03.396经综数学不定积分百题带刷day4

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:00:23

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程吧，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一啊，那么今天我们就继续开始我们的不定积分百题代刷的这个训练的第四天。那么，今天我们针对于这个呃白天过程当中，我们做的这些题啊，我们来做一下这个重点的精讲，那今天的这个题目啊，可能就会比。前几天呢，难度系数要稍微的会大一点，

对吧？这个操作性也会更强一点呃，今天我们是从。200，224题开始是吧？224题啊，从这个题开始，然后做的是243题。啊，我们来看看这些，但没有关系啊，我觉得都是这样呃，其实我们比这个数一数二数三呢，在这块的训练的时候你发现。呃，

后面过程当中的强度啊，要小一些，因为他们有些题啊，他会出这种十分的大题，那所以说综合度都非常的大。那么，在这种当中，我们考的这些点啊，我觉得没有关系，你就算第一遍做的不是说特别好也没关系，但是你在训练的过程当中啊，其实就是提高。然后晚上过程当中啊，听我来讲，包括你下去过程当中，

自己通过这个答案的整理，你训练清楚，把这个东西啊，学会了就行。你只要保证一个事情，下次过程当中见到这个题，你会处理，那就可以了，好了，那么接下来我们一起看吧，先看哪些题？呃，怎么这么多？我们这样吧。来这些题之前用那些题你慢慢画啊，

你别别别画太多了啊，来前面。230题。229。二这谁问的228等我等我等我想等我想。我真的想让你去抄题啊，对吧？还有人问，还有人问228。好了，这是这个，这没有讲过吗？啊，这这你这这要226这谁问的226？啊，

还有哪个？好了，那么接下来我们来看看。啊，226题，这个题啊，你要问呐，你说明你还是不听话，我就觉得这个一而再再而三，你说这就不太好了吧？一次这样两次这样三次还这样，你这上课讲的原题啊，我还讲了三种方法呢。第一种方法，上下同乘个es。

第二种方法，上下同除个es。第三种方法，我们加个es。减个es，你看这个事情，那么接下来过程当中，我们看看228题这个题呃，这个题啊，答案敲错了。哎，答案敲错了，所以同学们注意啊，没关系，答案敲错了，

这一题就是我们前两天过程当中讲的那个题好，这是这个事情，你不能在这里面当中，你一而再再而三的。而且成年人对吧？你这不不能这样啊。你而且还是一个作为考研同学，你是有有魄力的同学，你不能这样。好了，那么接下来我们继续228题，这个题把这人打开，写成second方减一，然后进行什么分布积分法一下就行，这上课讲过的。

所以接下来过程当中，我们来看看229题，这个题来继续吧，看看这个题。你要注意一个事情，我一直给你讲，先把上课讲义上的内容消化到位，再去做做题。你讲义上的题你都没消化到位，你做这个东西干嘛？好了，我们来看看这个题。呃，这个题啊，你其实你发现有些同学能看的非常准，

因为我就知道这个人的积分，结果其实就是多少，就是这个路。所以说在这个题当中啊，你发现考了一个什么事情呢，你可以把这个东西求个导，求个导，其实就是这个人。你或者而言，一眼瞅过去，这是积分表里面的分吧，就是加上a方这个分，它就等于多少ln x，加上根号下x方，加上a方。

加上c那么如果在这里面当中，你发现一个事情是根号下x方加上eds呢，它就是ln x加上多少根号下x方加上一加上。那么所以说在这种当中啊，我们就直接处理，那因此这个题就结束了，来直接操作，那么首先第一件事情。把这个东西凑到后面去吧。凑微分的过程是积分过程。然后这个人的里面是ln x，加上根号下x方，加上一加上个三，然后接下来过程当中凑到后面去。凑到后面去就是ln x，

加上根号下x方加上一。对吧，我们都知道在后面补一个系数，它是不变的，这太简单了，这基础中的基础了，那么所以说这个题它就出来了。因此，你发现一个人的二分之一，那二分之一其实就是升一级，那就是变成了这个人，那这个人的话，你发现加上三，他的二分之三，然后再翻一下。

三分之二加上c。好了，这是这个事情吧，我们就出来了，公式里面啊。好了，这是我们讲的这个229题，这个题啊，你下去过程当中好好处理一下。可以了吗？呃，有些那个答案上的那个刊物啊，因为今年这个没有来得及，因为我前面的话有那个题目的筛选。当时过程当中啊，

这个全程班开班之前呢？这个做了大量的这个题目的筛选，有些答案的话，公式当中可能出现了这个问题，明年的过程当中啊，这本。呃，习题的话，我还会继续把它进行去更新，更新完了之后啊，明年会在这个高等教育出版社出版，那出版就还好了啊，它会三省三教，可能就基本上没错误了啊。好了，

这是这个事情，我们接下来继续吧，我们再来看看下面一个题。呃，再来看看230题，这个题这个题啊，难啊，这个题非常难，就这个题。呃，这个题啊，应该是我们今天做的题目当中啊，最难的一道。啊，最难里头那么接下来过程当中啊，

我们来看看这个事情，你要一眼瞅出来就结束了，好，我们先来看看这个人。那么，首先进行去观察一下这个事情对吧？你先操作一下，你看。这个人的话，你发现一个问题，如果这个人直接凑位分呢？不好凑对吧？直接凑微分不好凑。如果去想第二类换元法呢？好像也不好拍。

对吧，如果进行去想分步积分法呢？你发现也不好卖。那么，尤里分式积分呢？这个东西也不是。那所以说在这点当中，你发现我们用到的所有方式他都不行了。那么，接下来过程当中，我们再来看诶，那这个题有没有点经验呢？我记得原来过程当中，我好像做过这样的个题。我原来过程当中啊，

做了一个这个什么一+lns这个题你还记得吗？因为我当时我记得这个人的话，其实就是s乘上这个人导函数。有这个经验吧。哎，你有这个经验，今天这个人是减法，那减法我能不能换一下呢？我来稍微进行去改一下，那这个时候的话，你看我变成这个人进行求导呢？那这就是x方上面求导乘下面减去，下面求导乘这里哦，这个人的话，你发现我能想到这儿。

我想到这儿了之后，但是你发现这个人缺一点，我就给他上下，同时除上一个多少，除上个s波。如果除一个x方的话，之后这个x就进去了，那这样就是x分之lns漂亮本题结束了。那这个时候你发现它就结束，那因此上面这个人呢，我就立即把它写成多少写成s分之lns的导函数。然后这是一减去s分之lns的这个人的平方dx。那么，所以说首先第一件事把这个导函数就可以凑到后面去，凑成这个样。

然后接下来过程当中呢，这是一减去I分之lns它的平方。那么，在这种当中，我配一个符号，那么前面来个符号，然后加上个一。那这个时候你发现一个事情，一个东西平方分之负一的积分呢，其实就是这个人的分之一，不定积分加上c。所以说这个结果你可以上下通乘一下is，减去ln x分之x这个人加上c好这个结果立即出来了。呃，所以说这个题的难度系数还比较大，

有操作性，有难度系数，你下去过程当中好好想想好了，这是我们在这个题当中。但是你要注意一个事情啊，就说我们考研的过程当中考的这个难度系数呃，基本上这个题啊算很难的题了。就是很难的题，就是你基本上很难看出来你像有道题的话，就算稍微复杂一点，但是我有头绪去做。你比如说无理根式换元，我去换一下，我知道怎么做，对吧？

分布积分法，麻烦一点，我也可以知道怎么做，有理分式拆分，麻烦一点，我也知道怎么做，但是这种题的话，你发现。这个思维方式很难，这就需要积累了，对吧？把这题勾起来积累一下就行呃，但是像这种题啊。考的内容点都像这么难吗？不是特别大啊，

所以说这个东西啊，重点是来提高自己的对这个错位分的理解。啊，重点进行去凑凑一分的一种理解，加强一下这个固定积分的训练好这个题啊，我们说到这来继续吧，再来看下面一个题。还有哪个题啊？233题吧，你看吧，我发现这个。每节课啊，都有一些特别不听话的同学。对吧，都有一些特别不听话的同学，

你这样复习下去，我真的是没办法，你是不是听课也是听一节落一节，听一节落一节？或者听课的过程当中，也是听一个部分放一个部分，听一个部分放一个部分，你注意一个事情，你如果听我那个课。你听到这儿咔的中间又不听了，然后听到这儿咔的一下不听，听到这儿，你放心吧，这些都有可能是你考不上的原因。你注意一下这些信息啊，

因为数学这个部分东西啊，它是环环相扣的。环环相扣的，所以大家注意啊，这些内容我们上课过程当中提的这个事情，我让你去看一下税前系列，你就这个内容。所以接下来过程当中啊，我们来看看这个事情来，我再来讲讲吧。呃，这个题啊，考了一种模型，什么模型呢？其实你发现一个事情就是这个s in和cos的一次线性关系模型。

这是d倍的c+e倍的cosine大这个。就这个人的话，你发现一个事情就是s in和cos的一次线性关系。只要我将来过程当中见到这个事情，我就立即会处理。那么，这个一次线性关系怎么去处理呢？首先，接下来我们来看看这个事。你先来观察一下，你看这个人分死。这个分子啊，有个特点，它是由3a和扩散组合而成。然后接下来过程当中再来看看这个分母诶，

这个分母是不还是由sine和cosine组成？然后接下来过程当中再来看这个分母的导函数呢，也是由sine和cosine组成。你要注意啊，像这个题，你一眼没有方向，就是你一眼瞅过去，你不知道怎么做，我觉得都不行，那证明还没达标。啊，所以接下来过程当中，你想这是sine和cosine，这是sine和cosine，这也是sine cosine，

那同学们想想我能不能通过什么情况？配上这个系数，让它平衡啊。那绝对可以啊，我通过配上这个系数，它肯定能配合。只要你这件事情平衡了，你把s in整理到一起cos整理到一起嘛，只要你平衡了之后，那这个人就是m倍的分母。加上n倍的分母的导函数，然后再除上这个分母，那这题就非常简单了，你看这半边一除是m。积分是MS那这边呢？

这边导函数往后面一凑分，母分之1d分母。是吧，录分母。所以像这个类型问题啊，那么接下来过程当中我们来看看这个事情呃，有别的类型问题啊，等会再问啊，你不不要我在讲这个题，我们又说那个题。那么，接下来过程当中，我们来看看这个事，所以说接下来操作就可以了，直接来吧，

只用在草稿纸过程当中啊，写下这个事情。s in这个人把它写成a倍的这个分母。然后再加上b倍的分母导函数，那导函数多少呢？导函数就是cosine再减c。那这个时候你发现把它的一个整理一整理就是a-b，然后这人是三一，然后再来a+BA，加b倍的cos in。那么所以说在这里面当中，我立即就列式子了，那说明a-b这个人就是一然后，这是a+b这个结果就是零。嗯，

所以啊，你在这里面当中a是不出来了，两人一加二分之一b是多少负二分之一？你只要这样一做的话，你发现这个结果就出来了，来抽一下吧，那么上面这个人等于多少？我把这个往上移一点。好，我们来写一下这个人，那这个题就立即写成多少写成二分之一倍的这个分母。然后再减去二分之一倍的，这个分母的导函数。然后这人是分母。那么所以说这个结果就出来了，

你看第一个人。那这人一除是二分之一，积分是二分之s。然后接下来过程当中，这是二分之一。那二分之一导函数往后面凑，就是分母分，母分之一d分母ln这个分母，所以说这个结果是不是立即出来了？你看这个结果，所以有些同学他看不懂，对吧？看一些参考书，参考书里面当中啊，没有这一段。

把这段隐藏了，然后上来过程当中啊，就直接是二分之一加上它，然后是二分之一cos在减c。有的一看这个答案，哇，好牛逼啊。怎么能把s in写成这个样子？写成这样子，前面居然是分母，后面是导函数，好厉害呀，我把它背过哎。唉，结果你发现你背过了之后呢，

这个题虽然是背过了，但是你发现我摇身一变，下面这题咋做？你看变成了这个题咋做，你发现你就不会了吧，所以说你这个学习东西啊呃，稍微一改你这个灵活度就不够了。所以接下来过程当中，我们再来看看这个人。那么，这个人的话，你发现呃万能公式，我们后面再讲，你不要着急这个事情。有同学说上面这个人的话，

我给他上下同乘一个这个人，你虽然的话能做，但是你你这个题怎么做啊？我不想说这个事情了。所以说像这个类型问题啊，你看这个事，我立即会做了，我再强调一遍，我们三九六同学，你们做题啊，每个题是两分。一道选择题两分，你做题在考验过程当中，像这种题你得速战速决，你一眼瞅过去，

你不知道怎么做，你都练得不达标。你不要在那里面当中，有时候平时过程当中做一些方法，想了十几分钟能做出来了，是做出来了，但是你考场当中能想到吗？你想不到，其实也白搭，或者你去看一个参考书上写的一种方法，写了这个东西，你绞尽脑汁，或者下次过程当中，你看到这个东西，你还是想不到。

你在考试过程当中，你这个东西就有问题，所以你要注意我们三九六同学的学习，我一直给你们讲我们三九六同学的话，继续去解题。处理问题的这种方式，这种方向性，其实跟这个数一数二数三，你在平时训练上还是有点差异的。你得有点差异性的，你包括的话，今年过程当中强化训练。今年暑期的强化，那么今年的强化，我们是干嘛呢？

我们去练题型。那今天过程当中，我最近正在写这个稿子，那么这个题型的话，你发现一个事情，你首先上去。呃，这个每一种题型的操作性方法，然后下面过程当中举一反三，就是练到什么情况呢？这种肌肉记忆非常明显。那所以说基础班先把大纲要求的核心考点一点一点来啊，那么接下来我们继续，我们再来看看。那么再来看看这个234题，

那么这个题啊，你发现一个事情就非常简单了，那这个人呢？他其实就等于多少？它就等于a倍的这个分母。对吧，这个分母，然后接下来过程当中啊，再加上b倍的分母导函数负五倍的，这个s in再加上两倍的cos in。然后你把这个s in整理到一起cos整理到一起，然后待定系数法项，把这个AB求出来，本题结束不讲了，信不信？

过去了，你自己去看吧，好了，这个题我们就说到这下面还有哪个题目？好，还有哪个题目来再来看？嗯，是我说话说的不清楚吗啊，这个同学。是我说话说的不清楚吗？为什么就是？你就算那个做对了，你将来我再改一下，我改成11，你咋分呢？

啊，这不要不要这样啊，对吧？你这不是已经把这个方法掌握清楚了吗？然后接下来再看。下面是200。38题。240题。241题。42题。43题。39题。好了，这是这个好，我们继续吧，

我们再来看这个题。呃，这个38题这个题啊，我觉得。做题方法还比较多一点，我们来看看这个题，238题，那么这个题的话，你发现一个事儿呃。也没有原题啊。这个题我们来看看吧。那么其实在这里面当中，我们还能再讲一种方法，我们先来看看方法一。啊，

先看方法一。你来观察一下，这是三次方马。然后这是平方吧诶，我知道一个事情，我们原来做过这种经验，那三次方可以写成平方乘这个人，这个人凑到后面去就是二次方啊。那所以接下来过程当中，我们先看第一种方法，那这种方法呢？就是x方加上a方，然后是二分之三次方。那么上面还留下了一个平方，把这人凑后面去就平方，

然后这是二分之一。哎，做成这样，那么做成这样了之后的话，我们再来看，那这人是一次方，我再怎么办？我再给你补一个a方。我再减个a方，然后咔的一下，把它除下去，除下去第一个人呢，你除下一次方就变成了根号下x方，加上a方分之1 ds。然后第二呢，

就是二分之一a方，然后这是多少是x方，加上a方它的二分之三次方分之一d多少x方？对吧，这是情况，然后接下来过程当中啊，你给它补个a方。那所以说第一人啊，就是s风。那么，第一个人就出来了，那第一个人的话，你发现一个事情，那这人就是根号下x方加上a方，然后在这里面当中，

你补一下，你再补一个多少呢？你再补一个a方。是吧，你补一个，你补一个了之后的话，然后在这里面当中啊，它就有个二。是吧，做成这样，然后接下来过程当中，我们继续，我们再来看，这是二分之一a方，然后这人是多少呢？

是x方加上a方的负的二分之三次方。des方加上a方那所以说这个人就可以啊，那第一人呢？二倍的根号框分之一的积方根号框。然后这里面当中的话，这是二分之一方一个人的负二分之三，你可以让他升一级，升一级了之后的话，这人升一级就是负二分之一，翻一下翻一下。翻一下就是负二，然后这人加上c好这个题是不是出来了？你看这第一种方法，所以同学们注意啊，就是说这个三次方的话。

你可以写成二次方乘上一次方一次方，其实往后面凑就是二次方，你像这件事情原来过程当中我们讲过。好了，那么接下来我们继续啊，我们再来看看第二种方法。那么，除了这种方法之外，还有什么方法呢？我们先来看，如果你没有想到凑分，你就来看看这个积分为什么难？难的原因非常简单，就是因为这里面当中有a方，加上x方，

这是三次方。如果有这个人的话，你发现我还能想一种方法，那我怎么办呢？我就来做三角代换，那么三角代换的话，我就来零零s等于多少？a倍的t an ENT。对吧，我做一下代换，我做一下代换了之后的话，这个题目就立即出来，你看上面这个人a的三次方。tangent t的三次方，然后下面这个人呢？

下面这个人我们来看，这是a方tangent t的平方。a方tant t的平方把a方提出来，一开始AA的三次方。然后是摊置立方，加上1 second方一开呢，second t，所以说是second t的三次方。然后注意一个事情，很多人做错的原因就在这儿，你这个东西要换一换就求导，那就是这个人进行求导a倍的second的方dt。是不是这个情况，那么接下来过程当中，我们来约一下，

你看这两个东西约了，然后这个a就出去了，然后下面过程当中啊，留了一个tangent t的三次方。下面留了一个second t，然后dt。但是你发现一个事情，这个tangent second不好做呀，那不好做怎么办？我就把它转成s in和cos。那么上面这人是多少呢？是sins三次方比上coss三次方，然后下面这人是coss分之一。对吧，就这个结果，

那么这个结果的话，你发现这个结果立即出来啊，这是t。那么所以说在这里面当中啊，我们就继续来看，那这个人约一下就是a倍的，这个人是多少呢？那上面这人还留下了sint的三次方。下面只留下了cosine t的平方，那怎么做？你接下来再看。诶，这三次方我们知道s in这个人可以凑cos，然后留下平方，又可以写成多少？

因此，在这种当中，我们就来一个把一个s in往后面一凑，凑出负的cos in。这是第一件事情，然后上面这人还留下了个三方，立即写成一减cos方，然后这是cost的平方。然后这个结果立即出来了，你看这题结束了，然后把这个东西啊，除一下这负a倍的dn是cosine t的平方d cosine t。第二人呢？负负得正，然后这人出现了ED cos CT，

那么所以说第一个人结果就出来了，那第一个人是多少呢？这个人东西的平方分之几分之负一，那其实就是这个人分之一，然后第二呢a倍的cost。好，这个结果立即出来。做成这样了之后啊，这个题没有结束，你还得换回去，你换回去了之后的话，你得画个三角形，你画个三角形了之后，你把这个命成题。我们都知道tant这个人是s比a对边，

比邻边斜边是x方，加上a方。那所以说这个结果就出来了，你看这个人cos是零比斜，那就变成斜比零根号下x方，加上a方比零。然后这个cos是多少零比斜，那这个时候你发现一个事情is方加上a方，那这个结果加上c是不是这个情况？所以你下去过程当中，你好好练习一下，对吧？这个基本问题跟我们上面这个结果你发现得到的答案是一样的啊，这个题。呃，

两种方法都行，无论是你进行去代换，你还是进行去凑分，这个凑分的经验，我相信同学们能想到吧。你以前想不到，今天能想到吧，我们做了好几次了，你还记得原来过程当中做这个题吗？下面是一+x平方分之商的三次方。我想到把三次方分成一个凑的分一个，剩下平方，然后加一个减一个，我做了好几次了啊，将来过程当中能想到就行。

好呃，这是我们讲的这个三百二百三十八题，然后我们再来看看239题。好，再来看看这个题。看一下这个题。呃，这个题基本上是上课类似的原题了，那么在这种当中我们都眼睛一瞅，我们都知道直接来怎么办？0x开几次方？s开六次，方等于t。是吧，那么这个东西的话，

你发现x就等于t的六次方。然后这个内容的话，上去上去之后的话，你看这六次方开方，这人是三次方，然后这人是平方。那上面这人呢？就是三次方。但是这里面当中，你要注意啊，不要把它做错了，在这儿那这个人的话还得进行求导，六倍的t的五次方，然后dt。那所以说这个结果的话就变成了六倍的，

然后约掉一下，约掉一下，还剩下多少t的几次方，你约一个平方，这是t- 1。约一个平方，这是六次方，然后dt。那么，接下来过程当中，这个人变成什么分式啊？假分式？这是假分式立即变成真分式来走，你会写吗？好，

这是t- 1。怎么写呢？一长串的啊，来看第一个人，那这人太多了。你太多的话，多多少五次方乘上它吧，来减个一加个一，那就是五次方。那五次方太多的话继续，然后是四次方乘上t减个一加个一四次方四次方再写成这个。然后减个一加个一就是三次方，三次方再写成这样。减个一加个一就是平方，平方再写成这样，

减个一加个一的话，又是tt- 1再加1 dt。跟得上吗？我永远往下写，我往下写了之后的话，你看咔咔咔除下去五次方四次方。三次方，二次方，一次方下啊，这个什么这个是一次方，然后这是一。然后最后一个人呢t减一分之一，跟得上吗？同学们。然后接下来过程当中，

第一个人积分这种会记吧。这是会记吧，会记吧，会记吧，会记吧，会记吧，往后一带就行。接完了之后，往回一带本题结束好，这个题我讲到这行不行？你接下来的话不有答案吗？你对一下就行。好了，这是我们讲的这个239题，这个题啊，

所以你下去过程当中把这题啊，你看一下哎，不是说特别难的。来那么接下来我们继续，我们再来看看一下240题这个题。再来瞅一下这个题。好，再来看这个题。呃，这个题的话，有些同学可能比较直，对吧？太直了，太直的原因在何处呢？他就直接在这里面当中令这个人了。

等于t行不行呢？也行。行，但是稍微的麻烦，那么在这种当中，你来看看这个事情，你看一加根号。一减根号，你会想到什么？我想到有理化呀。所以要掌握住这种信息点，对吧？我可以想的游离化，那游离化了之后啊。好，

我们看。那这些联盟当中，你可以上下同城。对吧，同乘个多少呢？同乘个一减啊，同乘个一加同乘个一加了之后的话就是一加上这个人的什么东西呢？这人平方。那这个时候就变成了第一个平方减第二平方，然后这人留下多少负xd x？那么所以说这个结果立即出来了，你看这是负s。然后第一个人的话就变成多少变成一，然后加上二倍的根号下x+1，然后再加上x+1。

ds那么在这里面当中啊，有几个人就可以做了，你看第一个人那是二负的x分之二。然后第二呢？这是负一。那么，第三个人呢？就是负的2倍的x分之根号下x- 1 ds。那这个题做到这儿，那就非常舒服了。那就非常简单了，那第一人的话，你发现一看是负二倍的lns绝对值，然后这人减个s，这是二倍的s分之根号下s- 1。

ds，然后怎么做？那么，接下来过程当中，我们就继续啊，再来看。哦，减一吧啊，减一。好了，这是我们在这里到哦，这是加诶，这是减减。没问题啊，你这个二往下一除嘛，

这是负的嘛，然后这个东西一除是负一嘛。然后这是。哪儿啊？你们在说哪儿？哦，这是加一不好意思。那么所以说在这里面当中，我们接下来看你看就做成这样，你做成这样了之后的话，你看这个分哎，这个分不好做。那这个分不好做的原因在何处呢？这个分不好做的原因就因为有个根号，那我怎么办呢？

我就换一下，我就直接令根号x+1就等于t。所以说这个s就等于t方减一。你就做成这样，你做成这样了之后的话，你发现你看这个前面这个部分不动，因为它都积出来了，然后是这个人，那这个时候的话，你发现看这人其实就变成了t方减一。上面是t注意了x，这个也要换。那s换的话，你发现这个ds呢，就等于求导2t倍的dt，

那2t倍的dt的话，这个二出去变成四，然后这个tdt。变成这样，那么告诉我个事情，这个人怎么做假分式法？你假分式再减个一加个一注意一个问题啊。你要敢算。多少同学做这种题啊？他不敢算，你算两下就不行了，你做考试的题的话，你发现考研题一般都是。不是一步两步，它是天龙八部对吧啊？

你发现那一步两步做不完，它不是一下就出来了。虽然我们三九六的话，这个以前考的题简单，但是你发现一个事情，你现在也不是说一步就出来了，一步就出来了，那不是这样。好了，我们继续，我们再来看往下走。那这是这个结果来再往下来，这样一除的话，这人是1 dt，然后在接下来过程当中，

我们再来看就变成了这是。减去一个四倍。减去四倍啊，然后这是多少t方减一分之一dt？那所以说这个结果就出来了，因此你发现这是负二倍的lns-s- 4倍的t，然后再减去多少，这是一的平方吧？二，a分之一lnt减一t加一加上c，然后接下来过程当中啊，没有做完，你再把什么情况你再把这个t回代一下。回答一下，它就出来了。

好，这个题啊，我们就讲到这呃，所以说240题这个题啊，我觉得最重要问题啊，是一个经验，你把这个东西怎么办？有理化一下。会简单一点。好，这是我们讲的240题，来继续吧，再来看。再来看看241题。我觉得241题，

这个题啊，你不应该出错，因为这个题我上课过程当中讲了个例子，基本上跟这个例子是差不多的。就这个内容，这个东西我在上课过程当中讲过。我上课讲那个题啊，没有这个部分。是吧，我上课讲过这个题，我说方法一可以把它进行整体带换。但是整体代换稍微的麻烦一点，所以在这种当中我就怎么办？我就给你上下同乘。我上下同乘个多少呢？

同乘个根号，下一减s变成它，然后这人就是一减s方变成这个结果。是不是这个事情，所以说这个题就可以怎么办？利用三角代换的方式来做0 s=sint，那这个时候的话，你发现一个事情来立即做。对吧，这个第一个人，他就是多少一减sint，然后这是sint分之一。那这是一减s in方cos方开方是cost，然后一定要注意换元，一定要把这个后面换了。

那这个人呢？在d他就是求导在地铁，所以啊，这俩东西约掉了，约掉了之后的话，这个结果就变成多少？变成sint分之一，再减去一，然后dt那第一个人呢？那s in分之一不会记你cosin t，你知道单枪匹马的一个人都是可以记的。所以第一个积分就是ln call second t再减去QT，然后这个人呢？再减去t+4。然后接下来过程当中，

把这东西换回去就行，来我们再来看画一个三角形，然后把这个对角命成t sint是多少？sint是对边比斜边。邻边是一减x方，那所以说在这里面当中，我们来看看第一个人。那这个人是三又分之一啊，那三又是对比斜，那现在是斜比对。QT呢是对它，这是对比零那现在零比对那是根号下一减s方比s，然后再减去多少，这是阿克。多少sin x+c你写成这样都没问题。

你可以写成这样，那么当然在这种当中有同学说，哎，我看到答案的话，继续写题目，那这个人的话，你发现两个人是除法嘛？除法这个东西就可以写成什么写成减法，你就可以写成这样，然后这是阿克塞因s+c。跟得上我的意思吗？所以说难度系数不大，就是这种题当中的最重要的一步是在哪？最重要的一步是你在这里面当中，你知道这件事情。

你把这个东西啊，画成这个人，我觉得这一步太重要了，就是你能想到把这个东西进行有理化，它太重要了。啊，这个基本内容好了吧？同学们，241题好掌握清楚，给我回复一吧。好，我们继续啊，我们再来看。呃，然后下面还有两道，

我们再来看看242题。再来看看这个题啊，这个今天过程当中最难算的一道题，应该是这道题吧。这道题是最难算的啊，这个运算量应该是算最大的好，我们再来看。那这个题怎么做呢？我把这个换了，这个人不行，把这个人换了，这人不行，所以大家注意啊，这个题你发现两个根号加和吧。你也可以进行有理化呀。

所以在这里面当中，我给它怎么办？这是根号下x乘上x+1，我给它上下同时乘上根号下一+x。再怎么办？减去个根号s这一步非常重要。然后就变成了这个人平方减那个平方，这是一。那么然后这个结果就可以做成下面的好再来看你看第一个人呢，两个根号相乘呢，两个根号相乘的话，他就变成了这个样子。那第二问呢，两个根号相乘，这人变成这样子，

哎，他就变成了这个情况。好做了吗？你接下来太简单了，第一个人不用换人啊，第一个换了换就换傻了，那这是二分之三次方，这是二分之一次方，这个人直接击了。然后第二人呢？第二人的话，你发现不好记。第二个人不好记的话，怎么办呢？我再换原注意啊，

我这块儿写的换原只给第二人换原，把这人换成t。所以说在这里面当中啊x就等于t方减一。那第一个人的话，你发现就直接记了嘛，二分之多少二分之五五分之二翻一下呗，然后这人多少二分之三，然后多少三分之二翻一下呗。然后接下来过程当中，只给下面这块。哎，注意啊，第一个人直接出来了，你不要把它换了，那么接下来过程当中，

我们再来看看第二人，那第二人这个人是多少？这是t方减一，然后这是t。我再强调一遍，只要你做第二类换员，你不要把这个东西给忘了。一个事情是不要把后面给换了，第二事情是不要把它忘了，回回带了呃，这两个事情都很重要。所以接下来过程当中，我们再看ds ds等于多少二倍的tdt呗。好，就做成这样，

因此这是五分之二倍的x，二分之五次方，三分之二倍的x，二分之三次方。你再减去，这是t的四次方，再减去t方，然后dt那么接下来过程当中这个结果呢？这就是五分之二倍的二分之五次方。三分之二倍的二分之三次方再减去，这是多少五分之二倍的？t的多少t的五次方，再加上三分之二倍的t的三次方加上c，然后接下来过程当中把这人再带回来。对吧，

把它带回来，带回来就行，那第一个人一带呢，这是五分之二，然后这里是二分之一次方，也就是x的多少二分x加一的二分之五。然后第二个呢？三分之二，然后是x加一的二分之三次方。能掌握清楚不哎，这个题。那这个题的最重要的问题啊，首先第一件事情你要知道有理化。把这个有理化了之后的话，你再看第一个人，

第一个人是直接能记的吧？幂函数乘幂函数幂函数，那这个人直接记，然后第二个呢？不好记的原因是因为这个根号。我把它换了好，这是242题，这个题过去了可以吗？我觉得今天啊，这个运算量还是可以的。对吧，今天的训练运算量还是不错，来继续吧，再来看。好，

再来看看最后一个题。再看这个题。好看一下这个题，那么这个题的话，其实你发现思维方式还是比较直接的。两类不同函数相同必考分步积分法。到必考分步计分法，那么在这里面当中啊，你会发现一个事情，有些同学会想到说把这个根号这个整体化呢，我觉得有点困，有点有点麻烦。就说这个题的第一定式思维能力应该是分步积分法，应该能想到吧，而且我们经常讲谁好凑分就把谁凑到后面去。

那么，在这种当中，你发现第一件事情很明显啊，这个es非常喜欢到后面去吧。好这个人，然后这人就变成了s- 1。那这个时候的话，你再来进行去看看，你把这个结果的话，你发现后面变成它那两倍的根号，一个东西分之一的积分。它不就变成了根号它吗？那所以说在这里面当中，我们就直接来赶紧把这个东西补个一，在这补个二诶本题结束了，

因此你发现这是x低于多少根号下es- 1？那这个时候你发现一个事，马上来两项相乘，你就要训练这个思维方式啊，对吧？你见到这些东西，你得想到。然后这个结果就变成了这样，那这个人呢？在dx。那这个时候的话，你发现就可以做到这儿，你做到这儿之后怎么办呢？那这个时候的话，你发现不好做的原因是因为这个更好，

你再来换。可能会更简单一点，绝对比你在低价当中进行换的要简单一些，那么然后接下来过程当中你再来换。你再来进行去换es- 1等t。所以说你在做题的时候，你发现你是有条理的，你思维方式非常清晰。你不能说这个做一道题啊，你今天把它做出来了，明天做不出来了。后天又做出来了，大后天又做不出来了。你你这样做做题的话，就跟这个时灵时不灵的，

就跟那个你见过一个什么情况呢？见过这个。有一个哎，我忘了是金庸小说里面的哪哪哪个那个哪本书了，里面有个主人公。对吧，时灵时不灵的，那你最后一场考试到底灵不灵？那不好说。你看这还有同学非常疯狂lns=ln second的方，我都不知道你哪哪能想到这个事情呢？你在哪想到这个事情的啊？好少看这种评论区好了，那么接下来我们就继续，我们再来看，

那这个时候你发现这个结果就是2s倍的它。好，继续走，那这个时候的话，你发现这个第一个人呢，他就变成了t，然后这个x是多少呢？那这个时候的话es就等于t方再怎么办？加一，然后这个时候的x就等于ln多少t方加一？那这时候就求导呗，那求导d它求导就是t方加一分之多少2 tdt？那么所以说这个东西的话，你就发现就变成了这个情况，然后这个二出去了就变成了四哎，

同学们，你告诉我做到这怎么做？你做到这，再不会做，我觉得就有有问题了啊，甲分式法加个一减个一，然后这题就出来了。那所以说在这种当中，这个问题点立即出来，它就变成多少2s倍的根号下es- 1，然后是四倍的，这个一的积分。然后再加上四倍的这个分。那这个第一个积分呢？你发现就是t。

第二气氛呢，阿克tangent，然后最后一件事情，把这东西再换回去，所以把这个积出来，把这个积出来。再换回去不定积分加c。呃，不讲了行不行？好，这个题我们就讲到这，所以说注意这个题的操作性形式，那在这里面当中做题是有理有据的，两类不同函数相碰，我必考分步积分法。

我凑一下，我凑一下分步积分法一下，你做到这儿不好做的原因，因为有根号，我再来进行还原。哎，你思维方式非常的有体系，对吧啊？这个人。好了，那么这个题啊，我们就讲到这儿，还有那个题吗？还有没有这个243题，我记得这个今天我们就做的那个题。

243题吧。好，前面还有没有？啊，没有的话，我们就讲到这啊，没有就讲到这。呃，然后这个题我稍微说一下。对吧，我连200。啊，这个同学我是穿越了吗？243。我刚讲的是240几。

你怎么你怎么能这样呢？哎呀，你你是这这样的话，我觉得就就没法玩了啊，是吧？就玩不了了啊，没法玩了。好了，那么接下来我们来再来看看这个231题，这个题对吧啊？231。那这个题的话，你发现你看我可以首先第一件事情，这是sine lings cosine lings。然后这里面当中往后面凑是录音s。

对吧，这是一个事情，那么当然在这里面当中，你发现你看你可以把这个东西啊凑到后面去变成s in二分之一s in的方可以啊，这种方法可以。或者而言的话，怎么办呢？你就在这里面当中用下二倍角，然后变成了两倍的录音。那然后在这儿再补一个二对吧？补个二前面再乘二分之一四分之一，然后这个时候啊，你发现也提出来了，那这个3a的积分呢？是负的cos in。

啊，两种方法都行。对吧哎，这两种方法都行，所以你走这两种事情都行，你无论是凑一下，你再凑一下，你再凑一下，哎，可以。你或者而言怎么办呢？你凑一下，之后的话把这个东西用一下，二倍角一样的。你看这有同学又来了，

说两个答案不一样，你画一下不就有一样了，我之前给你讲过这个不定积分的答案，不是唯一的。尤其是出现在三角函数，还有这个反三角函数当中啊，这个事情。好了，这是这个问题，这两个答案的话，第一个人是应该是二分之一s in这个人的平方。第二人这个人结果的话应该是负的，这个cos这个人，你把那个cos那个东西啊，二倍角打开，

打开了之后就是第一个人。哎，你注意一下这个事情啊，这两个东西是一样的，因为第一个人的话，你看你做出的这个结果的话，它是多少，它是二分之一。s in什么lns对吧？这个人的平方加上c，然后第二人呢？他这个人结果是负的四分之一cos多少？二倍的lns加上c，你把这个东西用二倍角打开，写成多少一减三的一减二倍的s in平方？

一减二倍三a平方，这个主要部分就一样，后面c呀不一样，那没关系。这两个东西是一样的。那肯定相等啊，绝对值里面当中啊，两个东西调换没有关系啊，你绝对值里面当中是a-b跟b-a没有关系。好了，这是这个事情，所以呃，这个题目的话，你无论是哪个事儿都可以啊，哪样做都行，

我我咋我咋发现这两天的过程当中啊，有些同学是。上课怎么恍恍惚惚的呢？按理说的话，这个今天过程当中啊，应该杜绝一些这个原题讲过的题，你又不知道你做过吧，这是一个事情。另外一个事情，你这上课你听课效率得高一点啊。你又来了。啊啊。你下去把题给我抄个十遍啊，你下去把233题这个题给我抄个十遍啊，这个同学。

好吧，哎，这个同学，你把233题给我抄个十遍，你硬抄啊，对吧？你抄十遍。那我在干嘛？我在玩耍吗？嗯，243是吧？啊，你又来了。你我还挺熟悉的啊，这个。

菲菲同学啊。啊，你说你说243。你下去过程当中啊，你继续啊，来243呢，你再给我抄个十遍啊，我在刚刚刚干嘛呢？哎呀，你个有意思啊，对吧？230题直接看出来，导数就出来了，你直接看出来就看出来呗。啊，

直接看出来就结束了啊。你要能凑出答案就凑出来就出来了，出来就出来了呗啊。哦，你说到243呢？哎呀，不好意思。那不好意思，你要不去领个必胜套装吧，好吧啊，你去领个必胜套装，不好意思啊哦，你说到243，哎呀，太不好意思了。

嗨，讲蒙了啊，真的不好意思，不好意思，你去领个必胜套装吧。我还挺熟悉的啊，哎，不好意思啊，这个你去领个必胜套装吧，哎，好像这两次的话，这个第二版的必胜套装好像正在。啊，正在。就就是还在设计，

你可以去领个错题本。啊，你直接去领个错题本吧。就是那个有个错题本啊，你去领一个。好，那么今天课程呢？我们讲到这不好意思啊，这个有的时候我看看字这字有点小啊，而且刷评论呢，刷的有点快。好，那么今天课程呢？我们就讲到这吧，然后今天部分内容下去，

过程当中好好处理处理。呃，这是我们在今天过程当中啊，讲的部分内容，然后明天过程当中的题目可能难度系数啊，要稍微的会更大一点点。啊，更大一点点，所以下去过程当中好好进行去处理处理啊。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿下去，过程当中好好进行去处理一下吧，这还有吗？没有了吧啊，

没有我们今天就讲到这。好，那么今天课程呢？我们就说到这下去过程当中啊，把每个题啊，自己做错的题整理整理啊，没有关系啊，出错了没关系，你只要能保证你下次过程当中见到这个题能处理就行。好，那么今天课程呢？我们就讲到这好，明天继续嘛。

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