20.【加餐】多元函数求极值最值、经济学应用

罗泽兵 · 发表于 5 天前

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。好，那么今天我们先啊先测点声音吧，我们就准备开始了。没问题是吧？好了，那么接下来我们就正式开始，

我们三九六的这个强化班部分课程，那么在昨天呢过程当中，我们其实重点呃，应该是快讲完了。最后还剩下一点点内容，所以说今天下午过程当中啊，我们补充这个一个小时的内容，我们进行把这个最后一点东西啊，给同学们去讲。呃，这里面当中我们讲几个东西呢，一个事情就是我们最后一个叫做多元函数的，你们把那个声音调大一点。对吧，因为呃，

我知道那个放音乐的话，那个声音比我这个声音大，你稍微调整一下啊。好了，那么接下来我们就正式开始吧呃，我们今天过程当中啊，讲三个内容，一个事情就是多元函数的这个极值，还有这个最值问题。然后第二个事情，我们具体去讲一下这个经济学应用的问题，然后最后一个事情，我们把这个中值定理当中啊，有几个重点内容，我们跟同学们去点一下。

那这样的话，我们就把这个所有的高等数学内容全部讲完了。那么，也就代表着我们在高等数学当中所有的核心考点，所有部分的题型呢，全部结束了，那这样的话，你下去过程当中，你再进去去刷题的时候。你再进行去复盘的时候，我相信大家就会稍微的呃，安心一点了，不会觉得说这个三九六的考纲说的那么的简洁。我有哪些部分内容没有复习到位，那么今天讲完了之后啊，

所有部分内容就全部结束了好了，那么接下来我们先来看看第一个问题，多元函数的极值和最值。那么，首先我们先来看第一个问题啊，这个面当中啊，其实有三个事情，一个事情叫做什么啊？一个事情叫无条件机制。一个事情叫有条件机制，或者叫最值，然后最后一个事情叫必去最值啊，所以说三个问题无条件有条件必去。但是其实我们这么多年考点部分内容无条件是最重要的，那这个部分内容趋向于必考。

对吧，每年过程当中基本上必考，一定会出一道无条件机制的题，所以但是在经验过程当中啊，你稍微小心一点。呃，一会儿过程当中啊，我们再看一下这个去年考研真题当中啊，最难的一个题，你一会儿就明白了，这两年呢，老头子下手有点狠哦。所以你最好把这个每个点呢，你都要学到位，那么首先我们先来看第一个问题，

无条件。那么，在无条件机制当中，其实就是我们普通的机制问题，多元函数的机制问题。那么，机制这个内容啊，学几个点呢？其实三个点一个事情叫定义。一个事情叫可疑点，一个事情叫判定方法。那么，首先我们先看第一个事情，你发现它的定义怎么说的？那二元函数的定义怎么说的？

你要注意极值的概念呢，是一个邻域概念。它一定是一个淋浴的概念，你要小心一点啊，今年过程当中有可能会考这个点淋浴的概念，那么这个淋浴的概念是一个什么情况呢？他这样说。如果在这里面当中，我们给你一个三维的d卡坐标系，然后这是XO yz的坐标系，然后这里面当中啊，给了一个点。那给了一个点呢，淋浴是什么呢？淋浴就是这一圈儿。

好，这就是淋浴，那么这个淋浴啊，当中是一个什么情况呢？它这个情况。就说如果你在这个点处。你看这个点，如果这个点处的函数值比你四周的函数值都要大，你就是个什么值哎，你就是个极大值。那同理而言的话，你就发现，如果这个点处的值比你四周的函数值都要小。哎，你是个什么值？

你是个极小值，大家注意一个问题，它是一个什么概念领域的概念？那么，其实核心重点而言，我们不喜欢画空间图，我们喜欢画的是平面图，如果从平面图上而言的话，它就这个意思。那我这个点取不取极值，或是取不取最值，我是要判断什么，我就要判断这个问题，我就要比较这个点。和它附近的函数值之间的大小关系，

你要注意啊，就是这个部分。我要比较两个点一，我要求出这个点处的函数值。二我要求出什么？我要求出邻域当中的这个函数值。然后接下来把这两者之间呢，做一个比较哎，这就是空间问题，我要进行求出这个点赤值，我要求出这个邻域当中的函数值。然后进行一个比较，那这东西就出来了。那么，在这种当中啊，

我们来看个题吧呃，不会出特别难，但是基本问题啊，你要会做。比如说这里面当中，我们来看看例一。好，先看第一个题。那这个题啊，他给了这个数，说如果这里面当中的f sy这个人呢？连续而且这里面当中满足一个事情，说limits趋向零，然后y趋向零。然后这是fx y，

这个人比上x方加上y方，它等于二零二四。然后接下来告诉我件事。则什么东西呢？则这个函数在这个什么零零处取不取极值，如果取是个什么情况？好，我们来看这个题。你想想那该点处的值，我要求啊，邻域当中的函数值啊，我可以用极限来包装。对吧，这个东西你就可以进行去类，比我们高等数学上册部分内容。

那这里面当中，首先第一个点，你怎么去求该点值呢？那很明显，分母的极限是零，那分子的极限就是零。所以说在这种当中，马上就可以写到分子的这个人的极限呢，他就是零。对吧，我要干什什么事情呢？你一定要想清楚，我们要干的是这件事情，我们要进行去比较的是。这个点处的值，

还有邻域当中的函数值之间的大小关系，对吧？我要进行求这个点处值和邻域当中函数值之间的大小关系。那在这里面当中啊，你发现分母极限是零，那分子极限是零，又因为它是连续极限，又等于函数值好了，那说明。这个点处的函数值是什么情况？这个点处的函数值是等于零。诶，那这个点处的函数值等于零，我就想看看去心领域当中是什么情况，如果去心领域当中都是大于零，

我是最小的。去心领域当中是都是小于零，我是最大的，所以这样的话我就判出来了，那我怎么判断呢？哎，当然是用一下保护性呗。对吧，这个东西啊，立即可以用一下保护性。那因为什么情况呢？因为这个人的极限大于零。所以说，在趋向过程当中，趋向过程当中其实就是这个点的什么领域，

就是这个点的去新领域。所以我立即可以推出来，在这个去心领域当中。在这个去心邻域当中，fx y比上x方加上y方，它是个什么零大于零，那这个时候的话，你发现分母它又是大于零，那则这个东西啊。一定大于零好，那这件事情就出来了，那说明在附近当中都是大于零，在这个点处是等于零，那说明这个点是。是在淋浴当中是最小的。

你一定要想清楚，我们这块东西啊，是区域新领域内。没问题吧，极限都是去心领域，在去心领域当中，它是大于零对吧？附近都是大于零，这点等于零，因此啊，这个点是个极小值。稍微小心一点，我们从来没出过这种题。如果出了，你也得会做好了这个问题啊，

你要想清楚。好了，这是我们讲的这个第一个问题，淋浴的概念对吧？其实就是比较这个点处的值跟附近当中的函数值之间的大小关系。好了，这是我们讲的定义法。那么，在这种当中啊，极值的可疑点有几种啊？还是两种，一种点是什么点？一种点是注点，就是导数为零的点。偏导数都为零的点，

还有一种点呢，叫做导数不存在的点是x，偏导数不存在或者y的，偏导数不存在。你就记住极值的可疑点就两种，要不然是重点，要不然是不可导点，那么接下来我们再来看看还有怎么判断呢？还有一个方法叫做充分条件法。所以你要记住，如果给了一个二元函数求极值。二元函数什么都不说，求极值，无条件极值，只要是二元函数求极值，

你发现要不然是用定义法。要不然怎么办？就用充分条件法首选充分条件法。能理解吧，首选充分条件法，充分条件法也给它起了个名字，叫做ABC判别法。疑惑啊，我一旦说了ABC判别法，你就知道这个方法是什么？所以这里面当中，我们来看看这个事吧，如果这里面当中啊，给了一个二元函数，第一步干嘛？

那第一步当然进行去求助点，我就让偏s=0，然后再让偏y=0。那这样的话，我是不是就能进行解除注点了？所以这里面当中，我们就解出了注点。那如果是不可导点怎么办？不可导点只能用定义法判定。注意啊，注点才能用ABC判别法，这是你要小心点，当然我们在考题当中啊，设置的时候一般不会去设置不可导点，在二元函数当中。

你说基本上都是注点你大胆的用就行，所以这里面当中我们就解出了注点。好注，点解出来那注点解出来之后第二件事情干嘛？我们要进行判定，那判定怎么办？我要进行去求三个人。一个事情是x的两阶偏导数，一个事情是xy的混合偏导数，还有一个事情是什么，还有一个是y的两阶偏导数。求一下这三个人，把这个注点带进去。好带进去，带到第一人当中，

得到a带到第二人当中，得到b带到第三个人当中，得到c你注意，这是每年一到。你贼喜欢考这种题，你一定要把它学会了，那在这里面当中，我们怎么办？我要进行去判断b方减AC的一个情况。b方减AC的一个正负性的情况来判定，如果这个东西大于零，哎，我马上就可以说在这个点处怎么办？剥取机制。哎，

不取极值，如果这个东西是小于零，它是取，那如果这个东西等于零的，你要注意未知。也就说这个ABC判别法失效了，那失效了怎么办？再回到定义法去看这个点处的值和附近当中的函数值之间的大小关系。能理解吧，好这个问题，如果这个东西是小于零，它就取，然后这里面当中我们再看，如果a是大于零极小值a小于零极大值。那这就是我们的判定方法。

要注意啊，这个页面每年一刀，到了今年过程当中大概率事件呢，当然还是在这。两分体。对吧，两分。所以像这个东西啊，每年基本上出一刀，你从二一年二二年二三年每年一刀，对吧？一定会出这个点。但是今年过程当中，我们稍微进行去注意一下，如果这东西是未知怎么办？

未知选定义法，所以我们把这个东西啊哎。这个以防万一他出了这个点，所以说现在啊，就能做到万无一失。好了，那么接下来我们一起来看看几个题吧，来操作一下，下面这几个题先看第一个题。好，这个题那这个题啊，它让我们去求解这个二元函数的极值。二元函数什么都不说，求极值，无条件极值，

所以说先求助点，那求助点的话直接来呗，来对s进行求偏导，那就是四减二s。然后对y进行求偏导，然后这是多少是负四这个东西减去2y。然后这个东西等于零，没有不可导点，只有注点那，因此这个注点是多少s？这人等于2y，这人等于多少等于负二？然后接下来我们再去算一下x两阶x两阶是负2 xy的混合呢，那这是零，然后这是y的两阶呢y的两阶是负二。

然后这个时候啊，你往里面一带带到这里面当中a是这个人带到这里面当中b是这个人带到c里面当中是这个人。对吧，但在这个人当中得到c，所以说这个时候马上看出来b方减AC这个人什么零是小于零。而且这个人呢啊，这个a还是小于零，所以说应该是个极大值点，那这个人的极大值点是谁呢？极大值点就是这个点，其实你发现你做这个题都不用做了，为什么因为这个东西是唯一的可疑点呐？你想是吧，没有不可导点，只有一个主点，

唯一的可疑点呐，所以肯定是这个点，因此的话，你把这个人往上带。那这一代是多少呢？是四，然后再乘上负四。呃，这是4 x-y这是四，然后再减去x方的话，这人是四再减去这个人是四，然后这是四四一十六，然后再减去八的话也刚好是八大家。单选一啊，这个题非常简单哦。

好了，这是幺八三这个题，那再来看看幺八四这个题，再看这个题。好，我们继续，他说这个函数啊，具有二阶连续导数。然后这个fs大于0f撇零是零，然后这里面当中给了一个几元函数，你注意这是个二元函数。二元函数什么都不说，求极值，无条件极值，那无条件极值的充分啊，

这个条件是什么呢？那很明显，在这个点处b方减AC 1定要小于零，而且在这个点处啊a这个人一定什么点大于零。而且这个点得是重点，那所以说这里面当中我们就求呗，你求一下对s偏导数，对s偏导数的话，这是if撇s，然后这都是多少lnf y？然后接下来我们再对y进行求偏导数，那这个fs是个常数，那这种球呢，其实就是fy分之一，然后再是fy一撇。

那这个时候的话，你发现往里面呆对吧？把零零往里面呆。因为f撇零是零，所以这是零，然后再往这里面带，然后到f撇零是零，它是零，那说明就是注点。然后接下来我们去求ABC，那求ABC的话就要进行求s的两极，那走那就是if撇s两阶lnf y。然后再进行去求sy的混合，那这个人的话就是f撇s，然后是fy分之一，

然后这是fy一撇。能理解吧，这非常简单，就是像考这种题啊，一定要把它拿下来，然后再来看看z对多少y1撇。对吧，两撇。那这人求导的时候的话，你发现这是多少呢？这是fs是个常数。然后你稍微注意一下，你看这个人。那这个人求导对吧？他后面这个人是不是不导你这个人求导后面不导，

一会儿把零带进去是不是零呐？你就不要算了。然后接下来再来，然后是前面这东西不导你后面来导，你把它算一下，我们昨天讲过这个事情吗？你稍微注意一下，因为它难算，你可以稍微进行瞅一下，然后这个时候往这里面当中带大家在这里面当中得到a那a是什么呢？a是撇撇0 ln多少f0带到这里面当中呢？b=0带到这里面当中呢？你发现这是零。然后这是f0f0约掉了f撇撇零。好了，

这个结果。那这个时候我们要要求什么？我们要求b方减AC 1定要什么零小于零，而且这里面当中的a1定要什么？0a一定要大于零。对吧，你a1定要大于零，而你这个b是什么情况呢？b是等于零不就是负AC要小于零，那所以说这里面当中AC这个人什么零？AC这个人大于0a，这个人大于零，因此这里面当中就推出了a大于0c大于零。是吧，你就要要求什么，

你就要求这个人大于零，这个人呢也得大于零。那这个人大于零的话，就说明二阶导数啊，在零处是大于零，你把这个小于零的排除掉，对吧？然后的话，这个人是大于零就不管了，那lnf 0是大于零，那f0大于几大于一，所以正确答案选几选a。好了，这个题啊啊，不是说特别难哦。

难度系数不大，所以基本这个问题啊，就是能处理清楚的。好了没有？这个ABC判别法是非常简单的，就是你验证它是个个注点，然后再来进行求解ABC。然后这个b方减AC小于零就取，如果等于零不知道大于等于是不取，所以这个东西一判断就行了。好了，我们再来看看下一个题。但是下一个题啊，你要做的稍微的好一点，当然有些同学这个题做的不稳。

啊，做的不是说特别好，我们来看看这个题。他说这个二元函数的极值点是。哪个点是极值点？那这里面当中二元函数什么都不说，求极值，无条件极值，那么先干嘛呢？我们先进行求些s的偏导数。你求s偏导数的话，你发现那这人是多少呢？你最好把它打开。你打开了之后的话，这是3 xy，

然后再减去x方y，然后再是xy方。你对这个x进行求导的话，这是3y，然后再减去二倍的sy，然后再减去多少？这个是is不要了，这是y方。然后接下来我们再对谁呢？再对y进行求，那就是3x，然后这是x方，然后这是二倍的xy。好了，这是一个点。

你要注意一个问题啊。那你不要把这两个东西啊，同时为零。然后进行去体验。你不要硬着写，有些同学把这个题当做成大题做。直接让这两个东西怎么办？都等于零去解你解半天解不出来。不要紧，你去带就行了，你稍微进行去验证一下，你看零零的时候呢，这人是零，这人是零。对吧，

然后这个部分是一的时候呢，你看这是三减，它是零三减，它是零，那所以说然后再看零三呢，零三这是九。九的话，然后的话，这是这也是九，然后这是零，然后这个是零三的时候这是零。对吧，这是零，这是零，可以，

然后三零的时候呢，你发现这个是呃y是零，那这是零，然后这是九，这是九，可以。所以说这个东西啊，你发现它都是可以的。不要进行做，就看这几个人验证一下，这几个人都是重点，然后接下来我们就来进行去求解ABC。s的两极。两阶的话，这个人刚好是负2y。

然后再来看xy的混合，再对y求呢，是三减去二x，然后再减去二y。然后再来看y的量级呢，再对y再对y就是这个人负2x。所以说一个一个的来，对吧？你把这个东西啊，你稍微进行看。你把这个a带到这里面当中，你发现a是几啊零，然后这个是b是几啊三？c是几啊零？对吧，

是这个情况，那所以说b方减AC大于零，那这个人呢？哎，不娶，然后再往这儿待待，在这里面当中a是几啊？a是负六，然后b是几呢？b这个人的话，这块儿是零，然后这是六，那就是负3c是几呢c是零，那这个b方减AC大于零，它不取。

然后再看这个人，你往这里面当中一呆，那a是几呢？0b是几呢？然后这是负三。c是几呢？c是这个负六。那这个b方减AC也大于零也不取，然后再看这个人，那这个结果是负二，然后这个b是多少b是负一？然后这个c是多少c是负2b方减AC小于零，它取啊，那就是它答案选d。好了，

这是这个题。所以啊，不要把它做麻烦了。有些同学可能这个题做的非常快。有些同学在这里面当中硬着解你，硬着解就做麻烦了。你就不符合我们三九六同学这种考勤的这个方向。对吧，很明显这个东西就偏差了。一定稍微注意啊，幺八五这个题。过去了，可以吗？我们就讲到这儿，所以自己也下去啊，

好好进行看看，那么接下来我们再来看看第二个问题，所以刚才讲的这个问题啊是。是必考点。你要注意的是，必考点你根据这几年的考情，你都知道肯定稳稳当当有一道。对吧，一定会出现一道就是这种无条件机制，然后求出注点abce判定就出来了。对吧，包括的话，这里面当中取极值了，之后的话，这个点有可能是注点，

有可能是不可导点，就这个方向一定会出一道，你把它拿下来。啊，这个不是说特别难哦。可以了吗？把它想清楚，那么接下来我们再来看看下一个问题，下面这个点呢，就是个冷门点了。对吧，冷门点。但也说不好，对吧？可以出题，

所以这里面当中啊，我给了你几个两道模拟题，一会儿过程当中，我们来做一做。然后我们来看看多元函数的，有条件最值。那么，在这里面当中啊，我们就以一个问题为例，对吧？比如说举这样的一个例子。我们就求解这个人，你会这个人就差不多了。那么，这个东西是这样，

我们求解这个二元函数，然后在一个条件下。原本xy之间是没有什么关系的。那么，现在xy之间呢？满足了这样的一个方程关系。你能理解我的意思吗？哎，就说这个函数在这个什么条件下。它的一个最值问题。所以说一个题啊，能不能进行去把这个东西啊判定出来这个题型呢？是非常简单的题目，就会说这个函数在这个条件下的最值，那就是有条件最值。

说的非常清楚哎，对吧？在这个条件下的最值。那往往我们使用的是拉格朗日陈述法。一般情况下，想把这个条件带回去啊，往往是一般做不动的。所以通常用的是拉格朗日乘数法，拉格朗日乘数法呀，分成三步，第一步叫做设拉格朗日函数。设拉格朗日函数。那这个函数怎么设呢？是要求谁？我求这个人，

我就先写这个人。然后再引入一个参数lambda。把这个条件呢，一边是零，一边写到这后面，这就是拉格朗日函数。如果这个lambda=0，就说明没有这个条件。能理解吧，所以说就是这个人在这个条件下要求谁先写谁，引入一个lambda，把条件一边是零一边写到这里零。里面，然后这块内容啊，你就会发现这是fxyz对吧啊，

这个是我们为了纪念它，我们通常不用写f，我们就写l。拉格朗日对吧？哎，拉格朗日取的那个首字母l设了这个函数，然后第二步干嘛呢？第二步设。是求助点。求一下对x的偏导数，求一下对y的偏导数，求一下对lambda的偏导数，然后这里面当中啊，我们就能解。解这个东西啊，

你要注意啊，我们能解出这里面当中的xy。而且还有这个lambda，我问一个事情，你的目的是进行去解sy还是解lambda？你的目的是写谁？你的目的是解sy还是解兰姆达？嗯，你告诉我，你想。借谁呀？对sy当然是sy这个点了。所以然后第三步。回单PK得结果。好，

就是这三步。所以说这里面当中啊，先设出这个函数。然后再来解出这个注点，这个点也叫注点，比如说我解出了100个注点，我就把这100个人带回去。最大的就是最大值，我讲浅一点啊，我不往深处讲，因为这块内容能考到这儿就差不多了。比如说解出了100个点带回去，最大就是最大值。最小的就是最小值。能听懂吧，

最大的就是最大值，最小的就是最小值，只要能解的出来，这个人就说明他的罪职是有嫌疑人的。能听懂吧？好了，这是这个问题。比如说一个题啊，它说。是否有在这个条件下，是否有最值？有没有呢？哎，比如说你解出了一个注点，你告诉我有还是没有？

有把这个点带回去，它就是最值，所以说这个东西的判定性的方法非常非常的简单。只用这里面当中进行PK就行，所以有条件最值而言呢，就是我们使用拉格朗日乘数法三步设函数求助点回带就行了。好了，这三个事儿把它掌握清楚就行。你只需要会做一些简单的点，因为像这种题啊，往往在这个数一数二数三当中啊，它是考这种大题的形式。对吧，往往都是考大题，所以一般情况下就是这样，

我们就根据这三个问题，我们解一些简单点。其实这个东西难不难呢？很多说那很简单，为什么我们不考呢？其实没有说不考，我们也会考，只不过这几年过程当中没有出题，也是有可能会出题的。那么，这个东西难不难呢？他说不难呢？难难的点，其实在解方程。解这个方程有一定的难度系数。

解这个方程。有的时候你会发现这个方程，有些东西看半天都解不出来。但是啊，你发现这件事情跟你大学学习好坏无关。有可能你扔给你的学习初中的表弟，他都会接啊，结果你发现你不会接啊，都有可能性好了，那么接下来我们来看看一个问题吧。我这里面当中啊，出了两个题，我们来瞅一瞅。昨天晚上。呃，

这个讲习题的时候。我发现了一个问题。出这种最值的题啊。我发现了一个点。啊，这个昨天晚上有些同学提醒我了，然后我又变得更加的狡猾了一点。那么，昨天我们在出题的时候，比如说求最值，那他们说那就把那些点进行去通通求一下，看谁是最大不就行，直接盯选项。哎，我发现是这样，

那这个题的漏洞就出来了，你看我今天我稍微出的模拟题啊，我就改了一下。那这两俩人之和是a，然后说在这个点处取得最值，我让你去求解这两个人的乘法，你看你就看不出来了吧？好了，这是这个问题嗯，所以说你这里面当中的这个方向性，它就出来了啊，我稍微把它调整了一下。来看看这个题。解那么接下来我们来看看这个题目，那这个题啊，

它说两个数都是正数，两数之和是a为定值而。而且s大于0y大于零，对吧？这是它的条件。然后说什么呢？说在这个条件下，对吧？在这个条件下，他在这个点处取得最值，那这是个什么题啊？xy之间是没有，不是说没有关系，是有关系xy之间呢？两个人之和是a有条件。

对吧，它是个有条件，那我要求解的就是你这个人在这个条件下的最值的问题，也就说那我把它回带你带回去了之后，其实也不太好看。对吧，所以说这个题啊，它就是一个什么，它是一个有条件最值的问题，你看这个是一个二元函数吧。多元函数的有条件最值问题，那么就求解一下呗。那么，在这种当中，使用什么？

使用拉格朗日陈述法。那要求的是二元函数。要求谁呢？我就先写谁。然后再引入一个lambda，把这个条件一边写成零，一边写到lambda后面去，然后这里面当中，我们就来进行去求出三个偏导数。你求一下吧，那第一个人是多少？这是x的三次方二倍的，然后再加上拉姆达，这人等于零。然后再对y进行求，

那这个东西是多少是二倍的y的三次方加上拉姆达等于零，然后这里面当中再来看对拉姆达求。兰姆达求的话就是x+y-a=0。那这类目当中，我们就来看看了。诶，解这个东西怎么解呢？其实基础班我就跟你讲过。你看前两个方程当中是有lambda。第三个方程当中是没有拉姆达，你要解题的方向就是前面这两个方程，把拉姆达给消掉。然后带到第三个人方程当中，那这个题就比较简单了，因为你稍微的进行去对照着看看你二倍x三次方，

你二倍y的三次方你。你说明这个x就等于y，你就找到这个条件，把它带进去，你带进去了之后的话，这就是2 x=a，所以说这里面当中x=y。都等于多少2a？那同学们告诉我，解出了几个人呐？解出了一个人，就说明在这个点处取得最小值。能听懂吧？他说，取得最小值，

只要你解出来了很多，说那老师你怎么进进行去保证这个点是个最小值呢？因为这件事情发生了，只有这一个嫌疑人。他一定是他，所以说这种问题点，你要想清楚，我解出了十个人呢，我带回去最小的是最小值，但是我解出了一个人这。这是唯一的，那就说明就是它。因此这个人呢？x零就是二分之ay零就是多少二分之a，所以说这个结果等于四分之a方选c。

能想清楚吗？你觉得这个题能不能考啊？也能出吧。这个题的运算量也不大。稳稳当当刚刚好，也能考到这个知识点，它也能出题，你看出成一个两到三分钟的题，它也是可以的。对吧，运算量也不是说特别大啊，这个问题啊，把它想清楚，你要学会它。好了，

我们接下来我们再来看看下一个问题，我们再来一个啊，再来出一道。那这里面当中啊，我又编了一道题。看一下这道题。那这道题啊，他说了一个事情。它说斜边长为一的直角三角形。注意直角三角形。嗯，我来画吧。好了，斜边为这个什么斜边为一的直角三角形。当然，

像这种问题啊，你会了，你就可以去这个你做有些初中高中的题啊，确实挺能装逼的，高中我们经常说。求解这个人在这个条件下的最大值最小值，你使用拉格朗日乘数法会非常简单。好了，那么接下来他说周长最大的直角三角形，它的周长是多少？你看这个人呐，我没有说什么呢，没有说呃，周长最大的三角形的三边分别为多少？那这样就太简单了。

那怎么处理啊？你就要设出来，你设这个边为x设这个边为y。能理解吧，所以说这个时候啊，我们要看看，那你想想你的周长是多少呢？你的周长是x+y+1对吧？这个人，然后接下来我们再来看第二件事情，对吧？这个人满足的条件呢？x方加上y方等于一。那要求解的这个问题是什么呢？求解的这个问题不就是这个人在这个条件下，

他的一个什么最大值吗？我可以使用什么拉格朗日陈述法，所以我要求这个人呐，我就先写这个人对吧，我就先写这个人。然后再加入lambda条件呢，一边摆零一边写到正后面。然后接下来我怎么办？我就对s求那就是一，然后再加上二拉姆达s=0，然后再对y求那是一，然后是二拉姆达y=0。然后再对拉姆达求，那就is方加上y方，再减去个一=0好这个结果。

那这个结果的话，一算你发现得到三个式子一二三三个式子，那么同学们想想我们的方向性是什么呢？你要注意我们的方向性是前两个方程找关系，带到第三个人当中，那前两个方程当中啊，消掉拉姆达。你看你消掉兰布达，你不用消，你用你眼睛进行瞅。一+2拉姆达s，一+2拉姆达y，你这里面当中很明显一个事情，你这个is肯定怎么了？等于y。

你x=y的话，往下面一代一代，这是多少二倍的x次方等于一？所以说这个s就等于多少等于一比根号二。然后这个时候y这里呢，一比根号二。好了，这是这个问题，能听懂吗？好，那这个时候的话，你就会发现这三边呢？有没有解出来？有解出来他是唯一的人。那就说明在这个点处，

它一定是最长的。那么所以说这三边的话，你发现之和是多少呢？那这是二分之根号二。二分之根号二+1，所以答案选几选一。好了，这是这个题，你觉得这个题目能不能进行出啊？也能出吧？怎么区分？哪个人是条件？嗯，算了吧，算了啊，

这个这个我就不说了，好不好？你不信你把这个题啊，你扔给一个你小学的表弟，他都能读的出来。啊，这跟这跟大学学习好坏无关，跟高中学习无好无关，我们如果跳脱出来，把这个题当做成一道语文题，你去读一下。好，我们做一道阅读理解题。对吧，来给我阅读理解那么，

然后的话说。已经知道与道阅读理解，然后下面第一问。题目当中所说的条件是什么？题目当中所说的问题是什么问题？对吧，你转一下。这跟数学好坏无关，一点关系都没有。好了，这个点呢，我们就讲到这。可以了吧，把这个问题啊，你想清楚就行。

好，这个题目我们就讲到这。然后接下来我们再来看看第三个事情表达什么中心思想。好了，那么接下来我们再来看看这个考点三再来看最后一个。二元函数的，必须与最值。那B区域最值啊，这件事情我们就会想到B区间最值。B区间最支持。区间内去求极值。你一定要注意啊，端点是无法成为极制的。对吧，端点是没办法成为极值的。

因为这里面当中，你想想一个事儿，我问你个事情。比如说你看这个点能成为极值吗？它不能，为什么你在这个点的附近？你这个点的附近，你有一半儿在里面，一半儿的话，你发现一半儿它在外面。就说我一定要我这个点比我淋浴，你发现一个事情，它是没有淋浴的。所以注意啊，边界点是没办法成为极致的。

对吧，边界点是没办法成为极值的，那边界点没法成为极值，所以说这个题啊，我们要这样做。我们要先做区间内的机制。好，那这个东西啊，我们就不叫区间内了，我们叫区域内什么叫必区域呢？边界及其内叫必区。所以第一件事情我们先做区域内，区域内做什么，区域内做无条件机制。边界上呢，

我在这个条件下的这个最值问题，那就是有条件，因为你都知道边界是有边界方程的。边界方程呢x和y之间是有关系的。对吧，我们在这个条件，这是个有条件的一个什么的，一个情况，上面这东西做的是无条件。下面这东西做的是有条件。那么然后进行去PK。这里面当中，我想多讲一点。其实你稍微的注意一下。就是这个人的前两步，

他其实做的这个工作其实就是两步。第一步干嘛？找嫌疑人。哎，找闲一点。那你告诉我，区域内当中用无条件去制作什么嫌疑点，那就是驻点和不可导点。找到区域内的驻点和不可导点。边界上呢，用有条件最值的问题做找到这个人的可疑点。在内部找嫌疑人，在外部找嫌疑人，然后最后怎么办？我们一起拿过来PK。

只要你有一点点嫌疑，拉过来PK，最后PK一下最大的最大值最小的最小值啊，就这样的一个问题。就说你只要有一丝丝的嫌疑，我就拉过来PK。只要你有一点点嫌疑，我就拉过来PK，反正最后啊，我把你PK一下就出来了。所以同学们，你想想一个问题。比如说在区域内的时候，你是不是只用找到注点和不可导点就行了？需不需要判定呢？

需不需要？其实不需要判定。如果做一道计算题的时候，我在内部只需要找到嫌疑人就行了，找到注点和不可导点就行，只要有嫌疑，我就拉过来。边界上呢，我也找到嫌疑就行了，不需要PK，最后再一起PK就是这样的一个工作，对吧？你这是一个什么？比如说这是一个。呃，

这是一个区域，比如这是一个城墙，城墙及其以内啊，这就是我们的城。然后怎么办？在城内啊，找到什么东西啊，找到带有驻点带有不可导点标志的人，然后在边界上找到一些嫌疑人好，你们一起去PK。最后PK出来最大的最大值最小的最小值，能理解吧好这个方向性，它就出来了。能学会吗？掌握清楚给我回复一。

所以如果从计算题的角度上而言。内部只用找到重点和不可导点，边界上找到嫌疑点，再一起来PK，那就完美了。好，这个事情我们就讲到这，那么在这里面当中啊，我们来看个题。下面这个题啊，有点点意思。就看看大家的水平点怎么样了？来看一道题。这个题啊，非常的有意思。

好看这个题。那这个题啊，他说了一个事情，他说这个函数在有界B区域上是连续的。你注意啊，有一个性质，如果在有界，必须以上连续一定会存在最大和最小值。啊，这其实就是一个定理，就跟我们B区间一样，如果在B区间上是连续一定会存在最大和最小值，还记得吗？啊，所以说这条内容你就不用管了，

对吧？它一定会取得。你在B区域连续它一定会存在最大最小值好，我们先不管了，那么同学们想这是一个什么，这是个B区域问题吧。然后他说在内部。具有二阶连续偏导数，请注意了，然后这里面当中给了一个什么，给了一个有界必区。给了一个有借，必须他说什么情况，他说内部内部的话，这个偏导数都给了你。

然后接下来告诉我们说最大最小值都在边界上取，最大最小值都在内部取，最大值在内部取，最小值在边界取，最小值在内部取最。最大值在边界区，那赶紧把e选项排除。为什么它一定会取得最大最小值？那无外乎这几种情况，要不然都在边界区，要不都在内部区，要不一个在边界，一个在内部。能想清楚吗？肯定会取。

那现在有一个问题点的话，就是问题点就在这儿，那到底在哪儿取啊？到底在哪取？你怎么做？你怎么做？你会想到什么？你不要跟我天马行空，想给我看题目啊，对吧？看着题目去想。题目条件信息当中告诉的条件得用。内部找驻点不可导点。边界上找嫌疑点，然后再来进行比较，

你这好像不好找找啊，你这注点怎么找不可导点怎么找边界点怎么找？那这个边界的话，可疑点怎么找找不到啊诶？我又看到一个事情。内部当中给的二阶偏导书。内部不是无条件禁止吗？无条件其实给的ABC哎，我能想到ABC判别法，这不就是b吗？这不就是a吗？这不就是c吗？那说明内部如果在这个点处取极值，对吧？内部这个点当中的这个b它都会不为零。

内部的a+c都会等于零，内部当中的a都会等于负c，那内部的点的b方减AC都会什么？那你想这些东西不就变成了b方，再加上a方吗？你这个东西大于等于零，你这东西不为零大于零，它一定大于零。诶，这里面当中我就摸清楚了。你如果内部这个点取得最值，你这个点肯定是极值。你如果在这个点处取极值b方减AC应该小于零，你怎么能大于零呢？那说明什么情况？

绝对不可能在内部取，绝对都在。边界去。有点意思啊，对吧？有一点点意思，你绝对不能在内部去。因为你发现你内部当中，如果在这个点处取极值，你b方减AC 1定会小于零的，你怎么能大于零？你大于零，说明不选，绝对不可能在内部，绝对在边界上。

好，这个题有一点点意思，你下去好好想想。它就是这样的一个问题啊，我看到的一个必须最值，那不就是内部曲边界曲对吧？就是这两个人。内部找到驻点不可导点，边界找到嫌疑点。但这个题没有别的信息啊，那它只告诉了一个ABC，我们知道内部当中是无条件极值，它ABC有判别法呀。它给的这个信息b方减AC，它是大于零不取的，

肯定在边界上取。能想清楚吧，哎，对有一点点逻辑感在这里面啊。慢慢想好了这个题啊，我们就讲到这，那么接下来我们再来把这个什么哎，我们的高等数学。最后两个小块内容，我们做回最后一个补充，把这个东西补充完了之后啊，我们整个高等数学内容全部就结束了。那么这个内容啊，在二零二一年之前的真题啊，它是出过这种题的。

对吧啊，毕竟我们考三九六经济学，对吧？精宗数学。经济类综合能力。那你发现这个经济学应用啊，其实也应该是我们的一个重点。所以说这个板块内容你不用着急，我都会讲的来来，我给你拉到这儿，一会儿会讲中值定理。好了没？不要着急啊，都会给你讲的，你就好好听就行了。

那么，在这里面当中啊，我们来看看，所以啊，你还要以防万一，那么首先我们先来看看这个经济学应用。那么，在这个板块当中啊呃，我们考的这个点呢，其实核心重点就是掌握住一些重点的经济学名词儿就行了。那么，首先我们先来看看第一个问题，我们先掌握住两个非常重要的概念。第一个概念叫做编辑。什么叫边际呢？

其实在经济学当中的这个边际啊，指的就是数学当中的导函数。所以一会儿我们会进行去学习什么边际需求函数，边际成本函数对吧？边际这个收益函数。所以在这种当中啊，边际啊边际，其实就是导函数好了，这是第一个问题，然后第二件事情我们再来看看弹性。那弹性这个点呢，我们先来看看第一个事情，平均弹性。那平均弹性是个什么东西呢？比如说我举个例子。

那这里面当中有甲乙两个同学。好，我们都过上了一个月，然后这个贾同学的话，原本是重了，比如说原本是100斤。然后这个同学是180斤。那么然后的话，过了一个月了之后啊，这每个同学都增长了十斤。我想问一下，哪个同学的相对增长率更大一点？哪个同学？那很明显是这个同学，因为你发现它的这个起始点更小一点，

对吧？相对变化率更大一点。那所以说在这种当中的话，你会发现它会更大一点，因此这里面当中啊，我们定义了一个内容，叫做弹性，那这个弹性是个什么东西呢？那我们先来看看平均弹性。那就说我在这段时间的话，这个人的增量。好，我们先看这个人的增量要比上他的起点值。然后再除上这个人的增量，比上他的起点，

哎，这个东西啊，就叫平均弹性，所以说最后而言的话，他得到了一个x比上s0。然后这是德尔塔y比上德尔塔x。好了，这就叫平均弹性，那怎么进行去求解瞬时弹性呢？那瞬时弹性非常简单，我就让这里面当中的德尔塔s趋向于零。那趋向零，其实就是这个点处的顺时弹性。那这个时候你把x0和这个y0作比，你把它提出去。

提出去了之后的话，你会发现这是个什么东西啊？那这个东西不就是德尔塔y比上德尔塔s，德尔塔s趋向零，那这个东西不就是导函数吗？所以说这里面当中我们就得到了弹性函数。弹性函数这个人呢？就是x比y，然后是dyds。好注意啊，记住这个人弹性函数使自变量比上因变量，然后因变量对自变量的导函数。好了，这个东西啊，平均弹性瞬时弹性弹性函数啊，

这个内容比较重要一点。好了，这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来我们来介绍几个非常重要的这个经济学名词儿，那么这两个东西是个基本概念。我们在这里当中要学习需求函数，成本函数，还要学习收益函数，还有我们的利润函数。那么，在这种当中，我们先来看看第一个人需求函数。需求函数啊，是一个最基本的概念。没有需求函数，

后面学习的所有的问题啊，都是胡扯。啊，都没有什么用，那么首先第一个点，我们就要有需求函数。那需求函数的定义是怎么定义的呢？那这个东西的定义啊，它是这个人叫做需求量。q，那这个q是什么呢啊？q其实就是quantity对吧？那个数量的那个缩写啊q。那这个东西叫做什么需求量？需求量跟谁的函数呢？

跟这个价格的函数。啊，require吗？是这个吗？好了，这个人。跟这个pp是一个price对吧？跟这个人之间的函数，那么这两个东西的话之间的这个函数的话，你要注意。这之间的这个函数其实就是一个需求函数。好了，这是这个问题。所以说这个东西就是q跟这个p啊，它们之间的一个函数。

对吧，跟这个人之间的函数那么大家想想呃什么是需求函数啊，你们更加的专业一点，我们简单的理解一点呢。其实就是从这个消费者的角度上而言，就是购买量。从这个厂商的角度上而言，就是售出量可以这样理解吧，那么同学们想想，比如说我们这个厂商最后卖出了多少？或者这个消费者最后。购买了多少？那么，在这里面当中，我举个简单例子，

比如说啊，你发现这个函数其实是个天然的减函数，比如我举个例子啊，你假设你发现这个农夫山泉。我一瓶卖了2000块钱。你就会发现你发现这个价格变大了。你这个购买量肯定会减少了。它其实就是个天然的减函数。所以说这个里面当中的边际需求函数啊，其实是q这个人呢，对这个p的导函数。能理解吧，哎，这个人对这个人导函数这个导函数什么零小于零？能听懂我的意思吗？

所以一定要想清楚这个问题。所以像这个问题啊，就是这个人对这个人导函数，它是个小于零。能听懂吧好，这是这个点，它的边际需求函数q对p的导函数天然小于零。然后接下来我们再来看看需求弹性啊，需求弹性很重要，那这个人的话，他是这样定义的。就是自变量，然后比上因变量，然后是这个q对这个p的导函数哎，但是有一个问题。

哎，有一个问题。什么问题呢？你这个东西是个正的。你这个东西是个负的。你的价格，你的需求量都是正的，但是你会发现一个事儿，这个这个什么东西呢？这个q对p的导函数是小于零。所以说这个整体的这个结果是小于零。当我们一般情况下所见到的什么需求弹性，它都这样说。说这个需求弹性是百分之零点一。零点零一。

零点零零一百分之二哎，怎么说的都是正数呢？所以同学们，我们一般见到的需求弹性呢？都是这个东西啊，加了绝对值之后的结果。啊，加了绝对值，所以说这个部分呢，前面有一个负号，这是你要注意的。但这件事情我不管，你的专业课里面怎么是规定的？但是你注意，如果在考研数学当中，

你稍微小心一点。像这个问题啊，一定要进行去看题。听懂我的意思吗？去看题，我不管你专业课怎么规定的，如果在考研数学当中，你一定要进行去看题。如果这个题说了，需求弹性是1%，你比如说的正的哦，说的是正的，前面就有个负号。如果这个题说需求弹性是负的1%呢，他说的是负的哎，

那这个东西就没有负号，所以这件事情考。考研的过程当中规定的是非常非常清楚的，所以出题是没有什么偏差的，因为有些的话这个题目当中哎，这里面当中有负号，有些又没有负号，有的人容易糊涂。但是你具体的去看题题怎么说，你就怎么来。能理解吧，好这第一个事情需求函数。然后接下来我们再来看看第二事情成本函数。好，再看这个点成本。

那成本函数啊，这个东西分成两部分啊c这个。啊，这个东西叫cost对吧？那这个东西啊，包括两部分。一个部分是什么？一个部分叫固定成本。一个部分呢，叫可变成本。对吧，一个人叫固定的啊，比如说你这一年的房租物业费啊，固定成本。然后还有一个东西叫可变成本。

比如说你进去去卖一个服装，那服装的话，这个东西肯定是有，对吧？这个有成本的。那这个东西跟谁之间的函数呢？这个成本函数一定是c跟q的函数还是p的函数呢？那往往我们继续讨论跟c的函数还是p档，那跟q的还是p档？肯定是q嘛。你不能说你卖的越高，你成本越大，那不是这样，是你卖的越多。对吧，

你线数越多的话，这个成本越高。所以说这个东西啊，它是跟q的函数。好了，成本函数包括两部分，一个部分叫固定成本，一个部分叫可变成本，它跟q之间的一个关系。然后接下来我们再来看看边际成本，那边际成本呢，在你们的专业课当中叫MC吧。啊，边际成本。那边际成本呢？

请注意了，这东西是固定死的，一定是这个c对q的导函数，不要求错了。求错了，就没有分了。所以在这里面当中，我每次讲这个问题的时候，我想说的第一句话是。不要喜欢钱。对吧，有些同学一直觉得一个问题，说我对这个啊p进行求导，不是的，它是对q求导，

这个东西是规定死的。好，这个问题是规定死的。我一定是对q求导，我一定是c对q求导，你不要求错了，你求错了，这个东西就没分儿了，好了，这是第一个点。然后接下来我们再看第二个事情，弹性。大家想想。你c跟q的函数。q，

也能写成p。那所以说这个东西c既可以是q的函数，也可以是p的函数，那弹性这个东西呢？你就进行看题就行，那么这个东西是不固定的。那题目当中有可能说哎，这个成本对价格的弹性。成本对需求量的弹性，那具体提啊，你具体看，如果说需求量的弹性，你就把它写成一个需求量的函数。如果跟价格的弹性，你就写成价格的函数。

好了，这是第一个问题，继续啊，再看第三个点。收益函数那收益函数啊，这东西啊，用r表示。那什么叫收益呢？其实就是毛利润，对吧？那就是你每件产品的单价，然后再乘上你卖出的量。单价再乘上卖出的量，那这个东西不就是它的收益吗？啊，

这个非常简单，然后边际收益函数要注意。这些东西是固定死的边际收益函数，是收益函数对谁求导？啊，同学们，好好想想他对谁求导，一定是对q求导。这个东西求错了，你就没有分了。一定注意啊，一定要求对它是对q求导，不要喜欢钱。啊，不要喜欢钱一。

一定是对q求导。然后至于这个弹性呢，它是不固定的。它有可能求解的是，它对p的弹性，有可能求解的是，它对q的弹性具体题啊，具体看。好了，这是这个第三个人，我们再来看看第四个人利润函数。利润函数这个东西啊，它非常简单，利润这个东西等于什么？它就等于它的收益再减去成本。

好，这是这个问题，就是它的收益在减去它的成本。然后这个边际利润函数啊，一定是利润函数对q求导，你要注意啊，从这个里面当中人家的定义啊。我更加喜欢的是什么卖出的量？对吧，不是喜欢单价，我喜欢的是卖出多少量？卖的越多，不是希望的话，这个成本的话，它的这个什么单价怎么样？

一定是卖出的量，所以边际利润函数是。是利润对q求导，然后这个弹性呢，也是不固定的。它可以说对这个价格的弹性，也可以说对这个需求量弹性好了，这个基本问题啊，我们就讲到这。能学会吧啊，你们更专业对吧，所以说我相信你这个问题啊，你能学的更好一点。那么，接下来我们来看几个题吧呃，

这里面当中啊，我找了几个题，我们先来看看，这都是往年的数学三同学的真题。啊，都是数学三同学的考题，所以接下来我们先来看看第一个问题。那这个第一个点呢？他说。某商品的需求函数是这个人。对吧，这是需求函数。某商品的需求函数是它，然后这里面当中啊，然后我们去求解什么，

然后我们去求解这个边际收益。哎，同学们，想想那这里面当中提到了一个事情，收益。那收益是谁呀？收益其实就是p×q。能理解吧p×q，然后这里面当中的话就是p再乘上多少40-2p吧，然后这里面当中e求导的话是多少是40再减去多少？再减去4p，对不对？是不是啊啊？那就错完了。你注意这往年的这些考题啊，

它都是这么简单，就是你要了解这个经济学含义，然后会用这些东西的符号进行解决问题，那就可以了。一定要注意边际收益，这个人呐。一定是收益，这个人对谁求导是对q求导，刚才说的第一句话不要喜欢钱。对吧，所以说这里面当中一定要怎么办？把它写成一个q的函数。那所以说这个p就等于多少等于二分之一倍的四十减去q？那么所以说这个人的话就等于二十再减去二分之一q，因此就等于二十q再减去二分之一q的平方。

那么所以说这个r对谁求导？r对q求导是多少？就是20再减去多少减去q？好了，这是第一个问题啊，这个非常简单啊。然后接下来我们再来看看下一个问题，再来看看例三这个题。看这个人，那这个人呢啊？当然的话，你比如说你在这个经济学专业课里面当中啊，会经常会碰到这种问题。比如说呃，这个价格定为多少的时候利润最大？

那不就是求解这个利润函数的最大值吗？就叫定价模型，你应该能理解吧？好了，我们先来看看这个题。他说，这个某产品的需求函数啊，是这个人。啊，这是某产品的需求函数。然后他说了一个事情，我对价格的弹性是零点二。诶，这不就是需求弹性吗？大于零。

那这个需求弹性大于零，同学们想想那这个前面是不是有个负号啊？负的p比q，然后这是DQ比dp，然后这个结果等于多少零点二？好，这个情况。然后他又说了，说需求量为一万件的时候，价格增加一元，会使得收益增加多少？那么，同学们告诉我，这题考的是什么呀？他说的是价格增加一元，

会使得收益增加多少？增加多少？考的是什么呀嗯？这东西考的什么？我价格增加一元，我会使得这个收益增加多少？不不不，是边界收益。边际收益是r对谁求导，对q求导，那是q增加一件会使得收益增加多少？人家这个题说的是价格增加意见，你发现你看很多人学这个东西啊，你太。你已经太跳脱出了这个。

学东西是不是有点太刻板了？你就记住了那些东西，记住那些它都是为了实际问题进行服务的呀。那这个东西在研究什么？它就是在研究r2对p的导函数。对吧r2对p的导函数就这么简单。那导数的意义是什么呢？不就是变化率吗？你要跳脱出来，你放到这个数学问题当中进行去研究它就行啊。它考的这个内容考的是收益，对价格的导函数。那在这里面当中，我们都知道这个r是什么呢？r是p×q。

那这个人的话，对于这个p进行求导呢，这是p的函数，那这也是那所以说这个东西应该是个乘法求导。那前导是几啊？一后面不导，前面不导，后面来导。好，我们做成这样诶，那做成这样呢，接下来怎么算呢？然后我们稍微进行观察一下，你要求解的这个人不就是这个部分吗？哦，

非常完美，那所以说这个东西就等于多少？这是q。然后把这个什么负的这个q，然后乘过去负零点二q零点八q。那所以说这个最后的结果是多少？你把这个一万带进去，刚好就是8000。好，这个人呢？立即出来了。那就说明价格增加一元，会使得收益增加多少？增加8000。好了，

像这个问题啊嗯，其实我们这个考的都是选择题，你像数学三的话，还会考大题，那考大题的话，有的时候会出这种题。比如说这个dp。q等于多少一万的时候？然后这个东西是8000。然后后面说一个事情，说什么东西呢？请叙述它的经济学意义。能理解吧啊，请叙述他的经济学意义。呃，

我们这个东西考的还是比较简单。你看有的时候它会出这种题。他说这种情况呢，让他怎么办呢？让我们心情去叙述他的经济学意义。啊，有什么经济学意义，当然的话，我们这个考的不是说特别难，因为小题嘛，没有说考那么难的。当然的话，有的时候这个真的出的难的话，像这种题。对吧，

还有这种问题啊，这个研究你最后都把这个学会的经济学的这个含义，你要知道你在处理一个什么样的问题。然后再用数学的方法进行去解决它，那就非常好，好了，这个点呢，我们就不说了，来回来吧。那这个东西啊。什么是一个经济学含义呢？那这个经济学含义啊，就这个意思。当q等于多少等于一万件的时候。然后怎么办？

价格每增加多少？每增加一元。收益增加多少？收益增加8000元。是不是啊？好同学们告诉我对不对？啊，胡扯。那就废版了。所以每年都是这样，有些同学自己感觉自己做对了，或者看了一下答案，诶诶，我写的对着呢，对个鬼。

大家注意，这就是我想说的第二句话。不要喜欢美。哎，错就错在这一个字儿。不要喜欢钱。不要喜欢美，你这个部分东方系就能做的非常好，但是我们不考这个啊，不考这个。啊，这个东西我们不考这三九六同学考。你想想一个事情，它是这样的一个情况。那这个部分的话，

你发现r这是p。对吧，这个情况。那这个问题的话，你发现我在这个点处的导函数是80。就说我在这个点处的话，我的变化率是80啊，这个八八千我增加一元的话，我会增加8000。但是你会发现你在这个点处呢。你就有可能不是8000了，你再增加一元的话，你发现它这个什么情况，它就不是8000了。能理解吧，

所以说这个东西应该说什么应该写在。啊，再增加一元。它会怎么办？增加8000能理解吧？那就说我再增加一元，我不能说每每增加，这就不对了，好了，这个钱我们就说到这吧。这个不考这个不考不考不考。想清楚就行。可以了吗？来继续吧。再看一个问题，

看一下这个题，把这个题讲完呢，我们就这个板块内容就结束了。好，再看这个题。那这个题啊，他说了一个事情，他说。说生产某产品的平均成本是这个人。然后这个q是产量边际成本是多少？我问一个事情，什么东西叫平均成本呢？啊，我就很想问这个事情，什么东西叫平均成本呢？

你就假设你不是一个学经济学专业的同学。你就告诉我什么叫平均成本？我说我这卖了1000件，我的成本是多少？那其实就是总的这个成本，再除以这个量呗。那不就是这个吗？你平摊到每一件商品当中的这个成本吗？平均成本。所以说这个时候啊，我们就知道了，这个总成本那这个总成本就等于多少总成本就等于平均成本。我再乘上这个量那，所以说这个东西就等于一+e的负q，然后再乘上q。

那所以说这个时候啊，我们进行去求边际成本，那什么叫边际成本呢？边际成本的话就是成本对这个人的求导。有MC呗，那这个求导的话呃，这一层的话，这是前导。负的一的负啊，这个负q前导后面不导，然后再加上前面不导，后面来导好了，这个东西啊结束了。可以的吧哎，这种题出的都不难，

那所以说最后而言的话都是一些这个经济学含义，你要理解这些经济学名词儿。然后会用数学的这种方式啊，然后来进行去处理这种问题，他就可以了。行吧，那么这个内容我们就讲到这。可以了吧，你能把这些内容消化到位啊，就差不多了，所以考试过程当中，无论他怎么出题啊，你至少而言，你是有方向的，你是能够处理的。

好了，这个问题啊，我们就讲到这。然后最后啊，我们再来进行去补充一个部分，叫做中值定理的一些问题。好，再来看看最后一个点啊，中值定理。那么，这个中值定理啊呃，我来强调几个事情，因为这里面当中啊，有几个方向性，把它想清楚就行。

那这里面当中啊，这个中值定理这个问题啊，你了解基本定理的内容就行了。就说我们说这个定理啊，你知道这个定理在说什么就行了，就是你要知道这个定理的条件。你要知道这个定理的结论就行了。能想清楚吧，那就说我们说了这个定理啊，我们知道哎，这个定理在说什么？我知道这个条件是什么，我知道这个结论是什么啊，就可以了。所以这里面当中，

我们先来看看第一个事情B区间连续函数的四个性质。be区间连续函数四个性质啊，它不会在这块儿出证明题的，我们就不考证明题，我们也不会在这里面当中进行去出什么东西呢？出这种选择题的。对吧，尤其是前面这两个点。什么叫做B区间连续呢？那B区间连续的意思就是这个意思，你这是a点，这是b点，我们从a点出发到b点结束。那既然从a点出发到b点结束，我一定会存在最大值，

我也一定会存在最小值。所以啊，如果B区间连续，它肯定有最大值，最小值有最大值，最小值我就会介于最大值和最小值中间。我就一定会怎么办？我就一定会有接。对吧，我一定是有接的，所以你看咔咔咔这两条就没了。那么，像这个问题啊，它不会在这出，它会出什么？

它会出扯面定理。扯面定理那块出就行了，然后接下来再看第三事情，如果B区间连续中间有一个数介于最小值和最大值中间。那一定会有一个人怎么办？一定会有个人等于这个数。好学到这儿就行了，了解啊。对吧，为什么要讲呢？讲的原因非常简单，有一个重点。那个应该有两个重点，那两个重点我要重点讲。然后接下来的剩下的问题啊，

了解就行了，想让你们踏实一点，心里安心一点，总感觉说哎，我这个考研数学当中，我今天看到这个里面，当时说中值定理怎么样？哦，我们怎么没有说我们都说了，所以你会稍微的会安心一点好了，这个第三条内容就出来了。所以你就想清楚，如果B区间连续肯定是有界的，肯定有最大值最小值，然后如果中间有个数介于最大值和最小值，

中间一定能取到。好了，同学们可以的，还是没可以好听明白的给我回复一。那么，这里面当中啊，我来强调第一个事情。我记得在这个基础班的过程当中，我就讲过这个问题。那么这个题啊，它说了这样一件事情。我们再来看零点零零。零点定理说的是这样的一个事情，他说a到b是连续的。a到b是连续的。

然后如果端点之一号呢？你看我在这个B区间连续我端点至一号呢，我一定要从这儿走过去，所以说我一定会跨过河街。我一定会有个点处的，值等于零。能理解吧，就说你一个人站到河对岸，一个人站到这个什么俩人站到河对岸。你从这个点连续的过去，中间一定会有个点穿过这个s轴，一定会有一个点等于几啊等于零。对吧，它绝对会有个点等于零。就说你站到河对岸，

但是你要学清楚。它有一个非常重要的前提，一定是什么？一定是必须间连续。如果这里面当中没有提到B区间连续这题就废了。注意啊，必须是必区间连续。如果这个人改成开区间点去呢？如果什么情况，如果这个人怎么了？他在开区间连续。而且fa乘上FB。小于零则中间有一定会有个人等于零。其中可再是什么？介于AB之间对不对？

啊对还是不对？那这就不行了。那为什么呢？因为很简单，你想想。我在这里面当中画一个坐标系。你这是a这是b，假设a点在这儿b点在这儿。但是你会发现它是不连续的。不连续的话，你能不能是这样？a点和b点不连续，中间连续吗？那中间我连续了。端点是一号，

你看中间有等于零的点吗？没有那这条内容，它就出错了。改成开区间，它就出错了，就害怕出这种题别的题啊，你都放心大胆用。然后再来看看下一个问题，积分终值定理。那积分终值定理一定是B区间连续。一定会中间有一个点使得什么呢？使得这个定积分等于f可再乘上b-a。能理解吧哎，这是这个问题，就说如果你这个人是B区间连续。

你这个定积分一定会等于中间一个点处的函数值，再乘上这个区间段的长度。没问题吧？好这个人那么如果在这里面当中会考会考一个问题。考什么问题呢？这里面当中会考一个叫做平均值的概念。哎，平均值。那什么平均值呢？就说fx这个函数，我在a到这个B区间当中的平均值为多少？注意啊，会考的那这个平均值等于多少呢？平均值等于a到b。这个人再除以个b-a。

好像这个人你要记住这个结果。对吧，比如说我在这个出题当中，我说这个函数在这个区间当中的平均值是多少？其实就是来计算一下这个定积分，再除以长度。你要想清楚，平均值的概念，这个会出题的，要想清楚。对吧，比如说我考一个定积分，我会考一个这个概念呐，平均值这个等。好了，

这是我们讲的考点二。然后再来看看微分中值定理，微分中值定理当中啊，其实有五个。废马盈利不管了。泰勒定理不管了，你核心重点掌握住三个人就行，一个人是罗尔定理。罗尔，其实罗尔定理啊，我们也考的非常少，基本不会出题的。那么，这个人说，如果我在B区间连续开区间可导端点值相等，

那么中间一定会有一个点。对吧，可再使得导函数值等于零。那一定是三个条件，闭圈连续开圈，可导端点值相等，中间一定会有个点处的导函数等于零。那这个问题就在这儿。那如果这里面当中，我把它继续改。我改成什么呢？我把这人改成开区间连续，他还对吗？好，那么接下来我们看。

如果我们出一个题，我们说这个人在开区间连续。开圈连续开圈可导端点值相等，那么中间还会有一个点处导函数等于零吗？这还对吗？这就不一定对了。因为这里面当中的话，你发现你看你可以这样来。你这不是a吗？你这不是b吗？你说端点只相等好，我让你相等。那j类里面当中的话，你看你可以这样。行不行？

那么现在开区间不断开区间连续。然后开圈内是可导的，而且端点值是相等的，那这个时候你发现假设这条线是啊y=x这条线。假设嘛，那你中间的导函数都不是零的，你中间没有导函数等于零的点，那这句话就出错了。你注意啊，只要你稍微的进行去破坏这个条件当中的任何一个，你把这个条件稍微的改动一点，它就有可能不对了。所以一定要想清楚啊，这个问题很重要，你下去好好想想。

然后接下来我们再来看看一个问题，叫做拉格朗日终值定理。好，这个人。那这个人呢？我觉得还是挺重要。对吧，前面过程当中我们讲的很多了。那一个要求就是闭区间连续开圈可导。然后说什么呢？说至少会存在一个可赛属于什么东西呢？属于a到b，使得fb-fa比上b-a=f撇可赛。他用的很多，就是两函数做差，

立即想到拉格朗日终止定理。对吧，两函数做差立即可以想到拉格朗日中值定理，比如说啊。原来过程当中，我是不是让你记过？这样的一个不等式啊。那这个不等式啊，我们今天可以证明一下。你发现这是ln一加s分之一。它其实就等于ln x分之x加一。它就等于lns+1减去这个lns。两函数做差，你可以取这里面当中的fs是谁呢？你可以取这个函数为l。

你可以取这个b为s+1。你可以取这个a为x。那这个东西的话，它就等于fb-fa=f的导函数，那就是可赛分之一。b-a是一而可赛界于a和b之间，就是这个范围。那这个时候就说明了，你ln一加s分之一，你就会等于cos三分之一。你把可再变小，它就变大，你把可再变大，它就变小。所以我们就得到了这样的一个重点的不等式，

就是这个不等式，当然这个不等式啊，必须是大于零才能用。能想清楚吧，把这个内容你要记清楚。呃，你能记住这个不等式就行，记住这个不等式啊，你就能出题，那么这两天的话，你去做那个。尤其是决战五那个那个作业题对吧？昨天晚上我们讲的那个部分讲的那个部分呢，尤其是里面当中的比较定理的题。你去看看里面当中的那那几个题的质量都非常的高。

它的出题点是怎么出的？包括这几年的考研真题是怎么考的？你一定要把那个学战题啊，那个板块内容你好好看看。就昨天晚上呃，就是讲完了之前最最后讲的那几道比较定理的题，质量都非常高。他非常契合我们现在的考研的方向啊，这是要注意的，拉格朗日终止定理。两函数做差。然后使用拉格朗日中值定理好这个问题啊，我们就讲到这儿，然后最后一个事情，柯西中值定理啊，

了解就行啊。啊，这个东西大致看看那就说。两函两个函数都怎么办？必圈连续两个函数都开圈可导，然后怎么办呢？做分母的导函数不为零。啊，做分母的导函数不为零，那fb-fageb-ga就等于这个导函数除以这个导函数。但是我只说一句话，这个定理不是拉格朗日作品挣出来的。注意啊，不是拉格朗日作品挣出来的，你知道这个事情就行。

不然的话，这个有点。有点不好意思，对吧啊，有点不好意思。就跟这个。今天一个同学。然后的话那个。我看到了一下，我都有点不好意思啊。你说你强化班。啊，这个题。这个题我都有点不好意思。我都不好意思是我现在而言的话，

教的这个事情。啊，这个强化班的话，教出了这个水平。说什么问题呢？说这个人是个奇函数，然后f倒零是二，他说他洛必达法则，我说洛必达法则不对。他说是不是讲错了，我用洛普达法则做出来，其实这个结果是对的呀。你这这你这这样进去去，你去问的话，你看我有点儿不好意思。

你学到这个强化班的话，你这样一个听课情况，你这个怎么行啊？你很明显的话，这里面当中啊，出现了很大问题。来回来。所以说这里面当中啊，这些点呢，把它想清楚啊，最后一个问题啊，我们就说到这儿。所以说这个拉格朗日中值定理啊，还是挺重要的。对吧，

这里面当中的内容还是挺重要。那么，接下来我来讲一个问题呃，这个点呢？非常非常重要，希望大家好好听一下。我来把这个去年二零二三年呢，考研的话，这个真题当中最难的一道题啊，我来给你讲的，因为这个题当中的难度系数啊。说实话，还挺大的。那这里面当中啊呃，我来给你看一个部分啊，

这是今年。修改考点全刷里面刚好用到这个人。那这里面当中，我们来看看一个非常重要的一个定理。啊，我们来看看这个定义。就这个人来看一下这个定义，你说实话，去年那道题啊，考的非常难。仍给数一，数二，数三同学仍然是个难题。对吧，仍然是个难题。

那所以说这个有些我们我们考的这个东西的难度系数，也不是说特别大，对吧？你就像刚才那个题，就是我刚才说那个题，有个同学在那个那个自媒体平台上问。然后问说什么这个是不是，然后下面有同学问说这这居然是强化。但是三九六同学，我们考的也不是说特别难，对吧？你这个没有必要说你考这个数一数二数三，你就有点儿骄傲，这有什么好骄傲的呢？说这个我考数二的话，

这个简直是零基础题，那对于我们现在也是零基础的题啊，不是说你考数一数二数三你就教。那这是我们学科的限制啊。对吧，你最终问题的话，我们能啊拿到这个考研的这个最终的结果不就可以了，所以我觉得我看到这种情况，我觉得。有有些同学说实话，这个没什么可装，这一下的来，我们来看看这个定理。你把这个题啊，你放到这个去年的考研真题当中，

这个题绝对是难题，我们来看看这个题。好，我们来做一下这道题。看一下去年呃三九六卷子当中啊，最难的一道啊，没有之一，绝对是最难的一道题。看一下这个题吧。这个题啊，你发现啊，你眨眼瞅过去，你发现一点感觉都没有。如果这里面当中有老头子，稍微仁慈。

稍微仁慈的一个点呢。在哪呢？你不信，你看你这个题一点感觉都没有。如果稍微仁慈一点点。在gdm当中，我们都知道。中点处的值，如果比端点处的中位线的函数值大，那这个曲线应该是个凸曲线。就只有这个信息点。如果他仁慈一点，就是在这儿。剩下的选项你不信，你看。

无论这个题啊，你是直接做。非常难，直接做就非常难。然后第二件事情的话，你发现你用别的东西啊，你做也非常难。你用那个梯形那个图啊，阿达玛不等式啊，也做不出来。阿达玛不等式的话，核心重点考的是什么？考的是这个二分之a加b跟这个人对吧？其实就是那个凹凸性定义当中的第一步。你做不出来，

所以像这个题的话，你要注意阿达玛不等式啊，应该是一个定积分跟那个二分之a加b。还有什么二分之fa加FB之间的关系？那么这个题的话，你可能在这里面当中会想到这个凹凸性的定义。这是唯一会想到的。然后另外一件事情，不信你试抽象函数吧。不是，它是个具体函数。但是一个抽象的点，不信你可以试一下。你自己随便的进行去赋值，你使劲的赋。

如果你在十分钟内，你把它给我付完了，我也算你厉害。不信你试能赋值啊，那关键点你赋值它是一个它的问题点就在这儿，你赋了一个出错了，你再赋一个出错，你得一直进行排除，你试一下。你如果有这个水平，我们三九六同学，你发现基本上就凉了。十分钟做这个题，还不如胡选呢。对吧，

先做后面的题，最后有时间你再来进行去看这个。所以如果你十分钟的话进行做这样的一个题啊，我觉得那就有点浪费时间了，你可以把这个题啊，你去扔给数一数二数三的，有些同学进行去做，那照样是个难题。所以说这里面当中的这个点呢，我们就来看看这个问题。啊，那么首先啊，我觉得这个你其实有些同学的话，可能呃在这个复习过程当中，你要注意啊，

你一直觉得说这个考研不会考那么难。你看这个三九六的同学的题。你看我们这个题出的。对吧，你看这个题，这个题出的是不是有点难度？难度系数是有的。那所以说这里面当中，我们来看看这个题，你要去试啊，你非常麻烦。那么，这个题考点部分内容考的是什么呢？其实就考了上面这个定理。啊，

就考到这个地理。那么这个定理啊，我来进行去重点的讲讲。对吧，这个db。这个定理啊，你可以这样进行整。它的这个严格的证明呢？他是这样整的。那这个证明的话，它是有思路，我先说一下。你看这个题当中，它是不是给了二级导数？二阶导数小于零。

一阶导数单调递减。这没问题吧，你二阶导数小于零，一阶导数单调递减嘛。你二阶导数大于零，一阶导数单调递增。然后这个题的话，你看它有x1这个点。x2这个点x 1+x二这个点。你发现一个事情，这两个中间的这个长度是不是x1啊？然后又给了个零。那这个人中间的这个长度是不是也是x1啊？所以我怎么办呢？我就可以在这两个区间当中分别使用拉格朗日终值定理。

那使用拉格朗日中值定理的话，你发现你fs 1+s二减去这个人等于他这个人是他。然后这个中间抽了一个导函数，导函数。好，我大致就说到这儿，但是同学们，你其实已经听疲乏了。如果是这样进行去做，我们三九六同学也会凉的。如果是这样，继续学，你在考场当中用这种方法把它给我震出来，你们也会凉的。你作为三九六同学，

你考研的话也会凉的。你发现第一件事儿想不到，第二事情费时间，第三个事情想到了之后的话，你发现早都很长时间都过去了。所以对于我们而言呢，你如果这样做，你也会在这里面当中，你会费时间的，所以我在这里面当中，我讲讲我们三九六同学的思路就行了。对吧，你要注意我们三九六同学怎么去处理这种问题，其实这种点呢也很好做。我来讲讲这个问题。

好，来看看。那这个类目当中，这是y这是零这是s。你会发现个事儿，这个什么情况？不是直接背定理，那去年过程当中没有这个定理怎么办？你不能马后炮啊。我们不能作为这样，包括我讲课，我也不能这样。你你在这个什么？你考完了之后，我说哎，

我们讲这个定理，我能把你今年考完研的这35个题我整整理成35个定理，我留给明年同学背，你觉得这个东西可以吗？那不胡扯吗？所以在这这肯定不行啊，那我不能说我们今年二零二四年考完了之后诶，35个题，我整理成35个定理。我明年扔给二五年的同学进行去看，哎，你看背完这35个定理秒杀，去年有什么用呢？对吧，没有任何的意义，

所以你得设身处地想你去年考场当中会怎么做？那么，这地方当中，我们来看看，对于我们三九六同学怎么去处理？这个曲线肯定是个凸曲线。对吧，你是个凸曲线。你是个凸曲线，然后这里面当中的什么情况呢？它告诉了一个什么，告诉了一个，这是x1这个点。然后又告诉了一个x2，这个点。

x2这个点，然后又告诉了一个多少？x 1+x二这个点。那同学们想想。这两个点之间，你看有它减去它，我会想到斜率。它这你看这两个东西，如果一减的话，你就会发现你fx 1+x二。你注意这样，这个东西我不是随便来的，我看着题目呢，你这个东西我发现我捡了个s2。这是这两点之间的斜率吧。

是吧，这两点之间的斜率。然后接下来我们再来看。那这个斜率的话，你发现还要进行去除以什么这两个东西做差，这是x1。fb-fa比上b-a嘛，然后这地方当中我在什么哎，你下面是x1，那我怎么用哎，我发现你x1这个人跟x0之间的两点之间的斜率公式呢？不就是一减零吗？是不是这个情况？所以说这个里面当中，我们就得到这个情况。

你看这就是它的斜率公式，这两点之间的斜率公式。那同学们想想你这个曲线二阶导数小于零，你一阶导数单调递减吧。你这个斜率就会越来越小，越来越小，那你这个人肯定会小于我。因为你斜率会越来越小。所以很明显这个人会小于这个人，你这个人小于这个人的话，我马上就出来了，那所以说这里面当中的fx 1。加上s2，它就小于fs 1，加上fs 2，

然后再减去多少减去f0？f0是零。那这样的一种方式，我们就证明完了。所以对于我们三九六同学，你看这个题啊，它是可以处理的。对吧，它是可以处理的，所以像去年如果在考场当中处理这种题啊，你发现首先看到这个题啊，应该是模棱两可的状态。试两个值，实在出不来，赶紧停止，

然后观察一下这个选项有没有发现我们的考研卷子非常喜欢考凹凸性的定义啊，这是你要注意的。我们今年也在这个点上打了非常多。所以说这个题啊。我们就来看了。那这个题既然考了凹凸性定义的话，我们就来进行去上二阶导那求一下吧，而且AB都是大于零，我只用看s大于零的时候。那这人求导是前导。后面不导。对吧，然后的话，这个是后面求导，前面不导，

前面不导，后面来导。然后接下来我们再来看看二级端。那二级导的话，这个人是一+s的，这个人平方上面求导乘下面。减去下面求导乘上面，然后再加上es倍的ln多少一+s，然后这个东西的话就是一+s的这个平方。然后这是x倍的es，加上es倍的ln多少一+s？同学们想当s大于零的时候，什么零？大于零那大于零，就说明这条曲线是个什么曲线，

说明这个曲线呢，你就会发现。它是这样的一个曲线。说明这个曲线是一个o曲线。那o曲线的话，如果在这种当中随便去选。而且这个题它有f0吧，零处是几啊？而且这个f0这个人刚好是几啊，刚好是零，所以说这里面当中的o曲线的话，我随便来一下。那这个人当中啊，你去取个a点，你去取个b点。

好，你去取个a点，取个b点。那取一个a点，取一个b点的话。怎么了啊？凹曲线。凹曲线啊。哦，这个还有没有求导完是吧？这谁呢？这是？前倒后不倒，前面不倒，后面来倒。

大于零好了，这个东西啊，是一个凹曲线。所以说这个东西啊，它其实是个凹曲线啊，其实你看都能看出来，因为它每一项它它基本上都大于零啊，当然的话，这里面当中有一个一加s分之一，你还得求一下。对吧，大于零大于零的话，你这个人是个o曲线，而且这个人在零处是等于零。那你想凹曲线的话，

这个点和这个点的中位线的高度。应该是超过终点值的，先把c排除了别的选项，其实不好看。对吧，别的选项不好看。所以说这个问题点的话，它就在这，那么接下来我们就来进行看看，那别的问题的方法怎么做呢诶？你这里面当中有fa+b。有fa有b有零，那这个时候我们去试一下这个人的斜率。那这个第一个人斜率的话是多少呢？那是fa-f零比上这个a- 0。

而a和多少呢？这两个东西之间的距离刚好是a。然后这个b和谁呢？b和a+b之间的距离。对吧，这个人那这个人刚好是多少也是a？那这个时候啊，马上这个问题就出来了。他说谁大呀？他说a大是吧？那a大就a大吧。a大就a大。其实没有什么关系啊，这个题不影响它，可能对别的选项有影响，

那这里面当中如果是这个情况，你就用什么，你就用这个人。你就用b这个人。b这个人和零处还有a+b这个人跟a处。然后这个距离啊，也是b。然后这个人既然是个凹曲线，他的斜率会越来越大，那所以说这个人的斜率更大，因此这里面当中马上得到这个约掉。所以说fa+b这个人，他就会大于多少fa+FB。所以说这个题啊，难度系数非常大的一个题啊，

说实话，这个出题点呢比较难。你在这个出题过程当中，这个方向呃选择的过程当中还是不好做的啊。好了，这个题啊，我们就讲到这儿，你自己下去，你别的选项不好看的。说实话，这题挺难的，这是去年考研真题当中最难的一道题。对吧，这是最难的一道题，你看看吧，

其实你发现这个题的难度系数是比较大。那在这个做题的过程当中，你进行去判断的时候，说实话不好判。啊，这个题。所以下去啊，你好好进行，把它想想这个题，如果进行去做，你只会有一个方向。你的方向就是在这儿，就说这个题，我看到了c选项，我可能会想到凹凸性。

我可能会想到凹凸性，我想到凹凸性了之后，我设了两些导数，之后我先把c排除。然后接下来我们再进去看的时候，你发现这个处理啊。对吧，他这个手法还是很强的。所以说这个题考的是比较难的。所以作为这个去年的考题啊，这个二三年呃，这个题是难度系数最大的一道题，没有之一。你说实话，别的题都还好，

你什么这个一二三四啊，这几个题。这个题是最难的。这个题半天做不出来之后啊，就影响了很多同学的心情了。然后后面这几个题，你看这几个题都不难了。啊，然后这个题去年有些同学就没复习到。这个尤里分式的这个拆分呢，就没复习到做的不扎实，碰到这个题啊，又懵掉了。啊，这个题。

然后下面的话都还好。然后去年的话，有些同学就不知道终点这个题，就懵掉了。但是你现在看呢，这东西也不难了。然后接下来我再说一遍，你选择题你不是说一定要把每个选项都做出来？你能进行理解吗？那别的选项为什么是错呢？你只能进行去举例子呗。你说它对你只能证明它对你说它错，你可以进行排除嘛，你在那里面当中啊，你进行去举例子，

然后带几个值进行看呗。你要你要是真的是在考场上，你纠结每个选项，你早都没有时间了。你能理解我的意思吗？就说你，你如果在考场上这五个选项，哎，我明显都知道这个对的，我就把它选了。选了之后的话，你会发现我马上我再进行去把每个选项，看你干嘛呢？这这是都跟自己的分数过意不去，还是怎么了？

啊好了，然后的话，这个去年的话，这个考题呃，然后。这个运算量还会稍大一点。对吧，这个会稍大一点。然后这个题其实还好了，这题吓人罢了，对吧？就吓人。啊，还好，就有点吓人。

然后别的选项的话。这去年的考题，所以啊，大家还是得好好复习，对吧？该做的东西啊，一定要做到位，你其实你发现这有些题出的真不简单。你你看看说是两到三分钟一道。对吧，整张试卷当中两到三分钟，这个题可以做到四分钟也行，但说实话难度系数比较高。行吧，那么今天呢？

我们就刚好把这个问题啊，我们做好最后的一个收尾，那么讲到现在呀，我们三九六同学的这个高等数学的强化班呢？所有部分内容啊，我们就全部讲完了，那么在这里面当中是全考点，我相信是全考点全提醒的，都跟同学们讲清楚了。那所以说接下来的时间就是看同学们进行去复盘了。所以内容点非常的多，你看这样的一个强化班呢，我们在这个呃，包括这里面当中内容，比如说举个简单例子吧，

就像二元函数的连续可导可微这个内容。像这样的一个知识点，我们都能进行去花费上一节课的时间进行去讲。所以这个部分的问题啊，希望同学们下去啊，你好好进行去处理一下啊，这个点呢，内容的东西是比较多的。然后的话，我觉得呃几个问题呢，我们今天是21号。呃，基本上在这个。八月底吧，八月底啊，

顶多到九月一二号，我们这个线性代数和概率论呢，我们就能讲完。所以现代和概率啊，东西就不多了，你发现这个高等数学，我们考试的这个题量是非常大的。所以东西的内容也是最多的，不要仅仅看看我们就考这四章内容，对吧？几先一元微分学一元积分学，还有这个多元微分学。你就简简单单四章，但是这四章的内容点非常非常多，所以希望同学们下去好好进行，

把相对应的问题啊，好好梳理一下。东西是非常多，那我觉得这个九月份呢，你最重要的工作需要把这个所有部分的内容你再走一遍。走完了一遍，把所有的东西都装到脑子里面，那是九月初的事情，所以相信这个时间点呢。啊，九月。九月最重要的事情，你就进行复盘就行。那么，我们在九月份的话，

这个重点的安排是这样。就是九月到了这个九月底的样子。啊，九月底那么九月底的时候，我们会进行去测试一下，二一年二二年二三年的真题。那基本上把这三套真题啊，我们测试完了之后，我们也就到了这个十月份。那么，11的国庆节之后，然后我们就可以进行去冲刺十套，这个冲刺满分十套卷，你就可以做模拟卷。所以我们先把这个仅有的这三套真题把它给干掉。

能理解吧，就是九月底我们先不用做模拟卷，先把真题给干完，就是二一年。二二年二三年把这三套模拟卷啊，这个真题卷先把它给干掉。那干掉完了之后，然后基本上时间就是国庆节了，然后这个时间点的话还是非常富裕的。然后今年的话，那个呃冲刺救命班的课程呢，你就看看你自己的基础了。对吧，你可以缺哪补哪，然后这个冲刺救命班的这个时间也就基本上是九月底的那个样子。

啊，九月底也就是九月差不多是20多号的，这个时间，所以留给大家的这个时间呢呃，还有一个多月的，这个一个月的时间你进行复习。当然，同学们。不是说你做模拟卷呢，你就不复习了。对呀，不是说做模拟卷的就不复习了。你在做模拟卷的时候，你的十月份，11月份，

12月份也一直都在复盘，听懂我的意思吗？复盘可不能停呐，到时候你做卷子你就不复盘了，这些全大纲的考点，全题型的内容，你一定要把它消化到位。所以一定是把题型一定要刷来，反反复复做啊，反反复复来啊。行吧，那么今天啊，课程我们就讲到这儿啊，这是我们的高等数学，然后的话，

这个明天我们开始这个线性代数。能理解吧，明天晚诶，明天是有课吧，明天晚上我们上线信贷书，后天我们休息一天。哎，后天休息，所以线性代数的第一次课程呢，不是说特别难。所以我觉得这个时间点呢，明天我们还得继续上这个部分课程，其实今天比较重点的东西只有一个。就是无条件极值和有条件最值，就这两个内容，

然后后面的部分的东西啊，都还挺简单的其实。不是说内容简单是。考的简单。是我们考的简单，什么必须最值了，什么经济学应用了什么中值定理了，基本上都没怎么出过题，你先把重点的东西啊，先消化到位。好了，这个问题啊，我们就说到这。然后我说一下这个明天部分，我们要讲解的内容。

可以提前先看一看。可以吧啊。呃，明天我们重点去讲这个行列式的什么计算？先讲行列式的这个计算。然后还有这个数值型行列式的计算。然后。代数余子式的线性和问题。啊，所以说明天呢，我肯定是能讲到这个30这个题型。啊讲的30题型，那么前面这几个题型呢，都是非常简单的。什么代数余子式的问题，

什么行列式的定义？什么行列式的这个性质，我前两天呢看了一个同学。他是三九六同学，还在基础班的复习。基础班复习啊，听完了那个线性代数的第一次课程，好像去做什么那个那个叫叫叫什么三九六那个什么核心笔记吧。然后第一页当中什么那个呃，某一项的这个逆序数不会求，然后什么东西呢？这个呃。呃上三角行列式不会做，我都不知道你是怎么听课的？你这样听什么课都没什么用。

你发现你在这种当中，你就会发现你走马观花的，把它过了一遍，这这不叫听课，你这不叫听课。你说你，你连听完了之后，你逆序数你都不会求。啊，然后的话，上三角行列式，你不知道是对角线元素的沉积。然后负对角线，这个负对角矩阵算了，我我觉得他是没有听过课啊。

好了，这个问题啊，我们就说到这，所以下去把这个相对应的这个问题啊，好好进行去处理一下对吧？那么所以说下去一定要把这个线性代数啊，你可以提前先进去去看一看。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿吧啊，这个线性代数我们明天过程当中啊，我们就正式开始，那么今天我们的高等数学。呃，所有的部分内容我们就全部结束了。

啊，唱歌吗？最近都没有怎么学过歌啊？呵呵，你叫我想想我，我想想唱个啥？呃，我选一个那个。唱个那个那些花儿吧。好吧，你们选的这歌不太行哦哦，呵呵。我唱不了啊。片笑声让我想起我的那些话。在我生命每个角落轻轻为我开着。

我曾以为我会永远守在她身旁。今天我们已经离去，在人海茫茫。他们都老了吧？他们在哪里呀？幸运的是我。曾为他们开放。啦啦啦，想他。他还在开吗？呀。他们已经被风吹走，散落在天涯。行吧，这个不太熟啊啊。

这个等我最近忙完啊，忙完我们稍微准备一下。好了，那么今天课程呢？我们就说到这吧啊，自己下去把这个问题好好处理处理呃，然后的话明天我们就正式开始这个线性代数可以吧？啊，今天部分的内容呃，难度系数比较大的，你把这个题下去好好想想对吧？凹凸性的问题。讲了凹凸性的定义。阿贝尔啊，这个什么不是阿贝尔就是阿达玛不等式，

还有这里面当中啊，我们讲的这个问题，你下去好好把它消化一下，然后今天晚上的话，我们可以呃，把那个什么。这个500题啊，我们最后一点东西啊，我们把它讲完。可以吧啊，今天晚上十点钟我们继续讲那个500题，因为今天晚上本来有一节课，所以我们的这个课程呢，只能放到这个下午，因为。

临时加的这个课程嘛，好了，那么今天课程我们就讲到这呃，注意习题课，你有时间你就听，你没有时间你就自己做，你做完了之后的话，哪些点的话是你觉得痛苦的点，你自己再做就行了。好，那么今天课程呢？我们就讲到这。300题啊，300题。好，

那么今天课程呢？我们就讲到这啊，不不不，是500题300题300题。呵呵，好，我们今天课程呢，我们就讲到这，自己把这个问题好好处理一下吧，然后明天晚上我们再继续好下节课见吧。

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