05.连续型随机变量、常见分布-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:51:54

接下来我们继续吧，我们再来看看这个第四节叫做常见分布呃，这个部分内容啊，我们在今年考研过程当中啊，这是必考内容。这非常重要，必考知识点啊，常见分布。那么，在这种当中啊，我们学习两大体系，那么首先我们先看第一个事情叫做离散型随机变量的常见分布。对吧，我们是学习一个什么离散型，随机变量，

连续型，随机变量，它的一个分布情况嘛，那么在这种当中，我们的核心重点两个事情。一个事情是离散型，一个事情呢是连续性，那么接下来过程当中啊，我们先来讲讲主体，大家想一个事情。如果你是个离散型，随机变量，那么在这种当中你觉得最重要的问题是什么呀？当然是分布率啊，所以说大家注意离散型随机变量，

我关注的问题就是分布率。是什么？但是你要注意一个事情，如果是连续性随机变量了，我关注的点是什么？关注的点是概率密度函数。啊，这件事情要想清楚，那你的核心重点，你要考虑分布率，我的核心重点，我要考虑概率密度函数。所以接下来过程当中啊，我们要学习一系列的常见的分布，我们先来看看离散型的，

先看第一个人零一分布。好，先看第一个人零一分布。那林荫分布是什么呢？其实就是伯努利概型。对吧，如果你是服从零一分布题目当中说说这个随机变量，服从零一分布其实就告诉你了，这个人的分布率是多少？零和一一叫做什么呢？一叫做成功。零叫做失败。注意啊，一叫做成功，那么在这里面当中的话，

一的成功的概率就是p那这人失败的概率是一减p。你举个简单例子吧，比如说打靶。对吧，投石子儿。或者怎么办啊？呃，这个直硬币。对吧，直硬币直到正面就叫成功，直到反面叫失败，假设是这样，那一的概率是多少？二分之一失败概率多少？二分之一。

好了，这是这个问题，只要告诉你什么东西呢？只要告诉你是零一分布，那这个东西啊，它就是一个什么，它就是一个这样的一个分布率就告诉你了。基本问题点啊，就题目当中说零一分布就相当于告诉你了，这个人的分布率是什么好基本问题？来接下来再看第二事情二项分配。什么是二项分布呢？那二项分布就是n重波努力。啊，就叫n重波努力事件，

那么在这本当中，它的意思是什么叫做打？比如说打粑粑，打靶，打了n次。独立，你看我进行了n次，比如说我每次打靶打中的概率是p。我成功的概率是p，我进行了多少次呢？我进行了n次，我问你成功的次数是多少？对吧，成功的次数是多少？就是n次独立，

那像这个人的话，你发现很明显啊，我比如说举个例子，我等于k。我等于k的意思就是说我成功了ks，我成功了ks的概率是多少？就是n次里面取ks。p的k次方一减p的多少？n减k次方。是不是这个人呐？那么在正文当中怎么去写呢？他这样写这个s服从。二项分布的话，你发现这个东西啊，是我们这里面当中会写个b。

二项分布写个b，那么这里面当中有两个重要的参数。第一个参数是什么？你进行了多少次？第二个重要的参数呢？你每一次成功的概率。要注意一下这个事情啊，他问的是什么？就说我进行了n次，每次是相互独立的，每次成功的概率是p，然后问你成功的次数是多少？就这样算能理解吧，两个重要的参数，只要你知道每次成功的概率，

只要你知道进行的次数。你就能去求出成功多少次它的概率。能理解吗？那么告诉我事情，这个k从几开始？从几开始，比如说你打了n次靶，你可以成功零次，可以成功一次，可以成功两次三次。三次一直到n次，这非常重要。这个东西非常重要，你把它给我记住了，好，

这就叫二项分布，所以说二项分布在做题的过程当中啊，有一些重要的标志，我来讲讲。就是你的做题啊，会有一些非常重要的标志。重要标志。比如说举个例子，它进行什么？比如说。n次。独立。对吧，然后问你成功次数是多少？问你成功了，

次数有多少？对吧，它核心重点的话，你就说经常去看到，比如说进行了多少次，每一次是独立的，然后最后问你成功的次数是多少，像这种东西啊。基本上考的都是二项分类。那么，接下来过程当中，我们来做一些题吧，好，我们先来看看，我补两个题啊，

比如说我们先看第一个题。好，我们先看这个题，不要抄题哦。先看第一个人，他说这个随机变量，服从参数为这个东西的二项分布。大家想想一个事情，告诉了服从二项分布，我们就相当于知道了什么。我们就像知道了分布率，我们就知道你成功多少次的概率是多少。然后又说了，然后这个y啊是服从多少呢？服从参数为3p的这个什么啊？

这样的一个二项分布，然后又告诉了一个事情，说这个s怎么？大于等于一的概率是它。那我来问你个事情，你琢磨一下这个x成功的次数有几次？可能性，要不然成功零次，要不然成功一次，要不然成功两次。是不是这个情况？零一二，但是你发现他让我们去算的是什么？他给的是这个部分不好算，你还不如算多少，

你还不如进行去算对立事件呢。我就知道了，成功零次的概率。零次概率怎么算呢？那其实就是两次里面取零次成功概率是零失败概率呢？哎，这是二次。啊，不是成功概率，是零成功的，是零次方失败的，是二次方等于多少九分之四，所以在这种当中，我们就求一下呗，一求就出来了。

一减p的平方等于多少？九分之四。所以说这个一减p啊，就等于三分之二，所以说这个p啊等于多少三分之一，有人说老师不对啊，还有一个负的三分之二，负的三分之二超过了一嘛，你就不要选了。能理解吗？所以这个时候你发现一个事，这个东西就出来了，三分之一就出来了。然后接下来过程当中，它让我们去求什么y大于等于一的概率。

当我给了你y的分布，我就能进行去求出y的概率，怎么去求呢？大于等于它有可能成功零次，一次，两次，三次。三次，但是你要求的是什么？大于等于一，你可以用对立事件求嘛，所以说这个人概率是多少走？大于等于一的概率等于一减去成功零次的概率。没问题吧？好了，

我们算一下，那就是一减去三次，里面取零次，然后成功概率的话，这是零，然后的话，你发现这是。三次，所以说一减去多少？二十七分之八，二十七分之十九。好，这个能理解吧，基本问题点，你看这样的题。

很有我们的考题的标志，对吧？就很像我们的考研那种真题就真题的话，你发现很喜欢这样出。因此，一定要注意啊，这个总的次数写给你了，你就去看看他的成功的这个可能性有几种？然后根据这这个东西啊，然后进行求一下概率就行，不难的啊，来再来看看下面一个题，我再来补一个题。比如说我们来看看这个题。他说x这个人的分布啊，

是这个人，然后接下来干嘛呢？他说对x进行。三次独立的观测。你要注意了三次。独立我观测谁呢？我观测大S。然后说什么东西呢？至少有两次观测值大于一的概率，同学们想想观测值如果大于一，这是不是就叫做成功啊？是不是啊？你只要观测值大于一，我就要成功了，观测值大于一，

我就要成功了，所以同学们注意它这个问题点问的是什么呢？就是对这个人进行观测三次，每次成功就叫观测值大于一，然后问你至少有两次成功的概率。所以这个东西是什么？它不就服从二项分布吗？因此这个次数啊。我把它写下来。成功的次数。把它叫做y这个随机变量，它是服从什么？服从一个二项分布。每次进行呢，总共进行多少次三次，

每次成功的概率是多少？大家注意，如果每次成功。每次只要成功，其实就是观测值大于一，观测值大于一的话，你发现只有这个人。所以说是二分之一。所以每次成功的概率是多少？是二分之一，因此接下来过程当中，我们要算。他说，至少有两次成功，那至少有两次成功的话，

你就要算大于等于二的概率。总共有几种可能性呢？成功零次，一次，两次，三次，大于等于这个人。这就无所谓了，你算对立事件要算两下，你算它自己要算两下，你就直接算就行了，你先算一下吧，这里面当中第一件事情。啊，成功两次。

然后呢，成功三次。先来看两次，走一下三次，里面取两次，然后每次成功的概率是二分之一，它的平方失败的概率呢二分之一一次方。再算这个人三次里面取三次，然后这个人呢？成功概率为二分之一，二分之一的三次方。所以接下来过程当中一算就行了，是三，然后这是多少八分之一，然后这是一八分之一八分之四二分之一。

能理解吧，要会读题啊。就是进行了多少次？独立的事情。就说你发现我总共进行三次，我对谁进行观测呢？对你观测，只要你的观测值超过了一就叫成功。那不就是进行了三次，每次成功的概率又知道，然后问你成功多少次吗？不就是这个事情嘛，所以大家注意啊，一定要好好进行去品一下这个东西啊，这个东西很重要。

这是我们考研过程当中可以直接出的，你就像这个题可以直接出给你们。一定要小心一点啊，你就要知道我再来强调一遍，二项分布里面当中有几个标志，就是进行了多少次？进行了多少次，每次是独立的，最后问你成功了多少次？这是他想问的问题，那么放到这个题当中就是这样，对这个x这个人进行了三次观测。然后观测值只要大于一，就算成功，然后问你成功了多少次？

是不是这个事情，所以说你发现成功的这个次数总共进行了三次，你观测值只要大于一，不就叫成功吗？观测值大于一，就是x大于一，它概率是二分之一。能理解吧，注意一下几个标志啊，进行了多少次，每次成功的概率是多少，然后问你成功了多少次？好，这个问题。行吧，

二项分布我们就讲到这儿，那么接下来过程当中，我们再来看看第三个事情，泊松分布啊，这个分布。那泊松分布怎么说呢？他这样说，如果一个随机变量，服从的是泊松分布，我就立即可以知道它的分布率。它等于k的时候的概率等于多少，它概率等于多少呢？等于k的阶乘拉姆达的k次方e的负拉姆达次方注意啊，这个拉姆达等于大于零。这是这个情况，

然后这个k从几开始呢？其实这个东西非常有意思。我们推不了。就是我们这个东西啊，没法推啊，没法推这个人。那如果你会推的话，你发现一个事情，这个k从几开始啊？就非常简单，你想让我讲一点点吗？讲一点点无穷级数内容。非常有意思，就这个人，你凭什么是个分布率啊？

我说一嘴可以吗？我简单谈一下，因为这个很有意思。大家想想一个事情，如果你服从参数为lambda的波松分布。我就立即能知道它的分布率，大家想想一个事情，如果你是分布率，你就必须要保证什么事情。你就得必须得保证它的归一性。你想想是不是啊？就说k=0的呃k等于多少的时候k等于多少的时候多多少的时候，你这些概率的加起来必须是几？你这个概率的加起来必须是一，你必须要满足归一性，

那么在这个当中我们来看看这个k从几开始呢？你注意这是重点啊。从零开始。非常的重要。一直下去，倒正无穷。非常重要，道正无穷。呃，这件事情啊，我给你稍微的推一点点，你自己下去过程当中可以品一下，你不想听就算了，你把它给我记住就行。大家都知道es的泰勒公式还会写吗？

这它的公式是一+s+2的阶乘平方，你看我这样讲，如果是数一数三呢，我就直接切了啊。直接就切进去了，四的阶乘四次方，然后一直下去。是吧，就是这个人。就是这个东西一直加下去。那你想想一个事情，如果加到无穷大去，他这个人就相等了，因此同学们，你把它给我写成什么，

你看一直加到n的阶乘N次方嘛。然后一直加下去，我们原来是加高阶无穷小嘛，一直加下去就是无穷级数了，这两个东西就相等，大家想一个问题，这是n的阶乘。SN次方吧，那就n从几开始呢？零开始是不是加到无穷大去？是不这个人呐。啊，其实我们不用进行写，正好因为我们都知道这是个数列，肯定是正无穷，

但我已经写的让你看看了。好，这是这个人，所以说我们就得到了一个无穷级数的公式，那么这里面当中用n表示可以，你也可以用k表示啊。是吧，你也可以用k表示。那么，接下来过程当中，大家思考一下。我给这个x取多少呢？我给这个x取上拉姆达取上拉姆达了之后的话，你发现一个事情，这里面当中的x也就变成了拉姆达。

然后接下来过程当中，干嘛把这个e的这个东西除过去，除过去就变成了e的负拉姆达，然后是k从零到无穷大。k的阶乘拉姆达的k次方，而同学们都知道一个事情，对k求和这个东西是个常数，常数可以怎么办？常数可以放进去。你可以写个加号，没有关系，你只要看懂就行，一般无穷级数不写加号好了，这是k的阶乘兰姆达k次方e的负拉姆达是不是进去？然后是不等于一。

大家发现没？这是不是刚才的？概率啊。是不是啊？每个点出的概率啊？然后这个每个点处的概率的话，你发现看零处的概率，一处的概率，二处的概率，三处的概率，四处的概率无穷，大处的概率把这所有的概率加起来等于几等于一。你看吧，它具有归一性的。所以这个东西很有意思啊，

就是这个泊松分布啊，它的分布率为什么是这样？它是非常值得考究的。很有意思的一个点。就是你们这些概率啊，你是为什么从零开始呢？人家这个定义就是这样定义的，只有从零开始加它，最后加起来才是一。所以说通过这个东西讲一下，我相信你就能记住了，对吧？这东西就是每个点处的分布率，每个点处的概率。每个点处的概率从几开始呢？

从零开始。诶，从零开始。好呃，考试怎么考呢？就基本上把它记住就行，你记住就会做题，就考研过程当中啊，难度基础不大，把它给我记住，你就能做题。所以接下来过程当中啊，我们来看看下面一个重点，来看一个题吧，二点一五这个题。

比如看这个题。他说了一个事情，他说。s这个人呢，服从参数为lambda的波松分布。同学们，想想一个事情。只要说了这句话。他服从泊松分布啊p啊泊松嘛，翻译的话，这个首字母就是p泊松分布。服从这个泊松分布啊，你发现一个事情，这一点当中只要告诉服从这个分布，我是不是就知道了分布率啊，

我就知道了。当你x=k的时候，你的概率就会等于k的阶乘拉姆达的k次方e的负拉姆达。k从零开始一二把它给我写下来。能理解吗？然后他又说了，这两个东西怎么办？相等那这两个相等的话，你发现我们把这个什么x=1。的概率，然后s=2的概率，你算一下一的话带进去多少一的阶乘是一兰姆达的一次方一的负兰姆达。然后这个人呢？二代进去呢，这是二分之一，

二分之lambda的平方，然后一的负lambda。所以说这个东西一做马上出来了，你这里面当中这两个东西就约掉了，兰姆达就约掉了，兰姆达就等于几？是不是出来了？所以说服从这个参数为二的剖层分布，那既然参数为二的话，你发现这个东西就具体了。对吧，我们就可以做了，然后的话，你发现我们就得到了x这个人等于k的话，他的概率就等于多少k的阶乘？

二的k次方e的负二次方k从几开始零一二三四一直下去。那么，这里面当中让我们去求什么平方小于三，那大家想一个事情，如果让我们进行去，算的是平方，这个人是小于三。它其实就是x这个人怎么办？大于负的根三，小于根三。但是我们的s只能等于多少零一二这些东西，那你发现只有几个人，只有这两个人零和几零和一。所以接下来过程当中，我们算一下就行了，

算一下s=0的概率。算一下s等于几s=1的概率，它就可以了，零的概率带进去多少？零的阶乘是一二的零次方也是一负二次方。一旦去呢，那这个人就是二的一次方，然后这个人多少一的负二次方，所以等于三倍的一的负二次方。是不出来了，基本点。难不难？难度系数基本没有，就是干了一个事情套公式。只要这个题告诉你，

说服从坡松分布，我就知道了，你在每个点处的概率等于多少，然后他说这两概率相等好，我套一下公式。求出这个人，然后接下来过程当中，这个公式就具体了，你具体了之后的话，你一算就行，这里面当中唯一需要注意的点是什么呢？你要记清楚啊，泊松分布是从几开始的，泊松分布是从零开始的。哎，

泊松分布是从零开始的，你要注意啊，很多人把它记成从一开始的，那就记错了。好了，那么接下来过程当中，我们继续再来看看我，再补一个题，你看这个题怎么做？好看看这题。他说，某一段时间呢，通过一个路口的车流量。啊，就是有多少人呃，

多少车通过了，然后是服从播送分布。说已知该段时间内没有车通过的概率是它，则这段时间内至少有两辆车通过的概率是多少？嘿，什么意思啊？非常的简单啊，就是通过车的这个车流量哎，车的数量，它是服从什么服从泊松分布的？既然你服从泊松分布，我们就知道你通过k辆车的概率是多少呢？通过k辆车的概率就是k的阶乘。拉姆达k次方e的负拉姆达k是从几零一二一直下去。那如果说没有车通过呢？

没有车通过的意思不就是s=0的概率吗？车流量为零嘛零的阶乘是一拉姆达呢，这个人呢也是1e的负拉姆达，它等于多少e的负一次方？所以说马上就知道这个拉姆达等于几等于一。是不是这个事情，当你这个东西出来之后的话，马上这个人就具体了，通过k辆车的概率是多少？那这是k的阶乘。一的k次方是一一的负一次方k从零一二三四一直下去。而这个题让我们算什么呢？算至少有两辆车就s怎么办？大于等于二。那大于等于二的话，

不就是这么多吗？这么多多难算的，所以说我们怎么办？我就反着算算什么东西呢？零的时候。再来算什么？算一的时候就可以了，零的时候的概率是多少？零的阶乘是一一的，它一的时候呢？也是它。所以说这个结果等于一减去两倍的这个结果。好了，这个题啊，立即结束了，

不难吧？其实你发现学什么东西呢？就说我告诉你，服从这个分布，其实就告诉了它的分布率是多少？离散型嘛，我说你服从泊松分布，我就知道分布率了。我说你服从二项分布，你是知道分布率的，我说你服从零一分布，我就知道分布率了啊，非常简单啊，这个人。来那么接下来过程当中，

我们再来看看最后一个人叫做几何分布。好，再来看最后一个事情几何分布。几何分布这个东西？什么意思呢？他说s这人呢？服从啊g1几何嘛？你翻译一下的话，这个首字母就是它啊。几何分布，然后参数是兰姆达。什么叫几何分布？这个东西要理解，当我告诉你是几何分布，我也能知道它的分布率，

但是你要理解它到底什么意思？它这个s表示啊。叫做第几次呢dk次才成功。它表达了。d case.才成功。考这个d case才成功。我比如举个简单例子啊，比如我打靶打靶打靶啊，打一次打两次，打三次打四次，比如说。x=4，什么意思啊？第四次才打中。

对吧，比如说直硬币，直正面，反面，反面，反面，哎，直到第五次才是正面，好x=5，什么意思啊，第五次才成功。啊，具体题要具体看的，那么这里面当中我们怎么看呢？那非常简单，

就说如果s=k的话，它等于多少？那这个人的话dk次才成功，那说明什么情况？你如果是dk次才成功，说明前k- 1次都怎么了？都失败了。都是一减p，它的k减一次方。这就行了吗？这不行，你这件事情只保证了前面k- 1次是失败的，那万一最后一次也失败了呢，你还得怎么办？最后一次是成功的，

成个屁。那么，同学们告诉我，这个k从几开始啊？可以从几开始？就是我们这里面当中的参数k啊。你能不能说第零次才成功不行，最少都是一二三四五，有可能一直下去都成功不了了。一定要注意啊，是从第一次开始。第一次才成功，第二次才成功，第三次才成功，有可能一直到下去，

你发现都成功不了。好了，这就是我们在这种当中啊，要学习的四种。离散型随机变量。零一分布二项分布，泊松分布几何分布？这个特别重要，将来我们学习期望和方差的时候还要进行学习，这四种分布的期望和方差。记一下就行了，最后就是一个表，把那张表背完了，基本上差不多了，好这个问题啊，

我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们再来看看第二事情，再来看看。连续性随机变量。刚才我们就讲过了，如果说一个随机变量，服从连续性，随啊服服从的什么是连续性随机变量？你是一个连续性随机变量。如果你是个连续性随机变量，我们就必须要知道它的什么，必须要知道它的概率密度函数，所以接下来过程当中我们来看看这几个人。先来看第一个人。

均匀分布。均匀分布是一种连续性，随机变量的分布。然后如果我们在这里面当中，我们说一个事情，我们说如果这个人服从什么，服从a到b的均匀分布。或者有些的话，这个数集说什么说s服从什么ua到b的B区间是一样的，两者之间没什么关系。无所谓的，开区间闭区间都一样是一样的，所以这里面当中要注意，如果这样写的话，就说s服从均匀分布。

均匀的首字母是u服从a到b上的均匀分布。当我们知道它服从这个均匀分布啊，我们就立即知道了它的什么，立即知道了它的概率密度函数，它的概率密度函数等于多少呢？当位于a到b的时候。就等于长度分之一。啊a到b的时候就等于长度分之一，如果不在这一段的时候，它等于零。非常简单啊，就说。如果你这个人呢，服从的是均匀分布。你这个落点，

如果小S这个人呢？在这个区间内，你的概率密度函数等于分之一不在这段当中就等于零。那你想想一个事情，知道了概率密度函数是不是就可以进行求概率了，对你进行积分不就能求概率了吗？所以接下来过程当中，我们来算一个人。好，他说这样的事情说一个s啊，他服从，然后多少呢？从二到七。它内的一个均匀分布。第一问他让我们继续去求解什么，

求解这个人大于等于三，小于等于四的概率。好，那么接下来过程当中，我们再来看你发现啊，连续型随机变量一个点的概率等于几等于零，大于等于三，小于等于四，跟大于三，小于四是一样的吧？这是要注意的啊，然后再来看，如果这个大S让我们进行求解多少求解，这里面当中的四，然后到六当中的概率。

好，那么接下来过程当中，我们再来看。那么再来算下面这个人，如果让s进行算大于等于五的概率。好第四个人，然后让我们进行算s小于等于多少，小于等于一的概率。好，我们一起来看看这个人怎么算？怎么处理啊？当你知道了这个人是服从均匀分布的，我就立即可以写出它的概率密度函数，它的概率密度函数是多少？当这个人位于这个区间段内的时候，

就等于长度分之一，长度是五五分之一，不在这一段的时候等于几等于零。是不这个事情，所以接下来过程当中，我们一起来看看这个人。好，这是多少二这是七？那么，首先我们先来看看第一个人算一下，第一个人嘛。第一人等于多少？三到四，三到四，都在这个区间段内，

三到四都是对谁解？都是对五分之一进行积分，所以说结果等于多少五分之一？然后再来看四到六四到六都在这个区间段内，所以说就是四到六对五分之一进行积分，那积分结果等于多少五分？五分之二，然后再来看第三段，第三段的话，你发现大于五大于五的话，你发现这是五大于五是这么多。是这么多的话，你发现核心重点是不是只需要记这一段，因为后面对零积分嘛，所以说就是五到几五到七的积分，

因为后面都是零嘛，所以说。是等于五分之二。然后最后一个事情呢，小于一小于一，对谁积分对啊，这个什么对零积分就是零。能理解吗？好，这是这个问题，那么接下来过程当中，我们来研究一下这个东西诶，这是个什么特点的人呢？你先看第一个人。第一个人的话，

他让我们进行计算什么东西啊，进行计算三到几三到四。三到四的这个长度是多少？这个长度是一吧，总的长度是五诶，好像就是这个长度除以总长度诶。那么再来算一下，下面这个人下面这个人让我们计算多少，让我们计算四到六。四到六这个长度是多少呢？这个长度是二，然后总长度是几是五二比五，好像是这个长度之比哎。然后再来，我们再来继续算，

你看现在让我们计算多少五道，这个正无穷五道正无穷的有效段只有这么短。这个有效段的长度是二，然后总长度是五二比五，好像是这个人呢，然后我们再来看看下面一个人，下面这人让我们进行求求多少？求这个负无穷到一就这个人，他没有有效段好，最后的概率是零。我终于明白了。原来如果你服从均匀分布。好像进行去求解，这个概率不就是有效长度之比吗？大家想想这个东西是什么内容啊？

对，非常好。就是我们原来讲的几何概型。一维的。几何概型。所以你要注意。服从这个均匀分布，就相当于在a到b上投石子。就是投石子，然后进行求概率呢，就是然后总的这个长度比上什么东西啊，有效长度。就是长度之比，所以将来过程当中，我们算这个东西就非常简单了。

既然服从二到七的均匀分布，三到四的概率呢？总长的五，然后这是一五分之一，不用算了。如果服从均匀分布的话，这个长度是二，然后这人是几？这是五五分之二，然后这个长度呢？有效长度只能从五到七是二，因此还是五分之二。然后这个人呢，都落在外面，有效长度是零就是零。

能学会吧，这就是均匀分布。当我们告诉你说它服从均匀分布，我们就知道了它的概率密度函数，而且我们还知道了它是服从。几何概型？它是一种几何概型？不是服从几何概型？它的概率怎么求呢？就是长度之比。能理解吧好，这是一个基本问题啊，有会。那么，接下来过程当中，

我们可以再来做一个题，比如说来看看这个题吧。看一下这个题呃，这个题很有意思啊。好，我们一起来做一下，他说x说什么东西呢？x是在一到五上服从均匀分布。哎，这是大S。一到五服从均匀分配。然后说什么呢？现在对于x。进行三次独立的观测，我能马上想到二项分布。

说至少有两次观测值，怎么了？观测值要大于几呢？观测值这个东西啊，它要观测值要大于二的概率。所以你想想一个事情，如果观测值大于二了，这件事情是不是就叫观测成功啊？是不是啊？进行几次呢？进行三次，每次独立什么叫成功呢？观测值大于二就叫成功。问你成功的次数，那同学们想想一个事情，

那这个人成功的次数。把它叫做y。他是不是就服从二项分布啊？进行了三次，每次成功概率是p，那什么叫成功呢？成功这个事情啊，就是s这个人观测值怎么了？大于二。只要你这个观测值大于二，就叫成功，而你都知道，如果从二呢二到后面的话，有效长度是几？总长度是四，

有效长度三四分之三。所以这时候我们就知道了，因此你发现这个y啊，是服从多少三四分之几四分之三。好这个人，然后说什么东西呢？至少有两次我们来看看他要不要成功几次啊？临死已死两次。三次至少成功，两次就直接算呗来来看。大于等于二，就是两个人，要不然是两次，要不然是几次啊，要不然是三次。

对吧，要不然是三次两次的概率是多少呢？来三次里面取两次，每次成功概率是四分之三二次方。失败是四分之一。然后接下来过程当中，再来三次，里面取三次，每次成功概率是四分之三四分之三的三次方，那失败呢是？失败的话就是四分之一零次方。是不是这个人呐？然后接下来过程当中，我们就可以算了，那这是多少？

那就是64，64分之多少27？然后这个人呢？这也是64，然后二十七一加就行。能多动体貌。就这块内容啊，最重要问题要读懂，我进行了三次，每次独立，我问你成功了多少次？什么叫成功呢？观测值大于三，你不是要对它进行观测吗？你观测值大于三，

就叫成功。哦，捋清楚啊，这个内容啊，最重要问题还是读题，对吧？你把题好好读一读。过去了，可以吗？啊，不难的啊，这个你发现这概率论呐，比高等数学简单多了啊，好好来来继续吧。再看下面一个题。

好，再来看指数分布。看一下下面这张指数分布。指数分布的话，这个人是什么样子的？他叫这样s服从一。你们都知道这个是es吧，比如说y=es这个函数也可能怎么办？也可以这样写esps见过吗？应该见过吧，指数嘛，这个东西的首字母就是一啊一，然后参数是多少？拉姆达这个拉姆达等于大于零。当我们知道s服从指数分布，

我就立即知道了它的概率密度函数。它的概率密度函数多少呢？是拉姆达倍的e的负拉姆达s当s大于零的时候，当s小于等于零的时候的话，你发现它是零。只要见到他服从这个参数为lambda的指数分布，我立即可以写出它的概率密度函数。当然，同学们，我建议你也把它的分布函数背过。分布函数也非常的简单。那分布函数等于多少呢？你可以推一下诶，我可以给你注到这。这个分布函数，

它就等于多少呢？它就等于负无穷到x对这个小ft进行积分。而这个小ft是什么情况？我可以拉条横线来操作下。这是刚刚讲的吧，知道概率密度函数，求分布函数，这是零小于它数是零拉姆达倍的e的负拉姆达t。那么，这个人的话，我们就可以做了，分成几种情况呢？应该是两种情况。好，我们先来看看这两种情况。

第一种情况，它就是从负无穷开始走，一直走，一直走，一直走，哎，你看你这个落点，如果是小于零的，它是这样。如果记下了过程，当你又从走走走到这儿呢，这都是对零级超过它呢，超过它的话，你发现这段是对它记，所以说比它小的数是多少来？

来走当x怎么办？小于零的数是零当x怎么办？大于零的时候的有效段只有这一段零到s拉姆达倍的e的负拉姆达t。然后dt，然后s怎么办？大于零当然等于零无所谓嘛，然后接下来过程当中，我们就继续，我们再看这人积分就是一减去e的负拉姆达t，你自己记啊。弗兰姆达s，然后s什么情况s大于零当s怎么办？小于等于零的时候就是零。好这个人，所以同学们注意啊，

我建议你把它记住，你这个推导啊，你当然得会嘛，其实也就练习了，已知概率密度函数，求解分步函数。拉条线从负无穷开始走，对吧？那这个结果是多少？这是一减去e到负拉姆达s前面没有拉姆达了。第一个人上面有兰姆达，第二个人上面没有兰姆达，为什么呢？因为在积分的过程当中，兰姆达凑到后面去积分了，

然后再来看，如果小于等于零呢，都是零。所以大家注意，只要知道x服从这样的一个指数分布参数为lamda的指数分布，我就立即能写出它的概率密度函数，我就立即能写出它的分布函数。知道了，这些东西都可以用来进行求概率了。对吧，知道了，概率密度函数知道了，分布函数就可以求概率了，都非常简单了。来试一下吧，

再来一道题。好，我们来看看这道题。二点一七这个题。求一下这个人，他说了一个事情，他说这个随机变量服从什么分布？这个随机变量服从参数为lambda的指数分布。他说，落在一到二内的概率是这个人。然后让我去求解这个概率，大家想想一个事情，我问你个事儿。求概率可以用两个方向，一个事情可以通过概率密度函数去积分，

也可以用分步函数进行做差，因为是连续性随机变量嘛。那我问你个事情，你喜欢谁呀？你喜欢积分还是做差？我当然喜欢做差呀，所以在这里面当中啊，你要注意，你是一个高端选手啊，你就会在这里面当中写分布函数。而不是去写概率密度函数，概率密度函数还要积分，所以接下来过程到e写是一减去多少e的？负的lambdas当s怎么办？大于0s，

小于等于零的时候就是零。所以接下来过程当中，我们就来看，当我进行求解，这个人落在一到二内的概率，其实就是f2-f一。好，我们来看二二在哪呢？二在这那就是一减去e的负多少？二来回答，然后这是一呢，那就是一也在这就是一减去e的负多少？所以说最后结果等于e的负拉姆达减去e的负二拉姆达，它的结果等于多少？它等于e的负一减去e的负二。

那你告诉我，拉姆达等于几？所以说拉姆达就等于一。拉布达等于一了之后的话，我们再来看最后一个事情，他让我求得什么，求解这个人大于五的概率，大于五的概率就是正无穷再减五。一减去什么？一减去f五。一减去f五的话，一然后f五是多少？继续往这带，也就是一减去e的多少负的乌兰木达？好，

这个结果等于e的负的。好这个人，所以说这个东西啊，就出来了。而且拉姆达等于几啊，拉姆达等于一一的负五次方啊。好做吧，非常的简单，就说当你知道服从这个分布，我就知道了它的概率密度函数。我就知道它的分布函数，分布函数可以用来求概率啊，你这个概率是多少？分布函数做差就行了。这比那个积分还好用。

对吧，你要积分的话，你还得积一下我这个东西，我代代值就出来了。非常容易来吧，那么接下来过程当中，我们再来看看下面一个题，二点一八这个题。好，继续来看。他又说了，他说这个y啊，这个人服从什么？他服从参数为一的什么东西呢？指数分布。

对吧，这个指数分母这个东西还叫多呀？你学这一年就这些东西。你注意啊，你学这一年就这些东西。就这个概率论，你知道多啥呀，对吧？就几个东西，你把它记一记就行了，离散型就四个人。连续刑有三个人，我们还没讲完正态分布呢。你这对于对你学别的科目，这算啥东西啊？

你自己去想想你的专业课，你的包括的话，你的英语，你的政治，这的话，你发现这这才哪儿到哪儿啊？好了，我们就继续再来看。所以说它是服从什么，服从参数唯一的指数分布。对吧，服从这个人，那服从这个部部分呢，然后让我们去求概率，大家想想这个概率是什么概率啊？

条件概率吧。这个东西是个条件概率。然后你看这是a事件，这是b事件条件概率，那条件概率的话，那么接下来过程当中，我们来走一下，它等于多少？它就等于y大于a，然后分之共同发生的概率，那就是大于a，小于等于a+1的概率。对吧，大于这个人，小于等于a+1的概率。

那么所以说接下来过程当中，我们就继续来看，那怎么做？那你告诉我，你是用分布函数求概率简单，还是用概率密度函数求概率简单？当然是在这里面当中，用分布函数简单，因为是连续性随机变量，分布函数只用端点做差就行了，好，我们写下这个分布函数。那分布函数是多少呢？一倍的啊，这是一减去一的负一s，

那就是s。s怎么办？大于0s，小于零呢，这个结果是零。好了，那么接下来过程当中，我们先看第一个人。第一个人，这个结果就是端点做差，端点做差的话，其实就是多少fa+1-fa。那这个也端点做差就是多少f1减去多少fa？是不是这个结果好，这个基本问题。

那么，接下来过程当中，我们来写一下，你先看上面这个人。fa加一的话，你发现看你这个a是大于零的嘛，大于零的话肯定往这带，所以就是一减去e的负的多少？a加一，然后这个人呢？再减去一减去e的负a。是吧，然后下面这人呢，一减去一减去e的负a往这里面带吧，我们把这个什么a带进去就行。

所以接下来过程当中，我们就可以算出这个结果了，你看这个结果，这个结果等于多少呢？等于e的负a，然后是多少e的负a，减去e的负a- 1。那最后约一下就是一减去一的负一。有没有发现一个事情？这个结果是在算什么呢？它这个结果让我们在算这样的一个问题。大家好好听啊，这里面当中的话，你就发现这是这个人。嗯哦，

这是一哦。1f正无穷啊，所以接下来过程当中，我们就得到了这样的一个内容，大家好好听。你看如果我们在计算什么，我们在计算一个指数分布。如果是一个指数分布，它让我们在算什么呢？它在算如果在大于a的前提条件下。在这个前提条件下，然后让我们进行去计算小于a+1的概率。是不这块概率？但是不是交集。你要注意一个问题，

这个东西不是一个共同发生的事情，它是一个条件概率就是在这个条件下。在这个条件下，你再算小于a+1的概率。它应该是个条件，概率是我们这个概率分支共同发生的概率，大家有没有发现一个事情？这个内容一般情况下，它是不是应该跟这个点有关系啊？你想想是不是一般情况下，是不是应该有关系啊？你在哪个点？得大于它的时候，小于这个点的概率。然后你在另外一个点大于它的时候，

小于这个点的概率，一般情况下是不是应该有关系啊？结果你发现一个事情，这个结果当中却没有a。跟这个a就没有什么关系，也就说什么意思呢？你这个a无论在哪个点大于它的时候，小于这个a+1的概率。无论这个a在哪个点，大于它的时候，小于这个a+1的概率，它都是一样的，这叫什么东西呢？这叫指数分布的无机异性。你要注意啊，

这件事情我们会考的。无记忆性。叫做指数分布的无机异性，我记得有一年过程当中的考题，我给你看看。我们是考过这个题的，就是有些同学真的是学会了之后啊，那个题就秒选了。但是如果你没有学会啊，你这个题就废了。咦，这个看看是。这是哪一年的？怎么打错了啊对？好，

我们来看看是这个题。嗯，不是这个题。诶，我这个东西怎么回事儿啊？这么。哦，在这儿。这个题你看有一年过程当中考题啊，就考了这个事情。考了什么东西呢？他说这个s的概率密度函数是它，你要看出来这个人是个指数分布。然后说什么大于一的时候再大于11，这个中间的间隔是十吧。

然后大于十的时候再大于20，这个中间的间隔是不也是十啊？大于90的时候再大于100，你发现中间的间隔也是十。其实你发现这三个之间呢，是相等的，为什么呢？因为这就叫做指数函数的无奇异性。就说什么意思呢？你这个人的话，在在这个点。的基础上，然后比这个人大的概率对吧？你中间只要这个间隔的长度是一样。他这人就行了，

所以这个题啊，不用动手。不要动手，算一动手你就输了，这个题啊，不能动手就是眼睛漂着做，你只要保证什么事情啊，你这个起点我跟你没有关系，你在一处。然后你比如说大于11的概率，你中间的间隔是十，那如果的话，你把这个点移到多少，把这个点移到十的时候间隔20间隔十的话，你发现这能变成20。

如果把这个点移到100的时候的话，你间隔十的话，这人就变成了110。也就说你跟这个起点没有关系，你这个起点，比如说我再来写，比如说我这个起点移到200。一到200的时候，你这个点就变成多少210在大于200的前提条件下，大于这个人的概率，你发现跟他还是相等的。这就叫做指数函数的无机异性，它跟你什么情况呢？跟你这个起点没有关系。跟你这个起点是没有关系的，

你下去过程当中好好想想这个事儿，你会了那个题就非常简单了。你要是不会的话，你发现一个事，你还得在那半天算算算好久啊，就麻烦了。好，那么今天课程呢？我们就讲到这还有一种情况，叫正态分布。侦探分布是最重要的。考研过程当中啊，非常喜欢考正态分布，你想想过程当中我们学习的概率论呃，可能啊，

有些同学考统计学或者有些同学大学学过统计学。你在后面过程当中学过那个统计学，你就知道了，在统计学过程当中啊，这个数理统计当中尤其比较重要的一个问题点是什么？尤其比较重要的就是我们在这里面当中的这个正态分布啊。哎呀，这个同学你就你没有听懂啊？你没有听懂。那说明的话，你这个没有理解透彻。好，我来再来再来说一下吧。啊，我再来说一下这个事情。

好，我们来看看这个人啊。就什么情况呢？我们现在在计算一个什么？我们在计算这样的一个事情。比如说x大于零。大于a的条件下，然后再计算x大于a+m的概率。好，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个事情。你看我大于a的时候，现在而言的话，比如说举个例子，也就说我想说的一个事情，

就是跟你这个取值是没有关系的。没有关系的，什么意思呢？就说如果，比如说举个例子啊，你给a取几呢？你给a取一。这是一那这个时候的话，我们就要算后后面什么后面的话，过程当中我就要进去求a这个是一，然后这是一+m的概率。这是你给a取多少？取一的时候吧。那如果你给a进行去取十呢？取十的时候的话，

这人就变成了十，然后就继续怎么办？变成了十+m。如果你给这个人取30呢，那就变成了30，30+m。这些概率都是相等的，就是什么意思呢？我跟你这个东西的起点是没有任何关系的，这就叫做无机异性。跟你这个起点没有任何关系，你这个起点爱在哪就在哪，你这个起点在十，我们算什么东西呢？在大于十的条件下s大于十+m的概率。

我这个s在什么情况呢？哎呀，这个。我发现这个理解啊。我再强调一遍啊，你再来看看。我再来说一下。你不能随便来哦，你不要随便来。还有一些事情，有些同学把这个东西，你能想到这些事情，你就说明的话，你还是没有理解好，我再说一遍吧。

有那么的难吗？这个。这什么意思呢？我这个s比说你看是大于a。然后在这个大于a的条件下，我们再怎么办？再加上大于二的概率。好了，我们来看看这个人啊，好同学们，你想想，比如说举个例子，第一个事情，我给这个a取多少呢？我给a取零。

取零的时候的话，你发现我们在算什么呢？我在算这个大于二，然后这个人大于零的概率。第二事情我再给这个a取多少呢？我给a取一取一的时候的话，你发现一个事情，这人就变成多少大于一，然后这人大于几大于三的概率。第三个事情，如果我给这个a取多少取五，那这人就变成多少在大于五的时候，然后的话，这个人x大于几大于七的概率？然后接下来过程当中，

你发现如果我给a取100的时候，那这人就变成多少就变成了大于100，然后在x大于多少102的概率。你发现个事情，这些人之间是相等的。这些人之间是相等的，我在讲什么事情跟这个a没有关系。大家注意一个事情，跟这个a没有关系。你们的核心重点得保证这个结构是一样的呀。能理解吧，得保证这个点，不要给我背啊，谁背谁就傻了。它得保证这个结构是一样的，

你看这是这个样子，那么倘若有一天过程当中，我们写的是什么呢？我们说在这个x大于a的条件下x小于a+2的概率，对吧？你发现一个事情，你第一件事，如果你给a取零。它就变成什么x大于零，然后这个x又怎么办？小于二的概率对吧？然后接下过程当中，你发现如果取二呢，它就变成了x大于二。然后这个x小于四的概率。

能理解吗？你不要给我随便变方向。不要变方向，就说它的意思，就说什么意思呢？在这个条件下，然后的话，这个人的概率。只要你它的核心的问题点的话，其实跟这个a没有关系。这就叫做没有记忆性，就没有记忆性，什么意思呢？跟你这个起点，这个值在哪没有关系啊，

这叫没有记忆性，不要随便变啊。你现在不会问，说跟这个二就有关系了吧？那跟二肯定有关系的，你不同长度的话，概率肯定不一样。但是你要注意，这就不是无记忆性的内容了。有的人说那我变号了之后怎么办？你一问变号的话，你发现这又不是无期徒刑的内容了。你要注意无记忆性的内容的话，它的意思就说我们保证了这样的一个前提条件下跟这个a的这个起点没有关系，这就没有记忆，

你从什么时候开始呢？你这个概率是一样的。能想清楚吗？哎，这个时候。你看有些同学又问了。哪两个相不相等啊？你问这两个相不相等？你能问出这个话呀，我建议你就要重新把这个东西重新学了啊。你能问出这个问题啊，你就得重新看了。你要注意啊，你不要每次过程当中什么问题你都要问出来。你如果问出这个问题啊，

你证明这个东西你还没有进行掌握清楚。我不知道你问的是什么，你问的是这两个相不相等吧，这两个东西肯定相等。你要问这样东西相不相等，那你就得重新看了。你要问这样东西相不相等，你证明这个知识点你还是没有理解清楚啊。你要注意，你不要背。你不要背啊。你自己可以下去，过程当中去检验一下嘛，对吧？你学这个数学，

你可以把这个东西检验一下，你注意一下这个问题啊，它必须保证这个结构是一样的。跟这个起点没有关系，你要理解它。背它没有什么意思，所以这里面当中啊，这个内容就是这样，你看我在a的这个条件下，然后这个a又小于这个呢。你发现一个事情，他这个人呢，跟a就没有关系。不信你下去可以算一下这个事情啊，我给你留个任务吧，

你下去过程当中你可以计算一下。好，刚才过程当中，我不是计算了这个人吗？你下去过程当中可以给我计算一下。如果这个a取二。然后这个人的话就小于等于几三的概率，你去看看这个东西到底等不等于一减一的负一次方？好，你去啊，这个你把它给我检验一下。行不行？你下去试一下，你算一下啊，你算一下这个东西，

它到底等不等于这个人？你如果算出来等于这个人，你就瞬间明白了。它的意思应该是跟这个起点值没有关系啊，注意一下这个你可以去算一下，你一算就清楚了。好基本点，我们就讲到这。能理解吗？好，这是这个事情。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这，这个今天内容还比较重要一点，

你下去过程当中得好好看看，然后下节课我们会讲一个知识点。应该是我们在概率论当中啊呃的东西啊，难度系数比较高的一个部分，但是也没有关系啊，我们有一个万能的方法，下节课过程当中，我们可能讲讲。所以下去过过程当中啊，把这个东西啊，好好处理一下，我布置下作业啊。好，我们来布置一下这个作业。这节课的作业叫我看看啊。

嗯，我看一下这个题目。424。426。27。28题下节课我可以讲讲，28题。29。30。31。32。把它做完吧，把这一节做完。把这节做完。然后这次过程当中。

四三八。四三九。四四零。四四二。好，这是这么多。希望四三八四三九四四零四四二好把这些题啊，好好处理处理。行吧，好了，这是这个事情吧？呃，后天上课吧，应该是周五上课，行不行？

因为我周四的话，那天有点事情，而且本来就有一节课程。啊，可以吗？放到周五吧啊，周五你这两天过程当中好好整理一下。在来这个两次课程呢，我们这个东西啊，就基本上结束。啊，太紧了吗？好好整理整理吧。行，那么今天课程呢？

我们就讲到这啊，这个基本问题啊，你下去过程当中好好处理处理行吧？呃，那么今天课程呢？我们就讲到这啊。哦，明天先不上了，明天两天的话挨的太紧了。你们下去过程当中好好整理整理，你们可不用进行去担心这个进度了。我觉得对于我们三九六同学啊，你们是最不应该担心这个进度的。因为很快我们这个基础班部分内容就结束了。那么，

在这个这个概率论部分当中啊，还有几次课程就结束，还有一个事情，这个大家没有我这个笔记。就不行嘛，这个这个上次过程当中，我这个笔记倒晚了，这两天过程当中课太多了。然后倒晚了，然后大家一直催这个笔记笔记笔记。啊，你上课过程当中也不整理吗？啊，就一直在问这个脾气啊，然后给这个助教对吧？

这个天天问问问啊。你这自己下去过程当中，自己也得独立自主的进行去整理一下啊。行吧，那么新年课程呢？我们就讲到这，我现在去导可以吧？好，我现在去导一下，你们下课过程当中啊，好好再进行去整理整理。呃，我们的这个概率论部分呢？应该还有。两到三次课程，

我们的概率论就结束了，然后就主要进行去看这个线性代数部分问题呃，这两天的话，这个数一数二数三同学的那个。线性代数部分课程呢，你们不需要听了，你们只需要听我们三九六的这个对应的这个啊，线性代数部分课程就行了，好，那么今天课程呢，我们就讲到这儿好。好吧好，这是今天部分当中的重点问题，下去过程当中啊，好好进行去把作业的题啊，

先做一下。一定注意啊，先整理知识点，然后再进行去把讲义上的例题再做一下，然后再进行去做作业。能理解吧，好那么今天课程呢，我们就讲到这好，下期再见吧。

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