02.行列式的展开与计算-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:53:45

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音啊去画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始我们的线性代数的基础班啊，上次过程当中啊，刚好进行的第一次课程呃，首先还是我们把上次过程当中的核心知识点，我们先来复盘一下。呃，下去过程当中有没有整理一下东西？

不是说特别难啊呃，这个作业啊，也不是说特别多，你下去过程当中啊，好好进行去把相对的问题啊，好好做一下。好了，那么接下来过程当中，我们一起来复盘一下上次过程当中的核心重点，那么在上节课过程当中啊，我们学习的重点的内容是什么呢？叫做行列式。哎，行列式。那么，

在这个当中的话，你发现一个事情，我们学习的几个问题呢？那其实你发现核心重点就学了三个事好了，我们一起来看看这个问题。那么，在这种当中啊，我们首先第一件事情，我们先学了行列式的定义。行列式的定义。那么，首先在这里面当中啊，一定要注意几个问题，对吧？我们先来看看第一条内容行列式是一个什么？

行列式是一个数诶，这是你要注意的问题，行列式这个东西啊，是一个数，然后紧接着我们呢，再来看看第二事情。行列式哎。行列式双竖线。双竖线内是一个方阵。哎，这是你要注意的方形矩阵，所以说对于行列式而言呢，一定是一个n×n解，对吧？n×n的你有n行，

你就有n列。两行两列，三行三列，所以说那个东西啊，那个字儿叫什么呢？那个字儿就叫做接。比如说你是三行三列，我们就说它是一个三阶行列式，两行两列就是个二阶行列式，那么在这里当中，我们一起来看看下面几个问题。你比如说常见的对吧？我们上次过程当中啊，介绍了什么问题呢？比如说有二阶行列式，

有三阶行列式，那这里面当中你发现一个事情有没有一阶行列式啊？有没有哎？当然是有的一阶行列式，也有那么一阶行列式等于多少呢？我们一起来看看。那么，在这种当中，比如说双数线诶，这个人就是个一阶行列式。那一阶行列式等于几呢？一阶行列式就等于自己啊，所以说在这里面当中啊，你要稍微注意一下，你看如果我们写了之后的话，

你发现比如说这是负。那负五等于多少呢？这负五就等于负五听懂吧，然后这是负六就等于负六，你能理解吗？这负七就等于负七能听懂吧？你要注意啊，一阶行列式就等于本身，你不要认为这是一个绝对值啊。所以说之前的过程当中，我看过很多同学就在这里面当中啊，那当然是故意的，对吧啊，一看就是我上课抛的这个梗。有的人就来了，

说哎，你发现你看这老师讲的对吧，负五的绝对值等于负五负六的绝对值等于负六。负七的绝对值等于负七，不要这样啊，哎，这个东西你要注意一下这个事情，它不是绝对值，它是行列式。哎，行列式。能理解我的意思吗？哎，这个东西啊，是一个行列式，

能听懂我的意思吗？它不是绝对值啊，这是行列式，很多人就有有一个问题说那老师我在考研过程当中，我哪知道它是行列式还是绝对值啊？你放心吧，题目会说的哎，题目会说的非常的清楚的好了，这是这个事情，我们就讲到这，然后紧接着过程当中，我们继续来看。那么，在下面过程当中啊，还有这里面当中的二阶行列式。

对吧，包括在这种当中啊，你发现一个事情，还有三阶行列式。对吧，还有三节行列式，注意啊，每次上课之前呢，我在这里面当中复盘的内容很重要，你下去过程当中好好看看。好了，那么接下来过程当中，我们来看看一个二阶行列式，那二阶行列式怎么写的呢？二阶行列式的话，

你会发现它这样写的。第一行第一个第一行第二个第二行第一个第二行第二个，它就等于多少呢？它就等于主对角线元素乘积。再减去多少负对角线元素乘积好，这是这个问题，然后接下来过程当中，我们再来看看三阶行列式，那么三阶行列式在这种当中。第一行第一列第一行第二列第一行第三列第二行第一列第二行第二列第二行第三列。第三行第一列第三行第二列第三行第三列，你们要注意一个事情，我们在第一章的学习过程当中一定要学的非常的细致。因为这点当中的每一个核心考点，我们考研都会考。

如果你是按照数学一数学二数学三同学的复习啊，在第一章的过程当中啊，基本上也就出一道小题出大题的这个几率性不高。所以说这事情一定要注意这个问题啊，那怎么做呢？流沙法哎，你发现一个事情，你看这是一条主对角线。主对角线，然后主对角线三条主，然后接下来过程当中，我们再去减减去这个人的副对角线一条副对角线。两条负对角线，三条负对角线。好了，

这是这个事情，那么这个东西啊，也叫对角线法则，那么上次过程当中，我让你进行去怎么办？把那个课本上的题你做了没有？你要进去做那个课本上的题啊，你发现一个事情，课本把它叫做对角线法则。能理解吧好，这是这个问题啊，怎么了？人多了，这个不就是因为很多同学可能这个之前在补课对吧啊，上节课过程当中才是线性代数的第一次课程嘛。

所以说这个高等数学在补课的过程当中，今天也能听啊，所以说今天人数比较多一点啊，没关系好了，那么接下来过程当中我们就继续，我们再来看看下一个问题。第六个点。啊，第六个点，然后接下来过程当中，我们来看看n阶行列式，那么在这种当中，我们先来看看什么东西叫n阶行列式？那什么叫行列式呢？它这个结果说这样叫做来自不同行。

不同的。元素。对吧，这些元素要乘积它们的什么东西啊？它的代数和。一定要注意这个问题啊，不同行不同列元素乘积的代数和，所以说在这里面当中啊，你发现一个事情啊，这个问题。它到底什么意思呢？就是不同行，不同列元素乘积的代数和，所以说接下来过程当中，我们一起来看看吧，

这个n阶行列式。复习下，那么上次过程当中有个重点的题，那个题目会考的啊，一定要注意，它可能会出题的，然后我们来写一个n阶行列式。n阶行列式的话，你发现第一行第一个第一行第二个，然后这是第一行第n个第二行第一个。第二行第二个，然后这是第二行第n个下去第n行第一个第n行第二个，然后再下来第n行第n个。那这个结果等于多少呢？那这个结果的话，

你发现它就等于这个人，我在第一行当中取个j1列，我在第二行当中取个j2列。我在第n行当中取个jn列，对吧？这是来自于不同行，不同列就说在每一行当中都取个元素。那这些元素啊，要乘积，但是你要注意一个事情，我们最后要把它加起来，那这个和是什么和呢？这个和是代数和。这个代数和的话，你发现前面的过程当中一定要乘上负一的什么东西呢？

把行进行顺排，就是这个列的逆序数。要注意啊，把这个行进行顺排列的逆序数，所以说这个时候啊，你再求个和就行。能理解我的意思吗？所以说你会发现一个事儿，对于这个行列式而言，它最后的结果就是一项一项。一项的对吧？哎，一项一项一项的，那么在这种当中，我们一定要注意一个事情，

这种当中的每一项是什么呢？每一项就是在每一行当中取个元素，把它乘一下。能理解吧，每一行当中取个元素，把它乘一下，但是你要注意一下这些事情，这些人之间呢，有些之间是加法。有些之间是减法，怎么进行决定的呢？哎，决定这个东西啊，就是这个负一的，这个什么把行进行顺序列的逆序数。

能理解吧，而这里面当中总共有多少项呢？哎，总共有n的阶乘项。一定要注意啊，你看每一项是什么呢？你比如说其中其中的一项，这一项就是每一行当中取个元素的沉积。然后它前面的过程当中有个系数，这是负一的行顺排列的逆序数，总共有多少项？总共有n的阶乘项。好，这个基本问题过去了，可以吗？

这就是我们上节课过程当中啊，介绍的第一个问题，行列式的定义。那另外而言的话，你要注意一个问题啊，行列式这个东西啊，主只注重它的结果。不会注重它的过程的。跟过程没关系，那么上次过程当中我还讲过这个事情，你比如说你随便写一个对吧？比如说二一。四零比如说这是呃，我们写个这是四，然后写个二分之一，

这是五零，你看这俩人。那么，对于这个行列式的话，你发现一个事情，它就等于几等于二这个行列式呢？也等于二。那这两个行列式的话，你发现是完全相同的，对吧？行列式相不相等？看的是这个结果。那很明显，这两个行列式是相等的，但是你要注意一个事情，

你看这里面当中的这个数表呢？数表一样不一样不一样。对吧，这个数表是不一样的，所以说这件事情一定要注意行列式，只注重这个人的结果好了，这是我们上节课过程当中介绍的第一个问题。然后紧接着我们再来看看下一个问题，行列式的性质是不是上节课的重点啊？上节课的黄金重点就在于什么行列式的性质好了，那么接下来过程当中我们来看看第二个问题，行列式的性质。那么，在这种当中，一定要注意行列式有几个性质呢？

我们一起来看看，总共有五个性质都能记住吗？一定要记住啊，第一个事情叫什么？第一个人叫转置转置呢，不变。转置之后，这个行列式的结果是不变的，然后第二事情叫互换。互换的话，你发现一个事情一定要加符号哎，这是个重点交换两行加符号交换两列加符号，然后接下来过程当中我们再看第三点，第三点叫什么，第三点叫倍乘。

被乘的话，你发现一个事情只能是单行列。对吧，单行单列进行乘，如果给行列式乘上一个数，只能是这一行乘上这个数，或者是这一列乘上这个数。单行单列乘上这个数，那么在这里面当中就有一个重点的推论呐，你这有什么打点的呢？你看我取消，我在复习内容。你如果这些东西你不记得怎么办？去复习哦，好了，

这是这个事情呃，下去过程当中啊。我说一下啊，回头过程当中，我把这个东西啊也传给你们。啊，就这个内容。这前两天过程当中啊，这个数一数二数三同学，他们先上对吧？他们先上这个线性代数说前两章的过程当中啊，这个东西非常的多。公式非常多，所以说在这里面当中啊嗯，我就给你们总结了一下，

其实这些事儿都应该你们自己做的。你现在可能没有什么感觉，到了后面过程当中啊，这个啊，有个填空版的，你去填一下吧，对吧？这个有哪些性质？对吧，还有后面过程当中有哪些运算，有哪些东西等我们讲到这个第二章过程当中，我再把这个东西发给你们可以吧？哎，你包括这里面当中啊，都是跟着我们上课过程当中这个内容啊，

你去来填的啊，所以说后面过程能填一下就行。呃，公式有点多啊，首先第一个事情就说我们才开始学的这个东西啊，知识点确实多。那多的话，你发现一个事情，你多复习一下就行了，像这种东西啊，没有什么难度。啊，说实话，如果是通过记忆啦，通过背诵啦，

你就能把这个东西学好的东西啊，都不难啊，只要你稍微的勤奋一点就行。好了，那么接下来过程当中，我们继续在这里面当中啊，这两条有一个推论叫什么东西呢？行列式的两行或者两列相等，行列式等列。两行成比例或者两列成比例行列式等于零，是不是这个事情？所以说你要注意一下这个问题啊，上节课过程当中有个同学还问过这个事情。上课的时候一定要注意力集中一点好了，那么接下来过程当中我们再来看，

最重要的就是背夹。贝加这个东西啊，是最重要的哎，这是最重要的，一定是什么东西呢？一定是某行。对吧，你发现一个事情给某一行乘上一个倍数，然后把它怎么办加到另外一行？对吧，另外一行。给某一行乘上一个系数，加到另外一行，那这个时候行列式的结果呢？行列式的结果是不变的。

那当然列也行，给某一列乘上k倍加到另外一列，这个东西也是不变的，所以说你发现一个事情在这几条当中啊，哪一条是最重要的呢？就是这一条是最重要的。对吧，这条是最重要的。这个同学。你怎么就记住人家了，对吧啊？这个同学也挺可爱的，我下去过程当中，我还看过你发的那个小红书，对吧啊？

好了，这是这个。某一行乘上k倍，加到另外一行，这个行列式这个结果是不变的，哎，这个行列式的结果是不变的。所以说你会发现一个事情，我们在上节课过程当中啊，有一个非常重要的重点。那这个重点是什么东西呢？这个重点就是高斯消元法。哎高斯消元法。啊高斯消元法，那这个高斯消元法的话，

你发现一个事情核心重点的话，就是利用什么东西呢？行列式的性质。画上三角行列式。对吧，就是来利用行列式的这个性质啊，然后进行去化成上三角行列式，然后来进行处理就行，这是上节课过程当中最重要的一个问题。然后最后一个事情叫做拆分，那么拆分这个东西啊，也叫加和，但是你要注意一个事情，只能是单行列。对吧，

单行列，然后这里面当中一定要注意，其余的行呢，或者是列不变。哎，不能说叫不变，应该是央。对吧，你发现个事情，其余的行列是一样的。你要想，比如说这个两个行列式，要想相加呀，你别的列必须一样，你只能是这一列相加。

行业一样，别的行一样，只能是这一行相加好了，这是这个问题，能听懂我的意思吗？那么上节课过程当中最重要的问题就是这个事情，我把它换成另外一个颜色。这是一个重点吧，你上次过程当中有没有把这个内容多做一做？下去的作业题好好做了吧？好，我们就讲到这，这是行列式的性质非常的重要，那么接下来过程当中啊，我们就正式的开始吧，

我们来看看。今天的核心重点，我们来看看考点四余子式和代数余子式。好了，那么接下来过程当中，我们先来看看第一个问题，余子式。什么叫余子式？呃，讲这个内容，我想通过这个语文的能力来讲。对吧，我一直给你讲句话，叫做中文之华美，对吧？

这个后面那句话就不说了，对吧？有一天过程当中，那个思思跟我那个微信聊天啊，聊的是说你上课经常吐槽吐槽英语对吧？好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看下面的问题啊，中文之华美，那你想想一个事情。什么叫鱼姿势呢？就是余下来的。他儿子。是指的是行列式。你要注意一下这个问题啊，

我们在线性代数当中啊，所有的式都指的是行列式，你要注意这个问题啊。就是你在线性代数当中，我们现在遇到的余子式代数，余子式你将来过程当中还会遇到的k阶子式。都指的是什么？都指的是行列式，所以说在这种当中啊，你要注意什么叫余子式呢？就是余下来的。他儿子这个行列式你发现啊，马上这个东西就出来了，来我们一起来看看这个问题，比如说举个例子，

我们来写一个行列式，我写个三阶行列式。那三阶行列式的话，比如说一二一。五一四对吧？这是一三二好，比如说这个行列式，那这个行列式的话，你发现一个事情，我们先来看看第一个点。对吧，比如说举个例子啊，我们来看看，比如说这个位置。看到这个位置了吗？

这个位置是什么呢？这个位置是第一行第二列。大家注意啊，这个东西是第一行第二列。那第一行第二点余子式怎么写呢？余子式是这样写的mij。要注意啊，是这样写的，好好听课对吧？哎，这个东西怎么写呢？叫mijmij的话，你发现一个事情，比如说m一二。那这个东西叫什么呢？

第一行第二列的余子式，你要注意啊，第一行第二列的余子式。什么叫余子式呢？就是把这一行给去掉，把这一列去掉，你看这叫余吧，这些东西是什么？这些东西是他的儿子。所以说你发现一个事情，把他儿子写到这谁呢？五一四二这个行列式就叫余子式。能听懂吗？你发现中文之华美吗？所以你发现一个事情，

人家这个名起的很好啊，余下来的，他儿子这个行列式余子式。你看起的多好，所以说这个行列式等于几等于零。那么，在这种当中，比如说我们举个例子，我们再来做一个来，再来一个，比如说你看这个人吧。这是多少？这是m二三，那么首先怎么办？去掉这一行，

去掉这一列，剩下谁呢？剩下一二一三。那这个行列式等于几啊？等于一所以说啊，就是第二行第三列的余子式。能理解吗？好，这是这个问题，那么接下来过程当中啊，我有一个问题啊，你比如说我们再算一个，比如说我们来算一下这个人。那这是谁呢？m三三。

那么就是去掉这一行，去掉这一列，我问你个事情。这个点触到余子式，跟这一行和这一列的元素有没有关系啊？有关系吗？你告诉我有没有关系？就是这个点处的余子式跟这一行这一列的元素有没有关系啊？没有关系吧，你发现一个事情，你看我把它改一下，我改成什么东西呢？我改成呃AB呃，改成这样吧。xyz wh，

你看我改成这样，我改成这样的话，你发现一个事情，你这个位置处的余子式变了没变？没有变吧，仍然是多少一二五一是不这个结果，所以说你发现等于负九。所以同学们一定要注意啊，某一个点处的余子式跟这一行和这一列的元素没有任何关系。这个很好理解吧，要注意啊，这个位置处的余子式跟这个点这一行这一列的元素没有任何关系。你爱是多少就是多少，没有任何关系好了，那么接下来过程当中我们再来看看第二个问题，

代数余子式。啊代数余子式那么在这种当中出现了一个问题代数。那什么叫代数余子式呢？代数余子式往往用aig表示。啊，用这个人表示那所以说你发现一个事情就是余子式这个东西啊，它应该是个代数的问题，那代数问题啊，有一个系数。这个系数是多少呢？负一的I+j。大家注意啊，代数余子式要比余子式啊更加的重要一点，它的前面过程当中多了一个多少负一的a+j倍。那比如说举个例子，

我们还是这个人。啊，还是这个人好，我们来看看这个人。呃，比如说你想算哪个？选一个吧好，我们还是算这个人可以吧？算这个人，那这是第几行第一行第二列，那这个时候的话，你发现前面的过程当中要乘上。负一的一+2，那这时候怎么办？我就把这一行给去掉这一列，

去掉剩下的这个行列是多少五一？四二是不是这个情况，所以说你会发现一个事情，这个时候就不是六了，而是多少，而是负六。能理解我的意思吗？哎，你发现一个事情不是六了，是负六。好，这是我们讲的这个第一个人，然后接下来过程当中，比如说我们再算这个人。哎，

这个人你发现这是第二行第二列，那就是负一的多少二+2倍？来余掉它幺幺幺二，是不是这个情况？那么再来看，那这个结果等于多少呢？你发现这是二，这是一，而这个前面是正的，就是一。能理解吗？所以我们就明明白了一个事情，你这个I+j啊，是个偶数，那余子式和代数余子式就相等。

如果I+j是个奇数，这两者之间呢，互为相反数啊，这个非常简单，那另外一个问题，我再想强调一个事情。你这个点处的代数余子式跟这一行和这一列的元素有没有关系啊？没有关系吧，好注意一下这个事情啊，我把这条内容我给你注到这儿，这非常重要，有人说这不好简单嘛。你一会的话，你发现就非常简单了啊，你好好听啊，

一会就非常非常重要了，注意。某点处。的代数余子式。与该点。所在行。所在列。无关啊，元素无关。诶，这件事情一定要注意啊，某一个点处的代数余子式跟这个点所在的行列的元素。没有任何关系好了，这个内容非常非常的重要啊，相当的重点的一个内容没有关系啊，

没有一点关系，等我一下啊。我把这个拖长。感叹号有点。不要了吧？哎，这样刚刚好。要注意某个点处的代数，余子式跟这个点所在行所在列的元素没有关系。也就说我改变这一行，我改变这一列的元素，对于这个点处的代数余子式会有影响吗？不会有影响的。你比如说我去求a二二，我把这一行这一列的东西啊，

你把它改了，它的结果仍然都是一这条内容很很简单吧。哎，非常简单，非常简单。好，这是我们讲的这个第一个重点，余子式和代数余子式，那么接下来过程当中我们就可以学习啊，今天过程当中最重要的内容了。行列式的展开新定义。那这个展开定理啊，行列式的展开定理有按行展开定理有按列展开定理，那么在这种当中啊，我们来写一个。

不要写n阶啊，写n阶的话，你发现非常的麻烦，我们的考研过程当中顶多考几节，顶多考到四节。就如果纯算一般都是四阶，当然n阶也有可能性非常特殊的会考n阶，所以在这种当中啊，我就给你写个四阶的行不行？可以吗？能说明问题就行，来我们一起来看那这个人的话，你发现第一行第一个第一行第二个。第一行第三个第一行第四个第二行第一个第二行第二个第二行第三个第二行第四个。然后接下来过程当中，

第三行第一个，第三行第二个，第三行第三个，第三行第四个，第四行第一个，第四行第二个。第四行第三个第四行第四个好，这样的一个行列式。那么，接下来过程当中，我们来看看这个行列式的，展开性的定理是什么呢？我们可以通过展开的方式去求解这个行列式。那么，在这种当中，

它有暗行展开。也就说这个行列式会等于多少呢？你随便的选一行。大家注意啊，随便的选一行，你爱选哪一行就选哪一行，比如说我们选哪一行，我选第一行就行吧。那这个行列式就等于多少呢？这个行列式等于第一行的元素乘上这个代数余子式。这个元素乘上这个代数，余子式这个元素乘上这个代数，余子式这个元素。常以代数余子式。这叫暗行展开定理。

随便的挑一行，这一行的这个元素乘上它的代数，余子式的线性和就是这个行列式。这叫暗行展开定理。所以说你会发现一个事情，我们就需要干嘛呢？这个点在乘上这个代数余子式，这个点乘上代数余子式。这个点乘上代数余子式把它加起来，那这个结果就出来了。能理解我的意思吗？那么当然，在这里面当中的话，你发现你能不能选第二行啊？也可以啊，

随便的选一行任意一行就行了，你选这一行也行，那这一行的话，你发现就是第二行的第一个产品。乘上它的代数，余子式第二行的第二个乘上它代数，余子式第二行的第三个乘上代数，余子式第二行的第四个乘上代数，余子式。随便的选一个，当然也可以选第三行，那么同学们想想一个事情，我们能不能案例啊？列也行啊，你发现一个事情随便啊，

你也可以选列，你看你可以选这个人。选列的话，你发现一个事情，我们就把这个东西我给删掉，可以吧？我写一个行的，写一个列的，你就知道随便选一行，随便选一列。那选列也行，第一行的第一个。然后是第二行的第一个。第三行的第一个。然后是第四行的第一个。

好，这个所以同学们注意啊，只要随便的选一行，用这一行的元素乘上它的代数，余子式的线性和就行。随便的选一列，用这个点的元素乘上它的代数，余子式的线性和就行，那求出来的结果就是行列式的结果。那同学们想想一个事情，我们的选择标准是什么？啊，你想想一个问题，我们选择标准是什么呢？大家注意什么样的选择标准呢？

哎，非常好，说的非常棒，磷比较多。对吧，选择标准第一个事情零多。的行获利。或者零你想想一个事情，如果你这个元素是零。你如果这个元素是零，你这个元素，你看这个元素是零，这个元素是零，元素是零，这项就没了，

元素是零，这项就没了。所以说零多的行列当然展开简谈。那第二事情如果不说，那其实就是什么一般化，你发现第一行。首行。或者零呃，这是我们一般的选择标准，当然的话，你发现零多的行的列，这是我们一般选的。要不然就是首行啊，或者是呢，这个列。

都可以好了，那么接下来过程当中，我们来看看这个事情吧，来做一下这个题。那么来看看这个题怎么做？那么这个题啊，他说让我们进行去利用行列式的展开定理去求解这个行列式。怎么做好？我们先来看看第一个事情来解吧。好，先看这个题。怎么处理啊？当然的话，你发现一个事情，我们上节课过程当中学过一种方法，

上节课的方法是高斯消元法。那么，接下来过程当中，我们看看这节课呢？第二行也无所谓了吧。你第二行的话，你发现哪一行都行。哈，其实你发现选第一行，第二行，第三行都没什么区别，哎，没有什么区别，当然的话，你发现这个题的方法比较多。

方法，一流沙法。方法二，高斯消元法。对吧？高斯消元法方法三行列式的展开定理。利用展开定点来做。所以说这个题的做题方法非常的多，那么接下来过程当中，我们一起来看看吧，这个行列式等于多少？你选谁呀？我们就选择第一行，行不行？可以吧？

我们就选第一行，第一行的话就是二再乘上第一行第一个代数余子式。然后再加上负三。负三再乘上第一行的第二个代数余子式。然后再来看看二二乘上第一行的第三个代数，余子式，那么接下来过程当中，我们看看第一个人，那这就是负一的一+1。负一的一+1的话，你发现就是这个行列式，那这个行列式等于多少？那这个结果的话，你发现刚好是负三。然后这是多少呢？

这是四，所以说这个结果就等于负七。然后接下来过程当中，我们再来看看负三，然后是负一的一+2倍，那就是去掉这一行，去掉这一列，那这个结果是多少？三然后这个结果就是五。再来看第三个人是负一的，多少一+3倍，一+3倍的话，你发现一个事情就是这个人，那这个结果是多少呢？那这个人是四，

然后减去二那这个结果是二跟得上吗？同学们，所以说在这里面当中啊，你发现一个事情第一人是多少？负14，然后的话，接下来你发现负负得正，那这是失误。对吧，这是负负得正，然后最后一个人呢，那这人是六。因此，这个结果刚好等于七。没问题吧？

好了，这是这种方法。其实你发现一个事情，我觉得这个题啊，你这几种方法都没有，哪种方法快呢？好，我们再来看看。第四种方法。你相对比而言的话，你发现一个事情，我们继续来看。啊，第三个是哪个？哦，

这是二是吧？哦，这是二。那二二得几得四？所以说这个结果等于五好了啊。那么，接下来过程当中，我们再来看还有什么方法呢？哎，你发现一个事情，你可以打一套组合拳。什么样的意思呢？你发现个事儿，你看这个题。对于这个题而言的话，

你发现我如果在某一行过程当中，我削上两个零。对吧，我们消上两个零，我消上零，如果零比较多的话，展开就会非常简单。你所以说在这种当中，我怎么办呢？我一看。我用这个负一左边消一个零，右边消一个零不就非常完美吗？所以说这个时候你发现看我就把这个人消成零。我把这个人消成零，我往左一加你变成零，

我往右一加你变成零，所以说对于这个题而言的话，你看这是负三。负一，然后这是四加过去，这是零加过去，这是二加过去，这是负一，然后加过来，这人又是零，那加过来，这人是七，你加过来，这人是负一哎，飘过来。

漂亮，那这个时候你发现在这一行当中就出现几个零两个零，我就按照这一行再进行展开，不就非常完美吗？你看这个事情，所以说这个时候的话，你发现我就直接按照第二行展开。零乘上代数，余子式不写了，然后就是负一乘以代数，余子式，然后是零乘上代数，余子式不写了。所以说就是负一，然后是负一的二+2不写了，

然后就是剩下的这个人，那剩下多少剩下是负一二？负一七，所以说最后结果等于几啊，等于五。那这样的一种方式的话，你发现可能会更快一点，对吧？基础方法。对吧，所以说在这里面当中打了一套组合拳。我又进行去高次销员，然后在这里面当中，我又进行行列式展开。所以说对这种题而言呢，

你某一行过程当中只有一个人不为零，我按照这一行展开，当然简单。能理解吧，哎，当然的话，你发现这都是非常基础的方法。都得会啊，都需要会，无论用哪种方法对我们三九六同学都无比的重要。好了，这是这个事情，过去了可以吗？所以一定要想清楚。某一行或者是某一列原该点的元素，

乘上它的一个代数余子式的线性和那么这个东西呢，就变成了它的什么，就是它的行列式的结果。要注意这个特点啊，好了，这是这个事情。你怎么还一定要进行去取一个名呢？组合法啊，组合法。没有必要吧，对吧？你不一定说的话，你一定要把这个方法四起个名，那你想给它起个名也行啊，好了，

这是这个事情那。那么，接下来过程当中，我们就继续开始了。你们现在状态怎么样？啊，现在状态怎么样？非常好吧，哎，状态非常好吧，好了，拿出你今天最好的状态，然后来听下面一个知识点。非常重要，那么接下来过程当中，

我们来看看一点一零这个题，这是我们在这章过程当中啊，最重要的知识点的三大块，知识点当中的第一块知识点。三大波知识点当中的第一波好，我们先看看第一个内容。他说我在这里面当中给了一个四阶行列式。然后怎么办呢？我让你继续去求解第一行第一个代数余子式。第一行第二个代数余子式第一行第三个代数余子式第一行第四个代数余子式。我让你去把这四个代数余子式都算出来，然后再加起来。怎么做啊？你发现一个事情方法一。方法一怎么做呢？

方法一的话，你发现硬算。是不是啊？硬着钢塔，你怎么做？你看第一个人，第一个人进行去算它的代数，余子式的话，你发现你就要算一个三阶行列式。第二个人呢？继续算一个三阶行列式，第三个人呢？继续算第四个人呢？继续算那还考个鬼呀？那觉得就没什么可考的了。

你这在考研过程当中啊，你就没啥可考的。你发现一个事情，你要算四个三阶行列式，那在两分钟范围内，你能做得完吗？那所以说对于我们三九六同学而言，你像做这种题啊，肯定是废了。绝对是废了好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个问题。那么，在刚才过程当中啊，我们就讲过这个事情。

大家注意，我们一起来看看这个事。大家听好了这种题叫什么题呢？它让我们进行去算的什么？算的是第一行第一个代数余子式，第一行第二个代数余子式，第一行第三个代数余子式。第一行第四个代数余子式，那么这种考题叫什么呢？好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这种考题的形式，叫做某行或者某一列。代数余子式的线性和问题。不，

这是黄金考点。某行或者是某列。代数余子式的线性和问题。大家注意啊，我再说一遍，就是某一行或者是某一列代数余子式的线性格问题。我让你求的是这一行的代数余子式，它的线性和问题对吧？你前面过程当中可以有系数。线性和问题可以有系数，那么对于这个题而言的话，你发现我们求的是什么？我们求的是一倍的，它一倍的，它一倍的，

它一倍的，它。一倍的谁呢？一倍的a幺幺，一倍的a幺二，一倍的a幺三，一倍的a幺四。这一行代数余子式的线性和问题，那么接下来过程当中，大家思考一下。我们刚才就讲过这个问题诶。这个点处的代数余子式跟这一行元素有关系吗？跟这一行元素是不是没有关系？是不是啊？这个点处的代数余子式也跟这一行没关系，

这个人呢？跟这一行没关系，这个人呢？跟这一行没关系，那么同学们告诉我事情。请问我把这一行元素，我把它变了。我把这一行元素变了，当然这个行列式就有可能变了。行列式肯定有可能变了，但是你要注意这些人变了吗？有没有变？没有变吧，无论你这里面当中填什么元素，你这几个人都不会改变。

都是一样的，你就比如说举个例子吧，你写个xyzw。变了吗？没有变吧？或者你怎么写呢？你就写。新歌牛逼。你发现一个事情，这个东西变了吗？也没有变。所以说你就会发现个事情，无论在这一行过程当中，你填什么这个东西都不会变的，但是你想想一个事情，

你最希望这个东西。填多少？你希望在这填多少呢？无论你填多少这个东西都不会变，但是你想想一个事情在这里面当中填多少的时候，这两个东西刚好相等呢。哎，你发现一个事情，刚好填它的系数。你刚好把它的系数填到这。那系数填到这的时候的话，你发现一个事情，那这不就相当于暗行展开定理吗？这个人的元素乘上他的代数，余子式这个元素乘上代数，

余子式这个元素乘上代数，余子式这个元素乘上代数，余子式。你发现没发现这俩玩意儿不就相等了吗？能理解吧，所以说你就会发现一个事情，这个操作非常非常的简单。你要想计算某一行的代数，余子式的线性和你就可以把这一行的元素啊换成它的系数。那这个时候的这个行列式就等于这个人。你只需要计算出来这个行列式，你就相当于计算出来了，这个代数余子式的线性和。能理解吧诶，非常非常的重要。

所以同学们，你想想一个问题，你看如果把这个人换成了系数一乘上代数余子式一乘上代数余子式。一乘上代数余子式，一乘上代数余子式，不就是行列式的展开性定理吗？这就是这里面当中的操作性方法。能理解吧，那么剩下的东西啊，就是来计算这个行列式。所以说在这种当中啊，我们来把这个问题点呢，我们相当于给同学们进行去总结一下，好，我们一起来看看这个事情非常简单哦。

那么，如果在这种当中，你发现我给你一个n阶行列式。那么给了一个n阶行列式的话，你发现这是第一行的第一列。第一行的第二列，然后这是第一行的第n列，那么下去过程当中这是第I行的第一列。这是第I行的第二点，然后你发现个事情，这是第I行的第n列，那么下去第n行的第一列。第n行的第二点，然后这是第n行的第n列。好，

我给你了这样的一个行列式。我给你了这个行列式，我让你去求什么东西呢？我让你去求。求什么东西呢？求这个x1倍的第I行的第一个。x2倍的第I行的第二个一直加到xn倍的第I行的第n个。你想想一个事情，这东西在求什么呀？求解的就是第I行代数，余子式的线性格，那这个东西等于什么呢？我们都知道一个事情。这个代数余子式的线性和跟这一行的元素没有任何关系。对吧，

这是第几行？我们都知道这是第I行。对吧di行那di行的代数余子式的线性和就跟di行的元素都没有关系，无论在这里当中填多少那。那这里面当中的代数余子式都不会改变，那你填多少的时候最简单呢？当然是来填它的系数。把这个人的系数填过去x1x2x。你发现把这个系数啊，填到这把系数填到这了，有什么好处呢？你发现无论这是多少，这个代数余子式都没有变。当你填系数的时候的话，就是s1乘上di行第一个s2乘上di行第二个SN乘上di行第n个，

那这个时候你发现个事儿，这两者不就相等了吗？一定要注意这个事情啊，要想清楚。你看吧，你要知道我每节课过程当中啊，虽然讲的东西简单一点的东西啊，我只要铺垫的内容。都很重要，你现在回看一下这句话重不重要？重要吧，相当的重要。就是某点处的这个代数余子式啊，跟这一行这一列的元素没有任何关系。对吧，

一点关系都没有。什么关系都没有。所以说你把这一行的这个元素给换掉，它的代数余子式根本不会发生改变。好了，这是行列一样表。列也是一样的吧，如果求解的是某一列呢？某一列的话，你发现一个事情仍然是这样做的。能理解吧，好基本点。要注意啊，某一行的代数余子式的线性和问题，就把这一行的元素换成它的系数，

那这时候的这个行列式啊，跟它相等。那某一列的呢，也把这一列换成它的系数啊，非常简单，好了，我们再来看一个题吧，比如说我们看看一点一一这个题。来看这个题。但这个题你发现就不一样了，它让我们求的是什么呢？它让我们去求的是第一行第一个。第二行第一个第三行第一个第四行第一个，但是你要注意一个问题，人家让你去求的不是代数余子式。

人家这个题让你求的是什么余子式哎？那怎么办？你会做余子式吗？我不会，你会做的是什么？你会做的是代数余子式。所以说这里面当中啊，你就把这个余子式换成代数，余子式不就行了吗？哎，这个人。什么意思呢？就说如果这个a+j是偶数倍，那这两个东西是相等的，如果这东西相加是奇数倍，

那这个人呢？你发现一个事情就成相反数。所以在这种当中啊，首先第一件事情我们来换了m1，然后这是m二一，然后这是m三一。然后这是m4e好这个人。一+2这个人是偶数，偶数是相等。一+2是奇数。奇数乘相反数。然后三+1是偶数，这两东西是相等，然后四+1是奇数，这两东西成相反数。

好了，这个题啊，立即变成了这样子，变成这样子了，之后的话，你发现一个事，我们要求的是什么？我们要求的是第一列。代数余子式的线性和。对吧，第一列代数余子式的线性和那第一列的代数余子式线性和的话，你发现个事情，我们怎么去操作呢？那非常简单，我只需要把这个第一列这个东西换成它的系数就行。

为什么呢？因为第一列的元素，我的代数余子式跟这个第一列元素没有任何的关系。什么关系都没有。对吧，没有关系。那没有关系的话，你发现个事情，我们就稍微的改一下就行，把这个改成系数改成多少改成一改成负一改成一。改成负一。只要这样一改，就相当于按照第一列展开。能理解吧，你想想一个事情啊，

这个行列式按列展开是多少一乘上第一行第一个？负一乘上第二行，第一个一乘上第三行，第一个负一乘上第四行，第一个。那这两个东西是不是相等的啊？非常简单，你这样一转呢，你发现剩下的事情啊，就是来求解行列式了。所以难度系数都不是说特别高。啊，会了吗？同学们。基本点啊啊，

我相信同学们一定会把它掌握清楚的，这个在考研过程当中啊，还比较重要一点啊，一定要注意一下这个问题。来吧，那么接下来过程当中，我们来算算这个人吧。好，我们来计算一下。来解吧。怎么做啊？那这个东西的话，你发现剩下的内容就是我们上节课的部分的知识点啊，来一起来看吧，怎么做高次消元法吧。

那高斯消元法的话，你发现就以第一行为基准。然后把这个元素干成零，然后把这个元素干成零，把这个元素干成零。负一倍加下去，减去上面减去上面减去上面减去上面。然后继续加下来，这是零加下来，这是四加下来，这是二加下来，这是四，然后减去二倍，这是零。二倍，

这是负六减去二倍的话，你发现这是多少减去二倍的话，这是负三减去二倍，这是负五好这个人。然后接下来过程当中，我们就继续当然这个题啊，你可以换种方法来做。你可以怎么做呢？因为第一列都是几啊，因为第一列只有第一个元素是一，你可以按照这一列进行展开。你可以按照这一列展开。当然，在这个题当中啊，你还可以换一种方式，

你按照上节课讲的内容来做，行不行啊？都行，你想怎么做就怎么做。你爱怎么做怎么做，你可以按照第一列展开啊。因为这一列的过程当中，你发现只有这个元素怎么办？只有这个元素不为零，那么就是一乘上它的代数余子式，剩下都是零。所以说这个时候你发现它的代数余子式就是这个行列式。对吧，就做成这样了。那么做成这样了之后的话，

你发现你再把这个负六倍加过去。你负六倍加过去了之后的话，这一行又只有一个人不为零，又可以展开了，所以说这个时候呢，你发现一个事零。四啊，这是负六，然后这是负一，这是二，然后这是负三，减去这个人六倍，那这人是零。减去六倍，那这是负八减去六倍，

三六一十八啊，这个人一加这是十三。没问题吧？好，这个结果就做成这样了，你当然在这里面当中，你可以把这个公因子提出去，可能会更好一点。对吧，这个事情都行，你无论怎么做都行，你可以把这个人的啊，这个是负六倍加过去啊，三六一十八刚好是它。所以说这个时候啊，

你又可以按照第一行进行展开，那就是负一乘上它的代数余子式。负一的多少一+2倍，然后剩下的一个部分多少四负六负八，然后这是13。好，这个题啊，就出来了。能理解吧诶，所以说你发现一个事情，今天过程当中啊，这是方法二。你可以按照上节课的这个方法来做也行，你怎么办呢？你就顺着这个东西啊，

继续做啊，这是第二种方法，算了，我都讲讲吧。行不行？都讲一下来呃，再来看看这个方法，一方法一就继续做。继续怎么做呢？你发现一个事情，我们做到这一步了之后的话，我们还可以继续来。那就是我们上节课的思路了，那么上节课的思路的话，我们继续看，

你看这一行当中有公因子，把它提出去。提出去了之后的话，这是二然后的话，这是二然后这是一然后这是二。没问题吧，那么接下来过程当中看看这三个人用谁去消简单呢？零得在下面吧，所以说这个时候啊，你把这一行。和这一行调换一下，你可能没有我写的快啊，你下去过程当中再整理好这个人。然后再把这个人的3倍加下来，这是零。

三倍加下来，这是零三倍加下来，真是一所以说这个结果它就立即变成了一个上三角形的行列式。那这个上三角形行列式等于多少呢？它就等于负二，然后再乘上负二，那这个结果等于几就等于四。两种方法都行，你按照上节课讲的，化成上三角形行列式可以做，你可以按照这节课的方式来做，你可以怎么办？哎，在这里面当中，按照这里面当中只有一个人，

不是零按照这一列展开，然后接下来过程当中，你可以再把这个人干成零，又可以进行展开。都行，两种方法。会了没啊？这个结果一样，也等于四。好了吗？同学们掌握清楚给我回复一。啊，基本提要。所以说大家注意啊，要会灵活的应用。

一件事情的话，你就是把它画成一个上三角，一条路吃到黑，另外一种方式的话，就是你可以使用组合拳。你怎么办呢？呃，既可以进行去行列式的展开，又可以利用行列式的性质进行消零。行列式的性质帮着你修理。行列式的展开，然后把这个行列式啊的阶数往下降啊，这两种方式都行来继续吧，再看这个题。好，

再来看看这个题。呃，这个题怎么做那么首先第一件事情还是来消元吧好，我们继续来看，以第一行为基准。一负二一。一倍加下去变成零一倍，加下去变成负四一倍，加下去变成二一倍，加下去变成负四。然后再来减去上面是零减去上面是八减去上面的话，这人是负一减去上面这人是二。加下来，这是零加下来，这是负九加下来，

这是一加下来，这是负二。没问题吧，好做成这样了，那做成这样了，之后的话怎么办呢？你可以继续来看呢，那这个时候的话，你发现如果一会儿用这三个人进去去削，这是很麻烦的。对吧诶，这个人进行销魂，麻烦我就来展开，我展开的话，你发现一个事情，

我按照第一列展开。第一列展开的话，只需要这个人。一这个人乘上它的代数余子式就行。所以说啊，在这里面当中，我们只需要怎么办？我只需要进行去求出这个行列式就行。第一行第一列是正的嘛，所以说只需要求这个行列式。那么，求这个行列式的话，之后我们再来看你，再看这个人。那这个行列式的话，

你发现看二这是负四负一，这是二一，这是负二，你看这个人的话，你比如说这人乘上负二倍，是它这人乘负二倍，是它这人负二倍，是它。很明显一个事情哦，这两列怎么了？成比例呀，两列成比例行列式等于零。能理解吧诶，行列式成比例，行列式等于。

所以说你会发现一个事情，你去计算这个东西的时候非常的巧啊，非常巧。所以你在做题的过程当中，你可以一条路吃到黑。啊，在这里面当中一定要注意啊，你可以一条路吃到黑，你永远把它画成一个什么上三角。可以一条路吃到黑，或者怎么办呢？一旦把第一个人下面都变成零的时候，你再展开展开之后就变成了三阶三阶就好对付了。能理解吧好，这是这个问题。

你要没有观察出来也行。你要没有观察出来怎么办？你再慢慢做呗。对吧，没观察出来的话，你发现呃，很明显这三个人比较简单。你可以怎么办呢？你要是没有观察出来，你就让用这个负一把，这个人刚成立，把这个人刚成立。往下一加，这人是零，往上二倍一加，

这人变成零，然后就是剩下的这个行列式。能理解吧呃，非常简单哦，怎么做都行。能听懂吗？怎么做都行，非常的灵活，不要太刻意听懂吗？你不要说在这种当中，我一定要怎么样那那不需要。就是在这里面当中，它是一个非常灵活的事情，我再强调一遍啊，这个行列式的这样的一个计算，

它非常的简单。但是这点当中我觉得比较重要的一个问题是什么呢？就是刚才过程当中我们讲解的这个黄金考点内容不行，我得加上绿色。诶，加上绿色。就这个人，这能麻了吗？这才哪到哪呀？就是无论学一个什么东西，永远都有这个麻了，这这这有啥麻了呀？这是一个小学二年级的一个水平啊，这是这个问题。好了，

这是这个点吧，所以说同学们注意啊，这个事情黄金考点某一行或者某一列代数余子式的线性和。能理解吧，某一行某一列代数余子式的线性和我先问你个事情，这个东西掌握清楚了吗？啊，这个东西啊。这个东西掌握清楚了吧？好，只要你把这一页的这个东西给我掌握清楚了，它就可以了。至于剩下的这个计算呢，我从来不担心。哎，

我不会担心你这个计算的将来过程当中每一个同学都会做这种计算。这种计算呢，你可能是第一遍，你觉得你慢一点，将来到了这个什么这个强化班冲刺班的时候，你发现一个事情，这个页面我从来不担心。我担心的是知识点，你没掌握清楚。好了，这是这个问题吧，我们就说到这，那么接下来过程当中，我们再来看看下面一个问题，我要讲一个知识点。

知识点唉，讲一个知识点。那么，在这种当中，我们来看看一个重点，大家好好听。你不用担心你的计算啊。你担心你的计算啊，你下去过程当中多算一算。哎，多算一算呃，我强调一个问题啊。你比如说有些同学的话，每天过程当中都在说啊，我运算能力好差，

运算能力不行，大家注意你每做的每一道题。你所做的每一道题，把它做到最后的一个结果，长时间坚持下去，你就能提高自己的运算能力。而不是说我们进行去刷一本计算的书。而不是说我们怎么办？纯做计算题，你纯做计算题，你考试过程当中，你也上不去的。这我们三九六同学，你发现一个事啊，你一个事情你要有知识点，

你要有知识，你要有方法，然后再有计算，这三者齐备，你才能考高分。你光用那种啊，单独的说什么，我去积一个，这个分积一个，这个人你发现考试过程当中，它不是这样子的啊。好了，这是这个事儿吧，我们就讲到这儿。来那么接下来过程当中，

我们继续看一个问题，大家好好听啊，认真来。如果这是第I行的第一个。乘上第j行的第一个代数余子式。再加上。第I行的第二个。再乘上DJ行第二个代数余子式。再加上di行的第n个乘上DJ行的第n个代数，余子式告诉我事情，这个结果等于多少？等于多少啊？你来看看这个事情啊。这是第一行的第一个。然后这是第一行的第二个。

然后这是第一行的第n个。那么然后的话，你就发现下去，这是第I行的第一个。第I行的第二个。第I行的第n个。然后继续下去，第j行的第一个。第这一行的第二个。第j行的第n个再下去，第n行的第一个。第n行的第二个。第n行的定义非常简单啊，就是你不要看起来复杂。来同学们告诉我个事情，

这个结果等于多少？你发现没发现这是什么题呀？这不就是某一行代数余子式的线性和问题吗？他用这个人乘上我的代数余子式，这个人乘上我的代数余子式，这个人乘上我的代数余子式。这不就是哪一行的代数余子式线性和。这不就是DJ行代数余子式的线性和吗？是不是啊？这不就是DJ行的代数余子式线性好吗？那你想想一个事情，你这个人是。什么时候才相等呢？就把这个DJ行的元素给我换成几把，这个元素稍等一下。

把这个元素给我换成几呢？把这个元素换成它的系数来系数AI 1 AI 2。ain那这个时候你发现一个事情，行列式两行相等等于几？能理解吧，一定要注意啊，这个人乘上别的行的代数余子式呢，那这个人的线性和就会等于零。能想清楚吧啊，这非常简单啊，就说这一行的元素，乘上这个人的代数，余子式行列式这一行元素，乘上别的行的代数，余子式呢，

它就等于零。哎，能理解吗？非常简单啊，所以接下来过程当中，我给你教一种装逼的写法，好你好好听啊，怎么装呢？就这样装。那么，这里面当中就要分类了来打开。如果这个I=0。I=j，那就是这一行乘上这一行的代数余子式，这一行乘上这一行代数余子式。

就等于行列式，如果这个I不等于j呢？你发现就是这一行乘上别的行的代数余子式。等于零，你现在能看懂吗？诶，这就是我们所谓的一般看到书籍里面当中都会这样写啊。能看明白吗？就是这一行乘上这一行的，它等于行列式这一行乘上别的行的呢诶，你发现一个结果就等于零。就是这个问题能理解吗？你能听懂意思吗？哎，听懂意思就行啊，

这个。行吧，那么这个行列式的展开定理啊，我们就讲到这。呃，所以说我们在考试过程当中啊，往往喜欢把这个行列式的这个展开递理和这个行列式当中的性质，利用高斯消元法的这个性质啊，把它进行去组合。一起进行去考试，这个解决一个行列式的问题，所以下去过程当中好好想想这个问题啊。跟得上吗？好了，这是这个事情，

我们自己乘上自己的这个代数余子式啊，这个线性和它就等于行列式，这一行乘上别的行的代数余子式呢？线性和呢等于零。啊，这个人好了么好。啊，基本问题啊。行吧，过去了，我们再讲一个再休息可以吗？因为这节课的话，你发现到了现在啊，这个内容点不是说特别多。我强调一个问题啊，

我强调一个事情。呃，你们可能的话，有些同学可能是零基础的同学。你们才学第一遍，你没什么感觉。就跟昨天晚上的话，这个数一数二数三同学的话，他们现现在是刚好去讲那个方程组。我说了一个事情，你可能现在没有什么感觉，所以我现在把经验教给你，你听话。你一定要听话好吧，一定要听话，

一定要注意啊，线性代数这门课程可能跟你的高等数学的这个学习不一样。跟你的概率论那个学习不一样，你比如说举个例子，你今天这个课程学完了之后你不整理。你下次过程当中听了，好像上节课的知识点，某个知识点给忘了，但是你依然能听进去。你还是能大致的能听明白，但是你要注意学线性代数，可不能这样，你学线性代数的话，你发现你上节课这个知识点你不整理，你下节课过程当中你就会发现有一堆知识点，

你串不上来。你就会有一堆知识点串不上来。我们现在才讲到这个行列式啊，你可能没什么感觉，等你学到矩阵，你学到向量，你学到方程组，你就会明显的感觉出来了。所以说大家注意，我一直给你强调一个事情，你还记得上节课过程当中我讲过一句话吗？你可能都给忘掉了。我说这门课程呢，它的非常大的一个突出性的特点是什么呢？就是新知识比较多，

尤其是关联性比较强。它关联性非常强。对吧，你发现这里面当中每个部分的这个东西啊，你发现关联性都非常的强。所以说大家一定要注意啊，就说我们在学习这个问题的时候学一节，一定要整理一节，学习一节，整理一节。能听懂我的意思吗？你整理完了之后，你下节课再听的时候，你感觉到非常爽，你就会发现哇线性代数真的好巧妙。

好了，这是这个事情，我们就讲到这来继续，我们再来看一个问题，下面过程当中啊，我们来看一个特殊的行列式啊，这个非常简单啊，大家听一下就行。我们来看一个人叫做范德蒙行列式。find网啊。瞌睡了，你强迫自己干嘛睡呀啊？反正总会有人考上啊。好了，这是这个事情，

那么接下来过程当中，我们来看看范德蒙行列式。呃，这个东西喜欢看吗？啊，你看喜欢吗？哎，你发现一个事情，你看喜欢看吗？这个人呐。那所以说你发现一个事情，这个东西就非常恶心。那么因此啊，如果你就写一个n阶的，看起来其实非常的恶心。

那么，在这种当中啊，我们一起来看看下一个问题，你写个四阶不就行了吗？你不一定说我一定要进行去写个n解，我在这里面当中啊，写个四解就行。啊，你比如说举个例子，我们写一个四节。那么，什么叫做范德蒙行列式呢？其实极其的简单。不要晃神啊，好，

我们先来看看第一个人。假设这是一，然后这是x1，这就是x1的平方，这是x1的三次方。如果这是一，这是x2，这是x2的平方，这是x2的三次方。如果这是一，这是I3，这是I3的平方，这是I3的三次方，如果这是一，这是I4。

这是x4的平方，这是x4的三次方。是不这个人呐诶，大家发现没发现，其实你发现这个一不就是这个人的零次方吗？一不就是这个人的零次方吗？零次方零次方，所以说什么是范德蒙呢？首先第一个事情你要注意它的特点。它的特点是从什么东西呢？从一个人的零次方。到它的n- 1次方，这是你要注意的啊。从一个人的零次方到一个人的n- 1次方。这是它非常重要的一个特点。

这个特点要记住，把它标出来。它的特点是从一个人的零次方开始。到这个人的n- 1次方。零次方开始到它的n减，一次方要注意啊，是一定是n- 1次方。好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个问题。它怎么算的呢？它算非常简单，大家不要慌言啊，你瞅准一点，这个人是不是关于x1的？

这个人是不关于x2的。这一列是不是关于x3的？这一列是不是关于x4的？好了，注意一下啊，你选一个方向，你选这个方向，或者选这个方向都行。选一个方向好了，我们假设选这个方向吧，那么怎么算呢？先选x1。s1这个人怎么了？被s2减。对吧，

你看你被x2-1下，你又被x3-1下，你又被x4-1下，好，我们都减一。都减你，你没有效了，老该你了，该你的话，你发现个事情，谁减你呢x3-1？然后是x4-1。能听懂吧好，你又没效了，接下来过程当中该谁了x3了x4再见你漂亮没有了。

能学会吗？好，非常的简单。就是选一个方向，每个人都剪一遍，它就可以了。选上一个方向，每个人都减一遍就行，你选什么东西呢？你发现看我选s1s2-1s3-1s4-1好你没有用了。然后再选s2i3-1i4-1，你没有用了，然后选i3i4-1。能理解吧，好这个同学问为什么为什么你可以去证明？

为什么你可以进行去证明？哎，这个内容你可以去证明，我相信对我们三九六同学没有多少同学对这个事情有兴趣的，因为你们考的都是。选择题。像数一数二数三，同学也不需要证明，知道这个人怎么算就行了。这个事儿可以证明。可以证明的。这个证明的话，你发现你要想证呢，我上次不是给你发过那个课本吗？你去看看那个课本，

课本上有证明吗？所以说你发现这个东西就叫范德蒙行列式。所以范德蒙行列式是怎么算的呢？大家一定方向当然是一样，你可以选一下，你反着选一样。都可以有，怎么选都行。那么，在这种当中，我们一起来看看这个事情，所以你就会发现它怎么算的呢？它就是任意两个人进行做差。任意两个人进行做差。任意两个做差的话，

你发现这俩人不相等，所以说这个符号叫做连乘符号。你就不用看这个人了。能听懂吧，不要看这个人了，你就在这里面当中连乘符号，任意两个人做差再相乘。好，这个问题好了，这是这个事情吧啊。怎么能没发呢？那上次过程当中不是还给你布置了几道那个课本上的题吗？没有做吗？行吧，好过去了。

呃，那么接下来过程当中，我们一起来看看吧。我发了，你自己自己去找找啊。没有吗？哦，我下去问一下吧，我传给助教了呀。啊，我绝对传给助教了呀。行吧，我一会问一下吧，这个。好，

我一会问一下他吧，好过去了，过去了，等会再说吧，等会再说，来来来，看一个题，看这个人。那么，在这里当中，我们一起来看看这个事情。它说ABC为不相等的实数。然后让我们进去去计算一下这个方程。对吧，不相等的实数让我们计算这个方程，

我们一眼瞅过去，你发现零次方一次方。二次方，三次方，零次，一次，二次，三次，零次，一次，二次，三次，零次，一次，二次，

三次。范德蒙行列式。那范德蒙行列式的话，你发现看这关于a的，这关于b的，这关于c的，这关于x的，你怎么做非常简单，赶紧写选a，那就是b-a。c-a，然后是x-a好了，你没有效了，继续选bc-b，然后多少x-bb没有效了，

继续x-c。那这个时候的话，你发现一个事，马上这个内容就非常简单了，他说ABC为不相等的实数。要注意了，它们是不相等的实数，那不相等的实数的话，你发现看这里面当中的第一项，它不为零。那么，这地方当中这一项它不为零，那么这一项它不为零，那这时候你发现一个事情，我们解s呢，

你解s的话，你发现。则出来了x等于多少a或者谁b或者谁c啊？你等于a会让这个人等于零，你等于b会让这个人等于零，你等于c也会让这个人等于零。非常简单吧。好，这是这个题，一点一二那么接下来过程当中，我看看大家的水平怎么样啊？我看看大家的灵活性怎么样？来看看这个题吧。瞅一下这个题。啊，

看看你的这个操作性到底怎么样？看看一点一三。这个题啊，很像我们会考的题。哎，非常小，来看这个题吧。它让我们计算这个行列式怎么做？怎么处理啊？嗯，这个同学非常好啊，这个同学非常好。怎么做？有人说那我用第一个人进行高斯消元，不要这样。

他写的很清楚吧。他很想让你用范德蒙，你有没有感觉到？他很想让你用，他都写成二二的平方，三次方三三的平方，三的三次方，四四的平方，四的三次方。他很想让你用饭的猛啊。对吧，他太想让你用范德蒙了，但他却不是范德蒙。范德蒙啊，它一定是从零次方开始。

所以说它的某一行一定要都是一，那怎么办呢？哎，非常棒，加下去不就行了吗？你把这人加进去，十加下去，十加下去，十加下去，十你加下去，过程当中，你发现你给这人乘上一倍加下去。都是十。十可以怎么办？提出去啊。

你把这个十提出去了之后的话，你发现这一行变成了幺幺幺。然后这时候多少一二三四，然后一二的平方三的平方。四的平方一二的三次方，三的三次方，四的三次方，这多巧妙。所以你会发现，看这一步是相当巧妙的。就是我把这个加下去，我就创造出来的一。但是大家注意一个事情，这还不对。我们都知道它一定是从什么从低次密到高次密吧。

你这个人是几次幂一次，你这是二次，你这是三次，你这是零次。我们要进行交换吧，那么接下来过程当中一定要怎么办？把它调整零一二三。三那我想问你个事情，用什么样的方法，你能快速的知道你调换了多少次啊？什么方法？你调换一次要加符号，你调换两次加两个符号，那你要调换多少次呢？我非常想知道这个人的次数。

同学们告诉我，这什么知识点？非常好，非常好啊，逆叙述哎呀，太棒了，你发现有些同学这个知识的迁移水平相当的好啊。你发现不就是把一二三零这个不是正数序，然后变成一个零一二三的正顺序吗？是不是这个事情把一二三零变嘛？前面零个，前面零个，前面零个，前面三个肯定是三次。你只需要调换三次，

所以说在这种当中啊，一定是什么负一的三次方，然后乘上十那这个时候的话，你发现一个事儿一。一一一就跑到这儿了，然后这是一二三四一二的平方，三的平方，四的平方。然后一二的三次，方三的三次，方四的三次方。是不是啊？你这样一做的话，你发现一个事情，这个范德蒙行列式不就出现了吗？

所以接下来过程当中，我们就可以算了，这是负十。那这个时候你发现看第一列关于几的一的，第二列关于几的二的，这列关于几的三的，这列关于几的四的？我们就可以怎么办？我们就可以使用泛等猛了选一来二减一是几一，然后的话你发现三减一呢是二。四减一呢，三选二，三减二呢，一四减二呢，你发现这是二，

然后再乘上多少一？所以说这个结果等于多少？负120好，这个题。难也不难，非常的迅速，就是这里面当中，你一定要注意一个事情啊，你又会把这个东西啊，灵活的把它做出来。对吧，所以说这个节目我觉得非常非常的好。很棒的一个题啊，这对我们在考研过程当中啊，你发现是一个很有水准的一个题啊。

行吧，那么这个事我们就讲到这。为什么不直接把第一行，第四行交换前面加符号？不是这个意思。你不信你换一下。啊，你把第一行和第四行交换，你交换了之后的话，你发现你这是范德蒙吗？啊，你告诉我，这是范德蒙吗？这是零次方，二次方，

三次方变成一次方了。不要乱来啊，对吧？你要是这个，你自己去试一下，你要知道什么反的吗？人家这个顺序的话，你发现个事儿，它必须是个正顺序啊。等会儿，哎呀。等一下回去。好了，这是这个问题，能理解吧，

这个顺序啊咦诶？我这个一呢哦，在这呢。所以你发现看这个顺序啊，必须是正的。零次，一次，二次，三次对吧？你这个顺序必须是正的好了，那么接下来过程当中我再来给你写个题。好吧，注意下，我们来看看来写道预测题。比如说这道题啊，

就是我们二零二四年考研的预测题来看这个人。第四，我让你去计算。那么，计算什么东西呢？我们一起来看看，比如说这是a。a的平方a的三次方a的四次方b。呃，这太简单了。a的平方a的三次方a的四次方BB的平方b的三次方b的四次方。CC的平方c的三次方c的四次方dd的平方d的三次方d的四次方。来看看这个人。行吧，我们稍微休息会儿，

一会儿过程当中啊，我们继续。你看这个题啊，等于多少？转置一下就行了吗？转置也忒简单了吧。转置当然不变呢。但是你要注意，他是犯的猛吗？你好好想想，他是犯得猛吗？那这人是一次二次三次四次，这不是范德蒙啊。范德蒙是什么？从零次，

一次，二次到三，不能讲了，你下课过程当中坐下，我再讲这个人就没了啊。行吧，你自己去想好了，大家不要在评论区当中回复答案了，大家去想好不好好，大家去想好，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续啊。自己好好琢磨琢磨这个事情，行吧，我们稍微休息会，

一会我们继续啊。截图了吗？截了没有啊？截个图。写完了给我回复一吧。好了没啊？你们调一下声音对吧啊？这个我说不清了啊。好，休息会儿吧啊。

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