22.冲刺满分强化篇·题型38-39精讲精练-4

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:14:50

好了没有？可以了吧？可以的话给我回复一啊。好了，可以给我回复一好，那么接下来我们继续吧啊，这个最近不知道怎么回事，这个老是会出现这种网速问题啊。行吧，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下面一个点。呃，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题好了没？刚才这个题啊啊，

这是我们基础班讲过的题。它的难度系数比较大。说实话比较难一点。所以下去啊，你把这个相对应的问题啊，你好好进行处理一下这个事情。所以像这个里面当中的点呢，你首先这个伴随等于这个转职。那这个情况的话，你能推出代数余子式等于该点值这个方向性非常重要。那既然这两个东西挂钩了，我会想到行列式，所以这个题啊，比较难一点。那万一考试当中考到这种点啊，

你就中奖了。所以说这个还是很有水平的一个题，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个问题点。我们再来看题型32矩阵的运算。好了没有呃，可以的话给我回复一吧啊，这个你们半天不说话的话，我也很担心。呦，这这个网卡的，我这个有点忐忑了啊，这个。好了，那么接下来我们就继续吧，

我们来看看这个题型，32矩阵的基础运算，刚才那个题我都讲完了啊，来我们来看看下一个问题点，我们先看。考点一部分内容。啊矩阵的运算。那么，在前面的过程当中啊，这个相等加减速乘乘法伴随矩阵，还有这个逆矩阵。包括这个里面当中转转n次幂，我们全部把这个部分的知识点呢，全部复习一遍。那所以说这里面当中，

我们来看看第一个点矩阵的基本运算，那怎么进行去通关这个部分内容呢？两件事情。第一个事情公式必须要熟悉。对吧，就说第一个事情，你要注意公式，必须要熟悉。一定要记住这个公式。好，这是第一个问题，然后第二事情一定要会做灵活的这个转换。比如说我们刚才讲的那个，尤其是伴随矩阵，那像伴随矩阵的话，

你发现你要会来来回回转。所以这个转换呢，也是非常重要。那么所以说接下来我们来看看这里面当中的第一个题，二零四这个题，你看这个题，他说啊，这题不会考了吧？你去看看去年的考研真题。那去年的考研真题跟我们刚才我们讲的这个题，你发现相似度是很高的，那核心重点，其实你发现都考的是这个事情。哎，都考到这个问题。

那所以说接下来我们来看看这个题目吧。好还卡顿吗？不卡顿，我们就开始了。呃，那个。左下角有一个切换线路，你可以切换一个线路。好不好？我等十秒钟啊，十秒钟开始，我们就看这个题好，你把这个题看十秒钟吧。好，你看十秒钟。

你看看这个题。好，我们来开始吧，看一下这题。给了一个a矩阵。然后这里面当中给了他诶，怎么去求解这个事情呢？那么，求解这个东西的话，你发现你要直接进行去，把伴随求出来。你再把它逆矩阵求出来好了，考研快结束了。那真的是不太适合考这个三九六，那么像这个方向性怎么去处理呢？

你看这个事。你这里面当中看到了一个a的伴随。你的这个逆矩阵。那我怎么想？那这个人的话，你发现我这个东西是逆矩阵呢？那这个人他他不就会等于谁呢？它其实的话呃，这个伴随的逆矩阵呢，你看你可以这样看。我没卡顿吧啊。a乘上a的伴随等于a的行列式乘上一。那这里面当中不就是什么情况，不就是把这个伴随给弄过去吗？行列式给送过来嘛。

然后这个行列式的话，你发现等于二它不为零，它当然可以送过来，那所以说这个人的话，你把他送过去，那就是。a这个人a的行列式，把这个a的这个伴随啊送过去。能想清楚吧，把这东西送过去，其实就是考了万能公式，你要学会清楚，只要见到伴随，立即想到万能公式。那所以把这个东西送过去，

这个人除过来，那因此这个人呢？他就会等于a的行列式分之一这个a。所以像这个题啊，我相信咱班每个同学都不能出错。因为这种题的考点的方向就是何处呢？就是剑的伴随矩阵，这就是我刚才说的会灵活的转换。它一个题目告诉你什么，你进行就转就行了，都在其中，然后这个a的行列式，这是二分之一，然后这个a这是二零零。二幺零。

四六的腰。那因此第一行是幺零零。你这人不对，你这也不对，你这不对。然后第二行是一二分之一零呃，所以说答案选几选c。好，这个题啊，非常的简单，难度系数不大。你想这个题怎么去处理的？把它想清楚。好了，我们再来看看这个题。

去年二零二三年的考研真题，你看这个题那这个题啊，我相信大家就会处理了。你见到这个伴随，你立即会想到什么？你立即会想到万能公式，所以a×a的伴随就等于a的行列式乘上一。然后这个人的行列式呢哎，你可以把这个行列式算一下。那这个行列式的话，怎么去处理呢？那非常简单。你看你只要把某一个部分消除两个零，它就出来了。那么，

在这种当中，我们去消吧。你可以削谁呢？你比如说这个呃，你按照这个一小，你随便吧，无所谓，你这是负一这是一嘛。你按照一一随便啊，你想怎么做怎么做，你加过去，这是负二，你加过去三，然后这个东西减去它减去第二点。零零，

然后一减的话，这是几一减的话，这是负一。那所以说这个结果的话，立即出来了，你就按照这个东西进行展，然后这个东西是多少？这东西等于负三。好了，这个行列式。把这个行列式算出来，这个行列式一旦算出来，你发现这个a的伴随它的逆矩阵。你就把这东西弄过去，把这东西给弄过来，

它就等于多少等于a的行列式分之一，这是a。那就等于负的三分之一这个a。好了，这个人那所以说这个题的正确答案选几啊，正确答案选d，你看这个题啊，难度系数不大吧？所以这就是我们在去年的考研真题的考了一个内容，就是考了一个公式的来回转换，你会转，你转了之后的话，这个人的行列式会算就出来了。所以就算去年的考题啊，有些部分难难的话，

但是你发现核心重点的一些题啊，它也不难。所以见到伴随啊，立即想到万能公式，这是个很重要的事情啊，见到伴随，立即想到万能公式。好了，这是我们讲的这个事，过去了可以吗？来继续，我们再来看看第二个问题。矩阵呢，它的n次幂的计算问题。哎，

我们来看看这个专题内容。n次幂。那么，这个矩阵的n次幂啊，里面当中的题型呢？其实比较多一点。但是我们不考相似对角化，所以说综合起来而言其实就是四种问题啊，就是四个题型。那么，接下来我们来看看这个第一种题型质为一的矩阵的n次幂问题。啊质唯一的矩阵，其实质唯一的矩阵在我们的考研的时候考的是非常非常多的，而且重要的，但是在我们三九六啊，

还没怎么出过题，那所以这是一个隐藏性的考点。这非常重要，所以讲这个问题之前呢，我们先来讲讲一个点啊，我们来讲讲质唯一的矩阵，它的性质问题。在讲这个之前呢，我先带着同学们进行去分析几个人。好，这里面当中，我们先做一个规定。如果我不说这个向量，指的是列向量。能听懂吧，

不说这人是列强了。那这个列向量，它有几个人？比如说你转了之后是它。或者是杯大转置成阿尔法。还有这个阿尔法乘上贝大转之。a大乘上阿尔法的转值诶，这四个符号你能分析清楚吗？什么阿尔法转置成贝塔？什么贝塔转置成阿尔法这个人？哎，能不能分析清楚啊？那么接下来我们来看看这个问题。那么，首先我们先看第一事，

不说这个东西都是劣。对吧，不说这个是爹。那么，首先我们先看第一个点，如果转制在前。转置在前就是行在前。列在后。行在前，这是一×3，这是三×1，那结果是不是一×1啊？那一×1的话就是这个人乘这个人，这个人乘这个人，这个人乘这个人，

那是对应相乘。所以记住，行在前是个数。对吧，如果你这个人是列向的，就是转制在前是个数，但是你要注意前提，他得保证他是个列向量，所以你还是这样学吧。行在前，它是个数，这个数呢，就是对应相乘再相加。好，这个人如果有些同学知道这个东西，

其实叫内积。啊，这叫这两个向量的内积，内积就是对应相乘再相加好了，我们就学到这就行了，可以了。然后第二点我们再来看。那这个人如果是列在前呢，你再来看，那这是a1a2a3。然后再乘上b1B2B3。那这人呢？这是三×1，这是一×3，结果就是个三×3。

那三×3这个东西啊，就是个矩阵来走第一行，第一点a1b1a1b2。a1b3。a2比。a2，b2，a2，b3。然后是a3比。a3比2a三比三。好，这个人那这个人其实就是个矩阵，那同理而言呢，我们再来看最后一个人，

那最后一个人呢，他也是矩阵。那北大这个人再乘上a1a2a3好，我们乘第一行第一列b1a1。b1a2，b1a3，b2a1，b2a2，b2a3。b3a1，b3a2，b3a3。好了，这个东西啊，我们就得到这。

但是学到这儿，我们能得到一个什么样的特性呢啊？这个事情非常简单，研究的过程当中，它的路径是漫长的。这个结果其实是一个非常简单的事情，就是得到这个人。如果我不说这个人是个劣项量。好了，是个列向量，我们看行在前呢，它是个数。记住，它如果是行在前。它是个数，

如果它是个列项呢，就是转置在前，它是个数。啊，前提是列下来，如果转置在后就是列这个什么行在后或者列在前，列在前就是个矩阵。那么，这两个数什么关系呢？数是相等的。这两个矩阵什么关系呢？矩阵之间互为转置。你把这东西转过去，转过去就是它，所以我们就得到行在前是个数。

列在前，是个矩阵。数是相等的矩阵，是互为转置的。然后这个竖式这个矩阵的是什么呢？好，我们来看看这个数是这个矩阵的，来再来谈，你没发现吗？这条线的加和不就是这个数？是吧，这条线的加和这个线的加和叫什么？这叫做这个矩阵的。g好再说一遍，这叫做它的GG是什么意思啊？

g就是对角线的加和。对角线加和其实就是这个矩阵的g啊，一般情况下我们用tr来表示。在英文当中啊，是trace。对吧哎，就这个人轨迹。比如说这个矩阵。是一二三，它的g是多少？一+2+3，那这个结果就等于几啊？哎，这个结果等于六。所以说这里面当中啊，

你要想清楚这个问题。对吧，第一个点他学会了一个新的内容，这叫做矩阵的积好，我们来捋一遍。第一，事情行在前是个数，数是相等的。列在前是个矩阵，矩阵是互为转置的，这个数是这个矩阵的积就是对角线的加和。然后接下来我们再来谈谈这个矩阵是个什么矩阵呢？好，再来看下一个问题。这个矩阵。

你看一个就行了。诶，这个矩阵是个什么矩阵呢？有人说那这个东西是个质唯一的矩阵，不是的。不是的，所以有些的话，这个市面当中讲这个问题啊，都讲的有问题。他是这样。它应该就是个推导的话，你发现是这样。所谓越乘越小。它肯定会比阿尔法小，听得懂吗？

好听明白给我回复一。你就说你想清楚，你看你这个东西的话是这样，就是你肯定比阿尔法小，你阿尔法是一列。你矩阵要小于这个行数，小于这个列数，你这个人只有一列，你肯定小于等于一。你要小于行数，要小于列数，你肯定小于等于一，所以说这个矩阵呢，是质小于等于一的矩阵。然后接下来我们来看两种情况，

第一种情况当什么情况，当阿尔法和贝塔。均不为零的时候。如果这两个东西都不为零，你中间肯定有个人不为零，你中间肯定有个人不为零，而这两个东西相乘是这里面当中每个数相碰。你肯定有个数不为零。一个矩阵不为零质，大于等于一。这个时候，它才是个质为一的矩阵。其实我们不用扣那么细。对吧，不需要考那么细，

你知道就行。然后是你等于零，或者你等于零。只要有一个人等于零。对吧，只要有一个人等于零，两人一相乘就是零零矩阵的质，它就是零。所以你要想清楚，你记住这个问题对吧？记住这一点。好，再来总结一下。如果行在前，它是个数。

列在前，它是个矩阵，行在前，是个数，列在前，是个矩阵数，是相等的矩阵，是互为转值。这个数是这个矩阵的积，这个矩阵当两个向量都不为零，向量的时候是质为一的矩阵。当这两个向量当中，只要有一个向量为零，它是一个什么？它是一个质为零的矩阵，

好学清楚给我回复一。你要注意啊，这个东西是小于等于一，你将来的话，你就有非常敏锐的这种感觉，你去看吧，很多写这个东西啊，写的都是有问题的。你写等于一，当然简单呀，但严谨一点应该是这样写。那么，这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来我再来给你讲一个重要的性质。你记住这个问题。

就说什么呢？如果一个矩阵的值为一，我们刚才说了两个非零向量，这个人相乘呢。它肯定是个质唯一的矩阵。但是我们可以反着想，如果一个矩阵的值为一，它也一定可以写成一个非零列，乘上非零行。非零列乘上非零行，比如说我举个简单例子。一二四。然后这里面当中是。三，62。

然后这是二四八。你看这个人，我教你怎么写啊，但是我们这种写法无法写到这个，当然你也不用写到答题纸上，你都没有大题。你这个无所谓，我教你怎么写，但这个东西不标准，只是一种非常好的手段，你看第一行是一二四。第二行是一二四的几倍三倍，第三行是一二四的几倍是二倍，这是一倍，所以说这个东西一抽。

就变成这样一三二，然后这是一二四，我讲完了吗？所以你看你这一行这一行这一行，这三行成比例，那三行成比例，它就是个质唯一的矩阵。因为我初等变换的过程当中，我就可以把第二行，第三行给干掉。我触动变换一下，你发现第二行第三行就没了，它一定是个质唯一的矩阵，那一个质唯一的矩阵一定可以写成非零列，乘上非零号。

哎非零列称上非零号。然后这里面当中，你再加一个事情啊，当然我多讲一点对吧，其实考到这就可以了，那如果它是个对称针呢？如果是个对称轴，也是个非零列，乘上非零行，只不过这个非零列非零行是同一个人。那比如说举个例子，你再来看。如果这里面当中，这是一二三。然后这是二四六。

然后接下来我们再来看，这是三六九。你看这个人，你可以抽一二三一二三一二三一倍两倍三倍。所以说这个东西抽出来一二三一二三。所以一个质唯一的矩阵，如果它是个对称轴，就可以写成自己的非零列，乘上非零号好非零列，乘上非零号，你要注意要把基础打好。技巧性的东西啊，一定要占到我们的良好的这个基础的前提条件下，你才能把这个东西学好。好了，

这是这个事情。只要你是个质为一的矩阵，一定可以写成非零列，乘上非零行的形式，100%的如果是个对称阵呢，就是自己的非零列乘上自己的非零行。好，这样我们先来做一个题，把这个题秒了之后啊，然后接下来我们看。那么，首先我们先来看看第一个点。这个东西是新内容跟自驱没有什么关系哦。好了，我们先来看看第一个问题，

这完全考量大家的上课的这个专注度和注意力的集中程度。好了，我们先来看看，你看这个人这个人呢？你要记住他，要不质为零，他要不质为一。它要不然就是质为零，它要不然就是质为一，你现在这个东西的话，它不可能是质为零，它只能是质为一。那既然是质唯一，这三行成比例。能听懂吧哎，

三行成比例，那三行成比例的话，就说你这个人比这个人是负一，那这个人比这个人负一，那这个a是几a是一？你这个人比这个人是负一那b是多少负一？能理解吧，然后你这个人比上这个人是负一，那你这个人比这个人就负一。你这个人比这个人负一的话，互为相反数，它就是一，所以ABC是多少你三个一+3个一加是一，所以这个第一个人是一。好了，

赶紧把这个东西给毕业掉。然后再来看第二事情啊，阿尔法转置成贝塔呢，这是那个书？这是那个质为一的矩阵，你就等于。等于我的积。我的积是多少？一+a+CA+c是二，这是三，所以答案选a。出来了，能想清楚吧？所以你要记住这个东西，要不是质为零，

要不是质为一，其实你就可以记住质为一。因为我们考肯定考至位一，我们又不考大题，我刚才讲那么严谨的话，你要注意我讲那么严谨，是出现大题，你要写差了。有的时候写写的，有些同学写了个等于一，有些学的好的同学写的是小于等于一。写小于等于一的同学，当然得满分，写写这个什么写这个东西等于一的同学。写这个东西等于一的同学的话，

你发现这个题啊，它就不好得分了。对吧，就会扣你一两分，你看总有同学这样。说如果这个题不用这个方法。我们怎么去处理？对吧哎。这件事情你要注意，总有同学这样，你注意这个考点，这个考点如果放到数一数二数三当中。这是历年来当中的高频中的高频重点。所以这是一个重心内容，你得学会呀，

为什么老师都要这样想呢？那不是方法教给你了吗？那强化班在这干嘛？你下去过程当中把这个东西会处理不就行，这是个非常关键的一个内容，致唯一的矩阵。那么，接下来我们再来看看它的n次幂的问题。那n次幂的问题啊，它更经典。所以一会过程当中，我们去看这个矩阵的n次幂的问题，你要梳理好。那么，这个n次幂的问题啊，

我们来看看这个事。分析你想，如果这个矩阵的质为一。这个东西一定可以写成非零列，乘上非零行有没有问题？非零列乘上非零行。啊，一定没有问题，然后这种当中如果n次幂呢？你看一个两个。三个哎，然后的话一直到n- 1个n个。好，这个人就写成这样。那写成这样了之后的话，

然后我们再来看哎，你这样一结合你看看。你这样结合，你看看你这样结合，你看看你这样结合，你看看你这是什么？你行在前是个数啊。那这是数那多少个数啊？那这里面当中有n- 1个数，我就把这个数。抽出来n- 1个阿尔法被大转置。哎，你这个数等于多少呢？这个数等于这个质为一的矩阵的积，所以说就等于我这个人的积。

tr我的g的n- 1次方乘本身，所以像这个问题就非常简单了，就说如果这个矩阵的值为一。那这个时候你的n次幂就会等于多少？就等于你的g你这个g的n- 1次方再乘上a。好了，像这个问题啊，我们把它想清楚。能跟上吗？就说如果你是个质为一的矩阵，你的n次幂等于多少呢？哎，就等于你的g你把它加起来，你加起来的n- 1次方，你再乘上这个a。

所以像这个问题啊，马上这个内容它就出来了。跟得上吧，好了，那么接下来我们来看看下面一个题，所以说有的题你就可以秒了，你看这个破题。我用我的眼神稍微的漂了一下，那这一行二二负二和这个负一负一一。和这个三三负三，你看这两个成比例成比例。那三行成比例，这就是个质为一的矩阵。那这个值为一的矩阵的话，你发现这就是它的积。

那这个g等于多少呢？哎，我们来看看这个人的g啊，他就等于这两个东西一加这是负二。所以说就等于负二的n- 1次方负二的n- 1次方可不是这个人是负二的n- 1次方，这个人本身答案选a。能理解吧，就等于g的n- 1次方再乘上a。完全用这个东西。你放心吧，你看吧，等到将来的话，肯定有同学再问这个问题，说老师。为什么就等于负二的n- 1次方n，

你看我每当每次我碰到这种情况，我都有点疯了的感觉。啊，这个头头皮发麻。啊脑脑脑子嗡嗡的那种感觉啊，你看这种点总有同学这样，你看将来还会有啊。好了，这是这个问题，所以你下去啊，你好好进行处理一下，对吧？刚才过程当中，我们就讲了这个点啊，会处理就行。

然后接下来我们再来看看第二个问题。来继续来看，再来看看二项式定理展开型的问题。在讲这个问题之前呢，我先来跟同学们讲一个有意思的东西。你下去，你可以试一下。我多讲几个。可以吧，我们先讲一下。我们来多讲几个人，你看这个a。比如说我们讲了一个零零零。零零零。啊，

这是个零。那么，这个人的对角线及其以下或者及其以上全被零。然后这里面当中的这个第一条呢，这是abcdef。好，这样的一个矩阵。这个矩阵的特点是什么呢？这个矩阵的特点的话，就是我这个对角线。对吧，及其以下权为零。对角线及其以下全都为零。诶，你及其以下全被顶，

我们来看看。其实有效的这个这个对角线只有三条。因为你及其以下全为零，你注意啊，如果这三个人也为零，他也算这条线及其以上有三条。能理解吧，就是我们看从哪开始，你下面全被零好了，我们现在上面有三条，你可以去算一下。你算一下这个人的特征是这样。你给它平方项。你给它平方了一下了之后。这个人呢？

只有两条有效的了。对吧，然后的话，这个人变成xyz哎，他就变成了两条了。只有两条了哎，他这个人就变成了这样。两条，但是这两条是个什么情况呢？我不知道。然后接下来你发现第三个人就牛了。一旦到了这个三次方。它只剩下几条了呢？它只剩下了一条了。你注意啊，

只剩下一条。剩下一条他就牛了，这个一条这个结果等于什么呢？这个等于原矩阵的第一条非零。对角线。原矩阵的第一条的这条对角线，它的乘积ABC，这是它的特点，我都告诉你了啊。也不需要你去沉，你可以去试一下。他就等于什么？他就等于这个第一条这个人的成绩就是他。所以说它就具有这个特点，然后你再来一次方呢，

它的后面都是零了。再来一次方是零，那后面的东西啊，都是零矩阵了。好了，这就是一个考点内容，有一年的考题啊。你想看看吗？但是不是我们的考题。你想不想瞅一下，我给你看看？好，我们来看看。这题啊，零七年的。

你说这种题出的。来看一下这个题。几啊，你看这个对角线及其以下，现在是有几条三条？平方以下，只有两条。三次方只有一条。移调了之后的话，你发现这个结果就跑到哪儿？就跑到这一。所以说这个矩阵的置为几啊，你看这个矩阵你画行阶梯只能从这画就是一。是吧，这点出的真烂啊，

出的真不行。你要想考吧。你说这个问题。他又没考到位置。你就如果想考这个东西，你能不能稍微的贱一点点，对吧？你不光考了这个东西，多一次幂少条对角线，多一次幂少条对角线，能不能见一点？贱在哪呢？你把这人给我改成三。啊，这个三也太简单，

改成零。你就改成零，我又能筛选到5%的人。对吧，我筛选我再筛选5%，那这个人的话，你看少一条少一条，哎，跑到这条顶角处。对吧，跑到顶角处，那顶角处等于第一条对线，你看我还考了这个性质的咔一下零，你填零啊。哎，

你看这个事情。所以说这里面当中啊，就能看出来有些同学是会，但不多，有些东西是彻底的会了，你就能有点区分度。那所以说把这个东西啊，你就想清楚这个问题，就是你转到这，它就可以了。你稍微的往这一转，哎，这个问题点就行了好，这是这个事儿，我们就讲到这儿。

所以你下去的时候，你要把这个问题啊，你要想清楚，对吧？你要知道这个问题点到底在考什么诶？那么接下来我们看看下一种考题。那下一种考题啊，它这种东西的模式化非常的清楚。那这种东西其实就比较简单，因为它简直就是模型的体了。那这种题是什么呢？就是我能把你这个矩阵。我写成k倍的单倍整。再加上刚才那种矩阵的特性。你要注意啊，

就说我能写成k倍的单位帧，然后再加上刚才那种矩阵，它的形式。对吧，就写成刚才那种矩阵。那比如说我们这里面当中，我来给你看一个题，你看这个题。好，先看这个题。那这个题是不是刚才那种矩阵呢？它不是。为什么它不是对角线及其以下？它的对角线，你发现是有人的。

所以说这种东西我可以稍微的进行改一下。我把这个东西写成什么呢？写成一个把那个拉姆达拉姆达拉姆达都写出来。我写成这个情况。这题考给我们有点难了啊，这个题。所以强化班我们要见一见，你总不至于的话，到时候我们没有见过这种题。那写成这样了之后，然后另外一个矩阵是拉姆达，拉姆达拉姆达。你就把这个拉姆达抽出去，然后这是一所以这种题啊，模型结构非常的清楚，

它必须是这样。它一定是这样，所以说这个时候你就把它写成了拉姆达e+b。而这个b啊，有一个特点。它的b的零次方是有的。啊b的零次方是几b的零次方是一？b的一次方就是这个b本身。b的这个平方是多少？跑到这个第一条队就行。然后三次方以后都是零。诶，单位矩阵跟这个东西是可以交换，所以说像这种问题我可以怎么做，我可以使用二项式定理的展开式来做。

你看这个东西是不是出来了，二项式定理展开。那二项式定理展开，你还记得吗？就是a+b的N次方，那其实就是。CN 0拉姆达e这个人的N次方，这人的零次方零次方就是一。然后再是CN 1拉姆达e的n- 1次方，然后这人的一次方就是b。然后是CN 2拉姆达e这个人的n- 2次方，然后这是b方。然后是CN 3，那后面是三次方，后面的东西都是零就不写了。

好，这个题啊，就做成这样。所以像这种题啊，它的模型结构非常的清楚，它必须是一种什么东西呢？它必须要写成。k倍的单位帧，然后再加上什么这种矩阵，这种矩阵对角线。以下或者是以上。全为零哎，这种情况就说，而且你必须非常固定，你前面必须是个单位证，

你不是个单位证，这两个东西也不能交换。波能浇灌二项式定理展开也用不了。那所以像这个问题啊，你就把它想清楚了，来我们来算一下CN 0是一拉姆达的N次方，然后单位矩阵是幺幺幺。然后这是n倍的拉姆达的n- 1次方，然后这是BB这个东西是零零零。然后这东西是一一零。CN二是多少是二分之n乘n减一？然后是拉姆达的n- 2次方，然后这是多少零零零，这是一。好，

这个情况，所以说最后而言，我们就写出来这个人N次方N次方N次方n倍的拉姆达n- 1次方。n倍的拉姆达n减一次方，然后这是多少二分之n乘n减一，然后是拉姆达的n减二次方。好了，这个东西啊，立即写出来了。好这个人，所以说这个人呐，他的对角线是多少诶？这是六次方。那六次方就六次方吧。那如果这东西是c6。

那刚才没阻止我呢是吧？6c六零做多了啊，然后这是多少c6它，然后这是五次方。然后这是c六二。是四次方那都阻止我一下，对吧？我都写多了啊。好了，我们再来看看这个人，那这是多少？这N次方这是六次方兰姆达的六次方，然后这东西是六倍的多少？五次方。然后继续。

这是五六，这是15。啊15，然后这拉姆达几次方是四次方。好了，像这个东西啊，它就做成这样。所以说对角线一律是六次方，然后是六倍的，这个什么五次方，然后最后一个东西是15，所以正确答案选几啊？选a可以吧？好，这个点呢，

你把它想清楚。所以像这个问题的话，你看第一条线，第二条线，所以下去好好进行去想想这个问题，那这种二项式定理的展开型它。他这个东西到底怎么处理呢？对吧，他必须要拥有这种结果。你必须要把啊，所以这种题套路非常强。你要考题当中是就是不是就不是，对吧？你到底是还是不是？你是了就能做了，

你不是的话就做不了。好，这是这个问题，来，我们继续吧，我们再来看一个题。再来看下一个问题，那是分块对角阵啊，这个东西啊，你就记个公式就行。那么，首先我们先看看这个什么ABC。这个人的n次幂。这个人的乘法就是对角线的乘法，那n个人相乘呢a的N次方b的N次方c的N次方。

然后如果是分块对角阵呢，这是AB这是零零呢。你的n次幂，它就会等于这个矩阵的n次幂，这个矩阵的n次幂。好了，这种问题啊，非常简单。就这种情况的n次幂一看诶，它是一个主对角线的分块阵。对吧，你一看哦，这是一个主对角线的分块针，那就等于对角线这两个矩阵的n次幂问题。那立即就出来了好，

这是这个第三个点。过去了，可以吗？那么接下来我们再来看一个问题。那如果还不行呢？哎，那就是最后一点事了，就是递归法了。所以像这里面当中，我们就讲了这四种题型。第一种情况，质为一的矩阵，一看是不是质为一不是算了。一看能不能写成k倍的e，加上对角线及其下全被零不能，

那算了。一看是不是分块对角阵不是，那算了，如果这些东西都不是在我们的考研当中，只有这种情况。就是递归法。什么叫递归法呢？递归法就是硬着，刚没办法了，上个平方呗。上个三次方倍哎，有规律归纳出来。就是这种问题，所以接下来我们来看看这个题。首先，

它是质唯一的矩阵吗？不是的。你能写成k倍的e，加上对角线及其以下或者以上全为零吗？也不行。你这个东西是一个分块对角阵吗？也不是那，所以说这里面当然没办法了，你只能把这个平方算一下。三一一负三。然后这是三一一负三，你算一下。那一算的话，第一行第一列，那这是十。

然后是第一行第二列，那这是零。第二行第一列，这是零，然后这又是十哎，漂亮，这不是十的，这个人的什么？是一一零零嘛，这不十倍的单倍正嘛。对吧，这个情况哎，你这个东西十倍的单位证，这非常简单，那我很喜欢你啊，

那我32次方不就是平方的这个人的多少？16次方了。那么就是十亿的这个人到多少？16次方那不是十的，这个人的16次方吗？然后e的呢e的多少次方都是一那，所以说这个结果十的16次方。十的16次方零零这个结果，所以说这个结果正确答案选b。所以像我们的考题，你就记住这三板斧绝对能用。不是四板斧。那么，首先看这个东西是不是质唯一的矩阵？如果是就直接刚了。

是不是能写成ke，加上对角线及其以下或者以上全被零是直接出来了？是不是一个主对角线的分块针？如果是也出来了，如果不是，那就是这个问题。因为我们的考研不会怎么办？去考什么相似对角化？那是胡扯。我们不会考相似对角化的。所以这个点你要想清楚，我们不会考那个问题的。好，这件事你下去好好想清楚这个问题。行吧，

这是这个点。哎，那下节课再讲吧。能想得清楚吗？那下节课再说吧。还有一个逆矩阵的。讲完行不行？稍等会儿，我把这个逆矩阵讲完行不行？很快哦。因为逆矩阵已经复习完了。哎，我把这个点讲完啊。啊，逆矩阵呢？

因为逆矩阵我们已经复习完了。好，下节课那行吧，那下节课吧。行行行，那下节课。好了，那么这个问题啊，我们就说到这。后面还有一个触动变换，没讲呢，那我们下节课再讲吧。好，这是这个问题。所以说呃，

这几个问题啊，后面还有一个初等变换。好了，这是这个问题吧，下去好好进行处理一下，那么这里面当中啊，有几个事情，有几个东西啊，我稍微进行去。重点跟同学们说一下啊，因为有些东西可能这个东西串不起来了。呃，注意一个问题啊，这个没有关系，忘掉了。

就减回来就行了。能理解吧。很多人说那我忘了，我忘了我，我怎么我怎么能忘你，不能成天这样，对吧？你干嘛跟自己过不去啊？你要善待自己呀，那忘了你不就捡回来不就行了吗？很多老师，我这个你刚才进行去串那个行列式不为零的时候。然后说什么转的可逆诶，怎么转的质怎么转的线性相关性转的行列式转的这个什么啊，转的这个方程组转的那个。

忘了不就捡回来不就行了吗？对吧，你看诶，刚才想起来了，你看有些同学是。天然自信的那种人，对吧？天然的话，这个嗯是比较正向的一种同学。我其实觉得一个问题点就无论怎么样，你一定要做一个积极的人，你做一个正向的人，哪怕不考研不考研，咱们也要做一个正向的人。你做一个积极的人。

我觉得很多事情你要做一个自信的人。你这个东西的话，如果没有进行处理，都要永远对这种未知的东西啊，充满各种恐惧。那如果忘了，有些同学他还想，哎呀，我觉得这节课还可以，我把它想起来了，你看总比刚才过程当中，我们进行去处理还好。安排的有点密，消化。这叫密啊。

我们这已经温柔到什么了，你暑期过程当中，你暑期强化没有点暑期强化的这种感觉。我们基本上是两天一次课程。那其实看看数一数二数三比我们难十倍都不止，我明确讲这个强化过程呢，十倍都不止。然后的话，你发现基本上上了这么多天了。啊那那那怎么办呢？你你你这个你这个暑期你对对自己你这个你得你得强度得上来。对吧，那这这难度系数强度的话都低很多，因为我们不考，而且我们没有考的那么那么的狠啊，

那个点。好了，这个问题啊，我们就说到这。所以下去好好把这个相对问题啊，好好处理处理。所以我们基本上呃，也就是差不多一两天次一次课程啊。你这话说的对吧？你这这这说的我都没没办法了啊，别别别啊，你这目标还是要远一点。所以我觉得这个尤其是线性代数，对吧？尤其是线性代数。

它的综合度啊，会高一点。啊线性代数的综合度，所以我觉得这个今天的课程呃，有些同学觉得哎呀，非常的轻松，因为什么呢？不就是。备战了一些知识点吗？对吧，不就是一些内容嘛，不就是把那个前面部分的东西进行去，好好进行去把它回顾了一下嘛，好，明天呢，

我可以不上。后天我们开始。行吧，明天。整理一天。后天继续。好吧，后天过程当中，我们继续。所以说这个明天呢，你好好进行整理，但是不要把它给我浪费掉了，我来说一下明天的任务。呃，无论是。

你觉得这个今天的部分的内容，你听的还可以，对吧？消化的还可以，你要做这些事情，或者是如果你这个你觉得这个连这个版块的内容你都觉得强度大。那你更要好好做这些事情了，第一个事情。就是你要好好的进行去把初等变换复习完。因为这个东西的复习完了之后啊，我们这个就是你把这个初等变换的基础班复习完。你如果能把这个基础班的东西复习完，我相信强化的这个术语专项就没有任何问题了。好了，这是这个点，

然后第二事情是矩阵的值，这是下节课一定会讲到的，这个板块比较重要一点。质的定义。质的这个什么求解？还有在这里面当中最重要的质的公式，把态度进行摆正过来，对吧？质的公式，所以大家注意，我们那么长的这个高等数学的部分呢，我们都结束了。所以最后这两个小的点呢，你还是要把它拿好，你的线性代数，

你和概率统计啊，你必须要拿稳。我觉得我们的这个线性代数一旦结束，概率统计就差不多了，你像概率统计你数都能数的过来。就是第一章。概率公式。三大概型好了，两个考点结束，然后下一章的话，分布函数离散性随机变量，连续性随机变量。呃，这个常见的分布。还有连续型随机变量函数的分布。

二维离散型期望和方差你数都能数的过来，它连十个考点都达不到。有人说，那我觉得也很多，一年内你你能对得起来这个部分的复习吗？你学习一年一年就这么多考点。这对比这个高等数学的部分内容，哎，东西是少的太多了，少之又少的内容，所以希望同学们下去啊，你好好进行去把下面的这个问题点好处理一下。好了吧，那么这个事我们就说到这，忘了就好好进行去捡。

不要忘了啊，我觉得这是一件好事。这绝对是一件好事，至少而言的话，比你不知道自己记不住还强。有些同学如果今天没有这节课的话，你比如说你就进行复习了，你都不知道这些东西忘了。那如果是真题当中遇到了，那才叫崩溃呢。所以希望同学们好好进行讲解，所以下节课把这个内容好好讲解，然后下一个事情就是线性相关性。好线性，相关性，

那么在这里面当中，我前提提示一下。线性代数的部分的内容。叫做一通百通。线性代数的东西不是题海战术练出来的。线性代数的东西叫一通百通，把这东西会了对吧，然后就能做出来，不是靠着你大量的刷题。高等数学在学习良好的基础上，还是需要进行去多做几个点。对吧，还是需要多做几个东西的，这个题量得保证好，然后做题这个灵活性，

把它操作清楚，但是你要注意线性代数。是一通百通。它的灵活性是很高的，对吧？你就是最终问题，把这个知识点呢？你得复习清楚。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这，你自己下去好好进行处理吧，我觉得这个今天呢，对很多同学而言是一个比较关键的一个部分。那期待同学们下节课啊，

有所蜕变可以吧？你你要想清楚，这是我们强化的第一遍，这一遍学完了所有核心题型就结束了。你九月份你就可以复盘去了。你的九月十一月11月12月这四个月，你重点的内容就是把我们的基础班强化班的所有内容融会贯通。你就这个要求，然后再加上做模拟卷。就这些事情。所以我希望同学们注意啊，这个问题。你们要。对吧呃，你你要既要稍微的话，

内心放松一点，但是你也不要从这个行动上放松，行动上不能放松啊。所以这个问题就在这，然后那个冲刺救命班呢，你到时候的话，你可以进行去把里面当做你自己有有问题的部分，你可以重点听听。啊，哪些板块的内容你自己觉得呃，这个部分是你自己复习比较差的，你可以进行去看看，然后明晚。呃，我看看下课吧。

明晚。九点半。啊，我们有一个。备考答疑，你自己有问题啊，你可以来问啊，明天九点半就是你自己的话，在这个复习过程当中有问题。你都可以来问。冲刺救命班的话。呃，既讲题也讲知识点啊，讲题讲知识点，核心重点是大串讲啊，

冲刺大串讲。所以那个部分的课程的时间的话，基本上其实就是呃。我忘了我设置多少十五六次课吧啊。好了，这是这个，然后我稍微说一下吧，让很多同学心里踏实一点嗯，你要觉得啰嗦的话，你就可以进行复习了，我稍微多说一点。你要觉得对这个九月份之后的这个复习安排呃，你想知道你就稍微听一下，其实这个东西不影响好不好啊？你要觉得的话，

这个你不太想听，这个板块你就进行去，你可以下下这个直播了，然后的话进行复习都不影响。好了，那么接下来我说一下九月份。呃，全程班的这个安排。然后这个九月份后。然后的话，这个基本上我们上的这个九月啊，这个顶多到这个初。时间的话，这个部分的课程肯定是能结束。然后九月份我们是九月。

24号的那个样子。然后一直到十月一国庆节。前后这中间的话，你都进行去复盘。能理解吧，中间进行复盘，然后的话，我会在这个中间给你们穿插，有一个东西呃，我看看我们三九六同学，我觉得复盘计划你们自己进行去安排吧。好吧，我们还是错题消灭计划就消灭错题，你自己去安排你自己的复习时间，然后到了这个中间呢？

我们中间的话。这个时间我们会有二零二一年。二零二二年。二零二三年。真题这是这几个事情，然后接下来你注意啊。然后这个中间我们会有一套高等数学。通关测试。然后是线性代数。概率论。概率。通关测试。所以你就自己按照这个时间安排吧，我们看看我们结课时间呃，我觉得是一个差不多，

你能把高等数学复盘过一遍的那个时间，我们进行一次高等数学的通关测试。啊，这个时间顶多到国庆节的10月7号结束，就国庆节结束，然后的话我们会把这些事情呢完成到位。所以说到了这个国庆节之后的那种，顶多的话你自己去看看。就七号嘛，对吧？八号七八号那种，然后是九到15号那种九到15号那种，我们就可以做那个。冲刺满分的十套卷，你差不多一周做两套，

有些人怼的很，一周做三套，三套的话，三周就做完了。其实的话，模拟卷做个十来套就差不多了。那差不多，你十月的第二周，第二周，第三周，第四周。然后的话呃，这个是11月一二三四七个周，你七个周一个周做三套的话，三七二十一这很够了。

你要12月这个月初的话，你还能做，你还能再做两套的话，真的很多了，非常多了，我的所以说我觉得这个你自己做吧。对吧，这个问题差不多就到这。所以你们你们自己一定要。非常的自信一点对吧？我觉得自己多自信一点，然后这中间会有一个冲刺救命班的课程，它是一个非常短平快的一个课程。如果你自己啊，在这个复习过程当中，

某个板块有问题，你可以过来再听一听都行，重点进行去啃自己有问题的点。你可以提前进行去把那个讲义做，你做了之后啊，然后再进行出题啊，处理问题，那个冲刺救命班的课程呢？我们是九月底。啊，九月底，所以说这个你自己可以根据着自己的这个问题，然后进行看。一周七套的话太多了啊，一天七套那疯了。

好了，这是这个题吧，我们就说到这。嗯，二零二。啊，这个题啊，你可以这样做。啊，可以这样做，就是你给它复制一下。只要这两个东西相乘呢嗯，你复一个复议，你做的非常好，我下节课说一下你那个方法。

好吧，下节课一开始我说一下那个方法，那个同学说的非常好，二零二这个题。还有二零三这个题，那二零三这个题不好来，还有这个二零一这个题都可以举例子。啊，这题都能举例子，所以我们下节课，我来重点把这个东西啊，我们来说一下这个事。行吧，那么今天课程我们就讲到这，你可以举例子啊。

行，那么今天课程呢？我们就讲到这行啊。送给你个必胜套装吧，你去领取一下啊，领取一个必胜套装。好，那么今天课程我们就讲到这，然后的话我去把这个笔记给你们导一下，然后的话一会你可以自己进行去好好进行整理了。然后我们后天啊，我们就继续开始好吧，同学们好，后天见吧。

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