17.冲刺满分强化篇·题型32-33精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 4 天前

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速黄金没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六的这个强化班部分部分的课程呃，那么今天晚上我们讲一次课程。然后明天晚上讲一次课程，两次课程呢，我们刚好把这个高等数学所有部分内容我们给结束掉好了，那么接下来我们就正式开始吧。

呃，这个至于上次过程当中的核心知识点呢，我们就不复习了，对吧？里面当中一些知识点，尤其是我们讲的这个定积分应用当中，比如说求面积的公式的问题。求这个旋转梯体积公式问题，求这个弧长公式问题，把这个公式要记清楚，把公式记清楚了之后啊，然后再来进行去用公式会做计算，那这个问题点就行了。好了，那么接下来我们就继续开始吧，

我们再来看看下一个问题点啊。我们来看看23这个题型啊。呃，那么在这里面当中啊，我们其实每年过程当中一定会出题的，这个点那么其实在我们的多元函数微分学当中啊，我们的核心重点应该有四个板块内容。那么这样吧，我们来把这个考点的东西啊，我们先跟同学们去梳理一下，那梳理完了之后啊，然后我们再来看看这个第一个核心题型。好，我们来看看这里面当中啊，这一章叫做考点部分当中是多元函数。

v分区。那么，在这个多元函数微分学当中，核心重点部分的内容其实就是以下几个核心板块的东西。呃，我上次不是说了吗？我说这个板块的东西难度系数不是说特别大啊，你基本上这个问题点两次过程当中，我们就差不多了。好了，我们先来看看这个第一个问题，那其实就是啊，有些同学的痛点，而且啊，也是我们每年必考的问题，

就是二元函数。连续性。可导性。可微信。判定问题对吧？这个点那这个点呢？基本上是我们三九六的同学，每年必出一道。有的时候会出两道，那所以你发现这个东西啊，简直就是必考点你今年过程当中，你都知道它一定会出题的。你要学这个问题，之前呢？你先把这个二重极限学好。

嗯，所以这个部分的问题啊，其实学到今天呢，难度系数真不是说想象那么大，但是每年一定会出题。你像去年考完真题当中考了两道对吧？前年过程当中考了一道，所以每年过程当中一定会出题的，你要注意一下这个事。然后再来看看第二个问题，那就是偏导数的计算问题。那偏导数计算呢？其实我们在这章的核心重点，那有的时候出一道，有的时候出两道，

那一般情况下是这样。像复合函数，偏导数计算。对吧，这种情况会出当然，其实你发现我们的考题过程当中也可能会出这种叫做一般的。简单。多元。多元函数，偏导数计算。那么，这个东西的话，你发现它的特点是什么呢？它的特点就是简单。就是举个例子啊，

比如说我给了一个二元函数，我给了一个三元函数，然后这里面当中我让你去求导，你像这种问题难度系数一点都不大。这个估计是很多同学最喜欢做的了，对某个自变量求导，然后把别的这个自变量看成常数。对吧，这个类型的题，然后接下来我们再来看看复合函数，偏导数计算这个内容基本上是必考内容。要注意啊，必考内容，而且去年已经到了，非常狠的一个状态了。

考了那种套娃的情况。什么叫套娃呢？外面有个f，里面还有个f，像这种套娃型的题好了，到时候我们这个强化班过程当中，我们会重点说。然后的话就是二元隐函数。偏导数对吧？偏导数计算那这个部分问题啊，也基本上是必考内容。所以我们在这章过程当中，这块有可能出题，对吧？这是一定会出题，

这块一定会出题，这块一定会出题，然后紧接着我们其实是第三个板块。我们先讲第四个板块儿。其实叫多元函数。极值或最值问题。对吧，那这里面当中必出题的点呢？那肯定是二元函数无条件的机制问题。对吧，这个机制问题，这个东西啊，基本上是必考。就是给了一个二元函数，然后这里面到时候让我们去算啊，

对吧？就是那个ABC判别法的问题，但是我们它上的强化班还是稍微注意一下。那如果这个ABC判别法失效了之后，用定义法怎么去判定你这件事情？强化班要稍微注意一下，然后第二个事情什么有条件的？最值问题还有第三个事情B区域。最值问题啊，这两个东西啊，你稍微注意一下就行了，那么核心重点当然还是在这儿，这是必考点，那么其实这里面当中还有一个偏导数。然后是权微分。

的反问题啊，这个东西啊，没有考过。从来没有出过题，所以我们一般情况下，这个每年必会出题的点你你去看看这几个事情，一个是这个人，他一定会出题。你像这两个人一定会出题，你像这个部分一定会出题。所以一般情况下，我们在这章能考到八分到十分。对吧，八分到十分，那么考到12分也是有可能性的，

这是一张大张多元函数的微分学，所以希望大家的话。呃，把这个部分呢？你好好进行去处理一下，你要知道哪些部分是核心重点，那么这几个问题啊，都是非常重要。那这里面当中，我先提前说一下。你在这章的时候啊，这个第一个部分内容，它靠功力。对吧，就看看你的这个基本水平怎么样，

那会做就是会做，那不会做就是不会做，你像这个问题，你要实在是判不出来，那真判不出来。给了一个二重极限，你真不会做，那是真不会做，但是你要注意啊，这个部分的内容你一定要注意，你要敢酸。是吧，你要喜欢酸。那么，基础班的时候我就讲过这个事，

我说大家一定要。呃，磨磨性子要喜欢这个东西的计算，有的时候这个部分的运算量不是特别小，对吧？有的时候做大运算量的题，你一定要喜欢酸。把那些东西啊，我基础班出的这个运算量都还挺大的，磨磨性子，反正这个东西就是稳稳当当把它算下去就行啊。啊，这个东西倒很简单了。好了，这个问题啊，

我们就说到这儿，所以说在多元函数微分学这一章，你要注意，这章是大章八到十分呐。还是非常划算的一张。像我们总共就考了这个70分，那这70分的话，这一章下来过程当中这几个核心考点，你明知道它会出题，一定要把它拿下来。好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们先来看看第一个问题，第一个问题是痛点啊，所以你要好好学。

你像去年其实已经提了醒了，它出的不是说特别简单。那么，首先我们先来看看第一个问题点。这个内容一定要拿下来。那么，我们要进行学习，连续性要学习，可偏导性要学习，可维性。但是这种当中，你要想学好这个内容的基础是什么？你要学好这个东西的基础，当然是二重极限了。你要把这个东西先拿下来。

这个东西拿不下来，有些部分就不好做了。所以我们在强化讲义当中，我出的这几个题啊，难度系数都比较大。有的时候一个题啊，你可以当成两个题来做都可以，但是你也不要小看这两年的考题，一会我们会把这个二二年还有二三年。那几道真题啊，我们全部给你讲了。可以吧，都给你做了，你去感受一下这个去年的考研数学的当中的一个状态。好，

我们先来看第一个事情，二重起先我们先来看形式。那这个二重极限什么意思？它是这个意思？就说它是个二元函数，那一个二元函数的定义域应该是个平面吧？二元函数的定义域是个平面，那么这里面当中给了一个点假设，这是s0，然后这东西是个wedding，我在这里面当中给了一个点。那么，请同学们告诉我，如果往这儿跑，有多少种跑法呢？

它其实就说当什么情况，当我这个xy。趋向了这个点的时候。我这个机器。对吧，这样写当然的话，你发现有的时候我们在书籍当中啊，也喜欢这样写，就sss领跑y往y领跑。好了，这是个二重机器。那同学们想想你感受一下，他说的是这样的一个事情，他说xy趋向了这个点。sy趋向了这个点。

哎，那你想想一个事情，你在乎的是什么？你在乎的是不是一个结果呀？sy趋向了这个点，我不就在乎结果吗？你只要跑到这个点就行了，你是不是可以这样跑到这个点？你可以沿着这条线跑到这个点，你也可以沿着这条线，你可以沿着这条线，你也可以沿着什么曲线。你也可以沿着曲线，你也可以沿着直线，你也可以沿着曲线。

能理解吧，它有无数多条趋向状态。它有无数多种趋向显示，这是你务必要了解的。能理解吗？好了，这就是二重极限，所以说这里面当中的第一件事情，你一定要听清楚，只要你在这里面当中见到了二重极限。你就相当于见到了无数多条曲线。这是要注意的无数多条趋向，那这个趋向它可以是以直线趋向，也可以是以曲线趋向，那这种趋向形式就太多了。

它无论是直线，曲线，都是有可能性的，那么这种当中我问一个问题啊。你sy趋向了这个点，请问s能为s0吗？能不能你听好了sy趋向的这个点s趋向s0y趋向y0，请告诉我s能为这个点吗？能不能你好好想你，想清楚了再说话，能不能？可以的啊，可以的。人家这个地方当中，你看如果x=0，

不就是y趋向吗？那你想想，你看这条线。好同学们，你来看这条绿色线，绿色线不就是s=s零吗？它是可以的，不不别胡扯，跟连续没有关系。是吧，这是可以的，那你告诉我y能等于y0吗？可以啊，你看这条线y不就等于y0吗？这条线y不就等于y0吗？

大家注意xy趋向这个点的意思是xy不能同时为零。注意啊，不能同时为零。当然可以，有一个点是这样情况，不能同时为零，这个同学又想差了，先代后求是偏导数问题，我在求极限呢。那偏导数不等于极限偏导数是一重极限，不要乱来哦，它的意思就是sy不同时为零。你要想清楚啊，就说你s不能说s0 yu=y零，你不能同时你一个人等一个人不等，

那是可以的。好了，这是第一个情况，能听懂吧？所以见到二重极限，就相当于见到了无数多条曲线。而同学们都知道，每一条趋向都是一个几重几减。你想想，比如说我在这里面当中规定了一条取向。比如说啊，我来规定了这条需求。好吧，我如果规定了这条趋向，那这个时候y跟s之间是不是有关系了？

有关系你就可以把这个y换成s了，就变成了一重机器。所以每一个趋向都是一重极限，要想清楚。见到二重极限，相当于见到了无数多条曲线，而每一条曲线都是个一重极限，那么在这种当中啊，我们有一个非常重要的经验。利用二重极限去求一重极限的重要经验。大家来听一下，我把这个事情我给你讲讲。我们其实我们的考研呢，你其实都知道我们非常爱考什么，就考这种情况s趋向0y趋向零这种情况。

我们就爱考这个人，那爱考这个人的话，你发现比如说我这里面当中给了一个函数。假设啊呃，这个函数它的结果等于70。好吧，它的结果是70，那这个结果是70的话，那么接下来同学们告诉我它是个什么意思啊？它的意思是这个意思。就是无数多条往这儿跑的这条线。你见到二重极限，就相当于见到无数多条曲线了，每一条往这个点跑的线，它的极限结果都是70。

能听懂吧哎，就说你每一条往这跑的线，它极限都是70，比如说你沿这条线往它跑呢。沿这条线这条线的方程是什么？这条线的方程是y=0。所以说第一件事情，你当什么东西呢？y=0的时候，你能不能把它带进去啊？当然可以带进去，就是这条趋向的话，你的y都是零，那这个极限肯定是70。然后同学们，

我们再来看，请问这条去向呢？那这条趋向的话，它的极限也是70，这条趋向的方程是多少？这条趋向的方程是x=0。那s=0的话，这个人的话其实就变成了y趋向零，然后这是零，这是一个什么，这是个y。等于70。好了，这个情况那么同学们在想哎，那这里面当中我还有这条取向，

比如说我沿这个人。那这个趋向的话，其实就是y=s。那这里面当中能不能把这个人带进去呢？y=s当然可以啊y=s的话，你发现也是一个趋向于这个点的趋向。对吧y大S能趋向这个点呢，所以说这个时候你只要s趋向零，然后这里面当中的什么，这是x就等于YY就等于s。这也是70，那这个二重极限是不是70啊？那么同理而言，你发现你看这条线。这条线是y=x^2，

那这条线呢？是x=y^2。是吧，他都往这跑，所以说这里面当中的y=x^2的时候，你能不能带进去啊？你也可以带进去，那这人不就是x这个人y方等于70？然后这里面当中当什么情况，当x=y^2的时候能不能带进去也可以带进去，那这时候就变成了y趋向零，你把这里面当中x换成y方。这个极限也是70。能理解吧，也就说我们一定能达到70，

无论沿着哪条方向线走，我们都会达到70。这就像我们今年的备考，我们最终都能取到这个70分。对吧，这个数学成绩一定能取到这个人，无论在现在过程当中，你是怎么走的，你最后的话，这个极限结果一定都是70。能理解吧，就是这个意思，那所以说这里面当中啊，我们就讲到这个点。如果这个二重极限的结果是70。

二重极限的结果是这个人，那这里面当中我们就知道了一个事情。只要你这个趋向。只要你这个xy的关系满足了，趋向于这个点的结果，它就可以把它带进去。能听懂吧，所以你要听清楚啊，你看我这是个二重极限，我只要我的xy满足了趋向这个点的结果，我就能把它带进去。你这件事情一定要想清楚哦，就是二重极限这个问题对吧？这个二重极限我们怎么办？我只要这个xy你看y=0满满足满足x=0满足吗？

s=y满足这个人都满足，只要满足了，它能趋向这个点，它的结果就可以代进去。你看这样一代，它不就变成了一重机械，一会要用到啊，你要稍微注意，这是可以要用的。所以一定要想清楚这个问题来继续，我们再来看下一个问题如何证明二重极限不存在。那么，怎么进行去证明呢？你今天能把我们这一波内容消化到位啊？我觉得今年怎么考都没有什么问题，

好好来啊。怎么进行去证明这个二重极限不存在呢？我们刚才讲过，如果这个二重极限存在是每一个方向，它的极限都存在。而且相等，那么在这里面当中的第一种方法有预习吧，这不叫预习了，这叫复习，对吧？我们就怎么办？找一条曲向线。对吧，第一条取消。它是什么？

不存在。找到一条去向，不存在那这人就不存在那，这是一种非常好的手法，所以说这里面当中啊，其实就是能力。你光谈方法，谁都会，但是具体做题的时候，你发现很多同学想不到。那这里面当中，我们通常找趋向会怎么找呢？往往会找这些人。比如说啊，你会找一次函数。

对吧，一次函数。比如说二次函数。比如说is=ky^2。等等，这些人。这都是可以找的，你不光考虑找一次函数，你可以找二次函数，你可以找三次函数，都是可以找的，你不光可以找y=ks^2，你可以找s=ky^2。好，这种情况，

然后接下来我们再来看方法二那怎么办呢？我们还可以这样做，找到两条趋向。不相等，那这种情况也是我们经常找的。那么我可以找两条诶，我找到这一条，它等于多少？我找到那一条，它就等于多少找到两条方向的话，它趋向不相等，那这个东西啊。它也是不存在，这是我们的常规方法，但是你发现难就难在谁呢？

难就难在你怎么找呢？所以说这件事情你得进行去尝试。有些同学就在那儿愣着一个神儿啊，然后就在那看你用眼神怎么看，时间都会过去的。那所以这里面当中啊，你一定要进行尝试试一试，对吧？把一些人往里面带带着进行去看看，那没有办法，你只能去试。比如说那老师那那个同学，比如说做对了，他怎么做出来，他也是尝试的。

他不能说一眼飘过去哦，他是多少你进行尝试对吧？你稍微进去去看一看这个人到底什么情况？好了，这是我们讲的这个第二个人。然后把这个东西讲完之后，我们再来看看第三个事情，那怎么去求解呢？我们这里面当中的方法比较多一点。你像原来基础班的时候，我们讲还定型，那基本上很少会考未定式。所以这里面当中能够进行延续的，比如说等价无穷，小的代换了。

对吧，这个东西还可以。啊，方法一。然后第二种呢，那就是转化。代换代换为一重机器。就直接把里面当中啊，全部进行带宽，然后方法三那这里面当中比较重要的就是无穷小。常有间。对吧，有界变量等于无穷小。这里面当中啊，比较重要的是第三种。

那么，其中在考研过程当中，非常喜欢用的也是第三种，你看这两年的考题，这两年考题的话，基本上都是我们稳稳当当的控制范围内。就是你学会了之后，眼神漂他一眼，你就知道这个结果是多少。非常非常简单的问题，所以像这些点呢，是我们考研中的重点。那么，在这里当中，我们来细致的总结一下。

好了，你好好听啊，我们都总结到这儿，我们来看看破题策略。那么，在这里面当中，我们细致的进行去分享，因为我们的考研过程当中，基本上而言都是无穷小比无穷小的问题。这种问题其实才是我们的重点，把这种问题点拿下来，那问题点就不大了。所以像这种无穷小比无穷小的问题。那么，首先我们在这种当中，

我要讲一个事情。你不是要找趋向吗？你要听那一个二重极限，它其实是没有阶的概念的。对吧，没有接的概念。只有你去取一次函数，那变成一重极限才能看见。能听懂吧？但是这个东西我们至少还有点欣欣喜的东西，我们原来基础班写了一个还是比较对吧？那个那个话你还记得吧？啊，基础班讲过来，我们来看看几个人。

比如说那这里面当中，这是limits趋向零，然后这是y趋向零。然后这里面当中，我们来看一个事情。比如说这是x四次方加上y的四次方。然后这是x乘上y方。我看你水平怎么样？对吧，我看看大家的水平怎么样？那么这个题啊，你发现它得到的是三阶比四阶。但是同学们注意。一个二重极限有接的概念吗？你能说同阶之比是存在吗？

你能说高阶比低阶是零吗？你能说低阶比高阶是无穷大吗？低阶比高阶是无穷大能说。其实它没有界的概念。所以说这里面当中，但是我们有一件对吧？这只是我们选的一个方向。当我进行去取什么，你看我如果做这个题，我会这样看。我这是三阶比四阶，我可不知道是多少。你3000比4000，我哪知道多少哎，但是你一旦进行去取取什么东西呢？

取一次函数。因为你这个东西的话，你发现个事儿。你你在搞笑吗？你是个强化班同学。现在彻彻底的疯了，对吧？啊，好了，那么接下来我们就继续啊。你学到了今天呐。哎呀，这个这这这可真是的。那么，在这里面当中往这儿跑。

你看这是一个三阶比四阶。那三阶比四阶的话，你可不能说这是无穷大。但是当我去取什么东西呢？取一次函数趋向零零的时候。那这个一次函数的话，趋向多不多？太多了，太多了。那这个时候的话，你发现就做成这样，那一旦做成这样了，之后的话，你发现你只要x趋向0y就趋向零，那这是k倍的s三次方。

是s四次方，你再加上k的四次方s四次方，同学们想想那这个结果是多少？那这个结果是不是无穷大呀？能听懂吧，当然的话，你这个k得不为零。对吧，你可以不规定，或者你这样你就直接看。我就取一个这个一次函数，我当我取一次函数的时候，你就会发现一个事儿，这个东西是不是还是三阶比四阶啊？能理解吧，

无穷，但是有一个方向不存在，那这个东西不就是不存在吗？你看我是不是做完了？所以同学们一定要听清楚这个事情，你发现看。二重极限是没有阶的概念的。你要是个三阶比四阶，你可不能说不存在。但是当我取一次函数的时候。一次函数的话，它不会变阶。你比如说原来是三阶比四阶，我去取一次函数，它变成了一重机械，

它还是三阶比四阶。哦，它三阶比四阶是无穷大。那这个时候你发现这个东西是无穷大，对吧？那它就是无穷大。能听懂我的意思吗？一定要注意这个事儿，把它想清楚。好了，那么这个点呢，我们就讲到这，所以说这种当中你按照什么情况，你按照这个去向的时候，它是这个情况。

就说你只要找到一个方向，它不存在，它就不存在。好了，能想清楚哦不？你不用对不起啊，我我还是这个意思，我上课我只谈你那个事儿，不针对你这个人。能理解吧，你不用道歉，因为我们觉得去探讨一个问题，探讨一个学术上的一个内容的时候的话，我觉得这个点呢，大家的话你就尽可能你自己会就会，

不会就不会啊。好了，这是这个问题，来，我们继续再往下走，可以了吧？来，再往下来。那么，这是这个情况？所以你在操作的过程当中，你就想清楚了。诶，那么接下来我们比如说我们再来看一个事情，比如说来看看例二这个人。

那假设这是limits趋向零，然后y趋向零。然后这时xy。三次方比上x三次方加上y的三次方好，我们来看看这个人。那这个人的话，你发现怎么去处理呢？来再来看这个人。好，我们继续，我们看这个。那看这个人的话，你就会发现个事儿，什么情况呢？你这个人的话，

我一看是这个是。二阶那么这里面当中啊，我们稍微进行看看。我一看是个什么情况呢？你就会发现注意啊，刚才那个东西可不一定是零啊，我说改成这个对吧？三次方那个东西可不一定。因为你这个东西不一定能放缩出来啊，一会我们再看。那么，这个地方当中，我们再来看诶，这是个三阶比三阶。那按照一冲极限的时候，

三阶比三阶是什么？一重极限三阶比三阶是存在。但是在这里面当中呢，你发现一个事。当我去取一次函数去向的时候。你还是一个三阶比三阶。你还是个三阶比三阶的话，那这个人的话，他就可以存在了，那这是k倍的s三次方。I三次方，然后是k的三次方，三次方，它就等于这个人。没问题吧？

好就做成这样，但是这个结果跟斜率有关的。如果你按照第一个斜率k1，这个斜率抛过去。你按照k2这个斜率跑过去，它的结果肯定不一样。对吧，结果肯定不一样。所以你按照k1k2这种斜率啊，你跑过去你肯定不一样。那你发现你跟k有关呢，找到两个方向不相等，那肯定不存在。记住这个经验，同阶之比是不存在。

在一重极限当中，同阶之比是存在。但是在二重极限当中，你同阶之比呢？我可以去取ks，你都会存在，但是这个结果肯定会跟k有关。所以说这里面当中啊，我们就会得到这个结果。能理解吧好，这是这个事儿，那么接下来我们再来看看下一个问题，比如说我们来看看例三这个人。好，继续来走。

比如说s趋向0y，趋向零把这些东西一定要学会的好，我们继续看。那比如说这里面当中是。x的三次方加上一个什么y的，这个什么六次方？然后这里面当中是x倍的。y的三次方。可以吧，来看这个人二次方吧。比如看这个人。那么，这个结果的话，我们先来看看。你发现这个题其实很好做。

我眼睛一瞅的话，你会发现，比如说这个人改改高一点吧，比如说这是x四次方再乘上y的平方改成这个吧不是。不然太简单了。那么这个题我们稍微看看。你发现。这个人是几级啊？这是个六节。然后这个人是几节六节，但这是个三节。那怎么办呢？我稍微进行看看。那如果这里面当中，我进行去取。

你发现啊，你看你这个人是六次。你这个人是几啊？你这个人是六次，但同学们都知道，根据一个什么合取第一阶原则。如果这个人是三阶，这人是六阶，何许d阶应该看这个人？对吧，应该看这个人那六比三将会是零。你能听得懂我的意思吗？你应该理解啊。那现在是这种结，我们只能得到一个形状。

你可不能说这个极限结果是多少，因为二重极限没有极限。因为我想进行去大致看看，因为我们先先看一次函数嘛，一次函数是什么？如果我怎么办呢？我去取y=ks的时候。取这个方向的时候。它会是个什么情况呢？那这个时候就是s趋向零，然后这是k方x六次方x三次方是k的六次方x几次方？六次方那你想想。那么下面这东西变成了一重极限，还是这个阶就是二重极限，没有阶的概念，

它只能通过什么情况，我只能看一重。一次函数趋向的时候，变成一重极限，哎，它变成这个人，那这人是减零。但是有一个问题，你能说所有情况都是零吗？对吧，你这个情况能说所有情况都是零吗？那这件事情我可不好说。那么，在这里面当中，我们再来看看你，

只能说一次函数是零。那还有没有别的情况？这个题我没出好。这题叫我想想啊。这应该改一下啊。没出好嗯。叫我想想啊。六，它的多少次方？嗯，二倍的多少？加上它等于六。然后它还要等于零。那这里面当中的话。嗯，

你让我让我想想啊。是二倍的多少？加上它等于六。这个人的话。是依次。它会升高。就刚才这个做法啊。好了，这里面当中啊，我们就继续，我们再来看。所以说这个点的话，你发现我就取得这个方向，它等于零。那这个方向等于零，

你能说所有方向都是零吗？那么，现在我们再来看看还有没有别的情况了？那这一类目当中的话，如果你再进行去找的时候，你比如这是个六字。呃，或者这样对吧？我就直接除这是y的六次方吧，改成这个人的改成这个人这个题就是个好题了。你像刚才那个点的话，其实就不好出了。好了，所以说我们上面这个东西啊，我们就改啊，

你改成这个题，你要注意啊，我们先把方法练会，你能理解我的意思。如果这个人的话，变成这个样子。k的六次方x六次方，那这里是零。哎，你要注意啊，我我出的这个题就是为了把这个方法练会，你要理解清楚。你找到一次函数等于零。对吧，因为你这个人是这个六节，

这是六节，这三节那这个人是零，你能说所有情况都是零吗？哎，不行。那么，接下来我们再来看看你还有没有别的情况？如果我给这个人取这个人。它是不是也可以趋向零零？如果你这样一取的时候的话，你发现你这个人的话y趋向零，然后这是y的六次方y的六次方y的六次方。它就等于二分之一了。哦，这种情况我们就知道找了两条不同的方向，

它是不相等的，那所以说这个人怎么办？不存在。能理解吧，所以说通常做这种题啊，我会这样做。我先看一下这个节。我先用一次函数去试一下。一次函数试出来一个结果。然后再看看还有没有别的情况，你能听得懂我的意思吗？就是做这种题的方向都是这样。我们先定一下解，先用一次函数去试一下，我一试诶，

跟k有关，那这个东西啊，它就不存在。唯世不存在哦，不存在。唯世是存在不好说。再看看还有没有别的方向，所以像这种题你一定要有套路，因为有些同学拿到这种题，他根本不知道怎么做。就是你先试试说试一下，拿到这个题你先看看。我先拿出一个一次函数去向，我先试一试。你要是处不存在，

那就不存在，你是处不相等，你也不存在，你是处存在，我再来瞅一瞅。好了，这是这种问题，所以说在这种当中啊，你可以进行去取一些特殊的去向。那这种特殊去向，它不仅仅是一次函数去向，它这里面当中还有二次函数去向x=y^2。y=3次，方等等一系列的，这种一系列的问题的取向。

能听懂吧，比如说kiss法。所以一定要稍微进行去注意一下你，比如说我们再来看个题。李四，那么这是limits趋向零，然后这是这个人。那这个部分的话，就是x方加上y方的这个人的平方比上xy。我原来基础班好像讲过这个题，但是今天我们深化一点。来再看看这个纸。那么，这个人的话，我一看是四阶比二阶。

你可不能说是零，你只能说什么，你只能说取一次函数的时候，它还是四阶比二阶。对吧，你就是取多少呢？你取这个人的时候。你娶这个人的时候的话，他确实怎么办？他还是个四阶比二阶，因为这是s方，然后加上k方多少？x方它的平方，然后这是k倍的x方。那么这个时候变成了一个起重，

它就变成了一个一重极限。变成一重极限，可以做了一重极限的时候。一，加k方。然后这是平方，这是四次方。然后等于零，这只是试了一下。就说我试了一下哦，一次函数去向你确实是零。但是你能说这个极限结果是零吗？它可不行。那我得稍微再看看。那再看看的话，

你发现你可以取一个k次方。因为你这里面当中，我不知道啊，我可以取个k次方。我取个k次方了之后的话，你发现。这没办法，有同学说老师我怎么知道取k次方是呗？那没有办法，你只能是然后取k次方的话，你发现s趋向零。然后这是k倍的多少呢？然后这是x倍的k+1次方，然后这是x方这x的2k次方，它的平方。

那你想想有没有可能一个情况，这个人超过他一般情况下都是这样。那和取第一阶的时候，取它上面是四次。你上面是四次方，它只是k+1，有没有可能下面超过上面？有可能万一这个k+1超过四的时候，你就取四，比如说你就取的是四次方。四次方趋向零零的时候，你就会发现当s趋向零的时候，这是多少s五次方？然后这是平方，加上四次方，

它的平方。那上面这东西何许DJ取前面这个人，你取前面这个人的话就是四次方，那这是一重极限，你比它是无穷大。那这个时候你看我们就说清楚了。那二重极限是没有阶的概念的。你什么四阶比二阶，你能说是零吗？你看这个东西，它是不存在的。你要注意啊，二重极限没有阶的概念。它没有阶，你不要看到四阶比二阶，

你就说是零，你只能说一次函数趋向下，它仍然是四阶比二阶。它是零所有的直线方向下，它是零。但是不代表所有情况，它都是零。大家听懂了吗？所以要想清楚就说，如果你看到这个是。同解，我只能说取直线方向，它是存在，但是跟k有关，它是不存在。

如果是低阶比高阶，我只能说取一次函数去向，还是低阶比高阶，但是它不存在，那就不存在。如果是个高阶比低阶，我只能说直线方向是高阶比低阶是零。但是别的还有好多方向啊，不光是直线方向，还有曲线方向呢，你未必是零。好了，这种情况。那么，在这种当中啊，

其实你发现我们很喜欢用第三种，你下去好好进行，把这个问题啊去处理一下。先选直线方向小试牛刀。然后再进行去选别的方向，看看还有没有结果，这是我们一般去处理这种问题，它不会考特别难。你要注意二重极限，可不会说像一重极限一样出那么难。好，我们再来看看第三种。你还可以使用一些等价无穷小替换呢，无穷小乘以有界变量等等这些问题。尤其是有机变量。

怎么进行去看？一个人是有界变量，这是一个非常重要的问题。看一个人有些。其实就是给这个人加上绝对值，看是不是小于一个数？如果这个函数的绝对值小于一个数，我就说这个函数怎么办？我就说这个函数在这个区间内是有界的。理解了，那么所以说你发现这就太多了。尤其而言的话，你比如说你看这里面当中，比如说这是x方，这是x方，

加上y方。那你这个人的话，你加上个绝对值，你加上个绝对值，他肯定会小于多少，你这个人是大于零的。你大于零的话，你发现我就不要了，下面变小，结果变大了，这是一又接的。那所以说这个人是有界的，当然这种题的话我可以改。你要放缩的时候的话，你必须要进行去放放，

这个什么你得放偶数你，比如说这个人。那这个人的话，你看我也可以把他不要了，不要的话一下变成这个人，那这个人也是有解的呀。对吧，你这个东西也是有机，所以说像这种问题的话，它太多了。你比如说我能退出s方，比上s方，加上y方邮件。要灵活，你这个东西不是靠死记硬背的，

你像is方的话，这是平方，加上四次方，哎，这也是有机。那如果考题，我改一下。我说这个东西有没有节能？你看这个人，我要出这种题的话，你发现你还不是加绝对值，你加绝对值的话，你发现你绝对值绝对值，你其实不要了呗。你绝对这不就正负吗？

对吧，你这个东西不就是正负吗？你正负爱怎么样怎么样？你想怎么样怎么样？那所以说这个人的话，我把四平方不要了，那现在还不是有解吗？对吧，你这个人，你还是有机啊。所以像这种问题啊，你一定要稍微灵活，你比如说我们还有经典的你，比如说这个is比上根号下s方加上y方。你或者你其实我们都知道我们考试不喜欢绝对值，

你有没有发现只要把题想出难就出绝对值，比如说我想判断这个人有没有钱，有没有钱，你加个绝对值呗，你看看。那这个人呢？他就变成s，然后这个东西呢？你放成s方。你方程s方还不是s比上绝对值，那这个人还不是一那这人呢s绝对值比上根号下这个人，他不就有界吗？对吧，这就是心理战术。只要加了绝对值，

一般都会把这个题啊变难一点。所以像这里面当中有界啊，你要多进去去看看。你比如说我们常规的什么s方比上这个人？你像什么y方比上x方y方？对吧，像这种s比上根号下s方加y方。你像什么y比上根号下x方加y方？这是常规的有界变量，但是不取逆这样。难道我们考研过程当中，我们只能考这几个人吗？那不一定啊，我能考的更多呀，所以一定要灵活灵活再灵活，

你看这个今天呢？我上了这么长时间了。我都在讲二重极限，你要注意把二重极限这个思维方式打开了，你就能处理可危的问题。其实大家都知道你学到今天呐，你肯定能了解我，想问一下连续性可导性可维性一定会考谁？一定会考可维性。你不能说我考了连续性就挂了，不可能。就算我们三九六同学，我们的题也不会这样出的呀。就算简单也不会这样出的，你说哪一年的话，

你发现连续性就挂了，那怎么可能你去看看考研真题，我们这几年考真题。没有说到连续性就挂了的，那不可能的。完全不可能。好了，这个问题啊，我们就说到这儿，所以下去过程当中，你好好想想这个事儿。可以了吧，好好琢磨琢磨。然后接下来我们再来看看第二个问题，我们再来讲讲连续性。

连续性什么意思呢？连续性这个意思。连续性的判定方法其实就是极限等不等于函数值。对吧，你就要求这个人的极限，这个二重极限，它一定要等于函数值。其实我觉得最难的就是刚才那个。你把那个东西学会了之后，这个这都很简单。来，我们来看看。见到二重极限，就相当于见到什么，就相当于见到了无数多条取消。

那无数多条趋向的话，你发现。比如说这个人沿着这条曲向呢极限等于函数值。因为你任何方向都等于函数值，那这个方向呢？等于函数值这个方向呢？等于函数值这个方向呢？这个方向呢？这个方向呢？这个方向呢？这个方向呢？这个方向任何方向都等于函数值，任何方向都是连续的。所以一个二元函数连续它要求是四面八方往我这跑，都会是连续的。

能听懂吧，都是连续的好，这是考点二。那么，接下来我们再来看看下一个问题。二元函数的偏导数。这个内容啊，趋向于必考。你要注意啊，偏导数的定义趋向于必考这个问题。必考点。所以首先我们先来对这个偏导数的定义啊，我们要深层次的理解。那么同学们，你告诉个声。

x这个偏导数x0y0诶，我想到一个事情，刚才那个同学你问那个二重极限，你说不考的。你是不是昨天也没预习啊？啊，你是不是也没复习啊？那你这个东西不知道，那你基础班应该也没有听吧？我不建议你现在如果你是这样的一个情况，我不建议你直接听强化班。又非常难受的。啊，是不是啊？哎，

我这样一转的话，你发现好像应该是这个情况。那你应该基础班也没听过。你如果听过了之后，也不可能会是这样的情况。哎，我觉得这个这个问题很很严重啊，你至于刚才那个事情，我就觉得无所谓了。对吧，你要是这样的一个情况的话，我不建议你把这个强化班，对吧？这两个部分的内容是衔接的啊。好，

我们来看看这个人。那这个东西什么意思呢？它这个东西是这样意思。他所谓先代后雄。它的第一步。先将什么东西呢？先将y=y零，它不是对s求导吗？这个东西带入到fx y当中。将会得到的一个一元函数f sy 0。啊，这个一元函数，然后第二件事情，那这个一元函数我们再进行去求求解，这个一元函数同学们一元函数会求导吗？

3 s=s零处的导数。这个会求吧。你肯定会求。所以说这里面当中的话，你发现你这个人就可以求。对吧，这个人求你这个人对s进行求导，你能直接求就直接求，你要这个人不会做，那就疯了。那所以这个内容你得想清楚。那么，这个人的话，其实偏导数的定义其实就是我先把他带进去。得到的这个一元函数，

再在x=x零处求导。那万一我比如说我带进去了之后就得到了一个非常简单的函数，比如说s四次方，那我就直接求了。如果代进去是个绝对值呢？哎，这个情况你要知道，那这个东西啊，我们得用定义。对吧，比如说分段函数得到分段函数，你得用定义，所以代进去了之后你就变成了一个一元函数，至于直接求导还是用定义？那就是第二章的内容了。

所以如果这里面当中你想用第一那分段函数肯定是用第一。那这里面当中用定义就是fx。减去fx 0。比上s-s 0s趋向s0，你就求解这个极限就行，能理解吧？好这个问题。然后接下来我们再来看看第二件事情y的这个偏导数。那y的这个偏导数呢？其实就是先把x0带进去。然后得到这个一元函数，再在y=y零处的导数。那这个人导数怎么去求呢？他是这样。我们来看，

那其实就是fy。然后再减去fy 0。比上y-y 0y趋向y0。就是你带进去了之后，你能直接求就直接求。你直接求不了，你就用第一。所以说这个偏导数这个定义啊，比如说s偏导数，它应该是控制了y不东，然后单独对x求导。所以从几何意义的角度上而言。那么，相信这个里面当中的第一种问题啊，我们就会做好我们来看看幺六五这个题。

因为这种点呢，我们在考研的时候啊，我们还没出过题，又简单。又适应我们的考试，但是的话，你会发现还没有出过题。他说了一个事情，像x这个偏导数大于零，什么意思啊？那x偏导数大于零，它应该是这样，它应该是固定住什么？固定住y。我也要相通。

然后这个人是关于谁呢？它要关于x是单调递增的。因为什么情况，你s偏导数就是y相同，然后对s进行求导，那s越大它越大。然后对y呢，你发现这个人呢，他就是固定住什么xx，先是一个常数，他不懂。然后关于y是什么？关于y是单调递减的。所以它这个东西进行去比较的时候，它只能怎么比你，

要不然y相同比s你要把x相同比y。必须要保证有一个人是一样的，那么所以说这里面当中我们来看看这个事情。你发现这个a选项。你和这个b选项。对吧，你这两个东西我们觉得这里面当中谁好比e选项好比。因为e选项当中有一个人相同，我们来看你这x相同。你x相同的话，你这个人怎么你这个看y你y是单调递减y越大反而越小，你这个越大反而应该越小，你不对。好，你好比我先把你排除。

所以你是这里面当中最简单的。那AB这个人呢？俩人都不同CD选项，俩人都不同，所以说这个人不好比那么接下来我们看看那AB怎么做？你看这个人是零零哎。你看这个人是一耶。你俩人都不一样，你这人怎么不一样？你这不好来呀，你怎么办？对，非常好找一个中间人。这个中间人呐，你要保证一个。

你可以找一零零一都行，你无所无所谓啊，你随便找，你只要找到中间人就行，我们假设找一零。那这个时候x一样y一样x越大越大好你大。现在x一样。那反而是看YY是什么y越大反而越小，那y越大越小你大。你这怎么说的清楚啊？你这个人比他大，你这人也比他大，说不清楚啊。不行，然后再来看看这个c和d。

c和d让我们进行去比较零一。和这个一零。你继续找一个中间人。你找谁呢？你随便你找零零找一一都行，随便找一一。找一一的话，你发现你看这个y一样。s越大，它越大。然后x一样y越小它越大诶，这可以了，你看一下顺过去说明呢一零要更大一点。正确答案选几选d。能想清楚吗？

那这种题的考点，它就考了什么呢？就完全考了偏导数的定义。我们就往这个定义上靠。你这个当中偏导数是什么意思？就说你往这偏的话，你一定要固定住一个人。你带入进去，你是个常数，你然后看另外一个字母。要想清楚，有的说那老师我找的是琳琳怎么办？你试一下，一模一样。对吧，

所以说这个人的中间人呢，你只用找到一个就行了，不是说特别难的这种题。来再来看看第二个人。幺六六那这两个题就一样的呀。我看大家的触类旁通能力。他说，对于s偏导数。那就是固定住y。x越大。它越大，然后第二个是固定住什么y的偏导数呢？固定住x。然后对y的偏导数小于0y，越大越小。

好，它是这个情况。所以说这个人的话，你就会发现偏导数它完全是考的定义，你要固定住一个人。那么所以说接下来我们来看看这个事情，他说要让我们怎么办？要让我们保证这个，你看这是x1。y移。这是x2y2同学们，想想你这两个东西怎么办？两个字母都不一样的时候，你怎么办呢？找一个中间人吧，

找就找x1y2行不行？xy 2y这个什么x这个什么x2y1也行。无所谓，只要控制住一个人就行，那你想想，你必须要保证这个箭头得怎么办？这个箭头得过去。你要保证这个什么这个方向得过去，我们先来看看。你现在x是一样。那我们都知道y是单调递减y单调递减只有小了，它才会大，所以说你这个人肯定比他大。你比他大的话，他才能过去。

然后接下来我们再来看看第二事情，你继续，你现在的话是这个人。那现在s越大它越大，那说明你s2要比s1大。所以说综合下来而言的话就是y1比y2大S2比s1大，正确答案选几选d啊？看清楚吗？好这个问题啊，就出来了，所以像这种问题的点，它是怎么处理的？就说如果偏导数的定义，他应该是控制住一个人，看另外一个人，

要是两个人都不一样。俩人都不一样，怎么办呢？找一个中间人，立即把他灭了，注意这种题，我们还没有出过题的。要知道怎么去处理吗？好了，像这个题啊，我们就讲到这，那么接下来我们再来看看去年的考研真题。好，再来看这个人。那么，

在去年考研真题当中，也考了一个事情。你看这是个分段函数。那分段函数在分段点。对吧，分段函数在分段点处导数肯定得用定义。所以说这种情况的话都不是先带后求了，你直接用定义那么先来看看对s偏导数在零零处。我们就直接上，那就是limits怎么办？去向零。然后直接把y=0 fx。减去f0。比上s- 0。那这个时候的话，

我们就要看看这个事情了，当s趋向零。继续那f零零肯定是零，然后再看这个人。你现在要把谁代成零，你现在要把y代成零。同学们，想想。y就是零。x趋向于零。x趋向零突出了x不为零，所以说是不同时为零，肯定要往这带。往这里面当中一带的话，你发现它的结果其实就变成了。

sin x方。然后再比上一个x的绝对值。那这个结果就变成这样x趋向于。那这个绝对值s绝对值下去，它就等价无穷小于它，然后约掉一个人变成它。那我们都知道。趋向于零正的时候，这是x比s，这是一。趋向零负的时候，这是负s1比十负一。一半边是一一半边负一，这是不存在的。那所以这个东西不存在，

因此啊p is这东西不存在，你肯定不对。然后接下来我们就继续，我们只能在这个什么在这个AC当中选，然后再来看偏y。偏y这个东西的话，你发现我们就得把谁带进去，把s带进去，把s=0带进去的话就是零。然后再来看，减去这个零比上这个y- 0y趋向零。那么，现在而言的话，你发现这个后面这个东西肯定是零。对吧，

关注点是前面这个点。前面这个人s是0y趋向零，不同时为零，不同时为零，我们就继续带把这人继续往里面带。往里面带的。话你发现s是零的话，这一项就是零，那这就是零，所以上面就是零。上面就是零，下面趋向零呢，那零除任何数都是零。它可不是未定式啊，它就是零零除任何数都是零。

所以说这个题啊，正确答案选几啊选c。不是特别难吧？这个题的难度系数不是说特别大，所以说去年考的这个点呢，我相信大家应该是能处理的。对吧，稳稳当当的把它处理清楚了。好，这个点呢，我们就讲到这儿。过去了，可以吗？要学清楚来，再来看下一个问题。

那么所以说在这种当中啊，有的时候我们继续去求偏导数，我们也可以使用先代后求的方式来做。你分段函数在分段点处肯定得用定义嘛。那有的时候我们还可以用先带后求的方法，那么接下来我们来看两个重点。你来给我看看这个函数。你就会发现一元函数和二元函数的相似性。这个函数这个函数你就跟我进行去类，比这个函数。这个函数在零处是什么情况？连续不可导吧，他这个人呢？它在零零处。也是连续的，

你可以去求极限。求极限是零，该点值是零，但是。那么，这个人在临处的话，他是连续但不可导，你再来看这个人呢？这个人也一样。我想进行去看x的，这个人偏导数。我怎么办呢？我就进去去看。看他这个人可以先带进去。把y=0先带进去，

带进去得到这个人，请问这个人在零处呢？这个零处。不可导。对吧，然后的话，我想看这个人呢，其实你根据对称性就直接看了，你sy是具有对称性的嘛，你就要把这个人。这n是等于y的绝对值。它在什么？它在y=0处呢？它也是不可导。能理解吧，

所以说你要注意这个函数非常有用。我们通常在做题的时候啊，我们喜欢用它举例子。这个函数是连续的函数，但是在这个点处偏导数是不存在的。对吧，所以说你要注意这个偏导数是不存在的。偏导数是不存在。能想清楚吧，偏导数一定不存在。好，要记住这个问题啊，这个例子非常重要。我们通常会用它绝对值加绝对值，它在这个点处啊，

往往是不可导的。好了，这个问题啊，我们就讲到这，那么接下来我们再来看看第三个黄金重点。啊可微信。可微信可是我们在今天过程当中要讲解的重点。如果考你标到后面，必考内容。可微信一定会出题，考研当中可微信必出题。你要是这个板块浪费了，你就失掉两分，你当然还有68对吧？你总成绩还有148那也行。

但是你这个点不要这样学习，对吧？所以有的时候这个点的话，他出两刀。啊，他肯定会有一道，你一定要把它想清楚。那么，接下来我们先来看看可卫星。那可微信这个人的话，我们先看第一个点。充分条件。至于这个可微的定义啊。啊，这个可谓定义，

我们就不讲了。对吧，这个可未定义的话，你自己去看基础班一定要看哦。基础班讲可谓定义啊，讲的是非常多的。我重点讲过那个事情。算了，还是讲讲。我害怕。第一，可谓的定义是怎么说的呢？它这样说的。我们来看这个点。这是个y，

这是个零，然后这是s，我说一下吧，万一的话，他出这种题。那么，在这里面当中啊，有一个点。这是个起点，这是个s0。然后这是y0。好，这是个起点，然后接下来我们再来看看这个点。这是终点，

它跑到这儿终点，它跑到这儿。好，然后这个里面当中的话，你发现这是个起点a点。这是个终点，同学们都知道我在干嘛吧？你应该是画了一个。三维空间的一个曲面二元函数嘛。这定义域的起点在这儿，然后终点跑到这儿，这a点跑到了b点。好了，这是这个事情，你还记得一元函数可微的定义吗？

一元函数可位的定义是这样说的。说什么如果在这个点处的因变量增量。你告诉我它的因变量增量是多少？它的因变量增量其实就是b点处的值，再减去a点处的值。那其实就是我们在这里面当中的x0怎么办？加德尔塔s。然后这是y0，加上多少都是它y，再减去个多少fs 0y0。好了，这是delta z。然后如果说什么呢？如果这个因变量增量。能够等于自变量增量的线性关系。

自变量增量。自变量增量。那么，如果等于自变量，增量的线性关系。然后再加上一个什么？起点和末点之间距离的高阶无穷小。对吧，然后这是德尔塔x方。加上这个德尔塔y方，这高阶无穷小，如果这件事情成立。在什么时候成立呢？它在deltas。和德尔塔y都趋向零的时候成立。

我们就说它可谓。如果这个人可为，那这个a是多少呢？那这个a就是s偏导数，这个b是多少呢？这就是y的偏导数，我把这个部分呢称之为全微分。你要想清楚。就说如果说什么呢？你就算不可为，你不可为的话s偏导数也有y的偏导数也有。只有你可悲的时候a才会是x偏导数b才是y的偏导数。好了，这就是定义好，我看看大家的水平。

能学清楚给我掌呃，掌握清楚给我回复一吧，要听不懂啊，你去看基础课去。对吧，不然的话，这个就有点浪费时间了。能想清楚吧，要注意一下这个问题，因变量增量等于自变量增量的线性关系，再加上这个高级无穷小乘立，我们就说可悲。那么，通常判定方法有两种。第一种方法是什么呢？

第一种方法是充分条件法。那充分条件法是什么呢？充分条件法是这样。他说让我们进去去判断。一级。偏导数。连续什么叫做一阶偏导数连续呢？一阶偏导数连续的意思就是一阶偏导数它连续。你要不会读，你就这样读一些偏导数，它连续你说这个什么一些连什么一些导数一些具有一些连续导数什么意思？一阶连续导数不就一阶导数连续吗？就是这个意思啊。那一阶偏导数连续就是一阶偏导数，它连续。

那这个东西的话，你发现你怎么进行去理解这个事情呢？它就这样。那这里面当中给了一个x这个人的一阶偏导数。给了y这个人的一阶偏导数。只要一阶偏导数的极限。等于什么情况呢？等于一阶偏导数这个人的函数值。那我们这里面当中啊，我们就说它连续我问一个事情，应该是个几重几型。几重你要说一重极限，我当场就疯了。起重，你没发现s动了y也动了吗？

肯定是两个人在动吧，两个人在动是二重，不要说一重啊，那就是s趋向s0y趋向y0。s趋向s0，然后y趋向y0。好了，这是这个事情，一定是二重。对吧，这个二重极限等于它函数值，这个二重极限等于函数值，那二重极限等于函数值，不是二元函数连续吗？能理解吧，

连续是什么意思？连续就是极限等于函数值啊，你连续好你的极限等于函数值，它连续它的极限等于函数值。谁连续谁的极限都有函数值，这太简单了，然后这个人呢，我立即可以推出来推出，他是何为的？对吧，退出这个函数。在x0y0处。好，这个。但他也仅仅能推出可碑，

这是个充分条件。那万一不连续呢，那就尴尬了，你连续肯定忒可悲了，你要是不连续不知道什么东西都说不清楚。好了，这是充分条件，我们来看看定义法y yds，那就是这个人。最重要的就是它黄金重点。对吧，那么接下来我们看看定义法。定义法的核心是什么？定义法的核心就是德尔塔z这个人减去这个人。你要注意德尔塔z这个人减去这个部分，

减去这个a倍的。我把这个人写一下，其实严谨点，应该是这个人。对吧，减去这个人，那减去这个人的话，到底怎么办呢？你要注意。就是减去这个人。减去这个人的话，他到底是不是那个人的高阶无穷小？那是不是高阶无穷小？就是跟这个人作比的极限，结果是不是零？

如果你这个人极限，结果是零，我就说什么东西呢，我就说定义法存在可为的。那这里面当中啊，你要稍微注意一下，有同学说老师我觉得有点问题啊。那如果这个东西是不可微的，那不就没有全微分吗？我这个东西只是写了个代号，你要知道这个人是谁就行了，他是x偏导数德尔塔x+y的偏导数德尔塔y。如果可为的时候，他是他的全备份，如果不可为的时候，

这个人不是他的全备份。你能听得懂吗？你只有可为的时候，你才会有权威犯。如果不可为的时候，你没有权为本的。可危的话，他才有权威分嘛。你要想清楚，我写这个东西，为了你看。所以我们来看看今天的非常重要的一个内容，你如果今天的话，你还记不住啊？你这个有点。

有点羞愧对吧啊，肯定要有有点这种感觉啊。来，我们来看看这个事情。可为的坐差是。定义判定。好，我们来看看这个人。可微的做差式定义。判别法啊，这个内容非常重要。加个绿色。你如果我先提前说。你如果这个东西你没有学会啊，那你可以把刚才那些东西都不用学了啊，

当然还有一种情况，就是如果只考了偏导数这种定义，你还能拿一个分儿。但从从大概率期的角度上而言，你就不用学了。能听懂吧，你要是你把这东西给放弃了，你刚才那些都不用学了。你听得懂我的意思吗？都不用学了，因为他一定会考到这儿。哎，一定会考到这，也就说你把这东西给学差了，也就代表着你刚才学的，

你学的再好也没什么用。对吧，你一定注意这个问题啊，这是个最重要的，你要想放弃这个，你就把刚才的全放弃了，就把我刚才一个小时讲的内容全忘掉都行。对吧，不就是四分吗？是不是啊啊？不要这样。那么，接下来我们就继续我们来看看这个事情。你看可谓的做差式的判别法。那怎么进行判定呢？

我们这样。来看看这个人。那这个人是这样子的。就是你这个起点和这个末点呢？我这个末点我也可以用xy这个点来表示。来跟我们一起来写。对吧，好一起来写这个事情走。那就是末点。啊，你们能听到这个电脑的风扇转吗？这电脑感觉绷不住了，对吧啊？这个今天。今天上了好久的课程了，

刚才下午刚上到六点半，我们从七点我们继续啊，然后一会儿啊，听不到是吧？行行行，好。继续，然后这个里面当中，这是f sy。我减去这个x0y0。好了，这个东西啊，是一个德尔塔ze。好了，这个真的啊，

都是他自己。那德尔塔z这个人呢？我们继续，我们再减去。减去这个dz呢，那dz的话，你发现一个事儿，它其实是多少？它是x偏导数。那德尔塔s是x-s零。那y的偏导数。德尔塔y是y-y零。只有你可危的时候，你这个人才叫权威分嘛，你这人才叫权威分，

你要理解这个事情，反正我们从定义的角度上，我就把你减了。减了之后的话，然后比上德尔塔s就是s-s零的方。然后这是y-y零的方。来我们就看这个事情，等不等于零？德尔塔x趋向零的时候的话，就是x趋向s0，德尔塔y趋向零的话，就是y趋向y0。好了，这是这个事情，能听懂我的意思吗？

可以了吗？你是第一次见他吗？这么长。这叫长吗？这不也一般般嘛，普普通通脑子一转不就出来了。你多转一转，你上节课那个公式都能转清楚，你这个转不清楚。一定要转清楚，这都是分儿啊。每当你把不想记这个东西的时候，你要想想啊，这都是分儿啊，我的目的是干嘛呢？

我在这儿辛辛苦苦做到这个教室复习目的干嘛？不就是为了这点分吗？这都是分啊啊。不想细的时候，你一定要告诉自己，这都是分。这分儿啊啊，不要吗？一减两分儿，一减两分儿啊。好了，这个问题，所以你把这东西要记清楚。所以说这里面当中啊，德尔塔z-dz比上这个人的平方，

它就等于零。好了，这是这个问题，下去啊，一定要把它记清楚。对吧，把它记清楚。然后最后一波，我再来串一个内容。连续可导可微之间的关系。把这个东西啊，我们来看看，连续可导可微的关系，那这个连续可导可微的关系啊，我们就不复习这个。

一元函数，我们重点来复习二元函数。对吧，一元函数当中经典的话就是可导必连续连续不一定可导可微就是可导，但是二元函数不一样。那二元函数当中，我们来看看这三角关系。那就是连续的问题。然后是可导的问题，可导的意思的话就是两个偏导数都存在。可危的问题。来，我们来复习一下。这是谁呢？f sy这个这样的一个图。

我大致讲讲。那么，这里面当中对应下来，其实就是这个点。那这个点的话，你会发现一个事儿，连续什么意思啊？连续就是每个方向都得连续。x偏导数的意思就是把y进行固定，这个方向的导数。叫做s片头。把s固定这个方向的导数叫y的偏导。所以这两个方向都可导叫做。可导因为s偏导和y偏导都存在，就叫可导，

那可微呢？是每个方向都可导。来表那现在你想。连续推可导胡扯。可导能不能推连续呢？可导只能说明两个偏导数都存在，那这个方向可导，这个方向连续这个方向可导，这个方向连续只有这两个方向连续。别的方向连不连续呢？不知道，所以不对。对吧，不行。可为那么推可导呢？

可以任何方向都可导，这两方向可导，而这两方向可导，不能推任何方向可导。可连续推口碑肯定不行。可悲，能不能推连续呢？哎，这个可以。因为任何方向可导，任何方向连续。好记清楚，然后再加上一个事情。一阶。偏导数连续。

同学们，你告诉我。这个一阶偏导数连续。和什么东西连续这个人一样，不一样不一样，连续那个人指的是f sy，连续这个人指的是什么？指的是偏导数连续。所以你看这个人能推可悲，但是可悲推不回去，这刚讲到。所以把这个内容想清楚就行。好了，把这个内容想清楚了之后啊，你下去过程当中就好处理了。

跟得上我的意思吗？一定要把它记清楚，那么接下来我们再来看看最后一个，注意一点，我们讲义上是有这个事情，我直接把这个东西啊拿过来讲讲就行。然后再来看最后一个点，终于把这个内容我们就复习完了来再看最后一个片段，把这个内容一定要记到脑子里面。我把这个东西啊粘下来。行，就这样吧。好注意啊，这个注意点，我们太喜欢考，

我怎么感觉每年考题当中都有一项，每年考题都有一项。而且啊嗯，我稍微说一点点啊。呃，今年的话三九六，然后有些同学可能会问到这个事情，但是你们知道就行了啊，我稍稍微说一点点。就今年的话，有同学说那这个大纲的话，好多年的话，这个字儿他都没有怎么改，那今年的话，这个大纲的话字儿是不是会改一下？

是不是会说的更详细一点？啊，你放心，你就好好听我们的课程就行啊，问题点不大啊，这个事情。啊，基本上不会动的。好吧，这是这个事情。好了，那么接下来我们就讲讲讲这个问题来看一下这个点。所以你不用管这个事啊，不用管这个事情。那么，

接下来我们就来看看这个里面当中的这个第四个点。他说了一个事情。他说如果这个函数怎么办？它是可悲的。对吧，他在这个点可谓。然后的话，你就会发现一个事情，他说这个函数在这个偏导数啊，这俩东西都存在。哦，就说你会发现这个东西的话，就说如果它可为了。我又没说什么呀，对吧？

我就让你安心的复习就行了啊，你不用管这个事。那么，在这里面当中，如果它可为，那偏导数肯定都存在，因为可为一定推可导，是不是这个事情？可危一定推可挡。然后这里面当中的这个全微分是多少呢？就是偏z偏s。啊，这个偏z偏s，然后再是偏z偏ydy。也就说什么意思呢？

就说。只有这里面当中，它是可悲的时候。你这个人的权威分才会使x偏导数d sy的偏导数dy。能理解吧，就说只有你这个人的。偏导数都存在的时候。对吧，只有你可微的时候，你偏导数存在，那这个时候的话，你的权威分才会是它，所以只有它可微的时候是这样。你自己好好进行看一下，我们下面这个易错点，

这是我们考研特别喜欢考的。你就这个点呢，特别喜欢考。我想问一个事情。如果s偏导数是3y的，偏导数是四，你能说这个人的权威分就是三倍的ds 4倍的dy吗？当然有三倍的ds，四倍的dy这个人，但是你能说全微分就是他吗？不能为什么，因为这个东西只能说明什么。两个偏导数都存在，只能说明可导。如果在一元函数当中，

它就是可微了，可微就这个可导就可微了一元函数，但是在二元函数当中，可导可不一定可微。你这个时候的话，你发现你可不能说这样。只有他可危的时候，这个人的权威分才会是这样。那所以这里面当中啊，你必须要进行检验，这个可微镜。我们每一年考研都很喜欢考这个。对吧，我们贼喜欢考这个东西，你一定要下去好好注意一下这个事儿跟得上吗？

呃，这个没有修正过来吗？就看看。哦，这是偏s。我来看看啊，行，这个有点抱歉啊，其实也不是这个第一版书的话，在所难免会有一点点。啊，在所难免会有一点的话，这个这刊物。行吧，那么这个问题啊，

我们就说到这呃，所以说这个明年的话肯定会，但是明年跟你们也没啥关系了，你就把这个部分的内容你好好处理清楚就行啊。好了，我们就继续吧，我们再来看看下一个问题。所以啊，只有是什么情况，只有这个东西可为的时候啊，只有可为。只有可为的时候的话，你发现偏z偏sds偏z偏ydy。行吧，那么这个问题啊，

我们就讲到这。那么，接下来我们就来继续来看看这道题，我们来做几道，你稍微进行去感受一下，好，我们先来看看这里面当中的第一个题。你看这个题怎么做？好，先看第一个题。那这个题啊，它说一个连续函数。当然的话，这个题我只能站到三九六的角度上，我们来讲这个题。

有的些方法的话特别麻烦，我原来讲数一数二数三讲这个题的时候，我讲了六种方法。就这个题，我们讲了六种方法。但是如果能适合我们三九六同学的考情的，我们只有两种方法，你就把它更干清楚就行。那么，首先我们先来看看这里面当中的第一个题。好来看这个题。那这个题啊，他说。这个函数满足了这个事情。然后在这种当中啊，

让我们继续求解这个全微分。那么也就说你给的这样的一个连续函数，你要注意啊，他说清楚了，连续函数。你满足这个事情，然后让我求全等分，哎，我眼睛一瞅我就会发现你这不是x- 0^2，你不是y- 1^2开方x趋向0y趋向一。诶，那这个人的话不就很像我的可贝丁，而他要等于零。这不是可悲定义吗？所以怎么办？

我就把这东西啊，往可微定义上凑。我们先来写一写，可为定义。那可为定义的话，其实就是f sy。你再进行减多少f零一？好这个人，然后这个东西的话再进行减什么你再进行去减x这个偏导数x- 0。然后再是y的偏导数，再乘上多少？这个部分你再来乘上y- 1。那么然后这里面当中是根号下x- 0^2 y- 1^2。等于零那所以说这种当中我就会往这上面凑啊，我凑一下就行了，

你这个部分你看你这都一样，你这都一样，你只要把上面这个东西拼成这样就行。你现在目前最着着急的一个问题是什么？你最着急的问题是这个f0。f零一。你怎么去求f零一呢？我们来看看这个事情。同学们想诶，比值极限怎么了？存在啊，下面的极限是几啊零啊？那上面的极限是不是零？你上面极限是零连不连续？连续极限等于函数值，

那你的极限是多少？零你的极限几一？减去二=0。所以f零一等几。f零一就等于一。能听懂吗？就说你下面极限是零，上面是零，你连续等函数值吗？好，这个人出来了，那既然这个东西等于一，我们就可以把上面这东西去写了s趋向0y趋向一。你看下面这部分呢，我就不写了。

我最重要问题看上面，那其实就是fx y，你要减去f零一，那这人是一。你减掉它，你减掉一的话，之后的话，你发现下面这个人呢？你再看这个人呢，那这人就是减2s，加上y再减个一。那么然后你提一个负号。提一个负号了之后的话，其实就是二倍的x，然后再提一个负号就是减去一个y- 1。

好它等于零。所以你现在进行对照一下，那就说明这个部分它会等于二。这个部分它会等于负一。是吧，就是这个二还有这个负一。所以说这里面当中啊，一个是二，一个是负一。那因此这个结果，它就等于多少那一个偏导数是二一个偏导数是负一，那因此这个人的权威分是多少？二倍的ds-dy。那所以说这里面当中的正确答案选几选a。好了，

这个题的考点呢，我觉得还是挺好的。这个东西的话，你别说别的，他很容易进行考，给我们说实话，考给我们完全没有问题，这比我们呃，前两年考的这种题还要简单。这可以考的。那么，接下来我们再来看这个题。我觉得这个题啊，不够快。哎，

不够快。你能不能稍微的狠一点？像这个题能给我速战速决。当然可以，你是个选择题，你是个抽象函数，你在这里面当中，我不妨把这个函数我就取作什么？哎，你不是减吗？我来一个，你不是加吗？我减一个，哎，你不是减吗？

我加一个，我咔的一下，上面就是零。我上面就是零，你下面去向零，本来本来就是零，好符合，而且是连续函数，所以说这里面当中，我马上就知道这个人的x偏导是多少。is这个偏导数立即出来了，它就等于二。然后这个y的这个偏导数等于几，你偏一下等于负一，所以说正确答案选a。

所以像这种抽象函数啊，你发现你可以上的狠一点。你直接按照这个东西，你就取一个最狠的，你就跟着这个东西进行举，那立即出来。好，那这个题啊，就比我们刚才这种做法还要更快。其实刚才这个方法已经很快了。但是在这点当中还能更好。对吧，这个方法还能更好。就刚才那个东西已经很快，因为有些答案的话，

它写的是什么？比如说我们去写的这个。呃凑，这个偏导数第一，那都非常麻烦的一件事情啊，你要会做。好，这个点呢，我们就讲到这儿。可以了吧，来再来看看下面几个题，下面这几个题啊，有点难。我们先来看看这个幺六九这个题吧，把这个题解说一下。

可以吧，我们先讲这个题。先看这个题。那这个题啊呃，就是一道非常非常好的题了。极其好的题，我们先看看这个人。那么这个题啊。呃，我讲完这个题再休息吧，可以吗？讲完这个题了，因为下课过程当中这个题你需要在大脑当中酝酿一下。啊，酝酿一下。

好，我们来看看。他说这个函数在这个点处可微的充分条件是。可为那其实你发现这个这个题目。稍等我一下，等我一下。第一个部分，那么接下来我们来看看这个部分。对吧，你看刚才这个点。那你想想，他说让我们继续去证明这个函数，在这个点处啊，是可悲的。同学们，

想想有几种方法能证明，可谓呀。一种方法就是来判断一阶偏导数是连续。那还有一种方法就是来判断定义法，它是存啊，这个什么用定义法那个做差是极限的定义，它等于零。那么，所以说对于这个题而言，你想想一个事情。我来让大家来看的更清楚一点。好，我们先来看看这里面当中的a选项。对吧好，我们来看看。

a选项你来给我看看a选项这个人。a选项这个人，他说的是什么问题啊？他说，我减它的极限是零。你减它的极限是零，我就很想问一个事情，你告诉我一个问题。好同学们想。那这个f零零是不是个数啊？你是个树，能不能把这个树拆出去？你加减法当中见到存在就拆开，你是不是可以把它拆开，你就把这个人给拆出去？

拆出去求这个人的极限是不零？所以说这个人就变成了这个情况。也就说就变成了你的这个极限。然后再减去我的极限，你知道吧？理论上的话，应该是你减我的极限。但是我的极限还是这个数啊，所以说这个人就不要了，因此把这个部分的东西啊，我们就把他送过来了。那这是什么？这不就是连续吗？对吧，这表示了连续。

函数连续能推，可为吗？不行a不对对吧？所以说这个东西错误。能跟上吗？好了，那么接下来我们再来看看b选项。诶，我们看看b。你琢磨下b选项。那b选项这个人是谁呢？他说这个人等于零，我就很想知道同学们，你告诉我这人是谁呀？这是谁？

不要说不知道，这不就是其实你发现你看。这不就是我们的f在这个什么零零处的x的偏导数吗？是不是这个事情？这不就是x偏导数吗？那你说x这个偏导数是零，那说明x偏导数是存在的。然后接下来的话，你就继续，我们再来看那这个人是谁呢？那这个东西不就是y的偏导数吗？你想是吧？那你在这里面的诶，这个题敲。这个题敲错了，

你把它改一下。这个点是零。把它改一改。嗯，这个题目敲错了，你把它稍微改一下。这个是零啊。把它改正过来。这个题目当中的这个人是零。把它改正过来。能听懂吧？好了，第一个人表示了s偏导数。然后第二人表示的什么，第二人表示了y的偏导数。

那所以说你发现这个b选项这个东西只能说什么？它只能说明我这个函数在这个点处怎么了？偏导数是存在的。那两个偏导数都存在，这叫什么？这叫可导。两个偏导数都存在，这叫可导可导，能推出可为吗？那这东西当然不行。所以啊，他是推不了可为的。你要注意啊，这两个东西只能表示可导。能想清楚吧。

所以这里面当中的这个AB选项，我们就把它给干掉了。哎，这个人呢，我们就立即把他干掉。AB都不对。那么，现在的一个核心重点问题啊，是我们这里面当中的c和d。有些同学估计会选d。选d的同学，你要稍不注意。那这个d选项我们来看看这个d。啊，对地。

第一选项，首先我们先看第一个人。你发现这是个数吧？存不存在？存在就可以拆一拆的话，你发现演过去它就变成它。所以说这里面当中它就是什么，它就是这个人的极限，等于这个函数值。没问题吧，这不是那个易错点啊。然后接下来我们再来看看这个人。你想这东西也是个数吧。你竖的话，你发现就可以拆过去，

那就说明这个人的极限，结果就是他。就是它是不这个问题啊。所以我们这个d选项其实就得到了这个人。对吧，这就是这个人，所以我们这个d选项，你发现他应该得到这个人，我现在的问题点就非常简单。你就告诉我个事情，这个人是一阶偏导数连续吗？你告诉我是吗？这是一阶偏导数连续吗？这怎么可能会是一阶偏导数连续？你去想想我们刚才讲的这个一阶偏导数连续。

我们刚才讲异界偏导数连续是几重极限呢？是二重极限吗？你看这个人给的是几重极限，是一重极限呢？你要想是x偏导数这个人连续。它应该是x偏导数这个人。它就直接等于这个零零。x趋向零。y趋向于同学们，你想想这俩东西一样吗？这不一样。对吧，这不是x偏导数连续。它是什么东西呢？它是这个意思。

它是我这个x偏导数的话，你很明显。对吧，原来要连续是四面八方往这个点跑，都要等于函数值，你很明显一个事情，你是把我这里面当中的谁？你把我这个里面当做y代成零的结果。是吧，把y带成零。也就说你y=0的话，其实你就代进去，其实就是这两个方向是连续的。跟得上吗？其实你就会发现这个东西啊。

啊，你看你要还在还在倒着这个水平的话，这可不太行啊。偏导数嘛。那肯定是，而且的话，我们让我们进去判断可为，而且它是个数嘛。你在一个点处的值它是个数嘛？你不存在的话，它怎么会写的呢？那是个数。这是个数啊。好了，这是这个问题，

所以说这个东西啊，它就做你你发现你这个每个点的话，不要我们都进展到下面，老师会停留在那个非常非常简单的一些问题上。你这样，你不然的话，你你这个东西错过了难的东西，你更不会了。好了，这是这个点。所以啊，它其实你会发现它只表示了x这个偏导数在这两个方向连续别的方向连不连续啊不一定。别的方向真不一定。然后接下来我们再来看看这个人，你发现怎么样才能表示y这个人是连续呢y这个偏导数y这个偏导数连续啊，

应该是y这个偏导数极限。等于这个人的函数值。那这时候我们继续来看，那这时候是什么情况呢？你很明显不一样。那是下面这人把谁带进去了，是把x=0带进去。你把x0=0带进去的话，你其实你发现只有这两个方向是连续的。对吧，你把s=0带进去，只有这两个方向，连续别的方向连不连续啊？不知道。所以注意这个问题啊，

它不是一些偏导数连续。它不是的。所以对于这个题而言呢，几率最大的当然是c选项了。对吧，当然是c选项。所以我们基本上考研就喜欢考这个。从一个二重极限等于零推可为。你要注意这个问题啊，我们喜欢的方向就是一个二重极限，那个二重极限做差式的二重极限等于零推可为。我们喜欢这个方向，所以说这里面当中我们来重点来看看c选项，从一个什么东西呢？从一个做差式定义看可为。

所以接下来我们就来看看这样的一个问题点，我们来把这个东西啊，我们来重点讲讲来看看c选项。那c选项这个东西啊，它为什么就能推可为了呢？我们来讲讲这个问题。对于c这个东西啊，为什么能推可为？也就说我这个东西怎么了？是已知的是这个情况。我怎么用这个人呢？推可唯呢？那么所以说这里面当中啊，我们就要进行去好好想想这个事儿。来看看这个人怎么进行去推，

可为。这个页面呢？好好听啊。哎，我来稍微观察一下。你这是f sy-f零零。比上根号下x- 0^2加上y- 0^2，同学们注意它离做差式定义只相差了一步，哎。你有没有发现？这个人离坐差式定义只差一环。就是只差哪一环呢？你这里面当中只需要再怎么办？我再减去一个x的这个人的偏导数。对吧，

这里面当中的x这个人的偏导数，你再进行去乘上这个人。你再乘上x，然后再加上什么，再加上这个y的偏导数，乘上y- 0。就差这一点。你离坐差是定义，就差这一点。所以说这里面当中啊，它离我们最后的做差是定义，就差一点。如果这个题我能求出来x偏导数和y的偏导数等于零，你告诉我它对不对？它对不对？

它对呀，只要你这个题能求出来x偏导数和y的这个偏导数，它能等于零它就对了。所以这个题的核心重点，我们就要来进行去看看它的x偏导数和y的偏导数，它到底等不等于零，这才是我们的重点。所以接下来我们就来进行去求谁呀？我叫求s偏导数。对吧，我就要求这个人。那这个s偏导数的话，你发现它怎么去求解呢？我们继续来看。那这个x偏导数这个人的话，

不就是x趋向零。然后是多少呢？是这里面当中给我报一下，那很明显就是fx 0。然后再减去多少f零零？然后再比上x- 0，你是不是要求这个人呐？你要求这个人的话，你怎么去求呢？你看你要求这个的。你要求这个人的话，你就会发现我给了一个二重极限，我怎么去求一重极限？这个二重极限当中，你能看到我鼠标吗？

如果把二重极限当中的y代成零不就行了。所以说在这里面当中，我们就来定。令这里面当中的y=0。可以吧，令这个y=0，那这个时候我们就得到了一个情况。得到什么情况呢？你发现我把这个y我就完全的代成零。那完全带成零的话，这里面当中你只用进行去写x这个东西怎么办？趋向为零就行，然后这个部分变成了x方。那这个部分呢？根号x方其实就是x这个人的绝对值。

能理解吗？你这个人等于零，我就能推出这个人等于零。哎，那你这个人等于零的话，那么接下来我们就来看看那这个x偏导数这个人是不是就可以做了？那这人怎么做呢？我用已知这个极限，我推这个未知极限，你看我题目当中喜欢的是什么？我喜欢的是绝对值。所以说在这里面当中，你既然是喜欢绝对值，我怎么办呢？好注意，

你喜欢绝对值，我就送你绝对值。对吧，我这样东西的头顶是一样的，我就送你绝对值，我送你绝对值了，之后的话，你发现我就在在这里面当中，你除一个绝对值乘一个，然后这个值。能听懂吧？所以说这个题啊，我们就做成这样。那么做成这样了之后的话，你再来看。

你发现这个部分的极限是几啊？这个部分极限是零，这个部分极限是正负一别管是一×0还是负一×0，它都会是零，所以说这个东西它肯定是零。能理解吧，所以说这个时候你发现我根据这个已知条件，我们推出这个人是零，那这个是零的话，我往这里面当中一凑就出来了。然后再根据对称性。对不对称呢？当然对称，因为你发现你看你这个式子里面当中，你把这个sy调换了之后，

它是不动的。所以我根据这个对称性呢，我马上就知道你这个y的这个偏导数部分，它不也是零吗？所以我们这里面当中，我们就得到了这个东西也是零。那如果这东西也是零，那我们接下来我们就可以写了。哦，既然这两个东西都是零，我们再来看我们就可以用一下，我们做差式的定义，那这个做差式的定义，它其实就等于多少呢？你这个做差式的定义，

因为这两个部分的偏导数，它都等于零。你偏导数都等于零，那这个部分就没有了，就是这个部分，而题目告诉了你这个极限是等于零。所以做差式的极限定义是不等于零。因此怎么办？所以可悲。对吧，所以函数在什么东西零零处？可以，你注意啊，那这一波内容，其实我希望大家下去，

你好好看看。这个c选项就非常的重要。能跟上吗？好，这个问题。所以它的核心重点就是我把这个东西要往可微的定义上凑。它李可威的定义就差了，这个x偏导数和y的偏导数你就差了这一点。你就差了这么一点的话，你只要能求出s偏导数和y的偏导数的为零，那这个事情就结束了，所以接下来我把这个。我稍微换一个字体。啊，你下去可以好好进行去看看，

因为这个问题啊，还非常的重要。可以了吗？同学们。哎，我们就讲到这。好，这是这个问题，下去啊，好好把这个选项好好看看，你说老师考不到这么难吧？你自己去看看那个真题的部分的内容。对吧，真题部分。再讲一下a选项。

连续推不了可不一样。你要让我讲d选项，我还给你讲呢，你让我讲a选项，我不给你讲啊，我a选项我不讲。a选项太low了。好了，这个问题啊，我们就讲到这，你自己下去，你好好进行看看。对吧，这个问题点把它梳理清楚。a选项我不讲了，

a选项有啥讲的，你要注意f零零你d选项都会你a选项不会，那不是胡来的吗？好了，这是这个问题吧，我们就说到这，它存在就可以拆过去了。好，这是这个事情，然后啊，你在下课休息的过程当中。啊，休息过程当中，你再来看看上面那个题。把上面这个题啊，

你好好看看。看一下这个题。你下课休息过程当中，你好好瞅一下这个题，这个题有点难啊，所以说我们在这个讲义当中啊，考了两个，一个是169。一个是168这两题啊，非常非常难，难度系数比较大。其实你发现这种题啊。你要注意从极限。忒可悲，那这个东西的方向会更这个什么啊？

这个可能性更高一点，你稍微看看吧，这个题你好好做做。行，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续吧，这题非常快啊，好稍微休息会儿，一会儿继续。这个今天又讲忘了，你下次提醒我一下啊，提醒一下。哦，决胜题答案还没传是吧？行，

我一会下课就传。好好稍微休息会吧，一会我们继续。

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