换法呀。如果这里面当中不好触动变换，那就选公式法，所以像这个东西啊，运算能力是非常关键的，你一定要会算。

对吧，尤其是这两年的考题啊，你发现里面当中。一个事情是技巧性体现的明显，一个事情就是这个运算，你还得算。你该算的东西啊，你还得算，你得把这个东西啊，你还得要算的好好了，那么接下来我们来看看下面几个题吧，我们先来看看。第一个题二零九，这个题。你看这个题啊，

就是纯运算的题了。他让我们干嘛呢？他说a- 2e的逆矩阵那么首先我们先来看第一个问题，你就得把这个a- 2e写出来。那就是对角线减去二，对角线减去二，对角线减去二，然后这是一零，然后这是零零零。好，这个人那这个题怎么进行去计算？这个人的呃逆矩阵呢？我觉得他的方法非常的简单，你怎么算都比较简单？你看这里面当中的第一种方法，

方法一。你告你选公式法。怎么会选公式法呢？你对于这个题而言的话，你看。对于这个题的话，这是一然后的话，你看你把这个给干掉，你干掉了之后的话，你发现它其实就变成了一个什么？对吧，就变成了一个对角阵了，它这个变成这初等变换法多简单，那所以说在这种当中我们怎么办？我就把这个a减二一。

啊a- 2a，你要会选哦。对吧，这两个东西摆在一起，摆到一起其实就是一零零一二零，然后这是零零一，你把这个什么单位矩阵摆到这？然后接下来怎么办？把这个第一行好，我们接下来给它进行一个行变换。把第一行的负一倍加下来，这是零负一倍加下来，这是负一，然后第二行同时乘上二分之一，那这个结果它就变成这样。

负二分之一，然后这是二分之一，对吧？就变成了这个人，所以说你会发现这个人的单位矩阵呢啊，这个什么单位矩阵就出来了。然后这个东西啊，就是它的逆矩阵，你看这多简单。所以说它的单据单位这个矩阵出来之后啊，这个人就是逆矩阵一零零负二分之一二分之一一零零。负二分之一二分之一零零一选a啊。好了，这是第一种方法，哎，

除此之外，还有没有方法呢？我觉得还有好，我们再看，那对于这个题而言的话，你看这个人。这个东西是不可以进行去分块啊？你看是不是啊？那分块了之后的话，你发现上面这个东西是b，这是零，这是零，这是c。然后的话，这个东西的逆矩阵，

它不就变成了什么，不就变成了b的逆矩阵c的逆矩阵，两边都是零吗？然后接下来我们就来看看这个事情，你发现这是一个人，他的逆矩阵就是分之一啊，所以说这里面当中a- 2e这个逆矩阵我就可以直接求了。那直接求的话，这块还是一，然后这两个位置都是零零，这是零零。对吧，然后接下来我们再来看看这个部分呢，那这个部分我把它换一个颜色，你看这是个二阶，

那二阶可以用公式法呀。然后这个b逆呢，就等于它的行列式，它的行列式是二二分之一，然后伴随呢主对角线调换位置，副对角线加负号。那所以说这个人就变成了一，这是零，然后这是负二分之一，这是二分之一，是不是也行啊？你看两种方法做的都很简单。所以像这种题啊，你是要会做的对吧？基本的这个求解逆矩阵的这种方式啊，

你还是稍微的灵活一点。好了，像这个题啊，正确答案选a这个人好继续可以吗？我们再来看看下一个问题。那再来看看二幺零这个题啊，你看看这个。那这个人他说了一个事情，他说n阶矩阵a满足了这个东西，然后则a-e的逆矩阵等于多少？好，这是这个题，那很明显它是个抽象性矩阵的问题。对吧，抽象型那既然是个抽象型矩阵的问题啊，

我们怎么去处理呢？那这里面当中，我们先来看看第一种方法。啊，第一种那第一种的话，你要想清楚，其实就是我这个a-e这个人。我要看看一个事，我要进行去想想我乘以谁会等于单位矩阵。对吧，我要乘以谁等于这个单位矩阵诶，同学们想想我在题目当中。给了这个信息点，我要不要用这个人呢？我要不要用？

我肯定要用。对吧，我绝对会要用这个人。我要用这个人的话，你发现我在这种当中，我一看哦，这是2a方，我觉得这个部分应该是个2a。你只有这个部分是2a，我在这里面当中才会出现它。但是现在关键点的一个问题啊，你这块当中是多少一我不知道。你这是个二次多项式嘛，你这是个一次，这是个一次一次乘一次才是二次嘛。

好了，这是这个人，我也不知道那么接下来我们把它乘一下，一乘的话，这个结果就是二倍的a方。然后再加上多少啊？这个东西可以直接做到x倍的，它减去二倍的这个a，然后再减去x倍的一。然后接下来我们来看看，我现在要用这个人，我要用这个东西，这块就是负三。那这一块是负三的话，同学们想想你这块是负三，

你这个s就要取多少，你这个s就要取负一。啊，你取负一你取负一了之后的话，这个人才是负三，所以说这个东西啊，就变成了加一。能理解吧，好了，做成这样，那所以说就是二倍的a方，然后再减去3a，然后再加上一。好了，那这个结果等于多少呢？

我们来看看那这个部分等于负四亿，那等于负四亿的话再加个亿呢？负3e所以说这个结果它就等于负3e，那既然等于负3e马上出来，那a-e这个人呢？你马上进行去乘上多少负三分之一倍的，然后是二a减一，然后就等于单倍的。诶，马上出来，那你想想你乘上我等于单位帧，我不就是你的逆矩阵吗？所以前面应该是负三分之一答案选c。但是这个题啊嗯。难度系数不大。

哎，说实话，难度系数不大，就算有的同学的话，你发现他不知道这样进行处理，这是直接做，你应该能理解吧？两个一次多项式进行相乘，才能是二次多项式嘛，你想用这个条件，你就要知道哎，我这块配的是多少e呢？你配一下就行了。那对于这个题而言，它是个选择题。

你要是半天看不准呐，你就可以怎么办？你就可以直接把这个a- 1，你乘一下这几个选项，你看看到底是乘上谁？等于单位值。那么所以说这里面当中，我们就来看了，这是a- 1。然后看的选项当中啊，都是2 a- 1都是2 a- 1，我就给你乘一个2 a- 1。我乘一个2 a- 1了，之后的话，我一乘，

你看这是a方，然后再减去三一，然后再加上个三一。那这个时候的话，我们一看这个结果是多少？诶，这是2a啊。啊，这是2a那2a的话，你这个东西一乘的话，这是二倍的a方，然后接下来的话，你发现这是二。然后这个东西呢，你看你这辆东西一乘，

这是个二。这是减一啊，我给写反了是吧啊，乘上这个。所以说这个时候的话，你发现你看你这样一乘，然后再减去一个多少3a，然后最后一个事情，再加上个一。那加上个一了之后的话，你发现这个部分的东西等于负四一那负四一加，加上这个东西啊，它刚好等于负三一。但是最后这个结果，我们要的是一那，

所以说这个前面必须要配多少，你必须要配负三分之一。你只有在这个前面配的多少负的三分之一，配的负的三分之一，最后这个结果才会是一。是吧，你这样做的话，你发现就非常简单了，就说什么情况，我这个人乘以这么多，等于单位帧那，所以说这个人才是我的逆矩阵，所以正确答案选几啊？正确答案选c这个结果。好了没好这个方向，

先把它想清楚，二幺零这个题。可以了吧呃，不是说特别难哦，好，我们再来看看这个题，这个题有点难。啊，这个题难度系数非常大，我不知道有些同学做的怎么样啊？这个题。那这个题啊，它让我们去求解b-c。那可能有些同学把这个什么把这个b直接减掉这个c。直接减掉这个c的话，

你发现有一个问题点。啊，你看你可以去试一下。我如果直接进行去减去这个c呢，那其实就是e-a+ab-ca。非常尴尬。尴尬的点在何处呢？你就会发现你这个部分没法操作，一个a在前，一个a在后。对吧，这个是没法操作的，那所以这个思路啊，他行不通。那这题怎么办呢？

哎，我稍微再看看。你这是b，这是b，我可以稍微调一下。你可以怎么处理呢？你这个是把这个b。减去AB=1。是不是这样做？你这样的话，做了好像也没什么用啊。我们刚才说了，这个这里面当中a×b的话，这个东西跟c×a这两个东西反了。我想什么呢？

那我这样，我把b提出来，这是e-a。好，这是一。那么，现在这些人都是方阵。两个方阵相乘等于一，那说明俩人都是可逆的。俩人都是可逆的，刚才我们说了这个，你这是AB这是CA反了，我怎么办呢？哎，我把它调一下。

但我可以调一下，我一调的话，你看你这是我的逆矩阵嘛？我b×b逆等于一，你是我的逆矩阵，逆矩阵，其实这人既然是他的逆矩阵，逆矩阵和这个东西具有交换律，能理解吗？好，所以说这样做的话，你就可以处理了。你看我这样做，这是一减a，然后后面这个东西呢，

你发现我把这个c和CA减过去，你减过去的话，这个部分它刚好等于几等于a？然后你把这个c进行去提出来，然后这是多少e-a这是a。好了，这个题啊，就做成这样。对吧，我这个马上出来。好了，这是e-a。然后这个意见a的话，这个人又怎么去处理呢？你看这个人就做成这样。

你这是一减a。对吧，这是它，然后怎么做？这个是。一减零b提出去哎，不对哦，哎呀，我这个怎么下午老是这个问题呢？b在这儿对吧？啊b在这提过去，它是这样，这是不顺的，然后把它幻想就是e-a。啊，

这个人所以说这个时候你发现看原来题啊，这个b在这，然后接下来你把它调下来之后就变成这样。好了，一调这两个东西就顺了。对吧，你看这两个东西就顺了。非常顺，那非常顺了之后的话，你要b-c，你把这个人减过去，对吧？这个一是这个人减去一下这个20。你一减的话，你看你把这个e-a提出来，

其实就是b-c倍的e-a，然后再是e-a。好了，这个人，然后接下来我们再来看，因为你发现你这俩人相乘等于一矩阵，那这个东西啊，它是可逆的。那既然可逆，你告诉我这个矩阵是可逆的，这个矩阵是可逆的，两边能不能又乘下一个这个人的逆矩阵呢？当然是可以，两边又成这个逆时针，然后这人就是个单位针。

所以说这题的正确答案选a啊，这个题挺难的。因为这个题啊，它里面当中啊，其实稍微进行去用，到了这个点就原来你这个顺序是不顺的，我稍微怎么办？用一下可逆性。逆矩阵跟原来矩阵呢，它们之间怎么办？具有交换律。啊，具有交换律，因为我两者相乘，等于单位证，

我们两个人之间呢，就互为逆矩阵，那既然互为逆矩阵呢，我们两者之间就可以调一下嘛。一条这个人就出来了。好了，这是这个题啊，这题有点难啊，二幺幺这个题二幺幺。好，这是这个题吧，我们就讲到这。所以你下去啊，你好好想想，你琢磨一下这个题啊，

水平点还是有的。好了，这是逆矩阵，这个点吧，我们就讲到这。好了，这是这个问题，我们就说到这自己下去啊，好好进行去处理一下，你看看这个题是怎么做的，然后接下来我再对于上节课，我们还剩下了两个题。那两个题我们说哎，下节课过程当中，我们再讲讲，

看看还有没有别的方式来处理呢？好，那么接下来我们再来看看呃，上节课讲的有一个题，比如说这里面当中讲的是哪个题？这个题。二零二这个题。好，这个题。那这个题啊呃，我们再来瞅一下这个题，那上次过程当中我们讲了一个直接做的方法，那么在这里面当中还有没有别的方法呢？啊，你想想叙有这种抽象型的这种例子啊？

它是抽象型的。如果这个矩阵是抽象性的，我也可以通过举例子的方式来做。行列式是小于零。转了之后和我相乘，是单位帧。那我就可以出单位诊了。我就取a这个单位阵，行不行？就取a是个单位阵的话，单位阵转折之后，单位阵一乘单位阵，但是行列式不是小于零的。不行，所以说这里面当中啊，

你得取一个负的它。如果你取了一个负的它了之后的话，你看你a+e，那这人就等于负e再加上a。那这个时候的话，他的结果就是多少哎，这个人。呃，这是a+1那a+1就等于负一+1那，所以说这个人是零矩阵零矩阵的行列式等于几等于零。那既然是零的话，我举了个例子，不是你不是你不是你不是你只能是它正确答案选b。能理解吧好，你看这样的一个操作性方式啊，

也是非常好的啊，上节课有个同学说了这个方式非常棒啊。我可以举特例。对吧，举这种例子的方式，然后进行处理。好了，这是这样题，然后接下来上面的网当中啊，其实还有个题。还有这个题。你看这个题，那这个题啊，当时而言的话，我们觉得还挺难的。

啊，还是挺难的一个题，那这个挺难的，这个题的话，我们怎么进行去呃，然后接下来进行去操作一下，把这题做出来呢？好，那么接下来我们一起来看看。a的行列式是三。b的行列式是2a逆，加上这个人的行列式还得等于二。这个东西其实有点不好举啊，说实话有点不好举，那这个人当中的话，

你发现我们再来看，如果你实在不会做，我们再来看看方法二。那这里面当中，我们先来看看这个行列式是三。行列式是三，然后a逆，加上这个东西还得等于二，其实这个这个确实不好举，我们比如说举个例子啊，你看你这是幺幺这个人。然后b这个人呢？你也认识幺幺这个人。你或者是这是多少我不知道啊，不知道，

然后的话，这个这两个数相乘呢，它得等于三这两个相除啊，相乘等于二你比如说这设一下，这是a这是b这是c这是d。然后接下来的话，这个a逆进行去，加上这个b呢，它这个结果变成多少呢？这个a逆的话，这个人就等于a分之一加上c。be分之一加上d，然后这个人的话是二，然后这个行列式也得等于二，也得等于二的话，

你在这里面当中啊，你就要注意这些人相乘呢。他就得等员。所以这个例子不好举，你得去试了，给了这个方向，然后接下来你去取吧，你就去取一下这个什么？你这个a×b，你要满足是1c×d啊，这个什么满足这是三，然后的话，这两人相乘呢，这个行列式得的是二。然后这个a分之一加上c，

然后这是b分之一，加上这个d，然后再乘上二得等于二，所以说这里面当中啊，你可以举一下。你如果能取出这样的一个例子，那这题就非常简单了。但是有的时候不好取的时候，你适可而止。等于要是在这个举的半天半天都没有出来啊，那就不好做了，然后这里面当中你可以怎么办？你可以给这里面当中进行去赋啊。对吧，你去付一下你比如说这个。

a是几然后的话，这两相乘是三，这两相乘是二，你往这里面带一下，这个不好看啊，你可以试一下，你可以试一下这个。行吧，那么这个问题我们就说到这，所以说如果遇到这个抽象型，你可以想举例子的方式，然后来处理啊，这就非常棒。好，那么这个问题我们就讲到这，

不是说特别难哦，我觉得这个问题点呢，影响不是说特别大。啊，你自己下去处理，就是你实在不会做，但是我觉得线性代数倒还好，你线性代数还没有遇到那种，我实在怎么办？不会处理的这种问题。那么，这里面当中线性代数还是比较直接的，你见到这个问题啊，你能想到这个事儿，把它干出来就行好了，

那么接下来我们来看看下一个问题点。哦，你们下你们之后的话，这个课程得看多看一看那个课表，因为呃，原本我们不是昨天晚上一节课吗？对吧，原本是昨天晚上一节课，你们觉得这个东西比较多一点，我们就调到了今天，然后今天晚上本来有一节课。所以我们只能放到这个下午了，所以后面你稍微进行注意一下那个时间，那个课表尽可能在APP里面看那个课表好吧？好了，

那么接下来我们就继续，我们来看看今天的重点内容初等矩阵。好，我们来看看下一个问题。呃，一会课程的事情啊，一会我们再说吧，我们先看正课的内容，因为今天东西啊会非常的重要。那么，首先我们先来看看第一个问题，初等矩阵和初等闭环。首先，你注意这个内容必考。啊，

考研必考。就说我们的考研过程当中啊，一定会考初等矩阵，一定会考初等变换，这是必考内容。尤其是二二年，二二年是最特殊的那一年的过程当中啊，出了两道这种题，所以就比较奢侈了。好，我们先来看看第一个问题，初等变换。那初等变换，从大体上它分成两种。一种叫行变换。

一种是裂变化。那无论是行变换还是列变换，它们的变换形式都有三种，我可以怎么办？比如说我以行变换为例，我可以进行去交换两行。我可以给某一行乘上一个倍数，我可以给某一行乘上倍数，加到另外一行。对吧，这几件事情那么在这里面当中啊，虽然我们只考选择题，但是大家稍微注意一下一个变换当中。你这个矩阵，比如说你去交换了两行。

你交换了这两行，那这两个矩阵就不是同一个矩阵了，所以中间要用箭头来表示，虽然我们不考大题，但是你稍微注意一下这个事情。对吧，变换之间用的是箭头行列式，中间用的是等号。所以首先第一件事，你可以怎么办？你可以互换呢？调换某两行，换了就换了，我不用去加符号，我换了就换了。

这是一个矩阵的变换，我可以给某一行乘上倍数，我乘了就乘了。我可以给某一行乘上倍数，加到另外一行，我乘了就乘了。这叫变换。列变换也是同理，有行变换也有列变换。好了，那么接下来我们来看看下一个问题，我们要讲讲一个非常重点的概念，叫做初等矩阵啊，这个东西啊，非常非常的关键。

好，那么接下来我们来看看初等矩阵。那初等矩阵呢？它叫什么？叫初等矩阵呢？它这样定义的，它说一个单位矩阵。经过了什么？经过了一次。初等变换。然后到达了矩阵，就叫初等矩阵。能理解吧，就说你只能经过一次初等变换，你只能经过一下哦。

只能经过一次触动变换。然后你到达的这个矩阵就是个初等矩阵。当然，你这个触动矩阵可以怎么办？你可以是互换而来的。对吧，你可以是互换而来的，所以说在这种当中我就住到这。比如说第一种。我们来看看一个事情。比如说这是零一一零一零零。好了，同学们，你告诉我它是不是一个初等阵呢？它就是个初等阵，

这个初等矩阵是由单位矩阵经过互换而来的。能理解吧，你再来看，然后这是零，这是一，这是一，这是零，同学们告诉我它是不是个初等矩阵呢？它也是由单位基准交换一二行来的。所以说这里面当中啊，有一个缩写的方法，你看第一种。你既可以把它，你可以把它缩写成一一二。你既可以看作成调换一二行来的，

也可以看作成调换一二列来的。你看这个东西也是一一二，既可以看作成交换一二行来的，也可以看作成交换一二列来的。能理解吧好，这是这个问题，然后再来看。如果这是一，这是三一零零零。好，这个人那这个东西也是个初等证呐，我们再来看，比如说这是一三零零。那这两人是不是都是一个初等阵呢？都是的，

那这个东西可以看作成什么第二行乘上三倍来的？可以看作成第二行，乘上三倍来的，也可以看作成第二列，乘上三倍来的。对吧，既可以看成行，也可以看成列，都是可以的，那这里面当中唯一区别的点就是第三个人。那第三个人呢？我们再来看。假设这是一一一，然后这是零零零，然后这是五，

这是零，你看这个人。好，我们一起看。对于这个人呢，你发现他是经过什么贝加尔来的？那这个贝加尔来的，我们怎么进行去简写呢？好，那么接下来我们来看看简写的问题。啊简写那么接下来我们来看看这个人。你是否还记得这个事情？原来我们讲过第三个人。行就近，列就远。

行是就近，列是就远好了，比如说我们有的同学的话，我们按照行进行去剪辑。你注意啊，我们按照行的方式来把它给我简写了，那这个简写怎么写来？我们走行是就近啊。行，就近的话就是第一行。你看这是就近。乘上了五倍。加到第三行。你看是不是就近啊，它离这个括号近，

第一行乘以五倍加到第三行。然后我们再来看看列呢，注意啊，这是就近原则。猎救员。那么，接下来我们再看例。列变换是第三列，乘上五倍，加到第一列好，我们再来看列时列就远第三列。乘以五倍加到d一点哎。你有没有发现一个事情就是这个矩阵呢？我用行的方式进行去简写，我按照列的方式进行简写。

简写出来的一个人，这个人是不是同一个人呐？都是多少一三一五啊？同学们告诉我一样不一样一样的。对吧，简写的这个事情都是一样的。以这样的东西进行去简写，那肯定是一样的，一模一样。无论是按照行进性简写，还是按照列进性简写，都是它。为什么？因为矩阵是没有意义的。你这个矩阵有什么意义啊？

你这矩阵不就是九个数摆到这儿，这有什么意义啊？矩阵没有什么作用？所以将来我想把一个初等矩阵进行简写的时候。你行进行去简写列进行简写都是它，就像举个例子，这就是一个人。对吧，你去叫他是他，你去叫他还是他，别人进行叫他还是他，谁进行叫他，他都是这个人。他这个人是不会变的，因为你这个矩阵它是不会动的，

不变我这个矩阵就是我，我就是我呀。你谁叫我，我都是我，你行进行叫我我我对吧列进行叫我也是我。所以矩阵本无意义，所以将来我们进行去简写的时候，你用行的方式简写行不行？可以用列的方式简写行不行都可以。哎，你看行就是第一行乘上五倍，加到第三行这样列简写也是它，所以。按照行的方式进行简写，按照列的方式进行简写，

简写出来的结果一定是一样的。好了，这是我就想说的第一句话，注意矩阵本无意义。矩阵本无作用。初等矩阵，本无作用。只不过怎么办呢？接下来我进行一个操作，一旦把这个初等矩阵组成给别人。又呈给别人，就会发挥它的作用。所以这里面当中啊，就是我想今天重点想讲的一个问题，这个内容是我们考纲当中啊，

必考的知识点啊。所以接下来我们来看看总结。好注意，第一个问题。这个问题点的话就是这样。好，我们来看看。初等矩阵。本无意义。所以行进行简写。行的方式减去。简写。列进行解析。都一样。好，

这是我想说的第一个问题。一个初等矩阵呢，它本无意义。初等矩阵有什么意义啊？初等矩阵不就是一个数表，你有什么意义啊？对吧？初等矩阵本无意义，用行进行简写。用列进行简写，它都是一样的。但是当把。初等矩阵。锁成给别人。组成另外一个矩阵。

矩阵和。又成一个初等矩阵。又乘上一个矩阵。十。的作用却是不同的。缺失。不同，所以说这里面当中啊，你把这个方向性啊，你一定要理解清楚。就说你这个初等矩阵有什么意义，没有什么意义。但是一旦把这个初等矩阵左乘给另外一个矩阵，右乘给另外一个矩阵，它发挥的作用它是不一样的。

这就是我们经常讲的一个什么样的作用呢？就是我们经常讲的左行右列的这样的一个问题啊，就是我们通常所说的。左行右列。等我想。好舒服了。这就是我们通常讲的左行右列，什么叫左行右列呢？我把一个初等矩阵。左乘给别人。对吧，我组成一个初等矩阵，就相当于让这个矩阵进行了一次相应的行变换。好了，我们再来看第一件事。

好，那么接下来我们再看组成。也就说什么意思呢？就说组成一个初等矩阵。矩阵。相当于。让这个矩阵。进行了一次相对应的。初等行变换。注意也就说我把这个什么呢，这个矩阵呢，我给它组成了一个触动矩阵，我就相当于让这个矩阵进行了一次相对应的。行变换，如果这里面当中我进行去怎么办？

又乘呢啊，又乘我就相当于让这个矩阵进行了一次相对应的列变换。相对应的，初等列变换。这就是我们经常讲的左行右列的问题。对吧，你左乘进行了一次初等行变换，如果你进行右乘进行了一次初等什么列变换？好，就是这样的一个题。你们要理解啊，我写的多，但是我觉得大家的话应该能理解我的意思，你这个初等矩阵有什么意义啊，你没什么意义。

但是你这个矩阵的话，一旦组成给别人哦，这就牛了。我就相当于让你进行了一次相对应的初等行变换。我又乘上呢，我就相当于进行一次相对应的列变换，那到底是一个什么样的行变换什么样的列变换呢？都在这张牛逼表里面。那么，接下来我们一起来看看这个事情。来吧，我们先看第一个人。啊，先看第一个人eig。如果把这个东西怎么了？

佐成给别人。就相当于让那个矩阵进行了一次相对的行变，换什么样的行变换呢？就相当于让它交换了。a这一行。因为你怎么来的，你就是单位矩阵进行交换ij行来的。对吧，就相当于进行了这样的一个行变换。如果又乘呢？又乘就相当于列变换，你就相当于让那个矩阵交换了什么a这一列。如果是这个人呢？你左成呢？你把它左成给别人发挥行变换，

那这个行变换的话就是di行。乘以一个k杯。如果右乘呢列变换第I列乘上KB。啊，就是这样的一个情况，如果是最后一个人，你要稍微注意有点不一样呃，这里面当中的点呢，我先说一下。你跟着我们的体系做，你就学我们的体系就行，不要下去不是风就是雨的，他说啊，这个老师是不是有问题，这个东西有没有问题？

这种东西的规定，每个老师的规定呢，可以不一样。啊，每个老师的规定可以不一样，但是你按跟着我们的规定来走就行了。同济七版教材，现在是同济七版的这个线性代数教材，以前是同济六版。而最新出版的你像这个教材里面当中啊，都是以我们这个东西为例，就跟我们这个东西是协调的啊，你完全来就行。所以我们看如果是行呢，把你进行组成行变换，

那就相当于第几行，那就相当于这里面当的第什么。第j行。乘一个k倍加到di行。如果这个东西是右乘，就相列变换，那就是列就远di列，乘上k倍加到DJ列。好，这个问题。所以说你一定要理解清楚，当我把这东西进行左乘，当我把这东西进行右乘，它发挥的意义是不一样的。能学清楚吧，

好了，这是这个问题，所以接下来我们来做几道，你把这东西啊，你顺一下。好，我们先看第一个。假设这里面当中啊，你发现看到了。比如说这是abcdefxyz。好这个人，然后接下来我们来看看这样的一个情况，这是一。一一，然后这是五，

然后这是零零零。好它等于多少？然后接下来我们再来看看第二个题。如果这个题是abcdefxyz。我们再进行去乘上一一一，然后这是三，然后这是零零零。它等于几？然后接下来我们再来看看下面一个事情啊，你再看。那这类目当中的话，如果这是一。对吧，这是零点。零零一零一零。

好这个人，然后再乘上abcdefxyz它等于多少？好，我们再来看看最后一个人，那就是ABC。def xyz，然后这个东西乘上多少呢？乘上一三。啊，这是一。好，我们来做一下这几个题。因为这几个题啊，就可能就是我们考研过程当中，我们喜欢出题的点。

好，我们先来看看第一个人。好，先看第一个。那这个东西是不是一个初等矩阵呢？它是一个初等矩阵。这个初等矩阵是左乘还是右乘呢？哎，你发现这东西啊，很明显是个左乘。所成就会发挥行变换，什么样的行变换，你看它是怎么行变换过去的第一行，乘以五倍加到第三行。所以说你发现这是第一行。

好走第一行，乘上五倍5a，加s5b加上白。5c加上多少z？好，这是这个。然后接下来我们再来看看下一个问题，你再看这个人。那这个人是不是个初等初等证呢？他是一个初等证，而且这个初等证是左乘还是右乘呢？哎，这个人呐，我们是右乘。右乘的话就进行列变换。

什么叫列变化呢？你就看它怎么来的第二列，乘以一个三倍加到第一列，第二列乘上三倍加到第一列。所以说接下来我们就来写这个人了。那就是3 b+a。三亿家地。三这个什么y+x，然后是bey。CF z这个点。然后接下来我们再来看看下面这个人，你再看这个人，哎，这个人是不是一个初等矩阵呢？他是一个初等矩阵，

那很明显是左边产交换。对吧，你看组成行变换交换几几行，很明显是交换二三行，所以说这里面当中我们就写了。ABC不动交换二三行，这是xyz，然后这是def。好，再看最后一个人，那这个人是不是个初等矩阵呢？他也是个初等矩阵，他什么乘呢？他是又乘又乘列变换。什么样列呢？

很明显是第二列，乘上三倍就是这一列，你要乘上三倍，所以说最后的结果是多少是a？dx 3b3e3 ycfz好这样。好了，这个题啊，我们就做完了。所以说像我们的考研真题当中，很多涉及的点呢，它会涉及这个问题。都我们经常会涉及这种问题，这叫简单题，这其实是我们考研当中的一个重点的方向，你得把这个方向你得拿下来。

那么，接下来我们来看几个题吧，我们来看看这个二零二二年的一道考研真题，那么接下来我们先看这个题吧。这个题啊，不用抄题啊，你直接把它秒了就行。要不这样吧，我给你。30秒的时间，你来做一下这个题。啊，你看一下这个题。完成一下吧。不是说特别难的啊，

这个题。你不要换了一个样子，你就看不出来了，这这这是不好意思了啊。好，做完的话给我回复个一啊，你选回复一下选项嘛，回复选项嘛。嗯，不错啊，不错不错不错嗯，非常好非常好。那么这个题啊，首先我们看你看这个人是左晨吧？它是行。

什么行呢？其实就是一三行，因此这个一三行得交换一下那一三行交换了之后的话，其实就变成了。a一一，a一二，a二一，a二二，a三一，a三二。好这个人，然后这个东西啊，再进行怎么办？又又乘列变换。什么样的列呢？

是第一列。乘上k倍加到第二零。第一列乘上k倍加到第二列，那说明第一列没动，那第一列没动的话，你发现那刚好的话，这个你这个第一列动了。你这个第一列中的。对吧，然后的话，这个第一列不动，第一列不动的话，然后的话刚好是k被加过去就k倍的a三一加过去，你这个不对。是k倍的a三一加过去k被它加过去k被它加过去答案选c。

好了，这是这个题，所以你看这个题啊，难度系数不是说特别大，对吧？你自己要琢磨清楚这个问题。好，这是我们讲的这个题，然后我们再来看看这个题，你看看怎么做呀？好，再来看这个题，我继续给你。啊，这个几十秒钟的时间，

你去看看这个题。灵活性对吧？不会特别难。快做吧。你要读懂题，对吧？啊，读懂题它才好做。嗯，不错，非常好，非常好。这个题你要读懂就说aig啊，就是a一一a一二a二一a二二，它是属于一二三这个集合。

那意思就说你这个a一一a一二a二一a二二，你这个a比如说a1这个人，你要不是一要不是二要不是三。就这样的一个意思啊。怎么处理啊？你这件事情你要想清楚。就说你这个a一一，你只有几种可能性，要不是一要不是二，要不是三，你a二一，你a一二，你a二二都是这样。你们只有几种可能性，你要不是等于一，

要不是等于二，要不等于三。你这件事情先读懂，然后才好做。他说了一个事情说。a这个人呢？我先交换多少呢？我先交换两行。对吧，交换两行，那把两行交换的是a二一a二二，然后a一一a一二你就写呗。然后接下来的话，它怎么办？我再交换两列，

要把a二二a一二。a二一a1交换完了。然后这个东西还是个a矩阵，那还是a矩阵，不就说明你这个人得跟这个人相等吗？你这个人跟这个人相等吗？那说明a一一这个位置，它要等于a二二。然后你这个a一二这个东西a一二一a一二一这个东西a一二那，然后的话，第二组是什么？你a一二这个东西得等于a。a2那说明什么情况？说明你这个a这个位置啊。也就说你这个位置确定了，

你这个位置就确定了，你这个位置确定了，你这个位置就确定了，那像这样的矩阵有几个？你注意，你是一他就是一，你是二他是二，你是三他是三。啊，这是are。所以说你要想清楚，就说你这个位置跟这个位置一样，你这个位置跟这个位置一样，你俩是协调的。你要等于一，

我就是一，你是二，我是二，你是三，我是三，那同学们想你这个位置有几种可能性，三种你这个位置有几种可能性，三种那这个时候总共有几种九种？是吧，所以说这题的正确答案选几啊选d？好了，这个题啊，我们就讲到这儿，能想清楚吧啊，就非常简单，

就说你这有几种三种，你这有几种三种，那总共就是九种。好，这是这样的一个问题点，这不难啊，就是关键有些同学估计没有读懂题导致的这个题做的不好。你要注意一个问题，这个aig属于一二三什么意思？它属于这个集合，它要不是一要不是二要不是三。好，这个题啊，考的还非常的好，有点意思啊，

难也不难，还是有点出发点在这里面。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题，你得会读题啊。这考研真题，所以原来我就给你讲这个事情，我就害怕有些同学说你这个读题的能力，你得加加强读它就行了。好了，我们再来看看下一个问题。这个牛逼表里面，你像对于这个初等矩阵呢？它的一些特点，

你得把它想清楚。一些重点的，这样的一个性质。你像ei j这个人呢？他的行列式是多少？原来是一调换两行呢，加符号，所以说这人是负一，原来是一这人就是k，然后这人不变。然后再是逆矩阵，逆矩阵这个东西啊，它也不变。这个逆矩阵是ei多少k分之一，你直接背就行了，

这是多少eig负k？然后再看转质转质这个东西的话，你发现它的转质就是本身，然后这个东西的转质呢，这个转质还是它？然后这个人的转职呢，变成了ejik。好了，这张表一定要把它记住，而且你会得到了一个特点，初等矩阵必可逆。啊初等矩阵，一定是可逆的，而且初等矩阵的逆矩阵，还是初等阵？

还是一个初等阵，但是什么样的情况的初等阵呢？它有可能会发生改变。好了，这是这个问题，把它想清楚。好了，那么接下来我们来看看这里面当中的第一个题。啊，这种题啊，我们还没怎么出过。那最近几年的考研真题啊，也没怎么出过这种题。那就很担心的话，会出现这样的一个问题点，

他让你去继续去呃，把这个东西写出来，我们稍微看看吧，看完我们再说。他说了一个事情。他说a的这个人的第二零加到第一零。你这个东西，如果你直接按p1p2写的话，是非常不好写的，你就可以怎么办呢？你就可以把它写成初等证的样子，那a列那右列列就远，那我们来看就是。第二列乘上个一倍加到第一列是b。对吧，

列就远右列右边进行去乘上这个人列就远嘛，第二列乘上一倍加的大。然后再来看BB这个人呢？它是一个什么交换行，那就是。几几行二三行，然后会得到这个单位帧。根据这两条特性的话，你就可以进行写了。你把上面那个b带下去，带下去就是一二三，这个b是a倍的一二一一。等于一没问题吧，就是b这个东西就等于它把它给我带到这哦，它就做成这样。

做成这样了之后的话，然后接下来让我们去看看a是多少，那a就简单了，你a这个东西等于多少呢？你先两边左成它的逆矩阵。两边左乘它的逆矩阵是这个逆。两边又成它的逆矩阵，一二一一的逆矩阵，这人是谁？这人就是一二三。这人是谁？这人是e二一负一。所以现在而言的话，我只需要把这个东西进行去缩写就行，我们讲过缩写的时候行缩写和列缩写都一样，

我们叫按行。走第一行，乘以一倍加到第二行，然后再来看第二个人，第二人是一二三。那所以说我们去写呗，它有可能写成多少一二三的逆，其实就是一二三，你可以写成p2，然后这个东西是多少p1逆？当然，你也可以写成p2逆p1逆。你就注意这个人的逆矩阵就是本身那本身的话，其实就是多少撇。你也可以写成p2逆也行，

你反正知道这个东西就是p1逆，所以说这里面答案答案当中去选型就是p2。p1逆P2P1逆，所以答案选几选d？好了，像这种问题啊，你要注意他说什么话，你就写什么语言，说什么话，写什么语言。然后写成这种语言了之后的话，再把这个东西进行简写，根据牛逼表，什么东西都出来了啊，非常简单。

好了，同学们听明白了吧，掌握清楚给我回复一。这其实就是我们在这里面当中面临的这个第一个点，要会做啊，要会处理就行好，这是第一个问题。然后接下来我们来拔高一下。我讲两道拔高题，把这两个题讲完呢，我们稍微的拔拔高好，我们来看看二幺五这个题。看一下这个题。呃，这个题啊，

有点拔高色彩。啊，我们来看看。那这里面当中给了一个什么情况，给了一个这样的一个情况。对吧，这是p的情况。然后p是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三。然后又给了一个q的情况。然后让我们去求q这个人。所以像这个题的话，你看。你这两个结构都非常像。

我这个题的话，其实核心重点在何处？我这个题的核心重点其实就要找这个p和q的关系。那这个p和q的关系啊，你可以走方法一的路线。我们看来q这个点这个列是一二三，表示这个列这个列都是一二三，表示你可以把这个q。对吧，写成矩阵相乘的形式。行不行？那矩阵相乘，就是一一零。零一零。零零一。

好，这种方法是可以，当然同学们注意，你也可以走第二种方法。第二条路线，这两条路线是一样的，那么同学们告诉我，哎，你发现这个p。是怎么到达q的呀？你q这是阿尔法一加阿尔法二，你阿尔法二这阿尔法三，你还能怎么看？这个东西不也能看成第二列，乘上一倍，

加到第一列吗？哦，第二列。乘一倍加到什么东西啊，第一列。那所以说这里面当中，我们来看看这个q就等于多少左行右列右列？来走列就远，第二列乘上一倍，加到第一列。你看看这两个方向一样不一样，完全的一样，因为你发现一个事儿，这个东西是p，这后面就是一个初等阵呐。

你按行简写，按照列进行简写都一样，第一行乘上一倍加到第二行简写无所谓嘛。都是这样，所以说你看你从这两种方向上走，它都能把它写成这样，你做这个题的主要目的其实就是找两者之间的关系。那关系找到了之后啊，然后我们来看它让去求的是q逆。aq.那其实就是这个人的逆，这个人逆就是一二一这个逆跑到前p逆跑到后。AP一二一一同学们听懂了吗？然后这个时候的话，你就发现这个逆矩阵就是一二一负一。

然后中间这个人是多少？中间这个人是一二。好了，我们来看看这个人这会做了吧？先来进行去看，这是左乘行变换行就近第一行乘以负一倍。第一行。乘以负一倍加到第二行来，加下来是它。然后再来看看这个人是右臣列变换列就远第二列乘一倍加第一列。第二点。啊，这个人乘一倍加到第一列。这是。行，

就近第一行称上。负一倍第一行乘上负一倍加到第二行。然后第二个呢？是第二行。呃，第二列乘上一倍，加到第一列，那不就没了？还是一样吗？答案选，几。选b吧，兜了一圈回去了。行吧啊。好了，

这是这个题吧啊，其实这个题还有更简单方法，但是我们不考啊，这是考相似对角化的内容。这说明这俩人都是一一对应的特征向量。然后的话，这个二是它对应特征向量。那然后这个这个特征值不变，特征值不变，眼睛瞅也能瞅出来。好了，这个题啊，我们就讲到这跟得上吗？所以下去啊，好好进行处理一下。

谁说p=q啊？你不是胡扯的吗？啊，这是这个，其实这个题相似对角化的结构是最简单的啊，当时但是我们不考这个特征值这个内容。我们不考特征值。所以说我们就不管了，然后这个同学说p=q，你不是说纯属胡扯，你说这个p能等于q吗？这p不等于q，只不过是变换着变换着它又回去了。好注意下这个问题，二幺五这个题。

然后接下来我们再来看看下面一个二幺六这个题，你可千万不要在那胡来哦，那p可不不等于q的。你别在那自己蒙自己呢啊，这可不行，来看这个题。那刚才这个题会了，那这题不就会了吗？所以说这里面当中，我们就进行去找什么你q跟这个人的关系。是p这个人怎么办？是第二列。那走第二列列救援，第二列乘上一倍，加到第一列。

所以像这个点的话，你一写，然后就出来了，要不这样吧，我们稍稍微进行休息会儿，然后你在课间的过程当中，你把这个题完成一下。你把这个题完成一下，也就相当于刚才这个题啊，我们给做完了。对吧，这个思路点的话，你得具备它，也不是说特别难哎，把这个内容讲完，

马上我们接下来看看下节具。矩阵的值。那是非常重点的一节好吧，同学们好，我们稍微休息会，然后我们再继续啊。好，休息会吧。

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