21.冲刺满分强化篇·题型36-37精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:13:29

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。呃，那么今天啊，我们就正式的进入到第二个板块，内容就是线性代数啊，强化班部分的内容，那么首先我们在正式上课之前呢，还是跟同学们进行去重点。

然后去说一下这个所有的大纲的核心考点，以及这门课程呢，我们应该怎么进行去学习，所以这门课程的话，对我们这个强化班呢呃，不会说花费特别大的这个时间。那这门课程呢？一定是低投入，高回报的一门课程，那么首先我们先来看看这个线性代数啊，所有的大纲的要求。那么，在我们的核心重点的大纲当中，啊呃，内容点呢？

其实就这四章内容，那么在这四章当中啊，我们核心重点是考七个题。考察七道题，然后的话，每道题是两分，总共考察14分的这个分值。那么，其实我们已经走过了一遍这个基础班，你再回头了进行去看看这个呃，所有大纲的时候跟我们第一次进行去看呢，感觉肯定是不一样的。那原来我们在上这个线性代数的基础班的时候，我们进行去浏览这个所有大纲的要求的时候，你可能感觉说诶，

这个部分的每一个板块好像曾经学过，然后这个东西啊，又记得不是说特别清楚了。但是我们基础班走过这一遍了之后啊，你再回过头来继续去看这个事情，你其实就非常清晰。那么，在这14个考题当中啊，这个14分的考题当中啊呃，七个题一般情况下就是这个行列式啊，我们会出一道。然后这个矩阵当中啊，一般会出两到三道，然后这个向量当中啊，一般会出一到两道，

然后这个方程组啊，会出一到两道，所以基本上就是这样。七个考题，每章过程当中一定会出题的，然后对于这门课程怎么去学习呢？我来跟同学们进行去大致的进行去讲一下。那么，首先对这门课程的要求啊。就放这吧啊，这门课程呢？对于这个线性代数，这门课程你必须要有满分的追求呃，一定是这样，因为它无论是这个去年的考题，

前年的考题大，前年难度系数都不是说特别大。那所以说对于这门课程呢，你的要求一定要摆高一点，而且对于我们的线性代数三九六，同学线性代数不是说考的特别的难。核心问题，你把它把握清楚就行，第一个事情就是基本的定理。还有这个公式对吧？基本定理和基本公式啊，必须要熟悉你像这些东西必须要装到脑子里面。谈到这个公式，一定要非常的清楚。谈到这个定理必须要用的非常熟练，

然后这里面当中的核心题型呢，你必须要把它突破了。所以说今天过程当中，我们去上这个第一章，你很快就理解了，那么原来我们讲的这些东西啊，我们再把它梳理成梯形。然后见到这个东西会去处理，那就非常好了，但是这两年的考题还有一个特点就是这个出题的，这个风格非常的灵活。灵活的点在何处呢？有些题它特别像脑筋急转弯的题，那所以说在这种当中啊，读题的能力也要非常的加强一点。

所以像这个板块难度不是说特别大，但是基本内容一定要非常的熟练。好了，那么接下来我们就不多说了吧，我们就正式的开始对吧？对于线性代数这门课程，我们今天来看看第一章行列式。那么，在行列式这章，首先我们还是来进行去看一下行列式当中所有的考点，部分的内容。好，那么接下来我们先来梳理一下这个考点的分布。第一章行列式。那么，

在行列式当中啊，其实我们如何去考？其实你把它说的非常的清楚，就是四个点。如果把中间的两个计算性的东西拢到一起，其实就是三个点，那么第一个问题点呢，它是这样，就是考察。行列式的定义。你注意这件事，我们是会考的，你像数一和数二数三同学像这个板块内容，它不是重点，你谈到行列式的定义，

基本上出题啊，是很少的。但是像我们这个板块还是会进行出题的行列式的定义，一会我们会重点来讲。我把这个换个颜色啊。好，这是第一个事情，行列式的这个定义。然后接下来我们再来看看第二事情，那就是行列式的计算。啊，行列式的计算。那么这个计算呢？这里面当中有几个问题呢？第一个事情性质。

那么，利用这个行列式的性质，有的时候我们会出这种题，完全是使用行列式的性质。那么，在这里面当中的计算呢？不用进行去做过多的n阶行列式。如果你想去做n阶行列式，一定得具有规律性，要不然就继续去做做一些三阶行列式，做一些四阶行列式就可以了。而我们考题出的非常多的，基本上都是三阶行列式，所以出题的难度系数不是说特别大，一个是性质，

一个事情是展开定理。对吧，这两个问题，利用这两个东西啊，继续去处理行列式的计算性问题，然后这里面当中我们再来看第三个点。其实就是这个代数余子式。线性，线性和问题啊，这个点呢，出题点出的还挺多，好了，这是我们讲的这个第三个点，还有第四个点叫做抽象型。行列式的计算问题。

啊，这个内容其实就是重点了。那抽象型行列式的计算呢？一会儿过程当中，我们进行去谈到这个基础班的时候，你就会发现啊，这个上这个强化班明显就跟这个基础班不一样。一会我们去谈到这个矩阵的时候，谈到这个行列式的时候，还有这个向量的时候，有的时候的话，你发现我们谈到这个行列式，我就要用到矩阵的问题。用到这个什么这个向量的问题，你得把这些东西啊，

你都得串起来好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们先来看看这里面当中的第一个问题。行列式的计算性问题。好，先来看第一个点行列式计算。那么，谈到这个行列式计算呢？我们先来看看第一个问题，我们先来把行列式的这个定义啊，我们给解决清楚。先来看第一个点行列式的定义。那学到今天呢，你终于知道这个行列式是什么了吧？什么叫行列式呢？

行列式这个东西啊，其实是一个数。对吧，我们先来看看这个基本的认识，那行列式一般是用双竖线进行去夹住的。那这里面当中加注的是什么？加注的是个数表，加注的这个东西啊，是个方针。一个行列式啊，我不会在乎它里面是多少，我在乎的是这个东西的结果，你比如说举个例子。你发现这是一二，然后这是零零。

虽然这个行列式啊，它的这个结果不一样，对吧？你发现就说这里面这个东西不一样，但是这个东西的结果是一样，你比如说这个人。还有这个一二三零。你看这两个，虽然这个行列式的这个里面不一样。但是这个行列式的结果完全是赢。所以看一个行列式相不相等，我就看这个人的结果相不相等。你要注意这个东西，我不会在乎里面怎么写，我在乎的是这个东西的，

这个结果是什么？呃，不要在这上课过程当中啊，说这个烂梗了，真的是没有什么意思啊。所以说像这个问题，所以你看这个里面当中啊，我不会在乎这个双竖线里面是什么，我在乎的这个东西啊，是它的一个结果。所以像这个第一个事情行列式，这个结果是一个数。要注意行列式本来就是个数。然后接下来再来看看第二个问题行列式，这个双竖线里面加的是什么行列式？

这个双竖线里面加的是一个方形的矩阵。里面当中是一个矩阵，而且这个矩阵呢，必须是个方阵。能讲清楚吧，把这个内容啊，你琢磨清楚就行，那当然的话，你发现行列式可以这样写，哎，我是不是也可以把这个方阵，比如说举个例子。这个方针假设它是个三×3的矩阵。那这个三×3的矩阵，那这一列我可不可以记成阿尔法一向量？

把这一列是不是可以记成阿尔法二向量？把这一列是不是可以记成阿尔法三向量？所以说这个时候这个行列式可以怎么写？这个行列式既可以这样写，是不是也可以写成阿尔法一？阿尔法二阿尔法三是不是这个情况，所以这两种写法都是可以的。所以将来我们看看到这个行列式啊，无论是见到这种情况的行列式，还是见到这种情况，还是见到这种向量形式的写法，它都是一种行列式。好了，这个第一个问题啊，把它想清楚，

然后接下来我们再来看看第二件事情，关于行列式的这个定义。什么叫行列式呢？我们基础班其实重点讲过。它叫做来自于不同行，不同列元素乘积的代数和。你来看看这里面当中，比如说我以一个二级行列式为例，你看这个人。那这个行列式是怎么算的呢？这是个二级二×2的。那怎么计算呢？它这个计算叫做主对角线元素。然后再怎么办？减去这个负对角线元素的乘积。

那么，先来看看这个当中的第一项，第一项当中是这两人，是这个a一一和a二二，你看这两个元素。这两个元素是不是分别位于不同行，不同列，不同行，不同列，然后再来看看这两个元素。是这个人和这个人这两个元素啊，也是不同行不同列，所以行列式的结果是什么？不同行，不同列这个元素的乘积，

它的什么和呢？代数和那同学们想想这个前面这个东西的正负是怎么决定的？那么，接下来我们来看看这个n阶行列式的定义，把这东西讲完，我们再回过头来看。那么，接下来看看这个n阶行列式。它怎么进行定义的呢？好，我们先来看看这个行列式。这个行列式当中啊，其实有很多项，有很多项对吧？有很多项我想问你个事情，

这个行列式总共有多少项？先看第一个问题。对吧，它共有多少项呢？那这个项是怎么进行取的？对吧？这么一项就是第一行取一个人，第二行取一个人，第n行取一个人。每一行都取一个人，第一行有n种取法，第二行就有n- 1种取法，第三行就有n- 2种取法，一直到一。总共有n个阶沉箱。

所以这个行列式算完了之后啊，它有n的阶乘项，而这每一项是什么呢？哎，我们来看看每一项。啊，每箱。每项均为什么来自于不同行不同列？来自不同行。不同的。元素的这个乘积。元素的乘积的问题。对吧，这里面当中每一项它是什么？它是来自于不同行，

不同列元素的乘积，比如说我举个例子。我在这个第一行当中取一个人，假设我取了这一列。我在第二行当中取一个人，取了一个g二点。然后再到第n行取这个人，这是jn列。然后这个j1j2到jn分别位于什么？你要注意一个事情，你这个j1j2到jn。这个东西啊，一定是不同的。能理解吧，他们位于不同行不同列，

我第一行取一个人。我第二行取个人，第三行取个人，你取得这个人一定是位于不同行不同列好了这个元素乘积。你乘积完了之后怎么办？哎，你要注意，它不是直接加和它是个代数和那这个前面有一个什么？负一所以第三个事情，这个前面啊诶，它是个代数和问题。它前面有个系数，那这个系数是多少呢？这个系数是负一的行的逆序数，然后再加上列的逆序数。

那如果这里面当中，我怎么办呢？我就把这个行，你看这个行行，我就按照一二三一直摆到n。行进行顺排，那这个行的逆序数是几啊？是零。那请同学们告诉我这个列的呢？哎，你发现就是j1j2一直到多少jn是不是这个逆序数啊？所以这里面当中，我只用进行求谁的逆序数啊，我只用继续去求这个什么j1一直到多少？到jn的逆序数。

能听懂吗？啊，就是这个问题，取自不同行不同列，那如果第一行取个第二行取个第n行取个把行顺排就是列的逆序中。然后这里面当中啊，就把它进行去加起来就行哎，把这所有项数啊，你给我加起来好本题就结束。能会做吗？所以行列式这个东西就是这样，那么接下来我们一起来看看这个事情，比如说如果到了今天呢？你不知道这个行列式的这个定义，我们怎么来？

来看一下这个人，请告诉我他总共有多少箱，你先不要给我看这个人。好，我们先来看看这个人总共有多少项？那第一行有两种取法。第二行只有一种取法，所以总共有两项好，我们先来看看第一行，第一行假设取你。那第二行只能取多少？第二行只能取你，因为位于不同行不同列。如果在这里面当中的第一行取谁呢？第一行取a一二，

第二行只能取a二一。但是这样东西是直接性加和吗？不是的，是代数和你看这个行进行顺排了列的逆序数是多少？是一和二的逆序数，那这是顺的是零。所以负一的零次方，这前面是正的。然后再看这个人。把这个行顺排就是列的逆序数二一的逆序数，那翻一下调换一次，那是一。负一的一次方是负的，就是这样算的。能听懂吧啊，

就是来自于不同行不同列元素乘积的代数和，所以说最后啊，我们就推出了一个法则。这个东西法则叫做对角线法则，就是这条对角线减去这条对角线的乘积能理解吧，这个方法叫对角线法则。那对角线法则也适用于三级行列式。我们来看看这个三级行列式。那这个三阶行列式的话，你发现它是这样，那怎么办呢？首先我们先看第一条主对角线。你看他在这儿正等，然后第二条主对角线是这个人a二一a三二，然后a一三，

他在这儿。然后再来调出主对角线，就是这三个人，那这三个人的话就是这好了，三条主对角线，它相乘积都是正的。好了没？然后再来看看三条负对角线，这条负对角线的乘积就是在这儿。然后这是a一二a二一a三三，他在这儿，然后是这个人，他在这儿好三条副对角线。那这个方法也叫流沙法。哎，

流沙法，你不要小看这个点，这个还考过呢，我们有一年考题的话，就用流沙法做，是最简单的。就是三条主减去三条副，然后这个东西就出来了，对吧？就是有一年的考题，用这个方法反而简单，用别的方法反而不好做。你就是这样的一个特点啊，这个方法叫流沙法三条主减去三条负。那么，

这些方法其实都叫对角线法则。哎，都叫对角线法则。那这个对角线法则，你要注意四阶行列式就不行了。所以我们在讲义当中啊，我是专门给你进行去标注了的，对吧？那这个东西啊，这个对角线法则只能适用于什么？是二阶行列式，还有三阶行列式，你像什么四阶和四阶以上，它都不能用，你要注意一下这个事情啊，

它都不能用了。把这个点呢，把它想清楚。好了，这是这个问题，那么接下来我们把这个三级行列式啊，我也稍微的进行去讲一讲，来看看这个问题。诶。好，我们来看看这个三阶行列式。比如说这里面当中啊，我也来进行讲一下这个三级行列式。好，一起来看看。

第一件事情回答我，请告诉我这个行列式的结果，总共有几项？几项第一行有三种取法。对吧，然后第二行只有两种取法，因为不能取那个你第一个人取了之后，我第二行就不能取那一列了，然后这只有一种取法。三×2×1总共有六项。好六项，那六项的话，我们随便取一项吧，好比如说你看这里面当中有一项，这有一项。

这有一项对吧？总共有六项。哎，六项那每一项是什么呢？我们随便来一个，比如说这里面当中，我们取这个人啊，取这个人。取这个人取这个人，你看这三个人是不同行不同列吧，我就很想知道这个人前面是正的还是负的，来我们试一下。第一行取第二个，第二行取第一个，第三行取第三个行进行顺排了，

然后看列的逆序数是二一三。这个逆序数是几啊？调换一下变针是一，所以前面是负一的一次方。行顺排，然后是列的逆序数，所以这个人前面是个负的。所以一定要想清楚，它叫做来自于不同行，不同列元素乘积的代数和。跟得上我的意思吗？你要想清楚这个问题，那么这里面当中我们也可以再看看它，比如说我们来看一个人。如果这东西是四阶行列式。

哎，我记得我后面有一个四阶，好像是我借用一下。借用一下，后面有一个四阶行列式，用一下哦，求零。比如说这里面当中啊，有一个四级行列式。好，我们就来看看这个人。四阶行列式的话，你告诉我这个人总共有几项？好，这里面这里面当中第一行有四种取法，

第二行有三种，第三行有两种，第四行只有一种。总共有多少四×3×2是24项，那24项的话，比如说我在这里面当中随便取一项。好，第一行取你。第二行取他，你看这两个人不同列，那第三行取你第四行取你，我假设我就想问你个事情。这个前面是正的还是负的？第三行第四个第四行第三个，你告诉我这前面是正号还是负号？

那怎么进行去判断呢？那非常简单，你现在行这个人是一二三四顺排，那其实就是列的逆序数。列式二一四三还记得逆序数怎么做吗？你以叙述做题的方法叫冒泡法，还记得吧？什么意思呢？就说我前面这个人必须要比后面要小。啊，前面必须要比后面小，你现在看你前面有几个比他大的，他不用动。你前面有一个比它大的，你就要换到后面去换一下，

你这个前面没有比它大的，就不用动，你前面有一个比它大的，你就要换到后面去，所以是二。所以说这个结果是负一的，二次方前面是正好。能听懂吧，所以说你要注意这个行列式的这个计算呢，这个定义非常简单。它有多少项？每一项都是来自于不同行，不同列元素的乘积，而且前面是代数和把行顺排了之后就是列的逆序数。好了，

像这个问题啊，我们会考题的，对吧？这是我们在今天过程当中的第一种考题，你要稍微进行注意一下，这种会出题的啊。来，我们来看这个题点。好，那么接下来我们来看几个题，先来看看讲义当中的幺八七，这个题来看一下这个题。这个题怎么做呢？它让我们进行去找，这里面当中的四次方的系数，

你要注意这种点呢，它是非常容易出题的。好，我们先看四次方。你要找四次方就必须要出现四个I啊，这个什么四个s相乘。那首先我们先来看看第一行。假设第一行取，你取了一个x。然后我是不是要你看剩下的部分就不能取这些行这些列了，而你剩下部分必须要把三个只有三个s抓满。哎，可不可以啊？可以的，所以说这里面当中我们发现第一人可以第一行，

第一个第二行第二个。第三行第三个第四行第四个。好了，这是这个人，然后的话，这个人是多少呢？那这个人是2x，然后这是x，这是x，这是x，好了，这个情况它是可以的。那么，同学们想想还有没有别的情况呢？来，

我们再来看，如果第一行取它，唉，那就不行了，你剩下当中都没有三个s。不行，如果第一行取它，你发现剩下当中啊，它都没有这个四个s，你取它呢，这也不行，所以只有这一种情况。那只有这种情况，我想看看这个前面是正的还是负的呢？你就要看看行进行顺排了之后列的逆序数就是一二三四。

所以说这个逆序数是几啊？这个逆序数是零，所以负一的零次方，因此这个结果它刚好是二倍的s四次方答案选几啊？选a啊好了，这是我们讲的这个第一个事情，这个题非常简单，来我们再来看看下面这个题。你看这个题，这个题稍微的新颖一点。他说这个fs是几次多项式，有些同学不理解这个什么意思？你其实非常简单，你想想你这个东西算出来。不就是一个人乘上x多少次方，

一个人乘上x多少次方，一个人乘上x多少次方，这不就是几次多项式吗？能理解吧你，比如说3x方加上4 x+1最高次方二次方，这叫二次多项式。就看最高次方数是多少？所以说这里面当中，我们就要进行去看看，哎，这里面当中的最大次方数是谁？啊，一定要看看最大次方，让这个次方数最大，让这个次方数最大，

你就在每一行每一列取到最大的就行。那这里面当中，我们如果按行取。那按行区的话，你发现。对吧，我们先盯着这里面当中最大的，你最大的是谁啊？我们应该按照列看。直接盯住这16个数，先盯最大的，最大的是谁呀？最大的是你。我就在第一列当中取你。行不行？

第一列当中取你。第一列当中取你的话，你发现这是第一列。啊，这第一列，然后第二行第二列当中取谁呢？你这时候的话，你发现你就不能取它了。挑着最大的第二列当中取谁，你就要取最大的，你就盯着他走。然后第三列当中呢？第三列当中这俩还有俩人，那还有俩人的话，你就娶你娶他，

这是最大的。唉，能听懂吗？所以说这个时候的话，你就发现你取的是你乘上它，乘上它，乘上它。好了，这是最大的。其实同学们想想这还有没有这个别的情况呢？你再试一下，你看看还有没有你注意啊，还有一种问题是非常尴尬的。你不要以为这样做，你就做完了。

这太掉以轻心，我举个例子。比如说这里面当中，这是个几次方。这是一个。这是一个六次方，对吧？这是个六次方，你不要不要掉以轻心，万一这里面当中还有一个六次方呢？两个六次方消掉，那就它就不是最大的了，你能想清楚吧？叫我看看这个人，这个人。

诶，这个人这个人。然后是。对吧，这个人不动了，然后的话是什么？这个人不动了。啊，这个人这是四哦，这是七次方对吧？不要掉以轻心，不要以为这里面当中是七次方，它是最大的。你万一一会儿再去一个七次方两个七次方约掉了，你这个时候的话，

你就尴尬了，你所以说这里面当中啊，你还要再进行去看看，你看看还有没有别的情况？就把那个最大的情况都把它挑出来，然后接下来的话，这个题你还没有看完，你要看看前面的这个系数。对吧，这是这个人，然后这是这个人，那这是第一行的第几个第二个第二行的第三个？第三行的第一个，第四行的第四个好了，一会我们再来看看这个前面的系数，

一会约不掉我们就是它了。好，先不管了，然后接下来我们就继续，我们再来看那第一列当中，除了这个四次方之外，唉，我三次方也很牛逼啊。你想是不是啊？哎，我三次方也很牛，那这个时候的话，你进行取它取它的时候，这个次方是不是也是不是也很高？所以说这里面当中，

你再看是三次方，这平方，这是x，这是x，那这个东西，它也是个几次方，也是个七次方。然后你看看这两个东西能不能消掉呢？哎，我得进行看看，所以说这个你稍微小心一点啊，第一行的第二个。第二行的第一个第三行，第三个第四行，第四个。

那这个时候的话，你发现你这个人是没有系数，然后你这个系数是三，这个东西绝对约不掉，约不掉的，他就是最大的，你不能再取最大的。你看你这两差了两格，你就算把它全取了也不行啊，这就是最多的，所以同学们一定注意这个东西啊，就选b。能想清楚吧，你要稍微的小心一点，你不要以为的话，

你这个人取得最大，你就以为是最大，你万一还有这个人呢，你还有这个人，如果消掉，那这这这你就不是最大的了，我里面就没有这个次方数。稍微的小心一点，我这个题出的不见，对吧？稍微出的这个贱一点点对吧？我把这个系数稍微的改一点点，你比如说把这个里面当中哪个人稍微的改一下？两个一消哎，消成没了，

那你这个你这个就亏大了啊，好，这要注意一下，听懂我的意思吗？你这消不掉。啊，这个那么接下来我们就继续吧，这是第一个问题，所以把行列式的这个定义啊，你要梳理清楚，它叫做来自于不同行。不同列元素乘积的代数和哎不同行，不同列元素乘积的代数和。好了，这个第一个问题啊，

我们就讲到这可以了吧？来继续啊，再来看看下一个问题点行列式的性质。呃，你放心啊。我们考的这个线性代数啊，不是说特别难。你就要老师进行去怼，那个数一数二数三同学的那种那种题啊，你就发现有点崩溃，对吧？你自己要注意一下，你去看看往年的题，你比如说看看这个考研真题。你像我们有的时候的话，

这个考题它还会考什么呢？你比如说这个。我稍微给你看看你，比如说像。这种题它还会考呢？对吧，像这种题你不可思议吧，三个人乘法的逆矩阵，你像这种题它还会考。所以要把我们这个板块的东西啊，你好好进行消化清楚，你放心啊，不会说顶难那种，但是有的时候我觉得我们的这种考题啊，你要稍微小心一点点。

比如说有些同学题读不懂。啊，这都都都没读懂这个题。他这个把这个基础点呢，你一定要把它消化到位，你把这个强化讲义好好消化。呃，有些同学可能基础班的时候觉得说啊，这个线性代数好难呐，我没有学通你这轮强化课程，只要呃，我知道有些同学可能基础班。你信息代数学一遍，过去好多题啊，又是不太会做，

但没有关系，只要你学了一点。学没学特别通，这个无所谓，只要你学了一点。学了跟没有学，这是不一样的，等我们到了这个强化班，把这个东西再一串完美了。所以好好来啊，那么接下来我们再来看看下一个问题，行列式的性质。那么，首先我们先看第一个问题，行列式的性质第一个点。

转制了之后啊，这个行列式是不变的。那么，其实同学们想想你要注意啊，转置它其实不是行列式的形式。转置它其实是矩阵的性质。把一个矩阵转置了之后啊，这个行列式是不变的。我先说清楚啊，那么以后啊。我只要在这个矩阵这块，加上双竖线。我只要对这个矩阵进行去求行列式，我们就默认了这个矩阵是方阵，行不行？

所以大家不用纠结啊，我只要加到双数线，我们知道这个矩阵就是方针，理解清楚就行好了，这是第一个性质，必须要会。转置之后，行列式不变。再来看第二条。调换行列式的两行。或者是调换行列式的两列行列式要加负号。然后行列式的两行或者两列相等行列式会等于零。那么，像这种问题啊，我们就要跟这个基础班讲法不太一样，

那基础班的话都是纯书，那么接下来我们再来看。如果这样写呢？你是否能看得懂啊？应该能看明白吧，我写的阿尔法一其实就是个向量。阿尔法二是向量阿尔法，三是向量，如果这东西是行列式，你告诉我这是个几维向量。它一定是个三维向量。所以你要注意啊，这个东西一定是个三维向量。那绝对是个三维向量，不可能，

不然的话不可能是方针，那么同学们想想我如果在这里面当中把阿尔法二和阿尔法一进行调换。你调换这两个人其实就相当于调换了这两个行列式当中的两列吧，调换这两列前面加什么号加负号？能学会吗？哎，这你要看得懂。然后接下来我们就继续，我们再来看。如果这块是阿尔法一，这是阿尔法二，这是阿尔法一，那这就说明了这行列式当中的两列。两列相等行列式，不就等于零吗？

好把这个事情啊，想清楚，这叫互换调换了之后啊，一定要加符号，切记要加符号。好了，我们再来看看第三个点被乘。如果这个行列式啊，你发现某一行有公因子就可以提出去，某一列有公因子也可以提出去。但是你要注意这个东西提出去啊，一定是单行单列题。包括我们给行列式乘上一个数，只能给它的单行单列进行乘，我只能乘上一行，

那比如说我们这里面当中，我们来看。这是三倍的阿尔法一。四倍的阿尔法二，这是阿尔法三。那同学们想想，这算不算单列有公因子啊？单列列有公因子提出去单列有公因子提出去。然后这就是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三。是不是这个情况，所以就等于12倍的，他把这个事情理解清楚，然后我们再来看看下一个问题，

那就是倍加。倍加是最重要的。啊，这个点呢，是最重要的。倍加这个性质啊，我们经常用的非常多，行列式的某一行乘上k倍加到另外一行。你要注意。某一行。我给它乘上k倍。我加到另外一行。好了，注意请告诉我变的是谁啊？变的是另外一行，

但是某一行这个东西啊，它是不变的。行列式啊，它不变。行列式的大小，它是不变的。当然，某一列乘上k倍加到另外一列呢？好，这个行列式也不变。所以这个东西啊，就是我们高斯消元法的核心，你还记得高斯消元法吗？我们一定要进行去往上三角矩阵上进行去化解。那这是我们在这里面当中的重点，

比如说这里面当中啊，我出一个题，你来看看。我们这里面当中，我让你去求解这个行列式。假设这是阿尔法一，然后再加上阿尔法二。然后这是阿尔法一+2倍的阿尔法二，加上这是三倍的阿尔法三。呃，这是r方。加上阿尔法三。然后这个时候啊。怎么了？印反了吗？

叫我看看啊某。哪个东西啊？哦，他把这两个字印反了是吧？哎呀，真的检查的真不细心啊。好了，这是这个问题，那么这是这个人。然后接下来我们看看这是阿尔法一。然后再加上二倍的阿尔法二，加上二倍的阿尔法三。好了，这是这个人，我们然后让你进行去求解这个行列式，

我怎么去处理呢？你看我们是这样做的。那这样做的话，你发现看我这样处理。我就把这一点。负一倍加过去。能听懂吧，把这个人的负一倍加过去的话，你发现这是阿尔法二那负一倍加过去的话，一减一减是阿尔法二。加上阿尔法三。然后这个时候的话，你发现我们继续再把这个人的这一列负一倍加过来，那负一倍加过来之后的话，这是f2。

加上二倍的阿尔法三。好，做成这样。那做成这样了之后，你再怎么办？你再把这一列的负一倍加过来。你把这一列的负一倍加过来，那这个人就做成什么，我们继续看，那这是阿尔法一加上阿尔法二。然后这是阿尔法二，加上阿尔法三负一倍加过来，这是不是阿尔法三？然后接下来怎么办？你再把这个人的负一倍加过去，

把这个人负一倍加过去，他就没了，然后再把这个人的负一倍加过去，他就没了。所以说最后结果他就做成这样。所以说这个时候你发现它的方向性就是这样，对吧？你别管你怎么先做这个东西的处理的问题点，它就是这样。好了，这个方向把它把把握清楚。就说什么问题呢？就说我们可以通过这种变换把这个人乘上k倍加到另外一点，哎，这个东西其实就利用了这个倍加的这个特性。

啊，就利用了这个倍加的特性，把它想清楚，跟得上我的意思吗？好琢磨清楚，给我回复一。这个东西啊，其实就是一种利益变换。然后再来看看最后一个事情，最后一个东西啊，叫拆分。那行列式的拆分呢，或者是行列式的加和。行列式的加和它是具有特点的。你比如说举个例子。

你这两个行列式。你想相加，你是随便能相加吗？绝对不是。不是随随便便，我们就能相加，比如说我们按照行进行去加。你要想按照行继续去讲。你这里面当中必须要保证一两行，它是一样的。对吧，你这两行是一样的。我们这两行是一样，然后按照第三行进行相加。那么，

这个东西比如说我们写的是x，这是y，这是z。然后这个东西写的是多少？写的是一二三，那这两东西相加的话，你发现它最后加出来的结果一定是这个东西保持不变。哎，这个内容他保持不变。然后是第三行向下s+1 y+2 z+3，它一定最后加出来的结果是。是这样的一个结果。好，这是它的问题。所以行列式这个东西相加呀，

它一定是这样。它必须要保证别的行是一样的哎，然后的话你怎么办？按照这个不第三行进行相加，或者是第一行第三行一样，第二行相加。能理解吧，那么同理而言，我们写成列呢，比如说阿尔法一，阿尔法二，然后这是贝塔。那这两个东西相加，你必须要保证有两列是一样，然后按照第三列相加，

那就是阿尔法一和阿尔法二不变。北大和伽马相加。能学清楚吗？这个加和是非常重要，同理拆开也是这样，你拆开只能按照一行进行拆。或者按照一列进行拆，一定是单行单列进行拆加和也是一样。好想清楚给我回复一，这是五条重点的性质，我们在考研的时候一定要对这几个东西啊，非常的灵活。对吧，有转制，有互换，

有被乘，有倍加，有加和或者叫拆分这五条重点的性质啊，必须要熟记于心，你看今天学这个线性代数。这个难度系数不是说特别大，你学的还是很轻松的，好了，这个问题啊，我们就说到这，那么接下来我们再来看下一个问题。我们要想做这个行列式的计算，必须要拥有两大工具，一个事情就是行列式的展开定理，一个事情就是行列式的性质。

那么，接下来我们再来看看下一个问题，叫做行列式的，展开性的定理好，我们来看看这个人。好，我们来看看这个行列式的展开定理。你要想进去去讲行列式的展开定理啊，你必须首先第一件事情你要讲清楚，余子式和代数余子式。那余子式是什么意思呢？就是余下来的，他儿子这个行列式啊，这叫余子式。你比如说这里面当中，

我们去写一个人。比如说这是三一二四五六一一一好这个人。那这个东西的余字是什么意思呢？比如说我们这里面当中，我们看一个事情，我们看这个人。那这个余子式啊，我们通常用m进行表示，但是你还是具体看题吧。啊，具体看题有一年的话，这个好像是我们大纲当中的话，那个考试分析后面附录的两套卷子，那两套卷子你们不用买哦。呃，

这个。就是这个就这个这个，你们不用不用买啊，每年的话你们不用买这个大纲，然后的话它的每年的话这个后面。它后面会有两套样卷。哦，然后每年后面的过程当中啊，有这个样卷，然后这个样卷呢，到时候我给你们进行去扫描一下。扫描一下了之后啊，我们进行去考一下，考完了之后啊，然后我们再进行去讲解一下就行了，

所以说这些事情你就大可放心啊。后面我们把这个东西我给你们扫描，我还会给你们安排这个考试的，然后这个讲解课我也会给你们安排上啊。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个余子式的问题。那这个余子式这个人呢？他是这样，就是我们怎么办呢？我们这里面当中啊，就是去掉这一行。去掉这一列。对吧，去掉这一行，

去掉这一跌，然后这里面当中啊，我们就会看到了四个数。这四个数啊，然后按照原来的位置继续摆到这儿，这个行列式其实就是它这个位置处的余子式。那这个行列式等于几啊？这个行列式等于一。所以说这个余子式啊，它就是一你像余子式和代数余子式啊，我其实最重要在乎的是什么？它为不为零？你看这个就叫非零的代数余子式或者非零的余子式。好了，这个点能想清楚吧，

第一个事。那么，接下来我们再来看，那请告诉我一件事情。请问大家，你发现这个位置处的余子式。跟这一行和这一列的元素有没有关系啊？你觉得有关系还是没有关系？没什么关系吧，你这个元素是多少？你这个元素是多少？你这个元素是多少？我其实最重要在乎的是这四个数。所以说没有什么关系，注意啊，

余子式跟该点值对吧？该点所在的行或所在列的元素是没有什么关系的。那么，再来看看代数，余子式代数，余子式比较重要，那代数，余子式通常用aig表示。前面有个代数，代数是负一的行和列的角标和。哎，负一的a+j那么，所以说我们按照这个上面这个人呢，我们继续求那么，请同学们告诉我，

我们上面这个东西的a二二怎么求啊？那a二二不就是负一的二+2吗？只要这个行和这个列的这个角标加起来是偶数，他们就相等。对吧，这两个东西是相等，所以它还是等于m2还是等于一？那如果这里面当中让我们进行去计算a二三呢，那a二三其实就是负一的二+3m二三。然后这个人就是负的二+3。所以就看一个事情，这个行角标和列角标之和，如果是偶数，它们相等，如果这东西是奇数，

它们差一个相反数。会做了吧？好这个问题啊，我们就说到这，反正你要了解清楚一个问题，如果这个点处的余子式或者这个点处的代数余子式啊。跟这个点所在的行列元素都没有关系。你这一行那个元素和这一列的那个元素啊，其实都没关系，你爱是多少是多少，你想是多少就是多少。好了，这是我们讲的这个行列式的展开性定理，能想清楚吧？那么，

接下来我们再来看看下一个问题，那就是行列式的展开，定理的内容刚才是余子式和代数余子式，我们再来看看行列式的展开定理。那行列式的展开定理啊，它有两个定理，一个定理就是按行展开，一个人就是按照列展开。对吧，我有按行展开定理，我也有按列展开定理，比如说这个人。我可以选行。那比如说我们就选di行，那di行的话就是di行的第一个。

乘上这个未知数的代数余子式，然后再是第I行的第二个乘上这个未知数的代数余子式，一直加到多少？第I行的第n个乘上这个位置处的代数余子式，那这个东西啊，叫做按行展开。对吧，就是这个元素，再乘上这个元素所在位置处的代数余子式，那这个东西的加和。它其实就是行列式的结构。啊，这叫按行展开，当然这个东西能不能按照列展开呢？也是可以，

比如说我们选这一列。选这一列的话，就是第一行的DJ点，第一行d DJ点，第二行DJ点，然后这是第二行DJ点。然后一直加到第n行DJ点，第n行DJ点，然后这是按列展开。所以同学们注意行列式这个结果，随便选一行该行元素，乘上该行元素的代数，余子式的加和。行列式随便选一列，随便选一行，

大家知道选一行选一列就行了，随便。那这里面当中你就要注意了，我通常的选法是怎么选的？注意，我选择的标准呢是零多的。零多，如果你这里面当中的零比较多，我通常就选一。你零越多，你这个项数越少，你比如说你这个系数都是零，你看这就没有了，零越多，我就喜欢按哪展？

所以说这就是我的标准，我的标准就是零越多越好。最好在一行当中只有一个不为零，剩下全为零，在一列当中一个不为零，其余全不为零啊，全这个什么？这个一个不被定，其余全被定。对吧，所以说选择标准就是往往就是零比较多。如果既不是零比较多呢，也差不多，那就一般的话，按照第一行或者第一列来进行展开好了，

这个事你把它想清楚就行。这就是行列式的展开定义，但是我们有一个问题。该行元素乘上该行元素的代数，余子式的加和是行列式。那该行元素乘上别的行的代数余子式呢？你这个行对吧？你这个元素乘上别的行的代数余子式呢？那这个结果是等于零的。这件事情知道吧？哎，所以说这都是我们在基础班的时候，我们重点讲过的问题，该行元素乘上该行元素的代数余子式啊。那这个结果它等于多少？

它等于行列式的结果，如果是该行乘上别的行的，这个结果等于零。啊该列乘上别的列的对应的这个结果也是零。好了，这个事情我们就讲到这，那么接下来我们就来看看第一大核心考点吧，数值性行列式的计算性问题。好，我们先来看看第一个考题。呃，这个考题啊，基本上在大部分的年份当中啊，我们都会出题。但是其实我们归纳了这么多种，

但是你发现好像考题出题人呐，在前两年的过程当中也没有这么给面子。考的东西都非常的简单，好像有一种感觉，我们学多了的感觉啊，但是我们在复习过程当中，你可不能这样，你还是稳稳当当的学吧。那么，这里面当中有很多种题型。第一种题型，比如说有行和相等型。比如说有爪行行律师。比如说有典型行列式，比如说有三线行列式，

范德蒙行列式，还有一般行列式，对吧？这种情况。所以好像有种感觉的话，好像我们学太多了，对吧啊，他的这个出题的点的话，你发现很不给面子啊。出的太简单了，不不是简单，是太简单了好了，像这个问题，所以但是稳稳当当还是要学清楚一会，我们会把这几种问题啊，

我们都给同学们进行一个复习。对吧，比如说行和相等型，比如说爪形行列式，比如说点斜行列式，比如说三线行列式，我们怎么去求解？那么，首先我们在这里面当中啊，你一定要有一个意识。什么意思呢？就是你别管这个行列式，它怎么样？其实有的时候我们还很喜欢考这个一般的数值性行列式。对吧，

一般的数值性行列式。其实在这种当中啊，一般情况下，我们其实核心重点的方法都是在使用行列式的性质和行列式展开定理，不是吗？都是在使用这两大核心工具，一个事情是行列式的性质，一个事情是行列式的展开定理。用了这两大工具，然后进行处理问题。啊，你上课的时候你听就行了，对吧？你不用把这我写什么字，你来不及写，

都是在用性质。五大性质。对吧，五个性质，然后是展开定理。按行展开或者按列展开。哎，都是在使用这两个问题。然后在这种当中可能还会用到一些非常特殊的一些行列式。你看这块内容就是这样啊，知识点稍微的多，但是这些知识点都是简单知识点。那么可能会用到一些特殊性的行列式，比如说第一个事对焦行列式。这个对角行列式啊，

主对角线。好，先看第一个人。主对角线。那么，这个对角行列式啊？这个对角行列式。主对角线的这个对角行列式就等于对角线元素的乘积。然后这个东西的负对角线呢？那负对角线这个东西啊，你发现等于负一的二分之n乘n减一，然后对角线元素沉积，这能记得住吗？有一次我记得我讲这个问题，他说为什么前面有这个人，

你来好好看看这个人。好了，我们再来看看第二事情，上下三角，那么其实你发现对角其实就是最特殊的上下三角。然后接下来我们再来看看这个下一个问题，先看主对角线。主对角线上的上三角。啊，这是主对角线的上三角。然后这是主对角线的下三角。它们都等于对角线元素乘积，然后负对角线的上三角。负对角线的下三角，它都等于负一的二分之n乘n减一对角线元素乘积，

这个很简单啊。非常容易的事情。然后第三个事情，范德蒙。呃，这个范德蒙啊。要注意。这个范德蒙行列式，范德蒙德人家这个没有敲错人家名儿，就是叫这个你去查一下。有的叫范德蒙行列式。有的叫什么？叫做范德蒙德行列式。这个他因为后面的话，其实好像是叫wonder啊。

这个这个泛这个前面的话，这个好像是什么？后面是个wonder。啊，所以说这个东西啊，叫做范德蒙啊，这个行列式。好了，这是这个问题，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看这个范德蒙行列式。这个范德蒙行列式啊，你会发现它有几个问题？对吧，第一个点你不用查，

人家没有敲错啊，好了，我们先来看看这个第一个点。注意范德蒙行列式的特点是什么？范德蒙行列式的特点，它一定是从零次方开始。好注意啊，从零次方开始。从零次方开始，一直到多少到n- 1次方不要写错了，必须是从零次方开始。然后第二事情你要会做计算。你会做这个人的计算就行，比如说我们通常考啊，其实你发现我们其实核心重点的话就喜欢考这样的一个人。

好，我们考研呢，其实都是这样，能理解吗啊，就是这样的一个东西是一个三个人。它的一个泛等孟行列式。你看第一个人是关于谁呀？是x1从零次方到二次方。然后这是关于x2，这是关于多少x3？对吧，就是这样的一个东西，你会把这个东西啊，做一个计算就行。倒是过来呀，

这个。好来了。好了，这是这个人，然后这东西计算怎么办？先选一个人选他，然后用x2减去你，然后再去选x3减去你。注意啊，这个人他没有说从小到大，没有这样的一个情况，就选人被人捡，被人捡好了，你被剪掉。然后再去选什么x2被x3减好了，

这东西一减它就没了，能学会吧啊，一个一个选。你选第一个人，他被两个人捡选，第二人被人捡好，这一捡就没了。这个东西是我们考研的常客呀。注意哦。这是考研的重点。原来我看到一个这个基础班的时候，有个同学的话在这个。哎，复习的时候啊。啊，

这是x3-x一，然后原来在这个基础班的时候啊，你发现有一个问题，有个同学是这样。就是他拿了一个这个什么说老师这个范德蒙行列式是怎么阵的？你是真的有点闲。你要是实在没有事干，你考完研的话来找我对吧？你作为一个三九六同学，你会做这个人的计算，那就可以了。我们不会进行去考这种东西的真命题，所以要注意啊，这个内容你必须要会对吧？这个范德蒙这个行列式的计算，

你必须要会。你要知道它是从零次方开始，然后这东西是怎么算？你必须要会这我们很喜欢考的。好了，这个问题啊，我们就说到这，这是第三个点，然后这里面当中还有第四个点。就是我们这里面当中考的拉普拉斯行列式啊，拉普拉斯。拉普拉斯行列式这个东西是一个分块的情况。啊，分块型的行列式。那分块的行列式，

你发现它是这样。就是你要分块了之后，你能保证这两个部分是方阵就行了。至于你这两个东西方不方，这无所谓。能理解吧诶，就是这个问题，那所以说在这里面当中。这次什么话考完研为啥不理你呢啊？好了，我们再来看，然后的话，比如说举个例子，你看这是xy。这是z，

然后这是w，然后这是五。你看你这两个东西六七。我们在这里面当中进行去分的话，你发现我们在这个东西当中啊，我只要能保证一个事情。保证这样的一个事情。对吧，我们就进行去保证你这块是方的，这块是方的就行，两边方不方无所谓。对吧，这个无所谓，你发现它这个什么情况，就是说我们这个东西啊，

是一个这个这个太粗了啊。然后是这种情况。主对角线的上下三角或者是对角，它都是可以的。对吧，上下三角或者对角，他都是可以的。你只要能保证这个东西是个方的，它就行，它就等于这两个行列式的乘积，所以说这个行列式就等于多少就等于上面这个行列式。xw-yz再乘五。好了，注意一下这个问题哦。就是两边这个东西方不方，

这无所谓，我管你方不方，你爱方不方，你不方拉倒，我只要保证这两个部分是方的就行。然后接下来我们再看看负对角线。那负对角线是这样。你要保证这两东西是方的。那这两个东西是方的，比如说你是m×m。你是n乘，你这个m×m，这是n×n的话，你发现这两个东西的这个切数。对吧？

这两个东西的这个切数，你要把它确定。然后再来看看这个下面这个事情。你看这个人。他也是这样，然后这个人他也是这样。好，这是一个负对角线的情况，它的前面一定有一个什么负一的m×n。啊负一的m×n，你这是要稍微小心一点，你比如说这里面当中，我们取一个人。假设我举个例子，它是这样。

这是a，这是b，这是CD，然后这是负。好了，这个情况，然后这是七这是八。那这个东西我们进行去分的时候。我只需要保证什么？我只需要保证这两块是方的就行。所以现在而言的话，这个结果是多少？它是负一的，你上面是个二节是二，下面是一节m×n。

然后这个上面这个行列式是ad-bc。然后这个行列式等于多少？这叫行列式，听懂吗？行列式就是负五啊，不是绝对值啊，你注意这是行列式。能想清楚吧，这不是绝对值，它就等于负，所以说最后算出的结果，你发现这个人是。二次方那是正的，而且它就等于这个。所以像这个拉普拉斯行列式是我们很喜欢考的。

我记得有一次考题，他就是这样，他什么情况呢？啊，怎么了？这个第一行的第一个。第一行的第二个。啊，好了，这是这个问题，那么接下来我们就来继续来看。这个人是。上三角是吧？啊，上三角那么这个人的话，

你要注意就说我们在计算这个人的时候，我们现在有一种考题，那种考题它是这样。就是我们在这个做的过程当中啊，他是这样的一个情况就什么情况呢？就是我们很喜欢进行去看那个。呃，把它进行去凑成了一个拉普拉斯。就是你这个东西一定要注意啊，创造拐角为零。你只要能创造出来这个人的拐角是零，那这东西就对了。能想清楚吗？我要创造一个人，他这个人的拐角处啊，

全部都是零。这是一个非常重要的问题，还记得吗？那种题啊，我们原来这个基础班是讲过这个事，一会我们可以练一道啊，好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们先来看看下一道。下面几个考题。一会我们把这个前面这些问题啊，我们都跟同学们去讲一讲，先看这个题。这个题啊，是非常容易考给我们的题。

啊，就这个题。他就考了这种灵活度，这一看就是我们三九六同学的话，这种考题的这种尿性的题，你一看的话，你发现这是xyz。你这怎么能是s- 8 s- 8 s- 8呢？你这个东西赶紧把s旁边的人给我干掉，然后怎么办？那首先第一件事情你就通过这个一把这个八给干掉。好，先看第一个事情，你先把这个八干掉。把这个八干掉了之后啊，

他就变成了这个人，一一一七四六，然后这是xyz。怎么干掉呢？就是这个人乘上八倍加上去。你做成这样了，之后的话，你再来看你转置了之后的话，这是xyz你转了之后，这是幺幺幺，但是你发现你看你这是七四六，这是三零二啊。七四六三零二七跟三之间错了个四唉，那这个人的话，我们再怎么办？

我再把这一行的。多少负四倍降下去。负四倍加过去了之后的话，这人是三这是零，然后这是二这是幺幺幺哎，你看看这个东西，它多协调。那这些东西协调了之后，我再转置把行写成d。把行写成列。把行写成列，那这个结果等于几等于一，所以正确答案选几选a。能学会吗？好了，

这是这个问题，所以你要注意，你要通过这个东西进行去观察它，你要注意这两个东西的，这样的一个。的关系，这很像我们的考题，我们好多考题都是这样。而且这个题的话，你发现我们还没有把这个出的更刁钻，你比如说这个东西啊，我可以先在这扩展个几倍五倍。对吧，你先把这个五提出去，或者做到这，

比如说这块有个五被提出去，你都要回来，就是你非常重要的话，就是这个东西的灵活性。能想清楚吧，那这个灵活性在哪？你不要从前往后抽啊。要进去去求谁通过这个东西看他，这才是主要的数学思想嘛。是吧，哎，注意一下，你要做这个人啊，这个灵活度是有的，两到三分钟必须要做一道。

好了，这是我们讲的这个第一个题，我们再来看看下这个题，这个题啊，灵活性更高。这个很像我们这个最近两年出的一道题啊，这个灵活性很高。我们先来看看这个人吧，这个方程呐，让我们去求根。那求这个根怎么求啊？你求这个坑的话，你发现你难道要把它直接算出来吗？这个不好算。但是同学们，

我们都知道。这个方程。它为什么？它一定是个四次方程。你想是不是拉普拉斯？这不好拉吧？你可以通过这两个东西消一下。对吧，你这东西可可以这样做啊。你可以这样做。就怎么做呢？就是你把这两个东西消沉零。然后你把这东西消成零。你这样一做速度就慢了。但是有一个问题。

有的说那成比例，你这个东西其实还不好，不严格。如果这个题严格一点，应该是这样办的。大家想想一个事，你不就是让这个行列式等于零吗？我们先看这个事情，你最重要的问题，你要知道这个方程是个几次方程啊？其实他这个东西最大是这个东西相乘。对吧，你最大是平方和平方相旁。平方和平方相碰，它应该是个四次方程，

它是a倍的s四次方b倍的s三次方，那c倍的s平方加d倍的s+e=0。你这个算完了，它一定是个四次方程，大家注意四次方程有几个根呢？有四个根。哦，有四个根。你要知道这个人有四个人。然后接下来我怎么进去去漂它呢？你发现这是一二三四一三四，你不就是想让这个行列式等于零吗？哎，你让这个行列式等于零，如果这个六减x方等于多少？

如果这个六减x方等于二。它不就等于零了吗？所以说这个时候啊，你就会马上看出来，那这个东西是多少？那很明显是x方等于4x等于多少x等于正负二的时候，你会等于零。好了，同学们，想想x等于正负二满不满足这个方程呢？满足为正负二的时候，你确实是等于零。然后再来看你，让这两人等于零不也行吗？所以说就是11-x^2等于二，

然后这个x方就等于几就等于九，那因此x等于正负三。那正负三是不是这样的一个方程的根呢？它也是因为正负三的时候，你会满足这个方程等于零。而这个四次方程，它只有四个根，那只有四个根，你求出了四个，那不就是只有这四个吗？所以说这题的正确答案选d。你看吧，这其实就是我们三九六同学的考题的灵活性。你要想清楚，你首先漂一下这些东西，

每一行取一个，每一行取一个，不同行不同列元素的沉积。他要想乘积最大是四次方。你最大是四次方，它就是个四次方程，那四次方程它只有有四个根，有四个根的话，你看你这样相等两根，这样相等两根。刚好四个梗。这个灵活性强大，它非常有我们三九六同学的考题的感觉。我们就很喜欢考这种啊。你要有这种方向性，

对吧？灵活一点好，这个题继续啊，再看下面题。在讲这个题之前呢，那么接下来我们再来看几个问题。啊，比如说我们在这里面当中啊，补几个题？好比如说还有这种行和相等型。啊，比如说我们来这里面当中，我们看看，比如说这是xxx，然后这是四四四。

四四四，你不用继续去老去求n阶行列式。好了，这个人我让你等于零，那则这个x等于多少？对吧，像这种题。那这种题的话，它就叫什么？它就是我们原来讲的第一种，这叫行和相等型。行和相等性，或者叫列和相等性。那同学们想想一个问题，你做这种行列式一定要做的非常快，

这是基础班，你只要听一点的，你应该问题点都不大的。好看，这个人。那这个东西的话，它是行和相等性。或者叫列和相等性，你这每一列加起来一样。我怎么样才能让这一列加起来？非常简单，把这个东西加到最后一行，加到第一行，这一行加到第一行，对吧？

就是。这一行加到第一行。这一行加到第一行，这一行乘上一倍加到第一行。那就说我这一行加了，你看这个人加过去，这个人加过去，这个人加过去不就能把这些人加起来吗？那这个加起来最后的话，这个第一行就变成几啊？那第一行就变成了x，再加上12。没问题吧，都是x+12，那都是x+12，

你就把这个x+12提出去。都是s+12，你提一个提一个提一个提一个诶就变成一。那么，这个行和相等型或者列和相等型做题方式就是这样。如果列之和相等，加到第一行，行之和相等，加到第一列，提供因子，提完了之后，刚才是按照行做。然后接下来我们就可以按照列来做了。再按照列来做，一四四四。

把第一列的负一倍加过去0x减四零零，然后把这个人的负一倍加过去零。0x减四零负一倍加过去，然后这是零零零x- 4。所以说这个结果最后而言就是x+12，然后是x- 4的三次方等于零呢，它就等于四。或者多少12？好了，这是我们讲的这种第一种问题啊，这种题啊，难度系数不大，就是我们原来讲的这种题型的什么，这种题型到。行和相等性，

或者列和相等性。那行和相等型，或者列和相等型的做题方式就是这样。你行之和，加到第一列。列之和，加到第一行。对吧，你要想清楚，如果这一列对吧，它是加和起来相等，你就通通把它加到第一行，通通把它加到第一行。加到第一行，把公因子踢出去。

所以记住啊，行和相等型，或者列和相等型。列和相等加到第一行，行和相等加到第一列。对吧，加过去了之后把这个公因子提出来，那就可以了。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这，那么接下来我们再来看看下一个题，那你比如说再来看看这种题。那这个题叫什么？这一看就是个爪形行列式啊。

对吧，你这个东西是一个爪形行列式。这是一个爪子。哎，爪形行列式或者叫线形行列式啊，但是它更好像爪形行列式。当这种爪形行列式啊，这个爪子有可能是这样子的。它也有可能是这个样子的。它有可能是这样子的。它有可能是什么是这样子的？爪新行列式的做题方法是什么？叫做剁腿法。啊，你可以去掉一条腿。

把这有一条腿给去掉。去掉一条腿的话，它就变成了上三角或下三角。所以说这里面当中啊，我们就来去一条，比如说我想把这条腿给去掉。好了，这个人怎么进行去去呢？你发现我们叫一个一个的攻击。那么，首先我们先来看第一个点。你发现我用这个元素攻击的是谁？攻击的是他。能理解吧，我用这个人，

所以现在而言的话，我们就来看看最后一列，最后一列是z零零减一。我给这一列乘上一个负z呗。乘上一个负z倍的之后的话，你发现你这个人就被干掉了。你这个人被干掉了之后，这个零对他没有攻击性，然后这个是乘上负z1减去多少z方？然后再来看，然后就是什么呢？继续来看这第一个人哦。然后再来看这一点。这一列就是负y被加过去，把这个人给干掉。

对吧，这是y零一零，然后这个人的负y倍的话，你发现你看这个人其实已经变成零。那然后的话，你看你这个人的话，负y被加过去，它变成零。然后这个x对它没有什么作用。好了，这个人负y过去的话就是负的y方。然后接下来我们最后剩下最后一个人了，那就是x一零一这个人好做成这样。然后这个东西这个是零啊。然后这时候怎么办？

你再来一个负x被加过去，你负x被加过去，这个人就没了，然后这负x加过去就是这个人。能学会吧啊，就是这样去掉一条腿。那这个去掉这条腿是各个攻击的方法，对吧？一个一个的来。那是什么样的情况呢？就是这样的一个问题。好，我们要去去掉，就是用这个人攻击掉这个元素，用这个人攻击掉这个元素，

用这个人攻击掉这个元素。把这个东西进行攻击完了之后，它就没了。所以说最后把它做成这样，那其实你发现它就变成了一个上三角形的行列式的问题。那这个上三角形行列式啊，它就等于一减去z方减去y方减去x方，然后这个东西等于几啊？再乘上一一，它等于一诶，那这个时候不就说明x方加上y方加上z方等于几啊，不就等于零吗？平方和等于零，不就说明三个元素都等于零吗？漂亮。

那既然都等于零的话，你发现一加是几a？好了，这个点呢，你发现我们是有细致的进行去设置的。对吧，设计了一下这个人，你不然的话，这个人怎么去求他呀，你就非常的麻烦了，好了，这个问题你下去好好想想。对吧，一个一个的进行去攻击，这个人攻击他，

这个人攻击他，攻击他好了，像我们刚才讲的这个第二种。爪星行列式问题点也不大了。然后再来看看第三种典型行列式。那典型行列式啊，在这里面当中，我给大家出了一道题啊，我们来看看这道题。好了，看看这个人。胆大往里面带，你怎么带呀？你这个胆子不大，你这胡来呢，

你这怎么带啊？你x+y+z=0。你x+y+z=0，你告诉我xyz是谁呀？这不是胡来吗？还有一些同学在这胡乱想，我再强调一遍。一旦有偏离我这个题目做题的这种方法之外的同学。你肯定就是胡来了，你基础班肯定就没有复习完，能不能做题有章法一点？对吧，能不能有章法一点？说都加到第一行，然后再怎么样啊？

你能不能不要发散？你看像这样的话，你进行考试的时候，怎么你有时间在那试吗？你考试的过程当中，你碰到这个题，你在那试，你试个几分钟，你看看。时间早都没了，还考三九六呢，这怎么考啊？所以我就觉得这个方向性就在这。你明显是个爪形行列式，平时我学了一年，

就是用这个方法干掉他，那最后这场考试就用会用了这个方法把它干掉，不就结束了吗？最后就考上了呀。平时都是这样训练的，偏偏要在考试过程当中，我偏要用别的方法，你想干嘛？啊，你告诉我你想干嘛？那平时我们训练行和相等行行相等，加第一列列相等，加到第一行，我们就这样做。我考试我偏我不我就不这样做唉，

我看你拿我怎么办？你拿我没办法吧，那我确实没有办法啊。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题来解吧。那么，接下来我们来看看这个人。它这里面当中啊，给这个十×10的矩阵。啊十×10的矩阵。然后让我们进行去干嘛呢？让我去求解a- 1的行列式。那a- 1的行列式啊，你发现一个事情就a- 1。

啊a- 1那e是谁呢？e不就是对角线都是一吗？你告诉我两个矩阵相减，两个矩阵相减，其实就是对角线元素相错差吧呃，就是两个矩阵的每个元素相错差吧。每个元素都相作差，对于这个题而言，是不是只需要对角线元素相作差？所以说这个时候你只需要这个对角线都减一就行，就变成了负一，变成了负一，变成了负一，哎呀，这个下面都是负一。

好注意一下，这是这样的一个人。所以它的对角线元素都是负一。跟得上吧好，这是这个人。那所以说这个情况的话，它是个什么情况呢？来我们就继续再来看看下一个问题。那这个人的话，你发现诶一条线。两条线啊，只不过这个没对齐，我说这有点难受了都。一条。你懂就行了啊，

好一条线两两条线。然后这一个点。这个这矩阵没有敲好啊。这角线呢，都不下来。所以说这个东西就是个典型行列式。什么是点斜行列式呢？就是你发现你看这有条线，这有条线诶，这有个点。或者你这条线这条线诶，这有个点。你或者什么呢？你这又这个还有这样情况，你这有条线，

这有条线哎，你这有个点。然后的话是什么？这条线这条线这个点点斜行为是。典型行列式的做题方法是什么？跟点走。点在哪就按照谁展开，同学们告诉我按哪展开？点在这儿，你可以按照最后一行展开，也可以按照第一列展开，我们就按照第一列，第一列就是负一再乘上第一行第一个。然后再加上凌晨凌晨都不管了，最后一个人十的十次方再乘上第几行第十行。

第一个对吧？第十行第一个，所以接下来我们来看看这个负一。好，先看a1那a1这个人的话，就是去掉这一行，去掉这一列。去掉这一行这一列的话，你就会发现剩下这个人是什么？你剩下这个东西，它不就是一个上三角形行列式吗？那三上三角形行列式的话，就是负一的多少次方九次方，然后这是十的十次方，然后是负一的多少呢？

十+1。好，再来看看最后一个人，你最后一个人的话不就是这个人吗？你去掉这一行，去掉这一列，他不就是。这样的一个下三角形行列式嘛，你下三角形行列式，它不就是一嘛，所以说就是就是负一的十次方就是一。然后再减去十的十次方。好，这个结果我们就做完了，一减去十的十次方。

会做吧，你说这种题考给我们也没有问题啊，完全可以出题的好，这种点斜行列式点斜行列式非常简单，就是跟着点走。点在哪就按照哪进行展开。好了，这是我们讲的这个第四种问题。这种复习了复习了复习了好了，范德蒙行列式也没问题，然后一般行列式就具体做，我们只剩下最后一个人。三线行列式。那么所以说接下来过程当中，我们的核心重点，

我们就是来进行去求解一下三线行列式。啊，三线行列式啊，希望同学们好好听一下。啊啊，休息会儿，那行吧，那休息会儿吧啊。好，我们稍微休息会，一会过程当中啊，我们再来看看这个增补题。你可以把这个题啊。把这个题截个图啊，一会过程当中我们来讲讲这个题。

好把这个题啊，截个图，一会儿过程当中啊，我们再来讲讲。行吧，我们稍微休息会，一会我们继续吧啊。

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