04.逆矩阵与初等变换-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:54:47

好，我回来了啊。呃，可以听到声音吗？好了好了啊。可以听到声音吗？我刚才讲的这波问题啊，有没有听懂啊？哎，就是我刚才过程当中啊，讲的这部分内容一定要注意啊，如果这两个矩阵是相等的。那他这个人的行列式肯定相等。对吧，但是你发现行列式相等可推不出来，

矩阵相等。然后下面一个问题，如果这个矩阵不是一个非零啊，是一个非零矩阵。不是一个领取证，那这个时候你发现能不能推出这个行列式不为零啊？不行的。它行列式有可能等于零，也有可能不为零啊，这个事情非常重要，你下去过程当中好好看看，然后接下来过程当中我们再来看看下面这个事情。又讲了一些特殊矩阵，那么在特殊矩阵当中啊，讲了其实你发现很多内容呃，

比如说什么方阵啦，上阵啦。上三角矩阵呢？下三角矩阵呢？什么对角矩阵呢？我觉得这里面当中啊，比较重要的一个东西啊，叫做单位矩阵，对吧？就是这个单位矩阵。这个单位矩阵呢，你要注意一个事情，它就相当于我们小学过程当中运算里面当中的一。对吧，你发现他就是一个什么，

他就是个工具人，那什么工具人呢？好，我们再来讲一遍，你发现如果这是个a，我乘上一个单位矩阵呢。那这人的话，你就发现还是a。如果在这里面当中的话，你发现一个单位矩阵乘上a呢哎，还是a？如果你发现一个事情，比如说a进行去加上三呢a怎么能加三呢？哎，你发现这个东西又来了。

能理解吧，比如说我举个例子，你发现看这是a，然后这是e，这是b，那这里面当中有矩阵，那这个单位矩阵就不写了。所以说你会发现一个事儿，这个人就是什么呢？就说我需要的时候你来了，我不需要的时候啊，你走开对吧？就是这样的一个问题，所以说非常简单啊，一个单位矩阵。

你要想清楚这个事情，而且它充当一的效果，那么所以说这个单位矩阵的话，你发现它的n次幂呢，仍然是单位矩阵。好，这是个基本问题，然后接下来过程当中，我们再来看看第三个点，那就是矩阵的运算。呃，这部内容非常的多，所以说你下去过程当中啊，我不知道你有没有整理一下，有同学觉得说这个内容啊，

稍微的有点散。那么，接下来过程当中，我们一起来看看第一个事情就是矩阵的相等，然后第二个事情是矩阵的加减，然后第三个事情是矩阵的数乘。然后的话，你发现这是数乘，然后下面一个问题就是矩阵的乘法，对吧？这是四个事情，那么接下来过程当中，我们来看看前面几个人。那么，首先我们先来看第一个问题，

矩阵的相等。如果两个矩阵要想相等，它必须是同形的，而且每一个位置的元素都要相等。哎，这是它的一个要求，然后接下来过程当中，我们再来看看加减。如果两个矩阵进行相加减呢，那么这个时候的话，你发现一定是每个元素都要相加减。对吧，每一个元素都要相加减，它跟这个行列式不一样，你行列式的话，

两个人要相相加，比如说按照列加。别的列是一样的，你这个单列才能加这个东西，要区分开好了，那么接下来过程当中，我们再看数乘那数乘的话，你发现如果一个矩阵乘上个数呢？每个位置都要乘上这个数，但是一个数乘上行列式呢，只能是单行单列乘能理解吧，然后接下来过程当中我们再来看看乘法。两个矩阵要想能相乘，那必须要保证前面这个矩阵的列数跟后面这个矩阵的行数是一样的。所以说在这种当中啊，

它是一个重点内容，而且这里面当中啊，我们讲了一个重点的事情，那么前面过程当中的运算率比较多啊。所以我怎么去学呢？学习起来非常简单，你只需要记到乘法，没有交换律，乘法没有零因子律。乘法没有消去率就行，记住这个乘法没有三大律。对吧，乘法没有三大律，剩下东西都有，所以这样的话，

你发现学习起来就非常的简单，能理解我的意思吗？好了，这是我们讲的这个第四个人。然后接下来过程当中，我们再看第五个人啊，这是乘法，然后后面还有一个转置。第六个人哎，在这里面当中，我们还有n次幂。对吧n次幂，然后接下来过程当中，我们来看看转置这个问题。转置这个东西怎么办呢？

就是把横的写成列的，不一定是方的，对吧？不是方的也行，把横的写成列的，列的写成横的。所以说这样的话，你发现一个事情就是个个转置，能理解我的意思吗？好了，注意一下这个问题，而且转置有四个性质，那么这四个性质啊，稍微的复习一下。一个是k乘上a的转值k，

可以提出去，然后就是转置的转值就是本身，然后第三个事情就是a+b的转值，然后等于a的转值加b的转值。第四个人就是a×b的转值等于b的转值，乘上a的转值能理解吗？好，这是个基本问题，然后再来看看n次幂。如果你想给这个人取n次幂，他必须是方阵，只有方阵才能进行去取n次幂，所以说这里面当中一定要注意啊方。方阵才能取n次幂，你这个人的话，

你发现你想取n次幂，你必须是方的。那么，这里面当中就有一个问题了，我们初高中的过程当中的一些公式啊，想进行用前提得保证一个前提条件，什么前提条件呢？必须要保证ab=ba就说ab可以相交换的时候。如果这两个矩阵呢，可以交换，那么初高中当中所有公式啊都能用，能理解吧，而且单位矩阵跟任何矩阵可以交换。然后接下来过程当中，我们又讲了第七个点，

然后讲了一个什么对称矩阵。哎，对称矩阵，那对称矩阵的话，你发现一个事情怎么进行去判定呢啊？非常简单，就是它的转置等于本身还讲了一个叫做反对称阵。哎，对称矩阵，那就是转置等于这个东西的什么相反数，然后的话，你发现对角线呢，而且都是零。啊，这就是我们在上节课过程当中啊，

讲的一波非常重要的知识点好了，那么接下来过程当中，我们就继续开始吧，所以说在今天上课之前呢，我们先来讲一个小问题。对吧，我们先来讲一个小问题，那么接下来过程当中，大家来跟着我一起来算一下这个问题啊，好了，那么接下来过程当中，我们一起来看一个例题。好，先来看看例一这个题。那么，

在这里面当中啊，我们给你一个什么情况呢？比如说你看这是a1a2a3，大家告诉我这什么矩阵呢？这是个对角矩阵吧。那么，这个对角矩阵没有写的位置呢？那都是零，然后这个对角矩阵我们再乘上这个对角矩阵。好同学们，你告诉我事情算出的结果是什么？来那么接下来过程当中，我们一起来算啊，你发现看第一行第一列第一行第一列就是a1b1。然后是第一行，

第二零你发现这个东西相乘过去的话，这人是零，然后对应是零，所以是零。对吧，然后第三个人呢，也是零那么接下来过程当中，我们再来看第二行，你去算啊，然后第一行剩下的都是零，然后第二行的过程当中，你算第一个位置是零。然后第二是a2b2，第三个是零，然后最后一个人呢？

算出来是这个人，你自己去算行不行？对吧，昨天的作业题，我相信你已经做了，那么这里面当中我们就得到了一个非常重要的结论，什么结论呢？就是对角矩阵的乘积。就等于对角线元素的乘积。好再说一遍，对角矩阵的乘积。就等于它对角线元素上的乘积好，这是个基本问题，那么这时候我们就知道了一个事情了，那么再来看看这个第二个问题。

那如果这是a1a2a3。那这个人的n次幂呢？n次幂什么意思？n次幂的话，你发现就是a1a2a3，然后这样的话，你发现一个事情，它有多少个相乘呢？它有n个相乘。它有n个相乘。对吧，你这些人相乘，那我们都知道一个事情，你这两个相乘呢，就等于对角线元素乘积，

你再乘呢，也是对角线元素乘积。所以说就等于对角线元素的n次幂。好了，这是一个重点内容，能理解吧，哎，就是一个对角矩阵的问题。那么，对角矩阵的什么n次幂就等于对角线元素上的n次幂？那这个时候的话，你发现我们就不难得出了，如果这个东西是个单位矩阵。那单位矩阵的话，你就发现它的对角线呢，

它的n次幂呢，就等于对角线元素的n次幂，对角线的元素的n次幂，那不就说明一亿的这个n次幂还。还是等于一吗？能理解吧，那这样的话，你发现我很轻松的，就把这个事情得到了好了，这就是我们在刚才过程当中串讲的这部分内容。也可以凸显出来一个事情，单位矩阵确实是一个工具阵，对吧？充当我们在小学过程当中运算的一的效应。能理解我的意思吗？

就说我们小学过程当中运算的这个东西啊，这个一就跟这个东西很像啊，一是怎么算的我们就怎么算好。好，这是这个问题，过去了可以吗？好，那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看看下一个问题。呃，在上节课过程当中啊，有一个知识点，我们还没有讲，你还记得吗？

在那个矩阵的运算的过程当中，还有一个黄金重点内容。没有讲那个重点是什么东西呢？叫做方阵的行列式。方阵的行列式。所以说这个时候啊，你发现一个事情，其实你就明白了一个事，我们就明白了什么东西呢行列式。就是对方形矩阵。的一种运算，你可以这样理解吗？对吧，你发现一个事情行列式是什么行列式就是一种运算规则？它就是一种运算法则，

行列式就是对方阵的一种运算法则。比如说举个例子，原来过程当中你发现一个事，比如说我在这里面当中写了一个方形矩阵。你看这是一二一三。那这是什么呢？这就是四个数形成的数表。我哪知道它什么意思啊，我也不知道什么意思。比如说有一天过程当中规定了第一个位置要乘x，第二个位置要乘上三=0，那第一行就是一乘上x，加上二乘上y=0。然后这是一乘上s3乘上y=0。那万一有一天过程当中，

人家规定的说什么这个中间是这个什么加号？对吧，然后等于个谁，那就是一+2，这是一+3，我也不知道那是具体问题，它具体规定嘛，反正我就知道这是四个数摆在这。形成的一个数表，那这有什么用呢？我也不知道那么接下来过程当中，我可以对这个矩阵进行运算呢？我加上行列式呢？我加上行列式了之后的话，你发现它是不可以相当于一种运算的规则。

它就规定了二要当我加行列式的时候，你发现怎么算呢？那就是主对角，减负对角等于一。最后我算出了一个数等于一，那至于这个一有什么用呢？我们现在可能看不出来，但是我们将来过程当中，我们就知道了。能理解吧，好了，你就这样进行去认为什么东西呢？行列式其实就是对方阵的某种运算性的方法。好了，那么接下来过程当中啊，

我先说一个事情，大家听好了。呃，接下来过程当中啊，我们要讲好几个公式，但是今天过程当中这个页面讲不完，那么将来过程当中，每当我讲一个，你就在这补一个。每当我讲一个，你就在这补一个，等我们把基础班讲完，那这个页面就补全了，行不行？能理解我的意思吗？

好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看第一个人。那第一个人是谁呢？好，我们先来看第一件事，首先第一件事情你要注意啊，他说如果a为。恩皆方正。对吧，你必须是一个方针。你才能取行列式，如果这个东西它不是方阵，它就不是行列啊，不能取行列式好了，

我们先来看看第一个公式。第一个共识啊，其实就是转制。转制的公式。大家想想有个事情，我把这东西进行转制，在第一章的过程当中，我们就讲过这个事情，转制之后，这个行列式是不变的。所以说你会发现一个事情，它是不是等于本身啊？这个很重要，然后接下来过程当中，我们再看第二事情，

第二事情啊，你挣不了，你就不要挣了，这个非常难挣。所以我们三九六同学，你们把它记住就行了，那么这个a×b的行列式就等于a的行列式乘上b的行列式。所以说在这里面当中啊，既然有个b了，那我们就在这里面当中得写一下了，对吧？AB均为什么东西啊n阶方程？对吧，如果在这种当中的话，你发现有个a，

有个b，有个c呢啊，哎呀，这个真讨厌来。又来了个c好了，假设ABC均为方程，那这时候等于多少呢？就等于a的行列式乘上b的行列式乘上c的行列式。能理解吧好，这是这个问题，但是这里面当中啊，有的时候容易犯错误。哎，有的时候容易犯错误，大家想想一个事情，

比如说我们这个a矩阵呢，你发现一个事情是一个二×3的矩阵。行不行？然后这个b矩阵呢？你发现一个事情是个三×2的矩阵。那么，同学们想想一个事情a×b是个几乘几的矩阵？你这是二×3，我这是三×2，我两个东西一乘，那这个东西是个二×2的矩阵哦，既然是个二×2的矩阵，方不方呢？方的那我问你个事情，方的能不能取行列式啊？

当然，能取行列式，但是你发现一个事情，它还等于a的行列式，乘上b的行列式吗？当然不等了，那纯属胡扯了。为什么？因为你发现它不方啊。他不方啊。那所以在这里面当中一定要注意这个细节性问题，对吧？有的时候你发现我们出题可以怎么出呢？我们可以出这种题啊，说下列当中错误的是。

下列当中正确的是。你看我们就可以出这种题，有一天过程当中一片，你看两分没了哎，所以说在这种当中稍微注意一下细节性问题。好了，这是这个点，那么接下来过程当中，我们再来看看第三个点。第三个事情当然在这里面当中啊，你也可以这样来，那如果a的N次方的行列式呢？它不就等于a的行列式乘上a的行列式一直乘上a的行列式吗？不就等于a的行列式的N次方吗？所以这几个人是一样的，

好了吧？这个第二条我们就讲到这儿，然后再来看看第三条内容。那么，第三条这个东西啊，我们再来看，如果这是k乘上a呢？那k乘上a我们都知道那这个数啊，如果这前面是个数，这个数就要抽出去，抽出去变成多少N次方？那这个n是看谁呢？你要看这个人的结束。对吧，它的N次方a的行列式。

这事情要注意啊，能理解我的意思吗？那么接下来过程当中，你比如说我举个例子，如果这是a的行列式。哎，然后我们再怎么办？我们再乘上a呢，那是不是行列式又出去，那就变成了这个行列式的N次方a的行列式，大家注意啊，行列式是个数。这是我们上节课讲的问题嘛，我们就讲到这。过去了，

可以吗？好，这是我们讲的这个第三个人。那么，这是我们在这个前面的过程当中啊，讲解的几个问题，但是你要注意啊，有等号也有不等号。啊由不等号，今天这个。去吃饭很有意思啊，有一个粤菜叫做呃叫做广记心是吗啊，然后那个。那个牌子上写了一个写了一个东西，写了一个什么东西呢？

叫做呃叫做什么什么的五大不等式。啊什么什么的，五大不等式。然后他的第一个人说的是什么呢？说呃，就说如果工作不这个什么，再加上不复盘等于零。哎，我当时一看的话，我发现一个事情，我说这怎么能是不等式呢？然后找到说你这有问题啊，你这个东西是个等式啊，这不是不等式。后来过程当中啊，

那个我记得那个他们那个应该是个客户经理吧，然后过来还找我说啊，后面过程把他换了啊。好了，那么接下来过程当中啊，我们继续啊，我们再来看看下一个问题。这是这样的一个事情，然后接下来过程当中，我们再来看一个问题。我们再来看看不相等的问题，那这里面当中还有一个人，就是一个a+b的行列式。a+b的行列式啊，你发现一个事情，

这个东西会等于a的行列式，加上b的行列式吗？啊，大家注意这个东西不相等，对吧？a的a+b的行列式，它不会等于a的行列式加b的行列式，当然这个减法也不相等。对吧，这个东西啊，你发现个事情不相等啊，这是不等号？好了，这是这个问题吧，能听懂我的意思吗？

要注意一下这个事儿哎，黄金重点内容，那后面过程当中我们去讲一个，你再补一个，讲一个再补一个好。好了，我们继续来看看二点三这个题来继续吧，看看这个题。那这个题啊，他说了一个事情，他说设a和b都是n阶方阵好了，这两个东西都是方阵，然后说了一个事情a这个矩阵不为零。大家注意啊，矩阵不为零，

跟行列式不为零一样不一样。不一样，这是矩阵不为零，然后说a×b=0，那同学们告诉我个事情，能不能推出a=0当然不行。我们上节课过程当中讲了一个例子，你要把它熟记于心。上节课过程当中，我们讲了一个什么例子呢？两个都不是为零矩阵，两个都是非零矩阵，但是咔的一声，最后是零，你还记得吗？

我们上节课讲的，你要刻骨铭心，所以你看这人不对。然后接下来过程当中，我们再看c选项，它又没有交换律。没有零因子律，没有交换律，然后再来看看d选项呢d选项，你发现也不对，那么这里面当中你要注意一个事情，这个a+b^2是a+b乘上a+b。它这个结果应该等于a方，然后再加上AB，再加上BA，

再加上b方，虽然我知道这个人是零，但是。但是你要注意啊，这个人未必。所以你要注意一个事情，如果这个BA也等于零，那这个人就对了，所以说你发现还是不对，那这题正确答案选几啊选b那为什么b就对了呢？好，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个事情，你要做区分啊，你要注意行列式是一个什么行列式是一个数。

对吧，两个是矩阵的话，你发现一个事儿，如果这个矩阵相乘等于零，我可推不出来a=0或者b=0。但是你发现一个事情，我们这个东西可以怎么办？给它两边同取行列式，那AB的行列式就等于零矩阵的行列式，零矩阵的行列式当然是零啊。而你发现a×b的行列式等于a的行列式乘上b的行列式。那如果在这里面当中的话，你发现a的行列式乘上b的行列式呢？那这就是数对吧？两个数相乘等于零，

你比如说x×y=0，你x×y=0的话，你发现。这个人等于零或者是什么情况，或者是这个人等于零。能理解我的意思吗？啊，这个人当然可以，所以说你发现我们就可以推出什么你等于零或者是什么情况，或者是这个人等于零。好了，这个类型问题啊，所以说正确答案选几啊选b。能听懂我的意思吧，正确答案选b好了，

这里面当中一定要区分开这个事，就说两个数相乘等于零。那就是我们小学内容两个数相乘等于零的话，你发现你等于零或者我等于零。能理解吧，好了，这是这个事，过去了可以吗？来继续啊，再来看看下面的题，下面这个题啊，我觉得就是我们。上节课过程当中做那个题的缩影，我相信今天过程当中啊，再做这个题难度系数基本没有了，

好，我们先来看看第一个事情。你发现那这是一个负的a的行列式乘以b。大家想想有个事情，那这个部分它是个数吧？哎，这是一个数。你发现一个事情，这是个数，一个数乘上一个矩阵，那这个数出去应该变成了N次方，但是我想问你个事情。这个出去的N次方看的是谁啊？要看这个b吧？这个b矩阵是什么？

这个b矩阵是五×5。一个数乘上这个矩阵，就有五行都是这个数，每一行都能提出去，所以说这里面当中啊，它就变成了负的a的行列式这个数。它的五次方再乘上b的行列式。然后这里面当中啊，你发现一个事情就变成了二的五次方，然后b的行列式呢，就是负二，所以说等于负的二的六次方。没问题吧，然后接下来过程当中，我们再看下面这个人，

然后这个时候的话是负的b的行列式，你再乘上a的这个人。那这时候我们就知道诶，这是一个数。这是一个数，然后这个数的话，你发现出去变成多少次方呢？你得看这个人，这是谁？这是四×4，那这人是四×4的话，你发现出去就变成多少？负的b的行列式，它这能记几次方四次方，然后再来a的行列式。

因此你就会发现一个事情，那这人就是二的四次方，然后再乘上负二，所以说等于负的二的五次方，你自己算吧。能理解吧，好基本点啊，这个内容。完全就考了一个公式，就是k乘上一个矩阵，它的行列式，这个k可以出去变成它的N次方。好了，这是这个内容，听懂我的意思吗？

基本点二点四。过去了，可以吗？好，那么这个内容我们就讲到这儿。所以说这个后面过程当中啊，每当我再讲一个内容，你一定要进行去补一个内容，你发现这个题。很有我们的考题的感觉吧。啊，你有感觉到那种感觉吗？是吧，是不是有有那有那种感觉，这很像这种我们这种考题难也不难，

我出成一个简简单单的题，两分钟一道。所以说在这种当中，你要稍微进行去，小心一点，那么接下来过程当中，我们来看看下面一个问题，黄金重点伴随矩阵。大家注意啊，下面这个问题啊，非常非常的重要。伴随矩阵，那么这个内容是我们在考研的过程当中啊的黄金重点内容。啊，那么接下来过程当中，

我们先来看看第一个问题。首先第一件事你要注意啊，伴随矩阵必须是个方阵。啊，这个东西啊，一定是个方针，那么接下来过程当中，我们先来看看它是怎么定义的，你先不要问它为什么这样定义。你一会儿就知道了，它为什么这样定义能听懂我的意思吗？我马上就让你知道好了，我们先来看看这个矩阵怎么定义的。我们先来看看一个a矩阵。一般情况下，

我们都是个三阶矩阵，那三阶矩阵的话，我们就写呗a幺幺a幺2a幺三。a二一，a二二，a二三，a三一，a三二，a三三。好，这样的一个三阶矩阵，那么这个三阶矩阵的话，你发现一个事情，我们接下来过程当中，你看看它的伴随矩阵，

什么叫伴随矩阵呢？就这样写。上面打了一个梅花心啊，这个人就读作什么东西呢？读作他的伴随矩阵，这个矩阵的伴随矩阵。那么，这个伴随矩阵等于多少呢？它这样来的。那么，同学们都知道这个位置有没有代数余子式啊？什么叫代数余子式呢？就是把这一行划掉，这一行划掉，这一列划掉得到了这个人的行列式。

然后再乘上负一的I+j倍，是不是有代数余子式啊？把这个位置的代数余子式写到这儿。注意啊，然后接下来过程当中，你发现每个位置都有代数余子式吧，那这个位置也有代数余子式啊。但是你要注意一个问题，这中间有一个转置的关系。你先别管他为什么这样定义的。就是什么意思呢？把每个位置的代数余子式写出来，再转置就是把横的写成列的。然后这是第一行第三个代数，余子式写到这儿。

你要注意啊，把横的这个人代数余子式写成竖的，然后再来看第二行这个人呢，哎，就写到这儿，然后这是第二行第二个。第二行第三个第三行第一个第三行第二个第三行第三个。好，这个问题。所以同学们注意啊，这个代数余子式的计算方法，你要知道对吧？这个伴随矩阵的这个计算，一定要知道，这就是我们在考研过程当中，

对于我们三九六同学的第一大重点。伴随矩阵要会求。对吧，伴随矩阵，一定要会求，那么接下来过程当中啊，我们就来求一个。呃，这里面当中啊，大家耐心一点，磨磨自己的性子，我相信这里面当中的内容你一定能算的非常好的，你要喜欢算啊。好，我们先来看一个题，

二点六。好，那么接下来过程当中，我们来算一个题。慢慢算，你别着急那么，首先我们先来看看第一个位置，伴随矩阵。我们先来看看第一个位置。这个位置的代数余子式。首先你发现一个事情，它的余子式等于多少？这个行列式二三得六，这是四，那就是二。

然后第一个位置是负一的，一+1。所以说你发现个事情，这就是二。然后接下来过程当中，我们就继续我们再来看，这是二啊，你不要第一个就算错了，来再来看这个位置。这个位置这一行这一列。然后就是二三得六，一三得三就是三，但是你要注意一个问题，这是第一行第二个。它一定有负一的一+2倍。

然后这个结果再乘上三，所以说它应该是负三，那么这里面当中啊，你发现得这样写。你看吧，这里面当中啊，有几个易错点好，那么接下来过程当中啊，我都来讲讲，就这里面当中啊，你发现。这个很多同学啊，这个算这个东西啊，容易出错误的点啊，易错点。

有几个人呢？那么首先我们先来看看第一个事情。那jm当中的第一大易错点。就是你发现少了负号。大家注意啊，这个东西你发现一个事情少了符号，我再强调一遍，没有那么多那个啥。也说那老师要不要我把所有人的写出来，然后再摆？老师，我要不要把所有算出来再转这个内容？它就不是一个难点。这顶多像我们小学三年级的过程当中，学习了一个新的内容。

它没有什么难度，你就要用眼神去表好了，这是第一个问题，少了负号。这是很多同学容易出错误的点，但是我不想教这种方法。我希望你眼神过程当中啊，你去看，我不想教这种方法，但是如果有些同学想学，你也可以，你看这东西什么情况呢？就第一个位置是正的负的正的负的正的负的正的负的正的，你先把这个摆到这。然后接下来过程当中，

你只用继续去算余子式就行。肯定是这样的，对吧？一个正一个负一个正一个负一个正一个负啊，但是我不想你这样，你可以进去去看你，要喜欢你就这样来。对吧，这可以避免，然后这里面当中啊，我们再来看看第二个事情。忘了转置。诶，这是第二个问题，还有第三个事情。

多成了。该点值有些同学啊，你发现一个事情，你还记得我们刚才第一个位置是多少吗？我们第一个位置的话，你发现是二。然后第二个位置是多少？第二个位置是负三。有些同学，你发现个事情，他写的不是负三。它写的是负六。大家注意啊，有些同学在这个位置写的不是负三写的，是负六，

为什么呢？他说那这个位置的代数余子式还要乘上该你乘该点干嘛？你为什么要乘该点呢？那是行列式的展开定理，行列式展开定理是该点元素，乘上该点元素的代数，余子式的加和的线性和。你不要乱来，所以同学们注意一个事情，不要进去就成那个点，能理解吧，这就是我们经常容易犯错误的三个点。我相信啊，估计很多同学都犯过。对吧，

这三个点，所以说你要注意啊，这就是我们经常会犯错误的三个点。对吧，要不然怎么了？忘了这个负号，要不然怎么办？忘了转置，要不然怎么办？你多沉那个人哎，所以说你稍微的小心一点。好了，那么接下来过程当中，我们一起来继续来看，不要去乘那个人啊，

来再看第三个点。然后接下来过程当中，我们再看这个人去掉这一行这一列，然后这是二四得八，这是二三得六，那就是二对吧？那所以。正等，然后接下来过程当中，我们就继续，我们再来看看这个人，去掉这行，去掉这列。然后这是二三得六，然后这是三四啊12，

然后这是负六，但是你要注意这个位置是第二行的第一个。所以说你发现一个事情，那这个人是多少？就是六。能理解吧，好了，我们再看看这个人这一行，这列一三得三，三三得九，那这结果是负六，这是正的。然后接下来过程当中，我们再看这个人，那这人是多少四，

然后这是六，那因此是负二负二的话，这人是变成二。然后再来看看这个位置，去掉这行这列那这个时候你发现这是二，然后这是负四，而且是正的，然后再来看看这个位置。去掉这行这列一，然后再减去六负五，然后变成负的负，负得正变成五，然后最后一个位置就是这个人，那因此结果是多少负二？好了，

这个问题啊，你下去过程当中慢慢算，这是我们非常重要的一种运算能力。对吧，我希望同学们注意啊，你多去做一做。你也不用说，我把所有的这个什么诶，这里面当中去写。a1等于多少？a一二等于多少？a一三等于多少？把每个人都写出来a二一等于多少？a二二等于多少？写出来之后再摆。

也没有必要。难度系数也不大，你在这里面当中，只要慢慢的算就行了，我们在考研的过程当中啊，一定要注意啊。顶多考到三级。所以像这样的一个运算能力啊，我不相信通过你做一两个题的话，这个东西就基本上就结束了。好了，这是这个点吧，不需要写出来，我需要同学们注意啊，你达到能力的话就是眼睛进行去盯盯着来，

对吧？盯着这个人走。好了，这是这样的一个重点问题，那么接下来过程当中啊，我们再来看个题。再来看个题，那如果这里面当中的话，你发现是一个二阶矩阵。比如说你发现这是abcd，那这个伴随矩阵等于多少？来看看这个人。那么，首先我们先来看第一个人这个位置的代数，余子式是d。

所以说而且是正的。然后接下来过程当中，我们再看这个人。这个位置处的代数余子式是c，而且是负的负c，要写成列的。横的要写成列导，然后这个位置代数余子式呢是b，而且是负b，你要写到这儿。然后这里面当中，我们再看最后一个位置，代数余子式呢是a，而且是正的，你要写到这。

得到a因此在这里面当中啊，我们来观察一下，你要注意啊，我们的考题啊，要不然是二阶，要不然是三阶。2g的出现的频率还挺高的呢。所以对于我们三九六同学，你一定要注意这个问题，你看一个二阶矩阵，它的伴随矩阵是什么情况？它就是。主调。主对角线调换位置，然后副对角线呢？

副对角线加负号，你看不就是主对角线调换位置吗？然后这个负对角线加负号。就是主对角线调换位置，副对角线加符号，你不要不以为意啊，将来过程当中显现出他重要了，你才跟我说啊，这个小经验真有用。晚了哎，注意下这个事情，你今天过程当中啊，你就把它给我记住。所以说对于一个二阶矩阵而言。二阶矩阵。

的伴随矩阵。对吧，矩阵它的求解方法是什么？主对角线。调换位置，然后的话，你发现一个事情再是负对角线。加负号好了，所以说在这里面当中啊，我们的核心重点就出来了，主对角线调换位置，副对角线加上负号。好了，这个问题啊，我们就讲到这。

主对角线调换位置，副对角线加符号。好了，会了没？这个事情一定要记住啊，因为这个部分内容我们在考研过程当中啊，是考的非常多的，很喜欢考这个内容，唉，一定要注意主对角线调换位置。负对角线加符号，我这块内容啊，讲我们三九六啊，要比这个数一数二数三，同学这个要讲的详细的很多很多。

因为我们在这里面当中抠的比较细。所以说在这种当中啊，一定要把这个基础啊，你好好打牢一点好了，这个问题啊，我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们一起来看看一个问题。那为什么要这样定义呢？对吧，我为啥要这样定义呢？那么接下来过程当中，我们一起来看看这个问题。我们在这里面当中啊，稍微进行去观察一下，

你看假设这就是a，这就是伴随，那么接下来过程当中啊，大家来看。你把这个a跟这个伴随，不信你给我乘一下它极其的巧妙。好同学们，接下来过程当中啊，我们一起来看它为什么要进行去定义，这这样的一个矩阵呢？那么接下来过程当中，我们一起来看看。你来把这两个矩阵呢，你给我乘一下。诶，

你稍微的话进行去乘一下，你来看看它有多么的巧妙。好，那么接下来过程当中，我们先来看看第一个人。如果在这种当中啊，你发现第一个元素的话就是第一行，第一列，第一行，第一列。那这个第一行第一列是多少呢？就是a一一乘上大a1。a一二乘大一二a一三乘大一三，这什么玩意儿？啊，

这啥东西啊，这不就是你乘你的代数余子式，你乘你的代数余子式，你乘你的代数余子式吗？相加和这啥呀哎，这不就是行列式的展开定理吗？哦，它就会等于我这个行列式啊，非常完美，你能理解吗？你今天能啊，你能感受出来吗？有那种感觉吧，什么感觉呢？其实你发现为什么要转制呢？

转制的原因就是我想把这个人跟我的每个代数余子式相碰上。你看这个前人呐，进行去定义的时候多么聪明。相当的聪明，然后接下来过程当中，我们再来看看第20题，如果是第一行第二列呢？第一行第二列的话，你发现你继续看就是a1×a二一a一二×a2a一三×a二三。哎，你不就是你乘上它的代数余子式，你乘它的代数余子式，你乘它的我们都知道，如果该行元素乘上别的行的代数余子式呢？它等于零。

那同列而言的话，你发现如果是第三列呢？第三列的话就是第一行的元素，乘上第几行的代数余子式啊，第三行的它还不是零吗？能理解吗？然后接下来过程当中，我们再来看看第二行，第二行第一个就是这一行，乘上这个人，那就是。第二行，你乘它的，你乘它的，你乘它的，

那这个时候的话，你就发现该行元素，乘上别的行呢等于零。如果是第二列呢？那就是我乘我的代数余子式，我乘我的，我乘我的，那这个东西一相加和这个结果不就等于行列式吗？能理解吧，然后是第三列呢，你又乘上别人的那么同理，下面过程当中你都知道自己只能乘上自己。自己乘上自己的这个代数余子式啊，就等于行列式，该行元素乘上别的行的代数余子式呢，

它等于零。所以说你就得到了这样的一个重点。那么，在这种当中，我们都知道行列式是一个数吧？你发现零也可以写成零乘上这个数啊，零乘上这个数，那既然都是零乘上这个数的话，都是这个数，我可以把这个数提出来。提出来是几呢幺幺幺？对吧，这是零零零。是不是做成这样哎？你发现一个事情，

这谁呢？这不就是单位阵吗？能理解吧，这不就是单位矩阵吗？那么，在这种当中啊，你还可以做证明，你自己下去自己做，如果把这个人跟这个人成呢，就是用伴随进行去成这个人呢？你发现的结果还是这个样子，所以说在这里面当中啊，我们就得到了一个非常非常重点的内容，我们把这个内容叫什么东西呢？把这个内容叫做万能公式。

所以在这种当中啊，这个二点七这个题啊，我们就证明白了。我们就得到了一个五星级重点内容，叫做万能公式。什么叫万能公式呢？他就这样说的。一个矩阵乘上它的伴随矩阵。就跟伴随矩阵乘上这个矩阵是一样，都会等于这个行列式乘上一这个公式啊，它就叫做万能公式。这个万能公式啊，非常非常的重要，而且在这里面当中啊，你要形成超强的定时思维能力。

你所以说对我们三九六同学这个内容就非常重要，什么样的一个超强的定式思维能力呢？就说定式思维。只要考研中。见到什么东西呢？伴随矩阵。立即。想到万能公式，大家注意啊，都不用迟疑的，只要你在考研过程当中见到，伴随矩阵，你都不用去迟疑，你立即给我想到这个万能公式。这就是我们在考研过程当中非常重要的定时思维能力。

能理解我的意思吗？唉，只要你见到伴随矩阵，立即想万能公式，只要你见到伴随矩阵，立即想到万能公式，这非常重要。万能公式在考研过程当中非常重要。只要见到伴随矩阵a×a的，伴随a的，伴随乘上a都等于a的行列式乘上一，所以说你会发现一个事情，这不又是一组天然可交换吗？是不是天然可交换啊？我们在上节课过程当中啊，

去讲这个东西，我们说当你这个东西可交换的时候，这人就可以了。那今天过程当中又有一组，你a这个人和什么东西呢？a的伴随它本来就是相等，你a×a的伴随跟a的伴随乘上a本来就相等了。能理解吗？所以说将来过程当中，你发现比如说我们今年的考研对吧？我们预测一下，随便来一个，他如果出了一个什么呢？他说a，然后加上a的伴随。

它的平方，那这个结果呢？等不等于二倍的a×a的伴随，然后再加上a的伴随的平方，这是可以的吧？初高中公式都能用吗？对吧？这个基本问题要注意啊，这两者天然可交。这个这个题可以哎。哎，出的还可以哦。好了，这个题。啊，

最近我刚好在出模拟卷。好了，这是这个事情，过去了。好了，这是我们讲的这个基本问题哎，所以说在这里面当中啊，你要想清楚这个问题对吧？只要是a×a的伴随跟a的伴随乘上a，这个人是一样的他。它都会等于a的行列式成长仪。好，这个问题啊，过去了可以吗？那么，

接下来过程当中，我们就继续开始接下来过程当中啊，你来给我证明一下这个内容。好，那么接下来过程当中，我们一起来证明一下这个公式，哎，这个公式啊，非常的重要。在这里面当中啊，如果不说啊，我们就称之为a，为什么东西啊？a为n阶方阵。能理解吧，

只有方形矩阵，那这个东西啊，才会取行列式嘛。所以在这种当中，我们一起来看看这个问题来证明吧。怎么这样啊，同学们？你在这里面当中，只要见到伴随矩阵，立即想到万能公式吧。所以在这种当中a×a的伴随就会等于a的行列式乘上一。然后接下来过程当中，给它两边同取行列式。同取行列式a的行列式乘上一。那第一个人行列式就等于a的行列式，

乘上a的伴随的行列式。又来了，那么请同学们告诉我，这是一个数吧，后面是一个什么，后面是一个n阶帧，那这不就是个数吗？一个数可以从中拿出去，拿出去变成它的N次方，然后这个时候就留下了单位矩阵的行列式。单位矩阵的话，你发现它的对角线都是几都是一。所以说它的行列式应该是一，因此就是这个人乘上这个人的行列式就等于a的行列式的N次方乘上一。那么所以说在这种当中啊，

你发现一个事情伴随矩阵的行列式，就等于a的行列式的n- 1次方能理解吧。好，这个东西是不是出来了？是不是啊啊？是不是啊？对不对啊？这不对啊。这不对，大家注意啊，做题要完整。一定要严谨。你想想一个事情，你是不两边同时约掉一个数？你两边同时约掉个数，

一定要保证什么情况，你保证这个数不为零呐。所以说在这种当中一定要注意这个事情，只有这个数怎么办哎？不用管啊，你不用抹不用抹，你写的是对着你不要管不要管，就这样写，继续写。能听懂吧，你不要打叉，不要打，不要打啊。所以说大家注意，只有这个数不为零的时候，

两边才能约。那么，接下来过程当中，我们再来看看下面一个事情，如果这个行列式等于零的时候，怎么证明呢？大家注意这件事情啊，后面再讲未完。待续啊。所以大家注意一个事情，这个东西给我空两行。等我讲完了矩阵的质，我再来讲，把这东西给我控制好。等我讲完了矩阵的质，

然后回过头来，我再来讲这个内容。所以说将来过程当中啊，你发现一个事情，这就是一个非常完整的体系，在这儿给我空上两行，听懂我的意思吗？在这下面过程当中啊，空两行。因为这个将来过程当中，等我们讲到这个伴随矩啊，这个什么讲到这个矩阵的质的时候，我回过头来再讲这个问题啊，就非常简单了。好了，

这是这个问题，能听懂我的意思吗？所以说同学们，你要注意这个事情，所以这个公式我提前先讲，其实对我们三九六同学，你发现一个事情。你需要证明吗？你都不需要，你只用记住就行了，你只需要知道这个公式，无论何时何地，它都会成立的。跟a的行列式没有任何关系，行列式等于零成立，

行列式不等于零也是成立的，所以说在这种当中啊，你要注意这个问题，因此啊，我们就拉回来了。还记得这一页重点的这个页面吗？这个方阵的这个行列式啊，刚才过程当中，我们说我们要讲一个补一个，你看我打成我喜欢的绿色了。这非常重要，来那么接下来过程当中，我们一起来看那伴随矩阵的行列式，就会等于a的行列式的n- 1次方。这个内容我们将来会考的很多啊，

对吧？伴随矩阵的行列式等于a的行列式的n- 1次方，大家要会进行去归类哦。因为公式多，所以在这里面当中要会做归类，归类了之后啊，你发现记忆起来就非常简单了。a的伴随的行列式等于a的行列式的n- 1次方好了，这是这个问题，过去了可以吗？好，那么接下来过程当中，我们就继续再来看看下面一个问题，二点九这个题先放到这，等一会再讲。

二点九这个题先放一会儿，我们一会儿再讲啊，我们一会儿再讲好了，同学们，你们现在状态怎么样？啊，你们现在状态怎么样？状态非常好吧。好了，那么接下来过程当中，我们来看一道非常牛的题。黄金重点题。哎，黄金重点题。高能题目。

那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个事情啊，这样写太丑。哎，这样很好好，你好好听啊，这个题贼牛。他不是牛，是贼牛，你好好听，那么这个题啊，相当的重点，那么接下来过程当中，我们一起来看看二点一零这个人。

那么，这里面当中啊，他说了一个事情，他说这个矩阵为三阶非零矩阵。而且a的这个人呢？这是他的行列式，这是他的代数余子式，你发现一个事情，你看这就是考研真题。你知道这人是代数余子式吗？你知道，但是这里面当中的话，你发现他还是要跟你去说，这就是考研题严谨。然后他说了一个事情，

他说每个位置的元素跟这个代数余子式的加和等于零，不就说什么意思呢，每个位置的元素。都会等于代数余子式的相反数。然后接下来过程当中，让我们去求行列式，那这里面当中啊，就有一个非常重要的问题了诶，这里面当中有一个核心考点。如果一个题目的代数余子式。跟该点处的元素值乘上相反数的关系，那么请同学们告诉我，通过这个事情，我能得到一个什么信息点呢？你以前可以不会，

将来你必须要会，你能得到什么信息点？对吧，你该点处的代数余子式跟该点处的元素成相反数。什么关系啊，我可以这样想。呃，如果你这个思维方式啊，比较广泛一点，你你轻松就能想出来。这个人应该组成了伴随矩阵。这个人应该组成了a。a是由该点处的元素组成。而伴随矩阵的话，是由代数余子式构成，

那这时候就构构成了这两人之间的关系，如果有些同学听不懂也没关系，你听我来讲。好同学们，我们一起来看看a。a这个人的话，你发现是a幺幺a幺2a幺三，然后这是a二一a二二a二三。然后这是a三一，a三二，a三三。没问题吧，那么接下来过程当中，你发现一个事情，你看这个人的话，

他会等于什么？他会等于该点处的代数，余子式的相反数。注意下，不是我说的，是他说的。你每个未知数的元素跟代数余子式成相反数关系，成相反数关系，成相反数关系，成相反数关系。成相反数关系哎，你发现这都是。好，这是这个人，那这个时候你发现个事，

那么同学们告诉我这个负号是不是可以提出去？负号提出去了之后的话，你发现这就是所有的代数余子式。对吧，就是所有的代数余子式啊，我不想写了。就是它所有的代数余子式。那这个时候的话，你发现个事儿，但是这个人是伴随许阵吗？你要注意，它不是伴随矩阵，它是伴随矩阵的转置。它是伴随矩阵转过去。转了之后，

才是伴随矩阵。所以说你会发现一个事情，这个内容非常非常的重要。只要我们将来过程当中啊，你脑子能转的灵活一点。你这个人组成了伴随矩阵，你这个人组成了a两者之间呈相反数关系，不仅仅如此，还有个转置的关系。还有一个转置的关系，所以说将来过程当中啊，你要养成非常好的体系。所以说这个内容啊，我希望同学们一定要会对吧，就说如果在考研过程当中见到什么东西呢，

见到代数余子式。跟该点处的元素值成相反数关系，这个人组成了它。这个人组成了，他现在两者之间有一个相反数的关系，而且你发现两者之间还有一个转置的关系。哎，注意啊，这个转置打到这儿，打到这儿都一样，你不信你两边同取转置，你取一下同取转置的话就是负的a的转置的转置，那负号不就出去嘛，转着转着再是a嘛。一样的啊，

怎么写都行。那么，如果在考研过程当中，你发现它说该点处的代数余子式跟该点处的元素值是相等的。那这时候怎么办？你组成了伴随你组成了a两者之间有个转置关系。这就是我们在考研过程当中非常重要的一个重点结论。呃，这个内容我提前先说一下，我们考研没有考过这个事情。我们的真题当中没有考过这个事情，但是你要注意，这非常精彩啊。相当的精彩，非常非常精彩的一个内容，

但我们没有考过，所以说作为一个预测点。哎，这个东西可以作为一个预测点，你要稍微注意一下好了，那么接下来过程当中，我们继续再来看看下面的问题。所以说对于这个题而言呢，我们就可以操作了来解。先看第一步，那么就说这个点处的元素值跟代数余子式之间呈相反数关系。所以说在这种当中啊，马上就知道哎，这个人和这个人呢，呈相反数关系，

但是两者之间有个转置的关系。能写出来吗？好，得到了这个问题，那么接下来过程当中，它要让我们进行去求行列式啊。这时候你想万能公式也没什么用，它让我们去求的是行列式啊，你求行列式怎么办？你求行列式就给这两边同时。同取一个行列式。对吧，同取上行列式。你同取了行列式了之后的话，你发现转置的行列式是等于本身。

然后负号出去，负号出去的话，变成了负一的N次方，那这是几阶阵，三阶阵变成了三次方。然后是伴随矩阵的行列式。然后接下来过程当中告诉我事情，这是a的行列式，然后这是负号告诉我伴随矩阵的行列式等于多少。就等于a的行列式的n减一次方三减一次方二次方。这考了刚才讲的公式啊，伴随矩阵的行列式等于a的行列式的n- 1次方，那这时候你就可以做了呀。你发现没发现一个事情，这行列式是一个数啊，

那就是x这个人等于负的x方，那不就说明x倍的x+1=0。那说明a的行列式等于多少，它等于负一，或者是等于几等于零。能理解吧诶，你发现一个事情，他要不然等于负一，要不然等于零，这能听懂吧？好了，都听明白了，请给我回复一。要注意啊，都听明白了，

给我回复一。好了吗？同学们。好了，这是这个事情，跟得上吧，我们就给它两边同取行列式好题吧，但是大家注意好题还没有结束呢。那你告诉我个事情，难道你要在这填负一或者零吗？那恭喜你，这题就是零分了。这题就凑完了。它可不是那这题的答案，只能填多少，

只能填负一。为什么只能填负一呢？哎，你发现一个事情原因点非常的简单，因为这个矩阵不是零矩阵吧？所以说行列式不为零，对不对？是不是啊？胡说八道。你这年的运气太好了，你这年考上了。你运气太好了，你考上了，但是你这个水平啊，说实话不咋样啊，

运气很好，但是考上了就行。对吧，等你考上了之后的话，你不会说你在你研究生宿舍的时候哎，你讨论一下哎，你去年那个题怎么做的？哦，你是那样做，你这做错了呀，对吧？你管我呢？我考上了对吧？哎，但是你要注意这不对。

你想想一个事情，这条内容对吗？我刚才就讲过这个问题。矩阵不为零跟行，列式不为零一样不一样。这我一开始上课讲的。我一开始上课我就讲了。我说矩阵相等，能推行列式相等，行列式相等，不能推矩阵相等。是不是这个问题？这是我刚才铺垫了那么久的，有啥疯了的啊？然后接下来过程当中，

你发现我刚才过程当中还推了一个事情，我说这个矩阵不为零，那这个行列式是否不为零？这不对的啊，你比如说举个例子。你比如说这是一零零零这个矩阵不为零吧？但是这个行列式有可能等于零，有可能也不为零。所以在这种当中，你发现如果你是通过这条信息点把这个人给干掉，那你这学的不咋样。你这水平点是非常不咋样，因为你发现你连这个基本的内容你都没搞清楚，矩阵为零，跟行列式不呃为零。

那所以在这里面当中，如果一个非零矩阵，它的行列式有可能等于零，也有可能不为零。所以说接下来过程当中更精彩的一波来了来，同学们，你给我思考一下。考研的过程当中。该点值。代数余子式行列式。哎呀，这三个人碰到一起，我不知道你会想到什么？你会想到什么？当这三个人碰到一起的时候，

你会想到什么？我会想到行列式的展开性定理。你想想是不是啊？我会想到行列式的展开性定理，而在这个题当中的话，你发现一个事情。我们都知道一个事情，这个矩阵不稳定。一个矩阵不为零。肯定有一个元素不为零，你赞同吗？你绝对有个元素不为零啊，你不可能是全为零的，你全为零的话就是零矩阵了，你绝对有一个元素不为零。

你这个不为零的元素到底在哪呢？你可以在这儿，也可以在这儿，也可以在这儿，但是你肯定有一个。但是我不知道在哪，但是我可以怎么办？我不妨设成它。对吧，我不妨设第一个不为零。那有些同学就来说，你为什么设第一个不为零，那你管我呢？你也可以设第二个不为零，你也可以设第三个不为零，

我随便。反正你就知道肯定有一个不为零当不为零的东西在哪，我就在哪展开。你要注意啊，下面我就不管了。你要注意啊，下面我就不管了，你这个内容。你发现一个事情哎，这些内容我都不管了，反正你知道有一个事情有一个不为零，你不为零的在哪我就在哪展开。那么，现在而言的话，你发现这个波为零，

在第一个人，我就按照第一个展开a一一乘上a一一a一二乘上a一二。a一三乘上a一三。能理解吧，然后这个人的话告诉我们，它是等于这个相反数是负的a1方，然后这是负的a一二方。负的a一三方，那这个时候的话，你把这个负号提出去，它不就是这样吗？然后再来看。平方和一定是什么？大于等于零，大于等于零，

但是你都知道一个事情，我这个a一一是不为零的。我不为零，我只能是什么零大于零。只有这三个人都等于零的时候，它才会等于零有一个部位，零它不会等于零，所以说这个结果是小于零。诶，这个人小于零，所以说这个行列式啊，它只能去取负一，它绝对不能取零。相当的漂亮，所以说你会发现这一波的操作是相当的精彩的。

那就说老师，你为什么说这个人不为零，那么同学们假设是a二二不为零行不行？假设a二二不为零，我就在a二二展开。你假设a三三不为零，我就在第三行展开，所以说无所谓。你哪个人不为零，我就在哪展开，所以像这个事情非常的重要。这个题题啊，相当的精彩。所以说在这个题当中啊呃，往年的考研真题啊，

我说一下这个考研史考研史的过程当中啊，这个题是出过两次的。但是我们的真题当中没有出，所以原来过程当中我在选题的时候啊，你发现一个事情，这个题对于我们的考试而言，你发现一个事情能把知识的巩固非常的好。另外是这里面当中啊，也有预测点。对吧，也有预测点，所以说对于这个题而言，作为我们三九六同学，我觉得几个事情呢，而且你会发现这是预测点。

因为这个内容从来没有出过题。你下去过程当中好好看一看这个题啊，可以帮着你把这个基础啊，打得非常非常的好。好了，这是这个事情，过去了可以吗？好了么？同学们下去过程当中好好整理整理啊，一定要好好整理一下。哎，这题太棒了。行吧，那么这个题我们就说到这。可以了吗？

下去过程当中好好进行去整理整理。那么这个事情我们就说到这行吧？呃，那么接下来过程当中我再讲一个知识点，我铺垫一下。我铺垫一个知识点，我们再休息，可不可以？哎，我铺垫一个知识点，我们再休息。那么，接下来过程当中啊，我们要讲一个东西，叫做逆矩阵。

这也是黄金考点。黄金考点这个内容啊，我们考研必考。我会明确讲逆矩阵这个东西啊，我们考研一定会考。那么，接下来过程当中，我们一起来看看逆矩阵。这个东西到底是什么呢？我们来回忆一下。回到什么情况呢？回到我们的小学。这个是小学学的吗？我我们来看一个问题啊，就说如果这个a×b。

它等于几等于一。那这个时候的话，你发现如果什么情况呢？如果这个a不为零。的时候这个b就等于a分之一也可以写成负一次方，这什么时候学的？这是什么时候学的？我也不知道你什么时候学的啊？啊，初中学的吧好，那么今天我们上初一了。好了，那么今天我们就上初一了啊，终于你发现一个事情，我们开始上初一了。

这没问题吧？你看这个内容。两个人相乘等于一。那这里面当中的话，这个b就会等于a的负一次方没问题吧？好了，这是这个事情，我相信你能听懂。你这听不懂了，你你说这怎么办啊？好了，这是这个事情，没有任何问题吧，那么今天过程当中，我们学了矩阵。

那矩阵的话，你发现你是a×b=1，那我就是a×b=1耶。那这个时候你发现一个事情，如果a×b等于你刚才说什么，你刚才说a×b=1，我可以说a和b互逆。可不可以？我可不可以这样说？我说这两个人怎么啦？呼你。a等于b分之一，b等于a分之一，那么接下来过程当中，我们写a乘b等于一。

那我能不能说这两个东西也互逆呢？哎，它是可以的，所以说这个东西的定义啊，就是仿照这个定义的。哎，仿照这阵定义的，那么接下来过程当中，我们先来看第一个重点，注意逆矩阵必须是方阵。所以在这里当中，我们先来看看第一个事情，我们说什么如果a和b。均为n阶方针。n阶方程。

你在这种当中，你看我用红色笔写的，我们说这两个东西都是n阶方程。弱什么东西呢？如果在这里面当中换黑色。如果什么情况，我相信后面都能学的很好，但是你要注意，前面必须是方阵。只有方阵才有逆矩阵，不是方阵没有逆矩阵的逆什么阵呐，什么东西都没有，那么在这种当中，如果两个人相乘，是等于单位阵。

我就说什么情况，我就说这个事情。说已知吧，这样不然两个字重复了，说已知这东西是这样，然后在这种当中若什么情况？俩人相乘等于单位帧，那这时候我们就说a与b互为逆矩阵。逆矩阵哎，互为逆矩阵，那么在这个当中我们来看看这个事情，什么叫互为逆矩阵呢？而且你发现我们且记。记什么东西呢？记这个a。

它是b的逆矩阵。b也是a的逆矩阵，我先提前先讲一下。这个符号不读作负一次方，你不要给我读负一次方，它这个字读什么这个字读？逆不读负一次方，你读负一次方的话，你发现这有点丢人，对吧？你学线性代数的话，你把这人读成负一次方多丢人呐。注意这个字，读妮。不读负一次方啊，

没有负一次方哎，没有这个人。所以我们在这个线性代数学习啊，你发现有同学来了，说什么a有零次方a有一次方a有二次方a有三次方a有四次方，这没问题。然后同学们注意很多，说那也有负一次方注意，这不叫负一次方，这叫逆。能理解吧，它不像我们原来的数，你发现a的零次方a的一次方a的二次方a的三次方a的四次方，对吧？a的负一次方a的负二次方。

哎，你这个人可以，你这是树，但是同学们注意啊，这个最低到这。而且这个人不读负一，而且这里面当中也没有负二次，方有同学说那不可以写成逆的平方，逆的平方就是逆的平方。逆的平方就是逆的平方，就是这个矩阵的平方，你不能把它给我写成负二次方，你这胡扯。大家知道这纯属胡扯，这叫什么呢？

这叫。这叫什么东西呢？这叫常识。你听懂我的意思吗？这叫常识，你要注意我再说一遍。负一的二次方，它就读作a的逆矩阵，这个矩阵的平方，这人读作这个人，这个矩阵的平方你不要给我写，负二次方你一写的话，你发现一个事儿，这就废了。能理解我的意思吗？

所以要想清楚啊，不要乱来。没有这个人。对吧诶，没有这个人好，这是这个问题，所以说大家注意啊，这是定义。定义非常重要。两个人都是一个什么镇？如果这两个人是方针。两个人是方阵，两人相乘，等于单位阵，俩人互为逆矩阵，

你是我的逆矩阵，我是你的逆矩阵。而且在这里当中，我们注意条。如果a和我的逆矩阵呢？我跟我的逆矩阵一乘，刚才我们都说了嘛，如果这个b是我的逆矩阵，你可以这样换的，如果这是我的逆矩阵，我俩一乘等于几？我量一程等于单位帧。那我的逆矩阵乘上我呢？还不是单位阵吗？如果这两人互逆，

俩人相乘，等于单位证注意下这个事情啊，俩人互逆，俩人相乘，等于单位证。所以在这么当中，你发现一个事情，若什么情况？我们来看看这个问题，你请告诉我一声，你给我判定判别一个事情。已知AB。均为方阵。均为n阶方阵。若什么情况呢？

若AB=1。我就说BA也等于一对不对？哎呀，这题出的真好。对不对嗯？告诉我事情对还是不对？对不对？大家应该会琢磨这个事情。对吧，如果这俩人都是方阵。那这个时候你发现AB等于单位帧，那BA也等于它对不对？有人说不对，为什么？因为没有交换你，

你就胡来。你发现个事，一旦陈晨单位阵，这就牛了。你要注意，这就牛了。他不是一个普通人。他是一个很牛的一个人，那你想想一个事情，如果这里面当中a×b等于单位帧。对吧，而且两人都是方阵，那这两个东西就互为逆矩阵吧，所以说你发现个事情a与b互逆。互逆的话，

你发现个事情，我们就知道这个b就是a的逆矩阵。b就是a的逆矩阵的话，你发现a×a逆等于a逆乘a都会等于一。所以说AB=BA都会等于一。能理解这样事情吧，所以说你会发现这个操作性非常的强。能理解吗？就说两个方阵相乘，等于单位阵，那这时候两人互为逆矩阵。两人互为逆矩阵的之后的话，你发现你就是我的逆矩阵哦，你是我的逆矩阵呐，你既然是我的逆矩阵的话，

你发现一个事情a×a逆a逆乘a都是它。那我怎么办呢？我a乘我的逆矩阵，我逆矩阵乘上我那不都是吗？你b就是我的逆矩阵，所以在这种当中我怎么办？我a乘上我的逆矩阵，我逆矩阵乘上我那不都是单位阵吗？所以说大家注意啊，这是非常重要，这就是第三段天然可交换的内容。哎，注意啊，第三段天然可交换的内容，这条内容是对的。

就是a和a逆两者之间啊，也是天然可交换。但是大家注意，如果这个题啊，我稍微的改一改，有些同学就要翻船了。你注意啊，我们三九六同学可能会喜欢这样考。这个今天啊，给了我好多，这个今天出模拟题当中的引子啊，然后一会下课啊，一会下课估计得。那个啊，每日一记的课程，

等我下课的过程呢，我赶紧把它写下来啊，不然一会儿给忘了，那么接下来过程当中我们再来看。说如果AB=1。则什么情况呢？则BA=1对不对？你看我现在这样出。我们说a×b=1。则BA也等于对不对？那为啥不对啊？你告诉我为什么不对啊？为啥呀啊？怎么错了？对，

非常好，这不一定是方针。我问你个事情。比如说这是一个二×3的。这是一个三×2的。大家告诉我。这是一个二×3的。这是一个三×2的，有没有一种可能性？最后乘出来是一零零一。有没有可能？告诉我，有可能还是没有可能。可能不可能，大家知道这个数字的话，

你可以进去凑啊，当然有这种可能，那么在这种当中，你是二×3的，我三×2的，肯定有一种可能性，最后乘出来是一零零一啊，肯定有可能。但是你发现一个事，这是方阵吗？它不是方针。所以说你会发现一个事情，它就不会互为逆矩阵了，我这个b就不是a的逆矩阵了，你不能说a乘它的逆矩阵，

逆矩阵乘上它，所以说大家注意这条内容就错了。为什么呢？因为它不一定是方阵。我再来强调一遍这个事情，你看我专门在这用红色笔写的。什么叫逆矩阵定义呢？他这样说，如果这俩人都是方阵。两个人都是方阵，两人相乘等于单位阵，两人互为逆矩阵，你是我的逆矩阵，我是你的逆矩阵。前提必须要保证一个事情，

你们两人都得是方阵。俩人是方阵，我们俩人互为逆矩阵。能理解吧好，这是这个问题，那么接下来过程当中啊，我来看一个题。你们来给我做一个题。下课做做一下这个题。好，然后课间休息的时候，你把这题做了。截个图吧。截个图，下课坐下。

我看大家的这个转的怎么样啊？转的快不快？好了没？可以了是吧？好，这是这个事情，行吧，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续。截图了吗？你截完了给我回复一吧啊，不然不然一会儿有同学没有截。结了吗？好了，这是这个事情。

好的好的啊。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册