15.冲刺满分强化篇·题型25-27精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 6 天前

那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个模拟题啊呃，这个题啊，有没有做完呢？选几啊？那按理说的话，课间这个休息的话已经有好几分钟了，对吧？选几啊啊？这个非常好，我们来看看这个题吧，那首先我们先来看第一个事情，它给的这个函数。你要注意啊，

你一眼瞅过去，你都知道这个人的周期是几啊？你不要说看不出来。那很明显s+2派，每个人都不动这个人的周期啊，其实就是二派。所以说这个时候我们知道，而上下限的长度又是二排，那这个人呢啊，很明显一个问题，我们来走，那这个ifs这个人呢？就跟这个s没有关系，跟s没有关系，你就变成零，

然后这是一亿的这个sint，然后这是s in tdt。那这是个定积分呐，定积分是个常数，那所以说它一定是个常数，不为常数不对，无法判定不对。它绝对是个常数，那当然也有可能无法判定，就是我不知道这个人是正的还是负的，对吧？这就选无法判定你，所以先把这个d选项排除。那这个人怎么做呢？我们来看看这个事情。

那么这个题啊呃，有些同学可能按照常规方法来做，我们先看看。那这个东西不就是来研究这个被积分函数吗？而被积分函数这一项永远是真。但是零到二派的时候是这样。就是你到派二派，你看这一段是正的，这段是负的。那所以说我们就得把这个东西啊，分成两部分，一个部分是零到派，然后这是一的sint sint dt。那这是不是正的，然后第二段的话，

你就要把它放成派到二派，然后这是e的sint sint，然后dt。是不是这个情况好，把它做成这样，然后这个时候的话，前面是正，后面是负，你就要看正的大还是负的大？还是上节课这个问题。那这两个东西没法比呀，因为这两个东西的上下限都不一样，肯定没法比。那么，这个上下限是零到派，

这个上下限是派到二派，你很明显，你就希望让这个人的上下限怎么办？哎，缩短一个派的长度。你就减去派等于。那所以说这个人一变就行了。那就是零到拍，然后这是e的sint，然后这是s in tdt，再看这个一便是零到派。然后这个人呢？是s in多少呢？这是派加u，那么s in派加u等于多少？

你不要在这里面当中，这个东西啊，反应半停奇变偶不变，那肯定不变，然后一加第三象限，这是负的你，所以说这个东西啊，等于负的sinu。然后这个是负的sinu，所以这个部分有个负号dt=du。能理解吧，好做成这样，那做成这样了之后的话，这两人就可以比了。那这两个比的话，

你发现就是零到派把它整理到一起，积分与变量字母的选取无关，把它改成t-e的负的sint。然后这人是sint，然后这是dt好，我们来看这个人。那这个时候的话，我们稍微进行去瞅一下。领导派的时候。那这个人是正的。对吧，你都知道es这个人。那这个人是真的的话，你发现这个人呢？对吧，

它是正的零到派正的，那正的的话，你发现这个人是大于一。但是零到派的话，这个部分呢？那零到派的话，这个人是负的对吧？因为这个正的这个人是负的，那负的话就小于一，那谁大呢？那还明是前面这个人大。这个能理解吗？因为你sint这个人是正的呀。我零到派的时候，三不就是上面吗？

零到派的时候，三是真的。你三亿是正的的话，你就发现你这个亿的正的，你肯定是大于一亿的负的，你肯定是小于这是正的，然后这个东西啊，它不就正的。对吧，这是这个情况，所以说这里呢，那很明显是大于零啊，正确答案选几啊选a啊？那这个东西啊，它是完全可以判定的，

你当然在这个题啊，我觉得做的有点慢，我们也可以怎么做呢？你还可以用更快的方式。有些同学我看了一下啊，有些同学把它想清楚了。呃，不要乱来，不要乱来，也不是区间在线，不要别别别呃，我先说一个事情，我们三九六同学的出题啊。他不会老是这种剑走偏锋，你能理解我的意思吗？

因为我们这些考点他都没有考的非常深。他不会说想办法的话，就说我们已有的常规性核心考点，他都没有考那么深，所以我们有很多这种考研方向去考。他没有说到，到了这种数一数二数三这种程度，但是数一数二数三也不讲这样。考了那么多年了，考了那么多年难题了，它就是这个，这方向性也是常规问题的一个变化，你不要每次过程当中，你老是想一些。啊，

这个这这种偏招对吧？你先想常规方法，常规方法想透了之后再看。你看这个题的话，其实什么情况，他不就是让我们进行去比较这个人吗？那这个人的话其实非常容易。你这是y，然后这是零，然后这是x。大家想想我们上节课讲过。你就会发现e的这个s in这个东西。它不就是个振幅吗？是不是就振幅，然后这是sint？

啊，这是政府。那么，当什么情况呢？当属于零到派的时候。零到派的时候的话，这个零到派你，比如说这个t。我是零到派的时候。我零到派的时候的话，这个s in的话很明显是大于零。sint大于零。你3 at大于零的话，你就会发现e的这个人是什么情况？你三这个人大于零，

你一的这个人就大于一，你大于一的话，你就会发现这个人的振幅会更高，这个振幅是大于一的。然后如果这个t是从二派到派到二派的时候。那你想s in这个t是小于零。你三一小于零的话，你就发现一亿的这个负的，它应该是个什么？它应该是小于一的。那这个时候我就知道原来这个是派到多少零到派的，这个振幅是大于一。派到二派的这个振幅是小于，但是具体而言是个什么情况我不知道，但是我心中有一个数，

就说你这个人震的要更高一点，你这个人震的要更低一点。这是我知道的，所以说这个正的就比这个负的大，那很明显大于零。能想清楚吗？你能想到这儿就非常好了。因为零到派的时候，这个三是大于零，你大于零的话，一的大于零，它就大于一。那这个人正的更高，然后派到二派的话，这个三一是小于零，

你小于零的话，一的小于零的话，这是负的，它正的更低。那这个情况一下就出来了。你可以用这个方式，这不是我们上节课讲的这个问题吗？你用这个方法进行操作，它就非常非常快了，好，这是方法。好，这个问题啊，我们就说到这儿，你想清楚啊，

这个题有点儿难。啊，有点难。但是也是在我们的考纲的这个范围内的一个问题，所以说这个题就很像我们三九六，他如果在卷子当中出一个难题，他就这样出。要稍微注意一下这个问题。好了，这个点呢，我们就讲到这，那么接下来我们再来看看下一个问题变现函数。嗯，这有些同学你发现你想不通，我再说一遍你的振幅。

你的政府是一亿的这个人。我这我这一点都不敢省啊，你大于零不就大于一吗？然后的话，你小于零，这个人不就小于一吗？那所以说这个时候在零到派的时候，政府是怎么办？正的是更大一点，然后这个派到这个什么？二派的时候震的要小一点。一步都不敢省，一下就有同学有问题了，不不能这样，稍微要有点儿理解啊。

那我们继续吧，我们再来看看下一个问题变形函数。呃，变现函数这一节是非常重要的一个问题啊，变现函数这一节那么在这节过程当中，我将会讲三个问题。变现函数。第一事情我去讲讲分段函数的变现，函数的求解。第二事情我将会去讲讲分啊，这个什么变现函数的求导问题，当然其实还会讲四个人嘛，那还有一个人其实非常重要。啊，一会我们讲的时候再说，

所以说这里面当中我们先来看看变形函数。你要注意变现函数的自变量在哪？在上下限当中。你永远注意，如果一个定积分。你比如说这个定几分，我们来写。它是x到多少？这是比如说这是x到x方。那这个时候的话，你发现这ftd t大家其实都认识这个东西啊，是s的变现函数。但是你发现你像a，然后这是a方的，你比如说这是fs ds，

那这是谁的函数啊？这是a的函数。你永远注意自变量，一定在上下限当中。对吧，自变量永远都在上下限当中。好，这个问题啊，把它想清楚，那么接下来我们先来看看第一个专题就是分段函数的变现函数，求解。这个东西啊，其实你发现这个东西是为我们将来一个问题打基础，就是已知概率密度函数去求分布函数。为这个知识点再打基础，

所以接下来我们来看看分段函数的变现函数怎么去求解的，你把这个问题啊，我们先学透彻。来看看这个点。这种问题啊，不是说特别难。那么，首先我们先来看看这个变形函数，他让我们去求的这个人呢，是从零积到ss是从零到二。对ft进行积分。像做这种题啊，第一步干嘛呢？第一步，先拉条线，

把这个函数改成什么，把这个函数改成ft。能听懂吧，把这个函数改成ft，所以说这个时候我们都知道ft这个人，这是零到一一到几一到二。零到一的时候，这人是t方，一到二的时候，这是二减t。好，这个情况，所以第一件事情你先拉条线。拉条线了之后，我的积分起点永远在哪？

我积分起点永远在零，因为我们这个函数你都知道，我这个fs这个函数我是从零开始记。七到x对ft进行积分。所以第一件事情，拉条线把这个积分变量改成t。改成t了之后，然后我们接下来开始了，你走那么从零踢到s走走走哎，如果你看。如果你这个x就在这一段内。你s在零到一内，我是不是一直对t方进行积分呢？那万一有一个问题，你从零开始记，

你急急急哎，这个s超过了一了，前面这段对它急。然后后面这段对谁记啊？后面这段哎，你看后面这段就等于二减t几了。所以说这个时候我们就要分成两段了。对吧，这里面当中的第一段，我们先看看。第一段的时候，我们就直接从零七到s，然后就是全部都是对t方积分，那这个时候的s是什么？大于等于零，

小于一。你至于等不等于一，其实无所谓，我问一个事情s取不取一有没有关系啊？没有关系，取不取这个点对我的这个定积分的结果是没有影响的。你就取都行，然后再来看第二段，第二段就是零到一对t方进行积分，然后再是一到s，然后对二减t进行积分。是不是这个情况，然后这个s是什么？它是大于一，小于等于二。

好了，这是这个问题吧，非常非常简单。所以希望同学们一定要会这个事情，你发现对于一个分段函数的变现函数怎么去求解呢？就是拉条线。把这个什么积分变量换成t，你从这个起点开始走，走出不同的路线就可以了。停到不同的位置，它有不同的一个情况啊，就这么简单，所以说接下来我们来看看，把这算一下是三分之一x三次方。然后这个s是什么大于等于零，

小于等于一。然后这个部分呢，是三分之一，然后是二倍的s减一减去二分之一s方减去一。所以说这个结果就等于负的二分之x方，然后再加上二x。那这个时候的话就是三分之一减二，然后再加上二分之一。那这个东西就是六分之五。然后六分之十二，那就是负的六分之七。对吧，这个人，然后这个s啊，就大于一小于等于二。

好，这是这个那所以说这个东西啊，立即记出来了，正确答案选几啊，三分之一还是三次方，然后这是负二分之一负二分之一选几呢？负二分之一，然后这个第一个人是负六分之一，然后这是二s，然后这个答案选几选b？好像这种题啊，这种题不是说特别难，你要记住它是个模式化的套路。第一步，你把这人写出来之后，

拉条线把这人改成t，然后从一个起点开始走，走出不同路线就行了。对吧，根据你这个末点的停的位置的不同，你写出这个情况，因为这个s只在零到二一定要会啊这种题。你会了之后，就算这块儿不考，我们在概率论当中也会考已知概率密度函数，求分布函数，就这样做的。只不过那个人从负无穷开始走罢了，把它学会好，这是我们讲的第一个考点，

然后接下来我们再来看看第二事情变现函数的求导问题。这是我们变现函数的第一定式思维能力，你只要在考研过程当中见到变现函数，立即向变现函数的求导。那么，所以说首先我们先来看看第一个事情，我们来复习一下变现函数的求导公式吧，这是阿尔法s，这是贝塔s。然后这东西是ftd t。那这人进行求导的时候就是上限移进去。上限移进去，上限求你再减去什么，你再减去把下限移进去，你下限再求。

好了，这是变现函数，求导。但是这个东西啊，有一个非常重要的条件，说什么东西呢？是这样说，如果这个被积分函数是什么？连续的。被积分函数连续，而且这个东西是标准型，我们才能这么办。啊，当然的话，我们在这个考点的方向当中，

还没有把这东西考的非常难。被计划属连续，然后这东西是标准型，所以我们把核心重点应该放在哪那五个非标准型的处理，你还记得吗？就原来我们在这个呃，应该是第一章过程当中讲那几个那几个非标准型的处理，一定要把它学会了，对吧？每个人是怎么变的？每个人怎么变的？把它学会。这个东西啊，非常的重要，好了，

这是我们第一件事情，所以说这里面当中啊，养成第14位，只要见到变形函数，不用去想别的，立即想求导好。好，我们先来看看第一个问题啊，这个题。你看这个题。那这个题就给了一个什么f，那很明显是个变形函数，然后是fiddle。这个东西是不是敲错了，就看看。

我们书上的话有问题吗？小朋友。啊，这块儿没有撇儿书上书上没有问题啊，书上没有问题。因为我这块是排版之前的文档。好对吧，书上是没有。所以接下来我们来看看这个事情，你发现给了一个变现函数，然后又看到导函数，所以说我们怎么办？立即想进行求导。所以这里面当中，我们先来看看第一个问题，

你把什么情况把这个s抽出去。因为这个东西是个非标准型，你把这人抽出去，你抽出去了之后的话，这是零到s方，然后这是ftd t。对吧，把这人出出去。那抽出去之后，我们继续来看，那这人的话进行去求导。那邱导的话当然厉害，那个那个编辑就是同济七版教材那个主编。来那么接下来我们来看看下面一个问题啊，包括了哈那个我们经常用的那个同济六版的。

还有那个呃浙大四版那个好像不是。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看下一个问题来继续做吧。那所以说你发现就是这两个东西啊，乘法求导，那乘法求导的话就是前导后不导。然后再加上前面不倒，后面来倒，那后面来倒的话，你发现上限移进去上限球。啊，这个人，所以接下来我们就继续，我们再来看这个问题，

对吧？你就求出这个人，那求出这个人了之后，然后我们把这个一呀带进去。带进去了之后的话，这人就是零到一，然后这是fttt，那再加上多少，你再加上二倍的f1。好，这个结果就算成这样。但是这个题没有出来呀，你发现这个结果是五没有问题，然后这个让我们去求f1，这个人是带求的。

有一个问题点，你这个人等于多少？你这个人没办法哎，我们看还有一个条件。翻译你翻译往这里面带的话，就是零到一，然后这是fttt那这个结果等于几啊等于一。那所以说这个结果等于几啊，等于二选a。好，这个题就说我们一定要注意一个问题，你怎么办呢？你只要见到这个事情。你只要见到这个问题。不不不，

你你混了。这是变现函数，涉及的是定积分的问题。那个东西是不定积分的问题，知识点混了。好了，这是这个问题，所以这个点出来了吗？你要想清楚啊，所以说学到今天的话，我觉得呃几个事情我们全部都讲完了。我把这个点呢，我稍微给你捋一下。总结涉及。这个分段函数的考点。

那么，原来我们在第二章当中有分段函数的。函数求导。那这个求导怎么做分？这没有混的不挺容易混的，是你觉得容易混这个其实不容易混。你这看的非常明显啊。那么，这个第一个问题的话就是分段函数求导，分段点外直接求分段点上上低，然后使分段函数的。不定几分。那是不定期分。你不认识，不定积分和变现积分和定积分吗？

变现积分的话是通过定积分引申而来的。不定期分和定期分是两个独立的内容。只不过牛栏公式把它挂钩到一起，但是这个东西是独立的内容。然后这个变现积分是通过定积分把它推过去的。别别别，这个一点都不容易，混不不不，根本不是头挺容易混的，一点都不容易混。所以你发现分段函数的求导，分段函数的不定期分是分段点外直接积分段点上上面去。然后是分段函数的定级值。那么，如果这个人的话，

你比如说定几本？你比如说我这个fs是什么呢？说大于零小于一的时候是多少？大于一小于二的时候是多少？我要从二分之一记到二分之三，你就要从。二分之一七到一的时候对他挤，然后这人对他挤。是不是这个事情？这个就是你，你要是我从这儿积到这儿，你要分中间有不同段不同的路线，我就分开呗。然后今天我们又讲的是什么？我们讲的是分段函数的变现积分。

变现其实变现积分比定积分难定积分的起点和终点是固定的。对吧，你的起点和终点是固定的。那么，这个东西求导，我们就不说了，你看这个人是不定积分吧？然后定积分的话，起点是终点是固定的，你就从这个起点积到这个起点，你中间不同路线，我们就分开。然后这个变现积分呢？变现积分的话，只不过说这个s在动你s在动的话，

你就要分开来看。你就看看它冻成不同的情况，这是根本不相同的问题，八竿子打不着的事情，你不要把这东西啊，你混为一谈了。想清楚这个事儿。当然其实啊，那个变现积分跟那个不定积分中间还有点关系，但是注意三九六同学点到为止，就这样就够了。够了，不要再往下深化了，你再深化的话，你发现你会越学越乱。

你其实还是有点关系，但是不要再往下升华了。对吧，不要往下升华。所以你要想清楚这个问题，就是求导，就是分段点外直接求分段点上用定义。然后连这个什么不定积分分段点外直接积，然后分段点上用连续，然后这个定积分就是从这儿积到这儿，然后变现积分就是从这个起点积到那个人。不同的情况不同，分类那就可以了。所以一点都不会混淆，八竿子打不着的几件事情，

把它捋清楚，没问题了吧？来继续往下走。那么，接下来我们来看一个重点，你注意啊，这个东西绝对是预测点。这件事情你稍微要注意一下。这绝对是预测链。因为这个部分的东西啊。唉。就是你这个东西，你要用，这不就是导数极限定理吗？导数极限定理的话，

你要注意一个事情。是原来函数连续。而且导数的极限不正当，对吧？导数不要混这个明显明显，你能学的非常的轻松，非常的简洁。你越学越混，越学越混。那求导就分段点外，直接求分段点上用第一。你要想用导数极限定理，就是原来的函数连续导函数的极限不正当，它们相等。这是可以的，

那不定积分分段点y直接积分段点向上连续那定积分，你把这东西说明显是非常直接。你只要看到他，你直接把他给干掉，那考试就结束了。不要让自己你明显的话，你就是让自己学的太辛苦啊。好了，那么接下来我们来看看下一考点这个内容，你稍微注意，这两年还没考呢。但是在我们的真题里面。就是我们考研的真题里面。在这个二零二一年之前，人大版出题的这种真题里面是有这种题的。

你要稍微注意啊，这两年还没考，但是原来的人大版的真题当中是有的，就是被积分函数为。变现函数的定积分计算。注意一下，被积分函数为变现函数的定积分计算。那么，首先，同学们，你想想一个问题。对于变线函数，等会我的笔呢？哦，在这呢。

那么，首先我们先看第一个问题，那么对于变现函数是不是一个函数啊？这个东西当然是个函数。对吧，变现函数当然是函数。它肯定是个函数啊，变线函数也是一种函数，你从你原来初一的时候学这什么正比例函数，反比例函数，学幂函数。后来学到这个什么三角函数，到了后面过程当中，你继续去出题，又学了一些什么呢？

呃，学我们后来过程当中这个。呃，然后又学了一个，比如说我们概率当中学分布函数，然后又学反这个反三角化学了很多函数。这也是一个函数啊。它是个函数，那同学们想你是个函数，你能不能作为被积分函数？能不能同学们想想一个事情，能不能？能还是不能，你不用管这个事儿，这个虽然显示这个网络异常，

网络也不异常。他这个我也不知道这个软件怎么回事儿啊？可不可以可以啊？你这个变现函数你也可以作为被积分函数啊。对吧，它可以作为被积分函数。所以说接下来我们来看看这个问题怎么进行去处理这种考点呢？我怎么去把它计算出来呢？就是我们下面这道考题。这道考题啊，非常的重要，而这个题啊，有点难。这个题我说实话，难度系数加大了，

因为我就想把这个部分的东西的运算呢，让同学们好好算一算。但是这种题的方向是完全可以出的，这个题是个重点题。它不会考的像这个题这么难。但是你要注意一个事情，它一定是怎么办？有这个方向性的，所以接下来我们来看看这个题怎么去处理？你来看看这个函数就是个变现函数吧。你发现没，这是个变现函数。那这是个变现函数，你就会发现哎，这个变现函数作为了被积分函数。

就是被积分函数。别说话了。越来越离谱了。诺必达。啊，别别这样，别这样。你求极限才落笔大呢，怎么胡用呢？对吧？你这容易走火入魔呀啊。唉，不要这样，不要这样。那么，

接下来我们来看看这个事儿，就是被积分函数当中是变现函数。对吧，被积分函数当中是变现函数。那么所以说同学们注意，我们接下来过程当中，我们来看看积分结构，你来跟我研究一下什么叫积分结构？真正的积分结构是这样。那这里面当中的是这个人和这个人。大家告诉我这个人的位置，如果放到这个位置的东西，喜欢干嘛？喜欢积分。啊，

喜欢积分。然后接下来我们再来看看下面这个人，你放到这个位置的东西干嘛？喜欢求导。没问题吧，放到a的这个位置处，他是喜欢积分的。放到b的这个位置处，它是喜欢求导的。对吧，你这个位置的话，喜欢积分，你这个位置啊，它喜欢求导。那么，

现在同学们想想我们这个题，这里面当中出现了一个变现函数，我就很想问一个事情。那对这个人，他是喜欢积分呢，还是喜欢求导？变线函数喜欢干嘛？变线函数当然是喜欢求导你，喜欢求导你怎么放到积分的这个位置处呢？你应该想在这儿啊。大家注意，他想在这儿。听得懂我的意思吗？他非常想跑到那个位置，我怎么办？

他说把它凑到，我把它凑到后面去，我就把它积出来了，肯定不是凑到后面去分步积分法。所以同学们注意这个方式啊，就按这种方式处理，你就学会这种分步计分法就行。所以注意啊，破题方法。就是分布细分法。能听懂吧，破题方法就是分步计分法，所以会的话，这个题就非常简单。不会的话，

那这个东西就非常麻烦，那所以说要注意这种类型，问题是怎么做的？分步计分法。那么，接下来我们来看看这个问题。好，再来看这个点。那另外一件事情，我多说一嘴哦，可能有些同学以前是听的数学三同学的课程。那数学三同学的话，在这里面当中会教两种方法，一种方法叫分步积分法，一种方法是二次积分的次序调换。

对吧，二次积分次序调换，那你想这是根号s，你直接把这个东西塞进去，一+s比上这个，一+t比上t嘛。然后这是dt，然后这个整体外面再ds，把这个积分再塞出去二次积分。当然的话，也有老师的话，很喜欢用二次积分次序调换，他就不讲分布积分法，你要注意一个事情。你要注意，

有一个问题。就是你要注意，如果你只听到了二次积这个什么次序调换，有同学说那我把二重积分学一下，那就有点儿。啊，你发现真的是闲的没事儿干了，那是纯属闲的没事儿干了。所以希望同学们注意这种点呢，作为我们三九六同学，不需要掌握这个人，我们只用分布积分法来处理就行。能听懂吧，包括的话，我们后面那个旋转体体积。

有些同学以前听的是数学三同学的课程，我们在这个二重积分当中有个古二经定理。那古尔经定理呀，他就说那我去学二重积分，我觉得二重积分的方法来简单，对吧？二重积分简单，我专门把二重积分学下。大家注意，你想我们考了这么多年的这个旋转体，体积不也就是一个x轴和y轴转，你把这个公式一记什么东西都出来了。那真的是闲的没事干了。纯属没事干了。所以你就会发现，

你离我们三九六同学的这个考研的方向。相去甚远呐。你又很努力，你又考的差，你说这怎么办？所以我就觉得这个方向性的这个点呢，你要想清楚这个事情。啊，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看下一个问题。来看看这个点。截来看一下这个题目吧，看看这个人怎么去处理？啊，

看这个。那么，这个人的话，首先第一件事儿，他是多少零到一，这是根号s分之一，你这是fs ds。好同学们来，问题来了，直接分步积分法吗？要直接分步积分法，我俩一起跑到后面去了。我俩一起跑到后面去，就一起求导大家注意这个时候啊，他是自私的。

我怎么会喜欢跟你一起求导，我怎么可能我要一起求导就变恶心了，所以同学们注意这个时候他特别自私。我只希望我一个人跑到后面去，所以这个旁边这个人得凑到后面去。call了一个二倍根号x分之一。凑成根号s补一个二，把它给我凑到后面去。那这个时候啊，它就非常舒服了。啊，是不是舒服了？那然后这个人的话就可以处理他，那就是两项相乘。把零和一带去，

然后再减去两项调换位置，同学们来看好惊人的现象出现了。结束了，那这个问题点呢？马上就结束了，所以考给我们其实非常好的一个预测点，这种点一定要在今年考试的过程当中，你稍微注意一下。这种问题这两年没有考过啊。那么，然后接下来我们把零带进去是零，然后再看一呢f1。那f1这个人的话就把一送到这儿上下线相等等于零哎，完美啊，那就没有了，

前面就没有了，留下了负二倍的零到一。这是根号s同学们想想d它是不是求导？那d它求导的话，你看你这个人求导是多少？你这人求导的话，他不就是多少x分之ln多少？一加s哦，这个人就做成这样，那所以说这个人就是s分之ln多少一加sds？你看这个人非常精彩。所以一做就出来了，那接下来就剩下这个积分的运算了。一算就行，我这个题的难的点呢，

我先提前说一下，我这个题设置的有点儿难，因为我这个题的积分运算很难。但是你学到这儿，你的问题就学清楚了。你已经把东西学透了，我们学的东西就是这么多。就这节课，我们学的东西就这么多，能听懂吧，然后接下来就是一个积积分运算，你把它算一算就行了，来我们来看看吧。真真没办法，你别这样啊。

这种破积分在我们的考试当中，你觉得算难点吗？这没有难点。第一件事情，你在这儿补个二两类不同函数分布积分法，你肯定把这个ling放到前面去，把这个东西凑到后面去。零到1 ln多少，一+SD多少d，这个根号s。然后接下来我们就继续，我们再来看把这东西，然后接下来分布积分法一下l ones 1+s乘上这个人零和一带去。加上四倍的零到一根号s跑前，它跑后跑后进行求导，

就是这个人。那这个时候你算一下，前面这个人。把零带进去是ln 1是零，然后这个结果是ln 2。好留下个他，然后接下来就差后面这个人了。后面这个人怎么办？那很明显是因为根号导致不好算，我就领根号s=ts就等于t方。那所以说这个人的话零是零。然后一的时候t是一，然后这个人是t方，你再加个一，然后这个人呢是t。

那ds呢？ds这个人是求导是2t那2t的话，这个人就变成了八倍的t方dt。是不是做成这样？那做成这样了之后，然后接下来怎么办？你在上面加个一减个一就出来了，你给它。加个一减个一。那加个一除下去，这是一减个一，这是t方加一分之一，这种运算能力你得具有。那么所以说这是负的四分之love n二，然后再加上多少你再加上八，

然后加上八倍的arctangent dt零和四分之派带进去。所以说这是负的四分之ln二，加上八减去。这是arctan 4分之派，那这是一你再是个什么？这是这个情况。诶，这是一哦。然后这个东西是四分之派。然后这个结果就出来了。那就二派，因此是负的4倍ln 2。减去一个八。负四倍ln 2加上个八，然后减去个二拍，

所以正确答案选e。我提前先说一下，我们这节课你必须要会的是这一步。能听懂吗？就这之前是我们这节课的内容。只不过我这个题出的有点儿狠狠的点的话，就是这个积分不是说特别好积，可能在两三分钟内啊，有些东西算出来有点儿压力。你算出来的压力，但是你可以把这个题当成两个题做。你平时训练嘛，你可以把这个题当成两个题做，就是上面这个操作一定要会。如果被积分函数是变性函数的定积分，

你怎么做就是怎么办？分步积分法，你要注意这个方式，这是我们考过的啊。我们的真题里面是有这种题的。你是要稍微小心一点好了，这个点我们就讲到这儿。过去了，可以吗？这是要会的啊，一定要会。好，那么这个问题啊，我们就说到这，所以下去这个考点简直就是一个非常大的一个预测点。

你要想清楚。好了，那么这个问题啊，我们就说到这，你自己下去把这个相对的点好好处理一下，那么接下来我们再来看看最后一个问题。最后一个内容。把这个内容你好好学。所以学到今天的话，我觉得你去分这个进行去看什么东西呢？你进行去区分不定几分区分定几分？区分变现积分这个东西丝毫没有什么难度系数，因为它长的样子，你看起来它就不一样。对吧，

这个是很容易的事情，来我们来看看下一个问题点。变现函数的连续性和可导性，它的一个性质问题。这件事情我现在给你做一下总结，其实原来的话在这个讲概率论的时候啊，我稍微的串了一点点。到了今天，我们再来重点来看。我们先来讲讲。性质这个怎么写呢？就是常规性质。好，我们来看看这个问题。常规的一些性质。

啊，变现函数的连续性，可导性的，一般性的性质。那这个一般性质啊，它是这样说的。对吧，对于。已知我来了个变现函数。它这个情况，那这里面当中的第一条内容，它非常简单。他这样说的。他说弱什么情况呢？若被积分函数是连续的。

你如果被积分函数连续，你变现函数一定怎么了？一定怎么了？你就说如果这个里面当中是连续的，你这个人一定是什么？一定是可导的嘛。那变现函数求导法则就告诉我们这个事情，如果你里面是连续你为外面一定可导，这个没有问题吧，你一定是可导的。而且这里面当中你的导函数是谁呀？你的导函数就是它。被积分函数连续变现，函数一定可导。对吧，

绝对可导好，这是第一个问题，问题来了，如果被积分函数不连续呢，那么有的时候这个数据当中会写了一个什么？你比如你看到有些人给你装个逼说啊，就算不连续，只要这个积分可积。它也是什么？它也是连续，其实我们今天不把这个话，我们不这样学，我们三九六同学，你找不住我们这个东西就行。什么情况呢？

就说如果这个人是有企业的。你注意啊，这个东西我再来强调一遍，这个东西是变现基本。它跟不定积分一样，还是跟定积分一样？它是跟定积分一样，听得懂我的意思吗？它是定积，也就说你变现积分，这个人你和定积分是一伙的。这不定期费是有报道。一定要区分开，这是两个东西不一样的点。所以说这是这个内容。

所以一定要想清楚这个问题点，不要打岔，不要打岔了，有些同学脑子里面特别特别乱。一定要非常清楚，你学不定积分的时候就是原函数的存在性，你现在学的这个东西是个变现函数的连续性和可导性。不要把它给我打岔了，当然其实同学们都知道呃，这个东西我们在第一节的过程当中，这个变现函数可以作为原函数，但是不同的内容你就不同学就行了。不要把这东西混为一谈了。那么，接下来我们再来看第二事情，

如果这个人是有些。切，存在什么东西呢？存在有限个。第一类间断点。间断点，你想想这件事情，我们就可以看出来了，那你发现一个事儿，定积分是不是来源于求面积啊？比如说我这里面当中有个可去间断点，会影响面积吗？它不会影响面积。你要是这种当中，如果这个点你比如我点在这儿，

它是一个可去间断点，会影响面积吗？不会呀，我定积分照样是有的呀。但是你想想原函数有没有？没有原函数，我们讲的是连续的，有原函数，如果这人是有定义，而且存在。第一类间断点无穷。间断点原函数是没有的。所以你就会发现它是两波内容，不要一直往往里面一块儿揉，这是两波知识点。

你要学清楚啊，这是这个问题，其实我们在这个考点当中啊，你能学到这儿就差不多了。你要有兴趣啊，我给你稍微看看，但是我觉得一般同学都没什么兴趣。因为作为我们三九六同学，你不能这个里面当中啊。把这个点。它不是我们的重点。你看这个人，这是数一数二数三同学的这个啊，你要是想看的话，你就截个图，

其实我觉得没有必要。我觉得是没有必要的，因为考题不会往这个方向上出，你会发现不定积分的存在性和定积分的存在性是不一样的，这是两个知识点。你就别看了啊，别看了。所以同学们注意这个问题，我再来强调一遍，不要打叉了，我们先看第一个问题，变现函数，如果被积分函数连续变现，函数一定可导，它导函数是它。

那如果不连续呢，只要你里面是有界的，其实有界在考研过程当中不怎么考。不怎么进行去说这个东西没有界没有界不就变成反常积分了吗？所以一般给的这个变现积分它都是有界的。能听懂吧，一般这块儿会设置有些，所以这个点一般考察不是一个重点。它只要算有限个第一类间断点，那这时候呢，我们立即就可以说这个人仍然是连续的。所以说这个问题点就来了。你里面只要连续我这个整体是可导的，而且我导函数等于你。如果你这个人是有界的，

你且存在有限个第一类间断点，你这个人仍然是连续的，同学们还记得吗？这件事情我是不是在那个？呃，讲那个概率密度函数的时候讲那个分布函数的时候，连续性随机变量的分布函数一定连续的时候，我是不是讲过这个内容？当时我们是讲过这个知识点的。能理解吗？我们当时是讲过这个问题的，那么接下来我们再来看看一点。好，接下来我们看一个重点，我给你出一个例题，

你好好品一下。比如说例一。我这里面当中给了一个什么情况，我来给一个分段函数。那这个人是x方。s大于负，一小于零。然后s大于等于零小于一，那这东西是谁呢？这东西比如说是三。好，这是这个人。那么，接下来我们就来看看这个情况。这个三音不好，

要不这样吧。你这个来一个x+1。我这来个声音。好，你加个一，我这里面当中是大于等于零小于一。好了，然后的话且。这个人是从多少呢？呃，从负一吧。或者从零从零开始也行，零到sf ttt。这个人在x=0处。会是个什么情况？

好，这考题这考题啊，非常的简单。我给了一个分段函数。然后我想研究这个变现函数。这个变现函数在零处是什么情况？你要想研究零处，你就只需要研究零的左边和零的右边就行，那么先来看看我们的一般方法。那一般方法怎么办？你就把这个人求出来。就是给了分段函数去求变现积分会求吗？来同学们告诉我第一步干嘛？拉条线还记得吗？你不要转头就忘了，

我这就来不了了，先拉条线。拉条线了之后，把这人写成ft。写成ft的话，负一到零零到一，这是t+1，然后这是sint。没问题吧？好拉条线，把它点清楚。然后接下来我们就要进行讨论了。那么，这个人的x他是从这儿开始走的，我要七到s，

我要从零七到x，你x生活在这儿。生活在零到一这个范围内，那这个时候的话，你发现我积分就是对三积分。如果你从零开始记你这个x生活在哪呢？你走走走，你反着走，你走到这儿，你看你这是s。你如果走到这儿，你发现都是对t+1级，你看这有同学打点。你这怎么能打点呢？你这怎么行？

这这刚讲的啊，我现在我有点崩溃了，怎么这这刚讲的这个题比刚才那个题还难呢？赶紧给我取消了，对吧？瞬间给我取消了。这刚讲的。那如果刚才讲的这个东西，马上考试，你怎么办？好，这个人来继续看这个东西。所以说这个ifs啊，它就出来了，它是零到s，

然后这是ftd t。好，这个情况。那这个情况的话，你发现第一个事。对吧，我从零开始记，你要注意我的积分起点，我如果这个s生活在零到一这个范围内。那这个时候的话，我们就从零到s对谁记啊？你s生活在零到一零到s这一段是都是对s in积分，所以我们肯定是对sint积分。如果这个s生活在负一到零内呢？你s生活在负一到零内，

我零到s这个区间内，这个ft永远等于t+1。所以说这个东西啊，它永远等于t+1这个人。能听懂吗？就说你这个s生活在零到一这个区间段内，你零到x的时候，你看你积分是零到s这个时候的ft是t+1。这个很简单啊，不是说特别难。你这是必须会的，如果这种问题都不会，那概率论与数理统计的，那我们不考数理统计就概率论部分那个题你也做不出来。好，

这是要注意的，来继续看。把它积出来，那第一积分是多少负的cos in？其实一代的话，一减co sin co sin零是一嘛，你大于等于零，你小于一。然后这是大于负一小于零的时候呢，你看这个人是二分之一x方，然后再加上多少加上x。好了，这个东西啊，我们就讲到这儿能听懂吧？好，

这个问题点一定要把它想清楚。可以了吗？好，这是第一个点函数出来了吧？来研究一下这个函数。第一事情，我们研究一下这个函数在s=0处的连续性。零处的左极限是几一减一是零零处的右极限是几零，那所以说连续还是不连续啊？连续好没有问题，然后再来看看可导性来看一下导数，先来看看这个人的。零处的诱导数。零处的诱导数就是limits趋向零帧。零真的时候的fs比零大一减cos inf零是零比上s减零，

那这个结果呢？上面二阶，下面一阶是零。然后再来看看左导数，那左导数的话，你发现这s趋向零负是谁呢？是二分之s方加上s减去f零比上它，这是几？那这个结果你看这个除是零，那这除是一。所以这两个东西明显是不相等，那说明怎么办？说明在这个点处不可能。绝对的不可导，那所以说现现在而言的话，

你会发现它不就验证了刚才那个事情吗？验证了什么事情呢？我们来看看这个问题。那么，在刚才的时候，我们就讲过这个内容。就说我们去研究这个变现函数的时候，你还记得吗？就是这个变现函数，它是这样的一个问题，就说你里面这个人在这点连续，我是可导你里面这个人是第一类间断点，我是连续。那我们就来看看零你这个人在零处是什么？好，

我们再看零处零处的右极限是一零处的左极限是零哦，你里面这个人在零处是一个。跳跃间断点，原来你是跳跃啊。里面在这个点处是跳跃间断点，第一类间断点，外面这个人在零处是什么？零处是不是连续点？能理解吗？刚才讲过，里面在这个点处是连续点，外面在这点是可导点，里面在这个点处是有界且存在有限个第一类间断点，你是第一类间断点。我外面一定会在这点，

怎么我是连续的？所以你想想你在这块是第一类间断点，我连续哎，我算出来之后我确确实实是连续啊。而且还有个更精彩的结论，那更精彩的结论在哪呢？来，同学们，你再来看。你有没有发现一个事情，什么事情呢？你里面这个人的左极限是一，你去看看外面这个人的啊，右极限这个左极限是一，你去看看它的左导数是几不就是一？

你里面在这个点处的右极限是一里，外面这个人在该点处的右是零，诱导数就是零。哎，你发现没？里面在这个点出的什么东西呢？左极限外面在该点处左导数。里面在该点处的右极限，外面在该点处的诱导数，你去试一下，你看刚才我们做过是不是一个是零，一个是一呀？这就极其精彩了。也就说什么意思呢？你里面这个人在这个点处。

你的一个什么东西呢？左左极限是一，那我在这个点处的左导数是一。你里面这个人在零处的什么？你的这个人右极限是零，我的右导数是零，哎，非常非常漂亮。里面不是连续的，里面是跳跃间断点嘛，怎么能是连续呢？这哪能看出连续，所以接下来我们就把这个问题啊，马上想清楚了。来看看大招结论。

所以将来处理这种问题啊，你就是用眼睛嫖。不要动笔，谁动笔谁就输了。所以接下来我们来看看这个问题，所以第一个点这是给别人看的，把它给我变成黑色，不把它给我降。降成这个，那么接下来我们再来看看第20题，我们来看看重点。我们看看结论。你把这个结论把它给我掌握清楚就行，所以接下来我们来看看这个问题。好，

第一个信息点。记这个人，那第一个人呢？他是这样说的。听好第一句话。要研究外面就去研究里面。若里面这个人。它在这个点处。是连续的。对吧，如果这个东西的话，你发现是连续的，则什么情况？外面这个人在这个点处是可导的。可导，

而且我们都知道你的导函数就是它，所以说你导函数的结果就等于里面的函数值。然后接下来我们再看第二事情，如果什么情况？里面这个人在这个点，你注意啊，里面这个人得有接我不写了行不行？不行，我在前面来个叉叉。不然有些同学这个下去说啊，老师，你这个有问题，你没有说有些，你看我点了啊有些。所以你要理解我们在这里面当中的说法，

你其实一个点也不用看了。那么这个人有劲，而且如果fs在x=s零处。为第一类间断点。好，这个人那这个时候你这个外面这个人，你在这个点处呢？是连续的。而且且有一个重点。什么重点呢？你外面在这个点处的右导数。就等于里面这个人的右极限。外面在这个点处的左导数。就等于里面这个人的座机线非常的精彩。就等于里面这个人的左极限哦，

求这个导数不就变成了求极限了，那这太简单了。所以你把这个方向性想清楚就行啊，且有这个人。讲义上有吧，你可以画一画就行。就是外面这个人里面这个人，他在这个点处什么情况？那外面这个人就在这个点处什么情况？有同学说老师那里面这个人如果是个震震荡，一般不会考吗？说如果是无穷间断点呢？那不就是变成狭积分了吗？那就不是这个类型问题了，所以这种类型问题你要稍微注意啊。

啊，我们的真题当中还没有出过这个点，这种点会非常非常的简单，来我们来看看这个题，把这个题。给我秒了。看这个题目，先看这个题目。那么，这个题首先他让我们去干嘛？他让我们研究这个人在临处来告诉我，研究外面在临处只需要研究里面在临处。里面在零处的右，这个是左极限，左极限是一。

右极限是零，所以说里面在这个点处是什么？里面在这个点处是跳跃间断点。那所以说外面在这个点处呢，是连续点。而且外面在这个点处的左导数。就诱导数就等于里面的右极限零，外面在这个点处的左导数就等于里面的左极限。一不相等不可导，所以连续但不可导。其实你心中都有数，你里面是跳跃间断点，左右极限不相等。那外面的话就是左右导数不相等，肯定不可导，

所以你就会发现，如果里面在这个点处是跳间断点。它一定是连续但不可导的。所以你这种水平。你一下就把它拔高了。对吧，这个操作性一定要注意嗯，虽然我们没考过，但是这种在数三同学的真题当中是有的，你所以把这个东西你得学哦。好了，那么接下来我们来看看下面一个题，你来看这个题，把这题给我秒了。啊，

这个题啊，就是数三同学的这个题。如果在这种当中啊，你做的这个慢。你做的慢呢，这个水平点就不行了，那么首先我们先来看看第一个事情。给了这个分段函数。然后这里面当中让我们去求解什么？让我们继续去求解这个变现积分。那么，有些同学可能在这种当中啊，我们方法一。你怎么办呢？先把这人求出来。

然后再来研究这个人的连续性和可导性。好了，恭喜你考研结束了。这个方式low。楼中楼。low的double次方啊，你发现这个什么呃low的n次幂。对吧，能看懂吧，哎，极其的low，那这种水平点就没法考了。所以说这里面当中怎么做呢？那非常简单。你要研究这个人在派出。

对吧，你要研究外面这人再派出，你只需要研究里面再派出。里面这个人在派出什么情况呢？他在这人的左极限左极限s in派是零，右极限是几二？那说明里面在这个点处呢，在这个点处是跳跃间断点。那你是跳一间断点，你就会发现个事儿，这个东西是个什么点？这个东西是连续点，你咔咔把AB给我排除。然后里面是跳跃间断点，你就会发现外面在这个点处的什么，

比如说我们这个点处的诱导数等于里面的右极限，右极限的话刚好是二。左导数就等于左极限，左极限是几零？其实里面的话，这个左右极限不相等，外面就是左右导数不相等，肯定不可导，如果你做的时候你咔的一下把c选了。啊，这个非常简单。能理解吧，你要里面是跳跃，你左右极限是不相等，你跳跃间断点，

外面肯定连续的，但是你左右极限不相等，你外面左右导数不相等，你肯定是不可导的。能听懂吧，把这个事情要想清楚。好了，这是这个问题吧，能琢磨吗？那么如果里面这个东西啊，如果里面这东西是一个什么？是一个可去间断点的同学们思考。啊，就说什么情况呢？就说这个变现积分，

你里面这个人在这个点处是可去间断点的。里面是可去，外面照样是连续。可去间断点的左右极限是相等的。那所以说外面的左右导数是相等的，这时候是可导的。能听懂吧？哎，这个时候是可导的，所以一定要想清楚啊。不要背去灵活一点，你把这个核心思想想清楚就行。不要背了，当然有些人做多了之后的话也不想记住，反正就记住了啊，

就是这个问题，你要是里面这个人呢？唉，我们正在高山看海呢。对吧，我们正在高山看海呢。你给我谈了一下这个事情。我们能不能在同一个场？我们正在高山看海。啊，你给我突然间来了个这个。然后我们接下来继续，我们再来看看幺五幺这个题。继续啊，看这个题。

那这个题啊，你看你看就非常简单了。他说的一个事情，说这个人是个奇函数。然后说什么呢？除了零之外都是什么东西啊？除了零之外，它都是连续的。这些段。它都是连续的。同学们想，如果这个里面当中这个人是连续的。如果它是连续的，你告诉我它是什么？它就是可导的。

你是连续它就是可导的。然后他说这个点处是第一类间断点，你第一类间断点，我仍然是连续的，但是可导性不知道。如果你是可去间断点可导的，你是一个跳跃间断点就不可导，那我不知道，反正我知道综合起来而言，它肯定是连续。那因此把这个间断的东西就排除了。然后接下来我们再来看下一个问题，哎，你一看里面是鸡，这不是牛逼吧吗？

是不是啊？这不是牛逼吧吗？里面这个人怎么了？里面这个人是鸡，从零开始就是偶，所以说这题的正确答案选几选b？好，这个点立即出来了。能学会吗？你看这个题啊，非常简单，你做的过程当中几十秒钟就出来了。一看哦，连续我看到哦，这第一个简单连续那通通下来就是连续，

然后接下来我们就继续，我们再来看下一个问题，那下面这个点的话，你就会发现。那这人怎么办呢？那这个人的话，里面是鸡，外面是猴，你可以用啊，你想用这个性质进行去排除这个幺四七这个题是可以的。你进行检验呗，你就看看这个人在这个一处是什么情况，他在这个一处。你发现这个人在一处的左极限是他右极限是他。那你在一处是连续的。

那你在一处是连续的，那这个人在一处肯定是连续且可导的。对吧，连续且可导的，那你就排除一下吧，你看这是三分之一，然后把这个东西的话一一带进去的话。你这人不连续不对。然后这是三分之一把它忘记带不连续不对三分之一。三分之一的话，这个一减不连续不对，然后这是三分之一，然后这一旦去不连续不对选b。对吧，你看走了不同的体系，

但是我想说一个事情，你不要跟上节课，上上节课给混了。你混了，我还不如不讲。你不要混，这是不是两个体系？分段函数的不定积分是分段点y，直接积分段点上b连续，它一定是连续，而这个题是用的什么东西呢？用了变现函数的特性。里面是连续的，外面肯定是可导的，而且它在这个点处是连续的，

那可导必连续啊。能听懂吧你，所以想清楚啊，其实你发现我把这题改一下，我问你个事儿。我把这改成一，你能不能这个东西进行排除啊？也可以，因为这个时候的话，你看左极限是二右极限是一。左右极限不相等，它不就是一个什么？它不就是一个跳跃间断点吗？你跳跃间断点的话，你发现还不是这样处理的。

好了，这是这个问题，能想清楚。啊，那你告诉我一件事儿，这个人的连续性是什么呀？啊，你把一带进去，这是三分之一吧？对吧，你把一带进去三分之一，这是一。然后这是多少？这是二分之一，是你们书上跟我这个不一样吗？

哦，不一样是吧？啊，不一样。哦，这是d是吧？你说e是吧啊？e排不出来是吧？难道不好意思送你个必胜套装，我最近脑子不太好，抱歉。好了，这是这个事情，好送你个必胜套装。然后接下来我们再来看看这个下一个问题。

啊来看这个点，那这个点的话，连续排除不了，那你就看看可导性呗，那排除不了就排除不了呗。好，这个题这d。好，这个事情学会了吗？学会了就行了。学会了就行了，你要知道里面是连续的，外面是可导的啊，这个情况。好了，

这个题啊，我们就讲到这儿行吧，那么这是我们今天过程当中讲的这个问题，所以下去把这个内容好好进行处理一下。然后接下来我来说一下下节课的一个基本任务，大家好好进行去看一看。第一个事情是反常积分，我们下节课会把这个部分全部结束。对吧，把这章结束，然后结束了之后只剩下最后一章多元微分学就快了。所以高等数学很快乐，所以希望大家好好进行来，你至于这个高等数学，我们每年考研的话，

这个分值量是很大的。那这都不是半壁江山，这是大半壁江山，你所以一定要把高等数学好好的拿下来。然后这个下节课过程当中啊，先讲的第一个反常积分。这个部分的东西是冷门性考点。冷门星。那既然这个东西是个冷门性考点，我们只需要掌握住这个东西的什么基础计算就行，所以下节课我们讲这个东西啊，会稍微的会快一点。但是非常重要的问题其实就是这个部分。这个东西啊，必出题。

那么，在去年的时候考了一道面积的问题，考了一道体积的问题，考了四分。对吧，其实你们当中也考虑这个计算，所以一般情况下这块内容一般都会出四分问题啊四分。那么这个点的话，我觉得对我们三九六同学的内容，你要注意一个问题啊，你只需要掌握两个点，一个事情就是基本公式记熟就行。然后另外事情就是我们的定积分的，这个计算能力了。对吧，

基本的公式把它掌握清楚，就是求面积的公式。求旋转体体积公式，我再三强调一遍，你可不能按照这个数学三同学或者数一数二数三同学，他们的学习，然后往下来。那你这里面当中啊，你就亏大发了。我说一下这个事情。我在讲这个数一数二数三同学的这个体系当中，他跟我们是不一样的。这个体积。如果这里面当中啊，你就会发现它们的核心点有两个绕着s轴y轴转，

我们有股与微元法。有古二经定理，但古二经定理这个东西啊，它是涉及二重积分，你不要这样复习。你你是个三九六同学。所以有些同学可能听这个听这个数三同学的课程就没有讲过微元法，这简直是我们三九六同学的一个bug。你要想清楚，这是个非常大的一个bug，我们用的古尔，他可能一直用古尔经的第二定理，古尔经济第二定理的话，这个部分的话。基本上而言，

全都是一个什么二重积分内容，但是你这个二重积分内容你又不会二重积分。所以这个问题点就在这儿，而且吧。我们考的那个东西，它也不难。它就是简简单单的一个问题。你就是简简单单的公式，你没发现这么多年的这个考题。你去看看，不就绕着s那个派fs方ds嘛，然后这个y是二派s，然后fs ds嘛，就是这个内容。所以考的东西也不是说特别难，

所以不要把这个方向走偏了，你方向走偏了，你又这个是什么东西，你平时也努力了。但是你最后的话，这个效果也不太好。好了，这个问题啊，我们就讲到这过去了，可以吗？行吧，那么下节课我们就会把这个板块内容全部给结束掉。然后里面当中有几个信息点，你要稍微注意。就是我们里面当中呃，

下节课我会重点提吧你，比如说那个参数方程求面积这个东西啊是。数三同学不考，但是我们考弧长也是这样，你下去过程当中把这个内容好好看看，那么下节课我们把这个东西讲完。然后的话，距离我们这个高等数学结束啊，那就快了。那基本上后面还有两到三次课程，我们这高等数学就结束，那高等数学结束，然后接下来我们就开始看这个。线性代数问题和概率统计，然后你注意一个问题啊，

在高等数学的上课的中间有两天的时间是连着的。是什么时候呢？就是那个考那个复合函数的偏导数计算那块儿，那是连着的。你听懂我的意思吗？啊，那块东西不难，所以我们是连着的啊，那两天的课程是连那基本上中间的话啊，不是说特别难。所以说今天的话应该是。二号这个周啊，我们就会把这个高等数期结束，那么也就说进入到下周，我们就是正式进入到线性代数的问题。

你提前啊，把线性代数的东西啊，你好好做一下这个东西的分析好了，那么今天课程我们就讲到这儿吧。好，这个今天部分呃，今天是有这个新的，这个300题，所以说提前呢，你稍微做好准备，你先进行去整理笔记吧。把这个笔记上的东西啊，整理到位了，然后再去处理呃，昨天的笔记发了啊。

啊，昨天笔记发了。可以吧好，这是这个。所以我觉得这个问题点就在这儿，不要着急。不要急，稳稳当当的学会每一个考点，你就能取得非常高的一个成绩。你学一个，你就把它给我吃透了。你不要没有学透，你去做题，你花了很多时间，这个效果也不好。

你把这东西吃透了之后，你就稳稳当当的把它消化到位，你下次过程当见到这个问题马上处理啊，这是这个点。行吧，那么这个今天内容我们就说到这，行吧，我现在去导笔记吧，因为这个这两天呢，因为这个九月份还有三个稿子，昨天晚上。哎呀，这两天今天晚上还得熬，我已经连着熬了三天了，这个前天晚上熬到三点多，

昨天晚上的话基本上到了四点多。四点多了，今天上午九点多钟还有课。这个今天还得一晚上，这个东西还没有结束，所以说这个这两天啊，那有时候记性不太好啊，这个抱歉啊。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，自己下去把这个相对应的问题啊，好好去处理吧。行吧好，这是今天课程内容呃，

最重要问题啊，知识点在脑子里面上课讲的这个立体的东西，好好把它消化。呃，今天我们就先不讲那个300题了，然后我去看看那个课表时间，我把它排一下嘛。然后跟那个下次的那个作业题啊，我们一起去讲吧。好不好啊？两次当中啊，我们一起来讲。好，那么今天课程我们就讲到这，自己好好进行，

把这个题啊，一定要完完整整的自己，独立自主的，能把它做出来。好，那么今天课程呢？我们就讲到这好，下节课见吧。

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