21.冲刺满分强化篇·题型36-37精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 6 天前

我们继续吧，我们再来看看这个增补题啊。呃，这个题啊，刚才下课过程当中有没有看一下？好，我们来看看这个题啊。呃，首先拿到这个题啊，我们先来进行分析一下，那这个题的核心考点是什么呢？它其实这块有条线。这块有条件，这块也有条件。那所以说这个东西是一个什么这个东西啊，

是一个三线行列式。对吧，这是个三线行列式，一条线两条线三条线啊，这有点难了啊呃，这个东西啊，也叫拔高题。那可能在我们的考研过程当中考这种题啊，难度系数就比较大了。那所以说这个东西啊，它就是个三线行列式。那这个三线行列式的话，你发现怎么去求解呢？我可以用第一种方法叫逐行相销。什么叫逐行相销呢？

你可以这样。对吧，比如说你用这个二。干掉这个负一。你用这个二干掉这个负一的话，但是你发现你看这个二就会乘上那个倍数加到这儿啊，这个元素就变了。你然后再用这个二干掉这个负一，然后的话，你发现你这个元素就会有个倍数加到下下面这个人。哎，是不是这个情况，所以说你就一直进行曲，你可以一直把它给干掉，你知道干嘛，

但是你这个元素多少倍下来，这个元素多少倍下来？那这个元素最后到了这儿，它是一直在变化的呀。这就非常恶心了，你所以说像这种都叫三线行列式，比如说我们基础班学的这个平行的三线行列式。比如说我们学的什么东西呢？学的这个，你看基础班学的是这一条线，这一条线，然后这一条线，哎，这叫平行的三线行列式。那还有什么情况，

还有我们现在学的这个这种情况，还有这种都叫三线防律师。对吧，三线行列式，那像这种问题怎么去处理呢？唉，其实我们往往使用的是递推法，然后来求这个三线行列式。啊，这种东西有点难了，我们拔高一下，那么像这种问题是怎么处理的呢？第一步他这样做。你先选择一行，或者选择一列，

然后进行去展开诶，所以说第一步。我们先进行去展开。得到什么东西呢？得到递推公式。啊，就是我们在这里面当中啊，我们可以进行去展开一下，展开了之后啊，然后进行去得到这个递推公式。红色吧啊，这个颜色。我先进行展开，展开了之后啊，我就会得到递推公式。

然后第二步我进行去解递推公式。解递推公式。那这样的话，我们就能得出结果。所以核心问题就是这样，我们先进行去展开，得到递推公式，然后这里面当中啊，我们再解递推公式。所以接下来我们来看看这个问题啊，操作项，你看这个人怎么处理？你要想进行去解这个递推公式啊。我们先来进行去看第一个事情，你先得到这个公式。

当然，这里面当中解这个递推公式啊，我们接下来过程当中，一会会讲有一个万能的方法继续去求解这个递推公式。我们只要会做一项递推式就行，两项递推式啊，都不需要掌握了。一项递退是足以的啊，像这个内容啊，在我们的考纲当中啊，都算难的了，好，我们先来看看第一个问题。我们先进行去展，那这个展开的话，

你会选谁呀？我们先看第一个事情，我把这个人叫做dn行不行？好，这个东西啊，叫做n阶行列式，叫做dn。然后这个dn呢，我们要进行去展开一下。你选择谁呀？你选择这个人的第一行还是第一列呢？第一行第一列都差不多，我们有个选择标准。越远越好。如果这两个东西越远，

你想想。如果这俩东西挨得越远，代数余子式是不是越好找啊？对吧，越远越好，所以这里面当中我们就按照第一行展开，那就是二倍的a一一，然后再加上二倍的，你看这个人。中间都是零。第一行的第n个好，这个结果继续。然后这个第一个人的a1是多少呢？那a1这个东西它就是这个样子。我去掉这一行，

去掉这一列。那去掉这一行，去掉这一列，还留下了这个人，那这个人的话，他是这条线。这条线和这条线，大家想想你这个人的样子，跟原来的样子一样不一样。跟原来的样子是一样的。就跟我们dn的那个人的样子是一模一样。但是这个东西啊，它会少掉第一行。对吧，少掉第一行。

然后紧接着再少掉第一列。我们就会得到这个人dn- 1。对吧，少掉一行，少掉一列，少掉第一行，少掉第一列，那这个东西啊，我们就把它叫做dn- 1。然后再看这个人，这是负一的多少一+n？然后接下来我们怎么办？我们就来看看这个人的代数余子式。好，现在看余子式，

那这个人的余子式，他不就是一个上三角形行列式吗？哦，原来是个上三角，那就是负一的n- 1次方。所以说这里面当中我就得到了递推式dn这个人等于二倍的dn- 1，然后这个人呢？你发现是负一的2N次方，那一定是偶数次方，那就是二好，这个结果一旦哦，我做成这样就可以处理了。能学会吧，好了，这个东西啊，

一定是加上二。哎，赶紧加个二就行，那么所以说像这种问题啊，它就叫两项递推式，稍等啊，开空调。所以像这个问题啊，你就会发现啊，这个内容啊，我们就加上二那这种递推公式啊，叫做移项递推式。那一向递退时啊，他需要一个出资条件。所以这里面当中，

我们就需要一个人，我们就需要第一。啊，需要第一，那需要第一的话，你发现不就是去掉前n- 1行？去掉前n- 1列嘛，就留下这个人，那就是二。所以接下来我们来讲讲，像这种线性递推式啊，它的万能求解方法，所以接下来我们来看看第二个点啊，有个大招方法。那么，

像线性递推式的万能求解啊，我们只需要掌些掌握两哎一项递推式就行，什么叫一项递推式呢？就是这个dn呢？跟这个dn- 1之间，它是一向递推式就行。对吧，就说这俩人之间的关系就dn和dn- 1之间的关系，这叫移项递推式。那像这种一项递推式的做题方法怎么做呢？有一种万能求解方法，叫做创造等比。那怎么创造呢？我们来分析一下。哎，

就这样做。就说我这个东西啊，我要移过去一个数，因为你这个人肯定要跟dn- 1之间成等比。那你这里面当中怎么办？我移过去一个数，比如说我移过去一个x。我移过去一个x了之后啊，你要跟这个东西形成等比数列，那这个东西也得加s。能理解吗？这两东西既然形成，等比数列这个东西也要是x啊，这样的话，它才能等比数列，

那我想问一下，这个前面的系数变了吗？没有变，因为这个dn- 1根本就没有动，所以这个还是a。那很多说那s是多少呢？那非常简单，那我们这个as这个人减去这个s不就等于b那s这个东西不就等于b比上a- 1吗？哎，永远会处理。所以像这个问题点呢，非常的简单，就是我移过去一个数，变成了dn+s，然后这边啊a这块没有动，

然后这个东西啊。创造一下等比就行，你能把这个x解出来x只要存在，那这种事情就能写出来。所以这就是个方向，好，我们来看看这个题吧，怎么做？来抽象。你可以这样处理，我也不知道移过去多少。然后这个东西跟dn- 1之间成为等比数列。然后这个dn- 1前面的系数就没有动。那既然没有动你这个东西加s比上这个dn- 1+s这东西，两者之比就是二。

所以说这里面当中啊，我马上就可以推出来，这人加上s啊，这个s啊呃，你可以求一下。那这个s是多少呢？这是2 s-s，然后等于上面的2s是二，所以说这个情况我们就出来了。那说明这个人的话，他就是这样子。就说明这个是dn+2，然后等于二倍的dn- 1+2哦，这个东西原来你加个二之比是二啊。那说明加二为什么东西啊？

为等比数列。那等比数列的首项是多少？那首项肯定是d1啊，所以d1 n+2，那这个东西就等于d一一+2。然后再乘上公比，公比的n- 1次方。这没问题吧？所以你看这是第n项嘛，这是第一项嘛an=a一再乘上a的n- 1次方。那所以说这个dn就等于多少，我们先来看看d1d1这个人是二，那这就是四，所以说结果就等于二的n+1次方再减二。本题结束啊，

所以说这个题啊，立即出来了。行吧，学会了给我回复一。能听懂吗？这叫待定系数法创造等比数列。如果是一向的话，这种线性递推式啊，我们就是这样做。我把这东西移过去一个数，然后这两个东西啊，成为了一个等比数列线性递推式啊，问题点不大，你下去好好想想。好，

那么这个问题啊，我们就讲到这来继续吧，我们再来看看专题30这个问题，看看这个点。那专题30这个人呢？他是涉及代数余子式的线性和问题，这是个考纲重点，容易进行就出一道题啊。要稍微注意一下。哎，容易出题。然后这里面当中核心考点是什么？核心考点都是某一行或者某一列代数余子式的线性格问题。就是你这一行或者这一列，你的代数余子式的线性和问题，

什么内容呢？就是这样的一个意思。比如说这里面当中，我们给了一个行列式。你看这个人。给了一个行列式。这个行列式，然后让我们去求解什么呢？让我们去求解这个人。你看这个人。那这个人是多少呢？是第三行的第一个。然后是第三行的第二个。第三行的第三个，第三行的第四个。

那让我们干嘛呢？让我们继续去求解一下这个代数余子式的线性和。对吧，代数余子式的线性和。那这个代数余子式线性和怎么去求呢？那我总不可能说我们在这里面当中，把这个四个代数余子式算出来，这个非常麻烦。那么，接下来我们来观察一下。首先第一个事情。你这个位置处的代数余子式。跟这一行元素没关系吧？你这一行的代数余子式跟这一行也没关系，这个人也没有关系，

这个人跟这一行也没关系。那所以说同学们，你想想。这四个人都跟这一行的元素，是不是没有关系啊？所以说这里面当中啊，我们都跟这个东西啊，没有关系。哎，都跟这个人呐，没有关系。所以说这个时候我们就清楚了，原来这个代数余子式啊，都跟这一行元素没有关系。也就说，

这行元素爱是谁就是谁，你无论是谁哎，你这几个代数与子式都不变。那同学们想想你喜欢是谁呀？我想了想，如果这几个人就是这个系数多完美啊。如果这两个当中刚好就是它的系数。你看刚好是系数。你刚好是系数的话，就是k1这个元素乘上代数余子式k2乘上代数余子式k3乘上代数余子式k4乘上代数余子式。那这个东西不就是暗行展开的定理吗？你不就会等于我这个行列式吗？所以这就是它的做题方法。所以注意啊，做题方式非常简单。

某一行的代数余子式的线性和就把这一行的元素换成它的系数，求这个行列式就出来了。某一列的呢，也是这样做，把这一列的元素换成它的系数，求出这个行列式就行了啊，这个非常简单啊，这很容易出题的。那么，接下来我们来看几个点吧，先来看看第一个问题。好，我们来处理一下这个幺九二这个题，你看这个题怎么做？好，

先看这个题。那这个题啊，他说。这个人的代数余子式。第几行第几个第一行的第二个？诶，这个未知数的代数余子式等于负一，那这个未知数的代数余子式等于多少呢？那这个未知数的代数余子式不就是负一的一+2？然后是这个行列式，就是5 k- 4，它等于负一，所以说这里面当中5 k- 4啊，它这个东西不就等于一。所以k等几啊k就等于一。

好，这是第一个人。然后接下来让我们去求什么呢？让我们去求解行列式当中的这个余子式和这个代数余子式。那我们来看看，这是第三行的第三个，然后这是多少第二行的第三个当然。这题出的非常简单，因为像我们的考题的话，你发现你就直接做就行了，你把这个人求出来，这个人求出来结束了。对吧，你就直接做，所以这个题考的没有什么难度啊，

但是有的时候我们考的那种题啊，它的风格就是这样。那么，像这个人的话，我们求的是什么？第三行的第三个，第二行的第三个。第三行第三个第二行第三个。你可不可以一下求出来呢？你也可以。因为这两个当中，你可以转一下，这是第二行的第三个，这两个加起来是偶数，它其实就等于第三行的第三个。

然后这个时候的话，你可以怎么办？你把这个这个人写成零倍的第一行第三个。那所以说这个人其实就变成了第三列的代数，余子式的线性和吧，我只需要把第三列换成它的系数零幺幺。然后这个时候就是一零，然后这个k是多少一二，然后这个k是多少，这是一好了，做成这样。那做成这样了之后，我们再消除一个零就可以展开了，或者而言，直接按照第一个人展开，

已经有两个零了，你一展。一展这个人就出来了，所以就等于二减一等于一，所以答案选几啊选c啊。好了，这是这个问题啊，难度系数不是说特别大，你就把这人一换，哎，这题就结束了。行吧，掌握清楚给我回复一吧，这是幺九二这个题。能学会吗？

幺九二。那么，接下来我们再来看看下一个题啊，再来看看幺九三这个题，继续看这个题。你看这个题怎么做？他让我们求解的是，这个第四列。第四列的代数余子式的。对吧，这个之和。这个第四列的代数余子式之和，它等于多少呢？它其实就相当于把这一列换成一一一。对吧，

因为你发现你是第四列嘛，第一行第四列，我觉得我都不想写，写的都是一种侮辱。对吧，你就把这人换成一一一，你换成一一一了之后的话，你发现他跟第一列是不是成比例？第一，列成比例的话，这个行列式刚好等于几等于零答案选d。好了，这个人呢？就出来了。能想清楚吧啊，

这个题不难呐，这都是骗子，你看这里面当中写了好多内容，你写什么a1a2b1B2C1c2啊这。这都是骗子，好了，我们继续，我们再来看看下一个题，你看这个题怎么做？好看一下这个题目。那这个题啊，它的考点是什么？他说这个人是代数余子式。然后让我们去求解这个人，同学们告诉我这是啥玩意儿？

这个东西啊，是所有的代数余子式的加和。啊，这叫所有的人的加和你，首先这个j呀，是从一加到4I，要从一加到四。你想想一个事情，比如说这个I就是一。a是一的话就是a一一a一二a一三a一四，你直接从一加到四嘛。然后如果这个a是2a二一a二二a二三a二四。如果你这个I是3a三一a三二a三三，然后这是a三四。如果你这个a是四的话a四一a四二a四三a四四。

能听懂我的意思吗？就是这样的个问题，这叫所有的代数余子式的加和，那这个人怎么求啊？你可以疯狂一点，你疯狂一点的话，你发现你就把所有人求着，有些同学更疯狂。说把这东西所有系数都是一把它全部换成一，我当场就疯了。没有那样处理的，你只能一行一行做。啊，你只能一行一行做。那一行一行做的话，

我们先看第二行。那第二行等于多少呢？这是第二行的代数，余子式的加和。第二行代数余子式加和，就相当于把第二行全换成一。诶，你这个人跟第一行成比例，那行列式不就等于零吗？然后再来看第三行，那第三行的做法的话，你发现我不就是要把第三行全换成乙吗？那这一行又跟第一行成比例，它又怎么滴？你做第四行的话，

不就是要把第四行全换成一吗？你第四行换成一。你换跟第一行又成比例又等于零。所以说这个题的核心重点其实就只需要把第一行换第一行换成一。然后这个结果其实就变成了一个上三角形的行列式。然后这个s3角形行列式啊，刚好等于八，所以说这个结果一加是c好这个题啊，考的非常棒的一个题啊。难也不难，很有我们的出题的风格，灵活性，巧妙度奏在其中啊，这是这个点过去了可以吗？好了，

这是幺九四这个题，你下去好好想想它是怎么处理的？对吧，这个所有代数余子式加和。那我只要进行去求解这一行的代数，余子式加和我在这里面当中怎么办？我就进行去处理，处理什么问题呢？啊，要有一个32的选项。好，这个问题，所以说你要想清楚它是怎么做的啊？所以它叫所有的代数余子式，如果这一行就换这一行，

这一行就换这一行，你换就行了，好，我们再来看看下一个题，再看这个题。呃，这个题啊，纯属就是考运算了啊，这个题的出题点呢，就是希望同学们把这个运算能力啊，你再加强一下。好了，我们来看看这个人吧，那这人是第一行的。第三格。

然后是第二行的第三格。第三行的第三个，第四行的第三个，那就是什么呃，第一行第三列，第二行第三列，第三行就是把这个第三列全部。全换成一，所以这是三一二五。然后这是零负一零二，然后把这个第三列全换成一，然后这是零负一零三。好，这个人像这种类型问题怎么做呢啊？灵活度稍微的高一点。

你看这一行当中已经有两个零，我再有一个零就非常棒了，它要比我们原来的话，那个高斯消元法还要更巧妙点，所以你说你现在进行做题，你用高斯消元。还有这稳扎稳打的作用行列式展开都行，灵活度高一点。那这里面当中已经出现了几个零两个零，那所以说我们就怎么办？如果出现三个零就非常棒了。我就把这一列的负三倍加过去。那这个负三倍加过去了之后的话，就相当于减去三倍，这是零减去三倍，

这是它减去三倍，这是负一减去三倍，这是二，然后这是零负一零二。然后这是一一一零负一零三。那这个时候你怎么办？我就可以按照这个东西进行展开了。第一行第三列一和三加起来是偶数就不管了。那所以说就剩下了这个行列式，那剩下行列式是负二负一，这是二，然后负一，这是零零，然后这是负一，这是零，

这是三。然后再怎么办？我再用这个东西进行展。我一展就出来了。对吧，你就这个东西一展，按照第二行展开。那所以说这个结果。你继续展，那这个展啊哪个？哪个是二？这是负二负一二这负一啊，这是二是吧？然后这是负一负三，然后这个时候的话，

我们再按这个进行它去展。然后这是第一行的第几列？这是第二行的第一列，所以是这个结果，然后最后这个人是负一负一，这是二三。那所以说这个结果它这个人就是正的，然后这是负三，然后减去它这个结果是负一。哎，所以说这题正确答案就出来了，正确答案选b。所以像这个题啊，你灵活度要摆高一点，对吧？

我们学到今天的话，你只要这里面当中出现某一行某一列出现三个零我咔的一展。变小了，我咔的一展变小了，所以这种行列式的展开，你要注意，应该是双管齐下。它不是一个单方位的问题，就说我要用行列式的性质，我永远用行列式性质，我要用行列式展开，我永远用行列式展开，不是这样，它是个组合拳。有的时候我可能选想用这个行列式的展开，

有的时候我看到这种情况，我用行列式的性质，它是非常灵活的，对吧？你把它用出来就行。行吧，这个题我们就讲到这幺九五这个题。可以了吗？听明白了给我回复一。呃，这是我们讲的这个第一波问题，所以下去啊，你好好进行梳理一下。那么，接下来我们这个前面板块，

我们就讲完了。然后接下来对我们这个第一章的类型问题啊，还有一个考点。只剩下最后一个考点，就叫抽象型行列式的计算。但是你要想学习这个问题。你就必须要进行去学习什么，你就要进行去学习矩阵的问题。因为我们都知道这个行列式的双竖线里面当中是矩阵。那所以说在这种当中，我们就要用什么东西啊？就要用这个矩阵的一些性质。所以我们还是这样想吧，哎，我有点不放心，

其实按理说你就可以直接这样讲。但是我觉得有点啊，有点担心这个事，所以我们这样来，我们先进行去啊，把这个第二章当中。矩阵的一些问题啊，我们可以回顾一下。可以吧把第二章的运算的东西啊，回顾一下，然后再回过头来进行讲这个问题，这样呢，我觉得更稳妥一点。我实在害怕，估计有些同学把这个东西啊，

你全忘完了，所以这样来。你听我说，我们先进行去把它翻到这个。第六章的矩阵，我们先进行去看，这个矩阵的运算。我把矩阵的运算呢，复习完了，然后接下来回过头来，我们再进行去求什么，求解这个抽象性的行列式的计算。能理解我的意思吗？所以接下来我们接下来看看矩阵的运算。那像矩阵里面当中啊，

有很多种特殊的矩阵。什么上三角矩阵，什么对角矩阵，什么单位矩阵，什么数量矩阵，那么像这些问题啊，我们就不复习了。那么，接下来我们就正式来开始看一下这个矩阵的运算。所以说这波内容啊，其实对我们的考研非常的重要。像数一和数二和数三同学，你在这个板块内容基本上很少会出题。如果在这种当中啊，出一个题，

那都是一种奢侈，但是对我们不一样，我们是高能的重点，所以像这个问题点呢，你一定要知道。每种的运算，我们先来看看有哪些人？比如说这里面当中有矩阵相等的问题。矩阵的加减的问题。还有这个矩阵的乘法的问题。区域阵的速成的问题。区域阵的转置的问题。区域阵的伴随的问题n次幂的问题。还有它的逆矩阵的问题。所以像我们在这个板块内容当中啊，

公式是非常多的，定理也是非常多的啊，我原来基础班讲这个时候啊。其实我们还专门给你总结了一个文档，让你继续去填一下，我相信梳理完了之后啊，这个内容点会非常的清楚。你其实就是背一些东西，你把这东西的运算法则把它记住，你知道这个东西是怎么运算的，那就非常棒了。所以接下来我们一个个看，我们先来看第一个事情矩阵的相等。那么，首先我们先来看看矩阵。

那矩阵是一个什么呢？矩阵是一个数表，那矩阵一定是方的吗？那矩阵不一定是方的。那比如说我们来在这里面当中看看。你要知道，如果这两个矩阵要想相等。它应该是这个矩阵里面当中的每一个元素都要相等。对吧，而且你这两个东西啊，而且还得是同形的。我觉得这样写啊，其实把问题讲难了。两个矩阵相等，就看看这两个矩阵是否一模一样。

对吧，有一模一样，两个长相是一样的。那比如说我举个例子，当然不一定是方导。那么，首先我们先来看看第一个点，比如说你看看这是个a。这是三，这是四，这是五，这是零。然后接下来我们再来看看这个b矩阵，这是三这是四，然后这是多少这是零这是零。

那你告诉我这两个矩阵。他一样吗？这两个矩阵呢，不相等。对吧，这两个矩阵不相等，但是你发现一个问题，这个矩阵的行列式呢？相不相等呢？你看这是三零零四这两个行列式相不相等呢？诶，行列式相等。行列式，我们在乎的是结果。所以说这里面当中的第一个事情，

你要注意，如果什么情况呢？如果这两个矩阵一样。我肯定能推出这两个矩阵的行列式一样。但是我先提前说了，能加双竖线，必须是方阵吗？对吧，能加双竖线就是个方针。那所以说这个有些东西一直还在那谈，我发每次都发一个东西，总有下面说什么三行四列都学到今天。一个强化班同学，你跟我说三行四列，你不就是对我一种复习的一种侮辱吗？

你这有什么好好提这个事情的。你是个强化班同学，没有必要这个点，所以说你发现如果加了双数线，那这东西一定是方针。对吧，绝对是个方针。我两个矩阵是一样，我的行列式肯定一样，那么接下来我们再来看看下一个问题，如果这个行列式相等呢？你想想行列式相等，能说矩阵相等吗？那这东西啊，肯定不行。

对吧哎，这个东西啊，绝对不行，所以说如果这个东西相等它行列式肯定相等，但是你发现一个事情行列式相等能推这个人吗？那绝对不行。好，这是第一个问题，那接下来我们再来看一个事。我看看大家水平怎么样？如果这个矩阵呢？对吧，为零矩阵。我是个零矩阵，你请告诉我，

如果它是方阵行列式是不零的。那当然是零，但是你告诉我，如果行列式是零，你能说这个矩阵是零吗？那不一定，你比如说我举个例子，我在这里面当中出一个行列式。比如说你出一个一二一二，那这人是不是零？你这个行列式是零，但是你发现这个矩阵不是零啊？对吧，矩阵不是零啊。那么，

这里面当中还有一个问题，我们经常在这个考试当中啊，会说这个事情，他说若这个a。比如说是三×3。唯一一个什么东西啊？非零矩阵。那非零矩阵什么意思啊？这个矩阵不为零的意思就是这里面当中有九个数不全为零。能听懂吗？这九个数不全为零。肯定有一个不为零的，就是你这里面当中肯定有一个不为零，就说这个九个数，如果九个数全部为零，

它叫零矩阵。绝对有一个不为例呢。那阶段当中就有问题了，说如果一个矩阵不为零，能推出这个行列式不为零吗？能不能那纯属胡扯？区域正不为零，比如说这个人。这个矩阵也不为零。但是行列式有可能是零，所以同学们一定要把它想清楚这些概念的话，其实一点都不混。你行列式是在乎一个结果。去证为零，就是所有人为零。

去证不为零，肯定有一个元素不为零。我绝对有一个元素不为零。我这个元素全部为零，就是个零矩阵，肯定有一个不为零，对吧？绝对有一个好了，这是这个问题，能想清楚吗？把它琢磨清楚，这第一个点矩阵相等。跟得上吧，好听明白了给我回复一。然后接下来我们再来看看第二个问题，

我们就要讲讲矩阵的速成。还有这里面当中的矩阵的加减，还有矩阵的乘法，这三个事情。那这三个人呢？那么首先我们先看第一个问题。k乘上一个矩阵，这可以是m行n列的矩阵。那这个矩阵不一定是方的。然后两个矩阵相加减。m×n的加减上b，它也得是m×n的。它必须是通信的。然后这个矩阵的乘法，如果你是个m×n呢？

你乘以这个东西一定是个什么？一定是个n×p的。最后得到的矩阵一定是m×p的。能听懂吧，就是矩阵的话，它要想相乘，那这个人的行，这个人的列前面这人的列一定要跟后面的行相等。然后这样的话，他情况才能成好了，这是一个非常非常基础的问题，同学们都能了解吧，你要这个东西不会呀？我觉得不应该上强化班啊，这是个最基础的内容。

会做吧，你学到今天你矩阵，你不会数乘矩阵不会加减你矩阵不会乘法，这是个bug，我不会再讲矩阵怎么去乘了？这个我不会讲的，好了，我们来看看这个下一个问题矩阵的这个人的速成。那么，这里面当中，我们假设我们就来讲一个方阵吧。我假设去讲一个方程。那么，这个内容的话，它是这样。

比如说你发现你看你进去去乘一个人。我在这里面当中乘一个多少呢？我乘一个a一一，我一直到ann。然后的话，这是a en。然后这是an 1。ann.好了，这是这个人，那么同学们告诉我，如果k乘上这个矩阵呢，一定是k乘上这个矩阵里面当中的每一个人。啊，一定是乘上这里面当中的每一个人。

一定是乘上这里面当中的每一个人。好了，这是这个问题，对雨露均沾我矩阵，乘上一个什么，我可以乘上一个矩阵，我一定要乘上这里面当中的每一个人。那同学们，你想想。如果这个a它是个n×n的矩阵。那么，同学们想我k乘上a。我就相当于给每一个部分都乘上了k。而行列式而言，第一行有公因子提一个，

第二行有个公因子提一个，那就能提出n个这个人。对吧，就等于k的N次方a的行列式。好，这个问题，然后矩阵相加减呢，你矩阵相加减，一定要注意，它们是对应相加减。对吧，比如说我们这里面当中，我们谈一个，比如说这个是a是一个二×2的，你b这个人也得是个二×2的。

那这个时候的话，你比如说你写一下，你是a一一a一二，然后这a二一a二二。然后这个东西要想跟谁相乘呢？跟这个b一一b一二b一二一b二二。对吧，这个东西相加减，那相加减的话，你会发现a一一+b一一。a一二+b一二a二一+b二一a二二+b二二。那这个情况那么这里面当中有一个重点的公式，那请告诉我，如果这个东西能进行去取行列式。能取行列式，

它肯定是方的。如果这个东西它能取行列式，那你告诉我它这个行列式会等于这个行列式加减上这个行列式吗？这件事情它。他是不行的。哎，绝对不行。a加减b的行列式，它可不会等于a的行列式加减上b的行列式。那这里面当中啊，有些同学跟我喜欢创作。不要胡来啊，有些同学创造了这样的一个公式。说abcd，如果这都是方阵，

那这个方阵就会等于a的行列式乘上d的行列式。减去b的行列式，乘上c的行列式，我当场就疯掉了。哎，我疯的不行了，如果是这个样子，我何需要在这辛辛苦苦的讲了一节课，讲行列式，我们下课了呀。要如果真的有这么简单，那你想想你任何一个繁杂的行列式。你都可以，怎么办？来我划分，

我去求这个人诶，如果这个人不好求，我继续划分。如果不好求，我继续划分，那照你这样求的话，你发现你每一个行式都如此的简洁，而且简单，我何需要在这？继续去处理问题呢。那我还学什么行列式性质，你一招吃到鲜对吧啊？什么内容点你都出来了好了，这是这个问题，注意不要乱来。

没有这个东西啊，这个点。那么，接下来我们再来看看矩阵乘法。对吧，所以说这三个人呐，我们通常喜欢把他们进行放到一起进行去对比着进行讲。然后的话，这个矩阵乘法当中确确实实有一个人，有一个这个人叫做a×b的行列式。会等于a的行列式乘上b的行列式，这没有任何问题。a乘上b的行列式会等于a的行列式乘以b的行列式，没有任何问题。对吧，

这三个点通常我们喜欢放在一起讲，因为这个东西是我们小学学的。因为这个东西是我们小学学的，因为这个东西是我们小学学的，我们只有把这三个问题通关了，我们小学才毕业了。能理解吧，这都是我们小学学的矩阵的加减，对吧？加减法乘法速乘，这都是小学学的内容。那么然后这里面当中我们小学学了很多律。对吧，比如说这个乘法有什么律，这个加减有什么交换律啦，

什么律，然后这个乘法有什么律哎，那么接下来我们就来重点的看。那么像到了这个今天呢，我原来过程当中我怎么去讲呢？同学们，还记得吗？不要进行去硬着背它，有什么我们就要进行去背它，没有什么。矩阵乘法。乘法没有三大律。对吧，它没有三打绿。区域阵的乘法没有三大律。

同学们回答，我有哪没有哪三大律啊？然后第一个事情无交换律。这是重点。然后第二事情无零音字律。因此率，然后第三个事情无消去率。对吧，矩阵乘法没有这三大律，没有这个交换律，没有零因子律，没有消去律。记住这三个没有的，那就可以了。那么，

首先我们先来进行去回顾，复习一下我们原来在这个基础班呢？我们讲过这道题，因为那道题啊，你再看一下，我觉得印象可能会更深刻一点。好，稍等一下，我们来看看。你把那个人看一下。你的印象会非常非常的深刻。矩阵的乘法。好，我们来看看这个题，当时我们基础讲义上有一个非常非常好的例题，

我们来进行去看看。你看这个例题啊，给了一个a不为0b不为0c不为零。给的三个人都不为零。结果你发现一个事，第一件事情你尝了一下AB跟BA一样不一样AB跟BA的，结果不一样。没有交换律。然后第二件事情再来看你，发现b×c=0。b×c=0，但是这个b啊b×a=0，但是这个b矩阵和a矩阵都不是零矩阵。能理解吧，就说两人相乘等于零，

推不出来，这个人为零，或者这个人为零。那或者是这样。俩人相乘等于零。且有一个东西不为零，你能说另外一个人不为零吗？不行，我这就是个经典例子，俩人都不为零，乘出来是零矩阵。然后最后一个事情，我们再来看看消去率。AB，这个结果等于它AC的结果。

AB和AC的结果是一样的，而且这个a不为零。你能推出来b=c吗？b明显不等于c。也就说AB=AC，而且a这个东西也不为零，但是你能推出来b=c吗？不行的。好了，这就是一个非常重点的问题，你把那个事情想清楚，我觉得就好学了，所以我们首先看第一个点。矩阵的乘法没有交换律，就说a和b跟b和a相乘的一般不相等。

啊，没有交换律。但是同学们想想有没有一些天然可交换的呀？那当然有啊，我们来看看天然。可交换的。那天然可交换的话，比如说我们在这种当中a和单位阵跟单位阵乘a没有区别。然后a乘逆矩阵跟逆矩阵乘a没有区别，然后第三个事情。所以说一个矩阵跟它的逆矩阵是可以交换的，然后还有伴随a×a的伴随等于a的伴随乘上a。对吧，这三对天然可交换的人，你一定要把它想清楚好了，

这是我们讲的这个第一个事情，然后接下来我们再来看第二步。没有林荫之旅。没有林荫子绿说的是什么呢？说的是这样。如果这个AB=0。大家想，如果这东西的AB=0。啊AB=0。你发现一个事，你能推出这里面当中的a是一个零矩阵。或者b是一个零矩阵吗？哦，这是a。能不能那么同学们告诉我一件事？

a乘上b是这个情况，你能不能进行去说明这个人是邻居人或者？或者这个人是邻居，真的哎，这东西啊，他绝对不行。它是不行的。但这里面当中，你发现我如果再这样写。如果AB=0。你能否继续去推出a的行列式等于零或者b的行列式等于零呢？行不行呢？你看这个整。可以还是不可以？琢磨一下啊，

行还是不行诶，这个人是可以的，那为什么呢？因为你发现。因为AB=0。所以说AB的行列式就等于零。AB的行列式等于零，就是a的行列式乘上b的行列式等于零。俩数相乘等于零，不就说明这个数等于零，或者是这个数等于零吗？对吧，你俩数相乘等于零，那说明那个数等于零，或者这个数等于零。

能听懂吧，两数数码相乘，你等于零或者我等。然后我们再来看。如果这里面当中AB=0。且这个a它不是个零矩阵。能不能进行去推出来？这个b是个零矩阵呢。告诉我行还是不行？哎，绝对不行，因为刚才就有一个非常经典的例子，俩人相乘等于零，那个人不是零矩阵。我这个人也不是邻居者。

对吧，俩都不是零矩阵，我居然相乘的结果，你发现它等于零，然后再来看，如果AB=0。但是我改了一下，如果a的行列式不为零，能不能推出b是零矩阵呢？好，再给我看看这条。那这条行不行哎？这条就可以了，因为a的行列式不稳定，我就可以说明a这个矩阵是什么？

这个矩阵是可逆的。如果这个人可逆的话，你发现你AB=0，我两边给你怎么办？两边组成一个逆矩阵。它就是它，所以说就推出了b=0。所以你看这种情况，他就可以了，所以把事情呢，一定要想清楚。跟得上吗？然后我们再来看看下一个问题，没有消去率。如果这个AB=AC。

而且你发现这个a不是个零矩阵，能不能推出b=c啊？不行的，刚才就举过例子。a×b=a×CA不是个零矩阵，这两个东西照样不相等。但是继续看。如果这个AB=AC。而且这个a的行列式不为零呢。行列式不为零就可以，因为行列式不为零，它就可逆两边组成逆矩阵，它没了两边组成逆矩阵，它没了，这时候可以。

所以一定要把它想清楚。你就记住矩阵没有乘法，没有三大律。矩阵的乘法没有三大律，剩下的东西它都有。所以像这个矩阵呢。你比如说我们有没有这个？结合率。有没有分配率？我们都是有我们没有没有交换律，这是一个最重要问题。矩阵没有交换律，别的东西都是有的。然后这个数乘呢？那数乘又没交换律，

那当然有你三×a跟a×3是一样。对吧，你这个树你想放到哪就放到哪。然后这个加减有没有交换律，你a+b跟b+a有什么区别？也没有什么区别，那所以说这个问题啊，你就把它想清楚了。矩阵乘法没有三大律。对吧，矩阵乘法没有三大律，没有交换律，没有零因子律，没有消去律矩阵的乘法，没有这三大律，

把它想清楚。好了，这个问题啊，我们就讲到这，你自己下去过程当中，你好好梳理一下，那行吧，那么今天我们就讲到这。然后也给同学们提个醒，然后你下去过程当中把这个矩阵的转支。把矩阵的n次幂。还有这个伴随矩阵，还有这个逆矩阵，把这些东西的公式啊，把它给我复习一下。

可以吧，所以说下次过程当中我们要讲的这个问题啊，分成两个事情，一个事情呢，我会把这个矩阵的运算给。给同学们讲完。那么这个运算呢？其实对我们而言的话，这个考点呢，还是非常重要，我们后天上。啊，后天生。所以同学们一定注意这个点。那个四。

哪个啊？你在你在说什么呀？这我没讲吗？这不这不刚讲的吗？啊我我不是刚讲的吗？你如果AB=0。行列式不为零，不就是可逆吗？我我刚我不是刚讲吗？你你不知道我刚刚讲这次是更可怕了。我讲的这个问题啊。你行列式不为零，不就是可逆吗？你行列式不为零，不就是可逆吗？

哦，这是这个问题哦。那所以要注意一下这个事儿，这是我们刚讲的这个问题。对吧，如果可逆它就行了。其实你发现这个内容。可以讲到。更简单一点，但是我们我们我们的这个线性代数啊，说实话，考不到这么难。其实不需要这个人满知可疑，他只需要这个a是劣满知。左臣列满制。

具有消去率，具有零因子律，又称行满之。它具有零因子律，具有消去率，所以像这个问题啊，你呃，我们不用看了啊，我们不用看。所以你下去过程当中还有一些问题。把这个转置n次幂。对吧n次幂还有这里面当中的伴随去争，把它好好看看，你们就不用管这个事情了，因为有些我们的考的这个点呢，

它不会达到这个水平点。所以说不用着急这个事，然后下次过程当中，我应该是能讲到哪呢？要注意。我下节课应该是能讲到这个初等变换这块。啊，讲的初等变换，所以说你下次过程当中，你把这个初等变换呢，你好好进行去看看。对吧，我们会讲到初等变换。那么，初等变换里面当中啊，

有一个初等真，一个左行右列，其实我原本特别想把这个东西啊写成牛逼表。但是你发现结果那个。那个编辑不允许啊，然后的话我们就写成这个，所以你下次过程当中，你得把这些问题啊，把它看看，我们特别喜欢考这个点。所以下次过程当中，我们应该是能讲到初等变换。所以对于线性代数啊，我们基本上就是呃四到五次课，我们就是基本上能讲完，

所以应该是速度非常快，短频快的一个部分内容。应该对你而言呢，我觉得下去复习的过程当中提高。你在讲什么呀啊？你好好听课呀啊。啊，所以说对于我们而言的话，这个七道题啊，我们的得分率还是啊，挺快的，对吧？你像这几个部分的内容，拿起来分啊，水平点呃，

对我们而言，付出和这个最后的这个回报，我觉得。还是比较啊，这个我觉得回报率还是挺高的，好了，那么今天课程我们就讲到这，自己下去好好进行，把相对问题好好处理一下吧。真的是你们真的一个个太有意思了啊，行吧，那么今天课程我们就讲到这儿。别逗我了啊啊，好好听课。行吧，

那么今天课程我们就讲到这，然后第一章啊，然后这个作业也不是说特别多，我们线性代数的作业是第一章和第二章一起去做。所以你们不要着急，这个事情你先进行去把这个部分的内容先进行整理一下，把该记的东西啊，记到脑子里面。那行吧，那么今天课程我们就讲到这行吧，同学们自己下去好好处理吧，那么今天是我们线性代数的这个强化班的第一次课程。啊，里面当中的一些点呢，你还是要进行去好好梳理一下，

那另外一个点呢，就是那个。概率论部分是基础班呢，有些同学说这个问题点比较大的啊，等到这个强化班过程当中，我们会在概率论当中。重点跟同学们进行加强一下啊，到时候等着这个强化班，你就算那个基础班的时候，你的概率论学的不是说特别好，有些东西忘的差不多了。啊，等到我们这个强化班还是能梳理的很多。那行吧，那么今天课程我们就讲到这，

自己下去好好处理吧。行，那么明天没有课程了，然后我们后天我们再开始这个线性代数的第二次课程，因为这两天连着上的这个时间比较多了啊，我们后天继续。行吧，同学们好了，我们后天见吧啊。别在这瞎造谣了啊，这是说啥呢啊？好，下节课见吧啊。

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