04.逆矩阵与初等变换-3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:55:18

我们继续吧，我们再来看看这个题目做对了吗？有没有做出来？选几啊？好了，那么接下来过程当中，我们来看看这个题吧，它这里面当中啊，你发现它给了一个什么情况？它说bac=1。那bac=1的话，你发现这非常明显，如果这是bac=1。你可以这里面当中怎么看呢？你把这俩人看成整体。

都是方阵吧。都是方阵的话，你发现俩方阵相乘等于一，那彼此之间互为逆矩阵，所以说这里面当中我们就推出了什么情况？你这个人的逆矩阵就等于多少？就等于AC。那这个时候的话，你发现一个事情，我们都知道，对吧？我乘我的逆矩阵跟我的逆矩阵乘上我。这个结果都是单位帧，所以说在这个题当中啊a cb也对。对吧，

然后这里面当中的话，你发现这人也对好，我们继续看，然后这是bac。你还可以，怎么看呢？你可以把这俩人放到一起。诶，这两人那这两人放在一起的话，你发现两个方阵相乘等于一，那彼此之间互为逆矩阵c的逆矩阵不就是。BA吗？而我们接下来再来看我的逆矩阵，乘上我跟我乘上我的逆矩阵。是一样的，

都等于单位值，所以说这个题啊，你发现这人也是对的，正确答案选几啊，选d这人不对。那么，像这种类型问题啊，那还有一种做题方式。那你发现一个问题啊，就是那么接下来过程当中谈小技巧性，你刚才过程当中是这样的，那么还有一个小技巧性呢？它就是这样，就是BA这是c吧？然后的话，

你发现这是这样的一条路径。哎，这条路径你只要在这个路径当中啊，你随便选一个起点，你发现你选b为起点呢bac=1。你选a为起点的a cb=1。你选c为起点呢CBA=1。好，这是这个事情，所以说这个题啊，你发现非常好做对吧？这是这个人。能理解吧，哎，基本点反正就说你来来回回倒呗，

对吧？你呃来来回回倒你选一个人的话进行去做，但是我注意一个事情啊。技巧法。大家注意技巧法先要掌握住基础法的前提条件下。你这个技巧法的话，不就是这个内容吗？它的核心重点就是这个问题，能理解我的意思吧，大家注意这题不就是去年的考研真题吗？这就是去年同学的考研真题啊，所以你会发现我们去年三九六同学的考研真题，他就参考了这个题。对吧，就参考了这个题。

你这就是这是我们去年的话，考点全刷里面当中啊。里面当中有这个题，跟去年的考研真题啊，你发现基本上是一样的，那去年怎么出的呢？来我们来看看我们的二零二三年的考题。它这样说的，如果说什么东西呢？已知abcd。均为方针。还记得吗？而且这里面当中的话，你发现且什么情况呢？且abcd都等于一。

然后接下来过程当中，你怎么办？你这里面当中推导非常简单，你看你可以选这个人为真题。a×a逆就等于a逆乘上a。然后这个人就等于一。能理解吧，你也可以选这俩人。那这个人就可以作为AB的逆AB乘上AB逆等于AB逆乘上AB也等于。能理解吧，然后接下来过程当中，我们再来看你也可以选这个人。你选这个人的话，你发现d逆乘上五跟d乘上d逆又是一样。是不是这个事情，

所以说你发现你来来回回转一下就行了啊，这是去年的考题啊，那么在这种当中的话，你如果用刚才的方法，你发现更简单。这是AB到c，然后到什么到d，你随便选一个起点，你选这个起点可以选a abcd，选BBC da。然后选cc dab，你选dde ABC，这个更简单，所以去年那个题啊，你发现基本上是可以秒的题啊，

这个非常简单的一个题。能会吧，好基本点啊，你下去过程当中，到时候我们做真题的时候再看啊。好了，这就是去年过程当中啊，一道考研真题啊，基本点。好了，这个内容我们就说到这，所以说大家注意啊，这个逆矩阵的这个定义啊，是非常非常关键的，逆矩阵的定义。

那么，这个逆矩阵的定义可以干嘛呢？那么接下来过程当中，我们可以来做一些事情。那么，接下来过程当中，我是这样讲的。我们先形成体系，然后再来做题，可不可以那么接下来过程当中我们再来看看第20题逆矩阵的性质？诶，我们先来讲完性质好再来看第二条逆矩阵的性质。然后接下来过程当中，我来说一个问题啊。我讲的这个性质啊。

你还真的可以把那个逆看作成负一次方来认。你还真的可以把他尿奶。就是我接下来讲的好多内容啊，跟我们原来过程当中啊，你真的把它当做成负一次方得到的结论是一样的，你看比如说举个例子。腻了再腻呢。不就是本身吗？你腻了再腻不就是本事吗？为什么呢？我来给你讲讲这个问题，你想想a×a逆是不等于一？俩人相乘等于单位帧，那这个人不就是他的逆矩阵吗？你想你这个人的逆矩阵就是逆的逆矩阵，

不就是a吗？好这个人，然后再来看第二个事情，你k乘上a。你k乘上a的话，同学们想想你k乘上a乘以多少，它会等于单位阵呢，那非常简单，你这个k要跟k分之一结合。你这个a要跟a逆结合，你这样一结合的话就是单位帧，所以说它就等于多少k分之一a逆，你像不像？好像哦。真的非常像负一次方负一次方的话，

就不就是变成了k分之一，然后a的这个负一次方，但你注意啊，你能这样背，但你不能这样理解。能听懂我的意思吗？它是像你可以通过这种情况把它记住，但你注意啊，你可不能说我把这样的东西啊，就认为成这样不是这样。好了，那么接下来过程当中，我们继续看，你再来看，如果这是a×b的逆能。

a×b的逆的话，你发现AB这个人乘以多少会等于单位正呢？那么记下过程当中你来看看。我首先给你个b逆诶，这两个集合没了。然后再来给你个a逆哎，这两个东西又结合没了，所以说最后的一个结果应该是多少？应该是b逆a逆调换位置。塞莱尼。这个东西跟我们上节课过程当中啊，讲的那个内容是不是很像跟转制很像？哎，大家注意啊，不要着急，

这个事情一会儿过程当中我还会给你进行去系统的整理一下，你会觉得很散，不要着急，一会儿我会给你做做一个系统的整理。好了，这是我们讲的这波内容，然后再来看第四个事情，我们再来看一个问题。那么，如果这里面当中，这是ABC。你告诉我它的逆矩阵是多少？啊，这个人。这有啥迷糊的，

我啥都没有讲，你说迷糊啥呀？就是两个方阵相乘等于一，你这样的话，一结合这就没了。你这样一结合就是e啊，这非常简单哦。好了，那么接下来过程当中，我们继续看，我们再来看，那这个人的逆曲针是多少呢？你就去想想ABC这个人。乘以一个谁等于单位帧。那么，

在这个当中啊，你发现一个事情，我这个人乘上谁等于单位证呢？那很明显，一个事情刚才讲过了，两个对角阵相乘呐。它会等于这个人，那这个时候你发现a分之一b分之一c分之一嘛。是不这个事情，所以说它就会等于多少a分之一b分之一c分之一，你当然得保证一个什么事情abcd不为零。对吧，你得保证这个东西不为零，所以说大家注意一个事情，我们在讲这个半天呢，

你发现一个事就是核心重点都是这样。这个技巧法没懂，你就不要理解这个技巧法，你就掌握住这个方法。因为这个技巧法其实就是这个东西的模板。我就只不过是把这个东西写成了这个样子罢了。你发现一个事情，你看你选择这个人为起点的时候，他这样一转。你选这个人为起点的时候，他这样转，其实就是就是把左边这个东西换成了图像的形式嘛。你让我怎么去讲呢？啊，就是这样的一个问题，

你要是不喜欢用啊，你不理无法理解，你就用这个人啊，这个人。好了，那么接下来过程当中，我们就继续看吧，好，这是我们讲的这几个事情。啊，能听懂我的意思吗？来注意一下。那这就是我们在这门当中啊，讲的几个重点的性质，哎，

注意啊，你得保证ABC不为0a不为0b不为0c不为零。来那么接下来过程当中，我们就来看看下面一个事情了，大家注意啊，可逆性的判定，哎，这个非常的重要。那么，在这门当中，我们来看看一个重点的事情。你还记得万能公式不？万能公式一定要会会来来回回的导。不行，这个部分呢，

每年过程当中我都知道，有些同学脑子这个在这个部分转的慢，我们呃多来一点来万能公式还会记得吗？万能公式是a×a的伴随等于a的行列式，乘上一来，那么接下来过程当中啊，这个东西你得来来回回倒。对吧，来来回回倒我怎么做呢？我们这样做，我给这个人两边。同时左沉上逆。这是一个数，可以写到前面去，然后这是个逆。

树可以写到前面去，两边左乘个逆，这个人就没了。因为a和a逆时针单位针有矩阵，单位针不行。有矩阵单位阵不行。能倒吗？啊，就是这个事情，所以说两边组成个逆，这人就没了，然后把这个逆写到这个中间来。这个会来吗？然后接下来过程当中，你再来看那a逆这个人就等于a的行列式分之a的伴随。

没问题吧，你来来回回跟我倒，你注意一下这个事情啊，这是个非常重要的问题，一定要会倒来来回回倒。对吧，就是没有什么难度，我两边怎么办？你也可以这样看，就说两边左成个逆，就相当于把它的逆给我弄过去了。你可以这样认为。这个逆就很像这个人的负一次方，你不然的话，你发现他定义的时候为什么要把这个东西定义成负一次方呢？

他就是这样。对吧，它就是这样的一个问题，所以它就很像这个负一次方，就说我把这个东西给弄过去了，就相当于负一次方，但是你要注意是在它的左边。你可以这样认为。行不行？同学们好了，你怎么认为都行，就说我把这个人怎么了？我把这个人逆过去了诶，这样就可以了。所以在这种当中，

我们就推出了一个非常重点的公式。好，我们再说一遍。那这个时候的话，你发现这个人呢，两边就把它给我逆过去了，逆过去了之后的话，这就是a逆。这公式没问题吧？那么接下来过程当中，你发现这个a逆就会等于a的行列式分值伴随。哎，那问题来了，如果这个矩阵可逆，它的分母得不为零吧，

所以说大家注意啊，一个矩阵可逆的充要条件是什么呢？就是行列式不为零。行列式不为零，是这个矩阵。可逆的第一判定准则。注意是第一判定准则，如果这人不可逆呢，他的充要条件是a的行列式等于零，我再强调一遍。不是充分条件，是充要条件。是一个充要条件，就说如果你这个人可逆了，你的行列式一定不为零，

注意是行列式不为零，你看今天行列式就很牛逼了。这就是他比较牛的点了。因为我们定义这个东西拿来用了。如果你胜任可逆行列式不为零。你行列式等于零，你这人不可逆，而且同时而言，在这里面当中，我们还得到了什么东西呢？逆矩阵的求解公式一起来编。a逆这个人等于多少等于a的行列式分之a的伴随。a的逆矩阵等于a的行列式分之a的伴随。那就是可以进行求解行列式求解，伴随矩阵咔的一除就是逆矩阵，

哎呀，相当的完美。好了，这波内容啊，非常的充分吧，这节课的话，你就发现又是东西很多啊，我觉得这个这两天呢，应该是比较啊满的一个部分内容。好了，那么接下来过程当中，我就来给你进行去整理了。考研中逆矩阵的判定思路，求解思路考题的出题形式。来看看黄金重点。

考研中。逆矩阵。考题形式。那么，在考研过程当中啊，你发现一个事情，一个逆矩阵的考题，它会怎么去考呢？它会考两种事情，但是要注意一个事情，必须是方针。不是方阵，不要跟我弹逆矩阵，只有方阵才能弹逆矩阵。第一事情抽象性矩阵。

抽象型矩阵。你知道什么叫抽象型矩阵吗？同学们。啊，知道什么叫抽象型矩阵吗？比如说你看这个题，它说a这个人满足谁？那a是谁呀？你a是谁呢？我不知道啊，你还要让我去求逆矩阵诶，这个东西就叫抽象性矩阵。那么，在这个当中，还有第二种情况就是数值型矩阵。

竖直型矩阵是什么样子的？竖直型矩阵就像啊这个样子。我知道这个人的全貌，来给我求解逆序值。能理解我的意思吗？哎，就这种问题，所以说一个人是什么？哎，这个是抽象型，一个是数值型，大家注意，如果是抽象型呢？用定义。方法就是用定义，

那么对于数值型呢？在这里面当中，我们又有一个框架体系了，它有三种方法。第一种方法叫公式法。对吧，然然后第二件事情叫做初等变换法。大家注意一个事情啊，变换法这个东西啊，下节课讲你不要写这几个字啊。啊，能理解我的意思吗？诶，注意下下节课讲。你不要写噢，

我这个内容是给你看的。然后第三种事情还有特殊情况，还有分块对角针。的逆怎么去求那么像这个部分内容啊，这也是下节课讲它就会形成一个非常完整体系，你不要写啊。你不要给我写能听懂我的意思吗啊。你可别说这个事儿，我原来过程当中上线下课的时候，有些同学这个上课。可太有意思了，比如说举个例子，我说。呃，我我比如说举个例子啊，

我说数值性矩阵有三种方法记笔记啊，对吧？公式法初等变换法分块矩阵的对角阵的逆。然后我下课课过程当中，我说呃，然后我们后面说这个事情啊，其实这个东西很简单，然后结果我在班上进行去转的时候的话，你发现一个事情，结果这个同学说其实这个东西很简单。这东西你写它干嘛呢？对吧？你发现一个事情，这个上课听的时候的话，你真的是。

你记东西不过脑子吧啊，这个内容。好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个核心重点问题。来先看下面的事情，抽象型。那么，这个抽象型这个人呢？那么，首先第一事情，我们的核心方法是什么？我们的核心方法是用定义改成我喜欢的绿色。然后这个里面当中有三种方法。那么，

接下来过程当中，我们一起来看看这个事情。那么，首先，我们先看第一个问题点。那这个人用定义是怎么办呢？大家注意他的方向性是这样子的，就说你要进行去求解这个人。当然，它前提得是方阵吧。那这个阵乘上另外一个方阵，你看它能不能等于一就行？那么，接下来过程当中，我的方向就是这样，

也就是说，我的方向的做题就是我要进行去凑这个人。对吧，我去凑，我去凑什么东西呢？我去凑a乘上什么等于一，但是有的时候的话，你发现一个事情，它未必能凑成等于一。你大家注意啊，你凑成这个人也行。ke也行。这都行，为什么如果你发现个事情，这个人等于ke我就很自然的把这个k就给弄过去了。

就变成了一所以它的逆矩阵应该是这个人大家能听懂我的意思吗？所以说你一定要想清楚这个问题，就说它可以进行去凑一，也可以是k。如果得到ke把那个数除过来，这是很自然的，这就是我的方向。然后如果是竖直型呢，我们可以用公式法a逆这个人呢，就等于a的行列式分之一，这个数再乘上伴随矩阵。好了，这就是这样的一个重点问题。能理解吧，好基本点。

所以接下来过程当中，我们来看看第一个题来，我先来出一个题，你先来看看。零如果什么情况呢？如果这个a方减去4a。等于一。那么，这个时候的话，你告诉我事情，请问a逆等于多少？这题贼简单。啊，这就要简单到炸的题了。我先问你个事情，

我这个题出错了没有？有没有出错呀？有人说，老师，你不一定是方阵呐。我都不知道你是方阵，你都未必是方阵，你怎么能去求逆呢？我出错了没有？有没有出错？你告诉我，是我看看大家的敏感程度怎么样？我有没有出错？我需不需要加条件？啊，

有没有出错？没有出错，大家注意。这个题当中是不是写了a方啊？这就默认了这个人是方的。你如果不是方的，你怎么能进行求平方？大家一定要注意这个问题，你如果进行去求平方，只有方阵才能求平方。我们其实已经默认了，那么现在怎么办呢？哎，你看我就看到了一哎呀，我贼喜欢它。

那我喜欢它的话，你发现我就可以把这个a提出来a提出来就是a- 4同学们，你告诉我a能减四吗？a当然不能减四啊，来单位阵就来了。好了，这两个都是方阵，两方阵相乘等于e，那互为逆矩阵，我的逆矩阵就是你。没问题吧？好了，这是第一个事情就出来了。能理解吧，这个题贼简单，

太简单了。那么，接下来过程当中，我们来看看升华一点，你看这个题怎么做？诶，看这个题。你像这些题啊，我们都是进行去凑的。那这个题啊，他告诉我这个事情，他说这个矩阵满足了这个人。然后让我们继续去求解a- 1的逆矩阵。大家注意一个事情，这个东西是一个什么？

是一个抽象型吧？肯定想定义，那么想定义的话，你发现个事情，我一定是。你乘上一个谁等于一？这是你的方向吧，我乘以谁等于我先问你个事情，同学们。你告诉我，我乘一个谁等于一，我乘这个人，你想不想用这个条件？这因式分解不了啊，不要乱来。

我想不想用这个条件？我当然想用。我可忒想用这个条件了。我想用这个条件的话，你发现个事情，我也就说a-e，我乘上谁能得到a方等到a呢？那这件事情就像什么呢？就像你发现这是x方，加上x- 4=0，然后这是x- 1乘以，谁会用上这个条件呢？那这里面当中啊，你发现这肯定要乘上x，然后是多少倍的啊？

一个数，所以你发现一个事，你看我这块一定是个a。我如果是个a，我肯定能用上这个条件，但是这里面当中我却不知道是多少一。这你没问题吧？你要想用一个条件，这是一个一次项式，这是一个一次项式，两个一次项式肯定能乘成二次项式。一定是这样，但是很尴尬的一个问题，我不知道这是多少s，但没有关系，

我把它乘一下。那么现在这个人是可交换，那这时候的话，你发现你看这是负的a，然后sa说s- 1倍的a，然后这是多少，然后减去x倍的e×1还是一？这能听得懂吗？然后你要想用这个条件，你很明显要知道一个事情，这个系数是一诶，所以说x1定是二。这叫高手，这绝对是高手，待定系数法。

所以在这里面当中啊，你发现一般你去看的参考书，参考书怎么写呢？参考书这样写，参考书就写a- 1乘以多少呢？a加二一。然后接下来过程当中就变成了a方，然后再加上a再减去2e。有人说，哇，好巧妙，真牛！他怎么知道乘上a+2 e的？所以在这种当中，你得知道为什么乘上a加二一这个a加二一是怎么来的，

这非常重要，然后接下来你看。这个式子是不是等于四亿？对吧，你这个人等于四一，你等于四一的话，你发现再减二一，那就是二一。所以说在这里面当中，马上出来，那就是a减一把这个二分之一给我弄过来，二给我弄过来，弄过来就是a加二一，然后这人等于一。两个这个东西的话，

你发现一个事情，你相乘等于一，那这个人是不是你的逆矩阵，所以说你的逆矩阵就等于二分之一倍的。a加二一好了，这是这个事情，所以说这个操作性，大家注意啊，你上课的过程当中记这个笔记，我觉得没什么用。你要记记哪？你要记这儿，这是思想，这是这个题当中的灵魂，灵魂之所在就在这儿。

这是这个题的灵魂。你要注意啊，这是它的一个灵魂。好了，这是我们讲的这个二点一一这个题能听懂我的意思吗？好，那么这个事我们就讲的，你一定要会做啊，像这种题你要用上这个条件。然后接下来过程当中，我们再来看个题，来看看这个题。呃，这个题啊，对于我们而言，

只能是今天这一种方法。你要是将来过程当中学了特征值，我们这个题眼睛漂着做，但是注意啊，我们不学特征值。所以在这种当中啊，我们来看看这个事怎么去处理啊，怎么去处理？那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个事情。他说a是一个非零矩阵。非零矩阵，然后e是个单位阵，告诉了a的三次方等于零。

然后让我们继续去判断e-a可不可逆。你到底是可逆还是不可逆？大家注意是不是一个抽象型的？是抽象型吗？那抽象型的话，你发现个事儿，你比如说第一个人。第一个人，我要知道你乘以谁等于单位帧呐。第二是你乘上谁等于单位帧呐。那这个e-a这个东西乘上，谁还想用上三次方？那这里面当中，你会想到什么？我会想到立方和公式和立方差公式。

为什么会这样想呢？你发现一个事情，我们先把这个东西复习一下。一注到这。那么，在这种当中啊，若什么东西呢？如果a和b可交换的时候。那么，在这种当中a的三次方加上b的三次方，它就会等于a+b，然后再乘上一个a方，减去多少AB？加避风。这没问题吧，

然后这是a的三次方减b的三次方。它就会等于a-b，然后这是a方加AB+b^2。这是我们的立方和公式。和立方差公式，那么在这种当中，我们来继续来看看这个事情，那你想想一个事，我们这里面当中有意见a，我可以怎么办？我可以这两边。同时减个一被一减。我如果用e减它，那这个部分不就是一吗？因为你等于零嘛。

哎，这个人的三次方还是等于他哎，漂亮一减a这个人，然后这是多少立方啊？这个差公式。减a+a^2，因为这两个可交换，可以直接用哦，非常精彩。俩人相乘等于单位帧，那这时候我就知道原来如此，你的逆矩阵不就是它吗？哎，你看藏的够深。那么，

接下来过程当中，我们再来看看一+a，我给这里面当中两边同时加个一。那加个e这个人不就是e吗？然后三次方还是等于它诶，那这个人不就变成了e+a，然后这是e方减a。然后再加上立方。是不等于它，所以说你看俩方阵相乘等于一，我们不就互为逆矩阵吗？我的逆矩阵就等于一。平方还是等他。所以这俩人一定都是可逆的，所以正确答案选几啊选d。

所以这个题当中啊，你发现一个事情，它的手法是非常重要的。所以说像这几个题啊，我们都是在干一个事情，我们就进行去创造，创造什么东西呢？俩人相乘等于单位整，你像这几个题啊，你下去过程当中多做啊。就这俩题下去，多做一做。对吧，尤其是像这种题啊，比较重要一点，

就是我们一定要进行去创造，创造什么东西呢？创造这两东西相乘等于多少？等于单位帧？好了，这是这个事情，如果不知道立方差，你为啥不知道立方差？你不知道立方差，你不得反省吗？不能是这种复习态度，对吧？你如果不知道立方差公式的话，这个复习不就没有达标吗？对吧啊？

好了，这是这个的问题啊，二点一二这个题。行吧，那么这个点我们讲到这。呃，其实我们在考研过程当中，因为我们不学特征值。对吧，我们不学特征值，我们不学特征值的话，所以说在这种当中啊，我们只用掌握这这种方法就行了啊，只用掌握这一种方法。因为如果学特征值的话，

这个题可以严惩的。眼睛一撇a的所有特征值都是零，那这所有特征都是一行列式等于一不为零，可逆可逆选d。你说这个题的话，如果呃学那个东西啊，当然快，但是我们不用去学，不要为了这一个题学一章内容，这多划不来的事情，有这样的一个时间的话，你发现你下去过程当中可以干很多事情的。你不还有逻辑呢？你会不会写作呢？对吧？

哎，这个事情。好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看下面一个问题来，再来看看下面一个题。再来看看二点一三。看一下这个题。那么，接下来过程当中，我们一起来看看吧。他说，然后我们继续去判断一下这个东西是否可逆。如果可逆，让我们求解逆矩阵，

那么同学们都知道一个事情怎么进行去判断可逆性啊？判断可逆性的第一判定准则是行列式不为零吧。那么，既然是行列式的话，你发现这是二二负一一负二四五八几五八二？那这题怎么做比较简单？当然是我看到第二行简单。我只要在第二行当中出现两个零，我就可以展开了，我把你干成零，把你干成零，所以说你发现二倍过来。负四倍过来，所以说接下来过程当中这是二一五。那么二倍加下去的话，

加过去这是六，然后这是零二倍加过去，这是18。然后再来减去四倍，减去四倍的话，你发现这是负九。然后减去四倍零，减去四倍呢，这是负18。好，这个结果做成这样，然后接下来过程当中就可以用这个人进行展开了。那这样展开了之后的话，你发现就是负一。负一这个东西的话，

你发现个事儿就变成了这，这怎么那么算难算？好来算一下这个行列式，那算这个行列式的话，你发现就是六乘上多少负18啊？其实你发现就是这个行列式。六负90，八负18。对吧，然后你把这个18提出去负十八六负九一负一。好了，这是这个结果，所以我们来算一下吧，那么这个结果是多少负六，然后这个结果是多少，

再加上它，所以说这个人刚好等于几，刚好等于三。因此等于负的多少哎，三八二十四五十四。好，这是这个问题。过去了，可以吗？啊，这大美妞同学的话，你发现这个自从那次那节课q了你了之后，你发现一个事儿，你就放飞自我了，对吧？

拦也拦不住了啊，好了，这是这个题对吧？第一事，因为这个东西行列式不为零，所以说你会发现一个事情，这个人呢，一定是可逆的。好，这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来过程当中，我们再来求逆矩阵，因为今天过程当中，我们只会一种方法，公式法。

那这个逆矩阵等于多少就等于行列式分之一，然后a的伴随。所以接下来过程当中，我们一起来看看这个事情，然后接下来过程当中，我们去求一下什么东西啊，这个伴随矩阵。好，我们来算快一点。这个位置的话，你发现个事情是多少呢？那这是负四，然后这是四八三十二负的多少36？好了，那么接下来过程当中，

我们再看这个人，那这个人是一二得二，然后这是负18，但是变成正的正18。然后再来看看这个人，那这个人是八八的话，你发现这是18，然后是这就是18，对吧？这是正的。然后接下来过程当中，我们再来看看这个人，那这个人的话，你发现这是多少？这是四四+8，

这是12，但是你发现这是负的。再来看中间这个人的话，你发现这是四你四这个一加这是九。然后再来看这个位置，那这个位置的话是多少十六十六的话，你发现刚好16，这是负六。然后再来看这个位置，那这个位置的话，刚好是八八减二呢，八减二的话，刚好是六，那么接下来过程当中，我们再看这个人。

那这人的话，这是八八这个人再加上一这是九这是负九。然后再来看最后一个人，那最后一个人的话，这是负四负四的话，减这个人呢，这是负四啊，这是负六。能理解吧，好这个地方。会做了吗？哎，这个人。呃，这个点呢，

你发现一个事儿啊，就是。你是不是看我算很爽是吗？你得下去自己算呢？你下去得自己算，你不要光看我算了啊，你看我算你很开心啊，好了，那么接下来过程当中我们再来看看这个伴随矩阵啊，这个逆矩阵。逆矩阵就是行列式分支塔。所以说这个结果你发现就等于负的五十四分之一，然后接下来过程当中，我们再来乘以一个什么情况再来乘上这个矩阵就行。好，

这个人。能理解我的意思吗？好，这是这个问题。跟得上吧，有的说那五十四分之一要不要乘上乘进去啊？看题就行，你选择题嘛，你选择题它要乘进去，乘进去你不要乘进去就不乘进去。这都行，这个答案就是正确答案。就说你这个数到底要不要把它乘进去无所谓的。就这样都行。好了，

这是我们讲的二点一三这个题过去了，可以吗？好，我们就讲到这。可以了吧，你这怎么两分钟做不完呢？这有啥做不完，这纯计算题，这都没有什么难度的。他都没有考你思维方式啊啊，慢慢算，一定要注意啊，增强自己的运算能力啊。好了，谢谢，

而且这种运算能力我来强调一个事情，就这种运算能力，不要说啊，我进去去买一本这个运算的书，进行大量的做这个逆矩阵，没有必要。没有必要，大家注意你做这个东西的，这个怎么进行去提高呢？就是体现在你做的每一个题上。就是你做每一个题，你都稳稳当当把它做到最后一步，这是你的态度。哎，这是你的态度，

因为这种运算能力其实是一种小学运算能力。就说你每一个运算能力的话，就是一道一道的把它做到最后就可以了。好了，这是这个事情，那么接下来过程当中，我们再讲两个问题，你着啥急？我还没有下课呢。好，那么接下来过程当中，我们再来看两个问题。那么，接下来过程当中，回过前面去，

我们就可以来继续去做二点九这个题了。好，我再讲一波内容啊，再讲一波。那么二点九这个问题啊，他说了一个事情，他说设n阶矩阵可逆，大家注意标不起来。他已经知道可逆了，什么是可逆呢？这个可逆说明这个行列式是不为零的。能理解吧诶，这个行列式是不为零的。然后说这是伴随矩阵，然后让我们去求解什么伴随的伴随这种题啊，

我们有可能会考。伴随着伴随你怎么做？我刚才就讲过这个事情，你只要见到伴随的这个东西的推导，立即想到万能公式。你想到万能公式的话，你发现个事情，但是万能公式当中是a×a的伴随。等于a的行列式乘一啊。没关系，你就像那个等价无穷小一样，你把这人看成框。能理解我的意思吗？就是框的行列式成长一。你看成框。

然后把这个东西怎么了？用伴随矩阵进行替换，你替换了之后的话就是a的伴随。乘以a的伴随的伴随，就等于a的伴随的行列式乘以简单吧。啊，这个相当简单。然后接下来过程当中，我怎么干掉你呀？你注意干掉你的最好的方式，就是乘上个a，你跟a1碰就是这个人，你要注意啊。这俩人相碰就跟火星撞地球一样。你这样东西一碰火星撞地球，

立即变成了一个数乘上单位整。所以在这种当中干掉伴随最好的方式，就是怎么在这里面当中给它进行去乘上a。你乘上a的之后的话，你发现就跟火星撞地球一样，他就变成了这个人。然后这个部分呢，它是个数，你是个数就可以把这个a写到这来了。能理解吧，所以接下来过程当中，我们继续看那这个部分是不a的行列式。乘上单位阵，因为有矩阵，单位阵就不要了，

工具人走开。这个人的行列式等于a的行列式的n- 1次方，因为有矩阵了，单位矩阵不要了。然后这里面当中你都知道一个事情，因为这个矩阵是可逆的行列式是不为零的，既然不为零，约掉一个约掉就是n- 2次方再乘上零。所以说这题正确答案选几选c。你想记你可以记啊，但是我觉得没有那么多脑子啊，你要想记你记。啊，你这个基本上而言的话，考试过程当中一推就出来了。

好，这个问题过去了可以吗？诶，这个点。这是我们讲的这个二点九这个题。跟得上吗？哎，就说只要见到伴随矩阵，立即想到万能公式，万能公式可以推广的，然后在这种当中一定要注意一个事情就说。伴随曲线这个东西跟a之间，它是火星撞地球的感觉，对吧？火星撞地球的感觉。

你不要再逗我了，好不好啊？啊，大美妞同学啊，你别这样。好了，这是这个事情，所以说在这种当中啊，你发现火星撞地球的感觉，梁一撞变成了一个一个数，再乘上单位乘。好了，这是这个点，那行吧，那么接下来过程当中，

我们继续，我们再来看看下面一个问题，来看一下二点一四这个题。啊，看一下这个题。看一下这个题，二点一四。那么这个题啊呃，我们还是证明一下吧，但是你不会证明也行，就是这个公式啊，你会用就行，对吧啊，就是这个东西会用就行。因为这个内容啊，

一会儿过程当中我会给你整理一波啊。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个东西怎么证明，来证一下吧。其实你发现玩儿半天呢，你就要会玩儿什么东西呢，你就要会进去去玩儿a×a的伴随。等于a的行列式乘一，你要会玩这个人。那么，这个时候的话，你发现一个事情，我们一起来看看。那么，

这个人是一个伴随矩阵，我怎么办呢？我见到伴随的推导，我会想万能公式就把那个框用AB替换。AB乘上AB的伴随就等于AB的行列式乘上个一。能理解吧好，这是这个问题，那么接下来过程当中，我们就继续来看。那再来操作，那再来操作的话，你发现一个事儿，我怎么处理呢？那这个时候你看这个AB的，这个人的心儿。

那这个人呢？他就等于a的行列式乘上b的行列式。两边组成一个它的逆矩阵，两边组成逆矩阵，逆矩阵是不跑到这儿来了，因为树可以提到前面去嘛。因为有矩阵，所以说单位矩阵不要了。那么所以说在这种当中a×b的这个人呢？它就等于这个人。好，我们一起来看a×b呢，就等于b的逆乘a的逆。然后这个时候怎么办呢？你看这是个树吧，

树可以随便放的，然后你看我把那个a的那个树怎么了？我给你放到后面去。跟你这个人结合一下。那么，在这种当中，我们都知道一个事情，如果两边左乘上你的逆矩阵，你就没了，然后把那个逆矩阵可以写到这个数的后面。因为有矩阵单位，矩阵不要哎，那这是谁呀？这不就是b的伴随吗？这不就是a的伴随吗？

玩的你发现一个事情非常的坏。对吧，你要把这个东西来来回回转，大脑一定要运转快一点。其实你发现对着这个万能公式来回转呐。来回倒啊，倒过来倒过去倒过来倒过去都是这个万能公式，这个万能公式啊，非常的重要。但是对于我们三九六同学，因为这是基础班嘛，所以我给你推一下，其实你发现个事，这一波公式啊，你需要进行怎么办？

你把它给我记住就行了。其实你发现贼简单啊，非常的简单，那么接下来过程当中啊，我来给你讲讲三组非常重要的啊。对照公式。对照。记忆公式。那么，在这种当中啊，我们稍微进行一对对照，那么这个内容就出来了。来那么接下来过程当中，我们先来看看第一步。你一会儿你就发现你能记一堆公式好，

先看第一个人。第一个人是谁呢？就是AB转。AB逆。AB芯。哎，有没有发现一个事情，这三个人是一样的吧，它等于b转a转。它等于b逆a逆。他等于b星a星亲兄弟啊。是不三个人都出来了，好再来看第二事情。然后接下来是a+b的什么转？然后是a+b的逆，

然后是a+b的心儿。要注意第一个人是等于a转加b转。但是第二个人等于a逆加b逆嘛，大家注意切记切记，这个人不等于我用我喜欢的绿色给你标出来了。这东西不相等。怎么证明呢？非常简单，你这俩东西不相等，你就继续去看这俩相乘不等于一就行。不信你相乘一下，你乘起来之后啊，这个人不等于。所以说这个东西啊，不是逆啊，

这个互为逆矩阵，这个人呢，也不会等于a星加b星。所以在这种当中啊，你发现一个事情，如果成立的这个人呢，只有谁成立呢？只有第一个人成立。你要注意一个问题啊，就这俩人一定是不成立的。要注意啊，切记切记，这俩不成立，只有第一个人成立，所以说加法想进行去把它分开，

只有转置可以。然后第三步公式，它就会更重要，看到这个梅花心这个符号了吗？伴随看到这个符号吗？这是逆。看到这个符号吗？大家注意，这三个人可以进行去交换。这三个人可交换什么意思呢？就是这个意思，你如果没花心了再转。跟转了在梅花心儿是一样。然后接下来过程当中，你再来看梅花心儿的腻跟腻了，

在梅花心儿也是一样。然后说什么呢？逆了再转。跟转了再逆，这是一样好了，三波公式啊，我全讲完了。这三个符号就是它们是来来回回可以转换的，你可以证明怎么证呢？比如说你证明第一个人，你就进行去套这个万能公式就行了。你把这个转置去套半的公式a的转置乘上a的转置的芯儿就等于a的转置的行列式，再乘上一。你可以推导这东西是可以推的。好了吗？

同学们哎，基本点这三组对照公式啊，你把它掌握清楚了之后，这一波公式不就出来了吗？对吧，这个基本问题，所以说大家注意这三组公式啊，对照集。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿啊，就不多说了，所以下去过程当中啊，好好整理一下，今天东西是不是很多呀？

哎，东西有点多啊，然后这里面当中啊，有个题二点一五这个题啊，你下去过程当中，你可以进行去把它看一看啊，二点一五。诶，还有一个事情啊，就说上次过程是不是忘发给你们了？这不是忘忘给你们了是吧？这个传了还是没传呢？这是没有给是吧？哦，这是这个，

所以说你下去过程当中，你去填一遍就行了，好吧，你对照这个填一下，那今天过程当中，你就可以好好填了。你看这里面当中，比如说加减法有什么公式？对吧哎，你看这里面当中的话数乘有什么公式？乘法有什么公式？那么在这个当中转置有什么？你看转置的四个性质。然后这里面当中还有a的n次幂，它必须是方针，

哪些人是天然可交换，如果天然可交换了之后怎么样？呃，不要问我要答案了，我没有答案。这这还要要答案，这就不好了吧，然后再来看第七个点呃，你们可以去看看下次过程当中，我去找一个很多同学填的，有同学填的好一点的。啊，就这个部分填的好一点的呃，到时候我去看看吧呃，反正我在自媒体当中，

我去看看呃，如果选到了呃，送一个必胜套装吧，对吧？这个新版的必胜套装。好了，然后的话也给你们做一个这个啊，进行去对照，然后还有这个方阵的这个行列式。方阵的这个行列式，然后还有这个什么对称阵，反对称阵，你看这几个。伴随矩阵的定义，万能公式通过这个东西推出什么信息，

你看这我都给你写了。你看清楚吗？你看这个人。是不这个事情啊，你发现这东西我都给你写了，这是今天讲的内容吧，应该是一个题目当中的东西。然后接下来过程当中，你看逆矩阵的定义，逆矩阵的性质，逆矩阵的计算框架体系，完全跟我们上课的东西啊，是一脉相承的。好了，这是这个事情，

听得懂我的意思吗？你下去过程当中填一下呃，那么接下来过程当中喂，等会我再补一个共识。别着急啊。再补一个，然后接下来过程当中，我们再来看看这个人。啊呃，这次抽中的同学，我们送一个这个什么就是。签名版的强化讲义，那个是正式的出版物，因为现在还没出来啊，估计得到六月底啊，

到时候我会给你寄过去啊。好了，那么接下来过程当中，我们不送避孕套装了好吧啊，好，那么接下来过程当中，我们看看第五个点。那第五个点的话，你发现我们再来一个，那就是a的逆矩阵，它的行列式等于多少呢？因为你发现个事情a×a逆的行列式啊，这个人等于一两边同取行列式就是你的行列式，乘上我的行列式。这行列式等于一。

所以说你就会发现一个事情，这个行列式就等于a的行列式分之一。能理解吧，你看这样一推就行了，所以说我们这个家族里面，我们就在这里当中又重点继续去讲了几个了，讲了五个人了。能理解吧哎，又加了一个人，又加入了一个人，到这个大家庭里面。好了，那么这个事情我们就讲到这过去了，可以吗？所以你下去过程当中啊，

你把这个相对问题啊，好好处理处理行吧？呃，那么今天课程呢？我们就讲到这。呃，然后今天晚上一会儿有个呃，这个九点半呢，有个睡前系列，你想听的今天晚上，其实这两天的过程当中的东西你都可以去听一下。你要是没有时间听呢，你也可以不用听，强化班过程当中我都会去讲。哎，

我都会去讲，因为我害怕一个什么事情呢，就比如说这个，我第一天过程当中讲那个睡前系列，我大家大致的给你看一下。就说你想继续去听呐，你可以继续听一下，因为这个操作性非常非常的强啊。但是我们强化班都会给你去讲。能听懂吧，强化班都会去讲，那么这里面当中啊，就是好多题啊，你发现一个事情确实可以秒。因为这里面当中，

我担心什么什么事情呢，就说。呃，很多同学呢，你下去过程当中，你有可能去做一本书籍里面当中那个书籍里面当中可能有这个题。可能有这个题，但是你发现我们却在这个什么呃，却在这个上课的过程当中，我们是放的强化讲，我就害怕你，你说啊，我们基础班的学完了之后怎么这个题我还不会做？只不过这个内容我们还没有继续去讲，哎，

这个内容。呃，比如说这个里面当中的第一天部分内容。第一天当中的这个题啊，我可能有些同学估计下去过程当中做过这种题吧。对吧，这种题还有这个第二天的过程当中啊，你可能进行下去，过程当中做过这种题。哎，做过这种题。然后的话，你发现做过这种题，还有一个第三个事情的话，你可能下去过程当中呃，

有些同学做过这种题。啊，所以说你下去，你想听可以听，如果没有时间没有关系啊，因为你们是全程班的同学，我们所有的东西都会去讲，只不过是你现在听的话，你就提前先看到罢了。啊，或者而言的话，你到了这个强化班，我们再来讲都行，因为强化班过程当中，我们都会去讲这些事情，

它仅仅是我们强化班当中的冰山一角。要没有时间听，你就先不用听，这个没有关系啊，影响一点都不大好了，这个问题啊，我们就说到这行吧，那么今天课程呢，我们就讲到这自己下去，过程当中，你好好整理整理吧。行吧，同学们好了，那么今天课程呢？我们就说到这儿，

你自己下去过程当中啊，尤其是今天内容一定要好好做一个整理。能理解吧，一定要好好做一个整理下去，过程当中啊，把它好好看一看好，那么今天课程呢，我们就讲到这儿哦，还有作业是不是？布置下作业。好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个。作业题。哦，

下去没课是吗？那太好了。啊，这这是个很好的事情，因为这个到了这个九月份呐，八九月份其实你发现个事儿，这个尤其九月份十月份十月份啊，很多同学会比较紧张一点。因为确实临近这个考研了啊，所以说把这个啊时间的这个东西啊，得打好了好了，那么接下来过程当中我来布置一下这个作业。呃，四八九。四九零。

四八九四九零这两题很好，四八九四九零这俩题。呃，我建议同学们注意整理完了再做作业。整理完了再做作业，听懂吧，然后再来看四九二四九三四九四四九五。四九六。五百四九二到四九六。四九二到四九六。500题。501题502题。好，就做这么多。五百五百零一五百零二。

可能这次作业当中啊，这两题肯定不好算，对吧？但是你要注意，这是我们必须要经历的事情，要有养成一个非常好的耐心，对吧？下去过程当中好好做一做。好，那么今天课程呢？我们就讲到这可以吗？同学们，所以下去过程当中啊，把这个相对应的问题啊，好好整理整理行吗？

同学们好了，那么今天课程呢？我们就讲到这。然后下次课程呢，刚好明天没有课，我不知道周一有没有课，我忘了是周一的课还是周二的课，凡是这两天过程当中呃，时间应该是比较充分。你好好进行去把这个前面这些公式啊，整理整理记忆的东西啊，不是有难度系数的东西，所以你好好进行，把相对的东西啊，该记的东西把它给我记一下就行。

好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好吧？同学们好，下节课继续吧。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册