16.冲刺满分强化篇·题型28-31精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 5 天前

好同学们，行，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个后面部分内容啊。啊，怎么了？来，继续吧。你下去，你回头你再听吧，那你还能因为这个听歌，然后耽误我们上课时间嘛，来我们继续吧，我们再来看看下一个问题啊。那还能等着你把歌听完啊。

哼哼，来那么接下来我们就继续，我们再来看看这个双牛线啊。双女鞋啊，跳啥呀？来看一下这个人，那么这个双扭线呢？首先我们来看看这个事儿y这是零，然后这是x。啊双扭线呃，那么这个双扭线呢？首先第一个事情你要注意啊，这个东西的极坐标变成极坐标。那么，首先我们都知道这个极坐标变换的公式啊，

它是这样，它是x这个东西等于rcos西塔。y这东西等于rs in西塔，所以x方加上y方等于r方，对吧？这是它的变换公式。那么，这个变换公式的话，你发现你这样一加的话，这是四次方，然后这是a方，然后这是多少r方cos塞塔方？然后再减去r方，然后这是多少s in西塔方，然后这里面当中是四次方，

那就是a方cosine方减s in方，那就是cosine多少二西塔。好，这个东西啊，就变成这个人啊，约掉了的。平方等于a方cosine 2 theta。所以说这里面当中，你稍微进行注意一下，你看这个东西进行变换，其实2c它才变换，它最后的话，你就扭了一个八，你记住就行了。这个没什么难点。

你说老师这个东西应该怎么学？记住记住就可以了，然后的话你发现它不会超过多少，它不会超过45啊，这个45度。这是y=s，不是渐近线啊，不会超过的。好，它是这个负s。那么，接下来我们来看看这个下面一个问题来求解，这个面积那这个面积怎么做呢？你做一下s这个东西啊。它是不是等于多少？

它就等于四倍的这个象限。对吧，就等于四倍的这个第一象限的面积，这个第一象限的面积等于多少？它就等于用极坐标，因为这个斜边的这个部分呢，它的斜这个什么？这个极坐标。你看这个人的极坐标是好做的。那所以说这个人呢，他就等于多少，他就等于二分之一，然后这个斜边的平方啊，就是这个边的平方DC他。这个夹角呢，

是从零到45度，这是要注意一下这个事情，然后这是二倍的，然后这是零到四分之派。那r方等于多少？它等于a方cosine多少？二西塔d西塔。好，这是这个事情，所以说这个人呢，你就把他算出来，你把这个a方，然后这一算，这是多少s in 2c塔，然后把零和四分之派放里面带。

那这个结果是多少？零再去零，然后这个结果刚好是a方。好，这个问题啊，把它想清楚，听懂我的意思吗？好，这是这个问题，所以你发现这个双有线，它这个面积呢？它等于四倍的，这个第一个部分的面积，那这个第一个部分面积，你算它最后结果是a方。

他刚好等这个人。所以有些东西这个今天算完了之后就把它记住了，你记住，能记住也行吧，但是不用刻意的背啊，如果是非常刻意的背，你就不要背了。好，我们再来看看星星星。那么，新行线这个人呢？他是这样。就说如果这是s=a倍的多少，如果这东西是cosine t，然后这个y=a倍的sint。

对吧，是这个情况。那么，同学们注注意一下这个问题。刚才我不是让你记住了吗？你这个这条线是0度线，你只能转到这条线，这不45度吗？哎，它只能转到45度线啊。好了，我们再来看看星系线，那么星系线如果是这样的话，它是个圆。注意啊，

如果它是这个样子，它是个圆。它刚好是x方，加上y方等于a方的这个圆。好，这个部分是y，这是零，这是s，这是a是这个圆，但是你要注意一个事情，它星行线真正的话是给这个人三次方，这个其实你发现。冷门考点。对吧，这个然后的话，

你发现三次方的之后就比这个人矮。但端点还是一样的。所以最后一件事情，他就变成了这个人啊，这叫星系线，把它记住就行，这个我记得去年的话，好多模拟卷里面考了这个东西，你得知道。轻型线。啊，把这个往里面收一下就行。好，那么接下来我们来看看百鲜。啊，

把这东西我们都讲了。柏千，这个人长什么样子呢？来看看你放心啊，不会考特别难。它不会考，特别难。这四个东西啊，就是以防万一。对吧，如果的话，你说哎呀，老师，我这个可以在这里面当中，差不多就行了，

我时间实在来不及，那这几个东西啊，你可以不看。但是我觉得这个到了今天的话，这个强化班你的目标其实是非常高的，对吧？所以说这里面当中，你把这个东西啊，你学清楚。那么，接下来我们来看看百仙。啊，看看百姓。就把它记住就行了，没有什么难度。

因为这四个线我在给你讲这个事情，在干嘛呢？就是你稍微对这个线了解了之后，他考了这个东西，你马上做出来。但是如果从求面积，求旋转体体积角度上演，你就算不知道这个东西你也能做啊。那么，接下来我们来看看摆线，摆线方程是这样。就是s=a倍的多少t- 3 ET。然后这个y呢，就等于上面进行求导，一减cost。

那么所以说这个里面当中啊，你稍微注意一下s这个东西是这个人a倍的t减三at y等于a倍的一减cosin t就是上面求导。我来给你讲讲这个人图是怎么画的？你稍微听听它很有意思。你看到这里面当中的a了吗？a这个东西是什么呢？a这个东西是这样，就是有一个圆呐。这个圆的这个半径是几呢？圆这个半径是a。注意这一个圆圆的这个半径呢，刚好是。然后怎么了？我在这个圆上固定的一个点。这个点固定的，

在这圆上好了，起点就在这儿。固定在这儿来，让这个圆转起来。能听懂吧好，这在圆上固定的一个点，让这个圆转起来。那转的时候的话，你发现这个就是这个绿色，这个点它走的过的轨迹就是摆线。那同学们，你想想你让这个圆在这上面压。对吧，你让上面压压的话，你发现什么时候它能摆到最高呢？

你想你就让这个圆滚起来。滚起来就在这上面滚，什么时候跑到最高呢？就滚半圈的时候，你看让他滚半圈的时候就是让什么呢？让这个点。它跑到这个什么跑到这个x轴上，它就跑到顶端去了，所以应该是跑多少跑半圈，它就滚上去了。那跑半圈的话，就是刚好是派a。对吧，就是跑半圈180度，然后这个时候的话，

你发现再转一个大半圈好，你就回来了。所以这个长度是二派a哎，一个周长。啊，这就是百姓。那这个t是什么意思呢？t就是转动的角度，这是没有转，然后这是转了180，这转了多少啊？二拍。对吧，赚了360，当然的话可以再继续滚，

再继续滚，再继续滚，但是我们基本上都考第一个，对吧？第一个这个360度的时候，它的一个情况。所以这个问题啊，你把它想清楚就行，可以了吗？同学们，把这个学会。你就知道，你记住就行了，没有什么难度，你就记住这个什么，

这个百姓就长这样子。然后呢，摆到这个点的话，刚好是那个圆的周长，那个a就是那个圆。的半径，然后什么情况呢？然后是。我在原地转。我原地转转，还转个鬼呀哎呀你。你们这一天也挺有意思啊。那我这个圆我原地转，我原地转不就是圆吗？他说有啥好转的？

好，那么接下继续吧，我们来看看下一个问题，把这个下面我们记得有一个题，这是幺五几啊？上面是幺五六哎，我记得还有个幺五七这个题啊，我把这个题我们来讲讲。幺五七。好，这里面当中有一个人，那这个线叫什么叫对数螺线，你别管他是谁。你管他是谁就是谁，他爱是谁是谁，

所以接下来我们来把这个东西啊，我们来算一下，别管啊，你别管。反正这个斜边是以极坐标系是给你的。然后接下来让我们进行去散班，算这个人的面积，那这个面积是多少？那这个面积的话，不就是极坐标吗？那夹角又给了你。然后集这个什么？这个theta等于派所围成的这个面积。那这个人的话，你发现这个夹角不就是从副派到这个人吗？

所以我们就直接来来二分之一，从负派到派，然后是r方DC塔，你夹角都给了你。那这是负派到派，因为你这个sita等于派它刚好边界线就是派，你就不用管了。然后这是多少是a方e的c塔的平方，不就是e到2c塔吗？好DC塔，所以说这个人呢，你就把他记一下。那积积下来之后，这不是偶函数啊，然后这个a方出去补个二前面二分之一四分之一四分之一的话e到2c卡，

把负派和派带去。所以说这是四分之a方，然后是e到二派再减去e的负二派。好了，这个结果正确答案选几啊？四分之a方e到二派减去负二派选a哟。好了，这个题啊，幺五七这个题我们就讲到这儿。来那么接下来我们继续，我们再来看看参数方程求面积。那么，参数方程求面积啊，非常的简单。参数方程求面积，

就说我们上面这条线呢。我是以参数方程形式给你，记住这个点，这个点非常简单。那你告诉我同学们，你告诉我这个面积怎么求？这个面积不就是a到b上面红色线的y对x积分吗？但是红色线的y只是t的函数，我只能对t积分，那没关系，赶紧把s换成t。那这个时候换成t的，之后的话，你发现现在就要变成t的了y就可以写成t的函数了is对t求导dt。你只要换圆叫换线就行，

你这个时候s=at等于阿尔法s=BT等于贝塔，那就可以了。所以你就记清楚这个东西就是什么，先写直角坐标公式，把这个s=ST啊塞进去就行了。就记死就行，先写直角坐标，把那个s的方程塞进去，相当于换元法，就这么简单。就这么简单，换进去三换就行了，好了，我们来试一个题。那这个摆线啊，

它给了你。其实你发现。你就算不会画这个图，你会做题。对吧，你不会画这个图，你会做题。那你会画这个图的话更简单，你要是不会画，你就这样做，你就写a到b，然后这个y对s积分。但是它是参数方程，我就要把x换成什么东西呢？我就要把s换成t-sint。

那一换了之后的话，你就发现这就是t的函数，然后is对t求导，然后这是dt，你就要写t的范围t是零到二派。要不会做就直接这样写。能理解吧，就说你就记住这个公式，你就用就行了，它给的是参数方程，你就先写直角坐标，你再把这个东西塞进去。能理解吧，如果这里面当中你知道，你知道的话，

你就这样写就行了，你就知道是这样的一幅图。那那个a是个半径，那这是二派a。这时候t对应的是零，这时候t对应的是二派。那就可以了。能学会吗？你说如果真的不会画图，也能做对我们做题没有任何影响。直接一点，你学会了公式就用呗，那还能怎么办？那我们再看，这是零到二派a，

然后是这个y对s积分。但是你上面这个y没法对s积分呢，所以说我们只能换元，那就换成a倍的t-sint。然后这个时候你换元就要换仙，然后这个就可以写成a倍的一减cosin t了。那DNS就是这个人进行求导，求导又来个a又来个它又来个dt。然后这里面当中注意你就要换线开始的t是零终点的t是二倍。你要不要好听明白了给我回复一？所以你将来过程当中啊，你就想清楚这个事儿，你就知道这个问题点是什么情况就行了。能琢磨清楚吗？就是你别管这个事儿，

就是你就直接写就行，你把这公式一套，它就出来了，我们不会考，特别难。但是你把方向性把握清楚。好了，然后算这个人，但是你要算的快，有些东西算的贼慢，然后这是一减去多少二倍的扩层t？加上cost的方dt来速战速决告诉我，第一个人等级二排第二呢。两上两下就是零，第三个人呢？

两上两下下面翻上去四倍的第一象限点二一二分之派点到它出来。那么所以说这个人的话，刚好是派三派a方啊，三次方都不对，三次方都不对，三派a方选a哦。好了，这是这个事情嘛，我们就讲到这儿，所以你看原来的过程当中的这个点火公式还是很重要。大家能理解为什么点火攻势重要吧？他在这块的运算当中很喜欢考这个三角函数，那考了三角函数了之后，然后又很容易进行考的这个角度就是零到二派啦。零到派啦，

零到二分之派，他很喜欢考这个人，那所以一定要把它拿下来。你注意啊，这个东西别慌。你考研敢给我考参数方程，求这个面积，我哈哈大笑，我贼开心，为什么不就是写出直角坐标塞进去吗？那就算这个徒步会画也行，我们就是a到b对吧？然后这个是y对s积分，你再把s塞进去不就是yts对t求导dt把t1换就出来了。非常简单，

就拿过来用，所以说今年考直角坐标，我就直接写，要不对x积分，要不对y积分，只要坐标非常简单。如果是极坐标，二分之r方DC塔，如果是参数方程嗯y对ts积分，但是把这个东西换进去就行。听懂我的意思吗？非常直接，你今天过程当中学会了之后，你不身边有题吗？你可以使劲的怼，

你想怎么怼怎么怼。反正考的这个东西啊，不会说特别难，那么接下来我们来看看我们考研的黄金重点之所在，这是必考的内容啊。旋转体体积。而且我们的旋转体体积啊，也非常的简单。那基本上就是两种，一种是绕着x轴旋转一周的旋转体体积。一种就是绕着y轴旋转，一轴的旋转体体积，你发现我们不会玩的特别花。核心重点就是这两个，那么接下来我们来看看吧，

我还稍微给你推一下。我稍微给你推一推，你把这个思想学会就行了。好了，我们来看看这个事儿，今天学跟上次学，你绝对感觉不一样，那么这里面当中这是y，然后这是零，然后这是s。这里面当中有条曲线。那么，这里面当中怎么办呢？我们使用微元法。注意微元法怎么取的，

你就记住这个事情就行，微元法就是在s处取这个长度为ds。大家注意ds是趋向于零的，所以说这个长度基本没用，因此我就取了个条儿。好，上面看成平的。那么，取出了这个人呢？之后啊，你发现我们这个东西绕着s轴转一周，你绕着s轴转一周不就转出来这个情况吗？就转出来一个饼。那转出了一个饼呢，之后的话你发现。

它这个高度是多少？这个高度是不是就是它的y啊？啊，能理解吧，就是这个函数嘛，那个曲线的y，然后这个厚度呢，其实就是ds。那么所以说这个人我们就可以写了。来跟着我一起写公式是怎么写的？那这个d这个面积啊，这个体积就是底面积派y方在dx，所以说绕着s轴旋转一周a到b，你看这是v圆，你从a累加到b就行了派。

派y方点s。就是取一个这个人转一下派y方ds呃，派那个fs平方ds就非常简单，派他的平方ds。你想记不住都难，你这怎么可能忘呢？对吧？这一转派y方ds派y方ds 1转就出来了。非常容易，然后接下来我们再来看看，绕着y轴转。那绕着y轴转也是这样，我们怎么办呢？我也进行去取位圆，我在s处。

取一个长度为ds。那这个长度ds非常小，那这个东西啊，就是一个这个人。那么这个东西要绕着y轴转一圈。绕着y轴转一圈儿之后的话，它是个什么情况？它是这个情况？好，我们来看看。你要注意这个东西，实际上它是非常非常小的。非常非常小。那所以说这个人的话，他其实就变成了这个情况。

来看看这个人。好，这是这个。大家一定要听清楚。这个点有一个特点。它的特点是这个厚度是ds是趋向于零的。所以这叫薄壁的空心筒。它必须要薄，有些有些的同学的话胡做题，人家都不薄，你就不能这样做了。必须薄薄壁的空心筒。然后这个部分呢，长度是x。然后这个高度是谁呢？

是y，因此你发现这个微圆体的体积是多少？那那因为它非常的薄嘛，你非常薄的话就是二派s是周长。你再乘上这个厚度。就行了，非常薄，那这个周长再乘上一个很小的厚度，它就可以了，然后不用切开。也不用切开，你自己学到今天了，不要再这样了，就是直接来。非常薄，

对吧？你这个二派y周长再乘上这个厚度，你再乘上这个高，所以说vy这个人就出来了，这a到b。二派s，你再乘上这个yds。那么，这个y其实就是我们的fs ds。所以如果上面给这条线，你看就是这条线。我上面给你一条线。我这条线投下来的，去绕y轴转，注意啊，

这条线投下来的，去跟y轴转，那就是。二派sf SD s其实你发现我们考到现在。基本上考这个内容就是一个能力套公式的能力。你给我会套公式就行，你只要能把这个公式给我套好好，我现在问一下这两个东西都是怎么进行取调的？回答我，请回答我件事情，刚才这个东西都是怎么进行去取条的？啊，回答我这件事情，刚才这两个东西都是怎么进行去取条的？竖着取还是横着取？

竖着取吧，哎，注意都是竖着进行取调，都是对谁积分都是对x进行积分。能听懂吧，他们都是竖着进行去取条的，要想清楚啊，那么接下来我们来看看这个问题，把这张表。给我记住。你发现吗？我们的这个考研方向没啥问题。都是竖着进行去调的。你放心吧。我们的基本的内容啊，

差不多都是x轴和y轴转。好，那么接下来我们来看看绕着s轴转。然后绕着y轴转。然后接下来我们来看看x形图。好s型图。那s型图是什么情况呢？它是这样的一个情况。那么，这个人的话就是y，然后这是零，然后这是x这条曲线。同学们，想想。这种图都是竖着取，

还是横着取？你先回答我。比如说你取条的时候，你会竖着取还是横着取？啊，这种条这是副图。竖着取还是横着取？这种图都是竖着取。竖着去，绕着s轴转。你放心吧，大概率事件都在这儿。还是在这儿，只不过我们把这东西其实也非常简单，我稍微给你讲了。

但是你不要剑走偏锋，你要知道哪块是大概率事件。那么，如果是这种图的话，你发现来走绕着s转竖着丙。派y方ds走a到b的积分简单吧。如果是往下投这个区域，绕着y轴转来走，竖着取来走二派x。再乘上yds a到b结束了。能跟得上吧，你注意啊，如果做错了，你这有点对不起人啊，这个点这非常简单，

然后再来看。我们继续看。那如果这个人的区域是这样。好，再来看。这是y这是零，然后这是x。如果这种曲线的话，它是这样。好，这是a和b，然后这条线写成了x的啊y的函数。因为它适合。对y积分对吧？适合对y积分，

所以说我们就把它写成什么写成y的函数？同学们告诉我，这种图适合横着取还是竖着取？对，非常好，它适合横着去。横着取那横着取的话，你告诉我它绕着x转是不是薄壁空心筒啊？啊，它绕着s转，不就是这个人绕着y转吗？是吧，你其实就是这个公式。那这个公式怎么办呢？你把这个人啊，

这是个vy。那你把这个公式当中怎么办？你就把它给换一下，你看还是a到b，你是二派s，我就是二派y，我再是xd y。把这东西换一下就行，把s字母和y字母给我换一下，你说二派y，然后把这个s的函数带进去，写成y的函数一积分就出来了。然后同学们想，如果这个人是肯定是适合横着去。你横着取的话，

你对y积分你都绕y转，你绕y转不就是上面那个绕s转来把这个东西给我抄过来，那是vy这人等于多少a到b？它是派y方，你是派s方，然后dy。对吧，把这条线写成s函数带进去就行。听得懂吧，所以说你发现你一定注意我们的考研的大概率时间就是这。要注意哦。总结我们考研。三九六考研大概率事件就是这。对吧，就是这。

所以你发现一个事情，你见到。对吧，如果今年考研的过程当中，你注意了，你遇到的是x轴和y轴转，你怎么办？你见到你哈哈大笑啊。其实这个问题非常简单，就是套公式，没有什么别的能力，你就套公式嘛，对吧？你见到这个东西，你再把它做错了，

你就是有点不好意思，对吧啊？有点对不起人了啊。算了，把这个低调点低调点，别哈哈大笑了。好了，这是这个问题，就说基本上大概率事件都是考s种。所以我们的大概率事件其实就是。还是绕着什么x轴？与y轴。好，这是这个情况。你能理解吗？

就是刚才这种心情呢，就是我平时想写书写成的样子，但是你发现最后他只能写成这样。啊，就是。又很官方的学术的这种话啊。大概率事件还是绕着x轴和y轴转啊，就是这个问题。行吧，那么这个问题啊，你想清楚就行，只要它是绕着x轴和y轴转，你直接把这东西给我处理清楚。对吧，就说你直接看到I轴和y轴上，

你直接写。把这个方向性啊，你想清楚就行好了，我们接下来看几个问题。那么接下来你水平点快一点，这种题啊，速战速决好，先看第一个问题。它给了一条曲线。哦，有些同学。这个我知道他的问题点在何处。其实我都懂。这个问题点不就是。他不知道这个曲线是啥曲线呢？

啊杀曲线你其实如果真不会的话，你发现你s=1的时候，它是0s越大它越大。是吧，一的时候它是0s越大它越大，就这样画就行，但其实你发现你怎么可能会认不出来呢？这不就是y方等于x方减一吗？它不就是x方减去y方等于一吗？这不就是那些年你学过的圆锥曲线吗？这不双曲线嘛。是吧，双曲线啊。是一个耳朵嘛，然后这个焦点。

对吧，焦点a这是负a嘛？好了，这是这个。能听懂吧，但其实你发现如果你就算你不知道。你怎么可能这个题做不出来呢？我再强调一遍，你看。当s=1的时候，它是零。能理解吧，一的时候它是零，而且s越大它越大，你就是这样一幅图，

而且这东西是大于零的。同学们听懂了吗？然后他说跟s2和这个s轴所围成的这个区域绕着s轴转来，见到s轴转。你告诉我这种是s型还是y型？回答我，这是x型还是y型？是s型吧，那是s型的话，你就直接做呗，多多少一到二派倍的这个人平方s方减去1 ds本题解除。派真积分呢，三分之一三次方，那就是七，然后再减去一，

所以说这人是多少三分之四倍的派答案选一。s型，然后说s轴转，你直接写就行了，你这这这做不出来，有点不好意思哦，好了，来继续，我们再来看这个题。注意草图就行了，不需要那么详细。你再来看这个题。这个题它说异到正无穷。s轴上方的无界区，那同学们想想这个东西是不是一定会大于零？

对吧，你别管了，你就随便画呗，反正它大于零，你就随便画一到正无穷嘛，它都大于零，他说老师真的长这样吗？你管我呢，那这样也行啊。那这又怎么了？它影响我们做题吗？都不用进行画对吧？那这个东西很明显是s型，那s型来绕着s转哈哈大笑对吧？派倍的，

然后是e到正无穷，然后这个平方x倍的一+lns平方分之1 ds。看起来这个阵势啊，那么大，其实非常简单。那么，然后接下来的话，你发现这是派一遇到正无穷，然后这是多少loins平方加上一，然后d多少loins，那这个结果其实是arctangent t。lns把e和正无穷带进去。来先看，正无穷。鲁运正无穷，

正无穷，阿滩正无穷，二分之派。一旦取ln，一是1 tan 4分之派是一，所以说这个结果等于四分之派方答案选几选b。好了，这个点呢，我们就讲到这对吧？你看这个幺六零这个题，这也不难，你画个草图就行了，然后接下来我们再来看看下面这个问题。你看这个题。那这个题的话，

他又来了，他说什么情况呢？他这里面当中，你要敢做，别怕，对吧？别慌啊。你平时的话都是学习做错了，把它再捡回来嘛啊，然后这个人呢？三这是零到派，那就是这个区域。那这个区域的话，你会把它当做成s型还是y型？s还是y型s型你哈哈大笑来，

绕着s轴转那多少零到派派倍的这个人平方sins方ds。然后再来看vy vy这个人的话，你发现继续那走零到派，然后多少二派s你再乘上s in sds。好了，这个情况。所以说这个时候啊，你发现一个事儿。它和x轴所围成的图形绕y轴，那我做那么多干嘛？不好意思，这题应该改一下。这些没出好，应该改成这种题，说绕着s轴转和y轴转旋转体体积的比例是多少？

能听懂吧？哎，比例是多少？行吧，做多了不好意思啊。那这个这个嗯，一会儿再算算吧，来我们看这个人。那这个人是多少呢？赶紧走，把这个二派塞出去，零到派s乘上这个s in这个题能做的很快吗？能做的很快吧，来走一下，忘掉的同学，

你下去好好自学，这上节课才讲的。那这个时候你发现零到派的时候s乘上s in不要了，前面补二分之派零到派这个s in ds。然后这个时候啊，你发现这是派方，这个面积是几二二派方好了，正确答案选d。好了，这是这个事情，那如果算这个人呢？你也能算的很快派出去，然后这是二倍的二一二分之派。所以说这结果等于二分之派方。这个题应该考两个东西的面积之比，

这两个东西面积之比刚好是四，那应该出这种题。对吧，是不是啊？就说你这个东西你不光会算，你要算的快啊。你这这次应该出成这种题啊。好了，这是这个问题吧，来再来看下面这个题。好，继续做。那么，这里面当中，我们来进行来画出这个人的积分区。

啊，来积分区。是啊，所以说没有出好嘛，下次会把它改成那样啊。难道接下我们继续，我们再来看这个人，那这个人呢？幂函数那幂函数的话，经过零顶点，而且的话，他是这样。然后的话，现在有个a。那然后的话，

这是a的话，你发现绕跟s轴围成的区域s型还是y型啊？s型绕着s转y转对吧？那这东西你哈哈大笑，马上来绕着s转的话，这个人就是领导a判。派倍的这个人的平方，那这人平方就是三分之二次方ds，然后绕着vy转零到a二派s再乘上y。y是三分之一次方ds。那么所以说这人积分是多少是派，然后是三分之五五分之三a的多少三分之五次方零带距离嘛？然后这个东西的话就是二派，然后是零到as的三分之四次方ds，那这是二派，

然后三分之四三分之七七分之四。然后是a的三分之七次方零代去零嘛。没问题吧？好了，这个题目当中告诉我们一件事情，说vy这个人等于十倍的他。所以说是二a倍的七分之四a的三分之七，次方等于十倍的派。五分之三a的三分之五次方。那么所以说这个东西的话，你发现我们就可以约一下。你这个东西跟这个人约派先对吧？派还约不了。这边没有派吗？这边没有派。

有派吧，我应该有个派啊，对对对。是二派，不是2a。派完了，完了没分了派派啊。好了，这是这个。七分之三。哎呀，这些题做草率了啊。三分之七七分之3p。好了，这是这个题，

那么接下来我们来看看这个事儿，你发现把这个什么派约掉，然后这两个东西约掉的话，这个人还留个二二跟这个约掉。三跟这个东西约掉，然后这是三分之七跟三分之五的话，那这人的话减一下，还有个三分之二，这是七。然后这是a的平方=7的三次方，然后这个a开个方就是七倍的根号七，所以答案选几选a。好了，这是这个声，能听懂吧？

哎，这点好了没？行吧，那么这是这个事情，所以你们慢慢进行处理，把这个内容你想清楚。跟得上吗？好，把这个问题回算，就说如果这个东西绕着s转，绕着这个y转呢？哎，你发现一个事儿，你能做的非常非常的好。那么，

接下来我们来看一波问题，那看几个特殊情况。下去会做吧，其实你发现我先说啊，基本上都是刚才那种题。所以说在这里面当中，我们来看看，注意点一。啊，我们在这里面当中。好，那么接下来我们一起来看看这个事。那么，在这里面当中啊，如果这个东西它给你的是这个情况。

那这是个y。然后这是零，这是s。如果这有一两个曲线。这是a，然后这是b。那么，这个区域绕着这个x轴转的旋转体体积公式是怎么做的？绕着s转，这是y=fs。这是y=gs。好了，它绕着s转。它绕着s转，其实是这个部分转。

再减去里面这个旋转。所以说这个VS这个人呢？他应该是什么情况？它应该是a到b派倍的。上面这个人的平方ds再减去a到b派倍的，下面这个平方ds。好了，这是这个问题，所以你就发现整体的这个东西转一周。然后再减去下面这条线投影下来的区域转轴。能听懂吗？我们旋转体体积公式是当我给你这条线的时候，我的区域是这条线投下来的区域。这是s型吗？当我给你这个曲线的时候，

我们是投下了这个曲。好，这是这个问题。不难哦，这个基本问题，然后这里面当中我们再来看。如果还是这个区，我问一个事情，绕着y轴转是个什么情况？哎，我有个问题。是红色线绕着y轴转减绿色还是绿色减红色呀？谁转vy？那当然是红色呀。红色实验给了你了之后，

我们研究的区域就是这个区域。这个区域就是a到b2派。那二派s再乘上fs ds好，这是红色。然后绿色投下来的区域是这个区域，然后绕着这个人转时，二派s再乘上gsd s，是不是就出来了？好了，这是这个问题，能想清楚吧？把这个问题点呢？你琢磨清楚就行。跟得上吗？一定要会有就说，

如果是这种情况，绕着x轴转和y轴转啊，基本上差不多，所以。我们的考研吧，其实大概率事件仍然是在这个x轴和y轴中，但是你放心吧，你今年无论怎么进行去做模拟题，你肯定会遇到这种情况的。那么来看看下一个问题题。嗯，这这东西学不通呢。你这个人转一周不就是这个整个四周的这个体积吗？你再把下面这个东西转一周，把下面这一周的体积给掏掉，

不就是上面那个上面那个。上面那个人转一周的嘛？这这这，你要想清楚这个问题，到底在干嘛？对吧，你这个桶你转一周的这个体积，你再把下面这块的转一周的体积减掉，不就是上面那个转一周吗？所以说你这别别别你这你这说明没有想通，能想到这儿这个这个问题的话就很麻烦啊。好了，我们再来看看下一个问题，第三个点。和第四个点。

好，如果是一般轴。你学会了下面这个问题。你还得再想想。你还是没有想通。就是这个。你比如说这个部分。它绕着这个东西转一周。绕着y轴转一周嘛。他是这个情况。你再把下面这东西转一周。你给剪掉。不就是上面这种转轴，这多好多好想的。非常简单的问题。

你再想想这这个整体这个部分转一转。我再把下面这部分转一轴给剪掉。他不就是这样吗？那你想想你原来过程当中，你去学的这个内容是什么呢？你比如说这个部分，这个部分如果用那个公式求的，不就是这个东西转一周的体积吗？然后如果算这个的话，用这个公式不就是这个人转一周的体积吗？你上面那个减这个你肯定是知识点错乱了。因为你肯定会想到这个第三个知识点，它就不是一个题，我是绕着y轴转。啊，

好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题，来看看你说的这个x-a这个人。你要学一定要把它学通了啊。好，我先说一下，刚才那些问题都是背公式来做的。都是背公式，你要知道你公式里面当中的这个量是什么？就是这个线往下一投，你这个人转一种，这个人转一种。那么，接下来我们来看看下一个问题。

如果这里面当中有一个这样的区域。那如果在这种当中，你要进行去绕着这个东西转一周呢？那个同学啊，你肯定是想到这个知识点了，那这个知识点我就有点混乱了啊。绕这个人转一轴，你一定要有非常清晰的x轴和y轴就记公式就行，那如果是这个人呢？你看我们就来用微元法。我再说一遍，如果是一般轴，你就用v元法。那这个微元法的话，你发现一个事，

我们来看看这个事情，我就在这取一个微元。就是s到ds进行去取一个位元，上面看成平的就是这个部分。那这个部分绕着这个s=c转一周是个什么情况呢？它转一周就是这个情况。他这个人转一周，其实就是一个薄壁的空心筒。对吧，薄壁空心图。那么，现在我们来看看这个人半径是多少？你要注意一个问题啊。这个中间基本上没有厚度的。它是没有的，

你从这个点到这个点，跟到这个点，距离是一样，因为那个厚度是ds。所以说这个时候的话，这个距离其实就是c-s。你不要认为那个部分还有厚度，那个厚度基本上没有，然后这个人呢是ds，然后这是y。那所以说这个人的微元t tg是多少？那就是二派。周长。对吧，二派这个半径，

这是周长，然后再乘上厚度，厚度乘完了再乘上高度。所以说VC这个人其实就是。a到b2派多少c-s，然后这是多少y倍的ds？好了，这是这个事情，所以同学们一定要想清楚，你可以把这个事情给记住。我以后如果是这种图形，绕着x=c转，它就是二派c-s。能听懂吧，你可以把它记住。

你可以把这个东西啊，你可以记住，你说将来过程当中，你就可以用了，我们讲一次是这个水平，讲两次讲三次讲十几次了，之后的话你不能说，跟原来是一样。是吧，你这个东西是c-s，其实你发现这个东西其实就是个平移变换的问题。你想嘛，绕着y轴转时，二派x yds，这是绕着y轴转嘛。

你这个区域绕着y轴转，是这个人，如果你这个东西绕着什么绕着c转呢？c这个轴转的话，那就是c。c跟y轴之间的距离，这个距离不就是c吗？用c-s就行。能听懂吧哎，就是这个情况，其实就是一个平移，但是你不用过多的想理解一下就行。稍微理解一下就行。好，这是这个问题，

那么接下来我们再来看看第四个点。再来看，然后如果这里面当中啊，你就会发现这是一个y。然后这是零，然后这是s那这里面当中有一个。a到b。对吧，这块有个区，假设这是fs。我们现在这里面当中啊，我要绕着谁呢？我要绕着这个人转。好，这是c。

那怎么办呢？如果绕着一般轴转，取个v圆，赶紧画个图，什么都出来了，来在x处取一个ds就跟着这样做啊。你下去把我今天的课程的上课讲的这个东西，你给我复述一遍就差不多了，来这个东西绕一周，那这个东西转一周的话，它是这个情况。它是这样的一个东西。好，那这个人的话就转成这样，然后这个厚度就下去。

啊，就这个人。那么这个时候啊，我们来稍微进行看看。我问一个事情，这个b还薄吗？啊，这个b还薄吗？你这个高度的话，刚好是多少？你这个高度刚好是c。你这个半径是多少？你这个半径是c-fx。不保了，你就不能那样算了，

然后这个厚度是ds，所以说这个微原体的体积是多少？那我们来一遍吧。派底面积c的方减去派这个c-fs^2。是吧，是大的减小的底面积。底面积再乘上高就可以了，所以说这个时候啊v的这个体积其实就是从a到b一个累加。把这个派提出去是c方，再减去c-fs的这个平方可以用一下平方差公式再来dx。好了，这是这个问题，这个东西要会推啊，一定要会推，其实你发现学到最后就是两种模型。

一种是饼来给我转，一种是这样转，就这两种。你绕着这个人转的话，就是这样的个饼，你绕着这样转的话，就这样的个饼，你把这两种模型吃透，那基本上没问题了。对吧，就是两种模型，把它转清楚就行。好了，学到这儿，万无一失了，

无论怎么考，但是我觉得我们现在考题而言的话，这个风格吧。出到这儿，这个几率还是很小的。啊，这还是很小，其实你发现大概率事件还是在这儿。啊，就还是在这儿，如果这里面当中啊，是绕着x轴转和y轴转，赶紧套公式，那就是学了半天的而言，套个公式，

你还能套不清楚吗？这学了一年了。真学一年了。一遍两遍三遍，还不如稳稳当当的学一遍学，偷比什么东西都强，这又回到我们上次过程当中说的这个点。就说的这个问题。就是你学一个东西，你要吃透一个东西，不是说你学了这个多久了，我觉得这东西不重要，你的进度又怎么样呢？这个也不重要。关键是你有没有把它吃透了？

你就是这两个问题，你就记住绕这转丙绕这转空心筒那绕着s和y轴转的话，这个体积公式直接出来了。一定要拿下来。好了，这个问题点我们就说到这。然后接下来我再说一个问题，我们就可以下课了，可以吧？我再讲一个点。那么再来看看求弧长的问题。求弧长问题最重要的问题就是记住弧微分。什么意思呢？就说。什么叫弧长？

就是这一块有条弧线。弧线上有一个微圆很短的一个东西，它就叫弧微分。记住弧微分就行了。你只要能记住胡微分。它就可以了，只要你记住弧微分有直角坐标的。直角坐标的弧微分等于根号下一，加上y对s求导的平方ds好可以了。有参数方程的des这个东西等于根号下s对t求导的平方，加上y对t求导的平方dt。然后是极坐标的ds，它等于根号下，然后是r方，然后加上r对theta求导的平方d theta。

好了，这个。把这个弧微分给我，记住就行，然后具体题具体套公式。那么，在这里面当中，我们接下来比如说这里面当中，你看。它是个直角坐标。你发现看这是直角坐标的，互为分一，加上f对s求导的平方ds。然后把互为分写到这儿，然后直角坐标，

你发现从小写到大。这是你要稍微注意一下，就说如果是胡微分进行积分，就是求这个什么？这种东西没有什么说换元的问题，它没有换元什么参数方式，也没有换元。你不就是对你看，这就是弧微分。这是直角坐标的，互为分，这是极坐标的，互为分，你不就是要对这个人积分吗？那直角坐标就是对s积分。

你就把s从小写到大。然后这就是对t积分，你就把t从小写到大，这是对theta积分，你就把theta从小写到大，就是一律注意一个事情，就是下限小于上限就行。听得懂吧，就是这个问题，就说你这个弧长就等于弧a分积分，弧a分积分，弧a分积分，你后面是ss范围，你这TT的范围，然后这是什么theta theta范围？

就非常简单，见什么东西写什么内容就行。好了，学会了给我回复一。其实我发现一个问题哦。对于弧长这个知识点。我感觉是三九六同学学的非常非常好的点。你不觉得吗？我觉得这个内容是三九六同学写的贼好的点。也能反映出来，大家其实每个考点都能学得好。但是你发现啊，为什么这个点学的贼好呢？是因为在二零二二年超纲了。是很多同学认为的超纲吗？

对吧，因为那年出了一道哇，真的是狠狠记住了，那确实是这样。你发现每个同学肯定会这个人。那如果的话，你每一个考点你都能像像这个求这个什么求这个东西一样去学，你还能学不好？你发现都是这样，所以也有一个问题。你不要等到这个今年考完了之后，你印象极其深刻，我不希望是这样。所以千金难买，早知道嗯，

所以说这个平时过程当中已经努力到现在，好好加油，对吧？而且我相信吧，你一直跟着这个课程同学，我觉得后面过程一定能考到非常非常好的。所以我们只需要到了后续过程当中再来一轮复盘，那就完美了。这一轮强化结束了之后，再来一轮复盘，那所有的内容其实就非常顺了。所以现在有些东西啊，你可能还没有到很多同学的这个脑子里面。所以希望同学们下去好好加油。好了，

那么接下来我们来看看下面一个考题，你看这多简单。弧长那么这个弧长啊，来走弧长就等于弧微分积分。来根号下一+y对s求导平方ds。那这个东西是x写s范围，从小写到大。好走你。然后这个部分是一加上。那这个y对s进行求导的时候，你发现这是tangents。他这个人的平方ds 1+tan^2，这个人是多少是second方就是second x的平方。那second是cos OS in分之一，那cos in分之一的话，

其实你发现零到四分之派是cos in是正的，那这人直接开了。然后des这个人，那这个结果是多少是ln，然后多少second ds，然后加上tangents，绝对值把零和四分之派在一起。呃，有一个问题点呢，你要注意一个事情。对吧，你要注意一个事情。就是你这里面当中的这个点呐，你把它想清楚，有同学这个积分做的不好，

你要是second这个东西，你看的实在不顺眼，你就写成cos三分之一。那这时候的第一个人。那cos 4分之派，二分之根号二翻一下对吧？一翻一翻这个人的话，他就变成多少一翻这个人的话，就变成了根号二。然后这个四分之派，这实是一你把它带到这里面。然后零呢cos 0是一，它这零呢是零，那这loe ne呢是零，所以这个结果就选b。

这个非常简单嘛，你就别管它什么线什么变线，函数曲线什么曲线都行，你爱什么曲线什么曲线？然后再来看下面什么对数这个线，你管他什么线呢？他爱什么线什么线来走弧长极坐标。r方加上r=theta求导的平方d，theta后面是theta写theta的范围，把它记住，公式一用就出来了。然后r方那就是1e到2 theta求导还是一的theta 2 theta，然后这是d theta，然后这是零到派两倍的就是根号二。然后这个东西在二分之一次方呢，

又是e的theta号d theta是根号二，然后这是e的theta把零和派带去。然后这是根号二倍多少呢？是e的派再减去一，所以这个结果正确答案选c。好了，像这种基本的问题啊，你是一定要把它会的，对吧？这个弧长的这个问题啊，还是比较简单。可以了吗？把这个考点你下去过程当中，你好好看看，那么今天我们就讲到这儿，

然后后面还有一个旋转表面积的问题。我们下节课稍微的讲一下，要不这样吧，我讲完吧。也不留到下节课了，我稍微说一下，因为这个内容啊。考研的时候你发现它不是一个难点。但是它绝对是我们的一个冷门。考到这个部分的时候，其实就稍微的会啊，有点夸张了。那么，接下来我们来看看这个旋转表面积。那么，

旋转表面积三件事情就行，第一件事情。就是这一块有个曲线。然后是。这个a点。然后是这个b点，我们考研就考x轴。那么这个东西它绕着这个x轴旋转一周的那个表面积是多少呢？大家注意第一件事儿。其实你发现你可以取个微圆。s到ds取个v元，你一定要注意，这个部分是弧微分就行了。就说我取了个微元了之后，你知道那一段是活微分就行了。

那个长度不是dx，它是弧微分就行。然后这个时候你转一周了之后。它就转出了这样来，标出乙质量。那这是y。这是ds，然后我们要求的是什么呢？求的是这个部分的面积。啊，求的是这个面积，那么这样吧，画的太深了。然后让我们去求解这个面积怎么求呢？那这个面积就等于。

二派yds。周长再乘上这个厚度ds好了，记到这儿就行了。能记到这儿，就完全可以了。就是你的脑子里面一定要记住嗯，它是二派yds，二派yds，二派yds。记这那记这个不如记这个。你记这个人不如把这个图全，就是你脑子里面有这三个事儿就行了。能理解吧，就是你有这个人哦，我知道嗯，

那个取的胡玉芬是ds那赵二拍yds 2拍yds。非常简单。好了，这是这个事情。所以这个侧我们讲的这个表面积啊，是侧表面积。啊侧表面积。它如果说表面积，那肯定有两个点。那有两个底侧表面积好了，那么接下来你看如果一个题考了直角坐标，有了这个公式，直接套你看我们套牢。那这个a就等于二派y直角坐标y是fs，然后ds呢是一+f一撇s的这个平方，

这种点不存在换元啊。因为你发现后面是ds。如果这后面是ds，就写s范围。a到b。如果这个人的话，他考的是参数方程。那这个人也是直接套公式。今天来一道怎么样，对吧？这yt，然后这是s对t进行求导的平方。y对t求导的平方，然后这个dt。然后这是t的话，

你就写t的范围就行，注意从小写到大。好注意这东西啊，下限一定是比上限小，从小写到大。所以你的脑子里面最重要的问题是这个人。最重要的问题是这个人。二派yds，二派yds，直角就是二派fs ds，这根号下一+f=s求导平方ds。从小的写到大，就是完全是套工资，你说这有什么难度？它最重要问题就是套公式，

你把套了公式了之后就变成了定积分的计算能力了。一套公式二计算对吧？套完公式再计算二派yds。把ds打开ds这个东西啊，你会知道这个东西就可以了。行吧，那么这个问题我们就讲到这儿。那其实你可以进行去看一下那个。这是PPT哦，打错了。好了，那么接下来你去看看这个。啊，那年考的这个题，这题也非常非常的简单。

对吧，你比如说那天那年的话，考的这个题，你再进行去看看这个事儿的时候。包括的话，那个弧长的那个题，它也非常的简单。就这个题。这是二二年考的那个题，然后去求解这条线的长度。那这条线的长度的话，你发现这s等于多少直角坐标为来零到它根号下一+y对s求导它。它的平方dx。那这里面当中的这个y是什么呢？你说我稍微要进行转一下，

它是根三分之一，然后x的多少二分之三次方？是不是这个人呐？然后你进行去求导的时候的话，这是零到四，然后是根号下一，加上这是根三分之一。然后求导是二分之三，然后这是二分之一次方，然后这是啊，这个平方，然后再来ds。那所以说这人就是零到四根号下一加上。那么，这东西进行去约了之后的话，

就是四分之一。然后的话，这是四分之几呢？四分之三xd x。好了，做成这样，那做成这样了之后的话，然后就变成了定积分计算了，那这是一加上四分之三s。d多少四分之三s加上一那这是四分之三前面配多少三分之四那么所以说这个结果就是三分之四稳稳当当做。你不要动不动一个题两三行出来，一般都不太可能，你稳稳当当算，然后二分之一二分之三三分之二。然后这是一加上四分之三x。

它的多少次方？这是二分之三次方，然后这个部分是把零和四带进去，因此这个东西就是九分之八。来看一下。把四往里面带的话，这个人是多少？那这是四四开方，那这人结果是二八次方，然后减一。所以说这是九分之七八五十六。所以，正确答案选几选d。能理解吧，因为四往里面带的话，

你发现一+3刚好是四嘛，四开方是二二的，三次方是八嘛。所以说，然后把一带零带进去的话，刚好是一一算就出来，所以这种题的话就是套一下公式，剩下的东西就纯属变成定积分计算了。一套公式，然后接下来做定积分计算，所以核心重点还是定积分的计算能力，这个很重要。那定期分的计算能力，如果在考研，你说它的考研的分值呢？

那应该是在。呃，你前面的话，你比如说两道题，然后前面的话，两道题那应该是在八到十分。那所以这个配比还是挺高的了。啊八到十分呢。好了，这个点呢，我们就讲到这儿过去了，可以吗？所以说今天呢，我们就把这个呃定积分呢，这章章全部讲完了。

然后下节课，我们将会重点来讲我们的这个多元函数的微分学这些。那么多元微分学这一节啊，提前我先说一下，你做好重点的准备。听得懂我的意思吗？你做好重点的准备。那么，这里面当中这一块内容一定要好好预习一下，然后下次过程当中一定要把它突破下去，多元微分学也非常重要。第一个事情我捋细一点。二，重极限。基础班过程当中，

我们讲的二重极限一定要好好进行去看看。那么，一个二重极限怎么去求解？怎么进去去判定怎么进去去观察它？你像去年那个考题的话而言的话，它就是二次比二次一看是不存在。它肯定后面的话啊，等等不可谓，就是你要看的很快。这个二重机械。要听清楚啊，这个内容很重要，就是我再来说几个事情。第一个事情，你一定要重点看。

就是不存在。的证明。然后第二件事情就是我们这里面当中。啊，第一个事情不存在的证明。然后第二件事情其实就是我们的求解问题，还有第三个事情二重的时候。的企业问题。这是我们的基础班，我们都讲这一定要进行去看，这非常重要，二重的时候那个接的问题还记得吗？就二重不能延续一重接的这个结果。不能延续，你不能延续这个一重极限，

这个什么一重极限接的结论，但是我可以进行怎么办观察？哎，这个东西很重要，然后二元的连续性，这个太简单，然后第三个事情偏导数的定义。偏导数定义我们的高能重点。有可能这个定义就喜欢出一道题，他考了一个事情，先代后求。求s偏导数，先带y求y的偏导数，先带x，先带后求，

不行这个东西等会儿啊。我要标成一个重点。好，这个东西这两个东西都得重点看。然后第四个事情可微的判定。尤其是那个定义法。对吧，尤其是定义法。定义法来判断这个可维新。这是个很重要的内容。我们的定义法进行来判断，这个可为。那么你这个可为怎么判定呢？我们用定义法判。定义法判断这个可威性非常重要，

那一长串式子，这是我们的高能重点，这不是重点，这相当重要啊。这黄金重点。好了，这是这个事情。那么，这一波内容讲完呢？那么，其实就代表着我们这一章比较难的一个东西全部结束了。这其实是我们最难的。你要注意啊，我们的考试的风格跟数学三太窘然不同了。你发现其实我们每考一个选择题，

一个选择题两分，一个选择题两分，你包括去年的考题，你去看看。是不是在这个考点当中就这四个这个小型考点当中，他就出了两道选择题啊。他这一下就出了两个选择题，你可想而知。所以这就是他的考题的这种风格，他决定的。他这一下就能考考了，什么东西考了两道？哎，这种风格你要稍微注意。然后接下来我们再来看看，

就是多元的偏导数计算。那么，比较重要的就是符合函数的偏导数计算。对吧，先对中间变量求导，中间变量再求导，比如说多个中间，然后是二元隐函数。偏导数计算。然后的话，紧接着就是第七个问题，那第七个问题，接下来继续。还有最后一个事情，一个事情就是二元函数。

无条件极值。机制问题好，这就是我们在下章过程当中的核心重点，那么下次过程当中，我们应该是讲到这儿。注意，这是下次课程。那么然后下下次课程我们讲到这。讲完了这儿呢之后，然后我们再补充一个东西，叫做经济学应用。好，我们再补充一个这个内容。所以说基本上啊，这是完全能讲到的，

你不用不信。数一数二数三，讲那么多的内容，做那么多的题，我都能讲到这儿。所以你把这个东西啊，你该做准备的东西，你做好准备就行。所以这个点呢，我们这节课会讲到这儿。然后最后一节课一个二元隐函数的偏导数计算，一个是无条件极值，还有一个经济学应用。然后最后一个事情。一些。

中值定理。的基本问啊，就是基本问题。小梳理。好了，两节课。那么，这个板块内容我们就结束了。所以说这个中值定理里面当中还有几个稍微需要进行去注意的一些点。然后我们把这个东西啊，稍微说一下，那基本上两次课程，我们的这个高等数学，我们就全部结束了。能听懂吧，

所以说希望大家一定稍微注意一下这个事情啊，我们就不连着上了，我们还是分开上。对吧，分开两次，所以说呃像对我们的这个什么，对于我们的这个。线性代数部分的前两次课程，我们是可以连着上的。能听懂吧线性代数的前两次课程，所以要稍微注意啊，那么这是一次课程，这是一次课程。这两次课程，我们的这个部分的内容就全部结束了。

好了，这是这个点吧，我们就讲到这。特殊曲线会不会只告诉我们a。那肯定不会呀。你是？你这也太狠了，对吧啊？好了，这是这个事情吧，我们就讲到这儿啊，上次作业啊，忘了发了，然后是这样，然后明天上午的话呃，

你明天上午去下吧，然后的话我把那个。把这个高等数学的所有啊，我们都给你传一下，然后这样的话，不用这个同学的话，每次进行去等了。好不好啊？就是高等数学的所有，我们一次性给你发了，然后你给我一个时间，然后我看看啊。然后周末的时候我把这个线性代数和概率论呢，我全部发给你，因为这个呃，

因为吃了这个第二次亏，对吧？第二次那个作业里面出错的非常大，然后的话，有些同学非意见非常大，所以说稍微的话，我们把那个呃。我校正一下，因为这两天的话，实在是那个书稿催的太厉害了。这两天的话，每天晚上的话，那个因为呃，后面的话有因为我这个秋季过程当中有三本儿书，一个是那个何止十年真题。

然后还有一个是我们的这个十套卷，还有一个是四套卷啊，所以说这个。我稍微进行叫一下，不然的话又出错了。然后我影响很多同学这个复习心情，对吧？我这个我碰到这种问题啊，我也挺影响心情的。好了，这个事儿我们就讲到这。可以吧，所以下去好好进行，把这个问题啊，好好处理处理。

可以了，这是这个事儿，所以我这个呃留给我点时间吧，明天上午可以吧，明天上午你去下高等数学的所有。然后下次这个周末呃，因为我这个差不多，这个这两天吧，我那个书就差不多了，然后到了这个。呃，周末的时候你去把这个线性代数和概率统计啊，你全部下载一下，不然的话，这样的话，

你每次一次打一次啊，这个稍微的会麻烦很多。好了，这个问题啊，我们就讲到这。然后的话，这个呃秋季过这个高等数学结束了，那就非常快了，那后面过程当中有这个线性代数。和概率统计那么线性代数啊，你提前过程当中，最近有时间呢，你就好好进行去看看，把这个基础班的线性代数也稍微的进行去减一减。那么，

这些问题啊呃，这段时间我们就会把这个高等数学的强化班结束，然后就进入到线性代数部分内容。好了，那么今天课程我们就讲到这儿好，我们去导这个笔记吧。好，那么今天我们就说到这吧，今天的东西很重要，你就把这个定积分应用，一定要把它拿下来，非常非常关键。好，那么今天课程我们就讲到这儿好，下次课程见吧。

做好预习啊，一定要做好预习相对的这个点呢，多元微分学还是很重要。把我刚才说的前几个点一定要预习了，不然下节课的话，一开始你听起来的话，这个不太顺畅啊。好，那么今天课程我们就讲到这儿好，下次再见吧。

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