10.冲刺满分强化篇·题型15-16精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:09:16

好同学们，行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六的暑期强化班的课程呃，上次过程当中啊，讲的这个内容还是比较关键啊。呃，

作业做完了吗？就是我们前面部分呢，布置的这个作业呃，上次作业啊有三个部分内容构成一个部分呢，是我们的这个呃，导数定义部分。一个事情是我们的微分定义，还有这个导数计算，还有这里面当中的微分计算，还有这个切线方程的问题啊，所以说三块内容。导数和微分的定义，导数和微分的计算。然后第三件事情其实就是我们的切线方程和法线方程啊，一定要把它做完啊呃，

我看一下时间吧，然后我们呃，因为我这个今天得。呃，回趟北京，然后的话，我看看晚上的时间呃，要不然今天晚上我们就把它讲了好吧嗯。好了，那么接下来我们就直接开始，我们先来回顾复习一下这个上次过程当中的核心知识点啊。第一件事情那么其实我们在上次过程当中啊，讲的这个第一个问题其实就是我们的这个反函数。求导的问题。呃，

这个点呢，你发现一个事情反函数求导，其实这个东西呃，在我们的考研过程当中没有怎么出过题，所以说今年过程当中啊，稍微进行去注意一下这个事，对吧？反函数求导啊，两件事情，一个事情就是套公式，无论是第一类反函数还是第二类反函数，那这个东西啊，你都要进行去套那个公式。然后第二件事情一定要做好自变量的切换，对吧？

做好这个自变量的切换这个东西啊，非常的重要，然后第二个事情就是高阶导数。那么，对于我们而言呢，高级导师的前两种方法都比较重要一点，一个事情叫什么呢？一个事情就是公式法。对吧，你最起码的这个公式，你得把它给我记住啊。那么像那几个，尤其是as加b分之一，对吧？这个东西常考，

还有这个l nas加b啊，这个l nas加b你求导了一下之后啊，它其实就变成了。as加b分之b的n减一阶等，对吧？这个第一件事情还有莱布尼茨公式。啊，这里面当中要注意啊，有一个莱布尼茨公式。这个今年过程当中啊，考的这个几率啊比较高一点，还有第二件事情，泰勒展开法。干嘛呢？对吧啊？

别在那胡扯啊。好了，这是这个泰勒展开法。所以我们在这里面当中啊，这个核心重点泰勒展开法对吧？你就要记住一些常见的泰勒公式，那么如果把这个人呢展成多项式。每一个东西的前面的系数啊，这个东西我们就能确定下来，然后常数项系数其实就是f零一次项系数f撇零。二次项系数啊等于二的阶乘分之撇撇零对吧？这是这个事情，然后最后一件事就是递归法。啊，递归法。

好了，这是我们在这个上次过程当中啊，讲的第二个问题，然后讲的第三个问题啊，其实就是切线方程，还有法线方程。那么，这个当中啊，我再强调一遍，一个事情，我们所写的这个切线方程和法线方程是过曲线上的一个点的切线方程和法线方程，能理解我的意思吗？过曲线上的一个点的切线和发现你，比如说我们有一年的考题啊，这件事情我们三九六同学呃，

我们会出这个问题对吧？就这件事情。预习也发到这个就不用了吧？预习每次下课之前呢，我都给你提示了，对吧？呃，有一年的话，我们三九六同学可能会出这种题，这种事情在数一数二数三同学的话，这个部分呢啊，没怎么出过。那么，接下来我们来看看这个事情。来那么这里面当中，

我来出一个题。比如说啊，我们说求解什么呢？过这个一个点一零点。对吧，过一点点应该是球。求过一零这个点。对吧，然后。的ln x的切线方程。对吧，这件事情过这个点。它的一个切线方程。你这个时候怎么求啊？好，

我们来看一下这个事情。呃，零一点吧，零一点一零点就在上面了，零一点。那么，在这里面当中，我们来看看这个事情，你看这有一年考题啊，他就考这种风格的题，那这件事情其实就是一个这不是一个。大学部分问题，这是一道高中题呢，但是对我们三九六同学他出啊，所以你得会对吧？

那么接下来我们来看看这个事儿。你发现这个是一个歪点。诶，我发现这个。每年暑假都是这样，这个电脑异常的不灵活。这工作量。是他有点想罢工了，对吧啊？好了，这是一个ling。lns，然后接下来我们就继续我们来看看这个事，然后接下来过什么东西呢？过这个零一这个点呢？

对吧，过这个点他做的这个切线方程，所以说这里面当中啊，你就发现一个事儿，过这个人做这个切线，那这个时候啊，它的切点在哪呢？这个切点就在这儿，能理解吧，哎，所以说这里面当中啊，你发现就是这样的一个意思，就切点在这儿，你不能用我们昨天呢啊，应该是上节课讲的那个切线方程。

绝对不能用，所以这里面当中啊，你得把这个切点怎么了？你设出来，你设这个切点为多少？设这个切点。为x0，然后是ln x0。是吧，然后接下来你发现两条曲线相切呢，那么首先第一件事儿，我把这条线变成红色线，那你告诉我这条红色线的切线方程怎么写啊？这个斜率怎么写？两条线相切，

肯定在这个点处斜率相同，那么这个点处斜率啊，两点之间的斜率公式呗，那就是ln x0。再减去多少一比上s0减去减零就y2-y一比上s2-s一，然后等于多少呢？就等于这个什么，就等于这个l这个函数在这个点处的切线，那这个点处切线等于多少s零分之一，所以说这个时候啊，你马上就把这个东西求出来了。它就等于二，因此这个s0等于多少，它就等于e的平方是不是出来了？好，

等你把这个出来之后，那么这个时候我们就出来了。斜率是多少？那这个斜率的话，其实就是l呢，那这个切点也出来了，那切点这个部分是二那所以说就是二减一比上多少呢，比上这个一方怎么办？一方再减零啊，这就是斜率，所以说是一方分之一，因此这个人的切线方程他就结束了，那切线方程就等于多少y=ks+b呗。这个人s加上这个b啊，是一。

能理解吧呃，这种题啊，非常非常的简单，这像一个什么题啊，这是高中题啊。对吧，它都不像那个大学过程当中出的这种问题，它特别像一个高考题好了，这件事情你要稍微注意一下。能会吧，如果它这个点不在曲线上，不在曲线上怎么办？你就设这个点啊。看不懂啊。这要看不懂这个问题点呢啊。

这是红色线的斜率。然后这是什么？这是这条曲线的斜率吧？曲线的话，你发现ln的导函数不就是s分之一吗？你这是个强化班的同学吗啊？好了，那么接下来这个点呢，我们就讲到这好，这是我们在上次过程当中讲的核心问题，那么接下来我们就继续吧，我们来看看下面一个重点内容。我们来看看上次过程当中啊，没有解决的问题，先看91题，

这个题来解吧。好，那么接下来我们来看看这个题啊，来求解一下。好，先看第一个题，那么这个题啊，你发现一个事，他说这个曲线在这个点处的切线方程，所以首先第一个事情你要进行去检验一下。这个点到底在不在线上？你把这个点带进去，你发现e的零是一吧，然后这是摊着你四分之派，那这个结果是一吧，

所以说这个点呢，就在这条曲线上。所以你会发现那这个人的切线方程怎么写呢？这个切线方程就是y=0，然后再加上零处的导函数，你再乘上个s- 0。所以对于这个题而言，核心重点其实就是求解零处的导函数。对吧，零处导函数，你看这个零处导函数到底是谁？是负二还是二？是负一还是一还是负二啊？还是二分之一？所以接下来我们就来求解这个导函数，

那你想想这是一个什么东西啊？这不就是一个方程吗？左边有sy，你看这边也有y，所以说这个东西就是一个隐函数，求导那隐函数求导的话就是方程，两边同时求。那就是second，然后这个东西的平方，这对我们而言非常普通啊。对吧，然后接下来你发现中间变量，再求导一+y的导函数，然后这里呢，先对中间变量，

求导中间变量，再求导。注意不要把它给我写出来，直接怎么办？把s=0 y=0代入。你代入进去了之后啊，你就可以求解了，你先看这个人，那这是四分之派cos 4分之派是多少二分之根号二？平方下是二分之一，翻一下这个结果是二二倍的一加导函数，那这个结果等于多少？它刚好等于导函数。所以说这个导函数结果就等于几啊，你发现这个移过去移过去，

这个结果就等于负二，所以说在零处的这个导函数结果就是负二。没问题吧，因此这个结果它的正确答案选择a选项。呃，这种题啊，我们还很喜欢考。所以说对于我们三九六的同学，有的时候不要好高骛远啊。那这个点的话，你发现常规的问题，一定要把它拿下来，好91题，那么接下来我们再来看看92题。来看看这个人。

那么这个题啊，考察了一个事情，说这个曲线在拐点处的切线方程，那问题来了拐点。对吧，那对于拐点而言的话，你发现一个事儿，它的求解方法怎么做呀？那么，首先第一步是不是要进行去找可疑点呢？对吧，先找可疑点。那拐点的可疑点有几种啊？有两种，一种点叫做二级导数为零的点，

一种点叫做二级导数不存在的点。除了这两种点之外，没有第三种点能够取拐点。要注意啊，可疑点。嫌疑人只有两种，要不然是二级导数为零的点，要不然是二级导数不存在的点，那就赶紧去求二级导一求，这是2s。然后这是x分之二，然后接下来再求一下，再求一下，这是二，然后再减去x方分之二，

这个结果。那因此你发现你把它进行整理一下，这是s方那把二提出去，然后是s方减去个一。那么，对于这个函数而言，你稍微看一下定义域s是大于零的吧？那s大于零的话，你发现是二倍的，然后这是s方。这是s- 1，这是s怎么办？加一那所以说告诉我件事，有没有导数不存在的点呢？二级导数有没有不存在的点没有？

你发现大于零的时候都有定义，因为它的定义域是什么？定义域是大于零嘛？没有不存在的点，只有这个东西为几的点为零的点，那么解得什么东西呢？解得这个s等于几一？那同学们想想这个题，不要怕了，不要再做了。你想这个题，它说在拐点处的切线方程，而对于abcde这几个选项，那说明它的拐点一定是有的。不然的话，

这个切线方程怎么出来的呀？所以说这个拐点呢，一定是有的。那既然这个拐点一定有，就说明拐点是存在的。而你发现这个点是唯一取得拐点的可疑人，那说明什么东西啊？说明这个点一定取拐点。听懂我的意思吗？不要再做了。不要再往下做了，因为你发现你这个人肯定存在呀，你嫌疑人只有一个，那这个点肯定就是拐点。不要再做了，

所以接下来我们再来看看此时的y呢，把y求一下。那这个y的话忘了也没带，那这个结果是一那因此我们来看看这个切线方程。你切线方程还要继续去求什么东西啊？哎，求解这个点处的导函数导函数是几啊？导函数是四，因此就是y等于这个人，再加上四倍的x- 1。所以说这个结果马上出来了，就等于4 s- 3这个人。能理解吧，所以正确答案选几选c。不要再往下写了，

对吧？往下写就变麻烦了，其实眼神也可以稍微的看一看，因为这个也非常的简单，你想想。你这个人的话，下面这个东西永远是正的，你上面这东西是这样子，那在一的左右两侧二阶导出的正负性是不是发生改变？二阶导数正负性发生改变，那这个点呢？肯定取得拐点。能理解吧，可能有些同学把拐点的知识点呢给忘完了啊，没有关系啊，

一会儿过程当中我们还得复习一会儿，马上要进行去讲这个极值的问题。拐点的问题好了，这是我们92题这个题。跟得上吧，好下去一定要注意啊，先看一下这个函数的定义域是我们的基本素养吧。然后接下来再进行去处理啊。好了，那么接下来我们再来看看93题，这个题来看这个题。那这个题啊，也得速战速决，他说这两个函数在这个点处有公切线。诶，

公切线什么叫公切线呢？你在这个点处有公界线，不就是相切吗？那相切立即可以推第一事情函数值相等你发现。前面这个函数在一处的值，就等于后面这个人在一处值，一处值是几零？前面这个人在一处的导函数值。那前面这人在一处的导函数值是多少？前面这人在一处的导函数值一就等于。后面这人在一处的导函数2 s- 1往里面带一。那函数值相等导函数是相等两个条件，缺一不可，给了这个导函数信息啊，让我们继续去求解什么？

求解该啊，这个该处的这个极限，你怎么去求解？那给了导数去求极限，给了极限求导数，立即想导数定义吧，所以这个题都不用去想，立即去凑几处导数定义，就去凑一处的导数定义。那既然凑一处的导数定义啊，你发现一个事儿，我们去凑呗。但是要注意一处的导数定义，要有一处的增量。对吧，

得有一处增量，但是你这里面当中没有一处增量，非常简单，上面加个二减个二加个二减个二不就有一处增量吗？然后这是n+2分之几？负二好这个人，然后接下来我们再去减一下f1f1是零随便减，那这个时候你看我加这个人，我是不是要除以这个人呢？哎，我需要除以这个人，你除以这个人，你是不是要乘以这个人呐？你不能无缘无故除无缘无故乘，是不是这个情况？

而我前面还有一个n我这个n写到这儿来。能理解吗？然后接下来n趋向多少无穷大。好这样一凑啊，就出来了，然后接下来你看这个极限是多少？眼睛一瞅会发现这个极限不就是负二吗？那这个极限是负二不就是非零因子吗？非零因子可以淡化，把这个东西啊给淡化出去，一淡化出去啊，这个东西就结束了。所以说这个人呢，马上解除哎，这是负二。

是不是做成这样，然后接下来我们再来看结构出来了，再看零吧，你发现这个人我们再看零当n趋向无穷大的时候。那这个部分的极限不就是零吗？但是同学们都知道这东西应该是零什么零负。因为n1定是正无穷零负，对吧？这个东西绝对是零负，所以说这个东西是一处的左导数。但是同学们注意这个问题啊呃，没有关系，因为它一处的导函数是一左右导数。对吧，左右导数它都是一，

其实无所谓，而且这个东西啊，是从左边跳到零。啊，所以这个问题啊，问题点不大，因此这个东西马上出来了，本题解出等于负二倍的一处的导数，一处导函数等于几一。好了，这是我们讲的这个第一个问题点，能学会吗？好，这是我们讲的方法一。呃，

我说一个问题啊，可能这两天呢，我们训练这个技巧性啊，有些同学这个水平点练的还挺好。但是有的时候啊呃，你自己先看，你半天都没有举出例子，你就不要再举了，对吧？你一下子就举出来这个题啊，它就结束了。好了没？这是这个事情啊，等于负二。能理解吧，

所以说在这里面当中，你要注意啊，你如果半天都没有取出来啊，这个东西啊，你就不要管了啊。然后接下来我们再来看看这个题吧，这个题其实有个更简单的方法。你看怎么做？你不就要求解什么东西呢？求解这个曲线和这个人呢？在这个点处有公切线吗？对吧，公切线，你想想一个事情，你这条曲线，

你跟一个函数的公切线，你跟你的切线不就是具有公切线吗？是不是这个事情你跟你的切线不就具有公切线吗？你要的不就是函数值相等导函数值相等吗？所以说同学们注意，你可以随便举第一个事情，它在一处的函数值等于零。它在一处的导函数值等于几啊，刚才我们算了一处的导函数值等于几等于一。你就可以举出这样的一个例子，你举多少呢？我们就直接进行去举这个函数等于多少函数等于？x- 1就行了。是吧，这很好举啊，

而且的话你也不用这样看。你也可以不那样看，反正符合这两个条件，它就是它们具有在这个点处就具有公切线一处的导函数是一就取一次函数，然后保证这个是零就行。然后这个时候啊，你发现你就把它带进去，你带进去了之后的话，这是n趋向无穷大，然后这是n倍的，然后这人是多少呢？真是n加二分之二。啊分之n，然后再来进行去减一，是不是做成这样，

然后做成这样了之后的话，这是n趋向无穷大，然后这是n+2。然后上面一减呢，负二负2n本题解出等于负二正确答案选几选a啊？你看这样做也会非常快，就是满足这两个条件，他两个人就在这个点处，具有攻击性啊，这个事情。说明这个意识练得还可以啊，我觉得这样的话，如果是这样的话，这个强化班还是很成功的。就是你有这个意识很重要。

就是这个方法的话，有的时候你别人点你的时候，你能想得到啊，这个东西啊，我觉得还行，但是你发现最重要的是什么呢？就是你自己要有这个意识，这个意识是。其实有的时候意识是很难培养的啊。你有这个意识就很强了，好了，这个点呢，我们就但是你不要每个题都想举例子啊，对吧？哎，

你注意一下这个事。意识确实有的时候很难更改。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个考点三这个部分内容。那么，接下来我们再来看看下一个问题，由这个参数方程呢？确定的曲线我们去求解，这个切线方程和法线方程。对吧诶，参数方程确定的曲线，我先来讲讲这个问题。那什么叫参数方程呢？就是s和t之间是具有函数关系，

y跟t之间是具有函数关系。他们之间确定了一个函数，这个函数是y跟s之间的函数，我们要去求这个函数的切线和法线方程。那么，求解这个人的切线和法线方程，同学们想想在哪个坐标系下求切线和法线？那这个东西啊，它很明显就是在so yd卡坐标系下求切线和法线。对吧，在这个坐标系下求切线和法线，那么在这个坐标系下求切线和法线，你想想那这里面当中比较重要的是第一事情，你是不是要求出x0啊？然后第二件事情，

你是不是要进行去求出y0啊？没问题吧，要求x0要求这个y0，然后接下来这个切线方程比较重要的是什么？比较重要的是？这个切线方程的斜率。所以你的核心重点其实是三个事情，第一个事情你要去求x0，第二件事情你要去求y0。第三件事情，你要去求y对x的导函数。而y对s的导函数是多少呢？y对s导函数是y对t的导函数，比上s对t的导函数。是吧，

是这个情况，然后再什么在t=t零的时候。所以说对于这个切线方程呢，和这个法线方程，它的核心重点就是这三个事情。就要求什么呢？在t=t零的时候的xt=t零的时候的y，然后是so yd卡坐标系下的切线。那就so y的底卡坐标系下的斜率就是y对s求导参数方程的一阶导等于y对t比上s对t。能理解吗？把这个人求出来了，就结束了，不要进去去背这个人的切线和发型，一背就傻了。脑子一转就出来了，

不要背啊，千万不要背这个东西，你要知道方向就行了，哎，我知道我们要求解的是so yd卡坐标系下的切线方程。就是y对s求导。好了，这是这个事情，那么接下来我们来看个题吧，你先看看94题，这个题来解一下。那么这个人呢？他让我们去求解这个切线，那求解这个切线的话，你要求解什么？

他说在零零处。零零处是x=0。y=0，你必须要把那个t给我求出来。那这个t等于多少呢？你发现看如果这个人等于零，或者这个人等于零。你这个人等于零的话，里面是大于零，它只能上下线相等t等于几啊t=1。没问题吧，里面这个东西一定大于零，你要想等于零上下限，必须相等t=1。所以说这个时候啊，

我们已经知道了is 0是零。y0也是零。你核心重点求解的是y对s的导函数，那所以说这个部分就是y对t比上s对t。那y对t是多少呢？我们来算一下y对t是乘法求导。那前导是多少？前导这个东西是二t，然后后面这东西它不导二减去t方，然后再加上前面这个人不导。后面来到后面真是二减t方分之一，中间变量再求导是负二t。好这个人，然后这个s对t呢，那这人直接求啊，

变上限移上限负的多少一减t的这个人的平方？然后上限再求导是多少是负一，然后接下来把这个什么把这个t等于几啊t=1带进去。那t=1代进去的话，你发现你看这个人是一不管了，然后这是零不管了，然后这个人是一不管了，然后这是一不管了，然后上面是留下多少？上面留下负二，下面留下负一，那这个结果就是二。可以了吧，那所以说这个人的切线方程是多少？诶，

赶紧来看看这个切线，这个切线就是y等于这个点处的值，再加上二倍的多少x- 0？所以就是2s正确答案选几选d。能跟得上吗？嗯，就说你要注意这个事情，如果是参数方程呢，它确定的函数是y跟s之间的函数，那要求s0。要求y0要求y对s的导函数，你看这个事情多简单。好做吧，好了，这是这个事情，

能学清楚吗？来我们再来看一个问题，那如果这个考题考的是什么极坐标系条件下给的这个切线方程和法线方程的求解问题呢？那怎么做呢？你现在这个问题又变成了极坐标了。怎么去处理啊？我们都知道有个极值转换公式，有的说那把极坐标变成直角坐标。但是请注意了，不是每一个极坐标都能变成直角坐标的。你不是说有的时候的话，你发现极坐标改成直角坐标非常的麻烦，注意这个方法，你就走偏了，这个方向怎么做呢？

非常容易，一定是把极坐标转成参数方程。转成参数方程呢，就可以处理了。所以说这里面当中我们怎么做呢？是这样做的，你不就给了一个r2跟theta之间的关系吗？我们都知道一个问题s，这个人等于多少s？这个人等于rcosthetay？这个人等于rs in theta？所以说这个时候的话，你就可以得到了一个参数方程，你把二二代进去是theta的函数，然后cosine theta y等于多少呢？

theta的函数。sin theta，所以说你发现这个时候它的参数是谁啊？参数不就是theta吗？能理解吧，不要想的是我把极坐标变成直角坐标，我再强调变一个事情，你说老师我这个题我能变呢，你不要这样，我一直给你强调一个事情，强化班在干什么？就是拥有一些很强的定时自维能力。你见到这个极坐标，二话不说，把它变成参数方程。

参数方程会做吧，不就是求s0y0求解导函数吗？多简单呀。所以接下来我们来看一个题，来看看95题这个题。速战速决啊，非常容易来解。它这个题给了一个极坐标，给了一个极坐标，我立即把它转成什么，转成参数方程x等于多少呢？等于rr就是。cos in the tay等于多少r就是theta再乘上sin theta。然后接下来让我们去求解西塔在多少呢？西塔等于二分之派的时候。

你要进行去求解s0s0是多少零？你要求解这个y0往这儿带。这多少二分之派？是不是这个事情，然后你还要进行去求解y对s的导函数不就是这个y对t就是y对比上s对吗？那么，接下来我们来求一下上面求导是多少？前导后不导，加上前面不导，后面来导，然后再来。前倒后不倒，然后是前面不倒，后面来倒是负的。是不是这个情况，

然后把这个二分之派带去，那这项是零，这项是零三又二分之派一，然后这是一，这是一约掉了，然后多少？负的派分之二跟得上吧？好，你看这个东西不就出来了吗？那这个时候的切线方程非常的简单了。y就等于多少二分之派，然后再减去派分之二，然后是x- 0正确答案选几啊？诶，马上出来了。

正确答案是负的派分之二。加上二分之派选一。好了，这是我们讲的这个问题，能想清楚吗？就说你要听清楚，如果给的是极坐标，我怎么办？给的极坐标立即把它转成一个什么参数方程，那参数方程再去求就非常简单了。好，这个水平点有意识了吗？所以说这节课补了两个点，一个事情的话就说，如果这个点不在曲线上，

它的切线和法线方程怎么求解的？能理解吧，不在曲线上怎么去求解，然后第二件事情，如果是个参数方程，如果是个极坐标，怎么去求解切线方程和法线方程？问题点不大哦，好了，这是这个事情。那么，这个内容我们就讲到这过去了，可以吗？好，那么接下来我们就直接开始，

我们来看看下一节的问题，注意啊，下节非常非常的重要。对于我们三九六同学啊，这个单调性呢，极值和最值是比凹凸性拐点要重要。这个部分内容考研必考的内容。非常喜欢出题。然后另外一件事情在这章过程当中，喜欢出方程根的问题。喜欢出函数零点的问题，喜欢出这种不等式的这种问题，所以说这个时候你会发现单调性就会显得异常的重要了。所以一定要学会研究一个函数的单调性，所以接下来我们先来看看第一个问题单调性。

单调性的定义还记得吗？单调性的定义是这样说的，说s2比s1大，如果fs 1哎，你发现一个事情，你又比这个人小，那这个人就说单调递增。对吧，这个时候说的是单调递增，这就是定义，但定义啊，我们用的非常的少，我们的第一个问题就是利用导数进行来判断函数的单调性。对吧，利用导数来判断函数的单调性。

那么，在这里面当中啊，我们来重点来看。你要注意，如果利用导数来判断函数的单调性比较重要的一个问题是什么？你必须是在这个区间内。对吧，你必须在一个区间上。一定是一个区间。你在一个区间上导函数大于零，我严格的单调递增。区间上导函数小于零，我严格的单调递减能理解吧，必须是区间上我再强调一遍，你这有什么情况呢？

你看。比如说你这个人必须是一个区间上。你只有在这个区间上导函数大于零，你才在这个区间上单调递增，你在这个区间上导函数小于零，你在这个区间上才单调递减。同学们，想想区间。区间可以是无穷，区间可不可以？可以呀，也可以是有限区间，也可以是淋浴这种非常小的区间。只要这个东西是区间就行。你要注意啊，

必须是一个区间，什么是区间呢？就是有长度。只有在一个段内导函数大于零，它才会单调递增。只有在一段上导函数小于零，它才会单调递减。必须是区间啊，我强调了好多遍，一个点就不行了。如果是一个点处，导函数大于零，你能说明邻域得单调递增吗？这件事情是不行的，不能是一个点啊，

这件事儿我们一会儿会讲。必须是一个区间，那么接下来我们再来看，如果在这个区间上。稍等一下，我借用一下，我稍微的犯懒一点。啊，然后那么接下来我们再来看看第三条。那如果在这个区间上，你发现导函数大于等于零呢？啊算了，还不能犯难，住到这儿。如果说什么呢？

如果说这个函数。对吧，如果这个。如果在。在这个区间上。导函数什么情况？大于等于零的。你想什么情况？哦，那个是。呃，昨天布置一个作业啊，一会儿我们下课，我们也抽个奖可以吧啊，一会儿我们下课，

我们也抽个奖啊。好了，我们看看这个事情，如果在这个区间内啊，导函数是什么情况啊？这个导函数是大于等于零，同学们告诉我什么情况？啊，如果这个东西是大于等于零。你来回答我什么情况？啊，这个问题单调不减吗？你看这不就错了吗？所以说接下来你发现这个有些同学这个问题点就在这，你来看看y=s三次方。

看到这条线了吗？那这条线的话，你发现跟连续没有关系啊，不是说连续的问题。只要在这个区间内导函数大于等于零啊，跟连续没有关系，不要不要不要乱扯，你想想一个事情。你发现这个人的导函数呢？你这人导函数是三倍的s平方，你也是大于等于零啊，但是你这幅图啊，严格的单调递增。对吧，仍然是严格的单调递增，

那同学们想想一个事情，什么样的情况才能出现单调不减呢？要想出电出现单调不简单，这个事情非常简单，你必须有一段横为零。对吧，必须要有以子子区间段内横为零，它必须是这种情况。你不能是一个点横为零。对吧，不能是一个点，你要是一个子区间段内恒为零。这样的话，它才能在这块儿等一会儿，它才会产生单调不减的情况。

所以一定要注意这个问题，必须是什么？且有一。死区间。内恒为零。那这个时候啊，这个函数就怎么了？单调。不仅注意一下这个东西的区别啊。你不要见到这个导函数大于等于零，你就说单调不减，不是这样的，它必须有一个子区间段内横为零。你有一段横为零的话，它就会停一会儿，

它才会产生单调不减，哎，这是这个问题，能听懂吗？要想清楚这个事儿。好了，这是我们讲的这个第一个问题点能听懂吧？必须要有一段横尾点，它才会单调不减好，这是这个事情。你想想一个问题，你比如说呃，他是这种情况。比如我走了一段诶导函数等于零了，再走一段导函数等于零了，

再走一段导函数等于零，再走一段导函数等于零，再走再走。你看这种情况，它这个东西也是这样，你这个导函数的话，你发现你是大于零，也有等于零，但是这个东西一直是单调递增的。能理解吧，必须有一个子区间段内恒为零。你不能遇到倒导函数大于等于零，你就说这个东西单调不减这个东西啊，可不太对。好了没哎，

这是我们讲的这个第一个事情，能想清楚吧？好了，这是第一个问题，那么所以说这里面当中啊，有个重点。我们来看看三个事情。第一个事情。哎，第一个事儿。如果把上面的B区间改成其他的区间，也是成立的。就说你这个东西啊，你可以是一个有限区间，你也可以是一个无限区间。

对吧哎，你发现这个比如说我是负无穷到正无穷也可以，我是一个邻域也可以。对吧，无论怎么样都行，你只要在一个区间上导函数大于零，单调递增区间上导函数小于零，单调递减。所以说这个东西啊，其他区间的类型无所谓。无穷区间可以，有限区间也行，然后我们再来看看第二条。如果这个东西在这个区间内导函数大于等于。但是怎么了？

只有有限个零点。他说什么意思呢？就说只有有限个点，让这个人等于零。就像我们刚才讲的，你看这个点等于零，这个点等于零，这个点等于零，这个点等于零，但是这个东西啊，仍然是单调递增的。我们要求的是什么？必须有一段恒为零，有一段恒为零，那这个东西才会叫什么才会叫单调啊？

这个不减。是不这个事件好了，我们再来看看第三条内容。第三条内容我们经常讲，我们说如果对于任意的s属于一个区间。那这个导函数如果是大于零。你发现这个东西啊，我马上就可以推出来这个函数，一定会在这个区间内啊，单调递增。这没问题吧？诶，一定会在这个区间内单调递增。好了，这是这个问题。

单调递增。但是你发现一个事儿。这个东西能推回来吗？如果你在一个区间内严格的单调递增，你这个东西能退回来吗？这我讲的非常多的一个内容了。能不能不行的你，比如说y=s三次方。y=x三次方的话，你发现这条曲线呢，这条曲线也是严格的单调递增，我一直都导函数都大于零吗？不是的。我也有导函数等于零的点。你说一直都大于零啊，

但是我有等于零的点，你说错了，所以这里面当中啊，是这样子的，如果这个函数在这个区间内单调增加。对于任意的属于这个区间，一定是导函数什么零大于等于零。好，这是个重点问题。能想清楚吧，唉，必须是大于等于零好了，这是个重点内容，所以说希望同学们想清楚啊。导函数在一个区间内大于零，

单调递增区间内小于零，单调递减区间内如果是大于等于零，必须有个子区间段内。横为零，它才会产生单调不呃，这个什么不减的情况？能理解吧，好了，我们接下来我们来看个题啊。做个题吧。看一下强化96题，这个题。这个题记得我们原来讲过这个题。这个题非常重要的一个题啊，那么接下来我们再来看看把这个题啊，

好好进行研究一下，这题是个重点题啊。来操作下。那这个题啊，他说了一个事情，他说这个人在这个区间内啊，是可导的，然后他说了一个事情，他说。对于任意的什么情况，你比我大都有他比他大，什么意思啊？那这件事情不就说的是这样的一个问题吗？说的是这个ifs这个人呢？他在这个区间内啊。

是严格的单调递增的。是吧，严格的单调递增的。但是同学们想想，如果你是严格的单调递增，你能推出来这个导函数大于零吗？注意你推出的是导函数什么点？大于等于零。那么，比如说三次方的话，你发现也是严格单调，递增有导函数为零的点，所以a选项它是不对的好，这是第一件事情。然后接下来我们就要看看一些问题了，

那么这几个函数之间的图像之间的关系，那么今天啊，我们做一个重点的总结。啊，那么接下来我们一起来看看这个事。注到笔记上。几条。几个重点曲线之间的关系。那么，接下来我们来看看这里面当中的这个第一个人啊。把这个关系啊，一定要梳理清楚。那么，首先我们先来看看第一个点啊，这个基础班好像讲过，

就当复习了。第一个事情就是这个y=fs这条曲线。和y等于多少f负s这条曲线，它们之间什么关系啊？关于什么对称呢？你先来看第一个事情。那第一个事情的话，它是这样的一个情况。你看第一个人。那如果的话，这是y这是零这是s。不要想这个东西是个偶函数，这是两条曲线吧。你发现一个事，你如果带上一。

你就是f1。给我带上f当然是带上负一，我就是f1，也就说你带一处的值，跟我带负一处的值是一样的，我们关于什么对称呢？我们关于y轴对称。没问题吧，所以这个事情非常简单，就是关于y轴对称。好，这是第一个点啊，然后接下来我们再来看第二件事情，如果这是y=fs。与这个y等于多少负的f负s？

两个函数不要进行去说，这个奇偶性当然你可以通过奇偶性的方式把它给我记住。但是那样理解其实有问题，你再来看，如果上面这个东西带一就是f1。如果这个东西带负一带负一就是负的f1。你带一处的值在这儿，我带负一处的值在这儿，我们两个人怎么了？你每个点都是这样，关于什么原点对称？啊，原点o对称。没问题吧？好了，

这是这个人，然后接下来我们再来看看第三个人继续看。那么，如果这里面当中出的是y，等于多少fs与y，等于多少负的fs，关于什么对称呢？好，我们再来看看这个人。你想你带一的时候，你是f1，你带一的时候是f多少负的f1，那所以说这个人肯定是关于什么s轴对称非常好。呀，这节课。

真非常棒啊，你这个这好好复习了，这效果果然不一样啊。太好了好了，我们接下来我们再来看第四个点，你继续，如果这是fs这个人与什么东西呢？f多少呢？负s这个人。那这里呢？反函数法，那这个东西关于什么对称呢？它就关于y=s对称啊。好了，这是这个事情。

所以在这里面当中啊，你就会想清楚这个问题，这就是长线曲线之间的这样的一个关系。对吧，把这几条内容啊，一定要稍微的进行去理解一下，把它给我记住。跟得上吧，好那么接下来我们来看看这个事情。来吧，操作一下。那这个时候的话，我们去看看这个人。你最好画一个草图，烧不进去，

去试一下。看一下这个情况。那这是y这是零这是s呃，这样可以吗？我画一半行不行？可不可以我就画一半，假设你发现你看这个部分就是fx。那么，接下来我们再来看看这个f负sf负s这个人呢？他应该是关于这个人对称。所以说这里面当中，我们就能推出来f负s，这个人应该是单调什么？单调递减。哎，

这是这个情况，所以说它说单调递增肯定不对。然后再来看看关于原点对称。你圆点对称的话，你最好我们画这边嘛，看得清楚一点，那所以说这半边的话就是什么就是这样。那关于原点对称的话，这个。f多少呢？是负的f负s，那这人是单调递什么单调递增？是吧，这个人的话，他说的是对的，

然后再来看看下面一个事情，说负的fx呢，负的fx在这儿。那这人呢？是负的fs这个人，他是单调递减。那所以说这个人说的不对，正确答案选几啊选d啊？对吧，正确答案选几啊选d？这里面当中啊，可能会犯难的一个点呢，有些同学可能容易选b。说老师这个不对啊。你刚才不说单调递减吗？

单调递减导函数小于等于零啊，你注意一个事情，这个人可不是这个人的导函数，真人导函数说的是。这个函数的导函数小于等于零，听懂吧？你要注意，这个人就是先对中间变量求导，中间变量再求导，这是小于等于零，所以说这个人导函数啊，他是大于等于零。你要注意这个问题，它不对。好了没？

你要小心一下，这个事情是这个函数的，求导导函数是小于等于零。所以它是一个复合函数求导。啊，这个题是非常非常棒的一个题啊，你发现呃操作性考的点还是非常全面的，非常好的一道概念性的题。好了，这个题啊，我们就讲到这过去了，可以吗？来继续回来吧。那么，接下来我们来讲几个非常重要的一个注意点啊，

来，我们先来看看，第二点我们讲几个注意点啊。呃，这几个注意点呢？你可以不会举例子。但是一定要知道结论，听懂我的意思吗？也就说我们三九六的同学的话，我接下来讲的这几个注意点呢，你必须要把这个东西的例子，一定要把它给我记住。你最重要的问题，你要知道这个东西的例子，呃呃，

你要知道这个结论，你不知道这个例子都行，因为我们考的是选择题，你用一下就行了。好了，我们来看看这个人，他说疑点导数，振幅性波雪定领域内的单调性。那这件事情我们在基础班过程当中啊，我们是讲过的，不要着急啊，同学们。讲过了，就算复习了，为了保证这个知识点的全面性，

所以这个内容我必须要再讲一下。那比如说这里面当中，我们再来看这个事情。我们说如果这个点处的导函数是大于零的。那你告诉我一件事，你能说这个函数。在什么情况呢？在s=0的这个邻域内单调递增吗？能不能你看这个点导函数大于零？能不能说明这个函数在这个领域内单调递增啊？那这里面当中，我们来稍微看看我们有一个非常经典的例子吧。好，那么接下来我们来看看，非常非常经典的例子，

我再讲一遍可以吗？那这个例子是谁呢？这个例子是这个人。你可以不会举例子啊，你听就行了，然后这是二分之s，然后这是s不为零s等于零的时候，这个结果是零。那么，接下来我们来看看这个事情，你发现那这个人的求导的话，导函数结果是多少呢？分段点y直接求我算快一点啊。二s倍的这个人，然后再减去cosines分之一，

然后再加上二分之一，这个自己算分段点y是直接求。然后这个分段点上呢，我们是用第一啊，注意啊，这块我跳了个步啊，你应该能看得懂，前面不倒后面来倒，最后的话约掉了，就来了个负号。然后零初导数呢？用导数定义导数定义的结果是零。那你想想一个事情，你看。这个导函数在零处都是存在的，

那这个函数在零处连不连续啊？连续的吧，原来的这个函数啊，在零处是连续的。那么，接下来我们来研究一下这个问呃，这个人是二分之一哦。不是零，是二分之一。在这个什么哎，在这个零处的导函数结果是二分之一，你可以算一下。f撇零这个人的话，其实就是limits趋向零，然后是fs这个人。

然后减去f零比上s减零，所以说这个时候这个结果就变成了s趋向零s倍的sins分之一，再加上二分之一。无穷小乘又见无穷小，那这是二分之一。跟得上吧，好了，这是这个问题。所以你发现原来的这个函数啊，它在零处是连续的。哎，它是一个连续的问题。那么，接下来我们来看看这个事。接下来你要干嘛？

我想进去去判断零的这个领域内是否单调递增，大家好好思考。现在零处的导函数已经是二分之一大于零，满足条件了。我想看看淋浴，淋浴就是区间吧。你想看一个区间内是否单调，递增不就只需要看这个区间内导函数是否大于零吗？是不是这个情况，只要进行去判断，这个区间内的单调性，我就看这个区间内的导函数的正负性。没有问题吧？好了，那么接下来我们来看看这个邻域，

邻域内这个导函数就是波为零的导函数就是二s倍的sins分之一。然后减去cos四分之一，加上这个二分之一。那么这时候我们来看看这个事。你发现你思考一下。在这个邻域的时候啊，这个人是趋向于邻的。邻域嘛，邻域就是趋向零，这个人是趋向零的，然后这个人呢，是正当的，他取遍负一到一内的值。上下震荡，然后再加个二分之一呢，

你加个二分之一，我就说明了有些段是正的，有些段是负的，有些段是正的，有些段是负的，有些段是正的，有些段负的。那说明什么情况？有些段是正的。它单调递增，有些段负的，它单调递减，说明这个函数在这个领域当中怎么上下摆动？能理解吧，是震荡的，

没有单调递增啊，所以这条内容它不对啊。所以你看一点导数正负性，不决定领域内的单调性，能理解这个事情吗？好注意啊，一点导数正负性。不决定领域内的单调性，你要知道那个例子，你脑子里面有那个感觉就行了，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。如果这里面当中改一下，我们说如果这个函数。

3 s=0处是连续的。而且这个导函数大于零，那么则这个函数啊，在这个零的邻域内单调递增对不对啊？当然也不对，刚才那个例子啊，就是这个例子。刚才那个函数在零处是连续的。但是你发现而且零处的导函数是二分之一附近还是时增时减的，你还是不对。但是接下来我们把这个东西改一下。我再来改。如果这件事情改成什么呢？改成导函数连续的。对不对？

改成导函数连续啊，这东西就对了。为什么呢？因为你可以进行去看图。你思考一下，现在我画的是谁的图像，我画的是导函数的图像。诶导函数图形。那导函数图像的话，它什么情况呢？它这样情况。现在画的是导函数图像，你在这是s，这是它导函数在这个点处啊，它是大于零连续，

那说明附近都要跑到它附近，不都是大于零吗？那在一个区间内，导函数大于零，它不就单调递增吗？你或者利用连续的保护性。这个函数在这个点连续这一点大于零邻域内，是不是大于零一个区间内大于零不就单调递增吗？好了，这个知识点呢，就立即出来了，跟得上吗？所以说你会发现一点导数正负性，不决定邻域内的单调性。除非什么导函数在这个点处是连续的。

一点导数正负心，不决定邻域内单调性。除非导函数在这个点处是连续的，除非导函数是连续的，这是要注意的。可以了吗？然后接下来我们再来看看第二个人。一个函数在一个点处连续是无法推出，这个函数在邻域内也连续的。注意一下这个事，就说什么意思呢？就说你这个函数啊，你只告诉了什么，你只告诉了这个点处是连续的。你是无法知道附近呢，

也连续的不知道那同理而言的话，这个是什么一个函数在一个点处是可导的？你是无法推出这个函数，在什么在这个邻域内也是可导的。希望举例子证明吗？这个这个例子对我们三九六同学就有点难了啊。你不知道也行，你知道这个结论就行了。啊，要去啊。好了呃，那听听听不懂也算了啊，行不行？好了，没关系啊，

就说你这个点处连续。附近连不连续呢？不知道你这点可导呢？附近可不可导呢？也不知道。所以这里面当中，我们举哪个例子啊？我们举三这个例子就行了。能听懂吧把三这个东西啊，你你发现我们先举吧。先取个二吧。那这里面当中有一个函数，这个函数叫迪利克雷函数。啊狄利克雷函数。所以说这个内容点呢，

你发现你看这有同学回复这个问题，你说明的话，你这个基本概念，那也行，那我就举了。这也给很多同学呢，这个这个水平点呢，增长很多。我们说一个点处，连续说的是邻域内函数有定义，没有说这个函数在邻域当中也是连续的，不要乱来哦，千万不要乱来。一个点怎么连续？我疯了对吧啊啊？

我们经常说一个函数在一个点连续，我们经常说一个函数在一个点连续极限等于函数值嘛啊。那么，接下来我们就继续，我们再来看迪利克雷函数。对吧？狄利克雷狄利克雷函数的话，你发现也就说s属于什么东西呢？有理数的时候。是一，如果x属于无理数的时候，它就是零。啊，无理数的时候就是零。能理解吧哎，

这叫迪利克雷函数，你注意啊，这个例子你可以不知道，你知道这个结论就行，那么在这种当中，我们构造一个函数。对吧，我构造一个函数，构造什么函数呢？构在这里面当中的话，我们构造一个x方乘上迪利克雷这个函数。是吧，那么接下来我们就来进行去研究一下这个问题啊，研究一个事情，研究什么事情呢，

我们就来研究零这个点。好，先看零这个点。零这个点连不连续呢？我们先看第一件事儿，零这个点零这个点的连续性的话，你首先知道零处的函数值。你发现d0。零的话呢，你发现是一个有理数。有理数，它是一那所以说这个结果就是零。然后接下来第二件事情，我们还要求极限。趋向零求极限。

求极限的话，你发现这是无穷小，那这个东西呢？那这个东西的话，你发现要不是一要不是零，它是有界的无穷小乘有界无穷小，它是零，是不是就等于函数值了？所以说零处是连续的，好了，零处啊，一定是连续的。那么，接下来我们再来看看第二件事情。那邻处连续你能证明这个夫金也连续吗？

好了，那么接下来我们在这个邻域当中啊，取一个点。假设你发现这里面当中有一个点注意啊，这个点是领域。能理解吧，邻域当中有一个点。淋浴当中有一个点的话，你想想。我接下来要进行去求趋，向于这个点处的极限。你琢磨下这个问题。在这个这里面当中有个点往这个点跑，有几种跑法呀？大家其实都理解一个问题，

一个数轴线上，要不然就是有理数，要不然就是无理数。对吧，你不是有理数就是无理数，不是无理数就是有理数，你要不然是按照有理数往它跑，你要不然是按照无理数往它去行。你能听懂我的意思吗？就是你这条轴线上，你发现你往这个点跑，你可以是有理数有理数的往它跑，你可以是无理数无理数往它跑，就这两种。这没有问题吧，

所以说接下来我们来看看第一件事，如果以有理数呢？我以有理数去向的时候。以有理数趋向的时候的话，当s趋向s0的时候，这个函数是几啊？那这个函数的话，你发现你把它算一下，那这个fs以有理数往它跑，有理数往它跑，当s趋向s0的时候。你发现就是s方有理数是一那这个极限不就是s0的平方吗？如果你按照无理数往他跑呢？那无理数往它跑的话，这是limits趋向s0。

然后这是fs那这个时候的话就是limits趋向s0。你这个函数是这个人，你现在s方是s方，然后这个时候呢，这是零那这个极限，结果是几是零？而你发现灵域灵域当中的这个点的话，他又怎么办？他又不会为这个人而这去心领域不会等于他，所以这两个人怎么办？不相等，那说明什么情况？说明这个极限不存在嘛？你这个点处的极限都不存在，怎么可能会连续呢？

连续必须是极限等于函数值，你都不存在，绝对不会连续，所以你看这就是个经典的例子。这个点处连续无法推知什么东西呢？无法推知邻域内的点呢？也是连续的。好了，这个点呢，我们就讲到这，知道这个结论就行。这个点连续，我能知道邻域当中都是有定义的，但是这个点连续无法知道，附近也是连续的。

好，这个问题呃，这算不唯一的情况。好了，这是这个问题，能听懂吧？那么接下来你再来看看这个人柯道呢？这点可导的，你也可以继续去继续算，刚才那个函数。这个函数是is方再乘上d里克的这个函数。你去计算一下零处的导函，数零处导函数其实就是limits趋向零，然后这个时候就是fs这个人。减f0是零，

比上s- 0，所以说这个时候就变成了s趋向零，然后是s倍的这个人。那这时候你发现你看你这个人无穷小，有界无穷小，这是零。因此啊，这个人在临处是什么可老的？但是你附近都不连续，肯定不可导，所以说无法推知邻域内也可导注意下这个例子。绝对值当然不行了。绝对值这个例子怎么行呢？你只是在这个点不可导，附近可可导啊。

你注意这个例子很难的，不是你普通的那些函数都能取出来的。啊，这个例子很难很难的。这是你要注意的哦。还挺难的一个例子。一般情况下的东西啊，它是取不出来的，所以说我们才会引入迪利克雷这个函数去讲这个东西。好了，所以说这里面当中啊，你稍微进行去注意一下这个事，你们把这个结论记住就行，不需要会进行去举这个例子。记住这个结论就行啊，

就说一个点处连续是不知道淋浴当中也连续的一个点可导，不知道淋浴那一可导。一点导数正负性，不决定领域内的单调性，除非导函数在这个点处啊，是连续的矩形好了，这个问题啊，我们就讲到这。所以啊，有些同学可能会觉得混乱，我给你总结一下，其实我们就讲了以下几个点。只有在一个区间内导函数，它才会决定这个人的单调性。第二件事情，

如果在一个区间内导函数大于零，单调递增。反之不对，如果单调递增，应该推出的是大于等于零第二知识点，第三个事情疑点，导数正负心不决定邻域单调性，除非导函数在这点连续。第四个事情疑点连续跟附近连续不一样，疑点可导跟附近可导不一样，就这四个内容，所以我们脱开讲就会很多，你再往回缩一缩，内容就很少。能理解吧，

要会注意啊，东西越先把它学多，然后再把它学少啊，这个学少的过程也很重要，就是四个点。区间上才会决定单调性。疑点导数正，负性不决定邻域单调性，除非导函数在这点连续。好了，这个问题啊，我们就讲到这，那么接下来我们再来看看下一个重点问题，那么这个点对我们三九六同学太重要了。好好听啊，

我们来看看一个单调区间的求解思路。这个内容你把它给我背，你要给我背过。注意下这个事情，你要养成什么东西呢？养成定式思维能力，这不就是高中题吗？对吧，一定要养成定势思维能力。你像这个问题啊，可能这个考数学三呢，要求不是说特别多，因为这个这个东西就非常简单了，但是我们贼喜欢考，你没发现吗？

你做真题的时候经常会遇到单调区间的，求解。所以说这个部分呢，你要注意，你必须要养成超强的定时思维能力。好，我们来捋一遍，那么求解单调区间怎么办呢？第一步先确定函数的定义域，你知道吗？我以前讲数一数二数三同学的这个课程的时候，我一般我都不写这句话。但是后来的话，我觉得也不行，我又写上了。

那么，在之前的话，我写这个，我们的强化讲义的时候啊，这个冲刺满分强化篇的时候，我当时想了好久。我要不要写这个东西？对吧，我要不要写这个内容？就这个第一条内容，确定这个函数定义域，但是你发现很多同学就栽在这个定义域上了。所以说我觉得非常有必要把这东西写上。因为你想想我们学了这么多年的函数了，函数最起码学了十年了吧？

十年没有，也有七八年了吧？学了七八年的函数，你们老师经常讲，看到函数要想定义域，看到函数想定义域，这是一个意识吧？这是个基本意识。所以你发现第一件事情我不写的原因点很简单，因为我觉得这个东西的话应该是一个基本的意识好，我们来看看吧。第一步，先确定这个函数的定义域。然后第二件事情求出这个人的注点就是导数为零的点和导数不存在的点。能理解吧，

这两个点会改变什么情况啊？有可能会改变，不能说一定改变，有可能会改变什么改变这个人的单调性。然后第三件事情，我们继续如果找到了这些点，然后再把它划分成若干个子区间，比如说你找到了一些点。哎，从哪到哪从哪到哪从哪到哪划分若干子区间，然后判断正负性得出结论。这不就是高考题吗？高考都懒得考。就是这样的一个思想，所以确定单调区间，

你要注意啊，一定要有思维方式。那么，将来我们进去去判断一个零点，判断一个不等式的问题，都是使用了这个事情，所以说这个页面呢？非常的关键啊。能理解吧，就说确定定义域找到导数为零的点和导数不存在的点划分成若干个子区间，这个人他是怎么跑的？这东西就出来了。单调区间，它就出来了。跟得上吗？

好了，这个问题。所以说这个问题点呢，我们就讲到这。好了，这是我们讲的这个第三条内容，过去了可以吗啊，基本问题。唉嗯。我觉得这个大家下去啊，你把这个有些知识点呢，你好好复习一下啊。那么你想想一个事情，刚才一个同学问一个问题啊，说这个呃。

我们以前的话落到连续那一节，你比如说你落到这个人是在这个人在这个点连续这个人在这个点连续导函数不就在这个领域当中是存在的吗？那洛必达法则没有问题啊，一点都不矛盾啊。一点都不矛盾。不矛盾的。你那个点连续附近都是存在的嘛？啊，附近都是存在的，一点都不矛盾，好了，这个问题啊，我们就讲到这，所以你会发现你看单调区间的这个求解问题啊，这个定势思维能力啊，

必须要把它给我加强。能听懂吧哎，定时思维能力，所以这几个点非常重要，第一步第二步第三步要思维方式非常的快啊。好了，那么这个内容我们就讲到这，那么接下来我们把这个什么极值的问题，我们顺带着复习完了之后，我们就来刷题。好了，我们再来看看下一个问题，极值的问题，极值啊，是我们在考研过程当中的黄金重点问题啊，

极值。那么，在极值当中啊，我们重点学几个问题呢？我们重点学以下四个内容，第一个事情是极值的定义。极值的定义。那么，其实这个东西啊，它是一个什么概念呢？它是一个邻域概念。注意，它是个领域概念。什么意思呢？就说你这个函数在这个点的邻域，

邻域既要有左，也要有右。能听懂吧，既要有左也要有右，所以说这个人的话，你发现是这样的一个情况。那么，接下来我们来看看这样的一幅图对吧？比如说这个点。那这个点的话，你发现它要想是个极大值，它得在淋浴当中。淋浴应该是非常小的，淋浴当中应该是最大的。啊，

领域当中最大，它就是个极大值。然后接下来再来看。如果在这个点处。对吧，他想去取极小值，那这是他的领域，如果他在领域当中，他是什么情况？如果这个点处的值。比他附近的人都要怎么办？都要小。哎比附近的人都要小，它就是个极小值。能听懂吧，

一定是个淋浴概念。所以说这个东西的考法有两种。考法一，考法一，就是能画图。能画出这个人的图像。你画出图像，我们都知道你发现横看成林侧成峰吧。哎！横看成林侧成峰。只要你是个山峰，你比左边大，比右边大，极大值比左边大，比右边大，

极大值比左边大，比右边大，极大值。比左边小，比右边小几小时，比左边小，右边小几小时，比左边小，右边小几小时，就是你能画出这个函数的图像。那这个时候我就能确定出来这个人的极值没问题吧，这是第一件事情，但是啊，这个东西考的弱一点，顶多是一星级考题。

但是第二种考法的东西啊，就贼重要了。我问你个问题。如果是领域，它会怎么考啊？你想想一个事情，一个淋浴的东西，我怎么才能出题啊？怎么进行去出淋浴的题呢？怎么除啊？注意极限。非常好啊，极限。也就是说，通常而言，

他可以这样出题。出什么样的题呢？比说。我设置一个事情，比如说我设置啊，这个出题人这样想。我设置一下，我把这个点出成函数值为零的点。然后接下来你就要看看淋浴对吧，去腥淋浴当中是大于零还是小于零，不就考了饱和性吗？所以你发现这个内容就加上一个保护性的内容。他就可以出题了。能听懂吗？你要是那个点等于零，

你想看去心领域内的正负性不就可以加上保护性吗？你看强化班啊，一定要会梳理基础班，没法这样讲。所以我觉得这个强化班呢呃，梳理起来之后就非常的顺畅了，因为这考题形式你要想清楚。好了，这是我们讲的第一个事情，第一，然后接下来我们再来看看第二件事情，那么请告诉我极值的可疑点有几种啊？极值有几种可疑点呢？有两种可疑点。嫌疑人只有两种。

第一种人就是太子。所以不敢这样写，对吧？叫注点。这注定。就是导数为零的点。第二种点呢，就是一阶导数不存在的点。能听懂吧哎，就说这个事情，你要注意这个问题，我原来讲过这个事。能够成为什么东西呢？能够成为这个极值。只有两种。

能听懂吧哎，能够继位的人只有两种，一种人呢？就是注点。它能够成为一重点呢？是这个不可导点。只有这两种点啊。也就说，这就是我们传说中的太子。这就是我们传说中的王爷。能听懂吧，只有这两种点才能成为极值，哎，只有这两种点。这肯定没法写到书上啊。

啊，他连左右开弓法都不让我洗啊。好了，这是这个事情，能听懂吧？没有第三重点。那所以问题来了。如果有一个题啊，你发现个事儿。它在这个点处的导函数，它等于四，我就说在这个点处不取极值，对不对啊？啊，对不对？

你告诉我件事对还是不对？回答我对还是不对？对不对啊？对不对？完全正确啊。因为你看，如果你觉得这个东西不对呀，你这个问题点非常的大啊。那都讲到这个部分了，而且是个强化班。只有两种点才能成为极值，你是注点才有可能性，你是不可导点才有可能性。你既不是重点，也不是不可导点，

你连可能性都没有，你怎么可能会是极值啊？当然是对的呀。好了，这是这个问题啊，你要注意一下这个事啊。哪有对个鬼啊啊。所以你会发现，能够成为极值的点只有两种。你要不是导数为零的点，你要不是导数不存在的点，没有第三种点再能成为极值的。诶，这叫可能性，所以我们经常讲讲什么事情呢？

我们说如果说这个函数。在这个点处取极值。如果你在这点处取极值，那么它有可能有两种情况，你要不是铸点成倍的极值，要不然是不可导点成倍的极值。所以说在这里面当中啊，它要不然是什么？你在这个点处，要不然导数为零，你要不然导数怎么了？不存在。对吧，要不然导数不存在。或者在这个点处导出，

不存在有这两种情况。所以一定要听清楚你，比如说s绝对值，这个人在零处就是一个极小值，但在那个点处啊，是不可导点。好了，注意下这个问题，如果你取极值了，这个点要不然就是太子，要不然是王爷，只有这两个重点才能成为极值，跟得上吗？好了，那么接下来继续来看。

找到嫌疑人了之后，嫌疑人只是有可疑性。对吧，你只是有可疑心，你这个点到底取不取极值呢？我还需要判定，所以说我们的判定方法有几种啊？有以下两种方法，你注意啊，今天的课程呢，一定要把知识点给我记住了。一定要装到脑子里面，而且要非常的熟练。第一，充分条件他怎么说？

我的判断方向非常简单。我要判断这个人。一阶倒数。在这个点去心领域两侧是否一号？能理解吧，我要判断一阶导数，在这个点去心领域两侧是否一号又是领域。区域性领域两侧。是否一号。如果左边是正，右边是负，先增后减，即大值，左边是负，右边是正，

先减后增，即小值。如果是左边正，右边正，两边是同号两，左边负，右边负，增了再增，减了再减，这两个东西啊，都不去。所以你要如如理解这个事情，如果这个一阶导数在这两侧啊变好，肯定取。如果不变后肯定不取，

但是这里面当中有一个问题啊。你要稍微细节细节一点，但是我们考的这个题啊，都是这种选择题，这种问题啊。来，我们来看看这个事，所以说你发现你看这个点。你左边这个曲线领域，比如说是单调递增的。你右边这个曲线领域，比如说单调递减的，你这个点一定是个极值点吗？那未必啊，也有可能没有定义啊，

也有可能这个点在这儿啊。你所以说这里面当中啊，必须要保证一个事情，它有个大前提，你这个函数要在这个点处是连续的。不需要导函数连续啊，是函数连续，有些人一直很混，是这个人还是那个人，你要分清楚是哪个人？是原来这个函数在这点连续。对吧，你不要去想一个事情，说这个人是不可导点，怎么可能是连续？

不可导点，也有可能连续啊。对吧，所以你要注意这个问题，你不可导吗？我连续了，但不可导吗？是可以的呀，是原来这个函数是连续的。然后一阶导数在这个点两侧的正负性发生改变的时候，我们就取。能理解吗？好了，这是这个问题。所以这种东西的考法又有两种呢。

第一件事情，你求出一阶导数的时候，正负性非常好看，结束。对吧，你求出这个一阶导数了之后，这个正负性非常好看，本题结束，那么还有第二种考法。那第二种考法呢？你想想我又看到什么东西啊？去新领域吧。保护性啊。是不是又来了？保号信是不是又来了？

你比如说我举个例子。随手一出就是一个题。那么，这里面当中，比如说s趋向零。然后这是s分之fs。对吧，这个c。然后等于几呢？等于二零二四。且什么情况？这个一级导且fs在s=0处。连续那你告诉我这个函数在这个点处取不取极值啊？啊，取不取我们用一下保号信不就行了，

所以说这里面当中啊，你可以用一下，我注意我这题出的是一阶导数啊。一阶导数。那一阶导数进行去判断，极值不需要知道，这个点两侧正负性吗？你只需要知道这两侧的正负心，你所以说在这里面当中怎么办？这个极限大于零。那说明在这个左右去心领域内怎么了？哎，这个部分就大于零。是吧，左右两侧就大于零。

左右两侧的话，你看这个人比上这个s in这个人就大于零。那这半边呢？你这个三一是小于零，你小于零的话，这个部分呢？呃，这个人也小于零，你这个三一大于零呢？你这个人也就大于零。那就说明什么情况，你在左边是单调递减，右边是单调递增又连续极什么值极小值？能听懂吗？所以你发现非常好想。

对吧，可以用饱和心，你要判断这个点处的极值问题啊，就要判断这个点左右去心领域两侧的这个什么。这个一级导数的正负性变化，那么这个时候的话，你发现给了一个什么，给了一个一级导数的极限，不就想看这个人正负性变化吗？好了，这个问题能听得懂吧啊？这个随手一个点呢，你发现问题点就出来了。我真是有时候害怕一些同学的这个。基础水平的啊。

那也是我刚讲的内容啊，咋能转转头就能忘呢？不是，这跟基础也没有关系了吧？对吧？你就算基础忘了，我觉得这个东西也没有问题啊。怎么我三秒钟讲之前讲的东西，怎么转头就忘了？这这不能这样，它不是鱼的记忆的嘛啊，只能维持七秒钟啊，那么三秒钟之前讲的你应该还能记得呀。这刚讲的，这不是这不是说昨天讲的是刚讲的啊。

好了，我们来看看这个事啊，那么接下来我把它放到这个下面一个问题来放到下面。是不是因字写小了，然后的话没有看清楚啊？那我写大一点。啊，那么请同学们告诉我。去新领域的导函数。去心领域导函数跟那个点处的导函数有没有关系啊？没有关系，跟那个点处的导函数是没有关系，所以说你只根据这个极限，你是无法知道那个一阶导数在那个点处的可导性的。你不知道那个函数在那个点处可导性的。

那所以说现在而言的话，我们来看看这个事情，你就用一下保号心。那用一下保号线的话，你发现判断极值，不就想判断零的左右去心邻域内。对吧，左右去心领域内这个一阶导数的正负性变化，你看这人大于零，你这个人大于零，不就可以说明在这个去心领域内。这个人大于你吗？是吧，然后接下来你发现看你这半边s in这个人是小于零的，你之比大于零，

这个人不也要小于零吗？你这个人什么情况呢？你这个人大于零，你这个人不就是要大于零吗？你所以说你会发现在左半边是单调递减的，你看你去画一下原来的函数，原来的函数的话，这是零。你左半边单调递减，你右半边单调递增，我问你个事情，你把这个洞给挖掉了。这个点是极值吗？不连续的时候是极值吗？极致要保证这个点在林域当中是最小的。

是吧，你就要保证这个点比左右两侧都要小，它才是个极小值嘛。那所以要一定要把这个点补上嘛，所以说我们说一下，连要怎么要连续嘛，这有什么顿悟呢，这顿悟不了啊。你应该觉得我啰嗦，那这样的话我会很开心啊。好了，能理解吧，我不希望什么顿悟了，你听懂了。我希望你感觉出啊啰嗦啊，

那这样的话，我就觉得啊，这个很舒服了啊。好了，这是这个点能听懂吧？好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看第二件事情啊，第二充分条件。哎，你。听听不懂我话是吗啊，这位同学？我把你放到旁边，你来听啊。

我刚才说了。他这个一阶导数啊。这个一阶导数的话，你发现说的是邻域内的一阶导数，说的是去心邻域内是可导的吗？它用的是趋向于零呢。他只能说什么情况呢？他只能说只能说你这个人，你发现在这一段和这一段的时候是可导的吗？它没有说这个点可导吗？啊，能听懂我的意思吗？啊杰瑞。听懂了啊，我相信你听懂了。

能跟得上吗？所以你会发现一个事情，你发现他这个人呢，只能说明在这个区域新领域内是可导的，没有说这个点嘛。极限是去心领域啊，那我们接下来继续，我们再来看看下一个问题，极值的第二充分条件。好了，再来看看下面一个问题啊，第二，充分条件。那第二，充分条件，

他怎么说的呢？他这样说的，如果你在这个点处啊，一阶导数等于零。你发现一个事，它的要求非常简单。就说如果你在这个点处的一级导数等于零，你在这个点处的二级导数不为零。你肯定怎么办？你肯定取。而且如果你大于零是极小值小于零是极大值，对吧？这个没问题，但是我有一个问题点啊。你注意，

如果这个人的一阶导数等于零二阶导数也等于零呢？什么情况？啊，同学们告诉我有什么情况？你一切导数等于零。你2000。也等于零。非常好，位置。第二，充分条件就失效了。啊第二，充分条件就失效了。所以你会发现一个事儿，如果你说一定不许，

那纯属胡扯对吧？未知的这件事情，我们基础班讲过啊。我们就讲过这个问题，所以说在这里面当中啊，你得进行怎么办？换方法那么一会儿过程当中，我再跟同学们讲一下，第三，充分条件。啊，再给你讲讲第三充分条件，所以说这就是我们在这里面当中的基本考点部分内容，一定要有非常好的一个体系。那么，

接下来我们来看看下一个问题。就说如果这个东西未知，我要换方法。换第一充分条件。或者再往下看，那是我们一会儿要讲的事情，能听懂吗？好，所以说希望同学们下去啊，好好把这个基础内容你好好补一补啊。来再来看看下面一个题。再讲一个题，我们来看看97题这个题。啊，稍等一会儿，

稍等一会儿。那么，97题这个题啊，对我们非常重要。达成重点问题。这种题型的问题啊，是我们在考研过程当中，我们很喜欢考的，我们三九六同学非常喜欢考这种点。这种题啊。呃，那这种题啊，我们以前啊。在数一数二数三同学的考研过程当中考过，但是对于我们三九六同学，

我们也考过这种问题。哎，这是我们考过的问题，那么接下来我们来稍微的进行一个回顾，复习一下黄金重点。哎，黄金重点。常见。函数的构造方法。对吧哎，方法。那就什么情况呢？常见的这种函数的构造方法，那这几种构造方法，你把它记住就可以了。

所以我们三九六同学啊，完全的足矣了，这是完全可以的，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个问题点。那常见的那么，首先第一个事情，如果是什么呢？如果是爹跟儿子碰一起。对吧，这个爹跟儿子碰一起，你这个东西立即会想到什么写的，想成二分之一这个平方的导函数。注意啊，

爹跟儿子碰一起。然后接下来我们再来看，如果说什么呢？爹跟儿子这样摆在一起，那这个时候呢，你要想到罗音这个人导函数其实是罗。罗印绝对值的导函数。但其实这个东西啊，没有什么影响，因为绝对值求导了之后啊，这个东西就没有了好，这是这个人，然后接下来我们再看第三个事情继续。如果是你发现你倒我不倒，你不倒我来倒，

这时候我会想到什么？我会想到乘法求导。第四个事情你注意啊，这个内容我们三九六同学的高频点哦。贼喜欢考高频重点，如果是你倒我不倒，再减去你不倒我来倒，那这时候立即会想到什么，立即会想到除法求导。很多说那除法求导下面平方平方不影响正负性嘛，如果这个人是一级导，再加上个fs。那这东西啊，我们就会想到一亿的什么s，再乘上fs的导函数。

好这个人，然后接下来我们再看第六个人，如果是这个导函数，你再减去个fs呢，那这东西我们就会想到e的多少？负s乘以这个人导函数。好了，这几个东西啊，一定要把它给我记清楚了。对吧，一定要记清楚，没有任何商量的余地哦，得把它记清楚。可以了吧好，这是这个问题，

我们就讲到这。所以说像这个常见的构造方法，你必须要想清楚啊。这是一个重点内容啊，我们讲两个题，我们稍微休息会儿吧，好先看第一个题。第一题可以秒了吧？这题是我们原来这个基础班，我们讲过的一个题。你发现只要看到什么东西呢？爹跟儿子碰一起，立即想到什么二分之一平方的导函数。它是大于零，那这个时候就可以说明什么？

说明平方这个函数是单调递增。那这个人单调递增的话，你发现自变量越大，它越大，自变量越大，它越大，你就比它大，你比它大的时候的话，你发现。不是它大，是它的绝对值更大。好了，所以说这个点呢，立即选几啊，立即选c。

啊，非常的简单。好，这是我们讲的这个问题。那么，接下来我们再来看看这个98题这个题。看看你水平点到底怎么样？来看看这个题吧。那这题怎么做？那这题怎么想？你俩相乘等于零。那则在这个区间内，这个函数一定会为多少？你怎么去想？怎么处理啊？

怎么做啊？这个点。就说你发现一个事情。就说你这个函数在a到b内连续。你连续。这两东西相乘，永远为零。那怎么去想？哎，非常好，你发现被积分函数连续变上限函数就是可导导函数就是它吧。那这个人的导函数不就是你吗？对吧，你发现一个事情，这就是d呀。

所以在这里面当中，马上出来了，我就可以记一下。记什么东西呢？记这个东西为。a到s ftd t。是不这个人呐。那所以说马上其实可以想你发现这个人的导函数是谁，这人的导函数不就是前面这个人吗？那爹跟儿子碰到一起，立即会想到什么二分之一平方的导函数，所以前面这个东西不就变成了导函数，你看后面这东西就不就变成了它吗？等于它，然后这个时候的话，

你马上来看看这个人就立即写成了二分之一，然后这个fs的平方的导函数。它等于零好了，这个东西啊，就做成这样了。能跟上吗？所以说这里面当中马上就可以出来了，那就说明这是。a到xftgt。这个人的平方，它的导函数等于零。那平方的导函数等于零，那说明这个东西是个什么数啊？说明这个东西是恒为一个常数。它横为一个常数，

哎，这是这样的一个问题。能想清楚吗？所以说这个东西啊，它是一个横为一个东西，横为一个常数。然后接下来我们就继续看。这个题啊。呃，有一丢丢不严谨哦。你得稍微的改一改，你把这个人改成必须见。啊，你稍微改一下，这是题目的问题，

你不用管啊。改成B区间。好了，这是这个事情，把这东西稍微给我调一下，改成B区间啊，有一丢丢不太严谨，这是当时编题的时候稍微没有注意这个啊。这东西啊，必须是必需键。能听懂吗？那么在这种当中啊，你发现这是个B区间。那B区间的话，你横为一个常数。

横为一个常数的话，你想想一个事情。后面不用改啊，后面不用改。哦，后面也得改。B区间那么所以说在这里面当中啊，我们来看看这个事情，你发现这个函数。他说，在这个函数啊，你发现在a到b上横为一个常数，什么意思啊？你横为一个常数的话，你发现每个点处这个常数都一样，

你就取多少取a。而你都知道这个函数在a处等于几啊？你这个函数在a处等于零，你a处等于零的话，说明这个常数就是零。所以说这个常数就是零，能理解吗？所以你要了解它是个常数，你每个点处的值都一样，因此在这里面当中马上就写出来了a到s。ftd t这个人呢？横为零。永远为零。大家想想一个事情，你跟上了。

就说这个s啊，它是个变化的。任意的无时无刻不在改变。对吧，一直在变化。你这个东西一直在变化，一直在变化，你要想让这个东西等于零。对吧，你发现一个事情，你一直在变化，你要让这个积分等于零，那说明什么情况？说明这个东西肯定为零。你想是不是？

你要是不横为零的话，你发现你一直在动，有同学说那上下面积一样不就行了。你比如说这个什什么情况呢？他说这个上下面积一样，它不也是零，你注意一个问题，这个s在动它不是个定点。你一直在动。你来回动。你在这一刹那，它等于零了，你再改变一下，它又不为零了。所以说只能是什么情况，

只能是这个被积分函数恒为零。好，这是这个事情，所以说正确答案选几啊选a啊？好，这是这个问题点，你要想清楚这个事。跟得上吗？所以要会做这个事情。啊，怎么处理？但是啊，这个思维方式会的吗？就说你见到什么东西呢？这个人是爹，

这个人是儿子，爹和儿子碰在一起，立即构造二分之一这个平方的导函数。是这样的一个问题诶，那么接下来我问一下你还有没有方法呀？可能有些同学啊，比如说举个例子，设身处地一下，假设这就是今年二零二四年的考研真题。如果这就是二零，你看这个时至今日啊，你还这样进行去处理问题的时候，你会发现不眠显得有点不太好了吧？因为他只说了连续你一求导，这不就可导了吗？

你这人得不行啊。如果这个题是今年二零二四年的考研真题，对吧？时至今日，这是今年的考研真题。那么，这个考研真题的话，你发现。嗯，听回放吧好吧啊，看回放吧，这个。上课好好听一下，对吧？那么如果的话，

这道题是今年的考研真题。那这道考研真题的话，你发现。你在考场当中哎，你没有想到你会怎么办？我确确实实没有想到。对吧，我没有想到这个事情。我没想到这个刚才这种方法进行去构造，那我怎么办呢？非常简单，你就去试，你不说一定大于零吗？对吧，我们首先第一件事我们知道。

如果fs恒为零的时候。对吧，恒为零就说我永远为零，我永远为零，这是永远为零，它肯定成立对这个人是成立的。但是这种情况你不敢选，为什么因为e选项和d选项也有等于零的情况？对吧，也有等于零情况，那接下来你再试一下好了，取这种情况，它肯定成立，但是不敢下结论啊。然后接下来我们再来看，

如果接下来我们再去取，你取个一。你横为一不就大于零吗？也涉及到大于等于零。那这时候的话，你发现我取一的时候的话，这是一。然后这是a到s对一进行积分，然后这是s-a。那你想想一个事情，你这个s-a会恒为零吗？你是a到b哎，你a处确实等于零，但是你a到b会横为零吗？你b很明显比a大这东西啊，

不行。然后接下来我们再来看我们再进去去取一个什么东西呢，我取一个负的。说明大于零的都不对。我再进去取个负一，我取个负一，前面这人是负一，你这是a到s，这是负1 dt，它还是s-a？你会恒为零吗？不会说明什么情况，这个人也不对，所以说只能选几啊选a。能理解吧，

就说你要注意一个事情，我们三九六这种考勤的这种属性。这种属性决定了我们必须要掌握住这种非常超强的这种哎操作性的方法。所以你发现这种举例子的方式啊，非常的精准。这是这样的一个操作性问题，能想清楚吧？你看吧，有的时候你实在不会做，比如说去年的考研真题。我来给你看看这个事。呃，去年考研真题当中啊，有一道题特别难。啊，

有道题非常难。那道题啊，我估计很多同学在考场当中，他未必是直接做出来的，因为那个题非常的不讲武德。哪个体能？呃，这个题还好，你看这个题还好。这个题不算特别难，这个题你就可以举例子。就这个题，你慢慢进去去举一举举几个例子就出来了。所以你看这种题的思维方式，你看这种抽象的。

你看去年过程当中，如果你去年过程当中掌握这种方法，你看这题举例子，你看这个题举例子可以秒了。对吧，然后接下来你看这个题不用举了啊。这个题这题特别难。这是我们觉得去年最难的一个题。啊。这个题啊，去年最难的一道啊。啊，就这个题。那么，如果说去年考研真题当中最难的一道就这个题？

很难做到。那这个题的模型在何处呢？哎，240题不在上面。那么，这个题的做题方式啊，它考了一个定理。考了这个定理啊。我给你稍微看看。就考了这个地名。哎呀，看到幺幺五这个题了吗？115题，这个题。考了这个定理。

这个题非常难，如果说去年考研真题当中最难的一个题啊，就这个题了。啊，这个题是最难的一道。所以说你会发现一个事啊，能看清吗？啊，所以到时候我们讲的时候我们再说这个事情，所以你看去年的过程当中呃，操作性。比较难的就这刀。能看清吗？好，这个问题解决了。

所以说你会发现一个事情，这个去年的这个考研真题啊，它就这个情况。他当时而言的话，你发现一个事情呃，考这个题的难度系数就非常大。所以说它这个操作性的过程当中，它就是这样，就是这个题啊，有点不讲武德了，说实话啊，就这个题。啊，有一点点不讲武德了，就这个题出的很难，

它只能进行举例子，不能举例子啊，这个题估计啊，很多同学估计是蒙把它蒙出来的啊。这个题好了，这是这个题目吧，我们稍微的休息五分钟。休息五分钟，我们再把这个下面这几个题啊，我们给讲了可以吧，然后你在课间休息过程当中啊，把这个99题这个题做了。然后再把这个下面这几个题啊，都进行去完成一下好，我们稍微休息会一会，

我们继续吧啊。休息三分钟吧，可以吧？休息三分钟，我们继续啊，休息会儿吧，稍微缓一下啊。

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