12.矩阵方程与向量组表出、强化前备考规划-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:59:10

下面我们继续吧，我们再来看看这个四点一九这个题做完了没有？应该差不多了吧，这个题啊呃，其实难度系数也不是特别大，对吧？第一问的过程当中，我们去求解一下这个行列式。然后第二问的过程当中，让我们进行去看看它什么情况下有无穷多解，并求解它的通解。啊，怎么了？还没听够呢。今天放歌，

差评啊，来我们继续，我们再来看看四点一九这个题来解。那么，首先我们先来看看这个行列式，那这个行列式是个什么行列式啊？这个行列式啊，你发现它是这个情况。对吧，一条线一条线一个点。这叫点斜行列式，对吧？点斜行列式那点斜行列式怎么做呢？它的重点呢？其实就是跟点走。

点在哪？我按照哪进行展开，所以说这个时候我们进行去求解一下这个行列式，你可以按照什么按照第一列展开就行，所以我们就按照第一列。也就是一再乘上第一行的第一个，再加上a再乘上第四行的第一个来继续。那第一个代数余子式是多少呢？把这个抹掉，那就这个人。那这个人是一个上三角，那就是一。再加上a这是负一的四+1。那么再来看最后一个未知数的代数，余子式把这个东西啊，

余子式我们来看看它这个东西就是这样a的三次方。所以说最后结果是一减a的四次方。是不是这个人呐？一减a的四次方行列式就出来了，然后接下来看看第二问。他说什么时候有无穷多解？大家想想，如果这个人有无穷多极？那无穷多解的话，第一个充要条件是什么？那就是增广矩阵的值等于系数矩阵的值。小于它的列数，那还有一个事情呢，无穷多解，一定会推出行列式等于零，

但是行列式等于零，却未必推出它。那这个题你到底用质还是行列式啊？你要是用质啊，这就有点缺心眼了，你发现第一问的告诉你求行列式，那这个题呢？肯定有行列式啊。所以说直接用行列式一减a的四次方等于零，那这时候a要不然等于一要不然等于负一。两个情况，一或者非一，但是你要注意一个问题，无穷多解，肯定能推出行列式等于零。

但是行列式等于零，可不一定能推出无穷多解。那行列式等于零，有可能还是没有解的情况呢，所以接下来我们一起来看看下一个问题啊。哦，那不好意思啊，那不不该这样说，然后继续我们看看那你得检验，你检验的话，这里面当中啊，你就进行去试了，你觉得试比急标简单。是一是不是比较简单一点好，我们来试一下，

一一的话，我们先来写出这个增广矩阵。那这个对角线是一，这是一，然后这是一一一，这是一。呃，然后这条线还是一。再来看最后一个事情的话是一。负一零零。那么，接下来我们给它进行行变换。行变换的话，之后这个以第一行为基准零零一把这个东西，这是零一一。

零负一，然后这是零零一一零，然后把它减上去，减去上面零，减去上面负一，然后这是零。零然后这是负一。再把这个第二行加下来，这是零。加到这，这是一。加到这儿，这是负二。再减去上面，这是零。

减去上面，这是负一。然后这是多少？这是负二。哎，是这个情况吗？让我看看啊。减去上面。等会我再来一次这个。叫我看看啊，这是零一一零负一零零一一零，然后减去上面，这是零。减去上面是负一，然后这是零，

这是零，这是负一加下来，这是零。加下来，这是一。加下来支持多少？符二诶。最后一行是。零零。哎，这不对啊，就看看。就看这条。这是一，这是一，

这是一，然后一负一一零好了，我把这个填满行吧？好了，这是这个来那么接下来我们来看看，以第一行为基准零零一，然后减去上面，这是零。减去上面是负一，减去上面是零，然后减去上面的话，这是一减去上面，这是负一。好了，这是零一一零负一，

然后这是零零一一零。那么加下来，这是零。加下来，这是一。加下来，这是一加下来，这是负二。对吧，减去上面的话，这是是零好，这是负二好，没问题了，那这个时候我们来看看，这个时候你发现这个系数矩阵的值是多少？

系数矩阵的知识三，但是增广矩阵还得继续延长，它变成四，那这个时候它是无解的情况。对吧，无解就不行，因此这里面当中啊，只能是什么，只能是a=- 1。对吧a只能等于负一，那么接下来我把这个增光矩阵继续写出来，那这条线幺幺幺。然后这条线是负一负一负一，这是零零，这是零零，

这是零零，然后这块儿有个负一，这是零零。然后再来看最后一个事情，这是一负一零零，一负一零零。那么，接下来我们来瞅一下，以第一行为基准，一负一零零一加到最后一行是零加到最后一行负一，这是零。然后加到最后一行，这是一加到最后一行，这是一，然后这是零一负一零负一没问题吧，

然后这是零零一负一零。再加下去，这是零再加下去，这是负一再加下去，这人是零，然后最后一个事情加下去，这块都是零。好了，这个人就做成这样了。那做成这样了之后，我们来画一下这个行阶梯，你画一下，它就变成了这样。对吧，这是行阶梯矩阵，

但是要变成行最简，你得把这个人攻击成零加上去，它变成零。加上去它变成负一好，变成它，你还得把这人变成零加上去，这人变成零那加上去呢？这能变成负一，然后加上去，这能变成零。好了，做成这样，那因此啊，我们就得到了这样的一个行最简行矩阵。没问题噢，

来我们来看看这块内容。那么，首先给他进行赋值，不要看他那因此这个，其次的话，部分的这个解释多少呢？我们就给他赋。一个你就负一就行了。那这个时候第一行读一倍s1-1=0，它是一一倍s2-1=0，它是一一倍s3-1=0，它是一。好了，再来看看特解，那就是非其次部分。

那非其次部分呢，它什么情况呢？我就要给这个自由未知数负几负零。那负零的话，这一列就不看了。一倍的s1等于零一倍s2等于负一一倍s3=0，所以这个情况。因此啊，这就是特解，所以通解就是k倍的克塞，加上克塞西尔k为任意常数。好了么？同学们，那这个部分知识点呢？我们就讲到这，

那这就是非其次线性微分方程的啊，这个非线性线性方程组啊，它的核心主体的两个事情。一个事情你要会做解的，判定一个事情，你要会解这个人。对吧，这个方程组。好，过去了可以吗？听明白了给我回复一啊，这个知识点。好了吧啊，非其次线性方程组好了，这个内容我们就说到这来，

再来看看下面一个知识点。我们来看看这样的一个重点问题。呃，接下来我把这个非其次线性方程组啊，我们来复制一个，因为在上次过程当中，我们把这个前面部分我用一下就行了。我用一个。非其次线性方程组。看看这个人啊，就这样写就行了。你是考选择题，你纠结啥呀？来，我们来看看，

这是一个非其次线性方程组。那非线方线性方程组啊，它是个什么情况呢？我们接下来我们做这样的一个操作。如果我把系数矩阵的第一列叫阿尔法一。系数矩阵的第二列叫阿尔法二。系数矩阵的最后一列叫阿尔法n，这是系数矩阵。把这个尾缀叫做杯大香料。没问题吧？那这是分块儿这个矩阵嘛？第一列是一个向量，第二列是个向量，最后一列是向量，这是个贝塔向量。

那这个时候如果我去乘一下它乘出来什么情况呢？就是x1乘阿尔法一。s2乘阿尔法二，然后一直加到SN乘以阿尔法n等于贝塔。诶，那这个时候你看到这些东西的时候，你会想到什么呢？你来看看这个问题，我把这个东西啊，我们单独来进行抽它，你来给我捋一下。好好进行看。那么，这里面当中的东西是这样。这是那个什么那个尾缀那个向量吧？

对吧，这是这个非其次线性方程组尾缀这个向量。然后这个阿尔法一阿尔法二阿尔法n是什么？是这个系数矩阵的每一列。对吧，列向量组，然后再来看这个x1x2一直到xn是不是就是这个x这个解啊？把这个梳理清楚。贝塔是这个尾锥，而这些向量就是这个系数矩阵的列向量组，而这个s1到SN呢，就是这个x这个什么？s这个人的解的这个结果。这没问题吧，所以这个内容到底在表示什么呢？

你想想一个事情，这样的一个式子，它表达的是个什么问题啊？他表达的是这样的一个问题，表达的就是北大这个人。北大这个人能否有阿尔法一？阿尔法二，阿尔法n线性标注。是吧，贝塔能否被这些人线性标注？而且表示的这个系数其实就是那个方程组的解。是不是这个事情表示的系数就是这个方程组的解，所以我们来看看重点内容了，要注意啊，会做问题的转换。

来看一个非其次线性方程组。它表达的一个问题是。北大这个人。可否有。由什么呢？由a的列向量组。线性表触。是不是这个情况哎，线性标注。那么，如果这里面当中是什么呢？如果这个方程组没有解。没有解什么意思啊，就说这样的一个x是不存在的，那说怎么了？

说的就是不可表处。不就这个问题吗？那如果是唯一解呢？那解释唯一的那解释唯一的话不就是唯一的表处吗？然后再看如果有无穷多解呢？无穷多解，说明那些s是无穷多，那就是可表除。且什么且不为一，或者是有无穷多种。是不是这个情况？有无穷多种哎？能不能表示？而且是无穷多种。这是一个重点问题，

所以大家想想，我见到一个非其次线性方程组，那我立即会蹦出一个事情，这个尾椎能不能被这个？系数矩阵的列向量组线性标出呢？对吧，你能不能被我这个列向量组线性表除呢？那我问你个事情，这两件事情谁好研究啊？你喜欢方程组，还是喜欢线性表述啊？你喜欢谁？你喜欢研究谁？那方程组当然简单啊，它解的判定我就可以通过质来进行判定，

行列式来判定，求解也很简单，我当然喜欢方程组啊。所以你猜一下考研喜欢怎么考？考研不是喜欢那样考，考研是喜欢怎么办？考研是喜欢这样考。给表出的问题转方程组。什么意思呢？比如说举个例子。我们一个题啊，我给了你阿尔法一。我给了你阿尔法二。我给了你阿尔法三。我给了你背当。

我问你北大能否被这三个人表出呢？而且表示的系数是多少呢？那什么问题啊？能不能被我表出的问题，不就是把这三个人怎么办？按照列。按照列形成的矩阵的非其次线性方程组嘛。如果这个方程组有解，那就说明你北大能够被这人表出没有解，说明你不能被表出唯一解唯一的表出。是不是这个事情，所以你看转到方程组上了，落脚点就在方程组转到方程组，你就可以为所欲为了。你想是不是你想怎么做怎么做，

你爱怎么做怎么做解方程组啊，这贼简单判定贼简单。对吧，所有的都贼简单，所以你看学到今天啊，线性表述就会了。那线性表述我也会的呀。你能否被我线性表出的问题，那我就可以转到非其次线性方程组上了。是不这个事情，所以一定要想清楚，但是一定是按照列。按照列进行来看。所以这样我们来看看考点内容。比如说考题当中说贝塔。

啊，可否由？阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三线性表出的问题，你怎么做？那这时候第一步。转方程组。那第一步把这些东西怎么按照列注意都按照列？形成矩阵。然后第二步。我就形成了一个非极次线性方程组，贝大也是列。这个非线线性方程组，他什么情况？

那这个就能不能表述的情况就出来了？所以一个非其次线性方程组，你下一次再见到这个时候。什么是高手？高手见到这个人的时候，他不会想到说啊，这是个非线方程组，他的解怎么去解？对吧？解怎么进行判定？判定我可以用质和行列式啊，这是一般水平高手是什么？当他又一次见到飞行方程组的时候，他会立即想到一个事情哦，这个人的本质是什么呢？

就是尾缀这个向量能不能被这个人的列向量组线性表出呢？有解就是能表出，没有解就是不能表出，而且这个解那个x就是它表示的系数，这是高手。所以你要注意一下这个问题，这就是操作性。那么，同学们想想，接下来我们再来看。那如果一个题，你发现它给的是行向量呢？它给的行向量呢一样的做，仍然按照列来做，别管它是行还是列统一，

按照列来做，你比如说这个题。我找这个题就找得非常好。当然不，不是说我找的这个题好，是我们配的这个题还行，好不好好我们来看看这个事情，你发现它给的是什么？给的是行。但是我方程组研究的这个问题是列啊。我方程组，你看我这个方程组有没有解表示的是这个列能不能被这个列表出？研究的问题是列你给行有什么用，你给行我照样把你排成列，所以接下来我们来看看这个问题。

第一步好，你能把这个做题做会啊，我觉得就差不多了啊，来我们来稍微转一下。那这个部分你怎么操作呢？你研究这个人能不能被这个人表出那首先第一件事情，我们先把它形成列。对吧，这个转置一下实例，这个转置一下实例，这个转置一下实例，这个转置一下实例，这个题出狠了啊。但基础班我觉得练起来没问题。这个题出狠了，

我们肯定这一个题能抵上我们三四个题，四五个题都有可能啊，这个出狠了，但是我觉得训练下来，你如果能做出来，我觉得就差不多了。好了，摆成列，形成一个矩阵，那这个矩阵是多少？一零二三。幺幺三五。然后一负1 a+2，这是一，然后一二四a+8。

那么，接下来我们研究的是什么？研究的是这样的一个非切次线性方程组。那这个时候他不能被他表出我问你个事情，其实你就是研究as等于多少呢？北大转置，北大转置才是列嘛。研究这个人无解的情况，你可以走质的路线，也可以走行列式的路线，你告诉我这个题走质还是行列式啊？我肯定进行去走质啊。因为这个行列式一个事情也不好算，另外事情质就直接出来了。对吧，

不然说无解能推出行列式等于零，行列式等于零，还要减验能用质就用质，那这个时候我把a和这个杯大转质放到一起。放到一起了之后啊，我把这个东西呃，你们要是没有这写的快啊，你就先不用管了啊。我先粘过来，粘过来之后啊，这是幺幺，这是b+3，这是五啊。好，这是这个情况，

来操作一下吧。怎么办？进行变换，变换的话，以第一行为基准。这是零一负一二一减去二倍，减去二倍，减去二倍，减去二倍，减去二倍。减去三倍，减去三倍，减去三倍啊，减去三倍a+5，减去三倍，

这是二。然后继续减去上面这是零，然后这是加一减去上面这是零减去上面这是b，然后再减去二倍，这是零减去二倍，这是零。减去二倍，这是加一减去二倍，这是零。好，做到这了，你还记得一个事情吗？原来过程当中我们讲过目之所及的地方要讨论。那这时候你走，你画一下画一下，

走到这儿。走到这儿，接下来你要讨论的人是不是a+1啊？所以你就需要讨论a+1，就在你的草稿纸当中去写第一事情a+1不为零。如果不为零的时候，这条线就下来下来。系数矩阵的值。和增广矩阵的值将会都等于四未知数，这是唯一解的情况。然后第二事情a+1=0。等于零的之后的话，你发现这条线它就过来了。这块都是零。如果这块都是零的话，

它就会变成什么情况？它就会变成了这种情况，那下面这块都是零。都是零，那么都是零的话，接下来就看b了。那这个时候你要注意，如果这个b不为零。b不为零不为零，那这就是无解。因为你现在是二，我下来是三，如果b=0，这就是无穷多解。是不是这个情况好了，

那么接下来他让我们去看什么，他说什么时候不能被标出，那就是无解那第一问。就出来了，当什么情况无解，当a=- 1。且然后这个什么？b不为零的时候。你就说不能被标注。好了没？这是这个情况，然后继续我们再看什么时候能唯一的标注。唯一的表述的话，接下来继续看什么时候，唯一减是这个人当a=- 1的时候。

它有唯一解。大家注意，那个解就是它表达的系数。对吧，那个解就是他被表达的系数，所以接下来我们来进行去解这个人。你解这个人的之后啊，他就是这个情况。好，我们接下来把这个增广矩阵拿出来。嗯哦，不等于负一。这个时候那么接下来我们把这个东西拿下来。拿下来之后，我们再来解一下这个人。

这是我们的增广矩阵。因为这个a不等于负一，所以说给这一行，同时除上这个人，他是可以的。然后再来看，把这个人放上去，这人变成零。负一倍上去变成零。没问题吧？那现在我们再来画一下行阶梯。好画成这样。那现在该谁呢？你得把这个人变成一。把这人变成一的话，

他其实就是除一下他就行。除一下b比上a+1。然后再来看，那这个时候就是一倍加上去变成零。那就是加上一个多少BA+1？然后再负一倍加上去，那就是一减去多少？一减去b比上a加一。啊，这个非常恶心，然后你再看把这个人上去，那就是上面再见下面。上面再减下面这个一就减掉，那就是负二倍的它。然后这块还有个一倍，

因此接下来我们把这个最后这个结果好好写一下来看一下第一个人，第一人是负的。2b比上a+1。第二个事情是a+1，然后分之b再加个一。第三个事情，那就是b比上a+1最后一个人是零。这个非常恶心了，所以说对于我们而言的话，这个运算量就很大了，对吧？你很明显你就发现它就不是两分钟的题。所以我们在基础阶段的话，我觉得算的话是非常有意义的。那么，

接下来我们来看看一个事情。把这个放下来。大家会瞅一下这个解肯定是唯一解吧。那第一个解释一倍的，它直接过来。第二行一倍的，它直接等于它a加一分之b加一。一倍的它直接等于a加一分之b，一倍的它等于零。所以说这就是第一个未知数，第二个未知数，第三个未知数，第四个未知数为一减。因此，你发现我们就写了大家注意，

虽然我们刚才写的是列的，但是没有关系，表达的系数是一致的。那它就等于负的2b比上a+1倍的阿尔法一。a加一分之b加一倍的阿尔法二。a加一分之b倍的阿尔法，三零倍的阿尔法四，我可以写到这，你可以不写这个。是不是这个情况？所以说这个题就出来了。但是其实你发现啊，这后面部分呢，难度都不大。它真正比较难的部分是什么？

就是你这个题，你到底会还是不会，你就说会不会转换？你会转换这题就简单，你不会转换这题就废了。所以它的核心重点是什么呢？核心重点是问题的，这个转换非常重要。你要会把一个向量被一个向量组表出的问题把它转成一个非其次线性方程组的问题。这个转换特别重要，另外一个事情我再讲一个经验。我再讲一个经验。好，我们来看看一个事情，记住这个经验，

这个经验啊，将来我们强化的时候，我还会重点说。你发现没？一旦一个题是唯一解。把前面变成了单位证。对吧，单位帧只要你发现化成这种行最简。单位这种的行税减这一块东西就是它的减，那当然了。一倍的它等于它一倍它等于它一倍它等于它一倍它等于它。唯一解的时候。把前面变成了行，最简就是我们所谓意义上的行，最简就是阶梯口必须都是一。

其余都是零化成这样的行，最简后面就是那个减。你可以记住这个特性。能理解吗？好了，这是这个事儿，我们就讲到这儿。过去了，可以吗？好，这是这个问题。所以这个点呢，还是比较重要。比较重要的一个问题。可以了吗？

来那么接下来我们再讲一个重要的定理，这个定理啊呃，还是比较关键，所以说你发现这个东西啊，还是蛮多的啊。但是呃，理论上理解的东西啊，反而会更重要，所以这个线性代数你自己得走一遍，有的这个同学非常的着急，对吧？说恨不得的话，这个冲刺你都想进行了，但是你学到这个，无论是强化到了这个真题，

还是冲刺你核心重点，还不是这些内容。你尤其我们三九六同学，我们最核心的就是这些内容。你得稳一点，比什么东西都重要。你敢保证这把讲义随便翻到一页，你都会了，你敢保证吗？你敢保证你现在做些的那些错题，你随便翻了一个错题，你都能把它做做出来嘛，快速把它做出来。那这一遍两遍三遍的基础强化，那目的是什么呢？

就是你不要被这些东西啊偷着走。你要注意你的思维方就是你的终点是把知识学会，不是你的终点是做了多少题，是复习了多少阶段。他不是这样子的。你想想你的终点是你能把这些知识点都学会的，这些东西都在脑子里面。我觉得这才是重点啊，来我们来看看下一个问题。我们看看一个重要定理。这个定理啊，大家跟着我一起来，把它好好看看。这个定理啊，很重要啊，

非常重要。呃，到了这个强化班过程当中，我们会有那个知识测试啊，知识测试呃，这个强化到了这个。强化结束了之后的到了冲刺阶段，我们还会有那个考前21计，今年的考前21计啊，我里面当中做了很多很多的这个更版。啊，所以说这个到到时候的话，你们可以通过那个东西把遗忘的东西啊好好进行去记一记对吧练一练。最近天气太热，总是不想学，

那可不是这样，每年的暑假都是大家考研，同学挥汗如雨的一个暑假。暑期的过程当中啊，是每年考研状态最火热的一个阶段啊，那可不是你天气太热啊来。看看重要定律。是这样说的。说如果阿尔法一阿尔法二一直到阿尔法n。它们是线性无关。好了，他们是线性无关，然后又来一个事情，他又说那阿尔法一阿尔法二，你看我们都线性无关了，

结果哎，来了一个人。你看这个人，那这个人很讨厌说什么东西呢？他们有线性相关了。是不是这个事情，所以你发现一个事，他说这些人线性无关加进来一个人线性相关，那这个时候我们能说什么，我说加进来这个人。可以由这些人线性表出。而且唯一的表处。哎，它能被我们表出，而且唯一的表出。

那么，接下来我们来把这个事情啊，做一个证明，你不想证就算了，你就把它记住，我来给你证一下。那这个证明呢？也非常容易，你想证明这个人被这个人表出，你就把这个人。看成一个矩阵。对吧，看成一个矩阵，不就是研究这个非其次线性方程组。对吧，

它有唯一解的情况吗？那么，如果它有唯一解，其实就是系数矩阵的值等于增广矩阵的值，然后呢，等于它的列数嘛？就是这个事情，所以接下来我们先来看第一件事情来解读第一句话。如果线性无关，立即反映什么？只要看到线性无关，立即反应向量组的值。就等于矩阵的值，它怎么了？等于它的列数。

没问题吧，来继续我们再看，然后再看第二件事情，这个人线性相关继续走，阿尔法一直到阿尔法n贝塔。这个向量组的值等于矩阵的值，就是a被大，他怎么办？小于这个人。小于它的列数n+1。没问题吧？哎，你发现线性相关就是小于它的个数。那小于它的个数，我们就可以自己写了来走。

哎，再来继续走，那这个时候你就会发现什么情况呢？你这个人ra大家都知道，小于等于n小于n+1是什么？小于n+1不就是小于等于n吗？n+1隔过来就是n，这没问题吧，所以我们来看看这个人，他是比什么a大的，因为我们什么你是我的局部嘛。你局部的话，我比你大，而这个人小于等于n，你又大于等于n，

立即推出来a的值。等于增广矩阵的值，而且等于a的列数。系数矩阵的值等于增广矩阵的值等于这个人的列数，那就说明什么情况，说明这个人有唯一。解那这样又唯一解不就说明北大能由他表出且唯一吗？所以大家注意，这个定理很重要。记住它，这是个题干的啊。就说如果你碰到一个题，他这样说，我们是线性无关呢，结果加入一个人进来变成线性相关了哦，

立即反应。加进来，这个人能够被我表出且唯一。就说我们是线性无关呢，怎么又加来了一个人变成线性相关呢？哦，我知道加进来这个人一定能被我表示且唯一。你肯定能被我表示，且唯一能掌握清楚吗？好了，这是这个事情。能听懂吗？这个定理很重要，就说我们是线性无关的。突然来了一个人，

息息相关来的这个人肯定能被我表出且唯一。好了，这是这个事情。嗯，唯一是啥意思啊？怎么能都能出现这种情况了呢啊？你看增广矩阵那块不是小于等于n+1。是小于。线性相关嘛，线性相关的话，向量组的值小于它的个数，那刚好是n+1个是小于。能听懂吧哎哦，这块是懂。好了，

如果你线性无关向量组的值等于个数，你线性相关向量组的值小于他的个数。小于n+1就是小于等于n好了吧，这是这个人。唯一。唯一就是一个对吧，比如说你能被我表述是五倍的，它加上六倍的，它加上七倍的它。是吧，就是五六七你不能说又变成一倍塔，二倍塔，三倍塔，只能表示的话只有一组解。比如说你能被我表述是一二三一贝塔两贝塔三贝塔，

永远都是这个人，没有第二个人啊，这叫唯一。好了，这是这个事情，过去了可以吗？来我们再来看看最后一个知识点矩阵方程。呃，以前的情况的话，这个矩阵方程呢，我都会放到强化班讲。包括数一，数二，数三的我都会放到强化班讲，那么今年为了保证这个知识体系啊。

啊，我们在这个基础班，你就能把它搭建完成，我们今年基础班的过程当中，我们就来讲对去年的考研真题，就考了这个事情。所以你会发现我们的三九六的这个考题啊。它每个部分呢？它考的不难。但是你发现它考的很全。他考的很全。你结果你发现去年过程当中，他考了矩阵方程。所以有些同学见到这个矩阵方程，他措手不及，

他都不知道这是啥玩意儿。好，那么今天我们继续，我们来看看矩阵方程的求解。什么叫矩阵方程呢？它是这样。这是一个系数矩阵。然后这是一个什么解的情况，然后这是一个矩阵，然后去求x。啊qx。就说as=b，然后我们去求解s，那这个东西就叫矩阵方程。那这个矩阵方程的话，

有同学说那如果a可逆，不就把它逆过去吗？那是特太特殊的情况了，逆可逆一般情况下都不可逆。你比如说我给你一个三×4的矩阵，你你怎么办？它不可逆。天然不可逆，它都不满足可逆的条件，可逆前提是方阵呐。所以说这个时候就非常麻烦了，我们怎么做呢？大家注意，我们是这样做的，好好听，

很迅速就讲完了。来一起看我们，不妨以三×3为例，可以吧？可不可以我们以三×3为例？三×3的矩阵。做题的第一步。把这个位其实啊，我们都考不到三×3。我们喜欢考二×2，你不要看我基础班讲三乘，其实一般n×n那我们三九六更不适合学了。所以我们三九六同学去学的时候不用去细细看什么n×nm×n，不用看那个，你看我一般举例子三×3。

我已经达到了我们三九六同学的制高点。我们一般还考二×2，所以你看做题的第一步。把这个什么东西呢？尾缀这个矩阵给我写开，假设你是三列，你就给我写成三列。好，第一件事情把这个尾缀尾缀这个矩阵给我写开，写成三列，他有三列就三列，四列就四列，五列就五列，反正单列啊。然后这个时候呢，

你看再把这个未知数这个矩阵我们写成零。好，我来说一下，系数矩阵。未知数矩阵，不是未知数向量了，叫未知数矩阵。常数项矩阵以前叫常数项项量。未知数向量，现在未知数矩阵常数项矩阵写开。写开了之后，你看怎么办呢？我来把它乘进去，那就as 1 as 2 as 3。然后等于多少呢？

北大一，北大二，北大三。是不是这个情况，然后这个时候我就知道哦，原来as 1就等于贝塔一。as 2就等于贝塔二。对吧，然后as 3就等于b的非常漂亮。你看，这就相当漂亮了，极其精彩了，我就明白了一个事情，你看可以在这里面当中通过什么情况呢？我就可以通过as等于贝塔一这个分析式线性方程组，

然后可以求出x1。我可以通过ax等于贝塔二这个非其次线性方程组求出s2，我可以通过ax等于贝塔三这个非其次线性方程组。去求出x。是不是这个情况，所以你看我们这个做题的操作，其实就出来了，大家有可能觉得混乱来，我给你梳理一下，一梳理非常的简单了。他其实就是干了这样的一个操作。如果这个题让我们去求解的是矩阵方程。怎么求解呢？就这样求解。第一步，

把这个贝塔给我，把这个b给我打开。有几列就是几列，比如说第一列被打一，我可以怎么办？我可以这样做，你看我来写了啊，我们去求。求ax等于贝塔一的解，把这个解填到这，这就是它的第一列。能听懂吧？好了，这是他的第一列，然后继续我们再看，

然后把这个人的第二列，我们继续去解。解什么东西呢？解这个ax等于贝塔二。然后把这个非其次线性方程组的解填到这儿。这是s2。然后再来看，如果这个人有第三列，第三列的话，我们继续去解这样的一个把这个ax等于贝塔三。这个非其次线性方程组的解填到哪呢？填到这。这是x3。就是这个东西，所以你发现这就是在干嘛？

解三个什么东西呢？非其次线性方程组。巅峰理解。对吧，就是解三个，那这里面当中我们就是解什么呢？我解ax等于贝塔一。我解ax等于贝塔二，我解ax等于贝塔三。是吧，我解这三个。所以说这个时候你发现根据什么情况，根据这个人呐，哎，他的这个尾椎我进行去决定这个人。

我姐三个，而且这三个人呢，具有共性。具有什么样的一个共性呢？你发现一个事情，这三个人他的其次部分都一样。那其次部分一样，其通就一样。是吧，其次部分一样，因为它其次部分都是as=0。其次，通解释一样。只不过是什么不一样呢？特解不一样。

第一个人的特解是可塞伊型。第二个特点是可三二型，第三个特点是可三三型。对吧，就是特解不一样，但是其通是一样，我们只需要找特解给自由未知数负零进行找特解就行。对吧，只需要给自由未知数负零找特解就行，所以说这个操作就非常的简单了。那么，接下来我给你完成一个题可以吧？我们先来做一道，做一道之后啊，什么东西都清楚了。

来看一下这个事情。这是一个系数矩阵，然后我们去求解as=0的基础解析，这个非常简单。然后第二问让我们去求解AB=e的b，那不就求解as=e吗？是吧，求解as=1。大家想想as=ee是什么e分成一零零？零一零。零零一。你要求解as等于它的方程组的解as等于它的方程组的解as等于它的方程组解，大家想想。你姐这个人要把a和b大一进行变换。你姐这个人要把a和贝塔二变换，

你姐这个人要把a和贝塔三变换。你还不如怎么办？你把它一起变换不就行了。所以这里面当中，我们就直接来。就把这个a。和这个ee的第一列。对吧，你这个第一列叫贝塔一，第二列叫贝塔二，第三列叫贝塔三，你把这个人一起进行变换不就行了吗？一起进行变换，我们先来写一下，是一负二，

三负四零一。负一一一二零负三。哎，能听懂吧，然后我们看看尾椎一零零零一零零零一。一起进行变换，那一起进行变换的时候，一会儿注意你去看就行了，你听好了。你解ax等于贝塔一，你就不要看这俩人了。你解as等于贝塔二，你就不要看这俩人了。你解as等于贝塔三就不要看这个人了，你看这样看不就是as等于贝塔三吗？

灵活一定要灵活一点。你看这样做的话就非常的简单了，那你要解as=0呢，就不要看这仨人了。这样的操作就非常的简单，而且我们的考研是一般是二×2的，那更简单了，我们现在做的是难的，你将来再做二×2的话就非常简单了。能听懂吧，这去年考的啊，它不是不考，那么接下来我们继续来，你看一负二三负四幺零零。然后这是零一负一一零一零减去，

上面是零减去，上面减去上面。然后减去上面，这是一减去上面是负一零，这是一。然后继续我们再来看，用这个人呢，减去四倍，这是零减去四倍呢，这人变成一减去四倍呢，这变成负三。然后减去四倍呢，真变成负四。好了，做成这样了，

那么接下来我们来画一下行的解题。行阶梯到这儿，然后的话，我把这个变一个颜色，你看得懂吗？你不用变颜色，你这不好编，这是尾椎。然后这个时候变成行最减，继续把它加上去，加上去变成零，加上去变成负二，加上去变成负一。加上去变成负三，加上去变成一。

好，这个人减去这个人三倍，这是零减去三倍，三三得九，那这人是五。减去三倍整14，减去三倍整十十二。然后减去三倍，这是负三。然后二倍加上去变成零。二倍加上去变成一二倍，加上去变成二二倍，加上去变成六二倍，加上去，这是负一。

好，做成这样。能听懂吧？好了，听明白了给我回复一。掌握清楚给我回复一。所以说现在就做成这样了。那么，接下来我们来看看这个事情，他让我们去求解这个人，那就非常简单。我接下来干嘛？第一问它让我去求解，其次通解。那其次通写怎么求就不要看这个人了，

给谁赋值，给这个人赋值。那么，同学们告诉我，我们来负集啊。给这人腹肌比较好。那么，这里面当中，我们就是一个可猜你负几啊，你就给它负一就行了。你负一的话，这是负一那这是二这是三能听得懂吧，你负一的话，一倍的s1+1=0嘛。一倍的s2-2=0嘛，

一倍s3-3=0嘛，他是这个人，然后接下来我们再看第二事情。我们先来看as等于贝塔一的特点。那这个特解是多少呢？那这个特解的话，我就要给自由未知数赋零。所以说你永远是给这个人负零，你现在不要看这个人。那这时候就是一倍的，它等于二一倍的，它等于负一一倍的，它等于负一好了，这是第一个特点。再来看as等于贝塔二可在二项。

仍然怎么办？你这个时候就不要看这一列和这一列了，给自由位置数负几负零负零的话就不要看一倍的，它等于六。一倍它等于负三，一倍它等于负四，然后再来看看ax等于贝塔三，贝塔三就是可塞三型。那这个时候呢，我就怎么办？我就不要看前面两列了，还是给这个人复成零，你复成零的话，你发现一倍，它负一一倍它一。

一倍它一好了，这是不是出来了？能理解吧，所以这个时候你发现看第一个解就是k1可赛，这是齐通。加上这个非奇特。然后这是s 2=k二可塞，加上可塞二型。然后x3是k3可塞，加上可塞三型。好了，那么最后一个事情我就知道了，这个b就是谁呢？把x1x2x3。填到这儿就结束。

没问题吧？好，这就是矩阵方程。其实你发现矩阵方程啊，就是多个非其次线性方程组。是不是多个，而且他们的其次线性方程组是一样的。其次，部分是一样，然后我只用怎么了？我只用进行去看a第一个人跟第二个人的解第三个人的解去看特解就行。你要能把这波内容掌握清楚，我觉得这个今年的矩阵方程而言的话，基本上就这样。好了，

大家听明白的给我回复一。其实还是挺烧脑的，对吧？其实要比上节课要稍微的难一点啊，因为这个综合度更大一点。操作性好了，这是这个事情，你要写b的时候，当然得把它写开呀。你得把它写开，你得乘上k1，加上它，这是第一个人。二倍的k1，再加上他是第二个人。

三倍的k1减去它，这是第三个人k1+0，你得把它解开。好，那么接下来我们继续，我们来看看矩阵方程解的判定。其实这件事情贼简单啊，非常的简单，大家琢磨一下啊，你好好听一下。请同学们告诉我。你发现。这个x有解的前提条件是什么？这个x有解，前提是x1有解x2有解x3也有解。

这三个人都有解，才会有解。是不是这个事情都有解，才会有解你存在，你存在s3不存在，这叫什么存在啊？这不叫存在。所以说这三个人都有解。而第一个解释什么呢？第一个人优解是系数矩阵的值等于AV大于一。第二式a等于多少a被打二。第30a的值等于多少AV打三？那要想相等的话，你不就等于a背大一背大二背大三不就行了？所以你就会发现一个事儿啊，

这个内容跟我们原来学的那个东西是一样，你现在不是一个矩阵方程吗？对吧，那么第一件事情，如果说什么呢？如果a的值。等于a杯大的值AB的值，它是有如果不相等呢？那这就是无解。对吧s是没有解，然后第二件事情，如果他们相等了，这叫大增光矩阵。相等的叫有解。如果你发现这个a是什么呢？

a是m×n的。它等于n。那第一个人的话，你看这是决定的有解。对吧？as等于贝塔一，贝塔二，贝塔三，那这样决定有解，然后再来看这个跟a的这个人的系数，对吧？这个列数之间的关系。它等于列数第一个唯一解第二唯一解第三个唯一解，那不都是唯一解吗？所以说这个时候它又变成什么唯一？

解，然后第三件事情，如果系数矩阵的值等于增广矩阵的值。这叫什么？这叫有解那有解呢？如果小于列数呢？每个人都是无穷多解，它不就是无穷多解吗？所以说这是第一件事情，我们干嘛用之？这是去年的考题啊，然后再看第二个事情，你还可以怎么办？用行列式。对吧，

行列式那行列式的话，这是as=b前提a得是一个什么阵是一个方阵。你得是个方针，你是个方针，我就直接上，如果这个行列式不为零。as等于贝塔一。那么，接下来我们再来看第二事情。这个这个同学啊，你这个你这逻辑感没有串起来呀。不相等，就是没有解。不相等统一规程没有解。然后相等了，

才会有解，再看跟系数之间的关系。你怎么可能说这不相等，跟这这这什么玩意儿，对吧？你不相等，就是没有解了。你相等的话，这个人就是有解了，然后再跟这个列数之间的关系好了，这个事儿不说了啊。然后再来看看as这个人，如果这个系数矩阵的行列式不为零为一解。波为零唯一解，波为零唯一解，

那三个人都是唯一解，那不就是唯一解吗？然后再来看第二事情，如果这个行列式等于零呢？它要不然没有解。它要不然，无穷多见。对吧，你要不然没有你要不你有没有发现这个东西跟原来学的一样不一样一样的吧，非其实就是解一个。矩阵方程就是解好几个。然后这个时候的判定的思维方式都是一样，用智用这个行列式。这两个内容简直是一模一样，包括这里面当中的第三个事情，

你听完第三个事情，你会更惊讶。好，我们再来看。你听好，如果这是ax=b。对吧？as=b。as=b的话，这个情况是什么呢？它是这样，你看你可以把这个b写成贝塔一。那大家想想一个事情。如果说什么呢？ax等于贝塔一。

这个人有井。对吧，这个人有解表示的什么？表示了a大一能被a的列向量所表出。如果说什么呢？如果说这个人有解。对吧，这是as等于贝塔二，如果这个人有解代表了贝塔二能够被a的列组标出。如果再来看看第三个事情，贝塔三。北大三的话就说诶，这个人那就立即可以说明什么，说明北大三这个人能够被他表出。那如果这个x存在。

不就说明这个x1x2x3都存在吗？是吧，这三个都存在。第一个存在说明北大一被标出，第二存在说明北大二被标出I3呢，第三个人存在呢，说明北大三被标出。那如果x存在什么意思啊？x存在的意思，这个东西有解与否？它其实就表示了。b的列。可以由a的列。线性表触。能理解吧好，

这是这个问题，你想刚才非其次线性方程组指的是这个尾缀能够被a的列向量所标出。但是现在是矩阵方程呢，那就说明b的每一列都能有a的列项，两组表述一样不一样。一样的吧。如果这是非其次线性方程组，那就说明尾缀能够被a的这个列进行表除。那现在每一个都有解呢，那就说明每一个都能被标出。那你发现这三波内容其实都是同理可推的。也就是说，矩阵方程式占到这个非其次线性方程组的这个肩膀上进行答。你原来求一个，我求两个。

求我也可以，求三个我可以求n个。好了，这是这个事情。听懂了吧？好了，掌握清楚给我回复一。掌握清楚给我回复一。这是这个事情。好了没？可以了吧？好，这是这个点，那么接下来我们来看看最后一个事情，讲完最后最后一个点，

我们今天课程呢。我们就正式结束了，那么后面部分当中还有两个知识点。那可能讲义过程当中啊，我稍微的进去去标了一下。啊标了一个问题，一个叫向量组的等价，还有一个是叫同解和公共解的问题，那两个部分内容是我们强化班的一个专题。来最后一个事情，你不要着急啊，你稳当一点。讲完再下课嘛啊。来再来看最后一个事情。我问你个事。

如果。有一个。向量组。北大夷。北塔二。移植到贝塔m。好，这个向量组。这个向量组能有。阿尔法一，阿尔法二，一直到阿尔法n。表出我说一下什么意思啊？哎，我说一下什么意思？

这个向量组。被这个向量组表除。指的是这个向量组当中的每一个向量都能被这个向量坐标，你不要着急，这个事情其实原本呐。这个部分的内容应该叫做前脚。才开始啊，所以说这叫基础班的一个什么东西呢？你把这个事儿你稍微注意一下就行了。啊，这是基础班的啊，怎么了？哪儿啊啊？好了，别着急啊。

这是基础班当中的前讲的部分内容，这个部分呢，我强化班过程当中会做重点的，加强它的难度系数大。区分度是有的，所以你们才要好好学。它有难度啊。所以接下来我们继续看，所以你看矩阵方程的话，其实就是三个板块啊，这个部分内容来继续看。这块内容能拉分对吧？有操作性。他说了一个事情，他说如果这个人。

能够被这个向量组表出，指的是这里面当中的每个向量都能被这个表出。那我想问你个事情。谁的志达？谁的指导？对吧，你这个向量组能够被我这个向量组表出。那么，接下来我们看，我把这人叫做b形成的矩阵。我把这个矩阵叫做a。告诉我谁优解。谁优解？啊，谁有解？

请告诉我事情。谁有解这矩阵方程？刚才讲过了啊。什么优解？一个向量组被一个向量组表出，谁又减？说明ax=b有解。哎，注意as=b有解。这个矩阵方程有解，指的就是b的列都能有a的列表处。这是刚才讲的吧？注意矩阵方程所表达的问题就是尾缀，这个向量能够被这个人的列进行表除。b这个人列能够被a的列进行表除，

那这个人有解马上推出什么推出a的值？不就会等于AB的值吗？而b不就是AB的一个子块儿吗？所以说这个情况。你看谁的值大a的值大？注意啊a的值导。所以一定要听清楚，你能被我表出我牛逼。你能被我表出我牛逼，我能被你表出你牛逼，对吧？你去表示别人，你是很厉害的。你要表示别人你很凶，对吧？

你是很厉害的，所以说他能被你表出你厉害。你优秀，这是你要注意的，所以说这也是一个重要定义。记住这个事情。对吧，所以你要听清楚一个事情，如果你能被我表出我的直达。对吧，我能被你表出你的指导。这是要注意的，然后接下来我们来看看，把最后一个题讲完，我们就能画上一个非常完整的一个圆了。

因为原来过程当中有一道题，我们当时没有讲对吧？我们说当时啊没法讲，但是你看。今天就能讲了，所以说所有的例题啊，我们都讲完了，也就代表这本儿讲义啊啊，就全部结束了。来看看这个人。好，最后一个题。来看一下这个题。那么这个题啊，当时我们说了一下这个事，

你现在看他说这个人。能由北大这个人表述，谁牛啊？啊谁牛？那当然是北大牛啊，所以说阿尔法一阿尔法二一直到阿尔法r，它没有什么东西啊。背大这个人厉害。对吧，被打者人厉害。好了，我们来看看他说。如果r小于s。那我们都知道，你看这个部分，

它这个部分现在是小于等于s。是吧，小于等于s，那么接下来我们先看看a选项和b选项。讨论性息相关性啊，你看就是看这个人的智。它跟它的个数，它应该跟r比。这个人只跟谁比呢？这个人只跟s比。是不是这个情况好了，我们先看第一个事情，如果r小于s。那r小于s，你想想一个事情。

那r就说明在这半边。在s的这半边。在s这半边，你是小于等于s。你等于s是无关你小于5s是相关你讨论不清楚，所以说二的线性相关性。讨论不清楚。然后r在x的这半边，那跟这个人之间什么关系呢？也不清楚，如果这个人呢？小于了之后是相关。等于是无关这说不清楚。但是反而有一件事情，你看有一件事情能说。

那如果是CD选项呢？现在的r是大于s。你r大于s的话，你看你这人是小于等于s，你现在r是比你大的。那这个时候我们来看看这个问题，你琢磨一下，你看你这个人跟s之间。等号是无关小，于是相关说不清楚，所以说二这个人的线性相关性说不清楚。但是呢。但是这个人。一定跟r之间是什么关系？是小于关系，

你绝对小于我，你绝对小于我，我这个人是一定线性相关。所以说，正确答案选几？c大家能听得懂我的意思吗？就是你看看这个人跟他之间有没有绝对小或者绝对等的关系？你这个人跟s之间有等也有小。而只有这个情况下，你才永远是小于我，你小于我，那这个部分呢？它就是线性相关。我说清楚了吗？好了，

听明白的给我回复一。这个不难哦，对吧？这个题，所以大家想清楚一个事情，这是它本来就有的式子。对吧诶，这是。哦a1哦，选d哦。诶，等我，等我，等我，等一下啊。

这个是等一下啊。这个这个人跟这个人是一组吧，不好意思啊，哎，不好意思，好再说一下，你看。这个什么情况呢？这个a选项和c选项是一组当r2小于s的时候。是吧r2小于s的时候，那r2在这儿说不清嘛，因为你还是小于等于s你跟r之间什么关系，说不清楚啊，不好意思啊，我看看失误了。

然后这个b和d才是一组吧啊，是这个情况r大于s的时候。啊，这样是一组，那这个时候的话，你看那r是比s大，那r比s大的话是什么情况呢？这个r要大一点。你这个人之间呢，说不清楚，所以说这个时候是北大二，这一组是说不清楚的。反而是什么情况呢？反而是这个人一定会小于r，那这人是线性什么关线性相关？

答案选，几啊，选d啊。对吧，分错了是这样，是一组这样是一组啊，你看清楚就行。能听懂吗？就是向量组的值等于个数是无关小于个数是相关等于个数是无关小于个数，相关就是一直在用这件事情。反反复复用啊，一直在用这个问题。好了没掌握清楚，给我回复一啊。这俩是一组，

看多了都。好了，这个事情我们就讲到这儿，那么这个线性代数部分内容我们也算正式的结束了啊，所有的部分内容我们就全部结束了。这就是我们这个板块内容，所以说最最后还有两个事情，我来把它标注到这，一定要注意。那么，线性代数当中还有两个问题。一个东西叫做。向量组的等价的问题。一个事情叫做。同解方程组。

啊，同解方程组。还有第三个事情方程组。公共界的问题。好了，这两个事情。把这两个东西啊，这几个部分内容是我们强化班当中的专题。哎，这是强化班的一个专题，所以说这个部分的内容啊，一定要稍微注意一下，就是向量组的等价。同解方程组，方程组的公共解的问题，

那么这个东西啊，是我们强化班当中的一个专题部分内容。所以你注意这几个事情啊，那可能讲义当中啊，没有标这个人，没有标这个人，然后讲义当中呢，只把这个向量组的等价放到上面了就是。保到最后一个知识点，这就是所有部分的内容。但是大家注意，这叫边边角角的最后两个知识点了。所有核心部分的内容，我们就全部讲完了，那么接下来过程当中，

我来说一下这个事情，这几天过程当中，我们是有事情干的。你稍微进行去注意一下。呃，在我们的强化班之前呢？我希望同学们注意你把这些东西你再给我串一遍。其实你会发现一个事，我们在这个基础阶段做的有些题啊，难度系数其实挺大的。啊，其实挺大的，所以在这种当中，你稍微进行去注意一下，我接下来稍微的进行去说一下，

那么最近段时间你好好进行，把这个东西给我复盘一遍。因为之前呢，高等数学我们已经走过一遍了。已经走完过一遍了，所以接下来我稍微的进行去，大致说一下，你看我给你稍微的留了一下对吧这个？这个诶，这是11哦。这是十一十二，不好意思哦。好了，我稍微说一下，你们稍微把这个部分的东西啊，

你先进行去看看。那么，在这里面当中啊，我说一个事情呃，我们是23号对吧？明天的话，明天是21号。然后22号刚好端午节啊，你可以稍微的休息一下啊，端午节休息一天，然后呃，我觉得复盘呢。倒是稍微的会轻松一些，你把这些东西好好给我剪一下啊，好好给我剪一下，

然后我们刚好是12号。我接下来先说一下啊，你先进行去开始这个线性代数，因为线性代数啊，你这个印象是最深刻的。你趁着这个印象深刻，你就把它完完全全的装到脑子里面。不要把它再再给忘掉了，你这一年过程当中都不要忘，你一直把它留到了今年的12月24号的11点半。你11点31分，你11了都行啊，那都没关系，所以说我们这个从23号一直到什么？7月2号注意。

这个板块的部分内容把这个线性代数好好进行复习一下。对吧，把信息带出，好好看看，然后每天过程当中啊，我们是有这些部分的内容，你比如说行列式的定义和性质，你觉得当天部分的东西稍微的少一点。你就可以把高等数学再看看，你不要着急，这个事情你就把我基础班部分的这个东西啊，一定要做扎实。啊，一定要做扎实一点，如果你觉得当天的这个线性代数啊的任务点少，

你比如说行列式的定义和性质。还有这个部分的行列式的，这个计算如果东西稍微的会少一点，你就把高等数学的部分，你再好好看一看。能听懂我的意思吗？哎，因为之前部分的高等数学，我们已经复盘过一次了，我现在要求的是大家把这个线性代数和概率统计，你好好再复盘一遍，你复盘一遍，我们就可以直接上强化班部分的课程了。所以我希望同学们注意你做稳一点，你扎实一点。

好了，这是这个事情。那这两天就我看看啊。因为这两天的话，你叫我看看，因为才在排，我觉得还挺还挺好看的，因为这两天才在定稿，对吧啊，才定稿。然后呃，强化的话，这个书啊，我也会在我也在中间给你们留了这个空，你们稍微等一等啊，

稍微等等，然后的话，这个很快就出来了。然后中间呢，也有留的这个空，然后像这些东西啊，你们自己都可以进行去填啊。原本是一个绿色，但是被我给pass掉了。他这个没有没有这个。啊，没这个好看。原本是这个，这个也还行，但是最后打印出来，

其实没有那个效果好啊。啊，没有这个效果好，所以说这个。还可以啊。行吧，这个还能还得调一调啊。呃，所以说下去你好好进行去，把它确定一下啊，然后我说一下你们不要着急这个事情，因为你只要把这个基础部分呢，你复习的扎实，然后强化班过程当中你的提升会非常的快的。啊，

提升会非常快，所以说大家注意达到一个什么能力，那能力呢？我不能说100%。我只能说一个事情，就是百分之至少百分之八九十吧，80%你总能做到。所以把这些东西啊，你好好记住一下，就是你自己截个图啊，把这个页面截个图呃，我们应该是七月。七月的话，我们是15号，应该是七月的话，

这个周啊，这个周会给你进行寄送，你不要着急这个事情啊。好了，这是这个问题诶。没有这个下面了啊。稍等一下，把它给标一下。啊，到时候。这是刚才的话，粘过来重复了。所以说稍微进行去，你把这个东西啊，你截个图就说我们最近段时间你先把线性代数好好进行复盘。

对吧，线性代数你好好复习一下，把线性代数复习完了之后，然后我们会有个测试。我们这个测试的时间呢呃，大致应该是在。在二号左右，就是你把线性代数复盘完了，结束了之后，我们会有个测试，所以说我们这块东西啊，会安排有两次测试。你稍微注意一下这个时间呃，我看一下吧，我基本上会在这个六月底安排一次。

啊，六月底安排一次，然后的话就是这个呃线性代数结束啊，差不多是四号吧？四号这个样子，我还会再安排一次，所以你到时候你去看看，是我们整个高呃，这个什么这个学习的这个基础部分的所有的内容。啊，你到时候看时间，到时候看时间啊，我会给你排的，也就说月底对吧，六月底来一次。

然后的话差不多是这个三四号来一次。好了，三四号来一次。那所以说这两天呢，我估计呃你你们不用着急这个事情，因为前两天的话也统计过一个问题，一个事情呢，我希望大家把这个东西啊，做的更扎实一点。另外，事情呢，很多同学估计也就十来号才放假吧。估计也就十来号才放假啊，然后这个十来号你把这个东西做好，这个准备工作。

啊，然后我们差不多呃，还有。你到时候看我安排吧，你看我安排我这个七月初来一次行不行？七月初来一次，然后再是七月。十一二号来一次。啊十一二号来一次，然后的话，你把这个东西稍微再整理整理，我们就开始强化，那我们强化部分的这个课时呢呃，基本上是上到这个一周的话是。三到四次课程，

所以我觉得你强化部分的过程当中呃，对于高等，对于数学部分的那种，我觉得你投入的时间呢，你基本上每天部分把当天的部分东西消化到位。我觉得就非常好了，然后你想做一些练习，你可以做一些练习，然后另外事情你还有一个问题，就是你的逻辑和写作呢？对吧，把你的逻辑和写作你该进行复习的，你还得复习一下。哦，有讲解哦，

有讲解。这个你不用担心啊，是有详解的，所以大家不用担心这个强化部分啊，其实你强化部分复习完了之后，我们今年所有的这个大纲要求的知识点和提醒就全部结束了。所以至少而言，我觉得后续还有什么呢？你看这是。就是强化前。对吧，强化班之前。这个这是一边。然后第二事情强化。时候还有一遍。

然后第三个事情是强化结束。强化结束。还有一点。啊，这些遍把它做到位了，就是把这几遍做到位了之后，我觉得这个基本上是三遍，你自己还走过了一遍，我觉得这是四遍。那差不多这个时间呢，我说一下我们强化的这个时间是。七月十五前，你自己好好看看时间，这时间是非常完整的，这是7月15号之前。

然后这个是8月20号左右。左右，然后第三个阶段的话就是我们基本上大纲今年发布大纲的时间也是差不多是九月，去年是。去年是9月18号还是20号？我忘了，差不多也是20号。对吧，20号之前，所以你看这就是三编，那三编的话，我觉得结束了之后，然后的话，你的秋季过程当中，你就可以做模拟卷了，

我觉得今年啊。这个数学前期你时间复习的非常的扎实，你后面过程当中就会非常的轻松了。你不不要到了那个什么去年的话，班级上有很多同学的情况是什么呢？那不是说这东西。呃，不会了，是因为实在是没有时间了，那说实话是实在是没有时间了，你到了那个。休息的过程当中啊，你会发现学这个东西也能听得懂的啊，学这个东西也会的，但是你会发现你还有逻辑写作，

政治英语专业课一堆来了。那还学个鬼。也不是学不懂了，那实在是没有时间，你每天的话，你发现你有一堆东西复习不好的时候，那这个。心情可不是不是那样子的。所以我觉得到了前期过程当中，把这些东西做到位了呃，后续过程当中修修补补就行了，你要是到了那个时候，你还有一堆东西没复习，那我觉得。啊，

又紧张，一紧张，并且乱投医，所以我觉得效果就不好了，好了，这个问题啊，我们就说到这儿嗯。呃，当然，在复盘的时候啊，你觉得你学有余力，你可以多做一些题也是可以的，我觉得这个没有关系。对吧，不限制大家，

就是你在复盘的时候，你比如说这个部分的知识点，哎，我觉得我想进去去看看消化的怎么样，你可以再去练一练，我觉得都可以。好吧，同学们那么讲到这儿，我们今年过程当中啊，三九六全程班的基础阶段的课程，我们就全部结束了。这是我们整个的这个第一个阶段的课程，时间也比较长了，我们是差不多是从这个呃二三月份一直上到现在。上到现在的话，

我们这个所有部分的部分的内容啊，我们就全部讲结束了，那今年的这个基础班呢，对你们而言的话非常非常重要。不是重要，是非常重要，因为对于我们而言，我们的基础班其实是这一年过程当中比较重要的一个班块内容。那么，数一数二数三到了强化班过程当中，还得继续再往上拉很大一个部分。但是我们而言，核心主体的部分的东西已经卖过一遍。强化班过程当中我们的主体就是来练题型。好吧，

那么这个部分内容我们就讲到这多复盘呢，一定要好好复盘，我希望大家最近一段时间多进行复盘多。多巩固。行吧，那么这个事情我们就说到这，然后这两天复盘完了之后，我们刚好有个基础阶段的这个测试，我们测一下啊，不然的话有些同学比较。这个稍微听完了之后，你有点飘，你看看这个情况，我觉得用考试这个事情呢，然后进行去检测一下大家，

我觉得效果还蛮好的。对吧，至少而言的话，你看看是不是跟这个实际的情况还是有点差距，所以这样的话，大家会心平气和一点，强化班过程当中复习啊，我觉得会。会更好的精心去投入进来啊。好了，那这是这个部分内容吧？啊，唱歌吗？那我没有准备呀。也行吧，

这个今年的最后一次课程。呃。我就唱一个那个，我上次周年庆准备那个歌吧，好不好啊？我就唱一个那个。因为那个我还练了练啊。稍等我一下啊。我找找。好，稍等我一下啊，我找一下。哎，哪去了？咳好就唱首那个青春大概吧，

好不好？哭过笑过，恋过恨过。仿佛是一梦蹉跎。迷惑失落，犹豫寂寞，谁都是凡人一个。心水还等不及长流，愁到已断不了情仇。牵手还是放手？不如一个在以往中不舍嘴心交错。青春大概如你所说，在花落时，结果期望很多。青春大概都这样过。

我怎么感觉没有卡住这个调啊？数着等着望着爬着，青春已时日无多。诱惑赤裸，一跃闪躲，谁不是凡人一个？心碎还等不到长流，收到一盏不断情仇。亲爱的朋友。不如一个在以往中不舍嘴形交错。青春大概如你所说，在花落时，结果希望很多。青春大概都这样过在。不行不行，

这个今天没找到，调下下次再说啊，行吧，我们就唱到这儿啊。我发现这个中间啊，老师这个啊调啊，行吧，那么今天我们就讲到这呃，下次我们讲那个模拟卷再说吧，好吧？我们下次讲卷子，那今天的课程呢？我们就讲到这儿自己下去啊，把这个相对应东西啊，好好处理一下呃，

从后天就开始。好吧，6月23号你就开始，你就把这个线性代数，如果线性代数你觉得呃稍微的简单一点，你就进行去把那个高等数学你好好进行看看。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这啊，然后的话你看一下那个课表，我到时候会通知听懂吧，你最好看一下那个课表，我会有个通知。然后会通知同学们进行去模考。好了，

那么今天课程呢？我们就讲到这自己下去啊，把相对的东西好好处理好吧，同学们，那我们下次过程呢，我们就是这个呃。模考的话，我们还能再见啊。模考，我们还能再讲两次，如果你觉得你的模考没有什么问题，然后的话，你就我们就强化班，我们再见了，好同学们，

那期待我们在下次课程呢，我们再继续好吧，好，下次再见。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册