13.冲刺满分强化篇·题型21-22精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:10:28

扔下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始我们的三九六啊，这个金棕数学的强化班部分课程呃，上次过程当中啊，我们应该是把这个一元函数的微分学还差上。呃，差不多一个题，我们就基本上讲完了，但是这个部分内容又比较重要，所以在这里面当中啊，我们跟同学们进行去增加了几个呃，重点的一个几个题目，我们又编了几个题，

一会儿过程当中我们来看看。那么，首先我们先来看看这个上次过程当中的一个核心重点呃，前面部分东西啊，我们就不复习了，什么凹凸性的问题，什么拐点的问题，什么渐近线的问题，什么曲率的问题。啊，像这些内容我们就不说了，你下次过程当中啊，一定要好好进行处理，因为每年过程当中我们的考研很喜欢考两个问题。一个事情是单调区间的，

求解一个事情是凹凸区间的，求解对吧？单调区间那么对于单调区间而言，我们就进行去求导。找到这个注点和不可导点，然后紧接着划分区间段，然后进行求出这个人单调区间，如果是这个人的凹凸区间呢，我们就进行求解二阶倒数。然后找到二级导数为零的点和二级导数不存在的点，然后划分区间段，然后判定正负性就出来了。呃，在上上次课程呢，我们比较重要的是这个问题。

那求解这个方程根和这个零点的问题啊呃，这个内容非常非常关键，因为每年过程当中啊，我们基本上都有一道题。对吧，基本上是每年必出的点，所以一定要把它拿下来，但是这个点呢，难度系数其实也是个套路，那第一个部分我们怎么办？确定这个函数的定义域。对吧，把这个人的定义域确定，然后第二事情呢，确定这个人的单调区间，

那确定单调区间就求导呗，找到这个注点和不可导点，然后划分区间段，然后看看这个人的正负心。看这个正负性啊，单调区间就出来了，画一个草图。然后接下来就处理完了，所以核心重点就是两个事情，一个事情其实就是单调区间问题，一个事情啊，其实就是端点值问题。有端点值求端点值，没有端点值求极限就行呃，这里面当中啊，

我还是想强调几个点，第一个事情。你要多注意一下这个函数的特殊点。能理解吧啊，就是拿到这个函数的时候，它的特殊点是比较重要的，然后第二事情啊，就是特殊性。哎，特殊性，比如说这个人有奇函数的特性，周期函数的特性，一定要稍微看看，然后另外一件事情啊，就是学会着画草图。

啊，一定要喜欢画图，不要在那天马行空的去想，然后这个问题啊啊，又想的不是特别好呃，在这里面当中啊，我觉得我还是有必要把上次过程当中的一个题啊，我再跟同学们去讲一下。因为这里面当中这个问题点，有些同学很大，他就没有理解，抓住清楚，我上次过程当中讲这个问题到底是在干嘛？那么我觉得还是非常有必要把这个什么。去年二零二三年的考研真题当中的第七个题啊，

我还想再谈一谈。啊，就这个题。呃，这个题啊，那么上次过程当中啊呃，其实我原本想这个真题啊呃，就留到这个真题班再细致的讲，那么上次过程当中我们就大致的看看。结果你发现看完了之后啊，然后有些同学这个问题点还挺大。对吧，他就很想这个，不知道我到底在干嘛？说我这样做的，

这个原因在何处？你大家注意这个事情，那么这道题啊，我是在给你进行去增加了一种求这种什么选择题的方法。你要理解清楚。对吧，就是这个选择题的这个方法啊，增加了一下呃，另外一个事情，这个我上次收到了，这个是。这个是教育部考试中心出的，这个啊，我问高教社那边要了一下啊，这个是。

最新的这个真题啊，这是高等教育出版社出版的这个啊，这是去年的最新的真题啊。然后的话，这个里面当中啊，有一个这是平方，不是三次方。啊，其实对我上次过程当中啊，讲的那个细节影响是不大的。那么，上次过程当中，我们讲这个问题啊，其实你发现第一个事情我们就看了一下，负无穷诶负无穷的时候是正无穷。

正无穷的时候，正无穷，然后我稍微的观察了一下，我觉得这个abcd当中啊，你发现这个阿尔法加一。这个阿尔法加e啊是比较多的。那这些东西比较多的话，我稍微进行观察了一下，哎，我一发现一的时候刚好是它，所以说我们只要能保证这个一处，它是小于零。那这个时候，它就立即有两个零点，然后这个问题点呢？

结果有些同学就没有理解我的意思啊，然后下去过程当中有各方面的这种啊，有些同学的一些想法说老师这个。那为什么不能是零处这个人小于零呢？对吧，为什么是一处小于零呢？那我能不能是这种情况呢？对吧哎，你看看这个是这个一处这个小零，那万一一是在这儿呢，对吧？万一是什么一在这边呢？各种各样的情况都有了呃，所以说接下来过程当中啊，我想把这个题啊，

我们再谈谈，我们就不谈那种技巧性方法了，那么在这个当中，我们还是按照常规方法来跟同学们讲一下。不然有些同学的思维方式，那就散了。对吧，辛辛苦苦建立起来的体系又没了，我再来捋一下求解方程根和函数零点的问题。第一步，先看这个函数定义域，然后第二步，然后进行求导，找到这个注点和不可导点，然后第三步划分区间段，

判断单调性。看端点，然后画草图，能理解我的意思吗？所以说你一定要注意这个事情，就是这个问题点呢，你不要乱。对吧，如果这种技巧性你想啊，你这个有各种类型问题的想法，你就先不用，你先用常规方法。好了，那么接下来我把这个题啊，我们再来讲讲，

不然的话这个。好几个同学给我发私信啊，说这个问题，我说呃，你先不要着急，留到今天呐，我再来讲讲这个题。好了，那么接下来我们来看看这个题目。那么，首先第一件事情啊，你发现这个函数的定义域是什么？哎，这个定义域是r。没问题吧？

如果这个题的话，你发现你想直接做，你就直接刚呗，那第一步我们就求导判断单调区间。找到这个注点和不可导点，那我们求吧，那钱导这个人的话，这个人刚刚好是2s，然后减去三。啊前导，然后后面不导，然后再加上前面这东西不导。啊，然后是后面来导，那么再减去这个x方，

然后再加上多少加上x好求出这个人。那求出这个人的之后的话，你把前面这两个东西啊，你稍微整理一下，你一整理的话，你发现这个x方就是它，然后这个部分刚好减了个x。那这个部分不是es吗？然后这个部分是x-x^2。哎，这个那么所以说这里面当中把这个s方减s提出来之后，这个东西不就是es- 1吗？那么然后这个部分的话，不就是s倍的s- 1，然后这是es- 1嘛？

好了，这是这个事情，那么这个题啊，有没有不可导点呢？没有不可导点，只有注点，那等于零的点，其实只有两个，一个是s=0。一个是s=1啊，只有这两个人，那这个人呢？你等于零的时候s还是零，所以他这个人呢？有两个啊，

这个分界点。那么，接下来我们就把它划分呗，这是s负无穷到零，然后这是零零到一，然后这是一一到正无穷。注意啊这个速度，你要做快一点，不然的话，这个考试当中啊，就没有什么时间了，有些同学做这个题啊不说你做，有些老师讲这个题的话，你发现讲了六七分钟。那你觉得这个这不符合我们三九六同学的考情呐，

你要稍微注意这个问题，然后这是fs。那么所以说接下来我们来判断一下这个正负性。这个正负性，我们先来看看这个前面这个部分。啊，这个点那这个点的话，它其实是一个倒扣的抛物线，这是零这是一嗯，所以说这个人呐，开口应该朝上。对吧，先看小于零小于零的时候，这个人是真的。但是你发现这个人还有一个部分呢。

然后的话，你看这个es这个部分是什么呢？是这个人。那小于零的时候的话，你发现这个人小于一，那小于一的话，这个人是负的，那所以说这个整体是什么负的？然后再看零到一零到一，这个东西是什么？那这个东西是负的对吧？零到一的时候这个人是负的，但是零到一的时候这个人变成什么变成正的，这还是负的。然后再来看看大于一大于一，

这个时候是正的，然后这个人也是正的，所以说这个部分呢是正的，所以说这里是减这还是减这是增？能听懂吧啊，虽然的话，你发现这是零这是极小值，但是你发现这个人不娶。对吧，这不许那么接下来。我们就来看一下这个人图像。操作项那这是fs，然后这是谁？这是s，这是零。

所以说这个人呢，其实从负无穷，一直到一都是单调递减的。能理解吧，一直都是单调递减一个点，不会影响单调性啊，你单调性不会受那一个点的影响，所以说它仍然是单调递减的。那这个时候你还要看极限，那么这个极限的话，我们首先再来看看，当s趋向负无穷的时候，那这个人呢？那么，趋向于负无穷的时候，

你就会发现这个人移到分母当中就是正无穷。那所以说这一项是零受到谁的控制啊？受这个人。那所以说三次方的话，这个人负无穷，负负得正正无穷。然后再来看看limits趋向正无穷正无穷这个人的正负性受谁控制啊？yes还是正无穷。哎，所以说这个人呢，就做成这样，那做成这样了之后的话，你发现求出一。对吧，你减到一，

然后增上去，你减到一增上去的话，你减到这儿，然后增上去，这时候没有你减到一的话，然后再增上去呢，这时候是一个。所以说你只能怎么办哎，减到这个一，然后再增上去，所以你只能保证什么保证这个点小于零。所以不用在这个问题上面，有些东西过多于进行去纠结，这样的一个问题点了啊，那你就直接做呗，

那么这个时候的话，你就进行去求出这个f1。那f一是多少往里面带一代的话，刚好是多少是这个，前面刚好是一，然后的话，这是呃，加上个六分之一，加上阿尔法小于零。选a好了，这是这个问题点啊，不然的话辛辛苦苦养成的这个体系啊，上次啊，我很担心这个事情。因为你发现很多同学都问这个问题点。

啊，好多同学问。然后问这个点问题点说哦，万一是那种图像那种那，所以说让然后让我很害怕啊，所以说我就觉得今天这个部分呢，我一定得讲究。不然有些同学就陷进去了啊，这个问题点我们就讲到这儿。过去了，可以吗？所以我上次过程呢，原本这种真题啊，我就想放到这个真题呃，这个做到模拟卷的时候我们再讲。

然后做模拟卷的时候讲，所以说上次过程当中我就给你提供了一个比较简便的方法，你稍微如果你最后不想求导，你不知道怎么去出来。在去年那种考勤情况下，你观察一下这个选项，你发现哎，这阿尔法加e比较多，我们先看看呗，你看一个一，如果那个东西小于零就就行了。对吧哎，他就可以了，所以说这个部分问题啊，你把它想清楚。

呃，大家不用担心这个事情，我先提前说一下。我们基本上是九月。20号那个样子。差不多是九月底那个样子，然后接下来我们有三套真题卷，二一年二二年二三年三套真题卷。这三套真题卷呢？我们会带着同学们进行模考一下，模考完了之后，然后就是我们的十套卷。在进行这个模考，还有进行十套卷的过程当中，我们会进行这个冲刺救命班的课程呃，

对于大家而言，如果你有薄弱的部分，你可以去选选学。所以我觉得这个部分的时间呢，你自己稍微注意一下，就是呃，这个模考的时间，你可以稍微的晚一点。晚一点也可以，就是我们基本上是八月底的样子，我们把我们的这个强化班课程讲完，但是注意强化班讲完了之后不要直接做问卷，有些同学都是这样。但是这两天呢，反而我收到了很多同学比较好的一些信息啊，

这两天比这个。呃，月初的时候我觉得好很多。还是那个那天过程当中做了一个规划，还是有用的，然后那两天我收到，这两天我收到很多同学的消息，说什么说老师我调整了一下自己的学习方法。之前都是啊，这个上课听完了之后就直接进去去做题了，效果非常的差。对吧，然后说呃，我这个上课听完了之后也不整理，我也不怎么预习，

反正这个听课的效率很差，你看这两天调整过来。把上课的东西啊，好好完完整整的消化到位了之后再去做，哎，非常非常棒，我觉得这样做才能够提高。所以，强化班过程当中啊，讲完了之后，你自己好好进行，把之前的部分东西，然后花上个二三十天的这个时间，把它好好系统性的再回顾一遍。当然，

有些同学回顾完了，你就可以做模拟卷了啊，这都是可以的，好了吧？那么这个问题我们就讲到这，那么接下来我们再来看看。下面几个题啊？好了没有你，所以调整过来就行了，来再来看看幺二五这个题。那么这个题啊呃，他给了一个方程，你注意啊，这种题还很喜欢考，你看幺二五这个题啊，

它其实就很像二零二一年这种考题。那么，接下来我来讲讲这个题。那第一个事情啊，你发现a大于0b大于零，然后让我们去求解这个方程的根，那同学们想想这个方程的根怎么进行判定呢？首先第一件事情，先设一个函数吧，赶紧做那一设的话，这是三次方，加上as+b。好，这个问题那么做成这样了之后的话，然后怎么办？

这个定义是属于什么属于r，然后接下来我们就来进行求导。我一求导的话，这是3x方加上a，那很明显啊，这个部分什么点大于零？对吧，这个东西一定是大于零，那既然大于零，马上就可以说明这个fs怎么单调递增。那这个人单调递增啊，你发现继续来看。好，我们再来看下一个问题。哪个思考题啊？

我我给忘了这两天。嗯，今天已经上了三节课了。来继续吧，以后我们再说吧啊，这个是。然后接下来我们来看看这个人啊，他是单调递增，那单调递增的话，这个跟的这个情况的话是个什么情况呢？那这里面当中，你发现是整个定义域，你是不是要看负无穷和正无穷啊？所以说这个时候你来看看，当s趋向负无穷。

然后第二个事情当is趋向正无穷，一会我们再讲吧，好吧，来看看这个题。那这时候的话，你发现这个负无穷，你告诉我这个正负性是由谁决定啊？由这个人决定。你注意啊，这个东西由这个人决定，如果这个人是负无穷三次方就是负无穷，如果正无穷，这只有正无穷了，所以说你就要从负无穷走到正无穷。那负无穷，

走到正无穷，肯定有个零点，那肯定有个零点，但是现在有一个问题，你这个零点到底是你看说两个跟的都是胡扯。对吧，没有根的也是胡扯。那么所以说这个问题点的话，就是有一个正实根，还是有个负实根，那这样你就看到零是个分界点吧，你再来看看零。零的数是几啊？零的数是BB什么？零大于零。

零的时候是大于零，所以它是这样。那所以说这个时候的话，你发现往上走呢，那这个根肯定在哪儿在这儿？我上次给你讲过这个问题了之后，你下去有没有多进行去刷一下这个方程根的问题啊？没问题吧？都是套路。啊，这种点非常的简单正确，答案选几啊？选b啊？其实就是在玩一个套路，你把这个点掌握清楚就行，

那么接下来我们就继续，我再来跟同学们进行去讲一个非常非常重要的一个结论。什么结论呢？其实你要注意一个事情，就是奇数次方。这是个经验。鸡啊。奇数次。奇数四，多项式函数。至少有一个零点。你记住这个问题。啊，就是奇数次的什么东西呢？这个多项式函数，

它至少有一个零点。你所以将来看到这种情况，你就马上你知道这个人的意思吧。什么是多项式函数啊？什么是奇数次的多项式函数？我还是来解释一下吧，这个嗯，这个钻这个牛角尖儿啊。那这里面当中，我们再来看嗯，注意啊，第一下不要这样想，你有那个功夫早到这个题都做完了。啊，那么接下来我们来看看这个事情，

什么叫奇数次方呢？就这个函数的话，你发现比如说举个例子啊，比如说三次方，三次方as方，加上bs加上。c是不是这个人呢？然后的话，比如说你发现是五次方五次方加上a倍的I四次方加上b倍的I三次方。加上c倍的s平方，加上d倍的s+1。就是这种多项式函数是奇数次方，它至少有个零点，那为什么呢？那很明显呢？

你想那这个人他的定义域是r你趋向正无穷的时候由谁决定？由三次方决定，是正无穷，然后这里面当中当s趋向于负无穷的时候。对吧，你还是有三次方决定，那这人是什么？那是负穷。所以你的一个端点是正无穷，一个负无穷，走上去肯定有一个顶点，必然会穿过x轴的。所以说记住这个点，我们很喜欢考这种问题，对吧？

奇数次方的多项式啊，至少有一个零点好了，这是这个问题，这幺二五这个题。那么，接下来我们再来看看这个啊，这个是二零二一年的考研真题，我们来做一下这个题呃，另外一件事情啊，你们稍微。注意一下这个问题就是。我上次就跟你说过这个。对吧，我给你说过这个书书的话，这个。

里面当中啊，你自己最好把有些东西加进去，能听懂吧，因为我在这里面当中啊，其实远不止这个300道题，有的时候增加了很多这种模拟题。所以说像这个模拟题啊，算了，这个不好拆。然后的话，这个模拟题啊，你把它给我扎啊，这个增加进去对吧？你在这个里面当中啊，你自己增自己进去去增加一下你，

不然有些这个非常好的这些模拟题啊，你就把它给我漏了啊。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个人，哎，方程根来写一下吧，那么首先第一件事情把这个函数说出来。函数是s五次方减去5 s+1，那这个人的定义域就是r来赶紧来求导，找到注点五倍的s四次方减去五。然后提出个五，那其实就是I次方再减个1I次方再怎么办？加个一，然后这里面当中继续是五倍的s- 1。

然后再是s+1，然后这是s方加一是这个人。那么所以说这里面当中啊，你就会发现让它等于零的点等于零的点，其实就是一负一，是不是这两个人呢？好了，这是这两个情况，那么是一个是一，一个是负一，那一个是一，一个是负一的话，那这个时候我们就可以划分了。你其实你发现这个部分永远是正的，而它的正负性其实由由前面这个人决定这负一，

这是一。那么所以说这是s那是负无穷到多少到负一，然后这是负一负一到几呢一，然后这是一到正无穷。然后这个部分的话是导函数，然后这个部分是fs。啊，这个情况。那么，所以这个时候的话，你发现这个部分是正的，这是正的，然后这是负的，这是增，然后这是减，

这是增。然后这是零零这个点，那么接下来我们就要把这个端点这个点数值求出来吧，因为你发现你把这些东西确定好了之后，你就要画一个草图。对吧，你要画一个草图，你画一个草图，什么东西都清楚了，你这是负一，然后这是一。你就要把这个负一求出来，你负一的话，这是负一，然后的话，

这是几这是五。然后再来看一的时候呢，这是一一减五，然后这是负三。那所以呃，先不要抄题啊，先不要抄题，上课的时候重点听，不要抄题听就为主啊。好了，然后的话，接下来我们来看看，那说明这个点是五。然后的话，这个点是几呢？

这个点是负三，而且你现在水平点是变高了吧？这是个七数次方的多项式啊。是由你决定的，那所以说从负无穷负无穷是负无穷，然后这人的话下来。然后的话，又到正无穷去，所以说这个人有几个，一个两个三个跟能学会吧，你这样的话，你水平点就变高了，答案选c。好了，这是我们讲的这个二零二一年的考研真题，

对吧？你接受次方的多项式，你就会看的非常非常的准了。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看下面这个题啊，我再给你增加一个题。能听得懂吗？先不要抄题啊。好不好哎？上课过程呢，一定要把它学会，今年方程跟谁把这个东西做错了，你真的有点对不起人呢啊，好了，

那么接下来我们再来看看下面这个题。来，继续。你再看这个人。这又是给了一个方程根。你给了一个方程根，而且这是五次多项式。五次多项式函数啊，它至少有一个根。对吧，至少有一个根那，所以说像这个没有根的，你先排除。对吧哎，你发现没有跟着先排除，

所以我们先把这个函数设出来，那这个fs就等于s五次方，然后再加上2a倍的s三次方。你再加上3 BS，加上4c是不是这个人呐？然后这个定义域又是多少是r，然后接下来的话，你发现求个导一求导的话，这是s四次方，你加上多少6 as方？加上3b。诶，那这个人怎么做呢？那这个东西我怎么去看呢？那这个人有没有导数为零的点呢？

对吧，这个导导数为零的点。啊哪儿哪是我？哪里呀哦，这是我。所以说这里面当中，你发现有没有这个为零的点呢？对吧，你这个东西有没有为零的点呢？你直接进去去看这个为零的点也不好看呐。不存在的点肯定是没有的。哎，那这个人怎么办呢？我一看，哎，

这里面当中还有个系，还有个关系。那如果这里面当中，你把什么东西呢？你把这个x方看成一个整体，这不就是平方的平方吗？加上3b。是不是这个情况？这不就是关于x方的一元二次方程吗？一元二次方程开口朝哪儿开口朝上。开口朝上的话，就是往上朝。往上朝，我们再看德尔塔，德尔塔不就是六六三十六的平方减去多少？

四五二十再乘上三比。是不是这个情况，然后这个时候的话，你发现我们提一下，那这是这是六十六十的话，你提出一个12。刚好就是3a方减5b，哎，漂亮小一点。那说明什么情况？那你发现如果这个轴线看x方，那这个人怎么办？这个人就没有焦点哦，没有焦点。开口朝上没有根，

那说明这个东西怎么办？这东西永远大于零。那永远大于零，就说明什么？说明这个fs啊，永远是单调递增的哦，这个人单调递增啊，漂亮。五次多项式函数负无穷，负无穷，正无穷，正无穷上去，那说明什么？说明有唯一的根正确答案选b。能理解吧，

好了，这是这样的一个事情。所以说你发现还有这样的一个操作。这题还可以吧啊。所以这个啊，模拟题啊，敬请期待啊，其实我觉得我这次编了好多题，你自己看到这个。强化过程当中啊，我又用了好多题啊，这个模拟题部分东西好了，这个点呢，我们就讲你看。不偏也不难，

对吧？但是这里面当中啊，你发现呃，基本上很符合我们考研的这个出题的方向，就是很有我们三九六同学出题的这种感觉。好，这个点那么接下来我们再来看一个题。这个题等会再看吧。好吧，这个题等会再看，那么接下来我再来给你看一个题，你看看这个题。啊，这个题这是上次课的思思考题吗？是这个吗？

嗯，上次考题是这个题吗？哦，是这个题啊，那行，我们来讲一下这个题。不是吗？那我忘了思考题是哪个题了？那等会我们再说吧啊，一会再说。好了，这是这个事情吧？叫我看看啊哦，是这个题是吗？行行行，

等会儿我们来讲一下啊。来看看这个题。那这个题怎么去处理呢？呃，大家注意啊，我先说一下这个题啊。是以特殊情况，我先提前先说一下。这个题是一个特殊情况，你听得懂我的意思吗？它不是一个一般性考题。所以说将来见到方程根和零点先给我想刚才那种方法。能理解吧好，这是这个点，你能画图吗？

你咋那么秀呢？你把图就画出来了。好了，那么接下来我们来看看这个事儿来解。那这里面当中，我们设一个函数。那这个人我的核心重点是不是研究这个人的图像？研究这个人图像的话，你发现一个事儿，我就求导。我一求导的话，你发现一个事儿，这个人的定义域是r。那我们求导我一求导2s倍的ln 2。唯一求导，

这是2s。你这个。求完了之后的话。你这个求完了之后的话，好像也没有说那么好看呐。你注意你你画图太草率了，比如说这个2s和x方加一。2s是这个人，那s方加一刚好是这个点。是这个情况是吧？啊，是不是啊？是不是这个情况？你稍微注意一下。你你太草率了。

你吃大亏了啊。那这题废完了，那说明这个题还有这意外惊喜啊，对吧？啊，让胡做的同学，你发现拿不到分啊。好了，这是这个问题，那么接下来我们就继续看。你看坐到这儿了。哎，这个点做到这儿了。那么，做到这儿了之后的话，

你继续看一下这个事情。那这里面当中，但是这个一阶导数，你按照常规方向想，大家想想一个事情。第一个点就是我们正常做题，你思考你不要体系，不要乱。正常情况下就设函数。设了函数了之后，我们就求导，如果这个导函数对吧？它的这个正负性能看出来我知道在哪个点处是正哪个点处是负哎，我能看出来。如果能看出来在哪些点是正哪些点是负，

那这个东西是不是就结束了？就是我们的正统方向。对吧哎，就是我们的第一大思路。那么就先求导呗。大家注意，不要胡思乱想，拿到题的时候要有章法，不要乱做，那就求导，如果这个一级导数知道在哪儿正在哪儿负，那这题就结束了，因为单调区间就出来了。但是很明显一个事情，你这个人出不来。

那出不来怎么办呢？那么接下来我们再来看看下一个问题点。啊，注意我们来看下一个问题。求解方程根呢，还有一种特殊情况。就是你求导的过程当中，你发现这个正负性看不出来。你一指导书正负性，看不出来，那怎么办呢？我想证明根我可以这样做。我可以证明，至少有几个根。至多有几个根。

那至少有的问题非常简单。至少有的问题，你可以用零点零零对吧？如果这个函数在a点。和b点处是异号的。那么则什么情况呢？呃，我先说一下，零点定理当然是要必须先连续能听懂我的意思吗？如果这个必须先连续，那这个时候的话，我们来看看这个事儿。你想想这是个大fs，这是零，然后这是x，

这是a点，这是b点，你这两个点以后。你这个点异号了之后的话，你从这个点走过去，你肯定至少有个零点。所以说我们就说明这个什么fs。在什么在这个a到b内？至少有一个零点。没问题吧哎，至少有个顶点，所以说你要稍微注意了我，我提前先讲一下啊，他有要求，这个人必须先连续。

你不要下去跟我说啊，老师，你这个零点定理写错了吧？你没有要求，要求不是必须连续才可以吧？我上课已经说过了。你不要在这里面当中给我截个图对吧啊？胡来啊。好，这是这个事情，零点零零那这个时候我们就证明了至少有。那至少有了之后，那么接下来我们再来看看，至多有。怎么进行去证明智多有呢？

两个方法单调性，你比如说举个例子，我这个函数一定是单调递增的。我一定是单调递增，我一定是单调递增，它就至多有一个顶点。你能听懂我的意思吗？哎，也就说你，你求导呗，你求导的话，你发现这个导函数的话，能出来我就知道值多有。那也就说我拿到这个函数了之后，我就进行求导。

对吧，无求导。那么，导到这儿，如果一阶导数的正负性出来，我知道是大于零单调递增小于零单调递减，那叫智多有。那如果一级导数出不来，我还想求二级导数怎么办呢？求三级导数怎么办呢？我们来看看一个重点叫做罗尔定理的推论。这个事情我们基础班是讲过罗尔定理的。听一下就行了。那么，在这种当中，

我们来看看这个知识点是个什么样情况？大家好，非常简单。就假设这是fs这一级。fs这一级啊，假设它有三个零点。什么意思呢？就说我在这一集当中，我有三个相等的点。可以吧，我有三个零点。那么，根据离呃这个罗尔定理必须连续开圈，可导端点值相等。这个端点值相等中间一定。

会存在应该是至少会存在一个点的导函数等于零。那就说在这个区间内导函数至少有个根。在这个区间，内导函数至少有个根。有一个顶点，而这两个东西又相等了，哎，我在这儿再用一次，那说明至少有一个点，使得它的二级导数等于零。是吧，二级导数至少有个根。所以我理解了。如果这个函数有三个等于零的点，有三个零点，

那二阶导数至少有一个零点。能理解吧，二阶导数至少有一个零点，我再说一遍啊。原来的函数有三个顶点。那二阶导数至少有一个零点，那你想一个事情。如果。我的二阶导数永远不为零。那就说明我二极导数没有顶点。我二阶导数永远不为零，我没有零点，我没有零点，那你告诉我它至多有几个零点？大家想想你这个人就不可能有三个零点。

你要有三个顶点，我肯定有一个顶点。所以说这个人至多有几个有两个零点。听得懂我的意思吗？所以说这个内容非常非常好记啊，贼好记。你要是二阶导数永远不为零。啊，你看如果是函数永导函数永远不为零，一阶导数永远不为零，它至多有一个。二阶导数怎么办？不为零，它至多有两个，如果是这个三阶导数不为零呢？

三级导数不为零，我至多有几个？我至多有三个。是不是这个事情，所以说这种方法特别适合用于什么东西呢？我给你捋一下思路啊。比如说今年考研，你拿到一道考题，拿到这个考题，你就这样做，你先上一阶导数。如果这个一阶导数，你发现知道哪块儿是正哪块儿是负哪块儿是正，那这个件事情是不是我们上节课的体系单调区间就出来了，本题就结束了。

单调区间出来之后再研究下端点就结束了。那如果你发现我看一阶导数永远大于零哦，它永远不会等于零，那它至多有一个根。永远小于零至多，有一个如果一阶导数看不出来，我就再进行求二阶导数哦，二阶导数永远大于零至多有两个。二阶导数一定小于零至多有两个。你能听得懂我的意思吗？所以说你发现你思路就非常非常的清晰，我给你捋一下啊，我再说一遍，见到方程根的问题，第一件事情想我上节课讲的内容。

那就是设函数求导，如果一级导数我知道在哪块正哪块负那单调区间就出来了，画一个草图研究端点结束了。那万一如果一阶导数，它永远大于零，它不会等于零，它至多有一个。对吧，如果看不出来，求二级导，二级导数一定大于零，它之所以有两个。那么所以说你发现啊，我这个题会了之后，我就可以秒了。

你来看看这道模拟题。哦，我再给你顺一下这个思路来，同学们，你听好了，你看这个人。那么，第一件事情我们发现这是五次代数方程。因为这是个五次代数方程。五次代数方程，它至多有几个？它应该是至少有一个。五次代数方程至少有一个，而刚才我们知道一阶导数一定大于零。那说明一阶导数永远不为零，

它又至多有一个。那有唯一的一个。能听懂我的意思吗？应该结束了。所以你发现五次代数方程，它至少有一个。哎，你这个东西一阶导数永远大于零，永远不会为零，你至多有一个那一加，你不就永远只有一个吗？好，这是一种特殊情况。所以一定要慢慢进行增长，大家听清楚我的意思啊，

不要给我乱想，我刚才已经给你梳理了这个体系。你的体系是什么？你的体系是我们刚才这个体系的方式是这样子的，就是你一定要知道你的这个。啊，操作性方式，如果一阶导数我知道在哪儿正在哪儿负你，比如说像刚才这个题。我就知道在哪儿，正在哪儿负，我就知道这个单调区间，我在研究端点不就结束了吗？如果一阶导数永远不会为零，它之所以有一个啊，

就是这样的一个情况，你能理解我的意思吗？好，这件事情想清楚就行。这叫罗尔定理的推论，一加就行了。所以接下来我们来继续，我们再来看看下一个问题，你再看这个点。啊，再看这个点。你不要叫我周欣阳，我叫周扬欣啊。这个今天今天又来了，今天送快递啊，

还那么大声啊，然后看现在送外卖也是的。那就是绝了是吧？那个名字就那么不好念嘛，对吧？好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个问题啊。那么，接下来我们继续看这个点，你看你设的这个函数，你求的一阶导。这个一阶导数我也不知道在哪儿哪出，我看不出来那看不出来怎么办？那没有办法了，

我再求二阶导。大家听得懂我的意思吗？我再求二级导，你再求二级导的话，又是来一个ln 2这个平方再减二。那这个东西你发现又看不出来，我再求个三阶导。我再求个三阶导哦，这项永远大于零。永远大于零，那这个事情马上出来，所以说你发现赶紧说，这个人至多有几个。至多有三个。啊，

最多有三个。那最多有三个的话，那么接下来我们再来看看你，最多有出来了，你还没有最少有呢。啊，你还没至少有呢。你还记得刚才吗？在刚才过程当中，你说求焦点的时候，你是不是已经看出来几个？这题有些特殊点。你比如说你看你零的时候。你把零带进去的时候。你零的时候的话，

你发现一个事儿，你二的零是一，那这刚好是零。零的时候一定能取到焦点。好零是一个根。那刚才还有一个事情，就是一吧。一的话，二的一减去这个人，那也是零一也是一个根。哎，能听懂吧？但是你发现没有了吗？现在你注意一个问题，现在是至少有两个，

现在已经有两个了，至少有两个，最多有三个，那有可能是二，有可能是三。那所以说你发现这些人都不对，那到底选谁呢？做错的同学就选b了，这个题是选c哦，我稍微带在在这，你看看。你发现你再稍微的进行去看看，你看一的时候是等于零你比如说取二呢？那二的时候是二的四次方，这是四减一呢，

也就说你二的时候是小于零。二的时候是小于零，大家注意，我一旦找到小于零，我哈哈大笑，对吧？我当场窃喜。我窃喜的点在何处呢？你要注意，这个人肯定有一天比你牛逼。你想想是不是？我终究有一天比你牛逼，为什么这是命呐啊？虽然我们暂时还没有他厉害，但是终究有一天我们是比他牛逼的。

对吧，虽然我们暂时的话，你发现这个高等数学学的啊，有些东西学的还没有好，对吧？可能没有你的室友好，没有你旁边同学好，但是终究在考研的那一天，你会比他强的。所以你发现你比如说你取一个，你取三取三，如果逆袭不了，你就直接取多少，你取十。你比如取四。

这个四的话也不行，你取五，他终究有一天比他大，对吧？终究有一天大于零。这中间肯定有一个。能听懂我的意思吗？好，这是这个问题，你要想清楚。所以说在这里面当中啊，你就会发现一个事儿哎，它肯定会有一个。你二的时候只是短暂的话，我这个人小一点，

但是你取一下你，比如说取三取四的时候还不行，你终究有一天你不一定取正无穷，它肯定是正无穷。你正无穷的时候，正无穷的。你要看不出来的话，你就走到无穷大，你看正无穷的他老大呀。所以说这个人的话，他至少有几个，至少有三个，那至少有三个，至多有三个，那这个人有几个？

哎，选c。所以你发现你刚才画图就胡画了，人家这个二的s是这样，那它这个这个东西啊。它是教了之后，中间他有可能这个东西再教一下，对吧？他教了三个点，你画图就胡来了。明显你就这这那注注意一下这条线啊，就是你这条线的话，它它就是这是这个最后的话，中间还有一个焦点啊。你稍微想清楚这个问题。

能听懂吧好，这是这个事儿模拟题啊，这题还不错吧？所以这个题啊，就把我们这块的体系构建完整了。就如果将来一级老书正负分明，那就结束了。对吧，一阶导数结束，一阶导数正负分明，本题结束，一阶导数的正负性不分明，可以再求导。那这样的话，就把我们这个体系啊，

完整的进行去补充好了，你管它图咋画呢？他爱咋夸咋夸啊。好，这是这个事，行，那么接下来我们来看看下一个问题啊。再看这个题。呃，讲这个题之前呢？我们把上次过程当预留的一个题，我们把它讲了。应该是有这个题。这题有点难哦。这个题啊，

不太适合作为两分的考题，只是拿来训练的。这个其实拿来进行蓄电的。考试啊，肯定不会考这么这么难啊，但是也可以做。那么，接下来我们来看看这个事来写。那首先定义域是多少呢？是这个人。他说这个人呐，有且仅有一个解让我们讨论k，注意讨论k最好的方法就是分离参数法。注意带上这个参数，你会极其的痛苦的。

所以一定要听清楚讨论参数，分离参数法是最简单的。所以我们来看看这个事儿，一减x方不要带上它，带上它极其恶心，因为x是大于零，我就赶紧分离开。哎，本题就立即就很简单了。所以这个题啊，是能出的也能出。那这时候怎么办？研究清楚这个人的图像，然后被k去解研究图像，就是研究单调性，

再加端点。那这个时候的话，你就设函数呗，研究端调性，然后再来判断点s什么零大于零。那么，然后接下来我们就进行去求导。你一抽到的话，你就发现这个事儿。哎，注意啊，这不是三次多项式。你听好了，这不是三次多项式，三次多项式是as+b+c，

那这个什么as加上这是什么a+BS+CS^2加上ds三次方那种情况叫多项式？不要乱来哦。你你这个你东西要不通，你就不要胡用啊，千万别胡用，我有点儿怕，对吧？好，这平方分之一，然后这是负三，然后这是四次方分之一。所以说这个时候啊，马上这人就出来了四次方，然后就是三减s方漂亮。同学们告诉我，

正负分明不？正负分不分明？正负分明，因为当x大于零的时候，这人是正的。而你发现三减s方，它是一个倒扣的抛物线，只用看大于零，所以它这个根三这个点正负分明的点。那正负分明这个题就结束了，所以我们就知道这个题的x它将会是这个情况。这s就是从零到根三，然后这是根三根三到正无穷，然后这个f导这个部分是正的。然后这是负的那fs是先增，

然后减，然后这是零，这是极大值。所以说这个时候你就进行去画一下这个人草图，立即出来了，其实这个题的运算量还没有这个去年考研真题的运算量大。啊，这个题出起来问题不大。这还没有那个运算量大。然后这个人的话，到多少跟三。那么，从零开始增啊。你从零开始增的话，你增到根三，

你想不想知道零？我当然想知道零啊。所以我们要看看零。零这个点的话，我们就要对这个x分之一减去x三次方分之一求极限。你告诉我件事儿，一眼能瞅出来这个极限是多少吗？这是正无穷，这是正无穷的三次方。你一个正无穷减去正无穷的三次方，你比我弱的多呀，负无穷。你要看不出来，你就把s分之一换成TT，减去t的三次方t趋向于正无穷，

那所以说就从正无穷而来。到谁呢？到根三把根三带进去。根三分之一。然后是三倍的根三。三倍的根，三分之二。九分之二倍的根三。好，它就到这个点，增到这儿。然后接下来要减下去，减下去正无穷是个重点。有些同学减到负无穷，那就废完了，

这极限是几零只能减到这儿？啊，漂亮。所以说现在而言呢，他说这个时候大二点只有一个节，你只能有一个焦点。你只能有一个焦点的时候的话，你就会发现个事儿哎。什么时候有一个焦点呢？这个时候有一个焦点。而这个点是多少呢？这个点是九分之二倍的根三。那还有没有一个焦点呢？有这个时候有一个焦点。所以说这个综合而言，

马上知道这个k啊，要不等于九分之二倍根三，要不然k是。小于等于零。不是小于零，是小于等于零，等于零也行，等于零的时候照样只有一个交点。对吧，小于等于零或者是九分之二倍根三，这些可以考。其实你发现。呃，这个题跟我们去年考的那个。这个题的运算量也差不多。

所以说像这种分离参数法，你有没有发现这个思路有没有清晰？我练了两节课了。这本来就是高中题，什么像啊，去掉好像这就是高中题。能不能作为明年的高考题，恐怕不能因为高考觉得它太简单。好了，这是这个问题，那么接下来我们再来看看下面这个题啊。那么，接下来我们就继续，我们再来看看这个模诶，我有一个事情，

我希望同学们下去把它看看。我记得上次有一个模考，第一次模考有个题这个第七题下去有没有看看呀？第一次模考当中的这个第七题，你下去要看看，把那个题再看看。好了，我们再来看看这个题，把这题讲完呢，我们这个板块我们就结束了，来继续吧，看这个题。他说这个函数啊，有两个零点。然后则这个b比a的这个取值范围是。

他让我们去看这个bba。回答我，你会怎么想？告诉我你的第一步是干嘛？回答我这个事情，第一步是干嘛？第一步当然是看定义域大于零，没有问题。你会怎么做？漂亮，非常好，非常好，要直接求导的同学，我觉得我就对你没话说了。要直接抽到的同学，

我就对你没话说了，我是真的对你没话说了，一个题练不出来，两个题三个题四个题你肯定练得出来。怎么做？那这个人的话，他有零点，他的零点其实就是这个人等于零的点。这就是它的零点。那么所以说这里面当中啊，我们就把它看一下，你就进行去求这个方程的这个情况。但是这里面当中你发现。有一个问题啊，就是。

你把x除过来，还是把ln除过去啊？你录音这个人的话，你发现你这个人可控制不住他，为不为零？因为录音一会等于零的。对吧l1=0，你除过去这就有问题啊。所以说这个时候啊，你应该这样做。你只能把这个什么你把这个x除过去。能听懂我的意思吗？把这个s除过去。然后另外一件事情，你要注意一个事儿，

就是这个b，它能不能为零呢？能不能为零，不会为零的，因为你想这一项不为零。对吧，这项不规定。如果你这个人等于零的话，你发现如果b=0，他乘以这个东西一定是零。你听好，如果b=0，或者你这样看你b=0的话，它就是ax。ax怎么可能会有两个零点b，

绝对不会为零。所以说这个时候你就会发现，你赶紧把这个除过去a÷b等于多少lns÷x？那我们就研究这个人就行。这个研究清楚了的话，这个东西啊，取个倒数就行。能理解吧，翻一下就行了。所以说这个时候我们就来研究这个人，那这个人的话，你就发现另一项，那这个ifs等于多少x分之ln这个人？来第一步求导，然后看一下这个I次方，

上面求导乘，下面减去，下面求导乘，上面告诉我正负分明不分明。正负是分明的吧，你这个人是大于零，你上面这个人呢？你发现他等于零的点很容易求啊。你等于零的这个点的话，不就是lns=1 s=1。是不是这个事情，所以说这个时候你发现它是往下减的，你这是一。所以说这个时候就是x0到一一一到正无穷。然后这个部分是导函数，

这是fs，这个部分是真，这是负，然后这是零，那这个是增，然后这是减，这是一个极什么值极大值？好，它的正负是分明的，所以你就列出了这样一张表，那这个时候你的思路就非常非常清晰，你就可以怎么办来画一个草图，要喜欢画草图。那这是fs，然后这是零，

然后这是s，这是几，这是一。然后这类目当中有两个事情。第一个事情就是limits趋向零正的时候，你这个极限是多少？零帧的话，下面是零帧。上面是负无穷。一个负无穷，除以零帧，那这个东西肯定是负无穷，这没有问题吧？好同学们，能听得懂吗？

没有问题啊，不不不，是阶级不是阶级。不是阶级哦，然后再来看看f1f1，其实就是亿分之一。所以说这个时候就增上去。那么增上去了之后，然后接下来再来看正无穷。l美还是需要正无穷，这才是阶级幂函数远远比它大，那这个东西往哪儿跑？往零跑。哎，非常完美，

然后接下来有两个焦点的时候就是这个范围。你看这多简单。这是多少一分之一？所以说这个时候。a比b这个人就大于零，小于一分之一。你是比零大的，对吧？永远比零大，那这时候翻一下这个人呢？肯定大于一。能理解吧，你比零永远比零大比零大的话，这个翻译下来之后的话，它是大于一。

所以说这个时候啊，它的正确答案应该选AA到正无穷。听得懂我的意思吗？思路一定要顺啊。你思路方向一定要深，如果有参数分离参数。对吧，核心重点就是研究图像，看定义域，求导导了之后的话，然后的话进行正负分明的时候单调区间出来研究端点。套路套路，高中没有学会，现在还学不会吗？对吧，

你至少比你高中的时候，我觉得你的认知水平是在提高，你比你高中强的是什么？年龄变大了。你应该是认知水平在提高吧，学习能力在增强啊。啊，这个问题。好了，这个点我们就讲到这行吧，那么下去过程当中，你好好进行看一看啊，这个问题。我疯了，我彻底的疯了，

每节课都有这种同学，连负无穷，比上零正的极限是多少都不知道。你这比零基础还零基础啊，这个。这看不懂吗？你要看不懂的话，你这样看。你看不懂的话，你这样看。这是负的吧？无穷大能看懂了吗？所以说你这个东怎么都看不懂呢？一个人趋向富穷，一个趋向廉政，

这是一定是啊。这是已定式，不是未定式，是零比零无穷比无穷，零乘无穷大无穷，大减无穷，大一的无穷大无穷，大零零的零。哦，这是这个情况。行吧，那么这个事儿我们就讲到这儿啊。好，这是我们讲的这个类型问题，那么最后啊，

我们再补一个事情。啊，再补一个事情。清晰一点。给自己减减负担。有的时候轻装上阵，你能学的更好。学一个题就要会一个题，不是为了刷很多题啊。轻装上阵啊。好了，那么接下来我们再来看看下一个问题，那就是下面一个点，我再来补一个东西，函数不等式的问题。

啊，就这个内容，我多增加一个点函数不等式。因为像这种问题啊呃，考研过程当中是会考的。对吧啊，是会考的。你注意，这不是鸡汤。这是策略。你要认为它是鸡汤，你有点。啊，你没有了解清楚这个话，你还是没有钻进去，

这是策略。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看这个事儿。函数不等式啊，函数不等式的问题。那么，这种类型问题啊，就说什么情况呢？它就是我们，比如说我们研究一个函数。对吧，这个函数比这个函数大。这个函数比这个函数大。那其实你发现这个函数比这个函数大移过去，

不就是证明这个人大于零吗？那我们就研究这个人的图像不就行了。你研究清楚这个人的图像，你就知道什么时候大于零。你这一段大于零，那就是这个范围啊。能理解吗？所以说你的做题方式其实非常简单。你比如说一个考题，让你继续去证明什么，让你去证明fs大于什么gx。他让你去证明这个人的话，你发现你不就移过去吗？移过去了之后，你就研究清楚这个人图像就行。

研究这个图像，看这个图像在什么时候大？那这个时候的话，你发现不又是那个问题吗？那个问题是什么？不就是确定这个函数的草图吗？不就是确定定义域求导，找到注点不可导点，划分区间，单调区间出来了，然后再来端点。对吧，这个端点那么这个端点出来之后的话，然后接下来我们怎么办？方向性非常简单，

就是什么一项设个函数求导判断单调性。啊，一向设函数，求导判单调。这就是我们的操作性方法，所以说今天下去啊，你可以把那个后面那个题啊，你可以进行去完成一下，我就提一嘴啊。因为这个东西啊，不是说特别难。你就是做题的套路都是一样的，你移过去设成这个函数。对吧，你把这个函数设出来。

你把这个函数设出来之后的话，我们就知道研究清楚这个图像就行，你知道哪个部分是大于零？但是这里面当中我多增加一个题。我看你水平怎么样？哎，我看你水平怎么样？那么，请同学们告诉我如。a大于零。b大于零则什么情况a的b？与b的a谁大？啊，怎么处理？a的b跟b的a谁大？

什么叫怎么拆啊？嗯，真真的是。每节课我都是非常没有办法的嘛。学了这几节课了啊，操作性一样的。那么来看这个题啊呃，这个题稍微的话有点儿不一样。啊，你说拆本子啊。哦，对不起。去领个必胜套装吧啊，抱歉抱歉啊。不好意思啊。

来看一下这个a的BB的a。不好意思，不好意思。好了，那么接下来我们来看看这个a的BB的a啊，这个情况。那这个人怎么做呢？它就跟我们刚才这个东西不一样。你要一向设函数啊，这个东西也很麻烦，大家想想一个事情，我们可以分析一下。啊，分析一下。那你想想你比较这个人。

你a的BB的a的大小。你还不如进行去比较什么。两边取对数，对数是增函数不影响的。那所以说你其实就是比较两边同取对数的这个人大小。是不是这个事情？好了，然后a和b都是大于零大于零的时候，除过去不等式方向不会改变，不就是来研究这个人大小吗？呃，这个题啊，是应该给的这样的一个条件a大于b大于它，不好意思啊。是这个情况对吧？

就做成这样诶，那这个时候我们想进行去比较，这两个谁大？那这俩谁大呢？你想想一个问题，那这不就是同一个函数判断吗？你比他大的时候谁大？那不就看单调递增还是单调递减吗？你赶紧把这个函数设出来，就是is分之lns，然后进行去求导，一求导的话，这是。诶呃，等会啊，

这个是大于几呢？大于一的时候，不好意思啊，不好意思，你改一下，大于一的时候。啊，这个时候才能判啊，就是你给这个方，我在出题，你不会影响这个事情吧，大家能理解我的意思啊，我在出着这个题。那么，然后接下来的话，

你发现求导。上面求导成，下面减去，下面求导成这个。所以说这个时候你会发现大于e的时候。比e大的时候的话，这个lo wine是什么情况？你这个人是正的。那你这个人就比一大，那这人什么零小于零，那就说明这个函数单调递什么递减。那这个函数单调递减的话，我就明白了那则。a越大，那这个函数值就会越小。

对吧，它就会越小，如果这个越小的话，其实就是b倍的lna小于a倍的lnb，其实就是lna的b。小于多少lnb的a其实就是a的b，小于b的a。好了，这是这个题吧，我们就讲到这儿，所以说你下去过程当中把这个题再看看。所以思路清晰了之后啊，这个方向性就出来了，我们是可以出这种题的。所以不等式当中，

我们会出这两种。对吧，有可能是这种，你就怎么办呢？你就要进行移过去了之后，你去研究一下这个函数图像，你看看什么时候大于零，什么时候小于零。那么，还有一种情况就是这个问题好了，那么在这块我们停留的时间已经够多了，我相信今年过程当中，无论这个板块当中怎么去出题，问题点应该都不大。那么，

今年考研肯定会有一道方程根的问题，或者是不等式的问题，其实都是研究图像，它的思路是什么？然后第二种问题，单调区间会求吗？不会的话，你发现我真的是疯了。对吧，单调区间，然后第二个事情呢，你发现这是单调区间的问题，然后第二件事情其实就是我们的凹凸区间的问题。极值的问题，还有这个拐点的问题，

这几件事情我们来来回回学了好久了好久了，因为我知道很多同学这个板块是痛点。不要再说高中学过了，你这个你发现这个很多部分内容也是很像的啊，很像的话，但是你发现这个仍然很多学做的不好。好了，同学们不多说了，我们接下来正式进入到下一个专题内容，不定积分的定义和性质。呃，我们后面的板块的这个课程的时间啊，都是在这个晚上啊，都在晚上，所以说。

你们就不用进行啊，说这个下课的时间不要着急啊。以前呢，很多同学可能十二十二点多一点点的那十分钟啊，有些同学估计听的不好。可能是饿了，要吃饭了，对吧？可能是有各种时间了，可能中午有学校里面有各种啊，这个已经不在学校了是吧？在在家这个暑假的阶段。啊，可能有各种搜搜对吧啊，所以说你发现反正晚上应该问题不大。

好了，那么接下来我们继续，我们来看看不定积分的定义。好吧，来继续吧，我们看看这个人。那么，首先我们先来看看第一个点啊，定义和性质这个内容必考点。啊，这个内容必考点。两分题的必考点。好这个人，然后接下来我们来看看这个第一个问题啊，原函数的概念。

你要注意，如果是原函数。原函数就是跌的感觉。对吧，语言函数所以说如果说一个题目说说什么呢？说这个人。为这个人的一个原函数。啊，这个原函数。那么这个时候我们就可以说明一个问题。说明什么事情呢？说明这个人的导函数是他。所以非常简单，题目当中出现这个词儿啊，你要注意，

这是跌的感觉。高一些。对吧，你是这个人的原函数，你的导函数等于它比它高一级好，这是第一个问题，所以经常考。对吧，这两年的话，出题点呃，最过分的是二一年，二一年，一一年考题出了两道，这种不定积分的定义和性质，所以说有可能是什么？

有可能是陈两刀。啊，就是这个考点的话，有可能是二乘一两分，也有可能是这个什么就是一道。一道两分题两分，然后也可能是两道两分题考四分。然后接下来我们再来看看下一个事情，不定积分的定义。把这个东西梳理一下。那么，这个问题点呢？它是这样说的。说如果这个人。对is求导是小fs。

来看过程。那这个过程是dfs。对s进行求导是小fs。你对s进行求导是小fs，那么这个时候呢，我们来反着写来跟我写小fs。对s进行积分是大fs。所以说小fs=s积分是大fs。不定积分加c。是不是这个问题，所以说你要注意，你不用近期去看，我觉得你应该是基础班，学会了之后你去做这种题应该非常顺畅。你可能会发现他们那些答案写的都非常啰嗦什么，

两边同时求道怎么怎么样，你眼睛漂他一眼都出来了。对吧，所以说这里面当中你的操作性的话非常非常简单，就是你要注意三个位置，这个位置这个位置和这个位置不行。换一个这个位置，这个位置，这个位置。坐在这三个位置的人，他们是有关系的，就是你对x求导是他。它对s进行积分就是你。就是这样的一个关系，如果这里面当中，

我们把这个东西稍微的进行去增长一下，那么这里面当中是不是有我们的至高理解啊？是不是啊？由我们的至高理解。啊，吃狗里脊。那么，这个至高理解，你要听清楚，我觉得去年呢，有些同学考题的话，他应该不会出错这个问题啊。那么，在这里面当中啊呃。我在21季里面写过这样一段。

比如说如果这是一个不定积分。啊，这是周。然后的话，这有一个部分啊，这是羊。然后最后的话，这个结果呢？积分结果啊？心叫错我名字的同学，你疯了啊。你被叫错了，对吧？好了，这是这个事情，

所以你会发现是这样的一个问题，那因此这个过程就是什么呢？你对这个积分是它，那这个对这个人求导就是它。所以说这个关系的话，你发现就是这个部分。对谁呢？对这个阳部分进行求导，就是这个轴。这其实就是我们的这个巅峰理解，所以说你就会发现一个事儿，你把这个东西的话来来回回转，这个事情就非常简单了。就是这三个位置，这三个位置一定要顺。

对吧，这三个位置就是这个人对这个人进行去求导，就是他。三个方向一定要顺过去。顺过去了之后就非常的简单了，好，这是这个问题，听懂吗？出版社不会不会允许我这样写。嗯，好，这是这个事情，行吧，那么这个问题我们就讲到这儿，所以说这里面当中有两类常考的题型。

啊，常考的。那么，这里面当中有两类常考题型是什么呢？首先第一个事情，考题一。大家想想，如果一个题目当中知道f撇s。我们知道一个事情。那这个人其实是fs对s求导的结果。那所以说fs这个人就等于多少，就等于导函数这个人对x进行积分。你能听得懂我的意思吗？好，这是这个事情，

所以说你就会发现你要听清楚我fs对s进行求导是你。你对s进行积分就是我。所以说知道f撇s立即求出fs，你是对s求导，我是对s进行积分。没问题吧？那如果这里面当中考的是第二个方向。我们的考题过程当中给的是f撇框，把它给我秒了。那么，这个人是f框，这个人对框进行求导的结果，大家能理解吗？不会的，同学请重新复习啊，

好了，这是这个人那，所以说这个时候你发现我就立即可以求出f框。if框这个人就等于if撇框对框积分，先不用加c，积完了再统一加。能理解吧，积完了再统一加。好，这是这个问题。所以说这个时候你就知道了，如果一个题目知道了f撇s，我立即求出fs，我知道f撇框，我立即求出f框。

你对x求导，我对x几分，你对框求导，我对框几分？是不是这个问题，把这个思路想顺就行了，非常非常清晰，注意啊，我们最后要练到什么能力呢？你就是见到这个东西，你要快速反应。你立即把这东西啊反映出来。然后这里面当中我找了几个题。呃，然后接下来我们来练一下这个，

我们三九六同学这个。你像这个二一年之前的这个部分的一些考题啊，原来我做了一些这种东西的统计，里面当中有些题啊。好一点的话，我就把这个东西给你放到这来，如果一般的话，这个。一般化一点的题，我们就不要了。行吧，所以说这里面当中啊，你就好好进行去处理就行了。那么，接下来我们来看看这个部分的题目。

来看看这个人。好，我们来看看这个事情。哪个题啊嗯？有啊。哪个题啊？多少题啊？哦，那个得加上得加上。加上一下加一下啊，把这个加一下。加强。好了，这是这个。行吧，

那么接下来我们继续吧，我们再来看下一个问题啊，我们来操作一下。那么所以说我们接下来来做几个题吧，多做几个先来看这个第一个题。啊，先看第一个题。呃，这个题啊，他说了一个事情。他说这个人是周期为四的可导奇函数。首先第一个事情周期是四。可导的奇函数。奇函数那么奇函数这个东西你要注意，如你发现它都可导了，

它肯定在零处有定义，你能理解吗？零处都没有定义，不可以连续的。如果连续肯定在那点有定义可导，肯定连续肯定要在那点有定义。所以有定义奇函数f0=0。然后接下来我们就继续，我们再来看。导函数等于这个人。对吧，导函数等于这个人，但是是这个区间。在这个区间内的导函数是它，所以说这个时候你就会发现我能求出什么？

当什么情况呢？在这个区间，你注意啊，你只能进行求出这个区间零到二的这个区间。零到二这个区间的导函数是你我零到二这个区间，我这个人是不是就出来了？知道导函数，立即求出原函数，那就是对二倍的x- 1进行积分。这个积分可以在后面补一个，一补一个一的积分，结果直接是x- 1^2，加上c不定积分，一定要加c。能听懂吧，

有的说那我这不就s方再减去2s没有什么区别，那老师跟这个东西怎么不一样，差了个一一写到这个c里面不就是新的c吗？不要再问这种问题了。然后这里面当中零在不在这个区间，零在这个区间，零在这个区间可以带的一+c，它等于零。c就等于负一。所以说这个时候马上出来，这个函数就等于多少呢？就等于这个x方减去2x+1-1没了，请注意这个x只有在零到二的范围内才成立。好这个，但是这个题让我们去求的是f7啊，

怎么办？那怎么做？有的时候直接带进去了。那直接带进去了之后的话，你发现这是七七四十九。二七e14。然后等于35选一。你看我们这个选项。这选项故意设置的。啊，所以你不能这样来啊，这这这纯属胡作对吧？大脑一点都不清楚，然后接下来我们就来看周期性嘛，周期是四往回推三还不行？

然后再往后推一下负一哎，多了。那多了怎么办呢？奇函数f负的它等于负的f它哎，可以了，换成一一往这里面代是几？一的话，往这里面带是一减去二，然后只能是一，所以正确答案选几选b。所以说这里面当中它的这个操作性也不是说特别难，稍微的转一转。对吧，其实也没有赚多少，你告诉了这个区间内秒能求出这个区间的函数。

然后把这个什么f0求出来，然后就出来了。好了，这是这个事情吧啊，幺二六这个题过去了可以吗？不是说特别难呢，来再来看看下面这个题，这个题稍等一会儿吧。我们先来看看这个题。二零一八年的考研真题。呃，那这个题啊，他让我们去求解fs，那这个题就直接秒了呗。那ifs在哪儿？

在这儿。那fs等于多少？它对s求导就是这个人。所以说fs乘上e的s方。那就等于这个人对什么就对s求导，对s求导的话就是先对中间变量求导，中间变量再求导。一亿这个东西是大于零，直接约2s，所以说答案选d。你看我们这个以前人大出的这种题啊。对吧，人大出的这种题就是这种感觉。二一年的话，你发现之前呢出的这种题。

这是这是我们的真题啊，以前以前是有大题的。啊，以前是有大题，然后这里面当中出的这种选择题四个选项啊。然后再来看看这个题，二一年。这新大纲更改了之后的第一年，你再看这个题。那这个题的话，你发现跟刚才的过程当中有什么区别吗？记住这个问题，人难我难，我不畏难，人亦我亦我，

不大也难都难。简单都简单。简单的分数线高啊。所以我就觉得这个你这个问题点就在这儿。难都难，谁都难，不是你一个人难，也不是你一个人简单啊。好了，我们来看看这个下面就多了一步，你要先把这个人求出来。那这人求出来什么？就这个人对s求导是他来直接秒一秒的话，你发现这是e的负s。fs那这人呢？

对s求导那前导。后不倒前面不倒，后面来倒，先对中间变量求导，来个负号。所以说这个fs等于多少等于一减x。那一减s的话，然后这个fs再进行去积分呢，就是x再减二分之一x方，再加上c。是吧，这题的正确答案选几选a？所以更改了之后的第一年呢，还是可以的，对吧啊，

你看这个这题不是说特别难。你更改了之后的这个第一年，你说实话没有说那么的难。来，我们再来看看我们这道模拟题。我觉得刚才那两道弯啊啊，转转转的比较简单。那么，接下来我们看看我们这个题。我们这个题啊，你发现。他给了这个人。它等于它，然后让我们求解fs。那这个时候怎么办呢？

你发现一个事儿。这里面当中，你就会在这里面当中啊，你可以先把这个人求出来。那这个人求出来之后的话，这是f撇儿es。那就等于多少呢？就等于后面这个人。对吧，后面这个人。对谁呢？对s求导。你后面这人对s求导的话，就是这人对s那前导后不导。前面不倒，

后来倒先对中间变量，它是它。再减去e的负s，所以说这个时候f撇es。它就等于负的x倍的e的负x。好了，这个人做成这样。那做成这样了之后怎么办呢？我知道这个人导函数，我去求那个人。这时候思路一定要清晰，那么首先我们先来看看第一种方法。你要去求fs，应该要知道f撇s。f撇s求的是fs。

所以说这个东西是个复合函数，我可以换。我一换的话，令e的s=t。那s就等于loin t。这个时候就立即得到了f撇t。然后这就等于负的loin t。然后这个东西是es分之一，这是t分之一。好一换换了之后的话，你就发现这个函数的结果跟自变量字母的选取无关，就变成了这个人。那么所以说fx这个人就要对这个人进行积分。就要对f撇s进行积分，就要对这个人进行积分，

那积分是多少？你把这个s分之一往后面促使录音。那ln ln那是二分之一lns方加上c。所以说这题的正确答案选a。我先问一下，这两天有没有去刷刷补丁积分呢？有座吧。把这个最基础的这种运算能力要有啊，因为这个东西都看不懂啊，我觉得这个问题就很大了。好了，这是我们第一种方法，那还有没有方法呢？我觉得还有。那你这个东西是知道了什么f撇框啊？

知道f撇框不就立即可以求出f框吗？f框这个东西不就是f撇框对框进行积分吗？所以说这个时候马上来出来。那这个时候的话，你发现你就把它带进去，带进去的就是负的x倍的e的负SD，它是不是就求导？一一求导的话就是es ds。那么所以说这俩东西就约掉了，负的二分之s方加c。然后这是一个复合函数，我可以换回去，令es=t那x就等于lnt。那ft这个人，他就等于负的二分之一lnt的方加上c。

然后最后一个事情来函数的，结果跟自变量字母的选取无关，再换回去就是它。是吧，那这两个方向也行啊。你可以先换换到f撇s再积分。你也可以直接做，你就直接做成f框。f框了之后，然后再来换。就是一个是先换，一个是先机啊，这两个操作性都一样，但是这两个当中你要注意c选项就是干扰项。这个这个人的意思才是lings这个整体的平方。

这个人的意思是lulu一个x方，你要知道这个情况，这两个东西不一样啊。这个大骗子题。对吧哎，这个问题你不要选选错位了啊，你一瞅CC就错完了。稍微的细心一点。好，这是这个题能听懂吧？所以说你好好去想想这个事情，那么接下来我们来看一个题。然后我们稍微的休息会儿，然后在课间休息过程当中，你去完成一下这个题。

这个题啊，是我们三九六同学。然后的话，这个二零二一年之前的真题。所以以前真题有没有好题呢？有没有稍微会难一点点的呢？哎，这个题还可以，你去做一下。你课间过程当中，你把这题做下。然后这个题啊呃，你们不用继续去管那个之前的部分真题好的，我都给你筛出来了。哎，

好多我都会给你筛出来了，你到时候过程当中进行完成就行。好，截个图吧，截完了给我回复一。啊，截完了给我回复一。好了没？可以了吧？好，你们可以开始开始做了，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续啊。

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