19.冲刺满分强化篇·题型24-26精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 6 天前

转型那么接下来我们继续吧，我们来看看这个题做的怎么样了？还可以吧。啊，这个题啊，你们选几啊？哦，回复一下，我看看这个答案做的这个情况啊。你把声音调大就行，下课那个声音会大一点，你再你再调一下就行了啊。可以呀，对吧啊，不错不错不错不错啊，

行，那么接下来我们来看看这个题来解吧。第一个事儿，你最好会做切换。你要注意一个问题啊，你看。你这是fuv，其实就是f sy。你这个对优求导，其实就对这个s你要会做切换，那其实就是f对第一个中间变量一零，它等于几？二对吧f对第二个中间变量求导一零，它等于三一定要会做切换，你先把这个东西你给我弄出来。

你不然的话，一会儿带纸你都不知道带哪去了。好了，这个问题那么所以说我们来算一下，你发现它这里面当中有第一个中间变量。它这里面当中有第二个中间变量。两个中间变量，那两个中间变量的话，你发现这个中间变量到s这个到s，所以说这里面当中啊，其实你发现。我们这个题应该是一个一元函数，求导。对吧，来先看第一个人。

f对第一个人。不要缩写那所以说这是sins cos ins，然后这是多少cosin s就是写的多呗。然后再乘上乘上这个里面的第一个中间变量，求导哎，注意不要缩写f对第一个中间变量求导。sine cosine不要缩写啊，sine求导是cosine，然后f的第二中间变量求导sine。cos in不要缩写，那这多少cos in求导是负三？好这个人，然后再加上我们f对第几个f对第二个中间变量求导，不要缩写。千万不要缩写对吧？

这个人，然后第二个中间变量再求导呢，是负的这个s in。你看这个人，所以说这个时候你把这个二分之派带进去，我们来带一下。一代的话，这个。12分之派是一，这是零，那这个结果是二，所以说是f1撇儿，这是二。cosine这个人呢？那cosine这个二分之派这是零。

对吧，这是这个结果。没问题吧？诶f一零是几是一啊？不好意思。是一啊，好了，这是这个人，然后接下来我们再继续，我们再来看，然后再乘以这里面当中的这个人。那这个结果的话是f1撇儿的话，什么情况？这是一这是零，然后这是一。

对吧，这是零我们就不管了，然后这是f2撇的话，这是一这是零然后这是多少这是负一。然后再加上这是f2撇儿，那这里面当中呢？这个东西又是个一零一零的话，这人是负一，所以说你发现你看这个点呢，你稍微注意一下就是。你也是这个出错了，你也把这个抄错了。我是把这个抄下来，抄错了啊。好了，

这是这个问题，那么所以说接下来我们来看看这个点。嗯，难道这个东西抄错是一个很喜欢抄错的问题吗？好了，这是这个问题。哦，这是二是吧？哦，这个没问题。我看错了，我看成这个了，哎呀，好好了，这是这个问题，

所以说这里面当中啊，你们自己算一下，那这个前面这个人的话，这f1撇，这是二。然后这里面当中是多少？这里面当中刚好是f2撇儿，这是负三，然后再进行去怎么办啊？这是这个结果。然后最后一个人呢？这个东西是加号，你再减去多少f2撇的话，这是三，然后再加上一个负三，

所以说这个结果等于多少等于负九？好了，这个问题啊，我们讲清楚了，这个问题正确答案选a会做了吧，所以说这个题呃，它的出题点的方向。不是说特别难。你就记清楚套娃这种题就是两个事情，一个事情把自变量给我切到中间变量。然后第二件事情不缩写就行，只要你不缩写，像这种题啊，稳稳当当就把这个题拿下来了。其实这个题啊，

没有刚才这个题难。啊，没有这个题难这个题幺六幺七六这个题啊，比刚才这个题难，因为第一步啊，先把一些同学给差距给拉开了。对吧，第一下的过程当中，这里面当中你发现你要看不出来，这中间变量求导，那这又废了好幺七六这个题。也要啊，这个二零二三年的考研真题，你下去好好梳理一下啊。那么这个题啊，

我们就讲到这儿，那么接下来我们再来看一波问题。来看看这个题幺七七这个题。看一下这个人，所以说这个你强化过程当中啊，这个水平点拉不上来呀。你可千万不要老是这种感觉说啊，这个题我们三九六不会考那个题，三九六不会考，你发现后面考的这些题呢？你要是真的，我们不讲这个题，有人又会觉得说啊，这个我们三九六同学应该不会考这么难吧？应该不会考这种题吧，

你发现你看。老头子才不会给你这样想呢。你看这个出题的点。所以有的时候你就按照这种章法的话，慢慢儿把它练清楚，你不要每次过程当中运算量大了之后，你就不想做了啊。不能这样来看这个题。呃，这个题啊，没有出过。但是其实不难。这种题的方向性呢？我想要先跟同学们去讲讲。你要注意，

这就是第一个中间变量。这是第二个中间变量。所以说这点当中，他进行去求导，他想求的是f对第一个中间变量求导f对第二个中间变量求导。诶，像这种题怎么做呢？你如果这个题啊，你不会做，我来问你这个题。我说已知fx平方。它等于x四次方加上二倍的x方。我让你进去去求导f撇儿一等于多少？你看这种题。那这种题会吗？

哦，这种题我会。那不就是你要求解的是不就是这个中间变量等级吗？那这种题我会啊。这种东西不就是已知复合函数，求解，原来函数导数吗？你就把这人换成t。然后这是t方，再加上2t，你再换成这个x。不就是这个人吗？然后你再进行求导，你说这是2 s+2你一代，这是四诶，

这种题你会。那这种题你会那为什么这个题你不会的呢？那这两个题有什么区别呢？那这个区别点不就是你刚才那个是一个一元函数？我这个题是个二维函数，那不就是这点儿区别吗？你刚才是个一元函数，你知道这是复合函数，我去求导的时候我会。那这个题出了一个二元函数，你为啥不会了呢？还不是一样吗？所以说，希望同学们注意这种考题，叫做已知二元的复合函数，

求原来函数导函数。那怎么办呢？你就把这个人设出来不就行了，所以说接下来我们来看看这个事情，你就求呗，那这里面当中我令什么？令这里面当中的u就等于s+y，令这里面当中v=y比s。你就把这东西啊，你给做出来就行。那么这个东西做出来之后的话，你发现这是YY BS。好这个人，所以说y就等于v×s，然后是u=x，

加上v×s，然后这种当中x就出来了。s就等于多少u比上一+v。然后这个y等于多少呢？y就等于v乘它就是uv，然后再怎么办？一+v。可以的吧，像这种题那这种题一换一换了之后的话，你发现这里面当中的f什么uv就出来了。然后这个s方其实就是一+v^2 u方，然后再减去多少一+v^2。然后这是u方v方。能理解吧，那么所以说这里面当中啊，

你就会发现啊。不喜欢这种题。那如果考研都考的是你喜欢的，那也不行呐。那没办法啊，那你不喜欢，那怎么办呢？那不做了？啊，痛点呢？好了，然后的话，这个部分的话，你提出去u方。一减v方就是一减v，

一加v约掉一个。好这个人呢，就做成这样。那么，这个问题的话，马上出来，那就是偏f偏u，这个人就出来了。偏u这个人的话，你发现是一加v一减v，然后这是二u。偏f偏v这个人他就出来了，偏v这个人的话，这是u方，然后这是多少一+v^2？

上面求导乘，下面是负的一+v。减去下面求导乘，上面减去一减减。好这个人，所以说这个东西啊，你发现立即出来了，大家能看得懂吗？我跳了一波，这原本是一减v方就写成了一减v一加v，我把下面的一加v约掉了一个。你应该能看懂我稍微的跳了一步。然后现在这里面当中啊u和v都是一，那这就是零。u和v都是一，

然后下面的话就是二。然后这个部分的话，上面这个结果是负二。对吧呃，下面的话就是一这是四。然后上面是负二负二分之一把它带进去。一代就出来了，所以说这题的正确答案，一个是锦囊。偏u这个人的话，他是零，然后这是二分之一选d。好了，这个题啊，我们就讲到这。

所以说你要注意这种问题的这个操作。他这个人的算法是怎么做的？就说我知道这种复合函数，我去求解这个原来函数，我怎么去求导？好了，这个问题啊，我们就说到这。当然这种题啊，我们还有一种方法。啊，还有一种方法，我们来看看这个事儿。看一下，那么还有一种方法怎么去处理呢？

我们来解一下。那么像这种题啊，我们还有第二种操作。你这类目当中不就是要对中间变量求导吗？你告诉我，你要求的是谁呀？你不就求的是对第一个中间变量求导，这俩中间变量都是一吗？对第二个中间变量求导，这俩都是一嘛，因为你这是u这是v啊。不就要对中间变量求导吗？我对自变量求导，我就会经过中间变量来两边，同时对s。

两边同时对s就是f对第一个中间变量求导s是1f对第二中间变求求导y是常数。s方分之负一对s求导值是2s。两边在对y进行求导呢，那这个部分呢？是f对第一个中间变量求导，中间变量求导，1f对第二，中间变量求导y，这人是他，然后这是负二倍。哎，你要想进行去求解什么撇儿一一，你不就想知道这个x+y这个人要等于一。然后这个y比s也要等于一嘛。你这两个相加等于一两个作比等于一，

那这个x和y不就等于多少都等于二分之一吗？那所以就另出来。你等于二分之一，你等于二分之一。如果俩人都等于二分之一，这不是f一撇s加y，这是一两个一除，这是一。然后这个东西呢，你发现这是四那是负四倍，然后就是负二倍的f2撇儿一。然后这是一，然后这是f1撇儿，这是一，然后再加上二倍的f2撇儿，

这是一，然后再减去多少负一？哎，那这时候两个一加两一加f一撇一一这个人，结果不就是零吗？那f二一撇这个一一这个结果等于多少？不就等于负二分之一吗？所以说这题的正确答案选几选d。是不是也出来了？好，这种事情我们马上把它也做完了。好了，这是这个问题对吧？他其实这个题的话，你发现长相还是复杂一点。

对吧，这个长相稍微的会复杂一点，你要是直接进行去瞅啊，他有可能瞅不出来。好了，这是这个题。能理解吧，好下去过程当中，你处理一下，你还想不想再做一道？这跟隐函数八杆子塔，这都这跟隐函数有什么关系啊？呵，别别别这样啊。这跟隐函数可没什么关系。

隐函数跟这个有啥？隐函数跟这个人八竿子打不着的一件事情，但是这个题啊，是数一数二数三同学的考题，我稍微给你看看那个题比这个题简单。你不用管这个题，不要不敢做就行。这是当年的话，这个数学三同学考的一个题。来，我们来看看这个人。那么你告诉我一下这个事情，刚才这个题考的是什么呀？刚才那种题的考点是什么？已知复合函数。

然后去求原来函数导函数。那么，首先我们先来看看这里面当中的这个题。你再来一道。那么这个题的话，我们首先来看看这个问题。啊，看看这个人。那这题求什么？那给了这个复合函数。给了这个复合函数，然后去求f，就是这个人的什么东西呢？这个人的权威分。这个人的全微分不就是你是这个函数的全微分，

这个函数全微分要求这个人的x偏导数。它其实就是f1撇一。而且要求y的偏导数。那其实就是f2撇一。跟得上吗？所以首先第一件事情，你要知道这个题你在干嘛？你就要求这个人。你要求解这个人对s偏导数在一一，那就是f1撇儿1f二撇儿一，因为复合函数想交流，你必须要换成中间变量。那这种题怎么做？怎么处理？你怎么做？

你要注意，知道复合函数去求原来函数呗。那我当然可以两边同时求。我两边同时对s求一下，不就是f对第一个中间变量求导s+1。对吧，对第一个中间变量求导，然后这是一你再对第二个中间变量求导，这是es。那这个时候的话，你发现后面这个人呢？他就是x倍的x方，加上2x，加上1x三次方，加上二倍x方加x。

三倍的x方加上多少4x？然后再加上一。然后接下来呢，你这个人呢，两边继续对sf对第一个中间变量求导是1f对第二个中间变量求导呢，这是2s。然后这人呢？前导是多少？前导四s后面这人不倒，再加上前面这人不倒，然后后面来倒，这是I四分之一。但是你要注意一个问题啊。你想得到这个人。你这个I第一个人f1撇是什么呢？

第一个f1撇是x+1和es的缩写，你得带几啊？你得带零。你能听懂吗？你只有带零的时候，它才是f1撇一一。f2撇一一。然后等于一，然后第二个人的话是谁呢？第二个人是xx方的缩写，你得令x等于几一？那列s=1的话f1撇儿一，然后再加上二倍的f2撇儿一。然后这个结果它就等于二。那所以说这个时候啊，

你马上就能写出来f1撇儿一等于几啊？f2撇1u等于几呢？这个下面减去上面那这人是一那这是零。所以说这个人的话只有y这个人有，那这个东西啊，应该选c啊。能理解吗？但是啊，将来我们碰到这种题，不要首选这种方法。你知道复合函数去求原来函数。你注意，你知道复合函数，求原来函数，你就记住我永远是通过换元。

把原来函数找到，那才是最简单的。那怎么做才能最简单呢？这个题啊？出给我们也可以。因为也不是特别难，整张试卷的第二个题跟我们中间的考题有什么区别吗？那这里面当中是复合函数。诶，你这是x+1。你这是es，我如果能把后面这东西换成多少，你看你这已经有x+1了，那这个没有es，你看这个多了个s怎么办？

就写成LES不行。那这个时候的话，你发现你是u你是v，那这不就是u方在l NV吗？那是不是这个事情那所以我就做完了呀？我就把你后面这个人写成这个人的样子啊。但是我觉得有问题。你这做的有有有点问题啊。那为什么是这样呢？你这不对吧，你这是x+1，这是es，那我这种情况的话，你看这x+1^2这种情况多了多了去了呀。你也可以把这个x写成x+1，

你再减一。那你变成了u方u- 1也行。哎，你这种情况太多了呀，但没有关系，同学们后面不是还有一个人吗？干嘛捡烟？到底是哪个呢？我减一下不就行了，结果你发现我把这个x还有这个x方带进去，它确实是多少x方lone多少呢x方？那这个东西不就是二倍的x方lns诶，你可以说明就是你嗯，你是对的，所以这里面当中fx y这个人。

就等于x方洛因为。所以说这里面当中啊，对is偏导数这个结果啊，就是二s为lny对y这个偏导数啊，就是is方y分之一。然后把这个一一带进去，那这是零一一带进去，这是一答案，选c出来了。所以说这里面当中你进行去操作的时候，你发现你这里面当中不就是知道复合函数吗？去找原来函数。所以说像这种问题的话，你发现你万变不离其宗的，这个点你就这样处理的。

你所有的点都是我知道复合函数，我去找原来的函数。我到底这个原来函数到底是个什么情况？我去找到这个原来函数就行，能想清楚吧？好，这是这个问题。两个点呢，你都需要把它打通。对吧，你要知道这种题的题型是什么，你不要看了半天你都不知道这个题到底考什么，你想清楚这个问题。好，这个内容我们就讲到这儿来，

最后再讲一道拔高题，我们这个板块内容我们就讲到这儿。来再来看一个。那这里面当中啊，又给了一个事情。他说fuv具有二阶连续偏导数。那这个人是对优求的，两下优求两下，其实同学们，你这个对优求其实就是对这个人的第一个中间变量。它不就是对第一个中间变量求的两项吗？然后这是v，你不就是对第二个中间变量求了两项吗？好，这是11。

所以这个点呢，它就是这样的情况。然后接下来让我们继续去计算什么，两个混合偏导数的加和。那就算呗，磨磨性子，慢慢算，先算一级。f对于第一个中间变量求导的值是y。f对第二个中间变量求导，那这是x。然后是再对y进行求f，对第一个中间变量求导，这是s。f对第二个中间变量对y求呢，

这是负y。好了，这是这个人。然后接下来我们再去求一下这个人对s的了解。那对于s两阶的话，这个y是个常数。那常数的话，这个人是谁呢？这个f一撇是xy二分之x方减去二分之y方的缩写。那就是f1对第一个中间变量求导，再对s的话，这是yf 1对第二个中间变量再对s呢？那就是x。然后再加上。加上这点，

当中是乘法求导，后面求导是一，前面不导，再加上后面不导，前面来导f2片儿，照样是这个人的缩写。那么，这个情况的话，就是f2对第一个中间变量求导，那这是y。f2对d2中间变量求导，那这是x。好了，这个问题啊，我就算完了，

然后我再来算一下y这个人。那y这个人的话，你继续那x就是个常数f1，这个人求先对第一个f1对第一个求导的话，再对y是x。f1对第二个就是这个人再对y呢，那这是负y。然后继续那这又是乘法求导，后面求导是一前面不导，那就是f2撇，然后负的这个人不导f2再求导。那f2对第一个求导，那第一个求导再对ysf 2对第二个求导再对y呢？这是负y。好，

这个结果就算成这样。然后要让我们进行计算这两个东西啊，它加和它没有对称性。这个这个同学怎么感觉你老老师这个知识不要乱用，对吧？你可能都知道你不不要达到这种情况，那老容易出错，你还不如稳稳当当算。你这哪有对称性啊，你sy调换的这个东西啊。你看你把sy调换。你把这个x你这个y你这前面是负的，这个人是正的。对吧，你一变的话变成y-s了，

你别别胡来哦，你这会一点你可不能这样。然后这是xy这是xy它不要了，然后这样东西一加它不要了。然后这东西是xy这是xy它不要了，所以说最后一家的话，其实就是你看上下一家把f1这个人抽出来就是y方加上x方。然后后面这个东西呢，你再把它加一下，把这个f二二抽出来。又是一个x方，然后再怎么办？加上个y方。你把这个x方加上y方抽出去，其实就是f1撇撇，

再加上f二二撇撇好这个结果。所以说这里面当中啊，它等于一。因此，这个结果是x方加上y方那正确答案选几啊选d啊。好了，这是这个事情，能想清楚吗？啊不不不，用道歉啊，上课的话那无所谓。我们是就问题而言啊，你不用道歉。好了，这是这个点吧，

我们就讲到这儿可以了吧？你只要的话，上课过程把它学会，那这我觉得就是最大的收获了。好，这个题稳稳当当算。所以像这种问题的话，其实我们考研呢。很难进行去考到这个二阶偏导书。对吧，考二阶偏导数的这个几率啊，还是很少那么大概率事件呢，其实考的是一阶偏导数。你怎么能这样呢？好大概率事件都是求的一阶偏导数，

所以这一块内容我放了一些二阶的题啊，原因点很简单。磨磨性子。稳稳当当，算你像这种大运算量的，这种题的话，你就发现你要敢去做，一定要敢算，你看这去年的这种真题。好了，像这个点呢，我们就讲到这可以了吧？来再来看看下一个问题，二元隐函数的问题。好，

我们来看下一个点。二维隐函数的偏导数计算呢，我们这里面当中其实非常注意的一个点呢。你要辨认清楚这个东西到底是不是二元一函数？那么，首先我们来看看这个二元隐函数的这个形式。那其实就是三个人的方程。你记住三个人的方程。那三个人的方程，一个人作为因变量，剩下两个东西没有关系，他不就确定了一个二元函数吗？是不是这个问题，所以说这里面当中你要注意。一个人作为因变量，

那剩下两个东西作为自变量没有关系，它就是个二元函数。所以要注意，你不要看到这个东西，它就是二元函数，那不一定。你要注意一个人作为因变量，剩下两个东西必须没有关系，这是务必的。那么，像这种进行去求法呀，我们其实你发现我们基本上都是一阶偏导数。那所以在这种当中做的过程当中啊，就非常的简单了。那第一步干嘛？

第一步，去求什么东西呢？三元函数。对吧，你先找一下这个三元函数fsyz。你要注意这个问题，就说我在这种当中，先把这个三元函数找到。那所以说这里面当中啊，我们先进行找到这个三元函数。找到这个三元函数的之后，然后接下来第二步。我们就会发现，那这个z对s的偏导数，它就会等于负的什么？

f对s1撇儿f对z1撇儿。然后偏z偏y这个人，他就会等于负的fy 1撇儿比上fz 1撇儿这种事情非常简单。你要注意啊，你把一个人作为因变量，剩下两个东西没有关系，它才是一个二元函数。那这是一种方法，对吧？公式法。那在公式法当中，你要注意一个问题。这是我们为什么进行去求的是三元函数？这是原来我们基础班推过的吧？那么，

设了一个三元函数的之后，对s求导yz都是常数，对z求导sy都是常数，对y求导SZ是常数。对于z求导sy是常数。能听懂吗？把这个事情啊，你要想清楚。所以说这里面当中的话，你发现它的问题点就在这儿。就是我对某一个人求剩下两个东西都看成常数，那这是什么情况？这是我们在这里面当中公式法的魅力。那或者怎么办？你两边同时求你也可以，

两边同时对s求，两边同时对y求，但是你两边同时对s求的时候。y是自变量，相互独立的，它是常数，但是z中是有x的。能想清楚吧。你要是两边同时求啊，你这个z中是有sy的。要跟上这个事儿，所以一般情况下我们用的都是公式法，你对我们考研呢，公式法完全可以。你除非这个题要求一阶公式法求二阶呢，

两边同时求偏导，但是我们很少进行去两边同时求偏导。大概率事件都是公式法。当然的话，像这种情况，基础班是不是讲过一道题啊？讲过的一道二阶的题，所以对你们而言呢，我觉得还是有提高的。好，这个点呢，我们就讲到这儿来，继续吧。我们来看一个题，先来看看这个题。

好，先看这个题。那这个题啊，给了一个什么情况呢？给了这个二元函数，由方程确定二元函数，方程确定二元隐函数。所以第一步先来设一下三元函数。那三元函数就是一边摆成几啊？一边摆成这个东西的零，一边摆成它。一边放零，一边放成它，然后这个偏z偏s这个人，你要稍微注意啊。

你没观察一下这些选项吗？这这多了一个二吧，我不知道你讲义上应该是没有敲错，你要注意一个问题，就是有正的答案当中肯定有负的。能想清楚吗？就说有证的。答案当中肯定有负的。你这里面当中，前面务必要注意一个事情，这前面有个符号。能想清楚吧，所以你要注意这个问题，就说这前面一定有个符号。哎，

务必有个符号。所以说如果你这个板块的内容啊，你在这里面当中把这个负号扫到，那这东西就出错了。所以一定要稍微小心一点，我们来看看这个事儿，就是你对s比上你对z。那对is求导呢？那对is求导的话，这个人就是个什么？你下面是个常数，你上面是s那指数函数呗，那就是a的x。lina.然后再是y。

然后你再对z进行求导呢，你对z求导的话，你发现上面是常数幂函数你以前。z+1倍的s- 1。然后里面再进行求导，对吧？你比如说你看成x+1这个二次方对吧？它怎么求的？然后这人再对z呢？这后面没了。然后接下来我们来看，当s=1 y=2的时候z等于多少呢？那其实就是。z+2这个人的一次方，它等于这两个相乘，

所以说z是零。那z既然是零的话，我们就可以把这个东西啊往里面带。一代的话，这个结果。你这个人是多少呢？这个人是二对吧？你这是一，然后这两个都写一加是二二的零次方，那这人是一。然后这个部分的话，这两个东西一+1加，这是二二的一次方，这是二。二倍的ln-ln二，

然后再减去减减去二二倍的ln2-2，所以说应该是。二减去二倍ln啊，所以说这个题啊。这应该少了这个啊，这个多打了选a吧。你注意一下，应该。这个。我们书上的话，应该是有这个吗？是没有的吧？好了，这是这个。所以说这题啊，

正确答案就选它，你要注意这种题啊。考研高频题。我们在考研的时候非常喜欢考二元一函数的偏导数计算，基本上是每年一道。所以你在做的过程当中，你一定要把它做清楚了，来我们继续啊，我们再来看看幺八零这个题。像这种题啊，如果求一阶一定要用公式法。你如果在这种当中不用公式法，你发现你这个事情你就话就做的非常麻烦了，要做到又快又准啊。好了，

我们看这个题，那一个二元函数由方程确定二元一函数。那二元隐函数让我们让我们去求解什么全微分，那么所以说这里面当中啊，我们就用公式法。先找三元函数。那其实就是x方倍的f多少x-z，这是y再把这东西啊移过去x+1倍的z。然后再加上多少y方？那这个时候我们不就是要进行去求偏s吗？而且还要进行求偏y吗？然后再挤出呢，在x=0 y=1那z等于几呢？把它带上去。一代的话，

这是z减去个一，然后这是0 z=1。就要在这个点处的这个最后的导函数结果。那所以说这里面当中我们怎么算？你先是负的，你要注意啊，这个符号一定不要出错。那这是负的。你如果对s进行求的话，你发现我们就是前导是2s。然后这个东西后面这东西就不导。然后再加上前面这东西不导你后面来导呢，先对第一个中间变量求导，中间变量对s求导是一对，第二中间变量求导零。

然后再对s求导，你发现z是一个常数s+1求导是一。好，这人穷成这样。然后再对zz的话I方是个常数，先对第一个中间变量求导。中间变量对z求导的话，这是负一，然后下面这人对z求导呢，那x+1就是个常数。好了，这个问题能求对吧？好求清楚了跟我回复一。因为这个设的这个人是个三元函数。你设的这个东西是个三元函数，

你对某一个人求导，剩下俩人都是个常数。你对s求呗，对吧？你前倒后不倒前不倒，后来倒，其实同学们，你这样做好是好，对吧？答案当中都是这样写。但是注意一个问题，你如果这样做，你速度会很慢。你怎么样让自己的速度更快点呢？我刚才讲了很多遍。

我说你一定要注意，一会儿要带进去的纸。你没发现一会儿要带进去领吗？如果是我做这个题的话，你发现你看你眼睛丑。那么，首先你看前导，这是2s哦，这是零我不算了。然后是前面求导这个什么前导后不导，然后是前面不导，这是x方哦，这是零后面求导不算了。然后这个z是个常数写到这儿，然后is+1对它求导，

这是一你看这人就变成这样。然后再对z求导呢，你发现s方这个常数一代是零好不管了，然后这个z求导的话，你发现这是个系数，那s+1摆在这儿好变成它。那这就是个水平呐。所以有些部分是零的，你稍微进行去观察一下，你就会做的非常快，然后这个部分。那因此的话，这是负的，然后你看你这个x次方，你这个人就不动了，

对吧？因为一会儿一代这是零，然后再对y求导呢。你y求的话，你看x方常数，你后面别管是什么，然后最后的话，这是2y一算这东西出来了。所以说如果你这样一做，你来看看。这个东西是负一跟这个前面约掉了，这是一所以说就是负z，这是负一。然后这个东西和这个东西约掉了2y，那2y这个东西是二，

所以说最后的结果是负的ds+2倍dy。负的ds+2倍dy答案选c。能想清楚吗？就是在这种当中，你一定要有一个潜移默化的意识，以后我们再带我稍微注意一下，它不是要刻意的进行去看。就是我在做题的时候，我稍微注意哦，我一会儿要带纸，我要带哪些纸？对吧，这种东西你看一下，你就不用算那么多了，有的时候里面的点呢，

你就会算的非常少，而且又快，而且还算的准。好了，这是这个问题，来继续吧，再看这个题。那么，在这个题当中啊，我们就来看看。给了一个什么啊，这个二元函数由方程去定，二元一函数求这个全微分，那其实就求两个偏导数呗。先继续去设三元函数e的zxyz，

然后加上x，这是coss- 2，这是有一年的，我们的考研真题啊。然后这个x=0，然后这个是y=1。你把这东西带进去，你s=0 y=1的话，这是e的z。然后再加上多少，这是零。s是零那coss的话，那是一移过去是一，所以说z=0。这道题啊，

其实就是我们当年二一年的考研真题，然后的话，这个题又呃跟我们原来的话有一道这个数学三的真题啊，一模一样，就是这道题。那么，接下来我们来看看这个事pn zpns，就直接算负的，直接写那对s求导呢？那这是yz。对ys求导呢，这是一对ys求导呢，负的s in，其实你可以稍微注意一会儿，代成零代成零的话，

你就不管了。然后对z求导呢e的z，然后对z求导呢，这是sy哎，其实你发现非常简单，你就直接写了，然后这是偏z偏y这个人。来对y求对y求的话，你就发现这个第一个是没了对y求s0。然后对z求e的z，然后加上xy。代进去e的零是一。然后这是负的，然后这是几零？对吧，

这是零，然后这是负一。然后这是零。这是负号，然后这是零。所以说这个结果它就等于负的什么东西啊？ds单选b。好，掌握清楚给我回复一。所以一定要想清楚，这样的一个问题点呢？它是怎么进行处理的？就是你要想清楚，只要他考了一个二元一函数。这个题它只要给了你二元一函数，

而且它以方程形式确定的，那么这东西啊，马上出来了。你觉得这个函数可不可谓呀？啊，你把这个一阶偏导数你算出来，你告诉我这个人连不连续在这个点处？嗯，你看这就是学好了之后啊的，又没有学特好的，这样的一个中间的一个问题。你学好了之后的话，你看你以前从来不会关注这个问题的。那么这个点的话是什么情况？你发现这个一阶偏导数是不是都能算出来？

一阶偏导算出来，你把零一点带进去，这是初等函数在零一处，有没有定义有定义？那异界偏导数都，初等函数都连续的异界偏导数连续肯定，可谓你看你又想你不用想这个，你想了你反而这种题痛苦了。所以在具体的函数当中，你就直接做。你像那种定义的题的话，你稍微注意，这就是题目做多了之后，我们的考试的意识了。你像这种题的话，

你就不会管了，你就直接刚了。能理解吧，就是你要是如果做我们昨天那种题，你能辨认出来吗？这这这还能看不出来吗？连续可倒可危那种题那种题你要稍微注意，因为如果像这种题，那就直接做了。那你今天的话，你一天都没管。你到了这儿，你给我来这个，那么今天上这个前面这些部分你咋没管呢？那么做了这么多的，

这个全微分的题了啊。好了，我不多说了，好这个事儿我们就讲到这儿。所以希望同学们下去啊，你好好把相对应的问题啊，你好好处理一下对吧，一些点把它想清楚。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看。哎呀，这个它不是先带后求的问题。你这是三元函数。你除非把两人都带进去，

你像这种的话就直接算了。二元函数。求一个的时候，你可以先先带后求，这种就直接算了，别别别想多，你想一想。这就是我们学好了之后的痛点了嘛。你要注意一个问题哦，我再说一遍。我求的这个偏导数不是这个人去求。是这个人用了公式法之后的结果。有些同学错乱了。你这个人求导，不是说直接求你这个题的话，

是设的一个三元函数，用了公式法。有人说那这个东西为什么那你看又回到基础班了？所以你就打通这个意识，只要见到二元隐函数进行求导，我就这样办就行。不要想想多了，有的时候有些同学你这个问题点，你把它想多了，反而错乱了。那么，在这里面当中啊，我稍微进行去讲一下方程组的形式啊。讲一个我害怕的话，这个点呢，

它进行出。比如说我们来看看这个第一个方程组形式。因为这种点呢，有些同学不一定能看得懂。好了，我们来看看这个事情，方程组的形式。我给你教一下，你怎么看？这非常好看。比如说一个题啊，给了你两个隐函数，你是怎么处理的？你们会第一个就行了，第二个就不用管了。

会第一个就行。只要会第一个就行。那么同学们，你告诉我一件事，这是个起源函数。几元函数，它是这样办的。你发现啊。这两个方程。如果我把z消掉。我就会得到了一个x和y的关系。不是三元函数不是。一想就想差了，这是个一元函数。啊，

这是个一元函数。嗯，唉。你不别别别，你有这个时间，你多想想吧，你看每次的话都发的这些啊。好了，那么接下来我们来看看这个事情，大家好好听啊，我给你讲讲这个事情。如果是一个方程组的状态，它怎么看呢？非常简单。如果我上下把z消掉。

对吧，我上下把z消掉。我上下把z消掉了之后啊，然后怎么办呢？z消掉了之后就能得到了一个y跟x的情况。你不要想清楚，你想的太当然了，你以为这个东西人家还给你啊。啊，这纯属做梦啊。这不会给你的。题目就是这样的一个东西，然后让你去求解，它不会给你的。因为出题人还有那么好心思说，

我把这个东西，我说他确定一个什么函数什么，他不可能给你的。他要让你自己去看。所以说这里面当中，我们来看看这个事儿，马上来看。这里面当中的第一个事情。就说如果我上下把z进行消掉。我z进行消掉了之后，就得到了一个y跟x的关系。把z作为因变量就得到了一个y是一个x的函数。所以你注意啊，这里面当中y不是个常数y是个s函数。那如果上下把y约掉。

我就会得到那个z跟s的关系。选z作为因变量x作为自变量，我就会得到了一个x的函数。大家听懂了，还是没听懂？所以说你要想清楚。这个人的里面。y是一个s函数。你这个人也是个s函数。对吧，它其实y中是有SZ中是也有s。所以像第一个式子怎么办？你可以方程两边同时对sf对第一个中间变量求导是一。f对第二个中间变量y不是常数y中是有x。f对第三个中间变量求导，

然后这是z中是有x。它等于零，然后第二人当中啊，这个y也不是常数，其一对第一个中间变量求导是一再对第二个中间变量求导y是s函数。然后再对第三个中间变量求导z中是有x。好了，这是这个情况。然后接下来怎么办呢？我可以上下通过把这个东有人说老师这个东西怎么消？克拉莫法则行行行，我们不不讲那么多，再讲这个讲的有点恶心了，你放心，它都是一个具体的题。

它一个具体的题的话，你看你可以把这个人解出来，往这里面一带，然后就能解出dzds。对吧，把这辆消掉，我就能解出这个人。把这个消掉，能解出那个人好了吧？具体题你具体看，因为具体题的时候它就简单了。所以你要想清楚的事情是这里面当中啊y是一个s函数z也是个s函数。能想清楚吧，所以如果将来给这种情况，你一定要会看。

对吧，他给了个方程，这有点难了，对吧？可以作为一个预测点，对吧？有可能抽不到这么难，但是你稍微的小心一点。它给了一个什么方程组的一个情况。好了，这是这个问题，能想清楚吗？方程组的状态，第二你就不用看了，你能看懂这个人就差不多了。

好，这是这个问题，那么在这里面当中，我记得原来基础班的时候还讲过一个题，你比如说。里说已知什么情况呢？比如说已知。哎呀，这个不要错乱啊，千万不要错乱，如果在具体题目当中，他肯定会告诉你谁是自变量。啊，它会告诉你谁是自变量，你不要乱想。

你一乱想谁是谁的函数都可以。你也可以把s消掉了之后YY跟s之间的关系z也是一个y的函数。你发现你就转不通了，你要选定一个人做自变量。对吧，你要选谁，你看都能导谁，你也可以选y所谓自变量，你就看具体题，想求什么嘛？那有人说求的话是对y偏导数，那你就求对y求导的话，你就得y呗，具体去具体看。比如说这里面当中，

我们来看看这个事情，比如说啊，有些情况他这样说。他说了一个什么情况呢？他说fxyz。等于零，而且。而且的话，这个x方加上。四，xy。加上y方等于零。确定了一个。y跟x之间的函数。那么则那这里面当中，

我要求解z对s求导怎么求？那这里面当中啊啊。注意啊，你要理解清楚。对吧，那么接下来我们就继续，我们来看看这个人。那jdm当中给的这个情况，你要说清楚啊，我们给的三个人。对吧，我给了三个人诶，我让你判断一下吧，你告诉我一件事儿z是一个什么情况？啊z是个什么情况？

你就会发现这个z跟s之间是不是一元函数关系？如果这个题当然出题的话，他肯定会给你是不是一元函数？是一元函数，因为你这里面当中的y。其实就是x。所以说在这个式子里面当中，其实只有y。只有这个y呃，只有这个z和s。所以z是s的一元函数。因此，这种题怎么做呢？你就给这是个一元引函数，你就给这个人两边同时对谁？

同时，对s求导第一，中间变量求导是一，第二，中间变量求导那其实就是y对s，然后再对第三个，中间变量求导。是z对s。它等于零，然后GM当中的这个y对s求导怎么办呢？y对s求导由这个人做。那么，同学们告诉我，这是个什么东西呢？这是个一元隐函数吧？

是不一元一函数？就给这个方程，两边同时对s求导来，其中那对s求导的话，这是2s。然后的话，这个是前导后不导，前面不导，后面来进行去求导，然后这是2y。然后这是y对s求导等于零，这里面当中是不是可以把y对s求导解出来？解出来之后就可以把它带到这里面，它就出来了。所以像这种题最重要问题啊，

你就知道它们之间那个关系，把这个关联系梳理通啊，什么问题都简单了。就是关键是这个问题点，你这个关系有没有处理清楚？你关系处理清楚就简单了。好了，听明白了给我回复一吧，你怎么去看呢？你这里面y是s函数就说明y是由s构成的。这个y其实就是s函数。你只有z跟s嘛z是一个s函数啊。好了，这是我们讲的这个立意，这个点能想清楚吗？

大家一定要对这种问题啊，非常的清晰，稍微的清楚一点。好，那么接下来我们继续吧，我们再来看一个题，再来看看题型26。好，再来看看这个问题。提前26。那题型26啊，在这里面当中，我们要考察一个问题，叫做多元函数的偏导数的反问题。啊，

多元函数的偏导数的反问题。那这个反问题啊，其实我们在考研过程当中，我们没有怎么出过题。啊，说实话，没有怎么出过题，那这里面当中我们稍微进行看一个吧。不会考特别难。但是你要把思维方式梳理清楚。那么，接下来我们来看看这样的一个问题点。它是个什么提设呢？我们先来看看权威分的反问题。对吧，

权威分法问题，然后我们来看看什么样的一个提设情况呢？你看这个人全微分的反问题，它是个什么情况？黑死了，它是这样的一个情况，就说啊，这个。我们以前做题啊。你比如说这个sy这个人，我们求全微分，你对s求导是yds，对y求导是s，然后dy。哎，

你得到权威分简单，但是我想问这是谁的权威分结果呢？就这样一个问题，就说我们已知的什么东西呢？已知呢，一个东西的ds，比如说是个pds。已知的一个东西dy，比如说这个东西是q dy。我让你去求解。对吧，反正这个结果。我让你去求解，这是谁的全微分的结果？把这个u求出来。

大家是否理解我的意思啊？就说我得到了一个权威分的结果，反正就是什么ds什么dy，我想让你进去看看这是谁权威分的结果。能理解吧好，这是这个问题。你知道这种问题的话题，设你给我回复个一。啊，这种点非常简单哦。那么，在这里面当中，我们教两种方法。其实这两种方法我们先来看看，第一种方法。

你最好多会一下。第一种方法。那第一种方法叫什么呢？第一种方法叫做凑位分。你不是v出来的吗？对吧，你不是把我v出来吗？v出来的话，之后的话，你发现你把它给我凑回去就行。啊，凑回去就行。所以说这里面当中啊，你第一件事情，你这是我v出来的结果，

我就把你凑回去。这个凑回去怎么凑呢？你这里面当中要知道一个事情。那你就要看看你是个一元函数还是二元函数？你要是个一元函数的话，你发现它的微分结果就是这个人，你往回一凑就是dfs凑微分的过程是积分过程。但是如果你是个二元函数不一样。那二元函数应该是z对sds。z对y撇dy这俩人，他才能继续去凑出来z。能理解吧，一元函数只有一个人凑一个人。二元函数是两个人凑一个人。你要一元函数的话，

你这一个人啊，我凑出一个人，你二元函数两个人凑出一个人好，这是凑每分，比如说这里面当中，我们来出一个题看看。比如说已知。某一个函数。对吧，这个函数的全微分。这个全微分等于多少呢？它等于y再加上。呃，这是二倍的。或者是y倍的coss y。

再加上x方。ds，然后再加上一个，这个是。x再加上到x倍的coss y。好，这个题呗。然后让我们去求解什么，而且。这里面当中的f零零是零。然后我们去求解这个f sy。你怎么求解？那么，像这种情况，我们做题非常简单，

第一步全部打开。把这后面这个人全部打开来打开。打开。打开全部打开给我全部打开。全部打开好这个人。把这全部打开了之后啊，然后接下来我们来看。你要进行去看，你告诉我这个人是一元函数全微分，结果还是二元。一元还是二元？你想想它是一元函数全微分，结果还是二元函数全微分结果？一元还是二元？怎么可能是一元？

哎呀，这个。你如果是个一元全微分的话，这是2y，后面是dy吧？你ds方求导是2s，后面是ds，同学们，你们发现后面是y，前面是y，后面是s，前面是它是。纯的嘛。嗯，不问了嗯，

它是纯的嘛？这后面s前面是y它不纯嘛。它肯定是二元。那这个东西的话，你发现它肯定也是个二元。你肯定能你这个东西是几元？告诉我几元呢？这东西是医院的。哎，这是一元的，然后这是二元的，这是二元的。二元这个东西啊，你要注意一个事情，是两个人去凑一个人，

他是一对夫妻。那么，同学们想想你这个人是谁？对s偏导数会是你呢？应该是xy。xy对x偏导数就是你，你猜一下呗。我猜一下诶xy对x偏倒数你那你要如果再对y偏倒数呢，那刚好是x哎，不就是这个人吗？我明白了。这两个红色部分呢？它就能凑出ds来。好，再来看看这个人。

那这个小绿呢？你猜一下谁对s求导会是你呀？我一猜是s in xy。s in xy的话，我对s进行求导的话，就是cos xy，然后y你再找一下这对夫妻cos xy再等于y呢，这是x。哦，这俩人。是一组，那这两个是一组的话，你发现把它组合到一起就是s这个是s in多少？sy然后这是一个人凑一下积分的结果。三次方，

所以说这个人呢，立即就把他出来了。马上这个东西啊，你就会发现它就变成了sy，然后这是sins y，你加上个三分之一s三次方好这个人。那这个东西等于谁呢？它就等于def sy。但这两个东西是相等的吗？不是的，因为你两个人的权威分相等，微分相等，应该是这两个东西相差了一个几啊。相差了一个常数。对吧，

相差一个常数。那相差一个常数的之后啊，你会发现一个事儿，那么这里面当中又告诉了一个f零零，这个人是几啊？是c它是零。所以说最后的这个结果啊，是xy加上个s in xy加上三分之s三次方好了，这个东西啊就出来了。可以了吧，立即出来。哎呀，我真是求了，有些东西你不要再发散了，你能把已经这个当前这些东西你能真的给我消化到位。

你考试当中能用出来，你能考不到满分，你不要在这发散了，因为发散的话，你发现。学到这个越学这个问题越大。不要胡想好吧。对吧，已有的这个东西的体系，它足以进行去处理了。好了，这个问题啊，我们先说清楚，第一个事情。能想清楚吧，

好琢磨清楚，有些同学想了一个事儿，说老师。这里面当中，如果是这个东西，它是二元。他有没有可能找不到这个，他不是一对夫妻吗？他有没有可能找不到那个人呢啊？不可能。绝对不可能，他一定能找到。哎，他绝对能找到。为什么你是我v出来的，

我肯定能凑回去。你v过来是我，我凑回去肯定是你呀，绝对能找到，一定能找到这个事情好，这是第一种方法。那么，接下来我们再来看看第二种问题。对吧，这是凑位分的方法。除了这种方法之外，还有没有方法呢？那么，接下来我们就来继续来看看第二个问题。方法二啊，

再来看第二件事情。那么，这个第二种方法你发现。偏导数我们这种第二种方法叫做偏积分法。哦，偏积分法。那么，在这里面当中，我们再来讲讲这个题。什么叫偏积分法呢？其实你发现如果是知道这个人全微分的结果啊，进行求解这个函数，你用刚才那个方法是非常快的。啊，所以我们做选择题啊，

刚才这个方法很快很快啊。那么，接下来什么叫偏积分法呢？这个方法好好听一下。你想想，这是他权威分的结果，这是谁呀？这不就是我对x偏导数的结果吗？这不就是我对x进行偏导数的结果吗？这不就是我对y进行偏导数的结果吗？是吧，你对我y进行偏导数，结果我们要求原来函数。大家想想。你知道偏导数去求原来函数会求吗？

那些原来你一元函数的时候，你知道导函数去求，原来函数会求吗？你七分。大家想想这东西怎么来的？他不就是这个人。把y看成常数，对x求导来的吗？哎，你把y看成常数导过去的，那我积回来不就行，我积回来我对s积分把y看成常数不就行了吗？所以这个积分呢？叫偏积分。过去叫偏导数回来，

这个东西啊，就叫偏积分。所以说你要想清楚，这个第一个人呢？它是我对x求导，把y看成常数的结果。那么这个时候我就对s进行积分。我就要对s积分把y看成常数。那这是个常数对s积分呢？那其实就是s呗。那这个人对s积分把y凑到后面去，那就是sins y。然后这任积分呢？是三分之s三次方，请注意了。

你后面加什么呀？很多说我加c不是c。现在而言y都是一个常数。你y都是一个常数，你应该加上一个y的函数。注意啊，要加上y的函数。加上y的函数了之后啊，这个东西出来了，那然后接下来怎么做？他说那我这个东西是对y进行偏导数，把s看成常数，我再对y积分不就行。我再让这个东西对吧？几分注意错完了不不是错完了，

有点麻烦。你喜欢求导，还是喜欢积分呢？我当然喜欢求导，那我再导一下，把你当成初始条件不就行了，所以说我再用我这个求出来的结果再对y进行求导。那s coss y，然后这不就是s嘛，那这个东西对y进行求导，那这个结果等于它。马上这个人就推出来了。推出什么c对y的导函数不就是零吗？你既然导函数你是个y的函数。y的函数对这个人求导是零，

所以说这个y的这个函数就是个常数。没问题吧？因此啊，这个函数就结束了。f sy这个人，他就等于sy，然后这是s in xy，加上三分之一x三次方，加上这个c。把这东西一带c是零本题结束。所以这个方法叫偏积分法。啊，就叫偏积分法。当我知道了这个什么偏导数，我也能进行求出原函数。

你对x进行去求导。对吧，你要注意，你对s求导，把y看成常数。那我对s积分，我就把y看成常数。能理解吧，所以说这个东西叫偏积分。哎，偏积分就说我在这一步积分的过程当中y就是一个常数。那所以说你积完了之后，你不应该是加上常数y这个人都是常数，应该加上一个y的函数。你不信你试一下，

你把这个东西进行对s进行求偏导，你求一下求一下求一下你这个y的这个函数对s求偏导是不是零了？所以一定要加上y的函数。这是偏积分的魅力。掌握不到这个层次啊，说明你连这这个这个核心点，它的魅力点就在这儿。它最大的魅力就在这儿，为什么是加了y的函数？所以你往过倒，你把它看成常数，我往回积，我也把它看成常数，这叫偏积分法。能想清楚吧，

偏积分，所以它的魅力点就在这儿。好，我们来看一道题。看一下这个题，这个题啊，把它给我秒了。啊，一定要把它给我秒了。这个题的话，你发现我们是不是知道一个全微分的结果？我知道这个全微分的结果，我当然可以偏积分。我也可以，怎么办？

我也可以凑一份，能凑就凑呗，你凑多简单。然后这里面当中就两项哎，那我猜一下呗，你觉得这是个杂合子吧这个。这是个二元函数的结果吧，你得找的这对夫妻，你觉得谁对s求导是你，你猜一下，我觉得是x ye的y。我觉得这个人对s偏导数是你。那你这个人在对y进行求偏导是多少呢？那就是前倒后不倒前不倒，后来倒哎，

不就是这个人吗朴？漂亮，原来如此，这个东西就是d sye的y马上结束，那说明这个函数的结果其实就是sy。e的y再加上什么？两个d相等中间相差一个常数，你不要在这里面当又混乱了，又说y的函数，这是凑位分法。那所以说接下来f零零是解f零零是c是零本题结束sy，这个等于选a。所以像这个题啊，就非常简单了。那么，

对于这个，我知道这个人的权威分结果，我是怎么做的？我知道这个人的权威分结果，然后我怎么去处理题的？能想清楚吧，好了，这个事情我们就讲到这儿。所以如果知道全备分的结果反着看的话。打开，然后往回凑或者偏积分法都是可以的，那么讲到今天呢，你发现第二件事情。那像偏导数的反问题，它也出来了。

这是权威分的反问题。那这一面当中的第二件事情。第二件事就是偏导数的反问题。不我今天的话，我讲讲导数的范围题。所以说学到今天而言，你就发现。弱智。对吧，若知导函数。必求，原函数。不能说渴求严谨一点，因为有些函数的话，你发现原函数未必能算得出来。

对吧，比如说e的s，这个s方e的负的s方，所以我们严谨一点，我们就这样说。若是导函数必求原函数。那什么意思呢？比如说你这个考题当中，你给的这个人。你看你给的一元函数的函啊，导函数。你给了一元函数导函数，那这个fs就等于多少就等于导函数对这个人积分，这不是原函数吗？那么，

学到今天，如果这里面当中告诉的是偏导数呢？我对s求导，把y看成常数。那我这里面当中怎么办？我就让这个人。对谁积分s积分注意积分中。是这个什么y为常数？注意一下啊，好了，这是这个事，那如果这里面当中我知道y的偏导数呢？我也可以求出原函数。你对y求导的话，把这个什么s看成常数，

我就对y进行积分，把s看成常数。所以是x为常数处理。这个不好看。好了，这是这个人，所以啊，就做成这样。所以只要你知道导函数，我们永远能求出原函数。那像这种问题，你要会做对吧？比如说今年考研过程，他给了一个偏导数，然后去求呢，

你也会做给了这个偏导数，你也会做。对吧，只要给了导函数，我永远可以求。那只不过是给了一元函数，导函数直接积分给了偏导数，我偏积分了。对吧，给了导函数导数呃，这直接几分给了偏导数偏几分，那就是这样的一个情况，你对s求导把y看成常数。那我就对s积分把外看成常数，就是这种方向性就叫偏积分法。

把它梳理清楚啊，这个点我们从来没有出过题。它可以出一些这个难度，不是说特别大的这种问题，可以继续去出一下，你像这种问题啊，我觉得大家还是要进行把它会一下。题型26这个点。能想清楚吧，好这个问题啊，我们就讲到这儿。只要知道导函数，永远渴求原函数。那一元函数，导函数直接积分，

那多元函数的偏导数偏积分。你你想想就是你怎么过来的，我怎么回去嘛？微积分是吧啊，你微过来我再寄回去，你对s求导哎y是个常数，那我对x积分把你看成常数。就来来回回啊，两个方向。好了，这个方向我们就说到这。能梳理清楚吧，自己下去啊，把下面的这个点呢，你好好梳理一下。

行吧，那么今天呢？我们就不多讲了，因为晚上的话还有一些习题课，对吧？啊，会有节习题课，然后是这样呃，明天下午我们加一个小时的课程，然后把高数给结束掉。行不行啊？明天下午。明天下午四点钟吧。啊，明天下午四点钟我们加一个小时课程，

把高数给结束掉，你就可以自己进行去啊，这个。处理问题了，因为我这里面当中啊，有几个点呢，因为一会儿十点钟还是我们的那个课，你们稍微中间缓冲一下吧。可以吧，你稍微休息会儿，一会儿我们去讲这个作业题啊。一会儿十点钟我们讲作业题呃，讲作业题的话，你你自己最好提前做了，当然你有问题的话你来听，

没有问题的话你就自己复习自己的就行。行吧，好了，这是这个问题，然后明天呢？有几个点？第一个事情就是求解多元函数的这个极值和最值。对吧，这个问题是一个重点，所以说在明天的话加的这个部分内容当中只有一个重点。其实就是我们这个部分的无条件机制问题，其实就是ABC的判别法的问题，把这几个题啊提前做了。然后这是我们讲的这个事儿，然后接下来的话，

这个第二个问题，我说一个事儿啊，上次有些同学，我觉得你这是有点儿越来越过分。原来那个模拟题。我原本就没有想给你导，然后后面的话我们说这个行，我给你整理到一个文档。啊，整理的一个文档就是像这种模拟题整理的一个文档，然后你看看又有同学来了，然后又开始问这个要这个模拟题的答案了。不带这样的吧，对吧？是不是啊？

我给你整理到一个文档，然后又又要这个模拟题的这个答案，然后再整理。你这个就是。不带这么这么懒的，你这这复习的话，你自己你自己稍微的话进行去处理一下，都出来了吧？然后的话，这个问这个助教要了好多天啊。然后我上次忘说这个事了。啊，这个点你自己你这不都在这个笔记上吗？好了，这是这个点，

你自己就你你考研的话，你自己自己自己做一遍的话，也是一个非常好的一个过程嘛。好了，这是这个问题啊，题型27这个人呢？明天的重点，我们其实是无条件机制。对吧，无条件机制，那么这个无条件机制啊，这是明天的重点。然后至于什么东西呢？拉格朗日乘除法，明天我们稍微的复习一下。

对吧，稍微复习一下。然后的话，这个讲完了之后啊，我们去跟同学们讲讲这个经济学应用。啊，讲讲经济学应用，那么这个经济学应用啊呃，我们的这个重点的内容啊。回顾基础部分，基础部分我好像没有讲经济学应用吧？我基础班应该是没有讲这个东西。然后我跟同学们去讲讲这种什么经济学应用问题。考的不是说特别难啊，这种点考的非常简单，

就掌握住这些经济学名词儿什么边际，这种弹性对吧？什么需求？什么成本函数，收益函数，利润函数这些内容。好了，所以说这些问题啊，我们讲完，然后这里面当中，我们再跟同学们啊讲几个题差不多了，它不会考的特别难的。好了，这个问题啊，我们就说到这。

呃，这个内容啊，我觉得还是稍微的看看吧，因为它其实在我们的这个数学三同学的大纲里面，所以我们这个大纲真讨厌。对吧，说实话非常讨厌。就是你到底这个东西，它属于一元函数微分学的内容。哎，属于一元函数微分学，内容就是。你到底这个东西，你到底要求还是不要求？那以前的考研当中也出过这种题。

对吧，比如说二一年之前的真题出过，但二一二二二三年之年他没有出，只是所以说这种这大纲的话他不说清楚的话，你发现。这还挺麻烦的。对吧，所以说我们对我们这个复习啊，其实是一个很大的一个干扰啊。真讨厌，然后的话这个。今年的话。对吧，这个大纲你看。就几这几个字。

简洁啊，真简洁。说的这么简单。比逻辑还简洁。逻辑哈里面当中还说了，说了几个点。对吧，从来没有这么这么简洁过。真省字啊。简直了，今年呢？也不会动啊。好了，这个事儿我们就说到这儿，所以说你会发现这个问题点就在这儿。

所以下去啊，好好进行把它处理一下。好了，那么这个问题啊，我们就说到这，自己下去好好进行去看看对吧，然后我们下节课，我们去把这几个点呢，我们去讲讲。好题型27还有这个后面部分内容。行吧，那么这个部分内容我们就说到这儿啊，你们不用关注这个事儿，你就好好复习就行了。因为大纲其实就又不是你来看的。

你说哪年过程当中的这个大纲，你就算数一数二数三同学发那个大纲，你说谁哪哪个学生会进行去重点看政治大纲，其实还挺重要。但是其实你发现这些大纲都是都是老师去看的。其实每年的话公布大纲，其实是给老师公布大纲，然后最后老师的话，把这个东西看完之后给你们做一个大纲的解读好，你们要这个东西就行了。所以我觉得这个哪有学生的话进行去你你会进行去把这个大纲里面当中的这些字儿一个一个的看吗？你会买本儿政治大纲。买本儿专业课大纲，你完全进行看嘛，你不会的啊。

好了，这个到了这个大纲发布啊，我们到时候再说吧啊。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，然后的话，大家休息会儿，如果你作业有问题的同学，一会儿过程当中啊，我们来进行去啊。啊，一起去听一下这个作业的题，对吧？一会我们把这个作业的一些题目进行讲解一下，

然后的话，这个今天晚上我会把作业四。和作业网我们全部讲完。行吧，好好加油吧啊，那么今天课程呢，我们就讲到这儿自己下去啊，好好处理一下，行吧，一会见吧。

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