10.齐次线性方程组-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:58:13

首先，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题啊，我们就准备开始了。好能听到声音吗？好，可以听到声音给我回复个一啊。好了，那么今天我们就继续开始我们的线性代数的这个基础班部分内容，我们后续过程当中啊，还有这个两到三次课程呢，

基本上就结束了。哦，这个今天我刚好来来海南这边了啊，因为这个来这边公司一趟啊，好了，那么接下来我们就正式开始吧，那么接下来我们来首先来复习一下上次过程当中的核心知识点。啊，那么首先我们先来看看上次过程当中啊，所讲解的这个第一个类型问题，那么第一个点呢，我们其实讲了一个非常重要的概念，叫做什么东西呢？叫做向量组的极大无关组。那么，

在这种当中，我们先来看看第一个事情啊，极大无关组。那么，极大无关组，如果你是个极大无关组，那么在这里面当中啊，它必须要满足两个条件，对吧？第一个事情，它必须是线性无关的。第二件事情，他必须要表表示所有，所以说这里面当中的第一个事情线性无关。啊，

然后第二个事情啊，要表示所有。表示所用。所以说满足这两个类型问题啊，它基本上就是极大无关组，所以说像这样的一个向量组而言，我们就进行挑。挑他们是线性无关的，挑他们能表示所有他们就都作为我们的极大无关组，所以说这里面当中的这两件事情啊，如果去挑。其实稍微的难度系数还挺大的，对吧？你想想你去挑一个线性无关的，又能表示所有，

所以说这是很麻烦的。那么，这里面当中面临的第一个问题是你要找到几个线性无关的呀？对吧，我极大无关，总说线性无关，表示所有有几个人线性无关，表示所有呢，所以这里面当中的第一个问题就是你要找到几个人？那这几个人受到谁控制啊？它叫做向量组的值。那这个向量组的质啊，其实就控制了，它就要找到这个线性无关的个数，如果我向量组的质是多少，

我就知道了，我这个极大无关组当中啊，有多少个向量？我就知道我要找几个线性无关的好了，这就是我们在这门当中讲的这个重点，向量组的质，因此啊，这个质是非常重要。那么，上次过程当中，我们还讲解了这个质的，这个求法怎么去求呢？我们根据一个非常重要的叫做三质相等的东西。三三相等，那么这里面当中我们就可以把向量组的值转成什么呢？

转成矩阵的值。矩阵的值来求，因为矩阵的值就等于列向量组的值，也等于行向量组的值，所以在这种当中啊，把这个向量组。排成列对吧？按照列进行去排成这个矩阵，然后这个矩阵的质是多少？那这个向量组的质啊就是多少？能理解吧好，这是一个重点问题啊，就是矩阵的值，然后就等于向量组的啊，等于列向量组织也等于行向量组织。

那么，这里面当中你要稍微注意一个问题，什么样的问题呢？就是这里面当中一定要听清楚向量组的质啊，跟矩阵的质的定义是不一样的。对吧，这两个定义啊，是完全不一样的。但是从计算的角度上而言呢，不做差别。因为我们都知道这个矩阵的值会等于这个列向量组的值会等于这个行向量组值，所以上次过程当中我说过这句话，从定义的角度上而言。根本不一样，但是从计算的角度上而言，

你可以认为它是一样的，所以将来只要见到相当组的质的求法，你就进行计算这个矩阵的值就行。怎么计算这个矩阵的值呢？把这个矩阵进行初等变换，化成行阶梯有多少非零行，那它的值就是多少？当然可以进行行变换，也可以进行列变换，求质的时候初等变换不变质，那么接下来一个问题点就是如何进行去求，极大无关组呢？这是我们在上次过程当中啊，讲的一个重点，怎么去求啊？

是这样做的，首先第一件事情把这个东西按照列排。对吧，把这个向量组按照列来排，无论你是行向量组还是列向量组，都统一的按照列来排。按照列来排，然后进行行变换。要注意啊，按列排进行行变换，然后接下来最简单的就是找阶梯口。对吧，找阶梯口阶梯口这种方法是最简单的，当然这里面当中还有广义化一点，就是每一个什么找非零元。

非零圆每一个台阶上找一个非零圆，那这也是一种非常好的方法，当然最好这个什么最具有广义性的方法就是你去取一个行列式。只要那个行列式不为零对应的列啊，它就是线性无关的，所以说这几种方法你能找不到，这儿基本上差不多了。就你考试过程当中，你知道找阶梯口，你知道找这个什么飞行员，就是每一个台阶上找一个飞行员，那这个东西啊，它就是我的极大无关组啊，你学到这儿就基本差不多。好了，

这是我们讲的这个第四个点，然后我们再来看看第五个点，第五个点黄金重点内容，这是不是我们上次过程当中非常重要的问题利用？向量组的值。的值判定线性相关性。对吧，线性相关性。这是我们在上次过程当中的一个重点，什么意思呢？就说我们进行去利用这个向量组的值进行去判定线性相关性，那么这里面当中这个知识点呢？我得做一个重点的复习。你还记得什么样的内容吗？他这样说的就是来看看这个向量组的质啊，

跟什么的关系啊，跟个数的关系。所以我们来看看这个问题，比如说如果这里面当中，你看这是阿尔法一，这是阿尔法二，然后这是阿尔法三，一直到阿尔法n。我利用这个向量组的质跟谁进行去比较，跟这个个数对吧？就跟这个个数n进行比较。如果这个人等于他的个数，我就说他是无关的，如果他小于他的个数，我就说他是相关的，

大家最重要问题啊，这是上次过程当中。非常非常重要的内容，我再说一遍，就是利用向量组的质跟它的个数进行去比较呃，你们不要着急，这个强化班。对吧，你不用着急，这个事情我们的强化班基本上在7月10号到12号左右。所以说你们不用操心这个事情，我们的强化班过程当中啊，不会说让你花费特别特别大量的时间，我等我这个基础班结束了之后，我还要组织你线性代数和概率统计的这样的一个复盘呢。

这是一个事情，另外事情我还要给你进行去做几次，这个基础阶段的综合测试呢，所以你不要着急，这个问题你要是这里面当中啊，有时间的话你就好好复盘。你要数学，你觉得复习的非常好，你去复习，你逻辑去，所以我觉得这个你一直操心这个后面的事儿，你自己现在这个阶段的东西你都没做扎实，你老是喜欢往后面看。啊啊，等到时候我们考几次，

我们来看看对吧啊，考两次你来试一下。对吧，这个基础阶段，我们还有几套这个测试卷，我们来考一下啊，等你一考的话，你就会发现一个事，还是跟你的想象过程当中会有一点这个稍微。稍微的有差别，一定要注意啊，做扎实一点，比你这个非常操心，这个进度我们这个数数学啊，三九六的同学，

我们这个数学这个基础班的接触你都能做很多很多类型问题了。就看你这些东西，你到底有没有掌握清楚哎？所以你不要着急，这个事情好了，这是这个事儿，所以上次过程当中我们讲了一个非常重要的问题。就是利用向量组的质啊，然后进行去跟个数进行去比较判断这个人的线性相关性，对吧？就是向量组的质跟个数比，把这句话给我记死。如果这个人质等于个数是啊，这个什么是无关小于个数是相关等于个数是无关小于个数是相关啊，念念不忘必有回响。

天天去想这句话啊，这句话非常的重要，对吧？判断这个人线性相关性，就把他的质跟他的个数进行去比较。等于个数是无关，小于个数是相关啊，这节课我会一直在讲这句话好，这是上次过程当中讲的一个重点，当然还讲了一个非常重要的经验，我不知道你还记得吗？什么样的一个经验呢？就说如果这是一个矩阵，我在这个矩阵里面当中取了一个行列式，如果这个行列式不为零，

那么。那对应的这个列啊，它就线性无关。当然的话，你发现其实这个行列式这块对应的行啊，它也是线性无关的。啊，这些行啊，也是线性无关的，所以这是一个重点的内容，对上次过程当中还讲了一个第一定式思维能力。只要见到这个向量组被另外一个向量组表出，立即写成矩阵相乘的形式，还记得吗？呃，

这都是重点啊。所以你下去过程当中啊，你好好想想这个问题。这是我们在这种当中啊，讲解的这个第一波内容，你们不要着急，这个事儿我们强化班过程当中啊，我给大家。大致给你看一下，因为我这两天。稿子这个正在校正啊。第二个阶段啊，大致给你看一下，就是我们这个阶段，第二个阶段到底在干嘛呢？

我们就是来刷题型。对吧，就要知道每一种题型到底是怎么做的，当然这是没有排版之前的，因为我这边得这个定稿啊，然后这里面当中啊，就是你去进行去看看每种题型。对吧，每种题型怎么进行去操作？每种题型怎么去处理？然后我会讲一下这个重点的这种题目。对吧，还有这种啊，非常重要的这些东西啊，我们做了一个总结，

所以说这个强化班过程当中啊，前面的过程当中都有知识点。有这个知识点呢，然后带着你们进行去刷题，所以说这一波的内容啊，提高还是非常非常快的啊啊，提高是非常快的。那么然后的话，到了这个，比如说有些同学，你发现你看比如这种问题，基础阶段说啊，我有界性的判定做的，不是说特别好啊，那么这些内容我们都会放到这个强化班做一定的重点的加强。

所以说，希望同学们注意不要着急，这个事情慢慢来啊，然后这些问题啊，我们后续过程当中都会给你们进行去啊，总结进行进行串讲。所以我之前跟你讲过的事情，我说第一遍的过程当中啊，有些同学可能会觉得说我好多知识点都给忘了，对吧？知识点都不记得了。等你到了这个第二个阶段的过程当中，我还会带着你进行去复盘一遍，当然这个东西啊，可能会更凝练。

只要涉及这种类型问题的考题，我都会给你做，把这个部分的东西啊，总结到一起，然后你进行去重点看这个部分内容。那这样的话，从考试角度上而言，应该是提高度非常非常快的，所以说大家注意啊，这个第一个阶段，这个基础班对你们而言非常的重要，所以希望大家好好进行去看。呃，然后的话，这个基础阶段呢，

你可能会觉得一些题啊，难度系数还挺大的，等到上了这个强化班，你来看看这些题。你比如说像这种题，你可能会觉得简单，但是你发现这就是我们考研会考的这种问题。对吧，出的这些题啊，它的难度系数跟我们考研接近程度非常非常的高。这道题啊，就是仿照二零二一年的一道题进行出的。啊，对吧？我们的考研真题就类似于这样进行去考。

所以他不会说特别特别偏你基础阶段，可以做一做，然后把这个东西啊拔高的非常快，一点到了强化班过程当中，我们就要看看啊，这个真刀真枪的去练。那道理而言的话，每个部分的内容，它到底会怎么样子？你包括的话，这个极限题你可能到了这个啊，这个到了这个强化班过程当中啊，你看到这些极限题，你发现这些题啊，也不是说特别难，

但是我们的考研过程当中，他不会说。我们在到了最后而言，考的特别特别特别的夸张，当然你得上一点档次，这是一定要的。好了好了，别看了，别看了啊，一会答案得全记住了啊。好了，继续回来，回到我们线性代数，所以今天过程当中，我们会讲方程组，

所以希望同学们稳一点啊，对吧？越到最后越要稳一点。对吧，你这个基础阶段都没有做好这个事情，然后的话一直进行去操心强化，等刚上强化的话就想想，哎呀，那我到了这个冲刺阶段，这个模拟卷什么时候做？不要这样对吧？你要注意，你最重要问题啊，不是说复习到哪个阶段，你最重要问题是知识点学的怎么样？

好了，来继续。刚才过程当中啊，我们讲了一个非常重点的内容，什么东西呢哦？我来说一下，强化讲义，我这本书是这样这样排的。这本儿书有两本儿。啊，有两本我不会给你答案的，所以说这也是一种创新性啊，我这边每本答案啊，这个这个题啊。下面是有留空的。

然后有另外一本书答案，在这本书上啊。所以说每个题下面的话是有空白的，然后的话，这样的话，你自己进行去啊，这个可以是自己做，然后再进行去对照。啊书是在解析分册上面，然后这个部分呢？是这个啊试题分册。好了，这是这个，你不要催啊，这个最近还在校稿，

到时候的话，这个出来之后啊，肯定会给你们寄的，好了，这个事我们就说到这。所以说，利用向量组的质啊进行去判断这个人的线性相关性，所以就看的就是这个向量组的质啊，然后跟什么情况就跟这个个数之间的关系。等于个数是无关，小于个数是相关。好了，这个问题啊，我们就讲到这。那么，

接下来我们就正式开始今天内容吧啊，今天的东西啊，依然很重要，好好听啊。好了，那么接下来我们来看看考点二啊，线性相关性的一个重要结论，那么接下来这个重要结论呢，非常非常的关键，我希望同学们跟着我一起来理解一下。你别管别的事情，你只要看到这种线性相关线性无关的判定，就是两个事情，一个事情是定义，一个事情是质，

如果它的质等于它的个数是无啊，这个是无关。小于个数是相关能听得懂吗？好，我们先看第一个事情，如果矩阵的值等于它的行数。诶，矩阵的值等于行数。我问你个事情，这个矩阵的行数是不是行向量组当中的向量个数啊？是不是啊？比如说举个例子，这个人有几行有四行，他有几个行向量，他刚好有四个行向量。

是不是啊？那就说明它的行向量的个数就是几个数就是四没问题吧？来我们来一遍矩阵的值就是。就等于行向量组的值，而你发现一个事情，这个行数就是它的个数。向量组的值等于它的个数等于个数是什么？关是无关。能理解吧，是谁无关是行向量组，无关跟列没有关系，是行向量组无关没问题吧？好，我们再来看。矩阵的值等于行向量组的值，

行数等于行向量组的个数，那这个时候就是向量组的值。小于它的个数，那当然是相关的，所以说这个时候啊，如果你小于行数就是行相关非常简单吧。等于行数行无关，小于行数行相关，这种很容易考啊，这个非常重要。能听懂吗？然后我们再来看看下一个事情。那如果这个矩矩阵呢，你发现它的列数是多少？比如说这是一二三四五六七，

假设你发现这是七列。对吧，七列七列的话就说明列向量组当中有多少个向量你赞同吗？对吧，这是它的列数，那就是有一个向量，两个向量，三个四个五个六个七个七个向量是不个数啊？没问题吧，所以接下来我们再来看矩阵的值又会等于列向量组的值。对吧，这个列向量组这个阿尔法一阿尔法二这个列向量组的值列向量组的值等于它的个数列是什么管列？就是无关。那如果小于列数呢？列就是相关没问题吧？

这个非常简单啊，所以它永远用的这个内容啊，就是一句话。如果你这个向量组的质等于个数是无关小于个数是相关等于个数是无关小于个数是相关。能记得住吗？所以你看等于行数行无关小于行数行相关等于列数列无关小于列数列相关。所以它永远都是这个事情。对吧，你要明白一个事情，这个矩阵的值它又等于列向量组的值又等于行向量组的值，那关键点的一个问题就是根据。跟它的个数比。行数就是跟行向量组的个数，比列数就跟列向量组当中的个数比。能理解吗？

所以接下来我们来看几个事情，反着考，比如说有一个题啊，他让你继续去看什么呢？看这个a的，这个人的列线性什么关，比如说列是线性相关，你会怎么做？列式线性相关线性相关的话，就是看这个矩阵的值什么列数小于列数。能听懂吗？哎，你看线性相关，如果是线性无关呢，就看这个矩阵的值等于列数，

把这些东西啊，来来回回转，刚才讲的那一页非常的关键。能转的过来吧，那就是矩阵的值，又等于行向量组的值，又等于列向量组的值，是不是啊？如果这个矩阵小于列数，那说明小于列向量组当中的向量个数小于个数是相关。一定要会转，我知道大家听清楚了，一定要把这个东西要掌握的非常熟练，比如说一个题，让我证明行无关怎么办？

就是矩阵的值等于行数，让我进行去证明列无关，就是矩阵的值等于什么列数？你看这样这样一转，这个内容就非常简单了。所以接下来我们一起来看看几个题，一定要注意啊，这个内容非常非常关键，而这种题是很多同学学得非常差的。那就是没有这波总结，有了这波总结啊，就非常的简单了，来看这个题。那么这个题啊，它说。

abcd四个选项都说a和b的什么东西啊？行，向量组无关，列向量组无关，行，向量组无关，列，向量组无关。大家想想这个事情，这个题要考什么？它考的不就是这个吗？如果看你的行列的无关性，不就是跟你要把它跟它的行数和列数进行比较吗？还要把b这个矩阵的值跟它的行数和列数进行比较吗？而这个人的行数是n列数是m，

而这个行数是m列数是n。是不是这个情况？所以说这个题的核心重点就是把a和b的值求出来，跟mn作比。所以它最后的核心都是干嘛呢？就是来求解AB的值。对吧，核心重点就是来求解AB的值，所以接下来我们先来看看这个题，那就求呗。而这个题给的是什么呢？呃，三点一那个题先放下，现在讲不了，你先放下，

你先放到那啊，我们还没法讲。好，首先我们先来看第一个事情，你发现这个a×b是一，这是个几乘几的矩阵啊？你这是n×m，这是m×n，那这就是n×n的矩阵。对吧n×n，而你都知道AB，它就是一，所以说它的值就等于e的值e是满值的，满的是n的值。而你知道AB的值，

让你去求a的值和b的值用什么关系啊？当然是用越乘越小的关系啊，所以AB这个人当然是小于等于a的值。而且AB这个人也小于等于b的值没问题吧，越乘越小，那这个时候我这半边是n。我这半边是n要想被加重，你又小于行数，又小于列数，我当然看n不要看m，你又小于行数，小于列数也看n。所以说这样的话，我立即就可以把什么把a这个人夹住了，而且我在这里面当中也可以把b这个人也夹住了。

能理解吗？都是等于n，而这个n你发现是a的什么是a的行数？而这个n是b的什么b的列数？对吧b的列数，所以我们一起来，如果矩阵的值等于行数行无关矩阵的值等于列数列无关。所以a是行无关b是列，无关a是行，无关b是列，无关所以说正确答案选几选c。会做了吗？其实你发现啊，这个问题点呢，以前觉得非常的难。

难的原因在何处呢？就是这个题到底在干嘛？我掌握不清楚，我也不知道这个题问什么什么行向量组无关列向量组无关，然后行向量组相关列向量相关。这什么玩意儿，对吧？搞不清楚，但是你今天过程当中，你就明白了，如果考量这个矩阵，对吧？如果我想看一个矩呃，这个什么矩阵的行向量组是无关，我就看看它的质等于行数。

我想继续去看看它的这样的一个列向量组，无关我就看看矩阵的值等于列数。我想看它的行向量组相关，我就看矩阵的值小于行数，对吧？如果这个人的话，你发现看看他这个列的线性相关性就跟列数比。是不是这个事情，所以最终的终结点就是干一个事情，就是来看看a的值和b的值。能理解吗？啊，这还算稍微比较难的题了啊，这算比较难的题了，所以最重要问题啊，

就是上面这一波内容啊，你一定要把这个东西啊，好好进行想清楚。好了没？呵呵，来继续啊，我们再看，所以回到最后一个事情，那个质的公式重不重要？重要啊，多重要质的公式太重要了。你学到第三章的时候，你会发现第二章最最后一节那个质的那几个公式依然很重要，所以要贴到床头，天天看，

反反复复去记啊。好了，这个内容啊，我们就讲到这来，继续吧，我们再来看看下面这个题，三点一三这个题。当时而言呢，我给你看过这个题，其实在第二章的过程当中，我们就看过这个题。但是在第二章的过程当中啊，我们里面捡了几问，对吧？把这一问和这把这两问捡了，

直接进行去看字。我说了，这是我去年过程当中出的一道模拟题，其实这道模拟题的原型应该是这样的。这是去年这道模拟题的原型。好，我们一起来看看这个事情。首先我们看给了一个矩阵，是它对吧？这个前半部分我们原来是讲过的，然后说这个行列式等于零。这个三阶子式是等于零，然后又说这个部分和这个部分的二阶子式不为零。我们都知道，只要看到一个二阶子式不为零，

我立即可以说明什么，说明这个质啊，大于等于二。对吧，它的质不可能比二小大于等于二，但是一定是三吗？一定是三或者一定是二吗？说不清楚，有的说那一定是二啊，因为三阶子是等于零，你只知道这个三阶子是等于零。但别的三阶子式呢，未必啊，所以说这里面当中我们来看看你，发现我举个例子。

对吧，我举个例子，比如说这是一零一三零一对吧？这是二四。然后的话，你看我把这块都列成零。哎，都列成零，你告诉我事情满不满足上面这个结果？满足啊，我一直在画行阶梯嘛。好，我先画到这，你就会发现一个事，现在这个行列式肯定等于零，

然后这个和这个行列式是不为零。没问题吧，那么接下来我可以怎么办？我就在这儿填数。它还受到最后一个人的控制，如果最后一个人是零，那这条线就横过去了，如果这个数比如说是一哎，你看这个数就下来了。是不是这个问题，所以这里面当中一定要注意它的质啊，它有可能等于几呢，有可能等于二，也有可能等于三。这没问题吧，

有可能等于二，也有可能等于三，所以大家注意一个问题啊，我见到一个行列式不为零。我立即可以说明这个质大于等于它的阶数大于等于二。但是你只知道一个三阶子式等于零，你并不能说所有的三阶子式都等于零，如果所有的三阶子式都等于零，一个二阶子式不为零，它的质当然是二。但是你万一的话，你只知道一个三阶子式不为零，我万一还有别的三阶子式也不为零呢？你这件事情要注意，所以说这个质啊，

有可能是二也有可能是三，因此啊，第一个不对。好，再来看第二事情，说a这个人的行向量，组线性相关。大家注意，如果是这种情况，你看好了，这种情况它的行确实是什么行相关？对吧，矩阵的值小于行，数行相关，而这个人呢？

他等于行数行什么东西啊？行无关，所以说这个东西是不是说不清楚啊？它有可能是相关，也有可能是无关，然后再来看看第三个事情a的这个人的列向量，组线性相关对不对？哎，这个对。为什么呢？因为你发现我的列数是几？我的列数是四，而你区域阵的质呢？你永远比这个什么东西呢？你不会超过三的。

你不会超过三，你永远小于列数。你矩阵的质小于列数列一定是线性相关的。没问题吧？好，我们再看最后一个事情a的第一列和第三列的列向量组线性无关，这个也对，为什么呢？我们都知道。这里面当中取了这个行列式不为零。这个行列式不为零，对应的列一定是线性无关的，这是上节课讲的吧，所以说正确答案选几选b。这题不错吧啊，

很考量基础啊。你发现这种题是最讨厌的。就是你错一个，确实是错了。啊，这种题非常讨厌。就是有几个是正确的啊，很多同学不喜欢选这种题。好，这个题啊，一定要掌握清楚。能听得懂吗？你要注意这个事情，你看你见到一个二阶子是不为零，这肯定大于等于二。

你只知道一个三阶子式等于零，你不能保证所有的三阶子式也等于零啊，如果所有的三阶子式都等于零，那这个时候的话，它当然是什么？它当然是质等于二，但是关键点就是它还有别的情况呢。对吧，你能不能保证别的这个三阶子式也等于零呢？你这件事情保证不了。而且里面的线性相关性的判定也非常重要，还是那个事情矩阵的式等于列数列无关小于列数列相关等于行数行无关小于行数行相关。就看矩阵的值跟行数比还是列数比？哎呀，非常好。

这挺难的啊，你要注意啊，这些东西挺难的啊，你要把这些东西学好了，我这水平点非常好了。所以你不要小看这个基础班，你看看这种题目，你这个有些冲刺进行讲都行啊。好了，这个事我们就讲到这，那么接下来我们再来看看今天过程当中啊，我还需要进行去讲一些重要的一些推论性的东西。所以希望同学们好好听一下，那么接下来我们先来看看第一个问题。那当然不行啊。

那肯定不行啊。你比如说我举个例子啊。你看假设。你说这个。一一一。这是个最简单例子，比如说你发现你看你这咔的一看诶，这个子是等于零。你这个子式等于零，你就能说明这个东西的列是线性相关吗？那不行啊诶，结果你看我咔的一取诶，在这儿又来了个不为零。那我都知道，如果是不为零，

我这个列是什么东西啊？我这个列是线性无关的呀。你看你这不就说错了吗？你取了一个等于零，你说线性相关啊，我又取了不为零，我说线性无关，当然是不为零的时候，线性无关的。你只能保证上面等于零万一，下面不为零呢，所以一定要听清楚这个事情啊。能做不清楚吧啊，要想清楚。好了，

这是这个事儿，我们就讲到这儿过去了，可以吗？哎，当然这个行列式不为零，那这两行也是线性什么关无关的，没有问题的。没有问题的。好了，我们继续，我们再来看看下面一个问题，我来讲几个非常重点的事情，大家好好听啊，比如说这里面当中，我们先看第一个向量组。

第一个向量组啊呃，好好听啊，对吧？认真听那么首先我们看看这是a1这是a2这是a3。好吧，这是这个人，那这是一个向量。然后这是b1B2B3。好这个人，然后这是c1。C2C3。好了，这三个人那么这里面当中我们说了一个事情，如果这三个人呐，线性无关。

哎，这三个人线性无关，你发现如果他们线性无关，说明什么？那说明这个的值等于它的个数三。没问题吧？那大家想想一个事，那如果我在这里面当中把这个东西怎么了？你看我干这样一件事情。干件什么事情呢？我把这个擦掉。我把每个人呢，我都伸长了。哎，我把每个人呢，

我都伸长了。加长把这人加长了之后的话，你发现看我就得到了这几个向量，我就不写那个括号了，都一样啊，用哪个括号都一样。你看我就得到这个人了，那么请同学们告诉我，无关还是不无关？你想想一个事情，你这次几个人摆到一起，你的制度是三了。对吧，你这个质是三了，那说明什么情况，

这是最大的不为零的行列式的接数吧。是吧，你还能再大吗？你不能了，所以说这几个人呢，也是无关的。这能听懂吗？好了，注意下这个问题，这个事儿很重要。那这件事情怎么进行去理解呢？它是这样说的，这叫伸长组。要注意啊，这叫伸长组，

大家想想这个内容跟我们上节课讲的那个整体和局部一样不一样。一样还是不一样，跟那个整体和局部一样不一样。不一样，什么叫整体呢？比如说你看这是一二三四四个人，这叫局部。我有五个人。其中四个人就叫局部，这是人数的多少吧？向量个数的多少吧？但是你看这种身长的话，个数变了吗？没有变。只不过是什么东西变高了和变矮了。

对吧，我们还是三个人，只不过这三个人有可能变高了，变矮了。但是整体和局部呢，我们现在是三个人，有可能再来一个人变成四个人。你要听清楚这个事，所以说他们是什么变化？他们是为数变化了，但是向量的个数没有发生改变，所以这里面当中第一个事情。向量组线性无关，则一定可以推出伸长组。啊伸长足也无关。

这件事情要注意，如果这个向量组是线性无关灯，则它的伸长组也是线性无关灯。好，这个内容其实啊，你发现我们上次过程当中不就用了这个知识点吗？我为什么取了一个行列式？其实你取了一个行列式不为零，这个人是不满满啊？满质的话，你都知道它的质就会等于它的列数是无关的吧？伸长一下也是无关的，所以说我说对应的列也是线性无关的，就是这个意思。上次过程当中也用了，

然后我们接下来继续，我们再来看。反着来，那如果说什么呢？说这个人。线性相关。大家注意，这个线性相关能不能说明这个人的缩短组啊？这就叫缩短组，也是线性相关呢？你来看看这个人。也相管能不能推出来？那这件事情非常容易，如果你线性相关，你这个矩阵的值就会怎么办？

小于你的列数。对吧，你看线性相关矩阵的值小于它的个数。对吧，就会小于它的个数，那我想问你个事，你看这个人如果说这个矩阵和这个矩阵之间什么关系啊？如果摆成矩阵。这个矩阵是这个矩阵的子块吧？是不是这个事件局部那既然是子块的话，你发现你这个人的痣假设是b矩阵的值，你比那个a矩阵的值还要小一点。那我这个人都小于三，你更小于三了。所以就是矩阵的值小于它的个数，

不就是线性相关吗？所以说这条没有任何问题。跟得上吧好，我再说一遍，你看这个人线性相关，只要见到线性相关向量组的质。小于它的个数，所以说这个质啊，就小于三。而你发现这个部分的质呢，比它还要小一点，那比它还要小一点，那更小于三了，那当然是线性相关。所以说接下来我们来看看第二条内容。

再看第二条，刚才是伸长组，那么接下来我们再来看缩短组。相关啊，那这个时候缩短。也相关。就说如果这个向量组啊，它是线性相关的，我缩短了之后呢，我也是线性相关的啊，这个事情没有任何问题。好了，这个内容我们就讲到这儿，这是第二个人过去了，可以吗？

应该没问题啊，来再来几个。你要永远注意一个事情，你看刚才我们在判定的过程当中，就是用这个向量组的质跟谁比啊，跟个数比。如果向量组的质小于个数是相关等于个数是无关，你一直在用这句话。所以你要想清楚，把质和它的个数啊联系起来就行了，那么再来看看下面一个问题。比如说我们再来看。我来这里面当中出几个向量。比如说这是a1a2。这是b1b2。

然后这是c1c2。你看这个人，那这个人的话，我们再来看，请问这个向量的尾数是几位啊？为数是二维向量的。而个数是什么呢？个数是三个向量吧？为数小于了它的个数，而我们都知道，判断线性相关性就是看它们的质跟谁比，跟个数三比。你想想一个问题，如果是这个矩阵的值。它会超过二吗？

它不会的，它永远是小于等于二。但是我要跟个数比啊，我的个数是三个。所以说这个时候啊，我们马上就可以说明这个人呢，一定是线性相关。对吧，一定线性相关，那100%的，所以如果一个向量的什么数啊，为数小于的它的个数。一定线性相关没问题吧，你就举个简单例子吧你，比如说在二维平面当中的是二维向量，

三个二维向量，一定线性相关。对吧，因为二维向量顶多只有两个线性，无关的，顶多只有两个，你要来三个人的话，你发现你肯定线性相关，所以这是我们讲的第三条内容。向量组中。向量个数。超过尾数。b相关。啊，一定是线性相关的。

没问题吧？好了，注意啊，就说如果你发现你这个向量组的什么，你这个向量的个数超过了这个尾数啊，你发现必定相关。好了，这是这个事情。啊，怎么能问出这种问题啊？我也没有写零呐，我写的是a4b4c4a5b5c，我啥时候给你讲零呐？哎呀，你你这这有同学，

你你这学乱了，你看这个同学也乱了，你错乱了啊。这是列向量线，性线性什么相关的？我刚才是一个矩阵，我这个矩阵既有列向量组，也有行向量组，所以说我要说清楚是行向量。行向量，组线性相关还是列向量，组线性相关？人家现在说来，你给我看看这个向量组是线性什么关人家，这就是列向量组，

你怎么能说行向量组呢？有点错乱了啊啊，有点错乱了，你好好想想这个事情，然后再来看下一个问题，不要乱啊，你要永远注意这个问题。你矩阵里面当中啊，它的每一列都是一个向量，它每一个行是一个向量，所以说它有列向量组，有行向量组好，我们再来看。如果这里面当中，这是a1a2a3。

如果这是b1，b2，b3。如果这是零零零。那么再来看看这个问题，你再看这个人，你看一个向量，两个向量，三个向量，我问你个事情，你判断这个列向量组的线性相关性是？是不是看这个向量组的质跟个数的比较？对吧，就看这个人的质跟个数比几个一个两个13个跟三个比，而你发现这个矩阵的质就等于它的列向量组的质。

诶，那这个矩阵的值的话，你看你这一盘是零是没有效的呀，它一定小于等于二。所以说这个时候它的值一定小于等于二。一定小于等于二的话，你看一定会小于三。你向量组的值小于个数，那不就是线性相关吗？对吧，所以含有零向量的向量组一定线性相关，然后我们再来看，比如说这是a1a2a3。然后这是b1B2B3。然后这里面当中，

我们继续写，如果这是k倍的b1k倍的b2k倍的b3好，我们继续看。请大家告诉我，判断这个向量组的线性相关性，就看这个向量组的值就是这个矩阵的值。形成矩阵的值跟谁比？一个两个是三个比跟个数比能理解吗？因为这俩人是成比例的，在变换的过程当中，有一列被干掉了嘛。所以说这个质啊，你发现第三列还是没有用，小于等于二小于三，它一定还是线性相关。

没问题吧，还是线性相关，所以说你发现含有零向量的向量组线性相关还有成比例的向量组也是线性相关。所以这是我们讲的最后一条内容，我把这个内容写到下面。好，我们来看看最后一个事情，所以啊呃，这就是我们在这一章过程当中讲解的所有的内容啊，就没了，来看看第四条内容。但不要背啊，理解一下。含有零向量。b相同。

对吧，就是一个向量组当中含有零向量，它一定是线性相关的好，这是一个问题，还有一个事情，那就是第五考点。再看最后一个内容，向量组当中含有成比例的。的向量一定也是线性相关，所以你发现学了半天就是一句话，对吧？包括我们刚才这个内容也都是一句话。判断一个向量组的线性相关性，就是看看向量组的质跟个数比等于它的个数是无关小于个数是相关等于个数是无关小于个数是相关。你包括学到这个矩阵当中，

它也是这样，那矩阵的话，因为矩阵的值等于行向量组的值也等于列向量组的值。那行向量组当中多少向量行数是多少列向量组当中有多少向量列数是多少，所以你发现你看起来你学了很多东西。其实回到最后就是一句话，就是看看这个向量组的值跟个数的比较，而向量组的值又转成了矩阵的值。所以就是矩阵的值，跟它向量个数之间的关系。不是吗？原来是向量组的质跟个数的关系，不就变成了矩阵的值跟向量组的关系啊，跟向量组当中的向量个数的关系。所以你就会发现一个事儿，

你看你看这个题的时候。那就说明这个矩阵的值它怎么了？线性相关矩阵的值小于它的个数。对吧，矩阵的值小于它的个数三，而你把它这个东西缩小了，缩小的值更小了，你更小于三。那肯定是性息相关。是不是这个问题，然后你看你这个是线性无关，你这就满值了，你就算放大一点，它还是满值的，那满值的话，

你发现等于它的个数不是无关吗？所以学了半天就是一句话，就是看向量组的质跟个数的关系，你下去要转一转啊，这这就是这一年学习过程当中啊，线性代数当中最难的一个板块内容。就是看看向量组的值跟个数的关系，向量组的值又等于矩阵的值，就是看矩阵的值跟它向量组当中。向量个数的关系好了，这是这个问题。好了，这个事儿我们就讲到这儿，听懂了吧啊，基本问题。

那么这个内容啊，我们就不多说了啊，你要是如果晕呢，我不知道你上节课有没有下去复习啊？啊，其实难度系数一点都不高啊，说实话一点都不高，学了半天就是一句话就是。向量组的值跟个数的关系啊，就是这个人。你看这个人。它是满的，它的质是三，这是最大的不为零的行列式，你再变大一点，

它还是最大的不为零的行列式，那说明这个矩阵的质就是三。等于它的个数，等于它的个数，不就是无关吗？那所以每节课你一定要整理，你要是这节课来听课之前呢？你发现上节课的内容一点都不记得了，那这节课你会疯掉的。但是上节课的内容，你发现你学的非常的清楚，你记得非常的清楚，你会发现这节课基本上而言都是一些延展的内容，非常的轻松。所以我之前过程当中，

我就给你讲过，你要听话，对吧？我说线性代数这几节课，每当你学习过程当中，一定要把前面部分内容你要学习清楚，你如果在这节课的学习过程中，你发现上节课学的啥啥都不记得了。那这节课那就废完了。所以说你这个每节课你要整理它是非常连贯的，它不像原来过程当当中的高等数学啊，你中间少了几节课，你发现也能听懂。啊，这个可不行。

来再来，把三点一四这个题啊，把它给我灭了。来看这个题。选几啊？赶紧选一下。看一下这个题。选几很简单吧，你看这只有三个人，这个身长嘛？为数加长了嘛，是伸长嘛，所以你看前面是缩短后面伸长。那因此我们来看看第一个事情，如果这个人线性相关伸长组相关吗？

没有这个定理。说的是第一个人是线性无关伸长组也无关诶，这个对称。然后说如果这人线性无关缩短，组也无关吗？不是这样。如果这与线性相关，缩短主页相关，不是无关选b。能听懂吗？你看你，其实你发现你也能会用啊，这个知识点呢，你也会用它的内容点，你下去再想想。

永远记住一个事情，就是看看这个向量组的值跟个数的关系，你就比如说这个人矩阵的值就是这个向量组的值。那这个矩阵的值怎么会超过二呢？而你发现这个有几个向量，有三个向量，它肯定是小于它的个数的。如果向量组的值小于它的个数，一定是什么线性相关？好了，这个内容你一定要注意哦，你好好进行去把它琢磨下，这节课内容我们就讲到这，这是整个线性代数当中最难的板块内容。这是我们考研的线性代数当中最难，

也是理解起来啊，难度系数最大的一个部分内容，你突破过去啊，那后面过程当中就一马平川了。好，这个事我们就讲到这，那么接下来我们将正式的进入到下一个板块内容线性方程组。呃，这个部分内容考研是必考的，一般的话会出两道题，有的时候出三道题都有可能。线性方程组考研必出题。因为线性方程组啊，是我们在线性代数啊，这门课程为什么能诞生呢？

它的一个起源。所以接下来我们认真来看来，看看第四章线性方程组啊。那么，线性方程组这个部分内容呃，要注意几个事情，那么基础班的部分内容我可能在前面过程当中讲的比较细一点，因为我也希望同学们了解这个原理，了解这个内容。所以说，希望同学们好好听啊，认认真真的听。那么，接下来我们来回到下面一个问题，那么首先我们做几个引力，

第一个事情，什么是线性方程组？对吧，什么是线性方程组？那其实啊，我原来过程当中在讲第一次课程的时候，我就给你引播什么是线性方程组。什么是线性方程组啊？我讲过一个叫鸡兔同笼的问题吧，比如说这是2s，加上这个4y等于多少？比如说等于。当时是35，然后的话，这是多少呢？

哎哎，这是x+y=35，这是94是吧？x+y=35，这94啊，随便列吧。那这就是一个方程组，对吧？这叫什么方程组呢？这叫几元呐，二元注意啊，方程中的元呐，指的是未知数。二元几次啊？一次方程组二元，

一次方程组对吧？两元一次方程组。方程组诶，这就叫方程组，但是后来过程当中，我们为了看得清楚诶，你有几个这个什么你有几个未知数，我们就把这个未知数写成了x1。x2这不也行吗？是吧，解这个方程组两个未知数就叫二元二元一次方程组。所以接下来我们再来看看那一般形式是什么呢？那这个一般形式呢？如果有n元呢？n个未知数呢？

那么接下来我们来写一下，你看第一时间a一一。第一个未知数a一二，第二个未知数，然后一直加a1n，然后这是第n个未知数。对吧，这是一个方程，如果它等于b1。这是一个方程吧，这不能称之为方程组，其实一行也叫方程组，这太特殊了，好，我们再来看，

继续这个第二行第一个。a二二s2，然后继续呢，你发现这是a2n，然后这是SN诶，这又是一个方程。然后总共有多少个方程呢？我总共有m个方程am 1x1 am 2x2。然后一直加到多少呢？加到am nxn，然后这是bm。对吧，这是bm。好了，这是我们在这里当中讲解的这个最后一个人啊，

这是我们讲的这几个人。那么，同学们来看看那这个方程组怎么说呢？它叫几元呢？有几个未知数啊？很明显有n个未知数，你要注意啊，解方程组，解方程组，解方程组是解这个未知数呢？所以它是几元，它是n元一次方程组。注意n元一次方程组对吧？n个圆一次的方程组有几个方程呢？有m个方程。

大家注意，它总共有m个方程，所以说是m个方程的n元一次方程组。n元一次方程组能掌握清楚吧？好，这就是我们一般形式，所以我们经常而言见到的这个方程组啊，它就长这样。那么接下来你就会发现，我们为什么线性代数当中啊，会引入矩阵？对吧，引入矩阵的原理在何处呢？接下来你好好看啊，我们来看看第二件事情，

我们可以利用矩阵的形式来表达这个方程组。怎么进行表达呢？大家注意一个问题，我先来说一下这个事儿，你告诉我个件事情，这个方程组当中谁是已知谁是未知啊？谁是已知，谁是未知。未知数是未知吧，那个x那个东西是未知，所以你要注意一个问题，你解方程解方程，你是在解谁啊？你是在这解这个x1，这个x2一直到多少xn？

是吧，你在解这些东西。而那个a那个b那些东西啊，它都是已知的。你这是你要知道的问题，你不能再接这么多，你都不知道你在干嘛，你这可不行，你不要写n个，你就看不懂了，要注意你再减s。那么，接下来我们来看看这个矩阵有个什么好处呢？你看我可以把上面这个东西利用矩阵的形式来表达。怎么表达呢？

我可以把所有的未知数。都写到这个向量里面。你看把所有的未知数写到这个向量里面，然后接下来我们利用矩阵乘法，你来看那就是n一一第一行第一页嘛。它a一二它，然后一直到多少a1n它？然后等于多少呢？立即等于b1。你自己可以算一下，你看第一行第一列。a一一s1a一二s2a1 nsn诶，你看看这多好，也就说我把系数写到一个矩阵里面。把这个未知数呢，

写到一个向量里面，然后再来看第二行，那就是第二行第一个第二行第二个，然后是多少a2 nxn？那这个人等于多少呢？等于b2一直下去一个事情，那就是am 1s1 am 2s2。一直到最后一个是多少是a mn SN，然后最后一个结果等于多少呢？等于bm。能听懂吧，你看就是这样的一个好处，什么样的好处呢？就是说我可以把这个什么东西呢？把这个未知数的这些具系数。

把这些系数写到一个矩阵里面，而你发现这个系数是不是已知的？是不是已知的，而你看你这个向量呢？你这个向量是我所有的未知数。所有都是在这，而这个人也是已知的，你看这种解法，这就是矩阵的魅力，它的魅力是什么呢？他把所有知道的东西都放到一起了。知道东西都放在一起了，不知道东西放在一起了，只要我能解出这个向量，我就能解出所有的未知数矩阵的魅力。

这就是它的魅力，它把已知的东西都放在一起了，它把未知的东西放在一起了，然后接下来我们就纯解这个向量就行了。所以你看这是向量的魅力，矩阵的魅力。所以接下来我们来进行去看看这类目当中啊，第一个事情。把这个矩阵呢，我们叫做系数矩阵。啊系数所有系数形成的矩阵叫系数矩阵，然后这是所有未知数形成的向量叫未知数向量或者叫未知量向量都行啊，未知数向量未知量向量都行。然后最后一个呢，这是一个尾锥，

它叫常数项向量。常数项向量那么通常这个系数矩阵呢？我们喜欢用什么表示呢？我们喜欢用大a表示。然后的话，这个未知量向量呢，我们喜欢用x这个向量表示尾椎这个向量，我们喜欢用b向量表示或者用大向量表示都无所谓。所以我们经常见到的这个方程组啊，就写成as等于贝塔的方程组。对吧？as等于贝贝塔或者as=b，你要注意，这是系数矩阵未知量向量，然后这是多少呢？

这就是我们讲的那个常数项向量。能理解吗？常数项向量，那当然最一般的我说的是最一般的，倘若这个a是一个方的。倘若a是可逆的，你把这个a逆过来，这个x解出来了，x解出来是把所有人都解出来了。这是最简单，最一般的，但是通常而言的话，你发现很少会遇到什么，这东西一定是可逆的。再者而言，

也未必是方的，所以如果这个东西不是方的，也不是可逆的，我怎么去解决它呢？这就是我们在这章过程当中重点研究的问题。你看矩阵的魅力能听懂吧？要注意哦。呃，我能不能把这些字给擦掉了？你们写了吗？写完了给我回复一，我把这些字儿给擦掉了。对吧，这个系数矩阵v这向向量这些解释我觉得不重要，你将来的话，

你看你一看就出来了，好，我们继续，我们再来看。还有这里面当中的第三个事情写完了是吧？来继续来看。诶，你这个前面这个矩阵叫什么矩阵呢？前面这个矩阵叫啊系数矩阵还记得吗？注意啊，这个矩阵叫系数矩阵。我把这个系数矩阵的第一列叫阿尔法一。第二列叫阿尔法二，这一列叫什么呢？这一列叫做阿尔法n可不可以？

也就说这个系数矩阵的每一列，我们写成列向量的形式。它的每一列都是向量嘛，然后这个时候你可以把它乘一下，你乘出来什么东西呢？你乘出来就是x1阿尔法一。x2阿尔法二，然后一直加到多少xn阿尔法n，然后最后是不是等于这个北大这个向量？你看是不是是不等于这个贝大向量诶，我们就又得到了一个情况，得到了一个什么情况，我就得到了向量形式。所以你要注意啊，这是最恶心的。

你要深深的明白一个事情，这也是一个方程组。而这个方程组呢，你要注意这个人是系数矩阵的第一列，这是系数矩阵的第二列，这是系数矩阵的第n列。而你发现它的系数呢？系数就是所有的未知数。大家想想一个事儿，这个东西你如果从第三章的角度上而言，这什么玩意儿？这不就是贝塔能不能被阿尔法一，阿尔法二，阿尔法n线性表出吗？哎，

你看看这个水平点就相当的高，你一定要注意啊，你要知道每个量是什么意思，那个x是所有的未知数，对吧？你看这是每一个未知数。然后的话，你发现这个阿尔法一阿尔法二到阿尔法n不就是那个系数矩阵的每一列吗？哦，这个贝塔什么东西呢？不就是尾缀吗？就看北大能不能被这个什么这些东西线性表述。所以说你就会发现一个事情，那个线性表出那个东西啊，就跟方程组是有关的。

它跟我们方程组就是有关的，所以这一章过程当中啊，研究清楚了方程组啊，研究前面那个问题啊，也非常简单了，好，我们点到为止，一会儿会重点的讲。我们先前讲，我都说了，这只是一个引力，我先引出来什么是方程组？你了解清楚什么是方程组就行好，这是第一件事情，我会换一种讲法。

我接下来过程讲这些东西啊，跟市面当中你任何的看到那个讲法不太一样，你好好听就行了，我让你进行去深层次去理解到底是怎么去解方程组的？你可能在大学过程当中啊，你解那个方程组，你老师说把矩阵写出来，然后再怎么办？变换变换变换了之后的话，然后这个东西就出来了。那么今天你要好好看来我们一起来看看下面一个问题。我说的是在已有的认知下。我怎么去解方程组？大家注意啊，这件事情你在初中就能学。

你上初一就能学，所以你放轻松一点，我只不过会把这东西啊，你稍微进行去理解一下，把前面的一些东西啊，我们先挂钩。好，我们先来看看这个方程组。那么，这个方程组啊，首先我们先来看看这个方程组怎么去解？如果在初一的时候你进行去解这个方程组，你会这样做，我怎么做呢？哎，

我可以通过这个方程组，我先变换一下。变换了一下的话之后，我以第一行为例啊，这个为基准。第一，行为基准。第一，行为基准则之后的话，然后怎么办？用第二行减去上面减去上面是s2减去上面是s3减去上面值是四。然后再减去上面减去上面减去上面减去上面，然后这人等于五。是不是这个事件哎？你发现你看你这边一减都是五有同学说老师这什么玩意，

零怎么能等于五？你不要说题出错了，题没有错，你先不要乱来。你先听，我想问你个事情，你原来解方程组是不会这样解？啊，你告诉我个事情，是不是这样解的？你先回答我，你在初一的时候解这个方程组是不是这样解的？你是这样写的吧？你就是这样解的啊，你发现一个事，

这个第一行的话，你怎么办？我用这个人削他，我削他就是这样解的呀诶，我后来会发现一个事情。其实你发现这个方程组在变，其实只有它的系数在变。是不是啊？只有它的系数在变，因此将来过程当中我怎么办呢？我这样办，我就把它的系数矩阵哎写到这儿。系数写到这儿，系数矩阵是幺幺幺，系数是幺二二，

然后这是幺幺幺哎，你在变的时候，这个尾缀也在变，这是三七八。所以说这个矩阵是什么矩阵呢？这个矩阵是系数矩阵和这个尾缀所形成的，这个分块矩阵。这个矩阵叫什么？这个矩阵叫增广矩阵，我讲这件事情已经讲的不是第一次了，我相信咱们班同学去听，非常的简单。这个矩阵叫增广矩阵。哎叫增广矩阵。大家注意一个事情，

等你将来过程当中见到这个矩阵的时候，你要立即会反应哎，当我看到这个矩阵，你所以前看到一些书籍里面是不是在这写了一个虚线啊？是不是还在这选了个虚线呢？这个虚线什么意思呢？就想说啊，这个前面是a的部分，后面是这个b大的部分，能理解吗？但这个虚线不具有价值。等将来我们看到这个矩阵的时候，你要立即会反映方程组好，我们来看，那就是一×x一。

加一×s二，加一×s三=3，然后第二行是一×s一+2×s二，加上二×s三。等于七，然后是一×s一+1×s二一×s三=8，这没问题吧诶，他就是这样算的。所以说你会发现我把所有的这个系数矩阵，还有这个什么尾缀，这个向量都写到这，我就形成了一个增广矩阵。那么，将来看到这个矩阵，就相当于看到这个方程组，

而且刚才有没有发现一个事情？这个方程组只能进行什么变换呢？只能进行什么变换？你要注意一下方程组的求解。只能行变换，对不对？你能不能列变换？你列变换就极其疯狂了。你发现你把这两行调换了，没有任何问题，方程组还是那个解。你把这一行的负一倍，加到这一行没有问题。你把这行乘上三倍，没有任何问题，

你敢不敢列变换？你列变换可相当的疯狂，你把x1的系数跟x2系数换了，这什么玩意？你小学的表弟都不赞同，你想想是不是啊？他不会赞同这个事情的，所以说一定要注意一个问题，就说这个方程组他只能进行什么变换？只能进行行变换，而且你发现只能进行三种行变换，第一种行变换互换。对吧，互换你互换两行方程组的解变变不变互换可以，然后接下来过程当中我们再来看第二事情。

你背乘行不行？被乘可不可以可以啊？你给这一行乘上个三没有问题的被乘可以？然后第三个事情，我们倍加信不信？也行啊，你把这行乘上负一倍加到下面去，没有问题啊，所以说大家注意这些内容是不是都是我们原来过程当中所学习的东西啊？你只不过是把我们初中学的这个东西变成理论嘛。那不就这个问题，所以综合起来而言，这不就是我们要进行的什么东西呢？就进行的行初等变换吗？初等。

变换。所以我们就明白了一个事情，当我们把这个东西进行初等行变换或者行初等变换解是一样的。解是不会变的。你只能行变换，你要进行列变换这个题就废了，所以接下来我们怎么办？我们就把这东西啊，进行初等行变换。来吧，走。进行初等号变换变换。怎么变换呢？利用高斯消元法，你看高斯消元法，

它的重要性。我问你个事情，这个虚线不写行不行？你知道就不写你你你要不知道你就写那减去下面减去上减去上面，然后这是几这是四，然后再减去上面减去上面减去上面，然后这是五。好了，那么接下来我们来看看。那这个时候我们进行去读一下，对吧？我们来看看这个事儿。这个虚线不具有价值啊，我都强调了很多遍了这种。好了，

那么接下来我们一起来读一下，你看这个时候就是一倍的s1+1倍s二一倍的s3=3。这个变换过来没有问题，然后是一倍的s2，加上一倍s3=4，但是注意读第三行。第三行的话，你发现它是什么零被s一零被s二零被s三零，然后这边是几五说零怎么办？等于五。零能等于五吗？有同学说那老师你这题不是出错了，不是题出错了，我问你个事情，我就写这样的一个方程，

让你去解有没有问题？有没有问题？我实际生活当中，我就给你这个方程，有没有问题？我怎么能说方程写错了呢？我这就是个方程组啊。对吧，我这就是一个方程组啊，你怎么能说我这个方程有问题啊，我这是不是方程组我这是啊？大家注意，这不是题出错了。这叫什么？这叫无解。

所以你会发现这种情况叫做方程组没有解。没有井。那我怎么进行去看看这个东西没有解呢？大家注意你来听，好好听。你就会发现一个事儿来，我们来看质看什么情况，有没有发现这个部分的质是几？这个部分的质是二吧？系数矩阵的值你看。系数矩阵的质是二。而你会发现，如果是这个增广矩阵的值呢？增广矩阵的值反而要进行去延长下，就等于三。

对吧，系数矩阵的话，只看前面两个增广矩阵，看所有它等于三，而你发现这两者怎么办？不相等。大家琢磨一个问题，如果它们两者不相等，当然是这个人大一点。我先说一下。首先，你看a贝大这个人肯定比a大吧，我比你多嘛。对吧，我比你多嘛，

如果不相等，就是比你大。不会比你小的不相等，就是比它大，这是要注意的，你要不相等，要不大，它不会小的。所以说只要不相等就比你大，那你琢磨一下。如果a的这个部分，你想想你的痣比我的这个什么，这个痣比整体的痣小，你就会发现，如果小的话。

你这个部分你的下面都是零吧，而你会发现你大一点，你这个元素肯定不为零，所以说就会导致什么情况就会导致前面是零，后面不为零，这种无解的情况，你想想是不是？啊，对不对？所以这就是一个非常好评判的一个问题啊，你想如果我这个a的值。我跟你什么东西呢？AA大的值不相等，我不相等的话，你发现我就画在这儿。

但是你要大一点，你要大一点的话，你这下面肯定要再画一格，而我这下面都是零，而你这个东西不为零。你这个零怎么会等于不为零呢？所以说这种情况就会无解，因此首先我们就得到了第一条内容。什么样条内容呢？来我们来看看线性方程组解的判定，那么如果这是a这是s这是贝塔。那么你在大学过程当中就学过一个事情，如果系数矩阵的值它跟增广矩阵的值怎么了？不相等。增广矩阵的值跟系数矩阵的值不相等，

那这个方程组一定就是无解的。是不是这个事情？你大学是不是这样学的？你就是这样学的，你大学过程当中就是这样做的。你一直都在做这个事情，你没有理解清楚吗？那为什么这样呢？你很简单的一个初衷内容啊，那为什么这样做呢？你现在应该要明白好了，这是这个事儿来继续，我们再来看个例子。再来看看这个。那么这个例子啊，

来，我们接下来一起来看看。那么，首先第一件事情怎么办？把这个什么增广矩阵拿出来。那么前面是幺幺幺。幺二二。二二二，然后最后是三七六。这样的一个方程组，那这个方程组啊，我们只能进行行变换。它的每一行变换，其实就是上面的人变换，然后这是幺幺幺三。

然后减去上面这是零幺幺，这是四。减去上面二倍，减去上面二倍，减去上面二倍，减去上面二倍，这是几这是零？诶，那这个时候我们再来看你，发现系数矩阵的值只能画到这儿。这是系数矩阵的，值它等于二。然后再来看你发现，然后的话，这个增光矩阵的值呢？

增光矩阵的值要看所有增光是所有嘛？它也是二哦，这两者相等了，所以说怎么了？如果相等了就有解。对吧，相等的就一个解，因为不相等的话，你发现你前面是零，后面不为零，肯定没有解你相等的就一个解，那么接下来我们再来看。那这个时候你再来看看一个问题。我想问你个事，请问这个题目当中未知数的个数是多少？

未知数的个数。那未知数的个数很明显是三。对吧，你未知数的个数是三，你as=b的。那这个时候你发现这个人是多少三×3，那这人是三，所以未知数的个数应该等于谁呀？我们从上面看你未知数的，这个个数应该等于系数矩阵的列数。系数矩阵的列数就等于未知数的个数，这个赞同吧，你里面当中有多少个未知数？你这个列数不就是多少吗？所以大家一定要注意啊，

不是等于方程个数，不要胡扯。对吧，应该等于系数矩阵的列数。系数矩阵的列数要注意啊，所以未知数的个数啊，它等于系数矩阵的列数，这是三个。而你发现这一类目当中，我们的这个系数矩阵的值又表示什么呢？质其实表示了有效方程的个数。你想想是吧，你这个东西的话，你看你质是多少，你下面都是零嘛，

你这是无效方程，所以说它代表了有效。方程的个数。对吧，有效方程的个数，那有效方程个数是几呢？现在这个题的有效方程的个数是二。你只有两个有效方程，而我们一直讲一个事情有多少方程解多少未知数吧，其实这句话有问题。这句话不对，应该是有多少个有效方程能解几个未知数？那你现在这里面当中有几个有效方程呢？你有两个有效方程，两个有效方程只能解两个未知数，

你还有一个未知数解不出来，所以说就会导致无穷多解。所以接下来我们就来看第三个事情。那么，因此j类目当中，我们就可以写了a这个人是一个m×n的矩阵，这个n非常重要。这个n就是未知数的个数，所以说接下来我们来写了。如果这个系数矩阵的值等于增广矩阵的值，它是有解的。如果的话，这个质代表了有效方程个数，如果他怎么办？小于了什么东西啊？

未知数的个数，有些东西你是解不出来，那所以说就是就会导致。无穷多解的情况。哎，无穷多级，你看这里面当中的内容。来，我们再来看下面一个事情，再看最后一个人。那么最后一个人，你注意啊，我这已经切进去了啊，你稍微的话已经切进去了，所以说一会儿这章难度系数啊，

就很这个很容易学了啊。来，我们再来看这个人。解这个方程组，我们就可以把这个非弦方程组摆到这儿。啊，这个非方程组的这个方程组的这个系数矩阵和这个把这个增广矩阵摆在这儿，那我们一起看幺幺幺，这是三。幺二二，这是七。幺幺二，这是八。那么，接下来看看我们怎么去解方程组呢？

我们解方程组是这样解的。首先，第一件事情把它进行初等行变换。行变换的话，以第一行为基准，这是三。减去上面减去上面减去上面，这是四减去上面减去上面减去上面，这是一然后这变成了五。所以你会发现，我立即把它变成了什么，变成了一个行阶梯矩阵。所以我们进行去解方程组的第一件事情，就是把这人变成行阶梯矩阵，那这个时候我们来看看诶，

这是有解的吧？因为系数矩阵的知识三增广也是三。u阶的好了，现在是行阶梯。然后接下来怎么办呢？先往下小，再往上小，然后等于就把它变成行最简，那这时候就是零零幺。这是五，然后怎么办呢？反解把它这个上面的话，这俩人干成零。返修那这人就变成了零。然后的话，

这是负一，这是一，这是零。然后再把上面那个人变成零，那这人是零，然后一减这是负二，然后这是幺幺这个人。没问题吧，所以说你看又变成了这个样子。又变成了这个样子。好处理成这样，然后继续再往上消，把这个人变成零减去上面，然后减去这个人变成负一。那这个时候的话，

你看我把它拉成虚线。来，我们来读一下，看读第一行一倍的x1=-1读第二行一倍的x2。等于负一再读第三行一倍的I3=5。所以你会发现一个事情，这东西是什么解唯一解，如果从判断角度上而言呢，你首先第一件事情。这个增广矩阵的值。增广矩阵的值等于了系数矩阵的值，说明他们是有解。然后再者而言，你这个人的质等于三而未知数的个数呢，未知数的个数。

三个对吧？那这个时候你看你只表示了什么？表示了有效方程的个数，然后有几个未知数呢？三个未知数。三个有效方程解三个未知数刚刚好，唯一的解，所以说接下来我们就可以把这个事情写出来了，第三个事情。如果这个系数矩阵的值等于增广矩阵的值。那说明有解，然后如果能等于这个未知数的个数，那就说明什么有多少有效方程解多少未知数，那这不就是。唯一解的情况嘛。

这就是我们在这一章过程当中啊，学习的非常重要的方程，组解的判定你大学如果你学啊，你肯定是学过这个事情的。原因是什么呢？就是这些原因。对吧，原因就是这些原因，而且你会发现为什么解方程组要这样解呢？这样解的原因就是原来过程当中，我们就一直让你你看两件事情，我们现在到了今天了，我们就可以画一个完整的圆了。你现在终于知道我为什么让你一直进行行变换吗？一直让你行变换画的行阶梯，

画的行最简吗？原因在何处啊？都是为了今天。大家注意啊，都是为了今天，那不就是不叫说把它化成单位阵。那是把那个东西变成行最简矩阵。所以你会发现看到了这个，今天你终于应该明白这样的一个事情，因为方程组的求解，只能进行行变换。方程组进行去化简，就是通过行变换，把它化成行阶梯，已经很简化了，

化到行最简，这就是最简的方程组的形式。最简的方程组的形式，我们就可以进行去求解了。所以这就是我们一直以来我就让你一直进行行变换，对吧？一直行变换行变换行变换，你到了今天，你发现你如果前面是行变换列变换，你看到了今天。你到了今天，你敢列变换吗？你当然不敢列变换，你只能进行行变换。所以大家注意，

你发现方程组的求解就是把这个增广矩阵拿出来，然后进行行变换，画到行阶梯，再画到行最简。然后通过这个行最简就能解这个方程组了。其实，这一系列的变换不就是对这个方程组进行简化吗？你想把这个第一行的负一倍加下去，这个方程组就会变简单很多，再变得简单很多，所以你看这个操作性就出来了。另外而言，它的解的情况，我带着大家理解了吧。所以你看这么多年呃，

可能你遇到过一些老师讲这句话，其实都有问题，你以前过程当中你见过老师说多少多少方程解多少未知数。三个方程解三个未是不是错的，不是三个方程解三个未知数，是三个有效方程解三个未知数。是吧，三个有效方程，我怎么看有效方程呢？我就看质为什么质它的下面这个部分都是零？所以质是多少有效方程的个数是多少？不是说三个方程解三个未知数是三个有效方程解三个有啊，这个三个未知数好了，所以说这个问题啊，一定要好好进行去下去，

好好想想。好了，这个部分内容啊，我们就引到这儿。哎，就引到这儿，所以你下去，你好好进行去找几个方程组啊，你练习一下什么东西都清楚了啊，这只是个引力。我们从现在开始，我们将正式的进入今天过程内容的学习好，我们先来看看第一个板块内容，我们先来讲讲其次线性方程组。呃，

这样吧，我把这个什么这个方程组我写出来，然后你把这个矩阵形式和向量形式把它给我写出来行不行？好了，我们一起来看看，稍微等一下一分钟啊，一分钟。我们先来看看第一个事情，一般形式，我先讲讲什么叫做其次线性方程组。其次，线性方程组就是什么呢？就是刚才这个尾缀的后面都是零。大家注意，如果这个后面全部都是零，

它就是个其次线性方程组。所以接下来我们一起来写一个啊，一起写一个。a一一x1。a一二s2。然后一直加到a1 nxn。好了，这是第一个方程，然后继续a二一x1。a二二x2。然后一直加到a2 nxn。这是第二个方程，然后继续am 1。am 1x1。am 2x2。

然后一直加到am nxn=0好了，大家告诉我个事情。这叫几元的齐次线性方程组啊。很明显，有m个方程。有n个未知数n元一次，其次线性方程组。n元的对吧？n个未知数，有m个方程是n元一次方程组，我再强调一遍，你看有多少个未知数，你就是看看这个人有多少列？不是看有多少行，是看有多少列，

一定要看看这个人的列列是非常重要的。好了没这事要想清楚啊，所以我们核心重点是看看这人有多少列。要注意行吧，下课休息过程当中，把这个矩阵的形式和这个向量形式都给我写一下。哎，下课的过程当中一定要写一下啊，把这两个人给我写出来。行吧，我们稍微休息会吧，一会我们继续，所以说刚才过程当中啊，都是引入啊，就是引入这个事情，

这非常重要。休息会儿吧，一会儿我们继续。

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