15.冲刺满分强化篇·题型25-27精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 5 天前

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的三九六的这个强化班部分的课程，然后在这个正式上课之前呢，我还想聊一个问题。啊，这个今天下午过程当中，因为最近收到很多同学的这个私信，

都是比较焦虑一点啊，所以这个今天下午过程当中，我也发了条这个微博，然后专门去说了这个问题。有些同学可能在这个复习过程当中啊，非常非常的这个啊，为了追求这个速度，你发现一个事情每一个点呢，这个部分内容啃的都不不够扎实。然后一做题就出现问题，那所以大家注意啊，稍微的会慢一点点，对吧？稍微的会慢一些，有的时候你发现你学一个东西，

你就把这东西学通。你学一个知识点，你就把这个东西学完整，你要保证的是下次过程当中这个问题点一定会处理，对吧？你不能在这里面当中，你学一个东西的话，你好像是把它学完了。包括有些同学，这个一直在赶进度，那赶进度过程当中一直在很着急的赶，很着急赶把课听完了。但是你发现你客厅玩的过程当中，一提到这个事情，什么东西都不会，

哎，这种情况是不行的，所以希望大家注意稍微的慢一点。稳一点对吧？不用跟别人进行去比较，这个事情对吧？不用进行去比较，这个速度的问题，你最重要问题就是你把这个东西啊，你吃透。这才是最重要的。呃，声音的话，你可以调整你的对吧啊，每节课我基本上就没有动啊。

所以说，希望同学们注意稍微的稳定一点，你学一个东西，你必须要保证你下次过程当中见到这个问题啊，你不能有问题，而且这个。我刚才在截这张图的时候，刚好有个同学评论了一句话，我觉得还是还是挺有感触的，那说实话。啊，一直坚持跟着这个直播课程的人啊，确实都是牛人。啊，不容易啊，

这么长时间了，稳稳当当的一步一个脚印，有节奏感，核心重点东西把它吃透，我觉得非常棒。所以希望同学们注意好好加持啊，这个坚持好好把这个东西啊，迈过去加油好了，那么今天课程我们就讲到这儿那么。那么，接下来我们来看看这个今天的重点的问题，那么上次过程当中啊，其实你发现我们先来回顾一下上次课程的类型问题。啊，回顾一下。

嗯，好，我们回顾一下上次课程。那么，在上次课程当中啊，我们其实重点的话，你发现我们讲了一些重点内容。那么，里面当中有几个这个嗯像穿针引线法那个东西啊，那就是一个基本的一个，那算一个冷门性考点，它不是核心重点。你学到最后而言的话，你一定要知道哪些部分是重点，哪些部分是核心点，

你像上面的话，那种偏的这种学习的这些类型问题它。只能继续去突破这种特殊的问题。你只能去考这种多项式函数，求解拐点的问题，求解极值的问题，你才能够处理这种点，但是你发现别的题，它的错误啊，这个处理不了。所以说像这种问题啊，属于一个什么特殊的问题，你一定要把常规性的问题啊，把它掌握清楚，那么在上次过程当中，

我们先来看看第一个事情，那就是定积分。定义问题。呃，这个内容啊，是一定会出题的。我们在考研过程当中一定会出这个题的，定积分定义那无论是这里面当中的第一件事情，去求什么东西啊？求解数列极限。无论他怎么进行出题，你这个点一定要把它突破了，无论是考察零到一当中的右端点，左端点还是中点。那还是考察零到二，

这个区间无论它考察什么，你这个东西一定要把它拿下来，这是今年过程当中的一大重点。你看去年过程当中考到这个终点，那么今年的话，他无论怎么考，我们都能把它拿下来好了，这是一个问题，然后第二事情几何意义的问题。这是绝对面积。那么，对于定积分而言，上方的这个积分是面积，你下方的积分是面积的，相反数你像发现一个事情，

这个内容简直就是必考点。我非常喜欢出这个问题啊，你所以下去过程当中把这个核心重点一定要把它拿下来，对吧？求数列解先。求这个几何意义的问题好，这是我们讲的第一个事情，然后接下来我们再来看看定积分的性质。那在定积分的性质当中啊，有几个比较重要的，第一个事情定几分是一个数，对吧？这个东西啊，容易进行出题。那定积分是个数啊，

这个部分内容难度不大，把这东西设出来，两边再同取积分就行好了，这是一个问题，然后第二件事情你再来看。还有定积分比较大小。对吧，比较两个定积分大小，那么这里面当中又有两种问题，一种情况就是利用比较定理。那比较定理这个东西啊，它是什么？就是比较谁的内核大比较谁的被积分函数更大，谁的被积分函数更大，那么所以说在这里面当中。

相同的积分线内当然是正的积分线，谁就更大，那所以上次过程当中我还专门讲，那么今年在这里面当中讲的比较多一点。你能把强化的这个部分内容消化到位啊，你今年无论怎么出问题点都不大。对吧，你要不然就直接比你，要不然就考了一些特殊的不等式，你要不然在这里面当中，我们就是间接比对吧，核心问题，把它想清楚。当然，这里面当中啊，

还有一个事情就是被积分函数一致，但是这个积分线不一致呢，我们可以考察什么，这个几何意义的问题。所以说这就是我们在上次过程当中讲解的重点内容。那么，这节课我先提前先讲一下啊，这节课的内容点非常非常关键，希望同学们拿出这个最好的状态。认真听你们现在状态怎么样？还可以吧啊，我相信状态还不错啊，那么今天的内容非常非常关键，所以在这种当中，希望同学们好好来。

那么，今天无论是哪个板块内容都是个高频重点？那么，首先我们先来看看第一个问题，定积分计算，你像这个问题啊，每年考研过程当中一定是必出题。无论在这里面当中啊，是一个什么直接进行去出题的问题，还是后续的定积分应用的一个基础，你像这个板块内容一定要把它拿下来。对吧，常规的一些计算性问题，那么首先我们先来看看第一个问题，直接法计算啊，

直接法。那么，在直接法计算当中啊，其实就掌握住三个方法，那第一个方法就是凑微分法。对吧，你看到这个东西凑一分呐啊，这个东西比较考经验了，你比如说前面是一次对吧，然后中间还有个二次，你把一次凑到后面去。然后这里面当中有cos in，前面有个s in把sinn操作错到后面去，所以这种东西啊呃，我想做到这儿问题点不大，

那么核心重点是后面这两个人。啊，这两人比较重要一点，那么首先我们先看第一个问题，这里面当中啊，有一个经验，你比如说做这种题，说领导a，然后是x倍的这个人。你怎么记啊？我见到抽象函数的导函数，不用去想，立即凑到后面去分布积分法，那包括这里面当中，比如说领导as方，

然后这个撇撇s这种分。对吧，把这个东西凑到后面去，分步积分法那，所以像这种常规性问题，一定要学会它。尤其是这种抽象性的问题啊，这个东西啊，还考的还挺多好，这是第一个事情，然后再来看看第二类换元法，第二类换元法要注意三个事情。这个内容必须要进行三观。对吧，你一定要进行去换上下限。

哎，从上下先，然后再到了什么，再到这个人的被积分函数。被积分函数，然后第三个事情其实就是最重要的问题，就是积分变量的问题。所以对于这个人呢，一定要进行三换，我们要喜欢进行去换上下限，被积分卡数积分变量。那当然，这个第二类换元法呀，这里面当中就比较多了。你想怎么换就怎么换，

你当然比较常规的问题的话，比如说三角代换无力，更式换元，这都比较常规的，如果这里面当中是非常规的呢？你有的时候你发现，比如说我遇到什么，我想s减个派，我想怎么换怎么换。所以这个问题点你要稍微注意一下，这个事情可以了吧？哎，第一个信息点来再来看看，第二个问题技巧法。那这个技巧法呀呃，

在这里面当中考的也比较多，那么首先第一个事情利用几何一这件事情上节课讲过吧。有两个面积。对吧，尤其是零到a根号下a方减x方零到a根号下ax-x^2啊，讲义上都有对吧？这个东西求面积，你就一眼看过去，你就知道哦，这个东西考面积是重点。然后第二事情利用奇偶性，奇偶性是个重点，那么这个东西有一个非常大的一个标志，必须是什么？必须是对称区间。

啊，对称区间，如果我们将来进行去做一个定积分，我会发现哦，这个东西是个对称区间，那对称区间怎么做呢？我就来看看这个奇偶性，如果这个东西为什么如果这东西为奇函数？那奇函数这个结果呢？它就是零，如果这东西为什么函数为偶函数呢？如果这东西为偶函数，那这个东西啊，一定会等于二倍的。一半区间，

它的积分。所以说这个问题点呢，你就会想的非常清楚了，那奇函数等于零偶函数这个东西等于什么等于二倍的这个问题。好，这是奇偶性问题，只要见到这个对称区间，立即想到奇偶性，一会儿这个周期性我会重点讲的。哎，周期性是一会儿会重点进行去说明这个问题，因为好些年过程当中没有考过这个周期性问题，然后再来看看区间在线公式。那区间在线公式啊，是这样的一个东西，

就是a到bfs ds。那这个东西等于谁呢？它也等于a到b，然后是上限间加下限减去这个人再来计分。所以这个东西就叫区间在线公式，有的时候我们进行去计算这个人的时候，你发现他就等于什么上加下，然后一减。啊，这个分还挺简单，所以你要喜欢用，然后另外事情点火公式的一家人，还有这个重要结论，这简直是我们三九六同学非常喜欢出题的。你去看看这两年的真题，

有的时候那种小积分的时候经常会出现它，如果会的时候你会做的这个东西呢，会做的非常非常快。对吧，做的东西会非常快。那么，所以说首先第一个事情，点火公式的一家人，我先把这个内容我们先带着同学们来复习一下。呃，这个东西我们在基础班讲的时候，我们说这个东西你可以通过什么？那个理解的方式，把它记住，我相信问题点应该不大。

首先，我们先来看看第一个事情，零到二分之派。那零到二分之派，这个s in的N次方和cos的N次方，那如果是大于一的这个奇数点到三分之二。如果是偶数啊，点到二分之一，补上二分之派。好，这是这个东西，能听懂吧？那么这里面当中还有一些人，我把这个内容我们讲清楚。好，

我们来看看点火公式一下，稍微复习一下，因为这个内容啊，有些同学估计给忘了。后面还会用的。点火公式。点火工时一家人。那么，这里面当中啊，其实有几个非常重要的问题。来，我们来看看。那么，首先我们先看看第一个人，那就是零到二分之派，

这是最基础的，就第一波的话就是零到二分之派上。然后这个s in的N次方还有什么情况呢？这个零到二分之派上cos的N次方，这是基础的。但这里面当中啊，还有一个事情就是零到拍。那这人怎么办呢？那么，其实我们讲过零到派的时候s in的N次方图像还是那个样子。其实你发现s in的N次方的图像还是这个样子。但是他可能中间的话，这个部分要矮一点点，但是样子是一样的，所以说这个东西啊，

就会等于二倍的零到二分之派。这东西非常好用啊，尤其是在定积分应用当中，我们用的非常多，你会做了这个速度就会非常快。然后接下来我们再来看第二事情。灵道派这个cosine这个人呢？cos in这个人要小心，那cos in这个人的话，他cos in图像是这样。如果这个n为什么数n为这个奇数？如果这是奇数呢？那奇数这个图像大致还是这样子，所以说这个结果就是零，如果这是偶数呢？

偶数就大致的翻上去翻上去的，中间要矮一点点，但是样子上没有什么区别。我们基础班讲过，如果这东西为什么如果这东西为偶数？为偶数的话，它就等于多少二倍的零到二分之派cosine的N次方那零到二分之派就可以使用点火公式了呀。然后接下来我们再来看第三个人，那就是零到二派。零到二派，这个s in的N次方和零到二派的多少？这个coss的N次方哎，这俩东西是一样的。那这个东西是什么情况？你像cos是两上两下三页是两上两下，

如果这个n为什么东西呢？奇数。它仍然长那样子，所以说最后而言，上下是对应的啊，等于零，如果这东西为偶数。那么，这样一翻，翻上去应该是四个零到多少二分之派sins的N次方ds啊？这个要会啊。你不要到时候我们进行去计算这个东西呢，你半天想不出来，一定要算的非常非常快，这个水平点呢，

非常重要。点火工是一家人，这个没有难度。把它记清楚，所以对称区间的时候，我们会想到奇偶性，如果有周期性，会想周期性，如果这个东西怎么办？好了，这个点火公式啊，立即把它点着好了，这个问题那么这里面当中还有两个特别重要的结论，我们考研非常喜欢考。那么，

首先第一个人是这个人。零到二分之派上。s in和cos，它具有什么性啊？轮换对称性还记得吗？这俩东西啊，它具有轮换对称性，你注意啊，这个问题很重要啊，它两者之间具有轮换对称性。然后第二件事情继续，还有一个是零到派，你想s再乘上sins这个人ds。然后这时候怎么办s就不要了，然后前面补上二分之派，

这两个东西啊，尤其是第二个人，第二个人是我们是考过的。考研真题出现过。如果你会做这个水平点的速度就会非常非常快了。那么，这里面当中涉及的典型题啊，我们把这个东西啊，稍微的进行来出两个。那么，首先第一个典型题。第一个典型题就是这个人零到二分之派上，然后这是多少？这是s in，然后这是s in+cos。

基础班讲过的题吧好，这个人怎么算？那这个人的计算方法的话，其实我们就用一下这个轮换对称性，那这个轮换对称性的话，你发现我用哦这个圆是这个东西它。它是零到二分之派，然后这是s in，你看这后面就是s in和cos的函数。零到二分之派上s in和cos OS in的函数，它们具有轮换对称性。什么叫轮换对称性呢？把这个s in改成cos in。把s in改成cos，把cos改成s in，

然后这两个东西是对等的好了，它还是I。那么所以说这两个东西啊，我们把它一+1加，这个结果就是2I，那这个2I的话，你发现里面相加呢？里面相加的结果刚好是一，所以说这个结果就做成这样，它的积分是二分之派，然后这个积分呢，刚好是四分之派。出来了好了，这是这个问题，能相通吧，

一定要会做啊。然后接下来我们再来看看第二个题。这个最近两年的这个真题啊，考过这个事情，比如说我出了一个题，零到这个人啊，我出一个难一点的吧，比如说六次方ds。你怎么做？你看这个题。怎么处理啊？如果你是一个一般性选手，你就在这慢慢做了，等你做完了之后，这个黄花菜都凉了。

你什么的话，这个直接分布积分法或者什么，有同学说表格积分，你来给我表一下试一下。你在这个做啊，就非常非常麻烦了，那这人怎么做呢？你发现这是零到拍s再乘上一个s in的函数。s乘以个s in的函数，这个s就不要了，不要了之后前面补上二分之派零到派，然后这是sins的六次方ds。是吧，好了，这是这个情况，

然后接下来怎么办？这个人就可以点火了，他又等于二倍的零到二分之派。sins的六次方ds哎，那这个时候可以点了一点多少六五四三二一二分之派？一点就着你看这个东西啊，马上点着。但其实我们的考验呢？你发现他考的他稍微的会简单一点，比如有一年考题，他考的是这个人。我不知道有些同学做的那个真题啊，还有没有印象啊？考到这个人，那考到这个东西就灭了呀。

应该就直接干来s不要了，前面补上二分之派零到派，然后这个s in sds有人说这个人怎么记我们都知道。像s in这个人的面积，我们都知道，你看这是一这是一马上出来诶，那这不就是二吗？所以说结果等于派。你看速战速决，所以这个时候你做题的速度就不是一般同学，一般同学在这里面当中还要分步积分法一下。你早都把这个题处理完了。你这就是个高手，就是每一个运算当中，你甩一个同学，

哎，你发现20秒钟或者30秒钟。那这个时候的话，你发现好多题当中，我们是考35个题，你好多题当中，这就是不少时间呢。好好注意一下这个问题，对吧？有的时候有一年考研就考了这个事情。你什么时候考呢？你其实你都能猜得到，不就是这个东西绕着y轴旋转一周吗？你想想一个事情。我一会儿就会讲，

你就听不懂。听不懂，应该也不正常。你比如说这个三亿这个人。然后绕着这个y轴旋转一周，不就是零到派二派x再乘上s in，然后ds吗？不就题就出来了吗？然后这时候你速战速决一下，二派抽出去s抽出去，这是二本题结束，所以等于多少二派方本题结束？哎，你这个水平点就异常的高，因为你发现你做题的速度就很高，

你简单题嘛，简单题拼速度嘛。难题拼水平呐，所以就是这样，稳一点慢一点啊，注意啊呃，我觉得这个考试题的难度系数那倒无所谓，我一直跟你讲，人难我难，我不为难。人义我义，我不大义就行，你这样的话，你才能搞高分。好了，

这个事情我们就讲到这。你说简单题嘛，你拼这个情况，所以要有一点操作性，技巧性，你像有些同学，他不知道这种情况的。你让他做十道题，他还是这个速度，你让他做20道题，他还是这个速度，你说这种东西他其实就没有什么提高，你要注意这个强化班就是打开你的思维方式的。好了，不多说了，

我们来看看下面的一些重点题来，先看幺四零这个题。呃，这个题啊，就有超强的定时思维能力，那么首先你告诉我一件事，我们先来读题啊，他说这个曲线过这个点，而且跟这个人在这个点处相切。那么，首先我们先来看看挖条件信息，你过这个点，说明你在零处等于零。你这个人和这个人在这个点处相切，什么意思啊？

你跟他在这点处相切，说明你在这点函数值跟你在这点函数值一样，那你告诉我你在这点函数值跟他在这点函数值解二。是不是一样，然后第二件事情，你的导函数你的导函数是2s倍的ln 2，那所以说你们俩人在这点的导函数也一样。你的老函数等于多少二倍的ln 2？好了，这是这个问题，就是题目条件给的什么信息，你就挖什么信息，它说相切嘛，函数值相等导函数值相等。来，

继续来看。那这个题就可以做了呀，你发现这个题的定式思维能力是什么？赶紧做，遇到抽象函数的导函数。抽象函数导函数，不用去想，立即把这东西怎么了凑到后面去，那二级导数一积分变成它凑到后面去分布积分法。所以你要注意思维方式非常的简单。你这都不用去想了，你一想的话你就输了。所以说这个人的话就变成了零到一，你再减去零到一，然后这是f撇sds好了，

我们继续看。你把一往里面带，那这就是f撇儿一零带去零，然后这个积分结果是多少？你导函数积分不是fs吗？就是这个人，所以说就是f撇儿一。你再减去多少？你再减去f1-f零好这个情况那f撇一是多少二倍的ln2？f1-f零是多少？那这是二所以这题的正确答案选几啊？二倍ln2-2答案选b。好了，这是这个题啊，它具有超强的定时思维能力，

两个函数在一点相切函数值导函数是相等，然后的话遇到抽象函数导函数凑到后面去分步积分法。有养成这种习惯啊，好了，这是幺四零这个题来继续，我们再看这个题。那这个题的特征是什么呀？那这个题的特征也非常明显，那这个题的特征其实就是对称区间。对吧，对称区间。定积分计算。那对称区间的定积分计算，首先想到什么？首先想到奇偶性。

对吧，第一件事想什么呢？想到奇偶性。其实啊，你发现我们的考题啊，能考的基础性就差不多了。对吧，首先想到技术性，我在吃什么汤，我再强调啰嗦一嘴啊。怎么用奇偶性呢？有些同学时至今日都不会判断奇偶性判断不好，你就记住，如果我看到奇偶性，我就塞一个负x进去诶，

不动偶函数。然后这个不动多了一个符号，这多了一个符号，奇函数，你看这多简单，所以前面这东西是奇函数，后面是偶函数。你非常快，你就塞一个符号进去嘛，你cos这个人不动，这个人多一个符号稀函数，然后眼睛一瞅就出来了。所以我只是写出来了，你可以怎么办？你可以用脑子去想一转就出来了，

对吧？脑子稍不得一转，哎，这个人多了一个符号奇函数，这不同。那所以奇函数等于几等于零，因此这个结果这是偶函数，偶函数二倍的2倍的零到二分之派。然后这个绝对值ds。那么，现在这个s是介于多少零到二分之派？它是正的，那既然是正的的话，你就发现就可以把这人去掉了，然后是sds。

然后这是积分呢，你这个积分的话就是x方把零和二分之派减去，所以多少四分之派方？好，这是这个事情。当这个人呢？你不想积分也行，你不想积分的话，你也眼神可以瞅一下你发现。这里面当中不就是这个x绝对值吗？不就是这样子吗？你这个绝对值这个人的话，从多少呢？从负二分之派七到二分之派不就是这个面积吗？你所以说这个面积等于多少？

等于二倍的二分之一底再乘上高，所以说还是等于多少四分之派方也出来了选一。你想怎么做怎么做，所以说这个速度啊，这个水平点你就直接记也行，这个题简单题。但是你发现我们好多年份的考题啊，也就是这种样子。它出的点就是这样子，它也不是说特别难，就是你反一倍一两分钟内把它做完呗，稳稳当当的处理清楚就行。好了，这是幺四幺这个题来，再看这个题。

你继续看，然后这个题啊，又是个对称区间，我见到对称区间，我立即想到什么，我立即想到奇偶性，我想到奇偶性，我就塞一个符号进去。那负s进去，你看s in负s是负的三次方不改变这个人就没有了。然后后面这个东西是偶函数，那既然是偶函数的话，原式这个结果就等于二倍的一半儿区间，它的积分根号下派方减去I次方ds。然后怎么做？

对吧，你就做成这样了。诶，你做成这样了之后怎么处理啊？你如果在这里面当中注意，你要想进行去使用什么，你使用这个三角代换，一下子就做慢了，那这个东西不就是考了我们上节课讲的？零到a根号下多少a方减去s方这个什么？是吧，四分之一圆，你就知道这个人是半径，那就是四分之一派，然后的话，

这个半径平方，所以说你就可以盯着走了。来四分之一圆，然后多少派r方，然后这是多少二分之一派的三次方，所以正确答案选几啊选a哦。能理解吧，就是你要盯着走，你越做越快。那如果的话，这个人考的什么零到a根号下ax减x方呢？你其实也要知道那是这样的一个圆，它是个半圆就二分之一派。然后这个人呢是纸巾，所以说是二分之a的平方，

你要越做越熟练，你盯着这个式子，脑子里面蹦出这个图，未必画出这个图。对吧，你有可能没有画出这个图，但是脑子里面蹦出这个图，图就印到这个式子里面，这就是错题，做熟练了。对吧，真的是做多了，那没有办法，就是想出来了呀，拦不住，

对吧啊，这个点来，那么接下来我们再来看看下面一个问题，你再看这个题。呃，这个题啊，就是硬算的一个题了。要不这样吧呃，我们把这个题看一下吧，硬酸。那你看这个题的话，就很像去年这种考题，但去年这个考题的话，它考的是个什么啊？纯的一个真分式。

那么，首先我们先来看看第一个点。那这个东西很明显是个什么分式啊？这是个假分式，尤里分式当中的假分式。如果遇到假分式，我立即把它变成真分式，你还记得怎么变吗？那么这人的话，我们来看看这个事儿，就永远盯着谁呢？盯着这个分母去走啊，我永远盯着这个人。那丁智这个人的话，你发现这要提一个平方。

然后这个东西才是平方来，我加个一就减个一减去三x方。诶，减去3x方的话，你后面又加个3x方，那刚刚好，所以说这个结果就变成这样，那这个题啊，就比较简单了。所以你看你这两个东西刚好约掉了，你约掉了之后的话，你看第一个人负一到零三倍的x方，然后再加上x方加上一分之一。然后这东西啊ds。呃，

你别说一个事情，这个题啊，才特别有我们的感觉。我们就说我们的有些考题的话，你发现它没有那么难，它只是看起来吓人，你稍微一动它，那这东西就出来了。所以说这人呢，马上出来。我再给你教通法。哎，我再给你讲通法。有些同学可能眼睛一瞅瞅出来这个人，那如果你没有瞅出来呢，

我再给你讲通法。通法就这样做，一个一个的来。对吧，一项一项的来，就是如果这个高次幂的话，一项一项的赔，一项一项的赔，那就是这样做的好了，这个结果的话，你往下来那。那这个第一个积分的话是三次方把负一和零带去，然后这是arc tangents把负一和零带去。好了，那么接下来我们就继续，

我们再来看看下一个问题啊，再看这个人。但是这个题啊。特别容易出错。特别容易出错，我们先看第一个人啊，我给你写慢一点可以吧？零但去零，然后这个负一的三次方是负一是减负一，所以说这个第一项这个结果是一，你听懂了吗？所以有些同学就选到负一去了，那就亏大发了。然后第二人呢？你看零代去零，

然后负号，然后阿尔克塔尼里负，一是负的四分之派。所以说这个结果是四分之派。所以说这个东西啊，应该是四分之派怎么办？你再加个一你选c，所以这个题啊，很容易选到a。对吧，很容易选到a，你别看这个事情，所以小细节啊，有些同学在这个小细节当中就出错了。三次方嘛，

你不会改变这个正负性的。好，这是这个题啊，我们就讲到这儿，你看不难，你有没有发现我觉得这个呃，今天讲的这些所有的题啊？我觉得如果很像我们的考研那个最后的真题的话，你发现这个题很有那种感觉对吧？它看起来复杂。但是实则而言的话，这个东西很简单，然后这里面当中又有一些小的坑，你看就在这里面。好了，

那么接下来我们就继续，我们再来看看啊幺四四这个题，你看这个题。你看这题怎么做？如果这点当中啊，拿到对称区间，对称区间当中啊，我们先想奇偶性，你先想奇偶性的话，你很明显你塞一个负x进去。然后下面这东西啊，不动上面这是负号平方下也不动那，所以说这里面当中其实就是一个什么哎。它是个偶函数不动嘛，偶函数那偶函数这个人其实就等于二倍的零到二分之一，

然后这是多少根号下一减x方？arc多少sins的平方？好ds怎么做？那这个很简单吧，你就把谁凑到后面去，你就把这里面当做的根号下多少一减x方。对吧，他这个人其实就是谁就是阿克塞因的导函数，你往后面凑，你往后面凑的话，只是阿克塞因s的平方。d多少arcsine s。所以说这个结果你马上记分，那就是三分之二，然后这是arcsin x的几次方，

三次方把零和二分之一带进去。所以说这个时候我们来算一下。那这个零带进去零那二分之一呢？s in多少等于二分之一，你很明显是s in六分之派啊。s in六分之派等于二分之一，所以说这个结果我们来算一下，六六三十六。然后36再乘上个六六六三十六三六一十八二百一十六。是吧？六次方，然后的话，这是个三，然后是六六三十六，然后这是多少？

这是三六一十八二百一十六。那216的话，这个人再去约一下，那就是三分之二二百一十六，这是派的三次方。那然后的话，这个人的话进行去约一约的话，这个人是100多少呢？一百零八一百零八的话，这个人再去乘一下。是324选a啊。好了，这是这个点吧，我们就想到这儿，能想清楚吗？

你把这个问题啊，想清楚就行。好了，这是幺幺四四这个题，你下去好好看看，其实我们有的时候我们那个题目的话，最后那个值啊，也挺大的。好了，这是幺四四这个题来继续吧，我们再来看看这个题。你看这个题怎么做？啊，看一下这个题。那对于这个题而言呢，

那么首先我们来看。你首先先进行去处理这个问题，又是个对称区间。你先想奇偶性一个负s进去cos负s不动cos负s不动，那这东西是偶函数。二倍的零到二分之派coss cos 2s，然后ds。那这个题怎么做呢？那这个题的话，你的处理方法其实非常简单，你可以这样做。那这里面当中这个部分。我看到零到二分之派，我就喜欢这个cos OS in的N次方，所以说这个时候我就把这东西写成二倍的cos in方，

然后再来减一。然后这个东西一做的话，这个人就变成这样，零到二分之派二倍的cos三次方，你减去个coss，然后ds诶。那这种情况的话，你发现一个点火公式就出来了。对吧，一个点火公式，所以说第一个人就是四倍的零到二分之派cosine三次方ds再减去二倍的零到二分之派。co ssds.那现在看第一个人来点了多少三？二这个人那这个人呢？那这是我们讲过，

你像这个s in呢，它这个办公面积是一，那像这个cos in呢，你cos in的话，这个部分面积不也是一吗？那所以说这个结果就是一。然后这是三分之八，然后再减去三分之六，那这个结果刚好是三分之二，所以这题的正确答案选几啊选d。难也不难，对吧？也就是考察了一些基本的问题的一个操作，你把这个事情想清楚就行好了，这是这个问题。

那么这个题啊，有没有别的方法呢？其实也有。有些同学可能在这种当中啊，用了和差化积公式。七化和差公式。对吧，积化和差公式那这样的话，如果这样做啊，肯定是比这个题的速度要慢。但是如果你公式记得非常的快，那这个东西啊，你就做的很好啊，如果这个题是凑一分，那就有点胡扯了。

那么凑一分肯定不行，那么这里面当中啊，我稍微进行讲讲啊，这个积化和差公式。那么，这里面当中，我们稍微进行去复习一下吧。来回忆一下我们的高中，不要背啊，一背就傻了，我教你怎么记，你稍微听一下这个东西，立即记住了。好不要背谁背谁就傻了，哪有那么多脑子，

如果一考脑子一转就出来了，这种这种感觉你不想拥有吗？好了，我们来看看这个事情，先来看三。s+y。那这个东西是什么？那这东西是cycle？加上cos。对吧，那cca llc。这个东西会吧好，这东西你不会呀，你下去好自取一点了好了，那么接下来我们就继续，

我们再来看，如果这是s怎么减y？那就是cycle。然后是c。然后这东西啊，减就是减。然后接下来我们再来看看下一个问题crossing。那这个东西呢？哎，这东西是一样的。QQ下载。然后这东西加这人就是减，然后这是calls-y，然后这时候是QQ。然后再加上赛赛，

你注意这个问题啊，就说呃，这个东西没有考的非常难，就是脑子稍微转一转，这个东西就出来了。这个会吧，这是高中最基础的呀。好了，这东西啊，是非常非常基础的。所以说这个人的话，你发现我们来处理一下这个事情。那这个人的话，怎么去处理呢？你看这个人。

如果我们继续去讲这个事情啊，这个和差化积公式，比如说举个例子啊。有个同学想变这个人。我们来看cycle这个人。那么，同学们告诉我一声，这个东西是纯的还是不纯呢？这是不纯的呃，对吧？杂合子。不纯那不纯的话，肯定是s in呀，所以说你赶紧写个sin x+y，然后再写个sin x-y。

赶紧写，然后这个时候我们来看看。你这是前面是你读一下，前面是cycle加cos，后面是cycle减cos，那cos不要你在中间来个加号，那不是两个cycle吗？那么前面配个二分之一就出来了。非常简单。能听懂吧？好了，这个东西啊，脑子一转就出来了。能学清楚吗？好，

这个问题你看那很很轻松啊，对吧？然后比如说你想来个QQ。对吧，两个都是空。量它扣的话，你发现这是个纯的，那这是纯的，肯定是扣的，你看你看写cos加再来个cos减。啊，就这样写，然后接下来我们就继续一点都不麻烦，这脑子一转就出来了，你多转一转呢，

你不要说你你这个东西，你好好想想。你不要每次在这里面当中注意难一点的东西，才要慢慢想。对吧，你这脑子一个回路，两个回路，你要喜欢经过这种，不要每次过程当中你就懒得想了，你看这是QQ。减赛赛QQ加赛赛，那中间还是加那两个QQ，那这个人的话配二分之一。那其实有些同学学会了之后啊，脑子稍微转一转，

这东西出来了。你稍微一转就出来了，所以说这个题啊，你发现我们再来看方法二。那方法二当中啊，你也可以这样做，它不是二倍的零到二分之派吗？那coss s多少2s，然后ds，然后接下来我们看看这个人怎么做？来那就是cosine两个相加。然后是cosine两个相减。那QQ留下了塞塞不要了，中间配加号，然后前面还来个二分之一。

然后这个人呢，他就是变成了零到二分之派cos 3s，然后再加上coss s就coss好了积分吧。一级就出来了。对吧，稍微一来它就出来了。啊，好了，这是这个问题，那所以说你看第一个人，你积分就出来了，你配一个三，然后是s in把零和二分之派带进去。然后第二人呢？第二人积分就是一倍，

然后这是三分之一，你继续看。那二分之三派呢？那二分之三派大家都知道，那这个人是负一。然后再加上一所以说结果等于多少三分之二？好了，这是这个人啊呃，有同学是这样做的，你你要这样做也可以，有的同学是要这样做，说什么情况呢？说这个零到二分之派。你不是cosines嘛，然后这是cosine 2s嘛。

你要是这样做也可以，就是零到二分之派的话，你把这个人凑到后面去，变成sins in是可以的，然后你想到把前面这个人写成了二倍的s in方一减二倍s in方。好了，这种情况也是可以记的。能听懂我的意思吗？你这样做也是可以，你这样做的话，你发现你反正而言的话，这个第一个积分是多少？是science。然后的话，把这个零和二分之派等于去，

然后这是三分之二sins的三次方把零和二分之派等于去好了，一算就出来了。好了，这个题啊，我们就讲到这儿吧，不多说了，你自己下去好好进行处理，反正这个题不是个难题，你怎么做这题都会？所以这个题其实最好的方法就是转到哪儿呢？就转到那个点火公式上，点到转到点火公式上，这个题目其实应该是最好的一个方式。好了，这个点呢，

我们就讲到这幺四五这个题可以过去了吗？然后接下来我们再来看看下一个问题幺四六。来看看幺四六。呃，这个题啊，其实稍微的会重点一点。对吧，这个题。那这个题的话，你发现它是零到二拍。然后是sins+1 ds。你怎么做那么这个人的话，你现在而言的话，你发现能不能好好看呢？能不能看出来呢？

如果看不出来呀，我们接下来稍微的话进行整理一下，你看这个样子就不好看。你这个样子不好看的话，我觉得这个什么x+1不好看，我就把x+1换成t。你换成t了之后的话，你发现来这个东西就变成了sint的绝对值。des这个东西就是dt。那这个时候的话就变成了零+1。一然后这是一+2排，这种结构可太熟悉了。对吧，这种结构的样子是非常熟悉的，那么接下来我来把这个知识点呢，

我觉得还是有必要来复习一下。啊，非常有必要复习一下。好了，我们来看看这个事情。对吧，周期性。的周期性。定积分的周期性。首先，第一个问题啊。其实我不太放心。函数周期性的判定。你会吗？对吧？

函数这个人的周期性的这个判定应该是没有问题吧？判定周期性，就是用定义法。就是这个部分的内容是高中内容。然后接下来我们再来看看第二事情，定期分周期性的性质。这个内容你好好来。首先，我们先来看看第一个判定对吧？你都不会判断周期性，那这个题就不用做了。你的判定方法非常的简单，就是你把x+1个数。你给我塞到这个函数里面，你发现它纹丝不动，

那这就是它的周期。你塞一个s加它进去，它不动，那这个东西就是它周期，而你要注意，如果t是周期2t3t4t也是都是它周期。那么，这里面当中比较常见的，那当然的话，你发现第一个人你像塞你都不会判，那这就废了。你纯属就废完了。对吧s in和cos这个人的周期呢？你这个人周期是多少？你这人周期肯定是二派呀。

为什么你sins加个二派进去，你这人不动啊。那么，这是这个人那所以如果你会这个人呢？我来看看这个事情，看你水平怎么样？如果这个人是三。然后的话，这是多少四+2倍的cos in，你告诉我它的周期是几？派不能这样啊啊，这个周期是几？你看一下这个人，这个很简单，你发现你看，

如果你扔一个s+2派进去。你扔进去了之后，这个人这个人不动，这个人不动，那就不动呗，那不就是二派吗？能会吧，所以一定要理解，知道一些常规的，你就能做这些人。然后接下来我们再来看第二件事情，什么s in的这个平方呢？cosines平方了嗯，sines四次方了cosines四次方了，这种偶数次方你告诉我它的周期是几啊？

太棒，这个人是派，因为平方列下来之后的话，把那个负的就相当于翻上去，两边的话要小一点矮一点点。对吧，这些人的偶数次方，他是拍那，所以说比如说我们来看看，这是sins平方，然后一加上多少二倍的cos in方？那这个人的最小正周期是多少？是派吧，因为你s加上派进去s in平方不动cos平方不动，那就不动呗，

那就是派啊。好，这种常见的东西啊，你一定要把它学会，那当然还有tangent题了。第三个事情。什么这个塞因欧米伽s cos塞多少？欧米伽s它的这个周期啊，它其实等于二派比上欧米伽。其实我们考研考我们最喜欢考的就是sing和cose，你像什么tang ing ing ing ing ing ing ing ing ing考的比较少一点tanginging的最小正周期是拍我们就不复习了。好，这是这个情况。所以像这种基本问题，你是得把它学会的，

那比如说我们再来写一个。你假设你看这是sins平方，一+2倍的cos 2s，你告诉我最小正周期是多少？你不要还不会啊，你扔一个s你看上面最小正周期是派你这个人也是派你扔一个s加派进去，你发现你看你这个人周期是派你加进去不动。你这个派加进去不动，那所以说这个人最小正周期不是派吗？能会看的吗？就是你要想清楚它的周期是多少，它周期是多少，我扔进去了之后不动，那这就是我的周期。高中内容。

完全是高中内容。那么，接下来我们再来看看第二件事情，定积分的周期性的性质。好，我们先来看看下一个问题。授之以渔无法授之以渔吧。要真的是我去给你钓鱼的话，你就发现我也给你钓不完呐。你说这这可咋办呢？来你告诉我这个人最小帧周期多少？不要背谁背谁就傻了，不要给我背，千万不要背。你想想你这个人的周最小正周期是二派吧，

你最正正周期是派吧，你派是它的周期二派不是也是它的周期吗？你派是你二派不也是吗？那所以说这个时候我怎么办？我就取大的呗。那扔一个s+2派进去，你不动你不动，那这个最小正周期不是二派吗？一定要灵活。你看这种东西，原本是你高中的内容。不不不别别别给我进行去总结什么最小公倍数，不要这样理解，脑子一转就出来了。你最重要问题其实就是你s+1个东西，

它不动它也不动，你要保证这两个东西都不动。对吧，你一转就出来了，你多去想想。好，这是这个问题。那么，接下来我们来看看定积分周期性的性质。第一个重点内容。第一个周期性性质啊，其实就是这个人从零到n倍的周期的积分。零到n倍周期的积分呢，它就等于多少n倍的一个周期内的积分。这个没问题吧？

好了，这是这个事儿，所以你要发现一个事儿，就说我从零记到n倍周期。那每个周期都是一样的嘛，就是n倍的一个周期，然后我们来看重点。重点是这个人叫做a到a+t fs ds。与a无关。那么像这件事情啊，其实你发现这个啊，考题其实有很多。你比如说我们去证明，你怎么证明这个东西与a无关呢？同学们告诉我怎么证明呢？

如果一个题目当中说这个东西与a无关，说明什么事情？那就说明里面这个东西的周期其实是多少是t，我先问一下怎么证明呢？你怎么证明的？你证明这个东西与a无关，其实非常简单。你想想一个事情，你告诉我这是一个谁的函数？大家好好听啊，把这波内容听完。你告诉我，这是谁的函数？如果这个东西是一个函数，谁的函数？

谁的函数？t是一个常数周期，是一个常数。不不不，周期是个常数。粥我我我有点忍不住了。我实在难以相信，时至今日，这是我教出来的吗啊。这是一个常数。就盯着s不放了嘛，你咋就那么喜欢x呢？我以前给你讲过这个事情，你那么喜欢x干嘛？你自变量我可以随便换呐。

如果定积分是个函数，它必须是个变现函数。它肯定是个变现函数，你这个后面是积分变量啊。它肯定是个a的函数嘛。对不对？它是个a的函数嘛？你要定积分是个函数，它肯定是一个什么，它肯定是个变现函数，变现函数自变量在上下限当中嘛。你注意一下这个事儿。那么，同学们告诉我，如果这东西与a无关，

怎么证明？诶，你这是个a的函数，你居然跟a没有关系。你想想你这个人是a的函数，你怎么能跟a没有关系呢？那没有关系，说明什么？没有关系，说明你这个人是个常值函数。你这个人就是个常值函数。对吧，你是个常数。所以说这个时候我就马上知道我怎么证明它跟a没有关系呢，我就证明你是个常数对a求导的结果就是零。

来代进去a+t，然后的话上限再对a求导是它下限移进去下限求导是一，而你发现里面就是以t为周期的周期函数啊。那所以说这个人不就是你吗？对吧，这不用我们去说，就说你这个东西是有大前提的，如果什么情况呢？raw ifs.周期为多少？周期为t。你里面就是以t为周期的周期函数。那这个时候a+t-a，那这个结果不就是零吗？那所以说a到a+t这个函数关于a是个常值函数，

无论a怎么变变，那这个东西都是一样的。你听得懂我意思吗？这东西就叫与他无关。那当然，这种题我可以随随便出啊，那看就检验你的灵活性了。你比如说一个考题过程当中，人家这样出。我来一个嗯。这是3a。然后这是ftd t。比如说这个题，我们说这个人与a无关。然后后面出了一堆东西，

我们先看看怎么能编这个题。那你告诉我这句话什么意思啊？什么意思啊？那你回答我诶，这是s。这是3a哟，不好意思。告诉我一件事儿，这个事情什么意思啊？那说明这个前面这个函数谁的函数a的函数嘛，自变量在上下限当中嘛。然后fttt。那说明这个东西与a无关，说明他对a的这个人导函数就是零来上线，移进去上线求。

下限移进去，求出它，然后这个结果等于零。嗯，所以说这个时候啊，马上出来了。那出来这个结果的话，你就移过去对吧？不是别胡扯啊，你看这这这胡来啊。谁跟你讲这个周期是二的2a的？它是a到a+1个常数。这两个东西是不一样的人哎，你看这这还没有切进去。你一定要灵活一点，

其实这种东西都没有什么灵活性，你看这个结果就得到这个人，那所以说三倍的f3a。然后减去fa=0。那这个题我们去求则。f0等于几？哎，我一出就是一个题，那f0等级啊，你往里面带一带的话，或者我去出啊，这个一肯定出不了。然后的话，你就零零a=0的时候，三倍的f0-f零=0，

所以说这个时候一推f0等于几啊零。所以这个咔咔咔abcd五个选项出来一选零。这个题一点都不难，你说如果这个题考给我们完完全全可以稳稳当当，一点都不超难度系数，一点都不大。你就是考了一句话，而且一分钟内就做，能做完。那这个题不就说我跟你没有关系吗？那我跟你没有关系，你是a的函数啊，所以你对a求导的结果是零吗？你看这种结果就跟刚才那个东西不一样了。那么你这个东西，

你马上就是一个很好，你不要看我这个上课现编的这个题啊，你编的这个点这个方向性是非常有的。好了，这是这个事情，能想清楚吧，要记住这个点。所以说接下来我们来看看这个问题。他如果说什么呢？你当然的话，这个题它要满足这种结构。对吧，你要满足这种结构。那这种结构如果与a无关，那当然我们怎么办？

与a无关。那这个时候我当然可以推出来fs的周期，什么周期为t，这是没有问题的。周期为体。没有一点问题。但是像刚才那种结构，它是怎么做的？把它想清楚。所以像这种a到a+t fs ds跟a没有关系，那周期肯定是t呀。那周期是ta到a+tfboys点s跟a没有关系，这是一样的。所以说接下来我们来看看这个事情，来我们来走了。

我看你水平怎么样？第一事情a到a+t跟a没有关系。注意了，我的周期是t。我周期是t，我跟a没有关系，那你发现你a可以取几啊，你可以取零。你看你a可以取零，你取零我们是一样的。但是这种情况娶的还是不是特别牛逼的，你能不能娶个特别牛逼的人，你娶谁呀？我娶负的二分之周期。如果是负的二分之周期，

那这个东西啊，立即变成对称区间。所以这种情况它永远能变成对称区间。你记住，这种结构就是a到a+t fs ds，它永远可以变成对称区间。那所以说考试当中啊，就可能这样考，那万一设置的这个题。它既具备奇偶性的性质。它又具备周期性的性质呢，你怎么去处理啊？对吧，这种情况就可以处理了。你既具备奇偶性，

又具备奇周期性，只要是a到a+t的结构，它永远能变成对称区间。永远是可以的。他永远都可以。能听懂我的意思吗？就说你这个被积分函数，你只要周期是t，你只要是a到a+t的这个定积分。我永远可以怎么给a取，我就取负的二分之t永远都能变成对称区间，记住这个经验就是a到a加t的fs ds。但是我觉得这个非常的低能。怎么样才能把这东西做的更加的顺一点呢？你再来看。

只要什么东西呢？上下限的长度是周期。你听好了，我被积分函数的周期是t，只要你的上下限的长度是周期。你看，只要上下限长度是一样长，它们就相等。所以我又总结了一个经验。哎，我又总结了一个经验。你听好了。总结这波总结就非常重要。只要上下限。减下限。

等于什么呢？等于周期。只要你在这个题目当中，你的上限减去这个下限，你等于周期。你注意这种情况，我永远都能把你变成对称区间。为什么呢？因为上下限的长度是一样的，它们就相等。对吧，你上下限的长度是一样的，你们就会相同，这才是高手。真正的高手。

的话，你发现是这样处理，你当然的话，你像刚才那个人，你可以给a取一啊，你取一的话就是一+t fs ds。你看你这个上下限的长度还是解还是周期？所以只要你的上下限的长度一减，哎，是个周期，那这东西非常简单了。所以你发现我们做题怎么做，我就盯上下先，我拿到这道考题的时候，你看我第一步。

我第一步就这样定，我把你的上限和下限剪下，我看你是不是t？如果你这个上下限，你相减是t，那这就完美了来走向。那么，其实有的时候啊，你发现这个人是nt。n倍周期也行，那n倍周期也是我的周期啊。那这个时候你发现，如果这个人的话，他是a到b。现在这个上下限的长度是n倍的周期，

n倍周期也是周期，那这个人呢？我立即把它换成几，我换成零到n倍的周期，你看这个上下限的长度都是n倍周期。只要上下限的长度的周期段的长度是一样的，它们就会相等而零到n倍周期又等于n倍的一个周期。好了，现在这个周期又变成一个了。一个周期的话，它们就会永远相等，我就把你变成负的二分之t到二分之t。高手高手中的高手。所以你看这个操作性，就说我拿到一个题的时候，

我干嘛我就进去去看你的上下限，只要你的上下限做差。是我的周期，或者是我的倍数，我永远能把你干成对称区间，这就是我的水平。那所以说能听得懂吧？你当然有的时候我们做的会很简单，如果的话，你发现我们做这个题直接b-a就是一个周期，那太简单了。你a到b这个人，他就等于多少，你这是一个周期，你就直接把它变成负二分之周期到二分之周期，

这也是一个周期相等。你就说我在做这个题的时候，我只盯住什么？首先第一件事情，我的被积分函数必须是个周期函数。我第一个条件，我被积分函数必须是周期函数。如果我被积分函数是周期函数，你上下限的长度等于周期，我永远能把你变成对称区间。你能听懂我的意思吗？好了，那么接下来比如说我来出一个题，我看你水平怎么样？比如说里。

那么，这里面当中啊，我们写一个人，假设这是sin x的三次方。然后这是一+cosines的四次方ds。然后这个人他就是零到二派告诉我，结果等于几啊？来我们稍微看看。那么，首先盯住这个事情，你告诉我这个被积分函数的周期是几？回答我被积分函数的周期是几？被积分函数周期是几？周期看不出来的同学，下去好好自取一点啊，

是多少非常好二派。对吧，是二拍非常好，非常好，你看还没有同学出错的，非常棒，非常好啊。那被积分函数的周期是二派上下限的长度是多少？上下限的长度也是二派？上下限的长度是周期，我永远能把它变成对称区间，而我又乍眼一看，我扔一个负s进去之后，下面不动，上面都有个负号奇函数，

漂亮。也就说什么意思啊，你看我还给你写一部。上下限的长度是周期，那永远变成负的二分之周期到二分周期，这个永远能变成对称区间，对称区间奇函数等于零。就是这样的一个操作性水平，所以说你要注意做题，要有章法，那这个东西的章法是什么？我先来看被积分函数的周期。如果你上下限的这个长度是等于我的周期，那这时候我永远能变成对称区间好了，那么接下来我们来看看我们这个题。

来做一下吧。那么，现在而言的话，你马上来看。你看看你是不是个高手？那首先第一件事儿，你这个人的周期是多少？你这个人的周期是派吧？那所以这个上下限的长度其实就是二倍的周期。那二倍的周期的话，我就可以把它变成零到二倍的周期，哎，你看这也是二倍。二倍周期。好了，

然后这个结果的话，它就变成了sint的绝对值dt。然后这样一做的话，你发现我们继续看。这个二倍周期等于二倍的一个周期。那这个东西就是s in tdt。是不是这个情况，你就做成这样。就说我只要上下限的长度，你要注意这个事情，你现在这个周期是拍。你上下限长度的周期段，你看你是nt，我也是nt，我们就是一样的，

我们永远一样，你看我们的操作性手法，你就这样盯。然后接下来的话就是零到拍。零到派的这个人的绝对值，你绝对值还不是这个什么，这是一这是一=4，所以本题啊，答案选b。这就是个高手，对吧？你的水平点一定要摆清楚。当然，这里面当中啊，你还可以走第二条路线。

那第二条路线的话，这个人就是多少？这是一到多少？一+2派，然后这是sint，这个绝对值dt。好了，这是这个人。那么，现在而言的话，你发现你上下限的长度，你看上下限的长度是二倍的周期啊。你上下限的长度等于二倍周期，我永远能把你变成对称区间，对称区间就是负的。

那周期到周期，那这是负的多少呢？那周期是负派到派。那现在这个人的上下限长度也是二倍的周期。那这个时候的话，你发现我立即把你变成对称区间。就说我永远能把它变成对称区间，对称区间呢，又是个偶函数，偶函数又是二倍，那二倍这个东西啊，又变成了这个人。所以说这个结果等于四。就说你这个做题方式就是这样，你背积分函数的周期，

只要你上下限的长度是我n倍的周期，只要上下限长度是周期。只要上下限的长度的周期段和我另外一个，这个上下限的长度的周期段长度是一样，我们就会相同。这就是高手，所以你要看到的内容就是你被积分函数周期为它，然后盯住这俩人。你这俩人的上下限长度和这俩人上下限长度一样，我们就一样。我们上下限长度一样，我们就一样，但是这个上下限长度必须是n倍周期。你看这个水平点，你就拉上来了，

你下去好好磨一磨。这个题的话，我觉得是可以考的。难也不难，会做的同学很快就处理了。对吧，你不会做的话，你发现你得看半天，你这就是这样的一个区分度啊。定积分的周期性，所以它重点看的是被积分函数的周期是t上下限的长度周期是t。只要上下限长度是周期，它们就相等。好了，这是这个问题，

能想清楚吗？那所以下去过程当中啊，你好好处理一下，来我们来看看这个题。看这个题怎么做？呃，这个题啊。作为三九六的同学，你要做的快一点。对吧，你要做的快一点好，这个题啊，你可以截个图，你下课过程当中啊，你可以看看这个题，

稍微的会难一点点。行吧，我们稍微休息会儿，然后在这个课间休息过程当中，你处理一下这个题，把这东西讲完呢，我们定积分的计算，我们就讲到这儿。好了没有？好切完了给我回复一。截图完了给我回复一。啊，你们把声音调整一下，因为这个音乐的话，可能声音会大啊。

好了吧行，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续。

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