03.矩阵的定义与计算-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:54:23

好，接下来我们继续吧，我们再来看看这个后面部分内容啊呃，刚才过程当中啊，我们介绍了第一个问题啊，就说两个矩阵什么时候相等呢，两个矩阵相等必须要保证长得一样大，每个位置都相等。然后第二事情啊，我们又讲了这个矩阵的这个加法，两个矩阵相加啊，你发现一个事情是每个对应的这个位置啊，都要进行相加。对吧，必须要保证通行，

那么接下来过程当中我们就来看看下面一个问题来，再来看下面一个点矩阵的数乘。矩阵柱程怎么了？啊，你们下课怎么聊这么嗨呀啊？这都是哪来的？我都不知道这个事儿啊。这个超级无敌大美妞同学，这两天过程当中我发现。啊。你是不是我叫过你一次名字了，之后的话，你发现拦不住你了，对吧？哦，

这个班级同学都拦不住你了啊，搂都搂不住了啊。好了，那么接下来过程当中，我们继续吧，我们再来看看下一个问题矩阵的数值。那么，这个矩阵的数乘呢？跟我们原来过程当中啊，这个行列式的数乘呢？它不一样，那矩阵数乘的意思就是k乘上一个矩阵。那这个矩阵呢？是怎么乘的呢？它这样乘的，

如果这个k乘上个a1定要注意啊，它要保证每一个元素都乘上a。我们在这种当中啊，我们就不要写这个m×n了，我们就写个两行三列的吧，比如说a一一a一二a一三。第二行第一列，第二行第二列，第二行第三列。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个事情。它也未必是方的，大家注意啊，两个矩阵相加相加减，

只要同行就行了，不一定是方的，然后这个矩阵乘上一个数啊，也未必是方的。你就记住虚真乘上数，一定是每个人都乘。每个人都沉，每个人都沉啊，你发现雨露均沾呐。啊，好了，这是这个事情a二二。然后这是a二三好，这个问题。那么，

接下来过程当中，我们就继续这是第二个问题，矩阵的这个数乘那么在这种当中啊？我们来看一个点，大家注意。注意小内容。如果这里面当中啊，就说这个a是一个什么情况呢？是一个n×n的矩阵。假设它是一个方阵。如果这个人是个方阵，你思考一下这个问题，如果k进去就乘上a。对吧k进行乘上a是这个情况。那k进行乘个a，

你发现是每个人都进行乘上k，所以说在这种当中啊，每一个人都要乘上k。你比如说这里面当中，这是a一一一直到多少a1n，然后这是多少an 1一直到ann？每个人都称上k，你第一个人要称上k。第二人要乘上k啊，每一个人都要乘上k，反正这里面当中an 1一直到多少k倍的ann。好，这个结果那么同学们告诉我个事情，好好思考一下，那么在这种当中啊，

你就会发现，如果这个人现在是方的，我给你乘上一个行列式呢。对吧，我乘以这个东西的行列式呢，如果给这个人加上行列式，行列式的运算不一样，行列式是这一行有公因子提一个。这一行有公因子，提一个这一行有公因子，提一个那么同学们告诉我提多少个，那这个人出去就变成了k的N次方a的行列式了。能理解吧，哎，变成了这个人的N次方a的行列式，

所以同学们注意这个n是谁呢？n就是这个人的阶数。好，这个人在接触你是个n×n的，你是个n×n的话，你发现我给你乘上一个k，每个人都乘上k，每一个人出了一个，每行出一个，每行出一个，所以说k的N次方它。所以这里面当中，我们就可以处理了，来看一个题吧。看一下例二点一这个题来把它灭了。

填多少第一个天气啊？非常简单吧，第一个填二，第二填几啊，第二填二的三次方啊。好了，这就是我们在这里当中啊，记住的这个第一个问题能跟上吧，好，那么接下来过程当中啊，我们再来出一个题。离已知。如果这个人的话，你发现a是什么a为？三阶阵。

b为。五阶阵。且什么情况呢？且这个a的行列式等于。4b的行列式等于七。然后这里面当中，大家来给我填两个人。第一个事情你填一下，那么第一个人的话是这样叫做a的行列式乘上b的，这个行列式。然后第二人乘上多少呢？第二人填一下这个人。是b这个行列式，再乘上a这个行列式诶，等它。

填一下这个人吧。你看这个人怎么填？啊，这个不难的啊，来我们先来看看这里面当中的第一个人。先看第一个。第一个的话，你发现看它是一个什么a的，这个行列式乘上b。大家一定要注意一个事情啊，你发现行列式是一个什么行列式是一个数？所以说你要注意一个问题，就是这个部分它是个数。它就是个k。那么，

这个k乘上这个行列式等于k的N次方吧？那这个N次方应该看b的解数啊b是几节b是五节？b是五阶的话，你发现就是这个数出去五次方，然后再乘上b的行列式。没问题吧，所以说你会发现一个事情a的行列式等于几呢四的五次方，然后再乘上七啊这个人。能理解吗？行列式是一个数。行列式算一个结果，这是个数，好了，我们再来看看第二个人。那么，

这人是谁呢？是b的行列式乘上a。那么，在这里当中，我们继续看你发现这是不是一个数啊？一个数乘上这个人的行列式，那么这个数出去应该变成多少？这就是个数数出去应该变成它的N次方。那N次方看的是谁看的是AA是几乘几三，所以说这人的话就变成了b的行列式的三次方，再乘上a。那因此的话b的行列是多少？七七的三次方，然后再乘上四。会做了吗？

要注意这点区别啊，所以说在这种当中啊，就考了一个事情，考了一个什么问题呢，考了一个k乘上矩阵的行列式。等于k的N次方，它的行列式其中啊。这个a为一个n阶阵。对吧，为一个n阶乘。所以说这个东西是个起节针。决定了这个东西出去变成多少次方啊，这个问题。这不容易出错，这怎么能容易出错呢？

这非常简单，你要认为说这个东西贼简单啊，相当简单。哎，这不不摆不卷，同学们，刚才我还说了，你这个今年的三九六的金综，这个三九六的金综，这个联考的这个最后的总成绩啊，是140多分呢，你怎么能觉得这个东西容易出错呢？啊，好了，这个点我们就讲到这来，

我们继续，我们再来看看下面一个问题啊，矩阵的乘法。呃，矩阵这个乘法难度系数可能会稍微的会有一点点啊，我先说一下，你知道怎么算就行了。所以说一会儿过程当中啊，你知道这个东西怎么算就行了，好，我们来看看下面一个问题，它什么情况呢？它是一个a矩阵。乘以b矩阵a矩阵乘b矩阵，你就可以写成a×b矩形，

但是同学们注意啊，你不能这样写。这样写不对。你虽然你都知道一×2等于什么东西呢？一×2这是一样，但是在矩阵当中这是不一样的，不能在这里面当中啊，写个叉。能听懂吧哎，只能这两种写法。那么这个东西怎么成的呢？它是有要求的，它要求是这样，一会儿你就知道这个东西为什么这样要求了，你先听就行了。

这个人的要求就是。这个人如果是m×n的。这个人必须是n×p的。我的要求就是一个人，我的要求就是你这个人的列数跟这个人的行数是一样的。好再说一遍，第一个人的列数跟第二个人的行数是一样，以前过程呢，二一年之前呢，你发现我们的三九六的这个每年的考试里面当中肯定有一道矩阵的乘法的题。考的贼简单啊，你发现连零基础的话，你发现都达不到好，再说一遍就说什么情况，第一个人的列。

跟第二个人的行是一样的。所以在这种当中，我们一起来看看这个问题。你先看第一个人。那第一个人的话，比如说我们这个矩阵是什么？我们这个矩阵是一个m×n的矩阵。对吧m×n矩阵，那如果这两个矩阵能够相乘，那这个人必须是个n×p的矩阵。能听懂吧啊，就说如果你这个矩阵是一个m×n的矩阵，你这个人必须是个n×p的矩阵，一定得保证这个事情。就是这个人的列，

跟这个人的行必须一样，就说你你有多少列，我就必须要多少行。你这个不相等，我们是没法乘的，所以这个乘呢，有严格的要求，那乘出来的结果是多少呢？乘出来的结果它是这个人。就相当于这两个人没了，然后最后留下了一个多少m×p的矩阵。好了，这是这个问题，能听懂我的意思吗？一定要注意啊，

最后乘出来一个结果是个m×p的矩阵。嗯，我再说一遍，这个我不知道为什么，你说学东西的时候老是在那想那么多。啊，然后就说这个n和p什么关系，你爱什么关系什么关系？我说了一个问题，你只要保证这个n这两个相等就行了。不要在那里面天马行空的去想，你就跟刚才那个零一样。你还记得那个拉普拉斯吗？拉普拉斯我说对角线是方的就行了，有一个拐角是零就行了，

那说明那只只要那块是零就行了嘛，对吧？好了，这是这个事，来那么接下来过程当中，我们继续啊，你只需要保证一个事情，就是这个人的列，跟这个人行是一样。那么，接下来过程当中，我们来看看怎么算的？哎，怎么算？我就想知道这个最后乘出来这个矩阵，

比如说我随便取一个。假设我娶这个人。哎，我就想看看这个元素是多少，我只要知道这个元素是多少，我每个元素都知道，大家注意这个元素是谁呢？哎，这个元素它是这样，它位于第几行这个人的话，你发现很明显是第I行。第几列，第j列。诶di行DJ列那么同学们注意一个事情，一定要好好听di行DJ列那这个元素是怎么乘出来的呢？

它到底等于多少呢？它是这样子的，不要眨眼啊，不要眨眼，它这个东西是这样的，就是前面取第I行。后面去取DJ列。好，前面是di行，这个人是DJ列。然后这上面的过程当中啊，你发现有好多元素，我们一起来看啊，它是第I行的第一个di行的，第二个di行的，

第n个。然后这是多少第一行的第一啊，这个什么第一行的第j第一行的DJ列。第二行的DJ 0，然后一直到第这个什么，这是第n行的DJ 0。dg 0。好，是这个情况，那么这个东西怎么乘的呢？你要注意这个元素，它等于这个人就是这个cig这个元素啊，它就等于。这两个氯的对应相乘再相加aie乘上aeg。AI 2乘上a2g一直加加到多少呢？

加到ain乘上ang啊，就这样相乘。所以你会发现一个事，为什么要保证这个人的劣等于这个好呢？因为我们要对应相乘，你看我这个人要乘上这个人。我这个人我要乘上这个人，我这个人我要乘上这个人，所以说你们一定要相对应。你一定要相对应，你不能说我这个人有了你没有，我没法产纳，所以说大家注意这人的列，一定要跟这个行相等，我知道有些同学估计就没听懂。

说老师，你这啥玩意儿好了，同学们一个例子解决作用，好好听啊，只要你听完了这个例子啊，你发现一个事情就非常的简单了。好了，那么接下来过程当中，我们来看一个例题。比如说这里面当中，我们写一个人。写一个一三啊，别写太大了，一会你整自己了，一零二好吧，

这个人。然后接下来过程当中，我们再来看看这个人。比如说你发现这个人的话是多少呢？写个三。一零一一二好，这个人那么接下来过程当中，我们一起来看看乘一下。那这人怎么成呢？那么首先我们先看看前面这个人，前面这人是第二行的第三列，第三行的第二列。乘出来的结果是谁呢？乘出来的结果肯定是两行两列对吧？两行两列好，

我们先来看看第一个元素等于多少？告诉我读一下它的名字，它的名字叫什么？它的名字叫做第一行。第一列。好注意啊，第一行第一列好，我们对应相乘就是一乘三三×0，加上一×1等于几啊等于四。能听懂我的意思吗？但是我不建议你将来写这个东西啊，你要眼睛在那盯我为什么写呢？我就想让你今天看看它是怎么出来的。好了，我们再来看，

再来读一下第二个人。这人是谁？第一行来走，第一行第二列好了，那么接下来过程呢？我们继续看。一×1+3×1+1×2，你注意啊，以后别写哦，以后别写那这个结果怎么写那这是四，它就等于六。能理解吧，哎，好了，后面两个我就不写了啊，

慢慢盯来继续看，然后这个接下来过程当中，你看这个位置呢，这个位置是？第二行第一列那所以说这结果等于多少？那这个结果的话就是一乘三零乘零一×2=5。好，最后一个元素，最后元素多少？第二行第二列，因此就是一乘一零乘它二乘它那这结构等于几啊？啊，就等于五好了，这个内容啊，我们就算清楚。

跟得上吗？会做了吗？所以说大家注意他们这个相乘呢，是有要求的，要求什么东西呢？前面这个人的列数必须跟这个人行数相等。然后这个东西怎么成的呢？你就进行去看看这个人的位置，比如说他是di行DJ列，就是前面画行，后面画列，然后对应相乘再相加，非常简单啊。啊，会做了吗？

啊，我相信你会零基础都会啊，所以说你发现这样写起来就有点装逼了。是啊，这样写起来呢，你发现看起来就很牛逼，但是你发现一个事其实非常的简单。所以说像这些内容啊，如果你进去去看教材的时候确实挺恶心的，他就怎么办呢？他就这样写，写起来看起来很恶心，其实很简单啊，非常的简单。好了，

这是这个问题吧，我们就讲到这来，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个人。好，来看看这个题。呃，接下来过程当中啊，我给你这样吧，我给你一分钟的时间，你来算一下吧。来赶紧坐下，我给你一分钟时间，你来做一下这个题，一会儿我给你对一下答案就行了，

来赶紧做。快算吧。啊，我不算啊，你这个你赶紧算，我把这个大致的这个东西写出来。这怎么有人打点？你打这个点干嘛呀？你是一个东西，不会算你去看上面的，我让你做题，那你打个脸干嘛啊？这能看出来，谁打点吗？啊。

写完了吗？好算完了是吧？来我们一起来看看这个人。先看第一个结果，那第一是多少呢？你看第一个位置是第一行。第一列来对应相乘，那这个是多少负四，然后这是负12，因此等于多少负16？对吧，好了，这是这个人，然后接下来过程当中，我们再来看看下面的问题，

然后是第一行第二列，那第二列的话，这是负八。然后这是多少负24，因此是负的32。对吧，然后的话，接下来过程当中，我们继续。然后是第二行，第二行第一列。第二行第一列就是这俩人对应相乘再相加，那这个是几这是二，然后这是六，那这个人就是八。

然后接下来过程当中，我们再来看看第二行第二列，也就是这一列。那这列相乘的是多少呢？那这里是四，然后这是它那这个结果是16好了，这第一个算出来了吧？哎，基本问题啊，那么接下来过程当中我算快一点来，我们来对照一下这个人。然后接下来你看第一行第一列，这是八，然后这是八，那这是负16。

然后这是第一行第二列，然后这是负16负16负32，然后第二行第一列，这是八第二行第二列，这是八，然后这是16。没问题吧，来再来看看这个人b×a。那b×a的话，这一行这一列，这是负四四，那这是零，然后第一行第二列，然后这是零，第二行六六减六零，

然后这是12，12-12，这是零。好了，同学们，那么这个东西我算完了啊，你们对一下吧，都做对了吗？好都做对了，同学给我回复个一。有做错的请给我回复个二。啊，有做错的给我回复二。应该没问题啊，我觉得应该没问题啊，

这个人。好了，这是这个矩阵的运算，那么接下来过程当中啊，我们来看几个重要的事情，你要注意啊，我这个例子贼牛逼。这个例子可贼牛逼好，我们接下来过程当中，我们来观察一下大家有没有发现一个事情，首先我们先看看第一条。第一条的话，有没有发现一个问题？你看这俩东西相等吗？大家想想一个事情，

你a×b这个人跟b×a这个人相不相等？很明显一个事情，这个a×b跟b×a它不相等啊。相不相等，不相等啊，但是你在小学的运算的过程当中，一×2跟二×1相不相等，那是相等的。三×2跟二×3，相不相等相等的吧，所以说你就会发现一个事情，这是一个重点内容，我们来总结一下。那么，首先第一点叫做区域阵的乘法。

无什么东西呢，无交换律，注意啊，矩阵的乘法是没有交换律的。它们在这里面当中啊，没有这个交换律，这是你要注意的，换一个颜色。好，这个突兀了啊，这个换一个。矩阵的乘法首先第一个点，它没有交换律矩阵，乘法是没有交换律的，什么意思呢？

就说一般情况下，这个a×b。和b×a啊是不相等的。能理解吧哎，这是不相等，你不要在这里面当中啊，你拿到一个体验哎，你说你看a×b跟b×a相等，那是特殊情况，一般情况下都不相等的。AB跟BA不相等，那既然不相等的话，你发现个事，马上问题就来了，大家注意一个事情，

你比如说你看这就是个a啊。那这是一个a的话，你发现一个问题，我如果给它这半边乘个b跟这半边乘个b一样不一样。一样还是不一样？当然不一样，这两个东西不一样，所以说你就会发现一个事情，我们在矩阵的运算的过程当中，就要严格的说明你是什么臣。你是左沉呢，还是右沉呢？对吧，你是进行去左乘一个b还是右乘上一个b呢？在我的左边还是右边呢？

这东西是不一样的。要严格的说清楚，你不能说沉，要像我们小学的过程当中，我们说两边同乘个四。你现在不能这样说，你应该说两边同时什么左沉还是右沉？你是进行左乘呢，还是右边乘啊？这个事情要说清楚，能理解吧，这第一个点矩阵的乘法没有交换律。好了，我们再来看看第二条内容，继续来重这第一个问题，

然后接下来过程当中，我们再来看看第二个点。有没有发现一个事情，这个矩阵b×a=0啊？你这个b矩阵乘上a矩阵是零矩阵。对吧，你这个人等于0b，乘a=0，但是有没有发现这个a矩阵不为0b矩阵也不为零啊？我们说零矩阵是所有人都等于零啊，有没有发现一个事情，俩人都不为零乘出来还能等于零呢？我们两个人都不为零，最后乘出来，结果还等于零呢，

所以说在这里面当中，我们就说明了一个问题，一般情况下。如果AB=0，你能够进行去推出来a=0或者b=0吗？大家注意，这是不行的，因为我们都知道一个事情，两个矩阵都不为零，乘起来还有可能等于零。所以说在这里面当中啊，它就有一个问题，但是这件事情你发现在小学的时候成不成立呀？x×y=0 x=0或者y=0吧。对吧，

你在代数当中初等数学当中，它是成立的，所以说这里面当中第二条内容又来了矩阵乘法。没有什么东西呢？无灵音此律。因子。好了，这就是我们在这里当中讲的，你等我一下。嘿，等等等一下啊。好了，这是第二点对吧？他没有林荫自律，然后接下来过程当中，

我们再来看看第三个事情，你继续来看大家有没有发现？还有一个问题。就是你这个AB和AC是不是一样的？你看这个题，这个题当中的AB和这个AC是不是一样的？一样不一样一样的吧，而且你还会发现一个事情，这个a也不会等于零啊。你这个AB跟AC是一样的，而且这个a不为零，你能不能同时把这个约掉，你就说b=c啊。有没有发现b跟c是不一样的呀？是吧b和c不相等啊，

你没办法说把这个矩阵给约掉了，所以说这里面当中又有第三条内容。那第三条内容说什么东西呢？说如果这个AB=AC，你发现一个事情，你是没法推出来什么东西啊？b=c的。而且你会发现，就算我在这里面当中，加上什么情况，加上这个矩阵不为零。对吧，我加上这个矩阵不为零，你发现b也不会等于c的。因为刚才告诉我们那个事情a不是个零矩阵AB=AC，

但是你发现b呢跟c不相等。所以说这里面当中，我们第三条内容又来了矩阵的乘法，没有什么东西啊，没有消去率。那这件事情都在我们的初等数学的过程当中，它是成立的。对吧，成立的你比如说xy这个人等于xz这个人x不为0y肯定等于z，所以说你就会发现一个事情，这就是矩阵乘法没有的三大律。哎，矩阵乘法，没有三大律，没有什么律呢？

没有，这里面当中的交换律，没有零因子律，没有消去律。一定要注意这个事情啊，我再说一遍，矩阵乘法没有三大律，没有交换律，没有零因子律，没有消去律。没有交换律，没有零因子律，没有交区律，尤其是没有交换律是最重要的，没有这三大律。

大家想想一个问题，接下来过程当中一堆内容我全部给你讲完了，大家想想一个事情，我们回想我们的回忆。回忆啊，你发现你回忆一下我们的初高中。不是初高中，应该是小学。中学。你回忆一下这个事情，你原来过程当中，你在这个什么呃，你的小学的过程当中，你去学学什么东西呢？学加减法。

你们老师就给你们讲加减法怎么办？有没有交换律啊？有没有？有没有交换律啊？你回忆一下这个事情，原来过程当中我们的小学和中学加法的过程当中有没有交换律啊？这件事情是有的吧，肯定有交换律啊，你知道什么叫交换律吗？一+2跟二+1是一样的呀。这叫有交换律，而且的话，你发现一+2+3可不可以把这个结合一下，而且这里面当中是不是有结合律啊？是不是这个事情啊？

哎，有结合律，然后接下来过程当中，我们再来看看下面一个事情，你在这个上的这个初高中过程当中，你是不是还学过？乘法。小学的时候乘法有没有交换律啊？乘法是有交换律的。对吧，乘法是有交换律的，你比如说一×2跟二×1是一样的乘法，有没有结合律啊？一×2×3跟这个人结合是一样的。那么，

在这种当中，我们再来看看一个事情。这结合律啊。啊，然后这里面当中我们再来看，还有一个东西叫什么率啊，还有一个东西叫分配率，你比如说一乘上二×3，比如说四乘上二×3就等于。只是二+3。那就等于四×2+4×3，你这能听得懂吗？你这要听不懂，这是问题大了啊，好了，

那么接下来过程当中，我们再来看还有什么东西啊，还有分配律啊。对吧，这里面当中还有分配律，没问题吧，然后接下来过程当中，我们再来看，然后紧接着我们学到了什么东西呢？学到了这个初衷。我们学过速成。哎，数乘数乘，这个东西你还能扒呢？这个八字啊，

就代表了不自信啊，就是能啊，就是能那么原来上到初中过程当中，我们学了一个什么速成。比如说三乘上一个k，三乘上a是不是这个事情哎？你发现三×a跟a乘三一样不一样一样的，那这是不是交换律？然后这是三×a×b，能不能是写成a乘上三×b，有没有结合律，有没有交换律啊？有结合率也有交换律吧，而且你发现三+4乘上a呢，就等于3 a+4 a是不是也有分配律，

那这些东西是不是都有啊？你看这些事情是不都能学得懂？能听得懂我的意思吗？好，这是我们的小学和中学，我们学的问题，那么今天过程当中，我们学习的是矩阵呢？那这个矩阵的话，你可能看到很多书籍也是这样写。写什么东西呢？写这样的东西，你看就在这。写什么东西呢？如果是数乘数乘这个东西具有什么率啊？

这两个东西是不是结合一下啊？有结合率数乘这个东西是不是有分配率啊？数乘这个东西是不是叫分配律啊？能理解吧，不要打点不要打点，然后你看学到这个乘法说这样东西结合是不是叫结合律啊？这是不是叫分配律a乘上cb乘上c嘛？注意谁乘谁就谁乘谁。然后这谁呢c×AC×b，然后这东西呢，你可以把这个什么k进行移到这，因为数乘具有交换律嘛。你是不是也这样学，然后有同学就要背了，说矩阵的话加法有交换律有结合律数乘的话有交换律结合律分配律乘法又怎么怎么样？

你这样学能学疯。大家注意啊，你这样学，你能学疯，所以在这种当中啊，到了今天。学习矩阵。哎，学习矩阵，你要注意一个问题，不要这样学，你就记住，没有谁就记住乘法，没有三大律。乘法没有什么情况呢？

乘法没有交换律，记住没有谁剩下的都有。乘法没有交换律，乘法没有零因子律，乘法没有消去律，剩下的东西全都有初高中怎么学？我们现在怎么学？能理解吧哎，你发现一个事情就记住没有解析了。诶，哪些没有？就可以了，你就记住什么情况呢？你就记住乘法没有交换律，乘法没有零因子律，

乘法没有消去律，剩下的东西全部都有。所以说将来过程当中学习就非常非常的简单了，就记住乘法没有三大律。那么，想将来过程当中，我们再来看那乘法有没有分配律啊？有没有告诉个事情，比如说a×b+c？我能不能写成a×b，加上a×c啊？有没有有？乘法是有分配律的，它只不过是没有这个什么没有交换律，所以在这种当中一定要注意a×b就是a乘，

BA×c就是a×c，不能交换。那么，然后接下来过程当中，我们再来看，如果这是a，这是b，这是c，能不能把这个东西进行结合啊？乘法有没有结合律？当然有结合律，它只不过是没有交换律，我是有结合律的，然后再来看加法有没有交换律啊？加法有吧，

乘法没有交换律嘛，加法仍然有a+b跟b+a呢是一样的。能理解吧，然后接下来过程当中，我们再来看数乘有没有交换律啊？数乘当然是有的，那么这个数啊，你发现移到这儿，移到那儿都行。能理解吧，所以说你发现看三倍的a×b，你当然可以把这两个交换呢，你就可以写成什么a乘上3b。能理解吧诶，没有任何问题。

所以一个数啊，你想插到这儿，想插到这儿都是可以的，无所谓，能学会吗？基本点，你要会学习啊，对吧？所以这块内容很多东西又多，所以学的时候的话一定要注意怎么进行，把这个东西啊，你学的更清楚一点啊，要了解清楚这个问题。过去了，可以吗？

能学清楚吧，来继续再来看看第五个点。好，我们再来看看矩阵的转置。那么，矩阵的转置啊，所以说学到今天你才知道转置是矩阵的运算法则。矩阵的转置，那么在阵阵当中，比如说我们写一个人。你看我写一个，比如说这是xyz，这是a，这是b，这是c。

什么叫转制呢？转制是这样。哎，写了这个人，有人说啊，转置就是沿着对角线进行去翻折，不要这样转置是什么呢？转置就是把横的给我写成列的。xyz ABC.对吧，把横的写成列的就行，它不一定是方的，不需要要求它是方的，就把这人的横的写成列的。就可以了，

所以说这叫矩阵的转置横的写成列的就可以了，它不需要是方的，你可以是什么m×n的矩阵？然后这人变成多少n×m的矩阵。能理解吧你，比如说这个人是的，两行三列的矩阵，然后现在变成多少三行两列的矩阵啊，这个人。好了，这是它的一个基本问题，能理解吧？哎，注意下这个事儿，这个东西啊，

不是方的啊，不一定是方的方的也行啊。那么，在这种当中，比如说你举个例子，你看这是a1a2，这是b1b2，那这里也可以啊。你转置一下的话，你把横的写成列的，横的写成列的，横的写成列的出来了。好了，这是一个矩阵，那么矩阵这个东西啊，

一定要注意一个问题。就是这里面当中转制这个人呐，有四大运算性质。诶转之有四个性质，这四个性质啊，一定要把它给我记住，第一条内容。转质的转质是什么？转质的转质是本身吧？你转了一下，再转一下，不就是本身吗？好了，我们再看第二事情，如果一个数乘上a的转值呢？

一个数乘上a的转值，比如说这个矩阵乘上个数，所有人都乘上数，哎，你们所有人都乘上数，转过去把数再抽出来，不就是k倍的a的转值吗？然后再来看看第三个事情，那就是如果两人相加减。加法，我们先看加法吧，加减是一样的，加法两个加起来，然后再把它转过去，又把它拆开。

不就是什么情况，不就是a的转加b的转吗？这个非常好理解啊，这里面当中啊，唯一有一个东西非常难证明，就是a×b，我建议大家把它记住就行。啊，最后一个人呢？我们把他给我记住就行，证明非常的麻烦，它就等于多少b的转置乘a的转置调换位置再转置。这四大性质一定要把它记住。你稍微进行去注意的就是第四个人就行。乘法的转置就等于什么调换位置，

各自的转置。好，这是转置的四个性质。过去了，可以吗？好，我们就讲到这。然后接下来过程当中，我们再来看看下一个问题啊，我们讲讲方阵的行列式。那这个行列式啊，等一会过程当中我们再说吧，我们先卖过它啊，先卖过它，我们先来进行去看一个问题，

我们先来看看。方阵的面。啊方阵的幂。那么，这里面当中啊，就有要求了。大家注意，如果你这个人想进行去取幂四。对吧，你想取次方数，那么什么叫方阵的幂呢？什么叫幂次呢？就是n个它相乘。诶，这里面当中有n个a相乘。

那你想想一个问题，你这个前面这个人的列等于这个人的行不？就说明这个人是方的吗？所以说大家注意啊，只有方阵。才能取觅此。那么这个幂次啊，你可以是零次幂，你也可以是一次幂，你可以是二次幂，你可以是三次幂，一直下去。没有，这里面当中说什么啊？这个什么二分之一次米，

三分之一次米，这是没有的，它只有是整数次米啊，这是你要注意的。好基本点，第一个事件什么叫做方阵的幂？那么，接下来过程当中，我们来看几个事情吧，来操作几个内容，比如说这里面当中，你发现a+b这个人的平方。它会等于a方加上2 AB，加上b方吗？等于吗？

你看这个人。就说什么情况a+b^2，你会等于a方加上2 AB+b^2吗？那这个东西我们得试一下，你来算一下。好，我们来分析一下。那分析一下的话，你发现你看什么叫做a+b^2呢？a+b^2应该是a+b再乘一个a+b。矩阵有没有分配率啊？矩阵是有分配率，那分配率的话，你看你这样一乘，这是a方没问题，

然后再来乘啊，这是AB没问题。接下来过程当中，我们再来看，这是BA好注意啊，这是BA然后最后一个呢是b方。哎，如果你这里面当中的话，你发现你想写成2 AB，你是不是得保证这两个东西相等啊？所以说大家注意这两个东西啊，未必相等。这两个东西啊，未必相等，那么接下来过程当中，

我们再来看，如果你发现这是a+b。你再乘上a-b，它一定会等于a方减b，方有平方差公式吗？好，我们再来看看下面的问题，继续来分析。那么，这里面当中的话，你发现这两个东西相乘是什么？继续看，只是a+b×1个a-b。那相乘的话，第一个去乘是方，

然后再是再加上多少再减去多少方，你要想是这个东西，这两东西是不是得相等啊？相等才约掉，所以说一般都不相等。也不行。对吧，你像这个东西啊，也是不行的，然后接下来过程当中，我们再来看。AB这个人的n次，它会等于a的n次乘上b的n次吗？那这时候我们来再来进行分析。你看这个人。

那么，这人什么叫做AB的n次幂呢？他这个人应该是AB×AB。乘以AB一直乘上AB。对吧，你这个人一直乘上NB。那么什么时候的话，你发现a才能调到前面去b才能调到后面去呢，那这个东西一定是保证什么？保证这个AB可以交换AB可以交换可以交换可以交换都可以交换，把a调到前面去b调到后面去。所以你发现这也未必相同。所以说到了这个今天过程当中，我们发现了一个事情，一些初高中的这些公式啊，

它都不成立的。对吧，初高中所学习的这些公式啊，都不成立了。尤其是而言的话，你发现非常简单的。你看简单到这样的一个程度，说什么a+b^2完全平方公式都不成立呢？这些公式都不成立了。诶，这些公式的话，你发现我们学习这不成立有什么用啊？我们想重点学习什么东西，你什么时候成立为我所用。对吧，

我们不是想进去学啊，你为什么不成立你这个东西怎么不成立？你学习不成立有什么用？我们想重点的研究的是你什么时候成立？你成立的时候为我所用，所以说接下来过程当中，我们看一个重点。所以在这种当中啊，你要明白一个事情，什么时候这个东西才会成立呢？你比如说看第一个人，如果ab跟ba相等的时候。AB跟BA相等的时候AB跟BA相等的时候，所以说这里面当中啊，你要注意当什么情况？

当a矩阵与b矩阵可交换的时候。哎，可交换的时候。初，高中。所学基本公式。都成立，你要注意下这个事情，所以在这种当中啊，你就要明白一个问题，如果这个a矩阵和这个b矩阵呢？可交换的时候，那这时候的话，你发现一个事情，初高中当中的基本公式啊，

它都会成立，所以在这种当中，它的要求点非常的重要。就是这两个东西啊，可交换。那什么叫可交换呢？可交换不就说ab=ba的时候吗？所以在这种当中，什么叫做可交换呢？可交换就是。AB=BA的时候。哎，如果AB=BA的时候，初高中所学习的这些基本公式啊，都是成立的。

对吧你，比如说你看这个人AB=BA成立AB=BA成立AB=BA成立，所以说这里面当中啊，你一定要注意一下这个事情好，这是第一个事。第一公式，因此啊，我们就把这个东西啊，我们给擦掉了。把这个给擦掉了，哎，把这个拆掉了。所以接下来过程当中，我们一起来看看这些人。哎，

我们来重点看看，所以接下来过程当中，我们来写一下吧。好把这个内容啊，记到笔记上。说什么情况呢弱？AB=BA的时候。我们就会有以下重点的公式。你看这些人呢，他就会是成立的。对吧，这些人那么由此在这里面当中，你看第一个人，那这时候a+b^2就会等于这个结果。然后第二人也会成立，

第三个人也会成立。那这时候的话，你发现接下来过程当中，我们学习的所有的这个基本公式啊，都会是成立的，比如说那这什么？a+b的这个人的三次方，他就等于a的三次方加上三倍的a方b+3倍的AB方。然后再加上b的三次方，如果是减呢，那这块是减号，这块是减号。好了，这是这个问题，然后第五个人a的三次方减去b的三次方，

它就会等于a-b。然后乘上多少a方，加上AB+b^2，还有这里面当中的立方和公式。a的三次方加上b的三次方，它就是a+b，然后就是a方减去AB。加b方好了，这就是一个基本问题，所以你要了解清楚啊，如果这两个东西可交换的时候，初高中这些公式啊，都是成立的。那么，在这种当中啊，

我们讲几个哎，你发现有天然可交换的。哎，天然可循环。天人可交换的当中啊，考研的过程当中啊，有三对儿第一事情一个矩阵呢，与单位矩阵。单位矩阵呢，跟这个人就是天然可求，换为什么呢？刚才过程当中，我们就讲过这个事情，你发现没a乘上单位阵。跟单位阵乘上a是一样的，

对吧？它是个工具阵，它当然可交换天然可交换，所以一个矩阵跟单位矩阵之间呢？初高中公式啊，肯定能用，然后还有两个东西哎，卖个关子，下节课我们来讲空到这啊。留个空给他们留些空。那么，这里面当中我们会讲三对天然可交换的啊，后面还有两对，一个是a跟a的伴随，一个是a跟a的逆矩阵，

把它给我放到这。听懂我的意思吗？啊，现在我们还没法讲，因为的话，这个部分的内容我们还没有学，把这个东西啊放到这。能听懂吧哎，基本点，所以你会发现一个事情，如果这两人可交换的时候，初高中当中啊，所学习的所有的基本公式，它都是成立的。诶，

这是个基本问题，过去了可以吗？来继续再来看下面一个问题。那么，接下来过程当中，我们再来介绍两个问题，一个人叫做对称矩阵，一个人叫做反对称矩阵。啊，对称矩阵和反对称矩阵。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个问题。首先，第一个人呢？

我们先来看看对称矩阵。对称矩阵。好，先来看看第一个人对称轴。什么叫做对称矩阵呢？对称矩阵呢？它有一个定义，它这样定义的。它定义说的非常清楚，定义说你aig这个元素。跟aji这个元素是一样的。对吧，跟aji这个元素是一样的。什么意思啊？比如说举个例子啊，

我们说a一二跟a二二是一样啊，这个是a一二跟a二一是一样。a二三跟a三二是一样a三一跟a这个一三是一样，就这个意思。所以接下来过程当中，我们来看看一个矩阵吧，你发现如果是个对称矩阵，它是个什么情况呢？比如对角线，对角线没有要求。a一一=a一一。a二二=a二二，a三三=a三三，这没有要求。它要求的要求的一个点是什么呢？

你发现如果我这块填的是x。这块填的是y这块填的z。那你就会发现一个事情，这是a一二就会跟这个a二一是一样。a二三a一三跟a三一是一样。然后这个人呢？跟这个人是一样。没问题吧诶，这是一样的，那这是一样的话，你发现对称矩阵又有什么特点呢？你再把它转置一下。你看把行的给我写成列的。把行的给我写成列的。把行的第三行给我写成列等哎，

你发现没？这两东西相等诶。所以一个对称矩阵的判定方法是什么呢？判定方法就是看一个人的转质等不等于本身。注意，我们学到这就行了，因为我们没有第五章第六章。所以说将来过程当中这个东西啊，应用点呢非常多的一个点在何处呢？应用的非常多的一个点应该是在二次型那块儿内容。我们又不会考，所以基本的点掌握清楚就行。怎么进行去判断这个人是个对称针？就是看这个人的转支等于本身就行，好基本点啊，

来那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看一个人叫做反对称矩阵。好，再来看看第二个人反对程序中。那么，什么叫反对称矩阵呢？它的定义要求的也非常明显，它要求的是aij这个元素跟负的aji的元素一样。啊，就说跟aji的话，它是相反数是一样的。那么，所以说，比如说a一二这个人等于负的a二一。

对吧，像这种情况，那么如果在这种当中，我们来看一个矩阵。好，我们先来看看它的对角线。它的对角线有个特点，它对角线什么特点呢？你发现看你a一一这个人要等于负的a一一。没问题吧，你aig等于负的aji嘛，那这两个所以说在这种当中，我立即就知道你对角线的第一个元素是几，你必须是零。然后你看a二二是不等于负的AR，

根据定义我们就知道这个人结果等于几也是零。然后这时a三三等于多少负的a三三，然后这个结果等于几这个结果也是零。能理解吧，对角线的元素都是零，然后接下来过程当中，你再来看，如果这是x呢？a一二跟a二一成相反，数a一三跟a三一成相反数。a二三跟a三二成相反数。是不这个情况，然后接下来过程当中，我们来转置一下。把这个横的给我写成列的，

把第二行给我写成列，把第三行给我写成列。有没有发现一个事情，这个内容完全是上面这个东西啊，天赋号啊。你给这个人乘上负一每一个元素，乘上负一就是它，所以说大家注意它的判断方法是什么，就看看上面用什么颜色绿色。它的判断方法是a的转置等于负的它。要注意啊，这就是它的判定性的方法。好，这是判断方法。它的判断方法就是转置等于这个人的相反数。

如果转置等于相反数也能推出来，对角线必须是零，因为转了一下的话，之后还要相等，等于这个人不是相等，跟这个人相反数相等。那对角线必须是零。然后另外两边的话，你就发现是这个什么啊，成反对称的。要注意啊，它的一个判断方法对称矩阵的判断方法反对称矩阵的判断方法能掌握清楚吗？可以了吗？同学们好，这个点我们就讲到这来，

那么接下来过程当中，我们继续我们来看看今天最重要的一个题。把这个题讲完呢，我们就可以下课了，看看最后个题。那么，在这种当中，我们来看一个问题啊，这是一个特殊的矩阵。这里面当中有个什么特殊矩阵呢？我们先来分析下。你会发现一个事情，这个矩阵叫列矩阵。什么叫列矩阵呢？它只有一列。

哎，只有一列，那这个矩阵的话，你就发现只有一列，所以说如果将来过程当中你发现一个事，比如说我们看了一个矩阵。它是a1a2到an。只有一行这个矩阵叫行矩阵。如果一个矩阵的话，你发现个事，它只有一列。比如说你发现看你写了个b1到BN。它只有一列，当然这个人也可以怎么写？写成行的。

加个转置，那这人叫什么？这叫列举证。学到第三章，你就知道这个东西啊，也叫列向量哎，列向量好了，这是行矩阵。列举着那么接下来过程当中，我们来看看一个问题，他说啊，如果这个人转置了一下，乘上这个人等于一个数。哎，大家琢磨一个问题，

你发现看如果这个人是一个行矩阵。这个人是个列举人。那么，请同学们告诉我个事情，最后的结果是什么？这是一个一×n，这是一个n×1，它的结果是不是等于一×1啊？一×1的一个结果不就是个数吗？所以大家注意一个事情，一阶矩阵。你比如说这个括号有个三，你打括号跟三不是一样的吗？一阶矩阵跟本身是一样的。所以说这个结果就是这个数，

因此你会发现看这是个列矩阵，列矩阵转置一下就是行矩阵。行矩阵乘上列矩阵不就是个数吗？所以你要理解啊，这里面当中给了一个矩阵，这个人的转置乘上这个人呢？等于个数。然后接下来过程当中，他说了一个事情，给了一个h这个人，然后我们去证明一下这个人是个对称针，并且这两个东西相乘等于一。好了，接下来过程当中，我们来做一下这个。

这题可以出成选择题的，非常好的一个题来，我们先来看看第一问。怎么证明这个矩阵是个对称阵呢？如何证明？证明对称正不就是转置等于什么？转置等于本身吗？减去2s倍的这个人好了，这个题啊，我一步都不给你调。你看第一步用的什么东西啊，用到了a-b的转置这个公式，它等于多少呢？等于a的转置。减b的转置，

所以说这个人呢，就等于e的转置再减去多少2x倍的，这个转置的转置用到第一个公式吧。然后接下来过程当中，我们再来看单位矩阵是谁，单位矩阵对角线是一嘛，你转置之后是等于本身，所以这人呢等于一。再来看看第二人，第二人又考了什么呢？k乘上a的转值k可以提出去a的转值，所以说就把二。提出去再来转职。然后第三个事情又考了什么呢？又考了两个矩阵相乘的转值等于调换位置，

再各自转置。所以说这个人呢，又变成了什么？变成了把后面那个调到前面去转，把前面那个调到后面转。然后最后一个人呢，又靠了什么呢？又靠了转制的转制等于本身，所以说这个结果立即就可以写了。转置的转置等于本身出来了。所以这个题当中的第一问呢，就把我们刚才的话讲解的转置的四大公式全部用了一遍。啊，所以说你发现这是第一个题啊，我们全部都用了一遍，

这每一个公式我们都用了一下，所以这个题我一步都没给你跳啊，你下去过程当中好好看一看。好，这是我们讲的这个第一问来再来看第二问。那第二问让我们进行去证明什么呢？让我们进行去证明俩人相乘等于单位证。那么你想想一个事情，这两个东西相乘，而第一问都知道转置就等于本身，这不是平方吗？所以说这个题的话，其实让我们去求的是一减去二s转置的，这人的平方。是不是这个事情，

而我们又知道一个事情，你发现这里面当中的单位矩阵跟这个2s倍的，它可什么东西？可交换吧，单位矩阵是天然可交换的，既然可交换，我们就可以做了来第一个人的平方。然后再减去几倍呢？就是四倍x乘上这个人，你再乘上一个单倍阵，然后再加上多少，再加上2x倍的它。它的一个平方。好了，做成这样了，

那么接下来过程当中我们都知道它充当一的效果，平方还是自己，然后这里面当中有矩阵了，这个人就不写了，工具人嘛。然后这是什么意思啊？这个人你可不要胡乱写啊，你可不能在这随便写他这个人的意思就是这俩人相乘。没问题吧，那么接下来过程当中告诉我事情数能不能抽出去？可以吧，一个数是可以具有交换律的嘛数，想怎么样就怎么样，是乘法矩阵乘矩阵不具有交换律，但数乘有。

所以四就提出去s乘上它，乘上它，乘上它。那么告诉我，事情乘法虽然没有交换律，但是乘法有没有结合律啊？有没有乘法有结合律吧，而这个题的话，你发现个事儿，它告诉了我们什么情况，这两东西相乘等于一啊。乘法具有结合律来把它给我结合一下。这个结合一下了之后的话，你发现题目告诉我们等于几题目告诉我们等于一啊，等于一的话，

你发现个事情不就是这个结果吗？所以说你会发现俩约掉了，等于一出来了。能理解吧，所以说这一题啊，应该是把我们这节课过程当中啊，讲的几个重点的内容都用了一下啊，基本内容，所以你下去过程当中好好进行去看看。好了，这就是我们在这节课过程当中讲解的这个重点的问题，那么在之前部分当中啊，还有一些性质，还有一个人就是行列式。行列式我们还没有讲，

我们下节课过程当中啊，我们再来重点来讲好吧好了，那么今天课程呢，我们就讲解到这儿。呃，还有一个问题，行列式方阵的行列式，我们留到下节课再讲，不用着着急这个问题啊，这个东西很重要啊，这个问题。行吧，那么这是我们今天过程当中所讲解的重点内容，所以我觉得下去过程当中啊，还需要做一个事情，

你好好进行整理。我再强调一遍线性代数，这门课程呢，可能跟我们原来过程当中学习的这个你学习高等数学的时候，你学习概率论的时候，你这个感觉一定要不一样。不一样的点在哪呢？就是每节课下去过程当中好好进行整理一下。一定要好好整理一下，不然的话，你发现你下节课过程当中，我们要用这些内容。它主要就是这个问题，你这节课讲的这个东西跟下节课讲的这个内容，它不是说不利的，

它是完全的话，你发现要用起来。而且这个知识点，如果你觉得散呢，你得好好整理，其实一点都不散。我讲的时候的话，在这里面当中，我们都是成块讲的，一个板块一个板块的讲的，所以下去过程当中呃，可以提前发给你们了。呃呃，这个内容提前先发给你们吧，你们下去过程当中可以去填一下，

对吧？把这个东西填一下。只有前两章，第三章的时候就不要问我要了，你自己去整理就行了啊，只有这个前两章自己去整理一下。然后的话，你把这个东西去填一下，然后这个行列式的展开定理啊，矩阵的相等了，对吧？还有矩阵的加减法了。还有这里面当中的话，这个数乘的这个东西啊，乘法呃转置恩斯密，

你把这东西啊填一下，填完了之后的话，我觉得这个内容啊，应该问题不大。你不要觉得散它都是成块的部分内容啊，这个知识点。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这吧啊，这是我们今天过程当中啊，讲的基本问题。好了吗？同学们。啊好，那这是我们今天部分内容，

你下去过程当中把相对应的东西啊好好整理整理吧。呃，我把作业进行布置一下。这节课的题啊，不会说特别多啊。不是特别多，叫我们看看。你把这题自己再做一下啊。然后叫我看看。八四八五八六八七。八八。九一啊。好，就做这么多吧。可以吗？

哎，就把这个东西啊呃，就做这么多。但是我觉得这个。算的这个没有说特别多，对吧？你要不再做几个可以吗？因为我觉得这种运算题还比较重要啊，叫我看看。好，再来做几个这个人。再来做几个。再做几个的话。呃，上次把这个东西发给你们了吗？

这个发了没？这个教材啊。这个发了没有？你记一下。39页。还没有吗？你一会进去去看看啊，一会我再提醒一下。39页记一下。39页的第一题的前四个，第五个不用做。啊，这个涉及二次型的问题。做一下这个前几个就行。39页的。

第一题的前四个。标一下，然后。然后把第二题做一下。行吧，就做这两个。好，你想截图的话，你可以截一下。能看清吗？好这张图啊，你可以截一下，就这个页面。最后结果是这样。第二题最后结果是这样。

然后是前四个题是在这一面。前四个题是这个页面好了呃，这是我们今天部分内容，你下去过程当中你再做一下吧呃，一定要把这个基础的运算呢，我们的这个考的方向。你可能跟这个数一数二数三同学的这个方向在，尤其是线性代数啊啊，不一样的东西还挺多。他们那个第五章，第六章还挺重要，我们基本上而言的话，学到这个前四章，你像这种题的话，这我们就不用做了啊。

好了，那么今天课程呢？我们就讲到这，自己下去过程当中啊，好好处理一下吧，行吧？哎，这个基本问题一定要注意啊，这个今天部分的东西啊。稍微的会多一点点，一定要下去，过程当中好好整理整理，对吧？把相对的这个东西啊，好好进行再看看好，

那么今天课程呢，我们就讲到这儿可以了吗？好，下节课继续吧，好下节课见啊。

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