02.随机变量及其概率（B）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:49:20

那我们继续吧，我们再来看看这个下面部分内容啊呃，刚才过程当中啊，我们讲了一个东西，叫做独立性，对吧？一个东西叫做两两独立，一个东西叫相互独立，这件事情发生在多个人当中。如果只有两个人之间，那相互独立跟两两独立啊，其实没什么区别，只有多个人的时候，你发现相互独立和两两独立不一样。比如说三个人，

三个人的相互独立是任意，两个人要独立任意，三个人也要独立，但是两两独立呢，只是任意两个人要独立。啊，这是要注意的问题，所以说如果是多个人之间从这个什么东西两两独立，要想推相互独立，你必须要保证后面这个些部分东西啊，你得累积。比如三个人任意两个，你任意还有三个呢，你得补齐就行，好那么接下来过程当中啊，

我们来给同学们增加一个例题，我们来看看这个事情。虽然的话，你发现一个事情，我写的是一个证明题，但是这个题啊，可以改成一个选择题。对吧，选择题a选项说这两个东西两两独立，而且相互独立，这两个东西不两两独立，但是相互独立，怎么怎么样出五个选项就行。好，我们来看看这个人来解吧。

我不写证明了啊，我们直接解。那么，在这个题当中啊，你发现这就很有实际性的问题了，一看就是概率性的类型问题。他说，装有四张小卡片。每张卡片上有一组数啊，这个字母，这四组字母是多少呢？来，我们一起来看看这个事情，总共有四组字母。啊，

我们来看看这个人。好，我们一起看看那第一个人是谁呢？第一是xxy，第二是多少xyx，第三人是多少y xx，第四人呢yyy。那么，这里面当中，我们先来看看第一个人。他说，从合当中任取一张卡片。对吧，我取一张卡片，然后这个AI表示世间取到卡片div的字母是x。

那同学们想想a1什么意思？a指的就是你这张卡片的第一位是s。那a2呢？第二位是sa 3呢，第三位是s那么首先我们先来看看这个事情，两两独立，你怎么证明啊？你是不是要看乘积的概率等不等于各自概率乘积啊？我们先来算一下PA 1的概念。那就说什么情况呢？在四张卡片当中摸一张卡片。摸出一张卡片的话，你发现第一位是x的有几张啊？就是这一张和这一张吧，所以说你占了总数的哎，

你发现两张那就是二分之一。没问题吧，然后接下来过程当中，我们再来看看a幺。第二位是s，那第二位是s的话，你发现这张和这张又是多少二分之一，然后再来看看PA三。p三的话，你发现第三位是s，第三位是s的话，这一张和这张哎，又是二分之一，所以说这是我们讲的单个人的。然后接下来过程当中，

我们再来看第二事情a1a2呢？这个人表示的什么意思呢？就说第一位是s，且第二位是s。你注意这个东西是且的关系，就是a1a2这个人的意思就是第一位。且第二位这是且的关系，第二位。第一位且第二位都是s，那你告诉我事情有几章？很明显，一个事情只有这一张四分之一，然后接下过程当中再来看看a一a三，然后再是a二a三。a一a三呢？

第一章和第三章啊，第一位和第三位，第一位和第三位只有这一张，然后在a二a三呢？第二位和第三位只有这一张还是四分之一。所以说你就会发现一个事情，那这个东西等不等于PA 1×PA二呢？它等于那独立的。然后再来看，等不等于PA 1×PA三呢？哎，你发现一个事情也相等的，然后这个东西等不等于PA 2再乘上PA 3呢？哎，你发现也是相等的。

所以同学们告诉我这个人怎么了，两两独立。好，这个人那要想这个东西相互独立，还缺一个人。如果相互独立，那就缺第三个人，那就是a1a2a3的概率等不等于各自概率乘积。那什么叫做a1a2a3呢？第一位且第二位且第三位，你告诉有没有没有啊？那这是零。所以它不会等于多少PA 1乘以多少PA 2乘以多少PA 3，所以说你发现这个人不成立，这人不成立啊。

不怎么办，不相互独立啊。好，所以大家一定要注意一个事情，怎么进行去判断两两独立？怎么进行去判断相互独立，那么相互独立，三个人之间的话，保证两两独立的前提条件下，然后还得满足三个人也是独立的。唉，这是这样的一个问题，能想清楚吧，两两独立，相互独立好，

这是我们讲的这样的一个基本问题，过去了可以吗？好，这个人可以过去了吧？基本问题点。呃，所以说这个题啊，我觉得还不错，也不难，对吧？就是这个基本点啊，这种这种摸卡片的问题可是最简单的。总数有多少张，然后摸多少张啊？这就像一个初中题。

好了，那么接下来过程当中，我们来看看下面一个重点问题，这个内容其实挺重要的。他其实在这里面当中啊，算我们一个高中的基础，你像接下来过程当中讲的这个问题啊，在高中的时候啊，我们应该要会。但是有同学说，那我高中都忘完了，那算了，那没关系，我们真正的话，大学过程当中概率论呢，

应该是从第二章开始。第二章到分布函数第二章当中的一维随机变量，第二章一维随机变量函数的分布，所以接下来过程当中我们先来看看。第一个问题三，大概型当中的第一个人啊，古典概型。呃，这个古典概型呢？在这里当中，我们先来看看第一个事情，什么叫做古典概型呢？呃，这个你初中就学过对吧啊？这古典概写好，

我们来看看这个事情吧，古典概写。什么叫古典概型呢？他这样说的，你这个样本空间呐是有限的。然后每个基本事件发生的这个可能性是相同的，称之为古典概型。你这个定义啊，你就没有必要背了，你背这个定义就有点扯了，举个例子，比如说掷色子。掷色子是不是一个古典概型呢？它是一个古典概型，为什么它的样本空间就是有限的？

一二三四五六这几个点，而且摸到一这个点概率是六分之一，摸到二这个点概率是六分之一，摸到每一个点呢，你发现概率都是一样的。对吧，古典概系。所以说在这种当中，那这个古典概型，它是怎么算的呢？它的计算公式非常简单。它的计算公式就是如果你想计算a事件的概率。你就进行去看什么情况呢？你就进行去看这个a的这个人的发生次数。a事件的发生次数，

然后再比上总事件的发生次数，样本空间的发生次数。大家知道就说我们要进行去看这个na，表示什么意思呢？就是a事件。发生它的次数。然后这个n这个欧欧米伽什么意思呢诶？就说样本空间的次数。样本空间的次数。好这个人，所以在这种当中，比如说我们举个例子啊，比如说我们说掷色子。偶数点的概率。那你告诉我掷色子的话，

样本空间的个数有几个有六个？一点二点三点四点，然后偶数点呢，有二四六三个人，所以说概率是二分之一。其实你发现我们一直做的很多内容，其实都是古典概型，我这个讲的有点简单哦。但是你要品出其中的味道啊，这个事情很重要。就什么情况呢？就说我要想看这个概率，我得看你这个事件，你要想发生你的次数有多少？我还要看看这个样本空间，

它发生的次数有多少？就是这件事情的样本空间发生的次数。你要注意这个问题啊，好了，那么接下来过程当中啊，我们一起来把这个高中的内容啊，我们稍微来复习一下吧。这个排列组合的知识点呢，我们来跟同学们进行去串一下啊，这个部分内容。所以我再强调一遍，不要给自己找借口啊，你不管的话，你高中学没学过，现在都是同一个起跑线。

你都要按照这样的一个要求，把它打到，不要每次过程当中说哎，我高中没学，都怪我高中没学，那都没有用。就跟以前的高等数学一样，那高等数学一样的话，你发现像什么second cos什么arcsine arc cosine tangent y quantity，你像这些东西高中也没学。大学过程当中，有些你发现一个事情也没有，把这个东西串清楚，但是你要注意考研，默认你学过，

默认你学的很好。哎，所以说不要给自己找太多借口，慢慢来好，先看第一个事情，先来讲讲两个数，一个数叫什么排列数，一个数叫做组合数。先来讲讲这个排列组合，排列组合叫什么呢？排列组合这个东西叫做这个东西啊，叫做技术原理的东西。啊，技术原理。这有些同学的青春呐。

啊，你发现是不是你的青春呢？技术原理啊。你高中的过程当中，就把这章叫做技术原理，什么叫技术原理呢？就是记它发生的次数啊，叫技术原理。好，我们先来看看第一个事情，什么东西叫做组合数呢？你要注意它的意思就是我在n个不同的元素当中取m个。就是n个人里面取m个。你把这个东西你要理解，就是n个里面。

哎n个里面我要取多少呢？我要取m个。但是这个my m个呢，无顺序。没有顺序，我就取m个就行，没有顺序。无序的。对吧，我去取m，我在乎的是这个结果，比如举个例子，我摸三个球。我在乎的是，比如说我摸到这个，

比如说我摸到三个白球，我在乎的是摸到三个白球，或者是我摸到一个红球，两个白球，我在乎的是这个结果，你是不是一个白球，两个红球，我在乎的是这个。就说你这里面当中，比如说有一个白球，有两个红球。比如说我摸到一个白球，两个红球，我在乎的是这个结果，至于你们这三个人在中间有没有排序呢？

不需要排序。没有排序，就是我摸到的是这个结果，我在乎的是这个结果，我在n个人里面当中取到m个就行了。所以大家注意，这个东西叫什么呢？这东西叫做cnm。n个里面取m这m个之间，他们是没有顺序的，我这m出来就行了，我不在乎你的顺序，你没有序的，我在乎的是你的结果，你是不是？

一个白球，两个红球呢，我在乎的是这个人。好注意下这个事情，当然在这里面当中啊，注意下。呃，计算怎么算呢？cnm的计算呢，我们举个例子啊，比如说你发现你看c九四怎么算？上面从九开始，下面从四开始吧，乘四个人九八七六，下面是多少四三二一？

是不是这事情？比如说你发现12怎么算？上面从十开始十乘两个，然后下面从几二×1个，你这个要会算啊，这个东西一定要会算。而且这里面当中啊，你要注意cnm等于多少呢？cnn-m。而且我们规定一个东西CN 0等于几CN 0=CNN=1。好，这是这个事情，所以说你发现你算的c九四，它就会等于c九五，你算的c12，

你就会等于c18。好，这个问题能理解吗？要想清楚这个事情n个里面取n取零个，它这个东西啊，跟CNN是一样的。它是一。哎，这是一这是规定哦，这个东西。好，这是我们讲的这个第一个问题，想清楚了吧，这叫组合数。组合数用c没有顺序，

我摸完了就行了，我不管，等我摸几个球，这里面当中你有没有顺序？没有顺序我不管。好，这是这个问题，但是同学们注意，这人就要管了。排列数就要关了。排列数要管排列数的话，你发现一个事情，它什么它是在n个里面。取什么歌呢？取m个。

这m个必须是有顺序的。啊，有顺序。有序的。那举个例子吧，比如说我摸到一红两白啊，这个什么一白两红？你像刚才那个人呢？你刚才那个东西的话，摸出来就是这是一白两红就行，你这之间的话没有什么顺序。但是现在这个人呢？你摸出这个一白两红，他有可能是什么白红红？红白红。

有可能是什么红红白？你这里面当中的话，你发现一个事情，它还有什么东西呢？它还有个顺序，你这里面当中还有三种情况呢。所以它是这样的一个问题。等一会过程当中，我们再来，回头再讲这个问题，你稍微等一下，那么接下来过程当中，我们再来看看全排列。那全排列什么意思呢？我们先来说一下，

上面这个东西它怎么计算？如果你是有顺序的，我们的这个计算是组合数啊，这是排列数，有顺序排列数，排列数是an m。你比如说举个例子，我们来住到这。呃，举个比如说这是a15怎么算？比如说a14怎么算十九八七就行？能理解吧，比如说你发现a12呢，怎么算就十×9就行？当然，

在这种当中的话，你发现a十十怎么算就十乘上十个十数八七六五四三二一吧。那这些东西这不就是什么十的阶乘？好了，这是这个问题，能理解吧，所以接下来过程当中，我们来看看下面一个问题，他说n个不同的元素取出的排列。然后全排列，就说把这n个元素取出来，它所有的排列的情况。所有的排列情况，我觉得这些话呀，我把这个删掉。

有点影响很多同学的发挥呢。我把这个删掉。就这个这个字儿吧，有点影响很多同学的这个理解了，等我想嗯。删不掉吗？诶，可以了，等一下啊，把这删掉。好了，那么接下来过程当中，我们来看看下面一个事情全排列。全排列什么意思呢？你发现就说我们这个东西的所有排列情况。

什么意思呢？比如说n个数。啊n个就说n个这个什么n个数。所有的排列情况。排列情况就叫全排列。比如说举个例子吧，你发现一个事情，我们再来看看，比如说。五个数。五个数的全排列是什么？就是五个里面取五个，五个之间还有顺序。是不是这个情况？那不就是五个里面取五个五个，

还有顺序不就是a五五不就是五的阶乘吗？是不是这事情，然后你发现一个事情，你n个人呢？那不就是n个里面取n个n个还有顺序不就n的阶乘吗？所以大家注意啊，这些东西的全部排列的情况。他就是一个他的阶层。比如说一二三四五所有的排列情况是多少五的阶乘？你可以排五四三二一五三一二四，怎么等等怎么怎么排？它总共有多少种情况？五的阶乘除。就是这些数之间所有的排列，这些情况，

它就是什么它的阶乘。能理解吧啊，这个事情我相信你应该理解的清楚啊，这个问题这样舒服多了是吧？就是我发现有同学一直在读那个字儿啊，读那个字儿的话，你发现。你不知道这个字儿。这个语文吧，对吧啊？不能把它变成这样的问题，它是个数学问题。所以大家想想一个事情，你来看看那什么叫排列数呢？排列数这个人呢？

它应该是这样子的。分成两那么这个an m什么意思啊？是这个意思。第一步，先从n个里面取m个点。现在这个人是不是没有顺序？然后再让m进行全排列。就是这个情况，你先取，取完再排这里面当中的第一步就是取。没有顺序第二步呢，再排。先取再排。对吧，我取完了之后我再排。

所以说你比如说举个例子，你看你这a九四怎么办？其实就是c九四取了，然后再接着。你上面这人不是九八七六吗？然后这不是四三二一嘛，然后这是四的阶乘，这约掉了嘛？是不是这个情况就这个问题，先去再排？好，这是一个基本问题。所以大家要了解三个事情，排列数排列数是取完了之后，里面当中是有顺序的，

这些人有顺序。组合数取完了之后，这个东西我不在乎你顺序，我不在乎，我就只在乎你这个结果就行，我不在乎顺序，然后全排列呢，是这几个人之间。所有的排列情况就叫全排列。然后在技术原理当中啊，有两大非常重要的技术原理，第一大种情况好，我们先来看看，第一种叫做分类技术原理。呃，

这个事情可太重要了。分类的那么还有一种情况的话，你发现个事情，还有一个东西叫做分布的，这两个东西一定要学好。这必须要学好，这是太重要了，一个东西叫分类技术原理，一个叫做什么分布技术原理，你听我讲啊，你不要在这读这个字，这没有任何的意思。听我来给你讲。首先，我们先来看看第一个事情，

分类技术原理。哎呀我，你要再这样的话，我觉得你现在每次都是这样。这还没有讲就太可怕了，那我把它删掉。这什么太可怕了呢？不讲了，不讲了就不可怕，当你不知道一个事情的时候，你发现一个事情你就不会觉得可怕了啊。好了，接下来过程我没有讲对吧啊，不要这样啊。举个例子，

比如说我从北京。对吧哎，我从北京。比如说举个例子，我从北京从北京哎到我老家西安。好吧，从北京到西安，你发现一个事情，我从这过去有多少种类型，你要注意是类型。哎，注意一下，是类型有多少种类型，比如说举个例子，你可以怎么办呢？

哎，你看你可以坐火车。假设你有十趟火车。对吧，你可以坐火车，当然在这里面当中的话，你发现一个事情，你还可以坐飞机。假设有五趟飞机，当然在这里面当中的话，你发现你还有什么？你还有大巴。对吧，有大巴，比如说六趟大巴对，

比如说你还可以，怎么办啊？你可以开车。你自己开车对吧？你还可以，怎么你可以走过去？有五条路啊，你可以走回去好了，那么请同学们告诉我完成这件事情，这是不是类型啊？对吧，这是类型，这种类型，这种类型，这种类型，

那我想问你个事情，你看完成这个第一种类型当中有这种方法？第二种类型这么多方法，第三种类型有这么多方法，那我会问你个事情，完成这些事情总共有多少种方法？是不是应该把这些人怎么办？把这些人加起来。对吧，加起来你要体现出来一个事情，每一种类型都能完成这个事情，每一种情况都能完成这个事情。所以说把他们进行加起来，总共有这么多种类型的方法，你听得懂我的意思吗？

所以说你要明白啊。什么时候加？这种情况能完成这个事，这种情况也能完成这个事，每种情况都能完成这件事，所以说你发现我们可以把它怎么办加起来？好，这是这个问题，你听懂我的意思吗？好注意一下，然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情，来看看分布技术原理。那分步技术原理呢？我们核心重点看的是什么？

有多少个步骤？我给你举个简单例子，比如说还是从北京。我现在的话，你发现我想回西安。那我怎么办呢？哎，我可以走什么？我可以经过什么？比如说我会经过郑州。那我经过郑州的话，你发现。我从北京到郑州，比如说火车有五趟。然后飞机有四趟，

这是不止的吧，比如说你发现这太多了，比如说有呃，行吧，就这样吧，比如你发现你走过去呢？还有三层。好，这个问题啊，然后接下来过程当中，我们再从郑州回去，郑州到西安的话，你发现火车呢，有六趟，然后的话，

这个飞机呢，比如说有四趟。然后走回去呢，你发现一个事情哎，比如说有两趟举个例子啊，那我想问你一个事情，从北京到西安。总共有多少种情况呢？总共有多少种方法呢？大家想想一个事情，这是完成一个事情的第一个步骤吧，这是完成一个事情的第二个步骤吧。你能理解吗？这是两个步骤，必须完成，

完了这两个步骤才能算完成了这件事情。你没有这个步骤，你不叫完成这个事情，你没有这个步骤，不叫完成这个事情，它是两个步骤，这两个步骤都完成了，才算把这个事情完成。好了，我们先来看看第一个步骤，第一个步骤的话，你看完成这个步骤有多少种类型呢？这种类型可以，这种类型可以，这种类型可以，

所以说完成第一个步骤。这个东西应该加。完成第一个步骤，应该把这些情况进行加起来，完成第二个步骤呢，你看火车可以，飞机可以，走路可以，都可以完成这个步骤。但是你要注意这两个步骤之间应该相乘。为什么呢？这两个步骤共同完成了之后，才算把这个事情完成。所以啊，中间是乘法。

因此，将来过程当中，到底中间是用加法还是中间用乘法，你就要看看他是完成这个事情的不同类型还是？还是完成这个事情的不同的步骤，你能听懂我的意思吗？所以接下来的过程当中，我们再一次看看刚才过程当中小。讲到排列数。好排列数，比如说a九四。a九四这个人的话，你发现我们是先取在九个人里面取四个人，然后四个人再进行全排列。诶，

我来问你个事情，这两个东西是乘法还是加法呀？当然是乘法呀，你先要取。取完了再排这两件事情都完成了之后才算把它完成，所以说用乘法。你要理解啊，什么时候用乘法，什么时候用加法，这是我们在高中过程当中学这个技术原理当中非常重要的两大技术原理。对吧，他是完成这个事情的，两个步骤完成了，取这个步骤再完成排这个步骤，两个东西乘起来才是这所有的一个情况。

所以中间是用乘法，不是加法。你能理解吗？好了，这就是我们在高中当中过程当中，你所需要用到的一些这个基本内容。所以像这个排列数啊，组合数这个两个东西的，这个基本点啊，高中过程当中这个排列组合对吧啊，排列组合啊，你发现一个事情是很多同学。高中过程当中的硬伤啊。是吧，这个基本点我记得有一首这个歌叫做什么？

那些年里面当中是吧？有一首这个歌词叫做黑板上的排列组合，你都解开了吗？啊，好了，这是这个事情吧，那么接下来过程当中，我们来看看今天最重要的一个题。要想把这个排列组合这个东西啊，搞清楚。哎，在考研过程当中啊，最重要问题啊就是什么东西呢？摸求问题。哎，

注意啊，最重要问题是摸求问题。那么，在这里面当中的话，你发现一个事情，这个为什么不是打扑克牌的问题呢？为什么不是打麻将的问题呢？呵呵啊，你觉得呢？大家注意啊，我们是选拔性的考试，我们是为国家选择优秀的人才。所以在这里面当中的话，你发现一个事情，在考研过程当中很少会出现什么什么麻将啦，

扑克啦，都不会出现，所以说在这种当中一般都是什么摸球？诶，你发现你看这个人。你能理解我的意思吗？你很少会出现这种什么这个扑克牌啦，像这种东西，虽然这个概率的发展呢，都是从赌博上发展出来的。因为一开始用这个赌博计算这个东西的概率所然，然后这门课程呢衍生出来，但是你要注意啊，我们在考试过程当中不会出现这个问题的。所以接下来过程当中，

我们就来看看摸球问题。那么，这个摸球问题啊，是我们在这里当中非常重要的，对吧？一定要会摸球问题，考研的重点都是摸球模型。这个摸球模型呢，你必须要会摸。你一定要会进行去摸球。是吧，必须要会谋求，然后我这个一点一六这个题啊，相当的牛逼。对吧，

我们把这里面当中的所有的情况都给你了，大家想想这个事情，比如说你可以怎么办摸？恩赐。那摸n次的话，里面就会有两种情况。比如说举个例子，你去摸球对吧？我里面当中有十个白球，三个黑球对吧？摸四次。摸了n次诶，你摸次的话，你会发现每次放回吗？还是每次播放回呀？

你这里面当中的话，你发现你看我摸一次，我摸一次，摸两次，摸三次，摸四次，我摸完了之后我扔回去，还是摸完了之后我就不管了。不扔回去。所以这里面当中就会又会出现两种情况，你到底是放回还是不放回呢？对吧，你这里面当中的这个第一种情况，你放回还是不放回呢？好，

这是第一个问题，还有一件事情，第二种情况。那第二种情况叫什么？一次摸n个。对吧，我一次性就摸n个。我在这里面当中，我一次性把这个n个我们都摸完。这就是这里面当中的基本情况，所以在考题的形式啊，你发现就这两啊，这应该是三种情况。我摸了n次，我每次是放回还是不放回？

对吧，这个问题或者我一次摸n个，大家注意啊，这里面当中哪种问题是最简单的？你告诉我哪种最简单，大家注意哦，这种最简单。这种情况的话，你发现是最简单的。为什么么意思？放回去么意思？放回去大家注意，每次相互独立。移项是不是啊？为什么呢？

因为你发现一个事情，你摸一次扔回去，你摸一次扔回去，那你扔回去了之后，你第一次摸给第二次摸有影响吗？没有影响啊。你第一次对第二次没有影响的。你摸完之后扔回去了吗？你第一次摸跟第二次摸有什么影响没有影响，所以说每次之间是相互独立的。那相互独立怎么办呢？我们就可以算了，乘积的概率等于概率的乘积，所以这种情况是最简单的。好了，

那么接下来过程当中，我们来看看一个题好吧，我们来先讲一个题，讲完这个事情，我们再来说好，我们先来看看第一个事。你好好听哦，不要骗他。那么，在这个当中，我们来看看第一个事情。100件产品当中有60件正品，然后怎么办？有40件怎么办次品啊？这是100件。

然后的话，你发现一个事情60件什么60件正品。然后呢，有40件次品。好，我们先来看看第一种情况。那么，第一种情况的话，你发现一个事，等我想这个拉的太长了，100件产品啊，这个产品。然后他说a表示了三件均为次品。他要的是一个结果吧。就是你每次摸一个，

每次摸一个，每次摸一个，我要的是一个结果。我这个结果最后是三件次品，这是一个结果，听懂我的意思吗？我这个结果只要你这个结果能是三件次品，我都算。你能理解我的意思吗？所以都是次品，就说你这三件情况的话，都是次品，我们都算，然后再来看b选项。b这个人呢？

是两件正品，不是b选项，是b这个事件，两件正品，一个次品。我要的是一个结果吧，你品一下他是不是要一个结果，只要你是两件正品，一件次品都行。那么，对于次品而言的话，你发现三件均被次品呢？那肯定都是次次次。如果三件都是次品，每一次摸到都是次。

它只有这一种类型，有没有发现？它只有这一种情况，只有这种情况会导致三件都是次品，但是你发现个事情，如果是两件正品，一件次品呢，它就有三种情况了。它可以是什么？四，正针。在这种情况下，他可以摸到两件正品，一件次品，在这什么东西呢？

正四真。啊正次正这种情况下呢，也是两件正品，一件4d，还有什么东西呢？还有这个是正正次。在这种情况下，也是两件正品，一件次品。同学们告诉我，这三个人叫什么？这叫什么完成的，什么东西？是步骤还是类型？这是类型吧？

你能听懂我的意思吗？这种情况会导致你是两件正品，一个次品，这种情况会导致你是两件正品，一个次品，这个人也会导致，所以同学们注意中间用的是什么号连接。加法连接。好加法连接。所以接下来过程当中，我们先来看第一个人来解吧。现在其中哎，我们来看看第一种情况，每次取一件放回。我们先来看看，

放回。那么，先来看看a这个人。a这个人三件都是次品说明第一件事，第二件事，第三件事。我们刚才说过了，每次都是放回的，每次放回是不是相互独立啊？那么，共同发生的概率？共同发生的概率就等于第一概率乘第二概率乘第三概率是不是这个事情，这是最简单的。第一个概率呢，100件里面当中有40件次品，

这是它的概率，第二人呢，100件里面当中四个人。100件里面当中40个人一乘，这题是不是结束了？好，这个人最简单，然后接下来过程当中，我们再看PB。PB这个人的话，你发现我们得怎么办？我们得保证一个什么是两件正品，一件次品，我们先看第一个人。共同发生的概率等于各自呃，

这什么等于各自概率的乘积，因为相互独立嘛，第一个人次品的概率是一百分之四十。第二任正品的概率是一百分之六十，第三次正品的概率呢？一百分之六十，因为每次都放回去了，然后再加上。加上这个人，那这个人的话，你看第一次摸到什么东西呢？摸到这个正品的概率呢是60，第二次摸到这个次品的概率是40。第三次摸到这个次品的概率呢啊，正品的概率是60哎，

你发现是一样吧，所以其实你发现这三个人都一样。都是一百分之四十一百分之六十一百分之六十都是一样，你给它乘个三就行。你能理解我的意思吗？为什么乘个三呢？因为这三种情况都可以导致我是两件正品，一件次品。那么，这个第一个人，他可以导致两件正品，一个次品，这个人可以导致两个正品，一个次品，这个人也可以导致两个正品，

一个次品应该是你的概率。加你的概率，加你的概率，而你发现他们是相互独立的，共同发生的概率就等于你的概率，乘你的概率，乘你的概率就是第一次，第二次，第三次的概率乘积就行。听懂了吗？不可能听不懂。这个最简单。你看看把里面当中的东西啊，一定要剖析清楚。你必须要把它剖析清楚，

是加法事件还是乘法事件？你像刚才这个人完成这个事情，这是步骤步骤步骤，所以说是惩罚。然后这是什么完成这个整体的话，这是类型，这是类型，这是类型，说出你加法。所以说这个加法技术原理乘法技术原理这两大技术原理是非常关键的。好，这是这个问题，过去了可以吗？来我们再来看看第20题。每次都放回这个最难。

诶，这个最难。就是这个东西啊，是最难的。你每次都不放回好，我们来看看第二个人，那我们把他品一下吧。最难又怎么了？最难也不难，如果最难的东西都不难，那就真不难来看看。好，来看看第二位。那么，接下来过程当中，

我们再来看看第一问当中的第二个。每次过程当中呢，每次。熏药怎么办？放回啊啊，这个什么播放回？摸完就拿走了，不放回。哎，磨完了就磨完了，我拿走了，我不放回。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看第一个人PA。

那么，这种情况怎么做呢？它就是一个什么古典概型的，我们得用技术原理的方式来做。那这个东西的概率等于多少呢？就等于a事件的概率比上总事件的概率。能理解我的意思吗？就说呃，就是a事件的次数比上总事件的次数。那么，接下来过程当中，我们来看看这个事。总的次数是什么？第一次摸有多少种情况？第一次摸有100种情况。

第二次摸就只有99种情况，第三次摸只有98种情况。这是这个问题吧，然后接下来过程当中，我们来看它a事件要的是什么呢？要的是三件均为次品。三件均为次品，还是那个事情，你发现第一次是次，第二次是次，第三次必须都是次，这才是他的情况吧。都是四那第一次摸到次品的情况是多少？40那第二次呢？只有39第三次呢？

只有38，它只有这一种情况。没问题吧？好，这个基本问题。然后接下来过程当中，我们再来看看PB PB这个人的话，用古典概型b的次数，除以总的次数。总的次数呢？第一次摸有100种情况，第二次摸有99种情况，第三次摸有98种情况。然后接下来过程当中，重点来了这个东西，

你要好好品哦。他要的说他说b是什么b是两阵一次。诶，你发现还是跟刚才一样，能让它成为两阵一次的情况有很多。它有可能是什么？四阵阵。它可以是两帧一次。正四正，它可以是两正一次，它可以是什么？正正四，也可以是两正一次，它有这三种情况。这三种情况都是能让我成为两震一次的情况。

能理解吗？所以说同学们注意，这是类型是不还是加法技术原理？好了，这是这个问题。那么，接下来过程当中，我们再来看看下面一个问题。我们先来看看第一种情况。看第一个人，如果是次正正呢？第一次摸到次品的情况是有多少种？40种，第二次摸到正品的情况有多少种？有60种。

但是第三次摸到这个正品的情况呢，只有59种了，因为有一次被摸走了。那么，同学们告诉我，这三个人之间是乘法还是加法？当然是惩罚，因为你们都进行去完成，才算把我这件事情完成到位了，对吧？这三个人都完成了，才算完成这个事情。所以说他们是惩罚。能理解吗？然后这个人呢？

你看也是多少呢？也是60也是40也是多少呢？也是这个59。第三个人也是这个人。然后这三个人的话，你发现有三组这个东西，有三组这个东西是不是相啊？这个什么相加呀？因为这三组情况都是能完成这件事情的类型，就三个相加，而这三个又一样，你就给它怎么办？乘一个三听得懂我的意思吗？我相信通过这个题啊，你能真的把加法技术原理和乘法技术原理玩儿的非常的透。

你看这三个事情都完成了，就算完成了这个步骤。对吧，就算完成了这件事情，每一个人都是步骤，但是你发现一个事情，这是一个类型，这是个类型，这也是个类型，这三个类型都能让我变成一个两震一次的情况。所以说他们三个情况应该是相加相加，每个人都一样，乘个三。能理解吗？好，

这是这个问题，一定要听得清清楚楚的，不能有半点含糊。你有半点含糊的话，这块题啊，就容易做错好，这是这个事情，过去了可以吗？来再来看看第三个人。好，第三个人。那么，在这种当中，我们来看看你放心吧，这些摸球的问题都是古典概型啊。

你不用进行判断。你考研出题的出的这种摸球的问题都是古典概型。你总的次数是一定的吧？每次的概率不是一样的吗？经典的古典概型摸球问题啊。然后问了一个这个东西，为什么是古典概型？啊，好了，那么接下来过程当中，我们就继续看吧。你除了古典概型，然后剩下就是几何概型，还有一个伯努利，伯努利我们再另当别论。

你要不是古典概型经典的摸球事件，不是古典概型吗？好了，我们再来看看这个人。第二件事情。一次。取三个。哎，一次抓三个。一把抓。一把抓的话，你发现一个事情，我们先来看看a的概率。啊，因为这个东西不一定独立的吧，

我们就不要用乘积的概率等于概率乘积了，因为第一个人是独立，所以我们才用概率的乘积等于乘积的概率。现在的话，你就发现就用古典概型做你的事件，次数比上总的次数。你的次数比上总的次数，那么同学们注意啊，这次是一把抓三个。你要注意，我一把抓三个，我看结果就行，唉，那你一把抓三个的话，你发现我在乎这个人的顺序吗？

有没有顺序啊？你抓三个球有没有顺序啊？哪有什么顺序啊？这就是130。100里面取三个人，没有顺序的。你总的这个呃次总的这个次数的话就是100里面抓三个CC 130。然后接下来过程当中，我们再来看，然后说三件均为次品。哦，三件均为次品，那怎么办呢？你就在次品里面挑三个不就行了吗？这多容易啊。

又没有顺序。我挑三个就行了，我又没有顺序，我要什么顺序啊？我挑三个人就结束了，结束了好这个题。跟得上吗？然后再来看看PB，那就是b发生的次数，然后比上总的次数，总的次数就是100里面去三个。然后接下来过程当中，我们来看看我这个框里面，我要的是什么呢？我要的是两个正品，

一个次品，那怎么办呢？就在正品里面。挑两个再在次品里面挑一个，然后同学们告诉我这件事情完成了吗？我不管次序啊，我在这里面当中抓两个来，放进去抓一个放进去，那这就是两证一词。那这个东西呢？你发现一个事情是乘法吗？也然后这两件事情都完成了，就算完成这个事情，我问你个事情，这个东西需要在后面乘个三吗？

需要在后面乘个三吗？告诉我需不需要，不需要就结束了，同学们。不像刚才那个一次抓一个，一次抓一个，一次抓一个，我现在我抓两个扔进去，抓一个扔进去，这不就是两阵一次吗？我不管你顺序啊。所以同学们这个就结束了，这是最简单的。你要两针一次，这个结果我就抓两个扔进去，

两个针我抓一个扔进去，一个词两针一次，那这个东西就出来了，唉，没有什么顺序，同学们，你觉得呢？你觉得这个播放回简单，还是这里面当中依次取三个简单？哪个简单？当然是一次取三个，一次取三个，太简单了，你像在这里面当中，如果在这个联邦当中不放回，

我还需要进行去管管它是不同种情况。所以大家注意，当然是一次抓简单，一次抓简单，一次抓简单的话，我们再来算算哎，同学们，你看。上半身是40乘上39乘上38，然后这是三×2×1，下半身是100乘上多少99，再乘上98，然后比上三×2×1。好，这个情况，

所以说最后的结果是多少？40乘上39，再乘上38，100乘上99。再乘上98，这没问题吧？再来看下面这个表。下面这人是多少呢？这是100乘上99，再乘上98，然后比上多少三×2×1？那么上面这个人呢？上面这人是60乘上59，然后再比上二×1，这人再乘上多少40？

大家有没有发现一个事情？你约一下。这是100×99，再乘以98，然后上面是多少60乘上59，再乘上40。然后你看你约一个二×1，上面是不是还有个三呢？你在这里面当中约一个二×1嘛，你约二×1的话，还有一个三上去诶。我对照了一下，我把这个东西缩小，你发没发现？这俩玩意儿怎么是一样的呀？

这俩玩意儿怎么是一样的呀？诶，难道这件事情是一种巧合吗？是一种巧合，还是必然呢？大家注意，它是一种必然。它是一种必然。这种必然那么在将来过程当中，我们就将来就一定清楚这个问题了，你发现一个事情，这个最难的，每次不放回应。对吧，每次都是抓一个不放回，

抓一个不放回摸n次不放回它就相当于一次摸n个。所以将来过程当中，我们做什么呢？你抓一个不放回，抓一个不放回就一次抓多少个？你看你就按照这种方法做，它就特别简单了。你要注意这个事情啊，这件事非常非常的重要，所以将来过程当中我们就明白了这个问题了。那所以将来过程当中，像这种摸球问题就没有什么难度，不放回按照独立做共同发生的概率等于各自概率的乘积。独立性的问题，然后这里面当中你发现摸一个啊，

摸n次不放回那这个东西等于什么一次摸n个？能学会吗？下去品一定要好好跟我品，我就觉得一个事情，这题值得做上个十几遍。对吧，值得做个十几遍。你现在再继续去回想一下，你高中过很多同学，在高中过程当中学排列组合学的特别乱。学的相当的乱。今天做这个题跟明天做这个题，跟后天做这个题，答案窘然的不同。上午做这个题，

下午再做的时候，你发现答案又算出不同的答案。你发现就是这种情况，有的时候考试做对了，有时候考试做错了，也不知道到底能不能把这个题做对，反正这个东西做对啊，就是一个玄学问题了。你发现一个事情，把这个东西这个东西做对，变成这种玄学问题了。你发现一个事情，他根本就没有把这个东西的逻辑感学清楚。他就没有学清楚这东西到底是怎么来的，哎呀，

我为什么要乘上这个东西，每一个细节到底有没有抠清楚？这是这个问题。好了，这个事我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们再来做一个题啊，再来看看一点一七这个题。呃，这个题啊。我分开粘吧，好吧。分开年，我们先来看看第一个人。来看看第一个人。

呃，第一个人呢？大家要好好进行品啊。哎，好好品。那么，在这种当中的话，你发现一个事情，他说我有。a个白球。哎，我的白球有几个呢？白球有a个，然后的话，你发现我的黑球呢？

我的黑球有。b个这a个b个。然后说什么东西呢？他说我现在任取m+n个球。然后这其中啊，有什么东西呢？你看他要的是个结果吧。它要的哎呀，这个怎么画那么丑呢？然后说有什么东西呢，有m个白。有恩格黑。好，这是这个事情。什么意思呢？

就说我摸这么多个球。然后的话，你发现个事情有m个白球，有b个黑球，同学们告诉我，他在乎的是一个结果吧。这个题是最好算的，那你告诉我全集空间，你计算这个人的概率，他应该是这个人的概率比上。全集空间就是我们的样本空间的这个人。那大家想想一个事情全集是什么情况？全集就是在这呃，总共是多少个球a+b个球当中摸m+n个球？对吧，

我就摸摸这么多个球，然后的话，你发现a事件呢a事件的话，要求的是有m个白n个黑，那我就在白个里面当中的话，你发现。a个白里面摸m个白的，然后在黑的里面当中b个黑里面当中摸n个黑的。摸了扔进去，摸了扔进去，同学们告诉我这个东西有没有顺序啊？要不要顺序啊？不要顺序。我们不会管这个顺序的，你告诉我个事情结束了没结束了，

而且两个人共同完成，完成了这个事情。中间是乘法吧。对吧，这个惩罚。所以说你发现个事情，这个人惩罚。那这个东西结束了没？结束了本题就是这个人。总的件数呢？总的次数呢？就是在这个a+b个人里面当中取m+n个球取出来就行了，你这挑m个扔进去挑这个b个呃，这个挑n个扔进去。那就是m个白，

n个黑呀。所以这就出来了。听明白了吗？好，这是这个问题呃，还有个事儿，你可能高中过程当中还学过一种方法，叫枚举法。枚举法就把所有情况都枚举出来啊，一般情况下你发现很难让你枚举啊，一般都很难让你进行去枚举，所以说你在这里面当中。啊，不用进行枚举了。好，

我们再来看看第二个。好看这个。那么，这个人的话，我们就继续吧，我们再来看他说了一个情况。说了一个什么问题呢，他说将这个a+b个球啊。好，我们来看看。这是总的球的一些情况。哎，总共有这么多个球，他说将球一个一个的都取出来，你注意啊，

都取出来。都要把它取出来。一个一个的都取出来，那你要取多少次啊？你就要取a+b次。一次一次的取出来，一个一个的取出来，然后说d case啊d case是m球啊，是白球的，这个概率。你看这是d case。是白球，那这种情况怎么做呢？那你告诉我事情，这个人的概率。

它应该等于你的次数比上总的次数。那你告诉我总的次数是多少？啊，总的次数啊，我有这么多个球。我有这么多个球的话，你发现一个事情，我们要干嘛呢？我们要把它一个一个的取出来，其实就要把这a+b个球进行全排列吧。是不是啊？就看看a+b的话，你发现排列出来有多少种情况？能理解吗？所以说这东西就是a+b的阶乘。

就是a+b的全排列。你总共有a+b个，然后要把这些人进行全排列，所以说大家注意啊，就是a+b的阶乘，这个能理解吗？你就像我，比如说我有两个什么两个白球，三个红球，我把这个人排全排列。能理解吗？哎，这是这个情况，或者你这样来吧。我觉得这样的话去理解不好理解，

你这样理解，你告诉我第一个位置有多少种情况？我先不管，我先不管dk是白痴白球，我就问你第一个位置有多少种情况，第一个位置就有a+b种情况。那第二种位置就有几个情况，第二个位置就有a+b- 1个情况。那第三个位置呢？就减二个，然后一直乘到谁一直乘到二乘到一。你想想是不是就这个问题啊？对吧，我们就乘过去。第一个人有多少种情况，

第二种有多少情况，第三个人有多少情况，一直排下去。是不是这个问题啊？好，我们再来看看na呢na怎么算na的话？你发现个事情，你得在这个位置当中占一个白球。在这个位置站一个白球，你是不是要在白球当中挑一个站到这儿？啊，是不是啊？你要挑一个人站到这，那就是在a里面挑一个好先站满的这个位置。你先待到这啊，

你发现一个事情，我娶一个人，你给我待这。有一个人哎，你发现做代表给我带到这儿，然后剩下多少个数呢？剩下哎，剩下这个也不是多少数是多少个球呢？剩下这么多个球。剩下这么多个球的话，你发现第一个位置有多少种情况？第一个位置有a+b- 1个情况。第二位置有多少情况？a+b- 1再减一，那就是减二的情况，

然后这个东西呢，你一直把它沉下去。你一直把它撑下去。最后，乘乘乘到二乘到一，这个问题就完了。然后同学们告诉我这两件事情之间是什么法呀？这两个人之间是乘法吧。你取完了，这个放到这儿，再把最后的全排列，所以说同学们注意一个事情，再把这个东西进行全排列，这东西是什么？这是乘法。

所以说像这个东西啊，它就出来了。能理解吗？你也能在这里面当中读出放回和不放回，你可是真厉害哦。这不。这本来就是不放回嘛，一个一个的取出。你这个语文能力呀啊，语文能力呀。这不是数学能力，语文功底啊。你拿一个走嘛，拿一个走，拿一个走，

拿一个你读不出来吗啊？语文能力啊。不是数学能力好，再来看看第三个人。继续再看下去品啊，我觉得这个题啊，我讲完了还不够，你不信你下去你再想想。你得把它绕的非常的清楚，你下去再想想啊，你这题得下去过程当中再重做的好，再看下面这个人。来看这个人。他说什么情况？他说在乡当中，

每次取一个不放回哎，每次抓一个不放回。他说dks采取到白球。诶，同学们告诉我个事情，现在你告诉我个事情，你的样本空间总共有几次啊？你告诉我事情，你的样本空间这里面当中有几次啊？有几次啊，总共只有k次。总共case。所以你要注意的事情，总共只有case，我的样本空间只有case，

因为我要讨论的是d case采取到白球。那么，同学们想想我这个人的概率。就等于a的这个数比上总的数。那么，在这个当中话，我们发现一个事情，我们先来看看第一个事，我们去求这个人。这是怎么求？这个人的意思就是摸case。播放回。所有情况。能理解吧more case不放回所有情况告诉我，第一个位置有多少种可能性，

第一个位置有a+b种可能性。第二位置有多少a+b- 1，第三个人就是a+b- 2，你看第一个人是减零，第二人是减一，第三个人是减二。第k个人是减几啊？你能理解我的意思吗？第一个人是a+b- 0，第二是a+b- 1第k个人。是a+b减几a+b-k- 1嘛，那就是a+b-k+1。好，这是这个问题，能听懂吧？

所有情况，所以在这种当中的话，你发现个事情，这是他所有的可能性情况。这是这个人，然后接下来过程当中，我们再看na。na这个事情啊，要分成两步。第一步，这个位置必须是白球。对吧，这个人必须是白球，所以说在a个里面挑一个白球放到这。然后前面呢，

黑黑黑都是黑，那第一个人的话，有几种可能性呢诶，都是黑往里面跑。第一个人的话，总共有b个黑球，第一个人有b种可能性，第二种有几个可能性呢，第二人的话，你发现就有减一个可能性。第三个人呢？就有b- 2可能性，那你想想一个事情，那这是d多少？这是dk- 1。

你想想第一个人是减零，第二人是减一，第三个人是减2 dk，减一是减多少dk，减一是减。k- 2。所以说b-k+2，你听得懂吗？没问题啊，就说第一个人是减零，第二个是减一，第三个人是减2 dk，减一呢，减k- 2就减k+2。那么，

同学们告诉我，这两者之间什么法乘法？要是共同完成。对吧，摸白球和摸黑球是共同完成，所以说你就把这两个东西啊，除一下就行了。好，这个结果那这人是多少a乘上b再乘上b- 1一直咔咔咔乘到b-k+2？然后这是多少a+b，然后这是a+b再减一一直咔咔咔乘到a+b-k，加上一。好了，这个题算做完了，能不能理解啊？

所以你下去过程当中好好进行去操作清楚这个问题。好了，这是这个问题吧，能想清楚吗？诶，当然可以啊。当然可以啊，就说你第一次有多少种情况，你第二次有多少种情况？是吧，你每次有多少种情况，你把它想清楚。好了没？你下去给我说好好品一品吧，你把这个事情想一想啊。

好，过去了可以吗？你要注意啊，我再强调一遍，你要保证上面这个分子是无序，下面就得无序。你保证上面是有序，下面必须是有序，听得懂我的意思吗？你发现一个事，每次摸每次摸每次摸，其实是有顺序的。你想想是不是啊？你每次摸每次摸每次摸它肯定是有顺序的。这是有顺序的。

那么所以说大家注意一个事情，你每次摸每次摸每次摸，这是有顺序的，如果你要保证上面是没有序，下面是没有序，上面是有顺序，下面这里是有顺序。你要得统一啊，你把上面是有顺序，你算这个时间的时候有顺序，你算这个总时间呢，没有顺序，这就不行了。好了，这个板块内容我们就说到这，

所以你下去过程当中，你好好品一品啊，这个基本问题。啊，这个事情我们今天就讲到这，那么下面部分内容我们就不多讲了。可以吧，我们今天就讲到这，所以这个五一期间呢呃，每次课程呢，我没有给你拖堂啊。这个国庆节我没给你拖堂。所以说我就觉得这个你下去过程当中啊，尤其是有些同学可能出去玩去了，对吧？

啊，出去进去玩耍去了，你好好进行补啊，我害怕我讲的太多，你后面又跟不上了啊，你这个问题。行吧，那么今天过程当中的内容啊，我们就讲到这哦，今天生日是吧？哇，很好的日子啊啊，生日快乐。好，那么今天我们就讲到这吧，

然后接下来过程当中，我们来布置一下这个今天的作业。好，我们来看看今天的作业。呃，今天的作业啊呃，得做一些题。好，我们来看看今天的题目。得做一些。呃，然后下去过程当中。把这些题都做了。把401的这一页都做了。下节课过程当中啊，

我会把这个题讲一讲的。能理解吧，下节课我会把这个题讲讲的。以后过程当中啊呃，我们会定时的给你安排这个时间去把这个作业讲评一下好不好？好了，然后的话，接下来过程当中。我们说一下这个人考点全做四零七，小心一点。四幺四注意一点。四幺诶不对不对，这两题做不了，做不了，你先别做。

这个题就是做到四幺三就行了。从四零六。做到四幺三。然后。这几个题先不做。先不做啊，这是下节课讲的。然后是三大概型。你把这个题去品一品四幺九。啊，这个题零到90个数字当中，任取选取三个数字，然后说什么三个数字不含零和五。三个数字当中不含零或者五啊，你去想想。

这个题也有点恶心啊，这个这个就难啊，这比你前面的做这什么这破公式的题，因为做这种题难多了。所以我一直觉得一个事情，我们概率论当中，我觉得我唯一担心很多同学会失分的点就是这种东西。就是很多失分点就都在这儿，你多做一做嘛，对吧？慢慢来，这高中的话经常做对吧啊？好了，这是这个事情，行吧，

那么今天过程当中，我们就讲的多练一练，没关系嘛啊，慢慢来。好，那么今天课程呢？我们就讲到这吧呃，也祝同学们这个五一劳动节快乐啊，假期快乐，然后这两天过程当中啊，可能我们的课程没有说那么的密集。今天是一号的课程，然后下次是四号的课程，接下来这几天呢，我们课程没有那么的密集，

所以说大家的话。呃，休息一天，休息两天也是可以的啊，但是关注点一个问问题啊，你这个状态到时候你能收回来就行。好吧，好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，所以说这个下去过程当中慢慢来吧，我们这个概率论呢，你发现这个内容点不是说特别多？这个第一章马上完了，第二章如果把它结束了之后，

概率论就差不多快结束了。最多的内容在第二章，然后第三章，第三章就有一个部分知识点，差不多是半个小时到一个小时内容。然后还有一个事情是第四呃，最后一章，最后一章内容是一个小时到这个一个半小时的内容，所以就快完了好，那么今天课程呢，我们就讲到这儿。好不好同学们？呃，这个睡前系列啊，我等到这个五一呃假期结束了之后，

我们再开始吧，因为前段时间的话，我这课程实在是太多了。啊，实在是太多了，所以我实在是没有没有时间进行去录啊，等到这个五一过后的话，我们再开始吧。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿下去，过程当中好好进行处理吧，好吧，那么今天课程我们就讲到这儿好，下期再见啊。

然后下节课有两个任务。下节课的第一个任务，我会把第一章结束，听懂吗？下节课的第一个任务，把第一章结束，第二个任务我们去讲讲作业。当然，包括概率论的这个部分的作业，还有原来过程当中的高等数学部分作业好吧，听懂吗？因为下节课讲这个部分的内容顶多40分钟就讲完了，也没多少内容了。一个这个什么东西呢？全概率公式，

一个是贝叶斯公式，还有一个东西就是我们在这里当中讲的这个什么几何概型和伯努利概型，就把这两个概型讲完了之后就没了。然后我们去把高等数学，还有这个概率论这个作业啊，我们去讲讲好那么今天课程呢，我们就讲到这好吧，好，下次再见。

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