11.冲刺满分强化篇·题型17-18精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:09:50

啊，因为我看不下去了，对吧？这个。这同学的话，你发现。你你学了基础了吗啊？有没有复习基础啊？你是不是基础你都没有听过，你就来强化班呢？我没有讲过这个事吗？刚才更有甚者说，无穷大处，如果是无穷大，那无穷大就是个鸡蛋，

我的天，这都这都什么话对吧啊？来，我们来看看这个事。你这让我让我这这个很很怀疑这个问题啊。你怎么能说出这种话呢？对吧？我们来看看这个fs，你这是零，你这是s。那么，首先我们先来看看第一个点啊。你告诉我，如果这个人。是这个区间内的。

唯一的起止点。请注意唯一的极值。如果这个人是唯一的机制，你想想一个问题。唯一的极值的话，你比如说举个例子啊。唯一的唯一的机制的话，哎，他在这个什么领域当中是最大的。这没问题吧，你唯一的你这个人在领域当中最大，那么就像我们走，你看走走走，你敢拐吗？你拐一下，

看看你一拐又出现了个机制。你又出现这个极值的话，你发现你就不是唯一的极值了，有条件唯一的你不能管。你不能乖，你只能乖乖的下来。注意啊，连续啊，函数图像是连续的，我就不讲不连续的情况了。连续的就不到，不要断。那你想你这个线呢，你只能乖乖的下来。你才能保证唯一的极值点，

那你告诉我这是不是最值点？是不是啊？它不就是最值点吗？唯一的极值点这条线段是连续的，它肯定就是最值点啊。你这有什么好考虑的？他说老师那道富无穷，道无穷无穷呗，你走你走下去呗，管你到哪，你走爱走哪走哪。你到哪我都是都是个最值点。所以如果这个图像是连续的。唯一的极值点肯定是最值点呐。那这个人一定是啊。

这不是基础班讲的原模原样内容。不不能这样的话，这这这个这咋咋行呢？什么东西都给忘了。能不能行算了？能不能保证下次不忘可以吧？下次再忘了自己，自己自驱一点啊，这个时候自驱就不是那个自驱了，是变成这个自驱了，真的是变成这个驱了。好了，这个事我们就讲到这，对吧？所以你发现唯一的机制点好这个点啊，

你自己要保证下次过程当中一定要会。你如果下次过程还再出现这个问题啊，你觉得就有点不好意思了。你自己觉得好意思吗？好了，这是这个问题，然后的话说端点处很多说那老师你刚才不说，还要求端点值吗？这不是一种特殊情况吗？你比如说这个问题点的话。你看这个人。假设的话，这个人是在a点，这是b点。你想想一个事儿，

比如说他有没有可能是这种情况？那这个时候的话，大家想想。你看这还有那也得有端点。对吧，这这就没有问题了，如果是这种情况，你看你这是个极大值，你这是极大值，注意啊，是极大值点。那其他时间的话，你看你这个时候端点很明显是最大。你这个时候一定要进行去考虑锻炼时。但是它不是唯一的嘛，

你这里面当中既有极大值也有极小值。你有四个极值点，你这种情况的话不是唯一的极值点吗？你有四个极值点，你有极大值，有极小值。那所以说这个时候一定要注意，你看这是极小值，这是极小值，这是端点。那么现在这个人呢？最小值是在极小值出去，最大值是在端点出去。所以理解清楚了吗？一定要注意啊，

最值的问题就是极值和端点进行PK，有端点就求端点，没有端点要求极限啊。很多人不理解求极限。说为什么要求极限？那么，这一里面当中，我原来我们讲了一那个上次考试有一道题，就是那种问题。你比如说这个。比如说我们求零到一吧。零部曲。零不取的话，结果零的这个极限。啊零的这个极限是它。

然后的话，你发现。他是一个人，你告诉我，这是极大值吧，这是极小值吧。然后这是有端点的吧？最大值是在这块取，但是最小值是在这个极小值点处取吗？没有最小值在这个端点处取。但是没有端点，没有端点求极限就行了，求出这个极限是多少就行。能理解吧，比如说这个极限是一，

那这个最小的话，你发现切近比这个人小啊。所以没有的时候要去求极限。我不讲了，我不讲了，我讲不下去了啊，这个问题你下去自己好好复习一下吧，你你自己去看看，你问的是个什么问题？啊，自己下去看看，问的是个什么问题，你这是一个今天复习的同学吗？这个水平点吗？我很难相信，

相信这是我教出来的学生啊。好了，这是这个问题，那么这个点呢，我们就讲到这，所以说大家注意一个问题，就说你要进行去，有求解这个极值，再去求端点。好了，那么这个问题啊，我们就讲到这来，我们继续，我们再来看下一个问题，凹凸性和拐点这个问题。

啊，凹凸性和拐点。那么，凹凸性和拐点呢？那么，首先第一件事情，我们先来看看凹凸性的问题。凹凸镜。那么，凹凸性这个东西啊，第一件事情利用导数进行判断，凹凸性这个内容一定要进行类比类比单调性进行学习。就说如果这个人在一个区间上。你发现你的二阶导数大于零。请告诉我，

这个区间是什么？那这个人就是个凹的图形，所以说这个曲线是个凹曲线。对吧，如果在这个区间内二级导数是什么？零小于零，你发现这个人是什么？这个人就是个凸起型。曲线就长这样。所以如果二阶导数大于零，就是个凹曲线，二阶导数小于零，就是个凸曲线，所以它这个曲线情况就是这样。那么接下来我还是这个问题，

你要会类比啊，来考第一个人。若什么情况呢？如果对于一个s属于一个区间。你二阶导数大于零。你一定说明这个曲线是凹的，这没有问题吧？好，这是这个事情，一定说明这个曲线是凹曲线。但是有一个问题，能回来吗？能不能回来呀？绝对这个东西回不来。他是回不去的。

你一定回不去。那为什么呢？我可以举个例子。比如说我就举y=x四次方。你看这个曲线是凹的吗？但是你发现这人的两阶导数是12倍的x方是大于等于零。对吧，大于等于零，我不是一定一定大于零啊，没有啊，不是说一定大于零，是大于等于零，它不对。所以如果在一个区间上，它是一个凹曲线。

那说明在这个区间上，二阶导数什么大于等于零，不要单独学要类比着学。一定要类比学那同理一点导一点二阶导数的正负性，决不决定邻域单调性啊呃，决不决定凹凸性呢不决定。除非二阶导数在这个点处连续。能学会吗？是一样的。就是你这个灵活度一定要稍微高一点一点，二阶导数正负性，不决定零域凹凸性，除非二阶导数在这点连续。所以一类比什么东西都结束了，这块东西非常好学，

要类比着学跟单调性是一样的。对吧，你完全可以类比往后面推一些就行，你想不想看一个题？但这个题啊，对我们有点拔高，你想不想看一下？啊，想看吗？有点拔高。看一眼可以吧啊，就看一眼。来把这个选项给我秒了。把这个第三题秒了啊，这是数学二同学的考研真题啊，

这个考给我们就太难了，这不是难，这考太难了，你看看这就不是不是。不是一个档次感的一个考题。你像这种题。你对吧，你看你看他们的题跟我们的这个风格就不一样，你出题的风格都是不一样的。所以我觉得这个有些同学可能按照这个数一数二数三复习，你真的是把一个70分的考点，你按照200分进行去复习了。你稍微的话非常不划算，为什么收200分呢？因为你还有逻辑和写作呢。

它是不一样的，来我们来看看这个题。来看这个点。那么这个题啊，秒了吧？来给我秒了。二阶可导，什么意思啊？二阶可导的意思是，二阶导数存在，只能推出一阶导数连续。只能推出一阶导数连续。选d。胡扯，怎么能选d呢？

胡扯，纯属胡说八道，怎么能选d呢？很明显选b嘛，一点导数正负心。不决定领域单调性，除非一阶导数在这点连续那一阶导数连续呢选b啊。啊，怎么选的呀？这不是秒杀体吗？你注意不是说因为这一年考了这个事情，我们这样讲，我们年年都是这个内容。那么，再来看d选项对不对？

不对啊，一点导数正负二阶，导数正负性，决不决定凹凸性不决定。不决定领域内的凹凸性，除非二阶导数连续，你这个题只能推出一阶导数连续吧，我们再来一遍二阶可导的意思是二阶导数存在。能理解吧，不是说可导推这个什么，不是说用可导说本级的下这个本级连续吗？这是二阶可导的意思，二阶导数存在。只能推一级导师，连续这人不对呀。

然后再看a选项，说在邻域内单调递增，能说明这个点处大于零吗？不能大于等于零，这上节课讲的吧？你三次方，你看你三次方的话，在这个领域当中不就单调递增你这个点处导函数是等于零的不对。如果这个人是all的，能说大于等于零吗？比如说四次方，你四次方在这个人附近是all的呀，是大于等于零不对。你这题不是秒杀题吗？你结果把我给秒了。

这能秒吗？你这种破概念题一点都不难。不就来来回回考那个事情嘛，一点找导数正负性，不决定领域单调性，除非导函数在这点连续一点二级导数正负性，不决定领域凹凸性，除非二级导数在这点连续。然后二阶可导式，二阶导式存在要低一阶，连续来来回回这个问题。你是不是这个事情啊？不难吧哦，这个题我们就讲到这儿来，再来看看下面事情凹凸性的这个定义。

凹凸线定义。那么，对于凹凸性定义啊，我们有三种定义方法啊，这三种定义方法都是非常重要的。那么，接下来我们先来看看这个事情，比如说这里面当中，我们来画一个o曲线，加这个假设，这是o曲线。那么，同学们想想，假设这个曲线是o曲线，注意这个事情很重要。

这个很重要。他去年就想考这个点。啊，非常想考这个点那，所以说这两年我们呃，我一次性讲了可以吗？我一次性讲了，我讲完这个东西，我就讲了。啊，我给你讲讲那个阿达玛不等式，你发现这两年的考题我们很贼，他不考证明他考那个结论。连续好几年都考了这个事情了，那么接下来我们先来看看第一个事情a。

好，我们来看这个题。那么这个题的话，你发现它是这样的一个问题，你所以你要了解我们三九六的同学考勤，他不考证明，他就考你理解。来看这个人。如果这个曲线是凹曲线，同学们告诉我有几种证明方法呀？定义方法第一件事情方法一。用什么用割线定义。割线定义。那么就说这两点的连线就是割线，随便取两点之间的连线，

这是割线。割线比曲线高，那这人呢？就是一个凹的，然后第二件事情切线来定义。切线定义。那么切线这个人定义的话，他怎么处理呢？那么，这个切线定义的话，就说我们终点，你看你随便取一个点切线，你随便取一个点切线，都在这个人的下面。对吧，

都在这个下面切线比曲线低。第三种定义方法。第三种定义方法就是终点。对吧，就是终点，然后这个情况是什么呢？这个人的话是呃，我们走向这个终点是二分之a加b。二分之a加b，我们就是终点处的值。如果对于中点处的函数值。比什么情况呢？比这个东西两端点的话，这个函数值的中位线的函数值啊，要小梯形的中位线函数值要小。

他还是个奥特。对吧，这个曲线也是一个o曲线，能理解吧？这就是这样的一个情况。所以三种定义方法，三种定义方法都能够进行出题。哎，都可以出题，比如说这里面当中啊，我现场编一个题啊。离离。如果什么情况呢？如果这里面当中我们出这样的一个事情，如果这里面当中有一个fs。

呃fs。在r上内可导。且gs等于多少呢？或者是在零到一内可导吧。啊且7s是什么？7s是这个人。是f0。加上f1-f零。倍的x。hs.是f 0+f撇0x。然后则。在零到一的区间内。二节课到了。二阶可导。

二阶导数大于零。则什么情况？在零到一的区间内。会有什么情况，然后这个a选项假设这个fs啊，小于等于这个gs，小于等于hs。然后b选项fs小于等于hs小于等于gs。然后第三个事情，那就是hs。小于等于fs，小于等于gs。啊，然后这个d选项hs小于等于CS小于等于fs，然后这里面当中的e选项。

然后这是gs小于等于fs小于等于hs。怎么做呃？这个题啊，你把基础班部分东西啊，看清楚了之后，这个题就非常简单，而且我这个题出的比较温柔。那么这个题的话，你发现考了一个什么点呢？打就打在这个痛点上。你发现这里面当中的这个事情，这是y这是零这是s。现在而言的话，这是零到一零到一的话，假设你发现这是o曲线o曲线就是这样。

好，这是f so曲线。那all曲线的话，我就很想知道，这就是fs，我很想知道hs是什么？你hs不就是ks+b吗？对吧ks+b嘛，那说明你一定要经过这个点。你必须要经过这个点。然后你的斜率是什么呢？你斜率是f一减去f零比上一减零不就是这两点之间的斜率公式吗？是不是啊？ef一零f0两点之间的斜率公式就是这个人。y=ks+b嘛，

就这个人，然后再来看hs是什么？你hs的话，你看你的结局还是在这儿？但是你的斜率是这点导函数，你这一点导函数不就是切线斜率吗？说明什么情况？说明这个东西是这个点处的切线。那明白了，那上面这个人是f这个什么gs？然后这个东西是fs，你这个东西是hs。所以马上出来，谁最大g最大大于f大于h大于呃选几啊选c？你看这个题就很好的一个题，

就说我们一个题啊，把这里面当中的好多事情都考到了。既把这里面当中的这个什么，把这样的一个呃切线考法割线考法考到了。对吧，这一道题的话，你发现把两种事情都考了。那所以下去要知道这个问题是怎么进行包装的，我们是把这个割线包装起来，把这个切线包装起来。那基础讲义上的话，那道题的话就是这样的一个部分嘛，你再增加一下这个部分一个题，把两个东西啊都放在上面了。跟得上吗？

就是切切线方程嘛。还有直线方程嘛y=ks+b啊，这个不是特别难呢，这个点。好了，这是我们讲的这个第一个事情，然后接下来我们再来看看终点这个人。啊，终点这个点我琢磨一下，我看看。怎么出一个题？嗯，这个大家呢，有时候太纠结这个事情，他有的时候会搞告诉这个二阶导数是小于等于零。

严谨一点，就要写成小于党。啊，写成小味道。好了，那么接下来我们再来看看下一个问题啊例二。呃，这里面当中啊，我们来看一个事情。我琢磨琢磨。嗯。若fs。一的x。二分之一。六分之一三次方。

好，我现场出了一个题啊。嗯，可以啊，这个题。则来。下来a选项。f多少呢？a+b。应该是f二分之a加b。小于等于多少呢？小于等于二分之fa加上FB。其实这样出就简单了。这个东西的话，你发现出题就简单了。

出的稍微的恶心一点，这样出。f.一，这个人。它小小于等于二分之f零加f二。然后b选项。f一大于等于二分之f零加f二，这简直是去年那道仿真题啊。c选项我们再来进行，出f多少呢？f2小于等于二分之。f1加上多少？好了，我们不管了，

我们就出这两个选项。简直就是去年的真题的仿真题。但是这个题的思维方式的话，操作性又很强，你看这个题也就说那我直接把它带入进行计算。你把一带进去不好做，你把零带进去确实好算，二带进去你发现这个题其实不好做。你直接做是不好做的。那这题考了什么呢？这个题你得稍微转一下，你把这个一写成多少二分之零加二？它就小于等于二分之f零，加上f二。那这样的话，

你发现这个题的操作性就变强了。那因此这个题就是中点和中位线的函数值，那这题考什么呢？就考了这个的一个什么凹凸性？所以说对于这个题而言，我们其实就转到了凹凸性一阶导数，就是es-s再减去。这是多少？二分之x方。然后再来进行求导，然后就是es-1-s，那么请同学们知道这里面当中有一个重点的不等式，还记得吗？基础班讲的啊es- 1大于等于s，这个重点不等式，

这个不等式非常重要，考研黄金重点不等式。所以说这人大于等于零，因此这个曲线是一个o曲线。那既然是凹曲线中点处的，值会小于中位线的函数值答案，选a这题出的太好了，对吧？啊，这个题这一题啊，等会儿我下去得把它摘录一下。好了，这个方向性你发现一开始非常的迷惑。对吧，你这地方当中就有迷惑点呐。

因为你想想一个事儿，这个题你怎么会想到这个凹凸性，这个东西是个难点。你要注意一下这个事啊，这个题目很像去年的考研真题。有点仿真体那种感觉。啊，这个点打在这个点上，那所以你发现你看你这个东西设置点设置的这个函数也很重要啊，就是这个。好了，这是这个事，你不你看如果写a和b，你发现很难想要很好想a和b就太简单了。好了，

这是这个问题。你把一带到这里面。一个点大于零，你能说所有人大于零吗？另外一件事情，这个不等式，不知道简直是考研的遗憾。呃，这件事情我们讲的定积分的那个定义当中，你发现去年呃，这个定积分定义当中的话，这个事儿我们会重点来看的。啊，到时候我们讲这个定积分定义那块，因为考几何意义那种题，

我们会重点看这种事情比较定理当中啊，非常喜欢考。好了，这是这个事情，那么接下来我们再来看看下面一个重点。呃，该继续去补的，一定要继续去补，对吧啊？这个点。好，那么接下来我们来看一个重点问题。啊，就是一个什么事情呢？有一年的考研，

我给你看一看啊，你稍微知道这个考研的这个方向。你稍微听一下。呃，就是这个事情。你看到这个题了吗？这个题啊，是二零二二年。数一数二同学的这个压轴题。但是同学们注意，我们不需要那样做，我们只需要知道这个阿达玛。不等式就行了。就这个人哎，我们知道这个怒气就行。

所以我们这个考题啊，这个。很贱很贱啊，这这考过啊，这这是这是二一二二年，这这两年考过的题，你要注意一下。那么，在这个当中啊，我稍微说一下，你记结论就行，不要证明你证明的话，这个太难了，我来给你讲讲这个事情，这是考研真题，

我们考研真题考过这个事情。那么其实你对于我们三九六同学怎么去学呢？我会给你讲的，你要这样来。y这是零，这是s。这个东西到底在考一件什么事情？哎，考这个东西的话，你发现非常容易，他考了这个事。比如说这是a到b。哎，考a到b。这是a，

然后这是到b。那么，在这里面当中，我们看看最重要问题就是中间这个人。中间这个人是什么呢？它是这样子的，大家听好了，这是a到b吧？a到b我们来看看这两点。a到b，然后这个定积分是这个部分面积，然后你来跟我看看，你把这两点连起来，这个梯形面积是多少？梯形面积多少？

梯形的话，你就发现fa+FB，你看梯形。那梯形的面积就是上底加下底。乘高除以二，你再乘以上高，是不是这个人梯形的面积，然后接下来我怎么去把这个终点用起来呢？这是二分之a加b。我看你水平怎么样，然后二分之a加b的话，有人说那这个这个人的话怎么用高度呢？可能说这个面积你这个面积你能保证这个部分比他大吗？保证不了，你看水平点太菜。

怎么看呢？这样看。过这个点做切线。高手啊，绝对的高手，你发现因为切线一定会在下面。你给我计算一下，下面这个人的下面这个题型。你都知道这个梯形的面积的话，其实就是这个函数值，这个函数值就是f它加上f它。你给我看看这个部分。你看你给我这个人做期限。这个切线的话，他刚刚好的，

他一定会切在这个人下面。你这个时候你发现你这个人的函数值。对吧，你这个高度就是两边的加和。相加和除以二，所以说f二分之a加b。这个人就等于两端加和除以二，你再乘上b- 1。是不是这个事情，所以说我们就得到了，得到什么东西呢？得到这个梯形比曲边梯形面积大。比a到b的定积分的面积大。你比这个大，比这个大，

然后把b-a除过来就行。就考了这个事情。所以我们的考点内容就考了这个方向，你注意啊，这个不等式啊，对于我们而言，你只需要把这个东西啊给记住就行了。注意对我们三九六同学，只需要记住这是压轴题啊。能学会吗？应该是学会的吧，你不要说用那个点的函数值，那个水平点太菜，你无法保证那个东西比它大，但是你这样一看的话，

这个水平点就相当的高超了。你发现这个题是不是在考凹凸性的这个定义啊？你凹凸性的这个定义的话，你看。割线，曲线，切线。是不三条线割线曲线切线？所以说这个人呢，注意哦。我们三九六。同学只需。知结论。即可。一定要理解，

看图理解。啊，一定要看图理解能听懂吧，看着这个图，然后进行去理解，所以说这个二分之afa加FB。然后一定是大于b-a这个定积分比这个人大的，但是要注意一个前提条件，二级导数得什么零大于等于零。对吧，二阶导数得大于等于零，有一年就考了这个事情。哎，考研题就考了这个问题，所以说这个人呢，

一定稍微注意一下，你想想我问你个事儿，如果你是个出题人，你会怎么考？你会出这样的一个题。尤其是零到一对吧？你比如说这个二阶导数大于零。这考研真题考过的啊，我们就考这个事，它考几呢？考零和一零和一零和一也不好，那你就考零到二。那零到二的话，你发现你这个结果是多少？你这人就是f1。

然后这人就是多少二分之一零到2 fs ds，然后小于等于多少呢？你小于等于二分之。f 0+f二。但是最重要问题，我们要会进行理解，我觉得如果考场当中你记不住都行。大家注意啊，就算这个不等式，你记不住，你就直接绘制到这幅图也行啊。那f把这幅图画出来也出来了呀。你说这是我们考研真题考过的，这事情你所以下去一定要好好想想，这不是不考的。

所以你一定注意，我们强化班点的这些东西，一定要把它消化，而且你要适合这个三九六同学的考情，你要是光听数一数二数三同学的课，你听不到这个知识点。你根本听不到，如果你去看数一数二数三同学的课，这个题我们会放到中值定理的泰勒展开来讲。泰勒展开你学的那个部分忠实定理，你早都不听了。因为那个中值定理的泰勒展开这个部分的难度系数是比较大的。我给你稍微看看这个事情。啊，你像这个泰勒展开做的这件事情，

你像我们三九六同学，根本就不会再看了。你怎么可能会考到这么难度系数大的题，两分钟内做完，你根本做不完，你肯定做不完，你看这种题。你所以你就根本听不到，然后你非常不适合我们三九六同学的考情，我一而再再而三的跟大家讲这个事情。要注意这个问题啊。所以像这个问题啊，下去过程当中啊，好好进行，把它看要理解这个事情，

我给你看看这个真题。你看大家来看，请告诉我一件事儿，这个题是不是考了它？我就问你一个事情，这个题是不是考的他？啊，你来看这个题。这是我们二零二二年的考研真题，你告诉我是不是考了它？你看这个题。那不就考这个问题吗？那二阶导数大于零，你知道这个题就秒了呀？你或者上来过程当中，

你画个图对吧？你你作为一个高手的话，你再去做这个题不就是零到二吗？你把这个连起来，然后这个终点再切线连起来。结束本题结束了。然后这个时候你看割线这个面积对吧？割线这个梯形面积大于这个曲线梯形面积呃，曲边梯形面积大于这个梯形面积结束了。那这题就完了，你看不就考零到二吗？那所以你一定要注意，我们三九六同学的考情，为什么有些同学半天做不出来呢？你在这个强化过程当中，

没有强化上来，你后面水平点会非常差的。你所以要了解我们的考情，你看这个时候你其实你会发现。这个三九六五同学，我们我这个课程呢，跟这个数一数二数三，因为我我也讲那个部分，你看我每次课程的话是两套体系。因此，你一定要注意这个问题啊，这个知识点好了，那么这个内容我们就讲到这来继续，我们再来看看下一个问题，凹凸性的求解步骤。

凹凸区间。那么，凹凸区间的求解步骤，那么接下来我们就继续看那对于凹凸区间的求解问题，第一步干嘛？来看看这个第一个事情。第一个部分先干嘛呀？类比类比啊类比凸不一样，凸不一样，只有凹的是这样。凸的可不一样，你可别乱来，你可以去试一下。当然，它是大于零的数是可以的。

大于零可以的。就是必须在上面的时候是可以的。凹的时候的话是永远成立的，你去看看那个不等式。当然的话，你刚才你说凸的话，你可以设置一个场景嘛，你说它一定是大于零的，它设置这种题，你这个点处切线，这个割线，你看又是一道新题。哎，这个题可以编一下吧，就可以编一道非常好的题了，

也是可以要大于零就行，你就记住你见到这种题画图就行了。你不用背这个不等式，不要背，不要背这个不等式，见到这种题目画个图就行了，好了，我们来看看凹凸区间第一步。先干嘛？看函数的定义域。第一件事情，第二件事情干嘛呢？来再来看。求二阶导数。找二阶导数为零的点。

与不存在的点。是吧，就是拐点的这个这个情况，其实就是凹凸性发生改变的点拐点嘛。可疑点就是二级导数为零的点，二级导数不存在的点。根据上述点。上述点将定义域。划分成。若干。子区间。啊四区间。判断正负。那这就是我们在这个操作性的这个方向，对吧？

你要理解一下这个事情跟得上吗？这跟我们上节课讲的单调区间有什么区别啊？没多少区别，他们还是看定义域，他们求一级导，我们求二级导对吧，然后划分若干区间，然后怎么样是一样的来再来看这个题。幺幺零这个题。呃，我再强调一个事情。我们下次看到这个事儿，你能想到吗？能想到就行了，我们不谈过去了，

谈过去老是谈过去，没有什么意思了。你发现你上课再让我哭笑不得，我还是得给你把这东西啊，给你得讲清楚。这个你下去的话，该进行去处理的，你得好好处理。啊，那没办法嗯。那自己学生怎么办？所以你下去，你把这些东西能不能保证下次过程能记得来看这个题吧？那么，首先第一件事儿，

我们来看这个定义域是什么？定义域是r。那么，接下来我们来看看这个事情，第一件事情你先求一阶导数三倍的s方，减去十倍的s+3。然后再去求两阶导数六倍的s减去诶，这是十倍的s。对吧，然后再求两节导数减去个十。就变成这个人了，那变成这个人的话，你自己来看，你可以提出一个二，然后这是3x减几啊，

3 x- 5。那么，对于这个东西有没有二阶导数怎么办？不存在的点呢？没有，只有二阶导数为零的点，这个二阶导数为零的点一减三分之五。那么，三分之五的话就划分成两个子区间。y这是零二阶导数，然后这是x那么这个时候的话，它是增上去的，这是三分之五这个点。左半边是负的，左半边二级导数小于零，

小于零的话，它应该是个凸曲线。这半边二级导数大于零，它应该是个o曲线，那o曲线呢？三分之五到正无穷选c啊。好像这种基本问题一定要会对吧，就是找到二阶导数为零和不存在，然后划分若干子区间就出来了。再看一个题，看这个题。幺幺幺。哎，看这个题目。来解那么这个题啊，

他让我们去求凸曲间那首先第一件事定义域是多少定义域r？arctangent题嘛是r，然后先求一级导先对中间变量，求导中间变量，再求导值一+s^2分之一。然后再来去求两极导，两极导是前导。对吧，前面求导了之后，中间变量再求导，后面不导，那就是这个东西有两个。然后再加上前面这东西不倒，后面东西来倒，后面东西怎么倒？

首先对这个人求导负的这个人的平方分之一。然后中间变量再求导是多少是2s？跟得上吗？然后把e的arctangent x和e+x平方分之这个平方分之一，这个东西抽出来。不就是一减二s吗？这有什么好打点的呢？你是不是看难算了，这叫难算吗？这一点都不为难算的啊，这东西。可以了吧？好，这个事情就变成这样，这有什么打点给我取消了啊，

对吧？你这种运算魄力都没有吗？你得会算，然后接下来有没有二级导数不存在的点？你这个东西横为真没有？对吧，你只有这个东西等于零的点，那所以说这个人的话就是二分之一，那二分之一的话，接下来我们再来看。你要判断这个人正负心，然后这是两阶导数。啊，这个人。那么，

这个人的话，其实核心重点看这个一+2s。一减一减二s一减二s应该是个减的，你看这个人是正的，你这人是正的，你就看这个人，然后这是二分之一。这跟第一充分条件，没有让去求拐点啊，这跟第一充分条件没关系，凹凸区间嘛，左半边是什么？左半边是正的。那就是负无穷到二分之一是什么？正的话就是凹的。

然后右半边是负的。右半边是负的话，它就是一个什么二级导数小于零，你小于零就是凸曲线，所以说它的凸曲间是多少二分之一到正无穷。所以答案选几选a啊，以后见到这种题得秒啊，一定要会做。好，这个问题点呢，我们就讲到这凹凸区间的这个判定性问题可以了吧？行吧，那么这个问题啊，我们就说到这。啊，

跟上这个意思就行了，所以你要想清楚。那么其实就是你把这个凹凸区间的话找到呃，然后再进行去判断嘛。然后接下来我们就继续，我们再来看看考点二，我们来讲讲曲线的拐点的问题。在拐点当中也要进行类比。拐点要类比极致耐学。即使怎么学我就怎么学，只不过有一个定义比较出众。定义是什么呢？拐点的定义是？曲线上。凹凸性。

发生改变的点。啊曲线上凹凸性发生改变的点。那也就说我们在这里面当中要稍微注意一下。它一定是凹凸性发生改变了。哪个点处的凹凸性发生改变？比如说你看这是凸的。从这个点开始又变成凹的了，凹凸性发生改变的点是拐点，所以这个点呢，你得写成坐标。拐点必须写坐标。拐点可不能写横坐标，拐点要写成x0y0的样子，但是我们考的是选择题，那所以说我们又会很轻松。

那选择题而言的话，这些部分。对吧，你直接进行去考这个什么就基本上而言。对吧，这个东西啊，凹凸性发生改变的点。你就在这么写坐标，反正我们选择题我们一看是坐标就行了。你只需要判断就行，然后可疑点呢？可疑点有两种，只是嫌疑人第一种点叫什么？叫做二阶导数为零的点。有嫌疑，

一种点叫做二阶导数不存在的点有嫌疑。能听懂吧？好了，这是这个事情。你是我教的学生吗？啊。来判断一下吧，这句话对不对？啊，对不对啊？拐点一定是二极导数为零的点。所以说大家注意一个问题啊，你发现拐点的可疑点有两种，一种点是二阶导数为零的点，一种点是二阶导数不存在的点。

对吧，一种是二级导数为零，一种是二级导数不存在的点是嫌疑人。是可疑点。对吧，可疑点能成为拐点的人，有这种人也有可能是这种人。只是嫌疑。对吧，仅仅是有嫌疑，未必取哦。所以还还记得原来过程当中，我们去讲过这个事情，对吧？说这个东西是个拐点。

能够看成为拐点的人有两种，一种点就是二阶导数为零的点。一种点叫什么叫二阶导数不存在的点，只有这两种点。但是这两种点的话，你发现一个事。不是不完全对，是绝对不对，这是纯属胡来的，别别别乱来啊，不要不完全对好了，好好听就行。不完全对也行，你说的也行，好了，

不扯这些东西了，一会把一些同学给搞混了，所以说你会发现，要不然是二级导数v0的点。要不然是二级导数不存不存在的点。能听懂吧，药丸是二级导数不存在的点。所以说这个事情啊，你要想清楚，有可能是二阶导数为零的点去了，有可能是二阶导数不存在的点去了。所以我们经常讲，如果说什么呢？如果这个函数。已经在这个点处。

取得拐点。注意一下这个事啊，取得拐点的人只有这两种，如果这个人取了拐点了，已经有人上位了，那你告诉我这个人上位之前他是什么情况？它要不然是走二阶导数为零，这条线要不然是走二阶导数不存在的这条线。但是我就想让你走二阶导数v0这条线呢，加句话，如果这个二阶导数一定是存在的，那就不可能走这条线。所以一定是二阶导数等于零。叫做取拐点，且二阶导数存在二阶导数为零。

对吧，取拐点且二阶导数存在二阶导数等于零二阶导数不存在的点也有可能成为拐点。所以说你下去过程当中，你去思考这种事情就毫无意义，我问一个事情，二阶导数为零的点一定是拐点吗？不一定，你也有可能不取啊。你未必取，你只是有嫌疑吗？你有嫌疑，谁说你一定取啊？你不一定啊。你是一个可疑人吗？你是拐点，

一定是二级导数v0的点吗？能最后上位的人有两种，要不是二级导数v0，要不是二级导数，不存在这也不对呀。你讨论这个东西有什么用呢？你就记住二阶导数为零的点是拐点的可疑人就行，至于这个可疑点有可能取，有可能不取。就理解到这儿就行了，你天天去想它什么关系，拐点一定是二级导数v0的点不对，二级导数v0的点也不一定是拐点。然后不是拐点的人，不不一定是二级导数杯，

你天天思考这个东西干嘛？嫌自己不够累。嫌嫌自己学的不够好吗？是不是这个事情，所以不要这样啊，好了，那么接下来我们继续，我们再来看第三个点拐点的第一充分条件。那么，第一，充分条件，这里面当中呢？我们的核心重点判断的是什么？判断的是二级导数。对吧，

核心重点判断的是二级导数，二级导数在这个点去心领域两侧一号。那左半边是正右半边负左半边负右半边正，那这个人呢？就去拐点是不是啊？是不是啊？哎，注意这也不对。你如果左半边是正，你只能说明这半边的去心领域当中，它是个凹的。负的你只能说它是凸的。但是这个点呢？拐点必须在这个点处得有定义吧。曲线上的那个凹凸性发生改变的点，

你这个点都没有意义啊，你怎么是拐点呢？你必须要保证这点有意义。所以说求拐点的时候还是要先看定域。先看定域，你这个点都没有定义，它不会取拐点的。所以这里面当中的大前提条件跟极值一样，不一样，一模一样，就说如果这个函数。它在这个点处是什么连续的？左边正右边负去拐点，左边负右边正去拐点，如果左边正右边正左边负和右边负呢，

这两个部分呢，它都是不取的。所以核心重点看的是什么？看的是区域性领域。对吧，看的是去新领域，同学们想想，只要看到去新领域的时候，我又会想到什么？我又会想到保护性的内容了。它有可能跟极限一块考。对吧，你不就想看去心邻域两侧正负性发生改变吗？那这时候我怎么办？我就可以用饱和性了，

你看这就是水平点的上升。然后再来看看第二充分条件。拐点的第二充分条件这样说的。如果说这里面当中。二接导数等于零。且三阶导，数不为零。那这人呢？我们一定会取的。如果这个人的话。二阶导数等于零。三阶导数也等于零的。这件事情就无法判定是未知的。哎，就不知道了，

所以操作性的方向就是这样，因此这个拐点，这个事情，它的方向非常的精准。这就是这个事情，因此你在考试过程当中，如果遇到拐点的题怎么办？拐点的题先找拐点的可疑点有二级导数为零的点，二级导数不存在点去求导，求到二级导数为零，二级导数不存在。然后接下来看，如果二阶导数两侧的正负信号派选第一充分。二阶导数这个什么？如果这个二阶导数的该点的三阶导数值好求。

二级导数等于零，三级导数只好求我用第二充分条件。如果这个人的图像好画，我们选定义法。你听得懂我的意思吗？所以说做拐点的问题，知识点得在脑子里面类，比于机制来做，稍微等会儿，我讲两个题，我们下课。先看幺幺二这个题。呃，下次课程呢？像那种问题我不回答了啊，

严重的影响这个上课的这个效率呢啊。那么，接下来我们看看幺幺二这个题。那这个题啊，他说这个曲线有一个拐点，同学们注意他已经上位了吗？他已经上位了。已经上位的已经成为拐点了。已经成为拐点，说明它有两种情况，它要不然是二级导数为零的点，它要不然是二级导数不存在的点。嗯，所以说在这里面当中啊，你就去求一下二阶导一求是三倍的s方，

加上二倍的as+b。然后再去求两极导6s，加上2a，然后接下来看看，在这个点处呢，这个点处刚好是负六，加上2a，它肯定等于零。为什么你要不然是二阶导数为零的点？你要不然是二阶导数，不存在的点。没有第三种情况，只有这两种点才能成为拐点，所以现在你这个人是存在的，你不可能是不存在的，

你存在呢，你存在就为零嘛。所以说二阶导数如果取拐点，二阶导数存在二阶导数一定是零。能听懂吧，所以说这里面当中啊a就出来了a就等于三，但是这个题很尴尬，让我们去求b耶，那怎么办？拐点一定在曲线上，就把它带进去。代进去了之后y是零，然后这人是负一，你加上a-b+1，所以说a-b这个人等于零。

a就等于b=3，所以正确答案选几啊选e。这个题有一点没有出好啊，出的不是特别好。这个题的话，应该适合把这个人改成二。改成二了之后a就不会等于b。a不会等于b有些同学只是求出了a，他选了一蒙对了，人家让你去求b呢。所以这个题啊，就不应该一样，我下次改一下，把这给你改成二改成二的话a-b就等于负一，那这个时候的话b应该跟这个东西不一样啊，

好了，这个点。然后接下来我们再来看一个题，来看看这个题。这个题啊，非常好。啊，这个题。但是对我们在这个做这个题的时候啊，他又会很简单。它简单的点在哪呢？你发现它这个题让我们去求这个拐点，那是不是要求二阶导这个题的难点？很多同学就在求导上。那前倒后不倒，

再加上前面这东西不倒，后面来倒那是三分之二次方x多少？负三分之一次方。好求这个人。求这个人的话，你发现我可以稍微的把它进行整理一下，你整理一下了之后就提出一个多少三分之二次方。你三分之二次方提出来之后，我们来看看这个人。那这个前面这个人就变成了一，然后后面这个人的话就变成了三分之二倍的x减五。你再来怎么办？乘个x好做成这样了。那因此这个人呢？你把这个三分之二提出去，

提出去的话，这是s的三分之二次方。那这里面当中呢？这就是二分之三了。嗯，提一个三分之一吧。提个三分之一出去了之后的话，这是三分之二次方，然后这人就变成了解，变成了三，然后是二倍的。x倍的x- 5。好，这是这个事情。啊提一个负三分诶。

不好意思，提一个负三分之一出去。然后这人变成了x，然后再加上多少？再加上一个多少三分之二倍的s减五啊？然后接下来我们就来把这个稍微整理一下。那这个人就变成了三分之几三分之五s减去三分之十。然后接下来把这个什么东西呢？把这个三分之五提出去s负的三分之一，然后这个时候就是x减几减二。好，这人做成这样。做成这样了之后。然后接下来我们再去求二级导。这个题的难点就在这儿。

三分之五，然后前面这人求导你，前面这人求导是负的三分之一，那负三分之一的话，这是负的九分之五，那这样吧，直接来吧。这是负的三分之一s，负的三分之四次，方前导后不导，然后再加上前面不导。后面来导是它好，这个点呢，就做成这样了。做成这样了之后，

然后接下来看看，把这个题当中的多少题出去。你可以提一个负的三分之几呢？三分之四对吧？你先把三分之五提出去，然后这是x的负的三分之四。提出去，这是负的三分之一s减二。然后这个时候一提的话，那这人是多少？这人刚好是x。好，做成这样，那做成这样的话，这是三分之五倍的s负的三分之四，

然后继续来看那这个人的话是多少？是三分之二，然后再减去三啊，这是x再减去加上三分之二。好，做成这样，因此这个人是三分之五三分之二x负的三分之四x加一，这题恶心就恶心在这儿。好这个人，然后接下来我们再来看看这个下面一个问题，那这个时候就变成了这个情况。变成了这个情况了之后啊，然后接下来再得去找。你找多少呢？你这里面当中去找这个拐点，

你就要去求二阶导数为零的点为零的点是谁了？就是s=- 1。然后第二事情还有不可导点。is=0处二阶导数不存在。这个点也是。所以说这个时候你要发现一个事，你看这一里面当中就变成了这个人，就说在零处这个二级导数，你要注意写成三分之四分之一嘛。临处也不存在。但是你要注意做题，要看定义域。这个定义域是r。对吧，这个定义域是r。

那么，这个时候的话，你发现这两个点都有可能性，所以说现在而言呢，你这个选项肯定不选。对吧，这个题的话，你就发现这两个人肯定不选跟这个人没有什么关系，然后接下来的重点就是来判断这个人的正负心。那么，首先我们来看看负一处。那负一处的话，你看你这一项永远是正的吧？这个东西他应该是写成三分之四次方嘛。你x负的三分之四次方其实是多少x？

它的三分之一次方在四次方。就是x负的三分之一次方再来四次方，这个东西永远是正的，这能看懂吧？然后的话，你发现你看这个人上去，你左边负右边正这个两侧变号了，还是没变变号了，他取。它是拐点，然后看零处呢，零处的话，你看零的左右，这个人永远是正的。零的左右，

这个人永远真的，而这个人永远真的，这个两侧它怎么办？没有变号，它就不取。所以说对于这个题而言，只有负一取那负一的话，要取的话，你还要进行求值，你把负一带进去，你负一带进去的话，这是几？负六所以说这个结果是等于负六。到这个情况。所以对于这个题而言，

它的比较重点的一个问题在何处呢？最重要的问题就是这个丘道上。而这个求导是我们的一个基本能力，所以在这里面当中，你不用在这个求导这个上面继续去纠结这个东西啊，怎么算都很简单。这个求导怎么算都很简单，但是关注点一个问题，就是你提出来之后把这个整理整理完了，很简单。所以说这个题的痛点应该是在这个球道上，你不要见到这个东西，你不喜欢球，你要喜欢球，对吧？

你一定把这个东西啊，好好进行去求解一下。就是这个东西，这个计算把它打通了就行。好了，这个题啊，我们就讲到这，那么今天课程呢？我们就说到这。然后这个这个今天呢呃，作业也是没有多少作业，你去把那个800题当中啊，你自己原来的话做基础的800题，你上面那些错题啊，你把它再做一做。

然后的话，这个等我们下节课，把那个什么把那个渐近线曲率，还有这个方程根和零点讲完了之后。然后的话，我们下节课就可以把第二章我们收尾了，第二章收尾，我们就直接进入到一元函数的积分学，所以对于高等数学而言的话，还有后面的两大章部分的内容。啊，那么今天课程呢？我们就讲到这，然后同学们做好这个预习呃，很多同学已经预习好了，

就是那个渐近线和曲力已经预习过了，那就不用预习了。那下次过程当中就没有什么预习任务了。你就把这个东西啊，该做的东西啊，做好就行噢，今天生日是吧噢，生日快乐。啊，好好加油啊，这个暑期还是好好稍微的努力一点，我相信大家之后啊，你只要把之前的部分的东西一定注意。就是最重要的点就在这。你要保证的问题就是学过的东西，

你千万不要忘，你看有些同学这个下去很明显，不复盘不整理，你这样下去的话，你发现这个成绩很难上去的。概念非常的混，讲了一遍两遍三遍四遍的东西，仍然而言的话一点都不清楚，上课好像在那个点上顿悟了，结果呢，之后的话什么东西都不记得了。这可不行啊，好了，那么今天课程呢，我们就讲到这吧。

可以了吧好，这是今天课程吧啊，这个是快12点半了，你们吃饭去吧。好不好？好像我们下次课程的话，看看是什么时候啊？好像是上午还是这个还是这个晚上啊？下次我们再说吧啊，好那么今天课程呢，我们就讲到这，自己下去把这个相对问题好好处理，一定要好好整理。啊，一定要好好整理。

行吧，那么今天课程我们就讲到这呃，晚上的话还有呃，晚上还有一个规划课程，稍微注意一下就九点半。我今天晚上会重点说一下，这么长时间段内啊，强化班很多同学出现的一些问题，我们今天晚上重点来聊聊。好吧，那么今天课程我们就讲到这，快吃饭去吧，好晚上见啊。

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