18.冲刺满分强化篇·题型34-35精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 3 天前

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六的这个强化班部分课程，那么在昨天晚上过程当中啊，我们刚好讲到多元函数微分学当中啊，第一个板块内容。

那个版块内容比较重要一点，我们花上了一节课的时间就进行讲的那一个问题啊，说实话是比较奢侈的。但是我希望通过这样一次课程呢，你能够把那个内容完完全全掌握清楚啊，这才是最重要的，尤其在这里面当中啊，考察了三个事情。什么二重极限啦，对吧？这是一个基础，那么三件事情是连续性。可导性，可悲性，尤其是可悲性，

每天过程当中把可悲的定义啊去看一遍，每天过程当中去看一遍，把这些东西啊一定要拿下来。好了，那么接下来我们来看一个题吧呃，这个题啊，我昨天过程当中让你去做一下，我不知道有些同学有没有做对吧，所以说刚才在这个正式上课之前呢？我把这个东西放到了屏幕上，我说你提前来了之后啊，你就把这个题做了，对吧？把这个题完成，但是我想说一个事情。

你这个东西学会了之后啊，你就不要忘了。能听懂我的意思吗？就是因为这个东西的话，你发现你如果长时间的过程当中，你不看的话，这个东西很容易忘。如果这个内容你把它学清楚了之后，你要长时间进行去复习，把这个内容一定要拿下来好了，我们来看看这个题吧。来写一下这个人。那么，首先在这里面当中啊，给了一个什么情况，

给了一个二元函数。给了这个二元函数啊，那么第一件事情让我们去讨论这个人的连续性，那这个连续性非常简单，它不就是极限等不等于函数值吗？那么，在这种当中，我们就求一下趋向于这个点处的极限，那趋向于这个点处的极限，你对谁求极限？那么，核心重点。不就是对上面这根求极限吗？那么这个东西是趋向零点，它不同时为零，

所以说这里面当中啊，我们就对这个x倍的这个绝对值啊，求极限。那这个极限能不能秒啊？哎，当然是可以的，你发现这个部分。那这个部分是个经典的有界变量，那很明显是有界，因为你这里面当中的话，你可以给这个人加个绝对值，你加个绝对值了之后的话，这个部分呢？你把这个x不要了，你下面变小了，

结果就变大了，然后这个部分是y的，绝对值不是一吗？有阶无穷，小乘有界无穷小，这是零。然后这个时候的话，你发现这个点处的值呢，这个点处的值啊，它也是零，所以说这东西是连续的。然后接下来我们再来看看这个偏导数，那这个偏导数啊，分段函数在分段点处的偏导数。那这个分段函数在分段点处的偏导数，

它只让我们去研究这个点处的偏导数，你要看好了，那么所以说让我们去研究这个is偏导数。那么，这里面当中，我们就用定义法x趋向零，那么，这里面当中啊，就把这个y代成零，那么直接来做。那这里面当中是fx，这个y是零，然后再减去f零零比上s- 0，那这里面当中我们进行去求解一下这个极限。会写吧，

那f零零这个人是零啊。把这个y代成零，但是s是趋向零，那s趋向零的话，你就把y=0代哪代在这里面。你待在这里面当中，它就是零，这是零，你上面实实在在零呐，这就是零，然后接下来我们再来看看这个y的偏导数。那y的偏导数也一样，那就是先把s=0带进去，那就是fy-f零。比上什么y- 0y趋向零好，

我们再来看看这个极限。那这是y。然后这个f零零呢，它是零，你把s=0带进去，你现在虽然的话，你发现这个s是零，但是你发现这个y不为零，你把这个s=0，应该带到这里面。一旦是减，那又是零你，所以说这个结果就是零。那这两个东西都是零啊，那所以说二不对，

那这样就对了。那有些同学可能会把这个题的选项选择成e选项。你选e选项就尴尬了，又考了昨天的这个内容，你发现老头子的想法你能摸清楚了吗？连着玩了好几年，就喜欢这种玩。那就说这个偏导数都是零，有些同学学的不好的同学就是零被ds 0被dy咔的一下选一，那就废完了。那这个题啊，你可以去猜一下，应该是不可为的，对吧？我们要判断可为性，

那可为性的话，我们继续来判断一下。那就要用做差式定义来x趋向0y趋向零来跟我写做差式定义，那其实就是。fx y再减去f零零，然后再减去s偏导数，再乘上s- 0。y的偏导数y- 0比上这个人极限，就看看这个极限到底是不是零，你就要求这个人。那求这个人的话，你发现这个人是0x趋向0y趋向零，不同时为零，其实就是这个人对吧？那这个人的话，

你把这个除下去。那所以说这个人的话就变成了s趋向0y趋向零，然后是s倍的y的绝对值，除下去两个就变成这个人。来眼睛一瞅，你发现上面是二次方，下面是二次方，同比次方这个东西是不存在的，那不存在肯定不为零的，不为零就不可为。能理解吧，哎，注意啊，不为零不可为。你不是说因为这个东西不可谓，

是因为不存在，是因为不为零不可为。你就算这个里面当中啊，它是什么？如果这里面当中告诉我们这个呃是一是二，那也不可谓，我必须是零，我只有这一个结果。只有这个结果是零，它才可以好了，这是这个事儿，所以说你会发现这个全微分能等于偏sds吗？偏ydy吗？不行，那这人错了。

哎，正确答案选d。你能摸清楚他的套路吗？他就喜欢这样玩儿啊，这个选项就是来骗你的。然后的话，增加一些同学的这个区分度的。你稍微学的不是说特别好，同学有可能就在这件事情当中把一些同学的这个差距就拉开了。好了，这个问题啊，我们就讲到这儿有没有把昨天的部分东西啊，好好梳理一下，梳理完了之后是不是非常清楚了，不就是连续性。

可导型可微信这三个事情嘛，好了，那么接下来我们就来正式来开始看今天的核心重点内容，多元函数的偏导数计算问题。那么，首先在正式讲课之前呢？我们先对这个板块内容的大纲，我们先来梳理一下。你首先第一件事情，你无论是我们现在正在上这个强化课程，对吧？还是将来的复习，你一定要非常清楚这个事情。呃，今年的大纲。

我不能，我不能再说这个事了啊。呃，那这个问题啊，你就根据这个强化课程，你好好听就行，对于这个版块内容一定是我们三九六考纲部分当中一定会考察内容。对吧，必考的东西那么一般情况下而言的出题点呢，就是一到两个。有的时候你会发现出一个一个事情是出两个。你就好好听就行了，没事了啊，好了，这是这个事情，

那一般情况下就是出题点呢，要不是一个题。要不是两个题啊，出两个东西的这个几率啊，还是挺高的。所以说在这里面当中啊，这个这只是有点儿违规啊，那就别别别这样，好好听课对吧啊？好了，这是这个事情，所以说这里面当中也不是给你们故意吊你们胃口，确实这样，因为这个毕竟网课嘛，线上课程啊。

好了，这是这个点吧，所以接下来我来说一下这个事儿，第一个问题，三九六的考纲内容一定会出这个点。那有的时候的话，你会发现第一个问题点的话是什么呢？就是我们在这个出题的过程当中啊，就出这种普通的偏导数计算。那还有一种情况，就是复合函数的偏导数计算，有的时候那个部分出一个，这个部分出一个。声音太小吗？怎么这两天？

好，现在声音怎么样了？啊，可以了是吧？好了，我们来看看。所以说这里面当中啊，这是三九六考纲必考内容，有时候出一个，有时候出两个，但是请记住，一般都是以一阶偏导数计算为主。啊，一阶偏导书。所以在我们的考纲里面，

基本上都是一级，但是我们在考研的过程当中啊，我们这个强化复习啊，我还是希望同学们稍微的拉高一点这个水平。那么，在这里面当中呃，我们强化题当中啊，有些部分呢，我们出的是二级，也是希望同学们把这个水平点稍微的拉一拉，对吧？把这个内容学会。那基本上我们这块儿出题啊，都是一阶偏导数。那所以说二阶的部分呢，

你稍微的进行学一下，万一今年过程当中出到二阶，你也会做那这个东西也不超纲，对吧？稳稳当当的来。那么，接下来我们一起来看看第一个问题对吧？先看第一个式，一般偏导数的计算。那一般偏导数计算呢，我们这个人是怎么做呢？什么叫一般偏导数就是一些，比如说我全部给的你这个函数长什么样子？对吧，然后这个东西计算你要注意偏导数的计算呢。

你要抓住清楚。哪些人是自变量？哪些人是因变量它这个东西的核心，重点是对某一个自变量求导。对吧，对某一个自变量求导。然后其余自变量要堪称常数。自变量看为常数。啊，这样的一个方向性，把这个内容要梳理清楚。你对某一个自变量进行求导，其他的自变量一定要进行堪称常数。那么，这里面当中，

我们来看看这个直接性计算，你就这样算就行，那么在这里面当中啊，如果进行求一阶偏导数的时候。我们有的时候还可以先代后穷。对吧，你可以先代后求你，比如说这里面当中，我出一个点。我出一个这个z这个人。比如说它是一个x四次方。对吧，然后这里面当中是三倍的x方y，然后再加上一个多少y- 1倍的，那这是arctangent。

然后是x四次方加上1y的四次方加上五。然后这里面当中啊，然后我们去求解什么，然后我们去求解偏z偏什么偏这个s在这个什么x=1 y=1处它的。这个结果对吧？像这种问题，那这种问题的话，你发现直接算你看我这样一出就是一个考题。你不要小看这个点，这就是一个考题，你如果硬着进行计算的话，你发现不是特别好算。那这里面当中怎么办呢？我就把这个y=1代进去。我带进去了之后的话，

发现诶，你看这个人没了，然后就留下了这个人。是不是这个事情，所以说在这里面当中啊，你发现这个偏z偏s这个人在y=1的偏导数。其实就等于什么东西呢？其实就等于这个人，他对x进行求导是四倍的x三次方，再加上六倍的x。然后你把这个一带去，刚好结果是十，你看这样出一个题啊，那么我们也是会考的。所以考察了这个问题啊，

叫先代后求的思想，你求解ss这个偏导的时候，你可以把y先代进去。你求解y这个偏导数，你可以把s先代进去，这叫先代后求的方向。所以像这种问题啊，你把它把握清楚就行，我们一般都是考的一级。你要带进去非常简单，你就带，如果带进去的话，你发现不是说特别简单，你就不要带了好了，这是第一个事情，

能听懂吗？那么，接下来我们来看看下面一个题，我们先做几个题吧，要不这样，我们先做幺七七这个题。那么，在讲这个题之前呢？我们首先先说一下这个符号性问题，你要注意，如果一个题目给的是z=f sy的样子。你看给的是这样子，给的是这个样子的时候的话，你发现偏z偏s这个人。它跟什么东西呢？

fx 1撇，这个人一样不一样。一样还是不一样？你看这个人，你就告诉我这两个东西一样不一样。一样的对吧？你可以这样写z=f sy样子，这是最简单什么东西呢？最简单的这样的一个复合函数的情况，那这不叫复函数，这是最。最简单的二元函数的情况。这是一样的，然后这里面当中的话，你发现我写了个f1篇儿一样不一样。

一样不一样，我感觉你水平怎么样？一样不一样。一样的，对于这种情况是一样，因为你发现你看你偏z偏s不就是f对第一个中间变量求导1f对第二中间变量求导零吗？对于这种情况，它是一样的，你要想清楚，最简单的二元函数形式的时候，那么这些符号它们都是一样的。你要根据呃，这个根据清楚的话，这个问题你要做判断，那这样写也是行的，

然后偏z偏y这个人跟fy 1撇这个人。还有这个z对y撇这个人，这是一样的。所以对于这个题而言，他写的fiz篇儿其实就是偏f，偏s。那偏s的话，你来做这很明显是一个二元函数，对s偏导对s偏导上面是s，下面是s，这就是个除法求导。下面平方，上面求导乘下面。减去下面求导乘，上面是这个人。

然后接下来我们再来看看偏z偏f这个人。那pnf的话，这个人的话，这个es就是个常数。那常数的话，其实就变成了一个人分之一的导函数，一个人分之一的导函数，其实就是。负的这个人的平方分之一。然后这个中间变量再求导负负得正跟得上吗？同学们。你应该能听懂啊，就是x减y分之一的导数，你先对这个整体求导值负的，它的平方分之一里面再求导负负得正好。

好了，我们就做成这样，所以说这个结果其实就是x-y^2分之1s，这个很简单哦。好，这个内容。那么，接下来的话，你看这两东西相减不太合适，因为我眼睛稍微的漂了一下，我发现这两东西相作和非常的合适。你看你加一下，你一加的话，这个部分就约掉了，然后这个部分约一下，

还留了一个x减y分之一s，那这是谁呀？这不就是f吗？所以啊，两个相加，这个结果就等于f答案选d啊，这种题就非常普通了。你在我们的这种考研真题当中啊，出这种题那是非常简单的事情。然后接下来我们再来看。下面一个问题，我们来看看这个题。好来看这个题。那这个题啊，它让我们继续求解在一处，

这两偏导数的结果。那这个题的话，你无论是先代后求，还是直接进行做，那这东西都是一样的，你就来算一下这个s偏导数。那这个东西其实就是一+x^2加上三倍的y方分之一。中间变量再求导，这就是2s，然后是偏这个偏f偏yf对y进行偏导数。先对中间变量求导，不变中间变量再求导，这是600。那么所以说这两个东西啊，你看。

别管你是哪个点，它是一一点一一点的话，你把这两个东西啊，你就发现偏f偏y这个人比上偏f偏s这个人。梁一厨，梁一厨刚好是三。是吧，因为这个部分是六嘛，这个部分是二两位除是三，所以偏f啊，这个f对y的偏导数等于三倍的它。啊对y的偏导数等于三倍的，它选哪哦选这？所以说，正确答案选几选c。

好了，这是这个问题，那这种情况比较简单，你发现像这种运算的题啊，我们一定要把它拿下来，稳稳当当的算。所以求导的运算呢，不是说特别难把这个求导计算呢，把它摆清楚，那么接下来我们来看一道稍微的难一点的题来看看这个题。这个题啊，你说拔高呢，也不好意思说拔高。对原来全部的话进行出这种意见，我觉得这种强化训练也没什么意思，

你其实都能做对吧？你说这个题是拔高呢，其实也没什么拔高的。来，我们来看看，这是一个二元函数。它的自变量都在哪儿？都在上下限当中。对吧，这是个变上线函数。那这类当中的这个t呢，你要注意啊，先代不太好，你看这个有些同学就做不好。你要注意一个问题啊。

你如果先带这个题就错麻了。就错完了，这是个二阶偏导数。你先带的话，你发现你说我先把什么东西带进去了，我先把y=2带进去，我得到这个人。我得到这个人了之后的话，你再求表啊，求的这个导数，你求这个导数的话，一定是f对什么对s这个偏导数。然后在y=2处的结果。对吧，你做出这个情况。

你做出这个情况的话，你发现我们再求这个人呢，他可不是这样子的。你这个时候的话，你求的是偏导数在二处的结果，然后这个东西应该是偏导数再偏导。你所以说这个题啊，你绝对不能先带你要求一阶的话，你可以先带。你要求两下的话，你可以先求一下，求完那一下你再先带也是可以的，好了，那么接下来我们来看看这个事情。那么这个题啊，

那么首先我们先看第一件事儿，我们先来进行求第一个问题，所以说你看你看这个题出的，我觉得还有意义啊，那说明有些同学的话这个方向。你处理游游戏，可能处理完了啊，凑完了。那么，在这种当中啊，我们先偏s。PS里面当中是一个什么？里面当中不就是个积分变量吗？然后这个自变量是x嘛y是个常数嘛，这变上限函数嘛，

那变上限函数的话就是上限移进去。对吧，上限移进去上限求那么上限进行求解是多少呢？上限进行求解这是y。好了，这是这个问题。能想清楚吧，哎，就是上限一进去上限球就这种题考的简单，我觉得对我们三九六的同学也没法那么狠。你要这个题出怎么样才能出的狠一点呢？你这个东西是个标准型，你太简单了，我应该出个非标准型的。你出个非标准型，

你还要换元，你有可能提出啊，这个就稍微的恶心一点了。好了，其实这个事情我们就讲到这可以了吧？哎，把这东西求完了，所以你看这是第一项把上限移进去，上限求。那么，然后接下来你发现我们要去求什么？我们要去求s的两阶偏导数。x两阶偏导数，我们要求什么？这个东西再对谁求导呢？

再对x求导。再对s求导，完了之后我们要再看这个人呢，在这个什么零还有这个二处的结果，那这种情况能不能先带呢？哎，这种情况可以先带了。这种情况我可以先把y=2代进去。那这个时候先带进去了，之后你就会发现它的这个结果，它就等于这是两倍的，一+4倍的x方。然后这个东西是s in 2s。然后这个东西啊，再进行求导哎，

它是可以的。当然，有些同学的话，这个东西啊，搞得稍微的啊模糊一点，但是我觉得你应该是能梳理的，非常清楚，对吧？你先求一解，然后再带。然后接下来我们就继续，我们再往下来，那然后接下来的话，你发现这个是f对什么东西呢？s求谅解。

然后在这个y=2处的结果，那其实就等于这个人在对s求导，你再对s求导的话就是下面这个东西的平方。上面进行求导的话，是这个人再乘以下面这个人。你再减去下面这人求导是八倍的s，你再乘以上面这个人。然后最后一个事情，你再把x=0带进去x=0带进去了之后的话，这是1 x=0带进去，它没了。这是一，然后这是零，那上面这个结果也是二，所以说这个结果等于四。

好了，这个问题啊，就结束了正确答案选一。好了，这是这个问题点，你要想清楚它这个风格是怎么出出的？对吧，第一种的话，这个点你不能直接先带，你要带第一个的话，你发现你求出来这个结果里面当中啊。呃，你带完了之后的话，你去看看。你在进行求导的时候，

你跟这个人是不一样的啊，应该是怎么办？你先求你求完了再带。就是求一阶的时候，你可以先带进去，然后再对另外一个字母求导，只要你是求一下好了，这个题啊，听懂了给我回复一。你如果这个东西的话，你发现你要是实在不想现代，你就直接硬着钢，硬着钢啊，也是可以的。嗯，

有些同学固执己见，你们少看点儿这个，有些同学的评论区，对吧？所以说在这里面当中啊，你要注意求一下。对吧，求一阶偏导数。我只能是一解我求一下的时候，比如说我，我对s求一下，就是把y等于它代进去，然后再对s求导。这个方向其实可以的。能理解吧，

你把这个思路一定要捋顺。好了，这是这个点，我们就讲到这儿幺七零这个题。就是求一阶一阶偏导数，它是个这样。那么，在这种当中啊，我们来看看，这是幺七零这个题，你要想清楚啊，只能求一下，求一下的时候可以先带。后求那求二阶偏导数不就是一阶偏导数再求一下吗？好了，

这个人呢？我们就讲到这儿，这是考点一，你不要刚才一个同学在那说差不多，你不要被他糊弄了，你们有的时候少看点这个，有些同学他胡乱。胡言乱语的评论区啊。好了，这个问题啊，我们就讲到这儿考点一。那么，在这里面当中啊，我们再来看看哦，这个题目就出来了。

那么，接下来我们再来看看下一个问题，注意这个点呢？必出题。好了，注意啊，这个内容必出题。一定会出题。那么，在这里面当中给了一个复合函数的偏导数计算。我们在这里面当中的破题方法非常简单。如果你是个复合函数，一定会含有中间变量的。听懂我的意思吧，一定会有中间变量。

一定会有中间变量，我的做题风格就是先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导。然后这里面当中考题类型呢，往往会有两种，那第一种情况它是这种。对吧，叫做单中间变量。就说你发现这个复合函数啊，它的这个中间变量，它是这种情况。对吧，是这个样子，那这个样子的话，你发现进行求导呢，

注意它是没有角标。对吧，没有交流。那么，这里面当中啊，你发现一个事儿很明显，一个事情这个东西啊，是没有角标，因为你发现你求导的时候就是我先对中间变量求导。中间变量再求导八了。就是这种情况，它是没有角标，你比如说我举个简单例子。比如说这里面当中啊，我出一个人是z等于多少呢？

比如说这是fx四次方，再加上3 xy这个人。你要想进行去求解偏z偏什么呢？偏s那我就是先对这个中间变量进行求导。然后再对s那对s的话，你看中间变量，求导它只有一个中间变量，你就直接求了中间变量，再求导就是四倍的s三次方。然后再加上三位。好，这个人如果你要对y进行求偏导呢，那就是先对这个中间变量进行求导。中间变量对y进行求导，刚好是3s。

好了，这个东西啊，立即就进行求解出来了，好了，这个问题啊，方向性把它想清楚。好了，这是第一个问题，能琢磨清楚吧，单一中间变量，我只有一个中间变量，那一个中间变量的时候，我就对这个中间变量求导，中间变量再求导。所以说一定注意这种情况，

没有角标。我记得上次过程当中啊，模考的时候，我们上面就出了一个题，有一个题选项当中是有角标，有个选项没有角标，这就忽悠人的。所以这里面当中啊，你必须要判定清楚好了，第一个事情听明白的给我回复一，这叫单一中间变量。就是这个f的，这里面只有一个人，这叫单一中介变量。能理解吧，

好了，这个问题，然后接下来我们再来看看多中间变量。那多中间变量，就说这个f这个人呢？它的里面是有什么的，是有逗号的。好，我们来看看多种姐妹俩，就是你看你这有一个人，你这有一个人，你这又有个人。好了，这种情况就叫多中间变量，那多中间变量求导的时候，

你发现我要对第一个中间变量求导。你对第一个中间变量求导，其实就是对这个整体求导。你对第二个中间变量求导，你对第三个中间变量求导，这种情况它就是有角标的问题。对吧，它是有角标。所以这里面当中，比如说我们举个例子，我们来看看这个事儿。你发现如果这里面当中我们写了一个是xy。x加上方加上y方好了，这个人。那如果这个东西的话，

进行对s进行求导呢？你发现你求的时候，你就是先对第一个中间变量求导。中间变量对s求导，这是y。再对第二个中间变量求导，中间变量对s求导呢？这是2s。如果这东西要对y进行求导呢，继续。那对y求导的话，就是先对第一个中间变量求导，中间变量对y是x。再对第二个中间变量求导，中间变量对y求导呢？

那这是二倍。是不是这个事情，它就有角标，就是这种情况，就是我们说的对，这个什么中间变量求导。然后中间变量再求导就有顺序关系了。一定要想清楚。诶，那如果这里面当中，我们要进行去求x的两阶偏导数怎么做？你要再对x求。你要再对s求，其实就是这个人在对s，你再对s的话y就是个常数。

请注意f1是f1吗？不是的f1是f1撇儿，这个人的缩写是x方x方，加上y方这个人的缩写。那所以说f1这个人要对第一个中间变量求导，中间变量对s啊，就是y。f1要对第二个中间变量，中间变量对s，这是2s。好了，这是这个问题。然后接下来我们就继续讲，你看这是个s函数，这也是那后面求导是二，

然后前面不导，然后再加上后面这东西不导，然后前面来导，就这个人导。那这个人进行求导的话f2是什么f2是这个人的缩写？缩写那缩写的话，其实就是f2对第一个中间变量求导，然后中间变量对s求导是关于。f2对第二个中间变量求导，中间变量对s求导，这是2s思路，一定要摆清楚。就是你要知道，如果你是个多中间变量的，我就要对第一个中间变量，

中间变量再求对第二中间变量，中间变量再求。你要是有三个中介变量，我就要求三项，一个中介变量求一项，就是你的思维体系的话，一定要非常的清楚，就是我永远都是。我要对中间变量，求中间变量再求。我要对中间变量进行求导，中间变量再求导好了，这个方向想清楚了给我回复一啊。应该都会做吧。这是个最起码的一个水平。

一定要想清楚啊，就是我要对中间变量求导，中间变量再求导。好了，这个问题啊，我们就说到这。所以说像讲义上的这个类型问题啊，你要能看得懂。好了，比如说我们这里面当中啊，我随便挑一个。啊，你比如说这个人。你就比如说这个人。其实你发现我们是不太喜欢写成这样子的。

我们喜欢更加喜欢的是什么？我们喜欢的是角标。所以你会发现，看你这是两个中间变量吧。对不对？那所以说偏z这个什么偏x的时候？你就要对第一个中间变量求导，那就是f对第一个中间变量求导，这个中间变量是u。其实我们就是经常写的f1撇。然后中间变量再对s，中间变量又是个二元函数，偏u偏s。然后再加上f这个对v求导v，其实就是我们对第二个中间变量求导，

然后中间变量呢v又是个二元函数。v在对什么x求大家能看懂吗？呃，就是这个思想就是你要对第一个中间变量，求中间变量再求。你要对第二个中间变量，求中间变量，再求你就是这个思想。能想清楚吗？好了，这是这个问题，然后接下来我们再来看看这个人。你发现万变不离其宗啊，这个人。来看看这个人。

现在是什么呢？z=u。v但是u呢，你发现一个事儿，你能到u，然后你到v，但是这两人都到t，请告诉我个事儿，这个z是个几元函数啊？四变量只有一个是一元函数，应该是dz dt。那这时候怎么写呢？就是偏f偏u，也就是f的第一个中间变量，求导。

中间变量的u是个一元函数，就是dud t能分得清楚吧，你要分析清楚多元函数的时候是偏。一元函数是d，然后这个时候偏f偏v这个人其实就是我们f的第二个中间面的渠道，你是一元函数DVD t。就这个情况，所以同学们注意啊，像这个问题啊呃，我不太建议同学们一直看这种情况，你就看具体的例子。把具体的例子看清楚了之后，就非常简单了。能理解吗？所以到底是个单，

中间变量还是多中间变量？这个f里面当中就看看有没有逗号？有逗号，它就是多中间变量啊，所以说非常简单，我觉得你都不用这样分，随着你做题的这个东西啊，你发现深入了之后，你看到这个东西你就知道了。你看到这东西你就明白了，好这个点。我们就讲到这儿来，继续吧。好，我们来看看几个人。

好，先看这里面当中的第一个人。好，先看这个。那么，这个人的话，你发现一个事，他是一个二元函数吧？z到SZ到y，它是个二元函数。那这个东西到二元函数的话，你发现。这个人是一个复合函数，但他只有一个中间微量。对吧，

单种姐妹俩，所以说这里面当中啊，你像这种题的话，考试我们考的非常多，你偏s。那偏s的话，这个y是个什么数y是个常数？那么，前面是s函数，后面是那么前面求导呢？是负的s方分之一，后面这东西不等。然后再加上前面不倒，后面再倒。那后面来导这个人怎么求导呢？

他只有单中间变量，就是对中间变量求导，中间变量对s呢？这是y。好，这个情况跟得上吗？这没有必要打点啊。你这个打点的话，你是说明这个基本功还是有点提高的，这这个不难的。你把基础班真的是消化了，做这个题难度系数一点都不大，来再来看看这个偏y偏y的话，你发现s分之一就是个常数。那这个时候的话，

你看你这个y是y的函数，这也是那乘法求导，那前导是一后面不导。然后再加上前面y不倒，然后这个人倒这个人是单中间变量就是对中间变量，求导中间变量对y呢，这是x。所以像这种题啊。看我做十道都不如你做一道。先学会了之后，自己稳稳当当算一道耐心啊。一定要有耐心，你不要算长了说啊，这个我们三九六肯定不考，你去看看去年那个题，

去年那个题还挺长的呢。一会儿我们会看到那，所以说接下来我们来把这个东西啊，运算一下，运算一下，之后的话就说你这个东西要乘上一个多少y分之s？你这个东西要乘上个一好，那么接下来我们来乘一下。一乘的话，你发现看y跟这个人约掉了，你其实这里面当中就乘个s，这是负的s分之一。你这是s分之一，这两个东西是不是咔咔约掉了？然后接下来我们再来乘个x，

这是y倍的塔。对吧，这是y倍的它你所以说呃，这是x倍的诶，这个是y跟这个约的，这是y倍的它。那y倍的他的话，这个人乘上一其实就是最后结果就是y倍的f1撇儿sy。然后再加上多少xy倍的。诶，是这个吗？这两个东西一加。这外面还有个x分之一啊啊，不好意思。这外面还有个s分之一，

所以说你看你这个东西一沉的话。应该是这个约掉了，然后这个约掉了是y倍的它，然后外面还有s分之一就是二y倍的f一撇x。所以说这题的正确结果应该选择a选项。好了，这是这个人啊。可以了吧啊，第一个点。所以说你发现一个事儿，这个第一个人呢？前面当中啊啊，这个人前面还有一个s分之一，把这个人碰掉，他是y被塔啊。

啊y贝塔好了，这个东西啊，我们就不讲了啊，你自己好好看一看好幺七二这个题。来继续吧，我们再来看看下一个题。啊，这种题其实就是你的运算的耐性呢，磨磨性子啊，对吧？多做一做。来再来看看这个题吧。那这个题啊。你无论是什么什么，先带后求啦，

你不先带后求啦，其实你发现感觉是差不多的。那有些东西可能说做这个题的时候，先代后求其实差不多，你就还不如直接算，你早都把这个东西做完了。那这人就是偏z偏s哎，直接做那做完了之后的话，其实就是我们先对这个中间变量求导，这是单一中间变量。中间变量对s求导的话是负一，然后这是cos好没了，然后这时候是偏z偏y这个人。来继续先对这个中间变量求导，中间变量对y求导是一。

然后这个s in求导没了，这是一的y。你再把这个什么零一带进去。那零一带进去了之后的话，其实就是负的f1撇儿，那这个人就是一。然后这个零的话，这是一。你把这个什么零一带进去的话，这是f1撇，这是一。然后这是一的它呢，这是一。没问题吧，然后两个一加两个加就是一+1答案选b。

好像这个问题啊，我们就说到这，所以你会发现就是一个普通运算，你就扎扎实实算就行了，没有什么难度系数。你算出来就算出来了啊，就是对于这个人，丘岛一定要注意是单中间变量还是多中间变量？啊，考的不是特别难呢，这个题。所以每年考的这种偏导数计算呢，那去年那个题啊，不是说呃，有些同学能做出来啊。

一会儿过程当中，我们再看吧，好像这种问题来继续，我们再来看看这个题。怎么处理呃？这个题啊，你要让我出的时候呢，我想到一个事儿，我说如果就考一个一阶偏导书，这个题也忒没意思了。你要是真的进行去出这个一阶篇导说太没意思了。我就想，既然是强化，我们就出个二阶。你要是这里面当中啊，

你就进行去考一个一级，那这个题咔咔就结束了，对吧？求一下什么东西呢？来偏s。pns就是对第一个中间变量求导一，对第二个中间变量求导y好结束了。那这些东西你发现有没有什么强化的？啊，就害怕一个事情的话，他考到二阶怎么去处理？所以说接下来我们就先来继续，我们再来看看下一个问题。好了吧，这是这个人，

所以我们接下来再来看看这个人在对谁呀，在对y。啊，再对y那再对y的话，你发现我们继续来往里面松。对y进行求导的时候，这个人要求你注意f1，这个人是f1 xxy的缩写。那所以说f1这个人对第一个中间变量求导。然后再求导是零。所以说只有f1对第二个中间变量，求导中间变量再对谁y求导是s。那么继续，这是个y的函数，这也是那后面求导是一前面不导，

后面不导，然后前面来导那f2这一撇儿这个东西啊。也是这个东西的缩写。那f2对第一个中间变量，再对y的话是零。所以说只有f2对第二个中间变量求导，中间变量对y呢，这是x。那所以说这个结果马上出来是s倍的f一二f2撇sy倍的二二好了，这个题的正确答案选a。好，这个题不是说特别难吧？你要会做。那这里面当中啊，如果我们再增加一门。

比如说我们这个题，让你继续去求解。呃，这个人在什么在零零处的结果怎么算？那这个结果的话就是。它就没了，它就没了。留下了一个f2撇，对不对？不对呀，那这是一个函数，你函数这里面当中也要带值也要带值的话，最后的答案应该写成零零。这是要注意的一个细节。能想清楚吧，

要注意啊，带进去最后的结果是零零。好把这个事儿想清楚就行，幺七三应该没问题吧，我就相信大家的话，一定能把这种题啊，处理的很好。来，我们再来看看幺七四这个题来，再看这种题。呃，这种题啊。其实也不是特别难。你就一看的话，你发现这个人不就是两个中间变量吗？

两个中间变量就两个中间变量呗，反正两个中间变量。然后这里面当中有句话，这个函数是可导。而且的话，在这个点处取极值，同学们想想。取极值切，可导导数为零吧，所以一处的这个结果是它。那么，取其值的话，你发现且可导导数就为零。因为能取极值的人，要不是助点，

要不是不可导点，你现在必然是可导，导数为零，好了，这个人呢，直接性的导函数结果就是零。好，这是第一个人能跟上吧，然后接下来我们去计算一下这个两阶偏导数。那两阶偏导数的话，我们先来进行去算一下，一阶偏导数。那一阶偏导数两个中间变量，你就先对第一个中间变量求导，中间变量对谁呢？

对s这个人就是y。你再对第二个中间变量求导，再对s呢？再对s是y倍的g撇s。好，这个结果就算指定。那算成这样了之后，我们然后再怎么办？再对y。好，这个东西再对y那对y求的话，你发现后面求导是一前面不导，那后面不导，然后前面来导。那么前面这个东西是f1撇，

这个东西啊。然后这个东西的话是xy，然后是y倍的gs，这个东西的缩写。能理解吧，所以说就是f1对第一个中间变量再对y呢，那这是x。f1对第二个中间变量，求对它那对y呢？那就是gs。好这个人，然后接下来我们就要计算这个人，你要然后再怎么办？你再对y求导，你对y求导的话，

这个时候这个g撇s这个人呐。它其实就是个常数。对吧，这个常数，然后再怎么然后再是这个部分，它再去求导。你这个东西再去求导的话，你就会发现一个特点。你再去求导，你发现一个事儿，如果我再进行求的时候，哎，你这个部分是不是就是零呐？呃，这个先代入不好。

因为你先带入的话，这个东西也会涉及到带入，你就不要先先带入了，你先观察。这种情况就是要眼神，要进行观察。你这个部分是个常数，然后这是y的函数，这也是y的函数，这两东西求导应该是个乘法，求导其实有有点恶心。但是同学们，我们不管了，为什么呢？因为你会发现一个事儿，

你无论后面这个东西求导是什么？我最后把零带进去，一带进去都是零，那这个题就结束了，所以说在这里面当中这个偏s偏y这个人。然后把这个一带进去。代进去了之后的话，这一项就是零。能理解吧，然后这个人的话就剩下了f1撇，它是这个缩写一，但却的话，这是一。然后这是一积是几一那这是一。然后y是一那就是f撇撇那这是一一。

然后再加上多少呢g1是一那f一二，这是一。能想清楚吧，所以说这就是做题的观察能力。因此，这个题的正确答案就是f1撇儿，然后一一。然后这是一二正确答案，选几选c啊？不难吧呃，这个题其实难度系数不是说特别大，就是你发现你看起来这个题好像不像一个两分钟能做出来的题。你看起来这个题啊，好像有点难，但是你发现只要我在这个数据当中进行去设置，

我就能把一些同学给拉开。硬座的同学坐半天。对吧，会做的同学的话，很快就做完了，所以说这个题啊，它又可以变成一道，我们会涉及的一个考题。所以你要稍微注意啊，到时候我们进行做选择题的时候，你务必要注意这个事情。你要进行去求这个偏导数，在一个点处的值。你要稍微进行去观察一下，这个点值。

对吧，你在做的时候要多进行去瞅一下，这个点有的时候这个点呢，你虽然算了半天，对吧，但是最后一代咔为零。你还不如在做的过程当中稍微的进行去注意一下，那这样的话就能拉开差距，这是我们三九六同学，你在做这种问题当中的一个技巧性。当然，一会儿我们会有好多题啊，都是这样。一定重要，就是你做这个题的时候，

你要注意我带入进去的人。尤其是零呐。你零带进去的话，你比如说如果我们知道把y=0带进去，那我这一项就不算了。因为y就是零，你后面无论算什么，最后一乘就是零，能听懂吧？你稍微进行会观察，那这样的话，你的水平点会越来越好。好了，这是幺七四这个题啊，这个题啊，

还可以啊，没有想象那么难。那么，接下来我们就继续，我们再来看看今天的一道拔高题啊。这个题啊，我希望大家好好听啊，拔高题我先说一下，这个题肯定超过我们的考研难度系数。但是其中的思想已经在去年的考研真题当中体现了，你要好好听了。去年的考研真题当中，就会涉及这种问题。那么，这里面当中啊，

它给了一个事情，它给了这样的一个函数。给了一个谁呢？给了这样的一个函数。你看就这个人。那这个人的话，我眼睛一瞅，我会发现那这个人不是还是拥有两个中间变量吗？这不就是第一个中间变量吗？这不就是第二个中间变量吗？还是两个中间变量，这两个中间变量都是到s或者到y。那你这里面当中进行求解的时候，你发现你看我求解，我先求的话，

我就是我对第一个中间变量求导。好，中间变量求导是几？中间变量求导是一，比如说我偏z偏x。行吧，我先对第一个中间变量求导，中间变量求导是s，我再对第二个中间变量求导，中间变量再对s，再对s的话，你发现你这个人呢？你再对s求导的话，又是f对第一个中间变量求导，中间变量求导是一，

然后对第二，中间变量求导是零，又是这个人。诶，你发现一个问题，这里面当中就有问题了，我知道有些同学可能会说那老师我里面这个东西我就写fx 1撇儿不就行了。你注意，你做题不光要沾钱，而且还要顾后一会儿还要带纸呢。那么像以后这种题啊，统一都给我做到这种情况。全部都给我做成这种角标，做成这种中间变量的角标，一会儿过程当中做题的时候就非常简单了。

你看现在我们就做成这样了。你发现对不对啊？这不对的吧。那这个地方当中出错误的点在何处呢？其实有些同学能理解。他知道这个f1撇。它其实是x+y，然后这个fx y的缩写。这个f1撇。其实是xy的缩写，对不对？对吧，虽然都写了f1撇。但是你会发现个事儿，不要射啊，

不要跟我射，你发现你你不会做的时候，你要听对吧，你一定要听。所以说你会发现一个事儿，这两个东西啊，其实你发现这东西不一样，中间变量不一样。对吧，这两个东西的中间变量不一样。也不是前面是一个整体，后面是部分，你还是没有理解到精髓。所以说大家注意像这种题啊，就叫。

套娃的题。能理解吧哎，就叫套娃的体，因为你发现这个外层的这个f和内层的f。俩人的中间变量不一样。外面有个f，里面还来一个f啊，这种题啊，就叫套娃的题，那么像这种题的话，我们怎么进行处理呢？非常简单哎，非常简单。那么，在像这种题啊，

你就会发现怎么去处理呢？一件事情就是对中间变量的求导结果。不缩写。只要你不缩写，你就能做的贼好。那么一个方面是耐心。另外一件事情不缩写，因为我们两个的中间变量不一样，我就不要缩写了。就不缩写。所以说最后而言都转成了角标的形式，所以说像这种问题啊，我接下来又要讲一个点，你好好听这个细节啊。这个细节非常的重要。

虽然简单，但是非常的重要，你一定要把它听进去，那么在这里面当中我们来看。请问这是个二元函数，对不对？这是一个二元函数的最简单形式。那这个二元函数的最简形式，请告诉我f对x1撇儿这个人。跟f对第一个中间变量求导一样不一样。一样还是不一样？一样还是不一样？你要注意，我对这个自变量求导。它的自变量就是第一个中间变量。

这是一样的，因为你发现一个事儿，你对第一个你看你如果这个z对s进行求导的时候，你f对第一个中间变量好，我缩写是这个。我不缩写是它中间变量，求导是一，你再对第二个中间变量，求导中间变量y，求导是零啊。所以说这个结果它是一样的。你要想清楚，然后这是fy 1撇儿这个人，他就跟f第二个中间变量求导，结果是一样，

一定要会做这步转换。为什么？因为以后我们做这种题，统一都用中间变量的形式来表示，最后你一会儿就明白了。你一会儿就知道我们在这块儿的良苦用心，他说老师这好简单简单，你得会。对吧好，这是这个问题。就说如果我给了一个最简二元函数的形式。对吧，那这个时候你会发现。对s这个偏导数跟对第一个中间变量求导一样，但是同学们，

你稍微换一下就不一样了。比如说我举个例子，这是s这是sy，你觉得一样吗？你比如说这个偏z偏s这个人，他是f对第一个中间变量，中间变量对他求导是1f对第二个中间变量。中间变量还要再去导致失败，那就不一样了。所以说记住，只有它是以最简二元函数形式给你的时候。fx 1撇。跟f1撇是一样，因为你的自变量就是第一个中间变量，因为你的因这个什么这个自变量就是第二个中间变量。

你要想清楚。就说如果我这个自变量就是第一个中间变量，我这个自变量就是第二个中间变量，那fs 1撇儿跟f1撇儿是一样。那同学们进而广之。比如说我带一一的时候。跟你这个人带一的时候是不一样。我这个人带一的时候。跟你这个人带一的时候是不是一样？一样不一样，一样吧，但是你要注意一个事情，这样的话，我们就把自变量和中间变量打通了。你一会儿就知道这种东西的好处了。

所以你要清楚啊，一旦写了最简二元函数的样子的时候。最简二元函数的样子，那fx 1撇儿就跟f1撇儿fy，一撇儿就跟f2撇儿是一样，那么带着相同的这个自变量，它们是一样的。能想清楚吗？好记清楚了给我回复一。这是这个问题啊，那么接下来我带着同学们去求一道，你把这个方向写你求完就行。好了没？可以的吧？所以说对我们班的同学，

其实你发现我们三九六同学如果真的考这个题，这个题只用考一阶片倒数。只用考一阶偏导书，就是我们的考题，我不就希望把这个题啊拔高一点嘛，所以我专门在前面写了个拔高题，原本出的时候其实就可以出到一阶偏导书。因为我们考这种题，顶多考了一阶偏导书就可以了。来先读题。它说这个函数。我先把这个条件先给你拉出来。你先别给我看别的，你就给我看这件事情。他说，

这个人具有二阶连续偏导数，那一阶偏导数肯定是有。一阶偏导，数肯定有。他说这个人你告诉我一件事儿，这东西跟f sy一样不一样。一样不样一样啊，那不就说明你这个人是这个点的极值吗？取其值且可导，那导函数不就等于零吗？那所以说这个题目当中其实就得到了x这个偏导数，在一处等于零。y这个偏导数在一一处等于零，这是最简二元函数的样子的时候，它跟第一个中间变量一一是一样。

它跟第二个中间变量一是一样，同学们能听得懂吗？取极值且可导，导数为零，这是一个二元函数的极值问题。能理解吧，能取极值的人，要不然是偏导数不存在的点，要不然就是偏导数v0的点好了，那么这个时候你来把这个信息点。你给我写上去。这个题告诉了第一个信息f1是二。第二个信息x1撇一跟f1撇一，这俩东西都是一样的。它是0 fy撇一。

跟f2撇儿一。它是一样的，你要想清楚，它一定是在这种情况下，它才是一样。你要换到这个函数的时候还一样吗？那就不一样了。能想清楚吧，因为它给的就是一个最简函数，所以说他说这个人是这个函数的极值，哎，那我就可以写出来了。只要你是最简的二元函数的形式，我就可以写了，好，

那么接下来我们来看看这道考题。来做一下吧，我们来看看这个题，耐心一点，我这个题讲慢一点，你慢慢写，其实你看的时候还不如你自己写一遍好，我们来试一下。偏z，偏s。那就是这个人进行求导，我们先对第一个中间变量求导来f，对第一个中间变量求导，不要缩写。把这个人写出来。

第一个中间变量，再对s求导是一啊，不管了。再对第二个中间变量求导来，不要缩写，然后这是fx y。能理解吧，然后这个中间变量再对谁呢？你再对s。这个函数在对s求导的时候，最简的二元函数的样子吧，那你发现一个事儿，你就直接写呗，其实就是对第一个中间变量求导。很多说那老师我写x你会代值不好代啊。

你要注意这个问题啊，你既要瞻前又要顾后，不要混。其实啊，我们的考研做到这儿就行了。你就说实话，我们今年如果考研真题出题啊，它出到这儿就了不得了。就顶多出到一个一阶一阶就可以了。然后接下来你就带纸呗，然后的话，这里面当中，如果今年考题，它出一个一一。然后我们带f1撇儿，

这是2f一多少？这是二，然后再加上这是f2撇儿，这是几这是二，然后这是二。然后这是1f一撇一这是零，所以说这题的正确答案就是这个人。所以你也想我们能出到这儿就可以了。那因此这个题的正确答案就是这样，我就想拔高一点嘛，我看看同学们的耐心强化班嘛，因为有点强化班的样子好。好了，我们耐心一点，看这个人来走了。

偏z这个人，然后再进行去偏谁偏y，我希望你耐心一点。然后我们先来看看这个里面当中的第一个人。这个人那这个人要对第一个中间变量求导，就是f1对第一个中间变量求导不？不要缩写好了，这是中间变量求导的结果。然后这个中间变量再对y呢求导是一。然后是f1这个人对第二个中间变量求导的结果，不要缩写，不要缩写，然后这个中间变量再对y呢？那这个是最简的二元函数的样子，其实只需要对第二个中间变量求导就行好了，

同学们听明白了给我回复一。耐心再耐心，多耐心一点，你就出来了。好了，然后接下来我们就来继续看，我再换一个颜色好了，这个人求完了吧？好，你就变成黑色吧，然后接下来我们再来看看这一块。那这一块儿我们就是乘法求导，后面先求那后面求导是多少呢？那后面求导的话，你发现再对y。

再对第二个中间变量，你f1对第一个中间变量求导呢s求导是零，只有对第二个中间变量求导。那这个东西啊，不缩写，然后这个人求导y在求导是一，然后后面求导完了之后，前面这人不导。好，这是fx y。求出这个人，然后再加上最后一个人f1撇儿这个人。它不缩写啊，这个不求导，然后就是前面这个零求导，

我们继续变成黑色。然后接下来就是你要进行求导。能听懂吗？所以说耐心一点，它肯定是超过了我们的考研难度系数，这是一定的，但是你要注意啊，磨磨自己的性子。你这种题都会做了，你怎么样都会出，那我们再来看，那就是f2对第一个中间变量求导，然后这东西啊。不要缩写。对吧，

不要缩写。然后再加上什么东西呢？好，再加上那么再加上什么情况，再加上f2对第二个中间变量求导，然后这是x+y。fx y.然后后面这个东西再对什么再对y求呢，就是第二个人。好了，这个事情其实吧。如果你是稍微长点儿记性的同学，我觉得这个部分你都不会求了。其实这个题没有增加多少难度系数，如果你是稍微长一点儿记性的同学，

这个人都不会求了。为什么一会儿你要把一一带进去，一一带进去，这个前面是零，所以说你要会做题。能听懂吧，所以说最后而言，我们就把它带进去，偏z偏s偏y。然后这个人把一带进去。一代的话，你发现这里面当中的这几项马上出来淋巴。然后这个f二一是零八，所以说这个时候只有第一项，第一项是幺幺这个人。

然后一+1，这是2f一，这个人呢？题目说了是二，所以这是二。然后再加上多少呢？再加上f一二这个片儿片儿，你发现这是一。然后这是f2片儿，这是二，然后这是二好了，这个结果立即做成这样了。能跟上吗？所以说这个题的正确答案呢，它就是这个人f1撇二二f一二。

啊，这个是一撇2f一二f二答案选c。好，这个人能学清楚吗？其实啊，你能把这个思路跟上就行，其实同学们注意像这种套娃的题，只需要掌握住两个事情。第一个事情你要注意，你要会把这个对自变量求导这个人。哦，嗨，亏大发了。好，你听懂了就行了。

所以说这里面当中啊，你一定要听清楚。就是两件事情，第一件事情不缩写。然后第二件事情，你要会把自变量这个求导转到中间变量，因为我们非常喜欢中间变量。对吧，我们很喜欢中级微量，把这个事儿想清楚就行，可以了吧啊，一会儿我们来看看这个去年的考研真题。所以说像这个问题啊，套娃的题啊，也不是说特别难啊。

你要如果看到外面是f，里面是f，你就不缩写就行呗。来再来看一个题，我下面这个题啊，也有点难。看一下这个题吧。但是这个题啊。我觉得非常有可能考给今年的题。你不要小看这个题，它是非常有可能的。那么，首先我们先转一下，你看这个题一看外面是f，里面是f，

马上回答套娃的题。那偷娃的题的话，你发现这个题非常好，这简直是模拟题中的模拟题啊。我再来说一遍，你看这是套娃的题。然后这个函数在这点可为f1是它，你告诉我这是不是最简的二元函数的样子？最简的二元函数的样子，你对x1撇儿把它给我转成中间变量，是不是幺等于二？然后这是多少幺幺的话，这个对第二个中间变量，然后这是幺幺这个人等于几幺幺等于三。能理解吧，

好了，这件事情听明白，你先给我回复一。如果你是最简的二元函数的样子。那这个时候你对s偏导数跟对第一个中间变量，你对y求导跟对第二中间变量求导是一样，你要会做这个人转变。所以他给的什么，你要快把它转过去，转过去了之后我们来看看下面这个人。他让我们去求解这个什么，他让我们去求解这个三次方的导函数。你怎么做骗子题？啊，骗子题。

其实就是求解这人导函数。因为你发现一个事儿，你不知道求解这个人三次方吗？三次方不就是个中间变量吗？你先对这个中间变量求导，不就是三倍的这个人的平方吗？然后这个人再求导一下，不就出来了吗？所以你看这个题会做同学非常快，一两分钟就出来。不会做的同学的话，你发现又被骗了。那这里面当中，我们就来看看这个事。你先做，

不要缩写f对第一个中间变量求导，这是x，然后是fx x。然后再加上什么你再加上对第二个中间变量。好，我们再加上再加上什么东西呢？再加上这个对第二个中间变量。对第二个中间变量，这是xfxx。好注意，里面还要再求导。里面这个人再求导怎么做呢？统一转成中间变量f对第一个中间变量求导，中间变量求导是一。f对第二个中间变量求导，

中间变量求导又是一。管他呢。你做到谁看谁呗。你做到这个人的话，你就只看这个人。你做到这个人就看这个人，所以说这个结果我们就算完了。所以说最后一件事情，我们来代入这个一。把这个一带进去的话，就是翻译。三倍的这个phi 1 phi 1是多少呢？phi 1就等于f1。f1是几f1是一，所以说这是1f一又是一，

你看这题出的真好。对吧，你能理解这个意思吧，所以说这个点的话，你发现它就是一的平方。然后继续看，然后这个人的话是多少f1撇，这是多少，这是1f一又是一。然后这是f2撇，这是1f一，又是一，然后这里面当中呢，是f1撇，这是一，

这是1f二撇，这是角一，这是一。你看全部转成中介变量，所以说这个前面是三。f1撇儿要转到之后是二，然后这一转这是三，然后这里面当中是二，加上三。好，这个结果因此这个人的话是三五一十五十七十七的话，这个一乘这是51答案选一。好了，这是这个问题。所以这种东西啊，

没有一点灵活性啊，不不不，灵活不灵活。你这东西的话就是硬着，刚他们我要对第一个中间变量求导，中间变量再求导，我对第二中间变量求导，中间变量再求，我要求我就刚他呗。只要你知道不缩写就行，你稳稳当当写下去，但是大家注意，你现在告诉我件事儿，这里面当中的这个第一步，这个东西重要还是不重要？

它太重要了。重要吗？它非常重要，你转不出来，中间变量，你后面求导就非常麻烦了。所以大家注意一个事情，你要听好了。一个fx y。跟一个x+yx^2，加上y方。同学们，你一定要听清楚一个事儿。这个人的地位和这个人的地位是一样。这个人的地位和这个人的地位是一样。

他们两者之间进行沟通啊。应该是你等于一跟他等于一是一样，你等于二跟他等于二是一样，所以同学们注意。他们两者之间想进行去交流。对吧，我们之间想进行去交流，你不能用xy进行交流。你得用什么交流？你得用这一坨进行交流，你这个整体等于一我这个整体等于一你这个整体等于二我这个整体等于二。所以他们只能用什么进行交流，他们只能用中间变量进行交流。听得懂吧，他们只能通过中间变量交流，

他没办法用自变量交流，因为你自变量跟我自变量不一样。没法交流，我们要想交流，我们只能通过中间变量去交流。所以这一点当中的第一步，把它转到中间变量的时候，是非常非常关键的。我现在不用多说了吧。刚才有些同学可可能会觉得说啊，这东西这么简单，你还要讲，你看非常重要，不然你带纸你都带不进去。幺七六这个题标成重点题。

好了，这是这个事情，那么这样吧，我们来看看去年的真题。来看看这个。那看完这个题啊，你就知道了，我们刚才那个题有没有可能出的这种可能性了啊？那么，这里面当中啊，你发现有几个中间变量，一个中间变量？两个中间变量。我这个人优，要不这样吧，

我们休息会儿吧。课间休息会儿，你把这个题做出来啊。我先不讲。赶紧截个图。赶紧截个图噢。好了没？这样吧，放在这上面。好，下课休息过程当中，把这些做了。行吧，下课休息过程当中，我们做一下这个题。

可以吧好，我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续啊。

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