10.齐次线性方程组-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:58:24

看看这个下面部分内容啊。啊，怎么了？来，我们继续啊，我们再来看看这个下面部分，刚才过程当中啊，我们讲了这个其次线性方程组的表达形式。对吧，一个齐次线方程组啊，它怎么样叫齐次线方程组呢？齐次线性方程组最核心的一个问题啊，就是你这个尾缀的这个部分全部都是零。你就叫其次的。你只要这个部分都是零，

你就是个其次线性方程组。对吧，如果这些东西不全为零，不是说不能为零，是有些人可以为零，你只要不全为零，就叫非其次线性方程组。啊，怎么了？没有声音吗？呀。可以了吗？诶，我卡了。好，

可以了吗？可以了，我我重新讲啊，重新说好吧。好了没？可以了是吧？好的好的好的啊。行，我再说一下，那么在这门当中啊，什么叫其次线性方程组呢？就是这些尾缀啊，全部都是零。如果你全部都是零，你就是个其次线性方程组。

对吧，所以说它的这个尾缀全部必须都为零，如果不全为零啊，可以有些人为零，但是不全为零。它就叫非其次线性方程组，那是我们下节课的内容，我们先讲其次部分。那么，接下来我们把这个东西啊写成这个矩阵形式，那矩阵形式非常好写，那么第一件事情把所有系数写出来，形成系数矩阵。a幺幺a幺二，然后这是a1n，

然后第二行第一个第二行第二个，然后是第二行第n个。继续下下去，这是am 1，然后这是多少am 2，然后继续下去amn。这样的一个东西，再把这里面当中所有的未知数写在这s1s2，一直到SN那这个最后的尾缀呢，它就等于零。你注意这个零呢，指的是零向量啊，你要听清楚，这是个零向量，所以因此我们一般情况下把这个人写成什么？

系数矩阵乘上未知数向量等于零的形式。所以因此啊，其次线性方程组往往写成as=0的样子。没问题吧，来继续来看。如果把这个系数矩阵的第一列叫阿尔法一，第二列叫阿尔法二，最后一列叫阿尔法n。你发现用这个东西进去去乘它呢，那不就是阿尔法一一直到阿尔法n×x一一直到xn吗？对吧，来走第一行第一列第一啊，这个什么第二个，然后一直到第n个那就是。x1倍的它，

再加上x2倍的它，然后一直加到多少xn倍的它？等于零，这没问题吧？哎，所以说把这个人的每一列写到这啊，这个阿尔法一就是系数矩阵的第一列。rf 2就是系数矩阵的第二列rfn，就是系数矩阵的第n列，然后乘上这个向量就变成了这个人，所以说就得到了。向量行驶。这个内容啊，非常的重要，我们来理解一下。

请注意这个阿尔法什么意思啊？这个阿尔法I表示了系数矩阵的。对吧，系数矩阵的did。对吧di列，然后这个xi表示什么哎，就是第I个未知数。是不是啊？第I个未知数，所以说它的系数都是什么系数？都是方程组的解。对吧，系数都是方程组的解，而它这个向量呢？是那个系数矩阵的每一个向量。

而且第一列呢，就要乘上第一个未知数，第二列啊，乘上第二个未知数，能理解吗？好了，这是这个事情，我稍微浅讲一点啊，因为一会儿我会重点讲。大家有没有发现一个事儿，这是什么玩意儿？有人说啊，老师，我这看不清楚啊，你把它给我改成k1。

这什么东西？这不就是线性相关性吗？如果这个线性组合等于零，这不就线性相关性吗？是不线性相关性好了，那么接下来我们来看，如果所有系数只能为零。只能所有系数等于零的时候才等于零，是不叫线性无关。所有系数都等于零，那不就是所有的解只能为零吗？那不就是方程组只有零解吗？你是不是这个事情？你看看这个问题，如果存在于不全为零。

那不全为零的话，就是解不全为零，解不全为零的话，不就是这个向量不为零吗？所以说有非零解，你看这个东西把线性相关性，又跟这个方程组的解挂钩起来了啊，所以这个事情一会儿我再讲。我们先不讲这个问题。你就知道有这种情况就行。能听懂吧哎，所以说一定要注意啊，一会儿你就会发现它是一个非常非常完整的圆啊。好，先学到这儿浅讲一点啊，

浅讲一点，一会儿会重点来讲。是吧，所以说一个方程组有三种形式，一般形式最喜欢。矩阵形式还可以向量形式。我疯了啊，这是很多同学的情况，就是见到这个向量形式的话，你发现这怎么是方程组？这也是方程组。对吧，你这就是系数，就是每一个解。然后的话，

这个人呢？就是系数矩阵的每一列，这是要注意的。好，这个事我们就说到这，那么接下来我们先来看看第一个问题。我们来讲讲其次线性方程组解的情况。啊，我们来讲讲企业的判定。这个事儿很重要，很重要，因为我们在这章的学习过程当中就是两个事情。第一个事情就是解方程组，第二事情提前先判定一下，方程组的解的情况好，

我们先来看看。其次，线性方程组。其次，线性方程组。我问一个事情。其次，线性方程组会没有解的情况吗？它不会的，我也有三种解释，第一种解释。从这看。它的系数矩阵是这。它的增广矩阵是这。这两东西永远都相等，

永远有解，所以其次线性方程组不会存在无解的情况。第二件事情，我们从这儿看。你就会发现，当我所有系数都这个什么，所有的未知数都为零的时候，你肯定成立。你想想你s1是零，你s2是零，你SN是零，你所有人都是零的时候，你成不成立？你成立啊。是吧，

你所有人都是零的时候，你肯定成立呀，所以其次线性方程组一定有零解。对吧，一定有解第三个事情，我从这儿看你，看你从这儿看，就说你让这个未知数啊，这个向量你所有人都等于零的时候。你来看看你这个系数矩阵乘上零是不是零？那当然是零啊，你乘上零，那肯定是零啊。所以大家注意啊。其次，

线性方程组一定有零解。这是它的重点内容。必有邻解。一定有零解什么意思呢？当所有的未知数都是零的时候，一定是它的解。不要说其次线性方程组无解，这是个非常荒谬的一个现象。它一定有解，所以我们讨论的是什么呢？讨论的就是只有零解吗？还是有非零解。对吧，只有零解吗？还是有非零解，

那么接下来我们来看看，根据刚才那个判定，还记得吗？那个菲齐斯的判定还记得吧？系数矩阵，现在永远等于增广矩阵，我们先看第一个问题，如果这个系数矩阵，它怎么了？呃，第一件事假设这个a是一个m×n的矩阵。那m×n的矩阵，如果我等于这个nn就是未知数的个数。大家想想，在刚才的情况下，

它一定是什么情况？系数矩阵已经等于增广矩阵了，而且还等于未知数的个数，刚才什么情况，唯一的解。是唯一解，而你想想它一定有零解零，永远是它的解，那就说明是唯一的什么样的解。唯一的嘛，零解是它的解，唯一的解，那说明什么？说明只有零解。哎，

注意下唯一的零解就是只有零解这个中文能力能转过来吧，好再来看。如果这个系数矩阵的值小于这个人，不会超过的啊，那怎么它就有无穷多解，所以说就是有。非邻界。有非零解，或者叫做有无穷多解。好，这两句话是一样的，所以你看判定性的方法，第一件事情用之。用什么判定呢？用秩序判定。

判断这个齐次线性方程组解的情况，第一件事情可以用质来判定。系数矩阵的值等于列数只有零解小于列数有非零解，你看这个事，它但是它一定有解啊。然后第二个事情还可以，怎么办？用行列式。哎，用行列式，但是用行列式，你要注意一个事情，你这个人呢，必须是个什么，你必须是个方的。

哎，必须是方的，那什么意思呢？好，这是第一条，第二条我们来看看，第一条如果这个系数矩阵的行列式不为零。是满支满支的话，不就说明系数矩阵的值等于n吗？对吧？等于列数那这时候呢？只有凝结。好，这个问题，然后第二件事情，

如果这个行列式等于零呢，那就不满值系数矩阵的值小于它的列数，有什么解有非零解。啊，有非零件。好了，这就是我们在这里面当中啊，讲解的这几个问题，所以说第一件事情用之第二件事情呢，用行列式。用质用行列式，这就是我们的两种处理性方法，能掌握清楚吗？应该没问题啊，对吧？

这个判定性方法就是两种用质来判定。用行列式来判定用质，判定用行列式判定两种判定性的方法。啊，注意一下就行。所以将来只要是一个方程组啊，他让我去判断它，它有多少解我，就有两种方向，我要不用之，我要不用行列式，但是行列式必须是方的。好听明白的给我回复一，这非常简单啊，来做几个题吧看看。

抓主要矛盾啊。那么，如果是用质的话，行列式就是为零不为零，如果用质呢？用质跟谁比？我再说一遍。就看系数矩阵的值跟谁比。跟谁比？跟未知数的个数比，也就是a的什么东西呢？系数矩阵的列数比。大家注意啊，是列数跟行数有关系吗？没有关系。

注意啊，是跟列数进行去比较。来一起来看看。其实有一点关系，但是主要关系还是列数。对吧啊，主要列这个关系还是列数，你万一的话，你那个行数让我永远让那个质超不过那个列数，那那那就没办法了。好，我们先看吧，看一个题再说。那么，它说a是一个m×n的矩阵，

然后这个其次线性方程组啊，它系数矩阵的值是r。则这个人有非邻解的充分条件，谁能让我有非邻解？有两种情况。一种是行列式，一种是质，但是这不是方阵，没法用行列式，只能用质，那就是什么？就是让这个人的质怎么了？它有非邻角。小于谁呢？小于这个n。

大家注意，就是让r小圆。对吧，只要你能让我r小于n，我就一定会有非零解。然后看第一个事情，这是不可能。你r=n的话，只有零节，这不对m=n。你m=n的话就说明这个人是方阵美。方阵就一定有非零解吗？那不胡扯吗？如果方阵一定只有非一，一定是有非零解，

那我以后见到方阵我都不求了。方阵一定是有非零解，那刚才我们都知道方阵也有可能只有零解这个东西啊，肯定不对。来再来看后面这个人，那m和n的关系好，我们先看看这个矩阵。大家注意一个问题，你看如果m小于n呢？大家注意啊，你看你这个m，你这是n。你这m小于n，大家想想一个问题，你一个矩阵的值永远会怎么办？

小于行数也会小于列数吧？你现在而言的话，你看你小于m，然后小于。这没有问题吧？你既小于m，也小于n嘛，你现在n大一点应该是这样的一个排列关系，所以这个时候我们就立即可以得到你这个人。一定是这个样子，所以说这题正确答案选几c。但是你看d选项就不行了，d选项为什么不行呢？d选项的话，我又小于m又小于m，

你现在是m大应该是。小于等于n而怎么办？这个小于m。但是这个时候啊，这个人的质他还是跟in呢，是小于等你等的时候只有零解你小于的时候有非零解。所以说这个时候就说不清楚，对吧？我又比m小，又比n小，你再大一点，谁大谁就排到前面去嘛，所以判断不了，所以这他不行他。你发现这块题不难了，

它好学，到最后又是一个什么事情呢？又是一个用致敬性去判定的问题。还是回到一个事情，就是看质，我还是看你系数矩阵的质，跟谁比跟我的列数比不是行数。是跟我的列数比。一定要注意啊，只是跟列数比，不是行数。好了，这是四点一这个题。过去了，可以吗？

来再看一个题。好这种题啊，我们做了非常多了。首先，我们先看第一个事情a是一个m×n的矩阵b，是一个n×m的矩阵，那么现在我们来看看这个其次线性方程组的系数矩阵是什么？它的系数矩阵是一个m×m的矩阵。这是它的系数矩阵m×m。那么，所以我们接下来判断这个人的解的情况，我们就是干嘛呢？我就是应该看。这个人的智跟谁的关系啊？跟m的关系等于m就只有零解小于m，

有非零解，那所以说你看我们学的这一套东西是不是一个体系啊？学的东西都一模一样，来走一下吧。那么，现在这个题我要看AB的值啊。而我们只告诉了a和b的情况，所以说要转一下，那就是越沉越小呗。是不是这个事情你小于a也小于b，随便写一个就行了，小于等于a，你有没有发现这个题做过呀？然后这个a呢，它是小于等于m又小于等于n。

我们先来看看第一个事情，我们先看AC选项。AC选项是n大于m，那就是AB。小于等于a现在谁大n大？小于等于m小于n，那么现在什么情况呢？现在这里面当中的这个AB啊，跟这个人。你说的清楚吗？你发现AB这个人是小于等于m说不清啊，等于m只有零解小于m有非零解，你这说不清楚啊。那么然后再来看这个BD选项，那BD选项的话就是AB这个人。

然后小于a的这个值，然后现在谁大呢m大那就小于等于n，而且又小于m，那这个时候的话，马上就可以写，你看这AB这个人。它一定是比m小，那么就有非零解嘛，正确答案选d。有没有发现这个题我们做过呀？你做没做过？做了好几次了。有一次过程当中，我们是看线性，相关性。

我们出了一道，有一次我们进行去看那个矩阵的值，我出了一道。这种题我们做做烂了，对吧？做了好多了，你发现一个事情到了这个方程组的这个阶段，这个质是不是还是很重要？质依然很重要。啊质非常重要，好四点二这个题。过去了，可以吗？来，继续吧。

再来看看这个题。继续噢，我们看这个题。他说，已知这个方程组只有零解。那么想想一个事情，你只有林姐有两个事儿，一个事情就是。系数矩阵的值怎么了呢？它是满值的，它等于列数。然后另外事情就是这个行列式呢，它怎么办？不为零。对吧，

有这两种情况，这两个东西啊，都是充要条件，你用这个可以用这个也行。如果质等于三，你只有零解，如果行列式不为零，你也只有零解，所以两个条件都能用，那你用谁呀？你用谁啊？用质的话就进行初等变换。用行列式的话，你可以进行去变换，也可以行列式展开。

所以说这个题啊，行列式的优越性在何处呢？它可以进行行列式的展开。啊，算了吧，这个统一不了，我就两个都做一下吧，来先看看第一种方法。这题看不出来哪个更简单，所以我们先用一下好，先用一下这个人吧。用一下质的话，这就是幺二幺，然后这个人呢，减去上面的几倍啊，

减去二倍零。然后减去二倍呢，这是负一减去二倍，这是a减去上面减去上面减去上面，这是负三好了，这是这个情况。那么现在这个人的质呢？他这个质啊，一定要等于三，一定等于三的话，这两个人肯定不能成比例，那然后接下来我们算算算一下吧。幺二幺是零多少？这负一这是a，然后把a- 2倍加下来a- 2倍加下来，

这就变成零。然后这就是a乘上a- 2再减三。是变成这样了。所以接下来我们看看这个质等于三，所以说你就会发现这个人一定怎么办？不为零。你其实啊，你用这个质啊，你还不如行列式呢，行列式做到这一步就不做了，直接展开了行列式有展开性的定理，这就是它优越性的特点。所以说就得到了a方减去2a，然后减去三不为零。所以说这是一三得三，

那就是减三，然后是加一，这个不为零，因此这里面当中是a不等于三。且不等于负一。注意啊，不等于三且不等于负一，你要用行列式的话就非常简单了，来我们来看看第二事情用什么东西啊，用行列式行列式的优越性的特点就在于它有行列式的展开性定理。来走一下行列式，行列式就是幺二幺，你减去上面二倍零对吧？对这个人减去上面二倍，这是负一，

这是a减上面一倍，这是零减上面一倍的话a- 2减上面一倍负三。然后怎么办？直接利用行列式的展开定理做就行，那就是三再减去a倍的a- 2，然后这个人不为零。一样的吧，两种操作都行。你可以用质的路线，你也可以用行列式路线，两条路线用出来，这个结果都可以。其实吧，这个行列式啊，有的时候如果是充要条件的时候，

行列式更优越一点，优越在于它有行列式的展开性的定理。这是它优越的点啊，注意一下，然后我们再来看一个题，你看这个题。来看这个题。那你告诉我这一题用什么方法呀？它说有非零解，非零解就是质小于三。小于它的列数嘛，第二事情行列式等于零用谁呀？这俩人都是充要条件啊，对吧？这个题肯定用行列式，

为什么呢？因为你发现你直接上来就行了。你上来的话，这是杭河乡等级吗？对吧，这是我们经典的行和相等型幺a幺幺幺a，是不是这个情况都把它加到第一列？加到第一列，都把它加到第一列，加到第一列就是a+2把a+2提出去，然后这是一一一是1a一一。a1a。减去上面这是零减去上面这是零，然后这是a- 1减去上面这两个人都是零，然后这是a- 1，

所以说这个结果就是。a+2这个人的a- 1^2=0，那所以这个人怎么写啊？这是等于负二。或者以。要注意啊，或者一只要有一个人等于零，它就等于零。只要有一个人等于零，它就等于零。好了，这是这个题不难吧？啊，所以说你要会做啊，这个基本的问题点呢，

你还是要想清楚，过去了可以吗？可以了没？应该没问题啊，对吧？这个操作性还是很重要。好了，这是我们讲的这样的一个重点内容，那所以说这个解的这个情况的判定呢，是比较关键的。我要会进行去判定这个人的井，这是很重要的。好了，接下来我们继续吧，我们来看看这节课的一大重点内容，

大家好好听啊，你认真听，所以我希望同学们注意这节课我讲完了之后啊，你下去得练一下。因为我们这个部分的内容啊，最重要问题两个事情，一个是方程组解的判定。一个事情是方程组的，求解，你要会解方程组啊。所以接下来我拿一个题啊，我先来讲讲。呃，我先说一下啊，其实我们三九六这块考题啊。

你虽然在这种当中，这个考的这个方程组不会说特别难，但是大家注意你写的快和慢，你在考试当中的状态是不一样的。接下来我讲这个人呢，我先前讲。就是我先讲一般方法。但这个方法不是最好的。一会儿过程当中，我们还有个最牛的方法。解方程组眼睛漂着漂着就出来了。所以我们先讲一下，我先讲一般方法。包括同济教材过程当中讲的这个也是这个一般方法，所以你先听啊，

一会儿我们再说。那么，接下来我们来解这个方程组。大家想想一个事情，这是个其次线性方程组。那其次线性方程组，因为后面都是零你，比如说给这行乘上二倍，后面还是零。对吧，你把这俩一加，你这后面还是零。你把这辆调换，这后面还是零。所以你无论做哪些操作，

它的后面的过程当中永远都是解，永远都是零吧。你现在永远都是零，所以我现在而言，需要把这个增光矩阵写出来吗？不用，只需要写系数矩阵。所以其自线性方程组的求解，只用把系数矩阵写出来就行，因为你知道它永远后面部分都是零。然后这是三六，这是负一，这是负三，然后这是五，这是十，

这是一，这是负五。那么，接下来我们来解一下这个方程组啊，我们来解大家都知道解方程组怎么办？就是对这个系数矩阵，然后进行初等行变换，化成行阶梯阵。化成行阶梯，其实就是对这个方程组做简化，所以以后我们见到这个人，我们要能反映出来哦，这是一倍s一二倍的s二一倍的s3-s四=0。三倍的x1。加上六倍s二减去s三减去三倍的s等于零，

这是你要注意的，所以接下来我们来进行去变换。然后是一二一负一减去三倍零三倍零减去三倍负四减去三倍它。然后减去五倍零，五倍零，减去五倍呢，这是四负四，然后这是零。好了，然后用那个负四干掉这个负四，把它变成零。给这一行同时乘上负四分之一，变成一这个操作练的熟吧，你不要到了今天过程当中，你不会做这个操作，

这是很尴尬的。好了，这是行阶梯，但是它还不够简化，所以我们还得怎么办？进一步的进行去把它变成。糖最简。你到了今天你你发现一个事儿，我们从第一节课我们学到今天都是这样操作。第一天，我们进行去高次消元，高次消元到了今天还是高次消元。不要，还不会把上面干一下，然后负一倍上去，

把它变成零零上去消消不动，那就是它，所以就得到了行最简矩阵。这就是行最简矩阵，然后接下来我们来看看这个事情。来听要注意，请问同学们这个人的智等于多少？质啊，你发现它的质等于二。那所以说有效方程的个数是啥？有效方程是两个。对吧，而我们有几个未知数呢？我们这个nn=4。有四个未知数。

对吧，有四个未知数。那么说明这总共是四个未知数，有效方程是两个，有效方程是两个，只能解几个未知数，只能解两个未知数。是吧，那说明有几个未知数解不出来啊。有两个未知数解不出来，把那两个未知数叫做自由的未知数。太自由了。对吧，解不出来，所以说这个自由未知数的个数就等于n-ra。

没问题吧？呃，有两个东西是解不出来，把那两个未知数叫自由未知数。那么，接下来我们来看看那这个自由未知数，我怎么进行去确定呢？大家注意一个问题啊。这个阶梯口处这个部分。对吧，阶梯口这个部分我们说这个未知数，我们做规定，它叫做独立未知数。要注意啊，阶梯口的未知数是独立未知数。

啊，阶梯口，因为这个阶梯口这个部分呢，它们对应的列是线性无关的，因为它是极大无关组线性无关的。哎，独立未知数，把独立未知数之外的这个未知数就叫自由未知数，你要听清楚我的意思啊，我再说一遍。一三这两列是阶梯口独立未知数。那这个时候我们自由未知数，怎么找呢？自由未知数一定要会找，就是这个人和这个人。

好，我再说一遍，自由未知数怎么找呢？就是除了阶梯口之外的这个部分是自由未知数。对吧，除了阶梯口之外的这个未知数叫自由未知数，其实你知道什么叫独立未知数吗？独立位置数其实叫做啊，其实是这样规定的。我说一下，我简单说一下，就是极大无关组所对应的那个未知数，叫做独立未知数。你想想。这两列是不是可以作为极大无关组？

所以说这两个人其实就叫独立未知数。当然，这俩人也可以叫独立未知数。为什么呢？因为这个每一行取非零元嘛，那这两个东西啊，也叫极大无关组叫独立未知数，这俩人也行，但是你注意啊，你就即使。阶梯口。是独立未知数，除了独立未知数之外的，叫自有未知数。我再说一遍啊，

大家听好了，怎么进行去找自由未知数呢？除了阶梯口之外的我们，选它作为自由未知数。好，所以说往往选的是谁呢？往往选的是阶梯口之外的。啊，这叫自由未知数，所以说这个题的自由未知数是谁啊？是x2和x好这一步听懂了，先给我回复个一。我再说一遍哎，注意一下这个事，我再说一遍，

除了阶梯口之外的那个未知数叫自由未知数。自由未知数，知道怎么找了吧，然后接下来我们来把这个方程继续写一下来，跟我一起写啊，你看第一行怎么写？一倍的s1。二倍的s2。减去s=0。然后第二行呢x3=0。是不是这个事情好了，那么接下来我们来看看我们要解的这个方程组是谁呢？我们要解的这个呃，不是解的解这个方程组啊，不就是s1s2和s3和s4嘛，

解这四个未知数嘛。这是我要解的。然后怎么办呢？我们都知道自由未知数。自由未知数的话，这个部分呢？它是自由的，我用自由未知数表示独立未知数。大家注意，独立未知数，也就说x1和x3本来就能解得出来。对吧IC和I3本来就能解出来，然后我们又怎么办？用自由未知数表示独立未知数，你告诉我IC 1等于几？

这俩是自由未知数s1等于多少等于负二倍的s 2+x四。s2是自由未知数。s3是零。s4是自由未知数。能听懂吗？就用自由未知数表示，这个独立未知数，然后就得到这个人，然后把这个人呢s2的写开s2写开，把s2抽出来，其实就是。负二一零零。然后这个是x四把x4抽出来就是一零零一。是不是写成这样了，所以你看这个方程组，

我就解出来了，然后把这两个自由未知数写成任意常数，因此我们就写成。k1倍的负二幺零零。然后是k2倍的幺零零幺，然后在后面过程当中写了一两句话k1k2为。任意常数好了，这就是我们的方程组的解。啊，这就是方程组的解。能听得懂吗？这就是我们的做法。所以说他的做题就是这样，把系数矩阵经过行变换化成行阶梯，化成行最简。

然后怎么办？找到自由未知数，用次由未知数表示独立未知数。表示出独立未知数，然后这样的话，我们就可以解这个方程组了。好了没好，这是这个事情。所以这就是我们在这里面当中啊，这个方程组的情况，然后我们给这两个向量。起了两个名儿啊，起了一个名儿，它叫什么？叫做这个人的基础解析。

啊，基础解析那么如果这个向量叫可塞，一向量这叫可塞，二向量这个基础解析叫可塞一和可塞二。对吧，基础解析不要着急啊。你不要着急，这个事情我都会讲，我刚才说了这个方法是一般方法，我一会还有方法。好了，这俩人叫基础解析。那什么叫基础解析呢？基础解析可以用来表示我这个方程组里面的所有的解。对吧，

找到基础解析，前面配上系数k，那这人就是通解。所以接下来我们一起来看看今天的黄金，重点就在这那方程组它的这样的一个通解结构到底长什么样子呢？那么，这里面当中，我们来重点来看看。通过刚才这个例题，我们就知道。一个其自线性方程组的通解是由基础解析构成。倘若我这个方程组的基础解析是可赛一，可赛二，一直到可赛s。那这个时候我请问我这个齐次线性方程组的通解长什么样子？

我这个通解就是。k1 cosine 1。k2 cos 2，然后加到多少ks coss？是不是这个事件就是说我找到基础解析，我就相当于找到了它的通解。这没问题吧？所以说这里面当中的这个基础解析构成了其次线性方程组的通解，就是这样来的，所以说这个概念非常重要，这是我们可能会考的啊。这今年非常重大的热点基础解析这个问题，所以接下来我们将重点来研究一下基础解析。什么叫基础解析？对吧，

那这个基础解析，你看刚才这个基础解析是它，还有它。那什么样的人才能才能作为我解的基础解析呢？用这几个解表述我所有的解呢，那么接下来我们一起来看看这两个人。研究一下这两人，我们看看他的特点。第一事情请大家告诉我，你发现看第一件事，请问这俩人是不是他的姐？是不是呢？是不是你看看呗，你就在这里面当中，你看这个s1=-2。

x2是不是等于一？然后s3=0s4是等于零，那我们带进去看看s1=-2s2=1 s=0诶满足。s3也满足哦，是它的解你，不是我的解，怎么能叫我的解的基础解析呢？对吧，基础解析什么叫解的基础解析就是我有好多解选这些人来表示，所有其实就是极大无关组。啊，就这样理解，所以你看再来看这个人呢s1是1s，二是0s，三是0s，

四是一，你往这里面呆。s1+0减去它不是零吗？s3是零诶满足，所以第一件事情你要想作为我的基础解析，第一件事情你必须。是我的姐。对吧，你必须都是我的姐哎，你这几个人都得是他的姐，你必须是的，你不是他的姐不行。你只有使它的解，才能作为它的基础解析第二件事情。它的个数对吧？

这个数通常用s表示。个数通常用s表示，那么同学们告诉我，你看有几个这个基础解析里面当中有几个向量呢？有几个向量就有几个k。有几个k，其实就是有几个自由未知数。而次优未知数，就是总的未知数，再减去独立未知数。哦，那我明白了，它就是总的未知数的个数，再减去有效方程的个数。这就是自由未知数个数有多少自由未知数，

我在这种当中啊，我就有多少个这个事情非常重要。非常重要，有些同学估计已经啊这个勾起了自己的那种大脑的回忆。你只要在原来这个大学过程当中学方程组，你不可能不学这个东西的s=n-ra，你不可能不学的。这相当的牛，相当的重要s，等于n-ra。你终于知道为什么了吧？这个n是总的未知数的个数，然后这个r是什么呢？这个r是我们的这个值啊，系数矩阵的值。

好了，这是这个问题，然后第三件事情，大家想我用这些人表示所有，那这个人必须怎么办？他必须要线性无关，你去看看这两人不成比例，线性无关的。这第三个事情，它必须线性无关。好注意哦，能作为基础解析，必须要满足这三条内容。你想作为我的基础解析，你必须要满足这三条内容。

你如果是我的姐。你们里面当中的个数也满足s=n-ra。而且你们也线性无关，我再说一遍，这个n呢，指的是a的列。a的这个列数啊，这是要注意的。所以你看找到基础解析。我就相当于找到通姐。要想作为基础解析，必须要满足三条内容，你们是我的姐。你们的个数满足s=n-ra。然后第三个事情你知道你们是线性无关呢？

诶，只要你满足这三条内容，你们就是我的基础解析，那基础解析加k就是我的通解。所以大家想想你有没有点受到一些启发？那么刚才我们做题是怎么做的呢？我们刚才做题啊，你发现我是硬解。啊，硬着写。就是你必须把它给我解出来。这叫硬件。必须解出来。就是从头到尾的话，照常进行解。

哎，那这里面当中我能不能用这种巧的方法，我怎么办呢？我不想应解我怎么了？我找。我找解我找什么，我找基础解析不就行了吗？你想想是不是我找基础解析？我找到这个基础解析。我不就可以找到我这个通解吗？所以大家想想一个事情，你发现你看你这个稍微的话，你看你可以很巧，我不用硬着解，我可以怎么办？

我去找些人作为基础解析，基础解析是不唯一的。对吧，基础解析不唯一的，所以我是找一些人选兵点，将找一些人作为基础解析，所以接下来你发现我怎么办呢？我可以用这种方法。我去找基础解析，因此啊，接下来这个内容非常非常的关键，我可以怎么办？哎，其实你发现。黄金重点。

我可以怎么办？核心找基础解析。那什么叫做找基础解析呢？找什么样的人就能作为我的基础解析呢？你能作为我的基础解析，你就能作为我的通解。什么样的人能作为我的基础解析呢？一句话。对吧，我的目标。目标就是找几个呢，找s哥。线性无关的。方程组的解。对吧，

我只要找什么东西呢？我找几个呢？第一件事情啊哈，你要注意啊，我只要在我众多的解里面。找这么多个。大家注意，我找多少个，我找s个。s=n-ra。我找这么多个。线性无关的。方程组的解。它不就是计数解析吗？所以你看这就叫选兵点将。

我们这个更灵活一点。你以前只能硬生生的解我，现在怎么办？我可以去挑。对吧，我去挑一些解我挑什么解呢？我挑s个。在我众多人当中找s个人，你们线性无关，你们都是我的姐，好你就可以作为我的大将表示所有。是不是这个事情，所以这件事情控制就控制在你手手当中。你就在这里面当中，你就可以随便的进行去找，

因此接下来我们再一次看看这个方程组。哎，再看这个方程组，那这个方程组我们照样怎么做？我们还是这样做的来解。好听，把这个系数矩阵拿出来。幺二幺负幺。三六负一负三五十，然后这是一负。给它进行行变换，就相当于让这个方程进行去化简，就是幺二幺负幺减去三倍，减去三倍，这是负四，

这是零跟刚才那个题一样哦。所以这也是零零负四零，你还记得吧，然后把这两个东西把这个消成零，这是一反上去好了就变成了什么东西啊？变成了行最简矩阵。好了，这就是一个行最简型矩阵。对吧，我立即把它变成行最简型矩阵好了，那么接下来我们看看，你看我是怎么进行去找到这个基础解析的？刚才我们都知道。首先第一件事情，那个基础解析里面当中有多少个人？

有多少个向量，那其实就是自由未知数有多少吧，所以第一步我先找到自由未知数。自由未知数，就是s2和x4。对吧，我就找到自由未知数，那所以说有几个自由未知数，我就找了几组人，几个自由未知数，两个自由未知数，我就需要找。俩人作为基础解析，所以说这是克塞一，然后这是克塞二哎，

我就规定了基础解析里面当中有俩人。自由未知数有多少个？我基础解析里面当中就有多少人好了，这是第一步。第二步，你得保证这俩解线性无关呢。是不是啊？你得保证线性无关呢，我怎么做呢？我给自由未知数赋值。为什么要给自由未知数赋值呢？因为我刚才我都知道是自由未知数是解不出来的那个，如果自由未知数赋了值呢，那就说明解出来了。什么意思？

你听一下就行了，你看我们第一个方程的话，其实是x1+2倍的x2-x四=0。第二个方程是x3=0，而你这俩是自由未知数。你想想一个事情，你看比如说x2是1x四是一，那这个结果是不是就是一？对吧，你看这个结果是一，如果这俩人都知道了x1不就知道了x3也知道了。是不是这个事情，所以我就给什么给自由未知数赋值那赋什么样的值就比较讨巧了。必须负线性，无关呢。

为什么我们都知道现在是s个？线性无关它的解我怎么赋呢？通常这样赋。你看我可以在这儿一个线性无关的，我问你个事情，我这负五这负六这负七这负八行不行？行还是不行？行啊，你发现我如果取这两人五六七八这个行列式不为零。如果取得这个行列式，不为零对应的列就线性无关，你看吧，第三章的内容又过来了。是不是这个事情可以啊？那我在这里面怎么办呢？

我取五六，如果这是五，这是六，那二五一十再减六，这是四，所以说这人是负四。然后这个I3是零。是吧，然后再来看，这是七这是八二七一十四再减去八这是六那这是负六这是零好了，同学们告诉我这俩人能不能作为基础解析？你先告诉我一个事情，我现在找的这个人能不能作为基础解析，能还是不能来检验一下啊几个？两个满足了无关，

满足了是他的姐，满足了你不你带上去。诶，三个条件满足的就是我的基础解析啊，当然可以，但是你发现一个事情是不是有点恶心啊？是不是啊？非常恶心，恶心的点在哪呢？你永远这样算的比较麻烦，那同学们想想我怎么样找比较简单一点呢？永远是算一个的时候最简单，比如说你看我算s2的时候，我让s4是零。我算s4的时候，

我让s2是零，那这时候不就简单吗？所以我怎么找呢？你看我这样找我负一，我负零，你负零，我负一。那为什么负这个简单呢？你看如果s2是一，你这是零，你这个就不算了，那我就是多少，我这个人是负二。s三十点。如果你这是零，

这是一呢，那这人不算了，那这人是几？这是一，这是零。好了，那现在这俩人是我的基础解析，既然这是我的基础解析，则这个通解是多少k1克塞一？k2k塞尔，然后这k1k2为任意常数。能听懂吧，找到基础解析不就找到了通解结构吗？所以你会发现一个事儿，我的目标非常的单纯，

我单纯的点，现在干嘛？我要找几个呢？我要找s哥。自由未知数有多少个，我就要找几个人，第二事情我找什么找线性无关的，那我控制一下呗，你一个是零，一个是一，一个一是零，那这个行列式肯定不为零。你想一个是一，一个是零，一个零，

一个一，但这个行列式肯定不为零，它就线性无关。那第三个事情，你还是他的姐。那所以说它是它的解个数，满足线性无关满足，那不就是基础解析吗？那这是通解，你再对比一下，负二一零零。一零零一跟我们刚才解的这个东西一样，不一样，你看看刚才。一样还是不一样？

大家来看一样不一样。绝对的一样。完全的一致。一点都没有初衷。所以相对比而言，我们这个方法要更简单一点。对吧，要更加的简单一点。而且同学们将来还要做的更快一点，我刚才是不是把这个写出来了，你写出来也行。你要不想写的话，就直接盯到上面看。盯着这看来，我再来写一遍。

第一次我给s2负一，这个负零好，我们一起来读一下啊，跟我一起来读。一×x一。加二乘一零乘的没了，负一×0没了，那这个结果等于多少？dn等于多，少等于负二。再读第二行I3=0出来了。然后第二次的过程当中，我就负零负一。再给我读一下一×s一+2×0没了，零乘它没了，

负一×1。等于零它等于几1s三=0，大家注意啊，慢慢练啊。哦，慢慢练，有的同学说那我还是写慢慢练。这个技能不是什么特别难的事儿，一定要注意啊，慢慢盯啊，慢慢练，你要一直不练，你永远都练不会。你做上个十几个的话，你再看看，

简单死了啊。非常简单，所以大家注意这个东西啊，慢慢练，另外一个事情不要跟我进去去看，有些这个市面当中的一些邪门歪道。好的，说你看，如果这是一这是零，你看这刚好是这个数的，相反数。如果这是零，这是一的话，你看这是负一，刚好是它的相反数，

这是一。你发现这种二级结论的话，就是我们刚才做的那个东西，然后把它变成一个结论。对吧，你发现一个事，然后把它变成结论就什么意思呢？你你来看啊，我再说一遍。也就是说，我给第一个负一负零的时候，你看这个第一个元素就等于这个数的相反数。然后再做第二式的时候，负零负一，你看就等于这个数的相反数哎，

你看好像就是这样，好像是这样，但注意不要这样来。你知道原因吗？其实不就是它加一下它等于零，那它当然等于它的相反数啊。一倍的s1-1×1=0，那当然等于它的相反数啊，那当然是这样，你你脑子稍微动一下，动一秒钟就出来了。你偏要让自己学到学，又没学懂，好像记住觉着觉着这个操作性呢，还挺风骚的，

对吧啊？好了，这事情我们就讲到这。你就看一下对吧？你就看那一行，你这脑子转的一下就出来了啊。好，这个事儿我们就讲到这儿，所以说这个方法叫什么呢？这个方法叫赋值法啊。对吧啊，这叫赋值法。啊y yds。这个方法非常非常的重要，这是我们非常关键的一种方法，

所以下去啊，得好好看呢。对吧，这个非常重要，黄金重点，所以这两个方法你务必要会。算了，就这个就这个字体吧。好了，这事情我们就讲到这赋值法，对吧？怎么去赋？要注意一个原因在何处？我希望你达到的目标。我们基础班当然要讲原理。

当然要讲原因，但是我希望你到了最后而言的话，你会发现叫无招胜有招，见到方程组就这么干。对吧，反正就这样做，最后忘了这个东西为什么这样找的原因，我觉得从考试角度上也行。你就要把这种求解的方法拿到这个系数矩阵行变换画的行阶梯，画的行最简，然后找到自由未知数给他赋值。然后这就可以了。所以它的操作性的方式啊，哎，方法把它掌握清楚就行，

我给你写在旁边。只要见到这种方程组的求解，第一步干嘛呢？第一步就是拿出系数矩阵。对吧，然后把它进行去行变换，画到行阶梯。然后再把它变成行最简。然后第二步。找什么东西呢？找次由未知数。未知数自由，未知数有几个就负几组值，然后再怎么办负？一种线性无关的值。

啊线性无关的值。那么，如果是俩人，你比如说举例子。比俩人就负一个负一一个负零。一个负零，一个负一，如果三个人呢？一个负一，另外两个负零，然后这个什么这个负一，另外两个负零。然后第三个人负零，这个人负一，为什么这样负呢？

刚才我已经讲过了，你如果这俩人都是零，那两个就不看了，就看一个。对吧，然后中间这个等于零两边就不看了，看中间这个呃，看起来就非常简单了。下去要练哦，好了，我们今天就先说到这。然后剩下的问题啊，我们下节课会讲。所以说这节课的过程当中，不用干别的事情去给我算对吧？

去给我练使劲的进行去解方程组。解方程组是这节课过程当中比较重要的事情。能理解吧，多进行去练一练。明天吗？下节课是明天吗？我不知我不知道啊，这个。你们看看时间是明天吗？哦，是明天呐。那是明天我布置少一点啊，然后的话，你们多做一做。那就是明天啊。

好，我们先布置一下这个作业。下去练啊，没有什么的，这种普通运算把它练练成肌肉记忆就行了。好，我来布置几个。这个题这个题这个题。这个这个。五四七，你可以先不做。五四七可以先放在那。其实五四七你都能看出来s1为任意的数都可以s2为任意的数都行。所以你会发现个事儿，就是这个五四七这个题啊，

你大致的看看就行了。就是你x1这个人为任意常数，你x2为任意常数其实都可以，所以说这个x这个结果你是任意常数，你也是任意常数，它都会满足。所以最后的话就是k1的一零k二的零一。啊，这是一个特殊的题啊，你大致你去瞅瞅，我就就这个意思，非常简单，就是你s1s2无论围多少你，你自己瞅一下这个方程组，你扔给你小学的表弟。

对吧，你小学表弟你你发现他都知道我s1s2为任意数我都满足的。啊，所以这个题啊，你自己看看就行。嗯，好了，这是这个事情，所以下去啊，把这个几个方程组啊，把它给我解解。好不好把这几个东西啊？把它给我解一下啊，这几个题。不多啊，

截稳一点，然后是这样，我再说一个事情。就是下节课。在上课之前。把这个题做一下，听得懂吗？趁着那个余温把它做一下，就是上下节课，上课之前把这题做了。啊，然后把这个题做完了之后啊一呃，下节课我一开始上课我就讲这个题对吧，我们再练一个。好，

那么今天课程呢？我们就讲到这，所以你下去把这个相对应的点呢？这个问题啊，好好进行处理处理行不行？同学们。行吧，那么今天啊，我们就说到这呃，所以说这个今天的东西比较重要一点，然后下节课我们还是继续。把这个线性方程组啊，其次部分呢，好好整理一下，然后就再进行去讲一下非线性方程组，

然后我们的这个课程呢？呃，明天看看吧，应该大差不差我们这个部分的内容就全部结束了，所以我们这个东西啊，不是说特别多了。你们就可以进行去全方位的进行去复盘了，好不好？同学们行吧，那么今天课程我们就讲到这儿，然后呃，明天我们就继续吧。好不好好？明天见。啊，

这个题。

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