12.冲刺满分强化篇·题型19-20精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:10:04

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始，我们三九六的这个强化班部分课程啊呃讲义都收到了吗？应该差不多了吧呃，我估计已经好几天了呃，对于大家而言的话，这个讲义呃，收到之后啊，

然后昨天晚上我重点讲了一下，这个前面部分呢，你稍微在补的过程当中怎么去补？对吧，不要把它能投过去，那么就是自己独立自主的把它进行去，再进行去完成一遍，我相信这个部分呢，也是一遍复习的过程。好了，那么接下来我们就正式开始吧啊，我觉得这个拿出这个最好的状态，然后来听今天的核心课程，那么接下来我们来看看这个上次过程当中啊，所学习的问题。

那么，在上节课过程当中，其实我们重点讲了以下几个事情，一个事情是单调性，一个事情是极值，一个事情是最值。一个事情是凹凸性，一个事情是拐点，那么这里面当中啊，我想强调几个事情，第一事情单调性。那这个人呢？利用一阶导数来判断这个单调性是怎么进行去判定的啊？这个东西很重要，然后第二事情单调区间的求法。

还会吗？不要说一点都不知道了，对吧？这个东西必须要非常的清晰，如果单调区间的求解，就是看第一。然后求一阶导数，找到这个导数为零的点导数，不存在的点判断每个区间的正负心，然后就能得到单调区间。然后紧接着我们再来看第三个事情极值的问题，那极值问题啊，有定义法对吧？有可疑点，有第一充分，

有第二充分。那么，在这里面当中啊，核心重点当然还是第一，充分条件和第二，充分条件那就是求导找到重点和不可导点。判断一阶导数的正负心或者怎么办？判断二阶导数在这个点出值，一阶导数等于零，二阶导数不为零，那取极值，一阶导数等于零，二阶导数也等于零，不知道。哎，

注意啊，思路一定要非常清晰，脑子里面要有货，对吧啊？怎么这个又没有？又不行了？这个很神奇，对吧这个？它不是没电了，它是。他这个接触不良对吧啊？你等等我一下，等我一下，等我一下。哎，

这这这怎么回事儿啊这？别说上着上着这个哎，好了好了好了啊，他又可以了。好了，那么接下来我们继续啊，我们再来看看这个极值，那么极值的问题啊，有可疑点，有定义法，有第一充分，有第二充分条件。那么，在这里面当中啊，尤其要注意一个事情，

我们讲了很多遍了，你想想一个问题，如果你在做极值问题，你在做拐点问题的时候，你发现题。题目当中出现了极限，你会想什么？那我当然会想保护性呐，我也会想去第一充分条件。对吧，马上用一下保护心，利用一下保护性，有可能就是定义法，也有可能是第一充分条件，你看第一充分条件。

极致要判断一阶导数，在这个点两侧正负近的变化。如果是拐点，要判断二阶导数，在这个点两侧正负性的变化，对吧？如果是这个定义法，那定义法就要判断。这个点处的值和附近值之间的大小关系，所以你发现如果出现极限，想到保护性这个思想与方式啊，非常的自然。啊，一定要把它掌握清楚，然后紧接着我们再来看第四个事情最值那最值的问题怎么处理啊？

先去求极值再来判端点值，端点没有值就求端点处的极限。能理解吧，好了，这个方向性也得有啊，这个最值问题呃，上次过程当中很多同学在这里面当中犯了很大的问题。基础班讲过，原模原样内容如果是个连续函数，唯一的极值点一定是什么东西啊？唯一的极值点就是最值点。但是要注意啊，唯一的极值点有一个极大值，有一个极小值，还叫唯一的极值点吗？

不叫了，那就有两个极值点了。注意啊，我们说的是唯一的极值点，那这个极值点包括最呃这个极大值也包括极小值，要注意这个问题啊。唯一的情况。对吧呃，这种情况你要稍微进行注意一下，唯一的情况必须要梳理。那么，这里面当中啊，还有一个问题呃，上节课结束了之后，又有同学去问一个问题，

说老师不对呀。我记得你画的这个图，怎么极大值比极小值要小呢？我问一个事情，极大值一定比极大极小值大吗？一定吗？你告诉我一定还是不一定？你发现概念上都有问题。你学到今天居然还有这样的一个事情。你发现你看我这样的一个情况。好，这是一个极大值吧？这是个极小值吧，极大值极小值，你看这个极小值就比这个极大值大。

是不是这个问题，所以说你要注意这个问题，你学到今天怎么还能有这种问题？那这个前期的这个基础复习啊，稍微的问题点非常大。好了，我们再来看第五点凹凸型。这是上节课的重点吧，你看我们很喜欢考这个人凹凸性的问题，那么在凹凸性当中啊，第一件事情用二阶导数。判定凹凸性这个事情我们不讲了，然后重点一个事情就是它的定义。这个定义啊，结果是非常重要的三个事情，

一个事情有割线对吧？我可以把割线进行包装起来。就是说割线方程呢？哎，我利用这个方程情况包装起来，你要知道这是一个割线，然后是切线，而且上节课还讲了一个不等式。你还记得吗？啊，那个阿达玛不等式有没有下去过程当中把它记住啊？如果这个二级导数大于零的时候，立即画一个图。啊，那个割线还有中点处的切线，

还有那个啊曲边梯形的面积，你看那个内容掌握清楚了之后啊，你去处理一些题啊，就非常的简单了。你能想清楚这个在我们的考研过程当中方向吗？你发现我们的核心重点就是用这些人，哎，这是很重要的。好了，这个事情我们就讲到这，然后第六个事情，还有一个事情，凹凸区间的求解。那凹凸区间的求解第一件事情干嘛先进行看定义域，然后求二级导数为零的点，

二级导数不存在的点，然后接下来就把它划分成很多个区间段。然后再来判断每一段的正负心，你还记得吗？哦，思路一定要非常非常的清晰哦，好了，我们再来看看第七个点。就这个问题，然后就是拐点的求解。拐点求解有第一凹凸性发生改变的点是拐点，然后第二事情有可疑点，二级导数为零的点，二级导数不存在的点。第一，

充分条件判断二级导数，两侧正负心，然后还有这个什么？第一，充分条件是二级导数，两侧正负心。第二，充分条件是二阶导数等于零。三阶导数不为零，所以你发现看这一波的知识点呢？你要注意啊，这是必出题的，同学们能理解吗？这一节必出题。有可能出一道，

有可能出两道，所以说注意一个问题啊，这一节必出题，一定要把它给我拿下来，你说每年过程当中考这个部分的东西啊。不是说特别难，脑子里面要有货，然后接下来再去处理问题。这也不说。怒拿两分啊，有可能是怒拿四分。是吧，好了，这些问题啊，把它想清楚，

当然同学们，我们在考研过程当中，可能这个极值对吧？呃，还有这个最值的问题啊，考的比较多一点。凹凸性和拐点呢？哎，这个部分稍微的会考的更弱一点点，但是你要注意这两年考题的风格你都知道。对吧，很喜欢往这些往年过程当中不怎么进行去深入考题的点啊，在这里面当中多进行去考。好了，这个问题啊，

我们就讲到这儿过去了，可以吗？那么接下来我们就正式开始吧，我们来看看上次过程当中的幺幺四这个题。看一下这个题。呃，那么这个题啊呃，我觉得核心重点就是干一个事情，那就是计算呗。对吧，给了一个函数，由参数方程确定，然后让我们去求解这个曲线向上凸的s取值。同学们，想想一个事情。

向上凸是这个函数，那这个函数向上凸不就是这个函数的y对s求导怎么办？那就是小于零呗。你看在哪些区间小于零，但是请注意一个事情是x的取值范围。要注意啊，是s所以说这个题的核心考点其实就考了参数方程的求导，直接来行不行参数方程的一阶导就等于y对t。三倍的t方，然后减去三，然后比上s对ts对t就是三倍的t方，然后再加上个三。好了，这个时候这个题目就变成了t方，然后加上个一，

然后分之t方，再减去个一好了，做成这样。那做成这样了之后，然后接下来我们再来看看二阶导数，二阶导数是不是可以直接做了二阶导数，不是一阶导数再对t求导？二阶导数是一阶导数，对s求导，所以说就是一阶导数，再对t求导，补上一个谁呀？s对t求导分之一那是三倍的，这个什么t方？加上三分之一不难的啊啊，

这个基本考点，然后这是t方，再加上一它的这个部分平方，上面这人求导，然后再进行乘商。下面这个人减去下面这个人求导，再进行乘上上面这个人好了，那么这里面当中我们就把它稍微整理一下，三倍的t方加一的几次方三次方。然后上面这个东西啊，你看这个部分就是三次方，三次方约掉，这是2t，这是4t，所以这个结果就做成这样。

然后这人小于零，立即可以得到什么情况t是什么情况小于零？马上就做完了t这个人呢？小于零哎呀，这个选项出的不见对吧？应该出贱一点。应该出一个负无穷到零，有些同学估计就选了负无穷到零了。结果眼神一瞅，发现哎，这个题目怎么没有答案？你一定要注意一个事情，这个题目人家让你去求解的不是t的范围，是x的范围，一定要瞅准一点啊。

对吧，稍微进行瞅准一点。所以说这个时候你就要进行去看一下x和t之间的关系，那x跟t之间的关系啊，由这个人确定。而你发现一个事情，你看你这个x对t进行求导是三倍的t方，加上三，那说明这个东西永远都是大于零。说明什么情况？说明这个s和t之间构成了一个什么情况？是单调递增的情况吧？能理解吧，哎，这两者之间呢，

是单调递增情况，而且你发现当这个什么t=0的时候，你往里面带s这个人怎么了？s这零刚好是呃，这个部分刚好是一。对吧，这是一所以说这个时候我们来看看这个事儿，你是小于零，我不就是这一段吗？能理解吧，哎，这个情况是这一段，因此你发现这个部分就是负无穷到减到一啊。所以，正确答案选几啊选c。

好了，这是这个题目，稍微注意一下，人家让你进去求解的是s范围，不是t的范围，这是要稍微注意的。能跟上吗？好，这个题就讲到这儿不难的啊呃，非常的清晰，那这个题考点就是这个人的二阶导数小于零的区间在找取吗？你稍微注意一个细节就可以了，那么这个题啊。就算不直接考，但是我觉得它的意义也是有的，

因为帮助我们进行复习了参数方程的求导，所以说就要注意啊，核心点考的是什么？好了，这是幺幺四这个题，那么接下来我们再来看看幺幺五这个题。好，这个题目那么这个题啊，就出现了拐点的问题，对吧？就出现了拐点问题，那么这里面当中我们稍微进行去梳理一下。啊，梳理一下这种问题，如果在考研过程当中见到拐点的判定方法，

第一件事情先看图像好不好画？如果图像好画，是不是用定义法呀？图像好画，就用定义法。因为定义法画出图像了之后，凹凸性发生改变的点就是拐点。我还记得一个事情。我们原来在这个。呃，例题有一个基础班。基础的时候我们讲过一个题，那个题是什么呢？那个题是这样子的，说是s乘上x- 1。

还记得吗？然后这个人在x=0处。那么，这人在临处的话，你发现这个人图像好画吗？哎，这个人图像好画，如果这人图像好画，那这题就立即可以秒了呀。所以你发现这是零这个点，然后这个点是一这个点，按理说它的图像应该是这样子。但是你发现加上一个绝对值之后，正的还是正的，负的翻上去正的还是正的，

所以说这个人就变成这样。你来看看这个点。那这个点呢，它是比左边小，比右边小，这不就是个极小值点吗？对吧，第二件事情你发现这个点处呢，那么在这个点处左边是凹，右边是凸，而且这个点是个拐点。没问题吧，所以这个例题的话也帮着很多同学继续去完善了一下自己的基础知识点，避免自己在这胡思乱想。有的就想取了拐点，

应该就不取极值吧？取了极值，应该就不会取拐点吧，你看这个题在这个点处既取了极值点，也取了拐点，没有什么关系啊，你要想清楚。好了，那么接下来我们来看看这个题吧。对于这个题而言呢，首先我们来看看。那这是limits趋向几趋向零，然后这人等价无穷的s2阶导数，然后等于一。我想问你个事情啊。

如果你来做这个题，你会立即怎么想？就这个题。你会立即怎么想？如果你是个高手的话，你会立即想到保护性。你还记得吗？你就要注意一个事情，我们再进行去出现什么东西呢？这种哦。举例子就没必要就这种题的话，你发现做极值的题，做拐点的题，如果里面出现几件先想保护性。非常的简单吧，

哎，这个人大于零，立即就可以得到一个事情，你看有些人就根本方向性就没有。他说老师，我怎么能想到保号信呢？我还真想问你个事情，你为啥到了今天你还想不到保号信呢？我说了好多遍了。然后这里面当中，我们来看看这个事情来总，那就说明在这个点处的什么区域性领域内。那这个部分的东西，它不就是大于零吗？所以将来别人问你说诶，

你怎么想到举例子，你告诉他显然。别人问你说哎，你怎么想的饱和性，你说这不是显然吗？对吧，你告诉他，然后这里面当中二级导数之比，这个人是大于零，你看这个部分s大于零，那这个人大于零，那他就大于零。然后这半边呢？那这个部分的话，它就小于零。

所以明显会发现一个事，你看在这个点处啊，它是连续的，因为该点处的可导连续的。那这个东西连续的话，左边是什么二阶导数小于零，右边是二阶导数大于零，所以说凹凸性发生改变的点，那当然是拐点呐。所以说这题啊，立即秒选选c啊。能理解吧，好这个题啊，立即出来了，你看这个题目。

所以在这个操作过程当中啊，你要稍微进行想想这个事怎么处理的，对吧？这个方向是可以的，当然这里面当中我们还可以走第二条方向，你继续看。方法二那么这里面当中的第一件事情，你发现一阶导数等于零吧。然后这里面当中给了一个什么情况，当s趋向零s分之二接导数，这人等于几一。好，我们一起来看。看到什么？它的二阶导数是连续的。

二阶导数连续的见到抽象的比值极限存在，且连续来分母极限是零，那则分母。分子的极限一定是零。连续极限等于函数值，函数值等于零。一阶导数等于零，二阶导数等于零。那所以说你发现第二充分条件失效了，极值就判定不出来，应该在这两个选项当中打一个大大的问号。没问题吧？不知道，然后接下来我们再来看，那既然二阶导数等于零，

见到抽象的比值极限存在，且连续第一件事情啊，我们先干嘛呢？先进行去定啊，这个什么定型，求出该点值，然后接下来我们再进行凑倒数第一，你往这里面当中稍微补一下这东西不就是三阶导数吗？三阶导数等于一。那立即来了二阶导数等于零，三阶导数不为零，当然是取拐点了。好，那这个题啊，正确答案就选择c选项这个情况。

能听懂吗？呃，这里面当中啊，我们多讲一点点啊，多来一点，那这个极值到底是取还是不取呢？那这个极值到底是取还是不取呢？那么接下来我们在这里面当中来跟同学们补充一个知识点，那知识点呢？叫做啊。啊，极值的第三充分条件。好了，那么接下来我们来看看一个内容。充分条件。

那这个充分条件啊呃，非常好记哦，你先学一会，记不住算我的可以吧？你要是记不住啊，我觉得就见鬼了。一会儿过程当中，我会给你讲这个事情。那么这个问题啊，它是这样子的。呃，顶多到三级导数了不起了啊，他这样说。如果一个函数，它在这个点处，

你发现它的一阶导数。它的二阶导数。它的三阶导数，它的咔咔咔的到了n- 1阶导数。你看都等于零。也就是说什么情况呢？你发现你看到了这些情况，它都是等于零。然后接下来它有一个n阶导数，它不为零。那这个时候啊，有两个情况。第一事情若什么情况呢？若n这个人呢？为偶数。

比如二四六八十这些，那这时候啊，我们就取那这时候取的话，你发现而且我们还要看，如果这个不为零的这个人呢？它是大于零，我们就是极小值，如果这个人是小于零的，我们就是极大值。好了，然后第二件事情，如果这个n为什么数呢？n为这个奇数。那这个人呢？就不取。

剥去机制。好，这个问题啊，那么至于拐点这个东西啊呃，觉得就不用去学了，极致到了这样了不起了。如果是拐点就要出现的四阶倒数，那这在我们的考研真题当中不会这样出题的。所以这个内容啊，你要把它给我记住。这个东西啊，不需要证明了，你想证的话，我可以给你提示一下啊，这个内容呃，

因为每个板块学习的这个侧重点不一样，你要是讲数一数二数三必须要证一下。有有可能还会考这个证明，你对于我们而言呢，用就行了啊，用带有皮阿诺余项的泰勒展开公式来证明啊，我们就不证了，不用把这个大量的时间浪费到这儿。那么，接下来我们就来看看这个事情，我来教你怎么去进行记。记忆非常的简单，大家注意啊。类比第二，充分条件。

类比第二，充分条件你看。前面的这些导函数都是等于零什么一阶二阶n- 1阶都是等于零，然后是n阶导数不为零，同学们想想。第二，充分条件是几阶导数不为零呢？是二阶导数不为零，那个二是个偶数，所以说如果是偶数的时候就取。对吧，就取，然后的话你发现大于零极小值小于零极大值，如果不是偶数是奇数，那就不取，

记住了吗？你不可能记不住啊，这也太好记了。能听懂吗？所以类比第二充分条件呢？第二充分条件就说前面的导函数等于零哦，原来最后这个东西不为零的时候是个偶数。那这个东西你不就把它记住了吗？所以说接下来我们再来看看下面一个问题，你看前面这个点，那对于这个题而言呢？它的一阶导数。还有二阶导数，它都等于零，而且你发现三阶导数，

它不为零。同学们告诉我取还是不取啊？那这东西不就不取吗？因为你发现这是个偶数还是奇数啊，是个奇数，是个奇数啊，这你就不取。能听懂吗？哎，就这么简单，所以这个内容就叫极值的第三充分条件啊，了解清楚就行。所以对于我们而言的核心，重点还是第二，充分条件和第一，

充分条件确实导到第二，充分条件那个失效了之后，然后再去看三级岛。如果三阶导数不为零是个奇数，那就不取。啊，这个非常简单，如果三阶导数也等于零呢，再看四阶导数，如果四阶导数不为零呢，那这个人呢？他就取。是个偶数嘛，取大于零极，小值小于零极大值好了，

这就是这个问题，所以说按照常规方向应该是这样。一级导数等于零看二级导，二级导数也等于零看三级导，三级导数也等于零看四级导，总有一个人能看出来，这就是他的方向。能听懂吧，但是你要注意啊，抓住核心，我相信啊，三九六同学，你们应该明白你们的核心，重点是第一，充分条件和是第二，

充分条件。你不要看到这个东西哇，好秀。你把所有的重点都放在这上面了，不是这儿这个东西当然要会，但是核心重点还是第一，充分条件还是第二，充分条件。不要剑走偏锋了，对吧？好了，这个问题我们就讲到这。好了，这是我们讲的这个题，那么接下来我们在这里面当中啊，

补充一个题啊，我们来看看诶，还有一个e选项行吧，我们先不管了。来看这个题。那看这个题怎么做？那么，这里面当中给了一个二阶导数满足的式子，然后给了一个一阶导数在零处啊，它等于零。呃，不要抄题啊，听就行了。你看给了一个二级导数的式子，然后告诉了一级导数在零处等于零，

那说明什么情况？说明这个点是个注点。哎，是一个注点，能听懂吗？这个点是一个注点。然后接下来我们来看看这个人是不是一个极小值，那这个题你怎么做？他说这个人满足是不是任意的s满足对任意一点都满足？哎，那这个题让我们去求极小值怎么做呢？那求极小值很简单啊，你这里面当中不有二级导数吗？一级导数已经等于零了。那这里面当中，

我就想重点来看看二级导数为不为零呗，那么接下来我们怎么办？我们就把这个二级导数带进去。那把零带进去了之后带到这个二级导数里面，这个人是零，这个人是零，那就是零。哎，那这个情况不行啊，一阶导数等于零，二阶导数也等于零，那这件事情他就不知道了。对吧，不知道了，那不知道了怎么办呢？

我们接下来继续看。那二阶导数等于零，那我就想看三阶导数，因为二阶导数等于零是这个拐点的，可移点，那我怎么办？我想看三阶导数。我想看三阶导数，我就来求个导，就是二倍的一阶导，然后这个一阶导再求导是变成它，然后再加上二。那这个时候我们就把这个零呢，直接给它带进去，一带进去的话，

你发现诶这个人不为零二级导数等于零。三阶导数不为零，那肯定取拐点呐，所以说这题的正确答案选几啊选c。而且你发现一阶导数等于零二阶导数等于零三阶导数不为零，这个三呢是一个什么次方是个奇数次方，所以说这个人呢，不取其值。好，这个题正确答案选几选c？好了没哎，这个题啊，方向性就出来了，所以你看你的思路是非常清晰的，就是每一个点的细节都是非常清晰的。

但这个题啊。我有一点问题啊。我有一点点问题，我看你做的好还是不好？那么，对于这个题而言呢？你来给我看看这两行。对于这个题而言的话，它只告诉了二级导数。你为什么敢求到三极导数？二阶导数存在没有问题，二阶可导，二阶导数存在没有问题，但是你凭什么求到三阶导数啊？嗯三极导数存在吗？

哎呀，这个同学非常棒，这个阿高啊，非常非常好，非常棒啊，你一定能考到，非常非常好的。那么，接下来我们来看看这个事情，你看。因为二级导数存在，那说明一级导数可导啊。你二级导数存在啊，一级导数可导，然后2s肯定可导，

可导加可导，这件事情必然可导。啊，绝对可导。能理解吧，然后你再来看这个人，你像二级都可导了，这个人可导，这个可导，而且二也可导，那三级导数也可导呢。你可以一直倒下去，所以说这个人的看法是这样看的。因为看看这个人的右边，这个人可导，

这个人可导，那这个人呢？也是可导的。好了，这个问题行吧，去领个必胜套装啊。好，这是这个问题，我们就讲到这儿，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下面一个问题，再来看这个题。看清楚方向了吧，好了，注意下这个人。

然后接下来我们再来看这个题啊，这个题啊，跟我们刚才做的那个题啊，是非常相近的。对吧，极其相近的，你看这个题。我看你水平怎么样，你现在会怎么想？啊，我真想扣你个必胜套装啊。二阶不知道可不可导。这二级导数都写出来了，你说二阶可不可导？这不，

有二级导数吗？说明二级导数是存在的嘛啊。来看一下这个人。那么他说了一个事情，说这个导数在这个点处是连续。给了抽象的比值极限存在，且连续定型求出该点值，然后凑导数定义求出该点导函数值。用这个定式思维来做是可以的，然后也可以用第二个定时思维能力，我们可以怎么办？我们在这个极值和拐点当中看到极限，我可以想到饱和性。你是不是可以用这个方式来做？也是可以的吧？

那这人什么零小于零，那既然是小于零的话，我们来看看这个人。那在这个点处，这是a点。那a点的话，它的去心领域。我们看看去心领域，那去心领域当中的话，你看看这个部分，还有这个部分，那说明这个一阶导数比上一个s-a啊。这人是小于零，然后再来看这个人。这半边x- 1大于零之比小于零，

那你这个人小于零，然后这个部分x比a小，下面小于零，那上面肯定是大于零。所以说这个部分大于零。那大于零的话，左边是增，右边是减，导函数都连续了，函数一定连续连续左右两侧变号肯定取极值。那先增后减，极大值正确答案选几啊选b你看秒了吧？走第一个秒一方向。我们走第一个方向走，保护性的路线的方向也是可以秒你，

也可以来走秒二路线。对吧，第二个路线，那第二个路线就是抽象的比值极限存在，且连续那抽象的比值极限存在存在，且连续先怎么办？定型求该点下面极限是零，那则上面的极限呢？它也是零。而且连续连续极限等于函数值，说明这个点呢是个注点，然后接下来怎么办呢？然后再来进行去凑一下二级导数。那二级导数的话，这个人是撇儿它，

然后再减去f撇儿a它是零吗？你随便减，然后比上它，那这个结果呢？它不就跟上面是一样吗？就等于负一。那说明这个二阶导数什么零二阶导数，这个人小于零一阶导数等于零二阶导数小于零，说明这个人呢？取其大值。a不对，那是不是拐点呢？啊，同学们告诉我这个点处的二阶导数是负一是一定不去拐点还是不一定去拐点呢？凸的，

你等会儿啊，我一会儿给你算账啊。等一下啊，一定不取还是不一定取哎，非常好，一定不取，你看大部分同学还是非常棒的。一定不去。为什么呢？因为你发现你看你这个点处拐点的可疑点有两个，一个事情是二级导数为零的点，或者是二级导数不存在的点。你要不是太子，你要不是王爷。对吧，

你这个点处二级导数等于负一，你是个平民呢？那所以说理解清楚了吧啊，你既不是太子，也不是王爷啊，这个人呢，他不会娶的。好了，这个题啊cde就不对。那么，接下来我们来看看刚才这个同学，这个同学问的一个问题。请告诉我说的对不对？对不对？一点二级导数的正负性波决定邻域内的凹凸性，

除非二级导数在这个点处是连续的。你只告诉了一阶导数，他说他的导数指的是一阶导数，一阶导数是连续的，二阶导数未必是连续的。能听懂吧，好注意啊，这个讲的内容你得想清楚。要学会它好了，这是这个事情，过去了可以吗？所以相信这个问题讲清楚了之后啊，你下去过程当中再进行去做这种什么拐点的题。极致的体，我相信你能做得非常好。

呃，建议下去过程当中啊，把这个什么呃，原来的800题当中那几个题比较难一点啊，你下去过程当中把它进行再完成一下。原来我们做这个。800题当中啊，其实比较难的一个部分就是在这一节啊，这一节啊，可能很多同学做的非常的不好，你下去过程当中你再做一做，你再看136题，我不说别的。像这个题啊，我们现在考研过程当中仍然可以出。

你不要小看这个点，这个800题当中的这些题，你直接出题都是没有什么问题的，你看现在再看增区间还有问题吗？第一步，先看地域。第二步，求导，然后找到驻点和不可导点，然后再划分区间。你看你现在思路非常清楚啊。你判断几小时，你就进行求导，找到注点和不可导点，然后进行用第一充分和第二充分条件判断你这个东西判断，

你看你的水平点是在上涨的。你的知识体系的架构是非常稳的，你就去做，然后这东西秒了，对吧？你见到这个东西，你是不是可以秒？你这个东西可以进行去凑啊。对吧，构造方法做什么做笔的情况的构造方法，一构造就出来了。然后这个题幺四幺，你看这个题呃，这个题考的什么东西呢？考的就是反函数的情况，

你现在在做的时候，你发现思路非常的顺啊。然后说这个东西是注点，你注点的话，你发现不就是说导数为零的点吗？它有通过这个点，你方向非常清楚。好这些题啊，你下去过程当中再来完成一下。好，这个题包括的话，你看这个题。如果像这种题的话，你发现当s趋向零的时候s方fs这个人等于二，你怎么做？

然后你在这里面当中直接进行取二倍的s方直接进行去秒了。因为这个人的话，你发现他在这个点处是几小时，对吧？而且可导你这都说的不对，你说的不对，说的不对选d。对吧，不说这个两分钟，你半分钟都做完了，你所以这个方向性一定注意这个题目的操作，你思路会非常的顺的。对吧，这个举例子非常的顺，一下就出来了。

所以我就觉得一个事情啊，注意第二遍，你再做参考书的时候再做习题的时候。不拘泥于答案的方式，有可能你比答案的方式会更好，包括你做试面当中的任何一本习题集。你要注意啊，你肯定会比他做的更好，你有可能比答案当中写的这个方法还要更好，因此啊，你要注意利用了我们强化过程当中所学习的所有的浑身方法。然后进行去用能理解吧，就是用你所有的这个方法进行去怎么办啊？大杀四方这种感觉。你要用啊，

你学了东西一定要把它用出来啊，这才可以。好了，这些问题啊，我们就说到这。你像这里面当中啊，这个这个隐函数的这个题你也能做的非常好了，对吧？这个点。所以我建议同学们这个今天下去之后啊，你去看看这个幺五三这个题。对吧，幺五三这个题把这题再看看，要不这个题啊，我们再说一下吧，

说完之后啊，我们就呃直接来看看下面部分内容。再来看下面这个点，所以这个后面这几个题啊，难度系数比较大啊。好来看这个题。你会怎么想？啊，这个题。它在这个部分的时候，它是等于零。你会怎么想？你怎么进行去出出这个问题啊？保护性保下是不是就出来了？这个题举例子。

没有说那么的好举。你举例子的时候的话，你发现呃这个人如果说举绝对值的话，零处不可导，你说这里面当做保护心。对吧，直接保一下你保一下的话，这个人什么零大于零？一下就想到保号信，那想到保号信的话，那么立即可以看出来，我们就说什么马上走。那立即可以说明，在磷的这个去锌领域内。那去心领域内二阶导数比上s这个绝对值，

它是什么大于零？那说明在这个范围和这个范围内。二阶导数都大于零。那在这两个范围内，二级导数都大于零，那说明什么？在左边去信领域和右边去信领域，一级导数是不是单调递增啊？你二阶导数大于零吗？两边都是什么？两边是同号，肯定不会取拐点的。去心邻域两侧拐点二阶导数的正负性是一致的，不会去拐点不同。比如说左边正右边负，

左边负右边正，肯定取，如果是同号，这人是不取的，然后接下来我们再来看看，可以看一一道。一阶导的话，你看零处是零。而且二级导数是连续。那二级导数连续一级导数肯定连续啊。你零处是零，你这边增增到它，你这边增那左边是负右边是正先减后增即大值，所以正确答案这个什么先减奏后增啊，极小值。

选c，选b。好了，这个问题啊，就立即出来了，所以你看你的方向性是非常的精准的。就说现在而言，我们再次看到这种问题啊，你直接进行干了。对吧，见到这个东西，立即想到保护性，保护性，保护性，保完了之后的话，

就是这个情况，然后接下来这个题立即顺了。我记得原来基础班讲这个题的时候，有同学说哇，好难呐，太难了，这怎么有人能想得到？这我肯定做不出来，但是你今天再看呢，你发现难度系数不大了。所以我希望同学们注意这个八月底的时候，我们会把这个强化呀讲完。然后从这个八月底对吧？八月底的样子，然后给足自己一个月的时间，

然后基本上到了这个九月底，昨天晚上做规划，我给你讲过这个事情。一个月的时间，再把这个强化过程当中完成的习题啦，把强化讲义上的核心考点呢，立体了自己一定要把它再二刷一遍。对吧，把这东西二刷一遍了之后，然后接下来的话，你就可以进行做模拟卷了。所以我相信到了这个九月底的时候，你再回看强化班过程当中所学习的东西，你就会发现一个问题啊，这些点也不是说那么的难了。

也都还好，所以这种感觉就是回头看的感觉啊，好了，这个问题啊，我们就讲到这没问题吧？我昨天晚上还专门说这个事情，到时候做模拟卷的时候就是查漏补缺了。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看下一个问题，间接线和曲率。那么，渐近线和曲率啊，我们先来看看第一个考点渐近线的问题，哎，

考点一我们先看渐近线。那么，渐近线这个东西啊，核心重点包括三种，一种是垂直渐近线，一种是水平渐近线，一种是什么？企业经理权。啊，垂直水平和斜渐近线，那么在这里面当中，我们先来看看第一件事情，垂直渐近线。那垂直渐近线，你想想那这个垂直近近线，

它长什么样子啊？垂直渐近线，它是长这样。就说你这里面当中，比如说有一条。你无限逼近的线是一条垂直的线，这就是垂直渐近线。那么，在这里面当中，比如说有条曲线。它是这样对吧？你这个里面当中这是s0。这就是它的一条垂直定线。你无限逼近的线是一条垂直线，就是垂直渐近线，

那他想想一个事情，这条垂直渐近线特别像什么？特别像无穷间断点，所以它的求解方法跟无穷间断点的求解方法是一样的，第一步怎么办？找吴厅一点。哎，无定义点。找到这个无定义点，然后第二步我们再进行怎么办？求这个极限。求解这个无定义点处的极限。那这个极限呢？只要是无穷大就行。那么，

在这里面当中，我们来看看这个下面一个事情啊，你看这个人。那如果这个东西是这个情况，你发现它是平行的，那还是不是啊？是还是不是？那这个红色线还是不是黑色线的垂直渐近线啊？是的，仍然是只要有一侧逼近就行，所以这里面当中啊，你要注意，只要单侧就行，只要有一侧它。它是无穷大就行。

好，这是这个问题，跟得上吗？啊，这个点呃，注意啊，这些年的考题啊，我们怎么没有怎么考过渐近线？你这是要稍微注意的，就是你到时候做的时候，你一定要把这个东西啊，要捋通能理解吗？你要做我们的这个以前的真题啊。那你估计这个考点都做不到。所以你就会发现一点都不全呃，

昨天晚上的时候有同学居然还问了一个事情，坐三九六的同学，到时候到了这个秋季过程当中只做真题行不行？你你是个三九六同学，复习到今天，你连你自己的考情你都不知道，你这简直是复习的一个败笔，对吧？你可不能这样啊，你要只做你的真题啊，你发现你这个问题点会非常大的。你到时候你就知道了。你核心重点的真题啊，只有三套真题啊，只有三套。

好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看这个水平渐近线啊，水平那么水平渐近线这个问题啊，它是这样。你无限逼近的线呢，是一条水平线。对吧，尤其比较具有标志的这个水平，渐近线的例子啊，你比如说arctangent体了。对吧，是这种情况。好，这个人那么在这里面当中，

我们来看看这个事情，你看就像这样。那么，在这个问题点，它就出来了，就说什么呢？就说is趋向无穷，大的时候你发现这个极限结果是个数。比如这是a1，你这是a2。对吧，趋向于无穷，大的时候它的极限是个数。那么，这里面当中你要注意，

它有可能有正无穷，有可能有负无穷。该分则分，你需要分了就分，那比如说这里面当中，它说什么你需要分，我真无穷的极限。我和什么负无穷极限不一样，什么时候需要分呢？左右开工法嘛？如果你求出这个极限是a1，你求出这个极限是a2，那就说明y=a一是正无穷方向的y=a二是负无穷方向的。能听懂吧，哎，

一定要想清楚。不要跟我把那个跟有界跟我进行混淆了。不是有界的问题。你学到今天不要这样学习。比如说举个例子。你告诉我这个函数有界吗？有借还是没有借？没有井。哪有接啊，没有接你仍然具有水平，间接间。你看这条线。趋向于正无穷的收视率，你看这条线趋向于负无穷的收视率。所以你不要胡思乱想，

对吧？我已经用了无数次的过程当中给你去讲这个问题，不要胡思乱想啊，千万不要乱乱来，你只能得到正无穷方向，是有界啊。好了，那么接下来我们再来看第三个事情，再看斜径线，那什么叫斜径线呢？它这样你无限逼近的线是一条倾斜的线。那么，这里面当中，它有可能是这样。好了，

我们来看看这个事情。哎，这个人你无限逼近的线，是一条倾斜的线，你想求这条倾斜的线，你就要求a求b。对吧，你求a求b，那这个a怎么求呢？a就进行去求无穷大方向的这个fs比上s求极限。然后求b呢，其实就是无穷大方向上用fs-as求极限。大家注意哦，这些是冷门考点。题型13是冷门考点，

你要把这个方向想清楚，如果这两个东西都出来之后，它的渐近线就是y=as+b。所以说求间接线的问题啊，核心重点还是求极限的问题，你最重要问题还是求极限，那么我们通常做题方法是这样。先做垂直渐近线，再做水平渐近线。找无定义点，再看无定义点处的极限是不是无穷大是就是一条垂直渐近线。做完水平渐近线，再做斜渐近线，为什么呢？因为有水平没有斜。

但是这句话一定要听清楚一个事情，说的是单一方向。你看水平渐近线，比如说这个方向，它会走平呢。斜渐近线这个方向，它会走斜的。能听懂吧，在同一个方向有水平没有斜，当然你发发现你看你这个方向有斜，这个方向有水平没有任何问题。一定要注意啊，是同一个方向。你比如说正无穷方向，有水平正无穷方向，

就不用看写了。你负无穷方向，有水平。负无穷方向，就没有斜了。但是正负无穷方向，比如说正无穷方向，没有水平，你再看斜。服务费用方向没有水平，再看行，所以注意这个事情，这件事必须要注意。有水平没有斜，指的是同一个方向。

好，这就是我们的方向感，能听清楚吧，来那么接下来我们来看看几个题来做一下幺幺六这个题啊，这个题稍微等会儿。我们先来看看幺幺七这个题。呃，这个题啊，对我们三九六同学绝对是八高题。啊，绝对的拔高题，因为基本上考研的过程当中很难进行去出这个题目呃，运算量变得这么大。它不适合两到三分钟做一道，我们来试一下吧，

如果这个题你能做做的非常好，我觉得这个水平点呢，求极限的能力啊，是非常非常好的。好，我们先来看第一个事情，我们先来做一下垂直渐近线。那垂直渐近线在这里面当中啊，先找无定义点无定义点是多少呢？是零这个点。那找到无定点再去求无定点处的极限，你看这是s分之一，然后这是ln多少一加上es？那这时候我们来看看你，发现这个极限是无穷大的。

一的零是一，那这个极限是多少？是ln 2无穷，大加ln 2，那这个结果是无穷大。所以说这个人是不是啊？是的。is=0呢是一条。再来看水平。那水平渐近线，就是我们要进行求解s，趋向无穷大方向的极限。哎，无穷大。但是这里面当中，

你稍微注意一个问题啊，无穷大分之一，这是零。e的正无穷，是正无穷，那这一项是正无穷。e的负无穷，是零。那这种情况要分呐，你所以这里面当中你要看看，如果这是正无穷呢？那正无穷，就是e的正无穷，是正无穷，正无穷加一正无穷，

罗音正无穷正无穷，这个方向是没有的。因为极限结果是没有的，你只用进心求什么负数？那负数是什么呢？一的负数是零。对吧e的负数是零轮，一是几是零，所以说这个人的极限结果就是零，那y=0呢，这个方向是的。没问题吧，它是哪个方向的呢？它是负无穷方向的哎，这个人是有那么这个人的话，

你再来看看鞋鞋当然要做。因为哪个方向呢？因为正无穷方向，没有水平，正无穷方向要求斜，所以说这里面当中我们去求这个斜渐近线就是y进行去比上s。然后这里面当中啊，就是is趋向正无穷除下去。除下去之后的话，这个人就变成了。呃平方分之一，然后再加上多少ln 1，加上es比上s。那么这人看看吧，这极限等于几？

对于单独看这个极限的时候，这个极限是零抛出去。对吧，加减法当中见到存在抛出去零就抛出去了。你做完了，然后接下来再来看这个极限，这个极限是无穷大比无穷大的未定式。单独做这个极限罗印，里面是可以抓大头的，一抓这个人就没有了。一抓没有了lnes，那这个结果是几啊？是一。哎，看到我的问题了吗？

无穷大比无穷大，录音里面当中有远远大的关系的时候就能抓。啊，这个方向一定要有。好了，我们再来看看b。b选项就是limits趋向正无穷，然后这个y啊是s分之一，再加上多少l引一加上es，你再减去as就是一倍的s。好，做成这样，然后再来看无穷大分之一是零一的正无穷正无穷，那这项无穷大那这项无穷大无穷，大减无穷，

大未定式。那加减法看到存在拆开，把这个人拆出去，然后这个题目就变成了is趋向正无穷，然后这个东西是le+es。再减去x。是不是做成这样，然后接下来重点就来了？那接下来怎么做？算条数可以不算比，那肯定不行啊。你a存在了b不存在渐近线也不存在。啊b也得保证存在性。这非常重要，你怎么做呢？

那这里面当中是无穷大减，无穷大未定式，我这节课大家非常棒哦。啊，真好。无穷大减无穷大，未定式你可以怎么办？你可以通分通不了倒代换呢？倒代换越换越恶心我怎么办？哎，这里面当中，我可以根据对数函数的优良特性。对数函数可以把这个什么把这个减法变除法，我立即把它变成le的s，然后这个时候这个题目就变成了s，

趋向于正无穷。立即就变成了一+es比上es。然后这个时候你看这里面当中就可以抓了一抓了，这是一轮椅是零。好了，这个点呢，立即出来了。当然做到这儿呃，其实还有一种方法，我们再来看方法二。还可以，怎么做呢？不能抓了。又犯了一开始的问题了。你要抓大头，

你是蒙对的，这个水平点不好，我讲了无数多遍了，无穷大减无穷大，怎么能抓呢？你这个水平点就没做好，对吧？那怎么去处理呢？这是s趋向正无穷，又犯了这个问题了啊。一+es-s。那么，对于这个题而言，怎么办？无穷大减，

无穷大未定时，你可以提毛法呀。把这里面当中最大的卯提出来，最大的是谁es提出去，提出去就是e的负s，然后加上一你再减去s。那这个时候的话，这个问题的话，马上就变成了当s趋向正无穷。对吧，这个时候就变成加法，加法就是linge的s。加上ln多少一+e的负s，你再减去s。好，

做成这样。然后这个东西啊，就出来了啊，你说刚才状吧啊，那非常好，非常好。好了，这两个东西是不是约掉了？这两个东西约掉了之后的话，你看e的负数是零轮移是零出来了。啊，这个方向也行b也是存在的，说明这个人有几条间接线，有三条正确答案选d。这个运算量是比较大的啊，

对这个题啊，我觉得还是进行去复习吧，你强化训练嘛，你把这里面当中所有的东西的来龙去脉。都掌握清楚，我相信这个题可以。有垂直渐近线，有水平渐近线，有斜渐近线三种，近近线都有，而且每一个部分呢，它的讨论性的方向是怎么样子的，你要注意。好了，那么接下来我们再来看看幺幺八这个题啊，

再看这个题。来看一下这个题。那这个题就还好了。那这题考什么斜渐近线，不用去看别的那求斜近线，核心重点不就求AB吗？而这个题啊。a都不用求了。为什么a就是一。你求也行吧，那趋向无穷，大除以个x对吧y除以个xy÷x的话，其实我们就求的是。一加上阿克塞因多少s分之二这个极限。能理解吗？

我刚才说过这句话，我说过这句话，不要每次让我说两遍，对吧？a出来了b没有出来，它也不存在。a有b没有，比如说你举个例子，你比如说你是3s，你加上一个无穷大，这叫这叫斜渐近线吗？这不叫。好了，这是这个无穷大分之二，这是零那这是一。

对吧，所以说这个时候你发现从这个什么？从这里面当中的这个a上面进行就没法判定，那么这个题的核心主旨还是进行求b这个题啊，适合考给我们。啊，不是说特别难哦，你看这是ss倍的多少r克sine多少s分之二，你减去as。这俩东西约掉了。约掉了之后，然后接下来我们就继续看你趋向无穷大的时候，你发现你看这个板块就趋向于零。那趋向零就是框。阿克塞因框立即等价无穷，

小框不要说看不出来，这种基本的等价无穷小问题啊，等价无穷小这个人，那就是二。那所以说这个题就出来了y等于多少x+2正确答案选几选a啊？好了，这是这个题，能听懂吧？啊，这是幺幺八这个题。跟得上，要学会这种问题，然后接下来我们再来看看幺幺六这个题。看一下这个题。那么他说这个事情，

他说下列曲线当中有渐近线的是。你比如说我们一个个看，我们先看a选项。a选项的话，这里面当中啊。没有无定义点。趋向无穷大的时候，这是无穷大。这是负一到一无穷大，加上负一到一也没有水平，那就要看写。那看斜渐近线的话，这个人的话就要去看AA的话，趋向无穷大用这个y进行去比s，那么所以说这个人就是趋向无穷大，

这是一加上s分之一，再乘上三。好同学们，你告诉我这个极限等于几？极限等级。没有无定义点啊。趋向无穷大的话，这是无穷大，这是有机，那还是无穷大，没有水平这个极限等于几啊？我看看有没有等于二的？我看看有没有等于二的？啊，我看有没有等于二的？

嗯，还可以。非常好，非常好，所以我这个。昨天在直播的时候说到一句话，哎，自己有心里想的，也顿悟了，对吧？我觉得大部分同学呃，其实跟着我们一起学习的同学。水平点还是非常好的。好了，这是这个事。

啊，虽然最近段时间有同学说这个你下去，尤其我上课说的一些同学，你下去一定要好好进行调整一下自己的学习方法。来看一下这个人吧。那这是无穷小陈有机啊。那这项是零，那这个结果是一。然后接下来我们再看BB的话，这是limits趋向无穷大，然后这是fs这个人。你再减去as你是这个人，但是你发现一个事儿，你这个极限是什么？你这个极限是不存在的，

你是正当的嘛？震荡的不存在，你看这种间接线就不存在，就没有些间接线。没有垂直。没有水平，也没有斜渐近线没有啊。因为这里就没有。所以说刚才有同学问的那个问题，说我只求a行不行？你看b不存在也没有吧啊，这就是一个非常好的例子。好了，这是这个问题，但是注意一个事情。

倘若这个题啊。是考我们三九六同学的真题。你想想你这一个一个的判下去，一个一个的判下去，还考个鬼啊。你这找的黄花菜都凉了。你判一个一分钟，判一个一分钟，判五个五分钟。五分钟才做完，那这个水平点那可不行，你从c开始。你咋能这样呢？对吧？你知道答案选c了，

你从c开始好了，那么接下来我们来看看这个事情啊，这个点就放在这。因此，接下来我们来看看一个斜渐近线的一个小技巧。只是斜渐小。只是斜渐近线好，我们来看看这个事情。住到这吧，不用考也不是黄金重点啊。这个东西你知道就行了。然后你们在市面当中见到用泰勒展开式求斜渐近线的方法，你就不要看了，你是一个三九六的同学。你要老是进行去想这种问题啊，

我觉得你这复习过程当中大把大把的时间都给浪费掉了。那么，接下来我们来看看邪剑剑仙。的一个小技巧。那么这个东西怎么做呢？那么大家想想一个事情，你是否还记得我原来在基础班的过程当中给你讲过斜渐近线啊？那什么叫协进线呢？就是你无限逼近的斜线。无限的逼近的一条倾斜的直线。这是y=as+b。你无限进行去逼近的一条倾斜的直啊，这个直线。那这条斜线就是我这个人的先进性。那么，

同学们还记得吗？原来在基础班的时候，这个a是怎么求出来的？那a为什么要这样算呢？b为什么要这样算？我基础班推过吗？我给你推过的。这是基础班，我推过的，那你想想那这一里面当中它的核心重点不就这样吗？不是洛必达。那么就说因为你在无穷大方向上，这两条线已经挨得非常的近了，两者作比是一吧。两者作差是零吧。

嗯，所以说这个时候你发现我们在无穷大方向上，那这两个东西啊，我们一做差这个极限，结果是几啊？一定会是零。为什么呢？因为趋向无穷大，我们两者之间无限的逼近那两者作比的极限不是一吗？两者做差的极限不就是零吗？好了，这是这个事情，那么同学们再想想。诶，那这个点我可以怎么办？

我可以用这个关系定理啊，那关系定理说什么呢？那说明。当x趋向无穷大的时候。你发现这个人的极限。等于一个数，那这个极限，这个人不就等于这个数，再加上一个无穷小量吗？能理解吧，加上个无穷小量，那这个东西我把它一改，我一改的话不就是as+b，再加上一个什么无穷小量。请注意啊，

这个人呢？这个人是无穷大方向上的，无穷小量就是无穷大方向上极限为零的量。能听懂吧哎，如果这件事情办到，那我就觉得简单了。所以以后过程当中，我就这样做，如果一个函数能够写成一条直线，再加上一个无穷大方向上的无穷小量。那前面这条直线就是我的一条斜渐近线，那这个方向也是用泰勒展开的方式去求斜渐近线的一个。方向的啊，操作性的方法，它的内涵就是这个东西，

但是注意啊，我不建议同学们你会。这个什么泰勒展开的方法进行球鞋进行，那这就有点跟我们的这个考研方向背道而驰了。所以这个方向写能想清楚吗？只要这条这条曲线能够写成直线，再加上一个无穷大方向上的无穷小量，那前面这条直线。就是我的一条先进线。所以这里面当中，我们来看看这个事情，马上接下来我们进行讨论。对于这个题啊呃，拿到的时候我们就可以稍微的进行去瞅一瞅。对吧，

直接抽。直接瞅的话，你发现我一个一个看。当趋向无穷大的时候，你看这是一条直线无穷大方向上，这个极限是正当的，不是零。这个人在无穷大方向上，他的极限是零。是不是啊？所以说这个c选项，它其实就是一条直线，然后再加上什么你再加上这个量。你这个量在无穷大方向上，极限是零。

所以说它就有一条斜渐近线y=s选c。好了没？就说像这种问题啊，我一眼挑出正确答案。我眼睛一瞅，他发现诶，你看这是一条直线。斜线斜直线，再加上一个无穷小量，那这东西就出来了。好了没？也就说那这个d也可以啊。那这个d的话，你发现我减去x方，它这个东西不也是无穷小，

你要注意渐近线渐近线渐近的是直线，不是曲线。能听懂吧，你渐进的是直线，你这是曲线，这叫渐曲线，哪哪有考渐曲线的问题啊？所以这里面当中的重点一定得是直线上课，听课的时候要听重点哦。好，这个题目就立即出来了。能学会吗？好基本问题点呢，把它想清楚。我们就说到这。

好了没好，这是第一个问题。可以了吧？好，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题，我们把这个曲率讲完，因为这个曲率啊，在考研过程当中是冷门中的冷门考点。啊，低频点，你稍微注意一下，但是该复习的东西啊，你要复习到位呃，把这个内容讲完，

我们休息，然后下半节课用你全神贯注的注意力。对吧，把你所有的这个状态拿出来，我们进行去看方程根和零点的问题，还有这个不等式的类型问题啊。那么，接下来我们来看看这个曲率的考点。那曲率这个东西啊，它来源于一个什么背景呢？它是描述一条曲线弯折程度的量。对吧，研究的一条曲线弯折程度的量。那么，这里面当中，

我们来看看这个事情。研究曲线弯折程度的量。那么，这个情况的话，比如说我这里面当中画了两条线。同学们告诉我谁更弯呢？那还没写第二条线更完，但是我们从数学上我们就需要有一个指标，那个指标我们算出一个数据。通过比较这个数据，我们来看。这两个东西啊，谁更完，我们怎么判呢？我们这样做。

那么，这里面当中不就是判断这个点吗？对吧，判断这个点我们就在这里面当中过这个点，做一个与之相切的圆。对吧，过这个点做一个与之相切的圆好，我们切过去。过这个点做一个与之相切的圆，我们切过去。好，这个问题。那么这个时候这个圆，它就会有半径。对吧，

这个圆就有半径。这rer，所以第一个事情，这个圆我们起名叫做曲力圆。这个半径我们起名叫做曲率半径。但是有一个问题。你这个曲力圆的曲力半径，你半径越大，你这条曲线反而越缓吧，你半径越小。这个人反而越弯。你越大了，我越缓，你越小了，我越弯很明显是一个负相关的量，

我不喜欢负相关的量，我怎么办？我喜欢正相关。所以这里面当中，我们就取个倒数。对吧，取个倒数，那这个时候你发现半径小了，它就大半径大了，它就小，我就取个倒数。这个时候你就会得到非常重要的问题。如果一条曲线越弯。它的曲率越大。曲线越弯曲率越大。

啊，曲线越弯曲率越大，所以谁更弯谁的曲率越大，你说这件事情要想清楚。另外一件事，这个曲率圆跟这个曲线之间呢？它们在这个点处函数值相等，而且你发现。它的切线斜率是不是也是相切的导函数值相等？然后另外一件事在这个点处呢，凹凸性一致，而且的话，你发现具有相同的曲率，所以说二阶导数也相等。能听得懂吗？

好，基本问题点啊，曲率的定义，你要知道曲率圆，你知道曲率半径，你要知道曲率是等于半径分之一就行了。然后第二个问题，这件事情务必要记住取例公式。这件事情要记得那么曲率，这个人的公式是怎么算的呢？他这样算算一下这个人的二级导数，加上绝对值。一加上一阶导数的平方的二分之三次方会算就行。好了，作为我们三九六同学学习这个曲率，

我们只用学习这两个问题，一个事情你要知道曲率是怎么定义的？曲线越弯曲率越大。曲率越大，曲线越弯，然后曲率是怎么算的？把这两个方向先掌握清楚就行。可以了吧？好，那么接下来我们来看几个题吧，先来看幺幺九这个题。啊，看这个题。汤姆求解啊，这个抛物线呢？

在其顶点处的曲率半径。那这个抛物线的顶点怎么求的？配个方吧。啊，这要打点。取消了。你这初中老师都有点难受了。这个东西的话，对称轴是二嘛，你把二往里面还要背呀。你是个大学生啊，你再要像初中一样公式啊，别公式了，别公式了，我疯了，

对吧？没有什么忘的，这有什么忘的呢？而且还有同学的话，你比如说像上了大学而言的话，求还求根公式呢，比如求一个一元二次方程组。你还求根公式，不要这样啊，你是个大学生。也不要十字交。十字交叉干嘛？人家要求顶点嘛，哎呀，好家伙呀。

好了，我说一下。求这个顶点，就是把这东西一配，然后就出来了。你一配的话，这人就是s怎么办？减二的平方+4-4就是这个人。所以说这人的顶点就出来了。顶点是多少？对称轴是二把二往里面带负一啊，就这么简单。所以说到了这个程度啊，你还这样做的话，行吧，

不多说了，你想怎么做怎么做啊，爱怎么做怎么做好了，这是顶点。然后我们要去求解这个点处的这个曲率。取力半径那取力半径的话，不就是求取力吗？先求一级导来一级导，那就是2s，再减去四。然后接下来再求二级导，那这人是二，然后这个时候的话，你发现在二处的这个情况的话是多少往里面带，这是零。

然后这个东西王磊没带呢，这人是二。嗯，所以说这个曲率啊，马上出来在x等于二处来走二级导数绝对值，然后是一加上一级导数的平方零，它的二分之三次方。那这里是二那这题正确答案选几啊？是不是选d啊？那就疯了，对吧？人家这个题求的是取率，半径，取率，半径等于取率分之一，

基础班就跳过一次坑哦。你要注意正确答案，选a哦。好了，这是幺幺九这个题过去了，可以吗？来那么接下来我们继续，我们再来看看下一个题，再看幺二零这个题。好看一下这个题。那这个题啊，它的重点是求取率，那求取率的话还是这样，你要进行算一级导数，你而且要在这里面当中算二级导数来。

来，我们先算什么？我们先算这个一阶导数。一阶导数就是y对t3倍的sint的方s in，再求导是cost，然后真人再对t求导。三倍的cosine t方cosine再求导呢？负的这个sint，所以说这个时候啊，把它预约就是负的。那负的预约的话，上面还留下了一个三。下面还留下了一个cos in，那这个结果就是tangent t。是不是这个情况好了，

然后接下来我们再来求二级导数？那二阶导数就等于一阶导数对t负的second t的这个平方。然后要补上s对t求导分之一，那s对t求导是多少？来看s对t求导是三倍的cosine t的平方，然后cosine再求导是负的sint。分之一跟得上吗？同学们。好，这个情况就算在这。听明白了，给我回复一应该会做吧，一级导数和二级导数把这个四分之派带进去，这是负一。然后再把四分之派往里面抬。

四分之派往里面带的话，你看你这个是负负这个人就没了。然后这是cosine，它是二分之根号，二翻一下是根号，二那么这人是二。然后cosine四分之派是二分之根号，二平方是二分之一，这是二分之根号二。那所以说这个结果啊，马上出来，那这人就等于多少呢？八处空行。那八除根号二的话，这个人就是多少？

是四倍的根号。能理解吧，好这个人就算成这样。你这要会算的吧，这是个基本问题啊。那么这时候的话，马上我们接下来就看诶，这还有个三。啊，最后一个三。然后这个是三分之四倍的根号二。三分之根号，二分之八。好了，这是这个问题吧，

能听懂吧啊，这个点把它想清楚就行好了，然后的话，你看这是八倍啊，没有问题。然后接下来我们就套一下公式，那么直接算一下它的曲率，那二级导数就是八比上三倍的根号二。然后接下来的话，你里面这个人呢？是一加上这个人的平方是它二分之三次方，所以说这是八比上三倍的根号二。然后这个人呢？是二那二的话，三次方是八开个方是二倍的根号二。

所以说这个结果除下去，那这是三乘个二再乘个二，因此是多少三分之二啊？正确答案选d。好了，这是这个结果吧，我们就讲到这啊，下去你会做就行。对吧，这个曲率，所以说求解曲率的核心重点其实就是一个公式，你只要把这个公式给我记住。问题点一点都不大。记住这个公式就行，能听懂吧，

把这人算清楚，幺二零这个题。那么，接下来我们继续吧，我们再来看最后一个题，最后一个题啊，拔高题。啊，这个题是拔高题。呃，原来想了好久，要不要把这个题放在这呢？呃，想了好久，我觉得一个问题吧，

就是这个题放在这儿。就是希望同学们注意一个问题，如果这个字儿非常多，文字儿非常多的时候，读题的能力要加强。一个事情是读题能力，一个事情是做题的，这种信心感。这是我把这个题啊，放到这里面当中的最重要的原因。那么，接下来我们来看看这个题，他给了一个事情，你其实冷静的做，所以我在通过我原来放这个题的原因，

其实很简单。因为在这种当中，像这种纯文字儿的题，大家一定要注意读题的能力很重要，而且要注意没有什么做不出来的。见到一个题，不要说啊，这个题好难，不要有这种感觉。你见到这个题的话，你比如说稍微的会有点难一点，你会觉得哦，这个题非常好，因为要拉分了，你要有信心感。

然后接下来我们来看看这个人，他说这个人。那其实就是f1s和f2s这俩人，这俩人具有二阶连续的导数。注意二阶导数是连续的。两接导数是连续的，切记切记啊。那么，既然连续，那你告诉我这个点处是小于零。诶，那如果是连续你这个点处小于零。能不能推出附近小于零？能不能你告诉我件事，能不能说明附近小于零可以呀？

因为这个点小于零，连续嘛，连续的话，你发现就可以了，连续的话，二次导数连续附近都会小于零。说明在这个邻域内都是小于零，根据连续的保护性，大家能理解吧。你这个点小于零连续嗯，比如说这个这个图像的话，你比如二级导图小于零连续它附近都小于零。好，这个人如果这两条曲线在这个点处的公切线，切记这个人是公切线。

然后再说什么呢？这个f1这个曲率比f2的曲率大。说在这个人的邻域内，有什么情况？呃，我原来见过一个事情。有人一直在纠结某个领域，某个领域到底是哪个领域，你管他呢。某个领域其实说的就是领域。你不要在那咬文嚼字了，对吧啊？这个学数学可要不得。那这是rs 0。那这个部分呢？

就是它的领域。那这个东西就是它的邻域，你发现二级导数小于零，说明这个曲线就是凸的，那这两条曲线都是凸的。对吧，而且这两条曲线在这个点处具有公切线，那说明它们要相交于同一个点。而且他的公切线呢？公切线肯定是这个人。gs现在问题点比较大的，就是里面这两条线谁是谁呀，我们一看f1的曲率大。f1曲率大，那这人就更弯。

那更弯的话，你发现这个f1这个人更弯f2要缓一点，那所以说在这个范围内啊，应该是g啊，这个g比这个f大。比这个f1啊，这个f2大比f1大应该选几啊？选a这个题啊，就是传说中的骗子题。你说这个题难吗？对吧，这个题你发现这就叫骗子题。对吧，这种题就叫骗子题。所以你会发现一个问题，

就是题目虽然非常的多，文字儿非常的多，但是你发现这个题非常非常的简单。你这是告诉了什么二阶导数连续你这个点数小于零，那不就是个凸的吗？你画个图就出来了，所以说你会发现一个事儿。你学了这么多年的数学了。有的时候你没发现吗？有的时候一个题啊，文字非常多，反而很简单。有些的时候的话，这个文字非常少，有些这个题还挺难。

所以你要注意一个事情，不要以后见到一个问题，你们都是进行去冲刺满分的同学，所以说你要有非常强的信心，不要见到这个题说哎呀，这个题。嗯，对吧，这个题的话好难呐，怎么怎么样还没有做，你就觉得这个题难，一定要敢进去去做。对吧，要敢做题。很多同学这么多年学数学都是这样，

你可能是初中留下的阴影。也有可能是高中留下的阴影，有些同学可能是大学留下的阴影。遇到数学题不敢下笔。你要敢做题，你不敢做题，你永远学不好，你怼他就行了呀。所以我原来想放这个题的，这个原因非常的简单。你想想这个强化班过程当中啊，这里面当中有些题的设置点呢，我都在这里面当中放了一下，圆一点非常简单。你要敢做题对吧？

你见到这个题的时候，你就发现哎呀，文字非常多，你不要在这里面当中觉得哎呀，这个东西不敢做，你千万不能是这样。一定要敢做啊。行吧，那么这个问题我们就讲到这儿，所以说希望同学们下次啊，你再见到这些题的时候要赶进去去处理这种问题。对吧，不要慌啊。好了，那么这个问题啊，

我们就讲到这儿，我们稍微休息会儿，一会儿过程当中，我们来看看题型是四方程根。和函数的零点性的问题好，我们稍微休息会吧，一会我们继续。

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