03.随机变量及其概率（C）+习题课-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:50:01

好，接下来我们继续吧，我们再来看看这个下面部分内容呃，刚才有同学问这个抽签事件的问题，我简单说一下。就是你无论是干件什么事儿，什么摸球啦，什么打靶啦，还是干什么事情，对吧？比如说我们进行去，比如说摸彩票。摸球你就自己注意一个事情，就是这点当中，比如说呃，

去摸摸这个黄球，这个白球这个问题有多少黄球有多少白球？对吧，第一个人摸完了之后的话，你发现一个事情，你就拿走了，然后第二个人再去摸呢，你发现成功的概率是一样的啊。好了，这是这个事情吧，行吧啊。嗯，你们是是真有意思，别太荒谬对吧啊，好，

我们继续吧，我们再来看看这个下面部分问题。呃，来看看这个作业吧，看一下作业。看一下这个作业。呃，先看一下这个。概率部分当中啊，上次过程当中的题啊，有没有哪个题需要讲的？就是概率部分。概率论部分啊，上次过程当中有哪些题需要讲的？哪个题四幺五是吧？

四幺五不是没让你做吗？我就没让你做四幺五啊。我没让你做四幺五，你这节课就会做了，你这是上每次做题的时候一定要听啊。四幺九四幺九。还有吗？别的题就没有了是吧？好来看看四幺九。看一下这个题。还有四零三。四零三不是上课讲的原题吗？嗯，你你这下去你得好好复盘的啊，然后四零二。

四零二有问题啊，这个。你们有有些题你问的那个题啊，你得好好进行复盘了啊，你这个问题点还挺大啊。好了么？看看这个题吧。四幺九那这个题的话，你发现他说我在零一二三四五六七八九。十个数字里面当中任意取三个数字。试问三个数字不含零和五。就是既不包括零，也不包括五。是不这个情况好了，那么接下来过程当中，

我们先来看看全集空间吧。全集空间是多少？全集空间就是十个里面取三个。这是全景空间，这没问题吧？我随便取三个，然后接下来过程当中，我们再来看看a1事件。那这个人次数呢？包含零和五，也就说你发现一个事情，这是零一二三四五六七。一八哎呀，这个再写一个九那么这里面当中是既不包括零，也不包括五。

那不包括零，也不包括五的话，你发现一个事情，我们取三个数，那么就在剩下八个里面取不就行了吗？那所以说第一个人的概率多简单啊。你PA 1的这个概率，它不就是多少，它就是c八三c13。你这题我们考了之后完完妥妥妥的可以考，这没有任何问题的啊，直接可以出题的，然后我们再来看看第二事情a2。它说波含零或者。不含零或者五，

你要注意一个事情啊，就是可以不含，你也可以不含我。那大家想想这种东西啊，有两种算法，我们答案当中的话都给你写，写的非常清楚，你发现个事情。这里面当中是什么呢？不包括零的话，你发现有几种九个里面取三个？不包括五呢，是除了五之外的九个里面取三个。但是注意你这里面当中有交叉的。你想想一个事情，

你这个零哎，你剩下的这个东西，你五剩下的这个东西，你这里面当中有交叉的。你是不把那个部分的话加了两次？什么意思呢？你看这是不包括零的，这是不包括五的，但是你发现一个事情，你得把这什么东西啊，零和五共同有的是不是交叉的进行去减掉？你想想一个事情，这个部分是不包括零的，你把它加了一下，然后这个部分是不包括五的，

你把它加了一下。那在这种当中的话，这个交叉部分加了几次，加了两次，是不是要再减去什么再减去既包括零也包括五？既包括零啊，这个什么既不包括零也不包括五。既不包括零，也不包括五，就是c八三。你看这个部分是不包括零的，这是不包括五的，你把要既不包括零也不包括五的，你要再减一次，因为你重合了一次。

啊，这是一种方法，那么这里面当中还有一种方法继续来看。还能怎么做？当然的话，这个题的话，刚才有个同学说的非常好，你可以怎么做？你把不含这个人的叫做a一把，这个人不含叫做a2，你可以去算什么？你可以算PA 1+a二，这非常简单了。那它的概率就等于哎，不包括零的概率，

加上不包括啊五的啊，不包括零的概率，加上不包括零五的概率。减去既不包括零，也不包括五的概率，你这样算更简单，那这个不包括零的概率呢？是十个里面取三个。然后就是多少九个里面取三个，然后这个人的概率呢，十个里面取三个，然后九个里面取三个，然后这是多少十个里面取三个，然后就是多少八个里面取三个。好，

这是这个事情，那么接下来过程当中，我们再来看第二种方法，第二种方法写的也比较清楚一点呃，我不知道你们读的时候能不能读懂，对吧？这里面当中我写的已经很清楚了，那么还有一个是什么因为气含磷，它这个人有情况，然后怎么办呢？你把这个一减就行了。对吧，你把既含有零也含有呃，这个什么既含有五也含有零，你一减就行了。

这能听清楚吧？你用全集嘛，你所有的你再把又包括零又包括五的一减。这就可以了。所以说在这种当中的话，这个你下去呃，想想对吧，你既含零也含五，这个这个内容。行吧，那么这个问题啊，我们就讲到这儿。这个能听得懂吗？行吧，掌握清楚给我回复一吧，

你能听清楚这个方法，我觉得已经差不多了。你可以把它怎么转呢？我觉得最好的话，你把它转到这个概率上算，是不是会更简单一点？你说不包含零的这个概率是这个，这叫a1事件。这叫a2事件，这是a 1+a二事件，我觉得会更简单一点。来吧，那么接下来过程当中，我们继续吧，我们再来看看下一个问题。

诶，哪个题啊？我怎么转不到了？四零。呃。刚才有个同学问四零二。你上课听课很有问题。非常有问题，你要不调整的话，你后面的过程当中啊，你发现你会漏洞百出的。问题会漏洞百出的。就是问这个题的同学，刚才有个同学问b为什么不对？啊，

你这个。你上课的话，肯定没有认真听讲，100%的。你也不用给自己找借口，你肯定没有认真听。那么，在这种当中的话，我们先来看看第一个事情，我们都说过很多遍。如果这是概率为零事件。能推出它是不可能发生事件吗？能不能这是不能的？如果你是不可能发生事件，可以推出概率等于零，

但是概率等于零，推不出来，不可能发生事件，你要调整学习方法，这不是一件小事儿。你可能在这里面当中就有好多知识点，都会有这种相似的问题，然后下去做作业的话，你发现一团糟。那其实不是你学习的问题，是你在学习的这个态度或者方法的问题，你得及时调整，要不然后面的过程当中问题点很大。这上面过程当上课的过程呢，提了好多好多次，

所以这里面当中啊b不行。那这里面推不出来这个人呢，你发现不能推出胡适？然后接下来过程当中，我们再来看那pab的概率等于零。等于零，你能推出a=0或者b=0吗？大家想想，除非有一件事情就是pab=PA×PB就行了。如果PA×PB=0，我就能推出a=0或者b=0，但是你发现这推不了啊，你pab未必等于PA×PB啊。因为只有独立的时候pab才能等于PA PB，但这个题没有说独立啊，

所以你看这选项都不选选c啊。未必是不可能发生事件。所以注意啊，这个刚有同学问啊，然后的话你你这个问题点很大，你得好好调整。还有哪个题啊？四零一吗？a产品滞销b产品也啊，这个畅销滞销，你就把这个人设成b呗。你这人滞销设成c8吗？然后的话，你发现一个事情，这是且的关系吗？

那这个时候的对立时间的研究多简单啊。你就可以变成这样的研究了，你拔一下，然后再怎么办？哎，变成这个人，你再变成c，那就是你怎么办？你智销或者是我畅销，那这多简单啊。所以用事件的这种情况进行去研究是非常非常简单的。四零四又怎么了？你这这这下去啊，这个。哦，

好好些同学啊你比如说刚才问那个四零四零几啊，就是这个。四零二这个题的同学你你好好调整自己的学习方法，这个很重要啊，你得好好调整，不要把它认为这是件小事儿。好，再来看这个题，说任意的两个概率不为零的，互不相容的事件。不相容的话，你发现交集是空集嘛？对吧，交集是空集嘛，那交集是空集的话，

你发现个事情，我们来看看这个事儿。那么，在这种当中，这是什么？这是独立啊，肯定不行。独立肯定不行，然后在这种当中的话，你看这是pa-b就等于pa-pab。而AB的概率，这是零，那就等于PA那这题的正确答案应该选e吧？是吧，那么在这里当中的话，

你发现互斥跟独立没有关系，这不对。啊，然后接下来过程当中，我们再来看看这个人呢，这两个人相容吗？这两个东西你自己去画个图做行不行？对吧？a拔和b不相容。a拔和b相容，那么这里面当中啊，我们来看看这个事儿。你发现一个事情j里面当中的这两人呀，这个题不止一个选项。来，

我们来看看这个事情。先来看第一个问题，你发现。那么，在这种当中，这是a，这是b。a和b是这种情况。a和b是这种情况，没有交集，那它拔下呢a的外面和b的外面肯定有交集。对吧，有交集那照你这样说的话，那应该是什么？应该是相容啊，

但是大家注意一个事情啊，这里面当中会有一种什么东西呢？会有一种特殊情况。有一种什么样的特殊情况呢？就是这样一种特殊情况，就是你看如果是这种情况。那这种情况的话，你发现a和a拔和b拔，那这时候a拔在这儿b拔在这儿，这个时候你发现哎，又没有交集了。所以说大家注意一个事情，这两个东西啊，如果是这种情况呢，他这个人又不相容了。

所以说你相中不对，然后你发现是这种情况呢，它是相中的，你说不相中也不对，人家说的是必然正确。能理解吗？你琢磨清楚这个事儿。你这种情况的话，你看两者之间没有交集，你这种情况的话，拔一下两者之间是有交集，所以说它既有可能是相容，也有可能是不相容。所以就不选这题的正确答案选一呃另外一个事情，大家呃经常进去去关注一下800题的刊物，

听得懂吗？我们APP里面当中有一份那个800题的刊物，以后过程当中我们会实时更新的，多进行去看看，会实时更新这个东西的。所以以后过程当中，这里面当中有问题的东西，我们都会在上面继续去更新，大家注意一下好了，那么接下来过程当中，我们继续还有哪个题啊？再来看还有哪个题？啊，为啥不对？你推一下不就行了吗？

好了，这是这里面当中啊，这个我们接下来继续，我们再来看看这个人。那这个题的话非常的简单呀，你看这个人他是什么呢？他就是AB概率比上一个什么b的概率等于一嘛。然后所以说这里面当中的话，这个pab的概率不就等于PB的概率吗？推出来是这个情况，就这个情况，那这a+b的概率，然后等于多少呢？就等于a的概率，加上b的概率。

你再减去多少pab的概率，然后这两个东西呢，你发现是约掉了，所以说这个PA+p应该等于多少等于PA不是选c吗？还说那个那a+b这个东西肯定比b大呀，所以说这个东西一定对呀，你要注意你这个公式记得不好。我们上课讲的是b，这个人肯定属于a并b吧？你冰一下变大了嘛？你并一下就变大了嘛，你a是属于你a是属于的话，这个b的概率是小于等于a并b呀。你未必是大，你有可能是等啊。

你所以说学东西一定要学精确，人家公式是什么，你不要随便的话，把这个东西给我抹掉了，也有可能是相等啊。这是要注意的。好了，还有那个题吗？基本点别的题好做吧，我觉得别的题的话非常好办啊，你看这些题的话就很有我们的那个考题的那种感觉。行吧，好了，这个事情我们就讲到这儿，然后翻到这个什么？

原来的这个。导数的应用好吧，导数应用。是很多同学痛点，对吧？行，那么接下来过程当中，我们来看看导数应用这节的作业的平角慢一点啊，等一会儿。先不着急，说先来看看。幺三六到幺四一这一页是哪个题？幺三六到幺四一。幺三六到幺四一幺三六。幺三七好，

你你先后面的话，等会再说。幺三一。幺三一不是在前面吗？那个题不难啊？幺三八。幺三九。好家伙呀。还有呢？问，幺三九题的这个题的同学你就不长心啊，你这学习方法的话，你得好好调整啊。你这是我上课讲的原模原样的题啊。你说你这样复习，

你说你说到后面，你怎么办呢？你上课讲义的这个题啊。你总得会做呀。你这这这咋行啊？你你说你这样复习下去怎么办？你还说你自己努力怎么样？你这你说你做再多的题的话，你发现这个问题点也没什么用啊。那么对你就得复盘，这个同学说的非常复盘。你看这几个题。这几个题就是我们考研的这种感觉。对吧，就这个题，

而且的话，这个后面不是也有答案吗？你再者而言的话，这个。这这题的话，说实话，你发现难度系数真不大好了，那么接下来过程当中，我们来看看这个题。我们先来看看单调区间的求解。求解，那么在考研过程当中啊，你发现一个事情单调区间，我们是怎么求解的呀？怎么去求解断掉区间？

大家注意，这里面当中分为两步走呃，我们而言的话，最近呢，你必须要复盘的。对吧，你们必须要复盘，一定要进行去复盘。然后的话，这个这一批的话，我们应该好像是送这个最新一版的，这个必胜套装，今天的话，他们刚好设计完了之后给我看。还挺好看的。

我觉得还是挺好看的。这个错题本也很有意思。里面呃，里面当中的话，设计了一些，哎呀，反光还挺好看的，然后这个。呃，这个是这个是那个文件夹？然后另外一个叫我看看啊。这个是错题本诶，这个这个还挺好看的，我觉得其实。呃，

这个第一批你们慢慢打卡吧，对吧？啊，好了，那么接下来过程当中，我们来看看下面一个问题。那单调区间的求解，首先第一件事情，我觉得呃，反正我们数学这边做的这些东西啊，就是主要还是因为你们更加的有用，我们才来进行做这个东西，比如错题本，我觉得非常有用的。好了，

那么接下来过程当中，我们继续啊，这个不卖的别别乱来啊。来，我们接下来过程当中，我们继续，我们来看看第一个问题怎么办呢？求导。球道进行找什么东西呢？找注点。和不可导点，大家知道找注点和不可导点。不可导点注点和不可导点。所以说在这种当中啊，你继续去求个导，

把这个注点找到，把这个不可导点找到，找到注点和不可导点。然后接下来过程当中干嘛呢？画表。画表。哎，当然的话，你发现这个前面过程当中是不是得看定义域啊？我们经常都不说了，对吧？你自己要注意第一步，其实要看定义域。然后再进行怎么办？找到注点和不可导点，

然后画表，然后判断区间的正负。正负，然后得到单调区间。所以在这里面当中的话，你发现这个基本点就非常的简单了，对吧？求导找到注点和不可导点，然后用这些点划分成很多区间。对吧，用这些点划分区间划表判断正负，所以说接下来过程当中我们一起来看看这个事情来操作一下吧，你要注意啊这个题。呃，有些同学可能是二战同学，

你让二战同学的话，你进去去看看，这是不是我们考研真题的那种感觉？你一看就是那个样子。啊，好了，那么接下来过程当中，我们先来看看第一个问题。来解那么在这种当中啊，你要注意一个事情，你发现这个人求求导没，我们去求一下就行。但是你要注意一个问题啊，有些同学做这个题做的比较散一点，你要想清楚这个问题，

你把这个x怎么办？可以跑到前面去。我觉得这个题最好做的是什么？这个函数是个偶函数。这是一个偶函数，对吧？而且你发现这个函数的x是不为零的。因此，第一步应该是干嘛呢？先看看这个人的定义域，定义域是s不为零，然后另外一个事情，它是个偶函数，偶函数我做一半就行了。所以在这种当中，

我只需要做s大于零的时候就行。大于零的时候的话，你发现这个函数就变成了四倍的s方，这个时候二就可以出去了。出去，不然的话，你发现这个二出去应该要变成绝对值。你能理解吧，因为这个x的话，你发现是属于r的呃抛除了零之外的r的应该是r上扣掉零这个点。但是你发现一个事情，如果你直接把它抛出去的话，就变成二倍的ln x，这变s大于零了，只有大于零才能这么办。

所以接下来过程当中就可以求导了呗，一求导的话，你发现这是八s，然后这是s分之二，因此你把这个二提出去，然后这是s上面是多少四倍的s方再减一。四倍的s方再来进行减一的话，那么接下来过程当中我们来瞅一下，那么接下来过程当中你去看看，这人等于零的点。等于零的点只有几个，其实只有一个，那这个结果是多少？你稍微看看上面就知道了，是二分之一，

但是二分之一的话，那么接下来过程当中，我们来看看。这是s，这是y导，然后这是多少？这是y从几呢零到二分之一，然后这是二分之一二分之一到多少正无穷？然后这个人的开口，其实朝什么呢？开口其实朝上他是这样子的，这是二分之一。对吧，下面这东西啊，现在永远是正的，

然后这个事情是负的，它就负的，然后这项是正的，它就是正的。然后这项等于零，那这是减，然后这是什么哎，这是增那这是极什么值极小值，你不管了，你看的是单调区间。那这个单调区间呢，这个题。其实有点出错了啊，有点出错了，你们一会过程当中稍微改一下啊，

这是我们出出题的问题啊，等会我过程当中说一下。那这里面当中的单调增区间是谁呀？单调增区间是这个人。所以接下来过程当中，大家来想想一个事情，我们来画一下这个人的图形。你稍微琢磨一下这个事儿。那么这个里面当中的话，这是y这是零这是s。然后这是二分之一，那二分之一的话，你看这一段是减。你随便画啊草图嘛，这是增那么这个对称过来的话，

你发现一个事情就是这样子。然后这是负二分之一，然后这是二分之一，你告诉我事情增区间有哪几段这一段？和这一段因此写的时候应该写多少负二分之一到零二分之一到正无穷。大家注意，这中间只能用和或者逗号，绝对不能用bin用bin就出错了，把它给我改过来。把这个并给我改成和或者改成逗号，千万不能用宾啊，这是题目啊，当时过程当中我没有注意这个事儿。只能用和或者逗号，绝对不能用宾，

为什么是这样呢？我给你举个例子。比如说你看我这段到这儿是增的吧，然后这段到这儿你发现是不是也是增的，如果是并的话，你发现从这个点到这个点是不是落下来了？它是不是减下来了，所以不能用宾得用和或者逗号？你高中过程当中，你唤醒一下你高中当中的记忆。你高中过程当中，你发现以及参考书当中，下面过程当中重点谈到了说单调性单调区间。不能用，并只能用和或者是逗号，

这一段逗号这一段这一段。和这段你应该记得吧啊，这是个最浅显的知识点，把它给我改过来。好了，这是我们在这本当中介绍的这个问题，所以说这个题啊，就出来了，应该是负二分之一到零，然后的话是多少二分之一到正无穷选c。好，这个题对你们很重要，这是考研的高频题，很喜欢考，所以说将来过程当中见到单调区间怎么做就是求导，

然后找到这个人的注点和不可导点。然后划分区间段就行，这个题我觉得还有一件事情就是你要注意它的奇偶性，会帮着你做题，会非常非常的简便的。好，这是我们讲的幺三六这个题来继续吧，还有哪个题啊？幺三七那个题说实话，我实在不想讲。啊，这个幺三七这个题。你说幺三七这个题和幺三八这个题你都不会做，你还做它干嘛？你就别做题，

你去把上课的知识点重听。你得重听了之后再做。这种题的话，同学们告诉我判断几小时分成几步，你要注意啊，这个题啊，你要真不会做，你就先不要做了，你先不要做题，你要下去过程当中把题目进行去。这个上课东西整理一下再做，你说明什么东西都没有捋清楚好，我们先来看看，找几小支点分成几步。两步走，

第一步找到注点和不可导点，第二步再来判定就行，然后接下来过程当中，你看这个函数。这个函数是s的三分之五次方，然后这是三分之二次方，然后求个导一求导是多少是三分之五，然后这是多少三分之二？然后再减去多少三分之二，然后是s多少负的三分之一，那么在这种当中我们就可以提一下。稍微整理一下吧，把这个整理一下了，之后的话，你发现可以提一个三分之一s的负三分之一提出去，

提出去了之后的话就变成多少？就变成了这是x，然后再减一，然后这是5s应该减二。能理解吗？提出一个三分之一的s，三分之一次方，这是五倍的，这个人就要升一下就变成这个人，那么接下来过程当中找注点。注入点只有一个人，就是s等于多少五分之二，但是你要注意一个事情，还有一个不可导点。你注意这个题，

还有一个不可导点，为什么呢？因为这个结果的话，你其实你可以应该这样写，你应该写成s开三次方分之一，然后这是5 s- 2。对吧，你注点有一个你在这里面当中还有一个s=0，这是什么不可导的点？那么，接下来过程当中怎么办？你这个人判断正负性就行了吧？如果再用第二充分条件，还要再求导，特别恶心，

你就来看正负性就行。所以说在这s是负无穷，到多少就到零，然后这是零零到多少五分之二，然后是多少五分之二，然后这是五分之二，到多少正无穷。来看正负心。这个正负性的话，你看三次方的开方里面是正就是正，里面是负就是负，所以接下来过程当中，我们先来看，但是5 s- 2呢？5 s- 2是这样。

那么，在这个五分之二之前都是正的。啊，都是负的，后面都是正的，所以先看第一个事情小于零的时候，这是什么负的，然后这是负的负负的正的。然后的话，你发现零到五分之二呢，零到五分之二，这是负的，这是正的，那这是负的，然后之后呢，

你是正的，我是正的，你是正的。所以说这个时候的话y你是增我是减，你是增，那这个时候这是零啊，这个人是不存在的点。导数不存在的点，这是导数为零的点，因此你发现这是极大值，这是极小值，而这个题让我们去求的是什么？求的是极小值，那极小值是多少？极小值就是五分之二答案选c。

好，这个题说实话应该是非常非常简单的一个题，你注意一下，这是幺三七这个题。这很简单，你要把上课的知识点听透了之后，你再去做题，你不要在那里面当中啊，你上来就做。你看你，比如说你连这个题你都不会做，你证明的话，这个极致，这个问题你就根本就一点都没听懂，你再想通过题海战术去回顾知识点，

这是多么？慢的一种方式啊。你先把上课的笔记整理了，你再把上课的例题做了，然后再来去做做这个作业。肯定是慢一点，但是效果肯定会更好一点，你再看这个题。那这个题第一步干嘛先找触点和不可导点，前导后不导，然后再加上前面不导，后面来导，那这是多少录音二？然后把二的s提出去就是一+ln二倍的这个s。然后接下来过程当中，

你发现有没有不可导点没有，只能找注点，那注点一找的话s就等于多少就等于这个是负的ln二分之一。那么，只有这一个嫌疑人，我要是你，我就选a了。我要是你，我就选a了。为什么只有这一个嫌疑人？你说这种题多简单，如果你想进去去看这个人的征服性也好判。对吧，你也好盘，为什么这一项永远是正的，

你看这个人这个人斜率是正的，他是这样，这是那个焦点。你别管这个焦点在哪，反正这是个焦点，左半边是负的，右边是正的，先减后增极小值，所以就选a。好了，你说如果这种题都不会做，那证明这个板块的内容一点都没有切进去，那是毫无切进去，所以要整理上课的笔记再去做题。你说这每次的话，

这个看到这个题。你还好，我已经讲这个作业嗯。你要是这这这真能把人气死对吧啊，你说这样的话怎么办？好继续啊，再来看还有哪个题啊？幺三九我不会讲的。还有哪个题？还有哪个题？幺四一好，我说一下。好，我们先看这个题。先看这个人这件事情，

我其实上课过程当中也讲了很多。我也讲了，非常的多。啊，你看有同学都知道是睡前系列讲，你看还看。而且这个题的话，上课过程当中我也讲过图像，我们先来看看第一个问题。先来看第一个事情，那么在这种当中的话，这是y这是零啊，这是x。那么，首先我们先看第一个事情，

这个x0不是零。不是零的话，你发现假设它在这。他是这人的极大值。什么叫极大值呢？极大值的话，你发现是个邻域的概念，你就说明在这个邻域当中，它是这样的一个图形。我就画这一点点，行不行？再远一点，我不知道，但是你发现一个事情，我只能画出这个领域。

邻域当中，它最大，它比左边大，比右边大。那么这个时候，我们来看看这个事，你发现d选项就不对。是一切的人都比他小吗？不是的，是灵域当中的。那错就错在一切。然后再来看看第二事情，负s是f负啊，这个什么f负s，我想问你个事情，

请问。y=fs。与y=f负s之间什么关系啊？是关于什么对称？关于这个y轴对称，你还记得吗？我上课讲过，你要还忘了，还在问为什么呀？你得好好反思了一，这两天不复盘二上课的内容，一点都不记得啊，这个问题很大。所以说你发现看对称过来，那对称过来的话，

你发现还不是这样。所以说这是f负s，因此你发现这个负的fs是这个人的什么值？这个点很明显是个极大值点，所以说这人不对。那么，接下来过程当中，我们再来看看下面一个问题。那负的f负s呢？那这人是关于y轴对称y轴对称的话，你发现在这儿。这是负的f负s啊，这个关呃不是关于y轴，关于原点对称，那这个对称过来的话就是这个人。

关于原点对称对吧？负的fs原点对称，那这个时候你发现一个事情，它就是极什么值极小值了。所以在这种当中啊，你发现你是对的，你是对的话，你发现这人就是错的。然后再来看看下面的事情，这是负的f负s。那负的fs是多少呢？那上面是fs负的fs的话就在下面。我们只能说什么东西啊，我们只能说x0是它的极小值，但是它问的是什么？

它问的是负x0是它的极小值。驴唇不对马嘴。那按理说的话，应该说x0是它的极小值，那就对了，这是负的fs，所以你发现也不对。这题多好的题啊。这考给我们的话，你发现非常完美的题。啊，这就是我们在这里面当中考题的内容。过去了，可以吗？来继续吧，

下一页。下一页看看这一页的题吧，幺四二到幺四六。幺四二到幺四六。幺四二。幺四三。幺四四。幺四五幺四六行行行好嘞。哎呀，真的是。来看看这个事儿吧，先看幺三儿。幺四二这个题的话，你发现一个事情来，我们继续看。

看幺三。幺三二这个题的话，我们首先来看看这个问题，他说了一个事情，他说这个人是他的反函数。反函数的导函数大于零，单调递增。导二阶导数大于零，是o曲线。又增又凹是这样子的。他问你fs是什么样子，本题贼简单，所以在这种当中的话，你发现一个事情，这两个人怎么了？

他就关于yx=y对称就行。反函数跟原函数不就关于这两个对称吗？关于这个对称，那这个时候你发现反函数什么样子又增又凹是这段。所以说这是f负x。然后接下来过程当中，你再来看对称过来是不是这样子啊？所以说这是fs，因此你发现一个事情，它应该是单调递增导函数大一点。然后这个二级导数，它是凸到二级导数小于零。应该是又增又凸的选减选a，你发现这减少的都不对。好答案选a啊，

这个题非常简单，来我们继续吧，我们再来看看下面一题幺四三。幺四三这个题啊，也是一道非常非常简单的题。幺四三。那么这个题说什么呢？说这个人由这个人确定什么函数隐函数？隐函数。然后说这个s0是它的注点，说明它在一处的导函数等于零。而且这个人要通过这个点，他在经过一一点，所以说告诉我事情这个题考什么就考了隐函数求导。那首先第一件事情，

我们先把这个函数写出来，减去a方x方y方啊a倍的x方y方，加上b倍的y的三次方等于零。我其实很想知道一个事情，你说这个题你不会做的原因点在何是答案出错了是吗？答案出错的话，那就那就算了啊，那我们来看看吧。那这里面当中的话，那个刊物里面我不知道这个刊了没，对吧？来把一带进去就是一，然后减去a+b=0。然后接下来过程当中，我们再来看它是注点导数等于零隐函数求导嘛，

方程两边同时求你，然后这是a。前导是2s，后面不导，然后继续前面不导，后面来导，这是2 YY再导，再加上b3。三倍的y方y再等等于零。然后接下来过程当中是干嘛呢？把这人带进去当什么情况呢？当这个x等于几？当x=1 y=1。y导等于减零的时候把它带上去，带上去了之后的话，

你发现这是三，然后再减去多少，这是一，那就是二倍的a。对吧，二倍的a，然后再减去多少呢？减去这是零加上这是多少这是零，然后等于零，所以说这个a就出来了a就等于多少a就等于。二分之三对吧？这人出来了，二分之三往这一带b就出来了，所以答案出来了。呃，

这个题啊，很有我们出题的这种感觉。这就是我们的考题，很喜欢这样出。那么，在这种当中，稍微的进行难也不难，但是基本的点呢？把这个想清楚就行了。呃，这个题答案没有问题吧？这题答案是对的吧？啊，那么在这个当中的话，这个b是多少？

b这个是a减一，那就是二分之一，所以说是二分之三二分之一选一。好了，这是这个事情吗？嗯，二分之三。啊，这个选项是吧啊？选项你调一下，这个应该刊物了，你们多进行去关注一下那个刊物好，我们继续吧，再来看看下面一题。幺四四讲不讲？

幺四四。幺四四不讲，我就讲下一个题了。幺四五这个题我上课没有讲过吗？这个题我给忘了。那么再来看看下面一题啊幺四五。什么东西？怀疑我们做的不是同样题，不是我们，是我啊，你改成我。好了，这是这个啊。那么，接下来过程当中，

我们再来看看下面的问题啊。来幺四五，这是讲义上的原题吧？好下去反思一下啊。哎呀，这这这习题课不敢讲，这气死人了啊。真不干净。然后再来看看这个题。这题我上课也讲过。啊，这题我也讲过啊，这个题。这题我没有想过吗？你自己想想一个事情，

那么这个题当中的话，我们上课给你写的，我自己手写的那个题当x趋向零的时候，你发现下面可以等价一下，等价乘平方，这是等于二。然后接下来过程当中，我们一起来看看可不可导。那么，在这里面当中啊，我们先来看看这个人导函数，因为含连续嘛。连续的话，在这种当中分母极限是几零分子极限是零当x趋向零的时候，这个人的极限是零。

连续又等于函数值就是零，所以说该点处的导函数怎么算呢？就这样算当s趋向零的时候。你用fs-f零不减了，比上s，然后用已知凑位置，已知凑位置的话fs比上平方这块来个s。所以说在这种当中的话，你发现前面这个结果是几这是二，然后这是零，然后这是二乘上零，它就等于零。那么，在这里面当中啊，它就出来了，

你发现看这就不对。然后接下来过程当中，我们看极值，因为只告诉连续，所以说这个题的第一充分条件不能去求导。也不能在第二充分条件用二级导数，那这个题考什么就考了定义法。对吧，完全考了定义法。那么，定义法考了什么东西呢？我们一起来看看。那就要比较零处的值和零的什么东西啊，区域性领域内的值的大小。那么，

在这种当中的f0是几呢？是零。所以说在这种当中啊，我们要进行去判断两侧的这个值的振幅性。是吧，所以在这种当中，你就又发现一个事情，这个极限什么零大于零，在这个趋向过程当中，就是去心零域内。它都怎么办？都大于0 fs，比上平方都是大于零。然后接下来过程当中，我们再来看，

那就说明这个函数就大于零。那这个两侧是大于零，这个人等于零，我这个点是这两侧当中啊，哎，是比我两侧都小的，所以说极什么值？极小值选d。好，这是这个事情，其实你发现这题啊，已经做的呃很好了，对吧？这个基本点很好了，但是我们还可以更好。

那上课过程呢，我讲过呀。这是个抽象函数的极限吧？这是一个抽象函数，只要我能找到一个满足于连续满足这个极限的函数，我就可以进行排除了。你直接取多少？你直接取二倍的x方。你一取就满它，那这时候你发现可导可导，而且导函数呢等于零，而且你发现图像是这样，那这个点极什么值极小值，所以说就选d。所以你发现你要是这个题不会做啊，

都更不要说，你会能想到这个举反例了。你肯定想不到举反例，你连这个核心方法都没想到，你这这这咋办？这我上课讲的原模原样的题。我上课在这里面当中写的，是不是一减cos in你去想想？我上课是不是写的这个人？我写的是fs比上一减coss，我好像后面等于多少等于二零二四还是等于多少？我上面写上课是不是写过这个题啊？你自己去看原题。这问题点很大，哎呀，

这节课真的是这习题课真不敢讲。你这这这复那这两天也复盘了呀。你去看看那个复盘计划。那这个复盘计划的话，我在前天过程当中，我还给你写。我还让让你们进行去说这个5月4号讲我，我忘了在哪一天了。我写了一天，然后我还专门跟你说，我说5月4号那天的课程我会讲。我让你们去看看，你先复盘了之后再做那那难道这就是复盘之后的一个水平，我不信啊。好了，

记下过程当中，我们继续吧，再来看还有哪个题。呃，这个会有的啊，后面还会有啊。还有哪一题？150题。153。啊，153。153题。156题。154题。155题。

嗯，我我问一个问题可以吗？答案也看不懂嘛。啊，就是如果这个题你发现没有做出来答案，也没看懂吗？你这这种你这叫这叫啥呀？这啊157题。我现在状态怎么样？我现在状态很不好啊，还有哪个题？来看看吧。先来看看150题，这个题。那么，

接下来过程当中，我们来操作一下这个。那么，首先我们先来看看这个问题。他说了一个事情，他说这个函数由参数方程确定。则这个曲线为o曲线的x的范围。对吧o曲线的s范围那你想啊，这个凸曲线的s范围。那凸曲线的话，不就是二阶导数什么零二阶导数小于零吗？是y对s的二阶导数。所以说在这里面当中的话，你发现一个事情，你就进行去求一下y对s的两阶导数呗。

y对s的两阶导数的话，你发现就是y对s这个一阶导数，你y对s的一阶导数y对t比上s对t。二级导数是一级导数，对t补上s对t求导分之一这个题啊，我简单把答案说一下就行了。好。你要是这个前面这个求导，你不太会呀这个。你去复盘一下好不好？150题。好，那么记下过程当中，我们来看看。那么，

这里面当中一阶导数会算吧？y对t比上s对t2阶导数是一阶导数对t补上s对t求导分之一。对吧，把这个人做出来，做出来之后的话，你发现你要让这个人什么零，你要让这个人小于零，但是你发现一个事情，这个人是不是永远是正的？那么其实你发现你求出来的是t小于零。但是你要注意一个事情，你求出来t小于零，你可不能说哎呀，选b选b就废了。那是谁的范围？

那是t的范围。所以在这里面当当中啊，你要注意一个事情。最后s定，你要注意一个问题，你这里面当中求出的是谁t小于零？我要的谁范围？我要的是x的范围。你这是要注意的，然后接下来过程当中，你要通过这个t的范围求出s范围，然后你再看看这个人。那这个人的话，如果是s对t进行求导的话，就是三倍的t方加上三，

它是大于零的。对吧，所以说x跟t之间是单调递增的关系，那既然是单调递增的关系的话，你发现你这是x你这是零这是t。t=0的时候s是几一单调递增关系你t大于零，我s大于几，我s就大于一，我s大于一的话，你发现这个题答案只能选一。你千万不能选b，这是这个题当中比较重点的一个问题。就是你求到两阶导数了，两阶导数小于零，你得到的是t的范围，

我要的是s范围，说的非常清楚嘛。好，这是这个题，继续吧，再来看。然后是幺五三。呃，153题这个题啊，你很明显的话，有些同学估计没有看什么呢，没有看那个睡前系列，睡前系列，我是讲过这个题的。来那么记下过程当中啊，

怎么了啊？这个是小于一。小于一是吧？那就是负无穷到几到一选a啊，不好意思。啊，那就是小于零，小于零就是这个。小于零的话就是小于这个一啊，基本点。所以接下来过程当中，我们就继续吧，我们再来看看幺五三这个题。哎，这个题啊，

这个题是这里面当中比较难的。这个这个题比较难啊，这个题你要不会做，我觉得很正常。这个题没有做出来很正常。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个事情吧。它说，具有二阶的连续倒数。二阶的连续导数，一阶导数等于零，说明这个点是个注点。然后给这个几千。那注点。

那重点的话，然后进行去判断极值的问题，判断极值的问题又有二阶导数，你会想什么？我会想第二充分条件。想第二充分条件的话，你发现分母的极限是零。我就想求二级导数那分子的极限也是零。而你发现一个事情，又因为二级导数怎么了？连续二级导数的极限等于函数值，它就是零。因为二阶导数是连续的嘛。极限就等于它的函数值，所以它这个人等于零，

那我想问你个事情，如果一阶导数等于零。二级导数也等于零。能不能推出不取极值啊？不能那这个时候说明什么？第二，充分条件。失效了，第二，充分条件失效了。所以在这种当中啊，无法得知那这个东西的话，你发现你只能打个问号。那有同学说，那我就选c了。

你要注意啊，失效了，证明这种方法用不了，不能代表说别的方法也用不了。所以接下来过程当中，我们再来看，那我们把极值再放一块吧。你再来看看拐点，那既然二级导数等于零，拐点是可疑点嘛？那拐点可疑点，然后这人的三阶导数就不好求，比如说我凑第一，你凑第一的话，你发现你试一下。

三阶导数零就是limits趋向零，二阶导数减去二阶导数零是零比上s- 0，那这个时候的话，当s趋向零的时候，你发现。用已知错位值比上个绝对值，然后这是绝对值除s。然后你再来看你这个极限是一吧，你这个极限是正负一吧，你的二级导数怎么办？不存在。啊，三级导数不存在。那二阶导数等于零三阶导数不存在，你也用不了。

所以说大家注意一个事情，你这个第二充分条件也用不了。极值的时候，我会想一阶导数等于零，我看二阶导数等不等于零。那拐点的时候我看二阶导数等于零，我看三阶导数为不为零，但是你发现三阶导数不存在，你也失效了呀。所以说这个题啊，没有办法做，那没办法做，我们只能怎么办？选第一充分条件，第一充分条件拐点的，

第一充分条件看的是。几阶导数啊，看的是二阶导数，在这个点两侧的正负性变化。二阶导数的正负性变化诶，这个点的两侧是什么意思啊？这个点的两侧不就是这个点的去心领域吗？想看去心领域内的正负性哎，你看趋向于这个点，我马上会想到饱和心，你这人大于零吧。我立即就会想到你在阵容当中偷个帽，你偷个帽了之后的话，你发现二阶导数比上这个绝对值，它也是什么零大于零？

那么，在这种当中的话，因为这个分母都是正的，所以说二阶导数大于零。哎，这不行啊，我们都知道二阶导数在两侧变号，左边正右边负，左边负右边正取拐点。但是如果两边是同号，它一定不取拐点，所以说这里面当中你要注意一个事情，两边是同号的，一定不取拐点。他绝对不许拐骗人。

那绝对不去拐点的话，接下来过程当中所有的问题就落到极值的问题了，那么极值的问题的话，接下来过程当中我们再来看。二阶导数的正决定了一阶导数的增，所以说接下来过程当中我们画下一阶导数图像，一阶导数零在零。零处值是零，而且这个人又单调，递增上去连续的嘛，又增上去左边负右边真那就是。一阶导数左边负，右边正先减后增，极小值答案选b，那e就不对c就不对a就不对选b。

那这个题啊，我觉得非常的好，值得多去磨一磨，对吧？多去想一想，你发现一阶导数等于零二阶导数等于零。机制的第二充分条件是小。一级二级导数等于零三级导数诶，不存在你发现第二充分条件用不了，你只能选第一充分条件，第一充分条件往往是看这个点的去新领域。很喜欢跟保号信一起来考。这是一种烤箱方向内容好，这题过去了可以吗？幺五三来，

那么接下来过程当中，我们继续再来看看幺五五。啊，看幺五四吧。呃，这个题啊，你去看看那个睡前系列吧，说实话，这个不听话，这个听话对吧啊？这题可以哦。也可以用什么东西呢？用这个第一充分条件判断可以的，你发现看用一下饱和性哦，你问的问题那不好意思啊，

这个你问的很好，我们来看看。小于零那小于零，用饱和性，那就是什么东西呢？就是趋向于a的时候，然后这个整体小于零。就是这个一阶导数比上s-a，这人小零。然后这半边是什么情况？这半边的话是负的之比小于零，说明什么情况？上面大于零。知比小于零，这边是正的，

然后的话你发现上面呢也大于零，所以说这个东西的话诶。下面这人是负的，那上面是正的，然后现在下面是正的，那上面是负的，所以说这人呢，是先增后减。极什么的极大值选的非常好，错的啊，非常好，这个橙子八四二同学啊，非常好，做的很好。选c选项。

跟得上吧，可以在这种当中凑一下导数定义，把这个二级导数求出来，然后接下来过程当中也可以用这个事情。好了，这个橙子八四二c同学，你可以去领个必胜套装。然后下面这个同学你就有点儿有点儿胡来了啊。呃，如果二阶导数连续二阶导数也大于零，你是在是在是在说什么呀？你去看看，看那个事情嗯啊。呃，这里面当中的问题点我来说一下这个事情，

你听好了。你注意下这个问题。你在刚才这件事情当中啊，你要注意一个点。这个二阶导数的两侧是大于零吧？对吧，两侧大于零，两侧都大于零，你能说那个中间页大于零吗？你不胡来吗？你自己都不尊重客观的事实了。你自己去看看，你刚才已经求出来了，这个点处的是等于零，你不信你去看。

你自己看你刚才求出什么，不信你往上看，你刚刚求出什么？你刚才求出的是这个点处是等于零。这个点处是等于零，你现在又说它大于零，你不是纯属不来吗？另外一个事情。谁说二级导数连续这个两边都是正的，我这个点处就一定是正的呢。你来看看这个事儿，现在我来画一下这个二阶导数图像，两边都是正的吧？你告诉我这个点处什么零？理论问题。

啊，改正过来啊。我相信你，你下次过程当中肯定印象贼深刻。你两边都是正的，连续啊连续，你看我也能连续到零啊。你现在看两边都是正的吧，连续的呀，连续你看这人等你，你下去肯定会印象贼深刻啊，非常好啊，可以可以。你只要呃，把这个事情捋清楚就行，

有印象，我觉得就非常的好啊，你下次过程当中有印象，我就觉得非常好。好，再来看看幺五四这个题。好，来看看这个题。这题他说了一个事情，他说这个人具有连续的二阶导数。二阶导数是连续的。二阶导数存不存在？连续的呢，当然是存在的呀。二阶导数当然是存在的，

然后说这个点是它的拐点是拐点，且二阶导数存在放心，二阶导数一定等于零。二阶导数一定等于零，然后让我去求解这个极限，那你想想抽象函数的极限可以怎么做？洛必达落到哪一呢？落到连续那节落它。然后这是一阶导先对中间变量求导，中间变量再导再来定，下面是零，上面f撇0f撇零零零比零型，还能不能再落可以啊，二阶导数连续落到连续那一。求导，

然后这是负负得正二阶导数负s，然后连续连续极限等于函数值连续极限等于函数值。所以说这个结果的话等于几等于零。选几选a哟。呃，这个题是个很容易的题，对吧？抽象函数在极限里面可以落到连续那节，而且这个题考了一个什么考了一个太子定理。是吧，说取拐点，且二阶导数存在二阶导数一定等于零。好，这个问题来吧，那么接下来过程当中再来看看幺五五这个题，

幺五五这个题啊，这个题比较简单啊。来先看这个题。那么，先看这个人的话，你发现有没有这个垂直渐近线啊？那么，先找无定义点，那无定义点是谁呀？你先看垂直没有定义的点是零，所以接下来过程当中核心重点就去求零处的极限就行。零初的极限的话就是一减一的负x方，一加上一的负x方。然后接下来你看这一当中的话，它就操作了一的零是一一减一是零一加一是二，

这一除是无穷大，当然是垂直渐近线。然后接下来过程当中，我们再来看水平，水平渐近线，就直接去求无穷大方向的极限。我来问你个事情啊。这个题需不需要分呢？要不要分头去买？不用分，有的说老师这e的头顶都往无穷大跑，还用分吗？还不用分吗？不用为什么，无论你是正无穷也好，

负无穷也罢。我平方下永远都是正无穷。平方永远都正无穷，所以说负x方永远负无穷，一的零是一。那这个时候你发现个事情，上面是一一这个结果是一那正负无穷的话，都是一个数，那正负无穷都有水平渐近线。正负无穷都有水平渐近线，正负无穷都没有斜近线，所以说这人不对，这人不对，这人不对，这人不对。

答案选e。好了，这是这个题，听懂我的意思吗？诶，这个题是非常简单的。然后接下来过程当中，我们再来看。好，再来看看幺五六。这个题答案是看不懂吗啊，这个人？我们先来看看这个事情。在这个题当中啊，你要稍微注意一下，

求斜渐近线之前呢，先看看有没有水平渐近线。趋向无穷大的时候，这个人的极限是一。一的负无穷是零零加，一是1 ln 1是零。所以说，当s趋向于负无穷的时候，那这个人是一，这人是零，它的极限是存在的，所以说负无穷方向上有什么渐近线？有水平渐近线，所以负无穷就不用求了，但是e的正无穷是正无穷，

那这个人没有水平，我们只用去求正无穷。趋向于正无穷用y比s求。除以s的话，第一人就是s减一分之一，第二人呢？是lin多少一加es BS？那么，这里面当中的话，你发现第一个极限是零，我们只用去做什么？只用去做第二个极限，第二个极限是s分之ln多少一加一s？现在当中啊，有些同学的话，

你发现有点离谱的事情，他说老师，你看这不是幂函数远远大于对数函数吗？那不就是零吗？做错了。原因点在何处呢？这不是纯对数。纯对数，你看这里面当中还复合了一个指数函数，这就说不清楚了。就不能用那种趋向情况了，怎么做呢？你可以洛必达。你一落的话，下面没了，

这是一加es分之一s一抓，这是一。当然，你会发现一个事情，我还讲过一个事情，这是无穷大比无穷大，你可以抓大头像，对数函数的里面是可以抓的。那一抓的话，变成多少lueslues？这约到这是一也是可以的。两种方法都行，然后接下来过程当中，我们再来看b，这是a吧？

再看BB的话，就是limits趋向正无穷。然后怎么办呢？用这个ifs这个人。加上ln多少一+es再减去as这个题啊，后面部分非常的好。如果有些同学经常跟这个睡前系列，这题我也讲。这极限解一加减法当中见到存在就拆开。然后就变成了这个极限。这个极限，那这个极限怎么做呢？这个极限是无穷大减无穷大的未定式。这么做，那这里面当中，

我们先看看第一个事情能通分吗？通不了。通不了分怎么办？倒带宽也不好来。所以说这里面当中的话，你发现通分倒带换都做不了，那我怎么办呢诶？我们在这里面当中啊，你发现这是个对数诶。我可以发挥对数函数的优良特性，把它变成LES非常的巧妙，所以说这个时候你发现不光把它这样，我还把它合起来。合起来就变成这样，这一抓就是解1 ln 1，

是解零就是一+0，这是一。那这是一种方法，还有没有方法呢？我觉得还有。再来看，那这是无穷大减无穷大的未定式，我还给你教过一种方法叫提毛法，你还记得吗？把这里面当中最大的卯es提出来，变成e加上应该是变成e的负s+1。然后再减去x。是不是这事情，然后接下来过程当中，根据对数函数的优良特性，

敌人就变成lnes，然后这是lne+e的负s。然后减去s，这也是s这两个约掉了，然后看这个部分一的负数是零，ln 1也是零问题结束。呃，这两种方法都需要去进行看看啊，都是非常好的操作，所以说这两种操作性啊，都非常的重要。跟得上我的意思吗？你下去过程当中好好看看这个题啊，这个题目幺五零。然后接下来过程当中，

我们再来看看幺五七这个题。幺五七这个题啊，你们想问的是不是那个答案的刊物啊？幺五七那个题的话，好像呃答案的话给错了，应该是什么情况？那么，这里面当中的话，你发现趋向正无穷的时候，这是有一条什么啊？这是趋向零有一条垂直渐近线。然后在这里面当中的话，这有一条斜近极限，这又一条斜近极限，这里面当中应该是给了几条，

应该给了三条应该选d的吧？啊选d所以说这个把它改一下就行了。是不这个问题啊。你先找无定义点嘛，你求一下这个极限，然后趋向正无穷的话，这个人和趋向负无穷，这不一样。好，这个题啊，我们就说到这啊。行，那么今天呢？我们就不多讲了，然后后面的一些题啊，

你先不做了，对吧？这个之后的题先不做了，幺五九之后的。幺五九一直到幺六二这几个题先不做，这是我强化过程当中有专题来讲解的。把这几个题啊，先放到这。呃，上次过程当中那个高等数学的结课我给你说过这个问题，有几大注意的点？对吧，有几个点我们没有讲后面过程当中，我们会重点说。行吧，

很担心呐。很担心有些同学的复习啊，就这个。讲这个习题课讲的我很感伤啊，这个部分的内容啊，但是你就说这些习题的处理很重要啊。非常的重要。今天的作业是把第一章的800题，800题当中的概率论的第一章，剩下的题做完就行。啊，好了，那么今天啊，我们就讲到这儿，然后另外一个事情，

明天晚上呃微博也行B站也行，你选一个平台都可以去听。明天晚上我会对这个五月份我们的这个数学的这个备考给同学们做一个规划，当然大家有任何的这个复习的问题啊，你也可以过来问。对吧，我觉得这个到了这个五月份也是非常重要的一个时间段。对于我们的概率论的部分呢，我们的完成呢，这个东西其实会比较快，然后剩下的一个部分就是线性代数了。所以我希望同学们注意下去，过程当中好好复习，还是那个事情多复盘哎，多复盘，

另外一个事儿，我上课。说的这个问题，你不要那么的不在意。稍微的在意一点，你不要让我在这儿苦口婆心的，一直在这儿说呃，你要在意一点。你发现一个事情，有些部分的题你没做出来，这就是学习方法出现的问题，这很显然的，我们上课过程当中。讲的这个题目原封不动的题，你下去过程当中你处理不出来。

还有一些事情，你做的那些题呀，你做的那些题目，你很明显一个事情，它远不及我们上课讲的例题的一些难度。那说明上课的立体消化的又不到位，这很重要啊。呃，明天晚上的九点半啊，直播啊，明天晚上。行吧，好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿下去，

过程当中好好复盘。行不行？答应我，一定要好好复盘。下去一定要好好复盘，你看刚才讲的这些题有多少题都是上课讲的原题了。一定要复盘啊，好那么今天课程呢，我们就讲到这儿，所以下去过程当中好好处理一下行吧，那么今天我们就说到这儿好，明天见了。

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